ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4: ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4: ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Επιμέλεια: ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΥΧΝΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Άσκηση Η σχέση ανάµεσα στην τάση και στην θερµοκρασία ενός θερµοστοιχείου πλατίνας µε 0% ρόδιο δίνεται από τον παρακάτω πίνακα. ΤΑΣΗ (V ) i microvolts ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ (T ) i ( 0 C) (*) (*) (*) (*) Να εφαρµοσθούν οι µέθοδοι παρεµβολής Newton, Lagrange, Κυβικές Splines και Ελαχίστων Τετραγώνων για να υπολογισθούν οι τιμές των θερµοκρασιών T στα σηµεία i V = 300, 600, 3200 και i Συγκρίνετε τα αποτελέσµατα παρεμβολής µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα (*) και σχολιάστε την αποτελεσµατικότητα των µεθόδων.

2 Απάντηση: α) Το πρόγραμμα της μεθόδου Newton σε Fortran είναι το ακόλουθο: program Newton implicit none doubleprecision,allocatable::a(:),f(:),x(:) integer::n=3,i,j,k,status doubleprecision::s,p,xx(4),yy(4) allocate(a(0:n),f(0:n),x(0:n)) if (status/=0) Stop 'Not enough memory'! Σημεία παρεμβολής x(:)=(/0,400,800,500,200,2500,3000,3500,4000,4600,500,5300,5500,6000/)! Τιμές της f στα σημεία παρεμβολής f(:)=(/32.0,76.0,296.4,405.7,509.0,608.4,704.7,799.0,89.9,983.0,072.6,25.7,6,247.5/)! Τα σημεία στα οποία ζητάμε τις τιμές της συνάρτησης xx(:)=(/300,600,3200,5900/)! Υπολογισμός των συντελεστών α i do k=0,n s=0 do i=0,k p= do j=0,k if (i/=j) then p=p*(x(i)-x(j)) end if s=s+f(i)/p a(k)=s print*,a(:)!υπολογισμός της τιμής του πολυωνύμου παρεμβολής στα σημεία xx(i) do k=,4 s=0 do i=0,n p= do j=0,i- p=p*(xx(k)-x(j)) s=s+p*a(i) yy(k)=s end print*,yy(:) 2

3 To αποτέλεσμα του προγράμματος είναι το εξής: Συντελεστές α i i=0,,, E E E E E E E E E E E E-04 Τιμές του πολυωνύμου παρεμβολής στα ζητούμενα σημεία: x i f i β) Το πρόγραμμα της μεθόδου Lagrange σε Fortran είναι το ακόλουθο: program Lagrange implicit none doubleprecision,allocatable::l(:),f(:),x(:) integer::n=3,i,j,k,status doubleprecision::s,p,p2,xx(4),yy(4) allocate(l(0:n),f(0:n),x(0:n)) if (status/=0) Stop 'Not enough memory'! Σημεία παρεμβολής x(:)=(/0,400,800,500,200,2500,3000,3500,4000,4600,500,5300,5500,6000/)! Τιμές της f στα σημεία παρεμβολής f(:)=(/32.0,76.0,296.4,405.7,509.0,608.4,704.7,799.0,89.9,983.0,072.6,25.7,6,247.5/)! Τα σημεία στα οποία ζητάμε τις τιμές της συνάρτησης xx(:)=(/300,600,3200,5900/)!υπολογισμός της τιμής του πολυωνύμου παρεμβολής στα σημεία xx(i) do k=,4 s=0 do i=0,n p= p2= do j=0,n if (i/=j) then p=p*(xx(k)-x(j)) p2=p2*(x(i)-x(j)) end if s=s+f(i)*p/p2 3

4 yy(k)=s print*,yy(k) end Τιμές του πολυωνύμου παρεμβολής στα ζητούμενα σημεία: x i f i γ) Το πρόγραμμα της μεθόδου κυβικές Splines σε Fortran είναι το ακόλουθο: program Splines implicit none doubleprecision,allocatable::a(:),b(:),c(:),f(:),x(:),d(:),t(:),u(:),h(: ),df(:),y(:) integer::n=3,i,j,k,status doubleprecision::s,p,xx(4),yy(4) allocate(a(2:n-),f(0:n),x(0:n),b(n-),c(n-2),d(n-),t(n),u(n),h(0:n- ),df(0:n-),y(0:n)) if (status/=0) Stop 'Not enough memory'! Σημεία παρεμβολής x(:)=(/0,400,800,500,200,2500,3000,3500,4000,4600,500,5300,5500,6000/)! Τιμές της f στα σημεία παρεμβολής f(:)=(/32.0,76.0,296.4,405.7,509.0,608.4,704.7,799.0,89.9,983.0,072.6,25.7,6,247.5/)! Τα σημεία στα οποία ζητάμε τις τιμές της συνάρτησης xx(:)=(/300,600,3200,5900/) print*, ' SPLINES '! Υπολογισμός των h i και df i do i=0,n- h(i)=x(i+)-x(i) df(i)=f(i+)-f(i)! Επίλυση του γραμμικού συστήματος με τον Αλγόριθμο Thomas do i=2,n- A(i)=h(i-) 4

5 do i=,n-2 C(i)=h(i) do i=,n- B(i)=2*(h(i-)+h(i)) do i=,n- D(i)=6*(df(i)/h(i)-df(i-)/h(i-)) print*, ' ' t()=b() u()=d()/t() do i=2,n- t(i)=b(i)-a(i)*c(i-)/t(i-) u(i)=(d(i)-a(i)*u(i-))/t(i)! Οι δεύτερες παράγωγοι του y y(n-)=u(n-) do i=n-2,,- y(i)=u(i)-c(i)/t(i)*y(i+) y(0)=0 y(n)=0 print*,y(:)! Τέλος Thomas do k=,4!εύρεση του διαστήματος παρεμβολής στο οποίο ανήκει το σημείο xx(k) i=0 do while (xx(k)>x(i)) i=i+ j=i-!ειδική περίπτωση που το xx(k) είναι ίσο με το x 0 if (xx(k)==x(0)) then j=0 end if!υπολογισμός της τιμής του Sj(x) στο σημείο xx(k) if (j>=0.and. j<=n) then yy(k)= y(j)/(6*h(j)) * (x(j+)-xx(k))**3 + y(j+)/(6*h(j)) * (xx(k)-x(j))**3 + (f(j+)/h(j) - y(j+)*h(j)/6)*(xx(k)-x(j))+(f(j)/h(j)- y(j)*h(j)/6)*(x(j+)-xx(k)) end if 5

6 end print*,yy(:) To αποτέλεσμα του προγράμματος είναι το εξής: Οι τιμές των δευτέρων παραγώγων του y i i=0,,,3 : E E E E E E E E E E E E x i f i δ) Το πρόγραμμα της μεθόδου Ελαχίστων Τετραγώνων (για πολυώνυμο 3 ου βαθμού) σε Fortran είναι το ακόλουθο: program least_squares implicit none doubleprecision,allocatable::c(:,:),a(:),x(:),y(:) integer,allocatable::tx(:) integer::n=3,nn=4 integer::i,j,status doubleprecision::sx,sx2,sx3,sx4,sy,sxy,sx2y,a0,a,a2,xx(4),yy(4) allocate(c(n,n+),a(n),x(nn),y(nn),tx(n)) if (status/=0) Stop 'Not enough memory'! Σημεία παρεμβολής x(:)=(/0,400,800,500,200,2500,3000,3500,4000,4600,500,5300,5500,6000/)! Τιμές της f στα σημεία παρεμβολής y(:)=(/32.0,76.0,296.4,405.7,509.0,608.4,704.7,799.0,89.9,983.0,072.6,25.7,6,247.5/)! Τα σημεία στα οποία ζητάμε τις τιμές της συνάρτησης xx(:)=(/300,600,3200,5900/)!υπολογισμός των αθροισμάτων που χρειαζόμαστε sx=0 sx2=0 sx3=0 sx4=0 sy=0 sxy=0 sx2y=0 do i=,4 6

7 sx=sx+x(i) sx2=sx2+x(i)**2 sx3=sx3+x(i)**3 sx4=sx4+x(i)**4 sy=sy+y(i) sxy=sxy+x(i)*y(i) sx2y=sx2y+(x(i)**2)*y(i) print*,sx,sx2,sx3,sx4,sy,sxy,sx2y! Δημιουργία του πίνακα συντελεστών του γραμμικού συστήματος το οποίο πρέπει να επιλύσουμε: c x = b. H επίλυση θα γίνει με τη μέθοδο Gauss γι αυτό η 4 η στήλη του πίνακα c περιέχει το διάνυσμα b c(,)=nn c(,2)=sx c(,3)=sx2 c(,4)=sy c(2,:)=(/sx,sx2,sx3,sxy/) c(3,:)=(/sx2,sx3,sx4,sx2y/)! Καλούμε τη διαδικασία Gauss (με πλήρη οδήγηση) call Gauss(n,c,a,tx)! Παίρνουμε την λύση του συστήματος a0,a,a2 do j=,n if (tx(j)==) then a0=a(j) elseif (tx(j)==2) then a=a(j) elseif (tx(j)==3) then a2=a(j) end if print*, a0,a,a2!υπολογισμός της τιμής του πολυωνύμου παρεμβολής στα σημεία xx(i) do i=,4 yy(i)=a0+a*xx(i)+a2*xx(i)**2 print*, yy(:) contains subroutine Gauss(n,a,x,tx) integer,intent(in) :: n doubleprecision, INTENT(INOUT) ::a(n,n+) doubleprecision, INTENT(OUT) ::x(n) integer, INTENT(OUT)::tx(n) integer :: i,j,k,maxi,maxj,t real::tt,pivot,s,max,temp do i=,n 7

8 TX(i)=i! call print_table k= do while (k<=n)!find pivot Full Pivoting max=a(k,k) maxi=k maxj=k do i=k,n do j=k,n if (abs(a(i,j))>abs(max)) then max=a(i,j) maxi=i maxj=j endif if (maxi/=k) then do j=,n+ temp=a(k,j) a(k,j)=a(maxi,j) a(maxi,j)=temp endif if (maxj/=k) then do i=,n temp=a(i,k) a(i,k)=a(i,maxj) a(i,maxj)=temp t=tx(k) TX(k)=TX(maxj) TX(maxj)=t endif pivot=max! end find pivot if (pivot==0) then print*, 'Pivot = 0. Gauss elimination can not continue' stop endif do j=k,n+ a(k,j)=a(k,j)/pivot do i=k+,n tt=a(i,k) do j=k,n+ a(i,j)=a(i,j)-a(k,j)*tt 8

9 !call print_table! read* k=k+ x(n)=a(n,n+) do i=n-,,- s=0 do j=i+,n s=s+a(i,j)*x(j) x(i)=a(i,n+)-s end end subroutine Gauss Το αποτέλεσμα του παραπάνω προγράμματος είναι το ακόλουθο: sx sx2 sx3 sx4 sy sxy sx2y E a0 a a E-006 x i f i Το πρόγραμμα της μεθόδου Ελαχίστων Τετραγώνων (για πολυώνυμο 3 ου βαθμού) σε Mathematica είναι το ακόλουθο: Καθορισμός των δεδομένων data={{0,32}, {400,76}, {800,296.4}, {500,405.7}, {200,509}, {2500,608.4}, {3000,704.7}, {3500,799}, {4000,89.9}, {4600,983}, {500,072.6}, 9

10 {5300,25.7}, {5500,6}, {6000,247.5}}; Αναστρέφουμε τον πίνακα (Χρειάζεται για τις παρακάτω ενέργειες) datat=transpose[data]; Βρίσκουμε το πλήθος των σημείων παρεμβολής n=length[data]; xi sx=, sy= yi {sx,sy}=apply[plus,datat,{}]; x sx2= i x, sx2= i x, sx2= i {sx2,sx3,sx4} = Table[Apply[Plus,dataT^i,{}][[]],{i,2,4}]; 2, sx2y = xi y sxy=apply[plus,datat[[]] datat[[2]]]; sx2y=apply[plus,datat[[]]^2 datat[[2]]]; xiyi sxy= Συντελεστές του γραμμικού συστήματος το οποίο πρέπει να επιλύσουμε: d.a = b d=table[0,{i,3},{j,3}]; d[[,]]=n; d[[,2]]=sx; d[[,3]]=sx2; d[[2,]]=sx; d[[2,2]]=sx2; d[[2,3]]=sx3; d[[3,]]=sx2; d[[3,2]]=sx3; d[[3,3]]=sx4; d Κατασκευή του διανύσματος b b=table[0,{i,3}]; b[[]]=sy; b[[2]]=sxy; b[[3]]=sx2y; b//matrixform μ μ0 Δημιουργία του γραμμικού συστήματος 0

11 a0 0 0 g d. 0 d. a d. 0 b 0 0 a2 4a a a a a a μ a a a μ0 Επίλυση του γραμμικού συστήματος ως προς a0,a,a2 Solve[{g[[]]==0,g[[2]]==0,g[[3]]==0},{a0,a,a2}] a0 Ø 73.03, a Ø 26799, a2 Ø μ0-6 Αφαίρεση του εσωτερικού επιπέδου της προηγούμενης λίστας Flatten[%] a0 Ø 73.03, a Ø 26799, a2 Ø μ0-6 Απαλλασσόμαστε από τα βέλη των κανόνων αντικατάστασης a={a0,a,a2}/.% 73.03, 26799, μ0-6 Τελικά παίρνουμε το πολυώνυμο παρεμβολής 3ου βαθμού yx_ a a2 x a3 x μ0-6 x x ( Βέβαια στη Mathematica όλα τα παραπάνω βήματα συνοψίζονται στην ακόλουθη εντολή: yx_ Fitdata,, x, x 2,x μ0-6 x x Η οποία δίνει απ ευθείας το πολυώνυμο παρεμβολής με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων!!! ) Γραφική παράσταση των σημείων παρεμβολής g=listplot[data] Γραφική παράσταση του πολυωνύμου παρεμβολής gg=plot[y[x],{x,0,6000}]

12 Συνδιασμός των δύο προηγούμενων γραφημάτων Show[g,gg] Τέλος παίρνουμε τις τιμές του πολυωνύμου παρεμβολής στα ζητούμενα σημεία: y[{300,600,3200,5900}] {448,42.9, ,29.88} Σύγκριση μεθόδων Αποτελέσματα x i Newton, Lagrance Κυβικές Splines Ελάχιστα Τετράγωνα

13 Απόλυτη διαφορά με πραγματική τιμή x i Newton, Lagrance Κυβικές Splines Ελάχιστα Τετράγωνα Παρατηρούμε ότι: α) Η μέθοδος Lagrance δίνει το ίδιο αποτέλεσμα με τη μέθοδο Newton. Αυτό συμβαίνει γιατί το πολυώνυμο παρεμβολής είναι μοναδικό και χρησιμοποιήσαμε τον ίδιο αριθμό σημείων παρεμβολής και στις δύο μεθόδους. β) Η μέθοδος Κυβικών Splines δίνει καλύτερα αποτελέσματα από τις Newton και Lagrange. γ) H μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (στο συγκεκριμένο παράδειγμα) δίνει γενικά την καλύτερη προσέγγιση από όλες τις άλλες μεθόδους, εκτός από την τελευταία τιμή όπου καλύτερη προσέγγιση δίνει η μέθοδος Κυβικών Splines 3

14 Άσκηση 2 (Προαιρετική) Να βρεθεί η συνάρτηση που προσεγγίζει την yx ( ) µε τον καλύτερο δυνατόν 2 25x τρόπο. Απάντηση Είναι γνωστό (Ακρίβης & Δουγαλής, σελ. 77) ότι η συνάρτηση Runge yx ( ) προσεγγίζεται καλύτερα επιλέγοντας σαν σημεία παρεμβολής τις ρίζες 2 25x των πολυωνύμων Chebyshev. (2k ) Με βάση τον τύπο xk Cos( ), k 0,,..., n βρίσκουμε τις ρίζες του 2n πολυωνύμου Chebyshev n-οστού βαθμού και χρησιμοποιούμε τις ρίζες αυτές σαν σημεία παρεμβολής. Για να βρούμε το πολυώνυμο παρεμβολής χρησιμοποιώντας την παρεμβολή Chebyshev δηλαδή το ανάπτυγμα: n f ( x) at i i( x) i0 όπου τα Τ ι (x) είναι τα πολυώνυμα Chebyshev και α ι οι άγνωστοι συντελεστές που υπολογίζονται εφαρμόζοντας το παραπάνω ανάπτυγμα στα σημεία παρεμβολής και λύνοντας το προκύπτον γραμμικό αλγεβρικό σύστημα με απαλοιφή Gauss. Το πρόγραμμα σε Mathematica είναι το ακόλουθο: Αναδρομικός Ορισμός Πολυωνύμων Chebyshev T[0,x_]=; T[,x_]=x; T[n_,x_]:=2x T[n-,x]-T[n-2,x]; Καθορισμός του n (περιττός, για να δώσει τιμές συμμετρικές του μηδενός μαζί με το μηδέν) και εύρεση λύσεων του πολυωνύμου n βαθμού (b) n 5; b TableCos2k Pi, k, 0, n N; 2n Ταξινομούμε τις λύσεις b=sort[%] { , ,0., , } Ο πίνακας c χρησιμοποιείται για το γράφημα gg παρακάτω c=table[{b[[i]],0},{i,n}] 4

15 Ορίζουμε τη συνάρτηση Runge yx_ : 25 x 2 Οι τιμές της στα σημεία παρεμβολής είναι: y[b] { , ,., , } Δημιουργούμε τον πίνακα d με τα ζεύγη (x,y) d=table[{b[[i]],y[b][[i]]},{i,n}] Δημιουργούμε το γράφημα των παραπάνω ζευγών g=listplot[d,plotstyle->pointsize[0.02]] Εμφανίζουμε τα σημεία παρεμβολής gg=listplot[c,plotstyle->pointsize[0.02]] Σχεδιάζουμε τη συνάρτηση Runge ggg=plot[y[x],{x,-,}] - 5

16 Συνδιάζουμε τα προηγούμενα γραφήματα σε ένα Show[g,gg,ggg,PlotRange->All] Δημιουργούμε μία λίστα με τα πολυώνυμα Chebyshev μέχρι n βαθμού Tlist=Table[T[i,x],{i,0,n}]//Simplify, x, 2x 2 -, x4x 2-3, 8x 4-8x 2 +, x6x 4-20x Βρίσκουμε τις τιμές τους στα σημεία παρεμβολής δημιουργώντας ένα πίνακα aa=table[tlist/.x->b]; H πρώτη γραμμή του πίνακα περιέχει μόνο ένα στοιχείο και το διορθώνουμε aa[[]]=table[,{n}]; Πρέπει να πάρουμε τον ανάστροφο του aa aa=transpose[aa] μ μ Λύνουμε το γραμμικό σύστημα και παίρνουμε τις σταθερές a i s=linearsolve[aa,y[b]] 58445, μ0-7, , μ0-7, , μ0-32 To πολυώνυμο παρεμβολής προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τα πολυώνυμα στη λίστα Tlist με τις σταθερές ai (δηλ. το s) και στη συνέχεια αθροίσουμε τα γινόμενα pol=apply[plus,tlist s]//expandall μ0-3 x x μ0-6 x x μ0-6 x+. 6

17 Σχεδιάζουμε το πολυώνυμο παρεμβολής gggg=plot[pol,{x,-,},plotstyle->rgbcolor[,0,0]] Τέλος δείχνουμε όλα τα γραφήματα μαζί Show[g,gg,ggg,gggg,PlotRange->All] Στη συνέχεια συνοψίζουμε, για διάφορες τιμές του n, τα αποτελέσματα (αναλυτική έκφραση του πολυωνύμου παρεμβολής και το αντίστοιχο γράφημα): 7

18 n= μ0-3 x x μ0-6 x n= μ0-3 x x μ0-6 x x μ0-6 x

19 n= μ0-5 x x μ0-5 x x μ0-5 x x μ0-6 x n= μ0-4 x x μ0-5 x x μ0-4 x x μ0-4 x x μ0-5 x

20 n= μ0-3 x x μ0-3 x x μ0-3 x x μ0-3 x x μ0-4 x x μ0-5 x n= μ0 - x x μ0-0 x x μ0-0 x x μ0 - x x μ0 - x x μ0-2 x x μ0-3 x

21 n= μ0 - x x μ0-0 x x μ0-0 x x μ0-0 x 9 + 5x μ0 - x x μ0 - x x μ0-2 x x μ0-4 x n= μ0-6 x x x x x x x x x x x x x x μ0-6 x x μ0-7 x x μ0-9 x x μ0-0 x

22 n= x x x x x μ0 6 x x μ0 6 x x μ0 6 x x μ0 6 x x μ0 6 x x x x x x x x x x x μ0-6 x x μ0-8 x

23 n= x x x μ0 6 x x μ0 7 x x μ0 7 x x μ0 7 x x μ0 7 x x μ0 7 x 8-26x μ0 7 x x μ0 7 x x μ0 6 x x x x x x x x x x x μ0-7 x Παρατηρούμε ότι για n ίσο με 3 ή μεγαλύτερο έχουμε μια πολύ καλή προσέγγιση της αρχικής συνάρτησης! 23