POSTAVITEV IN TESTIRANJE HIPOTEZ
|
|
- Στυλιανός Βασιλείου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Osnove biometrije 1 Poglavje 1 POSTAVITEV IN TESTIRANJE HIPOTEZ Testiranje hipotez je osrednja naloga pri vsaki obdelavi podatkov. Od postavitve hipotez je odvisen načrt preizkusa, torej moramo hipoteze postaviti še pred izpeljavo poskusa. Po izvedbi poskusa je včasih potrebno stvari celo popraviti ali prilagoditi, saj se kaj rado zgodi, da pri poskusu poteka kakšna reč drugače, kot smo predvideli. Preizkus hipotez opravimo v treh korakih: 1. Preizkusimo, ali je model značilen. 2. Preizkusimo, kateri vplivi v modelu so značilni in kateri niso. 3. Preizkusimo, kateri nivoji pri značilnih vplivih se med seboj razlikujejo. Nikoli ne preizkušamo razlik med nivojema dveh različnih vplivov, izogibamo se tudi kombiniranim razlikam. Hipoteze naredimo čimbolj enostavne, da jih je tudi enostavno razložiti. 1.1 Postavitev hipoteze Pri študiju se poslužite prosojnic, kjer imate obrazložene hipoteze v skalarni obliki. Z matrično obliko se bomo seznanili samo toliko, da lahko povežete skalarni zapis hipotez z zapisom v programskem paketu SAS Ničelna in alternativna hipoteza Hipoteza ima dve komponenti: ničelno hipotezo H 0 (1.1) in alternativno hipotezo H 1 (1.2). Ničelna hipoteza ima lahko dve obliki. Prva oblika pomeni, da se linearne kombinacije K (lokacijskih) parametrov β ne razlikujejo od vektorja 0, v drugem primeru pa pričakujemo pri rezultatu linearnih kombinacij konstantno vrednost v vektorju m. Prvi primer je zelo običajen, saj najprej preverjamo ali so dobljeni rezultati od 0 različne. H 0 : Kβ=0 H 0 : Kβ=m [1.1 [1.2 Alternativna hipoteza (H 1 ali tudi Ha) lahko zavzema vse druge možnosti ali pa samo del. Zelo pomembno je, da alternativno hipotezo nazorno nakažemo. Hipotezi v naslednjih vrsticah vključujeta vse alternative ničelni hipotezi. Pri prvi hipotezi 1.3, ki je alternativa ničelni hipotezi 1.1, ovržemo ničelno hipotezo, če da katerakoli linearna kombinacija iz matrike K rezultat različen od 0. Druga hipoteza v 1.4 je alternativa ničelni hipotezi v enačbi 1.2. Alternativno hipotezo sprejmemo, če je vrednost najmanj ene linearne kombinacije iz matrike K različna od vrednosti v vektorju m. Ne moremo pa kombinirati niti ničelno hipotezo v 1.1 z alternativno hipotezo v 1.4 niti ničelno hipotezo v 1.2 z alternativno hipotezo v 1.3. H 1 : Kβ 0 [1.3
2 2 Osnove biometrije H 1 : Kβ m [1.4 Če npr. ničelna hipoteza pokriva možnost, da med pasmami ni razlik, oziroma bolj dosledno, da so razlike med pasmami enake nič, alternativna hipoteza predstavlja vse možnosti, ko med pasmami obstajajo razlike. Že ob eni sami od nič različni razliki bo ničelna hipoteza zavržena in sprejeta alternativna hipoteza. V primeru, da drži ničelna drži, nobena od razlik ni dokazano od nič različna. Vsako nadaljnje razglabljanje in iskanje razlik je neprimerno. Le v primeru, da so razvidni kakšni trendi, lahko predlagamo, da se poskus dopolni s potrebnimi meritvami ali pa ponovno zastavi s primernimi popravki (velikost vzorca, način vzorčenja itd.), da bi dobili potrditev ali zavrnitev nakazanega trenda. Alternativna hipoteza pa lahko vključuje samo del alternativnih možnosti. Najpogostejši obliki sta v tem primeru hipotezi, ki vključujeta samo tiste možnosti, ko so ocene linearnih kombinacij večje od 0 (1.5), manjše od 0 (1.7), večje od konstant v vektorju m (1.6) ali manjše od konstant v vektorju m (1.8). Alternativni hipotezi v 1.5 in 1.7 lahko kombiniramo z ničelno hipotezo 1.1, ostali dve (1.6 in 1.8) pa z 1.2. Drugih možnosti ni. H 1 : Kβ>0 H 1 : Kβ>m H 1 : Kβ<0 H 1 : Kβ<m [1.5 [1.6 [1.7 [1.8 Za ponazoritev moramo poiskati nov primer, nesmiselno bi bilo primer razlagati na primeru pasem. V selekcijkskem programu predvidevamo, da bo selekcijsko delo prineslo načrtovan genetski napredek. Čez leta lahko genetski napredek preverimo. Ker je bilo vloženega dela in kapitala mnogo, se ne moremo zadovoljiti z genetskim trendom, ki bi bil samo različen od nič. Negativni trendi, vrednosti manjše od nič, so še slabše, kot če bi genetskega napredka sploh ne gi bilo (genetski trend enak nič). Torej nas zanima le genetski napredek (trend) z ocenami, ki so večje od nič. Še bolj pogosto pa se odločamo v tem primeru za hipotezo, ki v vektorju m hrani načrtovane, planirane genetske spremembe. Vlogi hipotez pa sta v praksi nekoliko drugačni kot v statistični teoriji. V praksi praviloma želimo dokazati, da obstajajo razlike, da obstajajo trendi ali povezave med spremenljivkami. Tako bi nam bilo skoraj bolj razumljivo, da poskušamo postaviti to kot ničelno, izhodiščno hipotezo. V statistiki pa vedno najprej ovržemo možnost, da razlik ni oziroma niso dovolj velike. Šele nato iščemo, kateri nivoji se med seboj razlikujejo. Če smo dobili odgovor, da nivoji niso različni od nič, je vsako nadaljne iskanje samo izguba časa. Nobena razlika ni značilna. Po domače bi rekli "ni dovolj pomembna" ali "ni dovolj prepričljiva". Paziti moramo, ker nam lahko napačno izbrani testi razliko pokažejo, čeprav so nam z njimi na krožniku postregli najboljši statistični paketi. Naloga statističnih paketov je, da uporabniku olajšajo delo tako, da jim ni potrebno poznati vseh številnih formul. Tudi mi bomo lahko po izpitu kakšno pozabili. Ne morejo pa pomagati pri izboru orodij, med njimi tudi pravilnih statističnih testov. Tako kot moramo na kmetiji vedeti, s katerimi stroji bomo pomolzli krave in s čim bomo orali njivo, moramo vedeti, katera so najprimernejša orodja za obdelavo podatkov, ki jih v živinoreji zbiramo. O izboru metod za obdelavo podatkov smo raypravljali v predhodnem poglavju Postavitev linearnih kombinacij Hipoteze lahko predstavimo oziroma oblikujemo v matrični obliki. Z matrično obliko lahko nazorno ponazorimo posamezne hipoteze. Kot smo prikazali v skalarni obliki, so hipoteze pogosto enostavne. Takšne je tudi laže razložiti. Če pa je struktura podatkov nekoliko bolj zapletena (manjkajoči podatki, interakcije...), je lahko hipoteza tudi bolj sestavljena. 2
3 Osnove biometrije 3 Našo hipotezo predstavimo v matriki linearnih kombinacij parametrov K. Če je hipoteza ocenljiva, potem bo produkt Kβ vedno enak, ne glede na to katero izmed neskončno velikega števila možnih rešitev smo izbrali. Za matriko hipotez je pomembno, da ni v njej linearno odvisnih hipotez. Te dodatne hipoteze ne prinesejo novih spoznanj, ampak samo prikažejo rezultate v drugi luči. PRIMER: Vzemimo npr. primer mladic iz preizkusa v proizvodnih razmerah. Proučujemo le vpliva pasme (P i ) in farme ( F j ) s po tremi nivoji. Ocene parametrov za sistematske vplive so nanizane v vektorju β (enačba 1.9). Pri tem ne smemo pozabiti na srednjo vrednost (µ). β = [ µ P 1 P 2 P 3 F 1 F 2 F 3 [1.9 Zanimajo nas razlike med pasmami. Imamo tri možne razlike (prva-druga, prva-tretja in druga-tretja). Prvi dve razliki smo vnesli v prvi dve vrstici matrike H. Lahko pa bi nas zanimala tudi dvakratna razlika med drugo in tretjo pasmo, kar smo ponazorili v tretji vrstici. V matriki H je tretja vrstica dvakratna razlika med drugo in prvo vrstico: je linearna kombinacija prvih dveh. To v praksi pomeni, da je tretja razlika logični zaključek prvih dveh. V matriki, ki jo uporabljamo pri testiranju hipotez, uporabimo katerokoli kombinacijo samo linearno neodvisnih vrstic iz matrike H. Matriko katerekoli teh kombinacij bomo poimenovali K. Imeti mora polni rang v vrsticah, po stolpcih pa ni omejitve. H= [1.10 Razlike med pasmami torej testiramo z naslednjimi hipotezami. Našli bi lahko še druge možnosti. Vrednosti, ki so različne od nič, so pogosto 1 in -1, tako kot v spodnjih dveh. Tako zapišemo npr. razliko med dvema nivjema znoraj vpliva. K= K= [ [ [1.11 [1.12 Vajo bi lahko ponovili tudi za razlike med farmami. Z linearnimi kombinacijami iz 1.13 pa si ne moremo veliko pomagati. Poskušajmo prebrati prvo vrstico. Zanima nas razlika med prvo pasmo in drugo farmo. Takšna vrednost pa živinorejca bolj malo zanima. Kaj bi se iz razlike naučil? Ali bi kupil živali prve pasme, ali pa morda farmo 2? Vsekakor takšne dileme ne obstajajo. Odločamo se med pasmami ali med farmami. Konec koncev bi se lahko zgodilo, da bi želel kupiti farmo in živali. Še vedno pa bi farmo izbiral med farmami in bi te primerjave ločno opravil. Pasme (živali) pa bi izbiral med pasmami. K= [ [1.13 Če bi bili pogoji med farmami zelo različni, bi pred nakupom živali hotel preveriti, ali s pasmami dosega različne proizvodne rezultate na posameznih farmah. V tem primeru pa bi želel preveriti tudi interakcije. β = [ µ P 1 P 2 P 3 F 1 F 2 F 3 β [ = µ P 1 P 2 P 3 F 1 F 2 F 3 PF 11 PF 12 PF 13 PF 21 PF 22 PF 23 PF 31 PF 32 PF 33 3
4 4 Osnove biometrije Če imamo težavo s postavitvijo hipoteze, si lahko pomagamo na naslednji način. 1) Sestavite linearno kombinacijo (vrstico), ki predstavlja pričakovano vrednost pri določeni pasmi! E (y i )=1µ+1P i + 1/3 (F 1 + F 2 + F 3 ) [1.14 Sestavimo linearni kombinaciji za pričakovano vrednost pri pasmah 1 in 2. Pri tem upoštevamo srednjo vrednost, vpliv izbrane pasme in povprečen učinek farm. Ker so farme tri, vzamemo tretjino vsake farme. k 1= [ [1.15 k 2 = [ [1.16 2) Sestavite linearno kombinacijo (vrstico), ki predstavlja razliko pričakovanih vrednosti med izbranima pasmama i in i. Poiščimo razliko pasme 1 (1.15) in pasme 2 (1.16). Iz dobljenega rezultata 1.17 vidimo, da je razlika med pasmama očiščena drugih vplivov. k 12= k 1 k 2= [ [ Vsota kvadratov in stopinje prostosti Metode najmanjših kvadratov, tehtanih najmanjših kvadratov in splošnih najmanjših kvadratov sprejemajo svoje zaključke na osnovi vsote kvadratov, ki ga pojasnijo posamezni vplivi, vsote kvadratov za ostanek, ki praviloma služi za primerjavo, in stopinj prostosti, to je, številu parametrov, ki smo jih porabili za opis posameznega vpliva. Pri biometriji moramo biti zelo natančni: ostanek (e) je razlika med resnično in ocenjeno vrednostjo. Ker pa resnične vrednosti ne poznamo, na njeni osnovi ne moremo narediti nobenih zaključkov. Preostane nam samo ena ali več meritev, s katerimi se poskušamo čimbolj približati dejanski vrednosti. Razlika med izmerjeno in ocenjeno vrednostjo je tako nadomestek dejanskega ostanka, je torej samo napoved za ostanek (ê). Brali boste lahko tudi o oceni ostanka, a ocena je povezana s sistematskimi vplivi, ostanek pa je naključna spremenljivka. Vsote kvadratov si bomo ogledali kasneje, s stopinjami prostosti pa smo se spoznali že v poglavju o modelih. 1.3 Preveritev modela Primer. Za ilustracijo primera ponovno obudimo primer enajstih merjenih mladic. V prvem delu bomo uporabili samo meritve za dnevni prirast (tabela 1.1). Poskusimo preveriti model! Zaradi lažjega razumevanja pa začnimo pri najbolj enostavnem modelu: v prvi model smo dali samo srednjo vrednost in ostanek. Ker bomo parametre ocenjevali po metodi najmanjših kvadratov, je kriterij za odločitve vsota kvadratov za ostanek. Seveda pa moramo najprej oceniti neznane parametre. V našem preprostem primeru je to samo srednja vrednostµ, ki znaša 550 g/dan. y i =µ+e i [1.18 4
5 Osnove biometrije Iymerjena vrednost Indeks plemenske vrednosti ostanek Ocenjena vrednost Leto preiykusa Slika 1.1: Napoved ostanka Tabela 1.1: Izračun vsote kvadratov za ostanek pri modelu 1.18 Žival Pasma Mesec Dnevni prirast (g/dan) ˆµ ê i = y i E (y i ) ê 2 i j 1 SL JAN SL JAN SL FEB SL FEB LW JAN LW FEB LW FEB NL JAN NL JAN NL FEB NL FEB Skupaj
6 6 Osnove biometrije Razvrstimo rezultate v tabelo 1.2. Vsoto kvadriranih meritev smo tako razdelili na del, ki ga pojasni srednja vrednost in ostanek. Vsoto kvadratov smo razdelili torej na dve neodvisni komponenti. Srednja vrednost je pojasnila skoraj vso variabilnost, za to pa smo porabili samo en parameter, eno stopinjo prostosti. V ostanku pa je ostalo še 10 stopinj prostosti. Ko ugotavljamo pomen parametrov, uporabimo srednji kvadrat. Ta pove, koliko vsote kvadratov v povprečju pojasni ena stopinja prostosti. Za primerjavo si praviloma izberemo srednji kvadrat za ostanek, le izjemona kaj drugega. Tabela 1.2: Viri variabilnosti za dnevni prirast iz modela 1.18 Srednja vrednost < Ostanek Sedaj lahko obogatimo primer še s formulami. Uporabili bomo oznake izpeljane iz angleških izrazov. a) Skupna vsota kvadratov (Total Sum of Square, T S S ) je vsota kvadriranih opazovanj. TS S= y 2 i [1.19 b) Korigirana skupna vsota kvadratov Iz skupne vsote kvadratov najprej odstranimo vsoto kvadratov, ki jo pojasnjuje ocena srednje vrednosti µ. CTS S= y 2 i µ 2 [1.20 c) Vsota kvadratov za model (model sum of square, MS S ) je enaka vsoti kvadratov 1.21 za pričakovane vrednosti potem, ko smo odstranili vsoto kvadratov, ki jo pojasnjuje srednja vrednost. Z drugimi besedami MS S 1.22 predstavlja razliko med korigirano vsoto kvadratov CT S S in vsoto kvadratov za ostanek RS S. MS S= (E(y i )) 2 µ 2 [1.21 MS S= CTS S RS S [1.22 Izjema je model, ki vsebuje samo srednjo vrednost in ostanek. Tam ne izvrednotimo korigirane skupne vsote kvadratov, vsota kvadratov za model je kar vsota kvadratov, ki jo pojasnjuje srednja vrednost. d) Vsota kvadratov za ostanek (residual sum of square, RS S ) je vsota kvadriranih ostankov1.23. RS S= (y i E(y i )) 2 [1.23 e) Srednji kvadrat 1.24 dobimo tako, da vsoto kvadratov delimo s stopinjami prostosti. Znak x v enačbi zamenjamo s katerokoli vsoto kvadratov za model ali za posamezni vpliv. MS x = xs S d. f. x [1.24 6
7 Osnove biometrije 7 f) F statistika je razmerje med dvema srednjima kvadratoma. V imenovalcu je tistai srednji kvadrat, s katerim primerjamo ostale. Kar praviloma je to srednji kvadrat za ostanek. F-statistika ima porazdelitev F, ko drži ničela hipoteza. F= MS x MS e [1.25 g) P vrednost je verjetnost, da vpliv (v našem primeru je to tudi celoten model ali pa smo srednja vrednost) ni pomemben. Pravzaprav bi morali reči, da je to verjetnost, da drži ničelna hipoteza. Da pa bi lažje razumeli, smo pač ubrali preprostejšo obliko. S testiranjem modela in posameznih vplivov presojamo, koliko variabilnosti smo pojasnili. Primerjavo praviloma delamo z variabilnostjo ostanka. Po domače bi lahko rekli, da del, ki ga pojasni posamezni vpliv, primerjamo z informacijami, ki so v ostanku še ostale. h) Analiza variance za model Izračunane vrednosti uredimo v tabelo t1.3, kjer razčlenimo vsote kvadratov na posamezne komponente in določimo stopinje prostost (d. f ). Pri preizkušanju modela v celoti imamo samo tri komponente: srednjo vrednost, ostali del modela in ostanek. Nato izvrednotimo srednje kvadrate, F vrednosti in iz tabel odčitamo P vrednosti. Praviloma nas ne zanima vrstica, ki je namenjena srednji vrednosti (prva vrstica v tabeli), test je usmerjen na model (druga vrstica v tabeli). Tabela 1.3: Viri variabilnosti za dnevni prirast za model P Srednja vrednost 1 µ 2 bµ 2 MS µ 1 MS e MS Model d. f. MS S MS M M MS e Ostanek n 1 d. f. RS S MS e Skupno n TS S Značilnost srednje vrednosti nas zanima, kadar obdelujemo razlike med pari. Tako bi poskus opravljali lahko na enojajčnih dvojčkih, sestrah/bratih in polsestrah/polbratih. Imamo dve pokusni skupini. Sorodnike uvrstimo v različni skupini in tako sestavimo pare. Skupini nista neodvisni: meritve povezuje genetski del variabilnosti. Da bi se motnji izognili, ne obdelamo meritev samih, ampak razlike med živalima v paru. Pri ničelni hipotezi je pričakovana vrednost (srednja vrednost) enaka nič. Primer. Skupno vsoto kvadratov (T S S ) bomo sedaj razdelili na tri komponente in sicer na tisto: kar pojasni srednja vrednost (S S (ˆµ)), kar pojasnijo ostali vplivi v modelu (MS S ) in kar je ostalo (RS S ). Skupna vsota kvadratov 1.26 in vsota kvadratov 1.27, ki jo pojasni srednja vrednost µ, se nista spremenili v primerjavi z modelom 1.18 (glej tabelo 1.2). Korigirana vsota kvadratov CTS S iz 1.28 je enaka kot vsota kvadratov za ostanek v enostavnem modelu TS S= = [1.26 S S (ˆµ)= = = [1.27 CTS S= TTS S S (ˆµ)= = [1.28 7
8 8 Osnove biometrije Uredimo v tabelo za analizo variance 1.4. Iz tabele lahko vidimo samo, da je srednja vrednost zelo različna od 0. Seveda to za dnevni prirast pri rastočih živalih tudi pričakujemo. Pri odraslih živalih, zlasti samicah v času laktacije, pa lahko imamo tudi negativne dnevne priraste. Ker živalim primanjkuje hranilnih snovi v zaužiti krmi za prirejo mleka, koristijo telesne rezerve. V takih primerih so lahko rezultati tudi drugačni. Na splošno pa nas povprečja ne zanimajo, da bi zmanjšali numerične probleme, ki jih računalnikom povzročajo velike številke, se statistični paketi srednje vrednosti znebijo in opravijo analizo variance brez nje. Mi jo bomo v prikazih zaradi kompletnosti obdržali, rezultati pa zaradi tega niso nič boljši in nič slabši. So enaki. Tabela 1.4: Viri variabilnosti za dnevni prirast iz modela 1.18 Srednja vrednost < Ostanek Pravzaprav v ostanku pri modelu 1.18 ni ostalo veliko stvari nepojasnjenih. Vseeno dodajmo modelu 1.18 vpliv pasme (P i ). Tako dobimo še vedno preprost model y i j =µ+p i + e i j [1.29 Vpliv pasme predstavlja edini res pravi vpliv v modelu1.29. Tako smo iz vsote kvadratov za ostanek iz tabele 1.36 oziroma CT S S iz 1.28 pojasnili še dodatno variabilnost, ki je ocenjena v enačbi Slednja vsota predstavlja kvadrirane odklone srednjih vrednosti po pasmah od skupne srednje vrednosti za vsako meritev. Ker vemo, da imamo pri pasmi 1 štiri meritve, pri pasmi 2 tri in pri pasmi 3 zopet štiri meritve, smo izračun pač nekoliko poenostavili (enačba 1.30). MS S= S S (P)=4 ( ) ( ) ( ) 2 = [1.30 Za isto vsoto pa se je zmanjšala vsota kvadratov za ostanek RS S= ê 2 i j= [1.31 Izračun posameznih vsot kvadratov smo ponazorili tudi v tabeli 1.5. Tabela 1.5: Izračun vsote kvadratov za ostanek pri modelu 1.29 Žival Pasma Mesec Dnevni prirast ˆµ+ ˆP i P2 ˆ i (g/dan) ê i = y i E (y i ) ê 2 i j 1 SL JAN SL JAN SL FEB SL FEB LW JAN LW FEB LW FEB NL JAN NL JAN NL FEB NL FEB Sedaj uredimo vsote kvadratov še v tabelo za analizo variance (1.6) in izvrednotimo srednje kvadrate, F stratistiko in določimo P vrednost. Srednja vrednost je tudi v tem modelu pojasnila največji del 8
9 Osnove biometrije 9 variabilnosti, za kar smo porabili 1 stopinjo prostosti. V podatkih smo imeli 3 pasme, zato porabimo za vpliv pasme 2 stopinji prostosti, za ostanek nam je ostalo samo 8 stopinj prostosti. Kljub temu razmerje med srednjim kvadratom za vpliv pasme in srednjim kvadratom za ostanek pokaže, da je vpliv pasme pomemben. Tudi P vrednost, ki jo preberemo iz tabel oziroma izračunamo, potrjuje naše sklepanje. Ker je vpliv pasme edini vpliv v modelu 1.29, veljajo isti zaključki tudi za celotni model. Kot smo že omenili, vsoto kvadratov, ki jo povzroča srednja vrednost, obravnavamo posebej. Pravzaprav se z njo praviloma niti ne ukvarjamo. Tabela 1.6: Viri variabilnosti za dnevni prirast iz modela 1.29 Srednja vrednost < Pasma Ostanek CTSS Primer. Vzemimo še en enostaven model in vključimo vanj le vpliv meseca (M i )1.32. y i j =µ+ M i + e i j [1.32 Vsoto kvadratov za model (enačba 1.33) izračunamo podobno kot v zgornjem primeru (enačba 1.30). Pojasnjena vsota je precej manjša kot pri pasmi. Dobili smo jo tako, da smo kvadrirali odklone srednjih vrednosti po pasmah od skupne srednje vrednosti za vsako meritev. Pričakovana vrednost za januar je 544, za februar pa 555. Ker vemo, da imamo v januarju pet meritev, v februarju pa šest, smo izračun pač nekoliko poenostavili (enačba 1.33). MS S= S S (M)=5 ( ) ( ) 2 = [1.33 Izvrednotiti moramo še vsoto kvadratov za ostanek (1.34). Dobimo jo lahko tako, da izračunamo ostanke, jih kvadriramo in kvadrate seštejemo. RS S= ê 2 i j= [1.34 Lahko pa uberemo krajšo pot (enačba 1.35). Od korigirane skupne vsote kvadratov (CT S S ) smo odšteli tisti del (MS S ), ki ga pojasni model. RS S= CTS S MS S= =13870 [1.35 Uredimo izračune v tabelo za analizo variance 1.7. Vpliv meseca je nepomemben. Vsota kvadratov in srednji kvadrat sta majhna v primerjavi z ostankom. Ker je bil vpliv pasme pomemben, že sedaj vemo, da so zaključki iz modela z mesecem neuporabni. Model smo uporabili le zato, da bomo kasneje lažje razmišljali o dodajanju vplivov v modele in presojanju pomena dodatnih vplivov. Primer. Dodajmo modelu z vplivom pasme (enačba 1.29) še vpliv meseca, kot prikazuje model y i jk =µ+p i + M j + e i jk [1.36 9
10 10 Osnove biometrije Tabela 1.7: Viri variabilnosti za dnevni prirast iz modela 1.29 Srednja vrednost < Mesec Ostanek CTSS Skupna vsota kvadratov in vsota kvadratov za srednjo vrednost sta ostali nespremenjeni. Iz tega sledi, da je nespremenjena tudi korigirana vsota kvadratov CT S S. Vsota kvadratov za ostanek 1.37 je zmanjšana, kar je pričakovano: z novim vplivom pričakujemo, da bodo podatki bolje predstavljeni. RS S = [1.37 Vsota kvadratov za model 1.38 je tako povečana. Oba vpliva v modelu skupaj pojasnita pomemben delež variabilnosti. Srednji kvadrat za model je zmanjšan, ker smo za pojasnitev porabili večje število stopinj prostosti. Nekoliko se je zmanjšala tudi F statistika, kar pa ni močno vplivalo na verjetnost P. To seveda ne velja za vse modele. V našem primeru imamo majhno število opazovanj, dokaj izenačene skupine, izbrali pa smo tudi meseca, ko so proizvodni rezultati bolj podobni. Dodatno je bilo pojasnjeno le nekaj malega vsote kvadratov. Dobra informacija o tem, koliko model doprinese, je vsota kvadratov, ki jo pojasni ena stopinja prostosti. V modelu 1.36 imamo tri stopinje prostosti, vsota kvadratov za model je nekoliko povečana, srednji kvadrat, vsota kvadratov na stopinjo prostosti pa je zmanjšana. Model je še vedno značilen, med dvema vplivoma v modelu je vsaj eden statistično značilen, pri vsaj enem bomo ovrgli ničelno in sprejeli altrnativno hipotezo. Naša naloga je, da sedaj ugotovimo, kateri vpiv je to. Lahko pa bi bila tudi oba. MS S= CTS S RS S= = [1.38 Tabela 1.8: Viri variabilnosti za dnevni prirast iz modela 1.36 Srednja vrednost < Model Ostanek Preveritev vplivov Nadaljujmo kar z istim primerom. Novi model (1.36) je skupno pojasnil večjo vsoto kvadratov, na porabljeno stopinjo prostosti smo pojasnili nekoliko manj kot pri prejšnjem modelu (1.29), a je kljub temu zadostovalo, da je model značilen. Nadalje nas zanima, koliko k modelu doprineseta posamezna vpliva Vsota kvadratov tipa I Vsota kvadratov tipa I je izračunana iz razlike med polnim modelom in poenostavljenim modelom, kjer smo predpostavili, da je opazovani vpliv nepomemben in smo ga zato izpustili. V tem primeru smo vsoto kvadratov razdelili tako, da je vsota vseh posameznih vsot kvadratov natanko skupna vsota kvadratov. Imenujemo jih tudi sekvenčne vsote kvadratov. 10
11 Osnove biometrije 11 Nastavimo tabelo za analizo variance pri modelu Vsoto kvadratov za model (enačba 1.38) moramo razdeliti na vsoto, ki jo pojasni pasma, in vsoto, ki jo pojasni mesec. Vsoto kvadratov za pasmo smo že izračunali v enačbi Razlika (1.41) med vsotama kvadratov za modela 1.36 in 1.29 je vsota kvadratov, ki jo pri tipu I pripišemo vplivu mesec. Mesec je v tem primeru vključen za pasmo. S S (M) = = [1.39 Uredimo rezultate v tabelo za analizo variance 1.9. Razvidno je, da so med pasmami razlike, med meseci pa ne. Toda pa bodite pozorni! Verjetnost (P-vrednost) se je za mesec precej zmanjšala v primerjavi, ko v modelu ni bilo pasme (tabela 1.7). Tako je vpliv meseca skoraj postal značilen, kar pri pitanju prašičev običajno pričakujemo. Neznačilen je morda zato, ker imamo malo opazovanj ali pa se meseca januar in februar nista bistveno razlikovala v temperaturi ali drugih klimatskih dejavnikih. Praviloma sta to tipična zimska meseca. Tabela 1.9: Viri variabilnosti za dnevni prirast iz modela 1.36 tip - I Srednja vrednost < Pasma Mesec Ostanek Sedaj pa uporabimo isti model, le vrstni red vplivov v modelu zamenjajmo. y i jk =µ+ M i + P j + e i jk [1.40 Vsoto kvadratov za ostanek se ne spremeni. Ker je mesec prvi vpliv, zanj velja vsota kvadratov, izračunana v enačbi S S (P) = = [1.41 Uredimo rezultate še v tabelo za analizo variance Vsoto kvadratov za model smo razdelili v prvem (tabela 1.9) in drugem (tabela 1.10) primeru različno. Zaključki sicer slučajno niso različni, vendar pa se lahko zgodi celo to. Ko smo vpliv dodali kot drugi vpliv, je pojasnil več variance kot takrat, ko smo ga napisali na prvo mesto. Primer pa nam vseeno jasno pokaže, da je pri tem načinu izbora vsot lahko dobimo različne zaključke. Če se držimo nenapisanega pravila, da navajamo vplive v modelih glede na značilnost (oziroma glede na srednje kvadrate), in predvsem pravilno interpretiramo, pa se neljubim zapletom lahko izognemo. Kljub vsemu bi se radi izognili različnim rezultatom, zato bomo poiskali boljšo rešitev. Vrstni red v modelu pač ne sme vplivati na zaključke. Tabela 1.10: Viri variabilnosti za dnevni prirast iz modela 1.40 tip - I Srednja vrednost < Mesec Pasma Ostanek CTSS Vsota kvadratov tipa I je izračunana vsakokrat avtomatsko. Izračunana vsota kvadratov je odvisna od vrstnega reda vplivov v modelu. Zanje tudi velja, da vsota predstavlja vsoto kvadratov za model brez 11
12 12 Osnove biometrije Tabela 1.11: Zmanjšanje vsote kvadratov v modelu s tremi vplivi Vpliv Tip I Tip II Tip III Tip IV A R(A) R(A B, C) B R(B A) R(B A, C) C R(C A, B) R(C A, B) Tabela 1.12: Zmanjšanje vsote kvadratov v modelu z dvema vplivoma in interakcijo Vpliv Tip I Tip II Tip III Tip IV A R(A) R(A B) B R(B A) R(B A) A B R(A B A, B) R(A B A, B) vsote kvadratov, ki jo pojasni srednja vrednost. V primeru neuravnoteženih podatkov vsot kvadratov tipa I ne smemo uporabljati, ker so odvisne od strukture podatkov. Preizkusi tipa I so primerni za: uravnotežene ANOVA modele, če zagotovimo pravilni vrstni red vplivov (npr. interakcije za glavnimi vplivi...) popolnoma hierarhične modele, če zagotovimo pravilni vrstni red vplivov (npr. nadrejenimi...) vgnezdeni za regresijske modele s polinomi, če zagotovimo pravilni vrstni red vplivov (npr. višje stopnje sledijo nižjim...). Zmanjšanje vsote kvadratov za ostanek Predno nadaljujemo se bomo dogovorili še za poseben zapis, s katerim bomo opisali zmanjšanje (redukcija) vsote kvadratov za ostanek. R(P) - zmanjšanje vsote kvadratov zaradi vpliva P R(P µ)- zmanjšanje vsote kvadratov za ostanek, ko modelu s srednjo vrednostjo dodamo še vpliv P R(P µ, M)- zmanjšanje vsote kvadratov za ostanek, ko modelu s srednjo vrednostjo in vplivom M dodamo še vpliv P Pri modelu s tremi vplivi A, B in C razdelimo vsoto kvadratov na načina prikazana v tabeli Vsote kvadratov pri tipu I dobimo tako, da sekvenčno dodajamo vplive. Vrstni red dodajanja vplivov je pomemben. Pri tipu II pa izvrednotimo, koliko pridobimo, če ostalim vplivom v modelu dodamo še vpliv, za katerega računamo vsoto kvadratov Vsota kvadratov tipa II Vsota kvadratov pri tipu II ni odvisna od vrstnega reda vplivov v modelu. Hipoteze naj bi bile pravilne za večino setov podatkov, primerov, če lahko zagotovimo, da ni v modelu interakcij ali vgnezdenih vplivov. Vsota kvadratov za interakcijo in dodatni vpliv je pravilna, nepravilna je vsota kvadratov za vpliva, med katerima nastopa interakcija. Če je interakcija neznačilna, bo test za glavni vpliv tudi sprejemljiv. Pričakovano se je spremenila razporeditev vsote kvadratov med vplivoma pasma in mesec ter ostankom. Novi vpliv mesec je pojasnil dobro četrtino ostanka iz enostavnejšega modela Nekoliko večja je bila tudi vsota kvadratov za pasmo. Ta prerazporeditev je posledica nekoliko spremenjenih rešitev za vpliv pasme, ko vključimo dodatno še vpliv meseca. S S (P)= [
13 Osnove biometrije 13 S S (M)= [1.43 Vsota kvadratov za model naj bi bila tudi vsota kvadratov vseh vplivov v modelu. V našem primeru imamo vpliv pasme in vpliv meseca. Če vsoti seštejemo 1.44, pa dobimo večjo vsoto kvadratov kot pri Vsote kvadratov niso neodvisne. Tako smo razliko , kar znese , šteli dvakrat: enkrat pri pasmi in enkrat pri mesecu. Oba vpliva smo obravnavali s pretvezo, da drugega ni v modelu. Tako smo prišli do nelogičnega rezultata, da skupek vplivov pojasni več variabilnosti kot model. Na ta način pojasnjujemo neko dodatno variabilnost, ki je sploh ni. MS S = S S (P)+S S (M) = = [1.44 Vsota kvadratov za model, ko smo odstranili vsoto kvadratov za srednjo vrednost, pri tipu I znaša Pri tipu II je vsota kvadratov za model večja in sicer znaša Vsekakor razliko ne smemo kar izbrisati, potem bi bil seštevek premajhen. Ena od možnosti je prikazana v tabeli 1.13, da razliko upoštevamo pri vplivu pasme, pri vplivu meseca pa ne. Vpliv pasme je značilen, pomemben, kar smo dokazali že s preprostejšim modelom 1.29, v modelu 1.36 z dodatnim vplivom se je vpliv pasme še bolj potrdil. To sicer ne smemo posplošiti na vse primere. Vsota kvadratov za vpliv meseca je v tem primeru sorazmeroma majhna (330.00). Ko imamo v modelu že pasmo, z mesecem ne pridobimo veliko. Tabela 1.13: Viri variabilnosti za dnevni prirast iz modela 1.36 tip - II Srednja vrednost < Pasma Mesec Ostanek CTSS y i jk =µ+p i + M j + PM i j + e i jk [1.45 Pri modelu z interakcijami za glavna vpliva P in M ne moremo poiskati vsote kvadratov, ki bi model očistila tudi interakcije PM. Interakcijo lahko vključimo šele, ko sta v modelu oba glavna vpliva. Kadar je interakcija značilna, preizkus glavnih vplivov s pomočjo vsote kvadratov tipa II ni primeren. Tabela 1.14: Viri variabilnosti za dnevni prirast iz modela 1.45 tip - II Srednja vrednost Mesec Pasma Mesec*pasma Ostanek CTSS Tip II vsote kvadratov so primerne: za uravnotežene primere (drugače odvisni od strukture podatkov) za modele samo z glavnimi vplivi 13
14 14 Osnove biometrije za čiste regresijske modele za vpliv, ki ni vključen v drugi vpliv uporaben tudi za popolnoma hierarhične modele Vsota kvadratov tipa III in IV Vsote kvadratov za ta dva tipa so vse izračunane z medodo splošnih linearnih hipotez. Uporabnik mora poznati ocenljive funkcije ali pa si jih izpisati, da prepozna hipoteze, ki so bile preverjene. Potreboval jih bo pri interpretaciji rezultatov. Vsota kvadratov tipa III 1.14 za posamezni vpliv je neodvisna od vrstnega reda. Predstavlja vsoto, ki je dodatno pojasnjena, če je vpliv v modelu, oziroma je izpuščen. Pri tem smo popustli pri dejstvu, da se vsote kvadratov seštejejo do skupne vsote kvadratov. Izračun vsote kvadratov temelji na hipotezi, ki jo želimo preveriti. O hipotezah in ocenljivosti se bomo pogovarjali kasneje. Ker izračun vsot kvadratov za posamezne vplive ni enostaven, bomo verjeli statističnim paketom. Iste preizkuse živinorejci poznajo iz Harvey-evega programa. Tip III lahko praktično vedno uporabljamo. Vsote tipa I ali II pa uporabljamo v živinoreji samo takrat, ko so vrednosti v tabelah enake kot pri tipu III ter pri popolnem hierarhičnem modelu. Učimo se jih bolj zaradi razumevanja. Včasih moramo poznati enostavnejši primer, da razumemo malo bolj zapletene. Pomembna predpostavka pri tipu III je, da so vse celice vsi podrazredi zasedeni. Polna celica ima najmanj eno opazovanje. Praviloma to ni zadostno za dober poskus, a to je že druga zgodba. Če vemo, da je ena celica slabo zasedena, pa tistih nekaj podatkov pustimo v obelavi, ker bo izpeljava hipotez in s tem interpretacija lažja. Vedeti pa moramo, da bodo vse primerjave s slabo zasedeno celico oziroma skupino nezanesljive. Če so pri interakciji manjkajoče celice, izberemo vsote kvadratov tipa IV, ker so lahko boljše. Še vedno velja, da poskus ni bil najbolj posrečeno zasnovan. Zgodi pa se lahko, da smo šele na koncu poskusa ugotovili, da je interakcija pomembna. Takrat pa celic ne moremo več popolniti in iz poskusa poskušamo izvleči, kar se da. Pri modelu z vplivom meseca in pasme 1.36 je delitev vsote kvadratov pri tipu III (tabela 1.15) enaka kot pri tipu II (tabela 1.13). Vpliv meseca ni značilen. Če dodamo vpliv pasme, dodatni vpliv pojasni vsoto kvadratov v znesku in za to porabi dve stopinji prostosti. Dodani del variabilnosti tudi v tem primeru pojasni pomemben delež variabilnosti. Vpliv pasme je značilen. Za preizkus vplivov lahko uporabimo vsoto kvadratov po tipu II ali III. Tabela 1.15: Viri variabilnosti za dnevni prirast iz modela 1.36 tip - III Srednja vrednost Mesec Pasma Ostanek CTSS Pri modelu z vključeno interakcijo (1.45) se vsote kvadratov med tipoma II (1.14) in III (1.16) razlikujeta. Pri interakciji je vsota kvadratov enaka, pri glavnih vplivih pa je pri tipu II precenjena. Pri podobnih modelih uporabljamo pri preizkušanju vplivov vsote kvadratov, izračunane po tipu III. V uporabljenih modelih so vsote kvadratov pri tipu IV enake kot pri tipu III, ker nimamo praznih celic. 14
15 Osnove biometrije 15 Tabela 1.16: Viri variabilnosti za dnevni prirast iz modela 1.45 tip - III Srednja vrednost Mesec Pasma Mesec*pasma Ostanek CTSS
POSTAVITEV IN TESTIRANJE HIPOTEZ
Biometrija 1 Poglavje 1 POSTAVITEV IN TESTIRANJE HIPOTEZ Testiranje hipotez je osrednja naloga pri vsaki obdelavi podatkov. Od postavitve hipotez je odvisen načrt preizkusa, torej moramo hipoteze postaviti
Διαβάστε περισσότεραPostavitev hipotez NUJNO! Milena Kova. 10. januar 2013
Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova 10. januar 2013 Osnove biometrije 2012/13 1 Postavitev in preizku²anje hipotez Hipoteze zastavimo najprej ob na rtovanju preizkusa Ob obdelavi jih morda malo popravimo
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραOsnove sklepne statistike
Univerza v Ljubljani Fakulteta za farmacijo Osnove sklepne statistike doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo e-pošta: mitja.kos@ffa.uni-lj.si Intervalna ocena oz. interval zaupanja
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραMultivariatna analiza variance
(MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti med več odvisnimi (številskimi) in več neodvisnimi (opisnimi) spremenljivkami. (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραStatistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo
Statistična analiza opisnih spremenljivk doc. dr. Mitja Kos, mag. arm. Katedra za socialno armacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za armacijo Statistični znaki Proučevane spremenljivke: statistični znaki
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραStatistika 2 z računalniško analizo podatkov. Statistično sklepanje
Statistika 2 z računalniško analizo podatkov Statistično sklepanje 1 Multipla regresija Statistično sklepanje o regresijskih koeficientih Multipla regresija Vključevanje nominalnih in ordinalnih spremenljivk
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραMATRIČNI ZAPIS MODELA IN OSNOVE MATRIČNE OPERACIJE
Biometrija 1 Poglavje 1 MATRIČNI ZAPIS MODELA IN OSNOVE MATRIČNE OPERACIJE 11 Skalar Skalar je matrika reda 1 x 1 Skalarji so označeni z malimi ali velikimi navadnimi (neodebeljene) črkami kot npr y i
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότερα1.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk
.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk Naj bosta X in Y neodvisni Bernoullijevo porazdeljeni spremenljivki, B(p). Kako je porazdeljena njuna vsota? Označimo Z = X + Y. Verjetnost, da je P (Z = z) za
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραSTATISTIKA ANALIZA VARINCE Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak
STATISTIKA ANALIZA VARINCE 16.3.011 Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak ANALIZA VARIANCE Proučuje, kako ena ali več neodvisnih spremenljivk (faktorjev) vpliva na slučajno odvisno spremenljivko Y, ki meri izid
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραZanesljivost psihološkega merjenja. Osnovni model, koeficient α in KR-21
Zanesljivost psihološkega merjenja Osnovni model, koeficient α in KR- Osnovni model in KTT V kolikšni meri na testne dosežke vplivajo slučajne napake? oziroma, kako natančno smo izmerili neko lastnost.
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραTransformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II
Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραp 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
Διαβάστε περισσότεραFazni diagram binarne tekočine
Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραMetoda glavnih komponent
Metoda glavnih komponent Metoda glavnih kompnent je ena najpogosteje uporabljenih multivariatnih metod. Osnoval jo je Karl Pearson (1901). Največ zaslug za nadaljni razvoj pa ima Hotelling (1933). Osnovna
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραStatistika 2 z računalniško analizo podatkov. Multipla regresija in polinomski regresijski model
Statistika z računalniško analizo podatkov Multipla regresija in polinomski regresijski model 1 Multipli regresijski model Pogosto so vrednosti odvisne spremenljivke linearno odvisne od več kot ene neodvisne
Διαβάστε περισσότερα8.4 χ 2 -preizkus Preizkušanje hipoteze enake verjetnosti
8.4 χ 2 -preizkus V pedagoških raziskavah imamo veliko pogosteje opravka z opisnimi spremenljivkami kot pa s številskimi spremenljivkami. Do sedaj opisani preizkusi o aritmetičnih sredinah, o standardnih
Διαβάστε περισσότεραDISKRIMINANTNA ANALIZA
DISKRIMINANTNA ANALIZA Z diskriminantno analizo poiščemo tako linearno kombinacijo merjenih spremenljivk, da bo maksimalno ločila vnaprej določene skupine in da bo napaka pri uvrščanju enot v skupine najmanjša.
Διαβάστε περισσότεραSistem normalnih ena b in metoda me²anega modela
Sistem normalnih ena b in metoda me²anega modela Milena Kova 5. marec 203 Biometrija 202/3 Modeli z naklju nimi vplivi Ena ba me²anega modela Matrika varianc in kovarianc y = Xβ + Zu + e y (Xβ, V) var(y)
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραPOROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL
POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραRegularizacija. Poglavje Polinomska regresija
Poglavje 5 Regularizacija Pri vpeljavi linearne regresije v prejšnjem poglavju je bil cilj gradnja modela, ki se čimbolj prilega učni množici. Pa je to res pravi kriterij za določanje parametrov modela?
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότεραStatistika II z računalniško analizo podatkov. Bivariatna regresija, tipi povezanosti
Statistika II z računalniško analizo podatkov Bivariatna regresija, tipi povezanosti 1 Regresijska analiza Regresijska analiza je statistična metoda, ki nam pomaga analizirati odnos med odvisno spremenljivko
Διαβάστε περισσότερα5.1 Predpogojevanje. K 1 Ax = K 1 b,
5.1 Predpogojevanje Konvergenca metod podprostorov za reševanje linearnega sistema Ax = b je v veliki meri odvisna od razporeditve lastnih vrednosti (in lastnih vektorjev) matrike A. Kadar je konvergenca
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραCM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25
1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή
Διαβάστε περισσότερα1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...
ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότεραInterpolacija in aproksimacija funkcij
Poglavje 4 Interpolacija in aproksimacija funkcij Na interpolacijo naletimo, kadar moramo vrednost funkcije, ki ima vrednosti znane le v posameznih točkah (pravimo jim interpolacijske točke), izračunati
Διαβάστε περισσότεραTabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare
Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Laboratorij za termoenergetiko Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare po modelu IAPWS IF-97 izračunano z XSteam Excel v2.6 Magnus Holmgren, xsteam.sourceforge.net
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραKvantni delec na potencialnem skoku
Kvantni delec na potencialnem skoku Delec, ki se giblje premo enakomerno, pride na mejo, kjer potencial naraste s potenciala 0 na potencial. Takšno potencialno funkcijo zapišemo kot 0, 0 0,0. Slika 1:
Διαβάστε περισσότεραMETODA FAKTORSKE ANALIZE je osnovana na analizi medsebojnih korelacij. Tu potrebujemo neko vsebinsko poznavanje oz. neko teorijo, da pojav x vpliva na
4. predavanje RVM Kvantitativne metode Borut Kodrič, Koper 4.6.2010 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 1. del Na podlagi česa ugotovimo kako sta dve spremenljivki med
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2014 2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijska smer: Fizika in matematika SANDRA BOLTA
Διαβάστε περισσότεραVaje: Električni tokovi
Barbara Rovšek, Bojan Golli, Ana Gostinčar Blagotinšek Vaje: Električni tokovi 1 Merjenje toka in napetosti Naloga: Izmerite tok, ki teče skozi žarnico, ter napetost na žarnici Za izvedbo vaje potrebujete
Διαβάστε περισσότερα3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA
Državni izpitni center *M15143113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA RIC 2015 M151-431-1-3 2 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor
Διαβάστε περισσότεραS programom SPSS se, glede na število ur, ne bomo ukvarjali. Na izpitu so zastavljena neka vprašanja, zraven pa dobimo računalniški izpis izračunov. T
2. predavanje RVM Kvantitativne metode Borut Kodrič, Koper 21.5.2010 Ključ za dostop do e-učilnice: RMD2009 Tekom srečanj bodo zadeve osvežene v smislu, da bodo okleščene. Morda bo dodan še kak rešen primer.
Διαβάστε περισσότεραPROCESIRANJE SIGNALOV
Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:
Διαβάστε περισσότερα