Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
|
|
- Νικηφόρος Μπουκουβαλαίοι
- 4 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη µηδενικό διάνυσµα v µε πραγµατικά ή µιγαδικά στοιχεία τέτοιο ώστε Av λv Το µη µηδενικό διάνυσµα v καλείται ιδιοδιάνυσµα του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ Έστω 6 A παρατηρώ ότι λ είναι ιδιοτιµή του πίνακα Α και το 6 4 A οπότε το το αντίστοιχο ιδιονιάνυσµα 6 Επίσης A 4 οπότε το 8 λ 4 είναι ιδιοτιµή του πίνακα Α και το το αντίστοιχο ιδιονιάνυσµα Έστω ένας πραγµατικός πίνακας A τέτοιος ώστε [ ] A [ ] [ ] A [ ] και [ ] [ ] A Να βρείτε τις ιδιοτιµές το χαρακτηριστικό πολυώνυµο και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα A Επειδή A λ A λ ο πίνακας την ιδιοτιµή A έχει την ιδιοτιµή A λ και λ µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το [ ] λ [ ] µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα [ ] και την ιδιοτιµή λ Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ είναι ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν και µόνο εάν p( λ) det( AλΙ )
2 Κεφάλαιο 6 Το πολυώνυµο p(λ) ονοµάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυµο η παραπάνω εξίσωση χαρακτηριστική εξίσωση και οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα ενός πίνακα χαρακτηριστικά µεγέθη Εάν a a Α τότε a a p( λ) det( A λ ) Ι a λ a a a a λ a a a a Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο ενός πίνακα Α είναι ένα πολυώνυµο βαθµού p( λ) ( ) [ λ + b λ + + bλ+ b ] οπότε έχει στο σύνολο πραγµατικές και µιγαδικές ρίζες οπότε και ιδιοτιµές στο σύνολο πραγµατικές ή µιγαδικές ιδιοτιµές Οπότε ισχύει r p( λ) ( ) ( λλ ) ( λλ ) ( λ λ ) m m r r όπου λ λ λm οι m διακεκριµένες ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου ιδιοτιµές του πίνακα µε πολλαπλότητα r r r m αντίστοιχα όπου ισχύει r + r + + r m Η πολλαπλότητα κάθε ρίζας του χαρακτηριστικού πολυωνύµου ονοµάζεται αλγεβρική πολλαπλότητα της αντίστοιχης ιδιοτιµής Εάν λa+bi µία µιγαδική ιδιοτιµή τότε και η συζυγής της λa-bi είναι ιδιοτιµή του πίνακα Επίσης το ιδιοδιάνυσµα της µίας ιδιοτιµής είναι το διάνυσµα µε στοιχεία τα συζυγή στοιχεία του ιδιοδιανύσµατος της άλλης Το σύνολο των ιδιοτιµών ενός πίνακα λέγεται φάσµα του πίνακα και συµβολίζεται συνήθως µε σ(α) Εάν v είναι ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί σε µία ιδιοτιµή ενός πίνακα Α τότε το κv για κάθε k πραγµατικό είναι ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιµή του πίνακα Α Πράγµατι Av λv A( kv) λ( kv) Εάν v v είναι ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν σε µία ιδιοτιµή ενός πίνακα Α τότε το κv +µv για κάθε kµ πραγµατικούς είναι ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιµή του πίνακα Α Πράγµατι ( ) λ( ) ( ) ( ) Av λv A kv kv A( kv + µ v ) λ ( kv + µ v Av λ v A µ v λ µ v Για να βρούµε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα ενός πίνακα: ) λ Υπολογίζουµε τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου ( A I) det λ Για κάθε µία από αυτές λύνουµε το οµογενές σύστηµα ( A λi) v
3 Να βρεθούν τα χαρακτηριστικά µεγέθη του πίνακα A Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α είναι το λ det ( Aλ I) λ λ+ Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο έχει ρίζες τις λ ιδιοτιµές του Α λ λ Θα βρούµε τώρα τα ιδιοδιανύσµατα Για λ λ έχουµε: A λi ( ) Το σύστηµα έχει λύση οπότε και οπότε το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι v Για λ λ έχουµε: A I Το ( λ ) σύστηµα έχει λύση οπότε και οπότε το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι v Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα A ( A λi) λ det λ + λ ιδιοτιµές του Α λ i λ i Θα βρούµε τώρα τα ιδιοδιανύσµατα Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο έχει ρίζες τις
4 Κεφάλαιο 6 Για λ λ i έχουµε: ( λ ) λύση i οπότε i είναι v Για λ λ i A I i Το σύστηµα έχει i i i και οπότε το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα έχουµε: ( λ ) A I i i Το σύστηµα έχει λύση i οπότε i i και οπότε το i αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι ίνεται ο πίνακας Α βρείτε τα ιδιοποσά του πίνακα Από το χαρακτηριστικό πολυώνυµο που προκύπτει βρίσκουµε τις ιδιοτιµές: λ det( A λι ) λ ( λ) λ( λ ) λ( λ ) λ λ Για κάθε µια ιδιοτιµή λ λύνουµε τώρα το µε σύστηµα ( A λ I) γραµµοπράξεις και βρίσκουµε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα ως εξής: Για λ βρίσκουµε ότι οι µη µηδενικές λύσεις του συστήµατος [ ] [ ] όπου R {} δίνουν το ιδιοδιάνυσµα [ ] Παρόµοια για λ οι λύσεις του δίνουν τη λύση από όπου παίρνουµε και τελικά το ιδιοδιάνυσµα [ ] 4
5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα ενώ για λ οι λύσεις του δίνουν τη λύση από όπου παίρνουµε και τελικά το ιδιοδιάνυσµα [ ] Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του A 5 Σύµφωνα µε τη θεωρία τo χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα είναι λ λ det ( A λi) λ (5 λ) (( λ) ( ) ( ))(5 λ ) λ 5 λ ( )(5 ) ( 6 + 5)( 5) ( 5) ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ Οπότε έχουµε δύο ιδιοτιµές την λ και τη διπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας λ 5 Για λ τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος ( A I) Οπότε το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί σε αυτήν την ιδιοτιµή είναι της µορφής u u µ u Για λ 5τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος 5 ( A5 I) αυθαίρετο 5
6 Κεφάλαιο 6 Οπότε τα ιδιοδιανύσµτα που αντιστοιχούν σε αυτήν την ιδιοτιµή είναι της µορφής + και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα της ιδιοτιµής είναι τα Ιδιοχώροι Έστω λ ιδιοτιµή του πίνακα Α και έστω { : λ } E v Av v λ Το σύνολο αυτό είναι ένας υπόχωρός του (ο χώρος µε τα διανύσµατα µε µιγαδικά στοιχεία και καλείται ιδιόχωρος του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ Η διάσταση dimε λ του ιδιοχώρου µίας ιδιοτιµής καλείται γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής και ισούται µε την µηδενικότητα του πίνακα Α-λΙ Η γεωµετρική πολλαπλότητα είναι µικρότερη ή ίση από την αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής Επίσης ισχύουν: Τα ιδιοδιανύσµατα που παράγουν τον ιδιοχώρο µίας ιδιοτιµής είναι γραµµικά ανεξάρτητα µεταξύ τους Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία όπου λ λ λm οι m διακεκριµένες (διαφορετικές µεταξύ τους) ιδιοτιµές του πίνακα στις οποίες αντιστοιχούν v v vm ιδιοδιανύσµατα Τότε τα ιδιοδιανύσµατα αυτά είναι γραµµικά ανεξάρτητα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία τότε ο πίνακας έχει γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα εάν και µόνο εάν η γεωµετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής είναι ίση µε την αλγεβρική πολλαπλότητά της Για τον πίνακα A 5 είχαµε βρει Για λ τα ιδιοδιανύσµατα το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί σε αυτήν την ιδιοτιµή είναι της µορφής µ 6
7 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Για λ 5τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν σε αυτήν την ιδιοτιµή είναι της µορφής + και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα της ιδιοτιµής είναι τα Οπότε για λ 5 E spa µε διάσταση Η γεωµετρική πολλαπλότητα αυτής της ιδιοτιµής είναι όση και η αλγεβρική οπότε και τα τρία διανύσµατα είναι γραµµικώς ανεξάρτητα Για τον B τo χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα είναι λ det ( B λi) ( λ) λ Οπότε έχουµε ιδιοτιµή διπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας Για λ τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος ( B I) και το παίρνει αυθαίρετες τιµές οπότε για την ιδιοτιµή έχουµε ιδιοδιάνυσµα οπότε η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής είναι Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του 9 A Σύµφωνα µε τη θεωρία τo χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα είναι λ 9 5 λ 8 det ( A λi) 5 λ 8 ( λ) ( + λ ) 7λ 7λ Οπότε έχουµε την τριπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας λ Για λ τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος 7
8 Κεφάλαιο 6 9 ( A+ I) αυθαί ρετο Οπότε τα ιδιοδιανύσµτα που αντιστοιχούν σε αυτήν την ιδιοτιµή είναι της µορφής + και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα της ιδιοτιµής είναι τα Άρα η ιδιοτιµή έχει γεωµετρική πολλαπλότητα Ιδιότητες ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων Έστω το χαρακτηριστικό πολυώνυµο ενός πίνακα Α οπότε ισχύει και η ορίζουσα του πίνακα p( λ) ( ) [ λ + b λ + + bλ+ b ] p( λ) ( ) ( λλ ) ( λλ ) ( λλ ) rm r r m Οπότε εάν αντιστρέφεται det ( A) Επίσης σ(α)σ(α Τ ) det ( A) λ λ λ ( ) m b το δεν είναι ιδιοτιµή του πίνακα και ο πίνακας Εάν Α τριγωνικός τότε ιδιοτιµές είναι τα διαγώνια στοιχεία του Εάν Αvλv και Βvµv τότε το (Α+Β)v(λ+µ)v και (ΑΒ)v(λµ)v Έτσι συµπεραίνουµε Α vλ v και γενικεύοντας όταν λ ιδιοτιµή του Α τότε λ m ιδιοτιµή του Α m Επίσης εάν λv χαρακτηριστικά ποσά του Α τότε λ - v χαρακτηριστικά ποσά του πίνακα Α - Στο παράδειγµά µας όπου έχουµε πραγµατικό πίνακα A τέτοιος ώστε [ ] A [ ] [ ] A [ ] και [ ] [ ] Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του ( A I) ( )( )( ) A είναι det ( ) 6 λ λ λ λ+ λ +λ + λ A εν υπάρχει ο ( A) A διότι det λλ λ 8
9 Οι ιδιοτιµές του Α είναι λ ( ) λ και λ 56 Οµοιότητα πινάκων διαγωνοποίηση Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα ύο πίνακες ΑΒ καλούνται όµοιοι εάν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος ώστε ΒP - AP Ισοδύναµος ορισµός είναι εάν ισχύει PΒAP Φυσικά για τον QP - θα ισχύει BQQA 4 Έστω A B και P 5 4 Ισχύει PB 5 και AP Έστω A 8 D και P Ισχύει PA και 4 4 DP Εάν δύο πίνακες ΑΒ καλούνται όµοιοι τότε έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο οπότε και τις ίδιες ιδιοτιµές Ένας πίνακας Α καλείται διαγωνοποιήσιµος εάν υπάρχει διαγώνιος πίνακας D όµοιος µε τον Α ηλαδή υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P ώστε DP - AP Ένας πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιµος εάν και µόνο εάν έχει γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα ηλαδή είναι διαγωνoποιήσιµος εάν και µόνο εάν η γεωµετρική πολλαπλότητα της κάθε ιδιοτιµής είναι ίση µε την αλγεβρική πολλαπλότητά της 9
10 Κεφάλαιο 6 Εάν λ λ λ οι ιδιοτιµές και v v v τα αντίστοιχα γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα τότε: λ λ D λ λ και ο πίνακας P έχει ως στήλες τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα P v v v [ ] και ισχύει DP - AP Ένας πίνακας Α µε διακεκριµένες ιδιοτιµές είναι διαγωνοποιήσιµος Εφόσον ισχύει DP - AP ισχύει και ΑPDP - οπότε και ( ) k k k A PDP PDP PDP PDP PD P κ φορές Στο γνωστό παράδειγµά µας όπου έχουµε πραγµατικό πίνακα A τέτοιος ώστε [ ] A [ ] [ ] A [ ] και [ ] [ ] A Επειδή οι ιδιοτιµές είναι διακεκριµένες (δηλαδή όλες διαφορετικές) ο πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιµος Ο δε πίνακας P µε στήλες τα ιδιοδιανύσµατα δηλαδή P είναι αντιστρέψιµος διότι τα ιδιοδιανύσµατα είναι γραµµικά ανεξάρτητα αφού αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές Υπολογίζουµε τον P AP P και επαληθεύουµε την ισότητα
11 Από τη σχέση P AP A P P 5 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Για τον B έχουµε δείξει ότι έχει διοτιµή λ διπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας µε γεωµετρική πολλαπλότητα Οπότε ο πίνακας δεν διαγωνοποιείται 9 Για τον A 5 8 έχουµε την τριπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας λ 7 µε γεωµετρική πολλαπλότητα Συµπέρασµα δεν διαγωνοποιείται Για τον πίνακα A 5 είχαµε βρει: Για την µονής αλγεβρικής πολλαπλότητας ιδιοτιµή λ που αντιστοιχεί ιδιοδιάνυσµα της µορφής µ Για την διπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας ιδιοτιµή λ 5τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν είναι της µορφής + οπότε ο ιδιοχώρος της συγκεκριµένης ιδιοτιµής είναι ο E spa έχει διάσταση Άρα η γεωµετρική πολλαπλότητα αυτής της ιδιοτιµής είναι όση και η αλγεβρική οπότε και τα τρία διανύσµατα είναι γραµµικώς ανεξάρτητα Συµπεραίνουµε
12 Κεφάλαιο 6 λοιπόν ότι ο πίνακας διαγωνοποιείται και P D 5 5 Μπορούµε να το πιστοποιήσουµε χωρίς να βρούµε τον αντίστροφο αφού 5 5 AP 5 PD Έστω ο πραγµατικός πίνακας A υπολογίστε τον Α 4 Σε προηγούµενο παράδειγµα είχαµε δει ότι ο πίνακας έχει δύο διαφορετικές ιδιοτιµές ( λ λ µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα v και λ λ µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι v ) Επειδή ο Α είναι ένας πίνακας που έχει δύο διακεκριµένες ιδιοτιµές ο Α διαγωνοποιείται Έστω P (οι στήλες του Ρ είναι ιδιοδιανύσµατα του Α) Τότε Ρ - ΑΡ A PDP A P P Θεώρηµα Cayley-Hamilto Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία τότε ικανοποιεί το χαρακτηριστικό του πολυώνυµο: Από αυτό το θεώρηµα όταν οπότε και det ( A) τον αντίστροφο του Α pa ( ) ( ) [ A+ b A + + ba+ bi] b δηλαδή το µηδέν δεν είναι ιδιοτιµή του πίνακα τότε ο αφού ο πίνακας αντιστρέφεται µπορούµε να βρούµε
13 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα ( ) [ A + b A + + b A+ b I] b I A b A ba Έστω ο πραγµατικός πίνακας Α πολυώνυµο του A ( ) A A b A b AbI b Εκφράστε τον πίνακα A ως Λύση Τα χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α είναι p( λ ) λ + λ +λ Αφού ο σταθερός όρος του χαρακτηριστικού πολυωνύµου δεν είναι µηδέν το δεν είναι ιδιοτιµή του πίνακα οπότε ο Α είναι αντιστρέψιµος (αφού το γινόµενο των ιδιοτιµών ισούται µε την ορίζουσα του πίνακα) Από το Θεώρηµα Cayley Hamilto έχουµε A + A + A I και πολλαπλασιάζοντας µε τον A παίρνουµε A ( A + A+ I) Με ανάλογο τρόπο πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω µε Α - παίρνουµε A ( A+ I + A ) Άρα ( 5 A A+ I + A + A+ I) A + I 4 4 Να βρεθεί ο αντίστροφος των πινάκων A και Caley-Hamilto A 4 λ A I 4 λ α) det ( λ ) λ 5λ P ( λ) B µε τη χρήση του θεωρήµατος B 4 Αφού ο σταθερός όρος δεν είναι µηδέν το δεν είναι ιδιοτιµή του Α οπότε ο Α είναι αντιστρέψιµος Τότε P A A 5A I A A 5I I β) ( ) ( ) A ( A 5I) 5 4
14 Κεφάλαιο 6 λ ( B λi) λ ( λ)( λ λ ) + ( + + λ) det λ P ( ) λ λ λ λ Αφού ο σταθερός όρος δεν είναι µηδέν το δεν είναι ιδιοτιµή του Β οπότε ο Β είναι αντιστρέψιµος Άρα P B B + B + B+ 6I B B + B+ I 6I ( ) ( ) ( + + ) ( ) B B B I B B I Για το παράδειγµα που είχαµε δει µε A 6 A Είχαµε δει ότι ( A λi) λ det + λ λ A Εφαρµόζοντας το θεώρηµα Cayley-Hamilto έχουµε οπότε Άλλος τρόπος : Αν ( ) P A A + I A I ( ) ( ) ( ) ( ) 6 να υπολογισθεί ο πίνακας A A A A I I I+ I i i P έχουµε i P AP D i 4
15 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Άρα 6 6 i i A P D P i i i i και i i i i i i i i A P D P i i Τότε A 6 A Ασκήσεις: Έστω f : R R µια γραµµική απεικόνιση µε τύπο f ([ y z] ) [ + y z + 4y 4z 4y + 4z] α) Να βρεθεί ο πίνακας Α της f ως προς τη συνήθη βάση e ( e [ ] e [ ] e [ ] ) Και να βρεθούν τα χαρακτηριστικά του µεγέθη β) είξτε ότι ο πίνακας Α διαγωνοποιείται και βρείτε µια διαγωνοποίησή του Στη συνέχεια βρείτε έναν τύπο για τον πίνακα Λύση: f ([ ] ) e+ e e ([ ] ) f e e e A f ([] ) 4 e + 4e 4e 4 Άρα ο πίνακας Α ισούται µε και Θα βρούµε πρώτα το χαρακτηριστικό πολυώνυµο τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα αυτού λ Έχουµε p λ A λi λ λ λ ( ) det( ) 4 4 ( 9) 4 4λ το και το 9 Ιδιοτιµές είναι λοιπόν 5
16 Κεφάλαιο 6 Ιδιοδιανύσµατα για το : (A- Ι) ή Α + y z 4 4 y + 4y 4z 4 4 z 4y+ 4z y+ z y y y z + z z Ιδιοδιανύσµατα για το 9: (A-9 Ι) 8 8+ y z 5 4 y 5y 4z 4 5 z 4y 5z 8+ y z 8 4z z 5y 4z z y 9y 9z y z y + z Άρα Άρα y z Β) Θεωρούµε τον πίνακα P που έχει στήλες τα ιδιοδιανύσµατα και Τότε P /9 5/9 4/9 /9 4/9 5/9 Άρα /9 /9 /9 A P P πράξεις πράξεις ίνεται ο πίνακας A (α) Να βρείτε έναν πίνακα Ρ τέτοιον ώστε ο Ρ - ΑΡ να είναι διαγώνιος (β) Να υπολογίσετε τον πίνακα A Λύση: (α) Υπολογίζουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α 6
17 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα λ p(λ) det( A I) ( )( ) λ λ λ + λ λ λ λ + λ Οι ιδιοτιµές του είναι διακεκριµένες και συνεπώς ο πίνακας διαγωνιοποιείται Ιδιοδιανύσµατα: λ + y z y + y y y z + y z 4 Άρα τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή είναι της µορφής λ 4 z z + y z y y z z + y z Άρα τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή είναι της µορφής λ- z z y z z y + y y z z + y+ z Άρα τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή είναι της µορφής z z 4 Σχηµατίζουµε από τα ιδιοδιανύσµατα τον πίνακα Ρ z z Τότε P 7
18 Κεφάλαιο 6 Επαληθεύουµε ότι 4 (β) Εποµένως ( ) D ( P AP) P A P A P P 4 A Έστω ο πραγµατικός πίνακας A (α) Εξετάστε αν ο πίνακας Α διαγωνοποιείται Αν ναι να βρεθεί ένας πίνακας Ρ τέτοιος ώστε ο Ρ - ΑΡ να είναι διαγώνιος (β) Να βρεθεί τα χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α και να υπολογίστε τον πίνακα A Λύση: α) Υπολογίζοντας την ορίζουσα det(a λi) βρίσκουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο p( λ ) λ Οι ιδιοτιµές του πίνακα είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του συνεπώς λ λ Επειδή ο Α είναι ένας πίνακας που έχει δύο διακεκριµένες ιδιοτιµές ο Α διαγωνοποιείται Τα ιδιοδιανύσµατα είναι οι λύσεις των αντίστοιχων συστηµάτων της µορφής AλI που µετά από γραµµοπράξεις δίνουν για ( ) λ το ιδιοδιάνυσµα {[ a a] / a R {}} και για λ το { [ a a] / a R {}} Έστω ο πίνακας P οι στήλες του P είναι τα ιδιοδιανύσµατα του Α Κάνοντας τις πράξεις έχουµε ότι ο πίνακας P AP είναι πράγµατι διαγώνιος β) Από το χαρακτηριστικό πολυώνυµο που υπολογίσθηκε στο α) ερώτηµα και το Θεώρηµα Cayley-Hamilto έχουµε A I A I Πολλαπλασιάζοντας µε Α την τελευταία σχέση επανειληµµένα µε Α έχουµε A I A A A A I A A A A I 8
19 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα κλπ Από εδώ παρατηρούµε (εύκολα αποδεικνύεται µε επαγωγή) ότι για A όταν k+ k ισχύει A I όταν k k 4 ίνονται οι πίνακες A και B είξτε ότι ο πίνακας Α διαγωνοποιείται και εκτελέστε την διαγωνοποίησή του είξτε ότι ο πίνακας Β δεν διαγωνοποιείται Να υπολογιστεί ο A και µε βάση το αποτέλεσµα αυτό να υπολογίστε το 4 I + A+ A + + A Λύση Σύµφωνα µε τη θεωρία έχουµε: Για τον Α τo χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα είναι λ p( λ) det( A λi) ( λ+ )( λ ) + ( λ+ )( λ) λ Οπότε έχουµε ιδιοτιµές και - (Σηµείωση: Επειδή ο πίνακας είναι τριγωνικός θα µπορούσαµε να πούµε άµεσα ότι οι ιδιοτιµές του είναι τα διαγώνια στοιχεία) Για λ τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος ( A I) και το παίρνει αυθαίρετες τιµές οπότε για την ιδιοτιµή έχουµε ιδιοδιάνυσµα µ µ Για λ τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος ( A + I) και το παίρνει αυθαίρετες τιµές οπότε για την ιδιοτιµή - έχουµε ιδιοδιάνυσµα µ µ Η ορίζουσα του πίνακα είναι διαφορετική από το µηδέν (-/) οπότε οι στήλες του είναι γραµµικώς ανεξάρτητα διανύσµατα Η διαγωνοποίηση του A επιτυγχάνεται µε τους πίνακες P D P όπου P AP D Για τον B τo χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα είναι λ det( B λi) ( λ)( λ ) + ( λ ) λ Οπότε έχουµε ιδιοτιµή διπλή Για λ τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος 9
20 Κεφάλαιο 6 ( B I) και το παίρνει αυθαίρετες τιµές οπότε για την ιδιοτιµή έχουµε ιδιοδιάνυσµα µ οπότε ο πίνακας δεν διαγωνοποιείται δεν διαγωνοποιείται γιατί η διάσταση του ιδιοχώρου της διπλής ιδιοτιµής είναι Έχουµε ότι A PDP A PD P k όπου ( ) D οπότε για άρτιο D I και για περιττό D D Συνεπώς Για άρτιο A PIP I Για περιττό A PDP A Οπότε 4 I + A+ A + + A A+ I + I Σηµείωση Για τον υπολογισµό του A µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και τον εξής συλλογισµό Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α είναι το λ Από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilto έχουµε A I δηλαδή A ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνοµο διδακτικό υλικό βασίζεται στο σύγγραµµα που διανέµεται και στην προτεινόµενη βιβλιογραφία του µαθήµατος Το περιεχόµενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραµµα των παραδόσεων του µαθήµατος Αποτελεί υλικό της διδασκαλίας του µαθήµατος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να µη χρησιµοποιηθεί και να µην αναπαραχθεί και διανεµηθεί για άλλο σκοπό
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότερα{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)
Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες
Κεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες Εσωτερικό Γινόμενο και ορθογωνιότητα Έστω V ένας διανυσματικός χώρος, υπόχωρος του n. Κάθε συνάρτηση ορισμένη στο VV (την οποία θα συμβολίζουμε με ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ (Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Νοεµβρίου 4. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: εκεµβρίου 4)
Διαβάστε περισσότεραΔιαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας
Διαγωνοποίηση μητρών Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Όμοιες μήτρες Ορισμός: Οι τετραγωνικές μήτρες Α=[α ij ] nxn & B=[b ij ] nxn όμοιες (Α~Β): αν υπάρχει ομαλή μήτρα Ρ τ.ώ. Β = Ρ -1 Α Ρ A~B Β~ Α Ρ ομαλή μήτρα
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου
Διαβάστε περισσότεραΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ).
1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). A n Πόρισμα 1: Ο βαθμός του χαρ/κου πολυωνύμου ενός
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003
http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 6
Μαθηµατικά β Σελίδα από 6 Μάθηµα 9 ο ΑΩΝΠΗΣΗ ΠΝΑΚΑ Θεωρία : ραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ 5 (µόνο την Πρόταση 6) Τα παραδείγµατα που αντιστοιχούν στην ύλη έχουν διδαχθεί Ασκήσεις :,, 4, 8, 9, σελ 58
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 16 Μαρτίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι
Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,
Διαβάστε περισσότερα8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα
Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 23 Μαρτίου
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές
Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A)
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 7 ο ΘΕΩΡΗΜΑ CYLEY-HMILTON Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 60 Ασκήσεις :,,, σελ 6 Ελάχιστο πολυώνυµο πίνακα Έστω πίνακας ν ν Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton
Διαβάστε περισσότερα============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση
Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Επιμέεια: Ι. Λυχναρόπουος. Έστω ο πίνακας 3. Δείξτε ότι το διάνυσμα v (,3) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραb. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.
Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας
Διαβάστε περισσότερα1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης
ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 00 Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις Άσκηση. ( µον.) ίνεται το σύστηµα y +
Διαβάστε περισσότερα4 k 2 = 2 ( 1+ 2 k 2. k 2 2 k= k 2. 1.ii) Αν σχηµατίσουµε τον πίνακα µε γραµµές τα δύο διανύσµατα έχουµε: Γ1 Γ1 ---> { }
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 8-9: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι
Διαβάστε περισσότερα2 3x 5x x
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραβαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των
Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 6 Μαρτίου 8 Ασκηση Εστω E
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουος Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 3. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές ποαπότητες
Διαβάστε περισσότεραA, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.
Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο
Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και
Διαβάστε περισσότεραx 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-9 ΛΥΣΕΙΣ = 1 (Ι) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα 6 40 1 0 A 4 1 1 1 (ΙΙ) Εστω b 1, b, b 3 στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 1 x 1 + 4x + x 3 = b x 1 + x + x
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα
ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / 009-0 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα Έστω η γραμμική απεικόνιση T : με (α) Βρείτε τον πίνακα της T, I Ως προς την κανονική βάση
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις4 48. P AP τριγωνικό. Αφού δείξτε ότι ο A δεν είναι διαγωνίσιμος, βρείτε αντιστρέψιμο A 1 3 1
Ασκήσεις4 48 Ασκήσεις4 Τριγωνισιμότητα Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Θεώρημα: είναι τριγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x ) γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 12 - Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Χαρακτηριστικό πολυώνυμο Έστω ο πίνακας Α: Αν από τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου α,α αφαιρέσουμε τον αριθμό λ, τότε προκύπτει ο πίνακας: του οποίου η ορίζουσα είναι η εξής:
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από
Διαβάστε περισσότερα1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]
σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν
Διαβάστε περισσότεραΧαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα
Έστω ο n nτετραγωνικός πίνακας A της μορφής a L a M O M an L a όπου aij, i n, j n πραγματικές σταθερές Ονομάζουμε χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα A την εξίσωση A λi, όπου I ο n n μοναδιαίος πίνακας και
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό
Διαβάστε περισσότεραΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN
Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Εάν ένας πίνακας δεν διαγωνοποιείται, τότε ο στόχος μας είναι υπολογίσουμε μέσω ενός μετασχηματισμού ομοιότητας, έναν απλούστερο πίνακα, «σχεδόν διαγώνιο» όπως ο παρακάτω πίνακας
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων
7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 9/6/08 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Έστω A= k και w = 3 0. Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων
Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 11: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 1. Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πιο κάτω πινάκων: 1 0 3 1 1 1 1 1 3 1 1 4 a b.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Ι (εκδ. ΙΩΝ) Edward & Penney
Ιδιοτιμές και 10 Ιδιοδιανύσματα 101 Εισαγωγή στις Ιδιοτιμές Δεδοµένης µια τετραγωνικής µήτρας A, ας ϑέσουµε την ακόλου- ϑη ερώτηση: Υπάρχει µη µηδενικό διάνυσµα v τέτοιο, ώστε το αποτέλεσµα Av του πολλαπλασιασµού
Διαβάστε περισσότερα[A I 3 ] [I 3 A 1 ].
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη
Διαβάστε περισσότερα1 1 A = x 1 x 2 x 3. x 4. R 2 3 : a + b + c = x + y + z = 0. R 2 3 : a + x = b + y = c + z = 0
Γραμμική Άλγεβρα Ι Θέματα Εξετάσεων Ιανουαρίου 6. (α Υπολογίστε τον πίνακα X R και την ορίζουσα det(x 5 αν AX = B + C και ( ( ( 3 3 A = B = C =. 4 3 (β Θεωρούμε πίνακα A R n n τέτοιον ώστε A = 4A 4I n.
Διαβάστε περισσότεραΠαραγοντοποιήσεις πίνακα
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΠΜΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ Παραγοντοποιήσεις πίνακα Θεωρία Perro-Frobeus Μαρία Αδάμ ΛΑΜΙΑ, 08 KΕΦΑΛΑΙΟ Παραγοντοποίηση πίνακα Άλγεβρα πινάκων
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ MSc PROGRAM ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΚΟΥΓΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΝΤΙΡΡΙΟ 03-04 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΙΝΑΚΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραx 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.
Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3
Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,
Διαβάστε περισσότεραΜία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα
Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 15 Αναλλοίωτοι Υπόχωροι, Ιδιόχωροι Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 2/5/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 15 2/5/2014 1 / 12 Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii28/laii28html Παρασκευή 23 Μαρτίου 28 a b Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις
Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 4 Μαίου 2018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότερα