= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις"

Transcript

1 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = = =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &' %' ( = 0 # 0 # και γενικότερα για κάθε * 2, L, - -. = L, = L, # που, με απλή επαγωγή, μας οδηγεί στη σχέση L, -. = - = # -# / 0 # -# // 0 # - 0 #. 3 Επομένως, εάν και στα δύο μέλη της ανωτέρω σχέσεως (2) εφαρμόσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, λάβουμε υπ όψιν τις ανωτέρω ιδιότητες (3) και υποθέσουμε ότι όλες οι αρχικές συνθήκες είναι μηδέν, τότε λαμβάνουμε τη διαφορική εξίσωση: % % %' % %' %' + 6 = 2, 4 όπου, προφανώς, = L # 56 και 2 = L # 56. Ένας πρώτος στόχος της προσέγγισης του χώρου καταστάσεων: Ένας πρώτος στόχος της προσέγγισης που παρουσιάζεται εδώ είναι η διαφορική εξίσωση (4) να γραφεί ισοδυνάμως σαν ένα σύστημα πρωτοβαθμίων διαφορικών εξισώσεων, το οποίο συχνά αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως κανονική μορφή του συστήματος. Τονίζεται ότι δεν υπάρχει ένας μονοσήμαντος τρόπος διατύπωσης αυτού του συστήματος πρωτοβαθμίων διαφορικών εξισώσεων κατά συνέπεια, έχουμε διαφορετικές κανονικές μορφές, η κάθε μία από τις οποίες έχει τις δικές της

2 εφαρμογές και τα δικά της πλεονεκτήματα. Προς το παρόν, θα μετατρέψουμε την (4) σε ένα σύστημα Δ.Ε. με χρήση ενδιάμεσων μεταβλητών ως εξής: Θέτουμε =, 59 = =, 5: = = =, 5; οπότε, η Δ.Ε. (4) γράφεται συναρτήσει αυτών των ενδιάμεσων μεταβλητών, ως εξής: = 2 69 = : Είθισται, αλλά είναι και ιδιαιτέρως χρήσιμο, στο σημείο αυτό να γράφουμε το σύστημα σε μορφή πινάκων, όπως περιγράφεται κατωτέρω. Πράγματι, ορίζοντας τον πίνακα στήλης των αγνώστων τότε η (6b) γράφεται < = = > =? 6 11 < ενώ, οι (5a), (5b) γράφονται αντιστοίχως ως και =? 0 1 < : =? 0 0 < ;. Συνενώνοντας τις εξισώσεις 8 με τη σειρά (8c), (8b), (8a), λαμβάνουμε μία τελική κανονική μορφή του συστήματος διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως: < = C D < + = 0> ενώ, προφανώς, η έξοδος υπολογίζεται μέσω της σχέσεως =?1 0 < 10

3 Ο δεύτερος στόχος της παρούσας προσέγγισης είναι η επίλυση αυτού του συστήματος πρωτοβαθμίων διαφορικών εξισώσεων, με χρήση θεωρημάτων της Γραμμικής Άλγεβρας. Προς την κατεύθυνση αυτού του στόχου, θα παρουσιαστεί σχετική συνοπτική θεωρία ευθύς αμέσως. 2. Συνοπτική παρουσίαση χρήσιμων στοιχείων από τη Γραμμική Άλγεβρα Ορισμός Πίνακα: Πίνακας είναι μία δομή διάταξη σε μορφή ορθογωνίου παραλληλογράμμου με F γραμμές και G στήλες, όπου F,G N. Η διάταξη αυτή περιλαμβάνει πραγματικούς είτε μιγαδικούς αριθμούς είτε άλλους πίνακες, τα οποία λέγονται στοιχεία του πίνακα, ως εξής: Κάθε στοιχείο τοποθετείται στη θέση με συντεταγμένες JKLMMή *,OPήQR S και συμβολίζεται με ένα γράμμα και δείκτες *,S. Παραδείγματα: 2 α) T = U S W 3,14 3S β) X = Y11 Z # ] \^ \ _ γ) ` = a b S c d ` = e 3,14 3S f 11 Z # ] \ Οι διαστάσεις του πίνακα είναι το πλήθος των γραμμών αυτού F μαζί με το πλήθος των στηλών του G. Συνήθως η διάσταση ενός πίνακα συμβολίζεται με F G. Άρα στη προκειμένω περίπτωση, για τον πίνακα T έχουμε διαστάσεις 2 3, για τον πίνακα X έχουμε 1 3 και τον πίνακα ` 3 3. Ένας πίνακας λέγεται τετραγωνικός όταν και μόνο όταν F = G, δηλαδή όταν το πλήθος των γραμμών είναι ίσο με το πλήθος των στηλών. Ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται διαγώνιος όταν για κάθε * S,a ij = 0. Ανάστροφος πίνακας: \^

4 Έστω πίνακας k. Ο k l ορίζεται ο ανάστροφος του πίνακα T, ο οποίος έχει γραμμές τις στήλες του T και στήλες τις γραμμές του T. Άρα για τους προαναφερόμενους πίνακες, έχουμε τους εξής αντίστοιχους ανάστροφους πίνακες: 2 3,14 α) k l = e 5 f 1 + 2S 3S 11 β) X l = C Z # D ] \ \^ 2 3,14 11 γ) `l =? k l m `l = e 5 Z # f 1 + 2S 3S ] \ \^ Ορίζουσα του πίνακα: Ως ορίζουσα του πίνακα ορίζεται μια κατάλληλη απεικόνιση από τον χώρο των τετραγωνικών πινάκων στο R. Θα δείξουμε την ακριβή μορφή αυτής της απεικόνισης με παραδείγματα: Α) έστω πίνακας T = U L p W. Τότε η ορίζουσα του πίνακα είναι : J q detk = 9 q p J a a a Β) έστω πίνακας 3 3, u = Ca a a a a D. Τότε η ορίζουσα του πίνακα είναι : a a a a detu = va a a a a v a = 1 a w a a a a w + 1 a w a a a a w + 1 a w a a a w a

5 detu = 1 a a a a a + 1 a a a a a + 1 a a a a a a a a a z a Γ) έστω πίνακας 4 4, ` = y a a a z a a a a {. Τότε η ορίζουσα του πίνακα z a z a z a z a zz είναι : a a a z a a a z det` = 1 a va a a z v + 1 a va a a z v a z a z a zz a z a z a zz a a a z a a a + 1 a va a a z v + 1 z a z va a a v a z a z a zz a z a z a z Ορισμός μοναδιαίου πίνακα: Ο μοναδιαίος πίνακας ορίζεται μόνο στον χώρο των τετραγωνικών πινάκων. Είναι ο τετραγωνικός πίνακας τα διαγώνια στοιχεία του οποίου ισούνται με τη μονάδα, ενώ ταυτόχρονα τα μη διαγώνια αυτού ισούνται με το μηδέν. Συνεπώς ο μοναδιαίος πίνακας G G έχει ως εξής: L L } ~ = C D 9 9 όπου L - = 1 αν * = S και L - = 0 αν * S * = 1,,G L S = 1,,G. Ορισμός αντιστρόφου: Αντίστροφος πίνακας ενός πίνακα A ορίζεται μόνο στον χώρο των τετραγωνικών πινάκων. Ένας πίνακας X λέγεται αντίστροφος του πίνακα k όταν ισχύει η σχέση k X = X k = Συνήθως ο αντίστροφος πίνακας του A συμβολίζεται ως k #. Σημειωτέον ότι ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετική πράξη, αλλά ειδικά για την περίπτωση του αντιστρόφου εάν αποδείξουμε ότι k X = τότε ισχύει και X k = χωρίς να χρειάζεται να το αποδείξουμε.

6 Ένας τετραγωνικός πίνακας έχει αντίστροφο όταν και μόνον όταν η ορίζουσά του είναι διάφορη του μηδενός. 2.1 Επίλυση γραμμικών συστημάτων 2.1 α) Μητρική μορφή εξισώσεων Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με ίδιο πλήθος εξισώσεων και αγνώστων, έστω αυτό το πλήθος G, ονομάζεται τετραγωνικό γραμμικό σύστημα G G. Ένα πρώτο γενικό παράδειγμα: Έστω ένα σύστημα 4 4: z z = ; z z = ; z z = ; 9 z + 9 z + 9 z + 9 zz z = ; z Το σύστημα αυτό μπορεί να γραφεί και σε μητρική μορφή με τη βοήθεια των παρακάτω πινάκων: z z k = y { z 9 z 9 z 9 z 9 zz z z ˆ = y { z z ; ; = y ; { ; z Η μητρική μορφή του συστήματος έχει ως εξής: k ˆ = Στην περίπτωση που ο πίνακας k έχει αντίστροφο, δηλαδή στην περίπτωση που ο πίνακας k έχει ορίζουσα διάφορη του μηδενός, τότε το εν λόγω σύστημα έχει μοναδική λύση την οποία εντοπίζουμε με την ακόλουθη διαδικασία: z k ˆ = k # k ˆ = k # ˆ = k # 10 Συνεπώς οι λύσεις του συστήματος,,, z είναι γνωστές αν είναι γνωστός ο πίνακας k #.

7 Αν ο πίνακας k έχει ορίζουσα ίση με το μηδέν το σύστημα δεν έχει μοναδική λύση. Στην περίπτωση αυτή εντοπίζουμε μια υποορίζουσα 3 3 η οποία είναι διάφορη του μηδενός. Ακολούθως εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο όπως και πριν επιλύοντας το σύστημα με έναν ελεύθερο άγνωστο, ή αλλιώς με ένα βαθμό ελευθερίας. Αν για παράδειγμα η ορίζουσα είναι διάφορη του μηδενός λύνουμε ένα σύστημα 3 3 με ελεύθερο άγνωστο το z, επειδή κανένα στοιχείο της υποορίζουσας που επιλέξαμε δεν πολλαπλασιάζει το z. Το σύστημα αυτό θα έχει ένα βαθμό ελευθερίας. Στην περίπτωση που όλες οι υποορίζουσες 3 3 είναι μηδέν ερευνούμε για το αν υπάρχει κάποια 2 2 υποορίζουσα διάφορη του μηδενός οπότε και το προκύπτον σύστημα θα έχει δύο ελεύθερους αγνώστους δηλαδή 2 βαθμούς ελευθερίας κ.ο.κ. Αν και κάθε γραμμικό σύστημα που έχει μοναδική λύση λύνεται κομψά με τον τύπο (10) εν τούτοις προτείνεται (καθοριστικά) να μην χρησιμοποιείται αυτός για την επίλυση τέτοιων συστημάτων στην πράξη. Αντιθέτως προτείνεται να χρησιμοποιείται η μέθοδος απαλοιφής Gauss, η οποία λειτουργεί πλήρως και στην περίπτωση που το σύστημα δεν έχει μοναδική λύση, αλλ αντιθέτως είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις. Η μέθοδος αυτή δημιουργεί κατ αρχήν έναν επαυξημένο πίνακα, ο οποίος αριστερά μιας νοητής γραμμής που συνήθως σχεδιάζεται διακεκομμένη, περιλαμβάνει τη μήτρα των συντελεστών του συστήματος, ενώ δεξιά της διακεκομμένης περιλαμβάνει τη στήλη των σταθερών όρων. Η μέθοδος απαλοιφής Gauss χρησιμοποιεί πράξεις μεταξύ γραμμών του επαυξημένου (και ποτέ στηλών) και συγκεκριμένα: α) πολλαπλασιασμό γραμμής επί σταθερά β) προσθαφαίρεση γραμμών και γ) εναλλαγή γραμμών για εξοικονόμηση πράξεων. Ο στόχος είναι η απαλοιφή να καταστήσει όλα τα διαγώνια στοιχεία άσσους και τα εκτός διαγωνίου μηδέν. Η πορεία της απαλοιφής περιλαμβάνει τα εξής βήματα: 1) Πρώτα γίνεται 1 το στοιχείο 9. Εάν αυτό είναι μηδέν ή πολύ μεγάλο, εναλλάσσω τις κατάλληλες γραμμές ώστε να δημιουργήσω ένα καινούριο 9 που είναι ήδη 1 ή γενικώς με συμφέρει. 2) Εν συνεχεία μηδενίζω όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης με απαλοιφή, χρησιμοποιώντας την πρώτη γραμμή. 3) Κάνω 1 το 9, με ίδια τεχνική όπως το 9. 4) Κάνω μηδέν όλα τα εκτός διαγωνίου στοιχεία της στήλης 2, κ.ο.κ.

8 Προσοχή 1: Εάν μία γραμμή αριστερά της διακεκομμένης είναι όλη μηδέν, τότε αμέσως κοιτάω το στοιχείο δεξιά της διακεκομμένης. Εάν αυτό είναι διάφορο του μηδενός, τότε αποφασίζω ότι το σύστημα είναι αδύνατο και σταματώ τη διαδικασία. Εάν το στοιχείο δεξιά της διακεκομμένης είναι μηδέν τότε συνεχίζουμε τη διαδικασία μέχρι το σύστημα να βρεθεί αδύνατο είτε να ολοκληρωθούν οι πράξεις σε όλες τις γραμμές. Προσοχή 2: Οι πράξεις γραμμών καθορίζονται μόνο από τη μήτρα συντελεστών και όχι από τους σταθερούς όρους. Προτείνουμε η αντιστροφή πίνακα να γίνεται με μέθοδο απαλοιφής Gauss όπως θα φανεί στα κατωτέρω παραδείγματα: Παράδειγμα Έστω ένας οποιοσδήποτε πίνακας k 9 k = a d του οποίου επιθυμούμε να βρούμε τον αντίστροφο. Προς τον σκοπό αυτό δημιουργούμε τον επαυξημένο πίνακα = U W και εκτελούμε πράξεις γραμμών σε αυτόν για να δημιουργήσουμε τον μοναδιαίο αριστερά της διακεκομμένης. Αν κατά τη διάρκεια αυτής της μεθόδου απαλοιφής, μία γραμμή αριστερά της διακεκομμένης βγει μηδέν, τότε ο πίνακας δεν έχει αντίστροφο. Αλλιώς, μετά την ολοκλήρωση της απαλοιφής, θα καταλήξουμε σε έναν πίνακα της μορφής Τότε, ο πίνακας p U 1 0 p W 0 1 p p u = U p p p p W είναι ο αντίστροφος του T. Παράδειγμα Έστω ένας οποιοσδήποτε πίνακας k k = C D 9

9 του οποίου επιθυμούμε να βρούμε τον αντίστροφο. Προς τον σκοπό αυτό δημιουργούμε τον επαυξημένο πίνακα = C D και εκτελούμε πράξεις γραμμών σε αυτόν για να τον δημιουργήσουμε τον μοναδιαίο αριστερά της διακεκομμένης. Αν κατά τη διάρκεια αυτής της μεθόδου απαλοιφής, μία γραμμή αριστερά της διακεκομμένης βγει μηδέν, τότε ο πίνακας δεν έχει αντίστροφο. Αλλιώς, μετά την ολοκλήρωση της απαλοιφής, θα καταλήξουμε σε έναν πίνακα της μορφής Τότε, ο πίνακας είναι ο αντίστροφος του T p p p C0 1 0 p p p D p p p p p p u = Cp p p D p p p Κοκ. για τετραγωνικούς πίνακες μεγαλύτερων διαστάσεων. 2.2 Ορισμός γραμμικού χώρου υπεράνω του R Έστω ένα μη κενό σύνολο στο οποίο ορίζονται 2 πράξεις (απεικονίσεις): μία που συνήθως ονομάζεται πρόσθεση από, και μία που συνήθως ονομάζεται πολλαπλασιασμός από R,. Ως προς την πρόσθεση το είναι αντιμεταθετική ομάδα δηλαδή έχει τις εξής ιδιότητες. Είναι προσεταιριστική : + + = + + έχει ουδέτερο στοιχείο, που συνήθως συμβολίζεται με μηδέν: Υπάρχει συμμετρικό στοιχείο δηλαδή Είναι αντιμεταθετική: + = + = υπάρχει / : + / = / + =, + = +

10 Όσον αφορά τον πολλαπλασιασμό αυτός έχει τις εξής ιδιότητες. 1 = M + = M + M M R L, M + M = M + M M,M R L Ιδιότητες του χώρου. M M = M M M,M R L 1. 0 = 2. M + M M,M R L, Τονίζεται ότι αν η σταθερά M παίρμει τιμές στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών ισχύει ακριβώς ο ίδιος ορισμός του γραμμικού χώρου ο οποίος απλά λέγεται ότι είναι υπεράνω του C. Ορισμός γραμμικού υποχώρου. Ένα υποσύνολο του γραμμικού χώρου λέγεται γραμμικός υπόχωρος αν και το είναι αφ εαυτού γραμμικός χώρος. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να ισχύει αυτό είναι το να είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό του χώρου. Ο χώρος R Είναι το σύνολο των διατεταγμένων G άq,,, στις οποίες έχουν οριστεί οι γνωστές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού με πραγματικό αριθμό: M R M,,, = M,M,,M,,, +,,, = +, +,, β) Η έννοια της γραμμικής ανεξαρτησίας πινάκων (γραμμής ή στήλης) Έστωσαν δύο πίνακες στήλης (ή γραμμής) <,, διαστάσεων G 1 ή 1 G. Τα διανύσματα αυτά λέγονται γραμμικώς ανεξάρτητα αν και μόνον αν για κάθε M,M R M < + M = 0 M = M = 0 Ικανή και αναγκαία συνθήκη γραμμικής ανεξαρτησίας:

11 Θα διατυπώσουμε αυτή τη συνθήκη με παραδείγματα: Έστωσαν πάλι οι ανωτέρω δύο πίνακες και ˆ = y { z z = y { z z Θεωρούμε τον πίνακα T ο οποίος προκύπτει από τη συνένωση των < και με την έννοια ότι ο T έχει στήλες τους < και, δηλαδή k = y { z z z Οι < και είναι γραμμικώς ανεξάρτητοι, αν και μόνον αν μία υποορίζουσα 22 του πίνακα k είναι διάφορη του μηδενός. Ορισμός γραμμικής ανεξαρτησίας επεκτείνεται άμεσα για οποιοδήποτε πλήθος διανυσμάτων <,<,,< ~.: τα n αυτά διανύσματα αν και μόνο αν ισχύει M < +M < + + M < ~ =0 M =M =M =0 Έστωσαν τέσσερεις πίνακες <,,š, ιδίων διαστάσεων 61. Δημιουργώ τον πίνακα k που έχει στήλες τους πίνακες αυτούς. Ο k θα είναι προφανώς διαστάσεων 64. Αν μία οποιαδήποτε υποορίζουσα 44 του k είναι διάφορη του μηδενός, τότε τα 4 αρχικά διανύσματα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Εάν όλες οι υποορίζουσες 44 είναι μηδέν, τότε τα <,,š, είναι γραμμικώς εξαρτημένα και το καλύτερο που μπορούμε να επιτύχουμε είναι να βρούμε ένα υποσύνολο αυτών που είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, κοιτώντας πρώτα όλες τις υποορίζουσες 33 και ελέγχοντας αν μία είναι διάφορη του μηδενός, οπότε τα αντίστοιχα 3 διανύσματα θα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, μετά τις υποορίζουσες 22, κλπ. Διάσταση ενός χώρου λέγεται ο μέγιστος αριθμός γραμμικώς ανεξαρτήτων διανυσμάτων που μπορούν να βρεθούν στο χώρο αυτό.

12 Εάν είναι η διάσταση ενός χώρου τότε ένα οποιοδήποτε σύνολο γραμμικώς ανεξαρτήτων στοιχείων αυτού είναι βάση αυτού. 2.2 To πρόβλημα των ιδιοτιμών Έστω T ένας τετραγωνικός G G πίνακας. Ένας αριθμός Q R ή C είναι ιδιοτιμή του πίνακα T αν υπάρχει μη-μηδενικό διάνυσμα ˆ (δηλαδή πίνακας G 1) που λέγεται ιδιοδιάνυσμα ώστε να ισχύει: T < = Q< Επιλύοντας την παραπάνω σχέση παίρνουμε : T < Q< = k Q ˆ = Η τελευταία σχέση δίνει ένα γραμμικό και ομογενές σύστημα από G το πλήθος εξισώσεις. Προφανώς, το σύστημα έχει τουλάχιστον μία λύση, τη μηδενική. Για να αναζητήσουμε μη τετριμμένες λύσεις πρέπει και αρκεί να εξετάσουμε την περίπτωση που η ορίζουσα του συστήματος γίνεται ίση με μηδέν. Δηλαδή: Zk Q = Η παραπάνω ορίζουσα είναι ένα πολυώνυμο ως προς Q βαθμού G, που λέγεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Η απαίτηση Zk Q = ισοδυναμεί με μία πολυωνυμική εξίσωση ως προς Q, την οποίαν καλούμαστε να επιλύσουμε. Οι ρίζες, πραγματικές και μιγαδικές, αυτής της εξίσωσης είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα k. Σημειώνουμε, ότι αν ο G είναι περιττός και εφ όσον οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε γνωρίζουμε ότι μία τουλάχιστον από τις ρίζες του πολυωνύμου είναι πραγματικός αριθμός. Έχοντας βρει μία πραγματική ιδιοτιμή του πίνακα k την αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση και παίρνουμε ένα ομογενές σύστημα για το οποίο γνωρίζουμε ότι ο πίνακας των σταθερών όρων έχει ορίζουσα ίση με μηδέν. Ένας τρόπος επίλυσης

13 αυτού του συστήματος είναι με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών, μέσω των οποίων προκύπτει σύστημα ισοδύναμο του αρχικού. Για να επιλύσουμε το σύστημα, θέτουμε: u=t Q και εντοπίζουμε στον πίνακα X, έναν υποπίνακα ο οποίος έχει ορίζουσα διάφορη του μηδενός. Οι θέσεις των γραμμών του υποπίνακα καθορίζουν τις αντίστοιχες εξισώσεις του συστήματος τις οποίες θα επιλύσουμε προκειμένου να βρούμε τις G 1 το πλήθος συντεταγμένες του αγνώστου διανύσματος <, οι οποίες θα είναι συνάρτηση της G œopή συντεταγμένης. Αυτές δίνουν τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα για την ιδιοτιμή που βρήκαμε. 2.3 Διαγωνοποίηση Πινάκων. Ορισμός 2.1 Ένας τετραγωνικός πίνακας k ονομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο R ή C, αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας ž, τέτοιος ώστε ο πίνακας ž # T ž να είναι διαγώνιος. Παράδειγμα 2.3.1: Έστω πίνακας k = C2 4 2D. Επιπλέον έστω ο πίνακας ž = C 0 1 1D. Αν το αποτέλεσμα ž # T ž είναι ένας διαγώνιος πίνακας τότε ο πίνακας b είναι διαγωνοποιήσιμος. Πράγματι: C 0 1 1D # C2 4 2D C 0 1 1D = C0 2 0D Παράδειγμα 2.3.2: Έστω πίνακας k = Ÿ z. Αν θεωρήσουμε τον αντιστρέψιμο πίνακα

14 3 1 5 ž=c 1 1 3D,και τον αντίστροφο του, ž # = C 1 1 3D # ž # = Ÿ 1, τότε εκτελώντας το γινόμενο ž # T ž, θα λάβουμε έναν διαγώνιο πίνακα. Πράγματι : ž # T ž = Ÿ 1 Ÿ z C 1 1 3D = ž # T ž = C D Θα αναπτύξουμε, ακολούθως, συστηματικές μεθόδους για να βρίσκουμε τον πίνακα ž από τον πίνακα T. Α) Διαγωνοποίηση όταν ο πίνακας έχει διαφορετικές ιδιοτιμές. Παράδειγμα 2.3.3: Έστω ο πίνακας k όπου k = y { Βρίσκουμε τις ιδιοτιμές του υπολογίζοντας τον πίνακα k Q και θέτοντας την ορίζουσά του ίση με μηδέν: Zk Q = Zy 5 Q { = Q + 4Q Q 6 = Q Q Εξετάζοντας τους διαιρέτες του σταθερού όρου και εκτελώντας τις κατάλληλες διαιρέσεις πολυωνύμων διαπιστώνουμε ότι οι

15 Q = 1, Q = 2 και Q = 3 αποτελούν ρίζες αυτού του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Για την εύρεση των αντίστοιχων ιδιοδιανυσμάτων εργαζόμαστε ως εξής: Για την ιδιοτιμή Q = 1 επιλύουμε το ακόλουθο γραμμικό σύστημα. k + C D = 0 y = = = 0 3 2{ C D = 0 Προφανώς η ορίζουσα των συντελεστών στο εν λόγω σύστημα είναι ίση με το μηδέν. Παρατηρούμε ότι η πάνω αριστερά υποορίζουσα 22 είναι διάφορη του μηδενός. Συνεπώς λύνουμε το σύστημα με ελεύθερο άγνωστο το και προκύπτει το κάτωθι αντίστοιχο διάνυσμα. 1 C3 D = C 3D 1 Και κατά συνέπεια το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα 1 < = C 3D. 1 Για την ιδιοτιμή Q = 2 επιλύουμε το ακόλουθο γραμμικό σύστημα. k 2 C D = 0 Με τον ίδιο τρόπο με πριν προκύπτει το ιδιοδιάνυσμα 2 < = C 0D. 4 Για την ιδιοτιμή Q = 3 επιλύουμε το ακόλουθο γραμμικό σύστημα. k 3 C D = 0 Με τον ίδιο τρόπο με πριν προκύπτει το ιδιοδιάνυσμα

16 1 < =C 2D. 2 Ο πίνακας ž των τριών παρατιθεμένων ιδιοδιανυσμάτων είναι o ακόλουθος ž ž = C 3 0 2D και ο πίνακας όπου = ž # T ž = C 0 2 0D Β) Διαγωνοποίηση όταν ο πίνακας παρουσιάζει πολλαπλές ιδιοτιμές. Β.1 Η έννοια της αλγεβρικής και γεωμετρικής πολλαπλότητας. Θα καταδείξουμε τις έννοιες της αλγεβρικής και γεωμετρικής πολλαπλότητας με σχετικά παραδείγματα. Παράδειγμα 2.3.4: Έστω ο πίνακας k όπου k = C3 5 3D Βήμα 1: Βρίσκουμε τις ιδιοτιμές του υπολογίζοντας τον πίνακα k Q και θέτοντας την ορίζουσά του ίση με μηδέν: 1 Q 3 3 Zk Q = ZC 3 5 Q 3 D = Q + 12Q + 16 = Q Εξετάζοντας τους διαιρέτες του σταθερού όρου διαπιστώνουμε ότι οι Q = 4 και Q = 2 αποτελούν ρίζες αυτού του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Εκτελώντας τη διαίρεση πολυώνυμων διαπιστώνουμε ότι η τιμή 2 είναι διπλή ρίζα. Βήμα 2: Λύνουμε πρώτα το πρόβλημα ιδιοτιμών της Q που έχει πολλαπλότητα 1. Για την περίπτωση αυτή ισχύει:

17 k 4 C D=0 C D C D = = = = 0 Προφανώς η ορίζουσα των συντελεστών στο προκείμενο σύστημα είναι ίση με το μηδέν. Παρατηρούμε ότι η πάνω αριστερά υποορίζουσα 22 είναι διάφορη του μηδενός. Συνεπώς λύνουμε το σύστημα με ελεύθερο άγνωστο το και προκύπτει το κάτωθι αντίστοιχο διάνυσμα = 1 2 Ÿ Ÿ1 Και κατά συνέπεια το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα 1 2 < = 1 2 Ÿ1 Βήμα 3: Όσον αφορά την Q που έχει πολλαπλότητα 2, ισχύει: = 0 k + 2 C D = 0 C3 3 3D C D = = = 0 Προφανώς η ορίζουσα των συντελεστών στο προκείμενο σύστημα είναι ίση με το μηδέν. Παρατηρούμε ότι όλες οι υποορίζουσες είναι ίσες με μηδέν άρα πρέπει υποχρεωτικά να λύσουμε το σύστημα με 2 ελεύθερους αγνώστους. Επιλέγουμε να λύσουμε την πρώτη εξίσωση με ελεύθερους αγνώστους τα και και προκύπτει =. Τότε C D = C D = = 1 1 > + C 0 D = C1D + C 0D Παρατηρούμε ότι τα ιδιοδιανύσματα 1 1 < = C1D και < = C 0D 0 1

18 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διότι η υποορίζουσα των δύο πρώτων στοιχείων τους είναι διάφορη του μηδενός. Άρα ο υπόχωρος των ιδιοδιανυσμάτων-πινάκων στήλης που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή 2 έχει διάσταση 2 και βάση τα ανωτέρω 2 γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα. Η διάσταση του υποχώρου μιας ιδιοτιμής λέγεται γεωμετρική πολλαπλότητα αυτής, ενώ η πολλαπλότητα της ίδιας ιδιοτιμής ως ρίζας του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λέγεται αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής αυτής. Η διαφορά (αλγεβρική πολλαπλότητα - γεωμετρική πολλαπλότητα), καθορίζει την μέθοδο την οποία θα εφαρμόσουμε για τον υπολογισμό των ιδιοδιανυσμάτων μιας πολλαπλής ιδιοτιμής, αλλά και τη μορφή του πίνακα που προκύπτει μετά τη διαγωνοποίηση. Προφανώς η αλγεβρική πολλαπλότητα είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση της γεωμετρικής. Βήμα 4: Εν προκειμένω, επειδή (αλγεβρική πολλαπλότητα - γεωμετρική πολλαπλότητα) = 0 ο πίνακας ž των τριών παρατιθεμένων ιδιοδιανυσμάτων είναι o ακόλουθος ž = Ÿ1 0 1 ο οποίος είναι αντιστρέψιμος διότι τα <,<,< είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Επιπλέον, ο πίνακας όπου = ž # T ž είναι όντως διαγώνιος και ισχύει: Παράδειγμα 2.3.5: Έστω ο πίνακας k όπου = C0 2 0D k = C D 2 11 Βήμα 1: Βρίσκουμε τις ιδιοτιμές του υπολογίζοντας τον πίνακα k Q και θέτοντας την ορίζουσα αυτού ίση με μηδέν: 5 Q 2 1 Zk Q = ZC 4 12 Q 4 D = Q + 28Q 256Q + 68 = Q

19 Εξετάζοντας τους διαιρέτες του σταθερού όρου διαπιστώνουμε ότι οι Q =12 και Q = 8 αποτελούν ρίζες αυτού του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Εκτελώντας τη διαίρεση πολυωνύμων διαπιστώνουμε ότι η τιμή 8 είναι διπλή ρίζα. Βήμα 2: Λύνουμε πρώτα το πρόβλημα ιδιοτιμών της Q = 12 που έχει πολλαπλότητα 1. Για την περίπτωση αυτή ισχύει: 2 1 k 12 C D = 0 C = = 0 2 = 0 D C D = 0 Όπως αναμενόταν η ορίζουσα των συντελεστών στο προκείμενο σύστημα είναι ίση με το μηδέν. Παρατηρούμε ότι η πάνω αριστερά υποορίζουσα 22 είναι διάφορη του μηδενός. Συνεπώς λύνουμε το σύστημα με ελεύθερο άγνωστο το και προκύπτει το κάτωθι αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα. Επιλέγουμε 1 < = C3D 1 1 < = C3D 1 Βήμα 3: Όσον αφορά την Q = 8 που έχει πολλαπλότητα 2, ισχύει: = 0 k 8 C D = 0 C 4 4 4D C D = = = 0 Όπως αναμενόταν η ορίζουσα των συντελεστών στο προκείμενο σύστημα είναι ίση με το μηδέν. Παρατηρούμε ότι η πάνω αριστερά υποορίζουσα 22 του ανωτέρω πίνακα είναι διάφορη του μηδενός. Συνεπώς λύνουμε το σύστημα με ελεύθερο άγνωστο το και προκύπτει το κάτωθι αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα. Επιλέγουμε < = C 1 2D 1 1 < = C 2D. 1

20 Προσοχή: τα ανωτέρω σημαίνουν ότι ο υπόχωρος της διπλής ιδιοτιμής Q =8 έχει διάσταση 1 γεγονός που συνεπάγεται ότι (αλγεβρική πολλαπλότητα - γεωμετρική πολλαπλότητα) =q=2 1=1 Το γεγονός ότι η διαφορά ª είναι μεγαλύτερη του μηδενός σημαίνει ότι ο αρχικός πίνακας δεν είναι διαγωνοποιήσιμος. Σε αυτές τις περιπτώσεις η καλύτερη δυνατότητα είναι να μετασχηματίσουμε τον k σε έναν «σχεδόν διαγώνιο πίνακα», με τον τρόπο που θα περιγραφεί κατωτέρω. Πράγματι, για να προσδιορίσουμε το ˆ λύνουμε το σύστημα k 8 ˆ =ˆ =C 2D C 4 4 4D C D = C 2D = = = 1 Παρατηρούμε ότι η πάνω αριστερά υποορίζουσα 22 του ανωτέρω πίνακα είναι διάφορη του μηδενός. Συνεπώς λύνουμε το σύστημα με ελεύθερο άγνωστο το δίνοντας σε αυτόν την τιμή = 1 για απλότητα στις πράξεις. Προκύπτει το κάτωθι αντίστοιχο γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα. < = y { Βήμα 4: Εν προκειμένω, επειδή (αλγεβρική πολλαπλότητα - γεωμετρική πολλαπλότητα) = q = 1 ο πίνακας ž δημιουργείται με συνένωση των δύο ιδιοδιανυσμάτων <,< και του γενικευμένου ιδιοδιανύσματος <, οπότε προκύπτει ž ž = y3 2 5 { Ο πίνακας ž είναι αντιστρέψιμος διότι τα <,<,< είναι γραμμικώς ανεξάρτητα Διαπιστώνουμε ότι ž # T ž = «= C 0 8 1D Εδώ βρίσκεται η ουσία αυτής της προσέγγισης (του Jordan). Όντως παρατηρούμε ότι

21 ž 0 8 1D =?12<,8 <,< Ενώ T ž = =?12<,8 <,k Παρατηρούμε ότι για να είναι ίσα τα γινόμενα ž «και T ž θα πρέπει να ισχύει η ισότητα k < = < + 8 < k 8 ˆ = ˆ που είναι η σχέση που χρησιμοποιήσαμε προκειμένου να εντοπίσουμε το γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα <. Παράδειγμα 2.3.6: Έστω ο πίνακας Α όπου k = y { «= y { Παράδειγμα 2.3.: k = Ÿ Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και αντίστοιχα η χαρακτηριστική εξίσωση είναι Q z + Q + 18Q + 20Q + 8 = 0

22 «=y { Θεώρημα Cayley-Hamilton: Κάθε πίνακας b ικανοποιεί ταυτοτικά το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο, δηλαδή το πολυώνυμο που προκύπτει απ την απαίτηση ZT Q} =.

Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας,

Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας, Παράδειγμα 3.2(Επίλυση συστήματος Jordan) Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις: Όπου,, πίνακας, Να λυθεί το σύστημα με είσοδο τη συνάρτηση Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

που σε κάθε χρονική στιγμή περιλαμβάνει τις τιμές των μεταβλητών κατάστασης

που σε κάθε χρονική στιγμή περιλαμβάνει τις τιμές των μεταβλητών κατάστασης 1. Έννοια παρατηρησιμότητας. Ας θεωρήσουμε ένα ΓΧΑ σύστημα τάξης, κατ αρχήν μιας εξόδου () και μιας εισόδου (). Έχουμε ήδη θεμελιώσει ότι ένα οποιοδήποτε ΓΧΑ σύστημα μπορεί να περιγραφεί από τις εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Εάν ένας πίνακας δεν διαγωνοποιείται, τότε ο στόχος μας είναι υπολογίσουμε μέσω ενός μετασχηματισμού ομοιότητας, έναν απλούστερο πίνακα, «σχεδόν διαγώνιο» όπως ο παρακάτω πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι

Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι Παραδείγματα () Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. 1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑ Διπλωματική Εργασία ΚΑΡΑΝΤΖΙΑ ΑΝΝΑ Επιβλέπων Καθηγητής: Παναγιώτης Ψαρράκος

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jodan Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1 Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν.

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα

Χαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα Έστω ο n nτετραγωνικός πίνακας A της μορφής a L a M O M an L a όπου aij, i n, j n πραγματικές σταθερές Ονομάζουμε χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα A την εξίσωση A λi, όπου I ο n n μοναδιαίος πίνακας και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

2x y = 1 x + y = 5. 2x y = 1. x + y = 5. 2x y = 1 4x + 2y = 0. 2x y = 1 4x + 2y = 2

2x y = 1 x + y = 5. 2x y = 1. x + y = 5. 2x y = 1 4x + 2y = 0. 2x y = 1 4x + 2y = 2 Σημειώσεις μαθήματος Μ22 Γραμμική Άλγεβρα Ι Βασισμένες στο βιβλίο του GStrang Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2 Εισαγωγή Αυτές οι σημειώσεις καλύπτουν την ύλη του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Επιμέεια: Ι. Λυχναρόπουος. Έστω ο πίνακας 3. Δείξτε ότι το διάνυσμα v (,3) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 15 Αναλλοίωτοι Υπόχωροι, Ιδιόχωροι Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 2/5/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 15 2/5/2014 1 / 12 Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.tua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γραμμικοί Κώδικες 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα Μέχρι τώρα θεωρούσαμε έναν κώδικα C με παραμέτρους (n, M, d) απλώς ως ένα υποσύνολο του συνόλου A n, όπου A είναι ένα αλφάβητο. Είχαμε, όμως,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια Ι.. (Σωστό-Λάθος) με επαρκή αιτιολόγηση α) Για κάθε μητρώο A μεγέθους x μπορείτε να βρείτε ένα αντιστρέψιμο μητρώο X τέτοιο ώστε ΑΧ ΧK, όπου το

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα