[A I 3 ] [I 3 A 1 ].

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "[A I 3 ] [I 3 A 1 ]."

Transcript

1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x 4x x = b (α) ος τρόπος : Αν ο A είναι αντιστρέψιµος, τότε η ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του A είναι ο I και, χρησιµοποιώντας απαλοιφή Gauss-Jordan, από τον πίνακα [A I ] παίρνουµε τον πίνακα Σχηµατίζουµε τον πίνακα [A I ] = [I A ] 6 4 Χρησιµοποιώντας απαλοιφή Gauss-Jordan, παίρνουµε ότι εναλλάσουµε την η και τη η γραµµή πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε 6

2 6 Εποµένως ο A είναι αντιστρέψιµος και A = 6 6 προσθέτουµε ϕορές την η γραµµή στην η πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή µε πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε προσθέτουµε ϕορές την η γραµµή στην η προσθέτουµε ϕορές τη η γραµµή στην η ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της ορίζουσας ενός πίνακα παίρνουµε ότι det(a) = 6 4 = ( ) + ( ) + 6 ( 4) ( ) ( 4) 6 ( ) = = 8 Εφόσον det(a), ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της ορίζουσας ενός πίνακα, παίρνουµε ότι οι συµπαράγοντές του πίνακα A είναι C = ( ) + 4 = ( ) ( 4) =,

3 C = ( ) + 6 = (6 ( ) ( )) = 6, C = ( ) = 6 ( 4) ( ) =, C = ( ) + 4 = ( ( ) ( 4)) = 6, C = ( ) + = ( ) ( ) =, C = ( ) + 4 = ( ( 4) ( )) = 6, C = ( ) + = = 9, C = ( ) + 6 = ( 6) =, C = ( ) + 6 = 6 = 8 Εποµένως ο πίνακας συµπαραγόντων του A είναι ο Άρα ο προσαρτηµένος πίνακας του A είναι ο adj(a) = t = Εφόσον από όσα είπαµε, παίρνουµε ότι A = 8 A = det(a) adj(a), = Σηµείωση : () Στην πρώτη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε να υπολογίσου- µε την ορίζουσα του πίνακα A παίρνοντας ανάπτυγµα συµπαραγόντων : Εχουµε

4 ότι det(a) = 6 4 = = 6 ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η γραµµή = (6 ( ) ( )) ορίζουσα πίνακα = 8 Σηµειώνουµε ότι πήραµε το ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η γραµµή γιατί όλα τα στοιχεία της ης γραµµής εκτός από το -στοιχείο είναι () Στην πρώτη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε να υπολογίσουµε την ορί- Ϲουσα του πίνακα A µε αναγωγή γραµµών : Εχουµε ότι 6 4 = 6 εναλλάσουµε την η και τη 4 η γραµµή = 6 = ( 6) 4 4 = ( 6) 6 κοινός παράγοντας από την η γραµµή προσθέτουµε ϕορές την η γραµµή στην η = ( 6) ( ( )) ορίζουσα τριγωνικού πίνακα = 8 () Στην τρίτη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε να υπολογίσουµε τον πίνακα συµπαραγόντων του A ως εξής : Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της ορίζουσας ενός πίνακα παίρνουµε ότι οι ελάσσονες ορίζουσες του πίνακα A είναι M = 4 = ( ) ( 4) =, 4

5 M = 6 = 6 ( ) ( ) = 6, M = 6 4 = 6 ( 4) ( ) =, M = 4 = ( ) ( 4) = 6, M = = ( ) ( ) =, M = 4 = ( 4) ( ) = 6, M = = = 9, M = 6 = 6 =, M = 6 = 6 = 8 Εποµένως ο πίνακας συµπαραγόντων του A είναι ο M M M ( 6) M M M = ( 6) 6 M M M 9 8 = (ϐ) ος τρόπος : Ο πίνακας συντελεστών του συστήµατος x = b 6x + x + x = b () x 4x x = b είναι ο A = 6 4 Από το (α) ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος Εποµένως, για όλα τα b, b, b στο R, το σύστηµα () έχει µοναδική λύση, την x x x = A b b b 5

6 Άρα Από το (α), A A = b b b = = b + b + b b b b b = b b b + b + b b b b Από όσα είπαµε, παίρνουµε ότι, για όλα τα b, b, b στο R, το σύστηµα () έχει µοναδική λύση, την x b + b + b x b = x b b ή x = b + b + b, x = b, x = b b ος τρόπος : Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ο x = b 6x + x + x = b () x 4x x = b b 6 b 4 b Χρησιµοποιώντας απαλοιφή Gauss-Jordan ϐρίσκουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του Εχουµε ότι b 6 b 6 b b εναλλάσουµε την η και τη η γραµµή 4 b 4 b 6

7 b 6 b 4 b b 6 b b + b b 6 b b + b b 6 b b b b + b b b b b + b b b b b Ο τελευταίος πίνακας αντιστοιχεί στο σύστηµα πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε 6 προσθέτουµε ϕορές την η γραµµή στην η πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή µε πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε προσθέτουµε ϕορές την η γραµµή στην η προσθέτουµε ϕορές τη η γραµµή στην η x = b + b b x = b x = b b Άρα, για όλα τα b, b, b στο R, το σύστηµα () έχει µοναδική λύση, την ή x = b + b b, x = b, x = b b x = b + b + b, x = b, x = b b Σηµείωση : Στη δεύτερη και την τρίτη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε να δουλέψουµε και ως εξής : Χρησιµοποιώντας απαλοιφή Gauss ϐρίσκουµε την 7

8 κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα του συστήµατος () Εχουµε ότι b 6 b 6 b b εναλλάσουµε την η και τη η γραµµή 4 b 4 b b 6 b 4 b b 6 b b + b b 6 b b + b b 6 b b b Ο τελευταίος πίνακας αντιστοιχεί στο σύστηµα πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε 6 προσθέτουµε ϕορές την η γραµµή στην η πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή µε πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε x + x + x = b 6 x = b x = b b Λύνουµε το σύστηµα αυτό µε προς τα πίσω αντικατάσταση : Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές x, x, x παίρνουµε ότι x = b 6 x x x = b x = b b Αντικαθιστώντας την η εξίσωση στην η, παίρνουµε ότι x = b + b x x = b x = b b 8

9 Αντικαθιστώντας τη η εξίσωση στην η, παίρνουµε ότι x = b + b b x = b x = b b Άρα, για όλα τα b, b, b στο R, το σύστηµα () έχει µοναδική λύση, την x = b + b b, x = b, x = b b ή x = b + b + b, x = b, x = b b ος τρόπος : Ο πίνακας συντελεστών του συστήµατος είναι ο x = b 6x + x + x = b () x 4x x = b A = 6 4 Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της ορίζουσας ενός πίνακα παίρνουµε ότι det(a) = 6 4 = ( ) + ( ) + 6 ( 4) ( ) ( 4) 6 ( ) = = 8 Εφόσον det(a), από τον κανόνα του Cramer παίρνουµε ότι, για όλα τα b, b, b στο R, το σύστηµα () έχει µοναδική λύση, την b b b b 6 b 6 b b 4 b 4 b x =, x =, x =

10 Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της ορίζουσας ενός πίνακα, παίρνουµε ότι b b b 4 = = b ( ) + b + b ( 4) b b ( 4) b ( ) = 4b + 9b + + b + 6b = b + 6b + 9b, b 6 b b = = b ( ) + b ( ) + 6 b b ( ) b b 6 ( ) = 6b + + b = 6b, b 6 b 4 b = = b + b ( ) + b 6 ( 4) b ( ) b ( 4) 6 b = 6b 4b + 4b 8b = 6b 8b Από όσα είπαµε, παίρνουµε ότι, για όλα τα b, b, b στο R, το σύστηµα () έχει µοναδική λύση, την ή x = b + 6b + 9b 8, x = 6b 8, x = 6b 8b 8 x = b + b + b, x = b, x = b b Σηµείωση : () Στη δεύτερη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε να υπολογίσουµε την ορίζουσα του πίνακα A παίρνοντας ανάπτυγµα συµπαραγόντων, όπως στη Σηµείωση () του ου τρόπου του (α), ή µε αναγωγή γραµµών, όπως στη Σηµείωση () του ου τρόπου του (α) () Αν στο ερώτηµα (α) δουλέψαµε µε το ο τρόπο, ϑα µπορούσαµε στη δεύτερη παράγραφο παραπάνω να πάρουµε ότι det(a) = 8 χωρίς να χρειαστεί να το ξαναϋπολογίσουµε

11 () Στην τέταρτη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε να υπολογίσουµε τις ορίζουσες b b b 4, b 6 b b b 6 b 4 b παίρνοντας ανάπτυγµα συµπαραγόντων : Εχουµε ότι b b b 4 = = b 4 = b 4, b b + b b 4 b b ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η γραµµή = b ( ( ) ( 4)) ( b b ) ορίζουσα πίνακα = b + 6b + 9b Σηµειώνουµε ότι πήραµε το ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η γραµµή γιατί το -στοιχείο είναι Προφανώς ϑα µπορούσαµε να πάρουµε και το ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η στήλη Εχουµε ότι b 6 b b = = b b b 6 = b b b ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η γραµµή = b (6 ( ) ( )) ορίζουσα πίνακα = 6b

12 Σηµειώνουµε ότι πήραµε το ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η γραµµή γιατί όλα τα στοιχεία της ης γραµµής εκτός από το -στοιχείο είναι Εχουµε ότι b 6 b 4 b = = b 4 b 6 b 4 b + ( ) b b = 6 b 4 b b b ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η στήλη = 6 (b + 4b ) (b b ) ορίζουσα πίνακα = 6b 8b Σηµειώνουµε ότι πήραµε το ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η στήλη γιατί το -στοιχείο είναι Προφανώς ϑα µπορούσαµε να πάρουµε και το ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η γραµµή Σηµείωση : Παρατηρήστε ότι στο ο και τον ο τρόπο δεν χρησιµοποιήσαµε το αποτέλεσµα του (α) και για αυτό το λόγο χρειάστηκε να κάνουµε πολύ περισσότερη δουλειά για να καταλήξουµε στο αποτέλεσµα

13 Εστω A και B δύο n n πίνακες Αποδείξτε ότι αν το σύστηµα Ax = b είναι συµβιβαστό, για όλα τα b στον R n, και τότε B = n A B(A t ) = n, ος τρόπος : Εφόσον το σύστηµα Ax = b είναι συµβιβαστό, για όλα τα b στον R n, ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος Από τις ιδιότητες των αντιστρέψιµων πινάκων παίρνουµε ότι : () Εφόσον ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος (και (A ) = (A ) ) () Εφόσον ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, ο πίνακας A t είναι αντιστρέψιµος (και (A t ) = (A ) t ) Εφόσον ο πίνακας A t είναι αντιστρέψιµος, ο πίνακας (A t ) είναι αντιστρέψιµος (και ((A t ) ) = ((A t ) ) = ((A ) t ) ) Χρησιµοποιώντας την αντιστρεψιµότητα των πινάκων A και (A t ) και τις ιδιότητες του πολλαπλασιασµού πινάκων, παίρνουµε ότι A B(A t ) = n (A ) (A B(A t ) ) = (A ) n (A ) (A B(A t ) ) = n αν ο T είναι m k πίνακας, τότε T k l = m l ((A ) A )(B(A ) ) = n τα του πολλαπλασιασµού t προσεταιριστική ιδιότη- πινάκων I n (B(A t ) ) = n αν ο T είναι αντιστρέψι- µος m m πίνακας, τότε T T = I m B(A t ) = n (B(A t ) )((A t ) ) = n ((A t ) ) (B(A t ) )((A t ) ) = n αν ο T είναι m k πίνακας, τότε I m T = T αν ο T είναι m k πίνακας, τότε l m T = l k B((A ) ((A ) ) ) = n τα του πολλαπλασιασµού t t προσεταιριστική ιδιότη- πινάκων BI n = n αν ο T είναι αντιστρέψι- µος m m πίνακας, τότε T T = I m

14 B = n αν ο T είναι m k πίνακας, τότε T I k = T Σηµείωση : Προφανώς ϑα µπορούσαµε, µε την ίδια λογική, πρώτα να πολλαπλασιάσουµε από δεξιά και τα δύο µέλη της A B(A t ) = n µε ((A t ) ) και να πάρουµε ότι A B = n και κατόπιν να πολλαπλασιάσουµε από αριστερά και τα δύο µέλη της A B = n µε (A ) και να πάρουµε ότι B = n ος τρόπος : Εφόσον το σύστηµα Ax = b είναι συµβιβαστό, για όλα τα b στον R n, ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος Από τις ιδιότητες των αντιστρέψιµων πινάκων παίρνουµε ότι : () Εφόσον ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος (και (A ) = (A ) ) () Εφόσον ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, ο πίνακας A t είναι αντιστρέψιµος (και (A t ) = (A ) t ) Εφόσον ο πίνακας A t είναι αντιστρέψιµος, ο πίνακας (A t ) είναι αντιστρέψιµος (και ((A t ) ) = ((A t ) ) = ((A ) t ) ) Εφόσον ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, το οµογενές σύστηµα A x = n έχει µόνο την τετριµµένη λύση Εστω y στον R n (το οποίο ταυτίζουµε µε έναν n πίνακα) Εφόσον A B(A t ) = n, χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του πολλαπλασιασµού πίνάκων παίρνουµε ότι A (B(A t ) y) = (A B(A t ) )y = n y = n προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων αν ο T είναι m k πίνακας, τότε l m T = l k 4

15 Εποµένως, για όλα τα y στον R n, A (B(A t ) y) = n, δηλαδή το B(A t ) y είναι λύση του οµογενούς συστήµατος A x = n Εφόσον, όπως είπαµε παραπάνω, το οµογενές σύστηµα Ax = n έχει µόνο την τετριµµένη λύση, x = n, από όσα είπαµε, παίρνουµε ότι B(A t ) y = n, για όλα τα y στον R n Εστω Εφόσον για όλα τα y στον R n, B = b b b n b b b n b n b n b nn B(A t ) y = n, B(A t ) ((At ) ) B(A t ) ((At ) ) = n, = n, B(A t ) ((At ) ) 5 = n

16 Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του πολλαπλασιασµού πινάκων κα την αντιστρεψιµότητα του (A t ), παίρνουµε ότι B(A t ) ((At ) ) = n B((A t ) ((A t ) ) ) = n προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων BI n = n αν ο T είναι αντιστρέψιµος m m πίνακας, τότε T T = I m B = n αν ο T είναι m k πίνακας, τότε T I k = T b b b n b b b n b n b n b nn = b b b n = b = b = = b n =, 6

17 B(A t ) ((At ) ) = n B((A t ) ((A t ) ) ) = n προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων BI n = n αν ο T είναι αντιστρέψιµος m m πίνακας, τότε T T = I m B = n αν ο T είναι m k πίνακας, τότε T I k = T b b b n b b b n b n b n b nn = b b b n = b = b = = b n =, 7

18 B(A t ) ((At ) ) = n B((A t ) ((A t ) ) ) = n προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων BI n = n αν ο T είναι αντιστρέψιµος m m πίνακας, τότε T T = I m B = n αν ο T είναι m k πίνακας, τότε T I k = T b b b n b b b n b n b n b nn = b n b n b nn = b n = b n = = b nn = Εφόσον b ij =, για i, j n, B = 8

19 Εστω A και B δύο n n πίνακες για τους οποίους ισχύει (A t ) B A 5 (B t ) 7 = I n Αποδείξτε ότι οι A και B είναι αντιστρέψιµοι ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των οριζουσών, παίρνουµε ότι (A t ) B A 5 (B t ) 7 = I n det((a t ) B A 5 (B t ) 7 ) = det( I n ) det((a t ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( ) n det(i n ) αν ο T είναι m m πίνακας, τότε det(λt ) = λ m det(t ) det((a t ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( ) n det(i m ) = det((a t ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( ) n det((a t ) ) det(b ) det(a 5 ) det((b t ) 7 ) = ( ) n det(t T T k ) = det(t ) det(t ) det(t k ) det(a t ) det(b) det(a) 5 det(b t ) 7 = ( ) n det(t k ) = det(t ) k, για όλα τα k στο N det(a) det(b) det(a) 5 det(b) 7 = ( ) n det(t t ) = det(t ) det(a) 7 det(b) = ( ) n det(a) 7 det(b) det(a) 7 και det(b) det(a) και det(b) A αντιστρέψιµος και B αντιστρέψιµος T αντιστρέψιµος det(t ) ος τρόπος : Αν ο T είναι ένας m m πίνακας, τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναµα : () Ο T είναι αντιστρέψιµος () Υπάρχει ένας m m πίνακας S τέτοιος ώστε T S = I m () Υπάρχει ένας m m πίνακας R τέτοιος ώστε RT = I m Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων πινάκων, παίρνουµε ότι (A t ) B A 5 (B t ) 7 = I n ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( I n) ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( ( ) ) I n λ(µt ) = (λµ)t ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = I n 9

20 ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = I n T = T ((At ) (B A 5 (B t ) 7 )) = I n προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων (A t ) ( ) (B A 5 (B t ) 7 ) = I n λ(t S) = T (λs) ( (A t A t ) ) (B A 5 (B t ) 7 ) = I n T = T T ( A t A ( t )) (B A 5 (B t ) 7 ) = I n προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων Εφόσον ( A t A ( t )) (B A 5 (B t ) 7 ) = I n, από την ισοδυναµία των () και () στην πρώτη παράγραφο (για T = A t και S = A ( t ) (B A 5 (B t ) 7 ) ) παίρνουµε ότι ο A t είναι αντιστρέψιµος Εφόσον ο A t είναι αντιστρέψιµος, από τις ιδιότητες των αντιστρέψιµων πινάκων, παίρνουµε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων πινάκων, παίρνουµε ότι (A t ) B A 5 (B t ) 7 = I n ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( I n) ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( ) ( ) I n λ(µt ) = (λµ)t ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = I n ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = I n T = T (((At ) B A 5 )(B t ) 7 προσεταιριστική ιδιότητα του ) = I n πολλαπλασιασµού πινάκων ( ) ((At ) B A 5 ) (B t ) 7 = I n λ(t S) = (λt )S ( ) ((At ) B A 5 ) ((B t ) 6 B t T ) = I k+l = T k T l, για όλους τους n k, l στο N (( ) ) ((At ) B A 5 ) (B t ) 6 B t = I n προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων

21 Εφόσον (( ) ) ((At ) B A 5 ) (B t ) 6 B t = I n, ( από την ισοδυναµία των () και () (για T = B t και R = ) ((At ) B A 5 ) (B t ) 6 ) στην πρώτη παράγραφο παίρνουµε ότι ο B t είναι αντιστρέψιµος Εφόσον ο B t είναι αντιστρέψιµος, από τις ιδιότητες των αντιστρέψιµων πινάκων, παίρνουµε ότι ο B είναι αντιστρέψιµος Σηµείωση : Θα µπορούσαµε, µε την ίδια λογική, στη δεύτερη, την τρίτη, την τέταρτη και την πέµπτη παράγραφο παραπάνω να πάρουµε το ίδιο αποτέλεσµα και µε άλλους τρόπους Για παράδειγµα στη δεύτερη και την τρίτη παράγραφο ϑα µπορούσαµε να δουλέψουµε ως εξής : Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων πινάκων, παίρνουµε ότι (A t ) B A 5 (B t ) 7 = I n ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( I n) ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( ( ) ) I n λ(µt ) = (λµ)t ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = I n ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = I n T = T (At A t B A 5 (B t ) 7 ) = I n T = T T (At (A t B A 5 (B t ) 7 )) = I n προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων A ( t ) (At B A 5 (B t ) 7 ) = I n λ(t S) = T (λs) Εφόσον A ( t ) (At B A 5 (B t ) 7 ) = I n, από την ισοδυναµία των () και () στην πρώτη παράγραφο (για T = A t και S = (At B A 5 (B t ) 7 )) παίρνουµε ότι ο A t είναι αντιστρέψιµος Εφόσον ο A t είναι αντιστρέψιµος, από τις ιδιότητες των αντιστρέψιµων πινάκων, παίρνουµε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος

22 4 Να ϐρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σηµεία P (,, ), Q(,, ) και R(,, ) ος τρόπος : Εστω ότι το E είναι το επίπεδο που διέρχεται από τα σηµεία P (,, ), Q(,, ) και R(,, ) και ότι η ax + by + cz + d = (4) είναι µία εξίσωση του E (κάθε επίπεδο έχει µία εξίσωση αυτής της µορφής) Εφόσον τα σηµεία P (,, ), Q(,, ) και R(,, ) ϐρίσκονται στο επίπεδο E, οι συντεταγµένες τους πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση (4) Εφόσον οι συντεταγ- µένες του P (,, ) ικανοποιούν την εξίσωση (4), ϑα ισχύει ότι ή a + b + c + d = a + b + d = Εφόσον οι συντεταγµένες του Q(,, ) ικανοποιούν την εξίσωση (4), ϑα ισχύει ότι ή a + b + c + d = a + c + d = Εφόσον οι συντεταγµένες του R(,, ) ικανοποιούν την εξίσωση (4), ϑα ισχύει ότι ή a + b + c + d = a + b + c + d = Εποµένως τα a, b, c, d ικανοποιούν τις εξισώσεις a + b + d = a + c + d = a + b + c + d = (5) Λύνουµε το οµογενές σύστηµα (5) Ο πίνακας συντελεστών του είναι ο Με απαλοιφή Gauss-Jordan ϐρίσκουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του : προσθέτουµε ϕορά την η γραµµή στη η και ϕορά την η γραµµή στην η

23 πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή µε προσθέτουµε ϕορά την η γραµµή στη η προσθέτουµε ϕορά τη η γραµµή στην η Το αντίστοιχο οµογενές σύστηµα είναι το a + d = b = c = Λύνουµε ώς προς τις ϐασικές µεταβλητές a, b και c και παίρνουµε a = d b = c = ίνοντας την αυθαίρετη τιµή t στην ελεύθερη µεταβλητή d, παίρνουµε ότι η λύση του συστήµατος (5) είναι Για t =, παίρνουµε a = t, b =, c =, d = t, t στο R a =, b =, c =, d = Άρα µία εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σηµεία P (,, ), Q(,, ) και R(,, ) είναι η ( )x + y + z + = ή x + = Σηµείωση : () Στην τελευταία παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε αντί για t = να πάρουµε οποιοδήποτε άλλο t Η εξίσωση του επίπέδου E που παίρνουµε για αυτό το t είναι ( t)x + y + z + t = ή tx + t =

24 Προφανώς, για κάθε t, έχουµε ότι tx + t = t( x + ) = x + = () Στη δεύτερη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε να δουλέψουµε και ως εξής : Λύνουµε το οµογενές σύστηµα (5) Ο πίνακας συντελεστών του είναι ο Με απαλοιφή Gauss ϐρίσκουµε την κλιµακωτή µορφή του προσθέτουµε ϕορά την η γραµµή στη η και ϕορά την η γραµµή στην η πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή µε Το αντίστοιχο οµογενές σύστηµα είναι το a + b + d = b c = c = Λύνουµε ώς προς τις ϐασικές µεταβλητές a, b και c και παίρνουµε a = d b b = c c = Αντικαθιστώντας την η εξίσωση στη η, παίρνουµε a = d b b = c = Αντικαθιστώντας τη η εξίσωση στην η, παίρνουµε a = d b = c = 4

25 ίνοντας την αυθαίρετη τιµή t στην ελεύθερη µεταβλητή d, παίρνουµε ότι η λύση του συστήµατος (5) είναι a = t, b =, c =, d = t, t στο R ος τρόπος : Εστω ότι το E είναι το επίπεδο που διέρχεται από τα σηµεία P (,, ), Q(,, ) και R(,, ) Εφόσον τα σηµεία P (,, ), Q(,, ) και R(,, ) ανήκουν στο E, τα διανύσµατα P Q και P R είναι παράλληλα στο E Εποµένως το εξωτερικό τους γινόµενο P Q P R είναι κάθετο στο E, εφόσον είναι κάθετο στο P Q και στο P R Εχουµε ότι και P Q = (,, ) = (,, ) P R = (,, ) = (,, ) Από τον ορισµό του εξωτερικού γινοµένου διανυσµάτων του -διάστατου χώρου και τον ορισµό της ορίζουσας πίνακα παίρνουµε ότι P Q P R = (,, ) (,, ) ( ) =,, = (( ), ( ), ( ) ) = (,, ) = (,, ) Άρα το επίπεδο E διέρχεται από το σηµείο P (,, ) και είναι κάθετο στο διάνυσµα P Q P R = (,, ) Εποµένως η εξίσωση σηµείου-καθέτου του είναι Προφανώς ( )(x ) + (y ) + (z ) = ( )(x ) + (y ) + (z ) = x + = Σηµείωση : () Στη δεύτερη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε να υπολογίσουµε το εξωτερικό γινόµενο P Q P R και ως εξής : Από τη συµβολική έκφραση του εξωτερικού γινοµένου διανυσµάτων ως ορίζουσα πίνακα, όσα γνωρίζου- µε για τον υπολογισµό οριζουσών µέσω αναπτυγµάτων συµπαραγόντων και τον ορισµό της ορίζουσας πίνακα παίρνουµε ότι P Q P R = (,, ) (,, ) 5

26 i j k = = i j + k = (( ) )i ( )j + ( ( ) )k = ( )i j + k = ( )(,, ) = (,, ) () Στην τρίτη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε επίσης να ϑεωρήσουµε ότι το E διέρχεται από το σηµείο Q ή R και είναι κάθετο στο διάνυσµα P Q P R Για παράδειγµα : Το επίπεδο E διέρχεται από το σηµείο R(,, ) και είναι κάθετο στο διάνυσµα P Q P R = (,, ) Εποµένως η εξίσωση σηµείου-καθέτου του είναι ( )(x ) + (y ) + (z ) = Προφανώς ( )(x ) + (y ) + (z ) = x + = () Στη δεύτερη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε επίσης να ϑεωρήσουµε ότι ένα από τα παρακάτω εξωτερικά γινόµενα είναι κάθετο στο E: QP P R, P Q RP, QP RP, P R P Q, P R QP, RP P Q, RP QP, QP QR, P Q QR, QP RQ, P Q RQ, QR QP, QR P Q, RQ QP, RQ P Q, RP RQ, P R RQ, RP QR, P R QR, RQ RP, RQ P R, QR RP, QR P R Στην τρίτη παράγραφο ϑα συνεχίζαµε ϑεωρώντας ότι το E διέρχεται από ένα από τα σηµεία P, Q ή R και είναι κάθετο σε ένα από τα παραπάνω διανύσµατα Για παράδειγµα : Εφόσον τα σηµεία P (,, ), Q(,, ) και R(,, ) ανήκουν στο E, τα διανύσµατα QR και P Q είναι παράλληλα στο E Εποµένως το εξωτερικό τους γινόµενο QR P Q είναι κάθετο στο E, εφόσον είναι κάθετο στο QR και στο P Q Εχουµε ότι QR = (,, ) = (,, ) και P Q = (,, ) = (,, ) Από τον ορισµό του εξωτερικού γινοµένου διανυσµάτων του -διάστατου χώρου και τον ορισµό της ορίζουσας πίνακα παίρνουµε ότι QR P Q = (,, ) (,, ) 6

27 ( ) =,, = ( ( ), ( ), ( ) ) = (,, ) = (,, ) (ϑα µπορούσαµε να υπολογίσουµε το QR P Q και όπως στο () παραπάνω) Άρα το επίπεδο E διέρχεται από το σηµείο Q(,, ) και είναι κάθετο στο διάνυσµα QR P Q = (,, ) Εποµένως η εξίσωση σηµείου-καθέτου του είναι Προφανώς (x ) + (y ) + (z ) = (x ) + (y ) + (z ) = x = x + = 7

28 5 Εξετάστε αν τα επίπεδα µε εξισώσεις x + y z + = και x + y + 8z 7 = είναι καθετα Αν το επίπεδο E είναι κάθετο στο διάνυσµα n και το επίπεδο E είναι κάθετο στο διάνυσµα n, τότε τα E και E είναι κάθετα αν και µόνο αν τα n και n είναι κάθετα Το επίπεδο µε εξίσωση ax + by + cz + d = είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (a, b, c) Εποµένως το επίπεδο µε εξίσωση x + y z + = είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (,, ) και το επίπεδο µε εξίσωση x + y + 8z 7 = είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (,, 8) Εφόσον n n = (,, ) (,, 8) = + + ( ) 8 =, τα n και n είναι κάθετα Συνδυάζοντας όσα είπαµε, παίρνουµε ότι τα επίπεδα µε εξισώσεις x + y z + = και x + y + 8z 7 = είναι καθετα 8

29 6 Εξετάστε αν το σύνολο των πινάκων της µορφής [ ] a b, b a όπου οι a και b είναι τυχαίοι πραγµατικοί αριθµοί, είναι υπόχωρος του χώρου των πινάκων M Εστω W το σύνολο των πινάκων της µορφής [ ] a b, b a µε a και b τυχαίους πραγµατικούς αριθµούς Για να δείξουµε ότι το W είναι υπόχωρος του χώρου των πινάκων M, αρκεί να δείξουµε ότι το W είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό Εστω [ [ ] A = x y y x ], A = x y y x δύο στοιχεία του W Από τον ορισµό της πρόσθεσης πινάκων παίρνουµε ότι [ ] [ ] x A + A = y x + y y x y x [ ] x = + x y + y ( y ) + ( y ) x + x [ ] x = + x (y + y ) (y + y ) (x + x ) Ο πίνακας [ είναι της µορφής [ x + x (y + y ) (y + y ) (x + x ) a b ] b a (µε a = x + x και b = y + y ) Άρα ο πίνακας A + A είναι στοιχείο του W Εποµένως το W είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση Εστω [ ] x y A = y x ένα στοιχείο του W και λ ένα ϐαθµωτό Από τον ορισµό του πολλαπλασιασµού ϐαθµωτού µε πίνακα παίρνουµε ότι [ ] x y λa = λ y x 9 ]

30 [ = [ = λx λ( y) λx (λy) λ(y) λ(x) (λy) (λx) ] ] Ο πίνακας [ λx (λy) (λy) (λx) ] είναι της µορφής [ a b ] b a (µε a = λx και b = λy) Εποµένως ο πίνακας λa είναι στοιχείο του W Άρα το W είναι κλειστό ως προς τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό Εφόσον το W είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό, το W είναι υπόχωρος του χώρου των πινάκων M

31 7 Να ϐρεθεί µία ϐάση του επιπέδου W του R µε εξίσωση x + y z = Εφόσον + =, το επίπεδο W διέρχεται από την αρχή των αξόνων και άρα είναι υπόχωρος του R Προφανώς x + y z = z = x + y Εποµένως το επίπεδο W αποτελείται από όλα τα διανύσµατα w στον R της µορ- ϕής t w = s, t, s στο R Εφόσον, για όλα τα t, s στο R, t s t + s = = t t t + + s κάθε διάνυσµα του W γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων, s s, και άρα τα διανύσµατα παράγουν το W Τα,,

32 είναι γραµµικά ανεξάρτητα, εφόσον κανένα δεν είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του άλλου (γιατί = λ = λ λ = και = λ = ) = λ λ Εφόσον, από όσα είπαµε, το σύνολο S =, παράγει το W και είναι γραµµικά ανεξάρτητο, το S είναι µία ϐάση για το W Σηµείωση : Προφανώς υπάρχουν και άπειρες άλλες ϐάσεις του W Για παράδειγ- µα : () Οπως είπαµε στη δεύτερη παράγραφο παραπάνω, το επίπεδο W αποτελείται από όλα τα διανύσµατα w στον R της µορφής w = t s, t, s στο R Εφόσον, για όλα τα t, s στο R, t s t + s = = t t ( ) t + s s + ( 9 ) s κάθε διάνυσµα του W γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων, 9 9,

33 και άρα τα διανύσµατα παράγουν το W Τα,, είναι γραµµικά ανεξάρτητα, εφόσον κανένα δεν είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του άλλου (γιατί = λ 9 = 9λ λ 9 9 = και 9 = λ 9 = λ λ Εφόσον, από όσα είπαµε, το σύνολο S =, 9 = ) 9 παράγει το W και είναι γραµµικά ανεξάρτητο, το S είναι µία ϐάση για το W () Προφανώς x + y z = y = x + z Εποµένως το επίπεδο W αποτελείται από όλα τα διανύσµατα w στον R της µορ- ϕής t w = t + s, t, s στο R s Εφόσον, για όλα τα t, s στο R, t t + s = s t t + s s

34 = t + s κάθε διάνυσµα του W γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων, και άρα τα διανύσµατα παράγουν το W Τα,, είναι γραµµικά ανεξάρτητα, εφόσον κανένα δεν είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του άλλου (γιατί = λ = =, λ λ και = λ = λ λ = ) Εφόσον, από όσα είπαµε, το σύνολο S =, παράγει το W και είναι γραµµικά ανεξάρτητο, το S είναι µία ϐάση για το W 4

35 8 Εστω A ένας αντιστρέψιµος πίνακας Άν η λ είναι µία ιδιοτιµή του A και το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A που αντιστοιχεί στην λ, αποδείξτε ότι : (α) λ (ϐ) Η λ είναι µία ιδιοτιµή του A και το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A που αντιστοιχεί στην λ (α) ος τρόπος : Εφόσον η λ είναι µία ιδιοτιµή του A, υπάρχει ένα µη µηδενικό διάνυσµα y του R n τέτοιο ώστε Ay = λy Εστω ότι λ = Τότε, από τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων στον R n, παίρνουµε ότι λy = y = Άρα υπάρχει ένα µη µηδενικό διάνυσµα y του R n τέτοιο ώστε Εποµένως το οµογενές σύστηµα Ay = Az = έχει µη τετριµµένες λύσεις και άρα ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος Αυτό µας οδηγεί σε άτοπο, εφόσον ο A είναι αντιστρέψιµος Άρα λ ος τρόπος : Εστω ότι ο A είναι n n Εφόσον η λ είναι µία ιδιοτιµή του A, det(λi n A) = Εστω ότι λ = Τότε, από τις ιδιότητες των πράξεων πινάκων, παίρνουµε ότι και άρα λi n A = I n A = n n A = A det( A) = Από τις ιδιότητες των πράξεων πινάκων και των οριζουσών παίρνουµε ότι, εφόσον ο A είναι ένας n n πίνακας, det( A) = det(( )A) = ( ) n det(a) Εποµένως det( A) = ( ) n det(a) = det(a) = 5

36 Άρα det(a) = και εποµένως ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος Αυτό µας οδηγεί σε άτοπο, εφόσον ο A είναι αντιστρέψιµος Άρα λ (ϐ) Εστω ότι ο A είναι n n Εφόσον η λ είναι µία ιδιοτιµή του A και το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A που αντιστοιχεί στην λ, Ax = λx Από τις ιδιότητες των πράξεων πινάκων παίρνουµε ότι, εφόσον ο A είναι αντιστρέψιµος και, από την (α), λ, Ax = λx A (Ax) = A (λx) (A A)x = A (λx) I n x = A (λx) x = A (λx) προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων αν ο T είναι αντιστρέψι- µος m m πίνακας, τότε T T = I m αν ο T είναι m k πίνακας, τότε I m T = T x = λ(a x) T (µs) = µ(t S) λ x = λ (λ(a x)) λ x = ( λ λ ) (A x) κ(µt ) = (κµ)t λ x = (A x) λ x = A x T = T Εφόσον το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A, x 6

37 Άρα το x είναι ένα µη µηδενικό διάνυσµα του R n τέτοιο ώστε A x = λ x Εποµένως η λ είναι µία ιδιοτιµή του A και το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A που αντιστοιχεί στην λ 7

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Θέμα. (μονάδες.0) Οι ορίζουσες των πινάκων ABC,, βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ.

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 11/5/2012 Σηµαντικό χαρακτηριστικό µέγεθος (ϐαθµωτός) για κάθε τετραγωνικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ (Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Νοεµβρίου 4. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: εκεµβρίου 4)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) Χειμερινό Εξάμηνο 009-010 Διδάσκων: Ι. Τσαγράκης 6 Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Δείξτε ότι η απεικόνιση τον ker f. Είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ.

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης ΕΚΠΑ 3 Μαρτίου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.8

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.8 Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 9, υ..8 Περιεχόµενα Εισαγωγη Πινακες. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα............................. 7. Αλυτα Προβληµατα..............................

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. 1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n 3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια Ι.. (Σωστό-Λάθος) με επαρκή αιτιολόγηση α) Για κάθε μητρώο A μεγέθους x μπορείτε να βρείτε ένα αντιστρέψιμο μητρώο X τέτοιο ώστε ΑΧ ΧK, όπου το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2 http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά μαθηματικά εργαλεία

Βασικά μαθηματικά εργαλεία Παράρτημα Αʹ Βασικά μαθηματικά εργαλεία Σύνοψη Παρατίθενται μια επανάληψη σε βασικές γνώσεις που αφορούν βασικά μαθηματικά εργαλεία, για την αντιμετώπιση προβλημάτων που παρουσιάζονται στο σύγγραμμα, και

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ 1 3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σχετική θέση ευθείας και κωνικής τοµής Έστω η ευθεία ε : y = λx + β και µία κωνική τοµή C µε εξίσωση την φ(x, y) =. Το πλήθος των κοινών σηµείων της ε και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Πίνακες. 2.1 Πράξεις Πινάκων A = [ 1 1 1

Κεφάλαιο 2. Πίνακες. 2.1 Πράξεις Πινάκων A = [ 1 1 1 Κεφάλαιο 2 Πίνακες Η χρήση των πινάκων αποτελεί ουσιαστικό εργαλείο της Γραµµικής Άλγεβρας µε ποικίλες εφαρµογές Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε τους πίνακες ως αυτοτελή αντικείµενα και ϑα αναπτύξουµε

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11 Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = 2 338 ( 3y) y= 2 3 38 9y y =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών «Γραµµική Άλγεβρα Ι» (ΕΜ111) Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007, ιδάσκων: Ι. Τσαγράκης 5 Ο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jodan Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα