5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα"

Transcript

1 Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει καµία σχέση ανάµεσα στο διάνυσµα x και στο διάνυσµα Ax Αν όµως το x είναι ένα µη µηδενικό διάνυσµα τέτοιο ώστε το Ax να είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του x, τότε υπάρχει µία γεωµετρική σχέση ανάµεσα στα x και Ax Για παράδειγµα, αν ο A είναι ένας 2 2 πίνακας και το x είναι ένα µη µηδενικό διάνυσµα στον R 2 τέτοιο ώστε το Ax να είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του x, τότε για κάθε διάνυσµα y που ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων την οποία ορίζει το x, το Ay ανήκει στην ευθεία αυτή Ορισµός Αν ο A είναι ένας n n πίνακας, τότε ένα µη µηδενικό διάνυσµα x στον R n ονοµάζεται ιδιοδιάνυσµα του A αν το Ax είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του x, δηλαδή αν Ax = λx για κάποιο ϐαθµωτό λ Το ϐαθµωτό λ ονοµάζεται ιδιοτιµή του A και λέµε ότι το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A που αντιστοιχεί στην λ Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράδειγµα Το διάνυσµα x = [ 2 A = είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του [ 3 8 το οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = 3, εφόσον Ax = [ 3 8 [ 2 [ 3 = 6 = 3x 367

2 368 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Για να ϐρούµε τις ιδιοτιµές του n n πίνακα A ξαναγράφουµε την Ax = λx στη µορφή Ax = λix ή ισοδύναµα (λi A)x = () Για να είναι το λ µία ιδιοτιµή του A, πρέπει να υπάρχει µια µη τετριµµένη λύση αυτού του οµογενούς συστήµατος Γνωρίζουµε ότι το οµογενές σύστηµα () έχει µη τετριµµένες λύσεις αν και µόνο αν de(λi A) = ΧΑΡΑΚΤΗ- ΡΙΣΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗ- ΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ Η εξίσωση de(λi A) = ονοµάζεται χαρακτηριστική εξίσωση του A Τα ϐαθµωτά τα οποία ικανοποιούν αυτή την εξίσωση είναι οι ιδιοτιµές του A Αν την αναπτύξουµε η de(λi A) είναι ένα πολυώνυµο του λ το οποίο ονοµάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A Μπορούµε να δείξουµε ότι αν ο A είναι ένας n n πίνακας, τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A είναι ϐαθµού n µε πραγµατικούς συντελεστές και ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου λ n είναι Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυµο ενός n n πίνακα έχει τη µορφή p(λ) = λ n + α n λ n + + α λ + α, µε α, α,, α n πραγµατικούς αριθµούς Από το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας η χαρακτηριστική εξίσωση λ n + α n λ n + + α λ + α = έχει n ϱίζες Άρα ένας n n πίνακας έχει n ιδιοτιµές Προσέξτε ότι κάποιες από αυτές τις ιδιοτιµές µπορεί να είναι µιγαδικές καθώς και ότι κάποιες µπορεί να είναι πολλαπλές Εφόσον οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύµου είναι πραγµατικοί αριθµοί, αν ο πίνακας A έχει µιγαδικές ιδιοτιµές (δηλαδή αν η χαρακτηριστική εξίσωση του A έχει µιγαδικές ϱίζες), τότε αυτές ϑα εµφανίζονται σε συζυγή Ϲεύγη, δηλαδή αν η α + i β είναι ιδιοτιµή του A, τότε και η α i β είναι ιδιοτιµή του A

3 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 369 Παράδειγµα 2 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του πίνακα [ A = 3 2 Λύση Εφόσον [ λi A = λ [ 3 2 = [ λ 3 2 λ, το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A είναι de(λi A) = de [ λ 3 2 λ = λ 2 3λ + 2 και η χαρακτηριστική εξίσωση του A είναι λ 2 3λ + 2 = Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι λ =, λ 2 = 2 Άρα οι ιδιοτιµές του A είναι οι λ =, λ 2 = 2 Παράδειγµα 3 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του πίνακα A = [ Λύση Εφόσον [ λi A = λ [ = [ λ λ 2, το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A είναι de(λi A) = de [ λ λ 2 = λ 2 + και η χαρακτηριστική εξίσωση του A είναι λ 2 + = Εφόσον οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι οι ϕανταστικοί αριθµοί λ = i, λ 2 = i, οι ιδιοτιµές του A είναι οι λ = i, λ 2 = i Παράδειγµα 4 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του πίνακα A = 4 7 8

4 37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Λύση Εφόσον λi A = λ το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A είναι de(λi A) = de λ λ 4 7 λ 8 και η χαρακτηριστική εξίσωση του A είναι = λ λ 4 7 λ 8 = λ 3 8λ 2 + 7λ 4, λ 3 8λ 2 + 7λ 4 = (2) Για να λύσουµε αυτή την τριτοβάθµια εξίσωση ϑα ξεκινήσουµε ψάχνοντας για ακέραιες λύσεις Ολες οι ακέραιες λύσεις της (2) (αν υπάρχουν) είναι διαιρέτες του σταθερού όρου, δηλαδή του 4 Άρα οι µόνες πιθανές ακέραιες λύσεις της (2) είναι οι ±, ±2, ±4 Αν αντικαταστήσουµε διαδοχικά αυτές τις τιµές στη (2), παίρνουµε ότι η λ = 4 είναι µία ακέραια λύση Αν διαιρέσουµε το λ 3 8λ 2 + 7λ 4 µε το λ 4 παίρνουµε λ 3 8λ 2 + 7λ 4 = (λ 4)(λ 2 4λ + ) Εποµένως η (2) ξαναγράφεται στη µορφή (λ 4)(λ 2 4λ + ) = Άρα οι υπόλοιπες λύσεις της (2) ικανοποιούν τη δευτεροβάθµια εξίσωση λ 2 4λ + = Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι λ = 2 ± 3 Εποµένως οι ιδιοτιµές του A είναι οι λ = 4, λ 2 = 2 + 3, λ 3 = 2 3 Παράδειγµα 5 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του πίνακα A = Λύση Εφόσον λi A = λ = λ 2 λ 2 λ 3,

5 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 37 το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A είναι λ 2 de(λi A) = de λ 2 = λ 3 5λ 2 + 8λ 4 λ 3 και η χαρακτηριστική εξίσωση του A είναι λ 3 5λ 2 + 8λ 4 = (3) Για να λύσουµε αυτή την τριτοβάθµια εξίσωση ϑα ξεκινήσουµε ψάχνοντας για ακέραιες λύσεις Ολες οι ακέραιες λύσεις της (3) (αν υπάρχουν) είναι διαιρέτες του σταθερού όρου, δηλαδή του 4 Άρα οι µόνες πιθανές ακέραιες λύσεις της (3) είναι οι ±, ±2, ±4 Αν αντικαταστήσουµε διαδοχικά αυτές τις τιµές στην (3), παίρνουµε ότι η λ = είναι µία ακέραια λύση Αν διαιρέσουµε το λ 3 5λ 2 + 8λ 4 µε το λ παίρνουµε λ 3 5λ 2 + 8λ 4 = (λ )(λ 2 4λ + 4) Εποµένως η (3) ξαναγράφεται στη µορφή (λ )(λ 2 4λ + 4) = Άρα οι υπόλοιπες λύσεις της (3) ικανοποιούν τη δευτεροβάθµια εξίσωση λ 2 4λ + 4 = Η εξίσωση αυτή έχει µία διπλή ϱίζα την λ = 2 Εποµένως οι ιδιοτιµές του A είναι οι λ =, λ 2,3 = 2 Παράδειγµα 6 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του άνω τριγωνικού πίνακα a a 2 a 3 a 4 A = a 22 a 23 a 24 a 33 a 34 a 44 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ Λύση Εφόσον η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα είναι ίση µε το γινόµενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου, παίρνουµε ότι de(λi A) = de Άρα η χαρακτηριστική εξίσωση του A είναι λ a a 2 a 3 a 4 λ a 22 a 23 a 24 λ a 33 a 34 λ a 44 = (λ a )(λ a 22 )(λ a 33 )(λ a 44 ) (λ a )(λ a 22 )(λ a 33 )(λ a 44 ) =

6 372 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ και εποµένως οι ιδιοτιµές του A είναι λ = a, λ 2 = a 22, λ 3 = a 33, λ 4 = a 44 που είναι ακριβώς τα στοιχεία της διαγωνίου του A Το επόµενο ϑεώρηµα γενικεύει το αποτέλεσµα του παραπάνω παραδείγµατος Θεώρηµα 5 Αν ο A είναι ένας τριγωνικός πίνακας, τότε οι ιδιοτιµές του A είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του A Παράδειγµα 7 Χωρίς να κάνουµε υπολογισµούς παίρνουµε ότι οι ιδιοτιµές του κάτω τριγωνικού πίνακα A = είναι οι λ = 2, λ 2 = 2 3, λ 3 = 4 Τώρα που γνωρίζουµε πώς να ϐρίσκουµε ιδιοτιµές περνάµε στο πρόβληµα του πώς ϐρίσκουµε τα ιδιοδιανύσµατα Τα ιδιοδιανύσµατα του A τα οποία αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ είναι τα µη µηδενικά διανύσµατα x τα οποία ικανοποιούν την εξίσωση Ax = λx ή ισοδύναµα τα µη µηδενικά διανύσµατα x στο χώρο των λύσεων του οµογενούς συστήµατος (λi A)x = Ονοµάζουµε το χώρο των λύσεων του (λi A)x = ιδιόχωρο του A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ Παράδειγµα 8 Να ϐρεθούν ϐάσεις για τους ιδιόχωρους του A = Λύση Οπως είδαµε στο Παράδειγµα 5 οι ιδιοτιµές του A είναι λ =, λ 2,3 = 2 και άρα υπάρχουν δύο ιδιόχωροι του A

7 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 373 Από όσα είπαµε παραπάνω το x = x x 2 x 3 είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A το οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ αν και µόνο αν το x είναι µία µη τετριµµένη λύση του συστήµατος (λi A)x = ή λ 2 λ 2 λ 3 Για λ = το (4) γίνεται 2 2 x x 2 x 3 x x 2 x 3 = = (4) Η λύση του συστήµατος αυτού είναι x = 2s, x 2 = s, x 3 = s, s στο R Άρα τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ = είναι τα µη µηδενικά διανύσµατα της µορφής 2s s s, s στο R, και ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ = αποτελείται από όλα τα διανύσµατα της µορφής Εφόσον, για s στο R, το διάνυσµα 2s s s 2s s s, s στο R = s 2 2 παράγει τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ = Εφόσον το διάνυσµα 2 είναι µη µηδενικό, είναι γραµµικά ανεξάρτητο και άρα µία ϐάση για τον ιδιόχωρο που αντιστοιχεί στην λ = αποτελείται από αυτό το διάνυσµα,

8 374 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Για λ = 2 το (4) γίνεται 2 2 Η λύση του συστήµατος αυτού είναι x x 2 x 3 = x = s, x 2 =, x 3 = s,, s στο R Άρα τα ιδιοδιανύσµατα του A τα οποία αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ 2,3 = 2 είναι τα µη µηδενικά διανύσµατα της µορφής s s,, s στο R, και ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ 2,3 = 2 αποτελείται από όλα τα διανύσµατα της µορφής s s,, s στο R Εφόσον, για, s στο R, s s = s s + = s +, τα διανύσµατα, παράγουν τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ 2,3 = 2 Εφόσον τα διανύσµατα, είναι γραµµικά ανεξάρτητα (γιατί κανένα από τα δύο δεν είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του άλλου), σχηµατίζουν µία ϐάση για τον ιδιόχωρο που αντιστοιχεί στην λ 2,3 = 2 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Αν έχουµε ϐρει τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα ενός πίνακα A, τότε είναι εύκολο να ϐρούµε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα οποιασδήποτε δύναµης του A µε εκθέτη κάποιον ϑετικό ακέραιο Για παράδειγµα αν η λ είναι µία ιδιοτιµή του A και το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί σ αυτή, τότε A 2 x = A(Ax) = A(λx) = λ(ax) = λ(λx) = λ 2 x Αυτό µας λέει ότι λ 2 είναι µία ιδιοτιµή του A 2 µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα x Γενικότερα έχουµε το παρακάτω αποτέλεσµα

9 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 375 Θεώρηµα 52 Αν ο k είναι ένας ϑετικός ακέραιος, η λ είναι µία ιδιοτιµή του A και το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί σε αυτή, τότε η λ k είναι µία ιδιοτιµή του A k και το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί σε αυτή Παράδειγµα 9 Στο Παράδειγµα 5 δείξαµε ότι οι ιδιοτιµές του A = είναι οι λ =, λ 2,3 = 2 Εποµένως από το Θεώρηµα 52 οι ιδιοτιµές του A 7 είναι οι λ = 7 =, λ 2,3 = 2 7 = 28 Στο Παράδειγµα 8 δείξαµε ότι το 2 είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A που αντιστοιχεί στην λ = και τα, είναι ιδιοδιανύσµατα του A που αντιστοιχούν στην λ 2,3 = 2 Άρα από το Θεώρηµα 52 το 2 είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A 7 που αντιστοιχεί στην λ = και τα, είναι ιδιοδιανύσµατα του A 7 που αντιστοιχούν στην λ 2,3 = 28

10 376 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 52 ιαγωνοποίηση Στην ενότητα αυτή ϑα ασχοληθούµε µε το πρόβληµα της εύρεσης µίας ϐάσης του R n η οποία να αποτελείται απο ιδιοδιανύσµατα ενός n n πίνακα A Τέτοιες ϐάσεις µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να µελετήσουµε γεωµετρικές ιδιότητες του A και για να απλοποιήσουµε υπολογισµούς που περιέχουν τον A ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΙΑΓΩΝΟ- ΠΟΙΗΣΗΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Ο πρώτος µας σκοπός σε αυτή την ενότητα είναι να αποδείξουµε ότι τα δύο παρα- κάτω προβλήµατα, τα οποία αρχικά ϕαίνονται τελείως διαφορετικά, είναι στην πραγ- µατικότητα ισοδύναµα Το Πρόβληµα των Ιδιοδιανυσµάτων Αν ο A είναι ένας n n πίνακας, υπάρχει µία ϐάση του R n η οποία να αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα του A; Το Πρόβληµα της ιαγωνοποίησης Αν ο A είναι ένας n n πίνακας, υπάρχει ένας αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος ώστε ο P AP να είναι διαγώνιος ; Το δεύτερο πρόβληµα µας οδηγεί στην εισαγωγή της ακόλουθης ορολογίας Ορισµός Ενας τετραγωνικός πίνακας A ϑα ονοµάζεται διαγωνοποιήσιµος αν υπάρχει ένας αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος ώστε ο P AP να είναι διαγώνιος Θα λέµε ότι ο πίνακας P διαγωνοποιεί τον A Στο επόµενο ϑεώρηµα ϑα αποδείξουµε ότι το πρόβληµα των ιδιοδιανυσµάτων και το πρόβληµα της διαγωνοποίησης είναι ισοδύναµα Θεώρηµα 52 Αν ο A είναι ένας n n πίνακας, τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναµα : (α) Ο A είναι διαγωνοποιήσιµος (ϐ) Ο A έχει n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα Απόδειξη (α) (ϐ): Εφόσον έχουµε υποθέσει ότι ο A είναι διαγωνοποιήσιµος, υπάρχει ένας αντιστρέψιµος πίνακας P = p p 2 p n p 2 p 22 p 2n p n p n2 p nn τέτοιος ώστε ο P AP να είναι διαγώνιος Εστω P AP = D, όπου λ λ 2 D = λ n

11 52 ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ 377 Εφόσον ισχύει P AP = D, ϑα ισχύει και AP = P D, δηλαδή AP = p p 2 p n p 2 p 22 p 2n λ λ 2 = p n p n2 p nn λ n λ p λ 2 p 2 λ n p n λ p 2 λ 2 p 22 λ n p 2n () λ p n λ 2 p n2 λ n p nn Αν ονοµάσουµε p, p 2,, p n τα διανύσµατα στήλες του P, τότε από την () οι στήλες του AP είναι λ p, λ 2 p 2,, λ n p n Οµως από το Παράδειγµα 9 της Ενότητας 4 οι στήλες του AP είναι ίσες µε Ap, Ap 2,, Ap n Εποµένως πρέπει να έχουµε Ap = λ p, Ap 2 = λ 2 p 2,, Ap n = λ n p n (2) Εφόσον ο P είναι αντιστρέψιµος, τα διανύσµατα στήλες του είναι όλα µη µηδενικά Εποµένως παίρνουµε από την (2) ότι οι λ, λ 2,, λ n είναι ιδιοτιµές του A και τα p, p 2,, p n είναι αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα Εφόσον ο P είναι αντιστρέψιµος, τα p, p 2,, p n είναι γραµµικά ανεξάρτητα Εποµένως ο A έχει n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα (ϐ) (α): Ας υποθέσουµε ότι ο A έχει n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα p, p 2,, p n, µε αντίστοιχες ιδιοτιµές λ, λ 2,, λ n και έστω P = p p 2 p n p 2 p 22 p 2n p n p n2 p nn ο πίνακας του οποίου τα διανύσµατα στήλες είναι τα p, p 2,, p n Από το Παράδειγµα 9 της Ενότητας 4 οι στήλες του γινοµένου AP είναι Ap, Ap 2,, Ap n Οµως Ap = λ p, Ap 2 = λ 2 p 2,, Ap n = λ n p n

12 378 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ και άρα AP = [ Ap Ap 2 Ap n = [ λ p λ 2 p 2 λ n p n = = λ p λ 2 p 2 λ n p n λ p 2 λ 2 p 22 λ n p 2n λ p n λ 2 p n2 λ n p nn p p 2 p n λ p 2 p 22 p 2n λ 2 (3) = P D p n p n2 p nn λ n όπου ο D είναι ο διαγώνιος πίνακας ο οποίος έχει τις ιδιοτιµές λ, λ 2,, λ n στην κύρια διαγώνιο Εφόσον τα διανύσµατα στήλες του P είναι γραµµικά ανεξάρτητα, ο P είναι αντιστρέψιµος και άρα η (3) µπορεί να ξαναγραφτεί στη µορφή P AP = D Εποµένως ο A είναι διαγωνοποιήσιµος ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΙΑΓΩΝΟ- ΠΟΙΗΣΗΣ ΠΙΝΑΚΑ Από την προηγούµενη απόδειξη παίρνουµε την ακόλουθη διαδικασία διαγωνοποίησης ενός διαγωνοποιήσιµου n n πίνακα A Βήµα Βρίσκουµε n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα του A, τα οποία ονοµά- Ϲουµε p, p 2,, p n Βήµα 2 Σχηµατίζουµε τον πίνακα P µε διανύσµατα στήλες τα p, p 2,, p n Βήµα 3 Ο P AP ϑα είναι διαγώνιος µε στοιχεία της διαγωνίου τα λ, λ 2,, λ n, όπου η λ i είναι η ιδιοτιµή που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσµα p i, i =, 2,, n Παράδειγµα Να ϐρεθεί ένας πίνακας P ο οποίος να διαγωνοποιεί τον A = Λύση Από το Παράδειγµα 5 της προηγούµενης ενότητας οι ιδιοτιµές του A είναι λ = και λ 2,3 = 2 Από το Παράδειγµα 8 της προηγούµενης ενότητας το διάνυσµα 2 p = σχηµατίζει µία ϐάση για τον ιδιόχωρο που αντιστοιχεί στην λ = και τα διανύσµατα p 2 =, p 3 =

13 52 ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ 379 σχηµατίζουν µία ϐάση για τον ιδιόχωρο που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ 2,3 = 2 Είναι εύκολο να δείξουµε ότι το {p, p 2, p 3 } είναι γραµµικά ανεξάρτητο και άρα ο P = 2 διαγωνοποιεί τον A Για να ελέγξετε την ορθότητα της διαδικασίας επιβεβαιώστε ότι P AP = 2 2 εν υπάρχει κάποια συγκεκριµένη σειρά µε την οποία παίρνουµε τις στήλες του P Εφόσον το i στοιχείο της διαγωνίου του P AP είναι ιδιοτιµή για το i διάνυσµα στήλη του P, η µόνη αλλαγή που επιφέρει η αλλαγή της σειράς των στηλών του P είναι η αλλαγή της σειράς των ιδιοτιµών στη διαγώνιο του P AP Ετσι αν στο Παράδειγµα είχαµε γράψει ϑα παίρναµε P = P AP = Παράδειγµα 2 Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A = [ είναι de(λi A) = [ λ λ = (λ + ) 2 και άρα η χαρακτηριστική εξίσωση του A είναι (λ + ) 2 = Εποµένως οι ιδιοτιµές του A είναι λ,2 = Τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην λ,2 = είναι οι µη τετριµµένες λύσεις του ( I A)x =, δηλαδή του Η λύση αυτού του συστήµατος είναι 2x 2x 2 = 2x 2x 2 = x =, x 2 =, στο R

14 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Άρα ο ιδιόχωρος αποτελείται από όλα τα διανύσµατα της µορφής [, στο R Εφόσον για όλα τα στο R, [ [ =, το διάνυσµα [ παράγει τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ,2 = Άρα ο A δεν έχει δύο γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα και άρα δεν είναι διαγωνοποιήσιµος Σε πολλές εφαρµογές δεν ενδιαφερόµαστε για τον υπολογισµό ενός πίνακα P ο οποίος να διαγωνοποιεί έναν πίνακα A, αλλά ενδιαφερόµαστε µόνο για το αν ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Κάποιες ϕορές µπορούµε να πάρουµε αυτή την πληροφορία από τις ιδιοτιµές χωρίς να υπολογίσουµε τα ιδιοδιανύσµατα Για να δούµε γιατί συµβαίνει αυτό ϑα χρειαστούµε το επόµενο ϑεώρηµα του οποίου την απόδειξη παραλείπουµε Θεώρηµα 522 Αν τα v, v 2,, v k είναι ιδιοδιανύσµατα του A τα οποία αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές λ, λ 2,, λ k του A, τότε το {v, v 2,, v k } είναι γραµµικά ανεξάρτητο Σαν συνέπεια του ϑεωρήµατος αυτού παίρνουµε το επόµενο αποτέλεσµα, η απόδειξη του οποίου αφήνεται σαν άσκηση Θεώρηµα 523 Αν ένας n n πίνακας A έχει n διαφορετικές ιδιοτιµές, τότε ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Παράδειγµα 3 Είδαµε στο Παράδειγµα 4 της προηγούµενης ενότητας ότι ο A = έχει τρεις διαφορετικές ιδιοτιµές, τις λ = 4, λ 2 = 2 + 3, λ 3 = 2 3 Εποµένως ο A είναι διαγωνοποιήσιµος και P AP = για κάποιον αντιστρέψιµο πίνακα P Αν ϑέλουµε µπορούµε να ϐρούµε τον P χρησι- µοποιώντας την µέθοδο του Παραδείγµατος

15 52 ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ 38 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το Θεώρηµα 522 είναι ειδική περίπτωση του επόµενου γενικότερου αποτελέσµατος : Εστω ότι οι λ, λ 2,, λ k είναι διαφορετικές ιδιοτιµές του πίνακα A και για κάθε µία επιλέγουµε ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο από ιδιοδιανύσµατα Αν πάρουµε το σύνολο που αποτελείται από όλα αυτά τα διανύσµατα, τότε αυτό το σύνολο είναι γραµµικά ανεξάρτητο Παραλείπουµε την απόδειξη αυτού του αποτελέσµατος Παράδειγµα 4 Το αντίστροφο του Θεωρήµατος 523 δεν ισχύει, δηλάδή ένας n n πίνακας A µπορεί να είναι διαγωνοποιήσιµος ακόµα και αν δεν έχει n διαφορετικές ιδιοτιµές Για παράδειγµα, η µοναδική ιδιοτιµή του διαγώνιου πίνακα A = [ 3 3 είναι η λ,2 = 3 Παρόλα αυτά ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Συγκεκριµένα διαγωνοποιείται από τον P = I, εφόσον P AP = I AI = A = [ 3 3 Στα εφαρµοσµένα µαθηµατικά υπάρχουν πολλά προβλήµατα τα οποία απαιτούν τον υπολογισµό µεγάλων δυνάµεων ενός τετραγωνικού πίνακα Θα τελειώσουµε αυτή την ενότητα δείχνοντας µε ποιον τρόπο µπορεί να χρησιµοποιηθεί η διαγωνοποίηση ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΥΝΑΜΕΩΝ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ για να απλουστεθούν τέτοιοι υπολογισµοί για διαγωνοποιήσιµους πίνακες Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και ο P είναι ένας αντιστρέψιµος πίνακας, τότε (P AP ) 2 = (P AP )(P AP ) = P AIAP = P A 2 P Γενικότερα, για οποιονδήποτε ϑετικό ακέραιο k, (P AP ) k = P A k P Άρα αν ο A είναι διαγωνοποιήσιµος και P AP = D, τότε P A k P = (P AP ) k = D k και εποµένως A k = P D k P (4)

16 382 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Η τελευταία εξίσωση εκφράζει την k δύναµη του A συναρτήσει της k δύναµης του διαγώνιου πίνακα D Οµως ο D k είναι εύκολο να υπολογιστεί Για παράδειγµα, αν D = d d 2 d n, τότε D k = d k d k 2 d k n Παράδειγµα 5 Χρησιµοποιήστε την (4) για να ϐρείτε τον A 3 αν A = Λύση Είδαµε στο Παράδειγµα ότι ο A διαγωνοποιείται από τον P = 2 και ότι P AP = 2 2 = D Ετσι από την (4) έχουµε A 3 = P D 3 P 2 = =

17 53 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Λυµένες Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 5 Εστω (α) Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του A A = (ϐ) Να ϐρεθεί µία ϐάση για τον ιδιόχωρο κάθε ιδιοτιµής και η διάσταση του ιδιόχωρου κάθε ιδιοτιµής (γ) Είναι ο A διαγωνοποιήσιµος ; (α) Εφόσον ο A είναι άνω τριγωνικός, οι ιδιοτιµές του είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του Εποµένως οι ιδιοτιµές του A είναι οι λ,2 = 2 και λ 3 = 3 (ϐ) Ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ,2 = 2 αποτελείται από τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος (2I A)x = Εχουµε και άρα 2I A = (2I A)x = = x x 2 x 3 Ο πίνακας συντελεστών του τελευταίου συστήµατος είναι ο = Χρησιµοποιούµε απαλοιφή Gauss-Jordan για να ϐρούµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του : πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε προσθέτουµε ϕορά την η γραµ- µή στη 2η Εποµένως ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ,2 = 2 αποτελείται από τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος x x 2 x 3 =

18 384 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ή x + x 2 + x 3 = ίνοντας στις ελέυθερες µεταβλητές x και x 3 τις αυθαίρετες τιµές και s αντίστοιχα παίρνουµε ότι η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος x + x 2 + x 3 = είναι x =, x 2 =, x 3 = s,, s στο R και άρα το σύνολο των λύσεών του αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 3 της µορφής s,, s στο R Εποµένως ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ,2 = 2 αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 3 της µορφής Εφόσον, για όλα τα, s στο R, s s =,, s στο R + s, τα διανύσµατα, παράγουν τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ,2 = 2 Εφόσον κανένα από τα, δεν είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του άλλου, είναι γραµµικά ανεξάρτητα Άρα το σύνολο, είναι µία ϐάση για τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ,2 = 2 Εφόσον µία ϐάση του ι- διόχωρου της ιδιοτιµής λ,2 = 2 αποτελείται από δύο διανύσµατα, η διάσταση του ιδιόχωρου της ιδιοτιµής λ,2 = 2 είναι 2

19 53 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ 3 = 3 αποτελείται από τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος (3I A)x = Εχουµε και άρα 3I A = (3I A)x = = x x 2 x 3 Ο πίνακας συντελεστών του τελευταίου συστήµατος είναι ο = Ο πίνακας αυτός είναι σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Εποµένως ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ 3 = 3 αποτελείται από τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος x x 2 = x 3 = Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές x και x 3 παίρνουµε ότι x = x 2 x 3 = ίνοντας στην ελέυθερη µεταβλητή x 2 την αυθαίρετη τιµή παίρνουµε ότι η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος είναι x x 2 = x 3 = x =, x 2 =, x 3 =, στο R και άρα το σύνολο των λύσεών του αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 3 της µορφής, στο R Εποµένως ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ 3 = 3 αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 3 της µορφής, στο R

20 386 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εφόσον, για όλα τα στο R, το διάνυσµα = παράγει τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ 3 = 3 Εφόσον, το σύνολο είναι µία ϐάση για τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ 3 = 3 Εφόσον µία ϐάση του ιδιόχωρου της ιδιοτιµής λ 3 = 3 αποτελείται από ένα διάνυσµα, η διάσταση του ιδιόχωρου της ιδιοτιµής λ 3 = 3 είναι (γ) Γνωρίζουµε ότι ένας n n πίνακας είναι διαγωνοποιήσιµος αν και µόνο αν έχει n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα Από το (ϐ), τα διανύσµατα, είναι 2 γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ,2 = 2 και το διάνυσµα είναι γραµµικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ 3 = 3 Αν τα v, v 2,, v m είναι γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ ενός πίνακα B, τα u, u 2,, u l είναι γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ 2 του B και λ λ 2, τότε τα διανύσµατα v, v 2,, v m, u, u 2,, u l είναι γραµµικά ανεξάρτητα Εποµένως τα διανύσµατα,, είναι γραµµικά ανεξάρτητα Άρα ο πίνακας A είναι ένας 3 3 πίνακας µε 3 γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα Εποµένως ο A είναι διαγωνοποιήσιµος, 2 Εστω A = 3 3 3

21 53 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ (α) Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του A (ϐ) Να ϐρεθεί µία ϐάση για τον ιδιόχωρο κάθε ιδιοτιµής (γ) Είναι ο A διαγωνοποιήσιµος ; (α) Εφόσον ο A είναι άνω τριγωνικός, οι ιδιοτιµές του είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του Εποµένως ο A έχει µία τριπλή ιδιοτιµή την λ,2,3 = 3 (ϐ) Ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ,2,3 = 3 αποτελείται από τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος (( 3)I A)x = Εχουµε ( 3)I A = = και άρα (( 3)I A)x = x x 2 x 3 = Ο πίνακας συντελεστών του τελευταίου συστήµατος είναι ο Χρησιµοποιούµε απαλοιφή Gauss-Jordan για να ϐρούµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του : πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε πολλαπλασιάζουµε τη 2η γραµµή µε Εποµένως ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ,2,3 = 3 αποτελείται από τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος x 2 = x 3 = ίνοντας την αυθαίρετη τιµή στην ελέυθερη µεταβλητή x παίρνουµε ότι η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος x 2 = x 3 =

22 388 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ είναι x =, x 2 =, x 3 =, στο R και άρα το σύνολο των λύσεών του αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 3 της µορφής, στο R Εποµένως ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ,2,3 = 3 αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 3 της µορφής Εφόσον, για όλα τα στο R,, στο R το διάνυσµα = παράγει τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ,2,3 = 3 Εφόσον,, το σύνολο είναι γραµµικά ανεξάρτητο Εποµένως µία ϐάση για τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ,2,3 = 3 είναι η (γ) Γνωρίζουµε ότι ένας n n πίνακας είναι διαγωνοποιήσιµος αν και µόνο αν έχει n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα Ο πίνακας A είναι ένας 3 3 πίνακας και, από το (ϐ), έχει γραµµικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσµα Εποµένως δεν είναι διαγωνοποιήσιµος 3 Εστω A = [ (α) Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του A (ϐ) Να ϐρεθεί µία ϐάση για τον ιδιόχωρο κάθε ιδιοτιµής

23 53 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ (γ) Είναι ο A διαγωνοποιήσιµος ; Αν ναι, να ϐρεθούν ένας αντιστρέψιµος πίνακας P και ένας διαγώνιος πίνακας D µε P AP = D (α) Οι ιδιοτιµές του πίνακα A είναι οι λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης του A de(λi A) = Εχουµε ( [ de(λi A) = de λ ([ de λ [ ) = λ ) = λ 2 = λ = ± και άρα οι ιδιοτιµές του A είναι οι λ = και λ 2 = (ϐ) Ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ = αποτελείται από τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος (I A)x = Εχουµε [ I A = [ [ = και άρα (I A)x = [ [ [ x = x 2 Ο πίνακας συντελεστών του τελευταίου συστήµατος είναι ο [ Με απαλοιφή Gauss-Jordan ϑα ϐρούµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του Εχου- µε [ [ Προσθέτουµε ϕο- ϱά την η γραµµή στη 2η Το αντίστοιχο σύστηµα είναι το x x 2 =

24 39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Λύνοντας ως προς την ϐασική µεταβλητή x και δίνοντας στην ελεύθερη µεταβλητή x 2 την αυθαίρετη τιµή παίρνουµε ότι η γενική του λύση είναι x =, x 2 =, στο R και άρα το σύνολο των λύσεών του αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 2 της µορφής [, στο R Εποµένως ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ = αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 2 της µορφής [, στο R Εφόσον, για όλα τα στο R, [ [ =, το διάνυσµα [ παράγει τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ = Εφόσον [ [, το σύνολο {[ } είναι γραµµικά ανεξάρτητο Εποµένως µία ϐάση για τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ = είναι η Ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ 2 {[ } = αποτελείται από τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος (( )I A)x = Εχουµε ( )I A = [ [ [ = και άρα (( )I A)x = [ [ [ x = x 2

25 53 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 39 Ο πίνακας συντελεστών του τελευταίου συστήµατος είναι ο [ Με απαλοιφή Gauss-Jordan ϑα ϐρούµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του Εχου- µε [ [ Πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε [ Προσθέτουµε ϕο- ϱά την η γραµµή στη 2η Το αντίστοιχο σύστηµα είναι το x + x 2 = Λύνοντας ως προς την ϐασική µεταβλητή x και δίνοντας στην ελεύθερη µεταβλητή x 2 την αυθαίρετη τιµή παίρνουµε ότι η γενική του λύση είναι x =, x 2 =, στο R και άρα το σύνολο των λύσεών του αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 2 της µορφής [, στο R Εποµένως ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ 2 = αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 2 της µορφής [, στο R Εφόσον, για όλα τα στο R, [ [ =, το διάνυσµα [ παράγει τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ 2 = Εφόσον [ [, το σύνολο {[ }

26 392 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ είναι γραµµικά ανεξάρτητο Εποµένως µία ϐάση για τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ 2 = είναι η {[ } (γ) Γνωρίζουµε ότι ένας n n πίνακας είναι διαγωνοποιήσιµος αν και µόνο αν έχει n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα Από το (ϐ), ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = είναι το [ και ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ 2 = είναι το [ Εφόσον αυτά τα δύο ιδιοδιανύσµατα αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές, είναι γραµµικά ανεξάρτητα Εποµένως ο πίνακας A είναι ένας 2 2 πίνακας µε 2 γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα και άρα είναι διαγωνοποιήσιµος Εναλλακτικά : Γνωρίζουµε ότι αν ένας n n πίνακας έχει n διαφορετικές ιδιοτιµές, τότε είναι διαγωνοποιήσιµος Ο πίνακας A είναι ένας 2 2 πίνακας και, από το (α), έχει 2 διαφορετικές ιδιοτιµές, τις λ = και λ 2 = Εποµένως ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Γνωρίζουµε ότι αν ένας n n πίνακας T είναι διαγωνοποιήσιµος µε ιδιοτιµές λ, λ 2,, λ n και v, v 2,, v n αντίστοιχα γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα, τότε για και λ λ 2 D = λ n P = [ v v 2 v n ο P είναι αντιστρέψιµος και ισχύει P T P = D Άρα, από όσα είπαµε παραπάνω, για [ D = και P = [ ή για D = [ και P = [

27 53 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο P είναι αντιστρέψιµος και ισχύει P AP = D

28 394 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ.

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 11/5/2012 Σηµαντικό χαρακτηριστικό µέγεθος (ϐαθµωτός) για κάθε τετραγωνικό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα

!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα Συστήματα με Ν βαθμούς ελευθερίας ΦΥΣ 211 - Διαλ.25 1 Ø Συστήµατα µε Ν βαθµούς ελευθερίας που βρίσκονται κοντά σε µια θέση ισσορροπίας τους συµπεριφέρονται σαν Ν ανεξάρτητοι αρµονικοί ταλαντωτές Γιατί

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ (Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Νοεµβρίου 4. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: εκεµβρίου 4)

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A)

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A) Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 7 ο ΘΕΩΡΗΜΑ CYLEY-HMILTON Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 60 Ασκήσεις :,,, σελ 6 Ελάχιστο πολυώνυµο πίνακα Έστω πίνακας ν ν Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας,

Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας, Παράδειγμα 3.2(Επίλυση συστήματος Jordan) Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις: Όπου,, πίνακας, Να λυθεί το σύστημα με είσοδο τη συνάρτηση Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1 1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Για δύο οποιαδήποτε πολυώνυµα (x) και δ(x) µε δ(x) µπορούµε να βρούµε δύο άλλα πολυώνυµα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε να ισχύει (x) = δ(x)π(x)

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα