0.5, Μεταφορά θερμότητας ανάμεσα σε κυλίνδρους μεγάλου μήκους (χωρίς ασπίδα):

Transcript

1 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Δ. Βαλουγεώργης, Εαρινό εξάμηνο 0-05 ΕΡΓΑΣΙΑ #: Μετάδοση θερμότητας με ακτινοβολία Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Δύο ομοαξονικοί κύλινδροι ( και ) μεγάλου μήκους με διαχυτικές γκρίζες επιφάνειες διαχωρίζονται από δύο άλλους ομοαξονικούς κυλίνδρους ( και 3) που λειτουργούν σαν ασπίδες ακτινοβολίας. Η ικανότητα εκπομπής είναι η ίδια και από τις δύο πλευρές των ασπίδων ακτινοβολίας. Α) Να παραχθεί η έκφραση μεταφοράς θερμότητας ανάμεσα στον εσωτερικό και εξωτερικό κύλινδρο σε σχέση με τις θερμοκρασίες τους και τις ιδιότητές τους. Β) Να αποδειχθεί ότι στο κατάλληλο γεωμετρικό όριο η έκφραση ανάγεται στην αντίστοιχη για μεταφορά θερμότητας ανάμεσα σε μεγάλες παράλληλες πλάκες. Γ) Να βρεθεί η μείωση της μεταφοράς θερμότητας ανάμεσα στον εσωτερικό και εξωτερικό κύλινδρο με λόγο ακτινών :3:5:7 και 0.5, 3 0. Α) Βλέπε Σημειώσεις μαθήματος, Παράγραφος.: Μεταφορά θερμότητας ανάμεσα σε κυλίνδρους μεγάλου μήκους (χωρίς ασπίδα): q without _ shields D T T L D D Μεταφορά θερμότητας ανάμεσα σε κυλίνδρους μεγάλου μήκους με μία ασπίδα: q one _ shield D T T L D D D D D D Με βάση τις παραπάνω δύο σχέσεις για τη περίπτωση των δύο ασπίδων προκύπτει: q two _ shields D T T L D D3 D D D D D D D D Β) D D D3 D T T T T q L D Το αποτέλεσμα είναι αντίστοιχο με αυτό για παράλληλες πλάκες. Γ) q q two _ shields without _ shields D D D D D D D D D D D D

2 . Κύβος πλευράς 3m έχει στο κέντρο του μία πολύ μικρή σφαίρα ( sphere side ). Η σφαίρα έχει 0.5 και βρίσκεται σε T 500 Κ. Οι πλευρές της σφαίρας βρίσκονται στις εξής θερμοκρασίες και έχουν τις εξής ικανότητες εκπομπής: Αριστερά πλευρά : T 500 Κ, Πίσω πλευρά : T 000Κ, 0.5 Δεξιά πλευρά 3: T3 900 Κ, Εμπρός πλευρά : T 500Κ, Επάνω πλευρά 5: T5 00Κ, Κάτω πλευρά 6: T6 0 Κ, 6 Να προσδιορισθεί η θερμορροή σε κάθε πλευρά του κύβου και της σφαίρας. F F F F F F /6 F 0. i, j,...,6 με i j, F 0 i j : T J : T J 3 3 3: T3 J3 3 3 : T J 5 5 5: T5 J : T6 J6 6 6 : T J i i J F J F 3 J 3 F J F 5 J 5 F 6 J 6 F J J F J F J F J F J F J F J J F J F J F J F J F J F J J F J F J F J F J F J F J J F J F J F J F J F J F J J F J F J F J F J F J F J J FJ FJ F3J3 FJ F5J5 F6J6 Για κάθε πλευρά και για τη σφαίρα επιλύουμε τη η εξίσωση για τη ποσότητα J i και την αντικαθιστούμ στη η εξίσωση. Θεωρούμε i i,...,6 και F F F3 F F5 F6 0 Στη συνέχεια επιλύουμε το προκύπτον σύστημα των 6 εξισώσεων και βρίσκουμε: / 585 W/m / 0738 W/m 3 / 3 37 W/m / 876 W/m 5 / 5 68 W/m 6 / W/m 6 i / 0 i i Τέλος από τις εξισώσεις για τη σφαίρα βρίσκουμε ότι για να διατηρείται η θερμοκρασία της σφαίρας στους 500Κ πρέπει να προσδίδονται (π.χ. μέσω ηλεκτρικής αντίστασης) / 05339W/m

3 3. Ράβδος διαμέτρου cm και μήκους 0cm βρίσκεται σε θερμοκρασία T 800 Κ και έχει ημισφαιρική ολική εκπομπή 0.. Η ράβδος βρίσκεται εντός ομόκεντρου κυλίνδρου ιδίου μήκους με διάμετρο cm με εσωτερική και εξωτερική ικανότητα εκπομπής, in 0.5 και, out 0.7. Η διάταξη βρίσκεται εντός μεγάλου δοχείου σε κενό θερμοκρασίας Tout 300. Να υπολογιστεί η T. ( F 0.5, F 0.67 ). F, in 0.5, F, in, in 0.67, F, inend F, in, in F, in F, inend 0.58 / F F, F, F, 0.9 F, 0 in in in Ισοζύγιο θερμότητας στην : out box G J EG G E G E (έστω ) T F T F T F T, in end end, in end ends box box, out box F, in, int F, inend, int F, outbox, outt F T F T F T, in, inend end ends, outbox box F, in, int F, inend, int F, outbox, outt, in, in, inend, in, outbox, out F, int F, inendendtends F, outboxtbox / F F F T / T 099.9Κ

4 . Βλέπε Ασκήσεις 5&6, Εργασία, 03-: Να επεκταθεί το πρόγραμμα επίλυσης για τη περίπτωση q 0. Επίλυση άσκησης: Ορφανίδης Αναστάσιος Η επίλυση του προβλήματος γίνεται για μέλανες επιφάνειες. Αρχικά παίρνουμε τις εξισώσεις: και όπου ενώ Έπειτα παίρνουμε τις αδιάστατες ποσότητες:,,,, Οπότε τώρα έχουμε τις εξισώσεις: και Αυτές οι εξισώσεις αποτελούν το σύστημα που πρέπει να επιλυθεί. Για την επίλυση του συστήματος χρησιμοποιήθηκε ο κώδικας του Νίκου Βασιλειάδη σε Fortran ελαφρώς τροποποιημένος. Ο κώδικας που χρησιμοποιήθηκε δίνεται παρακάτω. Στην μορφή που δίνεται βρίσκει τις θερμοκρασίες για n= κόμβους και για L=m, =500 W/m και =00 W/m. Ο χρήστης έχει την δυνατότητα να αλλάξει τις παραμέτρους n, L,, και να επιλύσει το πρόβλημα για μία διαφορετική κατάσταση. Program IntegralEquations Implicit none doubleprecision,allocatable::x(:),(:,:) integer,allocatable::tx(:) real::t,pivot,s,sb,l,dl,x,y,, Integer::i,j,k,n= llocate(tx(n),x(n),(n,n+)) sb=5.670/0**8 =500 =00 L= dl=l/(n/.-) open(,file='apotelesmata.txt') Do i=,n Do j=,n If (i<=n/) then (i,n+)=

5 If (j<=n/) then If (i==j) then (i,j)= (i,j)=0 x=-l/.+(i-)*dl y=-l/.+(j-(n/+))*dl If (j==n/+.or. j==n) then (i,j)=-dl//((y-x)**+)**.5 (i,j)=-dl//((y-x)**+)**.5 (i,n+)=(q/q) If (j>n/) then If (i==j) then (i,j)= (i,j)=0 x=-l/.+(j-)*dl y=-l/.+(i-(n/+))*dl If (j==n/.or. j==) then (i,j)=-dl//((x-y)**+)**.5 (i,j)=-dl//((x-y)**+)**.5 Do i=,n TX(i)=i k= Do while (k<=n) pivot =find_pivot(3,k) If (pivot==0) then Print*,'Pivot = 0. Gauss elimination can not continue' top Do j=k,n+ (k,j)=(k,j)/pivot Do i=k+,n t=a(i,k) Do j=k,n+ (i,j)=(i,j)-(k,j)*t k=k+

6 x(n)=a(n,n+) Do i=n-,,- s=0 Do j=i+,n s=s+a(i,j)*x(j) x(i)=a(i,n+)-s Do i=,n X(i)=(X(i)*/sb)**0.5 Write (*,'(" OLUTION ")') Write(*,'(/)') Write (,'(" OLUTION ")') Write(,'(/)') Do i=,n Write(*,'("The Temeperature T","(",(I3),")",x,"=",x,(F8.),x,"Kelvin")') TX(i),X(i) Write(*,'(/)') Write(,'("The Temeperature T","(",(I3),")",x,"=",x,(F8.),x,"Kelvin")') TX(i),X(i) Write(,'(/)') close() Contains Real function find_pivot(s,k) Integer,intent(IN)::s,k Integer::i,maxi,maxj,t Real::max,temp If (s==) then max=a(k,k) if (s==) then max=a(k,k) maxi=k Do i=k,n If (abs(a(i,k))>abs(max)) then max=a(i,k) maxi=i If (maxi/=k) then Do j=,n+ temp=a(k,j) a(k,j)=a(maxi,j) a(maxi,j)=temp if (s==3) then max=a(k,k) maxi=k maxj=k Do i=k,n

7 Do j=k,n If (abs(a(i,j))>abs(max)) then max=a(i,j) maxi=i maxj=j If (maxi/=k) then Do j=,n+ temp=a(k,j) a(k,j)=a(maxi,j) a(maxi,j)=temp If (maxj/=k) then Do i=,n temp=a(i,k) a(i,k)=a(i,maxj) a(i,maxj)=temp t=tx(k) TX(k)=TX(maxj) TX(maxj)=t find_pivot=max End function find_pivot End program Παρακάτω παρατίθενται τα αποτελέσματα που παίρνουμε από το πρόγραμμα για διάφορα και L: Για L= και =500 και =50 (x,y) 0,5 0, 0,3 0, 0, 0 0, 0, 0,3 0, 0,5 T(x) 37,5 39,7 330,57 33,63 33,3 33,5 33,3 33,63 330,57 39,7 37,5 T(y) 87,95 9,73 9,8 97,5 98,58 99,06 98,58 97,5 9,8 9,73 87,95 Για L= και =500 και =00 (x,y) 0,5 0, 0,3 0, 0, 0 0, 0, 0,3 0, 0,5 T(x) 330, ,55 33,73 335,6 335,7 335,6 33,73 333, ,5 T(y) 98,5 30,78 30,7 306,88 308,3 308,68 308,3 306,88 30,7 30,78 98,5 Για L= και =500 και =300 (x,y) 0,5 0, 0,3 0, 0, 0 0, 0, 0,3 0, 0,5 T(x) 335,6 337,5 339,9 30,68 3,5 3,83 3,5 30,68 339,9 337,5 335,6 T(y) 36,3 39,3 3,97 33,95 35,8 35,6 35,8 33,95 3,97 39,3 36,3 Για L=0, και =500 και =00 (x,y) 0,5 0, 0,3 0, 0, 0 0, 0, 0,3 0, 0,5 T(x) 308,5 308,5 308,5 308,5 308,5 308,5 308,5 308,5 308,5 308,5 308,5 T(y) 5, 5, 5, 5,3 5,3 5,3 5,3 5,3 5, 5, 5,

8 Για L=0,5 και =500 και =00 (x,y) 0,5 0, 0,3 0, 0, 0 0, 0, 0,3 0, 0,5 T(x) 37,37 37,68 37,9 38, 38, 38,5 38, 38, 37,9 37,68 37,37 T(y) 76, 76,89 77,53 77,99 78,7 78,37 78,7 77,99 77,53 76,89 76, Για L=5 και =500 και =00 (x,y) 0,5 0, 0,3 0, 0, 0 0, 0, 0,3 0, 0,5 T(x) 393,0 3, 5,03 58,36 65,6 67,9 65, ,03 3, 393,0 T(y) 376,6,6 36,7 5,03 58,7 6, 58,7 5,03 367,6 376,6 Για L=0 και =500 και =00 (x,y) 0,5 0, 0,3 0, 0, 0 0, 0, 0,3 0, 0,5 T(x) 6,55 57, 57,73 596,5 609,69 63,85 609,69 596,5 57,73 57, 6,55 T(y) 35,89 5,8 568, 593,38 606,75 60,96 606,75 593,38 568, 5,8 35,89 Τώρα εξετάζεται η επίδραση του στην T(x) και τα αποτελέσματα παρατίθενται σε διάγραμμα: T xk 3 30 =50 W m =00 W m =300 W m Τέλος εξετάζεται η επίδραση του L στην Τ(y) και τα αποτελέσματα παρατίθενται σε διάγραμμα: TyK L=0.m L=0.5m L=m L=5m L=0m

9 5. Από το βιβλίο των Cengel & Ghajar απαντήστε στα ερωτήματα: 3-73Γ έως 3-76Γ (participating media). 6. Να υπολογιστεί η μεταφορά θερμότητας με ακτινοβολία ανάμεσα σε δύο παράλληλες πλάκες πολύ μεγάλης επιφάνειας που βρίσκονται σε θερμοκρασίες T 680 και T 0Κ και έχουν τις εξής ημισφαιρικές φασματικές ικανότητες εκπομπής:, T 0. 3, T 0.8 3,, T, T 0.7 5, (Οι επιφάνειες είναι διαχυτικές αλλά δεν είναι γκρίζες) Αφού οι επιφάνειες δεν είναι γκρίζες, δηλαδή εκπέμπουν επιλεκτικά σε σχέση με το μήκος κύματος, η θεωρία κοιλοτήτων εφαρμόζεται εντός φασματικών ζωνών και γράφουμε τη μεταφορά θερμότητας να εξαρτάται από το στη μορφή:,, E T E T b, b, dq, dq, d, T, T,, E, T E, T,, T,, T 3 5 Eb, Eb, Eb, Eb, Eb, Eb, d d d T E b, d E b, d E b,d T T 0 T T E b, d E b, d E b,d T T 0 T 3 5 b, b, q q dq, d 0 0 () T 0.3 f03 T f 3T5T f 5T T 0.3f03 T f 3T5T f 5T 0500 W/m Απόδειξη της εξίσωσης (): ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με αυτή της παραγράφου.3 αλλά τώρα επειδή η επιφάνεια δεν είναι γκρίζα εφαρμόζουμε τα ισοζύγια εξαρτώμενα από το μήκος κύματος (φασματικά). Το ισοζύγιο θερμότητας στη πλάκα ανά μονάδα επιφάνειας και μονάδα χρόνου εντός του φασματικού διαστήματος d είναι: dq dj dg (*)

10 b dj de, T dg de, T dg, T E, T d, T dg, Επιλύοντας για την ακτινοβόληση βρίσκουμε dg dj, T E d b,, T Αντικαθιστώντας το αποτέλεσμα αυτό στο ισοζύγιο ενέργειας (*) προκύπτει dq dj, T Eb,d dj, T (**) ή, T dq E, T d dj b,, T Για να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω εξίσωση θα πρέπει να γνωρίζουμε την ακτινοβόλο ισχύ dj. Μία δεύτερη έκφραση για την ακτινοβόλο ισχύ dj προκύπτει υπολογίζοντας την ακτινοβόληση dg της επιφάνειας από την επιφάνεια : dg dj Αντικαθιστώντας το αποτέλεσμα αυτό στο ισοζύγιο ενέργειας (*) προκύπτει: dq dj dj (***) Αντίστοιχα βρίσκουμε, T dq E, T d dj b,, T και dq dj dj Συνδυάζοντας τις εξισώσεις προκύπτει,, E T E T b, b, dq dq djdj d, T, T