Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων"

Transcript

1 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές κίνησης των σωµατιδίων του ρευστού, δηλαδή όλες τις καµπύλες του επιπέδου τέτοιες ώστε η ταχύτητα σε κάθε σηµείο αυτών να ταυτίζεται µε τις τιµές Fr ηλαδή ψάχνουµε τις λύσεις (ως προς r ) της εξίσωσης dr d v () = =F r (), = x, r Για παράδειγµα, αν η ταχύτητα του ρευστού σε κάθε σηµείο του επιπέδου τη χρονική στιγµή περιγράφεται από το διανυσµατικό πεδίο ταχυτήτων τότε έχουµε v: : v r = +x j, dr x = v () = =F( r () ) ( x (), () ) = ( (), x() ) d = x Το παραπάνω είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα δηµιουργίας ενός συστήµατος δε Ενηµερωτικά αναφέρουµε ότι κάθε τροχιά (δηλ καµπύλη) που ικανοποιεί το παραπάνω σύστηµα δε καλείται διανυσµατική ή δυναµική γραµµή του πεδίου Λύνοντας το σύστηµα και σχεδιάζοντας τις τροχιές παίρνουµε µια εποπτική παράσταση του πεδίου µέσω των δυναµικών γραµµών του Aς δούµε τώρα έναν άλλο τρόπο σχηµατισµού ενός συστήµατος δε Θεωρούµε τη γραµµική δε 7

2 Θέτουµε = = =, 3 = οπότε η παραπάνω δε γράφεται σαν ένα γραµµικό σύστηµα δε µε παραγώγους µόνον ης τάξης ως εξής: = = 3, 3 = ή πιο συνοπτικά υπό µορφή πίνακα δηλ = +, Y =A Y +B Αυτή είναι µια γενικότερη παρατήρηση που µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Mια δε τάξης µπορεί πάντα να αντικατασταθεί µε ένα σύστηµα δε που να έχει µόνον παραγώγους ης τάξης των αγνώστων συναρτήσεων Ισχύει και το αντίστροφο Ετσι στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την επίλυση συστηµάτων δε ης τάξης Ορισµός 4 Ένα σύστηµα δε ης τάξης περιγράφεται από το πλήθος δε της µορφής 8

3 (,,,, ) = f, (4) = f(,,,, ) όπου f,, f είναι γνωστές συναρτήσεις + µεταβλητών που εξαρτώνται εν γένει από κάποιες (ή και όλες) τις παραµέτρους,,,, και,,, είναι το πλήθος άγνωστες πραγµατικές συναρτήσεις Η (4) καλείται κανονική µορφή του συστήµατος δε Όταν το πλήθος των εξισώσεων ισούται µε το πλήθος των αγνώστων συναρτήσεων λέµε ότι το σύστηµα είναι καλά ορισµένο Ορισµός 4 Καλούµε λύση του συστήµατος δε (4) ένα σύνολο συναρτήσεων =,, = που επαληθεύουν την (4) για κάθε σε κάποιο διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας Ορισµός 43 Καλούµε γενική λύση του συστήµατος δε (4) κάθε λύση της µορφής = φ(, c,, c), = φ(, c,, c) όπου c,, c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές Μερική λύση της (4) καλείται κάθε οικογένεια το πλήθος συναρτήσεων,, που επαληθεύει την (4) και προκύπτει από τη γενική λύση για συγκεκριµένη επιλογή των σταθερών c, c Ορισµός 44 Καλούµε πρόβληµα αρχικών τιµών για το σύστηµα δε (4) την εύρεση µιας λύσης =,, = της (4) που ταυτόχρονα ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες = (4) = ( ) για κάποιο I, όπου I είναι ένα διάστηµα της πραγµατικής ευθείας και,, είναι δοθέντες πραγµατικοί αριθµοί, 9

4 Σηµειώνουµε εδώ ότι ισχύει το ανάλογο του Θεωρήµατος (βλέπε Κεφ ) για την ύπαρξη και µοναδικότητα του προβλήµατος αρχικών τιµών (4): Θεώρηµα 4 Εστω το πρόβληµα αρχικών τιµών (4), δηλ (,,,, ) = f = f = ( ) (,,,, ) = ( ) Αν οι συναρτήσεις,, f f f και, j =,, είναι συνεχείς σ ένα,,,, όπου,, είναι δοθέντες πραγµατικοί αριθµοί, τότε το πρόβληµα αρχικών τιµών έχει µοναδική λύση =,, = για κάθε σε κατάλληλη περιοχή του σηµείου ορθογώνιο Τ κέντρου Yπάρχουν δυο βασικές κατηγορίες συστηµάτων δε ης τάξης: τα γραµµικά και τα µη γραµµικά j Ορισµός 45 Ενα σύστηµα διαφορικών εξισώσεων ης καλείται γραµµικό αν είναι της µορφής τάξης = a + + a + b, (43) = a () + + a() + b() όπου οι a (, j =,, ) και b (,, ) j = είναι γνωστές πραγµατικές συναρτήσεις Προφανώς, ένα γραµµικό σύστηµα δε µπορεί να γραφεί υπό µορφή πινάκων ως Y =A Y +B,

5 όπου Y() = είναι ο πίνακας στήλη των αγνώστων () a a συναρτήσεων, Y () =, A() = είναι ο () a () a() (πραγµατικός) πίνακας των συντελεστών των αγνώστων b και B() = είναι ο πίνακας στήλη των σταθερών όρων Aν b () B= ( είναι ο µηδενικός πίνακας), δηλ Y =A Y, τότε µιλούµε για οµογενές γραµµικό σύστηµα δε, αλλιώς µιλούµε για µη οµογενές Σηµείωση (α) Στο εξής µε έντονα γράµµατα θα συµβολίζουµε διανύσµατα ή πίνακες Αν A () a a = am () am() είναι οποιοσδήποτε πίνακας µε στοιχεία παραγωγίσιµες a, στο εξής θα θεωρούµε ότι η παράγωγος του A συναρτήσεις j υπολογίζεται παραγωγίζοντας κάθε στοιχείο a Οµοίως αν οι a j a () a () A () = a m () a m () είναι συνεχείς συναρτήσεις, τότε j του A, δηλ

6 A () a d a d d = am () d am() d (β) Αν ένα σύστηµα διαφορικών εξισώσεων ης τάξης δεν είναι της µορφής (43), τότε µιλούµε για ένα µη γραµµικό σύστηµα δε Ορισµός 36 Αν ο πίνακας A είναι σταθερός, δηλαδή ισχύει a () = a, I, j όπου a j είναι πραγµατικές σταθερές, τότε το σύστηµα j Y =A Y + B καλείται γραµµικό µε σταθερούς συντελεστές, διαφορετικά καλείται γραµµικό µε µεταβλητούς συντελεστές Για µη γραµµικά συστήµατα δε, δεν υπάρχουν γενικές µέθοδοι επίλυσης και τα εξετάζουµε κατά περίπτωση Ακόµη όµως και στην περίπτωση των γραµµικών συστηµάτων δε (µε µεταβλητούς συντελεστές) τα πράγµατα δεν είναι απλά Κι αυτό διότι όπως είδαµε παραπάνω ένα γραµµικό σύστηµα διαφορικών εξισώσεων είναι ισοδύναµο µε µια συνήθη δε τάξης για την επίλυση της οποίας όπως ήδη είδαµε στο Κεφάλαιο 3 χρειάζεται να γνωρίζουµε ένα θεµελιώδες σύνολο λύσεων της Στο εξής ασχολούµαστε αποκλειστικά µε γραµµικά συστήµατα δε 4 Μέθοδοι επίλυσης 4 Η µέθοδος απαλοιφής Η µέθοδος απαλοιφής βασίζεται στη µετατροπή ενός συστήµατος δε µε άγνωστες συναρτήσεις σε µια δε τάξης και στην επίλυση αυτής αντί του συστήµατος Όταν το πλήθος των εξισώσεων είναι µικρό πχ ή 3 είναι µια σχετικά εύκολη µέθοδος επίλυσης

7 Παράδειγµα Να λυθεί το σύστηµα δε x = 7x 6 = x + + e Παραγωγίζουµε τη η εξίσωση και έχουµε = x + + e Στη συνέχεια αντικαθιστούµε την τιµή της x από την η εξίσωση και παίρνουµε 7 6 = x + + e = 84x 7+ e Λύνουµε τη η εξίσωση του συστήµατος ως προς x και έχουµε e = x+ + e x= και αντικαθιστούµε στην πιο πάνω εξίσωση Ετσι έχουµε e = 84x 7+ e = e και µετά από πράξεις παίρνουµε 3 + = 8e, δηλ µια µη οµογενή γραµµική δε ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές Η γενική λύση αυτής (βλ Κεφ 3) είναι Τότε = ce + c e + e 8 e 9ce 8ce + 7e + 63e x = = x + x= Παράδειγµα Να λυθεί το σύστηµα δε x + 3x = e Λύνουµε την η εξίσωση ως προς και αντικαθιστούµε στην η εξίσωση Ετσι παίρνουµε 3

8 x x x x e x x x e 3 + = + = Παραγωγίζουµε την τελευταία και έχουµε x x + x = e και αντικαθιστούµε την τιµή του από την η συστήµατος Ετσι παίρνουµε εξίσωση του x x x x x e x x x x e + = + = Η γενική λύση της τελευταίας είναι e x= ce + cσυν+ c3ηµ + 5 Στη συνέχεια έχουµε e = x x = ce + c( ηµ συν) c3( συν+ ηµ ) 5 e = ce c( συν+ ηµ ) c3( ηµ συν ) 5 Παράδειγµα Να λυθεί το σύστηµα δε x = + z = x + z z = x + Παραγωγίζουµε την η εξίσωση και αντικαθιστούµε σ αυτή τις τιµές των και z από τη η και 3 η εξίσωση αντιστοίχως Ετσι παίρνουµε x = + z = x+ z + x+ = x+ + z = x+ x Η γενική λύση της x = x+ x (γραµµική ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές) είναι: x = ce + ce Tότε 4

9 = x+ z = ce + c e + z = ce + c e + z = ce + c e + x+ = 3c e, η οποία είναι µη οµογενής ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές και γενική λύση = ce + c3e Τότε z = + z = ce + c e + c e z= ce + c e c e Επίλυση µε χρήση θεµελιώδους πίνακα Εστω A a () και = [ b() ] = j B είναι δυο και πίνακες αντιστοίχως µε στοιχεία πραγµατικές συναρτήσεις και Y =A Y +B (44) είναι ένα µη οµογενές γραµµικό σύστηµα δε Τότε το Θεώρηµα 4 ύπαρξης και µοναδικότητας γίνεται Θεώρηµα 4 Εστω το πρόβληµα αρχικών τιµών Y = Y( ) Y =A Y +B, T όπου = [,, ] Αν τα στοιχεία j b (, j =,, ) των πινάκων A και T Y ( A είναι ο ανάστροφος του πίνακα A ) είναι δοθέν διάνυσµα στήλη του a και A αντιστοίχως είναι συνεχείς συναρτήσεις σε κάποιο διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας που περιέχει το, τότε το πρόβληµα αρχικών τιµών έχει µοναδική λύση =,, = για κάθε I Στο εξής πάντα θα θεωρούµε ότι οι συναρτήσεις aj b (, j,, ) και = είναι συνεχείς σε κάποιο διάστηµα της πραγµατικής ευθείας εκτός αν κάτι άλλο δηλώνεται Για την εύρεση της γενικής λύσης της (44) ισχύει το ακόλουθο 5

10 Θεώρηµα 43 Η γενική λύση του µη οµογενούς συστήµατος (44) ισούται µε το άθροισµα της γενικής λύσης του οµογενούς Y =A Y και µιας οποιασδήποτε µερικής συστήµατος λύσης της (44) Απόδ Όπως στο Κεφάλαιο 3, ενότητα 3 Κατά συνέπεια, η εύρεση της γενικής λύσης της (44) ανάγεται στην εύρεση της γενικής λύσης του οµογενούς συστήµατος Y =A Y και στην εύρεση µιας µερικής λύσης της (44) Αρχικά ασχολούµαστε µε την εύρεση της γενικής λύσης του Y =A Y οµογενούς συστήµατος 3 Οµογενή συστήµατα Ορισµός 46 Κάθε απεικόνιση της µορφής ( ) ϕ ϕ φ: I : φ= φ =,,, όπου ϕ,, : ϕ I είναι πραγµατικές συναρτήσεις καλείται διανυσµατική συνάρτηση µιας µεταβλητής Ορισµός 47 Θα λέµε ότι οι διανυσµατικές συναρτήσεις,, ορισµένες σ ένα διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας είναι γραµµικά εξαρτηµένες στο I, αν υπάρχουν σταθερές c,, c όχι όλες ίσες µε µηδέν έτσι ώστε cφ + + cφ = I φ φ Σε αντίθετη περίπτωση θα λέµε ότι οι ανεξάρτητες στο I φ,, φ είναι γραµµικά Εστω 6

11 ( ) ϕ,, ϕ φ = φ = ( ) () ϕ (),, ϕ () Τότε, ένα χρήσιµο κριτήριο γραµµικής εξάρτησης/ανεξαρτησίας φ φ µας δίνει η ακόλουθη: των,, Πρόταση 4 Εστω φ,, φ είναι διανυσµατικές συναρτήσεις όπως παραπάνω Αν η ορίζουσα Wrosk W ( ) φ,, φ σ ένα τουλάχιστον σηµείο πραγµατικής ευθείας, τότε οι φ,, στο I Απόδ Εύκολη ( ) ϕ ( ) ϕ = ϕ ( ) ϕ ( ) I, όπου I είναι διάστηµα I της φ είναι γραµµικά ανεξάρτητες Πόρισµα 4 Αν οι διανυσµατικές συναρτήσεις γραµµικά εξαρτηµένες στο I, τότε φ,, φ είναι Απόδ Αµεση () ϕ W = = I φ,, φ ϕ ϕ Ορισµός 48 Αν φ,, () ϕ () οµογενούς συστήµατος φ είναι γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις του Y =A Y, τότε ο πίνακας Φ = φ,, φ µε στήλες τις διανυσµατικές συναρτήσεις φ,, φ λέµε ότι αποτελεί ένα θεµελιώδη πίνακα του οµογενούς συστήµατος 7

12 Θεώρηµα 44 Αν Φ () είναι ένας θεµελιώδης πίνακας του οµογενούς συστήµατος Y =A Y, τότε η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος δίνεται από τη σχέση όπου ( c c ) Y = Φ C, C=,, είναι αυθαίρετο διάνυσµα στήλη του Απόδ Είναι εύκολο να δούµε ότι η = οµογενούς δε Y =A Y Αντίστροφα, έστω Y Φ C είναι λύση της Y είναι µια λύση του προβλήµατος αρχικών τιµών (4) για κάποιο I και δοθέντες πραγµατικούς αριθµούς,, Τότε σχηµατίζουµε το γραµµικό σύστηµα το οποίο έχει µοναδική λύση ( ) ( ) Y =Y = Φ C ( ) - C=Φ Y, διότι ο Φ () είναι θεµελιώδης πίνακας Ετσι η - Φ Φ Y είναι λύση του προβλήµατος αρχικών τιµών, οπότε θα ισχύει ταυτοτικά - Y Φ Φ ( ) Y λόγω του θεωρήµατος 43 ύπαρξης και µοναδικότητας Το παραπάνω θεώρηµα µας παρέχει τη γενική λύση του οµογενούς συστήµατος Y =A Y υπό την προϋπόθεση ότι είναι γνωστές γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις του Υπάρχουν όµως πάντα δυο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις του οµογενούς συστήµατος; Και αν ναι πως τις βρίσκουµε; Η απάντηση στο πρώτο ερώτηµα είναι θετική όπως φαίνεται στην ακόλουθη: 8

13 Πρόταση 4 Για το οµογενές σύστηµα Y =A Y, υπάρχουν πάντα γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις του σε διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας υστυχώς η Πρόταση 4 δεν µας δείχνει τον τρόπο µε τον οποίο θα µπορέσουµε να βρούµε ένα θεµελιώδη πίνακα το οποίο είναι και το µεγαλύτερο πρόβληµα στη µελέτη γραµµικών συστηµάτων µε µεταβλητούς συντελεστές 4 Μη οµογενή συστήµατα Η µέθοδος µεταβολής των σταθερών (Lagrage) Ας ασχοληθούµε τώρα µε την εύρεση µιας µερικής λύσης του µη οµογενούς συστήµατος (44) Για το σκοπό αυτό θα εφαρµόσουµε τη µέθοδο µεταβολής των σταθερών Απαραίτητη προϋπόθεση είναι να γνωρίζουµε ένα θεµελιώδη πίνακα Φ () του οµογενούς συστήµατος Y =A Y σε κάποιο διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας Εστω λοιπόν Y = Φ C είναι η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος Υποθέτουµε πως C=C και προσπαθούµε να προσδιορίσουµε το διάνυσµα στήλη C ώστε η = Y Φ C να είναι µια µερική λύση του συστήµατος (44) Παραγωγίζοντας έχουµε = + Y Φ C Φ C Αντικαθιστούµε στην (44) και παίρνουµε + = + Φ C Φ C A Φ C B Φ C + Φ C = Φ C + B - Φ C B C = Φ B = 9

14 - () () C = Φ B d (46) Αρα η - = Y Φ Φ B d είναι µια µερική λύση του µη οµογενούς συστήµατος (44) 43 Eιδική περίπτωση: Γραµµικά συστήµατα δε µε σταθερούς συντελεστές Mέθοδος πινάκων (Euler) Στην περίπτωση αυτή τα πράγµατα είναι πιο απλά Προφανώς ισχύει η γενική θεωρία που αναπτύξαµε προηγουµένως, αλλά τώρα µπορούµε να υπολογίσουµε πιο εύκολα τη γενική λύση του οµογενούς συστήµατος Y =A Y Υπενθυµίζουµε ότι στην περίπτωση αυτή ο A είναι σταθερός πίνακας Ας ξεκινήσουµε πρώτα µε το οµογενές σύστηµα Y =A Y Εφόσον αυτό είναι ισοδύναµο µε µια οµογενή γραµµική δε τάξης µε σταθερούς συντελεστές είναι λογικό ν αναρωτηθούµε αν Y =A Y της µορφής υπάρχουν λύσεις της εξίσωσης = e λ Y C, όπου λ και C σταθερό µη µηδενικό διάνυσµα στήλη Τότε έχουµε Πρόταση 43 Αν C είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του πίνακα A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ, τότε η Y = C e λ είναι µια λύση του οµογενούς συστήµατος δε Y =A Y Απόδ Με τις παραπάνω προϋποθέσεις, αντικαθιστούµε την = e λ Y =A Y και παίρνουµε: Y C στην λe e λ e e λ e λ e λ λ λ λ λ λ C =A C C =A C C = C 3

15 Mελετούµε τώρα τις ακόλουθες περιπτώσεις: Eστω ότι ο πίνακας A έχει το πλήθος πραγµατικές και διακεκριµένες ιδιοτιµές λ,, λ Τότε είναι γνωστό από τη γραµµική άλγεβρα ότι σ αυτές τις ιδιοτιµές αντιστοιχούν γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα στήλες ξ,, ξ Οι λύσεις,, ξ e λ ξ e λ είναι γραµµικά ανεξάρτητες και ο πίνακας,, e λ e λ Φ = ξ ξ είναι ένας θεµελιώδης πίνακας του οµογενούς συστήµατος Eστω ότι ο πίνακας A έχει µια πραγµατική ιδιοτιµή λ αλγεβρικής πολλαπλότητας ν Αν η αλγεβρική και η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ ταυτίζονται, τότε στην ιδιοτιµή λ αντιστοιχούν ν το πλήθος γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα τα οποία βρίσκουµε µε τη συνήθη διαδικασία Αν η αλγεβρική πολλαπλότητα είναι µικρότερη της γεωµετρικής, τότε δεν µπορούµε να βρούµε ν γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της µορφής ξ e λ Πάντα όµως υπάρχει µια λύση της µορφής ξ e λ Αναζητούµε µια δεύτερη γραµµικά ανεξάρτητα λύση της µορφής ( η + σ ) e λ όπου η, σ άγνωστα διανύσµατα στήλες τα οποία προσδιορίζουµε µε αντικατάσταση στην οµογενή δε Y =A Y Αν χρειαζόµαστε και τρίτη γραµµικά ανεξάρτητη λύση την αναζητούµε στη µορφή ( + ) w η + σ e λ, όπου η, σ, w άγνωστα διανύσµατα στήλες τα οποία προσδιορίζουµε µε αντικατάσταση στην οµογενή δε Y =A Y κλπ 3

16 Αν έχουµε µιγαδική ιδιοτιµή λ + µ (οπότε θα έχουµε και τη συζυγή της λ µ διότι ο A είναι πραγµατικός πίνακας) τότε σ αυτήν αντιστοιχεί ένα ιδιοδιάνυσµα u+ v και στην λ µ αντιστοιχεί το u v Ετσι οι ( u+ v ) e ( λ + µ ) και ( u v ) e ( λ µ ) είναι (µιγαδικές) λύσεις της οµογενούς δε Λόγω γραµµικότητας τόσο το πραγµατικό όσο και το φανταστικό µέρος των παραπάνω λ ( uσυν ( µ ) v ηµ ( µ )) και e uηµ ( µ ) + v συν ( µ ) λ e είναι δυο πραγµατικές και γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της οµογενούς δε Αν οι µιγαδικές ρίζες έχουν πολλαπλότητα µεγαλύτερη του εργαζόµαστε όπως πριν Στην περίπτωση µη οµογενούς συστήµατος δε µε σταθερούς συντελεστές, βρίσκουµε τη γενική λύση του οµογενούς συστήµατος όπως παραπάνω και µια µερική λύση του µη οµογενούς συστήµατος µε τη µέθοδο µεταβολής των σταθερών ή προσδιοριστέων συντελεστών Σηµείωση Ας θεωρήσουµε το οµογενές σύστηµα Y =A Y Η µορφή αυτή µας θυµίζει τη µορφή οµογενούς γραµµικής εξίσωσης ης τάξης = a (βλέπε ο κεφ) της οποίας η γενική = ce Κατ αναλογία, είναι λογικό ν αναρωτηθούµε a λύση είναι αν υπάρχουν λύσεις της εξίσωσης A = e Y =A Y της µορφής Y C (47) Τι νόηµα έχει όµως τώρα η ποσότητα e A ; Αν λάβουµε υπόψη τον εκθετικό πίνακα e A που ορίζεται µέσω της σειράς τότε A A A e = I+ A ,! e A A A = I + A ! 3

17 Από τα παραπάνω είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι A e = A A e, οπότε οι στήλες του e A είναι λύσεις της οµογενούς δε Y =A Y και µάλιστα είναι γραµµικά ανεξάρτητες διότι ο e A A είναι αντιστρέψιµος µε A (αφού e A e = e A A A A e e = e = I ) Αρα ο πίνακας είναι θεµελιώδης πίνακας του οµογενούς συστήµατος Y =A Y και συνεπώς η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος είναι e A A e Y = C υστυχώς ο είναι δύσκολο να βρεθεί απ τον ορισµό του εκτός k περιπτώσεων όπου A =O k Επίσης, αν ο A είναι διαγώνιος πίνακας µε στοιχεία a στην κύρια διαγώνιο, τότε ο e A είναι επίσης διαγώνιος πίνακας της µορφής e A a e = a e e A Τέλος αν ο είναι διαγωνοποιήσιµος, οπότε υπάρχει διαγώνιος πίνακας D µε στοιχεία της κυρίας διαγωνίου τις ιδιοτιµές του πίνακα A και αντιστρέψιµος πίνακας U µε στήλες τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα του A έτσι ώστε - A=U D U, τότε αντικαθιστώντας στον ορισµό του ότι e A = U e D U - e A είναι εύκολο να δούµε Στην περίπτωση αυτή µπορούµε άµεσα να υπολογίσουµε τη γενική λύση και του µη οµογενούς συστήµατος από τη σχέση Y =A Y + B 33

18 (βλέπε (46)) () = A A -A () = A -A () Y e C+ e e B d e C+ e B d Παράδειγµα Nα λυθεί το σύστηµα δε x = x+ = 4x + 3 Εχουµε ένα οµογενές γραµµικό σύστηµα δε το οποίο γράφεται σε µορφή πίνακα ως εξής x x = 4 3 Θα υπολογίσουµε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα A = 4 3 Υπενθυµίζουµε ότι οι ιδιοτιµές του πίνακα A είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του: De λ A λ I = = λ = 5 η λ = 4 3 λ Eστω ( x, ) είναι ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = 5 Τότε x x 4x= 5 x 4 3 = = 4x= Αρα οι λύσεις του συστήµατος είναι ( x, ) = ( x,x) = x(, ), x και το διάνυσµα ξ = (, ) είναι µια βάση του χώρου των ιδιοδιανυσµάτων Για την ιδιοτιµή λ = έχουµε x x = x x 4 3 = = = x 34

19 Αρα οι λύσεις του συστήµατος είναι ( x, ) = ( x, x) = x(, ), x και το διάνυσµα ξ = (, ) είναι είναι µια βάση του χώρου των ιδιοδιανυσµάτων Εφόσον οι ιδιοτιµές είναι διακεκριµένες από τη θεωρία γνωρίζουµε ότι οι λύσεις λ 5 ξe = e λ ξ e = e είναι δυο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις του οµογενούς συστήµατος Αρα η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος είναι η x = ce + ce 5 Παράδειγµα Υπολογίστε τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος x x = z z Λύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι το De 3 ( λ ) = λ = 3λ λ 3 λ A I λ Oι ιδιοτιµές του A είναι οι ρίζες του πολυωνύµου 3 3λ λ δηλαδή De A λ I 3 = λ = ( διπλη), λ = 3 Τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ =, λ = 3 υπολογίζονται από τη λύση του συστήµατος A u= λ u αντικαθιστώντας την τιµή του λ µε τη συγκεκριµένη ιδιοτιµή που βρήκαµε Πιο συγκεκριµένα: 35

20 Για λ = έχουµε ξ A ξ= λ ξ ( A I ) ξ= Ο ξ = 3 33 ξ 3 ξ ξ ξ3 = ξ+ ξ + ξ3 = ξ ξ ξ3 = ξ + ξ + ξ = Θέτουµε ξ = c = σταθερα και ξ3 = d = σταθερα οπότε η λύση του συστήµατος είναι όλα τα διανύσµατα ξ = ( ξ, ξ, ξ3) των οποίων οι συντεταγµένες είναι της µορφής ( ξ, ξ, ξ ) ( c d, c, d) c(,,) d(,,) ξ = = + = + 3 Τα παραπάνω είναι ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ = και όπως φαίνεται στην προκειµένη περίπτωση ορίζουν ένα ξ, ξ =,,,,, ηλαδή η { } διδιάστατο χώρο µε βάση { } αλγεβρική και η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ = ταυτίζονται Εκλέγουµε τη βάση αυτή ως αντιπρόσωπο και λέµε ότι στην ιδιοτιµή λ = αντιστοιχεί η βάση ιδιοδιανυσµάτων,,,,, { } Για λ = 3 έχουµε ξ A ξ= λ ξ ( A 3 I ) ξ= Ο ξ = 33 ξ 3 ξ + ξ + ξ = ξ = ξ 3 3 ξ+ ξ ξ3 = ξ = ξ3 ξ ξ + ξ3 = Εποµένως η λύση του αρχικού συστήµατος είναι όλα τα ξ = ξ, ξ, ξ των οποίων οι συντεταγµένες διανύσµατα ικανοποιούν τη σχέση 3 36

21 ξ, ξ, ξ = ξ, ξ, ξ = ξ,,, ξ Τα ιδιοδιανύσµατα αυτά ορίζουν ένα µονοδιάστατο χώρο µε βάση ξ =,, Τελικά { } το διάνυσµα { } 3 { } { ξ ξ} ξ λ = ( διπλη ), =,,,,, λ = =,, Τότε η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος είναι η 3 x c+ c c3e ce ce c3e = + + = c+ c3e z c + c3e Παράδειγµα Υπολογίστε τις λύσεις του µη οµογενούς συστήµατος x x = + + z 4 z e Λύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι το De λ A I 3 4 λ ( λ ) = λ = ( λ ) ( λ 3) Oι ιδιοτιµές του πίνακα Α είναι οι ρίζες της εξίσωσης Για λ = έχουµε: De A λ I3 = λ = ( διπλη ), λ = 3 x x = = z =, 4 z z z = 37

22 xz,, = x,, = x,,, x ιαπιστώνουµε ότι ενώ η αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ = είναι ίση µε, εν τούτοις η γεωµετρική της πολλαπλότητα είναι ίση µε Προφανώς µια λύση του συστήµατος είναι η Άρα = λ ξ e e Ψάχνουµε τώρα µια δεύτερη γραµµικά ανεξάρτητη λύση της µορφής ( σ+ η ) e, όπου ( σ, σ, σ ) T ( η, η, η ) σ= 3,η= 3 είναι διανύσµατα στήλες διάστασης 3 που πρέπει να προσδιορίσουµε Αντικαθιστούµε τη λύση αυτή στο οµογενές σύστηµα και παίρνουµε ( σ+ η) + η = A ( σ+ η ) e e e ( σ η σ) e ( η η ) e + + = A A O ( ) T σ+ η A σ= O A I3 σ=η A I3 σ=η η A η= O A I3 η= O η= x,, A I3 η = O υπονοεί ότι το η είναι ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = και άρα είναι της µορφής η= ( x,,) όπως δείξαµε παραπάνω Λύνουµε τώρα ως προς σ την εξίσωση διότι η η εξίσωση ( ) σ x σ = x A I σ 3 σ=η = σ = x σ 3 σ3 = x Επιλέγουµε (,, ) σ= και ορίζουµε τη λύση 38

23 ( ) e ξe = ( σ+ η ) e = + e = µια δεύτερη λύση του συστήµατος γραµµικά ανεξάρτητη της Για λ = 3 έχουµε: x x x= c = 3 = c, 4 z z z = c Άρα ξ e xz,, = cc,, c = c,,, c Μια τρίτη λύση του συστήµατος είναι η λ3 3 ξ e 3 = e Αρα η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος είναι η 3 x e ce + c e + c3e 3 3 c e c c 3 = + + e = c+ c3e 3 z c c3e Προφανώς ένας θεµελιώδης πίνακας της οµογενούς δε είναι ο e e 3 3 Φ () = e 3 e Για να βρούµε µια µερική λύση του µη οµογενούς συστήµατος εφαρµόζουµε τη µέθοδο µεταβολής των σταθερών Εστω Φ () C µια µερική λύση της µη οµογενούς Τότε 39

24 + e e C () = Φ () B () = e e e e + e e + e + e 4 e = e ( e + ) e Αρα C = Φ B d και η () Φ B Φ d είναι µια µερική λύση της µη οµογενούς δε, οπότε η γενική λύση προκύπτει από το άθροισµα της γενικής λύσης της οµογενούς και της µερικής λύσης της µη οµογενούς Παράδειγµα Αν Φ () είναι ένας θεµελιώδης πίνακας λύσεων του οµογενούς συστήµατος () = Υ λύση του συστήµατος Υ () = Υ Α Εχουµε Υ Α, δείξτε ότι ο Φ () είναι Φ() Φ () = I Φ () Φ () + Φ() Φ () = O () () () () A Φ Φ + Φ Φ = O A+ Φ() Φ () = O () () + = () A Φ Φ A Φ = A Φ () Παράδειγµα Να αναχθεί σε σύστηµα διαφορικών εξισώσεων και να λυθεί η δε x dx+ x d= Θέτουµε dx d x = x = d 4

25 Ετσι παίρνουµε το σύστηµα dx = d x d = d x Η η εξίσωση είναι χωριζοµένων µεταβλητών µε γενικό ολοκλήρωµα dx x = d τοξεφ x = + c x = ηµ + c Η η εξίσωση είναι γραµµική και έχουµε = x= ηµ + c = ce + ηµ + c + συν + c Εφόσον = τοξεφx c έχουµε τοξηµ x c ce x συν τοξηµ x = + + Παράδειγµα Εστω δυο βαρέλια µε αλατόνερο το καθένα, έχουν αλάτι το πρώτο και αλάτι το δεύτερο Τότε αρχίζει να µπαίνει νερό στο ο βαρέλι µε ρυθµό /m ενώ ταυτόχρονα καλά ανακατεµένο µείγµα ρέει από το ο στο ο βαρέλι µε ρυθµό /m και καλά ανακατεµένο µείγµα από το ο βαρέλι ρέει προς τα έξη επίσης µε ρυθµό /m Ποια είναι η ποσότητα αλατιού που υπάρχει στο κάθε βαρέλι κάθε χρονική στιγµή; Εστω x = x και = είναι η ποσότητα αλατιού στο ο και ο βαρέλι αντίστοιχα To αλατόνερο (οµοιόµορφα κατανενηµένο) στο ο βαρέλι έχει % αλάτι και 8% νερό Αρα στη µονάδα του χρόνου αφού µπαίνει στο ο βαρέλι µόνον νερό και µετακινείται στο ο βαρέλι ίση ποσότητα αλατόνερου χάνεται το % αλατιού από την ποσότητα του αλατόνερου που µετακινείται στο ο βαρέλι Αρα αφού ο ρυθµός ροής στο ο βαρέλι είναι /m θα έχουµε x () = x() 4

26 Στο ο βαρέλι εισέρχεται αλατόνερο από το ο και ταυτόχρονα εξέρχεται από το ο µε τον ίδιο ρυθµό, άρα () = x() () Εχουµε λοιπόν το πρόβληµα αρχικών τιµών x () = x() x( ) =, () () () ( ) = = x Η λύση αυτού είναι η x= e = + e 5 /5 /5 Ασκήσεις Να λυθούν τα συστήµατα δε x = x+ = 9x + Απ x= ce + c e = 3ce 3c e z = x =, z = z( ) = Απ = e z = e w = w = w+ + z =, ( ) = w z ηµ x + = z( ) = Απ w= συν x+ ηµ x = συν x ηµ x z = u + v= u v = e Απ u= ce e + c + c ce e 3 = + Υπολογίστε ένα θεµελιώδη πίνακα του οµογενούς Υ () = Α Υ, αν συστήµατος 4

27 Α= 4 Απ 3 e e Φ () = 3 e e 7 6 Α= Απ 3e e Φ () = 4e 3e 5 Α= 3 5συν ( ) 5ηµ ( ) 3e Απ Φ () = ( συν ( ) + ηµ ( ) ) ( συν ( ) ηµ ( ) ) συν ( ) ηµ ( ) e 3 e + e Α= Απ Φ () = e e 43

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραµµικές ιαφορικές Εξισώσεις 2 ης τάξης

Κεφάλαιο 3. Γραµµικές ιαφορικές Εξισώσεις 2 ης τάξης Κεφάλαιο 3 Γραµµικές ιαφορικές Εξισώσεις ης τάξης Στο Κεφάλαιο αυτό θα αναπτύξουµε κυρίως τη θεωρία των γραµµικών δ.ε. ης τάξης. Ο λόγος είναι τριπλός: (α) το γεγονός ότι οι γραµµικές δ.ε. ης τάξης έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Αποστολάτου 6 Μαϊου 2001 Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Θεωρούµε ότι 6 ίσες µάζες συνδέονται µε ταυτόσηµα

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1 ης Τάξης.

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1 ης Τάξης. . Γενικά. Εστω p pt Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις ης Τάξης. = είναι ένας (άγνωστος) αποµονωµένος πληθυσµός ενός βιότοπου τη χρονική στιγµή t. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε nt () γεννήσεις και mt () θανάτους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

4 k 2 = 2 ( 1+ 2 k 2. k 2 2 k= k 2. 1.ii) Αν σχηµατίσουµε τον πίνακα µε γραµµές τα δύο διανύσµατα έχουµε: Γ1 Γ1 ---> { }

4 k 2 = 2 ( 1+ 2 k 2. k 2 2 k= k 2. 1.ii) Αν σχηµατίσουµε τον πίνακα µε γραµµές τα δύο διανύσµατα έχουµε: Γ1 Γ1 ---> { } http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 8-9: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ.

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 11/5/2012 Σηµαντικό χαρακτηριστικό µέγεθος (ϐαθµωτός) για κάθε τετραγωνικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x)

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x) ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής p f ( ( q(, όπου p( και q ( είναι πολυώνυµα µιας µεταβλητής του µε συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1 ης τάξης

Κεφάλαιο 2. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1 ης τάξης Κεφάλαιο Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1 ης τάξης 1 Εισαγωγή και βασικές έννοιες H θεωρία των διαφορικών εξισώσεων είναι πολύ σηµαντική διότι µοντελοποιεί πλήθος φυσικών προβληµάτων µέσω µιας εξίσωσης ή

Διαβάστε περισσότερα

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2: http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Προκαταρκτικά Σώµα = Αντιµεταθετικό σώµα, χαρακτηριστικής µηδενός Τα σώµατα αυτά καλούνται και αριθµητικά σώµατα Θα τα συµβολίζουµε µε τα γράµµατα F, F, L κλπ Έστω ότι κάποια ανάγκη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας.

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας. Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερµότητας Εστω Ω είναι ανοικτό σύνολο του µε γνωστή θερµοκρασία στο σύνορό του Ω κάθε χρονική στιγµή και γνωστή αρχική θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του Ω Τότε οι φυσικοί νόµοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. H κυµατική εξίσωση.

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. H κυµατική εξίσωση. 3 Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ 3 H κυµατική εξίσωση Θα αναζητήσουµε το µαθηµατικό νόµο που διέπει την ταλάντωση ελαστικού νήµατος/χορδής για µικρές κατακόρυφες µετατοπίσεις Yποθέτουµε ότι η χορδή έχει οµοιόµορφη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα