Η πλήρως ανεπτυγµένη ροή λόγω διαφοράς πίεσης σε κυλινδρικό αγωγό περιγράφεται από την συνήθη διαφορική εξίσωση

Transcript

1 Άσκηση ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Ο ΕΞΑΜΗΝΟ Ι ΑΣΚΩΝ:. Βαλουγεώργης ΕΡΓΑΣΙΑ: ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ (Σ Ε & Μ Ε Ηµεροµηνία παράδοσης: 8//09 Η πλήρως ανεπτυγµένη ροή λόγω διαφοράς πίεσης σε κυλινδρικό αγωγό περιγράφεται από την συνήθη διαφορική εξίσωση d du r r dr = δ dr 0 < r < ( Στο κέντρο του κυλινδρικού αγωγού ισχύει η συνθήκη συµµετρίας du = 0 ( dr r = 0 και στο τοίχωµα εφαρµόζεται η οριακή συνθήκη ολίσθησης du u ( = dr (3 δ r= α Να επιλυθεί αριθµητικά η εξίσωση ( µε τις οριακές συνθήκες ( και (3 για δ = 0 µε r = 0.5 και r = 0.. β Με χρήση αριθµητικής ολοκλήρωσης να υπολογιστεί η παροχή G 4 ( Σηµείωση: Αναλυτική λύση u ( r ( r Απάντηση δ = G = δ α Για r = 0.5 το πεδίο διακριτοποιείται σε 3 κόµβους. Από την οριακή συνθήκη στον κόµβο : = u r rdr. 0 du dr u u = 0 = 0 u = u ( ιακριτοποιώντας την εξίσωση στον κόµβο και εισάγοντας την (: d du d u du r r dr dr δ dr r dr = + = δ u u + u u u + = δ + u + + u = δ r u + u = δ r r u + u = δ 3 r u + u = 3 ( ιακριτοποιώντας την εξίσωση στον κόµβο 3: du u3 u u ( = u3 = u = ( + δ u3 (3 δ dr δ r=

2 Επιλύοντας τις εξισώσεις ( και (3 προκύπτουν οι ταχύτητες στους κόµβους 3. u = u = u = Για r = 0. το πεδίο διακριτοποιείται σε N = κόµβους. ιακριτοποιούνται οι εξισώσεις και προκύπτει ο επαναληπτικός χάρτης ως: Οριακή συνθήκη Neumann ( r = 0 du dr u u ( k + ( k = 0 = 0 u = u Poisson ( 0 < r < u u + u u u + = + d u du i+ i i i+ i δ dr r dr ri u u + u + u u = δ ( i+ i i i+ i ri ( k + ( k ( k + uι = δ r + + ui+ + ui i =... N ri r i Οριακή συνθήκη Robin ( r = du u u ( k + u = u = u = u + ( N N ( k + N N N δ dr r= δ ( δ Τα παρακάτω αποτελέσµατα λήφθηκαν µε τον κώδικα Fortranπου δίνεται. * r u (Αριθµητική u (Αναλυτική * u u σ = 00% * u β Για r = 0.5 η ογκοµετρική παροχή µπορεί να βρεθεί µέσω του κανόνα τραπεζίου ως: G = 4 u ( r rdr = 4 ( ur + ur + u3r3 = Για r = 0. η ογκοµετρική παροχή µπορεί να βρεθεί µέσω του κανόνα τραπεζίου ως από τα πινακοποιηµένα αποτελέσµατα ως: N G = 4 u ( r rdr = r ur + uiri + unrn = 3.40 i= 0

3 Άσκηση ίδεται το ορθογώνιο χωρίο 0 και 0 µε διακριτοποίηση = και = 0.5 όπως T T φαίνεται στο Σχήµα όπου ισχύει η εξίσωση Laplace + = 0µε οριακές συνθήκες: Κόµβοι 3: T = 50 C T Κόµβος 4: k = h( Ta T T Κόµβος 6: = 0 Κόµβοι 7 8 9: T = 50 C όπου k = 5 W/mK h = 50 W/m K T = 300 a ο C. α Να υπολογισθούν οι θερµοκρασίες T στους κόµβους 4 5 και 6. β Στη συνέχεια να γίνει πύκνωση του πλέγµατος µε 0. στα ίδια σηµεία οι θερµοκρασίες ( 00.5 T T ( 0.5 και T ( 0.5 διανύσµατα θερµορροών q και q µε χρήση αριθµητικής παραγώγισης. Απάντηση α Από την οριακή συνθήκη στον κόµβο 6: = = 0.05 και να υπολογιστούν όπως και τα αντίστοιχα T T T 6 5 = 0 = 0 T6 = T5 ( ιακριτοποιώντας την εξίσωση στον κόµβο 5 και εισάγοντας την (: T6 T5 + T4 T8 T5 + T T5 + T4 T8 T5 + T + = 0 + = 0 T4 T8 T T5 9 + = + T 5 + T4 = 800 ( ιακριτοποιώντας την εξίσωση στον κόµβο 4: T5 T4 k k k = h( Ta T T5 + T4 + = Ta 0.0T5 +.0T4 = 300 h h (3 Επιλύοντας τις εξισώσεις ( και (3 προκύπτουν οι θερµοκρασίες στους κόµβους 456. T = 96.5 T =.83 T = β Το πεδίο διακριτοποιείται σε N και N κόµβους στις διευθύνσεις και αντίστοιχα. Στην συνέχεια γράφονται οι διακριτοποιηµένες εξισώσεις για την κατανοµή θερµοκρασίας: Οριακές συνθήκες Diriclet Άνω όριο: T = 50 i =... N i Κάτω όριο: T = 50 i =... N i N

4 Οριακές συνθήκες Robin ( ( ( ( k + k Αριστερό όριο: T j = h Ta + kt j k + h j =... N Οριακές συνθήκες Neumann ( k + ( k εξί όριο: TN j = TN j j =... N Laplace Εσωτερικοί κόµβοι: ( ( ( ( ( ( ( k+ ( k ( k k k i j i+ j i j i j+ i j T = T + T + T + T + i =... N j =... N Η συνιστώσα της θερµορροής στην διεύθυνση υπολογίζεται πάντα µε κεντρώα παραγώγιση ως: ( ( 00.5 T T q ( = 50 T T T ( T ( 0.5 q ( 0.5 = 50( T ( 0.55 T ( 0.45 T ( T ( 0.5 q ( 0.5 = 50 T 0.55 T 0.45 ( ( ( ( ( ( Η συνιστώσα της θερµορροής στην διεύθυνση υπολογίζεται µε κεντρώα παραγώγιση στο εσωτερικό του πεδίου και µε πρόδροµη και ανάδροµη παραγώγιση στα όρια του πεδίου: ( 0.5 ( 00.5 T T q ( = 50( T ( T ( T ( T ( 0.5 q ( 0.5 = 5 T. 0.5 T T ( 0.5 T ( 0.5 q ( 0.5 = 50( T ( 0.5 T ( ( ( ( Τα παρακάτω αποτελέσµατα λήφθηκαν µε τον κώδικα Fortran που δίνεται. q ( T ( q ( ( ( ( ( Τέλος παρουσιάζεται η κατανοµή θερµοκρασίας καθώς και η κατεύθυνση της θερµορροής.

5 Πρόγραµµα Fortran για την η άσκηση: Program PoiseuilleSlip implicit none integer::initer real*8::radiuserrerrordrdeltag real*8allocatable::r(:uold(:u(:!definition of problem parameters delta=0d0!delta error=d-6!desired error n=; Radius=d0; dr=radius/(n-d0!geometr in r direction allocate(r(nuold(nu(n uold=0d0!initial guess!coordinate sstem do i=n r(i=(i-d0*dr!implementation of the Gauss-Seidel method err=. iter=0!computations for the Gauss-Seidel method do while (err>=error!left boundar u(=uold(!internal nodes do i=n- u(i=0.5*(-delta*dr**d0+(d0+dr/d0/r(i*uold(i++(d0- Dr/d0/r(i*u(i-!Right boundar u(n=u(n-/(d0+delta*dr!find error err = MAXVAL(ABS(u(:-uold(: uold = u iter=iter+!flowrate G=r(*u( do i=n- G=G+d0*r(i*u(i G=G+r(n*u(n G=-4d0*(dr/d0*G!Write to screen Write(*"(AXI0XAES.3" "Solution converged after"iter"iterations with error:"err Write(*"(A" "Open file PoiseuilleSlip.dat for more info..."!write results to output file Open(00file="PoiseuilleSlip.dat" Write(00"(A" " Velocit profile " do i=n Write(00"(ES5.5" r(iu(i Write(00* Write(00"(A" " Flow rate " Write(00"(AES5.5" "G: "G Close(00 end

6 Πρόγραµµα Fortran για την η άσκηση: program HeatTransferD implicit none integer::imidijmidjnniter real*8::ddllerrorerrtutdhktamb real*8allocatable::(:(:told(::t(::q(::q(::!definition of problem parameters TU=50d0; TD=50d0; Tamb=300d0!Boundar temperatures k=5d0; h=50d0!heat transfer coefficients error=d-6!desired error n=; L=d0; d=l/(n-d0!geometr in direction n=; L=d0; d=l/(n-d0!geometr in direction allocate((n(ntold(nnt(nnq(nnq(nn Told=(TD+TU/d0!Initital guess!coordinate sstem do i=n (i=(i-d0*d do j=n (j=(j-d0*d!boundar conditions up and down wall T(:=TD; T(:n=TU!Implementation of the Jacobi method err=. iter=0!computations for the Jacobi method do while (err>=error!left boundar do j=n- T(j=(h*d*Tamb+k*Told(j/(k+h*d!Internal nodes do i=n- do j=n- T(ij=0.5d0*(d**d0*(Told(i+j+Told(i- j+d**d0*(told(ij++told(ij-/(d**d0+d**d0!right boundar do j=n- T(nj=Told(n-j!Find error err = MAXVAL(ABS(T(::-Told(:: Told = T iter=iter+!heat flues Q(:=-k*(T(:-T(:/(d do i=n- do j=n Q(ij=-k*(T(i+j-T(i-j/(d0*d Q(n:=-k*(T(n:-T(n-:/(d Q(:=-k*(T(:-T(:/(d do i=n do j=n- Q(ij=-k*(T(ij+-T(ij-/(d0*d

7 Q(:n=-k*(T(:n-T(:n-/(d!Write to screen Write(*"(AXI0XAES.3" "Solution converged after"iter"iterations with error:"err Write(*"(A" "Open file HeatTransferD.dat for more info..."!write results to output file Open(00file="HeatTransferD.dat" Write(00"(A" " Temperature profile " Write(00"(5X0000ES5.5" (: do j=n Write(00"(0000ES5.5" (jt(:j close(00 open(00file="heattransferd_tecplot.dat" Write(00"(A" 'TITLE = "HeatTransferD"' Write(00"(A" 'VARIABLES = "X" "Y" "T (^oc" "q (W/m" "q (W/m"' Write(00"(AI0AI0A" 'ZONE I='n' J='n' F=POINT' do i=n do j=n Write(00"(5ES5.5" (i(jt(ijq(ijq(ij close(00 end