A.F.E. algorithm for simulating excaνations in el toplastic soils

Transcript

1 ΑΑyόριθμος προσομοίωσης εκσκαφών σε εααστοπααστικά εδάφη A.F.E. algorithm for simulating excaνations in el toplastic soils Δρ. ΚΩΜΟΔΡΟΜΟΣ Α.( 1 ), ΧΑ ΤΖΗΓΩΓΟΣ e.ι21, ΠΙΤΙΛΑΚΗΣ κι21 (1. Γεώγνωση Α.Ε., 2. Αναπλ Καθ. Α.Π.θ.) ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Η μεταβολή των διαστάσεων και των ορίων,που εισάγεται κατά την, διάρκεια επίλυσης των προβλημάτων εκσκαφής, οδηγεί, ακόμη και στην απλή περίπτωση της γραμμικής ελαστικότητας, σε αλλαγή της τοπολογίας της κατασκευής. Στόχο της παρούσας εργασίας αποτελεί η πρόταση ικανού και αξιόπιστου αλγορίθμου προσομοίωσης πολυσταδιακών εκσκαφών για εδάφη που παρουσιάζονν γραμμική ελαστική ή ελαστοπλασuκή συμπεριφορά. Η εργασία ολοκληρώνεται με την παρουσίαση αριθμητικού παραδείγματος αντιστηριζόμενης με διαφραγματικό τοίχο εκσκαφής που εmλύθηκε με τον προτεινόμενο αλγόριθμο. ABSTRACΓ : The variation of problem domain and boundaries arising from an excavation leads, even in the sίmple case of lίnear elasticίty, to topologίcal variatίons. The main scope of this work is to propose an efficient numerical based finite element algorithm for simulating multi-stage excavations for soils presenting a lίnear elastic and/or elastoplastίc behavior. Finally, a numerical example of an excavation in conjunction with a diaphragm wall is p:esented which has been solved by the aforementioned algorithm. ΕΙΣΑΓΩΙΉ Η συμβατική προσέγγιση των εκσκαφών με βάση την παραδοχή της γραμμικής ελασα.κής συμπεριφοράς για τον υπολογισμό των μεγεθών έντασης και παραμόρφωσης και με βάση την απλοποιηuκή παραδοχή της ολοκλήρωσης μιας εκσκαφής σε μια και μόνο φάση δεν αποτελεί παρά μια ειδική περίπτωση της γενικής που αφορά πολυσταδιακές εκσκαφές σε εδάφη με μη-γραμμική συμπεριφορά. Η καθολική εφαρμογή της συμβατικής προσέγγισης δεν μπορεί παρά να οδηγήσει σε μη-αποδεκτά αποτελέσματα για την μεγάλη πλειοψηφία των εδαφών αφού είναι γνωστό ότι τα εδαφικά υλικά ξεφεύγονν πολύ γρήγορα από το πλαίσιο της γραμμικής ελαστικότητας. Οι πρώτες μέθοδοι αριθμητικής προσομοίωσης των εκσκαφών, Clough et al. (1971), Duncan et al. (1969), βασίζονται στην αρχή της ελεύθερης από τάσεις επιφάνειας στο επίπεδο εκσκαφής (stress-free surface). Συμπληρωματικό κριτήριο ακριβείας και αποτελεσματικότητας 515

2 μπορει να θεωρηθεί η διατύπωση από τον Ishihara (14] του αξιώματος ύπαρξης μονοσήμαντα ορισμένης λύσης (μοναδικής λύσης), ανεξάρτητης από την ιστορία εκσκαφής, για τα γραμμικά ελασuκά υλικά των οποίων η συμπεριφορά μπορεί να θεωρηθεί ανεξάρτητη του χρόνου (μη ιξώδης και ανεξάρτητη του ρυθμού. φόρτισης). Διάφοροι αλγόριθμοι επίσης που προτάθηκαν από τους Christian and Wong (1973), τους Clough and Mana (1976) και τον Mana (1978) δεν ήταν σε θέση να επαληθεύσουν αριθμητικά την αρχή μοναδικής λύσης. Αντίθετα μάλιστα, παρατηρήθηκε εξάρτηση της λύσης τόσο από την μορφή του καννάβου όσο κaι από τον αριθμό των σταδίων εκσκαφής. Κυρίαρχο στοιχείο των αλγορίθμων αυτών είναι η χρήση της επαλληλίας για τον μηδενισμό των φορτίων στους κόμβους της εκσκαφής και παράλληλη χρήση απειροστής ακαμψίας στα στοιχεία εκσκαφής για την μείωση της συμβολής τους στο γενικό μητρώο ακαμψίας. Το γεγονός όμως αυτό οδηγεί σε προβλήματα ανακρίβειας και δημιουργεί παρασιτικό αριθμητικό σφάλμα κατά' την διαδικασία επίλυσης του συστήματος εξισώσεων του προβλήματος. Με την χρήση απειροστής ακαμψίας, τα στοιχεία εκσκαφής εξακολουθούν να συμβάλλουν στην διαδικασία επίλυσης και να αναλαμβάνουν εσωτερικό έργο. Η προσέγγιση του προβλήματος των εκσκαφών με τρόπο που να μην δημιουργείται παρασιτικό αριθμητικό σφάλμα αλλά και να εξασφαλίζει την επίλυση σε εργική διατάραξη απαιτεί την τροποποίηση των βασικών ολοκληρωτικών εξισώσεων του συνεχούς μέσου. ΓΕΝIΚΕΣ 'ΓΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Με βάση την υπόθεση ότι η qιαδικασία της εκσκαφής μπορεί να διακριτοποιηθεί, σε σχέση με τον χρόνο, σε χρονικά υποδιαστήματα κατά την διάρκεια των οποίων η απομάκρυνση μέρους του εδαφικού υλικού πραγματοποιείται ακαριαία, μπορε ί κανείς να οδηγηθεί σε εξισώσεις που δεν εξαρτώνται πια από τον χρόνο, αλλά από τα χρονικά υποδιαστήματα τα οποία θα αποκαλούνται στο εξής στάδια ή ακόμα και φάσεις εκσκαφής. Θεφρεί ται το σώμα του σχήματος 1 το οποίο υπόκειται στο πεδίο των δυνάμεων βαρύτητας t, σε επιφανειακή φόρτιση fs και σε σημειακή φόρτιση F με δυνατότητα μεταβολής κατά την εκσκαφή. Η ισορροττi.α του σώματος επιβάλλει την ικανοποίηση των οριακών συνθηκών, όπως αυτές εκφράζονται από τις εξισώσεις 2 και 3, και την ικανοποίηση της εξίσωσης 1 σε κάθε εσωτερικό σημείο του σώματος. Περιοχή εκσκαφής Σχήμα 1. Figure 1. Σχηματική παρουσίαση της μεταβο~ής της περιοχής των ορίων και των φορτίων που η περίπτωση της εκσκαφής επιφέρει. Schematic variation of domain and boundaries produced by an excavation. 516

3 Vσ(u) -!"=Ο (1) U= U 8 στο δρ\ο r, (2) σ(h)=/ 8 στο δρ\ο Γ,. (3) όπου v ~ το διάνυσμα μερικών παραγώγων πρώτης τάξης το διάνυσμα δεδομένων μετακινήσεων στο όριο η περιοχή του προβλήματος Γ g U Γ h = Γ τα όρια του προβλήματος Στην περίπτωση εκσκαφής, η εφαρμογή των εξwώσεων 1-3 γενικεύεται έτσι ώστε να εm τρέπει την μεταβολή της αρχικής περιοχής και των ορίων του προβλήματος, όπως επίσης και του διανύσματος ε1uφανειακών και κομβικών δυνάμεων. Η γενίκευση αυτή εκφράζεται από τις σχέσεις 4 ως 8. V= V(n)= v. (4) Γ 1 = Γ 1 (n) (5) Γ,.= Γ,.(n) (6) (7) F(n)= F,. (8) όπου η το στάδιο εκσκαφής Η εφαρμογή της αρχής των δυνατών έργων οδηγεί στην εξίσωση 9, [15]. Σf~,ι~) σ~> dv= Σf~ tυ,.ι,.b(ιιι> dv + Σf~> 'u,.ι,.*-> ds + Σ 'U F~ (9) το όπου m ί tε u υποδηλώνει στοιχείο, και κόμβο το ανάστροφο του διανύσματος των παραμορφώσεων το διάνυσμα των μετακινήσεων Με βάση την υπόθεση της διακριτοποίησης σε στάδια τα οποία θεωρούνται ως στιγμιαία γεγονότα, η εκσκαφή μπορεί να προσεγyιοτεί με την αφαίρεση κόμβων κα~ στοιχείων. από τον αρχικό κάνναβο μελέτης. Οι δυνατότητες της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, σε συνδυασμό με την προηγούμενη υπόθεση εmτρέπουν την ολοκλήρωση της εξίσωσης της αρχής των δυνατών έργων σε ολόκληρη την περιοχή του. προβλήματος με συναρμολόγηση των στοιχείων διακριτοποίησης, εξασφαλίζοντας ταυτόχρονα την οποιαδήποτε μεταβολή που τα 517

4 στάδια εκσκαφής εισάγουν. Η συμβολή του στοιχείου m αναστέλλεται όταν ο όγκος του, V n <m>, απομακρύνεται κατά το αντίστοιχο στάδιο η. Κατά τον ίδιο τρόπο η συμβολή των μοναχικών φορτίων του κόμβου i αναστέλλεται αν η υπό εκσκαφή περιοχή κατά το στάδιο η τον περικλείει. Οι μετακινήσεις Un <m>, και κατά συνέπεια οι παραμορφώσεις εn (m) του στοιχείου m που ανuστοιχούν στο στάδιο η, μπορούν να εκφραστούν σαν συναρτήσεις των γενικευμένων μετακινήσεων από τις εξισώσεις 10 και 11. u<'">= Ν<'"> υ " " Θά πρέπει να σημειωθεί όu τα μητρώα (10) (11) N{m) και B(m) δεν εξαρτώνται παρά μόνο από το σχήμα και τον τύπ? του στοιχείου και μένουν σταθερά κατά την διάρκεια της εξέλιξης των σταδίων. Οι τάσεις των στοιχείων υπολογίζονται σε συνάρτηση των αρχικών τάσεων, σ1(m) και των παραμοpφώσεων που προέκυψαν από την ανάλυση, εn {m), και του μητρώου ακαμψίας του στοιχείου C~ (m) κατά το στάδιο η. (12) Μετά από ανuκατάσταση των εξισώσεων 10, 11, 12 στην εξίσωση 9 και μετά από αριστερά πολλαπλασιασμό με [tunγ 1 προκύπτει η θεμελιώδης εξίσωση 13. { Σ!. tβ(ιιι) c< > Β<-> dv } υ = Σ!. tν(ιιι)!. Ιι(.ιrι) dv ~ " " ~) " (13) ί + F" Στην περίπτωση μη γραμμικής ανάλυσης η επίλυση πραγματοποιείται επαναλήψεις με χρήση των εξισώσεων 14 και 15. με διαδοχικές (14) ~ Α(ιrι) 1(1") uσ" c =-- " aει<μ> " (15) Η ενσωμάτωση του αλγορίθμου σε κώδικα FORTRAN 77 για επίλυση προβλημάτων γραμμικής ελαστικής, τέλειας ελαστοπλαστικής και κρατυνόμενης ελαστοπλαστικής ανάλυσης, οδήγησε στο πρόγραμμα NFEAG (Non-Linear Finite Element Analysis in Geomechanics). Η ακρίβεια, η αξιοπιστία και η ευχρηστία του όλου προγράμματος δίνονται aναλl.!τικά, [8], [9], [10], [11], μέσα από αριθμηuκά παραδείγματα και αριθμητικούς ελέγχους (Numerical Patch Tests), ενώ παράλληλα πραγματοποιείται ενεργειακής διαταραχής (Variational Patch Test). ο έλεγχος των ολοκληρωuκών εξισώσεων ένανu 518

5 ΑΡΙΘΜΗΏΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Το πρόγραμμα NFEAG χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση παραδειγμάτων με ελεύθερες, αvtιστηριζόμενες, ανοικτές ή υπόγειες εκσκαφές, σε συνδυασμό με εξωτερική φόρτιση ή κατασκευή αναχώματος, [15]. Στην συνέχεια δίνεται αριθμητικό παράδειγμα εκσκαφής σε συνδυασμό με διαφραγματικό τοίχο αντιστήριξης. Στο σχήμα 2 δίνεται ο κάνναβος ανάλυσης, 16*30 μέτρα, αποτελούμενος από 72 ισοπαραμετρικά οκτάκομβα στοιχεία και από 251 κόμβους. Το διάφραγμα αποτελείται από τα στοιχεία και 42-48, ενώ η περιοχή εκσκαφής καθορίζεται από την έντονη γραμμή. Κατά την ανάλυση χρησημοποιήθηκε το κρατυνόμενο ελαστοπλαστικό μοντέλο Cone Cap, [15], οι δε παράμετροι του εδάφους δίνονται στον πίνακα 1. γ (ΚΝ/m 3 ) 19.8 D (ΚΡa" 1 ) Κσ 0.9 R 4.13 Κ (ΚΡa) 4700 φ ( ) 32.5 G (ΚΡa) 2200 κ,, 0.30 a 0.25 Ιί,, 3.33 k (ΚΡa) 10 c (ΚΡa) ο.ο w 03 Πίνακας 1. Τιμές των παραμέτρων του παραδείγματος. Table 1. Summary of parameters used in the example..,... ~Ld Β J ' 'ι5.,. 7 J.:S 23 3J. 3 :s:s 63 7J ,.. 6 J '3 ; =>..13. ~J.,ίί!9 :;tίc5 ~ : :>3 ι;j... ι;9_ :ι.ι.2 ' ;:!(), 7 ~8 :;Jtl4 ;;2 ι;ο ι;e ;J.Ι.J. f ~.1.9 ;;n :;J\C3 ;;.ι. ;19 #> θ 26 ' :SB '2 9 J.7 2S 3~.ι ~ 12+7 f- t f': CAP d i ph-4 Σχήμα 2. Κάνναβος ανάλυσης εκσκαφής με αντιστήριξη διαφραγματικού τοίχου. Figure 2. Finite element mesh of the excavation supported by a diaphragm wall. Πραγματοποίηθηκαν τρεις συνολικά αναλύσεις στην πρώτη, το άνω εξωτερικό άκρο του διαφράγματος θεωρείται δεσμευμένο, στην δεύτερη το διάφραγμα δεν υπόκειται σε καμμία οριακή δέσμευση, ενώ στην τρίτη η επίλυση αφορά ελεύθερη εκσκαφή για τον ίδιο κάνναβο. Στην συνέχεια έγιναν συγκρίσεις των τάσεων στο όριο εκσκαφής, βλ σχήμα 3, ανάμεσα στις αναλύσεις και τις ωθήσεις που χρησημοποιούνται για το συγκεκριμένο παράδειγμα κατά την ανάλυση με τις συμβατικές μεθόδους επίλυσης. Στο σχήμα 4 επίσης δίνεται η εντατική κατάσταση των σημείων ολοκλήρωσης στην περίπτωση του δεσμευμένου διαφράγματος, όπου διακρίνεται η ζώνη ελκυσμού στην εξωτερική 519

6 πλευρά του διαφράγματος, ενώ στο σχήμα 5 παρουσιάζεται ο αντίστοιχο ς παραμορφωμένος κάνναβος m ' * / ' * * : ~ ' 100 KPa m,..f -- ΕλεΟΟ. +- -* Δ -* Τοίχος Αντιστήριξης Ελεύθερη Εκσκαφή εσμευμένος Τοίχος Ορια Εκσιcαtής Ενερ-yητucές Ω&ήσεις Ω&ήσεις Ηρεμίας Παθητucές Ω&ήσεις m Σχήμα 3. Διάγραμμα οριζοντίων τάσεων στα όρια του διαφράγματος και σύ'γκριση με τα διαγράμματα ωθήσεων των κλασσικών μεθόδων. Figure 3. Comparison of horizontal stresses resulting from various analyses with the earth pressures used by the conventional computation methods. τους c:::jει-tιc 1:-:-:-:lcor..-r ~Tension!:-:-:-:-:-:-:-! Caρ Ε2Ζ2Ι Fa i lure... : ~ ι~ιι Σχ.ήμα 4. Καθεστώς τάσεων της ανάλυσης με δεσμευμένο το άνω άκρο του διαφράγματος. Figure 4. State of stresses resulting from the case of anchored diaphragm wall. 520

7 Diaρl. 11u1tipl, rac tor : ~.. ' i Σχήμα 5. Figure 5. ttax Hcwlτontaa Dlap&. ("") : rtaw u.rtι c.aι oιaoa. c"> : ο..ι f : CAP dtaph-t Παραμορφωμένος κάνναβος της ανάλυσης με δεσμευμένο διάφραγμα. Deformed mesh arising from the analysis of the anchored diaphragrn. Σύμρwη Αποτελεσμάτων Από την σύ'yκριση των τάσεων των τριών εrολύσεων σε συνδυασμό με τις τιμές των ωθήσεων σε ενεργηuκή, παθηuκή και κατάσταση ηρεμίας προκύπτουν τα ακόλουθα: Η παρουσία του διαφράγματος με δεσμευμένο το άνω άκρο εκμηδενίζει τις μετακινήσεις του εδάφους στο πάνω μέρος της εκσκαφής. Αποτέλεσμα του γεγονότος αυτού αποτελεί η διατήρηση των τάσεων στα επίπεδα των τάσεων ηρεμίας. Αντίθετα, στις περιπτώσεις ελεύθερης εκσκαφής και του ελεύθερου διαφράγματος παρατηρούνται στο σημείο αυτό μεγάλες μετακινήσεις που οδηγούν σε εκτόνωση των τάσεων, των οποίων οι τιμές είναι μικρότερες των ενεργηuκών ωθήσεων. 8 Μετά το βάθος των τεσσάρων περίπου μέτρων, στην περίπτωση της ελεύθερης εκσκαφής ή του μη δεσμευμένου διαφράγματος παρατηρείται δραστική μείωση των μετακινήσεων ενώ παράλληλα οι αντίστοιχες τιμές των τάσεων οδεύουν με έντονο ρυθμό από την ευθεία των ενεργηuκ:ών ωθήσεων στην ευθεία των τάσεων ηρεμίας. Στον πόδα του διαφράγματος, στην αριστερή πλευρά, οι τάσεις και οι μετακινήσεις και για τις τρείς περιπi:ώσεις έχουν περίπου ίδια τιμή. Η σχετική μετακίνηση στον πόδα του διαφράγματος οδηγεί σε μικρή μόνο μείωση των τάσεων ηρεμίας οι οποίες όμως παραμένουν πολύ μεγαλύτερες των ενεργητικών ωθήσεων. Θα πρέπει να τονιστεί στο σημείο αυτό ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα η τιμή του συντελεστή ωθήσεων ηρεμίας έχει περί.που τριπλάσια τιμή από τον συντελεστή ενεργητικών ωθήσεων, πίνακας 1. Στην δεξιά πλευρά του διαφράγματος όπου κατά τις κλασσικές θεωρίες αναπτύσσονται παθηuκ:ές ωθήσεις, οι uμές των τάσεων αυξάνονται από την επιφάνεια εκσκαφής με έντονο ρυθμό. Στην αρχή είναι αισθητά μεγαλύτερες των παθηuκών τάσεων ενώ στον πόδα καταλήγουν αισθητά μικρότερες, γεγονός που ανταποκρίνεται στην πραγματική εικόνα των τάσεων. Η ύπαρξη του διαφράγματος και στις δύο περιπτώσεις ομαλοποιεί. την μεταβόλή των τάσεων με το βάθος στην πλευρά των παθητικών ωθήσεων. Από το αριθμηuκό παράδειγμα προκύπτει ότι η τιμή των τάσεων, και των ωθήσεων σχεδιασμού κατά τις συμβατικές μεθόδους καθορίζεται τόσο από την κινηματική κατάσταση της ευρύτερης περιοχής που μπορεί να οδηγήσει σε πλήρη εκτόνωση των αρχικών τάσεων όσο και από το καθεστώς των τάσεων. Η ανάλυση με την χρήση των πεπερασμένων στοιχείων 521

8 έδειξε μικρή εως έντονη σε οριακές περιπτώσεις διαφοροποίηση των τάσεων σε σχέση με τις ωθήσεις σχεδιασμού των κλασσικών μεθόδων. Η αδυναμία σύζευξης ενταuκής και κινημαuκής κατάστασης κατά την επίλυση με τις κλασσικές μεθόδους οδηγεί αναγκασuκά στην χρήση ενεργηuκών και παθηuκών ωθήσεων. Στην πραγμαuκότητα όμως οι ωθήσεις κυμαίνονται ανάμεσα σε αυτά τα όρια τα οποία μάλιστα υπερβαίνουν σε ακραίες περιπτώσεις όπως φαίνεται και στο σχήμα 3. ΣΥΝΟΨΉ Στην παρούσα εργασία έγινε παρουσίαση ενός αλγορίθμου προσομοίωσης πολυσταδιακών εκσκαφών για ελαστοπλαστικά εδάφη. Ο αλγόριθμος προήλθε μετά από τροποποίηση των βασικών ολοκλη~τικών εξισώσεων του συνεχούς μέσου έτσι ώστε να μην προκαλεί εργική διατάραξη κατά την εφαρμογή του. Στην συνέχεια έγινε χρήση του αλγορίθμου για την ανάλυση εκσκαφής συνδυασμένης με αντιστήριξη από διαφραγματικό τοίχο. Η σύγκριση που επακολούθησε έδειξε την αδυναμία των συμβαuκών μεθόδων στην εκτίμηση των ωθήσεων σε οριακές καταστάσεις λόγω της μη σύζευξης εντατικής - κινηματικής κατάστασης. ΒΙΒΔΙΟΓΡΑΦIΑ-ΑΡθΡΟΓΡΑΦΙΑ [ 1) Bathe, KJ. and Wilson, E.L.(1976) NumericaL Methods in Finίte Element Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ. [ 2) Borja, R.I., Lee, S.R. and Seed, R.B. (1989) " Numerical Sίmulation of Excavation in Elastoplastic Soils", Int. J. Num. Anal. Meth. in Geomech.. vol 13, pp. [ 3) Chen, W.F, and Baladi,G.Y. (1986) Soil Plasticity-Theoιy and ImpLementation, ELsevier Science PubLishing Company, Inc. ΝΥ. [ 4] Christian, J.T. and Wong, Ι.Η.(1973) "Eπors in simulation of excavation in elastic media by finite elements", Soils Foundations, Vol. 13, Νο. 1, pp [ 5] Clough, G.W. and Duncan, J.M. (1971) "Finite Element Analyses of Retaining Wall Behavior", J. Soil Mech. Found. Division, ASCE, Vol. 97, Νο. SM12. [ 6] Clough, G.W. and Mana, Α.Ι. (1976) "Lessons learned in finite element analysis of temporary excavations", in Proc. 2nd Ιηι Conf. οη Numer. Metb. in Geomecb., ASCE, Blacksburg, V Α. [ 7] Clough, G.W. and Schmitb, Β., (1981) "Design and Performance of Excavations and Tunnels in Soft Clay", Ch. 8, Soft Clay EnιWιeerini. Brand, E.W. and Brenner, R.P., Eds, Elsevier Scientific Publishing Co., pp [ 8) Comodromos, Ε., Hatzigogos, Τ., PitiJ.akis, Κ (1990) "Finite Element Excavation in Elastoplastic Soils", Ιη. Proc. 2nd.Btr. Spec. Conf. Numer. Metb. Geotecb. Eni Santander, Spain, pp [ 9] Comodromos, Ε. (1991) "Α Finite Element Algorithm for Sίmulating Excavations in Elastoplastic Soils", 5th Youni Geotech. Eni. Conf., Grenoble, France. [10) Comodromos, Ε., Hatzigogos, Τ., Pitilakis, Κ (1991) "Procedure Numeήque pour la Simulation des Excavations des Sols Elastoplastiques", Revue Fran~ise de Geotecbnique, Νο 58, pp [11] Desaί, C.S. and Siriwardane, HJ. (1984) Constitutive I.aws for EnιWιeerin~ Materials with Emphasis on Geolo~cal Materials Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ [12] Desai, C.S. and Sargand, S.(1984) "Hydrid FE Procedure for Soil-Structure Interaction" J. Geotecb. Εnιι., (ASCE), Vol. 110, pp [13) Dunlop, Ρ. and Duncan, J.M. (1970) "Development of Failure Around Excavated Slopes", J. Soil Mech. Found. Div.. ASCE~ Vol. 96, SM2, pp [14] Ishihara, Κ,(1970) "Relations between process of cutting and uniqueness of solutions", Soils and Foundatiqps, Vol. 10, Νο. 3, p.p [15] Κωμοδρόμος, Αι. (1991), "Συμβολή στην Ανάλυση των Εκσκαφών με την Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων'', Διδακτορική Διατριβή, Α.Π.Θ. 522