Παράδειγμα #5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ & ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παράδειγμα #5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ & ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης"

Transcript

1 Παράδειγμα #5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ & ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Το παρακάτω αλγεβρικό τρι-διαγώνιο σύστημα έχει προκύψει από την επίλυση µιας συνήθους διαφορικής εξίσωσης που περιγράφει την θερμοκρασιακή κατανομή σε µία ράβδο µε αδιάστατο μήκος 0 : T T Ti. N - TN A 0 0, i,,,n,. 0 B Οι άγνωστοι του συστήματος, i Ν, αντιστοιχούν στις θερμοκρασίες i της ράβδου στα ισαπέχοντα σημεία 0< i <,, ενώ οι ποσότητες A και B είναι οι θερμοκρασίες στα δύο άκρα της ράβδου =0 και = αντίστοιχα. Να λυθεί το τρι-διαγώνιο σύστημα µε τις µμεθόδους: (i) Απαλοιφή Gauss (ii) Παραγοντοποίηση LU (iii) Cholesy (iv) Αλγόριθµο Thomas (v) Jacobi (vi) Gauss-Seidel (vii) S.O.R και (viii) S.S.O.R. Η επιλογή των παραμέτρων και ο αριθμός των εξισώσεων είναι ελεύθερη. Για την ακριβή επίλυση του προβλήματος απαιτείται η επίλυση του προβλήματος για τρεις διαφορετικές τιμές του Ν που να διαφέρουν τουλάχιστον κατά µία τάξη μεγέθους (Ενδεικτικά 3, 30 και 300). Τέλος να γίνει ολοκληρωμένη και πλήρης σύγκριση των μεθόδων.

2 Απαλοιφή Gauss Η απαλοιφή Gauss αποτελεί την πλέον διαδεδομένη και κλασσική μεθοδολογία άμεσης επίλυσης αλγεβρικών συστημάτων. Ο αναγκαίος αριθμός πράξεων είναι ιδιαίτερα μεγάλος και σε πολλές περιπτώσεις η χρήση της απαλοιφής Gauss σε τυπικούς προσωπικούς υπολογιστές γίνεται ιδιαίτερα δυσχερής. Τονίζεται επίσης ότι η απαλοιφή Gauss πρέπει να γίνεται με οδήγηση. Διαφορετικά, ο αλγόριθμος είναι ασταθής και σε περιπτώσεις αριθμητικά ιδιόμορφων συστημάτων οδηγεί σε λάθος αποτελέσματα. Παραγοντοποίηση LU Ο πίνακας συντελεστών A γράφεται σαν γινόμενου ενός κάτω τριγωνικού πίνακα L και ενός άνω τριγωνικού πίνακα U με μονάδες στη διαγώνιο. Τα άγνωστα στοιχεία των πινάκων L και U υπολογίζονται μέσω αναγωγικών σχέσεων που βασίζονται στη βασική σχέση A LU. Αφού βρεθούν οι πίνακες L και U το σύστημα επιλύεται με τη χρήση ενός ενδιαμέσου άγνωστου διανύσματος y ως εξής: Ab LUb Ly b, όπου U y. Πρώτα επιλύουμε για το ενδιάμεσο διάνυσμα y και στη συνέχεια για το. Μέθοδος Cholesy Στη περίπτωση που ο πίνακας A είναι συμμετρικός προκύπτει, εφαρμόζοντας την T παραγοντοποίηση LU, ότι ο πίνακας U L. Η ιδιότητα αυτή είναι ιδιαίτερα σημαντική και μειώνει δραστικά τον αναγκαίο αριθμό πράξεων. Η μεθοδολογία είναι γνωστή σαν αλγόριθμος Cholesy και αποτελεί μία από τις πλέον αποτελεσματικές μεθόδους επίλυσης συστημάτων με συμμετρικούς πίνακες συντελεστών. Για την εφαρμογή της συγκεκριμένης μεθόδου το αρχικό σύστημα A b τροποποιήθηκε στο A b ώστε να αποφευχθεί η χρήση μιγαδικών αριθμών. Αλγόριθμος Thomas Ο αλγόριθμος Thomas εφαρμόζεται μόνο σε τριδιαγώνια συστήματα και στην περίπτωση αυτή αποτελεί την πλέον αποτελεσματική μεθοδολογία επίλυσης.

3 Σχετικά με τις άμεσες μεθόδους σημειώνεται ότι, με εξαίρεση τους αλγόριθμους Thomas και Cholesy, οι υπόλοιπες τεχνικές, τουλάχιστον στην κλασσική τους μορφή, δεν εκμεταλλεύονται την ειδική δομή των αλγεβρικών συστημάτων και θα πρέπει να χρησιμοποιούνται με φειδώ, μόνο για πιλοτικούς σκοπούς ή στη περίπτωση μικρών συστημάτων ( N 0 ). Τα τελευταία χρόνια έχουν αναπτυχθεί βελτιωμένες και εξειδικευμένες άμεσες μέθοδοι όπως ο γρήγορος μετασχηματισμός Fourier (Fast Fourier Transorm, FFT). Όταν οι πίνακες συντελεστών είναι αριθμητικά ιδιόμορφοι η προτεινόμενη τεχνική είναι η μέθοδος διάσπασης (αποκλεισμού) των ιδιόμορφων τιμών (Singular Value Decomposition, SVD). Περνούμε τώρα στη δεύτερη κατηγορία μεθόδων επίλυσης, αυτή των επαναληπτικών τεχνικών. Στην επίλυση μεγάλων συστημάτων οι επαναληπτικές μέθοδοι εφόσον διατυπωθούν σωστά φαίνεται να έχουν περισσότερες δυνατότητες από τις άμεσες μεθόδους. Η υπεροχή τους οφείλεται στο γεγονός ότι οι περισσότερες επαναληπτικές μέθοδοι αξιοποιούν τα δύο βασικά χαρακτηριστικά των συστημάτων που προκύπτουν από την μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών (αραιοί και διαγώνια κυρίαρχοι πίνακες). Οι περισσότερες επαναληπτικές τεχνικές βασίζονται στην διατύπωση αναγωγικών τύπων επαναληπτικού χαρακτήρα. Έστω το σύστημα A b. Προσθέτοντας και στις δύο πλευρές του συστήματος το διάνυσμα Q έχουμε A b A Q Q b Q Q A b Q Q A Q b I Q A Q b που γράφεται στην γενική επαναληπτική μορφή n n G (4.3.) όπου n είναι ο αριθμός επανάληψης, Q b και τα διανύσματα n και G I Q A είναι ο πίνακας επανάληψης, n δηλώνουν τις τιμές του αγνώστου διανύσματος μετά από n και n επαναλήψεις αντίστοιχα. Αφού κάνουμε μια αρχική 0 εκτίμηση εφαρμόζουμε τον επαναληπτικό αλγόριθμο (4.3.). Η επαναληπτική διαδικασία ολοκληρώνεται όταν όλες οι τιμές του έχουν συγκλίνει στην επιθυμητή

4 ακρίβεια, δηλαδή όταν ικανοποιούν το κριτήριο τερματισμού n n i i n i, ma (4.3.3α) όπου ma το μέγιστο επιτρεπτό σχετικό σφάλμα. Πολλές φορές χρησιμοποιούμε εναλλακτικά κριτήρια τερματισμού όπως το μέγιστο απόλυτο σφάλμα n n (4.3.3β) i i ma ή την Ευκλείδεια νόρμα N n n i i ma. (4.3.3γ) i Ο πίνακας επανάληψης G είναι μείζονος σημασίας σε σχέση με τη γρήγορη ή αργή σύγκλιση ή απόκλιση του επαναληπτικού αλγορίθμου. Εάν ορίσουμε το διάνυσμα του σφάλματος λύση n n μετά από n επαναλήψεις σαν την διαφορά ανάμεσα στην αριθμητική n και την αναλυτική λύση, δηλαδή n, (4.3.4) εύκολα προκύπτει ότι n n n n 0 G G G. (4.3.5) Παίρνοντας μία οποιαδήποτε νόρμα της (4.3.4) μπορούμε να εκτιμήσουμε την διάδοση του αρχικού σφάλματος μετά από n επαναλήψεις: n n 0 n 0 G G. (4.3.6) Επομένως η διάδοση του σφάλματος εξαρτάται άμεσα από την νόρμα του πίνακα επανάληψης G. Αποδεικνύεται ότι G όταν G G η, όπου φασματική ακτίνα του πίνακα επανάληψης G. Επομένως, η επαναληπτική μέθοδος θα G συγκλίνει μόνο όταν και βεβαίως όσο μικρότερη είναι η φασματική ακτίνα τόσο γρηγορότερη θα είναι η σύγκλιση της επαναληπτικής διαδικασίας. G Αντίθετα όταν η επαναληπτική διαδικασία θα αποκλίνει. Η επιλογή λοιπόν

5 του πίνακα G (ή του Q ) είναι καθοριστικής σημασίας και η κάθε επαναληπτική μέθοδος ορίζεται ανάλογα με την μορφή του πίνακα G στον γενικό επαναληπτικό αλγόριθμο (4.3.). Ακολουθεί μία σύντομη ανασκόπηση των τεσσάρων πλέον διαδεδομένων επαναληπτικών αλγορίθμων. Καταρχήν ο πίνακας συντελεστών A του συστήματος A b διασπάται σε τρεις πίνακες A DL U, όπου D, L και U είναι ένας διαγώνιος, ένας κάτω τριγωνικός και ένας άνω τριγωνικός πίνακας και ο κάθε ένας από αυτούς περιλαμβάνει τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα A. Στη συνέχεια οι επαναληπτικές τεχνικές Jacobi (J), Gauss Seidel (GS), Successive Over Relaation (SOR) και Symmetric Successive Over Relaation (SSOR) διατυπώνονται ως εξής: Jacobi n n D LU D b ή b a N i i ij j a ii j ji n n Gauss Seidel n n DL U D L b ή b a a i N i i ij j ij j aii j ji n n n Μέθοδος S.O.R n n DL U D DL b ή

6 b a a i N n n n n i i ij j ij j i a ii j ji Η σύγκλιση και ο υπολογιστικός χρόνος που απαιτείται εξαρτάται άμεσα από την παράμετρο ω, η οποία κυμαίνεται από 0. Ο αριθμός των επαναλήψεων καθώς το ω τείνει στο συνεχώς μειώνεται ενώ από κάποια οριακή τιμή του ω οι επαναλήψεις που απαιτούνται αυξάνουν, (βλέπε Πίνακες 3 και 4 και Σχήματα και ). Για ω= η μέθοδος S.O.R εκπίπτει στην μέθοδο Gauss-Seidel. Όταν η πολυπλοκότητα του προβλήματος αυξάνει είναι αναγκαίο να ανατρέξουμε σε πιο εξειδικευμένες και αναβαθμισμένες τεχνικές όπως οι μέθοδοι Conjugate Gradient (CG) και Ελαχιστοποίησης Υπολοίπων (Minimal Residual, MINRES και Generalized Minimal Residual, GMRES). Τέλος, σημειώνεται ότι οι κλασσικές όπως και οι πιο εξειδικευμένες μέθοδοι επανάληψης αποκτούν νέα δυναμική όταν συνδυασθούν με μεθόδους πολλαπλών πλεγμάτων (Multigrid Methods). Οι κώδικες που χρησιμοποιούνται σε κάθε μέθοδο παρατίθενται στο Παράρτημα. Οι τιμές των παραμέτρων είναι A 0 και B 00 Το κριτήριο τερματισμού για τις επαναληπτικές μεθόδους είναι το σχετικό σφάλμα να είναι μικρότερο του.0e-06. Οι αρχικές τιμές του διανύσματος της θερμοκρασίας είναι για όλες τις επαναληπτικές μεθόδους οι μηδενικές.

7 Στους Πίνακες και απεικονίζονται τα αποτελέσματα για αριθμό εξισώσεων 30 και 300 αντίστοιχα. Σημειώνεται ότι στον Πίνακα τα αποτελέσματα έχουν τυπωθεί ανά 0 κόμβους. Απαλοιφή Gauss Παραγοντοποίηση LU Μέθοδος Cholesy Αλγόριθμος Thomas Jacobi 44 επαναλήψεις G-S 0 επαναλήψεις S.O.R 990 επαναλήψεις (ω=.5) Πίνακας : Θερμοκρασιακή κατανομή για 30 κόμβους.

8 Gauss Απαλοιφή Παραγοντοποίηση LU Μέθοδος Cholesy Αλγόριθμος Thomas Jacobi 8975 επαναλήψεις G-S 4735 επαναλήψεις S.O.R 90 επαναλήψεις (ω=.5) Πίνακας : Θερμοκρασιακή κατανομή για 300 κόμβους.

9 ω Iterations Iterations (N=30) (N=300) Πίνακας 3α: Αριθμός επαναλήψεων για την μέθοδο S.O.R και κριτήριο τερματισμού 0e-06. ω Time(s) Time(s) (N=30) (N=300) Πίνακας 4α: Υπολογιστικός χρόνος για την μέθοδο S.O.R και κριτήριο τερματισμού 0e-06. ω Iterations Iterations (N=30) (N=300) Πίνακας 3β: Αριθμός επαναλήψεων για την μέθοδο S.O.R και κριτήριο τερματισμού 0e-03. ω Time(s) Time(s) (N=30) (N=300) Πίνακας 4β: Υπολογιστικός χρόνος για την μέθοδο S.O.R και κριτήριο τερματισμού 0e-03.

10 Επαναλήψεις ω Ν=30(eps=.0e-06) N=30(eps=.0e-03) Σχήμα : Αριθμός επαναλήψεων συναρτήσει της παραμέτρου ω για την μέθοδο S.O.R και 30 κόμβους και διαφορετικά κριτήρια τερματισμού Επαναλήψεις ω Ν=300(eps=.0e-06) N=300(eps=.0e-03) Σχήμα : Αριθμός επαναλήψεων συναρτήσει της παραμέτρου ω για την μέθοδο S.O.R και 300 κόμβους και διαφορετικά κριτήρια τερματισμού.

11 Στον Πίνακα 5 απεικονίζεται ο υπολογιστικός χρόνος που απαιτείται για την επίλυση του προβλήματος με δύο διαφορετικά κριτήρια τερματισμού όσον αφορά τις επαναληπτικές μεθόδους. Μέθοδος CPU time(sec) CPU time(sec) eps=.0e-03 eps=.0e-06 Απαλοιφή Gauss χωρίς οδήγηση Απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση Απαλοιφή Gauss με ολική οδήγηση Παραγοντοποίηση LU 3 (???) 3 (???) Μέθοδος Cholesy Αλγόριθμος Thomas Μέθοδος Jacobi 0 84 Μέθοδος Gauss-Seidel 5 87 S.O.R(ω opt =.99) 4 6 Πίνακας 5: Υπολογιστικός χρόνος όλων των μεθόδων για την περίπτωση των 300 κόμβων.

12 . Να λυθούν µε απαλοιφή Gauss και χρησιμοποιώντας αριθμητική δύο σημαντικών ψηφίων τα συστήματα y 0. 5 α) και β) y 00y 00 y Περιγράψτε µε σαφήνεια τα βήματα επίλυσης και συγκρίνετε τα αποτελέσματα µε τα αντίστοιχα αποτελέσματα ακρίβειας πολλών σημαντικών ψηφίων. α) Τα αποτελέσματα που προκύπτουν με αριθμητική πολλών σημαντικών ψηφίων είναι: Το επαυξημένο μητρώο είναι: Αναδιατάσσω τις εξισώσεις συμφωνά με την μερική οδήγηση: Πολ/ζω την η γραμμή με (-0.005) και την προσθέτω στην η. Τότε προκύπτει: y και Εάν χρησιμοποιήσουμε αριθμητική δύο σημαντικών ψηφίων τότε η επίλυση του συστήματος είναι: Το επαυξημένο μητρώο είναι: Αναδιατάσσω τις εξισώσεις συμφωνά με την μερική οδήγηση: Πολ/ζω την η γραμμή με (-0.005) και την προσθέτω στην η. Τότε προκύπτει: y 0.49 και

13 β) Τα αποτελέσματα που προκύπτουν με αριθμητική πολλών σημαντικών ψηφίων είναι: Το επαυξημένο μητρώο θα είναι Αναδιατάσσω τις εξισώσεις συμφωνά με την μερική οδήγηση: Πολ/ζω την η γραμμή με (-) και την προσθέτω στην η : y και Εάν χρησιμοποιήσουμε αριθμητική δύο σημαντικών ψηφίων τότε η επίλυση του συστήματος είναι: Το επαυξημένο μητρώο είναι: Αναδιατάσσω τις εξισώσεις συμφωνά με την μερική οδήγηση: Πολ/ζω την η γραμμή με (-) και την προσθέτω στην η. Τότε προκύπτει: y 0.49 και Να βρεθεί ο επιπλέον αριθμός πράξεων (προσθέσεις / αφαιρέσεις και πολλαπλασιασμοί / διαιρέσεις) που απαιτείται για την απαλοιφή Gauss µε πλήρη οδήγηση σε σχέση µε την απαλοιφή Gauss χωρίς οδήγηση. Στην μέθοδο απαλοιφής Gauss το πλήθος των προσθαφαιρέσεων είναι περίπου ίσο με το πλήθος των πολλαπλασιασμών και των διαιρέσεων. Συνολικά για την απαλοιφή Gauss χωρίς οδήγηση απαιτούνται

14 3 3 n 3n n n On 3 3 Η μερική οδήγηση δεν συντελεί στην εκτέλεση επιπλέον πράξεων διότι η κύρια ιδέα της μερικής οδήγησης είναι η εύρεση του μέγιστου κατ απόλυτη τιμή στοιχείου του πίνακα Α και όχι ένα πλήθος πολ/σμων-διαιρέσεων ή προσθαφαιρέσεων για την απαλοιφή κάποιου αγνώστου. Πρέπει να σημειωθεί ότι η διαδικασία εύρεσης του μέγιστου κατ απόλυτη τιμή στοιχείου αναπαρίσταται από ένα πλήθος προσθαφαιρέσεων. Στην περίπτωση αυτή, ο επιπλέον αριθμός πράξεων που απαιτούνται για την εύρεση του μέγιστου στοιχείου είναι i n nn i On 4. Εάν ο πίνακας Α ενός γραµµικού συστήματος b αναλυθεί σε όπου D είναι ένας διαγώνιος πίνακας L και U είναι κάτω και άνω τριγωνικοί πίνακες αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι και οι τρεις επαναληπτικές μέθοδοι Jacobi, GS και SOR μπορούν να γραφούν στη γενική μορφή M N M b Να βρεθούν οι πίνακες M και N σε σχέση µε τους πίνακες D, L και U. Αν ισχύει ότι D L U τότε το γραμμικό σύστημα μπορεί να γραφεί στην μορφή A b ή D L U b. Για την μέθοδο Jacobi ισχύει D L U b D L U b D L U D b δηλαδή είναι ειδική περίπτωση της γενικής μεθόδου Ειδικά για την Jacobi ισχύει N b M J D και L U. N J Για την μέθοδο Gauss-Seidel ισχύει D L U b L D U b L D U L D b όμοια η μέθοδος ανήκει στην γενικής μεθόδου

15 b N όπου για την Gauss-Seidel ισχύει D L M GS και U N GS. Για την μέθοδο SOR ισχύει ότι ακριβώς για την μέθοδο Gauss-Seidel με την προσθήκη της παραμέτρου ω. Έτσι σε μορφή πινάκων γράφεται b U D D ω ω ωl ή b L D U D L D όμοια η μέθοδος ανήκει στην γενικής μεθόδου b N όπου για την SOR ισχύει L D M SOR και U D N SOR. 5. Να επιλυθεί το µη γραµµικό σύστημα: ,, Θα χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Newton όπου ισχύει ), J( και ), J( y y με J συμβολίζεται το Ιακωβιανό μητρώο, το οποίο ισούται με 3 3, J. Κάνοντας χρήση του Mathematica προκύπτουν οι ακριβείς λύσεις 0.,. ή., 0. Αναμένουμε λύσεις. Χρησιμοποιώντας τον παρακάτω κώδικα σε Fortran 90/95:

16 program NumAnal_5 implicit none real(8)::,g,,,_old,_old,g,gy,jac,s,s,tol,,y integer::i,n,maiter print*,'give initial and ' read*,, n=0 tol=.0e-9 maiter=000 do i=,maiter n=n+ _old= _old= =_old+_old-. g=(_old)**3+(_old)**3-8. =.0 y=.0 g=3*(_old**) gy=3*(_old**) jac=*gy-g*y s=(*gy-g)/jac s=(g-*g)/jac =_old-s =_old-s i(abs(.-(_old/)).le.tol.and.abs(.&- (_old/)).le.tol)then goto 00 endi 00 write(*,*),,n end program NumAnal_5 Τα αποτελέσματα που προκύπτουν χρησιμοποιώντας ως κριτήριο τερματισμού το σχετικό σφάλμα να είναι μικρότερο του 0-9, απεικονίζονται στον παρακάτω πίνακα. Αρχική εκτίμηση Επαναλήψεις 5, ,

17 6. Να λυθεί µε τη μέθοδο Newton-Raphson το σύστημα (ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΗ): P είναι µια παράμετρος που καθορίζεται αυθαίρετα. Απάντηση Βλέπε Άσκηση 5, Εργασία 3-004_Απαντήσεις.pd, η οποία βρίσκεται στην ιστοσελίδα του μαθήματος.

18 ΑΣΚΗΣΗ (i) Κώδικας για την απαλοιφή Gauss. program NumAnal_i!χωρίς οδήγηση implicit none ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ real(8),allocatable, dimension(:,:)::a real(8),allocatable, dimension(:)::x integer::i,j,,i,,n=30 real(8)::t=0.,t=00. allocate(a(n,n+),x(n)) A=0.0 Do i=,n A(i,i)=-. Do i=,n- A(i,i+)=. Do i=,n A(i,i-)=. A(,N+)=-T A(N,N+)=-T Do =,N =+ Do j=,n+ A(,j)=A(,j)/A(,) I(==N)eit Do i=,n Do j=,n+ A(i,j)=A(i,j)-A(i,)*A(,j) X(N)=A(N,N+) Do =,N i=(n+)- X(i)=A(i,N+) i=i+ Do j=i,n X(i)=X(i)-A(i,j)*X(j) 8

19 Do i=,size(x) write(*,*) X(i) End program NumAnal_i Program Gauss!με μερική ή ολική οδήγηση implicit none doubleprecision,allocatable::a(:,:),x(:) integer,allocatable::tx(:) integer::n=000,i,j,,status real::t,pivot,s,tim allocate(a(n,n+),x(n),tx(n)) i (status/=0) Stop 'Not enough memory' open(,ile='ino.dat') A=0.0 Do i=,n A(i,i)=-. Do i=,n- A(i,i+)=. Do i=,n A(i,i-)=. A(,N+)=-0. A(N,N+)=-00. do i=,n TX(i)=i = do while (<=n) pivot=ind_pivot(3,)!εύρεση οδηγού της -γραµµής! s= χωρίς οδήγηση! s= µερική οδήγηση! s=3 πλήρης οδήγηση i (pivot==0) then print*, 'Pivot = 0. Gauss elimination can not continue' stop endi 9

20 do j=,n+ a(,j)=a(,j)/pivot do i=+,n t=a(i,) do j=,n+ a(i,j)=a(i,j)-a(,j)*t =+ (n)=a(n,n+) do i=n-,,- s=0 do j=i+,n s=s+a(i,j)*(j) (i)=a(i,n+)-s do i=,n write(,*),(i) call CPU_TIME(tim) print*, 'Program has used', tim, 'seconds o CPU time.' Contains subroutine print_table integer::i do i=,n print*, a(i,:) end subroutine print_table real unction ind_pivot(s,) integer,intent(in)::s, integer::i,mai,maj,t real::ma,temp i (s==) then! No pivoting ma=a(,) elsei (s==) then! Partial Pivoting ma=a(,) mai= do i=,n i (abs(a(i,))>abs(ma)) then ma=a(i,) mai=i 0

21 endi i (mai/=) then do j=,n+ temp=a(,j) a(,j)=a(mai,j) a(mai,j)=temp endi elsei (s==3) then! Full Pivoting ma=a(,) mai= maj= do i=,n do j=,n i (abs(a(i,j))>abs(ma)) then ma=a(i,j) mai=i maj=j endi i (mai/=) then do j=,n+ temp=a(,j) a(,j)=a(mai,j) a(mai,j)=temp endi i (maj/=) then do i=,n temp=a(i,) a(i,)=a(i,maj) a(i,maj)=temp t=tx() TX()=TX(maj) TX(maj)=t endi endi ind_pivot=ma end unction ind_pivot end

22 (ii) Κώδικας για την παραγωντοποίηση LU. program NumAnal_ii implicit none real, allocatable, dimension(:,:)::u,l,a real, allocatable, dimension(:)::,y real::t,t,g, integer::i,j,n, T=-00. T=-000. n=3 allocate(u(n+,n),l(n+,n),a(n+,n),(n),y(n)) a=0.0;u=0.0;l=0.0 a(,)=-;a(,)= Do i=,n- a(i,i)=- a(i-,i)= a(i+,i)= a(n,n)=-;a(n-,n)= a(n+,)=t;a(n+,n)=t u=0;l=0 do i=,n do j=,n g=0.;=0. do =,i g=l(-,j)*u(j,-)+g =l(j,-)*u(-,j)+ l(i,j)=a(i,j)-g u(j,i)=(a(j,i)-g)/l(i,i) l(n+,i)=a(n+,i) y=0.;y()=l(n+,)/l(,) do i=,n g=0. do =,i- g=l(,i)*y(i-)+g y(i)=(/l(i,i))*(l(n+,i)-g) do i=,n u(n+,i)=y(i) =0.;(n)=u(n+,n)

23 do j=,n- i=n-j g=0. do =i,n- g=u(+,i)*(i+)+g (i)=u(n+,i)-g write(*,*) end program NumAnal_ii (iii) Κώδικας για την μέθοδο Cholesy program NumAnal_iii implicit none real, allocatable, dimension(:,:)::a real, allocatable, dimension(:)::,b real::t,t integer::i,j,n n=300 ; T=0.0 ; T=00.0 open(,ile='ino.dat') allocate(a(n,n),(n),b(n)) a=0.0;b=0.0 b()=-t;b(n)=-t Do i=,n- a(i,i+)=. Do i=,n a(i,i-)=. Do i=,n a(i,i)=-. call cholesy(a,b,n,) Do i=,n write(,*)(i) end program NumAnal_iii subroutine cholesy(a,b,n,x) implicit none integer n,i,j,, real::a(n,n),b(n),l(n,n),u(n,n),y(n),x(n) =;U=0;A=-A;B=-B 3

24 Do while (<=n) L(,)=A(,) Do i=,- L(,)=L(,)-L(,i)** L(,)=sqrt(L(,)) Do i=+,n j= L(i,j)=A(i,j)/L(j,j) Do =,j- L(i,j)=L(i,j)-(L(i,)*U(,j))/L(j,j) Do j=,n i= U(i,j)=L(j,i) =+ Do i=,n Y(i)=B(i) Do =,i- Y(i)=Y(i)-L(i,)*Y() Y(i)=Y(i)/L(i,i) Do i=n,,- X(i)=Y(i) Do =i+,n X(i)=X(i)-U(i,)*X() X(i)=X(i)/U(i,i) End subroutine (iv) Κώδικας για τον αλγόριθμο Thomas. program NumAnaliv implicit none real, allocatable, dimension(:)::d,,v,g integer::i,n, real::t,t T=0. T=00. n=3 allocate(d(n),(n),v(n),g(n)) d=0.0 4

25 d()=-t d(n)=-t v()=- Do i=,n v(i)=--(./v(i-)) g()=d()/v() Do i=,n g(i)=(d(i)-g(i-))/v(i) (n)=g(n) Do i=n-,,- (i)=g(i)-(i+)/v(i) Do i=,n write(*,*)(i) end program NumAnaliv (v) Κώδικας για τον αλγόριθμο Jacobi. program NumAnal_v implicit none real, allocatable, dimension(:,:)::a real, allocatable, dimension(:)::b,,,e real::s,er,t,t,eps integer::i,j,iter,n,maiter n=3 T=00. T=000. maiter=.0e+6 eps=.0e-09 allocate(a(n,n),b(n),(n),(n),e(n)) =. b=0.0 a=0.0 b()=-t b(n)=-t Do i=,n- a(i,i+)=. Do i=,n a(i,i-)=. 5

26 Do i=,n a(i,i)=- Do iter=,maiter Do i=,n s=0. Do j=,n i (j/=i)then s=s+a(i,j)*(j) Endi (i)=(b(i)/a(i,i))-(s/a(i,i)) e(i)=abs(((i)-(i))/(i)) i(e(i)>eps)then er=e(i) endi I(er<=eps)eit = Do i=,n write(*,*)(i) end program NumAnal_v (vi) Κώδικας για τον αλγόριθμο Gauss-Seidel. program NumAnal_vi implicit none real, allocatable, dimension(:,:)::a real, allocatable, dimension(:)::b,,,e real::s,er,t,t,eps,z integer::i,j,iter,n,maiter n=3 T=00. T=000. maiter=.0e+6 eps=.0e-09 allocate(a(n,n),b(n),(n),(n),e(n)) =. b=0.0 a=0.0 b()=-t b(n)=-t Do i=,n- 6

27 a(i,i+)=. Do i=,n a(i,i-)=. Do i=,n a(i,i)=- Do iter=,maiter er=0.0 Do i=,n s=0. z=0. i (i/=n)then do j=+i,n s=s+a(i,j)*(j) Endi i(i/=)then do j=,i- z=z+a(i,j)*(j) endi (i)=(b(i)/a(i,i))-(s/a(i,i))-z/a(i,i) e(i)=abs(((i)-(i))/(i)) i(e(i)>eps)then er=e(i) endi I(er<=eps)eit = Do i=,n write(*,*)(i) end program NumAnal_vi (vii) Κώδικας για τον αλγόριθμο S.O.R. program NumAnal_vii implicit none real, allocatable, dimension(:,:)::a real, allocatable, dimension(:)::,_old,eps,sam,b,s real::error,epsilon,w,t,t integer::i,j,maiter,l,n n=3 T=00. 7

28 T=000. w=. maiter=000 epsilon=.0e-6 allocate(a(n,n),eps(n),_old(n),sam(n),s(n),(n),b(n)) b=0.0 b()=-t b(n)=-t a=0.0 Do i=,n- a(i,i+)=. Do i=,n a(i,i-)=. Do i=,n a(i,i)=- =0.0 Do l=,maiter do i=,n _old(i)=(i) sam=0. s=0 do j=i+,n sam(i)=sam(i)-a(i,j)*_old(j) do j=,i- s(i)=s(i)-a(i,j)*(j) (i)=(w*(sam(i)+s(i)+b(i))+(-w)*a(i,i)*(i))/a(i,i) eps(i)=((i)-_old(i))/(i) i (eps(i)>error)then error=eps(i) endi i (error<epsilon)then eit endi Do i=,n write(*,*)(i) end program NumAnal_vii 8

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ Δημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές

Κεφάλαιο 4. Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές Κεφάλαιο 4 Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές 4 Εισαγωγή πρότυπες εξισώσεις Οι πλέον συνηθισµένες ελλειπτικές εξισώσεις µε πλήθος εφαρµογών σε πολλά επιστηµονικά και τεχνολογικά

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα στην επίλυση

Ειδικά θέματα στην επίλυση Ενότητα 5: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες Ειδικά Θέματα Αριθμητικής Παραγώγισης Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Αλγεβρικών Εξισώσεων Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ειδικά θέματα

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστική λύση Γραμμικών Συστημάτων με την μέθοδο Gauss-Seidel. Δημιουργία κώδικα στο Matlab

Προσεγγιστική λύση Γραμμικών Συστημάτων με την μέθοδο Gauss-Seidel. Δημιουργία κώδικα στο Matlab Προσεγγιστική λύση Γραμμικών Συστημάτων με την μέθοδο Gauss-Seidel Δημιουργία κώδικα στο Matlab Χατζηγεωργίου Αντώνης Νοέμβριος 2013 Περιεχόμενα 1. Αρχικό πρόβλημα.... 3 2. Εφαρμογή της θεωρίας.... 4 3.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες. FORTRAN και Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός

Πίνακες. FORTRAN και Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Πίνακες (i) Δομημένη μεταβλητή: αποθηκεύει μια συλλογή από τιμές δεδομένων Πίνακας (array): δομημένη μεταβλητή που αποθηκεύει πολλές τιμές του ίδιου τύπου INTEGER:: pinakas(100)ή INTEGER, DIMENSION(100)::pinakas

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 13 Πρώτο Μέρος: Γενικές Έννοιες Κεφάλαιο 1 ο : Αλγοριθμική... 19 1.1 Περιγραφή Αλγορίθμου... 19 1.2. Παράσταση Αλγορίθμων... 21 1.2.1 Διαγράμματα Ροής... 22 1.2.2 Ψευδογλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)

2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές) ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 2η Οµάδα Ασκήσεων 1442008 ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)

Διαβάστε περισσότερα

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σφάλματα 1.1 Εισαγωγή...17 1.2 Αρχικά Σφάλματα (σφάλματα μετρήσεων)...18 1.2.1 Απλές μετρήσεις...18 1.2.2 Σύνθετες μετρήσεις...19 1.2.3 Σημαντικά ψηφία και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Δομή Επανάληψης. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Δομή Επανάληψης. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Δομή Επανάληψης Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Δομή Επανάληψης Επανάληψη με αρίθμηση DO = ,

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 3ης Άσκησης

Παρουσίαση 3ης Άσκησης Παρουσίαση 3ης Άσκησης Παράλληλος προγραμματισμός για αρχιτεκτονικές κατανεμημένης μνήμης με MPI Συστήματα Παράλληλης Επεξεργασίας 9ο Εξάμηνο, ΣΗΜΜΥ Εργ. Υπολογιστικών Συστημάτων Σχολή ΗΜΜΥ, Ε.Μ.Π. Νοέμβριος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΡΕΒΕΚΑ ΑΛ. ΜΩΡΑΪΤΗ

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΡΕΒΕΚΑ ΑΛ. ΜΩΡΑΪΤΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ & ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΣΥΖΥΓΩΝ ΚΛΙΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 11 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση Στα µαθητικά και φοιτητικά µας χρόνια, έχουµε γνωριστεί µε µία ποικιλία από µαθηµατικά προβλήµατα των οποίων µαθαίνουµε σταδιακά τις λύσεις Παραδείγµατος χάριν,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων

Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Οι συγγραφείς... 18 1 Θεμελιώδεις έννοιες... 19 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 19 1.2 ΙΣΤΟΡΙΚΟ... 19 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ... 20 1.4 ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ... 20 1.5 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ...

Διαβάστε περισσότερα

III.5 Μέθοδοι Παραγοντοποίησης

III.5 Μέθοδοι Παραγοντοποίησης III.5 Μέθοδοι Παραγοντοποίησης III.5. Μέθοδος διάσπασης LU Η µέθοδος πραγµατοποίησης η διάσπασης διάσπασης ενός πίνακα Α στη µορφή LU αναφέρεται στο πρόβληµα της A=LU (III.5.) Όπου Ο L είναι κάτω τριγωνικός

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ. & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Βασικά σημεία Μη γραμμικές εξισώσεις με πραγματικές ρίζες. Μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

f στον κόμβο i ενός πλέγματος ( i = 1, 2,,N

f στον κόμβο i ενός πλέγματος ( i = 1, 2,,N ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 008-009, Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ:..008 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ - ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ Ιωάννης Αθ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ - ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ Ιωάννης Αθ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ - ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2010-2011 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ Ιωάννης Αθ. Σταυράκης 1 η Σειρά Ασκήσεων 12.10.2010 Άσκηση 1. Να μετατρέψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

β) Με τη βοήθεια του αποτελέσµατος της απαλοιφής υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα του συστήµατος. x x = x

β) Με τη βοήθεια του αποτελέσµατος της απαλοιφής υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα του συστήµατος. x x = x ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Φεβρουάριος 5 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε τη µέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων

Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 1 Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα #1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ι. Λυχναρόπουλος

Παράδειγμα #1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα #1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ι. Λυχναρόπουλος 1. Πως ορίζεται και τι σημαίνει ο όρος flop στους επιστημονικούς υπολογισμούς. Απάντηση: Ο όρος flop σημαίνει floating point operation

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Σεπτέµβριος Εξεταστές: Χ. Ζαρολιάγκης, Θ. Παπαθεοδώρου

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Σεπτέµβριος Εξεταστές: Χ. Ζαρολιάγκης, Θ. Παπαθεοδώρου Ονοµατεπώνυµο: Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Σεπτέµβριος Εξεταστές: Χ. Ζαρολιάγκης, Θ. Παπαθεοδώρου Α.Μ.: Έτος: ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ο Θέµα ( µονάδα) i) ίνεται το διάνυσµα A µε N 8 στοιχεία. Να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Κεφάλαιο 7. Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Κεφάλαιο 7 Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 7. Εξισώσεις κύματος ης ης τάξης Οι κλασσικές αντιπροσωπευτικές εξισώσεις της κατηγορίας των υπερβολικών εξισώσεων είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ Δημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1 1. Τα δεδομένα μπορούν να παρέχουν πληροφορίες όταν υποβάλλονται σε 2. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών μιας επιχείρησης είναι πρόβλημα 3. Για την επίλυση ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΛΥΣΕΩΝ

6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΛΥΣΕΩΝ 6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΛΥΣΕΩΝ 0 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ: εισαγωγικά θέματα και παραδείγματα 6. Εισαγωγή Μια επαναληπτική μέθοδος παράγει μια ακολουθία στοιχείων με επανάληψη μιας της ίδιας κατά

Διαβάστε περισσότερα

Μορφοποίηση της εξόδου

Μορφοποίηση της εξόδου Μορφοποίηση της εξόδου (i) Όταν θέλουμε τα αποτελέσματα μιάς εντολής WRITE(*, *) να εμφανίζονται με συγκεκριμένο τρόπο τροποποιούμε τον δεύτερο αστερίσκο. 2 τρόποι μορφοποίησης WRITE(*, '(format εξόδου)')

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας.

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας. ΔΙΑΛΕΞΗ η : Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας Στόχος: Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας, ενώ αργότερα θα γενικεύσουμε

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων...

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων... Περιεχόμενα Ανάλυση προβλήματος 1. Η έννοια πρόβλημα...13 2. Επίλυση προβλημάτων...17 Δομή ακολουθίας 3. Βασικές έννοιες αλγορίθμων...27 4. Εισαγωγή στην ψευδογλώσσα...31 5. Οι πρώτοι μου αλγόριθμοι...54

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD Εισαγωγή To παρόν κεφάλαιο χωρίζεται σε μέρη. Στο (Α), μεταξύ άλλων, εξηγούμε γιατί μας ενδιαφέρει η λεγόμενη ανάλυση σε παράγοντες ειδικούς πίνακες (decompositio)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ii ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. Εντολές εκχώρησης (αντικατάστασης)....1 1.1 Εισαγωγή...4 1.1.1 Χρήση ΛΣ και IDE της Turbo Pascal....4 1.1.2 Αίνιγμα...6 1.2 Με REAL...7 1.2.1 Ερώτηση...9 1.2.2 Επίλυση δευτεροβάθμιας

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Εισαγωγή. Υπολογιστική Αλγεβρα. Μάθηµα 7

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Εισαγωγή. Υπολογιστική Αλγεβρα. Μάθηµα 7 Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική Μάθηµα 7 Θεωρητικό Υπόβαθρο Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αποτελεσµατική ακριβής αριθµητική 3 Ταχύς

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων Προσομοίωση μεγάλης κλίμακας γραμμικών κυκλωμάτων σε παράλληλες πλατφόρμες Ειδικό Θέμα Ιωαννίδης Κ. Σταύρος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Επιμέλεια: ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΥΧΝΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Άσκηση 1 Δίνοντας το ολοκλήρωμα στη Mathematica παίρνουμε την τιμή του: 0 40 100 140558 z 2z 15

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Οι συγγραφείς... 18

Πρόλογος Οι συγγραφείς... 18 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Οι συγγραφείς... 18 1 Θεμελιώδεις έννοιες... 19 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 19 1.2 ΙΣΤΟΡΙΚΟ... 19 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ... 20 1.4 ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ... 20 1.5 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ...

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση εφαρμογής της μεθόδου Newton Raphson

Άσκηση εφαρμογής της μεθόδου Newton Raphson Άσκηση εφαρμογής της μεθόδου Newton Raphson Η ακόλουθη αντίδραση πραγματοποιείται σε έναν αντιδραστήρα αέριας φάσης: H 2 S+O 2 H 2 +SO 2 Όταν το σύστημα φτάσει σε ισορροπία στους 600Κ και 10 atm, τα μοριακά

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι

Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι Ανάλυση ροής φορτίου Υπεύθυνος μαθήματος thpapad@ee.duth.gr Τομέας Ενεργειακών Συστημάτων Εργαστήριο ΣΗΕ Περιεχόμενα Μαθήματος Γενικά Διαμόρφωση μαθηματικού μοντέλου Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887 Ολοκλήρωση κατά Gauss Ενώ στους τύπους Newton-Cotes χρησιµοποιούσαµε τις τιµές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα σηµεία, στους τύπους ολοκλήρωσης κατά Gauss τα σηµεία xj και τα βάρη wj επιλέγονται, έτσι ώστε

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/24 Κ2: Γραµµικά συστήµατα 1. Ορισµοί 2. Σύστηµα σε µορφή πίνακα 3. Επίλυση Crammer 4. Επίλυση Gauss

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία)

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία) ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ KAI THΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ /5/007 η Οµάδα Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ (Θεωρία). α) Έστω fl() x η παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός με FORTRAN Συνοπτικός Οδηγός Α. Σπυρόπουλος Α. Μπουντουβής

Προγραμματισμός με FORTRAN Συνοπτικός Οδηγός Α. Σπυρόπουλος Α. Μπουντουβής ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός με FORTRAN Συνοπτικός Οδηγός Α Σπυρόπουλος Α Μπουντουβής Αθήνα, 2015 v13_061015 Στον οδηγό αυτό θα χρησιμοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα