Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
|
|
- Ἀδελφός Κουταλιανός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών. Σχηματίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο: λ pa( λ) de( A λi) λ + λ 4λ Οι ρίζες του θα είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α. Έτσι έχουμε λ p A ( λ) λ + Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιλύσουμε το ομογενές σύστημα: + + ( A λi) O ( A( ) I) O 4 + Ο πίνακας συντελεστών του συστήματος δίνει με απαλοιφή Gauss: Επομένως καταλήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: ( + ) + Έχουμε μία ελεύθερη μεταβλητή επομένως η γενική λύση του συστήματος δίνεται από τη σχέση: ( ), R To πρέπει να είναι διάφορο του μηδενός γιατί δεν ορίζεται μηδενικό ιδιοδιάνυσμα. Επομένως τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή λ δίνονται από τη σχέση, R
2 Όπως είναι φανερό, ο ιδιοχώρος V( λ ), R (εδώ το μπορεί να είναι ίσο με μηδέν γιατί ο ιδιοχώρος περιέχει πάντοτε και το μηδενικό διάνυσμα) παράγεται από το δηλ. V ( λ ) span To διάνυσμα αυτό αποτελεί βάση του V ( λ ) και η γεωμετρική πολλαπλότητα της λ είναι dim V ( λ ) Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην δεύτερη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιλύσουμε το ομογενές σύστημα: + ( A λi) O ( A( + ) I) O Ο πίνακας συντελεστών του συστήματος δίνει με απαλοιφή Gauss: Επομένως καταλήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: ( ) + Έχουμε μία ελεύθερη μεταβλητή επομένως η γενική λύση του συστήματος δίνεται από τη σχέση: ( + ) +, R Έτσι κάθε ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ + έχει την μορφή: +, R + Όπως είναι φανερό, ο ιδιοχώρος V ( λ ) παράγεται από το δηλ. + V ( λ ) span To διάνυσμα αυτό αποτελεί βάση του V ( λ ) και η γεωμετρική πολλαπλότητα της λ είναι dim V ( λ )
3 Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών. Σχηματίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο: λ pa( λ) de( A λi) λ λ + 4λ 4 λλλ ( ) λ Οι ρίζες του θα δώσουν τις ιδιοτιμές του πίνακα Α. Έτσι έχουμε λ p A ( λ) λ λ H λ έχει αλγεβρική πολλαπλότητα ίση με, και η λ (ή η λ ) έχει αλγεβρική πολλαπλότητα ίση με. Παρατηρούμε ότι όπως είναι αναμενόμενο r( A) a + a + a λ + λ + λ Επίσης μπορούμε να επαληθεύσουμε τη σχέση A λλλ, γεγονός που σημαίνει ότι ο πίνακας Α δεν είναι αντιστρέψιμος. Στο ίδιο συμπέρασμα μπορούμε να φτάσουμε παρατηρώντας το χαρακτηριστικό πολυώνυμο από το οποίο απουσιάζει ο σταθερός όρος. λ Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιλύσουμε το ομογενές σύστημα: ( A λi) O ( A I) O Έτσι παίρνουμε τελικά τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην λ έχουν τη μορφή:, R Για τον ιδιοχώρο V ( λ ) θα έχουμε V( λ ), R
4 Έτσι V ( λ ), R, R span Επειδή το διάνυσμα είναι γραμμικά ανεξάρτητο και παράγει το χώρο, αποτελεί βάση του V ( λ ) και επομένως η γεωμετρική πολλαπλότητα της λ θα είναι dim V ( λ ), (ίση με την αλγεβρική πολλαπλότητά της). λ λ Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στη δεύτερη (ή την τρίτη) ιδιοτιμή θα πρέπει να επιλύσουμε το ομογενές σύστημα: ( A λi) O ( A I) O Επιλύοντας το σύστημα παίρνουμε πως τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην λ (ή στην λ )έχουν τη μορφή:, R Για τους ιδιοχώρους V( λ), V( λ ) θα έχουμε V ( λ) V ( λ), R, R span Επειδή το διάνυσμα είναι γραμμικά ανεξάρτητο και παράγει το χώρο, αποτελεί βάση των V ( λ ) και V ( λ ) και επομένως η γεωμετρική πολλαπλότητα των λ, λ θα είναι dim V( λ ) dim V( λ ), (μικρότερη από την αλγεβρική τους πολλαπλότητα). Παράδειγμα 9 9 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του πίνακα A τουλάχιστον ιδιοτιμή είναι ακέραιος αριθμός. δεδομένου ότι μία 4
5 Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι το pa ( λ) λ + λ + 6λ 48 Για να λύσουμε την χαρακτηριστική εξίσωση p ( ) A λ πρέπει να βρούμε μία παραγοντοποίηση του πολυωνύμου pa( λ ), το οποίο είναι τρίτου βαθμού. Η εργασία αυτή διευκολύνεται διότι δίνεται ότι μία τουλάχιστον ιδιοτιμή (επομένως και ρίζα του πολυωνύμου) είναι ακέραια. Επειδή όλοι οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι ακέραιοι αριθμοί, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι αν ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές έχει ακέραιες ρίζες τότε αυτές είναι διαιρέτες του σταθερού όρου. Έτσι στην περίπτωσή μας θα αναζητήσουμε την ακέραια ρίζα στους διαιρέτες του 48 δηλ. στους αριθμούς: ±, ±, ±, ± 4, ± 6, ± 8, ±, ± 6, ± 4, ± 48 Δοκιμάζουμε τους αριθμούς με τη σειρά μέχρι να βρούμε μία ρίζα του πολυωνύμου: pa( ) 6 pa() pa( ) 6 pa() pa( ) 4 pa() Επομένως ο αριθμός είναι μία ρίζα του πολυωνύμου. Στη συνέχεια για να παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο θα υπολογίσουμε το πηλίκο της διαίρεσης του pa( λ ) με το λ. Αυτό θα γίνει εύκολα με το σχήμα Horner: Έτσι θα είναι τελικά pa ( λ) ( λ)( λ + 6) ( λ)( λ 6) ( λ )( λ+ 4)( λ 4) Επομένως η λύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης p ( ) A λ δίνει τρείς ιδιοτιμές, τις: λ, λ 4, λ 4 Παράδειγμα 4 Επαληθεύστε το θεώρημα Cayley-Hamilon χρησιμοποιώντας τον πίνακα Θα πρέπει να δείξουμε ότι pa( A) O Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι το 5 λ pa( λ) de( A λi) λ 7λ8 9 λ Είναι p ( ) 7 8 A A A A I 5 A 9 5
6 Όμως A Έτσι pa( A) Επομένως το θεώρημα Cayley-Hamilon επαληθεύτηκε. Παράδειγμα 5 Δίνεται ο πίνακας A 4. a) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A. b) Με τη χρήση του θεωρήματος Cayley-Hamilon να βρεθεί ο αντίστροφος του A αν υπάρχει. c) Να υπολογισθεί ο A συναρτήσει του A. d) Να υπολογιστούν οι ιδιοτιμές 4 και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα των πινάκων A, A, A a) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι το λ pa( λ) de( A λi) λ 5λ+ 6 4 λ Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει ρίζες τις λ, λ οι οποίες είναι και οι ιδιοτιμές του πίνακα Α. Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιλύσουμε το ομογενές σύστημα: ( A λi) O ( A I) O 4 από το οποίο προκύπτει τελικά ότι το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην λ έχει τη μορφή:, R Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στη δεύτερη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιλύσουμε το ομογενές σύστημα: ( A λi) O ( A I) O 4 από το οποίο προκύπτει τελικά ότι το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην λ έχει τη μορφή: 6
7 /, R b) Επειδή δεν υπάρχει μηδενική ιδιοτιμή, ο πίνακας Α αντιστρέφεται. Το θεώρημα Cayley-Hamilon δίνει p ( ) 5 6 A A O A A+ I O A Πολλαπλασιάζοντας με από αριστερά έχουμε: A A 5A A+ 6A I A O A 5I + 6A O 6A 5I A A 5I A 6 4 A ( ) c) Για τον υπολογισμό του A εκτελούμε τη διαίρεση: λ : p A ( λ ) Η διαίρεση θα δώσει ένα πηλίκο έστω πλ ( ) και ένα υπόλοιπο, το οποίο θα είναι πολυώνυμο βαθμού μικρότερου του διαιρέτη pa( λ ). Στη συγκεκριμένη περίπτωση το υπόλοιπο θα είναι πρώτου βαθμού, της μορφής: aλ + b Έτσι θα έχουμε: λ p ( ) ( ) A λπλ + aλ+ b () Στη σχέση () αντικαθιστούμε με τη σειρά τις ιδιοτιμές λ, λ και από το σύστημα που προκύπτει προσδιορίζουμε τις άγνωστες σταθερές ab:, λ p ( λπλ ) ( ) + aλ+ b A pa () π () + a+ b a+ b () λ p ( λ) πλ ( ) + aλ+ b A pa () a b () π + + a+ b () Από () και () παίρνουμε τελικά a b H () γίνεται λ p A ( λπλ ) ( ) + λ+ ( ) ( ) Θέτοντας όπου λ τον πίνακα Α και πολλαπλασιάζοντας τον σταθερό όρο με I έχουμε: 7
8 ( ) A π ( A) + ( ) A+ ( ) I A p A ( ) ( ) A A+ I d) Ο πίνακας 4 A θα έχει ιδιοτιμές τις Αντίστοιχα για τον πίνακα λ /, λ / A λ A 4 4 λ 6 και οι ιδιοτιμές θα είναι οι 4 4 λ 8 Ενώ για τον θα είναι οι λ /8, /7 Σε όλες τις περιπτώσεις τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές είναι τα ίδια με εκείνα που αντιστοιχούν στις λ, λ δηλ., R για την πρώτη /, R για την δεύτερη Παράδειγμα 6 5 Να ελέγξετε αν οι πίνακες A των χαρακτηριστικών πολυωνύμων τους. και B 4 είναι όμοιοι κάνοντας χρήση Αν οι πίνακες A,B είναι όμοιοι τότε θα πρέπει να έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά πολυώνυμα ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει αναγκαστικά. Δηλαδή αν βρούμε πως τα δύο χαρακτηριστικά πολυώνυμα είναι διαφορετικά μεταξύ τους, μπορούμε να βγάλουμε άμεσα το συμπέρασμα ότι οι πίνακες δεν είναι όμοιοι. Αν όμως τα χαρακτηριστικά πολυώνυμα είναι ίσα μεταξύ τους δεν μπορούμε να βγάλουμε κάποιο ασφαλές συμπέρασμα και χρειάζεται να καταφύγουμε σε άλλες μεθόδους. Έχουμε λοιπόν 5λ p A ( λ) λ λ4 λ και λ p B ( λ) λ 5λ+ 4 λ Επειδή, όπως φαίνεται p ( λ) p ( λ) οι δύο πίνακες δεν είναι όμοιοι. A B Παράδειγμα 7 8
9 5 Να ελέγξετε αν οι πίνακες A και B 4 είναι όμοιοι, κάνοντας χρήση των χαρακτηριστικών πολυωνύμων τους και του ορισμού ομοιότητας. Αν οι πίνακες A,B είναι όμοιοι τότε θα πρέπει να έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά πολυώνυμα, ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Έχουμε λοιπόν 5λ p A ( λ) λ λ4 λ και 4 λ p B ( λ) λ λ4 λ Επειδή p ( λ) p ( λ) δεν μπορούμε να βγάλουμε ακόμα συμπέρασμα. A B Θα δοκιμάσουμε να απαντήσουμε στο ερώτημα βάσει του ορισμού ομοιότητας δηλ. θα πρέπει να βρούμε έναν αντιστρέψιμο πίνακα P τέτοιον ώστε A P BP PA BP a b Έστω P c d Πρέπει να πρoσδιορίσουμε τους αγνώστους abcd,,, ώστε να ισχύει a b 5 4 a b c d c d 5a+ b ab 4a 4b 5c d c d c d + 5a+ b 4a a+ b a b 4b a 6b 5c+ d c 6c+ d c d d c d Η γενική λύση του συστήματος είναι η a s b s, s, R c d Έτσι θα είναι s s P, s, R Επιλέγουμε π.χ. s και και παίρνουμε P Ελέγχουμε αν ο P που πήραμε είναι αντιστρέψιμος (αν όχι επιλέγουμε κάποια άλλα s,). 9
10 Είναι de P 5 Άρα ο P είναι αντιστρέψιμος και ισχύει επαληθεύσουμε) Επομένως οι Α,Β είναι όμοιοι. A P BP (μπορούμε να το Παράδειγμα 8 Δίνεται ο πίνακας του. A 6 5. Αν αυτός διαγωνοποιείται, να βρεθεί μία διαγωνοποίησή Αρχικά βρίσκουμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α. λ p A ( λ) λ 5λ+ 6 λ Επειδή έχουμε διακριτές ιδιοτιμές, ο πίνακας Α διαγωνοποιείται. Ιδιοδιανύσματα της λ, R π.χ. για παίρνουμε το γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα (, ) Ιδιοδιανύσματα της λ, R π.χ. για παίρνουμε το γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα (, ) Δημιουργούμε τον πίνακα P με στήλες τα ιδιοδιανύσματα: P και τον διαγώνιο πίνακα D με τις ιδιοτιμές ως διαγώνια στοιχεία: D Τότε θα είναι A PDP A
11 Παράδειγμα 9 8 Δίνεται ο πίνακας A. Αν αυτός διαγωνοποιείται, να βρεθεί μία διαγωνοποίησή του. Επειδή ο πίνακας είναι τριγωνικός, οι ιδιοτιμές του ταυτίζονται με τα διαγώνια στοιχεία του. Έτσι είναι: λ,, λ Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην λ, λύνουμε το σύστημα: 8 8, R Όπως φαίνεται V () span δηλ dim V () διάφορο από την αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής. Επομένως ο πίνακας Α δεν διαγωνοποιείται. (Δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε τα ιδιοδιανύσματα της λ ) Παράδειγμα a) Να βρεθεί ένας πίνακας A M ( R), ο οποίος έχει ιδιοτιμές τις λ, λ, λ v,,, v (,,), v (,,) b) Να βρεθεί μία και αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα τα ( ) 5 A 4 4 διαγωνοποίηση των πινάκων A και c) Να υπολογισθεί η τιμή του μία διαγωνοποίηση του πίνακα B A + 4A I 5 A d) Να βρεθεί a) Επειδή ο πίνακας Α έχει διακριτές ιδιοτιμές θα διαγωνοποιείται. Επομένως θα μπορεί να γραφεί ως A PDP με D και P Υπολογίζουμε τον αντίστροφο του P π.χ. με τον επαυξημένο πίνακα:
12 /4 /4 /4 Gauss Jordan /4 /4 /4 / / / Έτσι /4 /4 /4 / / / A PDP /4 /4 /4 / 5/ / / / / b) Θα είναι 4 4 A PDP A PD P 4 ( ) 4 4 A 4 Επίσης επειδή οι ιδιοτιμές του Α είναι διάφορες του μηδενός, ο Α αντιστρέφεται, επομένως θα ισχύει 5 5 A PDP A PD P 5 ( ) 5 5 A 5 5 c) Για τον υπολογισμό του A έχουμε λόγω της διαγωνοποίησης: 5 5 A PDP A PD P 5 ( ) /4 /4 /4 5 5 A /4 /4 / / / / d) Θα είναι 4 B A + 4AI 4 B PD P + 4PDP PIP 4 B P(D P + 4DP IP ) 4 B P(D + 4D I) P Όμως είναι
13 4 ( ) 4 4 D + 4D I Έτσι η διαγωνοποίηση του Β γράφεται ως B 5 54 Παράδειγμα Να προσδιοριστεί ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R R ο οποίος στέλνει κάθε διάνυσμα του επιπέδου στο συμμετρικό του ως προς την ευθεία y χρησιμοποιώντας την α) την κανονική βάση και β) την βάση, η οποία αποτελείται από διοδιανύσματα του μετασχηματισμού γ) Στη συνέχεια να υπολογιστούν οι συντεταγμένες της εικόνας του διανύσματος (,) ως προς τις δύο προηγούμενες βάσεις α) Αρκεί να προσδιορίσουμε τον πίνακα αναπαράστασης [ ] E του R : E { e (, ), e (,) } Θα πρέπει να υπολογίσουμε τις εικόνες T (, ) και T (,). Ξεκινούμε με το T (, ) T ως προς την κανονική βάση
14 Όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα ζητούμε τις συνιστώσες,y του διανύσματος Te ( ) y, δηλ το a y και το διάνυσμα b το οποίο βρίσκεται πάνω στην ευθεία y. Tότε θα πρέπει τα διανύσματα a και b να είναι κάθετα μεταξύ τους δηλ. α T b + y () Επίσης, το σημείο Μ βρίσκεται στο μέσο μεταξύ των σημείων (, ) και(, y ) δηλ. θα + y έχει συντεταγμένες:,, οι οποίες θα πρέπει να ικανοποιούν και την εξίσωση της y + ευθείας y, επομένως θα πρέπει να είναι y + () Επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων () και () καταλήγουμε στο 4, y Άρα T (, ), 5 5 Αντίστοιχα δουλεύουμε με το T (,) Έστω το διάνυσμα με άκρα τα σημεία (, ) και (, ) Όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα ζητούμε τις συνιστώσες,y του διανύσματος Te ( ) 4
15 Έστω το διάνυσμα με άκρα τα σημεία (, ) και (, y ), δηλ το a y και το διάνυσμα b το οποίο βρίσκεται πάνω στην ευθεία y. Tότε θα πρέπει τα διανύσματα a και b να είναι κάθετα μεταξύ τους δηλ. α T b + ( y ) () Επίσης, το σημείο Μ βρίσκεται στο μέσο μεταξύ των σημείων (, ) και(, y ) δηλ. θα έχει συντεταγμένες:, y +, οι οποίες θα πρέπει να ικανοποιούν και την εξίσωση της y + ευθείας y, επομένως θα πρέπει να είναι y + (4) Επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων () και (4) καταλήγουμε στο 4, y Άρα T (,), 5 5 Επομένως ο πίνακας του ζητούμενου γραμμικού μετασχηματισμού θα είναι ο ακόλουθος: [ T ] E Ενώ αν θέλουμε να βρούμε και τον τύπο του, θα έχουμε: Ty (, ) [ T] E y 4 y Ty (, ) + y, + y
16 β) Επειδή οι εικόνες των διανυσμάτων της κανονικής βάσης e και e, όπως είδαμε στην πρώτη μέθοδο, απαιτούν αρκετή εργασία για να υπολογισθούν, θα προσπαθήσουμε να αλλάξουμε βάση, επιλέγοντας γεωμετρικά μία πιο βολική, και να υπολογίσουμε τον πίνακα αναπαράστασης του γραμμικού μετασχηματισμού στη νέα βάση. Έπειτα με τον τύπο της ομοιότητας θα επιστρέψουμε πίσω στην κανονική βάση. Θα προσπαθήσουμε να δημιουργήσουμε μία βάση από ιδιοδιανύσματα, δηλ. διανύσματα των οποίων η διεύθυνση δεν μεταβάλλεται μέσω του μετασχηματισμού. Στη συγκεκριμένη περίπτωση παρατηρούμε ότι οι διευθύνσεις που διατηρούνται αναλλοίωτες μέσω του μετασχηματισμού είναι αυτή της ίδιας της ευθείας y, καθώς και της κάθετης προς αυτήν στο σημείο (,). (Επειδή βρισκόμαστε στο R μπορεί να έχουμε το πολύ μέχρι δύο διαφορετικές αναλλοίωτες διευθύνσεις, καθώς ο πίνακας του μετασχηματισμού δίνει το πολύ διακριτές ιδιοτιμές). Επιλέγουμε λοιπόν δύο διανύσματα πάνω σε αυτές τις διευθύνσεις, τα οποία θα αποτελούν ιδιοδιανύσματα του μετασχηματισμού. Όπως είναι γνωστό από τη θεωρία, σε αυτή την περίπτωση αναμένεται ο [ T ] B να έχει την απλούστερη μορφή δηλ. να είναι διαγώνιος, αποτελούμενος από τις αντίστοιχες ιδιοτιμές του T, όπου το διάνυσμα b βρίσκεται πάνω στην ευθεία y, ενώ το διάνυσμα b είναι κάθετο σε αυτή. Συγκεκριμένα επιλέγουμε την ακόλουθη βάση B { b (, ), b (,) } Θα πρέπει στη συνέχεια να υπολογίσουμε τις εικόνες Tb ( ) και Tb ( ) και να βρούμε τις συντεταγμένες αυτών ως προς τη βάση B. Οι εικόνες Tb ( ) και Tb ( ) είναι πολύ εύκολο να υπολογισθούν άμεσα από το σχήμα, καθώς Tb ( ) b και Tb ( ) b Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων ως προς τη βάση B γράφουμε τις εικόνες αυτές ως Tb ( ) b+ b Tb ( ) b b Έτσι θα είναι 6
17 [ Tb ( ) ] B [ Tb ( ) ] B Τέλος, ο πίνακας αναπαράστασης του T ως προς τη βάση B θα περιέχει τις παραπάνω τιμές ως στήλες του: [ T ] B (Διαγώνιος που περιέχει τις ιδιοτιμές) Για να μεταβούμε, τώρα, από τον [ T ] B στον πίνακα [ T ] E θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο ομοιότητας: [ T] E PE B[ T] BPE B ή ισοδύναμα τον [ T] E PB E[ T] BP B E Ο πίνακας αλλαγής βάσης P B E υπολογίζεται εύκολα καθώς η δεύτερη βάση είναι η κανονική. Σε αυτή την περίπτωση απλώς θα περιλαμβάνει τα διανύσματα της βάσης B ως στήλες του. Έτσι θα είναι PB E με αντίστροφο τον P Επομένως θα είναι τελικά: [ T ] E P B E E B Παρατήρηση: Η διαδικασία που ακολουθήσαμε παραπάνω είναι στην ουσία η διαγωνοποίηση του πίνακα [ T ] E (τον οποίο όμως υποθέτουμε ότι δεν γνωρίζουμε και ζητούμε να τον υπολογίσουμε). Στη θεωρία μάθαμε πως όταν διαγωνοποιούμε ένα πίνακα A τον φέρνουμε στη μορφή: A PDP. Εμείς καταλήξαμε στον τύπο: [ T] E PE B[ T] BPE B Η αντιστοιχία στους συμβολισμούς μεταξύ της θεωρίας και του συγκεκριμένου παραδείγματος είναι η ακόλουθη: A [ T], D [ T], P P P, P P P E B B E E B B E E B Αν μας δινόταν ο πίνακας [ T ] E και ζητούνταν η διαγωνοποίηση του, θα ακολουθούσαμε τα παρακάτω βήματα: Αρχικά βρίσκουμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα [ T ] E. 4 λ 5 5 λ p[ T ]( λ) λ E 4 λ λ 5 5 Υπάρχουν δύο διακριτές ιδιοτιμές, επομένως ο πίνακας διαγωνοποιείται. 7
18 Ιδιοδιανύσματα της λ , R π.χ. για παίρνουμε το γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα b (, ) Ιδιοδιανύσματα της λ 4 ( ) 5 5, R ( ) 5 5 π.χ. για παίρνουμε το γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα b (,) Επομένως θα είναι [ T ] E PDP με D, P, P γ) Για την κανονική βάση έχουμε [ T(,) ] [ T] E E 4 8 E Για την βάση B των ιδιοδιανυσμάτων θα έχουμε [ T(,) ] [ T] B B B Για να υπολογίσουμε το πρέπει να επιλύσουμε το σύστημα: B a a b (,) α(,) + b(,) a+ b b Έτσι B Στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε και με τον τύπο 8
19 PE B B E Έτσι τελικά [ T(,) ] [ T] B B B Επίσης στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να καταλήξουμε και ως εξής: 5 [ T(,) ] PE B[ T(,) ] B E 8 5 9
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουος Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 3. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές ποαπότητες
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Επιμέεια: Ι. Λυχναρόπουος. Έστω ο πίνακας 3. Δείξτε ότι το διάνυσμα v (,3) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΔιαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας
Διαγωνοποίηση μητρών Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Όμοιες μήτρες Ορισμός: Οι τετραγωνικές μήτρες Α=[α ij ] nxn & B=[b ij ] nxn όμοιες (Α~Β): αν υπάρχει ομαλή μήτρα Ρ τ.ώ. Β = Ρ -1 Α Ρ A~B Β~ Α Ρ ομαλή μήτρα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου
Διαβάστε περισσότερα8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα
Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 9/6/08 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Έστω A= k και w = 3 0. Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία
Διαβάστε περισσότεραΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN
Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Εάν ένας πίνακας δεν διαγωνοποιείται, τότε ο στόχος μας είναι υπολογίσουμε μέσω ενός μετασχηματισμού ομοιότητας, έναν απλούστερο πίνακα, «σχεδόν διαγώνιο» όπως ο παρακάτω πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότερα2 3x 5x x
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
/8/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα / I y dyd συντεταγμένες. Επίσης σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης. Λύση: Το
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος
9/8/6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Να υπολογισθούν τα ακρότατα της συνάρτησης: y y y y 3 (, ) 3 3 3 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Υπολογίζουμε
Διαβάστε περισσότερα= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις
1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ).
1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). A n Πόρισμα 1: Ο βαθμός του χαρ/κου πολυωνύμου ενός
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να εξετασθεί αν είναι γραμμικές οι ακόλουθες συναρτήσεις: a) f : R R με f b) f : R R f y, ( +, y
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Παραδείγματα Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Παράδειγμα Να εξετασθεί αν είναι γραμμικές οι ακόλουθες συναρτήσεις: a) f : R R με f + 4 4+ b) f : R R με f + a+ b ac c) f : P M με f ( a + b + c + d ) d b d f :
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι (3)
Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι () Παράδειγμα Δίνεται ο πίνακας A = 6. Να υπολογισθούν οι θεμελιώδεις υποχώροι που σχετίζονται με τον πίνακα Α. Να βρεθεί η διάστασή του κάθε ενός και από μία βάση τους.
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU
Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan
Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jodan Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,
Διαβάστε περισσότεραb. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.
Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (2 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω ο υποχώρος W του R 5 που παράγεται από τα διανύσματα v=(,,-,,), v=(,,-,6,8), v=(,,,,6), v=(,,5,,8), v5=(,7,,,9). a)
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (1 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι
Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με y, V και του πολλαπλασιασμού:
Διαβάστε περισσότερα1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης
ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου
Διαβάστε περισσότερα( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε
Διαβάστε περισσότεραD = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].
4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.
Διαβάστε περισσότεραΔίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας,
Παράδειγμα 3.2(Επίλυση συστήματος Jordan) Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις: Όπου,, πίνακας, Να λυθεί το σύστημα με είσοδο τη συνάρτηση Επίλυση
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι
Παραδείγματα () Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,)
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε
Διαβάστε περισσότεραΙδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα
Ιδιάζουσες τιμές πίνακα Επειδή οι πίνακες που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι μη τετραγωνικοί, υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μία μέθοδος που να «μελετά» τους μη τετραγωνικούς με «μεθόδους και ποσά» που
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 12 - Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Χαρακτηριστικό πολυώνυμο Έστω ο πίνακας Α: Αν από τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου α,α αφαιρέσουμε τον αριθμό λ, τότε προκύπτει ο πίνακας: του οποίου η ορίζουσα είναι η εξής:
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο
Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ
ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α
Διαβάστε περισσότεραΧαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα
Έστω ο n nτετραγωνικός πίνακας A της μορφής a L a M O M an L a όπου aij, i n, j n πραγματικές σταθερές Ονομάζουμε χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα A την εξίσωση A λi, όπου I ο n n μοναδιαίος πίνακας και
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικά Συστήματα- Απαλοιφή Gauss Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικά Συστήματα- Απαλοιφή Gauss Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος. Χρησιμοποιείστε απαλοιφή Gauss για να επιλύσετε τα ακόλουθα συστήματα: 5x 8y = 5x= + y
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις
Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 009 Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις ΑΜ Ημ/ία Αίθουσα 1 Σύνολο Η εξέταση αποτελείται από θέματα. Κάθε θέμα αξίζει 4 μονάδες. Το άριστα είναι μονάδες και η βάση
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις4 48. P AP τριγωνικό. Αφού δείξτε ότι ο A δεν είναι διαγωνίσιμος, βρείτε αντιστρέψιμο A 1 3 1
Ασκήσεις4 48 Ασκήσεις4 Τριγωνισιμότητα Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Θεώρημα: είναι τριγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x ) γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό
Διαβάστε περισσότερα3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.
3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση
Διαβάστε περισσότερα1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]
σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού
Διαβάστε περισσότεραΜία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα
Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 15 Αναλλοίωτοι Υπόχωροι, Ιδιόχωροι Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 2/5/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 15 2/5/2014 1 / 12 Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό
Διαβάστε περισσότερα1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες
Κεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες Εσωτερικό Γινόμενο και ορθογωνιότητα Έστω V ένας διανυσματικός χώρος, υπόχωρος του n. Κάθε συνάρτηση ορισμένη στο VV (την οποία θα συμβολίζουμε με ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους
Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο
Διαβάστε περισσότεραGauss. x + y + z = 2 3x + 3y z = 6 x y + z = 1. x + y + z = r x y = 0 3x + y + sz = s 0
Γραμμική Άλγεβρα Κεφάλαιο Πίνακες και απαλοιφή Gauss. Ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν τα y, y 2, y 3 ώστε τα διανύσματα (0, y ), (, y 2 ), (2, y 3 ) να είναι στην ίδια ευθεία; Η ευθεία που περνάει από
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραA, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.
Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και
Διαβάστε περισσότερα( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:
( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα
ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / 009-0 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα Έστω η γραμμική απεικόνιση T : με (α) Βρείτε τον πίνακα της T, I Ως προς την κανονική βάση
Διαβάστε περισσότεραΠολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές
0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος 3
Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της
Διαβάστε περισσότερα9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων
4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3
Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,
Διαβάστε περισσότερα2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις
. Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (
Διαβάστε περισσότεραΠαραγοντοποιήσεις πίνακα
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΠΜΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ Παραγοντοποιήσεις πίνακα Θεωρία Perro-Frobeus Μαρία Αδάμ ΛΑΜΙΑ, 08 KΕΦΑΛΑΙΟ Παραγοντοποίηση πίνακα Άλγεβρα πινάκων
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 8:-: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα (Α) ( 5 μονάδες) Δίδονται οι πίνακες Α=,
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων
7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραβαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των
Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικά συστήματα. - όπου Α είναι ένας (m x n) πίνακας, ο οποίος περιέχει. - όπου Β είναι ένας (m x 1) πίνακας που περιέχει τους
Γραμμικά συστήματα Η γενική μορφή ενός τέτοιου συστήματος είναι Α.Χ=Β - όπου Α είναι ένας (m x n) πίνακας, ο οποίος περιέχει τους συντελεστές των αγνώστον. - όπου Χ είναι ένας (n x 1) πίνακας που περιέχει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A)
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 7 ο ΘΕΩΡΗΜΑ CYLEY-HMILTON Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 60 Ασκήσεις :,,, σελ 6 Ελάχιστο πολυώνυµο πίνακα Έστω πίνακας ν ν Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton
Διαβάστε περισσότεραΠαναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 4: Πολυωνυμικοί Πίνακες Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας
Διαβάστε περισσότερα4 k 2 = 2 ( 1+ 2 k 2. k 2 2 k= k 2. 1.ii) Αν σχηµατίσουµε τον πίνακα µε γραµµές τα δύο διανύσµατα έχουµε: Γ1 Γ1 ---> { }
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 8-9: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότερα1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει
μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x
Διαβάστε περισσότεραΠαναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 2: Παραγοντοποίηση LU Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότερα