Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43"

Transcript

1 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

2 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι ιδιοτιµές λ i, i = 1(1)n και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα x (i), i = 1(1)n του πίνακα A. Ax = λx det(a λi) = 0 Θεωρητικός προσδιορισµός των Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων Επίλυση της πολυωνυµικής εξίσωσης (εύρεση ιδιοτιµών) det(a λi) = ( 1) n λ n + c 1 λ n c n 1 λ + c }{{} n = 0 (1) p(λ) Επίλυση του οµογενούς γραµµικού συστήµατος (εύρεση ιδιοδιανυσµάτων) (A λi)x = 0 (2) Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

3 Μηχανή Αναζήτησης: Ιδιοτιµές και Γραφήµατα Η µηχανή αναζήτησης Google χρησιµοποιεί την ακόλουθη µέθοδο για την αναζήτηση ενός ιστοτόπου. ηµιουργεί τον πίνακα γειτνίασης Α µε στοιχεία, τα οποία είτε είναι 0 ή 1, µε a ij = 1 αν ο ιστότοπος i συνδέεται µε τον ιστότοπο j, διαφορετικά a ij = 0. Για παράδειγµα, µια εταιρεία µε επτά υπαλλήλους επιθυµεί την όσο το δυνατόν µεγαλύτερη χρήση των ιστοτόπων. Κάθε υπάλληλος έχει ένα ιστότοπο και κάποιοι υπάλληλοι έχουν συνδέσµους σε ιστοτόπους συναδέλφων τους. Ο πίνακας γειτνίασης είναι ο ακόλουθος Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 Y Y Y Y Y Y Y όπου µε Y k, k = 1, 2,..., 7 συµβολίζεται ο κάθε υπάλληλος. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

4 Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 Y Y Y Y Y Y Y Παρατηρώντας τη γραµµή Y 3 διαπιστώνουµε ότι ο ιστότοπος του υπαλλήλου Y 3 συνδέεται µε τους ιστοτόπους των συναδέλφων του Y 2, Y 4 και Y 6. Για την κατάταξη των ιστοτόπων ανάλογα µε την συχνότητα αναφοράς τους απαιτείται ο υπολογισµός της µεγαλύτερης κατά µέτρο ιδιοτιµής και του αντίστοιχου ιδιοδιανύσµατος. Για τον ανωτέρω πίνακα το ιδιοδιάνυσµα αυτό είναι το z = [0.4261, , , , , , ] T. Αν η k ιοστή συνιστώσα είναι η µεγαλύτερη, τότε ο k ιοστός ιστότοπος ϑεωρείται και ο πλέον σηµαντικός, δηλαδή έχει τον υψηλότερο ϐαθµό. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

5 Οι υπόλοιποι ιστότοποι κατατάσσονται ανάλογα µε το µέγεθος της αντίστοιχης συνιστώσας του ιδιοδιανύσµατος. Για το ανωτέρω ιδιοδιάνυσµα έχουµε max z i = , συνεπώς ο υπάλληλος Y 2 έχει ιστότοπο µε το 1 i 7 µεγαλύτερο ϐαθµό, ακολουθεί ο ιστότοπος του Y 5 και µετά αυτός του Y 1. Παρατηρήστε ότι αν και ο ιστότοπος του Y 1 έχει τις περισσότερες αναφορές από τον ιστότοπο του Y 2 ή του Y 5 εν τούτοις ϑεωρείται µικρότερου ϐαθµού. Η µέθοδος της κατάταξης ενός ιστότοπου ϐασίζεται στο ϐαθµό του ιστότοπου, ο οποίος είναι υψηλότερος όσο υπάρχουν ιστότοποι µε µεγαλύτερο ϐαθµό που είναι συνδεδεµένοι µε αυτόν. Η παραδοχή που έχουµε κάνει εδώ είναι ότι το ιδιοδιάνυσµα έχει ϑετικές συνιστώσες κάτι που συµβαίνει σε µεγάλες κατηγορίες προβληµάτων. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

6 Η µέθοδος των δυνάµεων Η µέθοδος αυτή υπολογίζει τη µεγαλύτερη κατά µέτρο ιδιοτιµή ενός τετραγωνικού πίνακα A C n n και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα. Εστω ότι ο πίνακας A έχει τις λ i, i = 1, 2,..., n ιδιοτιµές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα είναι τα x (i), i = 1, 2,..., n. Εστω ότι ο A έχει n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα και συνεπώς αποτελούν µια ϐάση. Επιπλέον υποθέτουµε ότι λ 1 > λ j, j = 2, 3,..., n. (3) Αν y (0) 0 ένα διάνυσµα του C n, τότε επειδή τα ιδιοδιανύσµατα του A αποτελούν µία ϐάση, το y (0) µπορεί να γραφεί ως εξής y (0) = n α i x (i) (4) i=1 όπου α i είναι ϐαθµωτά µεγέθη και όχι όλα µηδέν. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

7 ...Η µέθοδος των δυνάµεων... Στη συνέχεια ϑεωρούµε την ακολουθία των διανυσµάτων που ορίζονται από το επαναληπτικό σχήµα y (m+1) = Ay (m), m = 0, 1, 2,... (5) όπου το y (0) είναι ένα αυθαίρετο διάνυσµα. Από την (5) για m = 0 έχουµε y (1) = Ay (0) = A για m = 1 έχουµε n α i x (i) = i=1 y (2) = Ay (1) = n α i Ax (i) = i=1 n α i λ 2 i x (i). i=1 n α i λ i x (i) i=1 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

8 ...Η µέθοδος των δυνάµεων... Γενικά y (m) = η οποία γράφεται n α i λ m i x (i), (6) i=1 y (m) = λ m 1 [ α 1 x (1) + n i=2 ( ) m ] λ i α i x (i) λ 1 = λ m 1 [α 1 x (1) + ε (m) ], (7) όπου ε (m) = n i=2 ( ) m λi α i x (i). λ 1 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

9 Προσδιορισµός της ιδιοτιµής λ 1 Επειδή όµως λ i /λ 1 < 1, υποθέτοντας ϐέβαια ότι α 1 0. Αν όπου m ϑέσουµε m 1 στην (8) έχουµε i = 2, 3,..., n, από την (7) προκύπτει ότι lim m y(m) = lim m λm 1 α 1 x (1) (8) lim m y(m 1) = lim m λm 1 1 α 1 x (1). (9) ιαιρώντας τις αντίστοιχες συνιστώσες των y (m) και y (m 1) λαµβάνουµε από τις (8) και (9) ότι y (m) j lim m y (m 1) j = λ 1 j = 1, 2,..., n. (10) Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

10 Προσδιορισµός του ιδιοδιανύσµατος x (1) Εχοντας υπολογίσει την λ 1 από την (8) προκύπτει ότι y (m) lim m λ m 1 = α 1 x (1), (11) δηλαδή το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην λ 1 τη µεγαλύτερη κατά µέτρο ιδιοτιµή. Με άλλα λόγια δηµιουργούµε την ακολουθία των διανυσµάτων y (0), y (1),..., y (m) µέχρις ότου οι λόγοι των αντίστοιχων συνιστωσών δύο διαδοχικών διανυσµάτων τείνουν προς την ίδια σταθερή τιµή, η οποία είναι µία προσέγγιση της ιδιοτιµής λ 1 (ϐλ.(10)). Το διάνυσµα y (m) είναι µία µη κανονικοποιηµένη προσέγγιση του αντίστοιχου ιδιοδιανύσµατος. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

11 Η ταχύτητα σύγκλισης της µεθόδου των δυνάµεων Εξαρτάται από τις σταθερές α i και τους λόγους λ 2 /λ 1, λ 3 /λ 1,..., λ n /λ 1 (ϐλ.(7) ). Ετσι όσο µικρότεροι είναι αυτοί οι λόγοι τόσο ταχύτερη είναι η σύγκλιση της µεθόδου. Ιδιαίτερα αν λ 2 / λ 1 είναι κοντά στη µονάδα, τότε η σύγκλιση της µεθόδου είναι πιθανό να είναι πάρα πολύ αργή. Θεωρητικά, αν τύχει και η εκλογή του y (0) είναι τέτοια ώστε α 1 = 0 και λ 2 > λ j, j 3, τότε η µέθοδος ϑα συγκλίνει στην λ 2 και σε ένα πολλαπλάσιο του x (2). Στην πράξη όµως δεν έχουµε δυσκολίες αν α 1 = 0, γιατί τα σφάλµατα στρογγύλευσης δηµιουργούν µία µικρή ( που µε την αύξηση του αριθµού των επαναλήψεων µεγαλώνει) τιµή του α 1 αρκετά ικανοποιητική, ώστε να έχουµε σύγκλιση τελικά στην λ 1. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

12 Παρατήρηση Για λ 1 > 1 τότε από την (8) έχουµε ότι lim m y(m) j = ±, j = 1, 2,..., n, ενώ για λ 1 < 1, lim m y(m) j = 0. Ετσι εκτός αν λ 1 1 ϑα πρέπει να εκτελούµε πράξεις µε απόλυτα πάρα πολύ µεγάλους ή πάρα πολύ µικρούς αριθµούς, πράγµα που σηµαίνει αύξηση των σφαλµάτων στρογγύλευσης στους υπολογισµούς. Το πρόβληµα αυτό αποφεύγεται µε µία τροποποίηση της µεθόδου των δυνάµεων. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

13 Τροποποίηση της µεθόδου των δυνάµεων Συνίσταται από τα ακόλουθα τρία διαδοχικά ϐήµατα σε κάθε επανάληψη όπου ουσιαστικά κανονικοποιείται το y (m) = max j z (m) = 1 y (m) j m y (m) j m y (m) j y (m) = y (m), y (m+1) = Az (m), m = 0, 1, 2,... (12) Εργαζόµενοι µε ανάλογο τρόπο όπως και στην προηγούµενη παράγραφο, η αντίστοιχη έκφραση της y (m) ϑα δίνεται από τη σχέση [ y (m) 1 = y (0) j 0 y (1) j 1... y (m 1) j m 1 λ m 1 α 1 x (1) + n i=2 ( ) ] m λi α i x (i). (13) λ 1 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

14 ...Τροποποίηση της µεθόδου των δυνάµεων Επίσης έχουµε ότι z (m 1) = 1 y (m 1) y (m 1) = 1 y (m 1) j m 1 [ j m 1 y (0) j 0 y (1) j y (m 2) j m 2 λ m 1 1 ( α 1 x (1) + n i=2 ( ) )] m 1 λi α i x (i). (14) λ 1 Από τις (13) και (14) έχουµε αλλά z (m 1) j m 1 γράφεται lim m y (m) j m 1 z (m 1) j m 1 = λ 1 = 1 (το z (m 1) είναι κανονικοποιηµένο) και η ανωτέρω σχέση lim m y(m) j m 1 = λ 1. (15) Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

15 ...Τροποποίηση της µεθόδου των δυνάµεων Η ακολουθία λοιπόν που δηµιουργείται από τις συνιστώσες j m 1 του διανύσµατος y (m) τείνει στη µεγαλύτερη κατά µέτρο ιδιοτιµή. Υπενθυµίζεται ότι η συνιστώσα j m 1 του διανύσµατος y (m) είναι εκείνη που αντιστοιχεί στην µεγαλύτερη κατά µέτρο απόλυτη τιµή συνιστώσα του προηγούµενου διανύσµατος y (m 1). Για την εύρεση του αντίστοιχου ιδιοδιανύσµατος x (1) παρατηρούµε ότι, αν ο δείκτης j m από µία ορισµένη τιµή του m και µετά παραµένει σταθερός, τότε είναι lim m z(m) = cx (1) (16) όπου c σταθερά τέτοια ώστε η µεγαλύτερη κατά µέτρο συνιστώσα του cx (1) να είναι µονάδα. Αρα η ακολουθία των διανυσµάτων z (m) συγκλίνει προς το κανονικοποιηµένο ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην λ 1. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

16 Ταχύτητα Σύγκλισης της τροποποιηµένης µεθόδου των δυνάµεων { } Η ταχύτητα σύγκλισης της ακολουθίας y (m) j m 1 προς την λ 1 προσδιορίζεται, όπως m=1 αναφέρθηκε, από τους λόγους λ j/λ 1 m για j = 2, 3,..., n και ιδιαίτερα από τον λόγο λ 2/λ 1 m. Με άλλα λόγια η τάξη σύγκλισης είναι O((λ 2/λ 1) m ). Εποµένως για µεγάλα m έχουµε y (m) λ 2 j m 1 λ 1 k όπου k σταθερά, πράγµα που σηµαίνει ότι ή όπου ε (m) = lim m y (m+1) j m λ 1 λ 1 y (m) j m 1 λ 1 m λ2 λ 1, < 1 ε (m+1) λ2 λ 1 ε(m), y (m), j m 1 λ 1 δηλαδή η ταχύτητα σύγκλισης είναι γραµµική. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

17 Παράδειγµα ίνεται ο πίνακας A = µε ιδιοτιµές λ 1 = 12, λ 2 = 3 και λ 3 = 3. Να εκτελεστούν τρεις επαναλήψεις της µεθόδου των δυνάµεων για τον υπολογισµό της µεγαλύτερης κατά µέτρο ιδιοτιµής και του αντιστοίχου ιδιοδιανύσµατος του πίνακα Α. Λάβετε σαν αρχικό διάνυσµα το y (0) = [1, 0, 0] T.. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

18 Λύση Για m = 0 η (12) δίνει διαδοχικά y (0) j 0 = y (0) = max{ 1, 0, 0 } = 1, άρα j 0 = 1 συνεπώς z (0) = 1 y (0) 1 y (0) = 1 [1, 0, 0]T 1 y (1) = Az (0) = [ 2, 10, 10] T. Η πρώτη προσέγγιση της µεγαλύτερης κατά µέτρο ιδιοτιµής λ είναι λ 1 = y (1) j 0 = y (1) 1 = 2. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

19 ...Λύση Για m = 1 η (12) δίνει και y (1) j 1 = y (1) = max{ 2, 10, 10 } = 10, άρα j 1 = 2 Επιπλέον z (1) = 1 y (1) 2 y (1) = [1/5, 1, 1] T. και η δεύτερη προσέγγιση της λ είναι y (2) = Az (1) = [ 27/5, 9, 9] T λ 2 = y (2) 2 = 9 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

20 ...Λύση Για m = 2 η (12) δίνει και Οπότε y (2) j 2 = y (2) = max{ 27/5, 9, 9 } = 9, άρα j 2 = 2 z (2) = 1 y (2) 2 y (2) = [3/5, 1, 1] T. και η τρίτη προσέγγιση της λ είναι Το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι το y (3) = Az (2) = [ 31/5, 13, 13] T z (3) = 1 λ 3 = y (3) 2 = 13. y (3) 2 y (3) = [31/65, 1, 1] T. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

21 Ο αλγόριθµος της µεθόδου των δυνάµεων Σαν αρχικό διάνυσµα y (0) λαµβάνουµε συνήθως το y (0) = [1, 1,..., 1] T. 1 ιάβασε τη διάσταση n του πίνακα A, τα στοιχεία a ij, 1 i, j n, το αρχικό διάνυσµα y i, 1 i n, την ανεκτικότητα ε και το µέγιστο αριθµό επαναλήψεων M. 2 Να τεθεί m = 0 λ 0 = 0 3 Να ϐρεθεί ένας ακέραιος p τέτοιος ώστε 4 Για i = 1, 2,..., n να υπολογιστεί y p = max y i 1 i n z i = 1 y p y i Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

22 ...Ο αλγόριθµος της µεθόδου των δυνάµεων 5 Οσο ισχύει m M να εκτελούνται τα ϐήµατα Για i = 1, 2,..., n να τεθεί 5.2 Να τεθεί y i = n a ij z j j=1 λ 1 = y p 5.3 Αν y p = 0 τότε τύπωσε Ο A έχει ιδιοτιµή 0, επίλεξε νέο αρχικό διάνυσµα και άρχισε πάλι τη διαδικασία. Τέλος. 5.4 Να ϐρεθεί ένας ακέραιος p τέτοιος ώστε 5.5 Για i = 1, 2,..., n να υπολογισθεί y p = max y i 1 i n z i = 1 y p y i Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

23 ...Ο αλγόριθµος της µεθόδου των δυνάµεων 5.6 Αν τότε τύπωσε (λ 1, z). Τέλος. 5.7 Να τεθεί λ 0 λ 1 < ε m = m + 1 λ 0 = λ 1 6 Τύπωσε Οχι σύγκλιση µετά από M επαναλήψεις. Τέλος. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

24 Υπολογισµός της µικρότερης κατά µέτρο ιδιοτιµής Αν λ n < λ n 1 λ 1 τότε ο υπολογισµός της µικρότερης κατά µέτρο ιδιοτιµής λ n γίνεται ως εξής : Επειδή Ax = λx και A 1 x = 1 λ x και 1 λ n > 1 λ i εφαρµόζεται η µέθοδος των δυνάµεων y (m+1) = A 1 y (m), m = 0, 1, 2, ή Ay (m+1) = y (m), m = 0, 1, 2, δηλ. η επίλυση των γραµµικών συστηµάτων Ay (1) = y (0), Ay (2) = y (1), Ay (3) = y (2), Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

25 Τεχνικές επιτάχυνσης της µεθόδου των δυνάµεων Επιτάχυνση της σύγκλισης - Η µέθοδος του Aitken Αν η σύγκλιση µιας επαναληπτικής µεθόδου είναι γραµµική, τότε µπορεί να επιταχυνθεί µε τη χρήση της µεθόδου του Aitken, η οποία έχει τον ακόλουθο τύπο x n = x n ( x n) 2 2 x n (17) όπου είναι ο τελεστής των προς τα εµπρός διαφορών και ορίζεται σαν x n = x n+1 x n µε 2 x n = x n+1 x n = x n+2 2x n+1 + x n. Εποµένως είναι δυνατόν να τροποποιηθεί ο αλγόριθµος της µεθόδου των δυνάµεων έτσι ώστε να παράγεται η ακολουθία λ 1 = λ 1 ( λ 1) 2 2 λ 1. (18) Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

26 Η µέθοδος των πηλίκων του Rayleigh Αν ο πίνακας A είναι πραγµατικός και συµµετρικός, τότε είναι δυνατόν να επιταχυνθεί η σύγκλιση προς τη µεγαλύτερη κατά απόλυτη τιµή ιδιοτιµή µε τη χρήση της µεθόδου των πηλίκων του Rayleigh. Ορισµός. Για κάθε διάνυσµα x 0 η ποσότης (x, Ax) (x, x) καλείται πηλίκο του Rayleigh που αντιστοιχεί στο x. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

27 Ενα ϐασικό αποτέλεσµα που δείχνει τη σπουδαιότητα των πηλίκων του Rayleigh είναι το ακόλουθο Θεώρηµα Αν ο A R n n είναι συµµετρικός και x 0 είναι ένα αυθαίρετο διάνυσµα, τότε και (x, Ax) λ 1 = max x 0 (x, x) = (x(1), Ax (1) ) (x (1), x (1) ) (x, Ax) λ n = min x 0 (x, x) = (x(n), Ax (n) ) (x (n), x (n) ) (19) όπου λ 1, λ n είναι η µεγαλύτερη και η µικρότερη ιδιοτιµή, αντίστοιχα και x (1), x (n) ιδιοδιανύσµατα του A που αντιστοιχούν στις λ 1 και λ n. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

28 Παρατηρούµε ότι ο υπολογισµός της λ 1 είναι ένα πρόβληµα ϐελτιστοποίησης. Το ενδιαφέρον µας είναι η χρήση των πηλίκων του Rayleigh για την επιτάχυνση της σύγκλισης της µεθόδου των δυνάµεων. Εστω το ϐασικό επαναληπτικό σχήµα της µεθόδου των δυνάµεων τότε χρησιµοποιώντας την (6), προκύπτει y (m+1) = Ay (m) (y (m), y (m+1) ) = (y (m), Ay (m) ) = n i=1 α 2 i λ 2m+1 i (20) καθόσον τα ιδιοδιανύσµατα του Α είναι ορθογώνια, αφού ο A είναι συµµετρικός, δηλαδή Επίσης (x (i), x (j) ) = δ ij = { 1, αν i = j 0, αν i j (y (m), y (m) ) = n i=1 α 2 i λ 2m i. (21) Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

29 Από τις (20) και (21) έχουµε (y (m), Ay (m) ) (y (m), y (m) ) = λ1 + O((λi/λ1)2m ) (22) η οποία συγκρινόµενη µε την (7) δείχνει ότι το πηλίκο του Rayleigh που αντιστοιχεί στο y (m) γενικά ϑα συγκλίνει ταχύτερα (O(λ i/λ 1) 2m ) από τη µέθοδο των δυνάµεων (O(λ i/λ 1) m ). Για την κανονικοποίηση του ιδιοδιανύσµατος χρησιµοποιείται η ευκλείδεια norm, έτσι z (m) = Επίσης, στην τροποποιηµένη µέθοδο των δυνάµεων έχουµε 1 y (m) y (m) 1 = 2 (y (m), y (m) ) 1/2 y(m). (23) y (m+1) = Az (m) (24) οπότε το πρώτο µέλος της (22), λόγω των (23) και (24), γράφεται διαδοχικά ( ) (y (m), Ay (m) ) y (m) = (y (m), y (m) ) (y (m), y (m) ), Ay (m) 1/2 (y (m), y (m) ) 1/2 = (z (m), Az (m) ) = (z (m), y (m+1) ). (25) Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

30 Λόγω των (22) και (25) έχουµε τελικά ότι lim m (z(m), y (m+1) ) = λ 1. (26) Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

31 Παράδειγµα ίνεται ο πίνακας A = µε ιδιοτιµές λ 1 = 4, λ 2 = 3, λ 3 = 1. Να εκτελεστούν δύο επαναλήψεις της µεθόδου των πηλίκων Rayleigh για τον υπολογισµό της µεγαλύτερης κατά µέτρο ιδιοτιµής του πίνακα Α. Λάβετε ως αρχικό διάνυσµα το [1, 1, 1] T. Λύση 1η επανάληψη y (0) = [1, 1, 1] T και έστω λ 0 = 0. Λόγω της (23) έχουµε y (0) 2 = (y (0), y (0) ) = = 3 και z (0) = [ 1 y (0) y (0) 1 = 3, 2 1 3, 1 3 ] T. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

32 Επίσης, από την (24) y (1) = Az (0) = = οπότε η (26) δίνει λ 1 = (z (0), y (1) ) = 1 3 = = Παρατηρούµε ότι λ 0 λ 1 = = Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

33 2η επανάληψη y (1) 4 2 = = 3 [ ] T [ z (1) 1 = y (1) y (1) 3 2 = 2 8 3, 0, =, 0, y (2) = Az (1) = = ] T και λ 2 = (z (1), y (2) ) = ( 2) = = 1.5. Τέλος, παρατηρούµε ότι λ 2 λ 1 = = Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

34 Ο αλγόριθµος της µεθόδου των πηλίκων του Rayleigh 1 ιάβασε την τάξη n του πίνακα A, τα στοιχεία a ij, 1 i, j n, το αρχικό διάνυσµα y i, 1 i n, την ανεκτικότητα ε και το µέγιστο αριθµό επαναλήψεων M. 2 Να τεθεί k = 0 λ 0 = 0 3 Για i = 1, 2,..., n να υπολογιστεί η ποσότης (υλοποίηση της (23)) z i = y i / y 2 4 Οσο ισχύει k M να εκτελούνται τα ϐήµατα Για i = 1, 2,..., n να υπολογισθεί (y = Az) y i = n a ij z j j=1 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

35 ( ) 4.2 Για i = 1, 2,..., n να υπολογισθεί λ = (z, y) = (y,az) (y,y) λ = n z i y i i=1 4.3 Αν y 2 = 0 τότε τύπωσε Ο A έχει ιδιοτιµή 0, επίλεξε νέο αρχικό διάνυσµα και άρχισε πάλι τη διαδικασία. Τέλος. 4.4 Για i = 1, 2,..., n να υπολογισθεί η ποσότητα z i = y i / y Αν λ λ 0 < ε τότε τύπωσε (λ, z). Τέλος. 4.6 Να τεθεί k = k + 1 λ 0 = λ 5 Τύπωσε Οχι σύγκλιση µετά από M επαναλήψεις. Τέλος. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

36 Μετατόπιση της αρχής των αξόνων Πρόταση Οι πίνακες A και A qi έχουν τα ίδια ιδιοδιανύσµατα και αν λ i είναι ιδιοτιµή του A τότε η αντίστοιχη ιδιοτιµή του A qi είναι η λ i q. Απόδειξη Αν Ax (i) = λ i x (i) τότε (A qi)x (i) = Ax (i) qix (i) = (λ i q)x (i) Αφαιρώντας λοιπόν την ποσότητα q από τα διαγώνια στοιχεία του A έχει σαν αποτέλεσµα την αφαίρεση της q από τις ιδιοτιµές. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

37 ...Μετατόπιση της αρχής των αξόνων Υποθέτουµε ότι ο A R n,n έχει n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα και όλες οι ιδιοτιµές του είναι πραγµατικές και ικανοποιούν τη σχέση λ 1 > λ 2 λ 3... λ n 1 λ n (27) Αν αφαιρέσουµε την ποσότητα q R µε q ( λ n, λ 1 ) από τα διαγώνια στοιχεία του A, τότε ανεξάρτητα από την τιµή της q, η µεγαλύτερη κατά µέτρο ιδιοτιµή του A qi ϑα είναι πάντα η λ 1 q ή η λ n q. Ας υποθέσουµε ότι ϑέλουµε να προσδιορίσουµε την λ 1. Οι ιδιοτιµές του A qi είναι οι µ i = λ i q. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

38 Μετατόπιση της αρχής των αξόνων Ταχύτητα σύγκλισης της µεθόδου των δυνάµεων Με τη χρήση του πίνακα A qi αντί του A, εξαρτάται από την ποσότητα max i 1 λi q λ 1 q (28) Οσο µικρότερη είναι η ανωτέρω ποσότητα, τόσο ταχύτερη η σύγκλιση της µεθόδου. Αρκεί δηλαδή να εκλέξουµε το q τέτοιο ώστε να ελαχιστοποιείται η ποσότητα Αποδεικνύεταιότι η ανωτέρω ποσότητα γίνεται ελάχιστη αν max λ i q (29) i 1 q = 1/2(λ 2 + λ n). Οµοια εργαζόµενοι ϐρίσκουµε ότι η µέγιστη ταχύτητα σύγκλισης στην λ n q επιταχύνεται αν επιλέξουµε q = 1/2(λ 1 + λ n 1) Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

39 Παρατήρηση Με τη µέθοδο αυτή µπορούµε να υπολογίσουµε τόσο την λ 1 όσο και την λ n, ωστόσο όµως χρειαζόµαστε κάποιες εκτιµήσεις των ιδιοτιµών λ 2 και λ n (ή των λ 1 και λ n 1 ) πράγµα που απαιτεί επιπλέον υπολογισµούς στην πράξη και είναι ένα µειονέκτηµα αυτής της µεθόδου. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

40 Η αντίστροφη µέθοδος των δυνάµεων Εχει το πλεονέκτηµα να υπολογίζει µια οποιαδήποτε ιδιοτιµή και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα και να έχει γρήγορη ταχύτητα σύγκλισης. Λήµµα Οι πίνακες A και A 1 έχουν τα ίδια ιδιοδιανύσµατα και αν λ i είναι µια ιδιοτιµή του A τότε η αντίστοιχη ιδιοτιµή του A 1 είναι η 1/λ i. Απόδειξη Αν Ax (i) = λ i x (i) τότε πολ/ζοντας από αριστερά µε A 1 έχουµε 1 λ i x (i) = A 1 x (i). Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

41 Η αντίστροφη µέθοδος των δυνάµεων Ας υποθέσουµε ότι ο A R nn, έχει n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα και όλες οι ιδιοτιµές του είναι πραγµατικές. Επίσης αν γνωρίζουµε κάποια ποσότητα q R η οποία ϐρίσκεται πλησιέστερα στην απλή ιδιοτιµή λ k του A από οποιαδήποτε άλλη ιδιοτιµή του, τότε ϑα ισχύει λ k q < λ i q, i = 1(1)n, i k (30) ηλαδή η ιδιοτιµή λ k q είναι η µικρότερη κατά απόλυτο τιµή ιδιοτιµή του πίνακα A qi. Συνεπώς, αν αντί του A χρησιµοποιήσουµε τον πίνακα (A qi) 1 στο ϐασικό επαναληπτικό σχήµα 1 της µεθόδου των δυνάµεων, τότε είναι δυνατόν να υπολογισθεί η ποσότητα και από λ k q αυτήν η λ k. Ο επαναληπτικός τύπος της αντίστροφης µεθόδου των δυνάµεων Πράγµατι, αν εφαρµοστεί η ε.µ. (A qi)y (m+1) = y (m), m = 0, 1, 2,... (31) όπου y (0) 0 αυθαίρετο διάνυσµα είναι δυνατόν να υπολογισθεί η απόλυτα µεγαλύτερη ιδιοτιµή του (A qi) 1 δηλαδή η 1/(λ k q) και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα. Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

42 Ταχύτητα σύγκλισης Εξαρτάται από την ποσότητα αφού max i k λ k q λ i q (32) y (m) = (A qi) 1 y (m 1) = (A qi) m y (0) = α 1 (λ 1 q) m x(1) + = α 2 (λ 2 q) m x(2) α n (λ n q) m x(n) [ ( ) 1 λk m q α (λ k q) m 1 x (1) α k x (k) λ 1 q ( ) ] λk m q α n x (n) λ n q Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

43 Παρατηρήσεις Η επιλογή της q καθορίζει και την ταχύτητα σύγκλισης της µεθόδου. Οσο πλησιέστερα η q είναι στην ιδιοτιµή λ k τόσο ταχύτερη ϑα είναι και η σύγκλιση της µεθόδου. Επειδή η q µπορεί να εκλεγεί αυθαίρετα, µπορούµε να ϐρούµε µια προσέγγιση σε οποιαδήποτε ιδιοτιµή του A. Ο προσδιορισµός των y (m) γίνεται από την επίλυση των συστηµάτων (A qi)y (m) = y (m 1), m = 1, 2,... (33) Στην πράξη τα διανύσµατα κανονικοποιούνται, µε άλλα λόγια, εφαρµόζεται η παραλλαγή της µεθόδου των δυνάµεων. Τα γραµµικά συστήµατα που προκύπτουν έχουν τον ίδιο πίνακα και διαφορετικά δεύτερα µέλη. Χρήση µιας άµεσης µεθόδου για την επίλυση τους. Σχηµατισµός της LU διάσπασης του A qi µόνο µία ϕορά. Αν λοιπόν χρησιµοποιήσουµε κανονικοποιηµένα διανύσµατα και την LU µέθοδο τότε το ϐασικό επαναληπτικό σχήµα ϑα είναι το παρακάτω: Lz = z (m) Uy (m+1) = z (34) όπου LU = A qi Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί) Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 2014 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 4 1 / 48

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72

Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 / 7 Επαναληπτικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b όπου A R n n είναι µη ιδιάζων πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί) Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 04 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί) εκεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ.

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ Μαρτίου 00 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου 2012 (3 και 4)

Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου 2012 (3 και 4) -- Αριθµητική Ανάλυση και Περιβ. Υλοποίησης Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου (3 και 4) Θέµα 3 [6µ] Θεωρούµε ότι κατά την επίλυση ενός προβλήµατος προσέγγισης προέκυψε ένα γραµµικό σύστηµα Αxb, µε αγνώστους,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Αποστολάτου 6 Μαϊου 2001 Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Θεωρούµε ότι 6 ίσες µάζες συνδέονται µε ταυτόσηµα

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικοί Υπολογισµοί Μέθοδοι µεταβλητής παρεκτροπής (Variable Extrapolation)

Επιστηµονικοί Υπολογισµοί Μέθοδοι µεταβλητής παρεκτροπής (Variable Extrapolation) Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 3.6.1 Μέθοδοι µεταβλητής παρεκτροπής (Variable Extrapolation) Πανεπιστήµιο Αθηνών 10 Μαΐου 2017 (Πανεπιστήµιο Αθηνών) Επιστηµονικοί Υπολογισµοί3.6.1 Μέθοδοι µεταβλητής παρεκτροπής(variable

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. 14 εκεµβρίου Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6. Παρεµβολή 14 εκεµβρίου / 28

Αριθµητική Ανάλυση. 14 εκεµβρίου Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6. Παρεµβολή 14 εκεµβρίου / 28 Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 1 / 28 Τα πολυώνυµα Chebyshev Αν η f (n+1) (x) είναι συνεχής, τότε υπάρχει ένας αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 4 Νοεµβρίου 2014 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) 4

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση ΕΚΠΑ. 11 Μαΐου 2016

Αριθµητική Ανάλυση ΕΚΠΑ. 11 Μαΐου 2016 Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ιδάσκων: ΦΤζαφέρης ΕΚΠΑ 11 Μαΐου 2016 ιδάσκων: ΦΤζαφέρης (ΕΚΠΑ) Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 4 Αριθµητικός Υπολογισµός

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (2 Ιουλίου 2009) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (2 Ιουλίου 2009) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( Ιουλίου 009 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ I. (εκδχ. Α. Σωστό ή Λάθος: α Αν A,B R n n είναι αντιστρέψιµα, τότε το ίδιο ισχύει και για το AB. ϐ Αν A R n n, τότε A AA. γ Αν A R και συµµετρικό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 21 εκεµβρίου 2015 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 21 εκεµβρίου 2015 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Παραγώγιση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 21 εκεµβρίου 2015 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

[A I 3 ] [I 3 A 1 ].

[A I 3 ] [I 3 A 1 ]. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 3 Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 3 Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα / 77 Επαναληπτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ IV. Γενικές επαναληπτικές µέθοδοι Όπως είδαµε η ανάλυση της µεθόδου Guss έδειξε ότι η υπολογιστική προσπάθεια της µεθόδου για τη λύση ενός

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ.

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης ΕΚΠΑ 3 Μαρτίου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 27 Μαΐου 2010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)

2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές) ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 2η Οµάδα Ασκήσεων 1442008 ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ.

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 11/5/2012 Σηµαντικό χαρακτηριστικό µέγεθος (ϐαθµωτός) για κάθε τετραγωνικό

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 103

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 103 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 03 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 6.. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο 4, έγινε µια καταρχήν διαπραγµάτευση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 6 1 / 36 Αριθµητική Παραγώγιση

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα

!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα Συστήματα με Ν βαθμούς ελευθερίας ΦΥΣ 211 - Διαλ.25 1 Ø Συστήµατα µε Ν βαθµούς ελευθερίας που βρίσκονται κοντά σε µια θέση ισσορροπίας τους συµπεριφέρονται σαν Ν ανεξάρτητοι αρµονικοί ταλαντωτές Γιατί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2 http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

a 1d L(A) = {m 1 a m d a d : m i Z} a 11 a A = M B, B = N A, k=1

a 1d L(A) = {m 1 a m d a d : m i Z} a 11 a A = M B, B = N A, k=1 Α44 ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #12 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1 Πλεγµατα Εστω ο διανυσµατικός χώρος R d διάστασης d Ο χώρος R d έρχεται µε ένα εσωτερικό γινόµενο x, y = d i=1 x iy i και τη σχετική νόρµα x = x,

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδα Ασκήσεων #1-Λύσεις

Οµάδα Ασκήσεων #1-Λύσεις Οµάδα Ασκήσεων #-Λύσεις Πρόβληµα # (α) (β) Τουλάχιστον Β.Ε. (Βαθµοί Ελευθερίας) χρειάζονται για αυθαίρετη τοποθέτηση στο χώρο (x,y,z) και επιπλέον Β.Ε. απαιτούνται για αυθαίρετο προσανατολισµό (στη δεδοµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2: http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 07, 2 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Η ανάλυση Cholesky 2. Νόρμες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης

Αριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης Αριθµητική Ανάλυση Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης 3 Οκτωβρίου 2016 3 Οκτωβρίου 2016 1 / 54 Τρόπος ιδασκαλίας Η διδασκαλία ϑα στηρίζεται στις διαλέξεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ:

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Ιανουάριος-Φεβρουάριος 7 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυχία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ (Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Νοεµβρίου 4. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: εκεµβρίου 4)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Εισαγωγή Σύστημα γραμμικών εξισώσεων a x a x a x b 11

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα