Bayesian Biostatistics Using BUGS 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Bayesian Biostatistics Using BUGS 1"

Transcript

1 Bayesian BioStatistics Using BUGS Βιοστατιστική κατά Bayes με τη χρήση του Λογισμικού BUGS Ioannis Ntzoufras Department of Business Administration, University of the Aegean ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ BUGS ΜΑΘΗΜΑ 2: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ WINBUGS ΜΑΘΗΜΑ 3: ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 4: ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ Bayesian BioStatistics Using BUGS ΜΑΘΗΜΑ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ BUGS Ioannis Ntzoufras Department of Business Administration, University of the Aegean ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ MCMC 3 ΜΠΕΥΖΙΑΝΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ BUGS 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΩΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΞΕΚΙΝΗΣΑΝ ΑΠΟ ΤΟΝ LEGENDRE (1805) KAI TON GAUSS (1809) 1.1. ΔΕΔΟΜΕΝΑ RESPONSE VARIABLE (Υ): εξαρτημένη ή ενδογενής μεταβλητή ή μεταβλητή απόκρισης/αντίδρασης Y είναι τυχαία μεταβλητή EXPLANATORY VARIABLES (Χ j ): Ανεξάρτητες ή εξογενείς ή επεξηγηματικές μεταβλητές Χ j θεωρούνται συνήθως σταθερές από το σχεδιασμό του πειράματος Bayesian Biostatistics Using BUGS 1

2 ΚΥΡΙΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΥΧΑΙΑ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ (random component) Υ i ~ ΚΑΤΑΝΟΜΗ( θ ) θ : διάνυσμα παραμέτρων ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ (systematic component) η i = β 0 +β 1 Χ 1i + + β p Χ pi η i λέγεται γραμμικός προσδιορισμός του μοντέλου (linear predictor) ΣΥΝΔΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (link function) Ο τρόπος συνδεσης των παραμέτρων της τυχαίας συνιστώσας με το γραμμικό προσδιορισμό g(θ) = η i = β 0 +β 1 Χ 1i + + β p Χ pi συνήθως θ είναι ο μέσος της Υ 1.3. ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΥΧΑΙΑ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ: Υ ποσοτική μεταβλητή Υ i ~ NORMAL( μ i, σ 2 ) ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ: Χ j ποσοτικές ή κατηγορικές ΣΥΝΔΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ μ i = η i = β 0 +β 1 Χ 1i + + β p Χ pi αρα συνδετική συνάρτηση: g(μ)=μ 1.4. ΜΟΝΤΕΛΑ BERNOULLI ΤΥΧΑΙΑ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ: Υ δίτιμη μεταβλητή (0/1) Υ i ~ Bernoulli ( p i ) ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ: Χ j ποσοτικές ή κατηγορικές ΣΥΝΔΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ log ( p i /(1- p i ) ) = η i = β 0 +β 1 Χ 1i + + β p Χ pi αρα συνδετική συνάρτηση: g(p)=logit(p) 1.5. ΔΙΩΝΥΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΥΧΑΙΑ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ: Υ: # επιτυχιών σε σύνολο n επαναλήψεων Υ i ~ Binomial ( p i, n i ) ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ: Χ j ποσοτικές ή κατηγορικές ΣΥΝΔΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ log ( p i /(1- p i ) ) = η i = β 0 +β 1 Χ 1i + + β p Χ pi αρα συνδετική συνάρτηση: g(p)=logit(p) 1.6. ΜΟΝΤΕΛΑ POISSON ΤΥΧΑΙΑ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ: Υ: # επιτυχιών σε ένα χρονικό διάστημα Υ i ~ Poisson ( λ i ) ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ: Χ j ποσοτικές ή κατηγορικές ΣΥΝΔΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ log (λ i ) = η i = β 0 +β 1 Χ 1i + + β p Χ pi αρα συνδετική συνάρτηση: g(λ)=log(λ) Bayesian Biostatistics Using BUGS 2

3 1.7. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ 1.8. ΜΕΡΙΚΑ ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΕΧΝΗ ΟΛΑ ΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΙΝΑΙ ΛΑΘΟΣ ΜΕΡΙΚΑ ΠΙΟ ΧΡΗΣΙΜΑ ΨΑΧΝΟΥΜΕ ΕΝΑ ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΠΕΡΙΛΗΠΤΙΚΑ ΤΗΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥΜΕ ΠΟΛΛΑ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΛΗΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ 1805: LEGENDRE: ορίζει τα κατάλοιπα Εκτιμάει τις παραμέτρους παλινδρόμησης μέσω των ελαχίστων τετραγώνων 1809: GAUSS: Εισάγει την Κανονική κατανομή 1.8. ΜΕΡΙΚΑ ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 1.8. ΜΕΡΙΚΑ ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 1805: LEGENDRE: ορίζει τα κατάλοιπα Εκτιμάει τις παραμέτρους παλινδρόμησης μέσω των ελαχίστων τετραγώνων 1823: GAUSS (Theoria Combinationis) Εγκαταλείπει την κανονικότητα Η ομοσκεδαστικοτητα διατηρεί κάποιες καλές ιδιότητες Wedderburn (1974, biometrika) απέδειξε το ίδιο για τα GLM : Fisher διατυπώνει τη θεωρία Πειραματικού σχεδιασμού (Experimental Design). 1922: Ο Έλεγχος Περιεκτικότητας του Fisher και τo 1o γενικευμένο γραμμικό μοντέλο (RSS) 1935: Η Μελέτη βιολογική περιεκτικότητας του Bliss. Τα μοντέλα Probit (Ann.Appl.Biol.) & 1951: O Berkston εισάγει τα μοντέλα logit (JASA & Biometrics) 1952 (biometrics) Dyke & Patterson εφαρμογή λογιστικής παλινδρόμησης σε κατηγορικά δεδομένα με 4 μεταβλητές Bayesian Biostatistics Using BUGS 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ MCMC 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ MCMC Department of Business Administration, University of the Aegean Η ΜΠΕΥΖΙΑΝΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΚ-ΤΩΝ-ΥΣΤΕΡΩΝ (posterior) ΚΑΤΑΝΟΜΗ O Αλγόριθμος Metropolis-Hastings Ο Δειγματολήπτης Gibbs ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΛΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗΣ Bayesian Biostatistics Using BUGS 3

4 2.1. Η Μπευζιανή προσέγγιση Κλασσική στατιστική: βασίζεται στην πιθανοφάνεια f (y θ) θ διάνυσμα παραμέτρων=> άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες Εκτίμηση γίνεται μέσω εκτιμητριών συναρτήσεων με κάποιες καλές ιδιότητες (π.χ. μεροληψία) Εκτιμήτριες βρίσκονται μεγιστοποιώντας την πιθανοφάνεια ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: για Υ i ~Ν(μ,σ 2 ) n 1 μ εκτιμάται από το δειγματικό μέσο y = y i n i= 1 Στατιστική κατά Μπέυες: Θεωρεί τις παραμέτρους τυχαίες μεταβλητές Ορίζει εκ-των-προτέρων (prior) κατανομών f(θ) βασίζεται στην εκ-των-υστερων (posterior) κατανομή f (θ y) Πλεονεκτήματα Πιο καθάρη και πιθανοθεωρητική προσέγγιση Μπορεί να συμπεριλάβει πληροφορία ειδικών ή αποτελέσματα άλλων μελετών (metaanalysis) Μειονεκτήματα Υποκειμενικότητα αποτελεσμάτων λόγω της prior Δυσκολίες υπολογισμου των posterior Κατανομών Η Εκ-των-υστέρων κατανομή υπολογίζεται από το Θεώρημα του Bayes f (θ y) = f (θ,y) / f (y) = f (y θ)f (θ) / f (y) f (y θ)f (θ) Posterior = Likelihood x Prior ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΜΕΣΟΥ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑ: Υ i ~ N( μ, σ 2 ) σ 2 γνωστή σταθερή ποσότητα PRIOR: μ ~ N( μ 0, τ 2 ) POSTERIOR: f (μ y) = N( w y + (1-w) μ 0, w σ 2 /n) w= τ 2 /(τ 2 + σ 2 /n) Υπολογισμός της posterior Κατανομής είναι δύσκολος. Συζυγείς εκ-των-προτέρων κατανομές (conjugate priors, 70s) Ασυμπτωτικές Προσεγγίσεις (80ς) Προσομοίωση μέσω MCMC (90ς) Bayesian Biostatistics Using BUGS 4

5 MCMC Προϋπήρχαν σε άλλες επιστήμες 1954 Metropolis etal. (Metropolis Algorithm) 1970 Hastings (Metropolis-Hastings Algorithm) 1984 Geman and Geman (Gibbs Sampling) 1990 Smith etal (Εφαρμογή των MCMC σε Μπευζιανά Προβλήματα) 1995 Green (Reversible Jump MCMC) Η ΙΔΕΑ: ΑΦΟΥ ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΤΟΤΕ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΕΝΑ ΕΝΑΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ ΚΑΙ ΝΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΟΥΜΕ ΤΥΧΑΙΕΣ ΤΙΜΕΣ ΑΠΟ ΑΥΤΗ Η ΛΟΓΙΚΗ: ΦΤΙΑΧΝΟΥΜΕ ΜΙΑ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΗ ΑΛΥΣΙΔΑ ΤΗΣ ΟΠΟΙΑΣ Η ΣΤΑΣΙΜΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΕΙΝΑΙ ΙΣΗ ΜΕ ΤΗ ΖΗΤΟΥΜΕΝΗ (ΕΚ-ΤΩΝ-ΥΣΤΕΡΩΝ) ΚΑΤΑΝΟΜΗ. ΚΑΘΕ ΒΗΜΑ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΤΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΟ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΜΕ ΑΥΤΗ ΤΗΝ ΑΛΥΣΙΔΑ ΓΙΑ ΝΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΟΥΜΕ ΕΝΑ ΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΣΙΜΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΟΡΙΖΟΥΜΕ ΑΥΘΑΙΡΕΤΑ ΚΑΠΟΙΕΣ ΑΡΧΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ ΜΑΣ θ (0) ΓΙΑ t=1,..., T ΓΕΝΝΑΜΕ ΤΙΜΕΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ ΜΑΣ ΟΤΑΝ ΒΕΒΑΙΩΘΟΥΜΕ ΟΤΙ Η ΑΛΥΣΙΔΑ ΓΕΝΝΑΕΙ ΤΙΜΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΣΙΜΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ (ΔΗΛΑΔΗ ΕΧΕΙ ΣΥΓΚΛΙΝΕΙ) ΣΤΑΜΑΤΑΜΕ ΠΕΤΑΜΕ ΤΙΣ ΠΡΩΤΕΣ Κ ΤΙΜΕΣ ΓΙΑ ΝΑ ΑΠΟΦΥΓΟΥΜΕ ΤΥΧΟΝ ΕΠΙΡΡΟΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ. ΟΡΟΛΟΓΙΑ INITIAL VALUES (ΑΡΧΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ) ΤΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ ΛΕΓΟΝΤΑΙ ΟΙ ΤΙΜΕΣ θ (0) ΑΠΟ ΟΠΟΥ ΞΕΚΙΝΑΜΕ ΤΟΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ ΜΑΣ ITERATION (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ): ΚΑΘΕ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΙ ΣΕ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ BURN-IN PERIOD: ΟΙ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΜΕΧΡΙ ΝΑ ΑΡΧΙΣΟΥΜΕ ΝΑ ΠΕΡΝΟΥΜΕ ΤΙΜΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΣΙΜΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ CONVERGENCE (ΣΥΓΚΛΙΣΗ): ΟΤΑΝ Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΜΑΣ ΕΧΕΙ ΔΩΣΕΙ ΤΙΜΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΣΙΜΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ CONVERGENCE DIAGNOSTICS: ΔΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΥΓΛΙΣΗΣ EQUILIBRIUM: ΣΤΑΣΙΜΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ MCMC OUTPUT: ΤΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΟ ΔΕΙΓΜΑ Bayesian Biostatistics Using BUGS 5

6 ΟΡΟΛΟΓΙΑ ΕΠΕΙΔΗ ΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ MCMC ΒΑΣΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΑΛΥΣΙΔΕΣ, ΤΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΟ ΔΕΙΓΜΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ I.I.D. ΕΞΑΛΕΙΨΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΒΛΕΠΟΥΜΕ ΤΙΣ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΕΙΣ (AUTOCORRELATIONS) ΚΡΑΤΑΜΕ 1 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΑΝΑ L ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ. Η ΠΟΣΟΤΗΤΑ L ΛΕΓΕΤΑΙ THIN (ΛΕΠΤΥΝΣΗ) ΤΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ ΛΕΠΤΥΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΟΥ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΓΙΝΕΙ ΚΑΙ ΛΟΓΩ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η ΑΠΟΘΗΚΕΥΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ METROPOLIS-HASTINGS ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΗΣ GIBBS ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ METROPOLIS- HASTINGS Έστω θ η τρέχουσα τιμή των παραμέτρων Δειγματοληπτούμε θ can από μία κατανομή εισήγησης (proposal distribution) q(θ can θ ). can can f ( θ y) q( θ θ ) Υπολογίζουμε a = min 1, can f ( θ y) q( θ θ ) Θέτουμε θ = θ can με πιθανότητα α και θ = θ με πιθανότητα (1-α) ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ METROPOLIS- HASTINGS Συνήθως q(θ can θ ) = Ν(θ, c 2 ). c 2 λέγεται και tuning parameter και επηρεάζει τη σύγκλιση. Επιλέγεται έτσι ωστε να δεχόμαστε 30-40% Η πιθανότητα αποδοχής α απλοποιείται can f ( θ y) a = min 1, f ( θ y) ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΗΣ GIBBS Έστω θ η τρέχουσα τιμή των παραμέτρων και θ =(θ 1,, θ p ) Τ θ 1 ~f (θ 1 θ 2,, θ p,y) θ j ~f (θ j θ 1,,θ j-1,θ j+1,, θ p,y) θ p ~f (θ j θ 1,,θ p-1,y) ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΗΣ GIBBS f (θ j θ 1,,θ j-1,θ j+1,, θ p,y) ονομαζέται full conditional posterior distribution και συμβολίζεταιf (θ j ) Bayesian Biostatistics Using BUGS 6

7 ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΗΣ GIBBS Διαφορές με Μ-Η θ θ σε κάθε επανάληψη Gibbs υποπεριπτωση Μ-Η για q()=f (θ j ) Κάθε φορά ανανεώνουμε μία-μία τις τιμές f (θ j ) μπορεί να είναι άγνωστη => Χρήση adaptive rejection sampling για logconvave κατανομές (Gilks & Wild, 1992) Στα GLM οι posterior είναι log-concave (Dellaportas & Smith, 1993) Χρησιμοποιείται στο BUGS 2.3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: GIBBS SAMPLING ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Y i ~ N( μ i, σ 2 ) για i=1,2,...,n μ i = α + β Χ i θ=(α,β,σ 2 ) Τ PRIORS: f (θ)=f (α,β,σ 2 )= f (α)f (β)f (σ 2 ) f (α) = Normal(μ α, τ α2 ) f (β) = Normal(μ β, τ β2 ) f (σ 2 )=Inverse Gamma(γ, δ) αν τ= σ -2 τότε f(τ)=gamma(γ, δ) 2.3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: GIBBS SAMPLING ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2.3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: GIBBS SAMPLING ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Full Conditional Posteriors f(α β, σ 2,y)= N w ( y bx) + (1 w1 )μ w 1 = τ 2 /(τ 2 +σ 2 /n) 1 α, 1 2 σ w n Full Conditional Posteriors f(σ 2 α, β,y)=ig( γ+n/2, δ+ Σ(y i -α-βx i ) 2 /2) n xi yi anx f(β α, σ 2,y)= i= 1 N w2 + (1 w n 2 )μβ, w 2 xi i= 1 w 2 = τ 2 /(τ 2 +σ 2 / Σx i2 ) 2 σ 2 n 2 xi i= 1 Bayesian Biostatistics Using BUGS 3.1. Εισαγωγή: Τι είναι το BUGS 3... Μπεϋζιανή Συμπερασματολογία με τη Xρήση του BUGS Department of Business Administration, University of the Aegean BUGS: Bayesian inference Using Gibbs Sampling Γλώσσα προγραμματισμού που ορίζουμε μοντέλο (πιθανοφάνεια, prior) Υπολογίζει τις full conditional και προσομοιώνει από log-convave posterior κατανομές Bayesian Biostatistics Using BUGS 7

8 3.1. Εισαγωγή: Τι είναι το BUGS Ξεκίνησε γύρω στο 1995 Γύρω στο 1998 βγήκε η έκδοση για Windows (Winbugs) Οφείλεται σε μια ομάδα του MRC στο Cambridge (Spiegelhalter, Gilks, Best, Thomas) 3.1. Εισαγωγή: Τι είναι το BUGS ΠΡΟΣΟΧΗ: Ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΗΣ GIBBS ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΕΠΙΚΙΝΔΥΝΟΣ ΓΙΑΤΙ; 3.1. Εισαγωγή: Τι είναι το BUGS ΓΙΑΤΙ; ΛΑΘΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΛΟΓΩ ΜΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΠΟΛΥ ΑΡΓΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΚΑΚΕΣ ΑΡΧΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΚΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΥΠΕΡ-ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΙΗΣΗ (overparametrazation) ΣΠΑΣΙΜΟ ΝΕΥΡΩΝ 3.1. Εισαγωγή: Τι είναι το BUGS ΓΙΑΤΙ; ΛΑΘΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΛΟΓΩ ΜΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΠΟΛΥ ΑΡΓΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΚΑΚΕΣ ΑΡΧΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΚΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΥΠΕΡ-ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΙΗΣΗ (overparametrazation) ΣΠΑΣΙΜΟ ΝΕΥΡΩΝ 3.1. Εισαγωγή: Τι είναι το BUGS 3.1. Εισαγωγή: Τι είναι το BUGS ΑΡΧΕΙΑ BUGS *.DAT:Αρχείο Δεδομένων *.INI: Αρχείο Αρχικών τιμών *.BUG: Αρχείο Moντέλου *.CMD: Αρχείο Εντολών προσομοίωσης *.LOG: Αρχείο Αποτελεσμάτων προσομοίωσης *.OUT: Αρχείο Προσομοιωμένων τιμών *.IND: Αρχείο με Περιεχόμενα του *.OUT Προετοιμασία των των Δεδομένων Δεδομένων Συντάκτης Κειμένων Στατιστικά Πακέτα Spread sheet Μπευζιανή Ανάλυση WinBUGS BUGS Ανάλυση Προσομοιωμένων Τιμών Τιμών R/Splus STATA Bayesian Biostatistics Using BUGS 8

9 3.2. Ένα Απλό Παράδειγμα στο BUGS 3.2. Ένα Απλό Παράδειγμα στο BUGS Green & Touchston (1963, Am.Jour. Of Obsterics & Gynecology) Μελέτη σχέσης Y : Βάρος γέννησης (birthweight) ενός παιδιού X : Επίπεδο οιστριόλης (estriol) των εγκύων γυναικών n=31 Το γράφημα που ακολουθεί δείχνει ότι υπάρχει συσχέτιση BIRTHWEIGHT g/ ESTRIOL mg/24hr Χτίζοντας το Μοντέλο Δημιουργία Μοντέλων στο BUGS ΤΥΧΑΙΑ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ: Birth i ~ Normal(μ i, σ 2 ) ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ: η i = α+β Estriol i ΣΥΝΔΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: μ i =η i =α+β Estriol i για i=1,...,31 PRIORS (Non-informative) f (α)=normal ( 0, 10 4 ) f (β)=normal ( 0, 10 4 ) f (σ 2 )=Inverse Gamma (10-4, 10-4 ) ή f (τ=σ -2 )=Gamma (10-4, 10-4 ) ΣΕ *.BUG Ορίζουμε το μοντέλο μας Εντολές => BUGS MANUAL σελ ΔΟΜΗ: Προκαταρκτικό κομμάτι: δηλώνουμε μεταβλητές, σταθερές, δεδομένα και αρχικές τιμές Κυρίως μοντέλο: εδώ ορίζουμε πιθανοφάνεια και priors Δημιουργία Μοντέλων στο BUGS Δημιουργία Μοντέλων στο BUGS ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΟ ΚΟΜΜΑΤΙ <;>: τελειώνει κάθε εντολή του BUG file model <όνομα μοντέλου>; const <σταθερά 1=#>,..., <σταθερά κ=#>; Ορισμός σταθερών παραμέτρων var <μεταβλητή 1>,..., <μεταβλητή κ>; Ορισμός τυχαίων μεταβλητών data <μεταβλητή 1>,..., <μεταβλητή κ> in <ονομα αρχείου>, <μεταβλητή κ+1>,..., <μεταβλητή κ+λ> in <ονομα αρχείου2> : ορισμός αρχείων δεδομένων inits in <ονομα αρχείου> : ορισμός αρχείων με αρχικές τιμές ΚΥΡΙΩΣ ΜΟΝΤΕΛΟ Το κυρίως μοντέλο αρχίζει και τελειώνει με {} ~ : ορίζουμε τις τυχαίες μεταβλητές <- : ισότητα/ ανάθεση Οι κατανομές ορίζονται στις σελίδες Αν θέλουμε να περιορίσουμε μία κατανομή σε ένα διάστημα (α,β) τότε η κατανομή ακολουθείται από Ι(α,β) Bayesian Biostatistics Using BUGS 9

10 Δημιουργία Μοντέλων στο BUGS ΚΥΡΙΩΣ ΜΟΝΤΕΛΟ Κανονικη Κατανομη: y~dnorm( mu, tau ) mu= μέσος tau= ακρίβεια (precision) =1/σ 2 Γάμμα Κατανομη: y~dgamma( a, b ) μέσος = a/b x[i] : i στοιχείο του διανύσματος x d[i,j] : στοιχείο της i γραμμής και j στήλης του πίνακα d Εισαγωγή του Μοντέλου του Παραδείγματος στο BUGS (1) Birth i ~ Normal(μ i, σ 2 ) (2) η i = α+β Estriol i (3) μ i =η i =α+β Estriol i για i=1,...,31 PRIORS f (α)=normal ( 0, 10 4 ) f (β)=normal ( 0, 10 4 ) f (τ=σ -2 )=Gamma(10-4, 10-4 ) σ 2 =1/ τ for (i in 1:n) { Birth[i]~dnorm(mu[i],tau) mu[i] <-a+b*estriol[i] } a~dnorm(0.0,1.0e-04) b~dnorm(0.0,1.0e-04) tau~dgamma(1.0e-04,1.0e-04) s2<-1/tau Εισαγωγή του Μοντέλου του Παραδείγματος στο BUGS Προσομοιώνοντας από την posterior ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΟ ΚΟΜΜΑΤΙ model example1; const n=31; # n=sample size var estriol[n], # estriol level of pregnant woman birth[n], # birthweight mu[n], # regression expected value a,b,tau,s2; # model parameters, # tau = precision, s2=1/tau varianc data estriol,birth in 'estriol.dat'; inits in 'estriol.in'; ΕΝΤΟΛΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ (σελ 31, BUGS MANUAL) bugs [enter] ΞΕΚΙΝΗΜΑ ΤΟΥ BUGS compile( estriol.bug ) ΤΣΕΚΑΡΕΙ ΤΗ ΣΥΝΤΑΞΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ, ΒΡΙΣΚΕΙ ΤΙΣ CONDITIONALS ΚΑΙ ΤΙΣ ΑΡΧΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ update(1000) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΝΕΙ 1000 ΤΙΜΕΣ monitor(a) monitor(b) ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΙΓΜΗ ΑΥΤΗ ΑΠΟΘΗΚΕΥΕΙ monitor(s2) ΤΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΕΣ ΤΙΜΕΣ monitor(s2,10) ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ ΑΝΑ 10 (ΤΗΙΝ=10) Προσομοιώνοντας από την posterior Προσομοιώνοντας από την posterior ΕΝΤΟΛΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ (σελ 31, BUGS MANUAL) update(1000) ΠΡΟΣOΜΟΙΩΝΟΥΜΕ 1000 ΤΙΜΕΣ stats(a) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ stats(b) ΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΩΝ ΤΙΜΩΝ stats(s2) (ΤΗΣ posterior ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ) diag(a) diag(b) ΔΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟ ΤΕΣΤ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ diag(s2) q() ΕΞΟΔΟΣ ΑΠΟ ΤΟ BUGS EDIT BUGS.LOG ΒΛΕΠΟΥΜΕ ΟΛΑ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ EDIT BUGS.IND ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ BUGS.OUT ΕΙΣΑΓΟΥΜΕ ΤΟ BUGS.OUT ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΑΚΕΤΟ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΤΟ ΠΑΡΑΣΚΗΝΙΟ Γράφουμε τις εντολές ένα αρχείο με κατάληξη CMD πχ. Example1.cmd Τρέχουμε το μοντέλο στο παρασκήνιο με την εντολη backbugs <όνομα αρχείου CMD> π.χ. backbugs example.cmd Τα αποτελέσματα τα βλέπουμε με τον ίδιο τρόπο όπως παραπάνω δηλ. EDIT BUGS.LOG ΒΛΕΠΟΥΜΕ ΟΛΑ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ EDIT BUGS.IND ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ BUGS.OUT ΕΙΣΑΓΟΥΜΕ ΤΟ BUGS.OUT ΣΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΑΚΕΤΟ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ Bayesian Biostatistics Using BUGS 10

11 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 1: Trace of Posterior Values Simulated Values ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 2: ΕΡΓΟΔΙΚΟΙ ΜΕΣΟΙ ERGODIC MEAN alpha ΕΝΔΕΙΞΗ ΜΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΚΑΙ ΥΨΗΛΩΝ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΝ Iterations Simulated Values Iterations beta Iterations Simulated Values Sigma^ alpha ERGODIC MEAN beta Iterations ERGODIC MEAN sigma^ Iterations Iterations ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 3: ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ α Series : a ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 4: ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ β Series : b ACF ACF ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 5: ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ σ Προσομοιώνοντας από την posterior ACF Series : s2 ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΤΗΣ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (1) ΑΥΞΑΝΟΥΜΕ ΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΛΕΠΤΥΝΣΗΣ (Thin=25) ΣΤΟ CMD ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ BUGS monitor(a,25) monitor(b,25) Bayesian Biostatistics Using BUGS 11

12 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 6: Trace of Posterior Values (5000 Iterations, Thin=25) ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7: ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΕΙΣ (5000 Iterations, Thin=25) Series : a1 a : b :200 s Series : b Series : s : Προσομοιώνοντας από την posterior Προσομοιώνοντας από την posterior ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΤΗΣ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (2) ΑΛΛΑΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ ΑΠΟ ΚΑΘΕ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΒΟΗΘΑΕΙ ΣΤΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΑΡΑ η i = α*+β(x i - x) α= α*-β x ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΤΗΣ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (2) ΑΛΛΑΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ ΑΠΟ ΚΑΘΕ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΒΟΗΘΑΕΙ ΣΤΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΑΡΑ ΣΤΟ BUGS mu[i]) <- a.star+b*(estriol[i]-mean(estriol[])); a<-a.star-b*mean(estriol[]); a.star~dnorm(0.0, 1.0E-04); ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 8: Trace of Posterior Values ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 9: ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΕΙΣ Series : a2 a :1000 b :1000 s Series : b Series : s : Bayesian Biostatistics Using BUGS 12

13 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 10: ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑΤΑ POSTERIOR ΤΙΜΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 11: ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ POSTERIOR ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Histogram of Posterior Values for alpha ksmooth(a2, bandwidth = 5)$y Posterior Density of alpha a2 ksmooth(a2, bandwidth = 5)$x Histogram of Posterior Values for beta b2 ksmooth(b2, bandwidth = 0.3)$y Posterior Density of beta ksmooth(b2, bandwidth = 0.3)$x Histogram of Posterior Values for sigma^ s22 ksmooth(s22, bandwidth = 5.3)$y Posterior Density of sigma^ ksmooth(s22, bandwidth = 5.3)$x Προσομοίωση στο Παρασκήνιο 3.3. Παράδειγμα 2: Μοντέλα για Διωνυμικά Δεδομένα ΔΗΜΙΟΥΡΓΟΥΜΕ ΕΝΑ ΑΡΧΕΙΟ ΜΕ ΤΙΣ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΕΝΤΟΛΕΣ (ESTRIOL.CMD) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΝΟΥΜΕ ΤΙΜΕΣ ΜΕ BACKBUGS ESTRIOL.CMD ΣΤΟΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟ ΤΟΥ BUGS ΒΛΕΠΟΥΜΕ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΤΟ ΑΡΧΕΙΟ BUGS.LOG ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 12, BUGS EXAMPLES vol 2 σελ. 43 Bliss (1935) Εκθέτουμε 8 ομάδες εντόμων σε διαφορετικά επίπεδα Carbon dislphide και καταγράφουμε Συγκέντρωση (Χ i ) Συνολικός Αριθμός εντόμων στην ομάδα (n i ) Αριθμός εντόμων που απεβίωσαν (r i ) 3.3. Παράδειγμα 2: Μοντέλα για Διωνυμικά Δεδομένα (1) r i ~ Binomial(p i, n i ) (2) η i = α*+β(x i - x) (3) logit(p i ) =η i για i=1,...,8 PRIORS f (α)=normal ( 0, 10 4 ) f (β)=normal ( 0, 10 4 ) α=α*-β x LINK FUNCTIONS logit(p)=log{p/(1-p)} probit(p)=φ -1 (p) cloglog(p)=log(-log(1-p)) for (i in 1:n) { r[i]~dbinom(p[i],n[i]) logit(p[i])<-a.star+b*x[i] } a~dnorm(0.0,1.0e-04) b~dnorm(0.0,1.0e-04) a<-a.star-b*mean(x[]) 3.3. Παράδειγμα 2: Μοντέλα για Διωνυμικά Δεδομένα ΜΕΡΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΕΣ ΤΙΜΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΝΤΑΙ ΩΣ r.hat[i]<-n[i]*p[i]; ODDS RATIO ΓΙΑ LOGIT MODELS odds.ratio<-exp(b); Bayesian Biostatistics Using BUGS 13

14 3.4. Παράδειγμα 3: Μοντέλα για Δίτιμες Μεταβλητές 3.4. Παράδειγμα 3: Μοντέλα για Δίτιμες Μεταβλητές Ένα δείγμα ηλικιωμένων ατόμων εξετάστηκαν ψυχιατρικά αν έχουν κάποια συμπτώματα γηρατειών (senility symptoms). Μια επεξηγηματική μεταβλητή είναι είναι το σκορ σε ένα υπο-τεστ της κλίμακας ενήλικης ευφυΐας Wechsler (Wecshler Adult Intelligence Scale - WAIS). Να βρεθεί ποιο x αντιστοιχεί σε p=1/2 και να βρεθεί και η posterior κατανομή της πιθανότητας για κάποιον με WAIS ίσο με το μέσο όρο ΜΕΡΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Το μοντέλο for (i in 1:n) { symptom[i]~dbern( p[i] ); logit( p[i] ) <- a+b*wais[i]; } Το x για p=1/2 βρίσκεται ως x.half<- -a/b; To ποσοστό για κάποιον με μέσο σκορ WAIS p.mean<exp(a+b*mean(x[]))/(1+exp(a+b*mean(x[]))); 3.5. Παράδειγμα 4: Μοντέλα Poisson για 2x2 & Η Posterior Κατανομή του Odds Ratio 3.5. Παράδειγμα 4: Μοντέλα Poisson για 2x2 & Η Posterior Κατανομή του Odds Ratio Mahon et.al. (1970) bulletin of the world health organazation Μελέτη για την πιθανή θετική σχέση μεταξύ ηλικίας στην 1η γέννα και καρκίνου του μαστο. Οι περιπτώσεις (cases) προέρχονται από επιλεγμένα νοσοκομεία στις ΗΠΑ, Ελλάδα, Γιουγκοσλαβία, Βραζιλία, Ταϊβάν & Ιαπωνία Οι Μάρτυρες (controls) επιλέχθηκαν απο γυναίκες με συγκρίσιμη ηλικία από τα ίδια νοσοκομεία AGE AT FIRST BIRTH STATUS Age>29 (1) Age<30 (0) Case (1) Control (0) Παράδειγμα 4: Μοντέλα Poisson για 2x2 & Η Posterior Κατανομή του Odds Ratio 3.5. Παράδειγμα 4: Μοντέλα Poisson για 2x2 & Η Posterior Κατανομή του Odds Ratio Status Age Counts ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ for (i in 1:4) { counts[i]~dpois(lambda[i]); log (lambda[i])<-mu+ a*status[i]+b*age[i]+ab*status[i]*age[i]; } ODDS RATIO odds.ratio<-exp(ab); Bayesian Biostatistics Using BUGS 14

15 Σε πίνακες 2x2xJ η εκτίμηση ενός κοινού OR γίνεται από το Maentel-Haenzel OR MH =(Σα i d i /n i )/(Σb i c i /n i ) Sandler, Everson & Wilcox (1985) Amer.Journal of Epidemiology Μελέτη με 518 καρκινοπαθείς με ηλικίες και 518 μάρτυρες (ομάδα ελέγχου) ταιριασμένοι (matched) ως προς φύλο και ηλικία Σκοπός: εκτίμηση της επίδρασης του παθητικού καπνίσματος στον κίνδυνο εμφάνισης καρκίνου. Το παθητικό κάπνισμα ορίστικε θετικά αν η σύζυγος κάπνιζε τουλάχιστον 1 τσιγάρο ημερησίως τους τελευταίους 6 μήνες. Συγχυτικός παράγοντας (confounder) αν το ίδιο άτομο καπνίζει Non Smokers (0) Smokers (1) Passive Smoker (1) Non Passive Smoker(0) Passive Smoker (1) Non Passive Smoker (0) Case(1) Control (0) ΚΑΝΟΥΜΕ ΔΥΟ ΑΝΑΛΥΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗ 1: ΧΕΙΡΙΖΟΜΑΣΤΕ ΞΕΧΩΡΙΣΤΑ ΤΟΝ ΚΑΘΕ ΠΙΝΑΚΑ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΟΥΜΕ ΕΝΑ ODDS RATIO ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΠΙΝΑΚΑ (ΟΠΩΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4) ΣΥΓΚΡΙΝΟΥΜΕ ΤΙΣ POSTERIOR ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗ 2: ΧΕΙΡΙΖΟΜΑΣΤΕ ΞΕΧΩΡΙΣΤΑ ΤΟΝ ΚΑΘΕ ΠΙΝΑΚΑ ΕΚΤΙΜΟΥΜΕ ΕΝΑ ΚΟΙΝΟ ODDS RATIO ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΠΙΝΑΚΑ ΑΝΑΛΥΣΗ 1: ΠΡΟΚΑΤΑΡΤΙΚΟ ΚΟΜΜΑΤΙ var, b[2,4], or[2]; ΜΟΝΤΕΛΟ #model for 1st table (nonsmokers) for (i in 1:4) { counts[i]~dpois( lambda[i] ); log(lambda[i])<-b[1,1]+b[1,2]*status[i] +b[1,3]*passive[i] +b[1,4]*status[i]*passive[i]; } ΑΝΑΛΥΣΗ 1: ΠΡΟΚΑΤΑΡΤΙΚΟ ΚΟΜΜΑΤΙ var, b[2,4], or[2]; ΜΟΝΤΕΛΟ #model for 2nd table (smokers) for (i in 5:8) { counts[i]~dpois( lambda[i] ); log(lambda[i])<-b[2,1]+b[2,2]*status[i] +b[2,3]*passive[i] +b[2,4]*status[i]*passive[i]; } ΑΝΑΛΥΣΗ 1: ΠΡΟΚΑΤΑΡΤΙΚΟ ΚΟΜΜΑΤΙ var, b[2,4], or[2]; ΜΟΝΤΕΛΟ #priors for (i in 1:2){ for (j in 1:p){ b[i,j]~dnorm(0.0, 1.0E-04) } } Bayesian Biostatistics Using BUGS 15

16 ΑΝΑΛΥΣΗ 2: ΜΟΝΤΕΛΟ #model for 1st table (nonsmokers) for (i in 1:4) { counts[i]~dpois( lambda[i] ); log(lambda[i])<-b[1,1]+b[1,2]*status[i] +b[1,3]*passive[i] +b[1,4]*status[i]*passive[i];} #model for 2nd table (smokers) for (i in 5:8) { counts[i]~dpois( lambda[i] ); log(lambda[i])<-b[2,1]+b[2,2]*status[i] +b[2,3]*passive[i] +b[2,4]*status[i]*passive[i]; } ΑΝΑΛΥΣΗ 2: ΜΟΝΤΕΛΟ #model for 1st table (nonsmokers) for (i in 1:4) { counts[i]~dpois( lambda[i] ); log(lambda[i])<-b[1,1]+b[1,2]*status[i] +b[1,3]*passive[i] + ab *status[i]*passive[i];} #model for 2nd table (smokers) for (i in 5:8) { counts[i]~dpois( lambda[i] ); log(lambda[i])<-b[2,1]+b[2,2]*status[i] +b[2,3]*passive[i] + ab *status[i]*passive[i]; } ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 12: ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ POSTERIOR ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΩΝ ODDS RATIOS ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗ 1 95% posterior MLE Posterior Mean credible interval OR ± OR ± ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Common OR MH ± Density OR 1 ( Καπνιστές) OR 0 (Μη Καπνιστές) Odds Ratio Values ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 13: ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ POSTERIOR ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΩΝ ODDS RATIOS Bayesian Biostatistics Using BUGS OR 1 ( Καπνιστές) Κοινό OR Density OR 0 (Μη Καπνιστές) ΤΕΛΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΟΜΕΝΟ: WINBUGS Department of Business Administration, University of the Aegean Odds Ratio Values Bayesian Biostatistics Using BUGS 16

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στο Πρόβλημα. Monte Carlo Εκτιμητές. Προσομοίωση. Αλυσίδες Markov. Αλγόριθμοι MCMC (Metropolis Hastings & Gibbs Sampling).

Διαβάστε περισσότερα

Bayesian Biostatistics Using BUGS

Bayesian Biostatistics Using BUGS Bayesian Biostatistics Using BUGS Βιο-Στατιστική κατά Bayes µε τη χρήση του Λογισµικού BUGS ΜΑΘΗΜΑ 2: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ WINBUGS I. Ntzoufras E-mail: ntzoufras@aueb.gr Department of Statistics, Athens University

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. Στις χρονοσειρές σημαντικό ρόλο παίζει η αυτοσυσχέτιση: η αυτοσυσχέτιση. (lag k) ισούται με όπου γ

Παράδειγμα. Στις χρονοσειρές σημαντικό ρόλο παίζει η αυτοσυσχέτιση: η αυτοσυσχέτιση. (lag k) ισούται με όπου γ MCMC Η Monte Carlo μεθοδολογία για την δημιουργία αριθμητικών προσεγγίσεων διαφόρων τιμών της εκ των υστέρων κατανομής, όπως του μέσου και της τυπικής απόκλισης, στηρίζεται στους Ασθενείς Νόμους των Μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Bayesian decision Minimum misclassificaxon rate decision: διαλέγουμε την κατηγορία Ck για

Διαβάστε περισσότερα

Bayesian Biostatistics Using BUGS

Bayesian Biostatistics Using BUGS Bayesian Biostatistics Using BUGS Βιο-Στατιστική κατά Bayes µε τη χρήση του Λογισµικού BUGS ΜΑΘΗΜΑ 4: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑ BAYES ΜΕ ΤΟ WINBUGS I. Ntzoufras

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει θανάτους από καρδιακή ανεπάρκεια ανάμεσα σε άνδρες γιατρούς οι οποίοι έχουν κατηγοριοποιηθεί κατά ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διαλέξεις 7 8 Μπεϋζιανή εκτίμηση συνέχεια Μη παραμετρικές μέθοδοι εκτίμησης πυκνότητας Εκτίμηση ML για την κανονική κατανομή Μπεϋζιανή εκτίμηση για την κανονική κατανομή Γνωστή

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Παλινδρόµηση

Λογιστική Παλινδρόµηση Κεφάλαιο 10 Λογιστική Παλινδρόµηση Στο κεφάλαιο αυτό ϑα δούµε την µέθοδο της λογιστικής παλινδρόµησης η οποία χρησιµεύει στο να αναπτύξουµε σχέση µίας δίτιµης ανεξάρτητης τυχαίας µετα- ϐλητής και συνεχών

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

Μαρκοβιανές Αλυσίδες

Μαρκοβιανές Αλυσίδες Μαρκοβιανές Αλυσίδες { θ * } Στοχαστική Ανέλιξη είναι μια συλλογή τ.μ. Ο χώρος Τ (συνήθως είναι χρόνος) μπορεί να είναι είτε διακριτός είτε συνεχής και καλείται παραμετρικός χώρος. Το σύνολο των δυνατών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Πρότυπο Πρόγραµµα Master Εξάµηνο Σπουδών Κωδικός Τίτλος Μαθήµατος ιδακτικές Μονάδες 1 ο Εξάµηνο ΜΑΣ650 Μαθηµατική Στατιστική 10 ΜΑΣ655 ειγµατοληψία 10 ΜΑΣ658 Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 Πρόλογος... xv Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 1.1.Ιστορική Αναδρομή... 1 1.2.Βασικές Έννοιες... 5 1.3.Πλαίσιο ειγματοληψίας (Sampling Frame)... 9 1.4.Κατηγορίες Ιατρικών Μελετών.... 11 1.4.1.Πειραµατικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διαλέξεις 11-12 Γραμμική παλινδρόμηση συνέχεια Γραμμική παλινδρόμηση συνέχεια Γραμμικές διαχωριστικές συναρτήσεις Γραμμική παλινδρόμηση (Linear regression) y = w + wx + + w

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

η πιθανότητα επιτυχίας. Επομένως, η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι ίση με: ( ) 32 = p 18 1 p

η πιθανότητα επιτυχίας. Επομένως, η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι ίση με: ( ) 32 = p 18 1 p ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΕΜΦΕ 14-15 i. Έστω yi ο αριθμός των προσπαθειών κάθε μαθητή μέχρι να πετύχει τρίποντο. Ο αριθμός των προσπαθειών πριν ο μαθητής να πετύχει τρίποντο θα είναι xi = yi - 1, i = 1,,18. 2 2 3 2 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Περιεχόμενα Εισαγωγή Το πρόβλημα - Συντελεστής συσχέτισης Μοντέλο απλής γραμμικής παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ A εξάμηνο 2009-2010 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Μεθοδολογία Έρευνας και Στατιστική ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Ποιοτικές και Ποσοτικές

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F Άσκηση 0, σελ. 9 από το βιβλίο «Μοντέλα Αξιοπιστίας και Επιβίωσης» της Χ. Καρώνη (i) Αρχικά, εισάγουμε τα δεδομένα στο minitab δημιουργώντας δύο μεταβλητές: τη x για τον άτυπο όγκο και την y για τον τυπικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 23

Περιεχόμενα. Πρόλογος 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 23 Περιεχόμενα Πρόλογος 17 Μέρος A ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 23 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 23 1.1 Εισαγωγή 23 1.1.1 Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) 24 1.1.2 Επαγωγική ή Αναλυτική Στατιστική (Inferential or

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ SPSS Το SPSS είναι ένα στατιστικό πρόγραμμα γενικής στατιστικής ανάλυσης αρκετά εύκολο στη λειτουργία του. Για να πραγματοποιηθεί ανάλυση χρονοσειρών με τη βοήθεια του SPSS θα πρέπει απαραίτητα

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΜΠΣ ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΤΑ BAYES

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΜΠΣ ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΑΤΑ BAYES ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΠΣ ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ι Π Λ Ω Μ Α Τ Ι Κ Η Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α ΛΥΚΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΒΑΣΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

1991 US Social Survey.sav

1991 US Social Survey.sav Παραδείγµατα στατιστικής συµπερασµατολογίας µε ένα δείγµα Στα παραδείγµατα χρησιµοποιείται απλό τυχαίο δείγµα µεγέθους 1 από το αρχείο δεδοµένων 1991 US Social Survey.sav Το δείγµα λαµβάνεται µε την διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΤΙΜΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ: ΒΡΟΧΟΠΤΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΤΙΜΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ: ΒΡΟΧΟΠΤΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 8 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2005) σελ.29-36 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΤΙΜΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ: ΒΡΟΧΟΠΤΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ Μανώλης Δρυμώνης και Μαρία Κατέρη Τμήμα Στατιστικής

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Στις προηγούμενες ενότητες ασχοληθήκαμε με μεθόδους που οδηγούν σε εκτιμήτριες των τιμών μιας ή και περισσοτέρων αγνώστων παραμέτρων. Αυτό έγινε με την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 12β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 4β ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Πολλαπλής Παλινδρόμησης

Μοντέλα Πολλαπλής Παλινδρόμησης Μοντέλα Πολλαπλής Παλινδρόμησης Πέτρος Ρούσσος Πρόγραμμα Ψυχολογίας, ΦΠΨ, ΕΚΠΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 1 Ορολογία Προβλεπτικές μεταβλητές ή παράγοντες (predictors) Μεταβλητή κριτήριο (criterion) Απλή και πολλαπλή παλινδρόμηση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ Η ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

Η ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ Η ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 24 Η ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ Η ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ BAYES ΩΣ ΒΑΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο βιβλίο αυτό, αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

SPSS Statistical Package for the Social Sciences

SPSS Statistical Package for the Social Sciences SPSS Statistical Package for the Social Sciences Ξεκινώντας την εφαρμογή Εισαγωγή εδομένων Ορισμός Μεταβλητών Εισαγωγή περίπτωσης και μεταβλητής ιαγραφή περιπτώσεων ή και μεταβλητών ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100 Ποσοτικές Μέθοδοι Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR 50100 Απλή Παλινδρόμηση Η διερεύνηση του τρόπου συμπεριφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο

Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο Copyright 2009 Cengage Learning 15.1 Ένα Κοινό Θέμα Τι πρέπει να γίνει; Τύπος Δεδομένων; Πλήθος Κατηγοριών; Στατιστική Μέθοδος; Περιγραφή ενός πληθυσμού Ονομαστικά Δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Ένα πρόβλημα Πρόβλημα: Ένας μαθητής είχε επίδοση στο τεστ Μαθηματικών 18 και στο τεστ

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτικά περιεχόμενα

Συνοπτικά περιεχόμενα b Συνοπτικά περιεχόμενα 1 Τι είναι η στατιστική;... 25 2 Περιγραφικές τεχνικές... 37 3 Επιστήμη και τέχνη των διαγραμματικών παρουσιάσεων... 119 4 Αριθμητικές μέθοδοι της περιγραφικής στατιστικής... 141

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Εργασία στα Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Μ. Παρζακώνης ΜΕΣ/ 06015 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τα αποτελέσματα 800 αιτήσεων για δάνειο σε μία τράπεζα. Ο πίνακας παρουσιάζει τον αριθμό των δανείων που εγκρίθηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Άσκηση 1 η Ένας παραγωγός σταφυλιών ισχυρίζεται ότι τα κιβώτια σταφυλιών που συσκευάζει

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii Περιεχόμενα Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή... 1 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων... 2 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac...

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός και Διεξαγωγή Πειραμάτων

Σχεδιασμός και Διεξαγωγή Πειραμάτων Σχεδιασμός και Διεξαγωγή Πειραμάτων Πρώτο στάδιο: λειτουργικοί ορισμοί της ανεξάρτητης και της εξαρτημένης μεταβλητής Επιλογή της ανεξάρτητης μεταβλητής Επιλέγουμε μια ανεξάρτητη μεταβλητή (ΑΜ), την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ . ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ (RANK REGRESSION).1 Μονότονη Παλινδρόμηση (Monotonic Regression) Από τη γραφική παράσταση των δεδομένων του προηγουμένου προβλήματος παρατηρούμε ότι τα ζευγάρια (Χ i, i )

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Newton-Raphson

Μέθοδος Newton-Raphson Κεφάλαιο 14 Μέθοδος Newton-Raphson Θα συζητήσουµε υπολογισµό της εκτιµήτριας µεγίστης πιθανοφάνειας µε τη µέ- ϑοδο Newton-Raphson. Αν και υπάρχουν περιπτώσεις για τις οποίες η λύση µπορεί να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση και Παλινδρόμηση Correlation and Regression. Γρηγόρης Χλουβεράκης, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Βιοστατιστικής

Συσχέτιση και Παλινδρόμηση Correlation and Regression. Γρηγόρης Χλουβεράκης, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Βιοστατιστικής Συσχέτιση και Παλινδρόμηση Correlation and Regression Γρηγόρης Χλουβεράκης, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Βιοστατιστικής Συσχέτιση μεταξύ δυο μεταβλητών Η συσχέτιση (correlation) ή συνάφεια (association)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα