Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών"

Transcript

1 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2016 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών εξισώσεων. Η γνώση των βασικών ιδιοτήτων των διαφορικών εξισώσεων είναι απολύτως απαραίτητη για την ανάλυση προβληµάτων σε συνεχή χρόνο στη δυναµική µακροοικονοµική. 1 Ξεκινούµε µε κάποιους ορισµούς, και κατόπιν εξετάζουµε µεθόδους επίλυσης γραµµικών διαφορικών εξισώσεων πρώτου και δεύτερου βαθµού, τόσο µε σταθερούς, όσο και µε µεταβλητούς συντελεστές, καθώς και συστηµάτων n αλληλεξαρτώµενων γραµµικών διαφορικών εξισώσεων. Π1.1 Ορισµοί Μία διαφορική εξίσωση, είναι µία µαθηµατική εξίσωση προερχόµενη από µία άγνωστη συνάρτηση, µίας ή περισσοτέρων µεταβλητών, η οποία συνδέει την ίδια τη συνάρτηση και τις παραγώγους της διαφόρων βαθµών. Ενώ η λύση µίας απλής εξίσωσης, ή ενός συστήµατος εξισώσεων, συνίσταται στην εξεύρεση ενός συνόλου σταθερών που ικανοποιούν αυτές τις εξισώσεις, η λύση µίας διαφορικής εξίσωσης, ή ενός συστήµατος διαφορικών εξισώσεων, συνίσταται στην εξεύρεση συναρτήσεων, οι οποίες, µαζί µε τις παραγώγους τους, ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση ή το σύστηµα διαφορικών εξισώσεων. Για παράδειγµα, η λύση στη διαφορική εξίσωση, y (t) = dy (Π1.1) dt = a είναι µία συνάρτηση y(t), της οποίας η πρώτη παράγωγος ισούται µε a. Η λύση αυτή είναι η εξίσωση, y(t) = at + c (Π1.2) όπου c είναι µία οποιαδήποτε σταθερά. Ένα άλλο παράδειγµα είναι διαφορική εξίσωση, Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών 1 για οικονοµολόγους. Βλ. Chiang (1974) και Simon and Blume (1994) για δύο από τα πιο πλήρη εγχειρίδια. Για µια πιο προχωρηµένη προσέγγιση βλ. Boyce and DiPrima (1977).

2 d 2 y y (t) = dt = a 2 (Π1.3) η οποία έχει λύση, y(t) = a (Π1.4) 2 t 2 + bt + c όπου b και c είναι δύο οποιεσδήποτε σταθερές. Μία λύση σε µία διαφορική εξίσωση είναι µία συνάρτηση y(t), η οποία µαζί µε τις παραγώγους της, ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση. Μία γενική λύση είναι το σύνολο όλων των λύσεων µίας διαφορικής εξίσωσης. Μία ειδική λύση απαιτεί τον προσδιορισµό της σταθεράς ή των σταθερών της ολοκλήρωσης. Οι διαφορικές εξισώσεις ταξινοµούνται από το βαθµό τους, που δεν είναι άλλος από το βαθµό της υψηλότερης παραγώγου που εµφανίζεται στην εξίσωση. Για παράδειγµα, η (Π1.1) είναι διαφορική εξίσωση πρώτου βαθµού, ενώ η (Π1.3) είναι διαφορική εξίσωση δεύτερου βαθµού. Μία διαφορική εξίσωση είναι γραµµική, αν η άγνωστη συνάρτηση y(t) και οι παράγωγοί της είναι γραµµικές, ενώ αλλοιώς είναι µη γραµµική. Μία διαφορική εξίσωση µπορεί να επιλυθεί µε µία µέθοδο η οποία είναι γνωστή ως διαχωρισµός µεταβλητών, εάν µπορεί να γραφεί ως η εξίσωση ενός όρου ο οποίος περιέχει µόνο το y, µε έναν όρο ο οποίος περιέχει µόνο το t. Για παράδειγµα, η εξίσωση, g(y) y = f (t) (Π1.5) µπορεί να γραφεί ως, g(y)dy = f (t)dt (Π1.6) Οι µεταβλητές είναι διαχωρισµένες και η λύση της είναι, g(y)dy = f (t)dt + c (Π1.7) όπου c είναι µία αυθαίρετη σταθερά. Τέλος, µία διαφορική εξίσωση, f (t, y) + g(t, y) dy (Π1.8) dt = 0 που ισοδυναµεί µε, f (t, y)dt + g(t, y)dy = 0 (Π1.9) 2

3 ονοµάζεται ακριβής, εάν υπάρχει µία συνάρτηση U(t,y) ούτως ώστε, du U t dt + U y dy fdt + gdy (Π1.10) Μία διαφορική εξίσωση είναι ακριβής αν αποτελεί ακριβώς τη συνολική διαφοροποίηση µίας συνάρτησης. Π1.2 Γραµµικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτου Βαθµού Διακρίνουµε τις γραµµικές διαφορικές εξισώσεις πρώτου βαθµού σε εξισώσεις µε σταθερούς συντελεστές, και εξισώσεις µε µεταβλητούς συντελεστές. Π1.2.1 Σταθεροί Συντελεστές Μία γραµµική διαφορική εξίσωση πρώτου βαθµού µε σταθερούς συντελεστές έχει τη µορφή, y (t) + ay(t) = b (Π1.11) όπου a και b είναι δεδοµένες σταθερές. Για να βρεθεί η συνάρτηση y(t) η οποία ικανοποιεί την (Π1.11), παρατηρείστε ότι, d(e at y(t)) = ae at y(t) + e at y (t) = e at y (t) + ay(t) (Π1.12) dt Δηλαδή, αν η διαφορική εξίσωση (Π1.11) πολλαπλασιαστεί µε e at, η αριστερή της πλευρά θα είναι µία ακριβής διαφορική εξίσωση, δηλαδή η συνολική παράγωγος κάποιας συνάρτησης σε σχέση µε το t. Η e at καλείται συντελεστής ολοκλήρωσης. Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές µε dt, έχουµε, d( e at y(t) ) = be at dt της οποίας το ολοκλήρωµα είναι, e at y(t) = e at b a + c όπου c είναι η σταθερά της ολοκλήρωσης. Πολλαπλασιάζοντας e at και τις δύο πλευρές έχουµε, y(t) = b (Π1.13) a + ce at 3

4 ως την οικογένεια των συναρτήσεων που ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση (Π1.11). Η οικογένεια αυτή καλείται η γενική λύση της (Π1.11). Προκειµένου να προσδιορίσουµε τη σταθερά της ολοκλήρωσης c χρειαζόµαστε την αξία της συνάρτησης σε κάποιο σηµείο. Για παράδειγµα αν στο σηµείο t=0, γνωρίζουµε ότι, y(0) = y 0 τότε γνωρίζουµε ότι, y 0 = b, δηλαδή ότι. a + c c = y b 0 a H ειδική λύση της διαφορικής εξίσωσης (Π1.11) η οποία ικανοποιεί y(0) = y 0 είναι, y(t) = y 0 e at + (1 e at ) b (Π1.14) a = b a + (y b 0 a )e at Συµπερασµατικά, για να επιλύσουµε µία γραµµική διαφορική εξίσωση πρώτου βαθµού µε σταθερούς συντελεστές, πολλαπλασιάζουµε µε το συντελεστή ολοκλήρωσης και λαµβάνουµε το ολοκλήρωµα. Για να υπολογίσουµε τη σταθερά της ολοκλήρωσης χρησιµοποιούµε την αξία της συνάρτησης σε κάποιο σηµείο. Το σηµείο που χρησιµοποιούµε λέγεται αρχική συνθήκη ή οριακή συνθήκη. Π1.2.2 Μεταβλητή Δεξιά Πλευρά Εάν η δεξιά πλευρά της (Π1.11) δεν ήταν σταθερή, αλλά µία γνωστή συνάρτηση του χρόνου, η διαδικασία επίλυσης είναι παρόµοια. Πολλαπλασιάζουµε µε το συντελεστή ολοκλήρωσης και λαµβάνουµε το ολοκλήρωµα. Για παράδειγµα, στη διαφορική εξίσωση, y (t) + ay(t) = be λt (Π1.15) πολλαπλασιάζοντας µε το συντελεστή ολοκλήρωσης και διαχωρίζοντας τις µεταβλητές έχουµε, ( ) = be (a+λ)t dt d e at y (Π1.16) Λαµβάνοντας τα ολοκληρώµατα και των δύο πλευρών της (Π1.16), b e at y(t) = (Π1.17) a + λ e(a+λ)t + c Διαιρώντας και τις δύο πλευρές µε το συντελεστή ολοκλήρωσης, 4

5 b y(t) = (Π1.18) a + λ eλt + ce at Η (Π1.18) είναι η οικογένεια των συναρτήσεων που ικανοποιεί την (Π1.15). Και πάλι η άγνωστη σταθερά c µπορεί να προσδιοριστεί από µία οριακή συνθήκη. Π1.2.3 Μεταβλητοί Συντελεστές Η γενική µορφή µιας γραµµικής διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθµού είναι, y (t) + a(t)y(t) = b(t) (Π1.19) όπου οι a(t) και b(t) είναι γνωστές συναρτήσεις, και αναζητείται η συνάρτηση y(t). Ο συντελεστής ολοκλήρωσης είναι, e a(t ) dt καθώς, d(y(t)e a(t ) dt ) = e a(t ) dt y (t) + a(t)y(t) (Π1.20) dt Έτσι, πολλαπλασιάζοντας τη (Π1.19) µε το συντελεστή ολοκλήρωσης αυτόν και λαµβάνοντας το ολοκλήρωµα, έχουµε, y(t)e a(t ) dt = b(t)e a(t ) dt dt + c (Π1.21) Διαιρώντας την (Π1.21) µε το συντελεστή ολοκλήρωσης έχουµε τελικά, y(t) = e a(t ) dt b(t)e a(t ) dt dt + e a(t ) dt c (Π1.22) όπου c είναι η σταθερά της ολοκλήρωσης. Η (Π1.22) είναι η γενική λύση της (Π1.19). Μια ειδική λύση απαιτεί µία οριακή συνθήκη που θα προσδιορίσει τη σταθερά c. Προσοχή: Μην εφαρµόζετε µηχανιστικά τη λύση (Π1.22) σε οποιαδήποτε εξίσωση. Είναι απλούστερο πολλές φορές να πολλαπλασιάζετε µε το συντελεστή ολοκλήρωσης και να λαµβάνετε το ολοκλήρωµα. Π1.2.4 Οµογενείς και Μη Οµογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Εάν b(t)=0 στη (Π1.19), η διαφορική εξίσωση που προκύπτει ονοµάζεται οµογενής. Αλλοιώς είναι µη οµογενής. Η γενική λύση µιας διαφορικής εξίσωσης συνίσταται από το άθροισµα της γενικής λύσης στη σχετική οµογενή διαφορική εξίσωση (θέτοντας b(t)=0 και επιλύοντας) και µίας ειδικής λύσης στη συνολική εξίσωση. Για παράδειγµα, η γενική λύση στην οµογενή εξίσωση, 5

6 @ y (t) + ay(t) = 0 (Π1.23) που προέρχεται από την (Π1.11) είναι, y(t) = ce at (Π1.24) Μία ειδική λύση, θέτοντας y (t) = 0 για παράδειγµα, είναι, y _ = b a (Π1.25) Κατά συνέπεια, η γενική λύση της µη οµογενούς διαφορικής εξίσωσης (Π1.11) είναι το άθροισµα των (Π1.24) και (Π1.25), δηλαδή της γενικής λύσης της σχετικής οµογενούς διαφορικής εξίσωσης και της ειδικής λύσης για σταθερό y. Η µεθοδολογία αυτή δεν είναι τόσο απαραίτητη για την επίλυση γραµµικών εξισώσεων πρώτου βαθµού, αλλά καθίσταται πολύ χρήσιµη για διαφορικές εξισώσεις βαθµού ανώτερου του πρώτου. Σε πολλές οικονοµικές εφαρµογές, ενδιαφερόµαστε για τη συµπεριφορά της λύσης µιας διαφορικής εξίσωσης καθώς η ανεξάρτητη µεταβλητή, συνήθως ο χρόνος, τείνει στο άπειρο. Η τιµή την οποία προσεγγίζει η λύση, αν προσεγγίζει κάποια τιµή, αναφέρεται ως σταθερά κατάσταση, ή στάσιµη κατάσταση, ή κατάσταση ισορροπίας. Για παράδειγµα, από την (Π1.13), που είναι η γενική λύση της (Π1.11), έχουµε για a > 0, b lim y(t) = lim t t a + ce at = b a Η ειδική λύση της διαφορικής εξίσωσης (Π1.11) µπορεί κατά συνέπεια να ερµηνευτεί οικονοµικά και ως η κατάσταση ισορροπίας, ή η στάσιµη κατάσταση. Π1.3 Γραµµικές Διαφορικές Εξισώσεις Δευτέρου Βαθµού Μία γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρου βαθµού έχει τη µορφή, y (t) + a(t) y (t) + b(t)y(t) = h(t) (Π1.26) όπου a(t), b(t), h(t) είναι γνωστές συναρτήσεις, και αναζητείται η συνάρτηση y(t). Η (Π1.26) αποκαλείται η πλήρης εξίσωση. Σχετική µε την (Π1.26) είναι µία οµογενής διαφορική εξίσωση στην οποία το h(t)=0. y (t) + a(t) y (t) + b(t)y(t) = 0 (Π1.27) 6

7 η οποία ονοµάζεται η ανηγµένη εξίσωση. Η πλήρης εξίσωση είναι µη οµογενής, ενώ η ανηγµένη είναι οµογενής. Η ανηγµένη εξίσωση έχει ενδιαφέρον λόγω των ακολούθων δύο θεωρηµάτων. Θεώρηµα 1: Η γενική λύση της πλήρους εξίσωσης (Π1.26) είναι το άθροισµα οποιασδήποτε ειδικής λύσης της πλήρους εξίσωσης και της γενικής λύσης της ανηγµένης εξίσωσης (Π1.27). Θεώρηµα 2: Οποιαδήποτε λύση y(t) της ανηγµένης εξίσωσης (Π1.27) στο διάστηµα t 0 t t 1 µπορεί να εκφραστεί ως ένας γραµµικός συνδυασµός, y(t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t), t 0 t t 1 οποιωνδήποτε δύο ειδικών λύσεων y 1, y 2 οι οποίες είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Π1.3.1 Οµογενείς Εξισώσεις µε Σταθερούς Συντελεστές Εξετάζουµε τώρα τη διαφορική εξίσωση (Π1.26), µε σταθερούς συντελεστές, δηλαδή, a(t)=a, b(t)=b. Υποθέτουµε επίσης ότι h(t)=0. Η διαφορική εξίσωση λαµβάνει τη µορφή, y (t) + a y (t) + by(t) = 0 (Π1.28) Εµπνεόµενοι από τη γενική λύση της πρωτοβάθµιας διαφορικής εξίσωσης µε σταθερούς συντελεστές, δοκιµάζουµε τη γενική λύση, y(t) = ce rt µε άγνωστες σταθερές c και r. Η λύση αυτή συνεπάγεται, y (t) = rce rt και y (t) = r 2 ce rt Αντικαθιστώντας στην (Π1.28) έχουµε, ce rt (r 2 + ar + b) = 0 (Π1.29) Για µη µηδενικό c, η δοκιµαστική µας λύση ικανοποιεί την (Π1.28) µόνον εφόσον το r είναι λύση (ρίζα) της δευτεροβάθµιας εξίσωσης, r 2 + ar + b = 0 (Π1.30) Η εξίσωση (Π1.30) αποκαλείται η χαρακτηριστική εξίσωση της (Π1.28). Έχει δύο ρίζες που ανευρίσκονται από, r 1,r 2 = a ± a2 4b (31) 2 Ξεχωρίζουµε τρεις περιπτώσεις, ανάλογα µε τη διακρίνουσα της χαρακτηριστικής εξίσωσης (Π1.30): 7

8 Περίπτωση 1: a 2 > 4b Στην περίπτωση αυτή η διακρίνουσα είναι θετική, και οι ρίζες είναι πραγµατικές και διακριτές. Η γενική λύση της (Π1.28) λαµβάνει τη µορφή, y(t) = c 1 e r 1t + c 2 e r 2t (Π1.32) όπου r 1,r 2 είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (Π1.30), και c 1,c 2 είναι αυθαίρετες σταθερές. Περίπτωση 2: a 2 < 4b Στην περίπτωση αυτή η διακρίνουσα είναι αρνητική και οι ρίζες είναι ένα ζεύγος συζυγών µιγαδικών αριθµών. r 1,r 2 = a, 2 ± i 4b a = α ± iβ 2 όπου, α = a και β = 4b a. 2 2 Η γενική πραγµατική λύση στην περίπτωση αυτή είναι, y(t) = e αt (k 1 cosβt + k 2 sinβt) (Π1.33) όπου k 1,k 2 είναι αυθαίρετες σταθερές. Περίπτωση 3: a 2 = 4b Στην περίπτωση αυτή η διακρίνουσα ισούται µε το µηδέν, και οι δύο ρίζες είναι ίδιες και ισούνται µε -a/2. Μπορεί κανείς να δείξει ότι η γενική λύση της (Π1.28) στην περίπτωση αυτή λαµβάνει τη µορφή, y(t) = c 1 e rt + c 2 te rt = e rt (c 1 + c 2 t) (Π1.34) όπου r = a / 2 είναι η διπλή ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης (Π1.30), και c 1,c 2 είναι αυθαίρετες σταθερές. Π1.3.2 Μη Οµογενείς Εξισώσεις µε Σταθερούς Συντελεστές Είδαµε πιο πάνω πως µπορούµε να βρούµε τη λύση οποιασδήποτε οµογενούς γραµµικής διαφορικής εξίσωσης δευτέρου βαθµού µε σταθερούς συντελεστές. Για να βρούµε τη λύση µιας µη οµογενούς εξίσωσης, θέλουµε µία ειδική λύση της πλήρους εξίσωσης. Αν η πλήρης εξίσωση είναι της µορφής, y (t) + a y (t) + by(t) = h (Π1.35) 8

9 τότε µία ειδική λύση είναι η σταθερή συνάρτηση, y _ = h b Για εξισώσεις χωρίς σταθερούς συντελεστές υπάρχουν πιο προχωρηµένες µέθοδοι, όπως η µέθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών, ή η µέθοδος των µεταβολών στις παραµέτρους. Π1.4 Ένα Ζεύγος Γραµµικών Διαφορικών Εξισώσεων Πρώτου Βαθµού Ερχόµαστε τέλος σε µία περίπτωση που έχει εκτεταµένες εφαρµογές στα οικονοµικά, ένα ζεύγος γραµµικών διαφορικών εξισώσεων πρώτου βαθµού. x (t) = a 1 x(t) + y(t) + p(t) y (t) = a 2 x(t) + b 2 y(t) + g(t) (Π1.36) όπου a 1,a 2,,b 2 είναι δεδοµένες σταθερές, και p(t),g(t) είναι δεδοµένες συναρτήσεις. Η λύση του συστήµατος (Π1.36) θα είναι δύο συναρτήσεις x(t) και y(t), που ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις. Το οµογενές σύστηµα που αντιστοιχεί στην (Π1.36) δίνεται από, x (t) = a 1 x(t) + y(t) y (t) = a 2 x(t) + b 2 y(t) (Π1.37) Μία µέθοδος επίλυσης είναι η µέθοδος της αντικατάστασης. Αντικαθιστώντας την y(t) και τις παραγώγους της στο σύστηµα (37), καταλήγουµε σε µία δευτεροβάθµια εξίσωση που περιέχει µόνο το x(t) και τις παραγώγους του. x (t) (a1 + b 2 ) x (t) + (a 1 b 2 a 2 )x(t) = 0 (Π1.38) H (Π1.38) είναι µία οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρου βαθµού µε χαρακτηριστική εξίσωση, r 2 (a 1 + b 2 )r + (a 1 b 2 a 2 ) = 0 (Π1.39) Αν οι ρίζες της (Π1.39) είναι πραγµατικές και διακριτές, η λύση της (Π1.38) είναι, x(t) = c 1 e r 1t + c 2 e r 2t (Π1.40) Επιλύοντας την πρώτη εξίσωση της (Π1.37) ως προς y(t), έχουµε, 9

10 y(t) = 1 x (t) a 1 x(t) Υποκαθιστώντας τη γνωστή λύση (Π1.40) για το x(t) και την πρώτη παράγωγό του, έχουµε, ( ) y(t) = 1 (r 1 a 1 )c 1 e r 1t + (r 2 a 1 )c 2 e r 2t (Π1.41) Συνεπώς, η λύση του συστήµατος (Π1.37) είναι οι συναρτήσεις (Π1.40) και (Π1.41), αν οι ρίζες της (Π1.39) είναι πραγµατικές και διακριτές. Ανάλογα µπορούµε να επιλύσουµε το σύστηµα αν έχουµε µιγαδικές ή επαναλαµβανόµενες ρίζες. Υπάρχει ωστόσο και µία δεύτερη και πιο άµεση µέθοδος επίλυσης του οµογενούς συστήµατος (Π1.37). Η εµπειρία µας από τις πρωτοβάθµιες διαφορικές εξισώσεις µας υποδεικνύει να δοκιµάσουµε το ζεύγος, x(t) = Ae rt, y(t) = Be rt ως ειδικές λύσεις για την (Π1.37). Υποκαθιστώντας αυτές στην (Π1.37) έχουµε, rae rt = a 1 Ae rt + Be rt rbe rt = a 2 Ae rt + b 2 Be rt (Π1.42) Διαιρώντας και τις δύο εξισώσεις µε e rt µπορούµε να ξαναγράψουµε το σύστηµα (Π1.42) ως, a 1 r A (Π1.43) a 2 b 2 r B = 0 0 Για να ισχύει η (Π1.43), η ορίζουσα της µήτρας των συντελεστών πρέπει να µηδενική. a 1 r = 0 (Π1.44) b 2 r a 2 Λαµβάνοντας την ορίζουσα έχουµε µία δευτεροβάθµια εξίσωση στο r. r 2 (a 1 + b 2 )r + (a 1 b 2 a 2 ) = 0 (Π1.45) η οποία αναφέρεται ως χαρακτηριστική εξίσωση του συστήµατος (Π1.37). Η (Π1.45) είναι ακριβώς η ίδια µε την (Π1.39), στην οποία καταλήξαµε µε τη µέθοδο της αντικατάστασης. Οι ρίζες της δίνονται από, 10

11 r 1,r 2 = (a + b ) ± (a )2 4(a 1 b 2 a 2 ) 2 (Π1.46) Σηµειώστε για µελλοντική χρήση ότι, r 1 + r 2 = a 1 + b 2 r 1 r 2 = a 1 b 2 a 2 (Π1.47) Εάν οι ρίζες είναι πραγµατικές και r 1 r 2, τότε η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος (Π1.37) δίνεται από, x(t) = A 1 e r 1t + A 2 e r 2t y(t) = B 1 e r 1t + B 2 e r 2t (Π1.48) όπου, A 1, A 2 καθορίζονται από συνοριακές συνθήκες, οι ρίζες ορίζονται από την (Π1.46), και οι B 1, B 2 ορίζονται από τη (Π1.42) ως, B 1 = r a 1 1 A 1 και B 2 = r a 2 1 A 2 (Π1.49) Η λύση είναι ακριβώς ίδια µε την (Π1.40) και την (Π1.41). Αντίστοιχες είναι και οι λύσεις σε περίπτωση ταυτόσηµων ριζών, ή µιγαδικών ριζών. Έχοντας βρει τη γενική λύση στο οµογενές σύστηµα (Π1.37), µένει να βρούµε µια ειδική λύση στην (Π1.36), χρησιµοποιώντας για παράδειγµα τη µέθοδο των µεταβολών στις παραµέτρους. Για την ειδική περίπτωση που p και g είναι σταθερές, µία ειδική λύση µε σταθερά x και y µπορεί να βρεθεί λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων, a 1 x *+ y *+ p = 0 a 2 x *+b 2 y *+g = 0 (Π1.50) Εκφράζοντας την (Π1.50) σε µορφή µήτρας, και λύνοντας ως προς τα x* και y*, έχουµε ότι, a 1 x * το οποίο συνεπάγεται ότι, (Π1.50 ) a 2 b 2 y * = p x * g y * = a 1 p a 2 b 2 g Τα σηµεία x* και y* µπορούν να θεωρηθούν σηµεία ισορροπίας. Το αν το σύστηµα συγκλίνει µονοτονικά στην ισορροπία εξαρτάται από το αν και οι δύο ρίζες είναι πραγµατικές και µικρότερες του µηδενός. Στην περίπτωση αυτή η ισορροπία είναι ένας σταθερός κόµβος. Στην περίπτωση που 1 11

12 και οι δύο µεταβλητές είναι προκαθορισµένες, η ισορροπία αυτή είναι ευσταθής, καθώς το σύστηµα τείνει προς την ισορροπία αυτή από οποιοδήποτε αρχικό σηµείο. Όταν έχουµε µία θετική και µία αρνητική ρίζα, η ισορροπία καλείται σαγµατικό σηµείο. Η ισορροπία είναι ευσταθής όταν η µία µεταβλητή είναι προκαθορισµένη και η άλλη µη προκαθορισµένη. Η αρνητική ρίζα αντιστοιχεί στην προκαθορισµένη µεταβλητή, και η θετική ρίζα στην µη προκαθορισµένη µεταβλητή, για την οποία επιλύουµε προς τα εµπρός. Κατά συνέπεια, ένα σύστηµα µε µία προκαθορισµένη και µία µη προκαθορισµένη µεταβλητή είναι ευσταθές όταν η µήτρα των συντελεστών έχει µία θετική και µία αρνητική ιδιοτιµή. Π1.5 Ένα Σύστηµα n Γραµµικών Διαφορικών Εξισώσεων Πρώτου Βαθµού Τέλος αναλύουµε τη µέθοδο επίλυσης µιας πιο γενικής περίπτωσης, µε εκτεταµένη εφαρµογή στη δυναµική µακροοικονοµική, ενός συστήµατος n πρωτοβάθµιων διαφορικών εξισώσεων της µορφής, x 1(t) = a 11 x 1 (t) + a 12 x 2 (t) +!+ a 1n x n (t) + g 1 (t) x 2(t) = a 21 x 1 (t) + a 22 x 2 (t) +!+ a 2n x n (t) + g 2 (t)... x n(t) = a n1 x 1 (t) + a n2 x 2 (t) +!+ a nn x n (t) + g n (t) όπου x 1, x 2,!x n είναι οι µεταβλητές, a ij για i, j = 1,2,!,n είναι δεδοµένες σταθερές παράµετροι, και g 1,g 2,!g n είναι εξωγενείς συναρτήσεις του χρόνου. Σε µορφή µητρών, το σύστηµα αυτό µπορεί να γραφεί ως, x 1(t) a 11 a 1n x 1 (t) g 1 (t)! =! "!! (Π1.51) x +! n(t) a n1 # a nn x n (t) g n (t) ή, x (t) = Ax(t) + g(t) (Π1.51 ) όπου τα έντονα στοιχεία υποδηλώνουν διανύσµατα, και A είναι η µήτρα των συντελεστών, η οποία θεωρείται µη ιδιάζουσα, δηλαδή ότι η ορίζουσά της διαφέρει από το µηδέν. Πριν προχωρήσουµε στην ανάλυση της λύσης του συστήµατος των διαφορικών εξισώσεων (Π1.51), αξίζει να εξετάσουµε βαθύτερα κάποια στοιχεία γραµµικής άλγεβρας, και ιδιαίτερα την έννοια των ιδιοτιµών και των ιδιοδιανυσµάτων. 12

13 Π1.5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Θεωρείστε µία τετραγωνική µήτρα A, όπως αυτή που πολλαπλασιάζει τα x στη δεξιά πλευρά της (Π1.51). Μία ιδιοτιµή της A είναι µία τιµή ρ η οποία όταν αφαιρεθεί από όλα τα στοιχεία της διαγωνίου της A µετατρέπει την A σε µία ιδιάζουσα, δηλαδή µη αντιστρέψιµη, µήτρα, µε ορίζουσα ίση µε το µηδέν. Αφαιρώντας µία τιµή ρ από κάθε ένα από τα διαγώνια στοιχεία της A είναι ισοδύναµο µε την αφαίρεση από την Α της µοναδιαίας µήτρας Ι πολλαπλασιασµένης µε το ρ. Κατά συνέπεια, το ρ είναι µία ιδιοτιµή της A εάν και µόνο εάν η µήτρα A-ρΙ είναι ιδιάζουσα. Δεδοµένου ότι µία µήτρα είναι ιδιάζουσα εάν η ορίζουσά της ισούται µε το µηδέν, το ρ είναι µία ιδιοτιµή της A εάν και µόνο εάν, det A ρi = 0 Για µία µήτρα n x n A, η ορίζουσα της Α-ρΙ είναι ένα πολυώνυµο βαθµού n στο ρ, το οποίο καλείται το χαρακτηριστικό πολυώνυµο της Α. Ένα πολυώνυµο βαθµού n έχει κατά µέγιστο n ρίζες. Κατά συνέπεια, µία τετραγωνική µήτρα n x n έχει κατά µέγιστο n ιδιοτιµές. Από τα παραπάνω συνάγεται ότι τα διαγώνια στοιχεία µίας διαγώνιας µήτρας D είναι ιδιοτιµές της D, και ότι µία τετραγωνική µήτρα A είναι ιδιάζουσα εάν και µόνο εάν το µηδέν είναι µία ιδιοτιµή της A. Από τη γραµµική άλγεβρα ισχύει ότι µία τετραγωνική µήτρα B είναι µη ιδιάζουσα εάν και µόνο εάν η µόνη λύση του Bx = 0 είναι το x = 0. Αντίστροφα, η B είναι ιδιάζουσα εάν και µόνο εάν το σύστηµα Bx = 0 έχει µία µη µηδενική λύση. Το γεγονός ότι η µήτρα A-ρΙ είναι ιδιάζουσα όταν το ρ είναι µία ιδιοτιµή της A, σηµαίνει ότι το σύστηµα των εξισώσεων (A-ρΙ)v = 0 έχει µία λύση άλλη από το v = 0. 2 Όταν το ρ είναι µία ιδιοτιµή της A, ένα µη µηδενικό διάνυσµα v το οποίο ικανοποιεί (A-ρΙ)v = 0, καλείται ένα ιδιοδιάνυσµα (εκ δεξιών) της A, το οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή ρ. Κατά συνέπεια, τα ιδιοδιανύσµατα είναι µη µηδενικά διανύσµατα v τα οποία ικανοποιούν, (A - ρι)v = 0, Av - ριv = 0, Av = ρv Οι τρεις παραπάνω εκφράσεις είναι ισοδύναµες. Π1.5.2 Επιλύοντας το Σύστηµα των n Γραµµικών Διαφορικών Εξισώσεων Στρεφόµαστε τώρα στην επίλυση του συστήµατος των n γραµµικών διαφορικών εξισώσεων που παρίσταται από την (Π1.51). Η γενική λύση του µη οµογενούς συστήµατος των διαφορικών 2 Ακολουθούµε την πρακτική να χρησιµοποιούµε έντονα µη κεφαλαία γράµµατα για να υποδηλώσουµε διανύσµατα. 13

14 εξισώσεων (Π1.51) θα ισούται µε το άθροισµα της γενικής λύσης του σχετικού οµογενούς συστήµατος διαφορικών εξισώσεων, συν την ειδική λύση για σταθερά x. Θα επικέντρωθούµε στην επίλυση του οµογενούς συστήµατος, x 1(t) a 11 a 1n x 1 (t)! =! "!! (Π1.52) x n(t) a n1 # a nn x n (t) ή απλά x = Ax, όπου x είναι το διάνυσµα στήλη στη δεξιά πλευρά της (Π1.52). Αν υποθέσουµε ότι η A είναι µία διαγώνιος µήτρα, για την οποία aij=0 για i j, τότε η (Π1.52) µετατρέπεται σε ένα σύστηµα n ανεξάρτητων διαφορικών εξισώσεων πρώτου βαθµού, της µορφής, x i(t) = a ii x i (t) Έχουµε κατά συνέπεια, µε την υπόθεση αυτή, ένα σύστηµα ανεξάρτητων γραµµικών διαφορικών εξισώσεων πρώτου βαθµού, οι οποίες µπορούν να επιλυθούν µία προς µία, ως, x i (t) = c i e a iit Αν τα εκτός διαγωνίου στοιχεία aij διαφέρουν από το µηδέν, και οι εξισώσεις του συστήµατος είναι αλληλεξαρτώµενες, τότε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα της µήτρας των συντελεστών της (Π1.52) ώστε να µετατρέψουµε το σύστηµα σε ένα σύστηµα n, ή λιγότερων, ανεξάρτητων εξισώσεων. Μπορούµε κατά συνέπεια να χρησιµοποιήσουµε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα της µήτρας A προκειµένου να µετατρέψουµε το σύστηµα σε ένα σύστηµα µε διαγώνιο µήτρα συντελεστών. Ας υποθέσουµε ότι η µήτρα A έχει n διαφορετικές πραγµατικές ιδιοτιµές ρ1, ρ2, ρn, µε αντιστοιχα ιδιοδιανύσµατα v1, v2, vn. Από τον ορισµό των ιδιοτιµών και των ιδιοδιανυσµάτων συνάγεται ότι, Av i = ρ i v i, i=1,2,, n (Π1.53) Ορίζουµε ως P τη µήτρα n x n οι στήλες της οποίας είναι αυτά τα n ιδιοδιανύσµατα. Δηλαδή, η µήτρα P ορίζεται ως, [ v n ] P = v 1! (Π1.54) Το σύστηµα των εξισώσεων (Π1.53) µπορεί κατά συνέπεια να πάρει τη µορφή, 14

15 ρ 1 0 AP = PJ, όπου, J =! (Π1.55) 0 ρ n Δεδοµένου ότι τα ιδιοδιανύσµατα για ξεχωριστές ιδιοτιµές είναι γραµµικά ανεξάρτητα, η µήτρα P είναι µη ιδιάζουσα, και κατά συνέπεια αντιστρέψιµη. Με αυτό το δεδοµένο ισχύει ότι, P 1 AP = J (Π1.56) Κατά συνέπεια µπορούµε να κάνουµε χρήση της (Π1.56) ώστε να µετατρέψουµε το σύστηµα (Π1.52), το οποίο ορίζεται για τις µεταβλητές x, σε ένα σύστηµα το οποίο ορίζεται για τις µεταβλητές y=p -1 x, κάτι που σηµαίνει ότι x=py. Κατά συνέπεια ισχύει ότι, y = P 1 x = P 1 Ax = P 1 APy = Jy (Π1.57) Δεδοµένου ότι J είναι µία διαγώνια µήτρα, η λύση του συστήµατος (Π1.57) µπορεί να βρεθεί εύκολα, ως το διάνυσµα των λύσεων για κάθε µεταβλητή yi, και δίνεται από, y 1 (t) c 1 e ρ 1t! (Π1.58) =! y n (t) c n e ρ nt Τέλος, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το µετασχηµατισµό x = Py προκειµένου να επιστρέψουµε στις αρχικές µεταβλητές x1,, xn, σύµφωνα µε, c 1 e ρ 1t x(t) = Py(t) = [ v 1! v n ]! = c (Π1.59) 1 e ρ1t v 1 + c 2 e ρ2t v 2 +!+ c n e ρnt v n c n e ρ nt Έτσι, µε την υπόθεση ότι η τετραγωνική µήτρα n x n A έχει n διακριτές πραγµατικές ιδιοτιµές ρ1, ρn, µε αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα v1, vn, η γενική λύση του οµογενούς γραµµικού συστήµατος (Π1.52) δίνεται από, x(t) = c 1 e ρ1t v 1 + c 2 e ρ2t v 2 +!+ c n e ρnt v n (Π1.60) Η λύση στις περιπτώσεις µιγαδικών ιδιοτιµών ή πολλαπλών ιδιοτιµών, χωρίς αρκετά ιδιοδιανύσµατα, είναι ανάλογες µε την περίπτωση του οµογενούς συστήµατος δευτέρου βαθµού που αναλύσαµε στο τµήµα Π1.4. Οι τιµές ισορροπίας και οι συνθήκες ευστάθειας ορίζονται µε ανάλογο τρόπο µε τις διαφορικές εξισώσεις πρώτου και δεύτερου βαθµού. Υποθέτοντας ότι το διάνυσµα των g αποτελείται από σταθερές, έχουµε το µη οµογενές σύστηµα, 15

16 x 1(t) a 11 a 1n x 1 (t) g 1! =! "!! (Π1.61) x +! n(t) a n1 # a nn x n (t) g n Το διάνυσµα ισορροπίας, αν υπάρχει, µπορεί να υπολογισθεί θέτοντας τις µεταβολές των x ίσες µε το µηδέν. Το διάνυσµα ισορροπίας υπάρχει αν η µήτρα A είναι µη ιδιάζουσα, και ορίζεται από, 1 x 1 * a 11 a 1n g 1! (A1.62) =! "!! x n * a n1 # a nn g n όπου, xi* υποδηλώνει την τιµή ισορροπίας του xi. Τα xi* αποτελούν τις τιµές ισορροπίας. Αν τα xi είναι προκαθορισµένες µεταβλητές, για να συγκλίνει το σύστηµα στην ισορροπία, όλες οι ιδιοτιµές πρέπει να είναι µικρότερες από το µηδέν. Στην περίπτωση αυτή το διάνυσµα ισορροπίας είναι ένας σταθερός κόµβος. Εάν τα xi είναι p προκαθορισµένες και q µη προκαθορισµένες µεταβλητές, όπου p+q=n, το διάνυσµα ισορροπίας, εάν υπάρχει, είναι ένα σαγµατικό διάνυσµα. Για να συγκλίνει το σύστηµα στην ισορροπία, πρέπει να υπάρχουν p αρνητικές και q θετικές ιδιοτιµές. Οι αρνητικές ιδιοτιµές αντιστοιχούν στις προκαθορισµένες µεταβλητές, που επιλύονται προς τα πίσω, και οι θετικές ιδιοτιµές αντιστοιχούν στις µη προκαθορισµένες µεταβλητές, οι οποίες επιλύονται προς τα εµπρός. Έτσι, ένα σύστηµα µε p προκαθορισµένες και q µη προκαθορισµένες µεταβλητές χαρακτηρίζεται από ευστάθεια αν η µήτρα των συντελεστών έχει p αρνητικές και q θετικές ιδιοτιµές. Η πορεία της προσαρµογής είναι µοναδική, και καλείται µία σαγµατική πορεία. 16

17 Βιβλιογραφία Boyce W.E. and DiPrima R.C. (1977), Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, New York, Wiley. Chiang A. (1974), undamental Methods of Mathematical Economics, New York, McGraw Hill. Simon C.P and Blume L. (1994), Mathematics for Economists, New York, Norton. 17

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 5 Μαθηµατικό Παράρτηµα Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις διαφορών

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες

Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τις µεθόδους επίλυσης υποδειγµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Ορισμός των Ορθολογικών Προσδοκιών για Μία Περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα

!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα Συστήματα με Ν βαθμούς ελευθερίας ΦΥΣ 211 - Διαλ.25 1 Ø Συστήµατα µε Ν βαθµούς ελευθερίας που βρίσκονται κοντά σε µια θέση ισσορροπίας τους συµπεριφέρονται σαν Ν ανεξάρτητοι αρµονικοί ταλαντωτές Γιατί

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Αποστολάτου 6 Μαϊου 2001 Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Θεωρούµε ότι 6 ίσες µάζες συνδέονται µε ταυτόσηµα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann 3 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemnn 3. Μέθοδος αντικατάστασης ή αλλαγής µεταβλητής Πρόταση 3.. Εστω ότι η u = f (y) είναι συνεχής στο διάστηµα I, η y = g() έχει συνεχή παράγωγο στο διάστηµα Ι και

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου Για την ανεύρεση της µορφής των λύσεων στρεφόµαστε προς τις αναγκαίες συνθήκες, αρχικά στις Εξισώσεις Euler-Lagrange: Τ Τ Τ! f d! f = 0 t t0, t

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Κεφάλαιο 3 Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε τις συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας ΠΑΤ μη γραμμικών ΔΕ. Στο εδάφιο 3.1, θα παρουσιάσουμε την προσεγγιστική μέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο Υπόδειγμα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο Υπόδειγμα Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες Το Πρωτοβάθμιο Υπόδειγμα Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Ορισμός των Ορθολογικών Προσδοκιών για Μία Περίοδο στο Μέλλον Η ορθολογική

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ.

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 11/5/2012 Σηµαντικό χαρακτηριστικό µέγεθος (ϐαθµωτός) για κάθε τετραγωνικό

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

[A I 3 ] [I 3 A 1 ].

[A I 3 ] [I 3 A 1 ]. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Μετασχηµατισµούς Laplace και Fourier και τα Συστήµατα Εξισώσεων

Ασκήσεις στους Μετασχηµατισµούς Laplace και Fourier και τα Συστήµατα Εξισώσεων Ασκήσεις στους Μετασχηµατισµούς Laplace και Fourier και τα Συστήµατα Εξισώσεων Ε Κάππος 4 εκεµβρίου 7 Περιεχόµενα Ασκήσεις στο µετασχηµατισµό Laplace Ασκήσεις στα Συστήµατα Εξισώσεων 5 3 Ασκήσεις Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε εξίσωση, η οποία περιλαµβάνει παραγώγους, είναι διαφορική εξίσωση. Έτσι οι εξισώσεις

Κάθε εξίσωση, η οποία περιλαµβάνει παραγώγους, είναι διαφορική εξίσωση. Έτσι οι εξισώσεις ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ µ ÂÓÈÎ ÓÓÔÈÂ Κάθε εξίσωση, η οποία περιλαµβάνει παραγώγους, είναι διαφορική εξίσωση Έτσι οι εξισώσεις d = + t d = 5 (Β) (Β3) d e t = cos (Β) d d = 5 + (Β4) είναι όλες διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Εισαγωγικές έννοιες και ταξινόμηση Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Μέθοδοι Διαχρονικής Βελτιστοποίησης

Παράρτηµα 3 Μέθοδοι Διαχρονικής Βελτιστοποίησης Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Παράρτηµα 3 Μέθοδοι Διαχρονικής Βελτιστοποίησης Η βελτιστοποίηση (optimization) σε δυναµικά οικονοµικά προβλήµατα, δηλαδή σε προβλήµατα στα οποία

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα

Χαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα Έστω ο n nτετραγωνικός πίνακας A της μορφής a L a M O M an L a όπου aij, i n, j n πραγματικές σταθερές Ονομάζουμε χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα A την εξίσωση A λi, όπου I ο n n μοναδιαίος πίνακας και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 24 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες Θεωρία. 2 (4 µονάδες)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 24 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες Θεωρία. 2 (4 µονάδες) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 4 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία (4 µονάδες) (α) Μια συνάρτηση f() έχει την παράγωγο του f () γραφήµατος παραπλεύρως. Να βρεθεί η µέγιστη τιµή της για, υποθέτοντας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθµητική Γραµµική Άλγεβρα: Ασκήσεις

1 Αριθµητική Γραµµική Άλγεβρα: Ασκήσεις Αριθµητική Γραµµική Άλγεβρα: Ασκήσεις. Να επιλυθεί το σύστηµα µε απαλοιφή Gauss: 3x 2x 3 +x 4 = 2x + +x 3 +3x 4 = 6 x +3 +2x 3 +4x 4 = 2x 2 +3x 3 2x 4 = 7 [ΑΠΑΝΤΗΣΗ:x 4 = 0, =, x 3 = 3, x = 2] 2. Να επιλυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

x(t) ax 1 (t) y(t) = 1 ax 1 (t) = (1/a)y 1(t) x(t t 0 ) y(t t 0 ) =

x(t) ax 1 (t) y(t) = 1 ax 1 (t) = (1/a)y 1(t) x(t t 0 ) y(t t 0 ) = ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 26-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! ookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Ένα Δυναµικό Υπόδειγµα Επενδύσεων

Κεφάλαιο 8 Ένα Δυναµικό Υπόδειγµα Επενδύσεων Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 8 Ένα Δυναµικό Υπόδειγµα Επενδύσεων Στο κεφάλαιο αυτό αναλύουµε το βασικό δυναµικό νεοκλασσικό υπόδειγµα επιλογής των επενδύσεων. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα