Πρόλογος Στα πλαίσια της παρούσας εργασίας αναλύθηκαν ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη (index-guiding photonic crystal fibers) µε τη µέθοδο τ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΝΩΝ ΦΩΤΟΝΙΚΟΥ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΥ Ο ΗΓΗΣΗΣ ΕΙΚΤΗ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ» Σάρρη ήµητρα Επιβλέπων καθηγητής: Εµµανουήλ Ε. Κριεζής ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΙΟΥΛΙΟΣ 2008

2 Πρόλογος Στα πλαίσια της παρούσας εργασίας αναλύθηκαν ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη (index-guiding photonic crystal fibers) µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων (finite element method). Μελετήθηκαν οι βασικές ιδιότητες διασποράς τους και εξετάστηκαν συγκεκριµένες γεωµετρίες µε ιδιαίτερα χαρακτηριστικά διάδοσης (υψηλής διπλοδιαθλαστικότητας και µονής πόλωσης ίνες φωτονικού κρυστάλλου). Εξηγήθηκαν οι δυνατότητες σχεδίασης ινών µε συγκεκριµένα χαρακτηριστικά διασποράς όπως υπερεπίπεδη καµπύλη διασποράς(ultra-flattened dispersion curve) και µηδενική παράµετρος διασποράς (zero-dispersion curve). Στο σηµείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω θερµά τον επιβλέποντα καθηγητή της διπλωµατικής µου εργασίας κ. Εµµανουήλ Κριεζή για τη δυνατότητα καταρχήν που µου έδωσε να ασχοληθώ µε ένα τόσο ενδιαφέρον για µένα θέµα και για τη βοήθειά του σε ό, τι χρειαζόµουν κατά τη διάρκεια της ενασχόλησής µου µε το συγκεκριµένο θέµα. Επιπλέον, θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαιτέρως τον υποψήφιο διδάκτορα κ. ηµήτριο Ζωγραφόπουλο για την πολύτιµη βοήθεια και συνδροµή του τόσο στην εµβάθυνσή µου στο επιστηµονικό πεδίο της εργασίας όσο και στην ίδια την εκπόνηση της εργασίας.

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ίνες φωτονικού κρυστάλλου (Photonic Crystal Fibers) Μέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων (Finite Element Method) Οργάνωση περιεχοµένου της εργασίας ΙΝΕΣ ΦΩΤΟΝΙΚΟΥ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΥ Ο ΗΓΗΣΗΣ ΕΙΚΤΗ Σύγκριση ινών χωρίς και µε διασπορά υλικού για τρεις δακτυλίους οπών Σύγκριση ινών µε διαφορετικό αριθµό δακτυλίων οπών Σύγκριση ινών µε διαφορετική διάµετρο οπών για τρεις δακτυλίους οπών Σταθερή περίοδος πλέγµατος Λ και µεταβαλλόµενο κλάσµα αέρα f Σταθερό κλάσµα αέρα f και µεταβαλλόµενη περίοδος πλέγµατος Λ και διάµετρος οπών d Σύγκριση ινών µε διαφορετικές διαµέτρους οπών ανά δακτύλιο για τέσσερις δακτυλίους οπών ΙΝΕΣ ΦΩΤΟΝΙΚΟΥ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΥ Ο ΗΓΗΣΗΣ ΕΙΚΤΗ ΜΕ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Ίνες µε υψηλή διπλοδιαθλαστικότητα (highly birefringent PCFs) Μονόρρυθµες ίνες µονής πόλωσης (single-polarization single-mode PCFs) ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ ΙΑΣΠΟΡΑΣ Ίνα φωτονικού κρυστάλλου µε τρεις δακτυλίους οπών, Λ=2.3µm και d/λ= Ίνες µε διαφορετικό αριθµό δακτυλίων οπών Ίνες µε τρεις δακτυλίους και διαφορετική διάµετρο οπών Σταθερή περίοδος πλέγµατος Λ και µεταβαλλόµενο κλάσµα αέρα f Σταθερό κλάσµα αέρα f και µεταβαλλόµενη περίοδος πλέγµατος Λ και διάµετρος οπών d Σχεδίαση ίνας µε ίδιου µεγέθους οπές µε υπερεπίπεδη καµπύλη διασποράς (ultra-flattened dispersion curve) Ίνες µε διαφορετικές διαµέτρους οπών ανά δακτύλιο για τέσσερις δακτυλίους οπών ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 72 Βιβλιογραφία 75

4 Κεφάλαιο 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου (Photonic crystal fibers-pcfs) Οι οπτικές ίνες σήµερα βρίσκουν ευρεία εφαρµογή σε περιοχές που καλύπτουν τις τηλεπικοινωνίες, την τεχνολογία αισθητήρων, τη φασµατοσκοπία και την ιατρική. Η λειτουργία τους συνήθως βασίζεται στην οδήγηση του φωτός µε το φυσικό µηχανισµό της ολικής εσωτερικής ανάκλασης (total internal reflection-tir). Προκειµένου να επιτευχθεί ολική εσωτερική ανάκλαση σ αυτούς τους κυµατοδηγούς (οι οποίοι αποτελούνται από διηλεκτρικά και ηµιαγωγούς), απαιτείται ο δείκτης διάθλασης του πυρήνα της ίνας να είναι υψηλότερος από αυτόν του περιβλήµατος. Πρόκειται για τις συµβατικές οϖτικές ίνες (conventional optical fibers) (Σχήµα 1.1) [1]. Σχήµα 1.1: Σχηµατική απεικόνιση συµβατικής οπτικής ίνας. Ο δείκτης διάθλασης του πυρήνα είναι ελαφρώς µεγαλύτερος από εκείνον του περιβλήµατος. Η TIR είναι ένας φυσικός µηχανισµός γνωστός και τεχνολογικά εξερευνηµένος για πολλά χρόνια. Ωστόσο, τις δύο τελευταίες δεκαετίες η έρευνα για νέα υλικά άνοιξε νέους ορίζοντες στις δυνατότητες εντοϖισµού (localizing) και ελέγχου (controlling) του φωτός. Χρησιµοποιήθηκαν περιοδικά δοµηµένα υλικά µε περίοδο επανάληψης στην κλίµακα του οπτικού µήκους κύµατος. Τέτοιες περιοδικές δοµές συνήθως αναφέρονται ως φωτονικοί κρύσταλλοι (photonic crystals). Με κατάλληλη επιλογή της κρυσταλλικής δοµής, των διαστάσεων του περιοδικού πλέγµατος και των ιδιοτήτων των συστατικών υλικών µπορούν να ελεγχθούν οι οπτικές ιδιότητες των υλικών. Οι οπτικές ίνες είναι µια ειδική κατηγορία εξαρτηµάτων που περιλαµβάνουν στη δοµή τους φωτονικούς κρυστάλλους δηµιουργώντας τις οϖτικές ίνες φωτονικού κρυστάλλου (Photonic Crystal Fibers-PCFs ή Microstructured Fibers-MSF ή Microstructured Optical Fibers-MOF). Ο φωτονικός κρύσταλλος είναι µια περιοδική διάταξη χαµηλών απωλειών που αποτελείται από υλικά µε διαφορετική διηλεκτρική σταθερά, όπου παρατηρείται µια περιοδική µεταβολή του δείκτη διάθλασης. Οι φωτονικοί κρύσταλλοι παρουσιάζουν διακριτή συµµετρία (discrete translational symmetry), δηλαδή παραµένουν αµετάβλητοι σε αποστάσεις που είναι πολλαπλάσια ενός βήµατος σταθερού µήκους. Αυτό το βασικό βήµα είναι η σταθερά ϖλέγµατος (lattice constant ή pitch για τις ίνες φωτονικού κρυστάλλου). Ο πιο 4

5 Εισαγωγή απλός φωτονικός κρύσταλλος αποτελείται από εναλλασσόµενα στρώµατα υλικών µε διαφορετικές διηλεκτρικές σταθερές. Πρόκειται για ένα φωτονικό κρύσταλλο µιας διάστασης (one-dimensional photonic crystal). Ο φωτονικός κρύσταλλος δύο διαστάσεων (twodimensional photonic crystal) είναι περιοδικός κατά µήκος δύο αξόνων του και οµογενής κατά µήκος του τρίτου άξονα. Τέλος, ο φωτονικός κρύσταλλος τριών διαστάσεων (threedimensional photonic crystal) παρουσιάζει περιοδικότητα κατά µήκος και των τριών αξόνων (σχήµα 1.2). (α) (β) (γ) Σχήµα 1.2: (α) 1-D, (β) 2-D και (γ) 3-D photonic crystal. Γενική µορφή των τριών πιθανών δοµών ενός φωτονικού κρυστάλλου. Ένα πολύ σηµαντικό χαρακτηριστικό των φωτονικών κρυστάλλων, το οποίο είναι ιδιαίτερα χρήσιµο τόσο στη µελέτη όσο και στην κατασκευή των οπτικών ινών φωτονικού κρυστάλλου, είναι το γεγονός ότι οι ιδιότητές τους µπορούν να «µεταφερθούν» (scaling) στη συχνότητα αλλάζοντας την περίοδο επανάληψης της δοµής Λ (µε δεδοµένο βέβαια ότι οι δείκτες διάθλασης παραµένουν οι ίδιοι). Αυτό οφείλεται στο ότι η διάδοση του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος περιγράφεται από τις εξισώσεις του Maxwell και αφού αυτές δεν έχουν θεµελιώδη κλίµακα µήκους, οι ιδιότητες του φωτονικού κρυστάλλου εξαρτώνται από την κανονικοποιηµένη συχνότητα f c λ. Μία από τις χρήσιµες ιδιότητες που παρουσιάζουν οι φωτονικοί κρύσταλλοι είναι το φωτονικό διάκενο (photonic band-gap-pbg). Το φωτονικό διάκενο είναι ένα εύρος συχνοτήτων (frequency band) µέσα στο οποίο η διάδοση ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων απαγορεύεται εντός του κρυστάλλου. Υπεύθυνη γι αυτό το διάκενο είναι η περιοδικότητα του πλέγµατος του κρυστάλλου και η πολλαπλή σκέδαση και τα φαινόµενα αλληλεπίδρασης του κύµατος εντός του πλέγµατος (υπέρθεση ανακλωµένων από τα διάφορα τµήµατα της δοµής κυµάτων κλπ.). Για το άνοιγµα του διακένου σε επίπεδες διατάξεις διδιάστατων φωτονικών κρυστάλλων, οι οποίες κυρίως απασχολούν, απαιτούνται υλικά µε µεγάλη διαφορά δεικτών διάθλασης (ο ελάχιστος λόγος των δύο δεικτών διάθλασης θεωρείται ότι είναι 2.6 σε τυπικούς διδιάστατους φωτονικούς κρυστάλλους). Για φως που διαδίδεται στο εϖίϖεδο της ϖεριοδικότητας (in-plane propagation), οι ρυθµοί µπορούν να διαιρεθούν σε δύο ανεξάρτητες πολώσεις (ΤΕ και ΤΜ ρυθµοί). Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι τα διαγράµµατα διασποράς των ΤΕ και ΤΜ ρυθµών µπορεί να είναι εντελώς διαφορετικά. Η φυσική προέλευση του φωτονικού διακένου είναι η εξής: ο ρυθµός συγκεντρώνει κυρίως την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στις περιοχές υψηλού ε ώστε να ελαττώσει την συχνότητά του. Όµως οι υψηλότερες περιοχές συχνοτήτων πρέπει να είναι ορθογώνιες στις χαµηλότερες. Έτσι τα φωτονικά διάκενα των ΤΜ ρυθµών ευνοούνται σε ένα πλέγµα αποµονωµένων περιοχών υψηλού ε, ενώ των ΤΕ ρυθµών ευνοούνται σε ένα διασυνδεδεµένο πλέγµα. Συνεπώς, για να έχουµε ένα πλήρες φωτονικό διάκενο (complete PBG), χρησιµοποιούµε ένα τριγωνικό 5

6 Κεφάλαιο 1 πλέγµα µε οπές από υλικό µε χαµηλό ε µέσα σε ένα µέσο µε υψηλό ε (triangular lattice). Έτσι ένα κύµα µε συχνότητα µέσα στο εύρος του φωτονικού διακένου δεν οδηγείται. Στην περίπτωση διάδοσης του φωτός εκτός του εϖιϖέδου ϖεριοδικότητας (out of-plane propagation), τα φωτονικά διάκενα σε σχέση µε εκείνα της αντίστοιχης περίπτωσης διάδοσης στο επίπεδο της περιοδικότητας «στενεύουν» και ωθούνται σε υψηλότερες συχνότητες όσο αυξάνει το k z (η συνιστώσα του k, δηλαδή του κυµατικού αριθµού, κατά τη διεύθυνση οµοιοµορφίας). Επίσης είναι δυνατόν να εµφανιστεί και ένα διάκενο που δεν υπήρχε στην περίπτωση της διάδοσης στο επίπεδο της περιοδικότητας. Ωστόσο, µία «ατέλεια» (defect) (π.χ. σε έναν µονοδιάστατο κρύσταλλο µπορεί να πρόκειται για ένα στρώµα διαφορετικού πάχους από τα υπόλοιπα, σε ένα δισδιάστατο για την απουσία µιας στήλης του κρυστάλλου ή για την αντικατάστασή της µε άλλη της οποίας το µέγεθος, το σχήµα ή η διηλεκτρική σταθερά διαφέρει από την αρχική) σε έναν κατά τα άλλα τέλειο κρύσταλλο επιτρέπει τη διέγερση και οδήγηση ρυθµού µε συχνότητα που περιλαµβάνεται στο φωτονικό διάκενο. Με αυτόν τον τρόπο εισάγεται ένα µέγιστο στην κατά τα άλλα µηδενική πυκνότητα ρυθµών (density of states) του κρυστάλλου µέσα στο PBG. Αυτή η ιδιότητα της εισαγωγής µιας ατέλειας σε ένα φωτονικό κρύσταλλο αποτελεί τη βάση της λειτουργίας των ινών φωτονικού κρυστάλλου [2]. Οι οπτικές ίνες φωτονικού κρυστάλλου εµφανίζουν διδιάστατη περιοδικότητα (2D) στο επίπεδο το εγκάρσιο στον άξονα της ίνας και είναι αµετάβλητες κατά µήκος αυτού. Οι ίνες αυτές µπορούν να διαιρεθούν σε δύο ευρείες κατηγορίες µε κριτήριο αν χρησιµοποιούν οδήγηση µέσω του δείκτη διάθλασης (index-guiding) ή µέσω του φαινοµένου του φωτονικού διακένου (photonic band-gap effect-pbg effect) για τη συγκέντρωση του φωτός. Ανάλογα µε την εφαρµογή και τις επιθυµητές ιδιότητες, οι οπτικές ίνες οδήγησης δείκτη περιλαµβάνουν διάφορες υποκατηγορίες όπως τις High-Numerical-Aperture Fibers (ΗΝΑ), οι οποίες έχουν ένα κεντρικό µέρος που περιβάλλεται από ένα δακτύλιο σχετικά µεγάλων οπών αέρα, τις Large-Mode-Area Fibers (LMA), οι οποίες χρησιµοποιούν σχετικά µεγάλες διαστάσεις και µικρή διαφορά ενεργών δεικτών διάθλασης και τις Highly-Non- Linear Fibers (HNL) οι οποίες χρησιµοποιούν πολύ µικρές διαστάσεις πυρήνα. Στη δεύτερη κατηγορία (PBG PCFs) ανήκουν ίνες όπως οι Low-Index Core Fibers (LIC), στις οποίες η οπτική ισχύς διαδίδεται στο υλικό υψηλού δείκτη διάθλασης παρ όλο που η περιοχή του πυρήνα έχει χαµηλότερο ενεργό δείκτη διάθλασης από την περιοχή του περιβλήµατος και οιair-guiding (AG) ή Hollow-Core Fibers (HC), στις οποίες η διάδοση γίνεται στην κεντρική οπή αέρα χάρη στο φωτονικό διάκενο. Σε αντίθεση µε τις ίνες οδήγησης δείκτη διάθλασης, οι ίνες οδήγησης µέσω του φαινοµένου του φωτονικού διακένου συγκεντρώνουν το φως σε ένα µέσο µε χαµηλότερο δείκτη διάθλασης, όπως ο κενός πυρήνας. Στις συνηθισµένες ίνες διοξειδίου του πυριτίου-αέρα µε τριγωνικό πλέγµα, παρ όλο που η µικρή διαφορά δεικτών διάθλασης των δύο υλικών δεν επιτρέπει πλήρη φωτονικά διάκενα (complete PBGs) για τη διάδοση στο επίπεδο της περιοδικότητας, στην περίπτωση της εκτός επιπέδου διάδοσης µπορούν ανοιχτούν πλήρη διάκενα. Ορίζοντας το σχετικό µέγεθος του φωτονικού διακένου ως τη διαφορά ανάµεσα στις συχνότητες που ορίζουν την πάνω και κάτω άκρη του διακένου διαιρεµένη µε την κεντρική συχνότητά του, παρατηρούµε ότι αυξάνοντας το κλάσµα αέρα (δηλαδή αυξάνοντας το λόγο d/λ, όπου d η διάµετρος της οπής και Λ η περίοδος πλέγµατος) το µέγεθος του διακένου αυξάνει. Με την εισαγωγή της ατέλειας προκαλείται ένας ρυθµός ο οποίος δεν µπορεί να διεισδύσει στον υπόλοιπο κρύσταλλο, αφού η συχνότητά του βρίσκεται µέσα στο 6

7 Εισαγωγή φωτονικό διάκενο. Ο ρυθµός αυτός είναι περιορισµένος όσον αφορά επίπεδο της περιοδικότητας (xy) αλλά εκτείνεται στην διεύθυνση κατά µήκος της ατέλειας στη διεύθυνση την κάθετη στο περιοδικό επίπεδο (z). Το k z είναι ακριβώς ίδιο µε την σταθερά διάδοσης της ίνας. Ο λόγος γι αυτή τη συµπεριφορά είναι ότι ο κρύσταλλος λόγω του διακένου, ανακλά το φως για συγκεκριµένες συχνότητες. Με την εισαγωγή της ατέλειας στο πλέγµα δηµιουργείται µια κοιλότητα που περιβάλλεται από ανακλαστικά τοιχώµατα. Αν η κοιλότητα έχει το κατάλληλο µέγεθος ώστε να υποστηρίξει ένα ρυθµό του φωτονικού διακένου τότε το φως δεν µπορεί να δραπετεύσει. Έτσι προκύπτουν οι οϖτικές ίνες µε οδήγηση µέσω του φαινοµένου του φωτονικού διακένου (PBG effect PCFs). Ως παράδειγµα αναφέρονται ίνες όπου η οδήγηση γίνεται στον αέρα (σχήµα 1.3) και οι οποίες βασίζονται σε φωτονικούς κρυστάλλους στο διάγραµµα διασποράς των οποίων το φωτονικό διάκενο τέµνει την καµπύλη του αέρα ( n = β k = 1 ).Σ αυτές τις ίνες ελαχιστοποιούνται οι συνέπειες των απωλειών, οι ανεπιθύµητες µη-γραµµικότητες και οποιαδήποτε άλλη ανεπιθύµητη ιδιότητα των διαθέσιµων συµπαγών υλικών. Σχήµα 1.3: Σχηµατική αναπαράσταση ίνας µε οδήγηση µέσω του φαινοµένου του φωτονικού διακένου όπου η διάδοση γίνεται στην κεντρική µεγαλύτερη σε διαστάσεις οπή αέρα. Στις ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη η αρχή κυµατοδήγησης εκφράζεται ως τροϖοϖοιηµένη ολική εσωτερική ανάκλαση (modified total internal reflection-mtir). Ο πυρήνας έχει υψηλότερο ενεργό δείκτη διάθλασης από το υλικό του περιβλήµατος. Ωστόσο αυτοί οι ενεργοί δείκτες διάθλασης αποκτώνται µέσω της εισαγωγής οπών αέρα, οι οποίες µπορεί να διατάσσονται σε διαφορετικές δοµές και να έχουν διαφορετικές διαστάσεις, σχήµα κλπ. Η πιο συνηθισµένη δοµή ινών µε πυρήνα υψηλού δείκτη διάθλασης (high-index core fibers) αποτελείται από µια στερεή περιοχή πυρήνα (συχνά κατασκευασµένη από καθαρό υλικό) η οποία περιβάλλεται από ένα περίβληµα µε κανονικά διατεταγµένες οπές σε περιοδικό πλέγµα. Αυτές οι οπές µειώνουν τον ενεργό δείκτη διάθλασης της περιοχής του περιβλήµατος και έτσι το φως συγκεντρώνεται στον πυρήνα, ο οποίος έχει σχετικά υψηλότερο δείκτη. Αυτές οι ίνες µπορούν να κατασκευαστούν εξ ολοκλήρου από ένα και µοναδικό υλικό βάσης µε έναν επαρκώς διανεµηµένο αριθµό οπών και συνήθως το υλικό που χρησιµοποιείται είναι καθαρό διοξείδιο του πυριτίου (pure silica-sio 2 ), παρ όλο που υπάρχουν και άλλα υλικά κατάλληλα. Ένα τυπικό παράδειγµα είναι η ίνα του σχήµατος 1.4 όπου το περίβληµα έχει διατοµή η οποία είναι ένα τριγωνικό πλέγµα οπών αέρα µέσα σε ένα κατά τα άλλα οµοιόµορφο διηλεκτρικό µέσο. Ο «πυρήνας» είναι απλά η θέση µιας οπής που λείπει από το κέντρο της ίνας. 7

8 Κεφάλαιο 1 Σχήµα 1.4: Σχηµατική αναπαράσταση ίνας φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη διάθλασης. Στο σχήµα σηµειώνονται οι περιοχές υψηλού και χαµηλού δείκτη διάθλασης καθώς και τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της ίνας, η διάµετρος των οπών d και η περίοδος πλέγµατος Λ. Όσον αφορά τις διαστάσεις, συνήθως το σχετικό µέγεθος των οπών του περιβλήµατος d Λ µπορεί να κυµαίνεται από ένα πολύ µικρό ποσοστό µέχρι 90% και η περίοδος πλέγµατος, Λ, από 1µm ως και 20µm, όπως αντίστοιχα και ο πυρήνας. Η λογική ανάλυσης της τροποποιηµένης ολικής εσωτερικής ανάκλασης είναι η εξής: ουσιαστικά «αντικαθίσταται» το περίβληµα µε έναν κατάλληλο ενεργό δείκτη διάθλασης. Ο πυρήνας αποτελείται από καθαρό διοξείδιο του πυριτίου µε δείκτη διάθλασης n co, αλλά ο ορισµός του δείκτη διάθλασης της µικροδοµής του περιβλήµατος εκφράζεται συναρτήσει της σταθεράς διάδοσης του µικρότερης τάξης ρυθµού (θεµελιώδους) που θα µπορούσε να διαδοθεί στο άπειρο πλήρως περιοδικό περίβληµα. Αυτός ο θεµελιώδης ρυθµός του ϖεριβλήµατος (fundamental space-filling mode - FSM) έχει σταθερά διάδοσης β fsm οπότε ο ενεργός δείκτης διάθλασης του περιβλήµατος ορίζεται ως ncl, eff = β fsm k, όπου k είναι η σταθερά διάδοσης στον ελεύθερο χώρο φωτός µε µήκος κύµατος λ. Σηµαντικό χαρακτηριστικό των PCFs είναι ότι µπορούν να παραµένουν µονόρρυθµες σε ένα µεγάλο εύρος µηκών κύµατος. Αυτή η ιδιότητα είναι στενά συνδεδεµένη µε το κλάσµα αέρα του περιβλήµατος, εφόσον αυτό είναι µικρότερο µιας οριακής τιµής ( d / Λ 0.42 για ίνες διοξειδίου του πυριτίου µε οπές αέρα). Αφενός µεν στις υψηλές συχνότητες η ισχυρή εξάρτηση του ενεργού δείκτη διάθλασης του περιβλήµατος έχει σαν αποτέλεσµα να προσεγγίζει ο n cl,eff τον δείκτη διάθλασης του πυρήνα οπότε εξαφανίζεται η διαφορά δεικτών διάθλασης µεταξύ πυρήνα και περιβλήµατος και οποιοιδήποτε ρυθµοί ανώτερης τάξης καταπιέζονται. Αφετέρου, όταν λ, ο ρυθµός εκτείνεται άπειρα στο εγκάρσιο επίπεδο, και για ιδανική PCF, η οποία έχει άπειρο περίβληµα, ο δείκτης του βασικού διαδιδόµενου ρυθµού γίνεται ισοδύναµος µε τον δείκτη του περιβλήµατος. Φυσικά σ αυτή την οριακή περίπτωση δεν θεωρείται ότι υπάρχει διάδοση. Συνεπώς οι PCFs µπορούν να είναι µονόρρυθµες σε ένα άπειρο εύρος συχνοτήτων [3]. Όσον αφορά τη σχεδίαση και κατασκευή των PCFs, ενώ η κατασκευή συµβατικών µονόρρυθµων οπτικών ινών απαιτεί τα υλικά του πυρήνα και του περιβλήµατος να έχουν παρόµοιους δείκτες διάθλασης (συνήθως διαφοράς 1%), ο σχεδιασµός PCFs απαιτεί µια πολύ µεγαλύτερη διαφορά δεικτών διάθλασης της τάξης του %. Αυτό επιτυγχάνεται µε τη µέθοδο κατασκευής τους. Οι ίνες αυτές κατασκευάζονται κυρίως µέσα από µια διαδικασία εφελκυσµού (drawing process). Στο πρώτο βήµα της διαδικασίας, δηµιουργείται ένα µοντέλο της ίνας σε 8

9 Εισαγωγή µακροσκοπική κλίµακα (preform) συνήθως µεγέθους της τάξης των εκατοστών. Στη συνέχεια, η προφόρµα θερµαίνεται και εφέλκεται µέσα από έναν λεπτό κλάδο του οποίου η διατοµή είναι σµίκρυνση της προφόρµας που χρησιµοποιήθηκε. Οι τυπικές διαστάσεις µιας προφόρµας είναι 1m µήκος, 20mm διάµετρος και περιλαµβάνει εκατοντάδες ινιδίων. Μ αυτόν τον τρόπο, εκατοντάδες µέτρα ή ακόµα και χιλιόµετρα ίνας µπορούν να προκύψουν από µία και µόνη προφόρµα µε σχεδόν πλήρη οµοιοµορφία [2]. Στα επόµενα κεφάλαια εξετάζονται ίνες φωτονικού κρυστάλλου µε οδήγηση δείκτη διάθλασης (index-guiding PCFs). Είναι µονόρρυθµες ίνες γι αυτό και η όποια αναφορά σε ρυθµό αφορά τον βασικό ρυθµό (fundamental mode) που διαδίδεται στη συγκεκριµένη ίνα, εκτός κι αν δηλώνεται διαφορετικά στο συγκεκριµένο σηµείο. Στις περισσότερες περιπτώσεις αγνοούµε την εξάρτηση του δείκτη διάθλασης του υλικού βάσης και άρα και του υλικού του πυρήνα (διοξειδίου του πυριτίου) από το µήκος κύµατος (διασπορά υλικού) κατά τον υπολογισµό του ενεργού δείκτη διάθλασης οπότε n i =n co =1.45 σταθερό. Αυτή η προσέγγιση γίνεται ώστε να µπορέσει να γίνει αντιληπτή η επίδραση των οπών αέρα, ανεξάρτητα από τις συγκεκριµένες ιδιότητες του υλικού και εν συνεχεία µπορούν οι υπολογισµοί να τροποποιηθούν κατάλληλα ώστε να περιγράφουν την πλήρη επίδραση του υλικού, όπως θα εξηγηθεί στα κεφάλαια που ακολουθούν. 1.2 Μέθοδος των ϖεϖερασµένων στοιχείων (Finite element method-fem) Η αριθµητική µελέτη των ιδιοτήτων των ινών φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη στα πλαίσια της παρούσας εργασίας έγινε µε τη µέθοδο των ϖεϖερασµένων στοιχείων (Finite Element Method-FEM). Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων προσεγγίζει ένα πρόβληµα µερικών διαφορικών εξισώσεων (PDE problem) µε ένα πρόβληµα που έχει πεπερασµένο αριθµό άγνωστων παραµέτρων, δηλαδή πρόκειται για µια διακριτοϖοίηση (discretization) του αρχικού προβλήµατος. Αυτή η µέθοδος εισάγει τα ϖεϖερασµένα στοιχεία (finite elements) ή συναρτήσεις µορφής (shape functions) που περιγράφουν τις πιθανές µορφές της προσεγγιστικής λύσης. Το αρχικό σηµείο της FEM είναι ένα πλέγµα, ένας διαµερισµός της γεωµετρίας σε µικρές µονάδες απλού σχήµατος, τα στοιχεία ϖλέγµατος (mesh elements). Για µονοδιάστατες γεωµετρίες οι υϖοϖεριοχές (subdomains) διαιρούνται σε µικρότερα διαστήµατα ή στοιχεία πλέγµατος. Τα άκρα των στοιχείων πλέγµατος ονοµάζονται κορυφές ϖλέγµατος (mesh vertices). Για διδιάστατες γεωµετρίες οι υποπεριοχές διαιρούνται σε τριγωνικά (triangular) ή τετράπλευρα (quadrilateral) στοιχεία πλέγµατος. Αν το όριο είναι καµπύλο, αυτά τα στοιχεία αντιπροσωπεύουν µόνο µια προσέγγιση της πραγµατικής γεωµετρίας. Οι πλευρές των τριγώνων και τετραπλεύρων ονοµάζονται ϖλευρές ϖλέγµατος (mesh edges) και οι γωνίες τους κορυφές ϖλέγµατος (mesh vertices). Μια πλευρά πλέγµατος δεν πρέπει να περιλαµβάνει στο εσωτερικό της µια κορυφή. Παρόµοια, τα όρια που ορίζονται στη γεωµετρία διαιρούνται (προσεγγιστικά) σε πλευρές πλέγµατος, που ονοµάζονται στοιχεία ορίου (boundary elements) και πρέπει να προσαρµόζονται µε τα στοιχεία πλέγµατος των παρακείµενων υποπεριοχών. Αν υπάρχουν αποµονωµένα σηµεία στη γεωµετρία, κι αυτά επίσης γίνονται κορυφές πλέγµατος. Παρόµοια, σε τρισδιάστατες γεωµετρίες οι υποπεριοχές διαιρούνται σε τετραεδρικά (tetrahedral), εξαεδρικά (hexahedral) στοιχεία πλέγµατος των οποίων οι πλευρές, ακµές και γωνίες ονοµάζονται αντίστοιχα ϖλευρές ϖλέγµατος (mesh faces), 9

10 Κεφάλαιο 1 ακµές ϖλέγµατος (mesh edges) και κορυφές ϖλέγµατος (mesh vertices). Τα όρια της γεωµετρίας διαιρούνται σε τριγωνικά ή τετράπλευρα στοιχεία ορίου. Οι ακµές της γεωµετρίας διαιρούνται σε στοιχεία ακµής (edge elements). Αποµονωµένες κορυφές της γεωµετρίας γίνονται κορυφές πλέγµατος. Μερικές φορές ο όρος «στοιχείο πλέγµατος» σηµαίνει οποιοδήποτε στοιχείο πλέγµατος πλευρά πλέγµατος, ακµή πλέγµατος, ή κορυφή πλέγµατος. Θεωρώντας µια συγκεκριµένη περιοχή d-διαστάσεων στη γεωµετρία (που µπορεί να είναι υποπεριοχή, όριο, ακµή, ή κορυφή), µε τον όρο στοιχεία πλέγµατος εννοούµε τα στοιχεία πλέγµατος d-διαστάσεων που περιλαµβάνονται στην περιοχή. Αφού δηµιουργηθεί το πλέγµα, µπορούν να εισαχθούν προσεγγίσεις των εξαρτηµένων µεταβλητών. Θεωρούµε µια µοναδική µεταβλητή u. Σκοπός είναι να προσεγγίσουµε την u µε µια συνάρτηση την οποία µπορούµε να περιγράψουµε µε ένα πεπερασµένο αριθµό παραµέτρων, τους λεγόµενους βαθµούς ελευθερίας (degrees of freedom-dof). Εισάγοντας την προσέγγιση στην εξίσωση προκύπτει ένα σύστηµα εξισώσεων για τους βαθµούς ελευθερίας. Σηµειώνεται ότι η αναλυτικότητα (resolution) του πλέγµατος (mesh) των πεπερασµένων στοιχείων το µέγιστο µέγεθός τους- καθορίζεται από τα µικρότερα χαρακτηριστικά που µπορούν να προκύψουν στην επίλυση της PDE. Ωστόσο, αν η δοµή της λύσης δεν είναι γνωστή, είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί ένα «προσαρµοσµένο» πλέγµα ( adapted mesh) για τις προσοµοιώσεις. Έχει υψηλή αναλυτικότητα (µικρά στοιχεία) στις περιοχές µε πολύ µικρά χαρακτηριστικά (domain walls) και χαµηλή αναλυτικότητα (µεγάλα στοιχεία) σε άλλες περιοχές όπου η λύση είναι πολύ οµοιόµορφη. Σαν αποτέλεσµα, ο αριθµός των κόµβων (nodes) και εποµένως των αγνώστων µειώνεται και άρα µειώνεται και ο απαιτούµενος χρόνος για την προσοµοίωση. Η µέθοδος µπορεί να εφαρµοστεί σε ένα µεγάλο εύρος προβληµάτων φυσικής και µηχανικής, δεδοµένου ότι αυτό µπορεί να εκφραστεί µε τη βοήθεια PDE [11]. Τη δηµιουργία του πλέγµατος ακολουθεί η επίλυση του ηλεκτροµαγνητικού προβλήµατος. Ξεκινάµε από τις εξισώσεις του Maxwell. Θεωρούµε ότι η σχετική µαγνητική διαπερατότητα για τα περισσότερα ενδιαφέροντα διηλεκτρικά υλικά είναι ίση µε τη µονάδα και αγνοούµε κάθε εξάρτηση από τη συχνότητα της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς. Λόγω της γραµµικότητας των εξισώσεων του Maxwell µπορούµε να διαχωρίσουµε την εξάρτηση των E και H από το χρόνο και το χώρο. Εξετάζουµε λοιπόν µορφές πεδίου που µεταβάλλονται ηµιτονοειδώς µε το χρόνο. Προκύπτει λοιπόν µια εξίσωση του µαγνητικού πεδίου όπως φαίνεται παρακάτω: 1 ω H r = ε ( r) c ( ) H ( r) 2 (1.1) καθώς και οι δύο εξισώσεις απόκλισης: ( r) E ( r) 0 ( ) ε = H r = 0 (1.2) οι οποίες δείχνουν ότι οι µορφές των πεδίων προκύπτουν από ηλεκτροµαγνητικά κύµατα τα οποία είναι εγκάρσια. Οι δύο εξισώσεις που αφορούν το µαγνητικό πεδίο µας παρέχουν ό, τι χρειάζεται να γνωρίζουµε. Η ακολουθούµενη πορεία είναι η εξής: για δεδοµένη δοµή ε(r),επιλύουµε την εξίσωση 1.1 για να βρούµε τους ρυθµούς Η(r) και τις αντίστοιχες 10

11 Εισαγωγή συχνότητες, σύµφωνα µε την απαίτηση εγκαρσιότητας. Το Ε(r) προκύπτει από την αντίστοιχη εξίσωση. Πρόκειται λοιπόν για ένα πρόβληµα ιδιοτιµών που περιλαµβάνει την επίλυση διαφορικής εξίσωσης [2]. Για την επίλυση του προβλήµατος αυτού χρησιµοποιήθηκε λογισµικό, το COMSOL Multiphysics, το οποίο είναι ένα περιβάλλον σχεδιασµού και επίλυσης επιστηµονικών και µηχανικών προβληµάτων βασισµένων στις µερικές διαφορικές εξισώσεις (PDEs). Το λογισµικό αυτό χρησιµοποιεί για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων την προαναφερθείσα µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων (FEM). ιαθέτει διάφορα τµήµατα και αυτό που χρησιµοποιήθηκε ήταν το RF Module. Το RF module παρέχει ένα µοναδικό περιβάλλον για την προσοµοίωση ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων σε δύο και τρεις διαστάσεις. Οι διαθέσιµες µορφές εφαρµογής καλύπτουν τους ακόλουθους τύπους προσοµοιώσεων ηλεκτροµαγνητικού πεδίου: διάδοση κύµατος εντός του επιπέδου, αξονική διάδοση κύµατος, πλήρως διανυσµατική διάδοση κύµατος τριών διαστάσεων, ανάλυση ρυθµού πλήρους διανύσµατος σε δύο και τρεις διαστάσεις. Χρησιµοποιήθηκε η µορφή εφαρµογής (application mode) εγκάρσια κύµατα (perpendicular waves) σε δύο διαστάσεις και από αυτή τα κύµατα υβριδικού ρυθµού (hybrid-mode waves). Έγινε δε ανάλυση ιδιοτιµών (eigenvalue analysis), αφού το πρόβληµά µας είναι ένα πρόβληµα ιδιοτιµών. Όσον αφορά τις οριακές συνθήκες, χρησιµοποιήθηκε η επιλογή scattering boundary condition για το εξωτερικό όριο καθώς προσοµοιώνει τη συνθήκη ανοιχτού ορίου, ενώ για τα εσωτερικά όρια ανάµεσα στις υποπεριοχές χρησιµοποιήθηκε η επιλογή continuity, δηλαδή συνθήκη συνέχειας. Η διάδοση γίνεται κατά τον άξονα των z που είναι και ο άξονας της ίνας και το εγκάρσιο επίπεδο είναι το xy [11]. 1.3 Οργάνωση ϖεριεχοµένου της εργασίας Ακολουθούν τρία κεφάλαια στα οποία εξετάζονται αποκλειστικά ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη (index-guiding PCFs) αποτελούµενες από διοξείδιο του πυριτίου και οπές αέρα. Το πλέγµα είναι τριγωνικό και σε κάποιες περιπτώσεις λαµβάνεται εξαρχής υπόψη η διασπορά του υλικού ενώ σε άλλες αρχικά αγνοείται και η επίδρασή της υπολογίζεται εκ των υστέρων. Στο κεφάλαιο 2 µελετώνται κάποια γενικά χαρακτηριστικά και ιδιότητες των βασικών δοµών των φωτονικών κρυστάλλων οδήγησης δείκτη. Αρχικά συγκρίνονται οι δύο προσεγγίσεις του ενεργού δείκτη διάθλασης και των απωλειών όταν λαµβάνεται και όταν δεν λαµβάνεται υπόψη η διασπορά του υλικού για µια συγκεκριµένη δοµή ίνας. Περιγράφονται ίνες µε διαφορετικό αριθµό δακτυλίων και συγκρίνεται η συµπεριφορά τους όσον αφορά την εξάρτηση του δείκτη διάθλασης και των απωλειών τους από το λ. Επίσης ίνες µε οπές µε την ίδια διάµετρο η οποία όµως µεταβάλλεται από δοµή σε δοµή, καθώς και ίνες µε δακτυλίους µε διαφορετικές ακτίνες οπών µεταξύ τους. Παρατίθενται τα απαραίτητα διαγράµµατα διασποράς και απωλειών συγκέντρωσης. Στο κεφάλαιο 3 εξετάζονται γεωµετρίες οι οποίες περιέχουν ασυµµετρίες που οδηγούν τόσο σε ίνες µε υψηλή διπλοδιαθλαστικότητα, δηλαδή διαφορά δεικτών διάθλασης των δύο κύριων πολώσεων, όσο και σε ίνες στις οποίες διαδίδεται µόνο η µία από τις δύο κύριες πολώσεις. Παρατίθενται για κάθε περίπτωση τα διαγράµµατα δείκτη διάθλασης x και y 11

12 Κεφάλαιο 1 πόλωσης, τα διαγράµµατα διπλοδιαθλαστικότητας όπως και τα διαγράµµατα απωλειών συγκέντρωσης. Στο κεφάλαιο 4 αναλύεται η παράµετρος διασποράς (γεωµετρική, υλικού και συνολική) και εξάγονται τα ανάλογα συµπεράσµατα για όλες τις γεωµετρίες που έχουν αναφερθεί στα προηγούµενα κεφάλαια. Επίσης εξηγείται και ο τρόπος επιλογής των γεωµετρικών χαρακτηριστικών µιας ίνας φωτονικού κρυστάλλου ώστε να επιτευχθεί η επιθυµητή µορφή και τιµή της παραµέτρου διασποράς. Τέλος, στο κεφάλαιο 5 συνοψίζονται τα γενικά συµπεράσµατα που προέκυψαν από την εξέταση των διαφόρων δοµών ινών φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη. 12

13 Κεφάλαιο 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΙΝΕΣ ΦΩΤΟΝΙΚΟΥ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΥ Ο ΗΓΗΣΗΣ ΕΙΚΤΗ Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζονται ίνες φωτονικού κρυστάλλου (PCFs) διοξειδίου του πυριτίου-αέρα (silica-air) µε κυκλικές οπές σε τριγωνικό πλέγµα. Γεωµετρικά, ένα τριγωνικό πλέγµα χαρακτηρίζεται από δύο παραµέτρους: τη διάµετρο των οπών αέρα d και την περίοδο του πλέγµατος Λ (pitch), όπως π.χ. η ίνα του σχήµατος Σύγκριση ινών χωρίς διασϖορά υλικού και µε διασϖορά υλικού για τρεις δακτυλίους οϖών Εξετάζεται ίνα φωτονικού κρυστάλλου µε τρεις δακτυλίους οπών, Λ=2.3µm και d/λ=0.4. Θεωρείται µονόρρυθµη και διαδίδεται ο βασικός ρυθµός (fundamental mode). Η ίνα αυτή εξετάζεται τόσο για την περίπτωση όπου ο δείκτης διάθλασης του υλικού είναι σταθερός και ανεξάρτητος του µήκους κύµατος όσο και την περίπτωση όπου λαµβάνεται υπόψη η διασπορά του υλικού στον υπολογισµό του n eff. Σχήµα 2.1: Σχηµατική αναπαράσταση ίνας οδήγησης δείκτη µε τρεις δακτυλίους οπών, κατασκευασµένη από SiO 2 µε οπές αέρα σε τριγωνικό πλέγµα το οποίο έχει τα εξής γεωµετρικά χαρακτηριστικά: Λ=2.3µm και d/λ=0.4. Εξετάζεται πρώτα η περίπτωση της ίνας µε σταθερό δείκτη διάθλασης υλικού n i =1.45, αγνοώντας δηλαδή τη διασπορά του υλικού στον υπολογισµό του n eff, οπότε υπεύθυνη για τη µεταβολή του δείκτη διάθλασης είναι µόνο η γεωµετρία της ίνας. Στο σχήµα 2.2 απεικονίζεται η µορφή του πεδίου του βασικού ρυθµού που διαδίδεται στην ίνα και παρατίθενται οι βασικές συνιστώσες του για την κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=

14 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη (α) (β) (γ) Σχήµα 2.2: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στο βασικό ρυθµό που διαδίδεται στην ίνα στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5 µη λαµβάνοντας υπόψη στους υπολογισµούς τη διασπορά του υλικού. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. Ο δείκτης διάθλασης του πυρήνα παραµένει σταθερός και ίσος µε τον δείκτη διάθλασης του διοξειδίου του πυριτίου (n=1.45), ενώ ο ενεργός δείκτης διάθλασης του περιβλήµατος ορίζεται από τις ιδιότητες του θεµελιώδους ρυθµού περιβλήµατος (fundamental-space-filling mode) ως ncl, eff = β fsm k = nfsm, όπως ορίστηκε και στο κεφάλαιο 1 και εξαρτάται από το µήκος κύµατος. Όπως φαίνεται και από τα σχήµατα 2.3 και 2.4, η σχεδίαση του πυρήνα υψηλού δείκτη υποστηρίζει οδηγούµενους ρυθµούς µε λόγο β k που υπακούει στη σχέση: n cl, neff β nco (2.1) k όπου n cl,eff είναι ο ενεργός δείκτης διάθλασης της δοµής του περιβλήµατος και β η σταθερά διάδοσης του οδηγούµενου ρυθµού. Επίσης από τα σχήµατα αυτά παρατηρείται µια αύξηση του n eff µε την αύξηση της συχνότητας. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι στο όριο της υψηλής συχνότητας, το µήκος κύµατος προσεγγίζει το µηδέν και το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο µπορεί να αποφύγει εντελώς τις περιοχές χαµηλού δείκτη (εν προκειµένω τις οπές αέρα) οπότε και ένας δείκτης διάθλασης που προσεγγίζει αυτόν του υλικού βάσης θα πρέπει να αναµένεται. Άλλωστε αυτό είναι αναµενόµενο και από το προφίλ του ρυθµού στο σχήµα 2.5 όπου φαίνεται ξεκάθαρα η καλύτερη συγκέντρωση του ρυθµού στο υλικό υψηλού δείκτη διάθλασης για την υψηλότερη κανονικοποιηµένη συχνότητα (Λ/λ=3). 14

15 Κεφάλαιο 2 Σχήµα 2.3: Ενεργός δείκτης διάθλασης συναρτήσει του λ. Απεικονίζονται ο σταθερός δείκτης διάθλασης του υλικού n=1.45 (µπλε καµπύλη), ο ενεργός δείκτης διάθλασης του βασικού ρυθµού του περιβλήµατος n FSM (κόκκινη καµπύλη) και ο ενεργός δείκτης διάθλασης του ρυθµού που διαδίδεται στην ίνα n eff (πράσινη καµπύλη). Ο n eff βρίσκεται µεταξύ του n=const του υλικού και του n FSM και όσο αυξάνει το µήκος κύµατος αποµακρύνεται από το n=1.45. Σχήµα 2.4: Ενεργός δείκτης διάθλασης συναρτήσει του Λ/λ. Απεικονίζονται ο σταθερός δείκτης διάθλασης του υλικού n=1.45 (µπλε καµπύλη), ο ενεργός δείκτης διάθλασης του βασικού ρυθµού του περιβλήµατος n FSM (κόκκινη καµπύλη) και ο ενεργός δείκτης διάθλασης του ρυθµού που διαδίδεται στην ίνα n eff (πράσινη καµπύλη). Ο n eff βρίσκεται µεταξύ του n=const του υλικού και του n FSM και όσο αυξάνει η κανονικοποιηµένη συχνότητα τόσο ο n eff προσεγγίζει το n=

16 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη (α) (β) Σχήµα 2.5: Απεικόνιση της z-συνιστώσας επιφανειακής πυκνότητας ισχύος για (α) Λ/λ=1.5 και (β) Λ/λ=3. Στη δεύτερη περίπτωση που αντιστοιχεί στην υψηλότερη συχνότητα η ισχύς του ρυθµού είναι πιο καλά συγκεντρωµένη στην περιοχή του πυρήνα σε σχέση µε την πρώτη περίπτωση της χαµηλότερης συχνότητας. Οι απώλειες συγκέντρωσης δίνονται από τη σχέση: confinement loss = Im k0neff (2.2) σε db/m όπου Im είναι το φανταστικό µέρος, k 0 ο κυµατικός αριθµός του κενού [9]. Σε PCFs µε άπειρο αριθµό οπών αέρα δεν υπάρχουν απώλειες συγκέντρωσης, καθώς δεν υπάρχει κάποιος µηχανισµός που να τις υποστηρίζει. Ωστόσο στις PCFs που κατασκευάζονται στην πράξη ο αριθµός των οπών στο περίβληµα είναι πεπερασµένος και έτσι οι ρυθµοί τέτοιων ινών παρουσιάζουν εγγενείς απώλειες. Αυτές οι απώλειες µειώνονται όσο αυξάνει η κανονικοποιηµένη συχνότητα (ή αντίστοιχα όσο µειώνεται το µήκος κύµατος) καθώς το πεδίο συγκεντρώνεται στην περιοχή του υλικού υψηλού δείκτη και άρα στην περιοχή του πυρήνα, όπως φαίνεται και στο σχήµα 2.6. Σχήµα 2.6: Απώλειες συγκέντρωσης σε db/km. Παρατηρείται αύξηση των απωλειών συγκέντρωσης µε το µήκος κύµατος λόγω της ολοένα και µικρότερης συγκέντρωσης του πεδίου στο υλικό υψηλού δείκτη (πυρήνα) καθώς αυξάνεται το λ 16

17 Κεφάλαιο 2 Στην περίπτωση που στον υπολογισµό του ενεργού δείκτη διάθλασης του ρυθµού λαµβάνεται υπόψη η διασπορά του υλικού δηλαδή η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης του υλικού από το µήκος κύµατος προκύπτει η µορφή του πεδίου όπως φαίνεται στο σχήµα 2.7 όπου απεικονίζονται οι x- και y- συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου και η z-συνιστώσα της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος για Λ/λ=1.5. (α) (β) (γ) Σχήµα 2.7: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στο βασικό ρυθµό που διαδίδεται στην ίνα στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5 λαµβάνοντας υπόψη στους υπολογισµούς τη διασπορά του υλικού. Η µεταβολή του δείκτη διάθλασης του υλικού µε το µήκος κύµατος δίνεται από την εξίσωση του Sellmeier (Sellmeier formula): n 2 ( ω) = 1 + B ω 2 m j j 2 2 j = 1 ω j ω (2.3) Στην περίπτωση των οπτικών ινών, οι παράµετροι Β j και ω j προκύπτουν πειραµατικά προσαρµόζοντας τις µετρούµενες καµπύλες διασποράς στην παραπάνω εξίσωση µε m=3 και ανάλογα µε τα συστατικά του πυρήνα. Για το καθαρό διοξείδιο του πυριτίου, αυτές οι παράµετροι είναι Β 1 = , Β 2 = , Β 3 = λ 1 = µ m, λ 2 = µ m, λ 3 = µ m όπου λ = 2π c ω και c είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό [10]. Από την εξίσωση 2.3 j j προκύπτει το διάγραµµα διασποράς του υλικού που απεικονίζεται στο σχήµα

18 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη Σχήµα 2.8: είκτης διάθλασης υλικού συναρτήσει του λ. Λαµβάνεται υπόψη η διασπορά του υλικού και εποµένως ο δείκτης διάθλασης του υλικού µεταβάλλεται µε το µήκος κύµατος σύµφωνα µε την εξίσωση Sellmeier. Ακολουθούν τα διαγράµµατα του n eff συναρτήσει τόσο του µήκους κύµατος λ όσο και της κανονικοποιηµένης συχνότητας Λ/λ στα σχήµατα 2.9 και Σ αυτά για λόγους καλύτερης αντίληψης περιλαµβάνεται και η µεταβολή του δείκτη διάθλασης του υλικού µε το λ. Σχήµα 2.9: είκτης διάθλασης συναρτήσει του λ. Απεικονίζεται τόσο ο δείκτης διάθλασης του ρυθµού που διαδίδεται n eff (πράσινη καµπύλη) όσο και ο δείκτης διάθλασης του υλικού n m (µπλε καµπύλη) που δεν είναι σταθερός αλλά µεταβάλλεται µε το µήκος κύµατος λ. 18

19 Κεφάλαιο 2 Σχήµα 2.10: είκτης διάθλασης συναρτήσει του Λ/λ. Απεικονίζεται τόσο ο δείκτης διάθλασης του ρυθµού που διαδίδεται n eff (πράσινη καµπύλη) όσο και ο δείκτης διάθλασης του υλικού n m (µπλε καµπύλη) που δεν είναι σταθερός αλλά µεταβάλλεται µε την κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ. Σχήµα 2.11: Απώλειες συγκέντρωσης σε db/km. Παρατηρείται αύξηση των απωλειών συγκέντρωσης µε το µήκος κύµατος λόγω της ολοένα και µικρότερης συγκέντρωσης του πεδίου στο υλικό υψηλού δείκτη (πυρήνα) καθώς αυξάνεται το λ. Όσον αφορά τις απώλειες, αυτές που υπολογίζονται χωρίς να λαµβάνεται υπόψη η διασπορά του υλικού είναι µικρότερες από αυτές που υπολογίζονται µε τη διασπορά υλικού, όπως φαίνεται από τα σχήµατα 2.6 και 2.11, ενώ και στις δύο περιπτώσεις παρατηρείται µια αύξηση των απωλειών συγκέντρωσης µε την αύξηση του λ, ή διαφορετικά µε τη µείωση του Λ/λ. Αυτό έχει ήδη εξηγηθεί παραπάνω µε βάση και το σχήµα µε τα προφίλ του ρυθµού σε δύο διαφορετικές συχνότητες στις υψηλές συχνότητες υπάρχει καλύτερη συγκέντρωση του ρυθµού στις περιοχές υψηλού δείκτη διάθλασης, ήτοι στον πυρήνα. Από σύγκριση των δύο περιπτώσεων, του χωρίς διασπορά υλικού υπολογισµού του ενεργού δείκτη διάθλασης του ρυθµού διάδοσης και του µε διασπορά υλικού υπολογισµού 19

20 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη του προκύπτουν τα συνολικά διαγράµµατα του δείκτη διάθλασης συναρτήσει του λ και του Λ/λ που φαίνονται στα διαγράµµατα 2.12 και Παρατηρούµε ότι αν προστεθεί η καµπύλη που αντιστοιχεί στο n m µε αυτή που αντιστοιχεί στο n eff χωρίς διασπορά υλικού και από το άθροισµα αφαιρεθεί το n=1.45, αφού έχει συµπεριληφθεί δύο φορές, προκύπτει µε αρκετή ακρίβεια η καµπύλη που αντιστοιχεί στο n eff µε διασπορά υλικού. Σχήµα 2.12: είκτης διάθλασης συναρτήσει του λ. Απεικονίζονται ο δείκτης διάθλασης του υλικού n m (πράσινη καµπύλη), ο ενεργός δείκτης διάθλασης του ρυθµού διάδοσης µη λαµβάνοντας υπόψη τη διασπορά του υλικού στον υπολογισµό του n eff (κόκκινη καµπύλη), ο ενεργός δείκτης διάθλασης του ρυθµού διάδοσης που προκύπτει λαµβάνοντας υπόψη τη διασπορά του υλικού στον υπολογισµό του n eff (γαλάζια καµπύλη) καθώς επίσης και ο σταθερός δείκτης διάθλασης n=1.45 (µπλε καµπύλη). Πρόσθεση της πράσινης και κόκκινης καµπύλης και αφαίρεση της µπλε για κάθε λ δίνει µε αρκετή ακρίβεια την γαλάζια καµπύλη. Σχήµα 2.13: είκτης διάθλασης συναρτήσει του Λ/λ. Απεικονίζονται ο δείκτης διάθλασης του υλικού n m (πράσινη καµπύλη), ο ενεργός δείκτης διάθλασης του ρυθµού διάδοσης µη λαµβάνοντας υπόψη τη διασπορά του υλικού στον υπολογισµό του n eff (κόκκινη καµπύλη), ο ενεργός δείκτης διάθλασης του ρυθµού διάδοσης που προκύπτει λαµβάνοντας υπόψη τη διασπορά του υλικού στον 20

21 Κεφάλαιο 2 υπολογισµό του n eff (γαλάζια καµπύλη) καθώς επίσης και ο σταθερός δείκτης διάθλασης n=1.45 (µπλε καµπύλη). Πρόσθεση της πράσινης και κόκκινης καµπύλης και αφαίρεση της µπλε για κάθε λ δίνει µε αρκετή ακρίβεια την γαλάζια καµπύλη. 2.2 Σύγκριση ινών µε διαφορετικό αριθµό δακτυλίων οϖών Οι γεωµετρίες που εξετάζονται αποτελούνται από 1, 2, 3 και 4 δακτυλίους οπών αντίστοιχα. Έχουν σταθερή περίοδο πλέγµατος Λ=2.3µm και σταθερή διάµετρο οπών περιβλήµατος d/λ=0.4 (σχήµα 2.14). Ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού (SiΟ 2 ) θεωρείται σταθερός και ίσος µε n i =1.45, δηλαδή δεν λαµβάνεται υπόψη η διασπορά του υλικού (material dispersion) και άρα η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης του υλικού από το µήκος κύµατος. Τονίζεται ότι δεδοµένου ότι παραβλέπεται η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης του υλικού από το λ, η όποια εξάρτηση του n eff από το λ οφείλεται στη γεωµετρία της ίνας (geometrical dispersion). (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 2.14: Σχηµατική αναπαράσταση ινών οδήγησης δείκτη µε (α) 1 δακτύλιο οπών, (β) 2 δακτυλίους οπών, (γ) 3 δακτυλίους οπών και (δ) 4 δακτυλίους οπών. Οι γεωµετρικές παράµετροι και για τις τέσσερις δοµές είναι: Λ=2.3µm και d/λ=0.4. Παρατίθενται αρχικά τα σχήµατα 2.15 ως 2.18 µε τη µορφή του πεδίου για την κανονικοποιηµένη ως προς την περίοδο πλέγµατος συχνότητα Λ/λ=1.5 για τις γεωµετρίες του σχήµατος 2.14 και στη συνέχεια ακολουθούν τα διαγράµµατα του ενεργού δείκτη διάθλασης n eff τόσο συναρτήσει του µήκους κύµατος λ όσο και συναρτήσει της 21

22 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη κανονικοποιηµένης ως προς την περίοδο πλέγµατος συχνότητας Λ/λ στα οποία συγκρίνεται η συµπεριφορά των διαφόρων γεωµετριών. (α) (β) (γ) Σχήµα 2.15: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στο βασικό ρυθµό που διαδίδεται σε ίνα µε ένα δακτύλιο οπών στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. (α) (β) (γ) Σχήµα 2.16: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στο βασικό ρυθµό που διαδίδεται σε ίνα µε δύο δακτυλίους οπών στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. 22

23 Κεφάλαιο 2 (α) (β) (γ) Σχήµα 2.17: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στο βασικό ρυθµό που διαδίδεται σε ίνα µε τρεις δακτυλίους οπών στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. (α) (β) Σχήµα 2.18: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (β) z-συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στο βασικό ρυθµό που διαδίδεται σε ίνα µε τέσσερις δακτυλίους οπών στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το µπλε χρώµα στο (α) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της x-συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου ενώ το κόκκινο τη µηδενική τιµή της. Αντίθετα, το κόκκινο χρώµα στο (β) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. 23

24 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη Σχήµα 2.19: Ενεργός δείκτης διάθλασης συναρτήσει του λ για τις γεωµετρίες µε ένα δακτύλιο (µπλε καµπύλη), δύο δακτυλίους (πράσινη καµπύλη), τρεις δακτυλίους (κόκκινη καµπύλη) και τέσσερις δακτυλίους οπών (γαλάζια καµπύλη). Αύξηση του αριθµού των δακτυλίων οδηγεί σε αύξηση του n eff η οποία είναι εµφανής κυρίως µεταξύ του ενός και των δύο δακτυλίων καθώς από τους τρεις δακτυλίους και έπειτα η καµπύλη συγκλίνει και περαιτέρω προσθήκη δακτυλίων απλά βελτιώνει τις απώλειες συγκέντρωσης. Σχήµα 2.20: Ενεργός δείκτης διάθλασης συναρτήσει του Λ/λ για τις γεωµετρίες µε ένα δακτύλιο (µπλε καµπύλη), δύο δακτυλίους (πράσινη καµπύλη), τρεις δακτυλίους (κόκκινη καµπύλη) και τέσσερις δακτυλίους οπών (γαλάζια καµπύλη). Αύξηση του αριθµού των δακτυλίων οδηγεί σε αύξηση του n eff η οποία είναι εµφανής κυρίως µεταξύ του ενός και των δύο δακτυλίων καθώς από τους τρεις δακτυλίους και έπειτα η καµπύλη συγκλίνει και περαιτέρω προσθήκη δακτυλίων απλά βελτιώνει τις απώλειες συγκέντρωσης. Από τα σχήµατα 2.19 και 2.20 γίνεται φανερό ότι µε την αύξηση του αριθµού των δακτυλίων των οπών παρατηρείται µια αύξηση του ενεργού δείκτη διάθλασης εµφανής µόνο ανάµεσα στον έναν και στους δύο δακτυλίους οπών καθώς µετά φαίνεται να συγκλίνει σε µια καµπύλη όσο κι αν αυξηθεί περαιτέρω ο αριθµός των δακτυλίων. 24

25 Κεφάλαιο 2 Σχήµα 2.21: ιαφορά n eff δοµών µε διαφορετικό αριθµό δακτυλίων από τη δοµή µε ένα δακτύλιο για διάφορα λ. Όσο αυξάνει το µήκος κύµατος αυξάνει η διαφορά των δεικτών διάθλασης των διαφόρων περιπτώσεων. Στα µεγάλα µήκη κύµατος το πεδίο εκτείνεται περισσότερο στις περιοχές χαµηλού δείκτη διάθλασης και άρα όποια αλλαγή µε την προσθήκη δακτυλίων επηρεάζει τον n eff πιο πολύ σε σχέση µε τα µικρά λ όπου το πεδίο συγκεντρώνεται βασικά στον πυρήνα και δεν επηρεάζεται ιδιαίτερα από την προσθήκη δακτυλίων. Αυτό προκύπτει και από το σχήµα 2.21 στο οποίο δίνεται η διαφορά των ενεργών δεικτών διάθλασης κάθε γεωµετρίας από τον ενεργό δείκτη διάθλασης της ίνας µε ένα δακτύλιο οπών. Επίσης είναι χαρακτηριστικό ότι όσο αυξάνει το λ τόσο µεγαλώνει η διαφορά ανάµεσα στους n eff. Αυτό συµβαίνει γιατί τα µεγάλα µήκη κύµατος είναι πιο ευαίσθητα στην αλλαγή του ποσοστού αέρα του περιβλήµατος καθώς σ αυτά ο ρυθµός εκτείνεται πιο έντονα στις περιοχές χαµηλού δείκτη διάθλασης. Σηµειώνεται ότι προσθήκη δακτυλίων πέραν των τριών δεν αυξάνει τον ενεργό δείκτη διάθλασης, απλώς βελτιώνει τις απώλειες συγκέντρωσης. Σχήµα 2.22: ιαφορά ενεργών δεικτών διάθλασης x και y πόλωσης. Οι τιµές της διαφοράς είναι πολύ µικρές. Λόγω της υφιστάµενης συµµετρίας αναµένεται οι δύο κύριες πολώσεις να είναι εκφυλισµένες και η διαφορά των δεικτών διάθλασής τους µηδενική. Όµως λόγω της διακριτοποίησης 25

26 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη της δοµής παρουσιάζονται σφάλµατα που οδηγούν σε µη µηδενικές µεν αλλά πολύ µικρές διαφορές δεικτών διάθλασης x και y πόλωσης τόσο µικρότερες όσο περισσότεροι είναι οι δακτύλιοι οπών. Τέλος στο σχήµα 2.22 φαίνεται η διαφορά ανάµεσα στους δείκτες διάθλασης του x και του y πολωµένου ρυθµού η οποία δίνεται από τη σχέση: λ n β ( λ ) β ( λ ) n n 2π effx, y y x eff, y eff, x (2.4) Αυτή η διαφορά είναι αµελητέα, της τάξης του 10-4 για τη µια σειρά οπών, του 10-5 για δύο σειρές, του 10-6 για τρεις και του 10-7 για τέσσερις, πράγµα απόλυτα λογικό µιας και οι δύο πολώσεις σε µια διάταξη µε συµµετρία 60 ο είναι εκφυλισµένες. Κανονικά λόγω της υφιστάµενης συµµετρίας αναµένονται µηδενικές τιµές. Οι µη µηδενικές τιµές διαφοράς των δεικτών διάθλασης των δύο κύριων πολώσεων οφείλονται σε σφάλµατα στους υπολογισµούς λόγω της διακριτοποίησης της δοµής ενώ η ανοδική τάση τους µε την αύξηση του λ ακολουθεί την ίδια λογική µε όσα αναφέρθηκαν παραπάνω για τη συµπεριφορά του n eff µε την αύξηση του λ. Σχήµα 2.23: Απώλειες συγκέντρωσης σε db/km. Παρατηρείται αύξηση των απωλειών συγκέντρωσης µε το µήκος κύµατος λόγω της ολοένα και µικρότερης συγκέντρωσης του πεδίου στο υλικό υψηλού δείκτη καθώς αυξάνεται το λ. Όσο αυξάνεται ο αριθµός των δακτυλίων οπών τόσο µειώνονται οι απώλειες συγκέντρωσης καθώς ο ρυθµός συγκεντρώνεται όλο και περισσότερο στην περιοχή του πυρήνα προσεγγίζοντας την περίπτωση του άπειρου περιοδικού περιβλήµατος και άρα των µηδενικών απωλειών συγκέντρωσης. Είναι φανερό και από το σχήµα 2.23 ότι οι απώλειες συγκέντρωσης µειώνονται δραµατικά όσο αυξάνει ο αριθµός των δακτυλίων και άρα όσο καλύτερα συγκεντρώνεται το πεδίο στον πυρήνα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι όσο αυξάνεται ο αριθµός των δακτυλίων τόσο προσεγγίζεται η περίπτωση του άπειρου περιβλήµατος και άρα των ελάχιστων δυνατών απωλειών συγκέντρωσης. Αυτό άλλωστε δείχνει και η σύµπτωση των καµπυλών διασποράς για τρεις και τέσσερις δακτυλίους. 26

27 Κεφάλαιο Σύγκριση ινών µε διαφορετική διάµετρο οϖών για τρεις δακτυλίους οϖών Είναι γενικά πιο βολικό να χρησιµοποιούνται στη διαδικασία σχεδιασµού δύο αδιάστατες παράµετροι αντί των d και Λ: το κλάσµα αέρα (air filling fraction) ( 4 3) ( ) 2 f = ϖ a Λ, όπου α η ακτίνα των οπών, που περιλαµβάνει τον αδιάστατο λόγο α/λ και παρέχει την αναλογία αέρα ως προς το διοξείδιο του πυριτίου στη δοµή του φωτονικού κρυστάλλου, και τη µεγέθυνση (magnification) M που απλά αποτελεί την ταυτόχρονη κλιµάκωση των α και Λ κατά το ίδιο ποσό. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι η µεγέθυνση Μ έχει ένα ακόµη σηµαντικό πρακτικό ενδιαφέρον. Στη διαδικασία εφελκυσµού (pulling process) κατά την κατασκευή της ίνας, όπως προαναφέρθηκε στο κεφάλαιο 1, η Μ είναι η παράµετρος που µπορεί να ελεγχθεί µε φυσικό τρόπο. Κι αυτό επειδή, υπό ιδανικές συνθήκες, η διαδικασία εφελκυσµού πρέπει να διατηρεί τις αναλογίες της αρχικής δοµής. Στα σχήµατα 2.24 και 2.25 παρατίθενται δοµές µε διαφορετικές τις παραπάνω παραµέτρους. d=2α και d =2α Σχήµα 2.24: Σχηµατική αναπαράσταση δοµών µε διαφορετική µεγέθυνση Μ και ίδιο κλάσµα αέρα f (α/λ=α /Λ ). Πρόκειται για ταυτόχρονη κλιµάκωση της ακτίνας των οπών αέρα α και της περιόδου του πλέγµατος Λ κατά το ίδιο ποσό. d=2α και d =2α Σχήµα 2.25: Σχηµατική αναπαράσταση δοµών µε διαφορετικό κλάσµα αέρα f και ίδια µεγέθυνση Μ (α/λ α /Λ). Πρόκειται για αλλαγή µόνο της ακτίνας των οπών αέρα α ενώ η περίοδος πλέγµατος Λ παραµένει σταθερή. Οµοίως µε την παράγραφο 2.2, ο δείκτης διάθλασης του υλικού είναι n i =1.45 σταθερός. Εποµένως, ο n eff εξαρτάται από τις παραµέτρους του περιβλήµατος του φωτονικού κρυστάλλου, α και Λ, και από το µήκος κύµατος λ. Και εφόσον ο n eff είναι αδιάστατη 27

28 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη συνάρτηση, αυτή η εξάρτηση µπορεί να ορίζεται µόνο µέσω των λόγων αυτών των τριών παραµέτρων, α/λ και Λ/λ δηλαδή n = n ( α / λ, Λ / λ ) [4]. eff eff Σταθερή ϖερίοδος ϖλέγµατος Λ και µεταβαλλόµενο κλάσµα αέρα f Στο σχήµα 2.26 φαίνονται τέσσερις δοµές ινών οδήγησης δείκτη µε τρεις δακτυλίους οπών στις οποίες η περίοδος πλέγµατος παραµένει σταθερή Λ=2.3µm και αυτό που µεταβάλλεται από δοµή σε δοµή είναι ο λόγος d/λ, δηλαδή το κλάσµα αέρα f. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 2.26: Σχηµατική αναπαράσταση ινών οδήγησης δείκτη µε τρεις δακτυλίους οπών και (α) d/λ=0.2, (β) d/λ=0.4, (γ) d/λ=0.6 και (δ) d/λ=0.8. Η περίοδος πλέγµατος είναι Λ=2.3µm. Αυτό που µεταβάλλεται από περίπτωση σε περίπτωση είναι το κλάσµα αέρα f. Στα σχήµατα 2.27 ως 2.30 παρατίθεται η µορφή του πεδίου για τις βασικές συνιστώσες στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5 για τις τέσσερις τιµές του λόγου d/λ που εξετάζονται ενώ ακολουθούν τα σχήµατα 2.31 και 2.32 µε τα διαγράµµατα του ενεργού δείκτη διάθλασης n eff τόσο συναρτήσει του µήκους κύµατος λ όσο και συναρτήσει της κανονικοποιηµένης συχνότητας Λ/λ. 28

29 Κεφάλαιο 2 (α) (β) (γ) Σχήµα 2.27: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στο βασικό ρυθµό που διαδίδεται σε ίνα µε τρεις δακτυλίους οπών και λόγο d/λ=0.2 στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. (α) (β) (γ) Σχήµα 2.28: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στο βασικό ρυθµό που διαδίδεται σε ίνα µε τρεις δακτυλίους οπών και λόγο d/λ=0.4 στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. 29

30 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη (α) (β) Σχήµα 2.29: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (β) z-συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στο βασικό ρυθµό που διαδίδεται σε ίνα µε τρεις δακτυλίους οπών και λόγο d/λ=0.6 στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. το µπλε χρώµα στο (α) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της x-συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου ενώ το κόκκινο τη µηδενική τιµή της. Αντίθετα, το κόκκινο χρώµα στο (β) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. (α) (β) Σχήµα 2.30: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (β) z-συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στο βασικό ρυθµό που διαδίδεται σε ίνα µε τρεις δακτυλίους οπών και λόγο d/λ=0.8 στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (α) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της x-συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. Το κόκκινο χρώµα στο (β) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. Σχήµα 2.31: Ενεργός δείκτης διάθλασης συναρτήσει του λ για γεωµετρίες µε τρεις δακτυλίους οπών και λόγο d/λ=0.2 (µπλε καµπύλη), d/λ=0.4 (πράσινη καµπύλη), d/λ=0.6 (κόκκινη καµπύλη) και 30

31 Κεφάλαιο 2 d/λ=0.8 (γαλάζια καµπύλη). Αύξηση του λόγου d/λ (δηλαδή αύξηση του κλάσµατος αέρα) προκαλεί µείωση του n eff λόγω της µεγαλύτερης παρουσίας αέρα στη δοµή. Για µικρό κλάσµα αέρα (d/λ=0.2) προσεγγίζεται η τιµή του n του καθαρού SiO 2 ενώ όσο αυξάνει το f η ίνα αποµακρύνεται από αυτή τη συµπεριφορά. Σχήµα 2.32: Ενεργός δείκτης διάθλασης συναρτήσει του Λ/λ για γεωµετρίες µε τρεις δακτυλίους οπών και λόγο d/λ=0.2 (µπλε καµπύλη), d/λ=0.4 (πράσινη καµπύλη), d/λ=0.6 (κόκκινη καµπύλη) και d/λ=0.8 (γαλάζια καµπύλη). Αύξηση του λόγου d/λ (δηλαδή αύξηση του κλάσµατος αέρα) προκαλεί µείωση του n eff λόγω της µεγαλύτερης παρουσίας αέρα στη δοµή. Για µικρό κλάσµα αέρα (d/λ=0.2) προσεγγίζεται η τιµή του n του καθαρού SiO 2 ενώ όσο αυξάνει το f η ίνα αποµακρύνεται από αυτή τη συµπεριφορά. Όσο αυξάνει η διάµετρος των οπών αέρα d (ενώ η περίοδος πλέγµατος Λ παραµένει σταθερή) και άρα και το κλάσµα αέρα f (air filling fraction) παρατηρείται µείωση του ενεργού δείκτη διάθλασης του διαδιδόµενου ρυθµού. Στην ουσία, όταν το ποσοστό του αέρα στην ίνα είναι πολύ µικρό προσεγγίζεται η συµπεριφορά διασποράς του καθαρού διοξειδίου του πυριτίου (SiO 2 ), όπως φαίνεται και από την καµπύλη που αντιστοιχεί σε d/λ=0.2 στα σχήµατα 2.31 και 2.32 και η οποία προσεγγίζει έντονα τη σταθερή n=1.45 του υλικού βάσης. Όσο αυξάνεται το κλάσµα αέρα η συµβολή της διασποράς του κυµατοδηγού γίνεται όλο και πιο έντονη, και άρα υπάρχει µεγαλύτερη εξάρτηση από το λ (όχι τόσο επίπεδη καµπύλη) και µικρότερος n eff. Σηµειώνεται ότι αυτή η µείωση του ενεργού δείκτη διάθλασης του οδηγούµενου ρυθµού είναι πιο έντονη στα µεγάλα µήκη κύµατος που κυρίως επηρεάζονται από την αλλαγή στην έκταση των περιοχών χαµηλού δείκτη διάθλασης [7]. 31

32 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη Σχήµα 2.33: ιαφορά ενεργών δεικτών διάθλασης x και y πόλωσης. Οι τιµές της διαφοράς είναι πολύ µικρές. Λόγω της υφιστάµενης συµµετρίας αναµένεται οι δύο κύριες πολώσεις να είναι εκφυλισµένες και η διαφορά των δεικτών διάθλασής τους µηδενική. Όµως λόγω της διακριτοποίησης της δοµής παρουσιάζονται σφάλµατα που οδηγούν σε µη µηδενικές µεν αλλά πολύ µικρές διαφορές δεικτών διάθλασης x και y πόλωσης τόσο µικρότερες όσο µεγαλύτερο είναι το κλάσµα αέρα. Στο σχήµα 2.33 απεικονίζεται η διαφορά των n eff των δύο κύριων πολώσεων. Είναι αµελητέα, της τάξης του 10-4 για τις µικρότερες οπές και του 10-7 για τις µεγαλύτερες, γεγονός που οφείλεται στην συµµετρία της δοµής των ινών που εξετάζονται. Έτσι, είναι φυσικό να µην ευνοείται κάποια πόλωση έναντι της άλλης. Η παρατηρούµενη αύξηση της διαφοράς µε το λ αποδίδεται στην ευαισθησία της περιοχής των µεγάλων µηκών κύµατος σε αλλαγές της έκτασης της περιοχής αέρα ενώ όσο αυξάνει το κλάσµα αέρα τόσο καλύτερη είναι η συγκέντρωση του πεδίου του ρυθµού στην περιοχή του πυρήνα όπως φαίνεται και στα σχήµατα 2.34, 2.35 και στο 2.36 που απεικονίζει τις απώλειες συγκέντρωσης του ρυθµού, οπότε και τόσο µικρότερη η διαφορά των δεικτών διάθλασης που αντιστοιχούν στις δύο κύριες πολώσεις. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 2.34: Απεικόνιση της z-συνιστώσας επιφανειακής πυκνότητας ισχύος για Λ/λ=1.5 και (α) d/λ=0.2, (β) d/λ=0.4, (γ) d/λ=0.6 και (δ) d/λ=0.8. Παρατηρείται ολοένα και καλύτερη συγκέντρωση του ρυθµού στην περιοχή του πυρήνα µε την αύξηση του d/λ. 32

33 Κεφάλαιο 2 (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 2.35: Απεικόνιση της z-συνιστώσας επιφανειακής πυκνότητας ισχύος για Λ/λ=3 και (α) d/λ=0.2, (β) d/λ=0.4, (γ) d/λ=0.6 και (δ) d/λ=0.8. Παρατηρείται ολοένα και καλύτερη συγκέντρωση του ρυθµού στην περιοχή του πυρήνα µε την αύξηση του d/λ. Τα σχήµατα 2.34 και 2.35 απεικονίζουν τη z-συνιστώσα της επιφ. πυκνότητας ισχύος για τα διάφορα d/λ και για Λ/λ=1.5 και Λ/λ=3 αντίστοιχα και καθιστούν φανερό ότι όσο αυξάνει ο λόγος d/λ τόσο καλύτερα συγκεντρώνεται ο ρυθµός στην περιοχή του πυρήνα. Αυτό γίνεται φανερό και από το σχήµα 2.36 όπου φαίνονται οι απώλειες συγκέντρωσης σε db/km. Επίσης από τη σύγκριση των σχηµάτων 2.34 και 2.35 προκύπτει η ήδη διαπιστωµένη παρατήρηση ότι όσο αυξάνει η κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ τόσο καλύτερα συγκεντρώνεται ο ρυθµός στην περιοχή του πυρήνα. Σχήµα 2.36: Απώλειες συγκέντρωσης σε db/km. Αύξηση του κλάσµατος αέρα οδηγεί σε καλύτερη συγκέντρωση του ρυθµού στην περιοχή του πυρήνα και άρα µικρότερες απώλειες συγκέντρωσης. Από το σχήµα 2.36 προκύπτει ότι όσο αυξάνει το κλάσµα αέρα, τόσο µειώνονται οι απώλειες συγκέντρωσης. Είναι δε προφανές ότι στις χαµηλές συχνότητες (µεγάλα µήκη κύµατος), οι διαφορές στις απώλειες συγκέντρωσης είναι σαφώς µεγαλύτερες ανάµεσα στις διάφορες περιπτώσεις. Κι αυτό γιατί σ αυτή την περιοχή συχνοτήτων το πεδίο προτιµά περιοχές χαµηλού δείκτη διάθλασης (περίβληµα) οι οποίες είναι και αυτές που υφίστανται τη µεταβολή µε την αλλαγή της διαµέτρου των οπών. Άρα η επιρροή της µεταβολής είναι πιο έντονη στην περιοχή αυτή. 33

34 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη Σταθερό κλάσµα αέρα f και µεταβαλλόµενη ϖερίοδος ϖλέγµατος Λ και διάµετρος οϖών d Μεταβάλλεται η διάµετρος των οπών d και η περίοδος πλέγµατος Λ µε τέτοιο τρόπο ώστε ο λόγος d/λ και άρα το κλάσµα αέρα f παραµένει σταθερό. Εκτενής αναφορά σ αυτή την περίπτωση γίνεται στο κεφάλαιο 4 όπου εξετάζεται η επίδραση της µεταβολής του Μ στην καµπύλη παραµέτρου διασποράς. 2.4 Σύγκριση ινών µε διαφορετικές διαµέτρους οϖών ανά δακτύλιο για τέσσερις δακτυλίους οϖών Εξετάζονται γεωµετρίες τεσσάρων δακτυλίων µε σταθερή περίοδο πλέγµατος Λ=2µm και ο δείκτης διάθλασης του υλικού εξαρτάται από το µήκος κύµατος (δηλαδή λαµβάνεται n = n λ. Στις ίνες φωτονικού κρυστάλλου που υπόψη η διασπορά του υλικού) ( ) m m εξετάστηκαν στις προηγούµενες παραγράφους η δοµή του περιβλήµατος αποτελούνταν από οπές αέρα µε την ίδια διάµετρο σε κανονικό τριγωνικό πλέγµα. Η µορφή της χρωµατικής διασποράς (chromatic dispersion) µπορεί εύκολα να µεταβληθεί αλλάζοντας τη διάµετρο των οπών και την περίοδο του πλέγµατος. Ωστόσο, χρησιµοποιώντας µια ίνα µε την ίδια διάµετρο οπών στην περιοχή του περιβλήµατος, είναι δύσκολο να ελεγχθεί η κλίση της καµπύλης διασποράς σε ένα µεγάλο εύρος µηκών κύµατος. Στις ίνες οδήγησης δείκτη διάθλασης (index guiding PCFs), εφόσον η περιοδικότητα της περιοχής του περιβλήµατος δεν είναι ουσιώδους σηµασίας για τη συγκέντρωση του οδηγούµενου ρυθµού στην υψηλού δείκτη διάθλασης περιοχή του πυρήνα, δίνεται η δυνατότητα σχεδίασης ινών όπως αυτή του σχήµατος 2.37 ώστε να είναι δυνατός ο έλεγχος τόσο της διασποράς όσο και της κλίσης της σε ένα µεγάλο εύρος µηκών κύµατος. Στο εύρος των µικρών λ, ο οδηγούµενος ρυθµός είναι καλά συγκεντρωµένος στην περιοχή του πυρήνα και η ιδιότητα της διασποράς επηρεάζεται από τους εσωτερικούς δακτυλίους οπών αέρα, ενώ στο εύρος των µεγάλων λ, η ενεργός περιοχή του πυρήνα αυξάνεται και η ιδιότητα της διασποράς δεν επηρεάζεται µόνο από τους εσωτερικούς δακτυλίους οπών αέρα αλλά και από τους εξωτερικούς, ιδιαίτερα όταν η περίοδος πλέγµατος είναι µικρή. Βελτιστοποιώντας τη διάµετρο κάθε οπής d i (i=1~4) και την περίοδο πλέγµατος Λ, τόσο η διασπορά όσο και η κλίση της µπορούν να καθοριστούν σε µεγάλο εύρος λ [5]. (α) (β) 34

35 Κεφάλαιο 2 (γ) Σχήµα 2.37: Σχηµατική αναπαράσταση ινών οδήγησης δείκτη µε τέσσερις δακτυλίους οπών και (α) ίσες διαµέτρους οπών, (β) διαφορετικής διαµέτρου οπές στον 1 ο εσωτερικό δακτύλιο και (γ) διαφορετικής διαµέτρου οπές στον 1 ο και 2 ο εσωτερικό δακτύλιο. Η περίοδος πλέγµατος είναι Λ=2µm. Στα σχήµατα 2.38 και 2.39 απεικονίζεται η µορφή του πεδίου µε τις βασικές συνιστώσες για τις δοµές (β) και (γ) του σχήµατος 2.37 και για Λ/λ=1.5 ενώ στα σχήµατα 2.40 και 2.41 παρουσιάζεται η µεταβολή του ενεργού δείκτη διάθλασης του ρυθµού διάδοσης συναρτήσει του λ και του Λ/λ αντίστοιχα για τις τρεις δοµές του σχήµατος (α) (β) (γ) Σχήµα 2.38: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στο βασικό ρυθµό που διαδίδεται σε ίνα µε τέσσερις δακτυλίους οπών και διαµέτρους οπών µε λόγο d 1/Λ=0.25 και d 2/Λ=d 3/Λ=d 4/Λ=0.3 (σχήµα 2.37 (β)) στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. 35

36 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη (α) (β) (γ) Σχήµα 2.39: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στο βασικό ρυθµό που διαδίδεται σε ίνα µε τέσσερις δακτυλίους οπών και ίσες διαµέτρους οπών µε λόγο d 1/Λ=0.25, d 2/Λ=0.3 και d 3/Λ=d 4/Λ=0.35 (σχήµα 2.37 (γ)) στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. Σχήµα 2.40: Ενεργός δείκτης διάθλασης συναρτήσει του λ για γεωµετρίες µε τέσσερις δακτυλίους οπών και λόγο d 1/Λ= d 2/Λ=d 3/Λ=d 4/Λ =0.25 (µπλε καµπύλη), d 1/Λ=0.25 και d 2/Λ=d 3/Λ=d 4/Λ=0.3 (πράσινη καµπύλη) και d 1/Λ=0.25, d 2/Λ=0.3 και d 3/Λ=d 4/Λ=0.35 (κόκκινη καµπύλη). Στα µικρά λ η εξάρτηση του n eff από το λ καθορίζεται από τους κοντινούς στον πυρήνα δακτυλίους οπών οι οποίες και στις τρεις δοµές είναι ίσες γι αυτό και οι τρεις καµπύλες στην περιοχή αυτή συµπίπτουν. Καθώς το λ αυξάνει προτιµώνται από το ρυθµό περιοχές χαµηλού δείκτη διάθλασης και άρα επιδρούν και οι εξωτερικοί δακτύλιοι των οποίων το µέγεθος των οπών διαφέρει από δοµή σε δοµή. Κυρίως διαφορά παρατηρείται µεταξύ των δοµών α-β και α-γ συνεπώς ο δεύτερος δακτύλιος είναι αυξηµένης σηµασίας στα µεγάλα λ. 36

37 Κεφάλαιο 2 Σχήµα 2.41: Ενεργός δείκτης διάθλασης συναρτήσει του Λ/λ για γεωµετρίες µε τέσσερις δακτυλίους οπών και λόγο d 1/Λ= d 2/Λ=d 3/Λ=d 4/Λ =0.25 (µπλε καµπύλη), d 1/Λ=0.25 και d 2/Λ=d 3/Λ=d 4/Λ=0.3 (πράσινη καµπύλη) και d 1/Λ=0.25, d 2/Λ=0.3 και d 3/Λ=d 4/Λ=0.35 (κόκκινη καµπύλη). Στα µεγάλα Λ/λ η εξάρτηση του n eff καθορίζεται από τους κοντινούς στον πυρήνα δακτυλίους οπών οι οποίες και στις τρεις δοµές είναι ίσες γι αυτό και οι τρεις καµπύλες στην περιοχή αυτή συµπίπτουν. Καθώς το Λ/λ µειώνεται προτιµώνται από το ρυθµό περιοχές χαµηλού δείκτη διάθλασης και άρα επιδρούν και οι εξωτερικοί δακτύλιοι των οποίων το µέγεθος των οπών διαφέρει από δοµή σε δοµή. Κυρίως διαφορά παρατηρείται µεταξύ των δοµών α-β και α-γ συνεπώς ο δεύτερος δακτύλιος είναι αυξηµένης σηµασίας στα µικρά Λ/λ. Είναι εµφανές στα σχήµατα 2.40 και 2.41 ότι στις υψηλές συχνότητες όπου ο ρυθµός συγκεντρώνεται στις περιοχές υψηλού n (πυρήνας), η εξάρτηση του n eff από το λ καθορίζεται από τους κοντινούς στον πυρήνα δακτυλίους οπών οι οποίες και στις τρεις δοµές είναι ίσες. Σ αυτό οφείλεται η σύµπτωση των καµπυλών των τριών δοµών στις υψηλές κανονικοποιηµένες συχνότητες Λ/λ. Αντίθετα, στις χαµηλές συχνότητες όπου προτιµώνται περιοχές χαµηλότερου n από τον οδηγούµενο ρυθµό, η επίδραση και των εξωτερικών δακτυλίων, των οποίων οι οπές διαφοροποιούνται από δοµή σε δοµή, είναι σηµαντική γι αυτό και οι καµπύλες διασποράς αποκλίνουν. Η κύρια απόκλιση παρατηρείται ανάµεσα στις δοµές α και β, ενώ β και γ φαίνεται να εξακολουθούν να συµπίπτουν σε γενικές γραµµές. Συνεπώς στις χαµηλές συχνότητες επιδρά στην καµπύλη διασποράς κυρίως ο δεύτερος δακτύλιος οπών. 37

38 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη Σχήµα 2.42: ιαφορά ενεργών δεικτών διάθλασης x και y πόλωσης. Οι τιµές της διαφοράς είναι πολύ µικρές. Λόγω της υφιστάµενης συµµετρίας 60 ο αναµένεται οι δύο κύριες πολώσεις να είναι εκφυλισµένες και η διαφορά των δεικτών διάθλασής τους µηδενική. Όµως λόγω της διακριτοποίησης της δοµής παρουσιάζονται σφάλµατα που οδηγούν σε µη µηδενικές µεν αλλά πολύ µικρές διαφορές δεικτών διάθλασης x και y πόλωσης. Η n effx,y µειώνεται από την (α) στη (β) και τελικά στη (γ) δοµή του σχήµατος Σχήµα 2.43: Απώλειες συγκέντρωσης σε db/km. Παρατηρείται αύξηση των απωλειών συγκέντρωσης µε το µήκος κύµατος λόγω της ολοένα και µικρότερης συγκέντρωσης του πεδίου στο υλικό υψηλού δείκτη καθώς αυξάνεται το λ. Από την (α) στη (β) και έπειτα στη (γ) δοµή του σχήµατος 2.37 µειώνονται οι απώλειες συγκέντρωσης καθώς ο ρυθµός συγκεντρώνεται όλο και περισσότερο στην περιοχή του πυρήνα. Είναι φανερό από το σχήµα 2.43 ότι στην περίπτωση γ οι απώλειες συγκέντρωσης είναι οι µικρότερες και αυξάνονται λίγο στην περίπτωση β και αρκετά στην περίπτωση α 38

39 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη µε ασυµµετρίες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΝΕΣ ΦΩΤΟΝΙΚΟΥ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΥ Ο ΗΓΗΣΗΣ ΕΙΚΤΗ ΜΕ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ 3.1 Ίνες µε υψηλή διϖλοδιαθλαστικότητα (highly birefringent PCFs) Σ αυτή την παράγραφο εξετάζεται µια διαφορετική σχεδίαση για οπτικές ίνες φωτονικού κρυστάλλου µε οδήγηση δείκτη διάθλασης οι οποίες διατηρούν την πόλωση (polarization-maintaining index-guiding PCFs - PM-IG PCFs). Ο όρος διϖλοδιαθλαστικότητα (birefringence) χρησιµοποιείται σε διάφορες περιπτώσεις και µε διαφορετικές ερµηνείες. Στην περίπτωση των PCFs ο όρος αναφέρεται στη διάδοση µε διαφορετικό ενεργό δείκτη διάθλασης για τις δύο πολώσεις του διαδιδόµενου ρυθµού και άρα αποτροπή σύζευξης της ισχύος από τη µία πόλωση στην άλλη. Ένας τρόπος για να επιτευχθεί η υψηλή διπλοδιαθλαστικότητα σε αυτές τις ίνες είναι µέσω της ένταξης δύναµης (stress-induction) όπως και στις συµβατικές ίνες. Ο άλλος πραγµατοποιείται εισάγοντας ασυµµετρία στη µικροδοµή κοντά στον πυρήνα της ίνας και έχει εξεταστεί τόσο θεωρητικά όσο και πειραµατικά. Η διπλοδιαθλαστικότητα η οποία προκαλείται µε τον τελευταίο τρόπο είναι πολύ υψηλότερη από αυτή των κοινών ινών διπλοδιαθλαστικότητας µε ένταξη δύναµης (stress-induced) και η ίνα κατασκευάζεται εύκολα επειδή η διαφορά δεικτών διάθλασης είναι υψηλότερη από τις συµβατικές ίνες και η διαδικασία κατασκευής της επιτρέπει το σχηµατισµό της απαιτούµενης ασύµµετρης µικροδοµής κοντά στον πυρήνα της ίνας. Υπάρχουν πολλές µέθοδοι να δηµιουργηθούν PCFs µε οδήγηση δείκτη διάθλασης κάνοντας τη δοµή της ίνας µη συµµετρική. Γενικά οι πιο δηµοφιλείς ίνες που διατηρούν την πόλωση (Polarization-Maintaining Index-Guiding PCFs - PM-IG PCFs) πετυχαίνουν υψηλή διπλοδιαθλαστικότητα µέσω της µεγέθυνσης δύο από τις κεντρικές οπές αέρα (σχήµα 3.1 (α)). Μια άλλη µέθοδος είναι να αντικατασταθούν οι κυκλικές οπές αέρα του περιβλήµατος µε ελλειπτικές (σχήµα 3.1 (β) και (δ)). Η διπλοδιαθλαστικότητα αυτών των PM-IG-PCFs είναι της τάξης του 10-3, η οποία είναι µια τάξη µεγέθους υψηλότερη από αυτή των µε ένταξη δύναµης (stress-induced). Τέλος, ένας συνδυασµός αυτών των δύο µεθόδων οδηγεί σε µια ίνα µε στερεό πυρήνα διοξειδίου του πυριτίου, δύο µεγάλες κυκλικές οπές αέρα κοντά στον πυρήνα και περίβληµα µε ελλειπτικές οπές αέρα (σχήµα 3.1 (γ) και (ε)). Αυτές οι ίνες, συνδυάζουν τους δύο παράγοντες αυξηµένης διπλοδιαθλαστικότητας και η διϖλοδιαθλαστικότητα ρυθµού (modal birefringence) µιας τέτοιας ίνας είναι υψηλότερη τόσο από αυτή της ίνας µε δύο µεγεθυµένες οπές κοντά στον πυρήνα όσο και από αυτή της ίνας ελλειπτικών οπών [8]. Στο σχήµα 3.1 φαίνονται οι εγκάρσιες διατοµές της ίνας για διάφορες δοµές. Σηµειώνεται ότι δεν λαµβάνεται υπόψη στον υπολογισµό του n eff η διασπορά του υλικού. 39

40 Κεφάλαιο 3 (α) (β) (γ) (δ) (ε) Σχήµα 3.1: Σχηµατική αναπαράσταση ινών οδήγησης δείκτη µε (α) 2 οπές µεγαλύτερες, (β) ελλειπτικές οπές κατά x, (γ) ελλειπτικές οπές κατά x και 2 οπές µεγαλύτερες, (δ) ελλειπτικές οπές κατά y και (ε) ελλειπτικές οπές κατά y και 2 οπές µεγαλύτερες. Η περίοδος πλέγµατος είναι Λ=2.2µm. Στα σχήµατα 3.2 και 3.3 απεικονίζονται οι µορφές του πεδίου (x και y πόλωσης του ρυθµού) για Λ/λ=1.5 για ίνα οδήγησης δείκτη µε τέσσερις δακτυλίους οπών και δύο µεγαλύτερες οπές κοντά στον πυρήνα. Στα σχήµατα 3.4 και 3.5 παρατίθενται οι αντίστοιχες µορφές πεδίου x και y πόλωσης για ίνα οδήγησης δείκτη µε τέσσερις δακτυλίους ελλειπτικών κατά-x οπών ενώ στα 3.6 και 3.7 για ίνα οδήγησης δείκτη µε τέσσερις δακτυλίους ελλειπτικών κατά-x οπών και δύο κυκλικές οπές µεγαλύτερες κοντά στον πυρήνα. 40

41 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη µε ασυµµετρίες (α) (β) (γ) Σχήµα 3.2: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος κατά x-πολωµένου ρυθµού. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στη x πόλωση του βασικού ρυθµού που διαδίδεται σε ίνα µε δύο οπές µεγαλύτερες κοντά στον πυρήνα στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. O ρυθµός συµπιέζεται κατά x και εκτείνεται κατά y. (α) (β) (γ) Σχήµα 3.3: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος κατά y-πολωµένου ρυθµού. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στη y πόλωση του βασικού ρυθµού που διαδίδεται σε ίνα µε δύο οπές µεγαλύτερες κοντά στον πυρήνα στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. Αντίθετα, το µπλε χρώµα στο (β) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της y-συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου ενώ το κόκκινο τη µηδενική τιµή της. O ρυθµός συµπιέζεται κατά x και εκτείνεται κατά y. (α) (β) (γ) Σχήµα 3.4: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος κατά x-πολωµένου ρυθµού. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στη x πόλωση του βασικού ρυθµού που διαδίδεται σε ίνα µε ελλειπτικές κατά-x οπές στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. (α) (β) (γ) 41

42 Κεφάλαιο 3 Σχήµα 3.5: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος κατά y-πολωµένου ρυθµού. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στη y πόλωση του βασικού ρυθµού που διαδίδεται σε ίνα µε ελλειπτικές κατά-x οπές στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. Αντίθετα, το µπλε χρώµα στο (β) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της y-συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου ενώ το κόκκινο τη µηδενική τιµή της. (α) (β) (γ) Σχήµα 3.6: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος κατά x-πολωµένου ρυθµού. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στη x πόλωση του βασικού ρυθµού που διαδίδεται σε ίνα µε ελλειπτικές κατά-x οπές και δύο µεγαλύτερες κυκλικές οπές κοντά στον πυρήνα στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. O ρυθµός συµπιέζεται κατά x και εκτείνεται κατά y. (α) (β) (γ) Σχήµα 3.7: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος κατά y-πολωµένου ρυθµού. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στη y πόλωση του βασικού ρυθµού που διαδίδεται σε ίνα µε ελλειπτικές κατά-x οπές και δύο µεγαλύτερες κυκλικές οπές κοντά στον πυρήνα στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. Αντίθετα, το µπλε χρώµα στο (β) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της y-συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου ενώ το κόκκινο τη µηδενική τιµή της.o ρυθµός συµπιέζεται κατά x και εκτείνεται κατά y. Ανάλογες µορφές προκύπτουν και για τις περιπτώσεις που οι ελλειπτικές οπές έχουν τον µεγάλο άξονα κατά y. Η µόνη διαφορά είναι ότι ο ρυθµός συµπιέζεται κατά τον άξονα y και εκτείνεται περισσότερο κατά τον άξονα x. Στα σχήµατα 3.8 και 3.9 απεικονίζεται ο ενεργός δείκτης διάθλασης τόσο της x όσο και της y πόλωσης συναρτήσει του λ και του Λ/λ αντίστοιχα για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους οπών και δύο οπές µεγαλύτερες κοντά στον πυρήνα. Ο ενεργός δείκτης διάθλασης της x πόλωσης είναι µικρότερος από τον ενεργό δείκτη διάθλασης της y πόλωσης κι αυτό γιατί λόγω της ασυµµετρίας ο ρυθµός συµπιέζεται κατά x και εκτείνεται κατά y όπως φαίνεται και στα σχήµατα 3.2 και

43 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη µε ασυµµετρίες Σχήµα 3.8: Ενεργός δείκτης διάθλασης x και y πόλωσης συναρτήσει του λ για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους οπών και δύο µεγαλύτερες οπές κοντά στον πυρήνα. Ο n eff,y είναι µεγαλύτερος από τον n eff,x λόγω της ασυµµετρίας που εισάγεται µε τις δύο µεγαλύτερης διαµέτρου οπές. Ο ρυθµός συµπιέζεται κατά x και εκτείνεται κατά y. Σχήµα 3.9: Ενεργός δείκτης διάθλασης x και y πόλωσης συναρτήσει του Λ/λ για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους οπών και δύο µεγαλύτερες οπές κοντά στον πυρήνα. Ο n eff,y είναι µεγαλύτερος από τον n eff,x λόγω της ασυµµετρίας που εισάγεται µε τις δύο µεγαλύτερης διαµέτρου οπές. Ο ρυθµός συµπιέζεται κατά x και εκτείνεται κατά y. Στα σχήµατα 3.10 και 3.11 απεικονίζεται ο ενεργός δείκτης διάθλασης τόσο της x όσο και της y πόλωσης συναρτήσει του λ και του Λ/λ αντίστοιχα για ίνα µε ελλειπτικές κατά-x οπές. Ο ενεργός δείκτης διάθλασης της x πόλωσης είναι µεγαλύτερος από τον ενεργό δείκτη διάθλασης της y πόλωσης κι αυτό γιατί λόγω της ασυµµετρίας ο ρυθµός εκτείνεται ελαφρώς κατά x όπως φαίνεται και στα σχήµατα 3.4 και

44 Κεφάλαιο 3 Σχήµα 3.10: Ενεργός δείκτης διάθλασης x και y πόλωσης συναρτήσει του λ για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους ελλειπτικών κατά-x οπών. Ο n eff,x είναι µεγαλύτερος από τον n eff,y λόγω της ασυµµετρίας που εισάγεται µε τις ελλειπτικές οπές. Ο ρυθµός εκτείνεται ελαφρώς κατά x. Σχήµα 3.11: Ενεργός δείκτης διάθλασης x και y πόλωσης συναρτήσει του Λ/λ για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους ελλειπτικών κατά-x οπών. Ο n eff,x είναι µεγαλύτερος από τον n eff,y λόγω της ασυµµετρίας που εισάγεται µε τις ελλειπτικές οπές. Ο ρυθµός εκτείνεται ελαφρώς κατά x. Στα σχήµατα 3.12 και 3.13 απεικονίζεται ο ενεργός δείκτης διάθλασης τόσο της x όσο και της y πόλωσης συναρτήσει του λ και του Λ/λ αντίστοιχα για ίνα µε ελλειπτικές κατά-x οπές µε ταυτόχρονη παρουσία δύο µεγαλύτερων κυκλικών οπών κοντά στον πυρήνα. Ο ενεργός δείκτης διάθλασης της x πόλωσης είναι µικρότερος από τον ενεργό δείκτη διάθλασης της y πόλωσης κι αυτό γιατί λόγω της ασυµµετρίας ο ρυθµός εκτείνεται κατά y και συµπιέζεται κατά x, όπως φαίνεται και στα σχήµατα 3.6 και

45 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη µε ασυµµετρίες Σχήµα 3.12: Ενεργός δείκτης διάθλασης x και y πόλωσης συναρτήσει του λ για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους ελλειπτικών κατά-x οπών και δύο κυκλικές οπές µεγαλύτερες κοντά στον πυρήνα. Ο n eff,x είναι µικρότερος από τον n eff,y λόγω της ασυµµετρίας που εισάγεται µε τις ελλειπτικές οπές. Ο ρυθµός εκτείνεται κατά y και συµπιέζεται κατά x. Σχήµα 3.13: Ενεργός δείκτης διάθλασης x και y πόλωσης συναρτήσει του Λ/λ για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους ελλειπτικών κατά-x οπών και δύο κυκλικές οπές µεγαλύτερες κοντά στον πυρήνα. Ο n eff,x είναι µικρότερος από τον n eff,y λόγω της ασυµµετρίας που εισάγεται µε τις ελλειπτικές οπές. Ο ρυθµός εκτείνεται κατά y και συµπιέζεται κατά x. 45

46 Κεφάλαιο 3 Σχήµα 3.14: ιαφορά ενεργών δεικτών διάθλασης x και y πόλωσης για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους οπών. Απεικονίζονται η n effx,y για ίνα µε δύο οπές µεγαλύτερες κοντά στον πυρήνα (µπλε καµπύλη), ελλειπτικές κατά-x οπές (πράσινη καµπύλη) και ελλειπτικές κατά-x οπές µε ταυτόχρονη παρουσία δύο µεγαλύτερων κυκλικών οπών κοντά στον πυρήνα (κόκκινη καµπύλη). Η n effx,y για ελλειπτικές κατά-x οπές είναι αρνητική, ενώ για ελλειπτικές κατά-x οπές µε ταυτόχρονη παρουσία δύο µεγαλύτερων κυκλικών οπών κοντά στον πυρήνα προκύπτει περίπου ως το άθροισµα των άλλων δύο καµπυλών. Η διπλοδιαθλαστικότητα, δηλαδή η διαφορά των δεικτών διάθλασης υπολογίζεται από τις σταθερές διάδοσης των δύο ορθογώνιων πολώσεων και δίνεται από τον τύπο λ B ( λ ) β ( λ ) β ( λ ) n n 2π ( ),, y x eff y eff x (3.1) Από το σχήµα 3.14 γίνεται φανερό ότι στην περίπτωση των ελλειπτικών οπών κατά x η τιµή της διπλοδιαθλαστικότητας προκύπτει αρνητική. Αυτό οφείλεται στο ότι ο µεγάλος άξονας των ελλειπτικών οπών διατάσσεται κατά x και άρα η ελλειπτικότητα (ellipticity) η είναι µικρότερη της µονάδας. Η ελλειπτικότητα ορίζεται ως ο λόγος του άξονα y προς τον άξονα x. Σ αυτή την περίπτωση ο δείκτης διάθλασης της x-πόλωσης είναι µεγαλύτερος από αυτόν της y-πόλωσης και συνεπώς η διπλοδιαθλαστικότητα όπως ορίστηκε στην εξίσωση 3.1 είναι αρνητική. Επίσης από το σχήµα 3.14 φαίνεται ότι η καµπύλη που αντιστοιχεί στην περίπτωση των ελλειπτικών οπών κατά x µε ταυτόχρονη παρουσία δύο µεγαλύτερων κυκλικών οπών κοντά στον πυρήνα, βρίσκεται µεταξύ των δύο άλλων περιπτώσεων και µάλιστα περίπου στη µέση. Αυτό σηµαίνει ότι η τιµή της διπλοδιαθλαστικότητας για αυτή τη δοµή είναι περίπου το άθροισµα των τιµών για τις δύο άλλες δοµές (αφού για ελλειπτικές κατά x οπές η διπλοδιαθλαστικότητα είναι αρνητική). Στα σχήµατα 3.15 και 3.16 απεικονίζεται ο ενεργός δείκτης διάθλασης τόσο της x όσο και της y πόλωσης συναρτήσει του λ και του Λ/λ αντίστοιχα για ίνα µε ελλειπτικές κατά-y οπές. Ο ενεργός δείκτης διάθλασης της x πόλωσης είναι µικρότερος από τον ενεργό δείκτη διάθλασης της y πόλωσης κι αυτό γιατί λόγω της ασυµµετρίας ο ρυθµός εκτείνεται ελαφρώς κατά y. 46

47 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη µε ασυµµετρίες Σχήµα 3.15: Ενεργός δείκτης διάθλασης x και y πόλωσης συναρτήσει του λ για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους ελλειπτικών κατά-y οπών. Ο n eff,x είναι µικρότερος από τον n eff,y λόγω της ασυµµετρίας που εισάγεται µε τις ελλειπτικές οπές. Ο ρυθµός εκτείνεται ελαφρώς κατά y. Σχήµα 3.16: Ενεργός δείκτης διάθλασης x και y πόλωσης συναρτήσει του Λ/λ για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους ελλειπτικών κατά-y οπών. Ο n eff,x είναι µικρότερος από τον n eff,y λόγω της ασυµµετρίας που εισάγεται µε τις ελλειπτικές οπές. Ο ρυθµός εκτείνεται ελαφρώς κατά y. Στα σχήµατα 3.17 και 3.18 απεικονίζεται ο ενεργός δείκτης διάθλασης τόσο της x όσο και της y πόλωσης συναρτήσει του λ και του Λ/λ αντίστοιχα για ίνα µε ελλειπτικές κατά-y οπές µε ταυτόχρονη παρουσία δύο µεγαλύτερων κυκλικών οπών κοντά στον πυρήνα. Ο ενεργός δείκτης διάθλασης της x πόλωσης είναι µικρότερος από τον ενεργό δείκτη διάθλασης της y πόλωσης κι αυτό γιατί λόγω της ασυµµετρίας ο ρυθµός εκτείνεται κατά y. 47

48 Κεφάλαιο 3 Σχήµα 3.17: Ενεργός δείκτης διάθλασης x και y πόλωσης συναρτήσει του λ για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους ελλειπτικών κατά-y οπών µε ταυτόχρονη παρουσία δύο µεγαλύτερων κυκλικών οπών κοντά στον πυρήνα. Ο n eff,x είναι µικρότερος από τον n eff,y λόγω της ασυµµετρίας που εισάγεται µε τις ελλειπτικές οπές. Ο ρυθµός εκτείνεται κατά y και συµπιέζεται κατά x. Σχήµα 3.18: Ενεργός δείκτης διάθλασης x και y πόλωσης συναρτήσει του Λ/λ για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους ελλειπτικών κατά-y οπών µε ταυτόχρονη παρουσία δύο µεγαλύτερων κυκλικών οπών κοντά στον πυρήνα. Ο n eff,x είναι µικρότερος από τον n eff,y λόγω της ασυµµετρίας που εισάγεται µε τις ελλειπτικές οπές. Ο ρυθµός εκτείνεται κατά y και συµπιέζεται κατά x. 48

49 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη µε ασυµµετρίες Σχήµα 3.19: ιαφορά ενεργών δεικτών διάθλασης x και y πόλωσης για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους οπών. Απεικονίζονται η n effx,y για ίνα µε δύο οπές µεγαλύτερες κοντά στον πυρήνα (µπλε καµπύλη), ελλειπτικές κατά-y οπές (πράσινη καµπύλη) και ελλειπτικές κατά-y οπές µε ταυτόχρονη παρουσία δύο µεγαλύτερων κυκλικών οπών κοντά στον πυρήνα (κόκκινη καµπύλη). Η n effx,y για όλες τις γεωµετρίες είναι θετική, ενώ για ελλειπτικές κατά-y οπές και δύο µεγαλύτερες κυκλικές οπές κοντά στον πυρήνα προκύπτει περίπου ως το άθροισµα των άλλων δύο καµπυλών. Όπως και στην περίπτωση των ελλειπτικών οπών κατά τον άξονα x, προκύπτει ότι η διπλοδιαθλαστικότητα για τη δοµή των ελλείψεων κατά τον άξονα y µε ταυτόχρονη παρουσία δύο µεγαλύτερων κυκλικών οπών κοντά στον πυρήνα είναι ίση µε το άθροισµα περίπου των τιµών για τις δύο επιµέρους δοµές (σχήµα 3.19). Σηµειώνεται ότι σε αυτή την περίπτωση η διπλοδιαθλαστικότητα είναι µεγαλύτερη του µηδενός και για τις τρεις γεωµετρίες γιατί η ελλειπτικότητα η είναι µεγαλύτερη της µονάδας. 3.2 Μονόρρυθµες ίνες µονής ϖόλωσης (single-polarization single-mode PCFs) Στην παράγραφο αυτή εξετάζονται ίνες στις οποίες επιτρέπεται να διαδοθεί µόνο η µια πόλωση του ενός και µοναδικού ρυθµού που υποστηρίζεται από αυτές. Στην προηγούµενη παράγραφο εξετάστηκαν ίνες µε υψηλή διπλοδιαθλαστικότητα, µια χρήση των οποίων είναι ως ίνες διατήρησης πόλωσης. Αυτές οι ίνες είναι εξαιρετικής σηµασίας για συστήµατα σύµφωνης οπτικής επικοινωνίας και συστήµατα αισθητήρων. Ωστόσο, η ιδιότητα διατήρησης της πόλωσης αυτών των ινών επηρεάζεται από παρεµβολές πόλωσης και από διασπορά πόλωσης ρυθµού. Γι αυτό το λόγο εισήχθησαν οι µονόρρυθµες ίνες µονής πόλωσης (SPSM) οι οποίες επιτρέπουν τη διάδοση µιας και µόνο πόλωσης του θεµελιώδους ρυθµού. Έχει δε αποδειχθεί ότι οι ίνες φωτονικού κρυστάλλου µπορούν να δώσουν καλύτερες ίνες µονής πόλωσης από τις συµβατικές SPSM ίνες. Υπάρχουν δύο τεχνικές για την δηµιουργία αυτών των ινών: Στην πρώτη, η ίνα σχεδιάζεται έτσι ώστε η µία πόλωση του βασικού ρυθµού να µην οδηγείται. Η δεύτερη τεχνική βασίζεται στη διατήρηση µιας µεγάλης απώλειας ανάµεσα στις δύο πολώσεις του βασικού ρυθµού. Παρακάτω, υιοθετείται η δεύτερη τεχνική [9]. Οι υπό εξέταση γεωµετρίες 49

50 Κεφάλαιο 3 φαίνονται στο σχήµα 3.20 ενώ στο σχήµα 3.21 δίνεται η δοµή του κρυστάλλου του οποίου ο βασικός ρυθµός ορίζει το µήκος κύµατος αποκοπής της κάθε πόλωσης. Σηµειώνεται ότι δεν λαµβάνεται υπόψη στον υπολογισµό του n eff η διασπορά του υλικού. (α) (β) Σχήµα 3.20: Σχηµατική αναπαράσταση µονόρρυθµων ινών µονής πόλωσης τεσσάρων δακτυλίων µε (α) τέσσερις οπές µεγαλύτερες και (β) οκτώ οπές µεγαλύτερες. Σχήµα 3.21: Πλήρως περιοδική δοµή κρυστάλλου. Ο βασικός ρυθµός που διαδίδεται σ αυτή τη δοµή καθορίζει το µήκος κύµατος αποκοπής της κάθε πόλωσης για τις ίνες µονής πόλωσης του σχήµατος Στα σχήµατα 3.22 και 3.23 παρατίθενται οι µορφές του πεδίου για Λ/λ=1.5 για τη x όσο και την y πόλωση αντίστοιχα για ίνες µονής πόλωσης τεσσάρων δακτυλίων οπών µε τέσσερις µεγαλύτερες οπές. Παρατηρείται συµπίεση του πεδίου κατά y λόγω της ασυµµετρίας που υπάρχει. (α) (β) (γ) Σχήµα 3.22: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος κατά x-πολωµένου ρυθµού. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στη x πόλωση του βασικού ρυθµού που διαδίδεται σε ίνα µε τέσσερις οπές µεγαλύτερες στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. O ρυθµός συµπιέζεται κατά y και εκτείνεται κατά x. 50

51 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη µε ασυµµετρίες (α) (β) (γ) Σχήµα 3.23: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος κατά y-πολωµένου ρυθµού. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στη y πόλωση του βασικού ρυθµού που διαδίδεται σε ίνα µε τέσσερις οπές µεγαλύτερες στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. Αντίθετα, το µπλε χρώµα στο (β) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της y-συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου ενώ το κόκκινο τη µηδενική τιµή της.o ρυθµός συµπιέζεται κατά y και εκτείνεται κατά x. Στα σχήµατα 3.24 και 3.25 παρατίθενται οι µορφές του πεδίου για Λ/λ=1.5 για τη x όσο και την y πόλωση αντίστοιχα για ίνες µονής πόλωσης τεσσάρων δακτυλίων οπών µε οκτώ µεγαλύτερες οπές. Παρατηρείται συµπίεση του πεδίου κατά y λόγω της ασυµµετρίας που υπάρχει. (α) (β) (γ) Σχήµα 3.24: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος κατά x-πολωµένου ρυθµού. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στη x πόλωση του βασικού ρυθµού που διαδίδεται σε ίνα µε οκτώ οπές µεγαλύτερες στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. O ρυθµός συµπιέζεται κατά y και εκτείνεται κατά x. (α) (β) (γ) Σχήµα 3.25: (α) x-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, (β) y-συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου και (γ) z- συνιστώσα επιφ. πυκνότητας ισχύος κατά y-πολωµένου ρυθµού. Απεικόνιση της µορφής του πεδίου που αντιστοιχεί στη y πόλωση του βασικού ρυθµού που διαδίδεται σε ίνα µε οκτώ οπές µεγαλύτερες στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Λ/λ=1.5. Το κόκκινο χρώµα στο (γ) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της z-συνιστώσας της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος ενώ το µπλε τη µηδενική τιµή της. Αντίθετα, το µπλε χρώµα στο (β) δηλώνει τη µέγιστη τιµή της y-συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου ενώ το κόκκινο τη µηδενική τιµή της.o ρυθµός συµπιέζεται κατά y και εκτείνεται κατά x. 51

52 Κεφάλαιο 3 Στα σχήµατα 3.26 και 3.27 απεικονίζεται ο ενεργός δείκτης διάθλασης τόσο της x όσο και της y πόλωσης συναρτήσει του λ και του Λ/λ αντίστοιχα για ίνα µε τέσσερις οπές µεγαλύτερες. Ο ενεργός δείκτης διάθλασης της x πόλωσης είναι µεγαλύτερος από τον ενεργό δείκτη διάθλασης της y πόλωσης κι αυτό γιατί λόγω της ασυµµετρίας ο ρυθµός συµπιέζεται κατά y. Σχήµα 3.26: Ενεργός δείκτης διάθλασης x και y πόλωσης συναρτήσει του λ για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους οπών και τέσσερις οπές µεγαλύτερες. Απεικονίζονται ο n eff,x (µπλε καµπύλη), ο n eff,y (πράσινη καµπύλη) και ο n FSM (κόκκινη καµπύλη) που αντιστοιχεί στον θεµελιώδη ρυθµό διάδοσης στο πλήρως περιοδικό περίβληµα και αποτελεί το κατώφλι για το µήκος κύµατος αποκοπής της κάθε πόλωσης. Μεταξύ λ=1.53µm (µήκος κύµατος αποκοπής y πόλωσης) και λ=1.79µm (µήκος κύµατος αποκοπής x πόλωσης) η ίνα λειτουργεί ως ίνα µονής πόλωσης. Σχήµα 3.27: Ενεργός δείκτης διάθλασης x και y πόλωσης συναρτήσει του Λ/λ για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους οπών και τέσσερις οπές µεγαλύτερες. Απεικονίζονται ο n eff,x (µπλε καµπύλη), ο n eff,y (πράσινη καµπύλη) και ο n FSM (κόκκινη καµπύλη) που αντιστοιχεί στον θεµελιώδη ρυθµό διάδοσης στο πλήρως περιοδικό περίβληµα και αποτελεί το κατώφλι για το µήκος κύµατος αποκοπής της κάθε πόλωσης. 52

53 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη µε ασυµµετρίες Στο σχήµα 3.26 παριστάνεται ο ενεργός δείκτης διάθλασης της x και της y πόλωσης καθώς επίσης και ο ενεργός δείκτης διάθλασης του περιβλήµατος, δηλαδή ο δείκτης διάθλασης που αντιστοιχεί στον βασικό οδηγούµενο ρυθµό για την πλήρως περιοδική δοµή του περιβλήµατος (fundamental space-filling mode-fsm). Ο δείκτης διάθλασης του x- πολωµένου ρυθµού είναι µεγαλύτερος από αυτόν του y-πολωµένου ρυθµού. Η αποκοπή της y πόλωσης (και άρα η περαιτέρω διάδοση της µιας και µόνης πόλωσης) λαµβάνει χώρα όταν ο ενεργός δείκτης διάθλασης µιας εκ των δύο πολώσεων πέφτει κάτω από τον δείκτη διάθλασης του περιβλήµατος. Αυτός αποτελεί το κατώφλι που καθορίζει την περιοχή διάδοσης της µιας και µόνης πόλωσης για µεγαλύτερα µήκη κύµατος. Όπως προκύπτει από το σχήµα 3.26 τα µήκη κύµατος αποκοπής των κατά y και x πολωµένων ρυθµών εκτιµώνται περίπου στα 1.53µm και 1.79µm αντιστοίχως που είναι τα σηµεία τοµής των καµπυλών διασποράς τους µε αυτή του περιβλήµατος. Φαίνεται επίσης και το εύρος µηκών κύµατος στο οποίο διαδίδεται µόνο ο x-πολωµένος ρυθµός ενώ ο y-πολωµένος είναι φθίνων. Από το σχήµα 3.28 που απεικονίζει τη διαφορά των δεικτών διάθλασης των δύο πολώσεων η οποία δίνεται από τη σχέση: λ n β ( λ ) β ( λ ) n n 2π effx, y y x eff, y eff, x (3.2) είναι φανερή η ικανοποιητική διαφορά των δεικτών διάθλασης των δύο πολώσεων (της τάξης του 10-3 ). Σχήµα 3.28: ιαφορά ενεργών δεικτών διάθλασης x και y πόλωσης για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους οπών και τέσσερις οπές µεγαλύτερες. Η n effx,y παίρνει ικανοποιητικές τιµές (της τάξης του 10-3 ). Στο σχήµα 3.29 φαίνονται οι απώλειες συγκέντρωσης του ρυθµού (confinement loss) συναρτήσει του λ σε db/km. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, οι απώλειες συγκέντρωσης δίνονται από τη σχέση: 53

54 Κεφάλαιο 3 confinement loss = Im k0neff (3.3) σε db/m όπου Im είναι το φανταστικό µέρος. Σε PCFs µε άπειρο αριθµό οπών αέρα δεν υπάρχουν απώλειες συγκέντρωσης. Ωστόσο στις PCFs που κατασκευάζονται στην πράξη ο αριθµός των οπών στο περίβληµα είναι πεπερασµένος και έτσι οι ρυθµοί τέτοιων ινών παρουσιάζουν εγγενείς απώλειες. Σχήµα 3.29: Απώλειες συγκέντρωσης σε db/km. Στα µήκη κύµατος αποκοπής των πολώσεων x (1.53µm) και y (1.79µm) αντίστοιχα η κάθε καµπύλη φτάνει τις απώλειες της τάξης των 10-2 db/km. Στην περιοχή µονής πόλωσης (µεταξύ 1.53 και 1.79µm) οι απώλειες για τη x πόλωση είναι της τάξης των 10-2 db/km ενώ η y πόλωση δεν οδηγείται. Όπως φαίνεται στο σχήµα 3.29 καθώς στην περιοχή µετά το µήκος κύµατος ίσο µε 1.53µm όπου επικρατεί διάδοση µονής πόλωσης (κατά x), οι απώλειες του ρυθµού του πολωµένου κατά y είναι σχετικά ιδιαιτέρως υψηλές. Παρατηρείται ότι στα µήκη κύµατος αποκοπής των πολώσεων x και y η κάθε καµπύλη φτάνει τις απώλειες της τάξης των 10-2 db/km. Στην περιοχή µονής πόλωσης οι απώλειες για τη x πόλωση είναι 10-2 db/km ενώ η y πόλωση δεν οδηγείται. Στο µήκος κύµατος αποκοπής της y πόλωσης οι απώλειες συγκέντρωσης της y πόλωσης είναι µια τάξη µεγέθους µεγαλύτερες από τις αντίστοιχες της x πόλωσης στο ίδιο λ. Στα σχήµατα 3.30 και 3.31 απεικονίζεται ο ενεργός δείκτης διάθλασης τόσο της x όσο και της y πόλωσης συναρτήσει του λ και του Λ/λ αντίστοιχα για ίνα µε οκτώ οπές µεγαλύτερες. Ο ενεργός δείκτης διάθλασης της x πόλωσης είναι µεγαλύτερος από τον ενεργό δείκτη διάθλασης της y πόλωσης κι αυτό γιατί λόγω της ασυµµετρίας ο ρυθµός συµπιέζεται κατά y. Η ίνα αυτή έχει το συγκριτικό πλεονέκτηµα των µικρότερων απωλειών συγκέντρωσης του x-πολωµένου ρυθµού σε σχέση µε την αντίστοιχη των τεσσάρων µεγαλύτερων οπών. 54

55 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη µε ασυµµετρίες Σχήµα 3.30: Ενεργός δείκτης διάθλασης x και y πόλωσης συναρτήσει του λ για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους οπών και οκτώ οπές µεγαλύτερες. Απεικονίζονται ο n eff,x (µπλε καµπύλη), ο n eff,y (πράσινη καµπύλη) και ο n FSM (κόκκινη καµπύλη) που αντιστοιχεί στον θεµελιώδη ρυθµό διάδοσης στο πλήρως περιοδικό περίβληµα και αποτελεί το κατώφλι για το µήκος κύµατος αποκοπής της κάθε πόλωσης. Παρατηρείται µια µικρή µετατόπιση στα µήκη κύµατος αποκοπής σε σχέση µε την περίπτωση των τεσσάρων µεγαλύτερων οπών. Σχήµα 3.31: Ενεργός δείκτης διάθλασης x και y πόλωσης συναρτήσει του Λ/λ για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους οπών και οκτώ οπές µεγαλύτερες. Απεικονίζονται ο n eff,x (µπλε καµπύλη), ο n eff,y (πράσινη καµπύλη) και ο n FSM (κόκκινη καµπύλη) που αντιστοιχεί στον θεµελιώδη ρυθµό διάδοσης στο πλήρως περιοδικό περίβληµα και αποτελεί το κατώφλι για το µήκος κύµατος αποκοπής της κάθε πόλωσης. Παρατηρείται µια µικρή µετατόπιση στα µήκη κύµατος αποκοπής σε σχέση µε την περίπτωση των τεσσάρων µεγαλύτερων οπών. Όπως φαίνεται από τα σχήµατα 3.30 και 3.31 τα µήκη κύµατος αποκοπής είναι 1.52µm για την y πόλωση και 1.77µm για την x πόλωση. Στο σχήµα 3.30 µάλιστα φαίνεται και το εύρος µηκών κύµατος µονής πόλωσης. Οι τιµές των µηκών κύµατος αποκοπής είναι πολύ κοντά µε τις αντίστοιχες της δοµής των τεσσάρων µεγαλύτερων οπών. 55

56 Κεφάλαιο 3 Σχήµα 3.32: ιαφορά ενεργών δεικτών διάθλασης x και y πόλωσης για ίνα µε τέσσερις δακτυλίους οπών και οκτώ οπές µεγαλύτερες. Η n effx,y παίρνει ικανοποιητικές τιµές (της τάξης του 10-3 ). Ανάλογης τάξης µε τη δοµή των τεσσάρων µεγαλύτερων οπών είναι και η διπλοδιαθλαστικότητα της δοµής αυτής όπως φαίνεται στο σχήµα Η βασική διαφορά της γεωµετρίας αυτής από την προηγούµενη έγκειται στις απώλειες συγκέντρωσης. Παρατηρείται από το σχήµα 3.33 ότι στα µήκη κύµατος αποκοπής των πολώσεων x και y η κάθε καµπύλη φτάνει τις απώλειες της τάξης των 10-5 db/km οι οποίες είναι τρεις τάξεις µεγέθους µικρότερες από τις αντίστοιχες µε τέσσερις µεγαλύτερες οπές κοντά στον πυρήνα. Στην περιοχή διάδοσης µονής πόλωσης (µεταξύ των µηκών κύµατος αποκοπής των δύο πολώσεων) οι απώλειες της x πόλωσης είναι της τάξης των 10-5 db/km, µικρότερες από τις αντίστοιχες της προηγούµενης γεωµετρίας ενώ η y πόλωση δεν διαδίδεται. Επίσης σ αυτό το εύρος δεν διεγείρονται ρυθµοί ανώτερης τάξης. Γι αυτό το λόγο αυτή η δοµή καλείται µονόρρυθµη PCF µονής ϖόλωσης χαµηλών αϖωλειών (low-loss SPSM PCF). 56

57 Ίνες φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη µε ασυµµετρίες Σχήµα 3.33: Απώλειες συγκέντρωσης σε db/km. Στα µήκη κύµατος αποκοπής των πολώσεων x (1.52µm) και y (1.77µm) αντίστοιχα η κάθε καµπύλη φτάνει τις απώλειες της τάξης των 10-5 db/km. Στην περιοχή µονής πόλωσης (µεταξύ 1.52 και 1.77µm) οι απώλειες για τη x πόλωση είναι της τάξης των 10-5 db/km ενώ η y πόλωση δεν οδηγείται. 57

58 Παράµετρος διασϖοράς ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ ΙΑΣΠΟΡΑΣ Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζεται η συµπεριφορά της παραµέτρου διασποράς για όλες τις γεωµετρίες ινών που παρατέθηκαν στα προηγούµενα κεφάλαια. Η παράµετρος διασποράς D είναι ανάλογη της δεύτερης παραγώγου του ενεργού δείκτη διάθλασης ως προς το µήκος κύµατος. Γι αυτό το λόγο, είναι πολύ ευαίσθητη στην ακρίβεια µε την οποία υπολογίζεται η εξάρτηση του n eff από το λ. Ο ορισµός της παραµέτρου διασποράς για µια ίνα φωτονικού κρυστάλλου είναι: 2 d n eff λ D = 2 c dλ (4.1) όπου ο ενεργός δείκτης διάθλασης του ρυθµού δίνεται από τη σχέση: ( ) 0 neff = β λ, nm λ k, β είναι η σταθερά διάδοσης, k0 = 2ϖ λ είναι ο κυµατικός αριθµός του ελεύθερου χώρου και n n ( λ ) m = είναι η χρωµατική διασπορά του υλικού, του m διοξειδίου του πυριτίου σ αυτή την περίπτωση. Σύµφωνα µε την παραπάνω εξίσωση, υπάρχουν δύο διαφορετικές πηγές διασποράς εξαιτίας της ύπαρξης δύο διαφορετικών τύπων εξάρτησης της β από το λ. Όπως έχει αναφερθεί σε προηγούµενα κεφάλαια, ακολουθήθηκαν δύο διαφορετικές µέθοδοι. Η µία αγνοούσε τη διασπορά του υλικού στον υπολογισµό του ενεργού δείκτη διάθλασης και η άλλη τη λάµβανε υπόψη. Για κάθε µία από τις παραπάνω µεθόδους υπάρχει και ο αντίστοιχος τρόπος υπολογισµού της παραµέτρου διασποράς. Πρώτα εξετάζεται η περίπτωση που στον υπολογισµό του n eff δεν έχει ληφθεί υπόψη η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης του υλικού, n i, από το µήκος κύµατος. Ο ένας από τους τύπους εξάρτησης προκύπτει από την εξάρτηση της σταθεράς διάδοσης του ρυθµού από το λ και συµβαίνει ακόµη κι αν το υλικό είναι, ή µπορεί να θεωρηθεί, χωρίς διασπορά (nondispersive) δηλαδή nm ( λ ) = const. Εφόσον η διασπορά που παράγεται µε αυτόν τον τρόπο δεν οφείλεται στη χρωµατική διασπορά του υλικού αλλά στη γεωµετρία της κατανοµής του δείκτη διάθλασης της PCF που καθορίζει την καµπύλη διασποράς του οδηγούµενου ρυθµού, β = β λ n ( λ ) = const, ονοµάζεται γεωµετρική διασϖορά (geometrical dispersion,, m D g ). Ο ορισµός της είναι, αντίστοιχα, ο ίδιος µε αυτόν της εξίσωσης 4.1 µε την προϋπόθεση βέβαια ότι το υλικό δεν παρουσιάζει διασπορά, nm ( λ ) const =, δηλαδή D g = D n ( λ ) = const. Η δεύτερη πηγή διασποράς δίνεται από την εγγενή εξάρτηση του β από το λ µέσω της n = n λ. Συνεπώς, αυτός ο τύπος διασποράς χρωµατικής διασποράς του υλικού, ( ) m m καλείται διασϖορά υλικού (material dispersion, D m ) και υπολογίζεται από την εξίσωση d nm 2 λ αντικαθιστώντας το n eff (λ) µε n m (λ), δηλαδή D = m c dλ (4.2). Η σχεδίαση βασίζεται στη δυνατότητα να προσεγγιστεί η πραγµατική παράµετρος διασποράς D µε το άθροισµα της ϖαραµέτρου γεωµετρικής διασϖοράς και της ϖαραµέτρου διασϖοράς του υλικού: m 58

59 Κεφάλαιο 4 g ( λ) ( λ) D D + D (4.3) m όπου 2 d n m m c 2 d D = λ λ και 2 d n eff g c 2 d D = λ λ και το n eff δεν περιλαµβάνει τη διασπορά του υλικού. Το πρόβληµα της σχεδίασης γίνεται πιο ξεκάθαρο όταν η παράµετρος διασποράς γράφεται όπως στην εξίσωση 4.3. Με αυτόν τον τρόπο οι δύο πηγές διασποράς αντιστοιχούν σε διαφορετικούς όρους της εξίσωσης. Εφόσον θεωρούµε ίνες φωτονικού κρυστάλλου αέραδιοξειδίου του πυριτίου, η διασπορά του υλικού n m (λ) είναι είσοδος του προβλήµατος και εποµένως, το ίδιο ισχύει και για την παράµετρο D m. Συνεπώς αυτό που ρυθµίζεται από τη γεωµετρία και µπορεί να ελεγχθεί κατά τον σχεδιασµό της ίνας, και άρα µέσω αυτού να ελεγχθούν και τα χαρακτηριστικά διασποράς της, είναι η γεωµετρική διασπορά. Άρα έχει εξαιρετική σηµασία το γεγονός ότι ο ενεργός δείκτης διάθλασης ενός οδηγούµενου ρυθµού n eff, για τον υπολογισµό του οποίου υποθέτουµε µηδενική διασπορά υλικού, εξαρτάται από τις παραµέτρους του περιβλήµατος του φωτονικού κρυστάλλου, α και Λ, και από το µήκος κύµατος λ. Στην περίπτωση της άλλης προσέγγισης, όπου στον υπολογισµό του n eff έχει ληφθεί υπόψη η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης του υλικού από το µήκος κύµατος, για τον υπολογισµό της παραµέτρου διασποράς αρκεί η αντικατάσταση του n eff που έχει προκύψει από τους υπολογισµούς στην εξίσωση 4.1. Τότε δεν χρειάζεται να γίνει χρήση της εξίσωσης 4.3 µιας και η εξίσωση 4.1 δίνει τη συνολική παράµετρο διασποράς D [4],[6]. Σηµειώνεται ότι παρακάτω θα αναφέρεται κατά περίπτωση ποια από τις δύο µεθόδους χρησιµοποιήθηκε για τον υπολογισµό των χαρακτηριστικών διασποράς. Στο σχήµα 4.1 παρουσιάζεται η παράµετρος διασποράς του υλικού D m συναρτήσει του λ όπως υπολογίστηκε από την εξίσωση 4.2. Σχήµα 4.1: Παράµετρος διασποράς υλικού συναρτήσει λ όπως υπολογίζεται από τη σχέση: D m 2 d nm 2 = λ c dλ. 59

60 Παράµετρος διασϖοράς 4.1 Ίνα φωτονικού κρυστάλλου µε τρεις δακτυλίους οϖών, Λ=2.3µm και d/λ=0.4 Εξετάζεται ίνα φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη µε τρεις δακτυλίους οπών όπως αυτή του σχήµατος 4.2 στην ανάλυση της οποίας δεν λαµβάνεται υπόψη η διασπορά του υλικού στον υπολογισµό του n eff. Σχήµα 4.2: Σχηµατική αναπαράσταση ίνας τριών δακτυλίων οπών µε γεωµετρικές παραµέτρους Λ=2.3µm και d/λ=0.4. Το σχήµα 4.3 περιλαµβάνει το συγκεντρωτικό διάγραµµα για τη δοµή του σχήµατος 4.2 το οποίο απεικονίζει την παράµετρο γεωµετρικής διασποράς D g, την παράµετρο διασποράς του υλικού D m και τη συνολική παράµετρο διασποράς D που δίνεται από την εξίσωση 4.3. Σχήµα 4.3: Παράµετρος διασποράς συναρτήσει του λ. Απεικονίζονται η παράµετρος γεωµετρικής διασποράς D g (µπλε καµπύλη), η παράµετρος διασποράς του υλικού D m (πράσινη καµπύλη) και η συνολική παράµετρος διασποράς D (κόκκινη καµπύλη) η οποία δίνεται από τη σχέση: D D λ + D λ. g ( ) ( ) m Εξετάζεται ίνα φωτονικού κρυστάλλου οδήγησης δείκτη µε τρεις δακτυλίους οπών όπως αυτή του σχήµατος 4.2 στην ανάλυση της οποίας λαµβάνεται υπόψη η διασπορά του υλικού στον υπολογισµό του n eff. 60

61 Κεφάλαιο 4 Σχήµα 4.4: Παράµετρος διασποράς συναρτήσει του λ. Απεικονίζεται µόνο η συνολική παράµετρος διασποράς D µιας και στον υπολογισµό του n eff έχει ληφθεί υπόψη η διασπορά του υλικού και η D 2 δίνεται από τη σχέση: λ d n eff D =. 2 c dλ Στο σχήµα 4.5 γίνεται σύγκριση των συνολικών παραµέτρων διασποράς όπως αυτές προκύπτουν από τις δύο επιµέρους µεθόδους που χρησιµοποιήθηκαν παραπάνω για τον υπολογισµό τους. Σχήµα 4.5: Παράµετρος διασποράς συναρτήσει του λ. Απεικονίζονται οι συνολικές παράµετροι D D λ + D λ (µπλε καµπύλη) και της: διασποράς όπως προκύπτουν µε χρήση της σχέσης: ( ) ( ) D λ c 2 d n eff = (πράσινη καµπύλη) αντίστοιχα. Η διαφορά τους εντοπίζεται στις χαµηλές συχνότητες ή dλ 2 αλλιώς στα µεγάλα µήκη κύµατος. Αυτό το οποίο παρατηρείται από τη σύγκριση των παραµέτρων διασποράς των δύο µεθόδων γα την ίδια γεωµετρία στο σχήµα 4.5 είναι ότι ενώ στις υψηλές συχνότητες η g m 61

62 Παράµετρος διασϖοράς συµπεριφορά και οι τιµές της D είναι ταυτόσηµες, στις χαµηλές συχνότητες (µεγάλα µήκη κύµατος) παρατηρείται µια απόκλιση περίπου 13 ps nm km η οποία µάλιστα αυξάνει όσο µικραίνει η συχνότητα. Αυτό, όπως εξηγήθηκε και στην παράγραφο 2.1, οφείλεται στο γεγονός ότι όσο αυξάνει η συχνότητα (µειώνεται το λ) προτιµώνται από τον ρυθµό οι περιοχές υψηλότερου δείκτη διάθλασης (δηλαδή ο πυρήνας) και άρα ο ενεργός δείκτης διάθλασης τείνει να συµπέσει µε αυτόν του υλικού (n=1.45 στο όριο λ=0). Συνεπώς στο όριο της υψηλής συχνότητας δεν υπάρχει διαφορά στην παράµετρο διασποράς είτε αυτή υπολογίζεται εξαρχής λαµβάνοντας υπόψη τη διασπορά του υλικού είτε εκ των υστέρων µέσω της εξίσωσης Ίνες µε διαφορετικό αριθµό δακτυλίων οϖών Η παράγραφος αναφέρεται σε ίνες µε Λ=2.3µm και διάµετρο οπών περιβλήµατος d/λ=0.4, στις οποίες κατά τη µελέτη µεταβάλλεται ο αριθµός των δακτυλίων από 1 ως 4 όπως αυτή του σχήµατος 4.6. Σηµειώνεται ότι τα διαφορετικά χρώµατα αντιστοιχούν στο δακτύλιο που κάθε φορά προστίθεται. εν λαµβάνεται υπόψη η διασπορά του υλικού στον υπολογισµό του n eff. Σχήµα 4.6: Σχηµατική αναπαράσταση ινών µε διαφορετικό αριθµό δακτυλίων οπών. Τα διαφορετικά χρώµατα υποδεικνύουν τον επιπλέον δακτύλιο οπών που προστίθεται σε κάθε µια από τις τέσσερις περιπτώσεις (1,2,3,4 δακτύλιοι οπών). Γεωµετρικές παράµετροι: Λ=2.3µm και d/λ=0.4 για όλες τις οπές. Συνεπώς η παράµετρος διασποράς προκύπτει από την εξίσωση 4.3 και στα σχήµατα 4.7 και 4.8 παρατίθενται η παράµετρος γεωµετρικής διασποράς και η συνολική παράµετρος διασποράς αντίστοιχα για ένα, δύο, τρεις και τέσσερις δακτυλίους οπών. 62

63 Κεφάλαιο 4 Σχήµα 4.7: Παράµετρος γεωµετρικής διασποράς συναρτήσει του λ για ίνες µε ένα δακτύλιο (µπλε καµπύλη), δύο δακτυλίους (πράσινη καµπύλη), τρεις δακτυλίους (κόκκινη καµπύλη) και τέσσερις δακτυλίους οπών (γαλάζια καµπύλη). Παρατηρείται µείωση της D g µε την αύξηση του αριθµού των δακτυλίων. Σχήµα 4.8: Παράµετρος διασποράς συναρτήσει του λ για ίνες µε ένα δακτύλιο (µπλε καµπύλη), δύο δακτυλίους (πράσινη καµπύλη), τρεις δακτυλίους (κόκκινη καµπύλη) και τέσσερις δακτυλίους οπών (γαλάζια καµπύλη). Παρατηρείται µείωση της D µε την αύξηση του αριθµού των δακτυλίων. Αξιοσηµείωτη είναι η επίπεδη καµπύλη παραµέτρου διασποράς που αντιστοιχεί στους δύο δακτυλίους οπών µε τιµή 50 ps nm km. Η παράµετρος διασποράς προκύπτει από τη σχέση 4.2. Είναι εµφανές από το σχήµα 4.7, όπως και στην παράγραφο 2.2, ότι η διαφοροποίηση στα χαρακτηριστικά διασποράς είναι εντονότερη ανάµεσα στη γεωµετρία µε τη µια σειρά οπών και όλες τις άλλες. Ωστόσο, σε αντίθεση µε το διάγραµµα του ενεργού δείκτη διάθλασης, όπου οι άλλες τρεις περιπτώσεις σχεδόν ταυτίζονται, στο διάγραµµα της παραµέτρου διασποράς (τόσο της γεωµετρικής όσο και της συνολικής αφού η δεύτερη προκύπτει από την πρόσθεση της πρώτης για κάθε 63

64 Παράµετρος διασϖοράς γεωµετρία µε την ίδια ποσότητα) παρατηρούνται διαφορές και µεταξύ των δύο, τριών και τεσσάρων δακτυλίων (λόγω µεγαλύτερης ευαισθησίας του µεγέθους D σε µεταβολές του n eff ). Φαίνεται µάλιστα στο σχήµα 4.8 ότι όσο αυξάνει ο αριθµός των δακτυλίων τόσο µειώνεται η παράµετρος διασποράς. Ένα τελευταίο σηµαντικό σηµείο αυτής της δοµής είναι η εξαιρετικά επίπεδη καµπύλη της παραµέτρου διασποράς για δύο δακτυλίους οπών στην περιοχή µηκών κύµατος από 1.55µm ως 2.2µm, πράγµα που αποτελεί σε πολλές εφαρµογές ένα πολύ επιθυµητό χαρακτηριστικό για την ίνα. Ωστόσο παραµένει σε υψηλά επίπεδα, περίπου 50 ps nm km. Περισσότερες λεπτοµέρειες σχετικά µε τις ίνες µε επίπεδη καµπύλη παραµέτρου διασποράς αναφέρονται στην παράγραφο Ίνες µε τρεις δακτυλίους και διαφορετική διάµετρο οϖών Σταθερή ϖερίοδος ϖλέγµατος Λ και µεταβαλλόµενο κλάσµα αέρα f Η υποπαράγραφος αναφέρεται σε ίνες µε τρεις δακτυλίους οπών, Λ=2.3µm και διάµετρο οπών περιβλήµατος η οποία µεταβάλλεται µε τιµές d/λ=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 όπως π.χ. αυτή του σχήµατος 4.9. εν λαµβάνεται υπόψη η διασπορά του υλικού στον υπολογισµό του n eff. Σχήµα 4.9: Ενδεικτικό παράδειγµα σχηµατικής αναπαράστασης της δοµής των ινών που εξετάζονται στην υποπαράγραφο αυτή. Σε αντίθεση µε την περίπτωση της µεταβολής του Λ την οποία θα εξετάσουµε στην επόµενη υποπαράγραφο, σ αυτήν εδώ την περίπτωση όπου µεταβάλλεται το κλάσµα αέρα δεν υπάρχει απλή αναλυτική προσέγγιση ώστε να προβλεφθεί η µεταβολή της D g µε το f. Στην πράξη, ο µόνος τρόπος για να προσδιοριστεί αυτή η εξάρτηση είναι ο αριθµητικός υπολογισµός της D g για κάθε τιµή του f. Έχουµε λοιπόν τα σχήµατα 4.10 και 4.11 που παρουσιάζουν τη µεταβολή της παραµέτρου γεωµετρικής διασποράς και της συνολικής παραµέτρου διασποράς αντίστοιχα µε το µήκος κύµατος για τις ίνες µε τρεις δακτυλίους οπών και σταθερή περίοδο πλέγµατος αλλά µε διαφορετικό κλάσµα αέρα. 64

65 Κεφάλαιο 4 Σχήµα 4.10: Παράµετρος γεωµετρικής διασποράς συναρτήσει του λ για ίνες µε τρεις δακτυλίους οπών, Λ=2.3µm και d/λ=0.2 (µπλε καµπύλη), d/λ=0.4 (πράσινη καµπύλη), d/λ=0.6 (κόκκινη καµπύλη) και d/λ=0.8 (γαλάζια καµπύλη). Σχήµα 4.11: Παράµετρος διασποράς συναρτήσει του λ για ίνες µε τρεις δακτυλίους οπών, Λ=2.3µm και d/λ=0.2 (µπλε καµπύλη), d/λ=0.4 (πράσινη καµπύλη), d/λ=0.6 (κόκκινη καµπύλη) και d/λ=0.8 (γαλάζια καµπύλη). Παρατηρείται διατήρηση της κλίσης του γραµµικού τµήµατος της καµπύλης της παραµέτρου διασποράς µε την αύξηση του κλάσµατος αέρα. Είναι εµφανές από τα σχήµατα 4.10 και 4.11 ότι µε την αύξηση του κλάσµατος αέρα αυξάνει και η D, µε εξαίρεση την περίπτωση του µικρότερου κλάσµατος αέρα (d/λ=0.2) για την περιοχή των µηκών κύµατος που εξετάζονται. Το αξιοσηµείωτο χαρακτηριστικό πάντως αυτών των καµπυλών είναι ότι, εκτός από το γεγονός ότι ολισθαίνουν, η κλίση του γραµµικού τµήµατός τους προσεγγιστικά διατηρείται καθώς µεταβάλλεται το κλάσµα αέρα. 65

66 Παράµετρος διασϖοράς Αυτή η ιδιότητα είναι ιδιαίτερα χρήσιµη στη διαδικασία σχεδιασµού, όπως γίνεται φανερό στην υποπαράγραφο Σταθερό κλάσµα αέρα f και µεταβαλλόµενη ϖερίοδος ϖλέγµατος Λ και διάµετρος οϖών d Αυτή η υποπαράγραφος αναφέρεται στην περίπτωση ινών µε τρεις δακτυλίους οπών στις οποίες θεωρείται σταθερό το ποσοστό του αέρα, δηλαδή ο λόγος d Λ, και γι αυτό το σκοπό µεταβάλλονται µε ανάλογο τρόπο τόσο η διάµετρος των οπών, d, όσο και η περίοδος επανάληψής τους, Λ. Αυτό το µέγεθος της αλλαγής είναι η µεγέθυνση Μ. Εφόσον ο n eff είναι αδιάστατη ποσότητα, η εξάρτησή του καθορίζεται µόνο µέσω αδιάστατων λόγων των εξής τριών παραµέτρων, α, Λ και λ, δηλαδή n n ( a λ, Λ λ ) eff =. Αυτή η ιδιότητα καθορίζει ακριβώς την εξάρτηση της D g εξ ολοκλήρου από τη M. Σύµφωνα µε τον ορισµό της γεωµετρικής διασποράς, είναι προφανές ότι µε µετασχηµατισµό κλίµακας του λ, προκύπτει: eff 1 λ D g ( λ; M, f ) = D g ; f M M (4.4) Συνεπώς, αρκεί να υπολογιστεί η καµπύλη διασποράς για µια δοµή αναφοράς (καθορίζοντας το f και θέτοντας Μ=1, ή ισοδύναµα καθορίζοντας το α και Λ=2.3µm) ώστε να προκύψει αναλυτικά όλη η οικογένεια των καµπυλών µε παράµετρο τη M, όπως φαίνεται στα διαγράµµατα που ακολουθούν. Το γραµµικό µέρος αυτών των καµπυλών µεταβάλλει την κλίση του και ταυτόχρονα ολισθαίνει καθώς αλλάζει η Μ [4]. Στα σχήµατα 4.12 και 4.13 δίνονται οι καµπύλες D g και D για σταθερό κλάσµα αέρα d/λ=0.2 και µεταβλητή M ενώ στα σχήµατα 4.14 και 4.15 δίνονται οι καµπύλες D g και D για σταθερό κλάσµα αέρα d/λ=0.4 και µεταβλητή M. Σχήµα 4.12: Παράµετρος γεωµετρικής διασποράς συναρτήσει του λ για ίνες µε ίδιο κλάσµα αέρα d/λ=0.2 αλλά µεταβλητή µεγέθυνση µε τιµές από Μ=2/2.3 (µπλε καµπύλη) µέχρι 66

67 Κεφάλαιο 4 Μ=2.5/2.3 (κίτρινη καµπύλη). Είναι φανερή η ολίσθηση στο µήκος κύµατος της D g µε τη µεταβολή της Μ. Σχήµα 4.13: Παράµετρος διασποράς συναρτήσει του λ για ίνες µε ίδιο κλάσµα αέρα d/λ=0.2 αλλά µεταβλητή µεγέθυνση µε τιµές από Μ=2/2.3 (µπλε καµπύλη) µέχρι Μ=2.5/2.3 (κίτρινη καµπύλη). Είναι φανερή η ολίσθηση στο µήκος κύµατος της D µε τη µεταβολή της Μ. Σχήµα 4.14: Παράµετρος γεωµετρικής διασποράς συναρτήσει του λ για ίνες µε ίδιο κλάσµα αέρα d/λ=0.4 αλλά µεταβλητή µεγέθυνση µε τιµές από Μ=2/2.3 (µπλε καµπύλη) µέχρι Μ=2.5/2.3 (κίτρινη καµπύλη). Είναι φανερή η ολίσθηση στο µήκος κύµατος της D g µε τη µεταβολή της Μ. 67

68 Παράµετρος διασϖοράς Σχήµα 4.15: Παράµετρος διασποράς συναρτήσει του λ για ίνες µε ίδιο κλάσµα αέρα d/λ=0.4 αλλά µεταβλητή µεγέθυνση µε τιµές από Μ=2/2.3 (µπλε καµπύλη) µέχρι Μ=2.5/2.3 (κίτρινη καµπύλη). Είναι φανερή η ολίσθηση στο µήκος κύµατος της D µε τη µεταβολή της Μ. Από τα σχήµατα 4.12 ως 4.15 φαίνεται τόσο η αλλαγή της κλίσης του γραµµικού τµήµατος της καµπύλης της παραµέτρου διασποράς όσο και η ολίσθησή της στο µήκος κύµατος (φανερή στην περιοχή τοµής µε τη γραµµή που αντιστοιχεί σε µηδενική παράµετρο διασποράς) µε τη µεταβολή της µεγέθυνσης Μ Σχεδίαση ίνας µε ίδιου µεγέθους οϖές µε υϖερεϖίϖεδη καµϖύλη διασϖοράς (ultra-flattened dispersion curve) Η διαδικασία σχεδιασµού φαίνεται καλύτερα σε µια γραφική αναπαράσταση των παραµέτρων γεωµετρικής διασποράς, διασποράς υλικού και συνολικής διασποράς. Για τον υπολογισµό της συνολικής διασποράς χρησιµοποιείται η προσέγγιση πρώτης τάξης της D D λ ( D λ ). Ακολουθεί το εξίσωσης 4.3 ελαφρώς τροποποιηµένη: ( ) ( ) συγκεκριµένο διάγραµµα στο σχήµα 4.17 για την περίπτωση της ίνας του σχήµατος g m Σχήµα 4.16: Σχηµατική αναπαράσταση ίνας δύο δακτυλίων οπών µε υπερεπίπεδη καµπύλη διασποράς. Γεωµετρικές παράµετροι: Λ=2.3µm και d/λ=