Παράδειγμα #5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ & ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παράδειγμα #5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ & ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης"

Transcript

1 Παράδειγμα #5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ & ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Το παρακάτω αλγεβρικό τρι-διαγώνιο σύστημα έχει προκύψει από την επίλυση µιας συνήθους διαφορικής εξίσωσης που περιγράφει την θερμοκρασιακή κατανομή σε µία ράβδο µε αδιάστατο μήκος 0 : T T Ti. N - TN A 0 0, i,,,n,. 0 B Οι άγνωστοι του συστήματος, i Ν, αντιστοιχούν στις θερμοκρασίες i της ράβδου στα ισαπέχοντα σημεία 0< i <,, ενώ οι ποσότητες A και B είναι οι θερμοκρασίες στα δύο άκρα της ράβδου =0 και = αντίστοιχα. Να λυθεί το τρι-διαγώνιο σύστημα µε τις µμεθόδους: (i) Απαλοιφή Gauss (ii) Παραγοντοποίηση LU (iii) Cholesy (iv) Αλγόριθµο Thomas (v) Jacobi (vi) Gauss-Seidel (vii) S.O.R και (viii) S.S.O.R. Η επιλογή των παραμέτρων και ο αριθμός των εξισώσεων είναι ελεύθερη. Για την ακριβή επίλυση του προβλήματος απαιτείται η επίλυση του προβλήματος για τρεις διαφορετικές τιμές του Ν που να διαφέρουν τουλάχιστον κατά µία τάξη μεγέθους (Ενδεικτικά 3, 30 και 300). Τέλος να γίνει ολοκληρωμένη και πλήρης σύγκριση των μεθόδων.

2 Απαλοιφή Gauss Η απαλοιφή Gauss αποτελεί την πλέον διαδεδομένη και κλασσική μεθοδολογία άμεσης επίλυσης αλγεβρικών συστημάτων. Ο αναγκαίος αριθμός πράξεων είναι ιδιαίτερα μεγάλος και σε πολλές περιπτώσεις η χρήση της απαλοιφής Gauss σε τυπικούς προσωπικούς υπολογιστές γίνεται ιδιαίτερα δυσχερής. Τονίζεται επίσης ότι η απαλοιφή Gauss πρέπει να γίνεται με οδήγηση. Διαφορετικά, ο αλγόριθμος είναι ασταθής και σε περιπτώσεις αριθμητικά ιδιόμορφων συστημάτων οδηγεί σε λάθος αποτελέσματα. Παραγοντοποίηση LU Ο πίνακας συντελεστών A γράφεται σαν γινόμενου ενός κάτω τριγωνικού πίνακα L και ενός άνω τριγωνικού πίνακα U με μονάδες στη διαγώνιο. Τα άγνωστα στοιχεία των πινάκων L και U υπολογίζονται μέσω αναγωγικών σχέσεων που βασίζονται στη βασική σχέση A LU. Αφού βρεθούν οι πίνακες L και U το σύστημα επιλύεται με τη χρήση ενός ενδιαμέσου άγνωστου διανύσματος y ως εξής: Ab LUb Ly b, όπου U y. Πρώτα επιλύουμε για το ενδιάμεσο διάνυσμα y και στη συνέχεια για το. Μέθοδος Cholesy Στη περίπτωση που ο πίνακας A είναι συμμετρικός προκύπτει, εφαρμόζοντας την T παραγοντοποίηση LU, ότι ο πίνακας U L. Η ιδιότητα αυτή είναι ιδιαίτερα σημαντική και μειώνει δραστικά τον αναγκαίο αριθμό πράξεων. Η μεθοδολογία είναι γνωστή σαν αλγόριθμος Cholesy και αποτελεί μία από τις πλέον αποτελεσματικές μεθόδους επίλυσης συστημάτων με συμμετρικούς πίνακες συντελεστών. Για την εφαρμογή της συγκεκριμένης μεθόδου το αρχικό σύστημα A b τροποποιήθηκε στο A b ώστε να αποφευχθεί η χρήση μιγαδικών αριθμών. Αλγόριθμος Thomas Ο αλγόριθμος Thomas εφαρμόζεται μόνο σε τριδιαγώνια συστήματα και στην περίπτωση αυτή αποτελεί την πλέον αποτελεσματική μεθοδολογία επίλυσης.

3 Σχετικά με τις άμεσες μεθόδους σημειώνεται ότι, με εξαίρεση τους αλγόριθμους Thomas και Cholesy, οι υπόλοιπες τεχνικές, τουλάχιστον στην κλασσική τους μορφή, δεν εκμεταλλεύονται την ειδική δομή των αλγεβρικών συστημάτων και θα πρέπει να χρησιμοποιούνται με φειδώ, μόνο για πιλοτικούς σκοπούς ή στη περίπτωση μικρών συστημάτων ( N 0 ). Τα τελευταία χρόνια έχουν αναπτυχθεί βελτιωμένες και εξειδικευμένες άμεσες μέθοδοι όπως ο γρήγορος μετασχηματισμός Fourier (Fast Fourier Transorm, FFT). Όταν οι πίνακες συντελεστών είναι αριθμητικά ιδιόμορφοι η προτεινόμενη τεχνική είναι η μέθοδος διάσπασης (αποκλεισμού) των ιδιόμορφων τιμών (Singular Value Decomposition, SVD). Περνούμε τώρα στη δεύτερη κατηγορία μεθόδων επίλυσης, αυτή των επαναληπτικών τεχνικών. Στην επίλυση μεγάλων συστημάτων οι επαναληπτικές μέθοδοι εφόσον διατυπωθούν σωστά φαίνεται να έχουν περισσότερες δυνατότητες από τις άμεσες μεθόδους. Η υπεροχή τους οφείλεται στο γεγονός ότι οι περισσότερες επαναληπτικές μέθοδοι αξιοποιούν τα δύο βασικά χαρακτηριστικά των συστημάτων που προκύπτουν από την μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών (αραιοί και διαγώνια κυρίαρχοι πίνακες). Οι περισσότερες επαναληπτικές τεχνικές βασίζονται στην διατύπωση αναγωγικών τύπων επαναληπτικού χαρακτήρα. Έστω το σύστημα A b. Προσθέτοντας και στις δύο πλευρές του συστήματος το διάνυσμα Q έχουμε A b A Q Q b Q Q A b Q Q A Q b I Q A Q b που γράφεται στην γενική επαναληπτική μορφή n n G (4.3.) όπου n είναι ο αριθμός επανάληψης, Q b και τα διανύσματα n και G I Q A είναι ο πίνακας επανάληψης, n δηλώνουν τις τιμές του αγνώστου διανύσματος μετά από n και n επαναλήψεις αντίστοιχα. Αφού κάνουμε μια αρχική 0 εκτίμηση εφαρμόζουμε τον επαναληπτικό αλγόριθμο (4.3.). Η επαναληπτική διαδικασία ολοκληρώνεται όταν όλες οι τιμές του έχουν συγκλίνει στην επιθυμητή

4 ακρίβεια, δηλαδή όταν ικανοποιούν το κριτήριο τερματισμού n n i i n i, ma (4.3.3α) όπου ma το μέγιστο επιτρεπτό σχετικό σφάλμα. Πολλές φορές χρησιμοποιούμε εναλλακτικά κριτήρια τερματισμού όπως το μέγιστο απόλυτο σφάλμα n n (4.3.3β) i i ma ή την Ευκλείδεια νόρμα N n n i i ma. (4.3.3γ) i Ο πίνακας επανάληψης G είναι μείζονος σημασίας σε σχέση με τη γρήγορη ή αργή σύγκλιση ή απόκλιση του επαναληπτικού αλγορίθμου. Εάν ορίσουμε το διάνυσμα του σφάλματος λύση n n μετά από n επαναλήψεις σαν την διαφορά ανάμεσα στην αριθμητική n και την αναλυτική λύση, δηλαδή n, (4.3.4) εύκολα προκύπτει ότι n n n n 0 G G G. (4.3.5) Παίρνοντας μία οποιαδήποτε νόρμα της (4.3.4) μπορούμε να εκτιμήσουμε την διάδοση του αρχικού σφάλματος μετά από n επαναλήψεις: n n 0 n 0 G G. (4.3.6) Επομένως η διάδοση του σφάλματος εξαρτάται άμεσα από την νόρμα του πίνακα επανάληψης G. Αποδεικνύεται ότι G όταν G G η, όπου φασματική ακτίνα του πίνακα επανάληψης G. Επομένως, η επαναληπτική μέθοδος θα G συγκλίνει μόνο όταν και βεβαίως όσο μικρότερη είναι η φασματική ακτίνα τόσο γρηγορότερη θα είναι η σύγκλιση της επαναληπτικής διαδικασίας. G Αντίθετα όταν η επαναληπτική διαδικασία θα αποκλίνει. Η επιλογή λοιπόν

5 του πίνακα G (ή του Q ) είναι καθοριστικής σημασίας και η κάθε επαναληπτική μέθοδος ορίζεται ανάλογα με την μορφή του πίνακα G στον γενικό επαναληπτικό αλγόριθμο (4.3.). Ακολουθεί μία σύντομη ανασκόπηση των τεσσάρων πλέον διαδεδομένων επαναληπτικών αλγορίθμων. Καταρχήν ο πίνακας συντελεστών A του συστήματος A b διασπάται σε τρεις πίνακες A DL U, όπου D, L και U είναι ένας διαγώνιος, ένας κάτω τριγωνικός και ένας άνω τριγωνικός πίνακας και ο κάθε ένας από αυτούς περιλαμβάνει τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα A. Στη συνέχεια οι επαναληπτικές τεχνικές Jacobi (J), Gauss Seidel (GS), Successive Over Relaation (SOR) και Symmetric Successive Over Relaation (SSOR) διατυπώνονται ως εξής: Jacobi n n D LU D b ή b a N i i ij j a ii j ji n n Gauss Seidel n n DL U D L b ή b a a i N i i ij j ij j aii j ji n n n Μέθοδος S.O.R n n DL U D DL b ή

6 b a a i N n n n n i i ij j ij j i a ii j ji Η σύγκλιση και ο υπολογιστικός χρόνος που απαιτείται εξαρτάται άμεσα από την παράμετρο ω, η οποία κυμαίνεται από 0. Ο αριθμός των επαναλήψεων καθώς το ω τείνει στο συνεχώς μειώνεται ενώ από κάποια οριακή τιμή του ω οι επαναλήψεις που απαιτούνται αυξάνουν, (βλέπε Πίνακες 3 και 4 και Σχήματα και ). Για ω= η μέθοδος S.O.R εκπίπτει στην μέθοδο Gauss-Seidel. Όταν η πολυπλοκότητα του προβλήματος αυξάνει είναι αναγκαίο να ανατρέξουμε σε πιο εξειδικευμένες και αναβαθμισμένες τεχνικές όπως οι μέθοδοι Conjugate Gradient (CG) και Ελαχιστοποίησης Υπολοίπων (Minimal Residual, MINRES και Generalized Minimal Residual, GMRES). Τέλος, σημειώνεται ότι οι κλασσικές όπως και οι πιο εξειδικευμένες μέθοδοι επανάληψης αποκτούν νέα δυναμική όταν συνδυασθούν με μεθόδους πολλαπλών πλεγμάτων (Multigrid Methods). Οι κώδικες που χρησιμοποιούνται σε κάθε μέθοδο παρατίθενται στο Παράρτημα. Οι τιμές των παραμέτρων είναι A 0 και B 00 Το κριτήριο τερματισμού για τις επαναληπτικές μεθόδους είναι το σχετικό σφάλμα να είναι μικρότερο του.0e-06. Οι αρχικές τιμές του διανύσματος της θερμοκρασίας είναι για όλες τις επαναληπτικές μεθόδους οι μηδενικές.

7 Στους Πίνακες και απεικονίζονται τα αποτελέσματα για αριθμό εξισώσεων 30 και 300 αντίστοιχα. Σημειώνεται ότι στον Πίνακα τα αποτελέσματα έχουν τυπωθεί ανά 0 κόμβους. Απαλοιφή Gauss Παραγοντοποίηση LU Μέθοδος Cholesy Αλγόριθμος Thomas Jacobi 44 επαναλήψεις G-S 0 επαναλήψεις S.O.R 990 επαναλήψεις (ω=.5) Πίνακας : Θερμοκρασιακή κατανομή για 30 κόμβους.

8 Gauss Απαλοιφή Παραγοντοποίηση LU Μέθοδος Cholesy Αλγόριθμος Thomas Jacobi 8975 επαναλήψεις G-S 4735 επαναλήψεις S.O.R 90 επαναλήψεις (ω=.5) Πίνακας : Θερμοκρασιακή κατανομή για 300 κόμβους.

9 ω Iterations Iterations (N=30) (N=300) Πίνακας 3α: Αριθμός επαναλήψεων για την μέθοδο S.O.R και κριτήριο τερματισμού 0e-06. ω Time(s) Time(s) (N=30) (N=300) Πίνακας 4α: Υπολογιστικός χρόνος για την μέθοδο S.O.R και κριτήριο τερματισμού 0e-06. ω Iterations Iterations (N=30) (N=300) Πίνακας 3β: Αριθμός επαναλήψεων για την μέθοδο S.O.R και κριτήριο τερματισμού 0e-03. ω Time(s) Time(s) (N=30) (N=300) Πίνακας 4β: Υπολογιστικός χρόνος για την μέθοδο S.O.R και κριτήριο τερματισμού 0e-03.

10 Επαναλήψεις ω Ν=30(eps=.0e-06) N=30(eps=.0e-03) Σχήμα : Αριθμός επαναλήψεων συναρτήσει της παραμέτρου ω για την μέθοδο S.O.R και 30 κόμβους και διαφορετικά κριτήρια τερματισμού Επαναλήψεις ω Ν=300(eps=.0e-06) N=300(eps=.0e-03) Σχήμα : Αριθμός επαναλήψεων συναρτήσει της παραμέτρου ω για την μέθοδο S.O.R και 300 κόμβους και διαφορετικά κριτήρια τερματισμού.

11 Στον Πίνακα 5 απεικονίζεται ο υπολογιστικός χρόνος που απαιτείται για την επίλυση του προβλήματος με δύο διαφορετικά κριτήρια τερματισμού όσον αφορά τις επαναληπτικές μεθόδους. Μέθοδος CPU time(sec) CPU time(sec) eps=.0e-03 eps=.0e-06 Απαλοιφή Gauss χωρίς οδήγηση Απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση Απαλοιφή Gauss με ολική οδήγηση Παραγοντοποίηση LU 3 (???) 3 (???) Μέθοδος Cholesy Αλγόριθμος Thomas Μέθοδος Jacobi 0 84 Μέθοδος Gauss-Seidel 5 87 S.O.R(ω opt =.99) 4 6 Πίνακας 5: Υπολογιστικός χρόνος όλων των μεθόδων για την περίπτωση των 300 κόμβων.

12 . Να λυθούν µε απαλοιφή Gauss και χρησιμοποιώντας αριθμητική δύο σημαντικών ψηφίων τα συστήματα y 0. 5 α) και β) y 00y 00 y Περιγράψτε µε σαφήνεια τα βήματα επίλυσης και συγκρίνετε τα αποτελέσματα µε τα αντίστοιχα αποτελέσματα ακρίβειας πολλών σημαντικών ψηφίων. α) Τα αποτελέσματα που προκύπτουν με αριθμητική πολλών σημαντικών ψηφίων είναι: Το επαυξημένο μητρώο είναι: Αναδιατάσσω τις εξισώσεις συμφωνά με την μερική οδήγηση: Πολ/ζω την η γραμμή με (-0.005) και την προσθέτω στην η. Τότε προκύπτει: y και Εάν χρησιμοποιήσουμε αριθμητική δύο σημαντικών ψηφίων τότε η επίλυση του συστήματος είναι: Το επαυξημένο μητρώο είναι: Αναδιατάσσω τις εξισώσεις συμφωνά με την μερική οδήγηση: Πολ/ζω την η γραμμή με (-0.005) και την προσθέτω στην η. Τότε προκύπτει: y 0.49 και

13 β) Τα αποτελέσματα που προκύπτουν με αριθμητική πολλών σημαντικών ψηφίων είναι: Το επαυξημένο μητρώο θα είναι Αναδιατάσσω τις εξισώσεις συμφωνά με την μερική οδήγηση: Πολ/ζω την η γραμμή με (-) και την προσθέτω στην η : y και Εάν χρησιμοποιήσουμε αριθμητική δύο σημαντικών ψηφίων τότε η επίλυση του συστήματος είναι: Το επαυξημένο μητρώο είναι: Αναδιατάσσω τις εξισώσεις συμφωνά με την μερική οδήγηση: Πολ/ζω την η γραμμή με (-) και την προσθέτω στην η. Τότε προκύπτει: y 0.49 και Να βρεθεί ο επιπλέον αριθμός πράξεων (προσθέσεις / αφαιρέσεις και πολλαπλασιασμοί / διαιρέσεις) που απαιτείται για την απαλοιφή Gauss µε πλήρη οδήγηση σε σχέση µε την απαλοιφή Gauss χωρίς οδήγηση. Στην μέθοδο απαλοιφής Gauss το πλήθος των προσθαφαιρέσεων είναι περίπου ίσο με το πλήθος των πολλαπλασιασμών και των διαιρέσεων. Συνολικά για την απαλοιφή Gauss χωρίς οδήγηση απαιτούνται

14 3 3 n 3n n n On 3 3 Η μερική οδήγηση δεν συντελεί στην εκτέλεση επιπλέον πράξεων διότι η κύρια ιδέα της μερικής οδήγησης είναι η εύρεση του μέγιστου κατ απόλυτη τιμή στοιχείου του πίνακα Α και όχι ένα πλήθος πολ/σμων-διαιρέσεων ή προσθαφαιρέσεων για την απαλοιφή κάποιου αγνώστου. Πρέπει να σημειωθεί ότι η διαδικασία εύρεσης του μέγιστου κατ απόλυτη τιμή στοιχείου αναπαρίσταται από ένα πλήθος προσθαφαιρέσεων. Στην περίπτωση αυτή, ο επιπλέον αριθμός πράξεων που απαιτούνται για την εύρεση του μέγιστου στοιχείου είναι i n nn i On 4. Εάν ο πίνακας Α ενός γραµµικού συστήματος b αναλυθεί σε όπου D είναι ένας διαγώνιος πίνακας L και U είναι κάτω και άνω τριγωνικοί πίνακες αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι και οι τρεις επαναληπτικές μέθοδοι Jacobi, GS και SOR μπορούν να γραφούν στη γενική μορφή M N M b Να βρεθούν οι πίνακες M και N σε σχέση µε τους πίνακες D, L και U. Αν ισχύει ότι D L U τότε το γραμμικό σύστημα μπορεί να γραφεί στην μορφή A b ή D L U b. Για την μέθοδο Jacobi ισχύει D L U b D L U b D L U D b δηλαδή είναι ειδική περίπτωση της γενικής μεθόδου Ειδικά για την Jacobi ισχύει N b M J D και L U. N J Για την μέθοδο Gauss-Seidel ισχύει D L U b L D U b L D U L D b όμοια η μέθοδος ανήκει στην γενικής μεθόδου

15 b N όπου για την Gauss-Seidel ισχύει D L M GS και U N GS. Για την μέθοδο SOR ισχύει ότι ακριβώς για την μέθοδο Gauss-Seidel με την προσθήκη της παραμέτρου ω. Έτσι σε μορφή πινάκων γράφεται b U D D ω ω ωl ή b L D U D L D όμοια η μέθοδος ανήκει στην γενικής μεθόδου b N όπου για την SOR ισχύει L D M SOR και U D N SOR. 5. Να επιλυθεί το µη γραµµικό σύστημα: ,, Θα χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Newton όπου ισχύει ), J( και ), J( y y με J συμβολίζεται το Ιακωβιανό μητρώο, το οποίο ισούται με 3 3, J. Κάνοντας χρήση του Mathematica προκύπτουν οι ακριβείς λύσεις 0.,. ή., 0. Αναμένουμε λύσεις. Χρησιμοποιώντας τον παρακάτω κώδικα σε Fortran 90/95:

16 program NumAnal_5 implicit none real(8)::,g,,,_old,_old,g,gy,jac,s,s,tol,,y integer::i,n,maiter print*,'give initial and ' read*,, n=0 tol=.0e-9 maiter=000 do i=,maiter n=n+ _old= _old= =_old+_old-. g=(_old)**3+(_old)**3-8. =.0 y=.0 g=3*(_old**) gy=3*(_old**) jac=*gy-g*y s=(*gy-g)/jac s=(g-*g)/jac =_old-s =_old-s i(abs(.-(_old/)).le.tol.and.abs(.&- (_old/)).le.tol)then goto 00 endi 00 write(*,*),,n end program NumAnal_5 Τα αποτελέσματα που προκύπτουν χρησιμοποιώντας ως κριτήριο τερματισμού το σχετικό σφάλμα να είναι μικρότερο του 0-9, απεικονίζονται στον παρακάτω πίνακα. Αρχική εκτίμηση Επαναλήψεις 5, ,

17 6. Να λυθεί µε τη μέθοδο Newton-Raphson το σύστημα (ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΗ): P είναι µια παράμετρος που καθορίζεται αυθαίρετα. Απάντηση Βλέπε Άσκηση 5, Εργασία 3-004_Απαντήσεις.pd, η οποία βρίσκεται στην ιστοσελίδα του μαθήματος.

18 ΑΣΚΗΣΗ (i) Κώδικας για την απαλοιφή Gauss. program NumAnal_i!χωρίς οδήγηση implicit none ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ real(8),allocatable, dimension(:,:)::a real(8),allocatable, dimension(:)::x integer::i,j,,i,,n=30 real(8)::t=0.,t=00. allocate(a(n,n+),x(n)) A=0.0 Do i=,n A(i,i)=-. Do i=,n- A(i,i+)=. Do i=,n A(i,i-)=. A(,N+)=-T A(N,N+)=-T Do =,N =+ Do j=,n+ A(,j)=A(,j)/A(,) I(==N)eit Do i=,n Do j=,n+ A(i,j)=A(i,j)-A(i,)*A(,j) X(N)=A(N,N+) Do =,N i=(n+)- X(i)=A(i,N+) i=i+ Do j=i,n X(i)=X(i)-A(i,j)*X(j) 8

19 Do i=,size(x) write(*,*) X(i) End program NumAnal_i Program Gauss!με μερική ή ολική οδήγηση implicit none doubleprecision,allocatable::a(:,:),x(:) integer,allocatable::tx(:) integer::n=000,i,j,,status real::t,pivot,s,tim allocate(a(n,n+),x(n),tx(n)) i (status/=0) Stop 'Not enough memory' open(,ile='ino.dat') A=0.0 Do i=,n A(i,i)=-. Do i=,n- A(i,i+)=. Do i=,n A(i,i-)=. A(,N+)=-0. A(N,N+)=-00. do i=,n TX(i)=i = do while (<=n) pivot=ind_pivot(3,)!εύρεση οδηγού της -γραµµής! s= χωρίς οδήγηση! s= µερική οδήγηση! s=3 πλήρης οδήγηση i (pivot==0) then print*, 'Pivot = 0. Gauss elimination can not continue' stop endi 9

20 do j=,n+ a(,j)=a(,j)/pivot do i=+,n t=a(i,) do j=,n+ a(i,j)=a(i,j)-a(,j)*t =+ (n)=a(n,n+) do i=n-,,- s=0 do j=i+,n s=s+a(i,j)*(j) (i)=a(i,n+)-s do i=,n write(,*),(i) call CPU_TIME(tim) print*, 'Program has used', tim, 'seconds o CPU time.' Contains subroutine print_table integer::i do i=,n print*, a(i,:) end subroutine print_table real unction ind_pivot(s,) integer,intent(in)::s, integer::i,mai,maj,t real::ma,temp i (s==) then! No pivoting ma=a(,) elsei (s==) then! Partial Pivoting ma=a(,) mai= do i=,n i (abs(a(i,))>abs(ma)) then ma=a(i,) mai=i 0

21 endi i (mai/=) then do j=,n+ temp=a(,j) a(,j)=a(mai,j) a(mai,j)=temp endi elsei (s==3) then! Full Pivoting ma=a(,) mai= maj= do i=,n do j=,n i (abs(a(i,j))>abs(ma)) then ma=a(i,j) mai=i maj=j endi i (mai/=) then do j=,n+ temp=a(,j) a(,j)=a(mai,j) a(mai,j)=temp endi i (maj/=) then do i=,n temp=a(i,) a(i,)=a(i,maj) a(i,maj)=temp t=tx() TX()=TX(maj) TX(maj)=t endi endi ind_pivot=ma end unction ind_pivot end

22 (ii) Κώδικας για την παραγωντοποίηση LU. program NumAnal_ii implicit none real, allocatable, dimension(:,:)::u,l,a real, allocatable, dimension(:)::,y real::t,t,g, integer::i,j,n, T=-00. T=-000. n=3 allocate(u(n+,n),l(n+,n),a(n+,n),(n),y(n)) a=0.0;u=0.0;l=0.0 a(,)=-;a(,)= Do i=,n- a(i,i)=- a(i-,i)= a(i+,i)= a(n,n)=-;a(n-,n)= a(n+,)=t;a(n+,n)=t u=0;l=0 do i=,n do j=,n g=0.;=0. do =,i g=l(-,j)*u(j,-)+g =l(j,-)*u(-,j)+ l(i,j)=a(i,j)-g u(j,i)=(a(j,i)-g)/l(i,i) l(n+,i)=a(n+,i) y=0.;y()=l(n+,)/l(,) do i=,n g=0. do =,i- g=l(,i)*y(i-)+g y(i)=(/l(i,i))*(l(n+,i)-g) do i=,n u(n+,i)=y(i) =0.;(n)=u(n+,n)

23 do j=,n- i=n-j g=0. do =i,n- g=u(+,i)*(i+)+g (i)=u(n+,i)-g write(*,*) end program NumAnal_ii (iii) Κώδικας για την μέθοδο Cholesy program NumAnal_iii implicit none real, allocatable, dimension(:,:)::a real, allocatable, dimension(:)::,b real::t,t integer::i,j,n n=300 ; T=0.0 ; T=00.0 open(,ile='ino.dat') allocate(a(n,n),(n),b(n)) a=0.0;b=0.0 b()=-t;b(n)=-t Do i=,n- a(i,i+)=. Do i=,n a(i,i-)=. Do i=,n a(i,i)=-. call cholesy(a,b,n,) Do i=,n write(,*)(i) end program NumAnal_iii subroutine cholesy(a,b,n,x) implicit none integer n,i,j,, real::a(n,n),b(n),l(n,n),u(n,n),y(n),x(n) =;U=0;A=-A;B=-B 3

24 Do while (<=n) L(,)=A(,) Do i=,- L(,)=L(,)-L(,i)** L(,)=sqrt(L(,)) Do i=+,n j= L(i,j)=A(i,j)/L(j,j) Do =,j- L(i,j)=L(i,j)-(L(i,)*U(,j))/L(j,j) Do j=,n i= U(i,j)=L(j,i) =+ Do i=,n Y(i)=B(i) Do =,i- Y(i)=Y(i)-L(i,)*Y() Y(i)=Y(i)/L(i,i) Do i=n,,- X(i)=Y(i) Do =i+,n X(i)=X(i)-U(i,)*X() X(i)=X(i)/U(i,i) End subroutine (iv) Κώδικας για τον αλγόριθμο Thomas. program NumAnaliv implicit none real, allocatable, dimension(:)::d,,v,g integer::i,n, real::t,t T=0. T=00. n=3 allocate(d(n),(n),v(n),g(n)) d=0.0 4

25 d()=-t d(n)=-t v()=- Do i=,n v(i)=--(./v(i-)) g()=d()/v() Do i=,n g(i)=(d(i)-g(i-))/v(i) (n)=g(n) Do i=n-,,- (i)=g(i)-(i+)/v(i) Do i=,n write(*,*)(i) end program NumAnaliv (v) Κώδικας για τον αλγόριθμο Jacobi. program NumAnal_v implicit none real, allocatable, dimension(:,:)::a real, allocatable, dimension(:)::b,,,e real::s,er,t,t,eps integer::i,j,iter,n,maiter n=3 T=00. T=000. maiter=.0e+6 eps=.0e-09 allocate(a(n,n),b(n),(n),(n),e(n)) =. b=0.0 a=0.0 b()=-t b(n)=-t Do i=,n- a(i,i+)=. Do i=,n a(i,i-)=. 5

26 Do i=,n a(i,i)=- Do iter=,maiter Do i=,n s=0. Do j=,n i (j/=i)then s=s+a(i,j)*(j) Endi (i)=(b(i)/a(i,i))-(s/a(i,i)) e(i)=abs(((i)-(i))/(i)) i(e(i)>eps)then er=e(i) endi I(er<=eps)eit = Do i=,n write(*,*)(i) end program NumAnal_v (vi) Κώδικας για τον αλγόριθμο Gauss-Seidel. program NumAnal_vi implicit none real, allocatable, dimension(:,:)::a real, allocatable, dimension(:)::b,,,e real::s,er,t,t,eps,z integer::i,j,iter,n,maiter n=3 T=00. T=000. maiter=.0e+6 eps=.0e-09 allocate(a(n,n),b(n),(n),(n),e(n)) =. b=0.0 a=0.0 b()=-t b(n)=-t Do i=,n- 6

27 a(i,i+)=. Do i=,n a(i,i-)=. Do i=,n a(i,i)=- Do iter=,maiter er=0.0 Do i=,n s=0. z=0. i (i/=n)then do j=+i,n s=s+a(i,j)*(j) Endi i(i/=)then do j=,i- z=z+a(i,j)*(j) endi (i)=(b(i)/a(i,i))-(s/a(i,i))-z/a(i,i) e(i)=abs(((i)-(i))/(i)) i(e(i)>eps)then er=e(i) endi I(er<=eps)eit = Do i=,n write(*,*)(i) end program NumAnal_vi (vii) Κώδικας για τον αλγόριθμο S.O.R. program NumAnal_vii implicit none real, allocatable, dimension(:,:)::a real, allocatable, dimension(:)::,_old,eps,sam,b,s real::error,epsilon,w,t,t integer::i,j,maiter,l,n n=3 T=00. 7

28 T=000. w=. maiter=000 epsilon=.0e-6 allocate(a(n,n),eps(n),_old(n),sam(n),s(n),(n),b(n)) b=0.0 b()=-t b(n)=-t a=0.0 Do i=,n- a(i,i+)=. Do i=,n a(i,i-)=. Do i=,n a(i,i)=- =0.0 Do l=,maiter do i=,n _old(i)=(i) sam=0. s=0 do j=i+,n sam(i)=sam(i)-a(i,j)*_old(j) do j=,i- s(i)=s(i)-a(i,j)*(j) (i)=(w*(sam(i)+s(i)+b(i))+(-w)*a(i,i)*(i))/a(i,i) eps(i)=((i)-_old(i))/(i) i (eps(i)>error)then error=eps(i) endi i (error<epsilon)then eit endi Do i=,n write(*,*)(i) end program NumAnal_vii 8

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ Δημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 005-06, 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σηµαίνει ο όρος lop στους επιστηµονικούς υπολογισµούς.

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων 5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές

Κεφάλαιο 4. Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές Κεφάλαιο 4 Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές 4 Εισαγωγή πρότυπες εξισώσεις Οι πλέον συνηθισµένες ελλειπτικές εξισώσεις µε πλήθος εφαρµογών σε πολλά επιστηµονικά και τεχνολογικά

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών

Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών 1. Εισαγωγή. Προβλήματα δύο οριακών τιμών 3. Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών 4. Οριακές συνθήκες με παραγώγους 5. Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα #4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Παράδειγμα #4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Παράδειγμα #4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Επιμέλεια: ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΥΧΝΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Άσκηση 1 Τα ισοζύγια µάζας του συστήµατος διανοµής ατµού σε µονάδα διυλιστηρίου δίνονται από τις παρακάτω εξισώσεις: 181.60

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Διάλεξη 3: Βασικές τεχνικές επίλυσης γραμμικών συστημάτων Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Μιχάλης Δρακόπουλος

Επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Μιχάλης Δρακόπουλος Επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων Μιχάλης Δρακόπουλος Σημειώσεις Αριθμητικής Γραμμικής Άλγεβρας 2012 2013 Εισαγωγή Στην αριθμητική επίλυση μαθηματικών εφαρμογών, όπως για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα στην επίλυση

Ειδικά θέματα στην επίλυση Ενότητα 5: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες Ειδικά Θέματα Αριθμητικής Παραγώγισης Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Αλγεβρικών Εξισώσεων Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ειδικά θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72

Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 / 7 Επαναληπτικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b όπου A R n n είναι µη ιδιάζων πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα #2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης

Παράδειγμα #2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης Παράδειγμα # ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σημαίνει ο όρος lop στους επιστημονικούς υπολογισμούς. Ο όρος lop (loatig poit operatio) συναντάται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4: ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4: ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4: ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Επιμέλεια: ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΥΧΝΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Άσκηση Η σχέση ανάµεσα στην τάση και στην θερµοκρασία ενός θερµοστοιχείου πλατίνας µε 0% ρόδιο δίνεται από τον

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστική λύση Γραμμικών Συστημάτων με την μέθοδο Gauss-Seidel. Δημιουργία κώδικα στο Matlab

Προσεγγιστική λύση Γραμμικών Συστημάτων με την μέθοδο Gauss-Seidel. Δημιουργία κώδικα στο Matlab Προσεγγιστική λύση Γραμμικών Συστημάτων με την μέθοδο Gauss-Seidel Δημιουργία κώδικα στο Matlab Χατζηγεωργίου Αντώνης Νοέμβριος 2013 Περιεχόμενα 1. Αρχικό πρόβλημα.... 3 2. Εφαρμογή της θεωρίας.... 4 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 6-7, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ, --6 Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος Άσκηση [] Επιλύστε με μία απευθείας μέθοδο διατηρώντας τρία σημαντικά ψηφία σε

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Επιτάχυνση σύγκλισης των επαναληπτικών επιλύσεων Gauss-Seidel, κατά την προσομοίωση αναλογικών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ.

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ Μαρτίου 00 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 13 Πρώτο Μέρος: Γενικές Έννοιες Κεφάλαιο 1 ο : Αλγοριθμική... 19 1.1 Περιγραφή Αλγορίθμου... 19 1.2. Παράσταση Αλγορίθμων... 21 1.2.1 Διαγράμματα Ροής... 22 1.2.2 Ψευδογλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σφάλματα 1.1 Εισαγωγή...17 1.2 Αρχικά Σφάλματα (σφάλματα μετρήσεων)...18 1.2.1 Απλές μετρήσεις...18 1.2.2 Σύνθετες μετρήσεις...19 1.2.3 Σημαντικά ψηφία και

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Δομή Επανάληψης. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Δομή Επανάληψης. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Δομή Επανάληψης Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Δομή Επανάληψης Επανάληψη με αρίθμηση DO = ,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ Ιωάννης Αθ. Σταυράκης

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ Ιωάννης Αθ. Σταυράκης ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2008-2009 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ Ιωάννης Αθ. Σταυράκης 14.10.2008 Να μετατραπεί ο αριθμός στο δυαδικό σύστημα.! " Ο αριθμός μετατρέπεται αρχικά

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημονικοί Υπολογισμοί (ή Υπολογιστική Επιστήμη)

Επιστημονικοί Υπολογισμοί (ή Υπολογιστική Επιστήμη) Επιστημονικοί Υπολογισμοί (ή Υπολογιστική Επιστήμη) Ασχολoύνται με την κατασκευή μαθηματικών μοντέλων και με τεχνικές ποσοτικής ανάλυσης και τη χρήση υπολογιστών για την ανάλυση και την επίλυση επιστημονικών

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες. FORTRAN και Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός

Πίνακες. FORTRAN και Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Πίνακες (i) Δομημένη μεταβλητή: αποθηκεύει μια συλλογή από τιμές δεδομένων Πίνακας (array): δομημένη μεταβλητή που αποθηκεύει πολλές τιμές του ίδιου τύπου INTEGER:: pinakas(100)ή INTEGER, DIMENSION(100)::pinakas

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αναγνώριση Προτύπων Ι Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 2: Δομικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 3 Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 3 Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα / 77 Επαναληπτικές

Διαβάστε περισσότερα

2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)

2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές) ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 2η Οµάδα Ασκήσεων 1442008 ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, -, Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 3.0. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Άσκηση Έστω ένα κύμα που κινείται εντός αγωγού με ταχύτητα c 0 m/s. Η κατανομή

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 4: Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ Διδάσκων: Παπασιώπη Νυμφοδώρα Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Ενότητα 5 η : Διδιάστατη και τριδιάστατη αγωγή θερμότητας Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩ ΙΚΑΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΕΣ ΚΟΙΛΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΙΑΧΥΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΚΡΙΖΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ

ΚΩ ΙΚΑΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΕΣ ΚΟΙΛΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΙΑΧΥΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΚΡΙΖΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΚΩ ΙΚΑΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΕΣ ΚΟΙΛΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΙΑΧΥΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΚΡΙΖΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Επιµέλεια: Νίκος Βασιλειάδης (φοιτητής ΤΜΜ, 6 ο εξάµηνο) 1 η έκδοση προγράµµατος (Μάιος 2014)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

Επιλύστε αριθμητικά με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών το παρακάτω πρόβλημα δύο οριακών τιμών:

Επιλύστε αριθμητικά με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών το παρακάτω πρόβλημα δύο οριακών τιμών: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 19 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 1-11, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣ. - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΑΣΚΗΣΗ 1 Επιλύστε αριθμητικά με τη μέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ - ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ Ιωάννης Αθ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ - ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ Ιωάννης Αθ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ - ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2011-2012 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ Ιωάννης Αθ. Σταυράκης 1 η Σειρά Ασκήσεων 26.10.2011 Άσκηση 1. Να μετατραπεί

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μελέτη και υλοποίηση μεθόδων φασματικής ανάλυσης γράφων για προσομοίωση μεγάλης κλίμακας γραμμικών κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

5. Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων

5. Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 5. Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε μεθόδους επίλυσης γραμμικών συστημάτων. Η επίλυση γραμμικών συστημάτων κατέχει ιδιαίτερη θέση στην υπολογιστική μηχανική διότι στην πλειονότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μόρφωση του συστήματος εξισώσεων. Επίλυση και επεξεργασία των αποτελεσμάτων

Μόρφωση του συστήματος εξισώσεων. Επίλυση και επεξεργασία των αποτελεσμάτων Κεφάλαιο 4 Μόρφωση του συστήματος εξισώσεων. Επίλυση και επεξεργασία των αποτελεσμάτων Στο παρόν κεφάλαιο περιγράφεται η διαδικασία με την οποία γίνεται η μεταφορά από το τοπικό στο συνολικό μητρώο δυσκαμψίας,

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων

Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

i. Επιλύστε με απαλοιφή Gauss μερικής οδήγησης το σύστημα:

i. Επιλύστε με απαλοιφή Gauss μερικής οδήγησης το σύστημα: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 04 0, Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 8 0 04 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 0 04 Επιμέλεια

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ. & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Βασικά σημεία Μη γραμμικές εξισώσεις με πραγματικές ρίζες. Μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Α. Αλεξόπουλος. Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών

Χ. Α. Αλεξόπουλος. Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Χ. Α. Αλεξόπουλος Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών Πάτρα 2014 Αφιερωµένο σε δύο εκλεκτούς ανθρώπους, πανεπιστηµιακούς δασκάλους

Διαβάστε περισσότερα

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν.

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΡΕΒΕΚΑ ΑΛ. ΜΩΡΑΪΤΗ

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΡΕΒΕΚΑ ΑΛ. ΜΩΡΑΪΤΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ & ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΣΥΖΥΓΩΝ ΚΛΙΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αναγνώριση Προτύπων Ι Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 1: Μέθοδοι Αναγνώρισης Προτύπων Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Επιλύστε αριθμητικά το με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών το παρακάτω πρόβλημα δύο οριακών τιμών:

Επιλύστε αριθμητικά το με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών το παρακάτω πρόβλημα δύο οριακών τιμών: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 1-13, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ημερομηνίες παράδοσης: Ασκήσεις 1 και : -1-1, Ασκήσεις 3 και 4: 8-1-13 Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΑΣΚΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η διατήρηση μάζας σε ένα σύστημα τριών αντιδραστήρων περιγράφεται από το παρακάτω σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων:

Η διατήρηση μάζας σε ένα σύστημα τριών αντιδραστήρων περιγράφεται από το παρακάτω σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 0-0, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΑΣΚΗΣΗ Η διατήρηση μάζας σε ένα σύστημα τριών

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 11 Κεφάλαιο 1o: Εισαγωγικά... 15 1.1 Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση... 15 1.2 Πηγές Σφαλμάτων... 17 1.2.1 Εισόδου... 17 1.2.2 Αριθμητικής Υπολογιστών... 18 1.2.3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Κεφ. 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Κεφ 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 71 Εισαγωγή πρότυπες εξισώσεις 7 Εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών πέντε και εννέα σημείων 73 Οριακές συνθήκες μικτού τύπου και ακανόνιστα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Φυσική. Πρόοδος 26 Μαρτίου 2007 Ομάδα 1 η

ΦΥΣ 145 Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Φυσική. Πρόοδος 26 Μαρτίου 2007 Ομάδα 1 η ΦΥΣ 145 Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Φυσική Πρόοδος 26 Μαρτίου 2007 Ομάδα 1 η Γράψτε το ονοματεπώνυμο και αριθμό ταυτότητάς σας στο πάνω μέρος της αυτής της σελίδας. Πρέπει να απαντήσετε και στα 6 προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 3ης Άσκησης

Παρουσίαση 3ης Άσκησης Παρουσίαση 3ης Άσκησης Παράλληλος προγραμματισμός για αρχιτεκτονικές κατανεμημένης μνήμης με MPI Συστήματα Παράλληλης Επεξεργασίας 9ο Εξάμηνο, ΣΗΜΜΥ Εργ. Υπολογιστικών Συστημάτων Σχολή ΗΜΜΥ, Ε.Μ.Π. Νοέμβριος

Διαβάστε περισσότερα

y 1 και με οριακές συνθήκες w

y 1 και με οριακές συνθήκες w ΑΣΚΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 008-009, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ:..008 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Η εξίσωση Laplace σε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα δύο σημείων. Κεφάλαιο Διακριτοποίηση

Πρόβλημα δύο σημείων. Κεφάλαιο Διακριτοποίηση Κεφάλαιο 3 Πρόβλημα δύο σημείων Σε αυτό το κεφάλαιο θα μελετήσουμε τη μεθόδο πεπερασμένων διαφορών για προβλήματα Σ.Δ.Ε. δεύτερης τάξεως, τα οποία καλούνται και προβλήματα δύο σημείων. Ο λόγος που θα ασχοληθούμε

Διαβάστε περισσότερα

f στον κόμβο i ενός πλέγματος ( i = 1, 2,,N

f στον κόμβο i ενός πλέγματος ( i = 1, 2,,N ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 008-009, Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ:..008 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ Ιωάννης Αθ. Σταυράκης

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ Ιωάννης Αθ. Σταυράκης ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2008-2009 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ Ιωάννης Αθ. Σταυράκης 07.01.2009 Δίνονται τα ακόλουθα ζεύγη τιμών: Να προσδιοριστεί πολυώνυμο παρεμβολής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων

Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 1 Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Επιλύστε αριθμητικά με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών το παρακάτω πρόβλημα δύο οριακών τιμών: ( )

Επιλύστε αριθμητικά με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών το παρακάτω πρόβλημα δύο οριακών τιμών: ( ) ΑΣΚΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, -, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Επιλύστε αριθμητικά με τη μέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕ ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14 Δρ. Β. Σγαρδώνη ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1. Εισαγωγή 2. Σφάλματα, αριθμητική μηχανής και αλγόριθμοι 3. Επίλυση συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Οι συγγραφείς... 18 1 Θεμελιώδεις έννοιες... 19 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 19 1.2 ΙΣΤΟΡΙΚΟ... 19 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ... 20 1.4 ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ... 20 1.5 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

III.5 Μέθοδοι Παραγοντοποίησης

III.5 Μέθοδοι Παραγοντοποίησης III.5 Μέθοδοι Παραγοντοποίησης III.5. Μέθοδος διάσπασης LU Η µέθοδος πραγµατοποίησης η διάσπασης διάσπασης ενός πίνακα Α στη µορφή LU αναφέρεται στο πρόβληµα της A=LU (III.5.) Όπου Ο L είναι κάτω τριγωνικός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ - ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ Ιωάννης Αθ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ - ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ Ιωάννης Αθ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ - ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2010-2011 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ Ιωάννης Αθ. Σταυράκης 1 η Σειρά Ασκήσεων 12.10.2010 Άσκηση 1. Να μετατρέψετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου 2012 (3 και 4)

Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου 2012 (3 και 4) -- Αριθµητική Ανάλυση και Περιβ. Υλοποίησης Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου (3 και 4) Θέµα 3 [6µ] Θεωρούµε ότι κατά την επίλυση ενός προβλήµατος προσέγγισης προέκυψε ένα γραµµικό σύστηµα Αxb, µε αγνώστους,

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα #1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ι. Λυχναρόπουλος

Παράδειγμα #1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα #1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ι. Λυχναρόπουλος 1. Πως ορίζεται και τι σημαίνει ο όρος flop στους επιστημονικούς υπολογισμούς. Απάντηση: Ο όρος flop σημαίνει floating point operation

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα