ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 6-7, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ, --6 Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος Άσκηση [] Επιλύστε με μία απευθείας μέθοδο διατηρώντας τρία σημαντικά ψηφία σε όλους τους υπολογισμούς το γραμμικό σύστημα Αιτιολογήστε την επιλογή της μεθόδου και επαληθεύστε ότι η λύση που προκύπτει ικανοποιεί το γραμμικό σύστημα. Για την επίλυση του γραμμικού συστήματος επιλέγετε η απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση. Η οδήγηση είναι απαραίτητη καθώς τα διαγώνια στοιχεία, και ειδικά το.7, είναι μικρότερα των υπολοίπων r r rr / rr9r rr 7. r r r / r r r r / rr 8. 9r Με την διαδικασία της προς τα πίσω αντικατάστασης προκύπτει: Για την επαλήθευση οι τιμές που βρέθηκαν αντικαθίστανται στο αρχικό σύστημα και προκύπτει R R R R R R. 6 7 R R R. R, R, R είναι τα υπόλοιπα, δηλαδή η ποσότητα που μένει αν αντικατασταθούν οι τιμές των. (ιδανικά τα R, R, R θα ήταν μηδέν). Ο λόγος που τα υπόλοιπα δεν είναι μηδενικά είναι η απώλεια σημαντικών ψηφίων λόγω της διατήρησης μόνο τριών σημαντικών ψηφίων. Χωρίς οδήγηση:,, T.6,,869,.64 Ακριβής λύση:,, T T,, T

2 Άσκηση [] Α) Έστω ότι για την εύρεση της ρίζας της εξίσωσης f εφαρμόζεται ο επαναληπτικός αλγόριθμος F όπου ένας πραγματικός αριθμός. Να υπολογιστεί η τιμή του που να βελτιστοποιεί το ρυθμό σύγκλισης της επαναληπτικής διαδικασίας. F G dg Β) Δίδεται ό πίνακας 4 A 4 4 df d d df d Υπολογίστε τη φασματική ακτίνα G του πίνακα επανάληψης της μεθόδου acob για γραμμικά αλγεβρικά συστήματα με πίνακα συντελεστών τον πίνακα A. Πίνακας επανάληψης μεθόδου acob: G I D A 4 4 / / /4 4 G /4 /4 /4 /4 /4 /4 G /4 /4 /4 /4 /4 /4 Για να βρεθεί η φασματική ακτίνα πρέπει να βρεθούν οι ιδιοτιμές του πίνακα επανάληψης G : det G I / 4 / 4 /4 /4 /4 /4 f 6 f Εικόνα : Γραφική απεικόνιση πολυωνυμικής συνάρτησης f ως προς. Από τη γραφική παράσταση προκύπτει ότι και οι τρεις ιδιοτιμές είναι στο διάστημα,. Επομένως, G και η μέθοδος acob συγκλίνει. Για την εύρεση των ιδιοτιμών εφαρμόζεται η μέθοδος της διχοτόμησης στο διάστημα, : l r m m.5 και f f.5.5. Από το γράφημα φαίνεται ότι το μέτρο των άλλων δύο ιδιοτιμών είναι μικρότερο από και επομένως G.5

3 Γ) Υπολογίστε τον αριθμό προσθέσεων/αφαιρέσεων, πολλαπλασιασμών και διαιρέσεων ανά επανάληψη της μεθόδου acob. ( ) ( ) Η μέθοδος acob περιγράφεται από τον αλγόριθμο: a j j b a j j Σε κάθε επανάληψη και για κάθε άγνωστο απαιτούνται προσθέσεις/αφαιρέσεις και μία διαίρεση. Σε κάθε επανάληψη συνολικά, αφού υπάρχουν άγνωστοι, απαιτούνται: διαιρέσεις. πολλαπλασιασμοί, Άσκηση [] Α) Έστω η συνάρτηση και τις αντίστοιχες τιμές πολυώνυμα f S,,, προσθέσεις/αφαιρέσεις και πολλαπλασιασμοί,. Με βάση τα σημεία, /, / και 5 f,,,, εφαρμόστε κυβικές sples και βρείτε τα με την υπόθεση ότι S S.,, f f f, f f f, f f f Συναρτήσεις Sples: y y f y f y S,, y y f y f y S,, y y f y f y S,, Προσδιορισμός y, y, y, y : Από την εκφώνηση της άσκησης δίνεται y y και οι άλλες δύο άγνωστες ποσότητες θα βρεθούν από την λύση του συστήματος f f y y y y y y 7 7 f 8 9 f y y y 6 y y y 7 7 Έτσι οι συναρτήσεις παρεμβολής γίνονται S S S S 8 7 4,,,,,,

4 Β) Μια εναλλακτική στρατηγική στη μέθοδο των κυβικών sples είναι να χρησιμοποιούνται στα πρώτα δύο υποδιαστήματα και στα δύο τελευταία υποδιαστήματα μόνο από ένα πολυώνυμο ης τάξης. Με βάση αυτή τη προσέγγιση διατυπώστε την ελαφρά τροποποιημένη μαθηματική επεξεργασία ώστε να προκύψει το σύστημα των εξισώσεων για τον υπολογισμό των άγνωστων συντελεστών των πολυωνύμων ης τάξης. Στη κλασσική μεθοδολογία για σημεία,,...,, προκύπτουν πολυώνυμα S, S, S..., S, S, S Σύμφωνα με την προτεινόμενη μεθοδολογία τα πολυώνυμα S αντικαθίστανται με ένα πολυώνυμο ης έστω το S S και και αντίστοιχα τα πολυώνυμα S αντικαθίστανται με ένα πολυώνυμο ης έστω το S. Επομένως τα πολυώνυμα που πρέπει να προσδιοριστούν είναι : S S S, S,...,, και ο συνολικός αριθμός αγνώστων 4 Για τα 4 πολυώνυμα S,..., S,,...,, και S που αναφέρονται στα διαστήματα η διαδικασία παραμένει η ίδια όπως και στη κλασσική μεθοδολογία δηλαδή προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις: Συνθήκη Α: Συνθήκες Β + Γ: Επίσης, στα διαστήματα, και, τώρα οι εξισώσεις είναι: Συνθήκη Α: 6 S f,,, S f,,,, Συνθήκες Β + Γ: 4 και, S S, S S και S S, S S Ο αριθμός των εξισώσεων είναι ο ίδιος με τον αριθμό των αγνώστων Λεπτομερή διατύπωση εξισώσεων Τα πολυώνυμα είναι (, και ): y y f y f y S ,, y y f y f y S ,,, y y f y f y S , Στις σχέσεις αυτές εμφανίζονται άγνωστοι: y, y, y,..., y, y, y,

5 Για τον προσδιορισμό τους χρησιμοποιείται το σύστημα ( f f f, f f f και f f f): f f y y y 6, ( 5 εξισώσεις) f f y y y 6, f f y y y 6, Το σύστημα κλείνει (αριθμός εξισώσεων = αριθμό αγνώστων) με τις εξισώσεις: και S f Άσκηση 4 [] S f Έστω τα δεδομένα, y,...,, y. Διατυπώστε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για την εύρεση της γραμμικής συνάρτησης παρεμβολής y af bg όπου f και g είναι γνωστές συναρτήσεις. και S d y y y af bg d f y S y a f b g abf g af y bg y ds af bf g y f a f b f g y f da ds bg af g yg b g a f g yg db a f b f g y f a f g b g y g ak ak bk bk K K a K K K K K b K K K a b y f g yg f g f g f g f g ygf y f f g f g f g f g