ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : --, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ : ΟΝΟΜΑ : ΑΡ. ΜΗΤΡ : ΕΤΟΣ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΡΟΣΟΧΗ: Το φύλλο των θεμάτων καθώς και όλες οι κόλλες που χρησιμοποιήσατε (συμπεριλαμβανομένων και των πρόχειρων σελίδων) θα παραδίδονται. Η εξέταση είναι με κλειστά βιβλία. Δέσμευση: όλες οι ασκήσεις να επιλυθούν με τη μέθοδο της άμεσης δυσκαμψίας. Τυπολόγιο: Τα απαραίτητα μητρώα για την επίλυση όλων των ασκήσεων καθώς και οι αντιδράσεις αμφίπακτης δοκού δίνονται στην επόμενη σελίδα. ΘΕΜΑ ο ( μον.) (α) μον.: Nα υπολογισθούν οι αντιδράσεις των άκρων του υποστυλώματος του σχήματος. Μοναδική φόρτισή του είναι η δύναμη Ρ με φορά όπως στο σχήμα. (β) μον.: Σχεδιάστε τα διαγράμματα των εσωτερικών εντατικών μεγεθών. ΘΕΜΑ ο ( μον.) Η παρακάτω συνεχής δοκός τριών ανοιγμάτων φέρει ως μοναδική φόρτιση το κατανεμημένο φορτίο q, μορφής και φοράς όπως φαίνεται στο σχήμα. Το βέλος κάμψης δ στο μέσον του μεσαίου ανοίγματος, το οποίο προκαλείται λόγω του κατανεμημένου φορτίου, θεωρείται γνωστό κατόπιν σχετικής μέτρησης. Ζητούνται: (α) μον.: Ο υπολογισμός της τιμής του αγνώστου φορτίου q και οι τιμές των λοιπών αγνώστων μετακινήσεων. (β) μον.: Ο υπολογισμός των αντιδράσεων. (β) μον.: Ο σχεδιασμός των διαγραμμάτων των εσωτερικών εντατικών μεγεθών. ΘΕΜΑ ο ( μον.) (α) μον.: Nα υπολογισθούν οι αντιδράσεις των άκρων των μελών του φορέα του σχήματος. Μοναδική φόρτιση είναι η στροφή του στερεού κόμβου κατά γνωστή γωνία θ με φορά όπως στο σχήμα. (β). μον.: Σχεδιάστε τα διαγράμματα των εσωτερικών εντατικών μεγεθών. (γ). μον.: Να υπολογισθεί η εξωτερική επικόμβια ροπή Μ που θα έ- πρεπε να εφαρμοσθεί στο στερεό κόμβο για να προκληθεί η στροφή του κατά γωνία θ.

2 Μητρώο δυσκαμψίας στοιχείου τύπου δοκού Απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ +Y + j + y m +θ i s = sinθ c = cosθ +Χ AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI c + s cs s c s cs s + AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI cs s + c c cs s + c c EI EI EI EI EI EI s c s c K= AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI c + s cs s c s cs s + AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI cs s + c c cs s c c + EI EI EI EI EI EI s c s c Αντιδράσεις αμφίπακτης δοκού Καλή σας Επιτυχία!

3 ΘΕΜΑ ο - ΛΥΣΗ (α) ερώτημα Η άσκηση αφορά ένα στοιχείο και μόνο, οπότε επιλέγεται ταύτιση απόλυτου και τοπικού συστήματος συντεταγμένων. Αυτό σημαίνει: s = θ = c = Δεν υφίστανται αξονικές παραμορφώσεις, ελλείψει σχετικής φόρτισης, οπότε από το δοθέν μητρώο Κ διαγράφονται οι η και η γραμμές και στήλες. Ετσι, τα μητρώα Κ,, και U διαμορφώνονται ως: K H H H H H H EI = H H H H H H H U = U= = = Us = = = s = ( + ) ab / H = b a b / H ( ) / a a + b H ab / H = a ( a + b) / H b ( a + b) / H a b / H s = a b / H Υπολογισμός αγνώστων μετακινήσεων U Με χρήση της γενικευμένης σχέσης = K U + K U +, προκύπτει: s s EI k = H k = H ab / H = K U + K s U s + = H = k H k + = = a ( a + b) / H ab H H H Hab = EI... H = EI a ( a + b) a ( a + b) H + = EI

4 a a... = b a( a b), b a( a b) EIH + + = + + EI Θέτοντας στις () b = H a προκύπτει μετά από πράξεις: U ( ) H a = a = EI H a () Υπολογισμός αγνώστων αντιδράσεων s Με χρήση της γενικευμένης σχέσης = K U + K U +, προκύπτει: s s ss s s s = Ks U + Kss U s + s = ( ) ( + b) EI k = H k = a H a b a / H = + H k = H k = H = EI H a a b / H a H ( H a) b ( a + b) / H = (... θέτοντας b H a...) H H H + = H a a b / H a = Ο φορέας είναι ισοστατικός, οπότε οι προκύπτουσες αντιδράσεις μπορούν να προκύψουν υπολογιστικά και συντομότερα, δηλαδή από απλή ισορροπία τεμνουσών δυνάμεων και καμπτικών ροπών. Εδώ τηρήθηκε η δέσμευση για επίλυση της άσκησης με τη μέθοδο της άμεσης δυσκαμψίας. Η επενέργεια των προκυπτουσών αντιδράσεων στα άκρα του υποστυλώματος φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. (β) ερώτημα Υπολογισμός διαγραμμάτων εσωτερικών εντατικών μεγεθών Q( ) = =, a Q ( ) = Q ( ) = + =, a H ( = a) M( ) = =, a M ( ) = + a = + a = a, a H ( )( )

5 ΘΕΜΑ ο - ΛΥΣΗ (α) ερώτημα Λόγω πλήρους συμμετρίας, γεωμετρικής και φόρτισης, επιλέγεται η επίλυση του αριστερού μισού της κατασκευής. Επομένως πρόκειται για δύο στοιχεία δοκού. Επιλέγεται ταύτιση απόλυτου και τοπικών συστημάτων συντεταγμένων, οπότε θα είναι: s = θ = c = Δεν υφίστανται αξονικές παραμορφώσεις, ελλείψει σχετικής φόρτισης, οπότε από το δοθέν μητρώο Κ διαγράφονται οι η και η γραμμές και στήλες. Εάν το φορτίο q ήταν γνωστό και η μετακίνηση 8 ήταν άγνωστη, τότε οι μοναδικές άγνωστες μετακινήσεις θα ήταν δύο, οι και 8. Σε ότι αφορά τους λοιπούς βαθμούς ελευθερίας ισχύουν τα εξής: Λόγω της συμμετρίας, η 9 θα είναι μηδενική (βλ. οριζόντια εφαπτομένη). Ετσι, ο στροφικός βαθμός ελευθερίας 9 συμπεριφέρεται (στροφικά) ως πακτωμένος. Η αντίδραση της πλασματικής αυτής πάκτωσης θα ισοδυναμεί με την εσωτερική καμπτική ροπή στο μέσον της δοκού του μεσαίου ανοίγματος. Οι, επίσης μηδενικές λόγω πάκτωσης. Η θα είναι επίσης μηδενική λόγω της προς τα κάτω φοράς του φορτίου q. Κατόπιν τούτων το προς επίλυση σύστημα θα είναι διαστάσεων, με εναλλαγή του ρόλου του αγνώστου 8 με την τιμή του φορτίου q. Είναι δε, 8 = -δ. Ετσι, τα μητρώα Κ,, και U διαμορφώνονται ως: K K 8 9 EI K = K = 8 9 K K EI = K 8 9 EI K = U= = U =, s= 8 δ U 8 = 8 = δ 8 8 = δ

6 = = =, s= = q / q / q / q / q / q / q / + q / = = = = q / q / q / + q / 8 q / 8 q / q / 9 q / 9 9 q / q /, = q / q /9 s 8 Υπολογισμός αγνώστων μετακινήσεων U Με χρήση της γενικευμένης σχέσης = K U + K U +, προκύπτει: s s EI k = k = q / = K U + K s U s + = 8 = k8 k = = 8 8 q / 8 q q 8 8 = ( 8 ) 8 8 = δ + = δ q / EI EI = 8 EI q /... q q + 8 = + = δ EI EI δ... =, q= (β) ερώτημα Υπολογισμός αγνώστων αντιδράσεων s Με χρήση της γενικευμένης σχέσης = K U + K U +, προκύπτει: s s ss s s s = Ks U + Kss U s + s = 8 k = k = q / / ( ) /... θέτοντας q =... / 9 / 8 EI k = k8 = δ q = + k = k8 = δ 8 q 9 = 9 9 k9 = k98 = 9 q

7 / EI δ / ( ) / δ / 9 = 9 / = = 9 9 = 9 / 9 9 Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται η επενέργεια του κατανεμημένου φορτίου q και αυτή των αντιδράσεων επί του συνόλου της συνεχούς δοκού. (γ) ερώτημα Υπολογισμός διαγραμμάτων εσωτερικών εντατικών μεγεθών ( ) q, = q [, ], [ ] q ( ) q,, ( ) q,, = q =, [ ] ( q) 9 9 Q( ) = q ( ) d = d= = 9+, Q ( ) = Q( = ) ( q)( ) = + ( ) =, 9 9 Q ( ) = Q( = ) q( ) d = ( q) d... q = = = + 9 = 9 = + = + + = 89, + Συνοψίζοντας: ,, (), ( ) Q = Q = Q ( ) =,, Q ( ) =, Q( ) = ,, Q( ), Q( ) + = =

8 ( ) [ ] q q q q ( ) d q ( ) d = d d = =,, q q ( ) d q ( ) d q ( ) ( ) ( ), [,] = = q ( ) d ( )... q d = q d q d = = = q + + 9, [,] 8 9 ( q) M( ) = + + q ( ) d q ( ) d = + = 8 9 = = 8 9, ( )( ) M ( ) = M + Q + + q ( ) d q ( ) d = ( = ) ( = ) ( q) ( ) = + + ( ) + = 8 8 = + ( ) ( ) = ( ) ( ) =...= + + = +, ( )( ) M ( ) = M + Q + + q ( ) d q ( ) d = ( = ) ( = ) ( ) + ( q) = 8 9 = + ( ) = 8 9 = ( ) + 9 =...= + + = 89, + Συνοψίζοντας: ,, (), ( ) M = M = 8 8 M( ) = +,, M( ) =, M( ) = ,, M( ), M( ) + = =

9 [Q] [M] 8 8 Λόγω της προαναφερθείσης συμμετρίας της κατασκευής (γεωμετρικής και φόρτισης) αρκεί η σύνταξη των διαγραμμάτων για το αριστερό μισό τμήμα της (σχέσεις Q(), Q(), Μ(), Μ()). Τα διαγράμματα του δεξιού μισού τμήματος προκύπτουν πλέον ως αντισυμμετρικά ή συμμετρικά αυτών του αριστερού, λαμβάνοντας υπ όψη και τους σχετικούς κανόνες προσήμανσης. Οι σχέσεις Q() και Μ() που αφορούν το δεξιό άνοιγμα, παρατίθενται παραπάνω για λόγους πληρότητας και μόνο.

10 ΘΕΜΑ ο - ΛΥΣΗ (α) ερώτημα Η στροφή θ του κόμβου στον οποίο συμβάλουν τα στοιχεία είναι κοινή για τα στοιχεία αυτά. Επί πλέον, πρόκειται για τη μοναδική φόρτιση της κατασκευής. Επομένως αρκεί η επίλυση ενός μόνο εκ των τεσσάρων στοιχείων. Επιπρόσθετα, η επίλυση μπορεί να γίνει απ ευθείας σε τοπικό σύστημα συντεταγμένων (βλ. παραπάνω σχήμα). Αυτό σημαίνει: s = θ = c = Περαιτέρω, δεν υφίστανται αξονικές παραμορφώσεις, ελλείψει σχετικής φόρτισης, οπότε από το δοθέν μητρώο Κ διαγράφονται οι η και η γραμμές και στήλες. Ετσι, για ένα μέλος, π.χ. το, τα μητρώα K,, και U διαμορφώνονται ως: [ ] U = EI U = = K = θ s = U θ [ ] = = = = = s = [ ] = = s = Οι ανιδράσεις και της πλασματικής πάκτωσης του δεξιού άκρου του μέλους θα ισοδυναμούν με την

11 εσωτερική τέμνουσα δύναμη και καμπτική ροπή, αντίστοιχα. Για τους υπολογισμούς γίνεται χρήση του ορισμού των στοιχείων kij του μητρώου Κ, σε συνδυασμό και με το ότι = =. Υπολογισμός άγνωστης μετακίνησης EI EI θ = = k + k + θ = = Υπολογισμός αγνώστων αντιδράσεων EI θ EI (,) EI = k + k + θ = = θ EI θ EI (,) EI = k + k θ = = θ EI θ EI (,) EI = k + k + θ = = θ και αντίστοιχα: EI = θ EI = θ EI = θ (,) (,) (,) (β) ερώτημα Υπολογισμός διαγραμμάτων εσωτερικών εντατικών μεγεθών (,) EI (,) EI Q( ) = = θ, M ( ) = = θ και αντίστοιχα (,) EI (,) EI Q( ) = θ, M ( ) = θ EI θ EI θ EI θ EI θ EI θ EI θ (γ) ερώτημα Σε απόλυτο σύστημα ΧΥ// y η ισορροπία εξωτερικής-εσωτερικών ροπών δίνει (βλ. παραπάνω σχήμα): EI EI Eθ M = + = ( + ) = θ + θ M = I + I ( ) (,) (,) (,) (,)