Osnove matematične analize 2016/17

Transcript

1 Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko določeno število f (x) R. f : D f R x f (x) Če D f ni podano, je največja množica, kjer ima predpis f smisel. x neodvisna spremenljivka y = f (x) odvisna spremenljivka f (A) = {f (x) ; x A} slika množice A D f Z f = f (D f ) zaloga vrednosti funkcije f

2 Graf Graf funkcije f : D f R, D f R je krivulja v ravnini: Γ(f ) = {(x, f (x)) ; x D f } R R Graf funkcije f je krivulja v ravnini. Graf funkcije seka poljubno navpično premico največ v eni točki. Projekcija grafa na os x je D f, projekcija grafa na os y pa je Z f. Predpis lahko podamo na več načinov. eksplicitno: y = f (x), denimo y = 1 x implicitno: F (x, y) =, denimo x 2 + y 2 1 =, y parametrično: x = x(t), y = y(t), denimo x = cos t, y = sin t, t [, π]

3 Primera 1. f (x) = x D f = R, Z f = [, ) 1, x > 2. g(x) = sign(x) =, x = 1, x < D f = R, Z f = { 1,, 1} Sode in lihe funkcije Funkcija f (x) je soda, če je f ( x) = f (x) za vsak x D liha, če je f ( x) = f (x) za vsak x D. Primeri: f (x) = x, g(x) = x 2k, k Z h(x) = cos x so sode funkcije f (x) = sign(x), g(x) = x 2k+1, k Z, h(x) = sin x so lihe funkcije f (x) = e x, g(x) = ln x, h(x) = x 2 + 2x + 1 niso ne sode in ne lihe funkcije

4 Sode in lihe funkcije Velja: graf sode funkcije je simetričen glede na os y, graf lihe pa glede na koordinatno izhodišče vsota sodih funkcij je soda funkcija, vsota lihih je liha funkcija produkt dveh sodih ali dveh lihih funkcij je soda funkcija, produkt lihe in sode funkcije je liha funkcija Injektivne in surjektivne funkcije Funkcija f : D f R je injektivna, če različni točki x y D f preslika v različni vrednosti f (x) f (y) Z f. Graf injektivne funkcije seka poljubno vodoravno premico v največ eni točki. Funkcija f : D f R je surjektivna, če je Z f = R. Vsaka vodoravna premica seka graf surjektivne funkcije v vsaj eni točki. Funkcija f : D f R je bijektivna, če je injektivna in surjektivna.

5 Kompozitum ali sestavljena funkcija Naj bo f : D f R in g : D g R. Če je Z f D g, potem funkcijo g f : D f R, definirano s predpisom (g f )(x) = g(f (x)), in imenujemo kompozitum funkcij g in f. V splošnem f g g f. Inverzna funkcija Naj bo f : D f R injektivna funkcija. Potem funkcijo f 1 : Z f D f, za katero velja (f 1 f )(x) = x za vsak x D f, imenujemo inverzna funkcija funkcije f. Ekvivalentno: f 1 (x) = y f (y) = x. Definicijsko območje in zaloga vrednosti se zamenjata: D f 1 = Z f, Z f 1 = D f. Inverzno funkcijo f 1 eksplicitno podane funkcije f izračunamo tako, da zamenjamo vlogi spremenljivk y = f (x), torej x = f (y), in nato izrazimo y kot funkcijo x. Graf inverzne funkcije f 1 dobimo tako, da prezrcalimo graf funkcije f prek simetrale lihih kvadrantov.

6 Računanje s funkcijami Naj f : D R in g : D R. (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f g)(x) = f (x) g(x) (f g)(x) = f (x) g(x) f g f (x) (x) = g(x), kjer je g(x) za vsak x D. Transformacije funkcij Transformacija funkcije g(x) = f (x a) g(x) = f (x) + c g(x) = f ( x a ) g(x) = cf (x) g(x) = f (x g(x) = f ( x) Transformacija grafa navpični premik za c navzgor navpični premik za c navzgor vodoravni razteg za faktor a navpični razteg za faktor c zrcaljenje preko osi x zrcaljenje preko osi y

7 Primer Denimo, da znamo narisati graf funkcije y = f (x). f (x) + 1 f (2x) f (x 1) 1.5 2f (x) Limita funkcije Zanima nas, kako se funkcija f obnaša v okolici točke a, torej na nekem intervalu (a δ, a + δ), δ >, torej, kaj se dogaja z vrednostjo f (x), ko se x približuje a. y f (a) + ε f (a) f (a) ε a δ a a + δ x

8 Limita funkcije Število L je limita funkcije f v točki a, če za vsak ε > obstaja tak δ >, da je f (x) L < ε, če je < x a < δ. Torej je L limita funkcije f v točki a, če je vrednost f (x) poljubno blizu L, če je le x dovolj blizu a (a ne enak a). Pišemo: L = lim x a f (x) Če je podatek a podan dovolj natančno (z napako manjšo od δ), bo vrednost f (a) izračunana z napako manjšo od ε. Zgledi Limita funkcije f v točki a ni odvisna od vrednosti funkcije f v točki a. Ali obstajajo limite naslednjih funkcij v točki, torej L = lim x f (x)? 1. f (x) = x 2 { 1, x Z, 2. f (x) =, x / Z. 3. f (x) = x2 +x x 4. f (x) = sign(x)

9 Leva in desna limita Število L je leva limita funkcije f v točki a, če za vsak ε > obstaja tak δ >, da je f (x) L < ε, če je a δ < x < a. Označimo: L = lim x a f (x). Število L je desna limita funkcije f v točki a, če za vsak ε > obstaja tak δ >, da je f (x) L < ε, če je a < x < a + δ. Označimo: L = lim x a f (x). Funkcija f ima v točki a limito natanko tedaj, ko ima v točki a tako levo kot desno limito in sta ti dve limiti enaki. Limita funkcije in limita zaporedja Funkcija f ima v točki a limito L natanko tedaj, ko za vsako zaporedje (a n ) n, ki konvergira proti a, velja lim n f (a n) = L. Za računanje limit veljajo enaka pravila kot pri zaporedjih. Naj bo lim f (x) = L in lim g(x) = K. Potem je x a x a lim (f (x) + g(x)) = L + K x a lim (αf (x)) = αl za vsak α R x a lim f (x)g(x) = LK x a če je K, je lim x a f (x) g(x) = L K.

10 Primeri 3 y 2 1 x Primeri 2. lim x (1 + x) 1 x 3. lim x sin x x = 1 = e

11 Asimptotične vrednosti Če za vsako število M R obstaja tak δ >, da je f (x) > M, če le a δ < x < a, potem pišemo lim f (x) =. x a Podobno definiramo simbol lim f (x) =, če za vsako število x a m R obstaja tak δ >, da je f (x) < m, če le a δ < x < a. Če za vsako število M R obstaja tak δ >, da je f (x) > M, če le a < x < a + δ, potem pišemo lim f (x) =. x a Podobno definiramo simbol lim f (x) =, če za vsako število x a m R obstaja tak δ >, da je f (x) < m, če le a < x < a + δ. Asimptotične vrednosti Oznaka lim x f (x) = L pomeni, da je število L limita funkcije f, ko gre x čez vse meje, torej da za vsak ε > obstaja tako število M, da je f (x) L < ε za vsak x > M. Podobno definiramo s simbolom lim f (x) = L, da za vsak ε > x obstaja tako število m, da je f (x) L < ε za vsak x < m.

12 Zveznost Funkcija f je zvezna v točki a natanko tedaj, ko je lim f (x) = f (a) = lim f (x). x a x a Če velja samo leva enakost, je funkcija zvezna z desne, če velja samo desna enakost, pa je zvezna z leve. Izrek Funkcija f : D R je v točki a D zvezna, natanko tedaj, ko za vsak ε > obstaja tak δ >, da je če je x a < δ. f (x) f (a) < ε, Zgled Določimo tak a, da bo funkcija f (x) = { sin x x ; x a ; x = zvezna v točki x =.

13 Zgled Ali lahko določimo f () = a tako da bo f zvezna v točki, če je { sin 1 1. f (x) = x ; x a ; x = { x sin 1 2. f (x) = x ; x a ; x = Opis zveznosti Graf zvezne funkcije bo v točki (a, f (a)) nepretrgana krivulja. Vse elementarne funkcije so zvezne povsod, kjer so definirane.če je f zvezna v točki a potem se vrednost f (x) v bližnjih točkah malo razlikuje of f (a). Če vrednost f (a) ni definirana, vendar obstaja L = lim f (x), x a lahko funkcijo f razširimo, tako da definiramo f (a) = L. Tako razširjena funkcija je zvezna v točki a. Če sta f in g zvezni funkciji v točki a, potem so tudi αf, f + g, fg zvezne v točki a, funkcija f g pa je zvezna v a, če je g(a).

14 Zveznost Izrek Če je lim x a g(x) = L in je funkcija f zvezna v točki L, je lim (f g)(x) = f (L). x a Torej lahko zamenjamo vrsti red računanja limite in vrednosti zvezne funkcije. Če sta f in g zvezni funkciji, sta zvezna tudi kompozituma f g in g f. Zgled Izračunajmo limito lim x e x 1 x.

15 Zveznost na intervalu Definicija Funkcija je zvezna na odprtem intervalu (a, b), če je zvezna v vsaki točki x (a, b). Funkcija je zvezna na zaprtem intervalu [a, b], če je zvezna v vsaki točki x (a, b), v točki a je zvezna z desne, v točki b pa zvezna z leve. Primer: funkcija f (x) = arcsin x je zvezna na zaprtem intervalu [ 1, 1]. Ničle zveznih funkcij Izrek Če je f zvezna na zaprtem omejenem intervalu [a, b] in je f (a)f (b) <, potem obstaja točka c (a, b), kjer je f (c) =.

16 Omejenost zveznih funkcij f zvezna na zaprtem intervalu [a, b] f je omejena na [a, b], tj. obstajata M = sup{f (x) ; x [a, b]}, m = inf{f (x) ; x [a, b]} obstajata x m, x M [a, b], kjer je f (x m ) = m in f (x M ) = M, za vsako vrednost y med m in M, m y M, obstaja točka x y [a, b], kjer je f (x y ) = y. Kaj je funkcija več spremenljivk? Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije f. Primeri: f (x, y) = sin x + sin y g(x, y) = 1 x 2 y 2 h(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2

17 Graf funkcije dveh spremenljivk Γ = {(x, y, f (x, y )) : (x, y ) Df }... je ploskev v R3. f (x, y ) = x 2 y 2 f (x, y ) = sin x + cos y Nivojske krivulje Nivojska krivulja funkcije f (x, y ) je krivulja v Df R2, podana z enac bo f (x, y ) = c. f (x, y ) = x 2 y 2 f (x, y ) = sin x + cos y

18 Nivojske krivulje Nivojske krivulje so tudi I izohipse (nivojske krivulje nadmorske vis ine na geografskih kartah) I I izobare (nivojske krivulje tlaka na vremenskih kartah) izoterme (nivojske krivulje temperature na vremenskih kartah) Nivojske krivulje doloc ajo razslojitev definicijskega obmoc ja D: vsaka toc ka (x, y ) D lez i na natanko eni nivojski krivulji. Nivojske ploskve funkcije treh spremenljivk Nivojske ploskve funkcije treh spremenljivk so ploskve v R3, podane z enac bo f (x, y, z) = c. Nivojske ploskve funkcije f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 so sfere

19 Limita in zveznost L je limita funkcije f : R 2 R v točki (a, b), če je vrednost f (x, y) poljubno blizu L, če je le (x, y) dovolj blizu (a, b) (a nujno ne enak (a, b)). Formalno: Število L je limita funkcije f (x, y) v točki (a, b), če za vsak ε > obstaja tak δ >, da je f (x, y) L < ε, za vsako točko (x, y) v krogu s polmerom δ okrog točke (a, b). Krog s polmerom δ okrog (a, b) je množica vseh takšnih točk (x, y), da velja (x a) 2 + (y b) 2 < δ 2. Funkcija f (x, y) je zvezna v točki (a, b), če je lim f (x, y) = f (a, b). (x,y) (a,b) Primera Pri računanju limit si lahko pomagamo s polarnimi koordinatami: lim (x,y) (,) 2x 2 y x 2 +y 2. x lim 2 y 2 (x,y) (,) x 2 +y 2