Algebraične strukture
|
|
- Αταλάντη Γεωργιάδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice priredi nek element iz iste množice. Primeri binarnih operacij so seštevanje, množenje, odštevanje... Za binarne operacije na množicah lahko veljajo različne lastnosti. Glede na to ločimo več (abstraktnih) algebraičnih struktur. Zakaj vpeljemo te strukture? Izreki in trditve, ki veljajo za določeno abstraktno algebraično strukturo, potem veljajo za vse konkretne zglede te strukture in nam jih ni potrebno obravnavati za vsak zgled posebej. Algebraičnih struktur, ki jih bomo predstavili v tem poglavju, ne bomo podrobno študirali. Spoznali jih bomo le zato, ker nastopajo v definiciji vektorskega prostora, ki je osnovna algebraična struktura v linearni algebri. 1 Polgrupa, monoid in grupa Imamo neko (neprazno) množico M. Množico vseh (urejenih) parov (a, b), a,b M, označimo z M M. Podobno za dve neprazni množici M 1 in M 2 označimo z M 1 M 2 množico vseh urejenih parov (a,b), kjer je prvi element a M 1 in drugi element b M 2. Binarna operacija na množici M je preslikava : M M M. Binarna operacija tako urejenemu paru elementov iz M priredi nek element iz M. Zgled ) Na množici realnih števil poznamo več binarnih operacij: +,,. 2.) Na množici pozitivnih realnih števil so definirane naslednje binarne operacije: +,,, /. 3.) Na množici R n imamo binarno operacijo +. 85
2 86 POGLAVJE V. ALGEBRAIČNE STRUKTURE 4.) Na R 3 je vektorski produkt binarna operacija. 5.) Skalarni produkt na R n, n 2, pa ni binarna operacija, saj paru vektorjev priredi skalar. 6.) Na množici naravnih števil N sta binarni operaciji + in. Operaciji odštevanje in deljenje pa nista binarni operaciji na N, saj se lahko zgodi, da rezultat ni naravno število. Npr. 1 2, ali 2/3. Lastnosti binarnih operacij: : M M M 1.) je asociativna, če velja (a b) c = a (b c) za poljubne a, b, c M. Rečemo tudi, da za velja asociativnost. 2.) Element e M je enota, če velja a e = a in e a = a za vse a M. 3.) Če je e M enota, potem je b inverz elementa a, če velja a b = e in b a = e. Inverz označimo z a 1 ali z a kadar je operacija seštevanje +. 4.) je komutativna, če velja a b = b a za vse a, b M. Rečemo tudi, da za velja komutativnost. Definicija 1.2 Naj bo : M M M binarna operacija na M. Potem rečemo, da je (M, ) polgrupa, če je operacija asociativna. Če je (M, ) polgrupa in v njej obstaja enota e, potem rečemo, da je (M, ) monoid. Opazimo, da je e e = e in zato je e 1 = e. Če je (M, ) monoid in ima vsak element iz M inverz, potem rečemo, da je (M, ) grupa. Če je v polgrupi, monoidu ali grupi (M, ) operacija komutativna, potem rečemo, da je (M, ) komutativna polgrupa, komutativni monoid ali komutativna grupa. Komutativno grupo imenujemo tudi Abelova grupa. Opomba 1.3 Največkrat bo že iz konteksta jasno, katero binarno operacijo mislimo. Tako bomo poslej pogosto pisali kar M namesto (M, ). Rekli bomo, da je M polgrupa, monoid ali grupa. Kadar je operacija na M seštevanje in jo označimo s +, potem za inverz elementa a M uporabimo običajno oznako a (in ne a 1 ). Zgled ) (R,+) je Abelova grupa. Enota je 0 in inverz a. 2.) (R, ) je komutativen monoid. Enota je 1.
3 1. POLGRUPA, MONOID IN GRUPA 87 3.) (R, ) ni niti polgrupa, saj binarna operacija odštevanje ni asociativna. Na primer: 4 = (1 2) 3 1 (2 3) = 2. 4.) R + = {α R ; α > 0} je Abelova grupa za množenje. Enota je 1 in inverz α 1. 5.) (R n,+) je Abelova grupa. Enota je vektor 0 in inverz vektorja v R n je vektor v. 6.) (R m n,+) je Abelova grupa. Enota je matrika 0 in inverz matrike A R m n je matrika A. 7.) (R n n, ), (n 2), je monoid, ki ni komutativen. Enota je I. 8.) (R 3, ) ni niti polgrupa, saj vektorski produkt ni asociativen. 9.) Naj bo M = {f : R R} množica vseh funkcij in operacija kompozitum funkcij. Potem je M monoid, enota je funkcija f(x) = x za x R. Definicija 1.5 Naj bo (M, ) polgrupa in N M neprazna podmnožica. Če je a b N za poljubna a, b N, potem rečemo, da je notranja operacija za N, oziroma, da je N zaprta podmnožica za operacijo. Če je N zaprta za, potem je tudi (N, ) polgrupa, saj je (M, ) polgrupa. Rečemo, da je N podpolgrupa v M. Podobno definiramo tudi pojma podmonoid in podgrupa: Če je (M, ) monoid z enoto e in N M neprazna množica, za katero je notranja operacija in e N, potem rečemo, da je N podmonoid v M. Če je (M, ) grupa (e enota v M) in N M neprazna množica, za katero je notranja operacija, e N in za vsak a N je tudi a 1 v N, potem rečemo, da je N podgrupa. Trditev 1.6 Naj bo M grupa. Potem je N M podgrupa natanko tedaj, ko je a b 1 N, za poljubna a, b N. Dokaz Naj bo N M podgrupa in a, b N. Potem je tudi b 1 N in zato tudi a b 1 N. Obratno, denimo, da je a b 1 N za poljubna a, b N. Če vzamemo a = b N, dobimo a a 1 = e N. Če vzamemo sedaj a = e in izberemo nek b N, je tudi b 1 N in zato je a (b 1 ) 1 = a b N. Tako smo preverili, da je N res podgrupa v M.
4 88 POGLAVJE V. ALGEBRAIČNE STRUKTURE Zgled ) Z R za seštevanje je podgrupa. Velja namreč m n Z za poljubni celi števili m in n. 2.) (R\{0}, ) je Abelova grupa. Z\{0} R\{0} pa je samo podmonoid. Produkt m n poljubnih celih števil je spet celo število in 1 Z. Ker je 2 1 / Z, Z ni podgrupa. 3.) Naj bo T n podmnožica zgornje-trikotnih matrik v R n n in naj bo binarna operacija seštevanje matrik. Potem je T n podgrupa v R n n. 4.) Označimo Gl n (R) = {A R n n ; deta 0}. Množica Gl n (R) je grupa za binarno operacijo množenja matrik: Vemo, da je množenje matrik asociativno, enota je I in A 1 je inverz. Posledica 5.7 nam pove, da je produkt dveh obrnljivih matrik spet obrnljiva matrika. Zato je Gl n (R) zaprta za množenje. Ker velja deta 1 = (det A) 1 in deti = 1, sledi I, A 1 Gl n (R). Torej je Gl n (R) grupa, ki pa ni Abelova grupa. Označimo Sl n (R) = {A R n n ; deta = 1}. Sl n (R) je podgrupa v Gl n (R): Če je det A = detb = 1, je potem tudi det (AB 1 ) = (deta) ( det (B 1 ) ) = deta (detb) 1 = 1. Zato je AB 1 Sl n (R). 5.) Označimo z D n množico vseh obrnljivih diagonalnih matrik v R n n. Potem je D n podgrupa v Gl n (R). 6.) M = {f : R R} množica vseh realnih funkcij in N podmnožica vseh zveznih funkcij f : R R. Potem je N podmonoid v M. 2 Kolobar in obseg Naj bo M neprazna množica. Denimo, da imamo na M dve binarni operaciji, ki ju označimo s + : M M M in : M M M. Operacijo + imenujemo seštevanje in operacijo množenje. Rečemo, da sta operaciji + in distributivni, če velja poljubne a, b, c M. (a + b) c = (a c) + (b c) in a (b + c) = (a b) + (a c) za
5 2. KOLOBAR IN OBSEG 89 1.) Množica realnih števil R ima operaciji + in, ki sta distrib- Zgled 2.1 utivni. 2.) Množica R n n ima dve operaciji + in, ki sta distributivni. 3.) Množica R 3 ima dve operaciji + in, ki sta distributivni. Definicija 2.2 Rečemo, da je množica M kolobar, če za binarni operaciji + in na M velja: 1.) (M,+) je Abelova grupa, 2.) (M, ) je polgrupa, 3.) operaciji + in sta distributivni. Če je še (M, ) monoid, rečemo, da je K kolobar z enoto. Če pa je (M, ) komutativna polgrupa, pa rečemo, da je M komutativen kolobar. Množica M je obseg, če za binarni operaciji + in velja: 1.) (M,+) je Abelova grupa (z enoto 0), 2.) (M\{0}, ) je grupa, 3.) operaciji + in sta distributivni. Če je še (M, ) komutativen monoid, potem rečemo, da je M komutativen obseg (za komutativen obseg se včasih uporablja tudi izraz polje). Zgled ) (R,+, ) je komutativen obseg. 2.) (R n n,+, ) je kolobar z enoto. 3.) R[x] = {a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 ; a n,a n 1,...,a 1,a 0 R, n N} je množica vseh polinomov s koeficienti v R. R[x] je komutativen kolobar z enoto. 4.) (Z,+, ) je komutativen kolobar z enoto (ki ni obseg). 5.) (Q,+, ) je komutativen obseg. 6.) C = {a + bi ; a,b R, i 2 = 1} je množica vseh kompleksnih števil. Operaciji na C sta definirani s predpisoma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i.
6 90 POGLAVJE V. ALGEBRAIČNE STRUKTURE za poljubne a, b, c, d R. Množica je komutativen obseg. Enota za seštevanje je 0 in inverz števila a + bi za seštevanje je a bi. Enota za 1 množenje je 1 in inverz neničelnega kompleksnega števila je (a bi). a 2 +b 2 Preveri za vajo, da so izpolnjene vse zahteve in da je C res komutativen obseg. {[ ] } α β 7.) Naj bo H = ; α, β C, ter + in operaciji seštevanja in β α množenja matrik (ki sta definirani enako kot za matrike, katerih elementi so realna števila). Preveri za vajo, da je H obseg, ki ni komutativen. H imenujemo obseg kvaternionov. Definicija 2.4 Naj bo M kolobar. Neprazna množica N M je podkolobar, če je N podgrupa za seštevanje in podpolgrupa za množenje. Naj bo M obseg in N M neprazna podmnožica. Potem rečemo, da je N podobseg, če je N podgrupa za seštevanje in N\{0} podgrupa za množenje. Zgled ) Z R je podkolobar, ki ni podobseg. 2.) T n R n n je podkolobar. 3.) R C je podobseg. 4.) Naj bo 2Z množica vseh sodih celih števil. Potem je 2Z podkolobar v kolobarju Z. Opazimo še, da kolobar 2Z nima enote za množenje. 3 Kolobar ostankov celih števil Naj bo n N, n 2. Potem v množici Z n = {0, 1,...,n 1} vpeljemo dve binarni operaciji. Seštevanje je definirano takole: i+j = { i+j, če je i + j n 1, i + j n, če je i + j n. Povedano drugače, vsota i+j je enaka ostanku pri deljenju i + j z n.
7 3. KOLOBAR OSTANKOV CELIH ŠTEVIL 91 Zgled 3.1 Za n = 3 je seštevanje v Z 3 podano z naslednjo tabelo: Preverimo, da je (Z n,+) Abelova grupa. Naj bodo i, j, k Z n. Potem je i + j + k, če je i + j + k n 1 (i+j)+k = i + j + k n, če je n i + j + k 2n 1 i + j + k 2n, če je 2n i + j + k = i+(j+k). Seštevanje je torej asociativno. Enota za seštevanje je 0, inverz števila i ( 0) pa je n i. Seštevanje je komutativno. Množenje v Z n definiramo takole: i j = ostanek pri deljenju produkt ij z n. Zgled 3.2 Tabeli za množenje v Z 3 in Z 4 sta naslednji: in Preverimo, da je Z n komutativen kolobar z enoto. V kolobarju Z velja (ij)k = (r 1 + s 1 n)k = r 2 + s 2 n i(jk) = i(r 3 s 3 n) = r 4 + s 4 n. in Pri tem je ij = r 1 + s 1 n in je r 1 ostanek pri deljenju ij z n. Podobno dobimo tudi r 2, r 3 in r 4. Torej je r 2 r 4 = (s 4 s 2 )n enako 0 ali pa deljivo z n. Ker 0 r 2 n 1 in 0 r 4 n 1, mora biti r 2 = r 4. Zato v Z n velja asociativnost (ij)k = i(jk). Enota za množenje je 1. Distributivnost seštevanja in množenja preverimo podobno, kot smo preverili asociativnost množenja. Množenje je komutativno. Ali je Z n obseg? Z n je obseg natanko takrat, ko je Z n \{0} Abelova grupa za množenje.
8 92 POGLAVJE V. ALGEBRAIČNE STRUKTURE Zgled 3.3 Poiščimo tabeli za množenje v Z n \{0} za n = 4 in n = in Vidimo, da v Z 4 \{0} množenje ni notranja operacija, saj je 2 2 = 0. Torej Z 4 ni obseg. Iz tabele za množenje v Z 5 \{0} vidimo, da je množenje notranja operacija in da imamo v vsaki vrstici element 1. Zato ima vsak element inverz za množenje. Ker smo asociativnost, obstoj enote, distributivnost in komutativnost že preverili, je Z 5 \{0} Abelova grupa in Z 5 komutativen obseg. Izrek 3.4 Kolobar Z n je obseg natanko takrat, ko je n praštevilo. Dokaz Če n ni praštevilo, potem je n = q r za dve naravni števili q in r iz množice {2,3,...,n 1}. Zato je q r = 0 v Z n. Množenje v Z n \{0} ni notranja operacija in Z n ni obseg. Obratno, naj bo n praštevilo. Izberimo i {2,3,...,n 1}. Ker je n praštevilo, sta števili i in n tuji. Zato obstajata taki naravni števili p in q, da je p n + q i = 1. Pri tem lahko izberemo 1 q n 1. Če to ne velja, q delimo z n in imamo q = sn + q, kjer je 1 q n 1. Potem je (p + s)n + q i = 1 in 1 q n 1. Privzemimo, da je pn + qi = 1 in 1 q n 1. Potem v Z n velja q i = 1 in q je inverz za i. Ker je bil i poljuben neničeln element, je Z n obseg. 4 Homomorfizem in izomorfizem Definicija 4.1 Naj bosta (M 1, 1 ) in (M 2, 2 ) dve polgrupi. Preslikavo ϕ : M 1 M 2 imenujemo homomorfizem polgrup, če je ϕ(a 1 b) = ϕ(a) 2 ϕ(b) za vse a, b M 1. Če sta (M 1, 1 ) in (M 2, 2 ) monoida (oziroma grupi), potem preslikavo z lastnostjo ϕ(a 1 b) = ϕ(a) 2 ϕ(b) za vse a, b M 1, imenujemo homomorfizem monoidov (oziroma homomorfizem grup).
9 4. HOMOMORFIZEM IN IZOMORFIZEM 93 Zgled ) Naj bo M 1 = M 2 = N in operacija seštevanje. Potem pokažimo, da je preslikava ϕ : N N, ϕ(n) = 2n homomorfizem polgrup. Velja namreč ϕ(n + m) = 2(n + m) = 2n + 2m = ϕ(n) + ϕ(m). 2.) Naj bo M 1 = R Abelova grupa za seštevanje + in M 2 = R Abelova grupa za množenje. Dana je preslikava ϕ(x) = e x. Pokažimo, da je ϕ homomorfizem grup: ϕ(x + y) = e x+y = e x e y = ϕ(x) ϕ(y). 3.) Naj bosta R R m m in S R n n dve matriki. Preslikava ϕ : R m n R m n naj bo definirana s predpisom ϕ(a) = RAS. ϕ je homomorfizem Abelove grupe R m n nase: ϕ(a + B) = R(A + B)S = RAS + RBS = ϕ(a) + ϕ(b). Definicija 4.3 Naj bo M 1 M 2 homomorfizem (polgrup, monoidov ali grup). Potem rečemo, da je ϕ izomorfizem (polgrup, monoidov ali grup), če je ϕ bijektivna preslikava. Zgled ) Preslikava ϕ : R R +, ϕ(x) = e x, je izomorfizem (R,+) na (R +, ). Pri tem je R + množica vseh pozitivnih realnih števil. Da je ϕ(x) homomorfizem, vemo iz zgleda 2.) malo prej. Bijektivnost funkcije f(x) = e x kot preslikave iz R v R + smo dokazali pri predavanjih iz Matematike. 2.) Če sta R Rm m in S R n n obrnljivi matriki, potem je preslikava ϕ(a) = RAS, ϕ : R m n R m n izomorfizem. Da je ϕ homomorfizem, smo že pokazali. Ker sta R in S obrnljivi, iz RAS = RBS dobimo A = B. Injektivnost sledi. Če je A Rm n, potem je ϕ(r 1 AS 1 ) = A in zato je ϕ surjektivna. Trditev 4.5 Naj bosta M 1 in M 2 grupi in 1 A M 1 in 1 B M 2 njuni enoti. Če je ϕ : M 1 M 2 homomorfizem, potem je ϕ(1 A ) = 1 B in ϕ(a 1 ) = ϕ(a) 1. Dokaz Ker je ϕ : M 1 M 2 homomorfizem grup, velja ϕ(a) = ϕ(1 A 1 a) = ϕ(1 A ) 2 ϕ(a)
10 94 POGLAVJE V. ALGEBRAIČNE STRUKTURE za vsak a M 1. Ker je M 2 grupa, ima ϕ(a) inverz za operacijo 2. Zato je 1 B = ϕ(a) 2 ϕ(a) 1 in tudi 1 B = [ϕ(1 A ) 2 ϕ(a)] 2 ϕ(a) 1 = ϕ(1 A ). Za vsak a M 1 velja ϕ(1 A ) = ϕ(a 1 a 1 ) = ϕ(a) 2 ϕ(a 1 ). Ker je ϕ(1 A ) = 1 B, sledi enakost ϕ(a 1 ) = ϕ(a) 1. Definicija 4.6 Naj bosta (K 1,+ 1, 1) in (K 2, + 2, 2) dva kolobarja. Preslikava ϕ : K 1 K 2 je homomorfizem kolobarjev, če velja ϕ(a + 1 b) = ϕ(a) + 2 ϕ(b) za vse a, b K 1 (V.1) in ϕ(a 1 b) = ϕ(a) 2 ϕ(b) za vse a, b K 1. (V.2) Če sta K 1 in K 2 obsega, preslikavo ϕ : K 1 K 2 z lastnostima (V.1) in (V.2) imenujemo homomorfizem obsegov. Bijektivni homomorfizem (kolobarjev, obsegov) imenujemo izomorfizem (kolobarjev, obsegov). Zgled ) Naj bo S R n n obrnljiva matrika. Potem je preslikava ϕ : R n n R n n, ϕ(a) = SAS 1, homomorfizem kolobarja R n n nase. ϕ je celo izomorfizem: - ϕ(a + B) = S(A + B)S 1 = SAS 1 + SBS 1 = ϕ(a) + ϕ(b) - ϕ(ab) = SABS 1 = SAS 1 SBS 1 = ϕ(a) ϕ(b) - ϕ je injektiven: iz SAS 1 = SBS 1 sledi A = B. - ϕ je surjektiven: za A R n n je ϕ(s 1 AS) = A. 2.) Za vajo preveri, da je preslikava homomorfizem (kolobarjev). ϕ : C R 2 2 [ ] a b ϕ(a + b i) = b a 3.) Naj bo n neko naravno število večje ali enako 2 in ϕ : Z Z n preslikava definirana s pravilom ϕ(m) je ostanek pri deljenju m z n. Preveri za vajo, da je ϕ homomorfizem kolobarjev.
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO. Petra MATEMATIKA I
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek, Matevž Črepnjak Visokošolski učbenik z rešenimi nalogami MATEMATIKA I Maribor 03 Naslov publikacije: Visokošolski
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0 Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza I. (študijsko gradivo) Matija Cencelj
Analiza I (študijsko gradivo) Matija Cencelj 2. maj 2007 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Izjave............................... 5 1.2 Množice.............................. 7 1.3 Relacije..............................
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA ZA BIOLOGE
MATEMATIKA ZA BIOLOGE Zapiski predavanj Milan Hladnik Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana 2006 KAZALO I. DISKRETNA MATEMATIKA 3 1. Množice, relacije, funkcije 3 2. Kombinatorika in verjetnost 9
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραPolgrupe i grupe (1) Razišči strukturo asledjih grupoidov: (a) S = R za operacijo x y = x + y + xy, { [ ] 1 x (b) S = 0 1 x R za operacijo možeje matrik, (c) S = R 3 za operacijo vektorski produkt, (d)
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραAFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA
Aleš Vavpetič AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA Ljubljana 2011 ii naslov: AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA avtorske pravice: Aleš Vavpetič izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba Aleš Vavpetič, Ljubljana
Διαβάστε περισσότεραOsnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότερα1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006
1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006 1. Dana je množica predpostavk p q r s, r t, s q, s p r, s t in zaključek t r. Odloči, ali je sklep pravilen ali napačen. pravilen, zapiši
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότερα(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe
(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe Maša Lah, Sabina Boršić, Klara Drofenik Mentor: Rok Gregorič Matematično raziskovalno srečanje 24. avgust 2016 Povzetek Cilj našega projekta je bil ugotoviti kriterij
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko MATEMATIKA Univerzitetni učbenik AJDA FOŠNER IN MAJA FOŠNER Junij, 2008 Kazalo 1 Množice 5 11 Matematična logika 5 12 Množice 10 2 Preslikave 18 21 Realne funkcije
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik BOJANA ZALAR Celje 2009 Izdala: Fakulteta za logistiko Univerze v Mariboru Naslov: Uporaba matematičnih metod
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότερα22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni?
FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/06 1. Definicija enakosti množic (funkcij, kompleksnih števil, urejenih n teric)? 2. Definicija kartezičnega produkta množic A in B. Definicija množice R n. 3. Popolna
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Jaka Cimprič
Matematika 1 Jaka Cimprič Predgovor Pričujoči učbenik je namenjen študentom tistih univerzitetnih programov, ki vključujejo samo eno leto matematike. Nastala je na podlagi izkušenj, ki jih imam s poučevanjem
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi nad grafi v jeziku linearne algebre
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Tinkara Toš Algoritmi nad grafi v jeziku linearne algebre DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna geometrija
Diferencialna geometrija Pavle Saksida Oddelek za matematiko Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Maj, 2007 1 Uvod V evklidskih prostorih imamo dobro definiran pojem vzporednosti. Izberimo
Διαβάστε περισσότεραVAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič
VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva Martin Raič OSNUTEK Kazalo 1. Ponovitev 2 2. Ravninska in prostorska geometrija 5 3. Linearna algebra 7 4. Ponavljanje pred kolokvijem 8 M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO)
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραRiemannove ploskve in analitična geometrija. Franc Forstnerič
Riemannove ploskve in analitična geometrija Franc Forstnerič 11. februar 2018 Kazalo I Uvod v Riemannove ploskve 1 I.1 Motivacija.................................... 1 I.2 Definicija Riemannove ploskve
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 7 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju.??? Ko sem
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2014 2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijska smer: Fizika in matematika SANDRA BOLTA
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραShefferjeva polinomska zaporedja
Shefferjeva polinomska zaporedja Marko Razpet Matematični kolokviji Ljubljana, 23. marca 2006 Page 1 of 63 Predstavljen bo osnovni koncept umbralnega računa, kakršnega sta razvila Gian-Carlo Rota in Steven
Διαβάστε περισσότεραSimetrični stožci v evklidskih prostorih
Simetrični stožci v evklidskih prostorih Znanstvene monografije Fakultete za management Koper Uredniški odbor izr. prof. dr. Roberto Biloslavo prof. dr. Štefan Bojnec prof. dr. Slavko Dolinšek doc. dr.
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραFunkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.
II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραTRANZITIVNI GRAFI. Katarina Jan ar. oktober 2008
TRANZITIVNI GRAFI Katarina Jan ar oktober 2008 Kazalo 1 Uvodne denicije........................ 3 2 Vozli² na tranzitivnost.................... 8 3 Povezavna tranzitivnost.................... 10 4 Lo na
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραUniverza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar
Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper Geometrija Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Koper, 2007 PREDGOVOR Pričujoče študijsko gradivo je povzeto po naslednjih knigah Richard S. Millman, George
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότεραLogika in izjavni račun
Logika in izjavni račun 1. Zapiši pravilnostne tabele za negacijo, in, ali, ekskluzivni ali, implikacijo, ekvivalenco, nein in neali. 2. Zapiši prioritetno tabelo logičnih operacij. 3. Tone je izjavil
Διαβάστε περισσότεραOznake in osnovne definicije
Oznake in osnovne definicije B Plestenjak, JKozak: Numerične metode 2011-2012 1 / 53 Sistem n linearnih enačb z n neznankami a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b
Διαβάστε περισσότεραOsnove kompleksne analize MARKO SLAPAR
Osnove kompleksne analize MARKO SLAPAR Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Marko Slapar Osnove kompleksne analize Ljubljana, Avgust 22 Naslov: Osnove kompleksne analize Avtor: Marko Slapar Recenzenta:
Διαβάστε περισσότεραLogika in množice c
Logika in množice c226358 Andrej Bauer Davorin Lešnik 2018-02-01 2 Predgovor 4 Kazalo 1 Matematično izražanje 9 1.1 Pisave in simboli..................................... 9 1.2 Izrazi............................................
Διαβάστε περισσότεραSPEKTRALNA TEORIJA V HILBERTOVIH PROSTORIH
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in ra unalni²tvo Diplomsko delo SPEKTRALNA TEORIJA V HILBERTOVIH PROSTORIH Mentor: dr. Matej Bre²ar Kandidatka: Brigita
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II TEORIJA
Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko MTEMTIK. letnik VSŠ MTEMTIK II TEORIJ Maribor, 202 Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko
Διαβάστε περισσότεραTadeja Kraner Šumenjak MATEMATIKA. Maribor, 2010
Tadeja Kraner Šumenjak in Vilma Šuštar MATEMATIKA Maribor, 2010 2 CIP-kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor CIP številka Avtor Naslov publikacije/avtor, kraj, založnik ISBN Naslov
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότερα