Statistika 2 z računalniško analizo podatkov. Statistično sklepanje
|
|
- Ἀζαρίας Βάμβας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Statistika 2 z računalniško analizo podatkov Statistično sklepanje 1
2 Multipla regresija Statistično sklepanje o regresijskih koeficientih Multipla regresija Vključevanje nominalnih in ordinalnih spremenljivk Multipla regresija Interakcije med vplivi spremenljivk 2
3 Porazdelitev regresijskih parametrov Pri statistični analizi rezultatov regresijske analize je pomembno kako so ocene parametrov razpršene okoli populacijskih vrednosti. Metoda najmanjših kvadratov zagotavlja njihovo nepristranskost, kar pomeni, da je pričakovana vrednost ocene regresijskega parametra enaka njegovi pravi vrednosti oz.: E(b i ) = β i za vsak i. 3
4 Porazdelitev regresijskih parametrov Vendar pa so koeficienti v splošnem različno razpršeni. Razpršenost merimo s standardnim odklon ocene regresijskega parametra, ki mu tudi pravimo standardna napaka ocene regresijskega koeficienta. Večina statističnih programov pa ta podatek poda skupaj z izračunom koeficientov. 4
5 Preverjanje hipotez o regresijskih koeficientih Pri regresiji z več spremenljivkami je mogoče postaviti več različnih domnev, ki jih lahko preverjamo s statističnimi testi. Omenimo dva najpomembnejša tipa domnev: Preverjanje domneve o vplivu posamezne spremenljivke oz. o vrednosti posameznega regresijskega koeficienta (ali je enak 0). Preverjanje domneve o skupni značilnosti regresijskega modela. Tu nas zanima, ali je skupen vpliv regresijskih koeficientov statistično značilen, oziroma ali so vsi koeficienti hkrati enaki 0. 5
6 Predpostavka o normalnosti člena napake Ena od bistvenih predpostavk regresijskega modela je predpostavka o homoskedastičnosti. To pomeni, da velja D(ε i ) = σ 2 za vsak i, torej da je varianca napake povsod na območju delovanja regresijskega modela približno enaka. Ta predpostavka sicer zadostuje za najboljšo nepristransko oceno po metodi najmanjših kvadratov. Za statistično sklepanje o regresijskih koeficientih pa je potrebna močnejša predpostavka, da se členi napake povsod porazdeljujejo normalno. Natančneje: ε i : N(0, σ). 6
7 Standardna napaka ocen regresijskih parametrov matrični zapis (dodatno) S pomočjo matričnega zapisa lahko izračunamo standardno napako koeficienta takole: se b i s e 2 X T X 1 i 1, i 1, kjer i + 1, i + 1 predstavlja koordinate matrike, se pravi i + 1 ti diagonalni element matrike. Uporabiti moramo i + 1 element in ne i-ti element, ker prvi element ustreza b 0 (konstantnem členu) in ne b 1 7
8 Preverjanje domneve o vplivu posamezne spremenljivke Statistika t b i SE b i i se porazdeljuje po Studentovi t-porazdelitvi z n k prostostnimi stopnjami, pri čemer je n velikost vzorca, k pa je število parametrov, ki jih ocenjujemo v regresijskem modelu - običajno je to število neodvisnih spremenljivk + 1 (konstanta). 8
9 Preverjanje domneve o vplivu posamezne spremenljivke Če preverjamo domnevo o tem, ali posamezna neodvisna spremenljivka vpliva na odvisno, preverjamo domnevo, da je parcialni regresijski koeficient β i enak 0: H 0 : β i = 0 proti alternativni domnevi H 1 : β i 0 Potem izračunamo testno statistiko t kot: Statistika se porazdeljuje po Studentovi t-porazdelitvi z n k prostostnimi stopnjami, pri čemer je n velikost vzorca, k pa je število parametrov, ki jih ocenjujemo v regresijskem modelu - običajno je to število neodvisnih spremenljivk + 1 (konstanta). 9 t b i SE b i
10 Preverjanje domneve o vplivu posamezne spremenljivke Če je vrednost izračunane t statistike večja od eksperimentalne pri izbrani stopnji tveganja in danih stopinjah prostosti, lahko hipotezo zavrnemo. Ali, kot ponavadi, izračunamo natančno statistično značilnost (natančno stopnjo tveganja) p, pri kateri lahko zavrnemo ničelno domnevo oz. izračunamo verjetnost, da smo na danem vzorcu ob pravilni ničelni domnevi dobili določeno eksperimentalno vrednost t statistike ali večjo (po absolutni vrednosti). Če je stopnja značilnosti majhna (<0.05), lahko zavrnemo ničelno domnevo. Če zavrnemo ničelno domnevo, da je parcialni regresijski koeficient enak 0 (β i = 0), lahko trdimo, da ima obravnavana neodvisna spremenljivka statistično značilen vpliv na odvisno spremenljivko. 10
11 Interpretacija rezultatov o vplivu posameznih spremenljivk Če nas zanima, katere spremenljivke statistično značilno vplivajo na odvisno spremenljivko, sklepamo o tem na podlagi statističnih značilnosti parcialnih regresijskih koeficientov. Pri izbrani stopnji značilnosti α (običajno 5%) lahko trdimo, da statistično značilno vplivajo na odvisno spremenljivko tiste neodvisne spremenljivke, katerih je stopnja značilnosti njihovih regresijskih koeficientov manjša kot α (npr. 5%). 11
12 Interpretacija rezultatov o vplivu posameznih spremenljivk Če nas zanima, za koliko se spremni odvisna spremenljivka, če se neodvisna spremeni za 1 enoto, gledamo vrednost regresijskega koeficienta (B v SPSS-u). Ta nam pove točno to. Če pa nas zanima, katera neodvisna spremenljivka najmočneje vpliva na odvisno, pa ta koeficient ni primeren, ker vsebuje tudi vpliv merskih lestvic. V tem primeru primerjamo standardizirane koeficiente (Beta v SPSS-u). Čim večji je standardizirani koeficient po absolutni vrednosti, večji je vpliv določene spremenljivke. Standardizirani regresijski koeficienti so pravzaprav navadni regresijski koeficienti, izračunani na standardiziranih podatkih. 12
13 Preverjanje domneve o vplivu posamezne spremenljivke V splošnem lahko preverjamo tudi domnevo, da je parcialni regresijski koeficient β i enak neki drugi vrednosti (ne 0) : H 0 : β i = β ih proti alternativni domnevi H 1 : β i β ih Potem izračunamo testno statistiko t kot: Tudi ta statistika se porazdeljuje po Studentovi t- porazdelitvi z n k prostostnimi stopnjami (vse ostalo naprej tako kot prej). t b i SE b i ih 13
14 Preverjanje domneve o skupni značilnosti regresijskega modela Preverjamo domnevo, da so vsi parcialni regresijski koeficienti hkrati enaki 0: H 0 : β 1 = β 2 = = β m = 0 proti alternativni domnevi H 1 : vsaj eden od koeficientov je različen od 0. Naivno bi domnevo lahko preverjali kot m posameznih enostavnih domnev H 0 : β i = 0; za vsak i. Toda tak pristop bi bil napačen. Vzrok je v tem, da pri neodvisnem testiranju posameznih domnev predpostavimo, da so koeficienti, o katerih domneve testiramo, neodvisni. Pri testiranju domneve o skupni značilnosti modela pa so koeficienti lahko (in praktično vedno so) med seboj korelirani. 14
15 Test domneve o skupni značilnosti regresijskega modela Preverjanje domneve o skupni značilnosti regresijskega modela temelji na razmerju med pojasnjeno in nepojasnjeno varianco (tako kot pri analizi variance), pri čemer upoštevamo še prostostne stopnje pri posameznih izračunih. Testna statistika je: F ESS k 1 RSS n k pri čemer je: ESS pojasnjena vsota kvadratov in RSS nepojasnjena vsota kvadratov oz. vsota kvadratov rezudialov R 2 multipli determinacijski koeficient n velikost vzorca, k (= m + 1) pa število parametrov, ki jih ocenjujemo v regresijskem modelu. ESS R 2 k 1 1 R 2 n k Y i ' Y 2 RSS Y i Y i ' 2 15
16 Test domneve o skupni značilnosti regresijskega modela Statistika F se porazdeljuje po porazdelitvi F(k 1, n k). Če je vrednost izračunane F statistike večja od eksperimentalne pri izbrani stopnji tveganja in danih stopinjah prostosti, lahko hipotezo zavrnemo. Ali, kot ponavadi, izračunamo natančno statistično značilnost p, pri kateri lahko zavrnemo ničelno domnevo oz. izračunamo verjetnost, da smo na danem vzorcu ob pravilni ničelni domnevi dobili določeno eksperimentalno vrednost F statistike ali večjo. Če je stopnja značilnosti majhna (<0.05), lahko zavrnemo ničelno domnevo. Če zavrnemo ničelno domnevo, ki je da so vsi parcialni regresijski koeficienti enaki 0 (β 1 = β 2 = = β m = 0), lahko trdimo, da vsaj ena neodvisna spremenljivka vpliva na odvisno spremenljivko. 16
17 Intervalne ocene regresijskih koeficientov Drugi način statističnega sklepanja o regresijskih koeficientih je intervalno ocenjevanje. Ob predpostavki, da poznamo porazdelitev vzorčne ocene b i : b i β i ~t n k SE b i lahko na podlagi stopnje tveganja α določimo interval zaupanja za β i : b i t α/2 SE(b i ) β i b i + t α/2 SE(b i ). Če dobljeni interval zaupanja ne vsebuje vrednosti 0, tudi lahko sklepamo, da je koeficient β i statistično značilno različen od 0. 17
18 Primer 1 in uporaba SPSS-a Uporabimo proceduro Analyze Regression Linear. V polje Dependent prenesemo odvisno spremenljivko (prisotnost), v polje Independents pa vse neodvisne spremenljivke (knjige, ocena). Uporabili bomo podatke iz datoteke primer_regresija_ocene.sav. V podoknu Statistics označimo možnosti: Estimates, Confidence intervals in Model fit 18
19 Primer - Sklepanje o vplivu posameznik spremenljivk Vrednost regresijskega koeficienta za spremenljivko knjige nam pove, da se odvisna spremenljivka (ocena) poveča za 4,037 enot (točk), če se spremenljivka knjige poveča za 1 enoto in vse ostale neodvisne spremenljivke ostanejo nespremenjene (pri nas ostane samo še spremenljivka prisotnost). Variabilnost ocene koeficienta merimo s standardno napako ocene koeficienta, ki za oceno tega koeficienta znaša 1,753. Na podlagi teh dveh vrednosti lahko izračunamo vrednost t testa, ki znaša 2,303. Na podlagi t testa in stopinj prostosti v našem primeru 37 (= 40 enot 3 ocenjeni parametri) izračunamo stopnjo značilnosti. 19
20 Primer - Sklepanje o vplivu posameznik spremenljivk Stopnja značilnosti nam pove, da lahko pri tveganju 2,7% trdimo, je parcialni koeficient za vpliv spremenljivke knjige na odvisno spremenljivko (ocena) različen od 0. Parcialni koeficient za vpliv spremenljivke pristonost na odvisno spremenljivko (ocena) je statistično značilno različen od 0 pri tveganju 3,5%. Pri 5% tveganju (recimo da je to v naprej izbrana stopnja tveganja) lahko trdimo, da obe neodvisni spremenljivki (statistično značilno) vplivata na odvisno spremenljivko. 20
21 Primer - Sklepanje o vplivu posameznik spremenljivk Če primerjamo moč vpliva posameznih spremenljivk, lahko trdimo, da spremenljivka knjige minimalno močneje vpliva na odvisno spremenljivko kot spremenljivka prisotnost, saj je vrednost njenega standardiziranega parcialnega regresijskega koeficienta (0,346) po absolutni vrednosti malce večja od koeficienta spremenljivke prisotnost (0,329). 21
22 Primer - Sklepanje o vplivu posameznik spremenljivk Pri 95% gotovosti (ali 5% tveganju) lahko trdimo, se pravi (populacijski) parcialni regresijski koeficient za vpliv spremenljivke knjige na odvisno spremenljivko (ocena) nahaja na intervalu med 0,485 in 7,589. Ker interval ne vsebuje vrednosti 0, lahko pri taki gotovosti (ali tveganju) trdimo tudi, da je koeficient statistično značilno različen od 0. Pri 5% tveganju lahko trdimo, da se parcialni regresijski koeficient za vpliv spremenljivke prisotnost na odvisno spremenljivko (ocena) nahaja na intervalu med 0,094 in 2,
23 Primer in uporaba SPSS-a sklepanje o skupni značilnosti regresijskega modela O skupni značilnosti regresijskega modela sklepamo na podlagi analize variance (ANOVA). Tu primerjamo (z regresijskim modelom) pojasnjeno vsoto kvadratov, ki znaša v našem primeru 3577,67 z nepojasnjeno vsoto kvadratov (vsoto kvadratov rezidualov), ki znaša 7306,23. Primerjamo ju s F testom. 23
24 Primer in uporaba SPSS-a sklepanje o skupni značilnosti regresijskega modela O skupni značilnosti regresijskega modela sklepamo na podlagi statistične značilnosti F testa. Tu je vrednost F testa 9,059, stopinje prostosti pa so 2 in 37. Statistična značilnost je 0,1%. Pri takem tveganju (0,1%) lahko torej trdimo, da vsaj ena izmed neodvisnih spremenljivk vpliva na odvisno spremenljivko. 24
25 Multipla regresija Statistično sklepanje o regresijskih koeficientih Multipla regresija Vključevanje nominalnih in ordinalnih spremenljivk Multipla regresija Interakcije med vplivi spremenljivk 25
26 Regresija z umetnimi spremenljivkami Za spremenljivke, ki nastopajo v regresijskem modelu kot neodvisne spremenljivke, smo predpostavili, da imajo vsaj intervalno mersko lestvico. Spremenljivke s slabšimi merskimi lastnostmi pa lahko vključimo v regresijski model s pomočjo tako imenovanih umetnih spremenljivk (dummy variables). Oglejmo si najpreprostejši primer. Denimo, da nas zanima, kako na plače delavcev (Y) poleg izobrazbe (X 2 ) vpliva spol delavca/ke. Spremenljivka spol ima le dve različni vrednosti. Uvedimo novo spremenljivko X 1, ki ima vrednost 0, če je oseba moškega in vrednost 1, če je oseba ženskega spola. Privzemimo naslednji regresijski model: Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + ε. Denimo, da smo ocenili regresijske koeficiente β 0, β 1 in β 2. Kakšen je njihov pomen? 26
27 Regresija z umetnimi spremenljivkami Če ima spremenljivka X 1 vrednost 0 (moški), dobimo iz zgornjega modela regresijsko enačbo: Y = β 0 + β 2 X 2 + ε, če pa ima X 1 vrednost 1 (ženske), se enačba glasi Y = (β 0 + β 1 ) + β 2 X 2 + ε. To pomeni, da imamo dve različni regresijski enačbi, eno za moške in drugo za ženske. Pomen regresijskega koeficienta β 1 je torej v tem, da podaja razliko v povprečni plači žensk in moških. Če bi na primer želeli preveriti domnevo, da spol vpliva na višino plače delavca/ke, tudi po tem ko izločimo vpliv izobrazbe, bi preverjali hipotezo H0 : β 1 = 0 proti alternativni hipotezi H1 : β 1 0, ki jo preverimo po že znani poti. 27
28 Primer 2 Analizirali bomo vpliv spola (gndr) in starosti (na podlagi yrbrn) na vernost (C13). Spremenljivka spol ima dve možni vrednosti in sicer 1 moški in 2 ženski. Ustvarimo novo spremenljivko gndr_rek (procedura Transform Recode Into Different Variables), ki ima vrednost 0, če je oseba moškega spola in 1, če je oseba ženskega spola. To novo spremenljivko vključimo v regresijo. 28
29 Primer rezultati Model 1 (Constant) gndr_rek Ženski starost Coefficients a Uns tandardized Coef f icients a. Dependent Variable: C13 Kako verni ste Standardized Coef f icients B Std. Error Beta t Sig. 3, 956,200 19, 772,000,962,147,174 6, 544,000,009,004,061 2, 303,021 Na podlagi tega lahko napišemo dve regresijske enačbi, eno za moške in eno za ženske: Moški: C13 = 3, ,009*starost Ženske: C13 = 3, , ,009*starost oz. C13 = 4, ,009*starost 29
30 Primer interpretacija Imamo torej dve enačbi: Moški: C13 = 3, ,009*starost Ženske: C13 = 3, , ,009*starost oz. C13 = 4, ,009*starost Ženske so v povprečju za skoraj eno enoto (0,962) (na lestvici od 0 do 10) bolj verne kot moški, če izločimo (kontroliramo) vpliv starosti. 30
31 Posplošitev modela uvedbe umetnih spremenljivk Naj bo sedaj X 1 nominalna ali ordinalna spremenljivka, ki ima k možnih vrednosti, ki jih zaradi enostavnosti označimo z 1, 2,..., k. Uvedimo k 1 umetnih spremenljivk: P 1, P 2,..., P k 2, P k 1, ki imajo le vrednosti 0 oziroma 1 in sicer po naslednjem pravilu: Če ima spremenljivka X 1 vrednost i za i = 1,..., k 1, ima spremljivka P i vrednost 1, vse ostale P j za j i pa 0. Če pa ima spremenljivka X 1 vrednost k, imajo vse umetne spremenljivke vrednost 0. Vrednost k imenujemo referenčna vrednost ali referenčna kategorija. Ni nujno, da je referenčna kategorija (tista, ki nima svoje spremenljivke) ravno zadnja kategorija. Vedeti moramo, da vse ostale kategorije pravzaprav primerjamo s referenčno. Lahko je katerakoli, važno je le, da natanko ena kategorija nima svoje spremenljivke. Če bi vsaka kategorija imela svojo spremenljivko, bi nastopila multikolinearnost. 31
32 Nadaljevanje primera 2 (primer 3) Vernost bomo poskusili dodatno pojasniti še s spremenljivko kraj bivanja (F5). Spremenljivka ima 5 možnih vrednosti in sicer 1 - veliko mesto, 2 - predmestje ali obrobje velikega mesta, 3 - manjše mesto, 4 vas in 5 - kmetija ali hiša na deželi. Ker ima originalna spremenljivka 5 možnih vrednosti, moramo ustvariti 4 umetne spremenljivke za 4 kategorije, preostala kategorija pa je referenčna kategorija. Za referenčno kategorijo sem si izbral veliko mesto. Zato sem kreiral spremenljivke F5_pred (predmestje ali obrobje velikega mesta), F5_mm (manjše mesto), F5_vas (vas) in F5_kmet (kmetija ali hiša na deželi). Sedaj te spremenljivke dodamo k tistim iz prejšnjega primera. 32
33 Primer rezultati Model 1 (Constant) gndr_rek Ženski starost F5_pred Predmest ja ali obrobje velikega mesta F5_mm Manjš e mesto F5_v as Vas F5_kmet Kmetija ali hiša na deželi Coefficients a Uns tandardized Coef f icients a. Dependent Variable: C13 Kako v erni ste Standardized Coef f icients B Std. Error Beta t Sig. 2, 901,303 9, 575,000,945,145,171 6, 515,000,011,004,073 2, 775,006,384,305,049 1, 259,208,699,284,105 2, 461,014 1, 424,263,256 5, 416,000 1, 459,326,163 4, 479,000 Tako kot v prejšnjem primeru bi tudi tu lahko naredili 5 regresijskih modelov glede na 5 kategoriji spremenljivke F5. Če bi podobno želeli storiti še za spremenljivko spol, bi morali navesti 10 regresijskih modelov (5*2). Tako tokrat tega ne bomo storili, ampak bomo neposredno iz rezultatov sklepali na razlike v vernosti med različnimi kraji bivanja. 33
34 Primer rezultati Model 1 (Constant) gndr_rek Ženski starost F5_pred Predmest ja ali obrobje velikega mesta F5_mm Manjš e mesto F5_v as Vas F5_kmet Kmetija ali hiša na deželi Coefficients a Uns tandardized Coef f icients a. Dependent Variable: C13 Kako v erni ste Standardized Coef f icients B Std. Error Beta t Sig. 2, 901,303 9, 575,000,945,145,171 6, 515,000,011,004,073 2, 775,006,384,305,049 1, 259,208,699,284,105 2, 461,014 1, 424,263,256 5, 416,000 1, 459,326,163 4, 479,000 Iz rezultatov vidimo, da so prebivalci predmestij za 0,384 točke (na lestvici od 0 do 10) bolj verni o tistih iz VM (velikega mesta), tisti iz manjšega mesta so za 0,699 točke bolj verni od tistih iz VM, tisti iz vasi za 1,424 točke bolj verni od tistih iz VM in tisti s kmetij za 1,459 točk bolj verni od tistih iz VM. 34
35 Primer rezultati Model 1 (Constant) gndr_rek Ženski starost F5_pred Predmest ja ali obrobje velikega mesta F5_mm Manjš e mesto F5_v as Vas F5_kmet Kmetija ali hiša na deželi Coefficients a Uns tandardized Coef f icients a. Dependent Variable: C13 Kako v erni ste Standardized Coef f icients B Std. Error Beta t Sig. 2, 901,303 9, 575,000,945,145,171 6, 515,000,011,004,073 2, 775,006,384,305,049 1, 259,208,699,284,105 2, 461,014 1, 424,263,256 5, 416,000 1, 459,326,163 4, 479,000 Izračunamo lahko tudi, da so tisti iz npr. vasi za 1,040 (= 1,424 0,384) točke bolj verni od tistih iz predmestja. Podobno lahko izračunamo tudi razlike med ostalimi pari. 35
36 Primer rezultati Model 1 (Constant) gndr_rek Ženski starost F5_pred Predmest ja ali obrobje velikega mesta F5_mm Manjš e mesto F5_v as Vas F5_kmet Kmetija ali hiša na deželi Coefficients a Uns tandardized Coef f icients a. Dependent Variable: C13 Kako v erni ste Standardized Coef f icients B Std. Error Beta t Sig. 2, 901,303 9, 575,000,945,145,171 6, 515,000,011,004,073 2, 775,006,384,305,049 1, 259,208,699,284,105 2, 461,014 1, 424,263,256 5, 416,000 1, 459,326,163 4, 479,000 Ugotovimo lahko, da razlike v vernosti med prebivalci velikega mesta in prebivalci predmestja ob izločitvi vpliva spola in starosti niso statistično značilne, med tem kot razlike med prebivalci velikega mesta in ostalimi kategorijami so statistično značilne pri 5% tveganju (pravzaprav so značilne pri tveganju 1,4% ali manj). 36
37 Primer rezultati O statistični značilnosti razlik v vernosti med ostalimi kategorijami (pari kategorij, kjer ena izmed kategorij ni veliko mesto) na podlagi tega izpisa ne moremo sklepati. To najlažje naredimo tako, da spremenimo referenčno kategorijo (vključimo umetno spremenljivko za veliko mesto in izključimo za neko drugo kategorijo), in ponovno izvedemo regresijo. Nato lahko enostavno ugotovimo, ali se ostale kategorije statistično značilno razlikujejo od nove referenčne kategorije. 37
38 Preverjanje domneve o vplivu skupine spremenljivk Preverjamo domnevo, da so (poljubno) izbrani parcialni regresijski koeficienti hkrati enaki 0: H 0 : β a = β b =... = β c = 0 proti alternativni domnevi H 1 : vsaj eden od izbranih koeficientov je različen od 0. Taka hipoteza je še posebej smiselna, kadar izbrani koeficienti merijo vpliv različnih kategorij iste nominalne (ordinalne spremenljivke) V tem primeru pravzaprav primerjamo dva regresijskega modela: Model 1: brez izbranih koeficientov (oz. kjer predpostavljamo, da so izbrani koeficienti enaki 0) Model 2: z izbranimi koeficienti (oz. kjer izbrane koeficiente ocenimo) 38
39 Preverjanje domneve o vplivu skupine spremenljivk Za oba modela izračunamo RSS (nepojasnjeno vsoto kvadratov) in na podlagi tega izračunamo F test. F RSS 1 RSS 2 k 2 k 1 RSS 2 n k 2 pri čemer je: RSS 1 nepojasnjena vsota kvadratov prvega modela (brez dodatnih koreficientov/spremenljivk) RSS 2 nepojasnjena vsota kvadratov drugega modela (z dodatnimi koreficienti/spremenljivkami) n velikost vzorca k 1 število parametrov, ki jih ocenjujemo v prvem modelu k 2 število parametrov, ki jih ocenjujemo v drugem modelu 39
40 Preverjanje domneve o vplivu skupine spremenljivk Statistika F se porazdeljuje po porazdelitvi F(k 2 k 1, n k 2 ). Preverimo značilnost testa kot ponavadi (npr., preverimo, ali je p (natančna stopnja značilnosti) manjša od 5%). Če zavrnemo ničelno domnevo, da so vsi izbreni parcialni regresijski koeficienti enaki 0, lahko trdimo, da vsaj ena izmed izbranih neodvisnih spremenljivk vpliva na odvisno spremenljivko. Test je zelo uporaben za katerikoli sklop spremenljivk, važno je le, da so v drugem (razširjenem modelu) vsi parametri (spremenljivke), ki smo jih ocenjevali že v prvem modelu. 40
41 Nadaljevanje primera 3 (in ocenjevanje v SPSS-u) Za primer 3 želimo ugotoviti, ali je vpliv spremenljivke F5 kraj bivanja (torej katerekoli kategorije) statistično značilen. Uporabimo proceduro Analyze Regression Linear. V polje Dependent prenesemo odvisno spremenljivko(c13), v polje Independents pa neodvisne spremenljivke iz primera 2 (torej brez umetnih spremenljivk za spremenljivko F5. Nad okenčkom za neodvisne spremenljivke kliknemo Next 41
42 Nadaljevanje primera 3 (in ocenjevanje v Okence za neodvisne spremenljivke se sprazni, nad njim pa piše Block 2 of 2 (prej je pisalo Block 1 of 1) V okence ponovno vpišemo vse spremenljivke od prej + umetne spremenljivke za spremenljivko F5 (torej model iz primera 3). Kliknemo na Statistics in v oknu Statistics odkljukamo poleg Estimates, Model fit in Descriptives še R squared chage SPSS-u) 42
43 Primer rezultati Model Summary c Model 1 2 Change St atistic s Adjust ed Std. Error of R Square R R Square R Square the Estimate Change F Change df 1 df 2 Sig. F Change,189 a,036,034 2,709,036 25, ,000,266 b,071,066 2,664,035 12, ,000 a. Predic tors: (Const ant), s tarost, gndr_rek Ženski b. Predictors: (Constant), starost, gndr_rek Ženski, F5_mm Manjše mesto, F5_kmet Kmetija ali hiša na deželi, F5_pred Predmest ja ali obrobje v elikega mesta, F5_v as Vas c. Dependent Variable: C13 Kako v erni ste Poleg običajnih izpisov za oba modela dobimo sedaj še zgornji izpis, kjer nas zanima predvsem del pod Change Statistics. Drugi F test tu primerja drugi model s prvim in torej testira, ali je vpliv vseh dodatnih spremenljivk skupaj značilen. Ugotovimo lahko, da lahko pri manj kot 0,05% tveganju trdimo, da vsaj ena izmed dodatnih spremenljivk vpliva na odvisno spremenljivko. 43
44 Multipla regresija Statistično sklepanje o regresijskih koeficientih Multipla regresija Vključevanje nominalnih in ordinalnih spremenljivk Multipla regresija Interakcije med vplivi spremenljivk 44
45 Interakcije med vplivi spremenljivk Do sedaj smo vedno predpostavljali, da je vpliv posameznih spremenljivk vedno enak, ne glede na vrednosti ostalih spremenljivk. S pomočjo interakcij pa lahko dovolimo, da se vpliv ene neodvisne spremenljivke razlikuje glede na vrednosti druge neodvisne spremenljivke. Na primer, lahko predpostavimo, da starost bolj vpliva na vernost pri ženskah kot pri moških. Vpliv interakcije ocenimo tako, da v regresijo vključimo zmnožek spremenljivk, za kateri dve mislimo, da sta njuna vpliva povezana. 45
46 Interakcije med vplivi spremenljivk V primeru, da je katera od spremenljivk intervalna, jo ponavadi pred množenjem centriramo (od vrednosti odštejemo povprečje spremenljivke), da tako zmanjšamo problem multikolinearnosti. Umetnih (dummy) spremenljivk ne centriramo. Npr., če imamo spremenljivki X in Z in želimo oceniti interakcijo med njima, vključimo v regresijo novo spremenljivko xz X X Z Z Interakcijo še posebej pogosto preučujemo, kadar je vsaj ena spremenljivka umetna (dummy) spremenljivka. Interpretiramo jo tako, da pogledamo, kakšen je vpliv ene neodvisne spremenljivke pri različnih vrednostih druge neodvisne spremenljivke. 46
47 Nadaljevanje primera 2 (primer 4) Preverili bomo, ali starost enako vpliva na vernost žensk in moških. S stavkom Compute kreiramo novo spremenljivko, ki jo izračunamo kot starzen = (starost 45,40)*gndr_rek (45,40 je povprečna starost) To spremenljivko vključimo v regresijo poleg tistih iz primera 2 47
48 Primer rezultati Model 1 (Constant) gndr_rek Ženski starost st arzen Coefficients a Uns tandardized Coef f icients a. Dependent Variable: C13 Kako verni ste Standardized Coef f icients B Std. Error Beta t Sig. 4, 392,274 16, 016,000,967,147,175 6, 588,000 -, 001,006 -, 008 -, 189,850,018,008,092 2, 322,020 Vidimo lahko, da je vpliv nove spremenljivke (starzen) statistično značilen, vendar pa je vpliv spremenljivke starost postal neznačilen. Kaj to pomeni? Starost vpliva samo na vernost pri ženskah, pri moških pa ne. 48
49 Primer rezultati Model 1 (Constant) gndr_rek Ženski starost st arzen Coefficients a Uns tandardized Coef f icients a. Dependent Variable: C13 Kako verni ste Standardized Coef f icients B Std. Error Beta t Sig. 4, 392,274 16, 016,000,967,147,175 6, 588,000 -, 001,006 -, 008 -, 189,850,018,008,092 2, 322,020 To je lepo vidno, če zopet lahko napišemo dve regresijski enačbi: Moški: C13 = 4,392-0,001*starost Ženske: C13 = 4, ,967-0,001*starost + 0,018*(starost 45,40) oz. C13 = 4, ,017*starost 49
NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραStatistika II z računalniško analizo podatkov. Bivariatna regresija, tipi povezanosti
Statistika II z računalniško analizo podatkov Bivariatna regresija, tipi povezanosti 1 Regresijska analiza Regresijska analiza je statistična metoda, ki nam pomaga analizirati odnos med odvisno spremenljivko
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραStatistika 2 z računalniško analizo podatkov. Multipla regresija in polinomski regresijski model
Statistika z računalniško analizo podatkov Multipla regresija in polinomski regresijski model 1 Multipli regresijski model Pogosto so vrednosti odvisne spremenljivke linearno odvisne od več kot ene neodvisne
Διαβάστε περισσότεραOsnove sklepne statistike
Univerza v Ljubljani Fakulteta za farmacijo Osnove sklepne statistike doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo e-pošta: mitja.kos@ffa.uni-lj.si Intervalna ocena oz. interval zaupanja
Διαβάστε περισσότεραMultivariatna analiza variance
(MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti med več odvisnimi (številskimi) in več neodvisnimi (opisnimi) spremenljivkami. (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραStatistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo
Statistična analiza opisnih spremenljivk doc. dr. Mitja Kos, mag. arm. Katedra za socialno armacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za armacijo Statistični znaki Proučevane spremenljivke: statistični znaki
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότερα1.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk
.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk Naj bosta X in Y neodvisni Bernoullijevo porazdeljeni spremenljivki, B(p). Kako je porazdeljena njuna vsota? Označimo Z = X + Y. Verjetnost, da je P (Z = z) za
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραRegresija in korelacija
Regresija in korelacija - Kvantitativne metode v geografiji in uvod v GIS - dr. Gregor Kovačič, doc. Odvisnost in povezanost Opazujemo primere, ko na vsaki enoti gledamo dve številski spremenljivki hkrati
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραMETODA FAKTORSKE ANALIZE je osnovana na analizi medsebojnih korelacij. Tu potrebujemo neko vsebinsko poznavanje oz. neko teorijo, da pojav x vpliva na
4. predavanje RVM Kvantitativne metode Borut Kodrič, Koper 4.6.2010 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 1. del Na podlagi česa ugotovimo kako sta dve spremenljivki med
Διαβάστε περισσότεραEkonometrija 1. Dvanajste vaje: Odsotnost koreliranosti slučajne spremenljivke in avtokorelacija.
Ekonometrija 1 Dvanajste vaje: Odsotnost koreliranosti slučajne spremenljivke in avtokorelacija. Na dvanajstih vajah bomo nadaljevali z obravnavo in preverjanjem predpostavke o odsotnosti avtokorelacije
Διαβάστε περισσότεραDISKRIMINANTNA ANALIZA
DISKRIMINANTNA ANALIZA Z diskriminantno analizo poiščemo tako linearno kombinacijo merjenih spremenljivk, da bo maksimalno ločila vnaprej določene skupine in da bo napaka pri uvrščanju enot v skupine najmanjša.
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραS programom SPSS se, glede na število ur, ne bomo ukvarjali. Na izpitu so zastavljena neka vprašanja, zraven pa dobimo računalniški izpis izračunov. T
2. predavanje RVM Kvantitativne metode Borut Kodrič, Koper 21.5.2010 Ključ za dostop do e-učilnice: RMD2009 Tekom srečanj bodo zadeve osvežene v smislu, da bodo okleščene. Morda bo dodan še kak rešen primer.
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότερα3. STATISTIKE Z DVEMA SPREMENLJIVKAMA
3. STATISTIKE Z DVEMA SPREMENLJIVKAMA Bivariatne metodo obravnavajo dve spremenljivki hkrati, zato so podatki zapisani: x 1 y 1 x 2 y 2 : : x n y n 3.1. KORELACIJSKI KOEFICIENT Mera stopnje linearne povezanosti
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραZanesljivost psihološkega merjenja. Osnovni model, koeficient α in KR-21
Zanesljivost psihološkega merjenja Osnovni model, koeficient α in KR- Osnovni model in KTT V kolikšni meri na testne dosežke vplivajo slučajne napake? oziroma, kako natančno smo izmerili neko lastnost.
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραSTATISTIKA ANALIZA VARINCE Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak
STATISTIKA ANALIZA VARINCE 16.3.011 Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak ANALIZA VARIANCE Proučuje, kako ena ali več neodvisnih spremenljivk (faktorjev) vpliva na slučajno odvisno spremenljivko Y, ki meri izid
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραUnivariatna in bivariatna statistika
Univariatna in bivariatna statistika Aleš Žiberna 14. oktober 2011 Kazalo 1 Uporabljeni podatki 2 2 Osnovne statistike 2 3 Preverjanje domnev o srednjih vrednostih in pripadajoči intervali zaupanja 12
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραPOSTAVITEV IN TESTIRANJE HIPOTEZ
Osnove biometrije 1 Poglavje 1 POSTAVITEV IN TESTIRANJE HIPOTEZ Testiranje hipotez je osrednja naloga pri vsaki obdelavi podatkov. Od postavitve hipotez je odvisen načrt preizkusa, torej moramo hipoteze
Διαβάστε περισσότεραOsnove statistike. Drago Bokal Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru. 1.
Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru 1. marec 2010 Obvestila. http://um.fnm.uni-mb.si/ Prosojnice se lahko spremenijo v tednu po predavanjih.
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότερα6. Preverjanje predpostavk klasičnega regresijskega modela
6. Preverjanje predpostavk klasičnega regresijskega modela doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 Motivacija 1/93 Preverjanje predpostavke
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότερα8.4 χ 2 -preizkus Preizkušanje hipoteze enake verjetnosti
8.4 χ 2 -preizkus V pedagoških raziskavah imamo veliko pogosteje opravka z opisnimi spremenljivkami kot pa s številskimi spremenljivkami. Do sedaj opisani preizkusi o aritmetičnih sredinah, o standardnih
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραMetoda glavnih komponent
Metoda glavnih komponent Metoda glavnih kompnent je ena najpogosteje uporabljenih multivariatnih metod. Osnoval jo je Karl Pearson (1901). Največ zaslug za nadaljni razvoj pa ima Hotelling (1933). Osnovna
Διαβάστε περισσότεραNekateri primeri sklopov izpitnih vprašanj pri predmetu Naključni pojavi
Nekateri primeri sklopov izpitnih vprašanj pri predmetu Naključni pojavi 1. Izpeljite Binomsko porazdelitev in pokažite kako pridemo iz nje do Poissonove porazdelitve? 2. Kako opišemo naključne lastnosti
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραPOSTAVITEV IN TESTIRANJE HIPOTEZ
Biometrija 1 Poglavje 1 POSTAVITEV IN TESTIRANJE HIPOTEZ Testiranje hipotez je osrednja naloga pri vsaki obdelavi podatkov. Od postavitve hipotez je odvisen načrt preizkusa, torej moramo hipoteze postaviti
Διαβάστε περισσότεραPostavitev hipotez NUJNO! Milena Kova. 10. januar 2013
Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova 10. januar 2013 Osnove biometrije 2012/13 1 Postavitev in preizku²anje hipotez Hipoteze zastavimo najprej ob na rtovanju preizkusa Ob obdelavi jih morda malo popravimo
Διαβάστε περισσότεραFazni diagram binarne tekočine
Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIČNI TESTI Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak
NEPARAMETRIČNI TESTI 5.3.011 Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak Slabosti parametričnih preizkusov: -stroge predpostavke (predpostavka o normalni porazdelitvi) -veliko računanja -težave, če spremenljivke niso
Διαβάστε περισσότερα1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...
ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE STATISTIKE. FKKT-kemijski tehnologi 1.letnik Miran Černe
OSNOVE STATISTIKE FKKT-kemijski tehnologi 1.letnik 2010 Miran Černe Statistika je način, kako iz množice podatkov izluščiti ustrezne informacije. Izraz izhaja iz latinskih besed STATUS = stanje STATO =
Διαβάστε περισσότεραKvantni delec na potencialnem skoku
Kvantni delec na potencialnem skoku Delec, ki se giblje premo enakomerno, pride na mejo, kjer potencial naraste s potenciala 0 na potencial. Takšno potencialno funkcijo zapišemo kot 0, 0 0,0. Slika 1:
Διαβάστε περισσότεραRegularizacija. Poglavje Polinomska regresija
Poglavje 5 Regularizacija Pri vpeljavi linearne regresije v prejšnjem poglavju je bil cilj gradnja modela, ki se čimbolj prilega učni množici. Pa je to res pravi kriterij za določanje parametrov modela?
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραVPLIVI SPREMINJANJA CEN POGONSKIH GORIV NA DOLOČENE SPREMENLJIVKE
VPLIVI SPREMINJANJA CEN POGONSKIH GORIV NA DOLOČENE SPREMENLJIVKE MAJA TAVČAR MPRESTOR@GMAIL.COM POVZETEK Skozi celotno statistično analizo sem ugotovila, da na prodajo avtomobilov v Sloveniji vplivajo
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραŽelim Vam obilo uspeha pri reševanju! Predmet / Course: EKONOMETRIJA 1 (pisni izpit / final exam) Ime in priimek / First and last name: Datum / Date:
Predmet / Course: EKONOMETRIJA 1 (pisni izpit / final exam) Datum / Date: Ime in priimek / First and last name: Čas trajanja izpita / Exam duration: 180 minut Dovoljeni pripomočki / Aids permitted: navadni
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραSpecifični faktorji E i bodo imeli majhne variance, če so opazovane spremenljivke blizu faktorju F.
Faktorska analiza Med metodami za pregledovanje podatkov smo omenili metodo glavnih komponent. Cilj te metode je določiti manjše število linearnih kombinacij merjenih spremenljivk tako, da z njimi pojasnimo
Διαβάστε περισσότεραMaja Pohar Perme. Verjetnost in statistika z nalogami
Maja Pohar Perme Verjetnost in statistika z nalogami Ljubljana, 2014 Skripte Ekonomske fakultete Maja Pohar Perme Verjetnost in statistika z nalogami Založila : Šifra: Recenzenta: Objavljeno na spletni
Διαβάστε περισσότεραΜενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 6 ο
Παράδειγμα 1 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις πωλήσεις (ζήτηση) ενός προϊόντος Υ (σε κιλά) από το delicatessen μιας περιοχής και τις αντίστοιχες τιμές Χ του προϊόντος (σε ευρώ ανά κιλό) για μια ορισμένη χρονική
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότερα8. MULTIVARIATNE METODE 8.1. Uvod Zakaj jih uporabljati
8. MULTIVARIATNE METODE 8.1. Uvod 8.1.1. Zakaj jih uporabljati Multivariatne metode omogočajo sočasno analizo kakršnegakoli števila spremenljivk. Poseben problem predstavlja grafična predstavitev več kot
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραMULTIVARIATNA ANALIZA VARIANCE
Univerza v Ljubljani Filozofska fakulteta Oddelek za psihologijo MULTIVARIATNA ANALIZA VARIANCE MULTIVARIATNE METODE PREDSTAVITEV Študijsko leto 2002/2003 MIHA KOČEVAR Ljubljana, 13.12.2002 13.12.2002
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραUL FGG GR B II - Verjetnostni račun in statistika. Poskus, izid. Dogodek. Notes. Notes. Notes. Uvod. Osnovni pojmi.
UL FGG GR B II - Verjetnostni račun in statistika Marjeta Kramar Fijavž, oktober 2014 Uvod Osnovni pojmi Poskus in dogodek Računanje z dogodki Definicije verjetnosti Pogojna verjetnost, neodvisnost dogodkov
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραVAJE IZ OSNOV VERJETNOSTI IN STATISTIKE. Martin Raič
VAJE IZ OSNOV VERJETNOSTI IN STATISTIKE Martin Raič Datum zadnje spremembe: 3. januar 2016 Kazalo 1. Osnove kombinatorike 3 2. Elementarna verjetnost 4 3. Pogojna verjetnost 6 4. Diskretne slučajne spremenljivke
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραAfina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος
ΤΜΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΜΑΤΩΝ Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος - Στο παρόν µάθηµα δίνεται µε κάποια απλά παραδείγµατα-ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 11. Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις:
Άσκηση. Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις: X X X X Y 7 50 6 7 6 6 96 7 0 5 55 9 5 59 6 8 8 5 0 59 7 7 8 8 5 5 0 7 69 9 6 6 7 6 9 5 7 6 8 5 6 69 8 0 50 66 0 0 50 8 59 76 8 7 60 7 87 6 5 7 88 9 8 50 0 5
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότερα