MEHANIKA KONTINUUMA I REOLOGIJA

Transcript

1 Sveučilište u Zagrebu Rudarsko-geološko-naftni fakultet MHANIKA KONTINUUMA I ROLOGIJA Lida Frgić Mladen Hudec Zagreb, 6.

2

3 I SADRŽAJ str. OZNAK. UVOD..... Pojam kontinuuma..... Mjerne jedinice Skalari i vektori TORIJA NAPRZANJA Tenzor naprezanja Veze između unutrašnjih sila i komponenata tenzora naprezanja Simetra tenzora naprezanja Statički uvjeti ravnoteže Transformaca tenzora naprezanja Glavna naprezanja Dioba tenzora naprezanja na komponente TORIJA DFORMACIJA Tenzor deformaca Glavne deformace Oktaedarske deformace Ravninsko stanje deformaca Brzina deformace Brzina prirasta naprezanja TORIJA LASTIČNOSTI Veza između komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformaca Ravninsko stanje naprezanja Ravninsko stanje deformaca ROLOŠKI MODLI I MODLIRANJ... 4

4 II 5.. Materali idealnih svojstava Idealno elastičan Hooke-ov materal Savršeno plastičan materal Saint Venant-ov materal Viskozan fluid Reološki modeli s dva elementa Viskoelastičan Kelvin-Voigtov materal Viskoelastičan Maxwell-ov fluid lastoplastičan materal Složeni reološki modeli više elemenata Bingham-ov model Lethersich-ov model Schwedoff-ov model Burgerov model KONSTITUTIVNI MODLI KONTINUUMA OSNOVN PRTPOSTAVK LASTIČNOG MODLA OSNOVN POSTAVK LASTOPLASTIČNOG MODLA Kriter plastičnosti Pravilo tečenja Pravilo očvršćavanja Kriter loma Von Misesov kriter loma Trescin kriter loma Mohr - Coulombov kriter loma Drucker-Pragerov kriter loma Lade-Duncanov kriter loma Hoek-Brownov kriter loma lastoplastični modeli tla OSNOV LASTOVISKOPLASTIČNOG MODLA... 8 LITRATURA...84

5 III OZNAK A površina presjeka [m] ai projekca ubrzanja [m/s]. ei energa čestica r razmak između čestica r intenzitet radus vektora r radus vektor F intenzitet sile F vektor sile Fi, A projekca vektora sile na koordinatne osi N normalna sila T, T3 transverzalne sile u smjeru osi i 3 Mt moment uvanja (torze) M, M3 momenti savanja oko osi, odnosno 3. n normala ravnine presjeka S+ i S- privlačna i odbojna sila između čestica xi projekca radus vektora na koordinatne osi α i, A ε ε prikloni kut vektora prema koordinatnoj osi tenzor deformaca tenzor brzina deformaca tenzor naprezanja tenzor brzine prirasta naprezanja. normalno naprezanje [N/m] τ posmično naprezanje [N/m] ρ ρi vektor punog naprezanja γ gustoća [kg/m3] projekca vektora punog naprezanja na koordinatne osi Značenje ostalih simbola, vezano za posebna poglavlja rada, objašnjeno je u samom tekstu gdje su spomenute oznake i navedene.

6 IV

7 . UVOD Literatura iz područja podzemne i nadzemne eksploatace mineralnih sirovina te iz područja izgradnje podzemnih prostora i tunela, isto kao i literatura iz područja inženjerske geologe i hidrogeologe, poziva se na postavke i rezultate mehanike kontinuuma i reologe. Isto se tako takvi podaci mogu naći u literaturi o bušenjima na veliku dubinu i primjenama tekućina s izraženim reološkim svojstvima u naftnom rudarstvu. Sadržaj i nivo predavanja prilagođen je predznanju slušača iz podurčja matematike i fizičkih disciplina. Sadržaj predavanja je u detaljima ograničen na čvrsta tela, iako daje neke od općih relaca zajedničkih i za čvrsta tela i za fluide... Pojam kontinuuma Čvrsta tela i fluidi imaju korpuskularnu strukturu, što znači da se sastoje od molekula, atoma i subatomskih čestica koje su međusobno manje ili više pokretljive. Između čestica postoje interkorpuskularne sile elektromagnetskog karaktera, a kojih intenzitet ovisi o međusobnim razmacima čestica. Postoji posebna grana mehanike kontinuuma - mikroreologa - koja objašnjava fenomene promjene volumena i oblika tela, polazeći od stvarne mikrostrukture i zakona nuklearne fizike. Normalno mjerljive veličine u tehnici daleko prelaze dimenze unutar kojih treba voditi računa o utjecajima pojedinih čestica, pa se promjene formi i volumena mogu promatrati makroskopski, prihvaćajući materu kao neprekidnu sredinu. Govori se tada o mehanici neprekidnih (neprekinutih) sredina ili mehanici kontinuuma i njezinoj tehničkoj primjeni makroreologi ili jednostavno reologi. U širem smislu tu je obuhvaćena i teora elastičnih tela kao poseban slučaj, isto kao i hidromehanika. Naziv reologa izveden je iz grčkog glagola ρεω (reo) što znači teći ili protjecati. Mehanika kontinuuma prihvaća ponašanje materala kao činjenicu, kao odgovor materala na vanjske utjecaje, bez pokušaja objašnjenja, ali na temelju eksperimentalnih podataka. Stvaraju se tzv. matematski modeli mehaničkih karakteristika materala. Da bi se mogla uočiti uzročno posljedična veza vanjskih utjecaja i promjene oblika neka posluži (opet matematski!) model koji pretpostavljaju Grimsehl i Tomaschek za kristalinične strukture. U takvim telima elementarne čestice osciliraju oko nekog ravnotežnog položaja.

8 Pretpostavljaju se, naime, privlačne i odbojne sile između dvu čestica, koje u svakom momentu moraju biti uravnotežene. Za privlačnu silu između dvu čestica vredi zakon sličan općem zakonu gravitace: S+ = e e (.) r pri čemu su: e, e - energe obu čestica r - razmak između čestica. Odbojne sile rastu brže uz smanjivanje razmaka među česticama, po zakonu: S = e e rn ; gdje je n >. (.) Slika. Na slici. prikazane su obje krivulje, od kojih jedna daje veličinu privlačnih a druga odbojnih sila između čestica. Krivulja R prikazuje ovisnost rezultirajuće sile među česticama, kao razliku navedenih krivulja S+ i S-, ovisno o njihovom međurazmaku. Rezultirajućoj krivulji mogu se dati dva objašnjenja: a) ako se izvana djeluje na česticu tlačnom silom, onda par čestica reagira smanjivanjem međurazmaka,

9 3 b) za razmicanje međurazmaka, tj. povećanje r, potrebna je vlačna sila. Postoji granični međurazmak iza kojeg dolazi do destrukce materala. Kao zaključak treba napomenuti da na svaki vanjski utjecaj matera odgovara promjenom međurazmaka među elementarnim česticama, a to daje ukupnu promjenu geometrske forme, odnosno deformacu tela. U mehanici kontinuuma se rješavaju problemi prostornog djelovanja sila na prostorna tela, što je vezano uz dosta složenu matematsku aparaturu. Znatno pojednostavljenje može kod toga značiti sistematizaca označavanja raznih veličina i pojednostavljenje simbolike... Mjerne jedinice Sve fizičke veličine možemo mjeriti, tj. odrediti njihovu veličinu bez obzira na to radi li se o dužini, masi, vremenu, toplini itd. Kao rezultat mjerenja dobiva se neka brojna vrednost (intenzitet) koji je vezan uz definicu mjerne jedinice u kojoj se taj intenzitet izražava npr.: masa m = 3,6 [kg] (kilograma) vreme t dužina d =,88 [m] (metara). = [s] (sekunda) Obvezuje nas Međunarodni sustav mjernih jedinica (System International; SI), te će sve veličine biti uvek označavane u obveznim jedinicama..3. Skalari i vektori Nekim veličinama dovoljno je odrediti njihov intenzitet, kao npr.: temperatura T = 93º [K] (stupnjeva Kelvina). Istovremeno poznajemo, naročito u mehanici, veličine kojima uz intenzitet treba odrediti i hvatište i smjer u kojem djeluje ili orentacu. Takve orentirane veličine su npr.: sile, brzine, ubrzanja, radiusvektori i sl. Vektore simboliziramo naznakom vektora radiusvektor r ili r sila F ili F.

10 4 Slika. Kod računskih operaca s vektorima koristimo projekcu vektora na proizvoljno odabrani koordinatni sustav. U mehanici kontinuuma je, radi jednostavneg pisanja formula, relaca i uvjeta, uveden koordinatni sustav s indeksiranim osima. Koordinatne osi geometrskog prostora označavaju se: x, x, i x3 odnosno (), () i (3). Tako se radiusvektor r razlaže na projekce, prema slici.. xi = r cos α i i =,,3 (.3) Analogno se vektor sile FA može razložiti na projekce Fi,A = FA cos α i,a i =,,3 A = A, B, C... (.4) Već iz ovoga primjera vidi se ekonomičnost oznaka i pisanja izraza. Obratne veze, pretvaranje vektora izraženog pomoću koordinata znači izračunavanje intenziteta vektora i priklonih kutova između vektora i koordinatnih osi: r= Σ xi cos α i = i =,,3 xi r (.5) (.6) Predznacima cosinusa određen je potpuno položaj (orentaca) vektora u prostoru.

11 5. TORIJA NAPRZANJA Ako se telo opterećeno vanjskim silama FA, FB, FC, FD i F nalazi u stanju ravnoteže, mora i svaki dio toga tela biti uravnotežen. Ako ravninom π presečemo telo na dva dela (sl.. a) i u presječenoj ravnini nadomještavamo djelovanje jednog (odbačenog) dela na drugi unutrašnjim silama R L i R D (sl.. b) Slika. Svaka od tih sila je očigledno jednaka rezultanti svih sila koje djeluju na drugi odeljeni dio R L = F A + FB + FC (.) R D = FD + F (.) Uobičajena je sistematizaca koja se sastoji u postavljanju lokalnog koordinatnog sustava Ox x x3 u težištu presjeka koji možemo orentirati kao na sl.. c. Redukcom (paralelnim pomakom) sile R L u ishodište O dobivamo dinamu sila: glavni vektor sila P i vektor glavnog momenta M, pa komponente: projiciranjem vektora na lokalne osi dobivaju se

12 6 P = R L = N i + T j + T3 k (.3) M = Mt i + M j + M3 k (.4) pri čemu je N normalna sila (komponenta usmjerena u smjeru vanjske normale n ravnine presjeka T, T3 komponente transverzalne sile u smjeru osi i 3 M = M t moment uvanja (torze) M, M3 momenti savanja oko osi, odnosno 3. Slika. U klasičnoj otpornosti materala daju se ovisnosti raspodjele unutrašnje sile po površini poprečnih presjeka za tela koja imaju oblik štapova. U općem slučaju tela podjednakih dimenza treba zamisliti da se unutrašnja sila RL deli na neki način po površini zamišljenog presjeka, pa na dio površine A otpada dio rezultante ΔR. Smanjujući dimenzu ΔA do vrlo malih dimenza da (slika.) može se za svaku točku presjeka doći do granične vrednosti ρ = lim A R dr ; A da N m (.5)

13 7 Dobivena veličina ρ naziva se punim ili totalnim naprezanjem, to je sila na jedinici unutarnje površine. Dimenza naprezanja sledi iz te definice i osnovna jedinica prema SI mjerama je [N/m]. U rješavanju tehničkih problema primjenjuju se i [kn/m ] ili [MN/m]. Principelno je pitanje da li je formalna pretvorba l [N/m]= l [Pa] (Pascal) adekvatna za tehničke primjene. Između tlaka tekućine koji se mjeri paskalima i barima i naprezanja u čvrstim telima postoji fizička razlika gotovo ista kao i između energe koja se mjeri Joulima ( J = N m) i statičkog momenta koji se isto tako dobiva kao N m. Zbog toga je uvek razumljive ostati kod dvostrukih dimenza: sila/površina [N/m]. Vektor punog naprezanja ρ treba podeliti na dve komponente (slika.3), za koje će se vidjeti da drugače utječu na materal, i to komponentu koja ima smjer vanjske normale n i komponentu koja djeluje u ravnini presječne plohe. Definira se: = normalno naprezanje (sigma) i τ = posmično naprezanje (tau). Slika.3 Komponenta totalnog naprezanja u smjeru normale na presječnu ravninu smatra se pozitivnom ako je vlačna tj. usmjerena u smjeru vanjske normale n, odnosno negativnom ili tlačnom ako je suprotnog smjera... Tenzor naprezanja Radi jednostavnosti a i jednoobraznosti, uvodi se desni koordinatni sustav O x x x3 i iz napregnutog tela izdvaja mali kvadar če su stranice paralelne s koordinatnim ravninama,

14 8 Slika.4 Na kvadru se mogu uočiti tri ravnine če su normale n ; n i n 3 paralelne s odgovarajućim koordinatnim osima. Naravno da na svakoj od tih ravnina djeluju različiti vektori totalnog naprezanja, označeni s ρ, ρ i ρ 3. Projiciranjem tih vektora u smjerove odabranog koordinatnog sustava dobivamo komponente koje dobivaju po dva indeksa, kako je to prikazano na slici.4. Kod toga uvek prvi indeks označava plohu (zapravo smjer vanjske normale), a drugi smjer u koji se projicira. Iz slike se vidi da komponente koje imaju po dva ista indeksa,, 33 predstavljaju normalna naprezanja, a komponente τ, τ3, τ, τ3, τ3, τ3 posmična naprezanja. U tehničkim primjenama je uobičajeno različito označavanje i τ, dok se u teorskoj mehanici kontinuuma upotrebljava ili jedna ili druga oznaka za obje vrste naprezanja. Sve komponente možemo jednostavno označiti kao: i =,,3 j =,,3 i upisati u matricu: τ τ 3 = τ τ 3 τ 3 τ 3 33 (.6 ) Ukupno stanje naprezanja u jednoj točki napregnutog tela opisuje 9 komponenata. Takav skup komponenata predstavlja tenzor drugog reda, budući da se svaka od komponenata definira s dve oznake (indeksa) kojeg nazivamo tenzorom naprezanja.

15 9.. Veze između unutrašnjih sila i komponenata tenzora naprezanja U analizi naprezanja služimo se često metodom presjeka. U općem se slučaju u težištu zamišljenog presjeka nekog tela javlja dinama sila koja se sastoji od glavnog vektora sila P i vektora glavnog momenta M (slika.5). Pri tome se normala ravnine presjeka n podudara sa osi x. Projekce glavnog vektora sila P u smjeru koordinatnih osi su uzdužna sila N i poprečne sile T i T3, a vektora glavnog momenta M, moment uvanja (torze) Mt i momenti savanja M i M3. Na elementarnoj površini da ucrtane su komponente naprezanja. Kako je normalno naprezanje dano izrazom = dn da dn = da (.7 ) ukupna normalna sila N dobiva se integriranjem po površini presjeka: N= dn = A da (.8) A Poprečne sile dobivaju se iz definice posmičnog naprezanja τ = dt da dt = τ da (.9) pa integriranjem po površini presjeka dobivamo T = dt = τ dt = τ 3 A T3 = 3 A da (.) da (.) A A Slika.5

16 Kako je elementarni moment savanja dm jednak umnošku elementarne sile da i njezinog kraka oko osi možemo napisati M = dm dm 3 = A z da (.) A odnosno M3 = A = y da (.3) A U ovom slučaju je moment elementarne sile oko osi x3 suprotan smjeru djelovanja momenta M3 pa odatle negativan predznak ispred integrala. Za moment uvanja možemo napisati da je jednak Mt = dm A.3. t = ( yτ 3 da - zτ da) A Simetra tenzora naprezanja lementarni kvadar sa slike.6 može se na primjer projicirati na ravninu O x x Slika.6 (.4)

17 Na suprotnim stranicama djeluju istoimene komponente tenzora naprezanja, ali suprotnog smjera, budući da su normale na te plohe suprotne. Ako se zanemare diferencalne veličine višeg reda može se uvjet zbroja momenata oko ishodišta Σ MO = napisati u obliku: dx ( A A ) + ( A A ) dx + τ A dx τ A dx = (.5) Nakon kraćenja ostaje: τ A dx = τ A dx (.6) Kako je A = dx dx3 (.7) A = dx dx3 (.8) sledi da je: τ = τ (.9) Ovo bi se moglo pokazati za sve parove posmičnih naprezanja, pa se Zakon o jednakosti posmičnih naprezanja može općenito napisati: τ = τji (.) Tenzor naprezanja je dakle simetričan, budući da su članovi s jednakim indeksima jednaki. Treba uočiti da se vektori τ i τji na jednom bridu elementa ili sustižu ili razilaze. Korištenjem tri uvjeta ravnoteže tipa Σ Mi = smanjen je broj u principu nepoznatih komponenata tenzora naprezanja s 9 na svega 6, ali je pri tome ostalo samo tri uvjeta ravnoteže koji se mogu upotrebiti za pronalaženje 6 preostalih komponenata. Problem raspodjele naprezanja u telu ostaje statički neodređen!.4. Statički uvjeti ravnoteže U općenitom slučaju na element kontinuuma djeluju sile vezane na masu elementa. To su u prvom redu gravitacske sile ili inercske sile. Radi toga moraju komponente tenzora naprezanja dobiti neki prirast Δ ako se koordinata xi promeni za dxi (vidi sliku.7). Uvjet ravnoteže Σ F = može se napisati u obliku: ( + ) A + (τ + τ τ ) A + (τ 3 + τ 3 τ 3 ) A3 + f V = (.) Kada se pokrate istoimeni članovi suprotnih predznaka, ostaje: A + τ A + τ 3 A3 + f V = (.)

18 Slika.7 Treba uvrstiti da je: A = dx. dx3 A = dx. dx3 A3 = dx. dx i V= dx. dx. dx3 (.3) = dx x (.4) τ = τ dx x (.5) τ τ 3 dx3 x3 (.6) 3 = Konačno, kad se pokrati jednadžba s dx.dx.dx3 dobe se konačni uvjet za Σ F = : τ τ f = x x x3 (.7) Ovdje je f projekca sile težine ili inerce na os (), dakle f = γ ai (.8) pri čemu je: γ = gustoća [kg/m3] (.9) ai = projekca ubrzanja [m/s]. (.3)

19 3 Dobiveni uvjeti ravnoteže mogu se napisati i u općem obliku: τ τ f = x x x3 (.3) τ τ f = x x x3 (.3) τ 3 τ f3 = x x x3 (.33) Postoji i mogućnost skraćenog pisanja. Deriviranje po nekoj koordinati može se naznačiti samo zarezom:, j = (.34) xj U tenzorskom računu vredi pravilo da ponavljanje indeksa znači sumiranje po tom indeksu. Na taj način može se dobiveni uvjet ravnoteže napisati u posve skraćenom obliku:, j + fi = i =,,3 j =,,3 (.35) U svakoj od tru jednadžbi ravnoteže za smjer "i" postoje tri člana s raznim "j". Ukupno se mogu napisati samo tri jednadžbe ravnoteže..5. Transformaca tenzora naprezanja Odabrane geometrske koordinatne osi su posve proizvoljne, pa mora postojati mogućnost da se isti tenzor prikaže i u koordinatom sustavu koji je rotiran u odnosu na prvobitno odabrani. Zadatak se može rešiti tako da se nađu komponente naprezanja na nekoj proizvoljno orentiranoj plohi, polazeći od komponenata tenzora izraženom za koordinatni sustav O x x x3. Zamislimo elementarni kvadar stranica dx dx dx3 presječen ravninom kroz tri vrha, tako da se dobe tetraedar (slika.8). Slika.8

20 4 Normala ravnine presjeka n zatvara sa smjerovima koordinatnih osi kutove koji su označeni na slici s αi. Ako se kosa površina tetraedra označi s A, onda su trokutne površine na koordinatnim ravninama projekce te kose površine: A = A cos α ; A = A cos α ; A3 = A cos α 3 ; (.36) Radi kraćeg pisanja može označiti cosαi = ai pa se može napisati: Ai = A ai (.37) Naravno da pri tome suma kvadrata kosinusa mora zadovoljavati uvjet: a + a + a3 = (.38) Da bi mogli dobiti naprezanje na kosoj površini, treba iz uvjeta ravnoteže tetraedra naći vektor totalnog naprezanja na kosoj plohi. Na levoj polovini slike.9 pokazane su komponente tenzora naprezanja izražene u koordinatnom sustavu O xxx3, a na desnoj komponente vektora totalnog naprezanja ρ, ρ i ρ3 u smjeru tih koordinatnih osi. Slika.9 Ako za tetraedar, bez djelovanja volumenskih sila, postavimo uvjet ravnoteže npr. Σ F = A τ A τ 3 A3 + ρ A = (.39) Kada se skrati s A dobe se komponenta totalnog naprezanja: ρ = a + τ a + τ 3 a3 (.4) Iz uvjeta ΣF = odnosno ΣF3 = dobivaju se preostale dve komponente punog naprezanja: ρ = τ a + a + τ 3 a3 (.4) ρ 3 = τ 3 a + τ 3 a + 33 a3 (.4)

21 5 Dobivene projekce mogu se tek sada razložiti na komponentu koja je u smjeru normale ravnine presjeka nn nn = ρ a + ρ a + ρ 3 a 3 (.43) Veličinu posmične komponente τnm moglo bi se dobiti iz rezultirajućeg vektora naprezanja na kosoj plohi: τ nm = ρ nn (.44) pri čemu je ρ = ρ + ρ + ρ3 (.45) S druge strane možemo komponente naprezanja na kosoj plohi podeliti u dve komponente, od kojih je jedna u smjeru normale n, a druga u smjeru osi l okomite na normalu. Orentaca osi l mora zadovoljavati uvjet ortogonalnosti s osi n, zbroj kvadrata kosinusa mora biti jednak jedinici. b + b + b3 = (.46) Uvjet ortogonalnosti izražen preko kosinusa vektora normale glasi: a b + a b + a 3 b3 = (.47) Ako u ishodištu, u kojem je zadan tenzor naprezanja s komponentama izraženim preko osi i, j, k, postavimo novi koordinatni sustav n, l, m, koji je također ortogonalan, možemo kosinuse smjera između osi n, l, m i osi i, j, k označiti s ai, aj, ak, bi, bj, bk, ci, cj, ck Koristeći pravilo sumace izvode se opći izrazi:.6. nn τ nl τ nm = = = ai a j (.48) ai b j (.49) ai c j (.5) Glavna naprezanja Očigledno je da intenziteti komponenata tenzora naprezanja izraženi u raznim (ortogonalnim) koordinatnim sustavima daju različite vrednosti za pojedine komponente. Tražeći ekstremna normalna naprezanja dolazi se do uvjeta da takva naprezanja postoje na tri

22 6 međusobno okomite osi g, g, g3 a da pri tome na plohama paralelnim s tim koordinatnim osima nema posmičnih naprezanja. Dobiva se tzv. sekularna jednadžba koja naravno ima tri rješenja. Rješenja te jednadžbe su glavna naprezanja, i 3 koja moraju zadovoljiti jednadžbu: 3 g g I II III = g g =,,3 (.5) Kod toga su I, II i III invarante tenzora naprezanja i iznose: I = + II = + (.5) 33 + τ III = det τ τ 3 τ τ τ 3 τ 3 τ 3 τ 3 33 (.53) (.54) Simbol det označava vrednost determinante matrice komponenata tenzora naprezanja. Vrednost invaranti ne ovisi o prethodnom izboru položaja koordinatnih osi, nego o stvarnim svojstvima tenzora naprezanja u promatranoj točki. Vrednosti glavnih naprezanja dobu se rješenjem kubne jednadžbe, ona su uvek realna, a smjerove iz uvjeta za svaku od glavnih osi: a + a + a3 = (.55) te iz uvjeta da je projekca totalnog naprezanja na dve koordinatne osi jednaka projekci glavnog naprezanja. ( g ) a + τ a + τ 3 a3 = τ ( a + g ) a + τ 3 a3 = (.56) (.57) Uvrštavajući redom glavna naprezanja g =, i 3 dobivaju se kosinusi smjerova svih tru glavnih osi. Grafički se mogu odnosi naprezanja na raznim plohama povučenim kroz istu točku napregnutog tela prikazati pomoću Mohrovih kružnica naprezanja. Za prostorno stanje mogu se nacrtati tri kružnice kojih su promjeri jednaki razlikama glavnih naprezanja, a središta leže u aritmetičkim sredinama parova glavnih naprezanja, slika..

23 7 Slika. Smisao traženja glavnih naprezanja je u pronalaženju ekstremnih naprezanja u jednoj točki. Tenzor naprezanja koji je prvobitno bio definiran komponentama u koordinatnom sustavu i, j, k definira se preko glavnih naprezanja = maks, i 3 = min, uz zadane odgovarajuće smjerove glavnih osi. Prikazi istog tenzora naprezanja vidljivi su iz slike.. Slika. Prema definici na ravninama glavnih (normalnih) naprezanja nema posmičnih naprezanja.

24 8 Iz Mohrove kružnice može se vidjeti da najveća posmična naprezanja nastaju na ravninama koje s ravninama glavnih naprezanja zatvaraju kut π/4 = 45o. Mogu se naći tri prizme kvadratnog presjeka na čim ravninama djeluju ekstremna posmična naprezanja. Intenzitet tih posmičnih naprezanja jednak je polovini razlike glavnih naprezanja, a na istoj plohi djeluje normalno naprezanje koje je jednako polovini zbroja istih dvaju glavnih naprezanja. + + n = + l= m = 3 3 τn = τl= τ 3 3 m = (.58) Pronalaženje glavnih naprezanja i njihovih smjerova je znatno jednostavne u slučaju ravninskog stanja naprezanja. Tada je 33,= τ3 = τ3 = pa sekularna jednadžba dobiva kvadratnu formu, ča su rješenja:, = + ± + τ (.59) Smjer glavnih naprezanja dan je izrazom: tg ϕ = τ (.6) Mohrove kružnice svode se na samo jednu, kako je to prikazano na slici.. Slika.

25 9 lementu s komponentama naprezanja zadanim u koordinatnom sustavu O x x odgovara na istom mjestu element koji je napregnut glavnim naprezanjima, a stranice mu imaju orentacu ϕ. Istovremeno se može nacrtati i element opterećen najvećim posmičnim naprezanjima (sl..3). Slika.3 Sva tri elementa opterećena su jednim istim tenzorom naprezanja koji je pri tome prikazan u tri različita koordinatna sustava. Tenzor naprezanja može se izraziti na razne načine, a da pri tome to predstavlja jedno isto stanje naprezanja u promatranoj točki napregnutog tela. Ovo je u principu isto kao da vektor sile projiciramo u razne koordinatne sustave. Tenzor naprezanja je izražen komponentama u proizvoljno odabranom koordinatnom sustavu O x x x3. Pronalaženjem intenziteta i smjera glavnih naprezanja taj se isti tenzor izražava komponentama u smjerovima glavnih osi naprezanja g g g3. Može se, dakle, izjednačiti: τ = τ τ 3 τ 3 τ 3 τ 3 33 = g = 3 (.6) Za ravninsko stanje naprezanja ostaju samo komponente: τ = τ = g τ maks = = m τ maks m (.6)

26 .7. Dioba tenzora naprezanja na komponente Iako to do sada ne bilo naglašeno, jasno je da se tenzori mogu zbrajati i oduzimati, pa prema tome i deliti na komponente. Pri tome komponente obaju tenzora moraju biti izražene u istim koordinatama: = ' ± '' (.63) Bilo kakav tenzor naprezanja može se podeliti na svoju simetričnu i nesimetričnu ili antimetričnu komponentu, samo su nazivi nešto drugači: - sferna ili izotropna komponenta tenzora naprezanja predstavlja stanje naprezanja kod kojeg su glavna naprezanja u sva tri smjera ista (simetrično stanje naprezanja). To je, naprosto, kvazihidrostatsko ili izotropno stanje, kod kojega nema nikakvih posmičnih naprezanja ni na kojoj kosoj ravnini, - devatorska komponenta sadrži ostatak tenzora (nesimetrično ili antimetrično stanje naprezanja). Glavna naprezanja u smjerovima osi g, g i g3 dele se, dakle, na sfernu devatorsku g = D g komponentu: S g + g g =,,3 D g = g i (.64) Sg = 3 gs = S gl S g Sg + Sg D + gs = 3D S g D S i 3 S g + D i S g (.65) Sferna komponenta predstavlja u stvari prosječno normalno naprezanje i može se izraziti prvom invarantom naprezanja: S g = I = ( ) = ( ) tj. zbrojem normalnih naprezanja na međusobno okomitim ravninama. (.66)

27 Obje se komponente mogu pokazati na elementu kojeg su bridovi paralelni s osima glavnih naprezanja g, g i g3 (sl..4) Slika.4 Ova podjela je proistekla iz analize ekstremnih posmičnih naprezanja. Ta podjela ima svoj puni fizički smisao kod izučavanja deformaca čvrstih tela, kao što će se pokazati kasne (str. ). Iz tela opterećenog u promatranoj točki glavnim naprezanjima S i D može se isjeći pravilni oktaedar kojeg dagonale imaju smjerove glavnih osi naprezanja g, g i g3, što je prikazano na slici.5. Slika.5 Sferna komponenta naprezanja daje ista naprezanja na bilo kojoj plohi povučenoj kroz točku, dakle i na plohama oktaedra. Pri tome takvo stanje naprezanja ne prouzrokuje nigdje

28 posmična naprezanja. Sferna komponenta tenzora naprezanja daje na plohama oktaedra naprezanja: τ = S okt S okt S g (.67) = (.68) Plohe pravilnog oktaedra imaju kosinuse smjera normala u odnosu na osi g, g i g3 mi = i =,,3 3 (.69) Naravno da je pri tome: m + m + m3 = (.7) Devatorska komponenta τokt može se naći iz totalnog naprezanja ρ na oktaedarskoj plohi, koje iznosi: ρ = 3 (.7) pa se odatle dobiva: ( ) D τ okt = ρ S D okt (.7) = Nakon što se uvrsti dobivena vrednost za ρ i izraz sredi, dobiva se konačno: D τ okt = 3 ( ) + ( 3 ) + ( 3 ) (.73) Ako se, dakle, tenzor naprezanja podeli na sfernu i devatorsku komponentu i promatraju pri tome naprezanja koja se dobivaju na plohama oktaedra, dobivaju se dva stanja od kojih je prvo izotropno, a drugo predstavlja neku vrstu čistog smicanja: S D okt = ( + 3 = + 3 )= I 3 τ τ D okt S = = 3 I II 3 (.74) Obje komponente oktaedarskih naprezanja pokazane su na slici.6 iz koje je vidljivo da u stvari najopćenite stanje naprezanja možemo svesti na jedno izotropno stanje pokazano na levom oktaedru i stanje čistog smicanja na plohama tog istog oktaedra. Pri tome ne treba zaboraviti da dagonale tog oktaedra predstavljaju glavne osi naprezanja u promatranoj točki.

29 3 Slika.6 Ova dioba tenzora naprezanja ima svoj duboki fizički smisao. Pri povezivanju naprezanja s pripadnim deformacama za realne materale uočava se potpuno drugače ponašanje za opterećenje materala sfernom komponentom tenzora naprezanja u odnosu na reakcu materala na opterećenje smicanjem, dakle devatorskom komponentom tenzora naprezanja.

30 4 3. TORIJA DFORMACIJA Pod utjecajem vanjskih sila telo će se u općem slučaju pomaknuti iz svojeg prvobitnog položaja I u položaj II. Na telu promatramo točku P i diferencalnu dužinu ds koje se pomiču zajedno s telom. Promjenu konfigurace, koja je pokazana na slici 3. može se promatrati na dva načina: a) pomoću prostornih koordinata u čvrstom koordinatnom sustavu O x x x3 b) pomoću prostornog koordinatnog sustava O X X X3 koji se pomiče zajedno s telom, pa su to materalne ili prirodne koordinate vezane uz telo. X x II I ds` P` n ds P R b r X x X3 x3 Slika 3. uler je dao formulacu za prvi način promatranja. Da bi se mogla naći deformaca konfigurace kontinuuma izražava se koordinata u globalnom sustavu xi kao funkca prirodne koordinate XL i vremena t: xi = xi ( X L, t ) (3.) Analogno je Lagrange definirao materalnu koordinatu XL u ovisnosti o globalnoj koordinati xi i vremenu t: X L = X L ( xi, t ) (3.) Dužina uočenog elementa ds može se također izraziti na oba načina. U globalnim koordinatama: ds = g dxi dx j = g xi x j dx L dx M = C LM dx L dx M XL XM (3.3)

31 5 te analogno u materalnim koordinatama: ds = GLM dx L dx M = GLM XL XM dxi dx j = c dxi dx j xi x j (3.4) Dobiveni izrazi definiraju Green-Cauchy-jevu mjeru deformace C LM = g xi x j XL XM (3.5) c = GLM XL XM xi x j (3.6) Razlika između deformirane i prvobitne dužine u prostornim koordinatama izražena je relacom: ε = ( g c ) (3.7) a u materalnim koordinatama: LM = ( C LM GLM ) (3.8) Promjena položaja točke naziva se pomakom, pa se tenzori deformaca mogu izraziti pomoću pomaka. Tako se za prostorne koordinate dobiva: ε = ui u j u k u k + + x j xi xi x j (3.9) Istovremeno u materalnim koordinatama imamo: LM = uk uk ul um + + X M X L X M X L (3.) Na kraju, ako se radi o malim pomacima tj. pomacima koji su maleni u odnosu na dimenze tela, postaju oba dobivena tenzora jednaka, a produkti u trećim članovima postaju kao diferencalne veličine drugog reda zanemarivi: ε LM 3.. u i u j + x j x i = (ui, j + u j,i ) (3.) Tenzor deformaca Ove dobivene definice tenzora deformaca mogu se za male deformace pokazati i direktno. Neka se elementarni kvadar deformira kao što je to pokazano na slici 3..

32 6 x u C u C C` C B` ub u A A` u A A x B ub ua Slika 3. Ako točka A kvadra kojemu promatramo samo pomake u ravnini O x x ima pomak u A (vektor!), onda su komponente tog pomaka u,a i u,a. Pomaci susjednih točaka B i C mogu se naći po pravilu totalnog diferencala - uz zanemarenje viših članova: u i = u i, A + ui ui dx i + dx j xi xj (3.) Ovo se može primeniti na sve četiri komponente deformaca elementa, kao što je to pokazano na slici 3.3. C` dx C dx A B B` dx A dx u =(uc -ua) C C dx A B u =(uc -ua) A dx Slika 3.3

33 7 Za produljenje stranica dx se dobiva: dx = ub u A dx = u dx x ε = x = u, dx (3.3) Analogno za produljenje dx dx = u B u A u dx x dx = ε = x = u, dx (3.4) Kutevi zaokreta stranica mogu se dobiti vrlo jednostavno, naravno uz pretpostavku malih deformaca: ε = u u = = u, dx x (3.5) Isto se tako dobiva: ε = u u = = u, dx x (3.6) Sama promjena jednog od kuteva priklona stranica prema koordinatnoj osi ne predstavlja karakterističnu deformacu. Iz slike 3. vidi se da se prilikom deformiranja elementa menjaju pravi kutevi u uglovima elementa za kut γ Iz slike 3.4 je vidljivo da je γ = ε + ε (3.7) x x Slika 3.4 Dobivene komponente deformaca čine tenzor deformaca koji za ravninsko stanje naprezanja ima članove: ε ε = ε ε ε ε ε = γ γ ε (3.8) Pri tome treba definirati i veze komponenata tenzora deformaca za koje je dobiveno:

34 8 ε = u x ε = u x γ = ε + ε = u u + x x (3.9) Ovo se može poopćiti i napisati: ε = (u i, j + u j,i ) (3.) Za prostorno stanje deformaca ostaju iste definice, samo se tenzor proširuje: ε ε = γ γ 3 γ ε γ 3 γ 3 γ 3 ε 33 (3.) Treba napomenuti da, osim komponenata koje su ovdje simetrične, postoje i nesimetrične, odnosno antimetrične. Kada element samo rotira, a ne kliže kao što je to pokazano na slici 3.4, dolazi do rotace elementa (vidi sliku 3.5). Kut rotace se može pokazati kao razlika kutova ω = u u i, dakle: x x ( u, u, ) (3.) Ako se, na primjer, kao na slici 3.5 pretpostavi da je element bez kuta klizanja γ, što znači da je u, = u, (3.3) dobiva se: ω = ( u, + u, ) = u, (3.4) x = u, = u, Slika 3.5 x

35 9 3.. Glavne deformace U tenzoru deformaca postoje dagonalni članovi εii koji predstavljaju stvarnu dilatacu, tj. produljenje jedinične dužine u pojedinim smjerovima. Članovi izvan dagonale ε su kutevi klizanja (zapravo polovine tih kutova!). ε = γ (3.5) Na isti način kao i kod tenzora naprezanja mogu se pomoću sekularne jednadžbe: ε g3 + ε g I ε + ε g II ε + III ε = g =,,3 (3.6) naći glavne deformace. Pri tome se pojavljuju invarante tenzora deformaca I ε = ε + ε + ε 33 = ε + ε + ε 3 (3.7) II ε = ε ε + ε ε 33 + ε 33 ε ε ε 3 ε 3 (3.8) ε ε III ε = det ε ε ε 3 ε 3 (3.9) ε 3 ε 3 ε 33 Proračun veličina glavnih deformaca kao i smjerova u kojem se te deformace pojavljuju je analogan proračunu glavnih naprezanja. U smjerovima glavnih deformaca nema klizanja. To znači da elementarni kvadar postavljen na stranicama paralelnim sa smjerovima glavnih deformaca zadržava sve prave kuteve, a samo mu se menjaju dužine stranica ( ds i = ε i ds i ). Slika 3.6

36 3 Promjena obujma kvadra prikazanog na slici 3.6 može se naći kao: θ = V ( + ε ) dx + ( + ε ) dx + ( + ε 3 ) dx3 dx dx dx3 = V dx dx dx3 (3.3) a odatle: θ = ε + ε + ε 3 = Iε 3.3. (3.3) Oktaedarske deformace Kada su pronađene glavne deformace ε, ε i ε 3 mogu se, slično kao i kod tenzora naprezanja, naći deformace na oktaedru, kojem su dagonale paralelne sa smjerovima glavnih deformaca. I ovdje se može deformaca podeliti na sferni dio εs - to se ovdje naziva izotropna deformaca i na distorzioni dio εd, tj. devatorsku komponentu deformaca. Bez izvoda daju se konačni izrazi: ε S = ε okt = ε D = γ okt = ( ε + ε + ε 3 ) = Iε 3 3 (3.3) 3 (3.33) (ε ε ) + (ε ε 3 ) + (ε 3 ε ) Kao objašnjenje treba reći da se ukupna deformaca deli na izotropnu, koja predstavlja čistu promjenu volumena, i na distorzionu, koja predstavlja promjenu oblika, bez promjena volumena. Slika 3.7

37 3 Na slici 3.7 prikazane su obje te deformace, od kojih se prva ostvaruje bez promjena kuteva a druga bez promjena volumena Ravninsko stanje deformaca U nizu slučajeva nema deformace ε33, jer je npr. ravnina O x x tako ukleštena u telu da se dve paralelne ravnine ne mogu međusobno pomicati. Tada su ε 33 = ε 3 = ε 3 = (3.34) Od kompletnog tenzora ostale su samo komponente ε ε = γ γ ε (3.35) Za razliku od ravninskog stanja naprezanja kod kojega je 33 =, ovdje je ε33 =. Relace između komponenata tenzora naprezanja mogu se, isto kao i naprezanja, prikazati pomoću Mohrove kružnice deformaca (slika 3.8). Treba samo upozoriti da su pri tome osi ε i γ/. Slika 3.8

38 Brzina deformace Ako se pretpostave male deformace, može se pojednostavljeno naći: x i = x i + u i (3.36) Odatle se brzina gibanja točke može naći kao: dxi dxi du i = + = u i = vi dt dt dt xi = (3.37) S druge smo strane definirali komponente tenzora deformace kao: ε = ( u i, j + u i,i ) (3.38) Ako komponente tenzora deformace deriviramo po vremenu, dobivamo:. ε d u d u j dui du j = = i + + dt dt x j dt xi x j dt xi dt dε (3.39) Odatle se konačno dobiva: ε ( v i, j + v j,i ) (3.4) Ovo je tenzor brzina inifinitezimalnih deformaca Brzina prirasta naprezanja Na sličan način kao i za brzine deformaca može se pokazati da za tenzor naprezanja postoje i brzine prirasta komponenata tenzora naprezanja = ( xk, t ) Za male deformace (kada se koordinate bitno ne menjaju) možemo napisati: = d dt (3.4)

39 33 4. TORIJA LASTIČNOSTI U "Otpornosti materala" rješavali smo samo najjednostavne slučajeve tj. ravne štapove tako da taj dio mehanike čvrstih tela često nazivamo "Mehanika štapova". U "Teori elastičnosti" također se kao i u "Otpornosti materala" promatra promjena stanja na prezanja i deformaca čvrstog elastičnog tela pod djelovanje statičkih ili dinamičkih utjecaja kojima uzroci mogu biti različiti npr. gravitaca, inerca, promjena temperature i drugo. Me đutim dok se u "Otpornosti materala" u tumačenju pojedinih pojava polazi od jednostavnih prema složenim, i od pojedinačnih zaključaka na opće zaključke i pravila, u "Teori elastič nosti" se iz općih razmatranja i općih zakonitosti ide na rješavanje pojedinačnih slučajeva. Kao u "Otpornosti materala", i u "Teori elastičnosti" se pretpostavlja da matera ima svoj stvo neprekinute sredine tj. da je jednoliko raspodeljena po obujmu tela. Kod svih je pro blema zajedničko da treba istovremeno zadovoljiti veći broj jednadžbi. Rješavanje problema postaje teže što je oblik konture tela i opterećenja na konturi složene pa se tako više ne mogu naći točna rješenja nego se zadovoljavamo približnim rješenjima numeričkih metoda (metode konačnih razlika, metode konačnih elemenata ili metode rubnih elemenata). U nekim je slučajevima povoljne probleme rješavati eksperimentalnim putem. Sličnost oblika jed nadžbi u teori elastičnosti i elektrici omogućuju razne analoge. Ako se utvrde karakteristike rješenja diferencalne jednadžbe na temelju analogne električne pojave može se rešiti pro blem iz teore elastičnosti. U rješavanju ravninskih problema neobično se korisnom pokazala fotoelastičnost, gdje je na modelu izrađenom od posebnog materala u polariziranom svetlu moguće utvrditi stanje naprezanja. 4. Veza između komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformaca Da bismo potpuno odredili stanje naprezanja i deformaca potrebno je neprekinutoj deformabilnoj sredini (promatranom telu) dati određena fizikalna svojstva tj. odrediti veze između naprezanja i deformaca : = f (ε ) (4.) odnosno između komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformaca: { } = [ C ]{ ε } (4.)

40 34 pri čemu je [ C] - matrica elastičnosti. Inverzna veza između deformaca i naprezanja glasi: ε = f - ( ) = g ( ), (4.3) odnosno: { ε } = [ S ]{ } (4.4) Općenito se komponente tenzora naprezanja u jednoj točki mogu izraziti kao funkce komponenata tenzora deformaca: = f (ε, ε, ε33, ε, ε3, ε3) 33= f3 (ε, ε, ε33, ε, ε3, ε3) = f (ε, ε, ε33, ε, ε3, ε3) τ = f4 (ε, ε, ε33, ε, ε3, ε3) τ3 = f5 (ε, ε, ε33, ε, ε3, ε3) τ3 = f6 (ε, ε, ε33, ε, ε3, ε3) τ = f7 (ε, ε, ε33, ε, ε3, ε3) τ3 = f8 (ε, ε, ε33, ε, ε3, ε3) τ3 = f9 (ε, ε, ε33, ε, ε3, ε3) (4.5) U općem obliku takova se zavisnost kod mnogih tehničkih materala može prikazati beskonačnim redom potenca: = c + cε + cε + c3ε33 + c4ε + c5ε3 + c6ε3 + c7ε cmε3n = c + cε + cε + c3ε33 + c4ε + c5ε3 + c6ε3 + c7ε cmε3n 3 =c3 + c3ε + c3ε + c33ε33 + c34ε + c35ε3 + c36ε3 + c37ε c3mε3n τ = c4 + c4ε + c4ε c46ε3 + c47ε c4mε3n τ3 = c5 + c5ε + c5ε c56ε3 + c57ε c5mε3n τ3 = c6 + c6ε + c6ε + +c66ε3 + c67ε c6mε3n. τ = c7 + c7ε + c7ε c76ε3 + c77ε c7mε3n τ3= c8 + c8ε + c8ε c86ε3 + c87ε c8mε3n τ3 = c9 + c9ε + c9ε c96ε3 + c97ε c9mε3n (4.6) Rješavanje problema tako izraženim vezama je isuviše složeno. Kako pri eksploataci većine konstrukca naprezanja i deformace ostaju u području linearnosti izostavljaju se članovi s potencama različitim od, i to je tzv. linearna teora. Početni članovi cm u gore navedenim izrazima nisu poznati. Oni se mogu menjati od točke do točke tela, a uzrokuju ih različiti utjecaji: temperatura pre nego što je telo uzeto u razmatranje, defekti u strukturi,

41 35 higrometrsko stanje i drugo. Pretpostavljamo da ih nema, tj. da su početna naprezanja jednaka nuli: cm = m = (4.7) Pretpostavljamo također da su deformace povratne tj. da nakon uklanjanja uzroka deformiranja, telo poprima svoj prvotni oblik. Takovo telo od idealno elastičnog materala kod kojeg su veze između naprezanja i deformaca linearne nazivamo Hookeovo telo. Danas su već razrađene nelinearne teore elastičnosti koje uzimaju u obzir nelinearnost između naprezanja i deformaca (materalna nelinearnost) ili nelinearnost između deformaca i derivaca pomaka (geometrska nelinearnost). Linearna zavisnost između naprezanja i deformaca te deformaca i derivaca pomaka dovoljna je ako deformace nisu suviše velike. Kod većine tehničkih konstrukca deformace ne prelaze % pa nas točnost rješenja po linearnoj teori malih deformaca može zadovoljiti. Veza između komponenata naprezanja i komponenata deformaca po linearnoj teori malih deformaca može se izraziti pomoću 34 = 8 koeficenata: τ τ τ 3 τ 3 c c c3 τ 3 c 4 τ 3 = c5 33 c6 c 7 c8 c 9 c c c3 c 4 c5 c 6 c 7 c8 c9 c3 c 3 c33 c 43 c53 c63 c73 c83 c93 c4 c 4 c34 c 44 c54 c 64 c 74 c84 c94 c5 c 5 c35 c 45 c55 c65 c75 c85 c95 c6 c 6 c36 c 46 c56 c 66 c 76 c86 c96 c7 c 7 c37 c 47 c57 c 67 c 77 c87 c97 c8 c 8 c38 c 48 c58 c 68 c 78 c88 c98 c9 c 9 c39 c 49 c59 c69 c79 c89 c99 ε ε ε ε ε 3 ε 3 ε 3 ε 3 ε 33 (4.8) Kako su posmična naprezanja na međusobno okomitim plohama jednaka (Zakon o jednakosti posmičnih naprezanja): τ = τ, τ 3 = τ 3, τ 3 = τ 3 (4.9) veze između šest komponenata naprezanja i komponenata deformaca izražavamo pomoću 6 = 36 koeficenata:

42 36 τ τ τ 3 τ 3 c c τ 3 c τ 3 = 33 = 3 τ c 33 4 τ 3 c5 τ 3 c6 c c c3 c 4 c5 c6 c3 c 3 c33 c 43 c53 c 63 c4 c 4 c34 c 44 c54 c64 c5 c 5 c35 c 45 c55 c 65 c6 c 6 c36 c 46 c56 c 66 ε ε ε 33 ε ε 3 ε 3 (4.) U općem slučaju normalna naprezanja zavise o duljinskim deformacama ali i o kutnim deformacama dok posmična naprezanja ne ovise samo od kutnim nego i duljinskim deformacama. Može se pokazati da su koeficenti matrice [C] izvan dagonale međusobno jednaki: c m n = cn m (4.) čime se broj koeficenata smanjuje na. Ako su poznate komponente tenzora deformaca Hookeovog materala pune anizotrope, uz poznavanje koeficenta mogu se odrediti komponente tenzora naprezanja. Materal pune anizotrope je takav materal koji ima istaknute fizikalne karakteristike (npr. modul elastičnosti, Poissonov koeficent ν) u tri međusobno kosa smjera (primjer za takav materal je triklinski kristal). Kod takvog materala ne moguće postaviti niti jednu os simetre i niti jednu ravninu simetre ili zrcalenja niti za raspored materalnih diskretnih čestica niti za mehanička svojstva. Karakteristično je za takve materale da čak i u slučaju malih deformaca, komponente naprezanja zavise od svih komponenata deformaca i obratno. Kod materala koji posjeduju osi ili ravnine simetre ili ravnine rotace, broj koeficenata se smanjuje. Matrica koeficenata za materal s tri ortogonalne osi simetre (ortotropno telo) smanjuje se na 9: c c 33 c3 = τ τ 3 τ 3 c c c 3 c3 c 3 c33 c 44 c55 c66 ε ε ε 33 ε ε 3 ε 3 Karakteristično je da normalna naprezanja ovise samo o duljinskim (normalnim) deformacama, a pomična naprezanja o kutnim (posmičnim) deformacama. (4.)

43 37 Broj koeficenata se dalje smanjuje, ako su u istaknutim ortogonalnim smjerovima elastične karakteristike jednake. Za izotropno telo s jednakim karakteristikama u tri ortogonalna smjera (npr. čelik), broj koeficenata se smanjuje na 3 te matrica koeficenata glasi: c c 33 c = τ τ 3 τ 3 c c c c c c c 44 c 44 c 44 ε ε ε 33 ε ε 3 ε 3 (4.3) Samo za izotropne materale vredi da normalna naprezanja ovise o normalnim deformacama, a posmična naprezanja o posmičnim deformacama. Može se dokazati da su samo dva koeficenta c i c nezavisna, dok je treći c44 zavisan, a izraziti se mogu pomoću tzv. Laméovih koeficenata elastičnosti λ i µ : c = λ + µ, c = λ, c 44 = c - c = µ (4.4) lastične konstante materala: modul elastičnosti, Poissonov koeficent ν i modul posmika G, vezane su Laméovim koeficentima sledećim relacama: ν ( + ν ) ( ), λ = µ = G (4.5) Za prostorno stanje veza komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformaca, jednadžba 4. { 33 = ( + ν ) ( ν τ τ 3 τ 3 ) } = [ C ]{ ε }, glasi: ν ν ( ν ) ν ( ν ) ν ν ν ( ν ) ( ν ) ( ν ) ( ν ) ε ε ε 33 ε ε 3 ε 3 (4.6) odnosno: = ( + ν ) ( ν ) [ ( ν ) ε + ν ε + ν ε 33 ] (4.7)

44 38 = ( + ν ) ( ν ) 33 = ( + ν ) ( ν ) τ = ( + ν ) ( ν [ ( ν ) ε + ν ε 33 + ν ε ] (4.8) [ ( ν ) ε 33 + ν ε + ν ε ] (4.9) [ ( ν ) ε ] ) = ε = ε = G γ ( + ν ) ( + ν ) (4.) τ 3 = Gγ 3 (4.) τ 3 = Gγ 3 (4.) Inverzna je veza komponente tenzora deformaca izražena pomoću komponenata tenzora naprezanja: [ C ] { } = [ C ] - [ C ] { ε } (4.3) [ C ] { } = { ε } (4.4) odnosno: { ε } = [ S ]{ } (4.4) Poznavajući koeficente c matrice elastičnosti [C] mogu se inverzom odrediti koeficenti s kvadratne matrice [ S ]: ε ε ν ε 33 ν = ε ε 3 ε 3 ν ν ν ν ( + ν ) ( + ν ) ( + ν ) 33 τ τ 3 τ 3 (4.5) odnosno : ε = ( ε = ( ε 33 = ( ν ν 33 ) (4.6) ν 33 ν ) (4.7) 33 ν ν ) (4.8)

45 39 ε = 4.. γ 3 = γ 3 = + ν τ τ γ = ε = ( + ν ) τ = τ G γ = τ G 3 (4.3) G τ (4.9) 3 (4.3) G Ravninsko stanje naprezanja 3 = τ3 = τ3 = ε 33 ε = ( ε ( = ε = ε (4.3) = 33 ( 33 ν ν ) = ( ν ν ) (4.33) ν ) (4.34) ν ) (4.35) + ν τ (4.36) ili inverzna veza: = ν = ν τ = ( ε + ν ε ) (4.37) ( ε + ν ε ) (4.38) ( ν ) ε = ε + ν ν (4.39) odnosno u matričnom obliku: = ν τ ν ν ν ε ε ε (4.4)

46 Ravninsko stanje deformaca ε3 = ε3 = ε3 = 33 (4.4) ε 33 = ( 33 ν ν )= ( 33 ν ν )= 33 = ν ( + ) (4.4) Transformacama se dobivaju izrazi za deformace: ε = ν ε ν = ε = + ν τ ν ν ν ν ε = ε = ε ( + ν ) τ = * ( ν * * ( = γ ν * G* τ ) (4.43) ) (4.44) (4.45) pri čemu je: * = ν (4.46) ν ν (4.47) G* = G. (4.48) ν = Inverzna veza komponenata naprezanja izraženih pomoću komponenata deformaca u matričnom obliku je: * = * τ ν ν* * ν ν * ε ε ε (4.49) Navedeni izrazi su analogni izrazima za ravninsko stanje naprezanja, što omogućuje analogno rješavanje problema ravninskog stanja naprezanja i ravninskog stanja deformaca.

47 4 5. ROLOŠKI MODLI I MODLIRANJ Zadatak reologe je pronalaženje analitičkih veza između komponenata tenzora deformaca i komponenata tenzora naprezanja. Svrha je posve praktična, što znači da se dobivene veze koriste u tehnici za zaključivanje o ponašanju materala i konstrukca. Reologa se u prvom redu oslanja na rezultate ispitivanja mehaničkih svojstava pojedinih materala s jedne strane, a na postavke i rezultate teorske mehanike kontinuuma s druge strane. Stvarno ponašanje pojedinih materala ponekad je vrlo složeno, pa su i veze deformaca i naprezanja složene. Klasična mehanika kontinuuma poznavala je dve vrste materala - elastična čvrsta tela i idealne fluide, ali su detaljna ispitivanja pokazala da u skupini čvrstih materala gotovo uvek ima ili viskoznih ili drugih neelastičnih pojava, pa sadašnja reologa posebno razmatra upravo takve pojave. Uz navedena dva idealna tela - elastično Hookeovo telo i Newtonov fluid - postoje i neka druga tipična ponašanja koja se ne mogu svesti pod ta dva navedena. Tako je uz teoru elastičnosti i mehaniku fluida nastala i teora plastičnosti, če rezultate koristi statika čeličnih i betonskih konstrukca. Kao posebno poglavlje u teori plastičnosti uvodi se plastično ponašanje nekih tela i tla. Reologa polazi od najjednostavnih tela, če se ponašanje može idealno prikazati s jednostavnim matematskim modelima (analitičkim vezama), a pri tome se takav matematski model vizualizira, tj. daje se modelu fizički smisao. Tako se na primjer ponašanje elastičnog tela može simbolizirati ponašanjem elastičnog pera, a da pri tome to pero nema nikakve veze s promatranim materalom i problemom koji se razmatra. Od fizičkih veličina koje treba uzeti u račun imamo: ε ε tenzor deformaca tenzor brzina deformaca tenzor naprezanja tenzor brzine prirasta naprezanja. Za sva četiri tenzora treba posebno voditi računa o sfernoj i devatorskoj komponenti svakog tenzora. Ako se istoimenim indeksima označe sferne komponente, a s raznoimenim devatorske komponente, mogu se napisati osnovne konstitutivne jednadžbe:

48 4 C ε kk. C5 ε + C ε D = C3 kk + C4 kk + C6 ε D = C7 D (5.) kk + C8 D (5.) pri čemu se pretpostavlja: 7. da je materal homogen tj. takav kojemu svojstva ne ovise o koordinatama 8. da su deformace infinitezimalne (u protivnom bi te veze bile složene) 9. da su veze izotropne tj. da su koeficenti C do C8 skalari odnosno konstante za linearne veze ili funkce invaranata tenzora kada su veze između naprezanja i deformaca kvazilinearne. Prva jednadžbi naziva se obujamska (volumetrska) jednadžba i daje vezu između obujamske deformace εv i srednjeg normalnog naprezanja S kao i njihovim derivacama po vremenu. Druga distorzska jednadžba predstavlja vezu između devatorskog tenzora deformace - distorze i devatorskog tenzora naprezanja kao i njihovim derivacama po vremenu. Sa svake strane po jedan je član različit od nule samo kod osnovnih materala. Osnovni idealni materalu su: idealno elastičan, idealno plastičan i viskozan materal. Karakteristična svojstva osnovnih idealnih materala prikazuje se elementarnim mehaničkim modelima za slučaj aksalnog naprezanja uz definiranje veza između naprezanja i deformaca. Za prikaz ponašanja materala sa složenim mehaničkim svojstvima upotrebljavaju se reološki modeli. 5.. Materali idealnih svojstava 5... Idealno elastičan Hooke-ov materal Uz pretpostavku idealne linearne veze između deformaca i naprezanja (C = C3 = C5 = C7 = ) konstitutivne jednadžbe glase: C ε kk = C4 C6 ε D = C 8 (5.3) kk D (5.4) Uvodeći obujamski modul komprese K kao vezu između obujamske deformace i srednjeg normalnog naprezanja obujamsku jednadžbu možemo napisati kao: ε kk = 3 K kk (5.5)

49 43 pri čemu je: 3 ( ν ) K= (5.6) izražen preko modula elastičnosti i Poissonovog koeficenta ν. Za devatorske komponente modul posmika G je veza između tangencalnog naprezanja i kuta klizanja: γ = τ (5.7) G pa uz: ε = γ (5.8) distorzska konstitutivna jednadžba glasi: ε D = D G. (5.) Sređivanjem i razvanjem dobivamo poznate Lame-ove jednadžbe: = µ ε + λ δ ε kk δ = za i = j; ; δ = za i j (5.) U slučaju jednoosnog naprezanja: = µ ε + λ ( ε + ε = µ ε + ε 33 ) (5.) (5.3) U četvrtom poglavlju detaljno su prikazane veze između komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformaca za elastična tela. Slika 5.

50 44 Hooke-ovo telo simbolički se u reološkim modelima prikazuje u formi elastičnog pera (slika 5.). U reološkim modelima koji radi jednostavnosti prikazuju samo deformacu linearnog elementa (npr. vlačnog štapa), može se odnos deformace i pripadnog naprezanja pokazati kao: ε = (5.4) Za idealno elastično telo pretpostavlja se da deformaca nastupa trenutno i to u konačnom iznosu, pa između komponenata tenzora brzine deformaca i brzine prirasta naprezanja postoje iste veze kao i za odgovarajuća statička stanja. Ponašanje materala može se prikazati u obliku dagrama (slika 5.) koji povezuju deformacu odnosno naprezanje s vremenom. Na slici a) prikazana je ovisnost deformace i naprezanja (sile) za stalno opterećenje u trajanju t, a za rastuće i padajuće naprezanje na slici b). Pri ovakvim se prikazima uvek pretpostavlja da naprezanja rastu dovoljno sporo da ne izazovu oscilace. Slika Savršeno plastičan materal Saint Venant-ov materal Saint Venant je predložio model idealno kruto-plastičnog materala koji ima svojstva da ne pokazuje nikakve deformace ε dok naprezanje ne dosegne izvjesnu kritičnu vrednost: Y ε = (5.5)

51 45 Nakon što je dosegnuto kritično naprezanje y: = Y ε (5.6) materal se plastično deformira. Slika 5.3 Slika 5.4 Veličina deformace (slika 5.3) pri tome ne određena nikakvim odnosom s intenzitetom naprezanja ili sa vremenom, nego ovisi o proizvedenoj deformaci ili deformacama susjednih elemenata. Na slici 5.4 predstavljen je fizički model tela savršeno plastičnih svojstava, a sastoji se od dvu ploča koje su međusobno pritegnute i među kojima postoji Coulomb-ovo (suho) trenje: RT = f R N (5.7) Sila trenja popušta kada sila F= A pređe graničnu silu trenja Viskozan fluid Da bi definirali Newtonov materal treba u osnovne konstitutivne jednadžbe uvrstiti C = C4 = C6 = C7 =. Za obujamsku jednadžbu to znači da pri izvjesnoj brzini prirasta sferne komponente tenzora naprezanja postoji odgovarajuća brzina deformaca. Nakon što prestane prirast naprezanja zaustavlja se i sferni dio deformace pa jednadžba (5.) glasi: C ε kk = C3 kk (5.8) odnosno izražena preko modula komprese K: ε kk = 3 K kk. (5.8)