Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x"

Transcript

1 Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται i -συνταταγµένη του x, x,, x ) Έστω x, x, x ) R και y, y, ym) R m, τότε ισχύει η ισοδυναµία = m και x, x, x ) = y, y, y m) x = y, x = y,, x = y Με 0 συµβολίζουµε το µηδενικό διάνυσµα, δηλ το διάνυσµα που έχει όλες τις συντεταγµένες µηδέν Στο R ορίζουµε τις πράξεις: την πρόσθεση: x, x, x ) + y, y, y ) = x + y, x+ y, x+ y) και τον αριθµητικό πολλαπλασιασµό: λ x, x, x ) = λx, λx, λ x ) Θέτουµε x, x, x ) - y, y, y ) = x y, x y,, x y ) Έστω Α R, µε Α Το Α λέγεται υπόχωρος του R αν ικανοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες: i) Αν α και β Α τότε α + β Α, ii) Αν α Α και λ Rτότε λα Α Κάθε υπόχωρος του R περιέχει το µηδενικό διάνυσµα 0 του R Τα {0} και R είναι υπόχωροι του R, όπου 0 το µηδενικό διάνυσµα του R ) Έστω Α R Το Α είναι υπόχωρος του R αν ικανοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες: Το µηδενικό διάνυσµα 0 του R ανήκει στο Α Αν α και β Α τότε α + β Α Αν α Α και λ Rτότε λα Α Αν A, B υπόχωροι του R και A B τότε λέµε ότι το Α είναι υπόχωρος του Β Αν α, α,, α κ R και λ, λ,, λ κ R, τότε το λ α + λ α + + λ κ α κ λέγεται γραµµικός συνδυασµός των α, α,, α κ Αν θέσουµε Α = { α, α,, α κ }, τότε µε SA) συµβολίζουµε το σύνολο των γραµµικών συνδυασµών των α, α,, α κ Το SA) λέγεται παραγόµενο σύνολο από το Α µε γραµµικούς συνδυασµούς

2 Το SA) είναι υπόχωρος Ασκήσεις ) Εξετάστε πότε ισχύουν οι ισότητες: { x} = { y, z},, d,, h) = d, h, e, ), { ρ, λ} = { λ, ρ}, κ, ν ) = ν, κ ) ) είξτε ότι το Α = {x, x + y): x, y R} είναι υπόχωρος του R 3) είξτε ότι το Β = {x, x ): x R} δεν είναι υπόχωρος του R 4) Βρείτε για ποιες τιµές του ρ το σύνολο Γ = {x, x + ρ, x): x R} είναι υπόχωρος του R 3 = x, y, z, w) : x+ y+ z+ w= 0 είναι υπόχωρος του R 4 5) Εξετάστε αν το { } 6) Εξετάστε αν το Ε= x, y, z, w) : α x+ β y+ γ z+ δ w= 0, α x+ β y+ γ z+ δ w= 0 είναι { } υπόχωρος του R 4, όπου α, β, γ, δ, α, β, γ, δσταθερές 7) Ένας υπόχωρος του R είναι ένα από τα ακόλουθα: ή το σύνολο που περιέχει µόνο το σηµείο της αρχής των αξόνων, ή το σύνολο των σηµείων µιας ευθείας που περνάει από την αρχή των αξόνων, ή όλο το R 3 8) Ένας υπόχωρος του R 3 είναι ένα από τα ακόλουθα: ή το σύνολο που περιέχει µόνο το σηµείο της αρχής των αξόνων, ή το σύνολο των σηµείων µιας ευθείας που περνάει από την αρχή των αξόνων, ή το σύνολο των σηµείων ενός επιπέδου που περνάει από την αρχή των αξόνων, ή όλο το R 3 9) είξτε ότι S{,),,3)} = R Τα α, α,, α κ R λέγονται γραµµικά ανεξάρτητα αν η εξίσωση λ α + λ α + + λ κ α κ = 0 έχει µόνο την µηδενική λύση, δηλ όταν λ α + λ α + + λ κ α κ = 0 λ = λ = = λ κ = 0 Αν τα α, α,, α κ δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητα τότε λέγονται γραµµικά εξαρτηµένα Τα α, α,, α κ είναι γραµµικά εξαρτηµένα τότε και µόνο όταν κάποιο από αυτά είναι γραµµικός συνδυασµός των άλλων Ασκήσεις ) είξτε ότι τα, ),, ) είναι γραµµικά ανεξάρτητα ) Εξετάστε ποιά από τα, ),, ),, ) είναι γραµµικός συνδυασµός των άλλων δύο 3) Όταν ένα σύνολο διανυσµάτων Α του R περιέχει το µηδενικό διάνυσµα τότε τα διανύσµατα του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα 4) Αν τα α, α,, α κ είναι γραµµικά ανεξάρτητα τότε η εξίσωση λ α + λ α + + λ κ α κ = µ α + µ α + + µ κ α κ ισχύει τότε και µόνο όταν λ = µ, λ = µ,, λ κ = µ κ 5) Έστω Α = {e,e,, e }όπου e i τα µοναδιαία διανύσµατα του R,δηλ

3 3 e i = δ i, δ i, δ i3,, δ i ), µε Τότε SA) = R δ ij αν i=j = 0 αν i j Ένα σύνολο Α = { α, α,, α κ } R λέγεται βάση ενός υπόχωρου Χ R, όταν: i) SΑ) = X, και ii) τα στοιχεία του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα Θεώρηµα i) Κάθε υπόχωρος Χ {0} έχει βάση ii) Αν τα {α, α,, α κ }και {β, β,, β λ } είναι δύο βάσεις ενός υπόχωρου Χ, τότε κ = λ iii) Αν {α, α,, α κ } είναι βάση του υπόχωρου Χ, {β, β,, β λ } είναι βάση του υπόχωρου Υ, και Χ Υ, τότε κ λ Το κ = λ ισχύει µόνο όταν Χ = Υ Ορίζουµε ως διάσταση ενός υπόχωρου Χ µία τιµή που την συµβολίζουµε dimx και ισούται: µε το πλήθος των στοιχείων µίας βάσης του Χ αν Χ {0}, και µηδέν αν Χ = {0} Οι υπόχωροι του R είναι οι εξής: Το {0}, το R, καθώς και οι ευθείες που περνούν από το 0 Με αντίστοιχες διαστάσεις 0,, Οι υπόχωροι του R 3 είναι οι εξής: Το {0}, το R 3, οι ευθείες που περνούν από το 0, καθώς και τα επίπεδα που περνούν από το 0 Με αντίστοιχες διαστάσεις 0,3,, Ασκήσεις ) dim R = ) Βρείτε την διάσταση του υπόχωρου X { x, y, z, w) : x y z w 0} 3) Βρείτε την διάσταση του υπόχωρου X = x, y, z, w) : x+ y+ z+ w= 0, x+ y= 0 { } = = 4) Περιγράψτε ως σύνολο τον υπόχωρο που έχει βάση τα διανύσµατα,, 3),, -, ) 5) Τα α, α,, α κ είναι βάση του υπόχωρου S{α, α,, α κ }) τότε και µόνο όταν είναι γραµµικά ανεξάρτητα 6) Ο µέγιστος αριθµός από τα α, α,, α κ R που είναι γραµµικά ανεξάρτητα αποτελούν βάση του S{α, α,, α κ }) Μία εξίσωση της µορφής x + x + 3x3 + + x = b, όπου,,, b σταθερές και x, x, x άγνωστοι, λέγεται γραµµική Αν b = 0, τότε η προηγούµενη εξίσωση λέγεται οµογενής, και η + + x x + x + x 3 3 = 0

4 4 λέµε ότι είναι η αντίστοιχη οµογενής της x + x + 3x3 + + x = b Αν τα Χ, Υ είναι υπόχωροι του R τότε: α) το Χ Υ είναι υπόχωρος, β) το Χ Υ είναι υπόχωρος αν Χ Υ ή Υ Χ α) Το σύνολο των x, x, x ) R που ικανοποιούν µία οµογενής γραµµική εξίσωση x + x + x x = 0 αποτελούν υπόχωρο β) Το σύνολο των x, x, x ) R που ικανοποιούν ένα σύστηµα m οµογενών γραµµικών εξισώσεων x + x + x x = 0 x + x + x x = 0 m x + m x + m3x + + m x = 0 όπου τα ijσταθερές), αποτελούν υπόχωρο γ) Αν ξ, ξ, ξ ) είναι µία λύση ενός συστήµατος mγραµµικών εξισώσεων x + x + 3 x + + x = b x + x + 3x + + x = b x + x + x + + x = b m m m3 οπου τα ijκαι bσταθερές), i τότε κάθε άλλη λύση είναι της µορφής x, x, x ) + ξ, ξ, ξ ), όπου x, x, x ) είναι λύση του συστήµατος των αντίστοιχων οµογενών γραµµικών εξισώσεων x + x + x x = 0 x + x + x x = 0 x x + x + + x 0 m + m m3 m = m m Κάθε υπόχωρος αποτελεί το σύνολο των λύσεων ενός συστήµατος οµογενών γραµµικών εξισώσεων

5 5 Οι ευκλείδειοι χώροι R και R 3 Πρώτα δίνουµε δύο ορισµούς που ισχύουν γενικότερα για τους R : Μέτρο του διανύσµατος α R λέµε την τιµή όπου α = α, α,, α ) α = α ) α ) + + ) +, α Ορίζουµε ως εσωτερικό γινόµενο των α, β R την τιµή α β = α β + α β + α 3 β α β, όταν α = α, α,, α ), β = β, β,, β ) Θεώρηµα Έστω α, β R 3 ή R µη µηδενικά, τότε α β = α β συνθ, όπου θ η γωνία που σχηµατίζουν τα α, β Πόρισµα i) α β = 0 ή κάποιο από τα α, β είναι µηδέν ή τα α, β είναι κάθετα ii) α α = α Μια ευθεία στο R 3 ή στο R ) λέµε το σύνολο των σηµείων x, y, z) της µορφής t + b, µε t R, όπου, b σταθερά διανύσµατα του R 3 ή του R ) µε 0 Η ευθεία αυτή λέµε ότι είναι παράλληλη προς το διάνυσµα και περνά από το σηµείο b Αυτή τη µορφή παράστασης της ευθείας τη λέµε παραµετρική Μία ευθεία στο R αποτελείται από τα σηµεία x, y) που ικανοποιούν µια εξίσωση της µορφής x + by = c, όπου, b, c R σταθερές µε τα, b όχι και τα δύο µηδέν Το διάνυσµα, b) είναι κάθετο στην ευθεία Ένα επίπεδο αποτελείται από σηµεία x, y, z) που ικανοποιούν µια εξίσωση της µορφής x + by + cz = d, όπου, b, c, d R σταθερές µε, b, c) 0 Το διάνυσµα =, b, c) είναι κάθετο στο επίπεδο

6 6 Πίνακες Πίνακας m είναι µία διάταξη m στοιχείων ij, µε i =,,, m και j =,,,, που συνηθίζουµε να τον συµβολίζουµε µε [ ij ] ή µε ένα κεφαλαίο γράµµα και να τον παριστάνουµε µε έναν ορθογώνιο πλέγµα θέσεων που σχηµατίζουν m γραµµές και στήλες που καταλαµβάνουν τα ως εξής: ij [ ij ] = m m m Έστω το γραµµικό σύστηµα εξισώσεων Σ: x + x + 3 x + + x = b x + x + 3x + + x = b όπου m ij, biσταθερές και j x + x + x + + x = b m x άγνωστος, m3 και ο πίνακας Α: b b m m m b m Θα λέµε ότι το σύστηµα Σ αντιστοιχεί στον πίνακα Α και αντίστροφα, ο πίνακας Α αντιστοιχεί στο σύστηµα Σ Παρατηρούµε ότι οι ακόλουθες πράξεις σε έναν γραµµικό σύστηµα εξισώσεων δίνουν ισοδύναµο σύστηµα: ) Η αντιµετάθεση δύο εξισώσεων ) Η πρόσθεση σε µία εξίσωση ένα πολλαπλάσιο µίας άλλης 3) Η αντικατάσταση µίας εξίσωσης µε ένα µη µηδενικό πολλαπλάσιο της Ορίζουµε ως στοιχειώδεις πράξεις σε έναν πίνακα τις ακόλουθες: ) Την αντιµετάθεση δύο γραµµών m m

7 7 ) Την πρόσθεση σε µία γραµµή ένα πολλαπλάσιο µίας άλλης 3) Την αντικατάσταση µίας γραµµής µε ένα µη µηδενικό πολλαπλάσιό της Έστω πίνακας Β που προκύπτει από τον πίνακα Α µετά από στοιχειώδεις πράξεις Τότε το γραµµικό σύστηµα εξισώσεων που αντιστοιχεί στον Α είναι ισοδύναµο µε αυτόν που αντιστοιχεί στο Β Ένα πίνακας λέγεται κλιµακωτός αν ο πρώτος µη µηδενικός όρος κάθε γραµµής βρίσκεται σε δεξιότερη θέση από αυτή του πρώτου µη µηδενικού όρου της προηγούµενης γραµµής Κάθε πίνακας, µετά από κάποιες στοιχειώδεις πράξεις, γίνεται κλιµακωτός Ο µέγιστος αριθµός γραµµικά ανεξάρτητων γραµµών ενός πίνακα Α λέγεται τάξη του πίνακα Α, και συµβολίζεται rka Αν Β είναι πίνακας που προκύπτει από τον Α µετά από στοιχειώδεις πράξεις, τότε rka = rkb Η τάξη ενός κλιµακωτού πίνακα ισούται µε τον αριθµό των µη µηδενικών γραµµών του Έστω Β κλιµακωτός πίνακας που προκύπτει από τον Α µετά από στοιχειώδεις πράξεις Θέτουµε α, α,, α m τα διανύσµατα που αντιστοιχούν στις γραµµές του Α, και β, β,, β m τα διανύσµατα που αντιστοιχούν στις γραµµές του Β Τότε S{α, α,, α m }) = S{β, β,, β m }) Στους πίνακες ορίζουµε τις πράξεις: ) Την πρόσθεση Αν [ ij ], [ b ij ] δύο πίνακες m, τότε ορίζουµε [ ij ] + [ b ij ] = [ c ij ], όπου [ c ij ] πίνακας m µε c ij = ij + b ij, για κάθε i, j ) Τον αριθµητικό πολλαπλασιασµό Αν [ ij ] πίνακας m και λ αριθµός τότε ορίζουµε λ[ ij ] = [ b ij ],όπου [ b ij ] πίνακας m µε b ij = λ ij, για κάθε i, j 3) Το γινόµενο πινάκων Αν [ ij ] πίνακας m και [ b jk ] πίνακας l, τότε ορίζουµε [ ij ] [ b jk ] = [ c ik ], όπου [ c ik ] πίνακας m l µε c ik = κάθε i, k j= b ij ik, για Ιδιότητες των πράξεων πινάκων)

8 8 Έστω A, B, Cπίνακες και λ R, τότε εφόσον οι διαστάσεις των πινάκων επιτρέπουν τις πράξεις), έχουµε τις ισότητες: i) A + B) C = AC+ BC ii) A B+ C) = AB+ AC iii) λ AB) = λa) B= A λb) iv) AB ) C = A BC) Σηµειώνουµε ότι εν γένει AB BA Τους πίνακες [ ij ] όπου ij = 0, για κάθε i, τους λέµε µηδενικούς και τους συµβολίζουµε µε Ο Οι πίνακες λέγονται τετραγωνικοί αν i= j Τους τετραγωνικούς πίνακες [ ij ] µε ij =, για κάθε i, j, τους λέµε 0 αν i j ταυτοτικούς και τους συµβολίζουµε µε Ι Αν Ι είναι o ταυτοτικός, Β πίνακας l και C πίνακας l, τότε I B = B, C I = C Ένας πίνακας Α λέγεται αντιστρέψιµος αν υπάρχει πίνακας Β τέτοιος ώστε ΑΒ = ΒΑ = Ι, όπου Ι ταυτοτικός, οπότε ο Β λέγεται αντίστροφος του Α i) Αν ο Α έχει αντίστροφο Β τότε οι Α, Β είναι της µορφής ii) Αν ο Α είναι αντιστρέψιµος τότε έχει µοναδικό αντίστροφο Ο αντίστροφος του Α, αν υπάρχει, συµβολίζεται Α - Ασκήσεις ) ώστε παραδείγµατα πινάκων Α, Β για τους οποίους δεν ορίζεται το γινόµενο ΑΒ αλλά ορίζεται το ΒΑ ) ώστε παράδειγµα πινάκων Α, Β για τους οποίους ορίζονται τα γινόµενα ΑΒ, ΒΑ και i) ΑΒ ΒΑ ii) AB = BA 3) είξτε ότι ο Α = είναι αντιστρέψιµος και να βρεθεί ο αντίστροφός του ) Βρείτε την τάξη του πίνακα 3 4

9 9 Έστω πίνακας Α x Θέτουµε Χ τον πίνακα [Α I] όπου Ι ο ταυτοτικός x άρα ο Χ είναι πίνακας x) Ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος τότε και µόνο όταν ο πίνακας Χ µετά από στοιχειώδεις πράξεις παίρνει τη µορφή [Ι Β], οπότε Α - = Β Σηµειώνουµε ότι η προηγούµενη στηρίζεται στο εξής: Μετά από κάθε στοιχειώδης πράξη ενός πίνακα Α mx, ο πίνακας Α µετασχηµατίζεται σε έναν πίνακα ΒΑ γινόµενο πινάκων Β και Α) όπου ο Β είναι αντστρέψιµος πίνακας Υπόδειξη για την απόδειξη: Για την µετάθεση πχ των γραµµών των και πολλαπλασιάζουµε από τα αριστερά 0 O, m τον Α µε τον πίνακα Β = 0 O, m O m, Om, I m, m Με Ο συµβολίζουµε τους µηδενικούς πίνακες και µε Ι τους ταυτοτικούς Οι δείκτες δηλώνουν τις διαστάσεις των πινάκων Για τον πολλαπλασιασµό πχ της γραµµής µε τον αριθµό x πολλαπλασιάζουµε από τα x O, m αριστερά τον Α µε τον πίνακα Β = Om, I m, m Την στοιχειώδη πράξη πχ όπου πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε χ και την προσθέτουµε στην η, πολλαπλασιάζουµε από τα αριστερά µε τον πίνακα 0 O, m x O, m O m, Om, I m, m Αν Α είναι πίνακας τότε συµβολίζουµε µε Α ij τον ) ) που σχηµατίζεται αν από τον Α αφαιρέσουµε την i-γραµµή και την j-στήλη Για κάθε πίνακα Α ορίζουµε µία τιµή που λέγεται ορίζουσα και συµβολίζεται deta ή Α Ο ορισµός γίνεται επαγωγικά για =, 3, 4, b Για πίνακα Α = c d, ορίζουµε deta = d bc Για πίνακα Α, µε 3, ισχύει ότι i+ j deta = ) ij det Aij, για κάθε j, i=

10 0 deta = i+ j ) ij det Aij, για κάθε i j= Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος τότε και µόνο αν deta 0 Ασκήσεις ) Βρείτε µια βάση και την διάσταση του υπόχωρου SA), όπου Α = {,,, ),, 3,, 4), 0,,, ), 3, 9, 8, ) } x y ) Εξετάστε για ποια x, y ο πίνακας xy x y 7 είναι αντιστρέψιµος 0 Αν Α, Β πίνακες, και Ι ταυτοτικός, τότε detab) = deta)detb), deti = Αν [ ij ] πίνακας m, [ x j ] πίνακας και [ b i ] πίνακας m, τότε η εξίσωση [ ij ] [ x j ] = [ b i ], δηλ η x x b b =, m m m b m x είναι ισοδύναµη µε το σύστηµα εξισώσεων: x + x+ + x = b x + x+ + x = b m x+ mx+ + mx = b m Με M m θα συµβολίζουµε το σύνολο όλων των m πινάκων

11 Άσκηση Αν Α Μ m, τότε ο πίνακας Α ορίζει µια απεικόνιση Α: Μ Μ m ως εξής: ΑΧ) = Α Χ, για κάθε Χ Μ Έστω Β M l, τότε ορίζουµε παρόµοια την απεικόνιση Β: M l Μ, και παίρνουµε την σύνθεση των δύο συναρτήσεων Α o Β: M l Μ m είξτε ότι η απεικόνιση ΑoΒ ισούται αυτήν που ορίζει ο πίνακας Α Β, δηλ ΑoΒΧ) = Α Β) Χ, για κάθε Χ M l Μία απεικόνιση f : R m R λέγεται γραµµική αν έχει τις ιδιότητες: α) f + b) = f ) + f b) ]β) f λ) = λ f ) για κάθε, b R m και λ R Χωρίς βλάβη µπορούµε να ταυτίζουµε τους πίνακες µε τα διανύσµατα του R ως εξής: =,,, ) = M Έστω A πίνακας m, τότε η απεικόνιση f : R R m µε x f x, x,, x ) = A x R m x είναι γραµµική, και αντίστροφα: για κάθε γραµµική f υπάρχει ένας τέτοιος πίνακας A Έστω Α = [ ij ] Μ m, και b Μ m, = R m, τότε ορίζουµε τον επαυξηµένο πίνακα b b [Α b] = m m m b m Προφανώς, ο πίνακας [Α b] είναι m + ) Έστω ότι ο πίνακας [Α b] µετά από στοιχειώδεις πράξεις γίνεται [Α b ], τότε οι εξισώσεις Αx = b και Α x = b είναι ισοδύναµες

12 Θεώρηµα H εξίσωση Αx = b, όπου Α m πίνακας, b R m, έχει λύση ως προς x R τότε και µόνο όταν rka = rk[α b] Έχει µοναδική λύση τότε και µόνο όταν rka = rk[α b] = Έχει άπειρες λύσεις αν rka = rk[α: b] < Αν x µ είναι µία µερική) λύση της εξίσωσης Αx = b, τότε κάθε λύση της είναι της µορφής x 0 + x µ, όπου x 0 λύση της αντίστοιχης οµογενούς) Αx = 0 Το σύνολο των λύσεων x R της εξίσωσης Αx = 0, όπου Α Μ m, και 0 το µηδενικό διάνυσµα του R m, είναι υπόχωρος του R Έχει µοναδική λύση η εξίσωση Αx = 0 τη µηδενική) τότε και µόνο όταν rka = Ένας πίνακας Α έχει αντίστροφο τότε και µόνο όταν rka = Ασκήσεις ) Εξετάστε για τις διάφορες τιµές του λ τις λύσεις του συστήµατος λx+ y+ z= x+ y+ z= x+ 3y+ λz+ w= x+ y+ z+ w= λ ) Ποια είναι η διάσταση του χώρου των λύσεων του συστήµατος x + x+ x3 x4 = 0 x + x+ 3x3 x5 = 0 x + x 7x x + 3x = ) είξτε, χωρίς τη χρήση Θεωρήµατος, ότι αν ο πίνακας [Α b] είναι κλιµακωτός τότε για να έχει λύση η εξίσωση Αx = b πρέπει και αρκεί να ισχύει rka = rk[α b]

13 3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Θυµίζουµε κατ αρχάς τον ορισµό της παραγώγου καθώς και ένα σχετικό θεώρηµα Έστω µία συνάρτηση f: [, b] R Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο x, για x [, b], αν υπάρχει το όριο f x + x) f x) lim, x 0 x οπότε το όριο το συµβολίζουµε f x) και το λέµε παράγωγο της f στο x Αν υπάρχει το f x) για κάθε x θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη Στη συνέχεια θα θεωρούµε µόνο συναρτήσεις παραγωγίσιµες Ισχύει ο κανόνας της παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης f o g) x) = f g x)) g x) Θεώρηµα Έστω f: [, b] R παραγωγίσιµη Τότε υπάρχει ξ, b) έτσι ώστε f b) f ) = f ξ ) b Έστω συνάρτηση f = f x), τότε µπορούµε να έχουµε όταν x ) 0 df f x+ x) f x) + x, dx Έστω µία συνεχής f: [, b] R Χωρίζουµε το διάστηµα [, b] σε N ίσα τµήµατα b µήκους x άρα x = ) Απο κάθε τµήµα παίρνουµε ένα σηµείο x, N =,, N Θέτουµε S N = = f x ) x Αποδεικνύεται ότι το lim S υπάρχει, είναι πραγµατικός + b αριθµός, συµβολίζεται f x) dx και λέγεται ορισµένο) ολοκλήρωµα της fx) στο διάστηµα [, b]

14 4 b Το f x) dx ισούται µε το εµβαδόν του χωρίου{ x, y) : x b, 0 y f x) } µείον το εµβαδόν του χωρίου {, y) : x b, f x) y 0} x Θεώρηµα Έστω f: [, b] R συνεχής, τότε: x i) Αν θέσουµε Fx) = f t) dt για κάθε x [, b], τότε F x) = fx) b ii) Αν F: [, b] R µε F x) = fx), τότε f x) dx = Fb) F) Αν F: [, b] R µε F x) = fx), τότε θέτουµε f x) dx= F x) + c, όπου c αυθαίρετη σταθερά, και λέµε ότι το αόριστο) ολοκλήρωµα της fx) είναι Fx) + c Το σύνολο των F x) + c, c R, είναι όλες οι συναρτήσεις που η παράγωγός τους δίνει fx) Ιδιότητες Αν f: [, b] R, g: [, b] R και s, t σταθερές, τότε x) tg x) dx= s f x) dx+ t b sf + g x) dx x) + tg x) dx= s f x) dx+ t b sf g x) dx b i) f x) dx= f x) + c ii) f x) = g x) f x) dx= g x) dx Κανόνες ολοκλήρωσης)

15 5, όπου y = gx), κανόνας της αντικατάστασης ή i) f g x)) g x) dx= f y) dy αλλαγής µεταβλητής) ii) f x) g x) dx= f x) g x) f x) g x) dx, κανόνας της κατά µέρη ολοκλήρωσης ή κατά παράγοντες ολοκλήρωσης) Πίνακας στοιχειωδών ολοκληρωµάτων λ+ λ x x dx= + c, λ+ για λ και x> 0), dx = l x + c, για x < 0 ή για x > 0), x dx= l x+ x+ e x dx e x = + c, sixdx= cosx+ c, cos xdx = six+ c, dx=τοξεφ x + x + c, για x< ή για x> ), H συνάρτηση f x) = Τοξεφ x, x R, ορίζεται ώς εξής: f x) π /, π / ) έτσι ώστε εφ f x) ) = x i) Αν, b, s, t σταθερές µε s t τότε υπάρχουν σταθερές Α, Β ώστε x+ b A B = + για κάθε x s, t x - s)x - t) x -s x - t x+ b A B ii) Αν, b, s σταθερές τότε υπάρχουν σταθερές Α, Β ώστε = + x -s) x -s x -s) για κάθε x s

16 6 ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ιαφορική εξίσωση λέµε την εξίσωση που περιέχει µια άγνωστη συνάρτηση µε παράγωγό της Την άγνωστη συνάρτηση θα την συµβολίζουµε yx) ή απλά y Το σύνολο όλων των συναρτήσεων που ικανοποιούν µία διαφορική εξίσωση το λέµε γενική) λύση της διαφορικής εξίσωσης Μερική λύση µιας διαφορικής εξίσωσης λέγεται µια συνάρτηση που την ικανοποιεί Θα λέµε ότι µια διαφορική εξίσωση έχει τάξη κ όταν η µεγαλύτερη τάξη παραγώγισης που εµφανίζεται στην άγνωστη συνάρτηση είναι κ Εν γένει η γενική λύση µιας εξίσωσης τάξης κ εκφράζεται µε τη βοήθεια κ αυθαίρετων σταθερών Παρατήρηση ) Μία διαφορική εξίσωση της µορφής y = f x) όπου και fx) γνωστή συνάρτηση) λύνεται εύκολα µε ολοκληρώσεις, όπως: y = f x) f x) dx, = f x dx) y = f x) y ) dx ) y η -στή παράγωγος της y Εξετάζουµε τις ακόλουθες κατηγορίες διαφορικών εξιώσεων: α) Γραµµική ης τάξης Μια διαφορική εξίσωση της µορφής y + f x)y= gx) όπου fx), gx) γνωστές συναρτήσεις, λέγεται γραµµική ης τάξης Για την λύση της: Αν f x)dx= Fx) + c, τότε πολλαπλασιάζουµε την εξίσωση µε Fx) e οπότε έχουµε

17 7 Fx) Fx) Fx) e y + e f x)y= e gx), ισοδύναµα: = = = Fx) Fx) Fx) Fx) Fx) Fx) e y) e gx) e y) dx e gx)dx e y e gx)dx Fx) Fx) y e e gx)dx = β) Χωριζοµένων µεταβλητών Μια διαφορική εξίσωση της µορφής f y)y = gx) όπου fx), gx) γνωστές συναρτήσεις, λέγεται διαφορική εξίσωση χωριζοµένων µεταβλητών Για την λύση της: Ολοκληρώνουµε την εξίσωση και παίρνουµε f y)y dx= gx)dx f y)dy = gx)dx, έχοντας κάνει αντικατάσταση της συνάρτησης y µε την µεταβλητή y Μετά την ολοκλήρωση µπορούµε να θεωρούµε και πάλι το y ως συνάρτηση, οπότε έχουµε µια µη διαφορική εξίσωση που περιέχει την άγνωστη συνάρτηση γ) Οµογενείς Μια διαφορική εξίσωση της µορφής y y = f ) x όπου f γνωστή συνάρτηση, λέγεται οµογενής Για την λύση της: Θέτουµε y = z Οπότε y = xz και y =z + xz Συνεπώς, αρκεί να υπολογίσουµε την x άγνωστη συνάρτηση z στην διαφορική εξίσωση z+ xz = f z) z =, f z) z x όπου z είναι η άγνωστη συνάρτηση σε µία διαφορική εξίσωση χωριζοµένων µεταβλητών Αρχικές συνθήκες µιας διαφορικής εξίσωσης λέµε τις επιπλέον συνθήκες που πρέπει να πληρεί η άγνωστη συνάρτηση της διαφορικής εξίσωσης Οι αρχικές συνθήκες µαζί µε την διαφορική εξίσωση προσδιορίζουν εν γένει µία µοναδική συνάρτηση

18 8 Συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Μια απεικόνιση f : X R, όπου X R, λέγεται πραγµατική) συνάρτηση µεταβλητών Θέτουµε f x, x, x ) την τιµή της f στη θέση x, x, x ) X Την f x, x, x f θα την συµβολίζουµε και ) Λέµε ότι τα x i, είναι οι µεταβλητές της f x, x, x ) Αν x είναι µία µεταβλητή της f, τότε µε f x ή συµβολίζουµε την παράγωγο της f ως προς x εφόσον υπάρχει), θεωρόντας τις άλλες µεταβλητές σταθερές Λέµε την µερική παράγωγο της f ως προς x Αν x, y είναι µεταβλητές της f, θέτουµε f x ή f xy ή f την µερική παράγωγο y y της f x ως προς x εφόσον υπάρχει) Στη συνέχεια, υποθέτουµε ότι οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιµες ως προς κάθε µεταβλητή Ισχύει ότι f xy = f yx Λέµε ότι η f x, x, x ) έχει τοπικό µέγιστο αντίστοιχα: τοπικό ελάχιστο) στο σηµείο ξ, ξ,, ξ ) αν f x, x, x ) f ξ, ξ,, ξ ) αντίστοιχα: ξ, x ξ,, x ξ f ξ, ξ,, ξ ) f x, x, x ) ) όταν x Τα τοπικά ακρότατα µιας συνάρτησης f = f x, x, x ) ικανοποιούν τις εξισώσεις = 0, = 0,, x = 0 Κανόνας της αλυσίδας) Έστω συνάρτηση f = f x, x, x ) και x t, t, t m ) x t, t, t m x =, x = ),, x = x t, t, t ) συναρτήσεις που εξαρτούνται από τις µεταβλητές t, Οπότε µπορούµε να θεωρούµε f = f t, t, t ) Ισχύει ότι = ti ti για κάθε i =,,, + t i m + + t i, m, t t m

19 9 Κλίση της f = f x, x, x ) λέµε τη διανυσµατική) συνάρτηση f =,,, ) Έστω f = f x, x, x ) και ξ = ξ, ξ,, ξ ) R µε ξ = Η παράγωγος της x, x, x f στο σηµείο ) κατά την διεύθυνση ξ ορίζεται το D ξ f x, x, x ) = df x + tξ x + tξ dt + tξ,, ) x t= 0 Ισχύει ότι D ξ f = f ξ, δηλ D ξ f x, x, x ) =,,, ) ξ, ξ,, ξ ) = = ξ+ ξ + + ξ x Λέµε ότι η f x, x, x ) έχει τοπικό µέγιστο αντίστοιχα: τοπικό ελάχιστο) στο σηµείο ξ, ξ,, ξ ) αν f x, x, x ) f ξ, ξ,, ξ ) αντίστοιχα: ξ, x ξ,, x ξ f ξ, ξ,, ξ ) f x, x, x ) ) όταν x Τα τοπικά ακρότατα µιας συνάρτησης f = f x, x, x ) ικανοποιούν τις εξισώσεις = 0, = 0,, x = 0 Μια συνάρτηση f x, x, x ) έχει τοπικό µέγιστο αντίστοιχα: ελάχιστο) σε ένα σηµείο x, x, x ) τότε και µόνο όταν η συνάρτηση g t) = f x + tξ, x + tξ, x + tξ ), t R, έχει τοπικό µέγιστο αντίστοιχα: ελάχιστο) στο t = 0, για κάθε ξ, ξ,, ξ R Έστω f = f x, x, x ), τότε f x + x, x + x, x + x ) f x, x, x ) + x + x + + x, Η προσέγγιση είναι τόσο καλύτερη όσο x, x,, x είναι πλησιέστερα προς το 0

20 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ, ΣΕΙΡΕΣ Ακολουθία λέµε µία απεικόνιση α: N R, και συµβολίζουµε α = ) Θα λέµε ότι η ακολουθία α συγκλίνει στο λ ή ότι έχει όριο το λ) και θα γράφουµε lim =λ, ή lim = λ, ή λ + για λ R: αν για κάθε ε > 0 υπάρχει Ν > 0 ώστε α - λ < ε, για κάθε > N, για λ = + : αν για κάθε ε > 0 υπάρχει Ν > 0 ώστε α > ε, για κάθε > N, για λ = - : αν για κάθε ε > 0 υπάρχει Ν > 0 ώστε α < -ε, για κάθε > N i) limα = 0 lim α = ii) Αν α β γ για κάθε, και lim + iii) Αν α β για κάθε, και lim + α = lim + α = +, τότε lim + γ = λ, τότε lim + β = + β = λ iv) Αν α β για κάθε, και limβ = -, τότε lim α = v) Αν η α είναι µονότονη και φραγµένη τότε συγκλίνει σε ένα λ R limρ = +, αν ρ >, αν ρ = 0, αν ρ < δεν συγκλινει, αν ρ - Αν fx), gx) παραγωγίσιµες συναρτήσεις µε lim fx) = lim gx) = 0 ή + ή -, x + x + ) τότε lim f = + g lim f x) ) x + g x ) Υποθέτουµε ότι το πεδίο ορισµού των fx), gx) περιλαµβάνει το [, + ), gx)g x) 0 για κάθε x, και υπάρχει f x) το ) xlim + g x ) Έστω ακολουθία α Θεωρούµε την ακολουθία s των µερικών αθροισµάτων της α, δηλ s = α + α + α α για κάθε N Την ακολουθία αυτή την λέµε σειρά και την συµβολίζουµε + + α = Με α συµβολίζουµε και το όριο της σειράς, όταν υπάρχει =

21 +, αν ρ + ρ i) ρ =, αν ρ < = ρ δεν υπαρχει, αν ρ - + ii) =+ = + iii) = + ) = Μια σειρά + α λέµε ότι συγκλίνει αν = + α = λ, µε λ R = i) Αν η σειρά + α συγκλίνει τότε limα = 0 + = ii) Αν b d για κάθε, τότε υπάρχουν) b c όταν αυτά = = =

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/2004) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις:

(Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/2004) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις: 1 η Εργασία 004-005 (Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/004) Άσκηση 1 (7 µονάδες) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις: (α) A+ B C µε A + B C (β) A+ B AB

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών «Γραµµική Άλγεβρα Ι» (ΕΜ111) Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007, ιδάσκων: Ι. Τσαγράκης 5 Ο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Θέμα. (μονάδες.0) Οι ορίζουσες των πινάκων ABC,, βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Γ 3 2Γ. Από τον τελευταίο πίνακα προκύπτει το ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα. 3x 2 2x 3 = 1 x 3 = 2

Γ 3 2Γ. Από τον τελευταίο πίνακα προκύπτει το ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα. 3x 2 2x 3 = 1 x 3 = 2 Γραμμικά συστήματα Άσκηση. Να βρεθεί η λύση του γραμμικού συστήματος x 2x 2 + x 3 = x + x 2 x 3 = 2 2x x 2 + x 3 = Απόδειξη. Θεωρούμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος 2 2 2 και εκτελούμε στοιχειώδεις

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y

Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y 5 Έστω Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης Ι R ανοικτό διάστηµα, : Ι R διαφορίσιµη της κλάσης a Ι : '( a) 0 Τότε από την συνέχεια της ' υπάρχει 0 ' 0 για κάθε ( a δ, a+ δ) δ > :( a δ, a δ) C και + Ι και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα