Multivariatna analiza variance
|
|
|
- Σάτυριον Θεοτόκης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2 (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti med več odvisnimi (številskimi) in več neodvisnimi (opisnimi) spremenljivkami.
3 (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti med več odvisnimi (številskimi) in več neodvisnimi (opisnimi) spremenljivkami. Ponovimo:
4 (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti med več odvisnimi (številskimi) in več neodvisnimi (opisnimi) spremenljivkami. Ponovimo: S Studentovim T testom o enakosti povprečij testiramo, ali sta aritmetični sredini (povprečji) ene odvisne spremenljivke v dveh skupinah enaki (pripadata isti vzorčni porazdelitvi).
5 (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti med več odvisnimi (številskimi) in več neodvisnimi (opisnimi) spremenljivkami. Ponovimo: S Studentovim T testom o enakosti povprečij testiramo, ali sta aritmetični sredini (povprečji) ene odvisne spremenljivke v dveh skupinah enaki (pripadata isti vzorčni porazdelitvi). Z ANOVO testiramo, ali aritmetične sredine ene odvisne spremenljivke v dveh ali več skupinah pripadajo isti vzorčni porazdelitvi.
6 (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti med več odvisnimi (številskimi) in več neodvisnimi (opisnimi) spremenljivkami. Ponovimo: S Studentovim T testom o enakosti povprečij testiramo, ali sta aritmetični sredini (povprečji) ene odvisne spremenljivke v dveh skupinah enaki (pripadata isti vzorčni porazdelitvi). Z ANOVO testiramo, ali aritmetične sredine ene odvisne spremenljivke v dveh ali več skupinah pripadajo isti vzorčni porazdelitvi. MANOVA je posplošitev oz. razširitev ANOVE.
7 (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti med več odvisnimi (številskimi) in več neodvisnimi (opisnimi) spremenljivkami. Ponovimo: S Studentovim T testom o enakosti povprečij testiramo, ali sta aritmetični sredini (povprečji) ene odvisne spremenljivke v dveh skupinah enaki (pripadata isti vzorčni porazdelitvi). Z ANOVO testiramo, ali aritmetične sredine ene odvisne spremenljivke v dveh ali več skupinah pripadajo isti vzorčni porazdelitvi. MANOVA je posplošitev oz. razširitev ANOVE. Uporablja se za ugotavljanje razlik med skupinami glede na vrednosti več odvisnih spremenljivk.
8 (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti med več odvisnimi (številskimi) in več neodvisnimi (opisnimi) spremenljivkami. Ponovimo: S Studentovim T testom o enakosti povprečij testiramo, ali sta aritmetični sredini (povprečji) ene odvisne spremenljivke v dveh skupinah enaki (pripadata isti vzorčni porazdelitvi). Z ANOVO testiramo, ali aritmetične sredine ene odvisne spremenljivke v dveh ali več skupinah pripadajo isti vzorčni porazdelitvi. MANOVA je posplošitev oz. razširitev ANOVE. Uporablja se za ugotavljanje razlik med skupinami glede na vrednosti več odvisnih spremenljivk. Opomba: Skupine so določene z vrednostmi neodvisnih spremenljivk.
9 ANOVA Analiza variance Uporabimo jo za testiranje enakosti povprečij pri k 4 neodvisnih skupinah (lahko tudi za k = 2 in k = 3.)
10 ANOVA Analiza variance Uporabimo jo za testiranje enakosti povprečij pri k 4 neodvisnih skupinah (lahko tudi za k = 2 in k = 3.) BISTVO: Skupno variabilnost razdelimo na dve komponenti (pojasnjeno in nepojasnjeno).
11 ANOVA Analiza variance Uporabimo jo za testiranje enakosti povprečij pri k 4 neodvisnih skupinah (lahko tudi za k = 2 in k = 3.) BISTVO: Skupno variabilnost razdelimo na dve komponenti (pojasnjeno in nepojasnjeno). Oznake in predpostavke:
12 ANOVA Analiza variance Uporabimo jo za testiranje enakosti povprečij pri k 4 neodvisnih skupinah (lahko tudi za k = 2 in k = 3.) BISTVO: Skupno variabilnost razdelimo na dve komponenti (pojasnjeno in nepojasnjeno). Oznake in predpostavke: Imamo k skupin.
13 ANOVA Analiza variance Uporabimo jo za testiranje enakosti povprečij pri k 4 neodvisnih skupinah (lahko tudi za k = 2 in k = 3.) BISTVO: Skupno variabilnost razdelimo na dve komponenti (pojasnjeno in nepojasnjeno). Oznake in predpostavke: Imamo k skupin. Imamo k neodvisnih vzorcev velikosti n 1, n 2,..., n k (n 1 + n n k = n).
14 ANOVA Analiza variance Uporabimo jo za testiranje enakosti povprečij pri k 4 neodvisnih skupinah (lahko tudi za k = 2 in k = 3.) BISTVO: Skupno variabilnost razdelimo na dve komponenti (pojasnjeno in nepojasnjeno). Oznake in predpostavke: Imamo k skupin. Imamo k neodvisnih vzorcev velikosti n 1, n 2,..., n k (n 1 + n n k = n). X i meri količino, ki nas zanima na vzorcu i (i = 1, 2,..., k).
15 ANOVA Analiza variance Uporabimo jo za testiranje enakosti povprečij pri k 4 neodvisnih skupinah (lahko tudi za k = 2 in k = 3.) BISTVO: Skupno variabilnost razdelimo na dve komponenti (pojasnjeno in nepojasnjeno). Oznake in predpostavke: Imamo k skupin. Imamo k neodvisnih vzorcev velikosti n 1, n 2,..., n k (n 1 + n n k = n). X i meri količino, ki nas zanima na vzorcu i (i = 1, 2,..., k). X 1 N(µ 1, σ), X 2 N(µ 2, σ),..., X k N(µ k, σ).
16 ANOVA Analiza variance Uporabimo jo za testiranje enakosti povprečij pri k 4 neodvisnih skupinah (lahko tudi za k = 2 in k = 3.) BISTVO: Skupno variabilnost razdelimo na dve komponenti (pojasnjeno in nepojasnjeno). Oznake in predpostavke: Imamo k skupin. Imamo k neodvisnih vzorcev velikosti n 1, n 2,..., n k (n 1 + n n k = n). X i meri količino, ki nas zanima na vzorcu i (i = 1, 2,..., k). X 1 N(µ 1, σ), X 2 N(µ 2, σ),..., X k N(µ k, σ). Vzorčni podatki i-te skupine: x i1, x i2,..., x ini.
17 ANOVA Analiza variance Uporabimo jo za testiranje enakosti povprečij pri k 4 neodvisnih skupinah (lahko tudi za k = 2 in k = 3.) BISTVO: Skupno variabilnost razdelimo na dve komponenti (pojasnjeno in nepojasnjeno). Oznake in predpostavke: Imamo k skupin. Imamo k neodvisnih vzorcev velikosti n 1, n 2,..., n k (n 1 + n n k = n). X i meri količino, ki nas zanima na vzorcu i (i = 1, 2,..., k). X 1 N(µ 1, σ), X 2 N(µ 2, σ),..., X k N(µ k, σ). Vzorčni podatki i-te skupine: x i1, x i2,..., x ini. Izberemo stopnjo značilnosti α.
18 Na stopnji značilnosti α testiramo ničelno hipotezo
19 Na stopnji značilnosti α testiramo ničelno hipotezo H 0 (µ 1 = µ 2 =... = µ k ) proti alternativi
20 Na stopnji značilnosti α testiramo ničelno hipotezo H 0 (µ 1 = µ 2 =... = µ k ) proti alternativi H 1 (vsaj eno povprečje je različno od ostalih).
21 Na stopnji značilnosti α testiramo ničelno hipotezo H 0 (µ 1 = µ 2 =... = µ k ) proti alternativi H 1 (vsaj eno povprečje je različno od ostalih). Naj bodo
22 Na stopnji značilnosti α testiramo ničelno hipotezo H 0 (µ 1 = µ 2 =... = µ k ) proti alternativi H 1 (vsaj eno povprečje je različno od ostalih). Naj bodo x 1 = 1 n 1 n 1 i=1 x 1i, x 2 = 1 n 2 n 2 x 2i,..., x k = 1 i=1 n k n k x ki i=1
23 Na stopnji značilnosti α testiramo ničelno hipotezo H 0 (µ 1 = µ 2 =... = µ k ) proti alternativi H 1 (vsaj eno povprečje je različno od ostalih). Naj bodo x 1 = 1 n 1 n 1 i=1 x 1i, x 2 = 1 n 2 n 2 x 2i,..., x k = 1 i=1 n k vzorčna povprečja skupin in n k x ki i=1
24 Na stopnji značilnosti α testiramo ničelno hipotezo H 0 (µ 1 = µ 2 =... = µ k ) proti alternativi H 1 (vsaj eno povprečje je različno od ostalih). Naj bodo x 1 = 1 n 1 n 1 i=1 x 1i, x 2 = 1 n 2 n 2 x 2i,..., x k = 1 i=1 n k vzorčna povprečja skupin in x = n 1x 1 + n 2 x n k x k n n k x ki i=1
25 Na stopnji značilnosti α testiramo ničelno hipotezo H 0 (µ 1 = µ 2 =... = µ k ) proti alternativi H 1 (vsaj eno povprečje je različno od ostalih). Naj bodo x 1 = 1 n 1 n 1 i=1 x 1i, x 2 = 1 n 2 n 2 x 2i,..., x k = 1 i=1 n k vzorčna povprečja skupin in x = n 1x 1 + n 2 x n k x k n skupno povprečje (tehtano povprečje). n k x ki i=1
26 Velja:
27 Velja: (x ij x) 2 = i,j k i=1 n i j=1 (x ij x i ) 2 + k i=1 n i (x i x) 2.
28 Velja: (x ij x) 2 = i,j k i=1 n i j=1 (x ij x i ) 2 + k i=1 n i (x i x) 2. Skupna variabilnost = nepojasnjena var. + pojasnjena var.
29 Velja: (x ij x) 2 = i,j k i=1 n i j=1 (x ij x i ) 2 + k i=1 n i (x i x) 2. Skupna variabilnost = nepojasnjena var. + pojasnjena var. VK s = VK z + VK m
30 Velja: (x ij x) 2 = i,j k i=1 n i j=1 (x ij x i ) 2 + k i=1 n i (x i x) 2. Skupna variabilnost = nepojasnjena var. + pojasnjena var. VK s = VK z + VK m VK...vsota kvadratov,
31 Velja: (x ij x) 2 = i,j k i=1 n i j=1 (x ij x i ) 2 + k i=1 n i (x i x) 2. Skupna variabilnost = nepojasnjena var. + pojasnjena var. VK s = VK z + VK m VK...vsota kvadratov, s...skupna,
32 Velja: (x ij x) 2 = i,j k i=1 n i j=1 (x ij x i ) 2 + k i=1 n i (x i x) 2. Skupna variabilnost = nepojasnjena var. + pojasnjena var. VK s = VK z + VK m VK...vsota kvadratov, s...skupna, z...znotraj skupin,
33 Velja: (x ij x) 2 = i,j k i=1 n i j=1 (x ij x i ) 2 + k i=1 n i (x i x) 2. Skupna variabilnost = nepojasnjena var. + pojasnjena var. VK s = VK z + VK m VK...vsota kvadratov, s...skupna, z...znotraj skupin, m...med skupinami.
34 ANOVA testna statistika Izkaže se, da je statistika (testna statistika metode ANOVA) F = PK m PK z F (k 1, n k), kjer je
35 ANOVA testna statistika Izkaže se, da je statistika (testna statistika metode ANOVA) F = PK m PK z F (k 1, n k), kjer je PK m = VK m k 1 povprečje kvadratov med skupinami,
36 ANOVA testna statistika Izkaže se, da je statistika (testna statistika metode ANOVA) F = PK m PK z F (k 1, n k), kjer je PK m = VK m k 1 PK z = VK z n k povprečje kvadratov med skupinami, povprečje kvadratov znotraj skupin,
37 ANOVA testna statistika Izkaže se, da je statistika (testna statistika metode ANOVA) F = PK m PK z F (k 1, n k), kjer je PK m = VK m k 1 PK z = VK z n k povprečje kvadratov med skupinami, povprečje kvadratov znotraj skupin, F (k 1, n k) Fisherjeva porazdelitev s k 1 in n k prostostnimi stopnjami.
38 Tabela metode ANOVA VV VK PS PK = VK PS vir vsota prostostne povprečje F variance kvadratov stopnje kvadratov med skupinami VK m k 1 PK m = VK m k 1 znotraj skupin VK z n k PK z = VK z n k skupna VK s n 1 S 2 = VK s n 1 F = PK m PK z
39 MANOVA Z MANOVO testiramo, ali vektorji aritmetičnih sredin dveh ali več skupin pripadajo isti vzorčni porazdelitvi: H 0 : (µ 11, µ 12,..., µ 1p ) = (µ 21, µ 22,..., µ 2p ) = = (µ k1, µ k2,..., µ kp ). H 1 : Vsaj eden vektor aritmetičnih sredin je različen od ostalih. Pri tem je: µ ij : aritmetična sredina j-te odvisne spremenljivke v i-ti skupini; p: število odvisnih spremenljivk; k: število skupin. Opomba: MANOVA je matematično ekvivalentna diskriminantni analizi.
40 Zakaj uporabiti MANOVO? S podatki več odvisnih spremenljivk bi lahko večkrat izvedli ANOVO (za vsako odvisno spremenljivko posebej). Zakaj torej uporabiti MANOVO (in ne več univariatnih primerjav med skupinami)? 1. Univariatni testi ne upoštevajo povezanosti med odvisnimi spremenljivkami. Z MANOVO lahko ugotovimo, če se skupine razlikujejo glede na kombinacijo dimenzij.
41 Zakaj uporabiti MANOVO? S podatki več odvisnih spremenljivk bi lahko večkrat izvedli ANOVO (za vsako odvisno spremenljivko posebej). Zakaj torej uporabiti MANOVO (in ne več univariatnih primerjav med skupinami)? 1. Univariatni testi ne upoštevajo povezanosti med odvisnimi spremenljivkami. Z MANOVO lahko ugotovimo, če se skupine razlikujejo glede na kombinacijo dimenzij. Opomba: Če se skupine med seboj ne razlikujejo po posameznih odvisnih spremenljivkah, še ne pomeni, da se ne razlikujejo glede na več odvisnih spremenljivk skupaj (multivariatni testi imajo večjo statistično moč).
42 Zakaj uporabiti MANOVO? S podatki več odvisnih spremenljivk bi lahko večkrat izvedli ANOVO (za vsako odvisno spremenljivko posebej). Zakaj torej uporabiti MANOVO (in ne več univariatnih primerjav med skupinami)? 1. Univariatni testi ne upoštevajo povezanosti med odvisnimi spremenljivkami. Z MANOVO lahko ugotovimo, če se skupine razlikujejo glede na kombinacijo dimenzij. Opomba: Če se skupine med seboj ne razlikujejo po posameznih odvisnih spremenljivkah, še ne pomeni, da se ne razlikujejo glede na več odvisnih spremenljivk skupaj (multivariatni testi imajo večjo statistično moč). 2. Uporaba več posameznih univariatnih testov poveča verjetnost napake I. vrste (verjetnost zavrnitve pravilne ničelne hipoteze; oznaka: α). Z MANOVO obdržimo verjetnost te napake pod nadzorom.
43 Predpostavke MANOVE Neodvisnost: Opazovanja oz. meritve na posamezni enoti morajo biti med seboj neodvisna.
44 Predpostavke MANOVE Neodvisnost: Opazovanja oz. meritve na posamezni enoti morajo biti med seboj neodvisna. Naključnost: Naključno vzorčenje podatkov iz populacije.
45 Predpostavke MANOVE Neodvisnost: Opazovanja oz. meritve na posamezni enoti morajo biti med seboj neodvisna. Naključnost: Naključno vzorčenje podatkov iz populacije. Multivariatna normalnost: Odvisne spremenljivke morajo biti večrazsežno normalno porazdeljene.
46 Predpostavke MANOVE Neodvisnost: Opazovanja oz. meritve na posamezni enoti morajo biti med seboj neodvisna. Naključnost: Naključno vzorčenje podatkov iz populacije. Multivariatna normalnost: Odvisne spremenljivke morajo biti večrazsežno normalno porazdeljene. Homogenost kovariančnih matrik: Poleg enakosti varianc odvisnih spremenljivk po skupinah (predpostavka ANOVE), se predpostavlja, da je korelacija med poljubnima dvema odvisnima spremenljivkama enaka pri vseh skupinah (za testiranje uporabimo Box-ov M test).
47 MANOVA - testna statistika Testna statistika je določena z razmerjem med sistematično (med skupinami) in nesistematično (znotraj skupin) varianco odvisnih spremenljivk.
48 MANOVA - testna statistika Testna statistika je določena z razmerjem med sistematično (med skupinami) in nesistematično (znotraj skupin) varianco odvisnih spremenljivk. Oznake: H: matrika sistematične variance (hypothesis SSCP); E: matrika nesistematične variance (error SSCP); T : matrika celotne variance (total SSCP).
49 MANOVA - testna statistika Testna statistika je določena z razmerjem med sistematično (med skupinami) in nesistematično (znotraj skupin) varianco odvisnih spremenljivk. Oznake: H: matrika sistematične variance (hypothesis SSCP); E: matrika nesistematične variance (error SSCP); T : matrika celotne variance (total SSCP). Matrika HE 1 je konceptualno enaka F -vrednosti pri ANOVI. Vsebuje p 2 vrednosti, kjer je p število odvisnih spremenljivk (je dimenzije p p).
50 MANOVA - testna statistika Testna statistika je določena z razmerjem med sistematično (med skupinami) in nesistematično (znotraj skupin) varianco odvisnih spremenljivk. Oznake: H: matrika sistematične variance (hypothesis SSCP); E: matrika nesistematične variance (error SSCP); T : matrika celotne variance (total SSCP). Matrika HE 1 je konceptualno enaka F -vrednosti pri ANOVI. Vsebuje p 2 vrednosti, kjer je p število odvisnih spremenljivk (je dimenzije p p). Kako torej dobimo eno samo vrednost, na podlagi katere lahko odločamo o pomembnosti testa? MANOVA izvede (multiplo) diskriminantno analizo.
51 MANOVA - testne statistike Diskriminantne funkcije so oblikovane tako, da maksimizirajo sistematično varianco.
52 MANOVA - testne statistike Diskriminantne funkcije so oblikovane tako, da maksimizirajo sistematično varianco. Večja kot je lastna vrednost diskriminantne funkcije, večje so razlike med skupinami (za določeno diskriminantno funkcijo.)
53 MANOVA - testne statistike Diskriminantne funkcije so oblikovane tako, da maksimizirajo sistematično varianco. Večja kot je lastna vrednost diskriminantne funkcije, večje so razlike med skupinami (za določeno diskriminantno funkcijo.) Testne statistike, na podlagi katerih ocenjujemo razlike med skupinami, so določena funkcija lastnih vrednosti matrike HE 1. Najpogosteje se uporabljajo:
54 MANOVA - testne statistike Diskriminantne funkcije so oblikovane tako, da maksimizirajo sistematično varianco. Večja kot je lastna vrednost diskriminantne funkcije, večje so razlike med skupinami (za določeno diskriminantno funkcijo.) Testne statistike, na podlagi katerih ocenjujemo razlike med skupinami, so določena funkcija lastnih vrednosti matrike HE 1. Najpogosteje se uporabljajo: Pillai-Bartlettova sled;
55 MANOVA - testne statistike Diskriminantne funkcije so oblikovane tako, da maksimizirajo sistematično varianco. Večja kot je lastna vrednost diskriminantne funkcije, večje so razlike med skupinami (za določeno diskriminantno funkcijo.) Testne statistike, na podlagi katerih ocenjujemo razlike med skupinami, so določena funkcija lastnih vrednosti matrike HE 1. Najpogosteje se uporabljajo: Pillai-Bartlettova sled; Hotelling-Lawleyeva sled;
56 MANOVA - testne statistike Diskriminantne funkcije so oblikovane tako, da maksimizirajo sistematično varianco. Večja kot je lastna vrednost diskriminantne funkcije, večje so razlike med skupinami (za določeno diskriminantno funkcijo.) Testne statistike, na podlagi katerih ocenjujemo razlike med skupinami, so določena funkcija lastnih vrednosti matrike HE 1. Najpogosteje se uporabljajo: Pillai-Bartlettova sled; Hotelling-Lawleyeva sled; Wilksova lambda;
57 MANOVA - testne statistike Diskriminantne funkcije so oblikovane tako, da maksimizirajo sistematično varianco. Večja kot je lastna vrednost diskriminantne funkcije, večje so razlike med skupinami (za določeno diskriminantno funkcijo.) Testne statistike, na podlagi katerih ocenjujemo razlike med skupinami, so določena funkcija lastnih vrednosti matrike HE 1. Najpogosteje se uporabljajo: Pillai-Bartlettova sled; Hotelling-Lawleyeva sled; Wilksova lambda; Royev največji koren.
58 MANOVA - testne statistike Naj s označuje število diskriminantnih funkcij. Potem je: Pillai-Bartlettova sled: V = s λ i. i=1 1 + λ i Najbolj robustna pri enako velikih skupinah. Če skupine niso enako velike, je V občutljiva na kršitev predpostavke o homogenosti kovariančnih matrik.
59 MANOVA - testne statistike Naj s označuje število diskriminantnih funkcij. Potem je: Pillai-Bartlettova sled: V = s λ i. i=1 1 + λ i Najbolj robustna pri enako velikih skupinah. Če skupine niso enako velike, je V občutljiva na kršitev predpostavke o homogenosti kovariančnih matrik. Hotelling-Lawleyeva sled: T = s λ i. i=1
60 MANOVA - testne statistike Naj s označuje število diskriminantnih funkcij. Potem je: Pillai-Bartlettova sled: V = s λ i. i=1 1 + λ i Najbolj robustna pri enako velikih skupinah. Če skupine niso enako velike, je V občutljiva na kršitev predpostavke o homogenosti kovariančnih matrik. Hotelling-Lawleyeva sled: T = Wilksova lambda: Λ = s i=1 s λ i. i= λ i. Najpogosteje uporabljena. Za zavrnitev ničelne hipoteze mora biti čim manjša.
61 MANOVA - testne statistike Naj s označuje število diskriminantnih funkcij. Potem je: Pillai-Bartlettova sled: V = s λ i. i=1 1 + λ i Najbolj robustna pri enako velikih skupinah. Če skupine niso enako velike, je V občutljiva na kršitev predpostavke o homogenosti kovariančnih matrik. Hotelling-Lawleyeva sled: T = Wilksova lambda: Λ = s i=1 s λ i. i= λ i. Najpogosteje uporabljena. Za zavrnitev ničelne hipoteze mora biti čim manjša. Royev največji koren: Θ = λ max.
62 Testne statistike - pomembnost Če so razlike med skupinami zgoščene na prvi diskriminantni funkciji, je Royev največji koren najmočnejša statistika. Sledijo mu T, Λ in V.
63 Testne statistike - pomembnost Če so razlike med skupinami zgoščene na prvi diskriminantni funkciji, je Royev največji koren najmočnejša statistika. Sledijo mu T, Λ in V. Če se skupine razlikujejo glede na več diskriminantnih funkcij, je vrstni red moči statistik obrnjen: V, Λ, T in Θ.
64 Testne statistike - pomembnost Če so razlike med skupinami zgoščene na prvi diskriminantni funkciji, je Royev največji koren najmočnejša statistika. Sledijo mu T, Λ in V. Če se skupine razlikujejo glede na več diskriminantnih funkcij, je vrstni red moči statistik obrnjen: V, Λ, T in Θ. Za male do zmerno velike vzorce so vrednosti testnih statistik podobne.
65 Velikost vzorca, število spremenljivk, kovariate Vsaj 20 enot v posamezni skupini. Skrajni minimium: število enot v posamezni skupini mora biti večje od števila odvisnih spremenljivk, ki so vključene v analizo.
66 Velikost vzorca, število spremenljivk, kovariate Vsaj 20 enot v posamezni skupini. Skrajni minimium: število enot v posamezni skupini mora biti večje od števila odvisnih spremenljivk, ki so vključene v analizo. Običajno primerjamo nekaj (eno, dve,...) neodvisnih spremenljivk s skupino (smiselno izbranih) odvisnih spremenljivk.
67 Velikost vzorca, število spremenljivk, kovariate Vsaj 20 enot v posamezni skupini. Skrajni minimium: število enot v posamezni skupini mora biti večje od števila odvisnih spremenljivk, ki so vključene v analizo. Običajno primerjamo nekaj (eno, dve,...) neodvisnih spremenljivk s skupino (smiselno izbranih) odvisnih spremenljivk. Neodvisne spremenljivke, ki niso vključene v začetno analizo, a imajo vpliv na odvisne spremenljivke, imenujemo kovariate. V analizo jih vključimo naknadno, če želimo odstraniti zunanje vplive, ki zvišujejo variabilnost znotraj skupin (MANCOVA).
68 Naknadne analize Če z MANOVO ničelno hipotezo zavrnemo, lahko uporabimo post hoc primerjave, da ugotovimo, katere skupine se med seboj pomembno razlikujejo.
69 Naknadne analize Če z MANOVO ničelno hipotezo zavrnemo, lahko uporabimo post hoc primerjave, da ugotovimo, katere skupine se med seboj pomembno razlikujejo. Priporočila za uporabo testov:
70 Naknadne analize Če z MANOVO ničelno hipotezo zavrnemo, lahko uporabimo post hoc primerjave, da ugotovimo, katere skupine se med seboj pomembno razlikujejo. Priporočila za uporabo testov: REGWQ in Tukey: za enako velike skupine in podobne variance po skupinah.
71 Naknadne analize Če z MANOVO ničelno hipotezo zavrnemo, lahko uporabimo post hoc primerjave, da ugotovimo, katere skupine se med seboj pomembno razlikujejo. Priporočila za uporabo testov: REGWQ in Tukey: za enako velike skupine in podobne variance po skupinah. Bonferroni: za nadzor nad napako I. vrste.
72 Naknadne analize Če z MANOVO ničelno hipotezo zavrnemo, lahko uporabimo post hoc primerjave, da ugotovimo, katere skupine se med seboj pomembno razlikujejo. Priporočila za uporabo testov: REGWQ in Tukey: za enako velike skupine in podobne variance po skupinah. Bonferroni: za nadzor nad napako I. vrste. Gabriel: za približno enako velike skupine.
73 Naknadne analize Če z MANOVO ničelno hipotezo zavrnemo, lahko uporabimo post hoc primerjave, da ugotovimo, katere skupine se med seboj pomembno razlikujejo. Priporočila za uporabo testov: REGWQ in Tukey: za enako velike skupine in podobne variance po skupinah. Bonferroni: za nadzor nad napako I. vrste. Gabriel: za približno enako velike skupine. Hochberg s GT2: za različno velike skupine.
74 Naknadne analize Če z MANOVO ničelno hipotezo zavrnemo, lahko uporabimo post hoc primerjave, da ugotovimo, katere skupine se med seboj pomembno razlikujejo. Priporočila za uporabo testov: REGWQ in Tukey: za enako velike skupine in podobne variance po skupinah. Bonferroni: za nadzor nad napako I. vrste. Gabriel: za približno enako velike skupine. Hochberg s GT2: za različno velike skupine. Games-Howell: če variance po skupinah niso enake.
75 Primer Primer: SPSS Analyze General Linear Model Multivariate
Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
DISKRIMINANTNA ANALIZA
DISKRIMINANTNA ANALIZA Z diskriminantno analizo poiščemo tako linearno kombinacijo merjenih spremenljivk, da bo maksimalno ločila vnaprej določene skupine in da bo napaka pri uvrščanju enot v skupine najmanjša.
Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
MULTIVARIATNA ANALIZA VARIANCE
Univerza v Ljubljani Filozofska fakulteta Oddelek za psihologijo MULTIVARIATNA ANALIZA VARIANCE MULTIVARIATNE METODE PREDSTAVITEV Študijsko leto 2002/2003 MIHA KOČEVAR Ljubljana, 13.12.2002 13.12.2002
KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Osnove sklepne statistike
Univerza v Ljubljani Fakulteta za farmacijo Osnove sklepne statistike doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo e-pošta: mitja.kos@ffa.uni-lj.si Intervalna ocena oz. interval zaupanja
STATISTIKA ANALIZA VARINCE Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak
STATISTIKA ANALIZA VARINCE 16.3.011 Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak ANALIZA VARIANCE Proučuje, kako ena ali več neodvisnih spremenljivk (faktorjev) vpliva na slučajno odvisno spremenljivko Y, ki meri izid
Tretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Statistika 2 z računalniško analizo podatkov. Statistično sklepanje
Statistika 2 z računalniško analizo podatkov Statistično sklepanje 1 Multipla regresija Statistično sklepanje o regresijskih koeficientih Multipla regresija Vključevanje nominalnih in ordinalnih spremenljivk
matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
![matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):](/thumbs/87/96579490.jpg "matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):")
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Statistika 2 z računalniško analizo podatkov. Multipla regresija in polinomski regresijski model
Statistika z računalniško analizo podatkov Multipla regresija in polinomski regresijski model 1 Multipli regresijski model Pogosto so vrednosti odvisne spremenljivke linearno odvisne od več kot ene neodvisne
Statistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo
Statistična analiza opisnih spremenljivk doc. dr. Mitja Kos, mag. arm. Katedra za socialno armacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za armacijo Statistični znaki Proučevane spremenljivke: statistični znaki
1.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk
.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk Naj bosta X in Y neodvisni Bernoullijevo porazdeljeni spremenljivki, B(p). Kako je porazdeljena njuna vsota? Označimo Z = X + Y. Verjetnost, da je P (Z = z) za
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Metoda glavnih komponent
Metoda glavnih komponent Metoda glavnih kompnent je ena najpogosteje uporabljenih multivariatnih metod. Osnoval jo je Karl Pearson (1901). Največ zaslug za nadaljni razvoj pa ima Hotelling (1933). Osnovna
Kotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Splošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Regresija in korelacija
Regresija in korelacija - Kvantitativne metode v geografiji in uvod v GIS - dr. Gregor Kovačič, doc. Odvisnost in povezanost Opazujemo primere, ko na vsaki enoti gledamo dve številski spremenljivki hkrati
Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Osnove statistike. Drago Bokal Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru. 1.
Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru 1. marec 2010 Obvestila. http://um.fnm.uni-mb.si/ Prosojnice se lahko spremenijo v tednu po predavanjih.
Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Nekateri primeri sklopov izpitnih vprašanj pri predmetu Naključni pojavi
Nekateri primeri sklopov izpitnih vprašanj pri predmetu Naključni pojavi 1. Izpeljite Binomsko porazdelitev in pokažite kako pridemo iz nje do Poissonove porazdelitve? 2. Kako opišemo naključne lastnosti
1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Zanesljivost psihološkega merjenja. Osnovni model, koeficient α in KR-21
Zanesljivost psihološkega merjenja Osnovni model, koeficient α in KR- Osnovni model in KTT V kolikšni meri na testne dosežke vplivajo slučajne napake? oziroma, kako natančno smo izmerili neko lastnost.
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Statistika II z računalniško analizo podatkov. Bivariatna regresija, tipi povezanosti
Statistika II z računalniško analizo podatkov Bivariatna regresija, tipi povezanosti 1 Regresijska analiza Regresijska analiza je statistična metoda, ki nam pomaga analizirati odnos med odvisno spremenljivko
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
NEPARAMETRIČNI TESTI Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak
NEPARAMETRIČNI TESTI 5.3.011 Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak Slabosti parametričnih preizkusov: -stroge predpostavke (predpostavka o normalni porazdelitvi) -veliko računanja -težave, če spremenljivke niso
Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
8. MULTIVARIATNE METODE 8.1. Uvod Zakaj jih uporabljati
8. MULTIVARIATNE METODE 8.1. Uvod 8.1.1. Zakaj jih uporabljati Multivariatne metode omogočajo sočasno analizo kakršnegakoli števila spremenljivk. Poseben problem predstavlja grafična predstavitev več kot
Osnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova. 10. januar 2013
Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova 10. januar 2013 Osnove biometrije 2012/13 1 Postavitev in preizku²anje hipotez Hipoteze zastavimo najprej ob na rtovanju preizkusa Ob obdelavi jih morda malo popravimo
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Metoda voditeljev. Poglavje 2
Poglavje 2 Metoda voditeljev Velika prednost metode hierarhičnega gručenja, ki smo jo spoznali v prejšnjem poglavju, je odkrivanje strukture skupin v podatkih, ki jih lahko enostavno ponazorimo v vizualizaciji
Osnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
8.4 χ 2 -preizkus Preizkušanje hipoteze enake verjetnosti
8.4 χ 2 -preizkus V pedagoških raziskavah imamo veliko pogosteje opravka z opisnimi spremenljivkami kot pa s številskimi spremenljivkami. Do sedaj opisani preizkusi o aritmetičnih sredinah, o standardnih
Funkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
ANALIZA VREDNOSTI ZLATA IN DEJAVNIKI CENE
ANALIZA VREDNOSTI ZLATA IN DEJAVNIKI CENE Andrej Krek Andrej Krek andrej.krek@gmail.com POVZETEK Namen raziskave je predstaviti in analizirati vrednost zlata v obdobju od 1.1.2007 do 31.12.2011. Naloga
Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
VAJE IZ OSNOV VERJETNOSTI IN STATISTIKE. Martin Raič
VAJE IZ OSNOV VERJETNOSTI IN STATISTIKE Martin Raič Datum zadnje spremembe: 3. januar 2016 Kazalo 1. Osnove kombinatorike 3 2. Elementarna verjetnost 4 3. Pogojna verjetnost 6 4. Diskretne slučajne spremenljivke
Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Problem lastnih vrednosti 1 / 20
Problem lastnih vrednosti 1 / 20 2 / 20 1 Uvod 2 Potenčna metoda 3 Inverzna iteracija 4 QR iteracija 5 Metode za simetrične matrike Sturmovo zaporedje Jacobijeva iteracija 3 / 20 Uvod Naj bo A R n n. Paru
1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Reševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
p 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
Uporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
UL FGG GR B II - Verjetnostni račun in statistika. Poskus, izid. Dogodek. Notes. Notes. Notes. Uvod. Osnovni pojmi.
UL FGG GR B II - Verjetnostni račun in statistika Marjeta Kramar Fijavž, oktober 2014 Uvod Osnovni pojmi Poskus in dogodek Računanje z dogodki Definicije verjetnosti Pogojna verjetnost, neodvisnost dogodkov
S programom SPSS se, glede na število ur, ne bomo ukvarjali. Na izpitu so zastavljena neka vprašanja, zraven pa dobimo računalniški izpis izračunov. T
2. predavanje RVM Kvantitativne metode Borut Kodrič, Koper 21.5.2010 Ključ za dostop do e-učilnice: RMD2009 Tekom srečanj bodo zadeve osvežene v smislu, da bodo okleščene. Morda bo dodan še kak rešen primer.
Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov
A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 45 Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov O zaporedju neodvisnih poskusov X 1, X 2,, X n, govorimo tedaj, ko so verjetnosti izidov v enem
Numerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Univariatna in bivariatna statistika
Univariatna in bivariatna statistika Aleš Žiberna 14. oktober 2011 Kazalo 1 Uporabljeni podatki 2 2 Osnovne statistike 2 3 Preverjanje domnev o srednjih vrednostih in pripadajoči intervali zaupanja 12
MATRIČNI ZAPIS MODELA IN OSNOVE MATRIČNE OPERACIJE
Biometrija 1 Poglavje 1 MATRIČNI ZAPIS MODELA IN OSNOVE MATRIČNE OPERACIJE 11 Skalar Skalar je matrika reda 1 x 1 Skalarji so označeni z malimi ali velikimi navadnimi (neodebeljene) črkami kot npr y i
Kotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Εισαγωγή στην Ανάλυση Διακύμανσης
Εισαγωγή στην Ανάλυση Διακύμανσης 1 Η Ανάλυση Διακύμανσης Από τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές μέσων όρων, όπως και το κριτήριο
Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
3. STATISTIKE Z DVEMA SPREMENLJIVKAMA
3. STATISTIKE Z DVEMA SPREMENLJIVKAMA Bivariatne metodo obravnavajo dve spremenljivki hkrati, zato so podatki zapisani: x 1 y 1 x 2 y 2 : : x n y n 3.1. KORELACIJSKI KOEFICIENT Mera stopnje linearne povezanosti
Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Maja Pohar Perme. Verjetnost in statistika z nalogami
Maja Pohar Perme Verjetnost in statistika z nalogami Ljubljana, 2014 Skripte Ekonomske fakultete Maja Pohar Perme Verjetnost in statistika z nalogami Založila : Šifra: Recenzenta: Objavljeno na spletni
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
vezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
The Thermal Comfort Properties of Reusable and Disposable Surgical Gown Fabrics Original Scientific Paper
24 The Thermal Comfort Properties of Surgical Gown Fabrics 1 1 2 1 2 Termofiziološke lastnosti udobnosti kirurških oblačil za enkratno in večkratno uporabo december 2008 marec 2009 Izvleček Kirurška oblačila
POSTAVITEV IN TESTIRANJE HIPOTEZ
Biometrija 1 Poglavje 1 POSTAVITEV IN TESTIRANJE HIPOTEZ Testiranje hipotez je osrednja naloga pri vsaki obdelavi podatkov. Od postavitve hipotez je odvisen načrt preizkusa, torej moramo hipoteze postaviti
MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
POSTAVITEV IN TESTIRANJE HIPOTEZ
Osnove biometrije 1 Poglavje 1 POSTAVITEV IN TESTIRANJE HIPOTEZ Testiranje hipotez je osrednja naloga pri vsaki obdelavi podatkov. Od postavitve hipotez je odvisen načrt preizkusa, torej moramo hipoteze
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
STATISTIKA. UP FAMNIT, Biopsihologija. Martin Raič. Zapiski s predavanj
STATISTIKA UP FAMNIT, Biopsihologija Zapiski s predavanj Martin Raič Datum zadnje spremembe: 4 junij 2018 Kazalo 1 Uvod 7 11 Formalizacijapodatkov 9 12 Merskelestvice 11 13 Nekajvečovzorčenju 13 14 Nekajvečostatističnemsklepanju
Problem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
Lastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Specifični faktorji E i bodo imeli majhne variance, če so opazovane spremenljivke blizu faktorju F.
Faktorska analiza Med metodami za pregledovanje podatkov smo omenili metodo glavnih komponent. Cilj te metode je določiti manjše število linearnih kombinacij merjenih spremenljivk tako, da z njimi pojasnimo
6. Preverjanje predpostavk klasičnega regresijskega modela
6. Preverjanje predpostavk klasičnega regresijskega modela doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 Motivacija 1/93 Preverjanje predpostavke
STATISTIKA. UP FAMNIT, Biopsihologija. Martin Raič. Zapiski s predavanj
STATISTIKA UP FAMNIT, Biopsihologija Zapiski s predavanj Martin Raič NEPOPOLNA PUBLIKACIJA Datum zadnje spremembe: 16 maj 2016 Kazalo 1 Uvod 5 11 Formalizacijapodatkov 7 12 Merskelestvice 9 13 Nekajvečovzorčenju
1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
METODA FAKTORSKE ANALIZE je osnovana na analizi medsebojnih korelacij. Tu potrebujemo neko vsebinsko poznavanje oz. neko teorijo, da pojav x vpliva na
4. predavanje RVM Kvantitativne metode Borut Kodrič, Koper 4.6.2010 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 1. del Na podlagi česa ugotovimo kako sta dve spremenljivki med
Uvod v R. 13. oktober Uvodni primer 3
Uvod v R Aleš Žiberna 13. oktober 2010 Kazalo 1 Uvodni primer 3 2 Osnovne informacije 13 2.1 Osnovne računske operacije................... 13 2.2 Spremenljivke........................... 15 2.3 Uporaba
OSNOVE STATISTIKE. FKKT-kemijski tehnologi 1.letnik Miran Černe
OSNOVE STATISTIKE FKKT-kemijski tehnologi 1.letnik 2010 Miran Černe Statistika je način, kako iz množice podatkov izluščiti ustrezne informacije. Izraz izhaja iz latinskih besed STATUS = stanje STATO =
Osnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25
1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή