ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ (ΜΜ618)

Transcript

1 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ (ΜΜ68) Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Τάντος, Εαρινό εξάμηνο ΕΡΓΑΣΙΑ #: Μετάδοση θερμότητας με ακτινοβολία Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: --08 Σημαντικές παρατηρήσεις: Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: --08 Δεκτές θα γίνουν μόνο οι εργασίες που είναι γραμμένες σε κειμενογράφο (π.χ. Microsoft Office Word, LibreΟffice writer, κτλ.) στον Η/Υ. Τα απεσταλμένα αρχεία να είναι σε μορφή.pdf ώστε να αποφευχθούν τυχόν προβλήματα συμβατότητας. Οι κώδικες που τυχόν αναπτύξετε να δίνονται σε παράρτημα στο αρχείο PDF που θα παραδώσετε. Στις απαντήσεις να αναγράφονται λεπτομερώς και επεξηγηματικά όλες οι υποθέσεις και απλοποιήσεις που υιοθετούνται. Διαφορετικά τα αριθμητικά αποτελέσματα δεν θα ληφθούν υπόψη!!! Άσκηση (5%) Α) Β) Σχήμα : Γεωμετρίες που θεωρούνται στην άσκηση. Προσδιορίστε τους ζητούμενους συντελεστές όψεως σε κάθε μια από τις περιπτώσεις του σχήματος : Α) Τον συντελεστή όψεως F-6 ως συνάρτηση επιμέρους συντελεστών όψεως που όλοι μπορούν να υπολογιστούν με βάση το σχήμα της διαφάνειας No. των παρουσιάσεων της ενότητας του μαθήματος. Β) Με εφαρμογή της μεθόδου διασταυρούμενων χορδών τον συντελεστή F-, δεδομένου ότι παρεμβάλλονται σε απόσταση c/ οι δύο πλάκες πλάτους b όπως φαίνεται στο σχήμα. Τονίζεται ότι οι πλάκες είναι απείρου μήκους ως προς την διάσταση z.

2 Απάντηση Α) Αρχικά θεωρούμε τις επιφάνειες και σαν μία επιφάνεια 7, ενώ τις επιφάνειες και σαν μία επιφάνεια 8. Οι επιφάνειες 7 και 8 καθώς και οι επιφάνειες 5 και 6 παρουσιάζονται στο σχήμα Α. Στη συνέχεια αποδεικνύεται ότι γενικά ισχύει η ακόλουθη σχέση Α F = Α F. (.) Η απόδειξη της σχέσης (.) βασίζεται στον ορισμό του συντελεστή όψεως ο οποίος διατυπώνεται ως εξής cosθ cos θ Α7F 76 = dα 7dΑ. (.) 8 r Α7 Α8 Από το σχήμα Α προκύπτει ότι r = x x y z, cos θ= z r και cos θ = y r και η σχέση (.) διαμορφώνεται ως εξής c a c d b yz Α7F 76 = dz dxdyd x. (.) 0 0 c 0 x x y z Όμοια για τις επιφάνειες 8 και 5 ισχύει c d a c b yz 8 85 z x y x c x x y z Α F = d d d d. (.) Με αλλαγή των μεταβλητών x, y, x και z στο ολοκλήρωμα της σχέσης (.) στις μεταβλητές x, y, x και z προκύπτει ότι Α7F 76 = Α8F 85. Σχήμα Α: Γεωμετρία που θεωρείται για την απόδειξη της σχέσης (.). Για να εκφράσουμε τον συντελεστή όψεως F-6 ως συνάρτηση επιμέρους συντελεστών όψεως που όλοι μπορούν να υπολογιστούν με βάση το σχήμα της διαφάνειας No. των παρουσιάσεων της ενότητας του μαθήματος δουλεύουμε αρχικά με τις σύνθετες επιφάνειες 7, 8 (σχήμα Α) σε συνδυασμό με τις επιφάνειες 5 και 6 εφαρμόζοντας τον κανόνα τις υπέρθεσης ως εξής Προσοχή στην εφαρμογή του κανόνα της υπέρθεσης, δείτε τις διαφάνειες No. και 5 (Με βάση την αρίθμηση των σελίδων του pdf αρχείου) των παρουσιάσεων της ενότητας του μαθήματος.

3 Α Α F = F F F F Α Α Α Α 7 8 5,67,8 5,67 5,68 75,6 85, Α Α F = F F F F Α Α Α Α 7 8 5,6 7, Με βάση τη σχέση (.) το γινόμενο γινόμενο εξής ΑF ΑF 8 85 (.5) στη σχέση (.5) αντικαθίσταται με το και στη συνέχεια επιλύουμε ως προς το συντελεστή όψεως F Α Α F 5,6 7,8 Α F Α F Α F 7 6 ως. (.6) Επίσης εφαρμόζοντας τον κανόνα της αμοιβαιότητας ανάμεσα στις επιφάνειες και 6 καθώς και τον κανόνα της υπέρθεσης ανάμεσα στις επιφάνειες 6 και στην σύνθετη επιφάνεια (,) προκύπτει ότι Α6 Α6 Α6 F 6 F6 F6, F6. (.7) Α Α Α Όμως στην σχέση (.7) οι συντελεστές όψεως με τον συντελεστή όψεως F F F6, και F6 είναι της ίδιας μορφής της σχέσης (.6). Άρα τελικά προκύπτει ότι Α F ΑF 6 6, 6 6 Α Α 6 F 6,,, 5,6 6 6, 5 5, Α Α Α Α F Α F Α F (.8) Α Α6, 5, Α Α F Α F Α F Α6 Παρατηρούμε ότι όλοι συντελεστές όψεως που εμφανίζονται στην σχέση (.8) μπορούν να υπολογιστούν με βάση το σχήμα της διαφάνειας No. των παρουσιάσεων της ενότητας του μαθήματος αρκεί να έχουμε τις διαστάσεις των επιμέρους επιφανειών. Β) Στο σχήμα Β απεικονίζονται οι ευθείες χορδές (διασταυρούμενες και μη διασταυρούμενες χορδές) που ενώνουν τα ακραία σημεία των επιφανειών και. Με εφαρμογή του πυθαγορείου θεωρήματος το μήκος των διασταυρούμενων χορδών προκύπτει ίσο με a c ίσο με b c διασταυρούμενων χορδών του Hottel προκύπτει ότι, ενώ το μήκος των μη διαιρούμενων χορδών προκύπτει. Με εφαρμογή της σχέσης της μεθόδου των Δείτε τις διαφάνειες No. 9 και 0 (Με βάση την αρίθμηση των σελίδων του pdf αρχείου) των παρουσιάσεων της ενότητας του μαθήματος.

4 F a c b c c b c a a a a. (.9) Παρατηρούμε ότι καθώς προκύπτει ότι. b a F 0 Σχήμα Β: Απεικόνιση των διασταυρούμενων και των μη διασταυρούμενων χορδών του ερωτήματος Β της άσκησης. Άσκηση (0%) Σχήμα : Γεωμετρία παράλληλων πλακών που θεωρείται στην άσκηση. Τμήμα ενός διαστημικού εξαρτήματος αποτελείται από δύο παράλληλες πλάκες αμελητέου πάχους και ίδιων διαστάσεων όπως φαίνεται στο σχήμα. Οι πλάκες και διατηρούνται στους 800 Κ και στους 00 Κ αντίστοιχα. Η απόσταση των δύο πλακών είναι L= m. Το περιβάλλον γύρω από τις πλάκες μοντελοποιείται ως μέλαν σώμα στους 0 Κ. A) Θεωρώντας τις επιφάνειες των πλακών σαν μέλανες υπολογίστε τα εξής:. Το ρυθμό με τον οποίο πρέπει να θερμαίνεται η επιφάνεια ώστε να διατηρείται σε σταθερή θερμοκρασία.. Τον καθαρό ρυθμό μεταφοράς από την επιφάνεια στην επιφάνεια.. Το ρυθμό απώλειας θερμότητας από την επιφάνεια στο περιβάλλον.. Το ρυθμό απώλειας θερμότητας και από τις δύο πλάκες στο περιβάλλον.

5 B) Θεωρώντας τις επιφάνειες των πλακών ως αδιαφανείς, γκρίζες και διαχυτικές με ικανότητες εκπομπής ε=0.8 και ε=0.6 υπολογίστε τον καθαρό ρυθμό μεταφοράς θερμότητας από την επιφάνεια στην επιφάνεια. Απάντηση Αρχικά υπολογίζονται οι συντελεστές όψεως των επιφανειών που είναι απαραίτητοι για την επίλυση της άσκησης. Ο συντελεστής προκύπτει από την εικόνα που F δίνεται στην διαφάνεια No. 8 των παρουσιάσεων της ενότητας του μαθήματος ίσος με 0.5. Με βάση τον κανόνα της συμμετρίας προκύπτει ότι F = F 0.5. Επίσης για τις επίπεδες επιφάνειες ισχύει ότι F = F 0. Τέλος, εφαρμόζοντας τον κανόνα της άθροισης στις επιφάνειες και προκύπτουν οι συντελεστές όψεως ανάμεσα στις επιφάνειες και στο περιβάλλον ως εξής F = - F 0.9, F = - F 0.9. (.) Α) Οι επιφάνειες θεωρούνται ότι συμπεριφέρονται σαν μέλανα σώματα, δηλαδή ε=ε= και έτσι προκύπτει ότι. Ο ρυθμός με τον οποίο πρέπει να θερμαίνεται η επιφάνεια ώστε να διατηρείται σε σταθερή θερμοκρασία ισούται με τον καθαρό ρυθμό μεταφοράς θερμότητας από την επιφάνεια η οποία ισούται με καθαρό ρυθμό μεταφοράς θερμότητας από την επιφάνεια στην επιφάνεια και τον ρυθμό μεταφοράς θερμότητας από την επιφάνεια στο περιβάλλον ( T περ = 0 K ) Q = Q +Q περ = σα F Τ - Τ + F περτ + Τ = W, (.) όπου σ= W/(m K ) η σταθερά Stefan-Boltzmann. Σημειώνεται ότι ο δεύτερος όρος έχει απλοποιηθεί αφού F Τ - Τ = F Τ. Επίσης ο περ περ περ τελευταίος όρος αφορά το ρυθμό μεταφοράς θερμότητας από την πίσω πλευρά της πλάκας προς το περιβάλλον.. Ο καθαρός ρυθμός μεταφοράς θερμότητας από την επιφάνεια στην επιφάνεια υπολογίζεται ως Q =σα F Τ - Τ =888 W. (.). Ο ρυθμός απώλειας θερμότητας από την επιφάνεια στο περιβάλλον υπολογίζεται ως Q περ =σα F περ Τ - Τ περ +Τ =70 W. (.) Όπως και στο πρώτο ερώτημα ο δεύτερος όρος αφορά το ρυθμό μεταφοράς θερμότητας από την πίσω πλευρά της πλάκας προς το περιβάλλον. Με βάση την αρίθμηση των σελίδων του pdf αρχείου. 5

6 . Ο ρυθμός απώλειας θερμότητας και από τις δύο πλάκες στο περιβάλλον υπολογίζεται ως Q περ = Q περ +Q περ = σα F περ Τ - Τ περ +Τ +σα F περ Τ - Τ περ +Τ Q = 96 W. (.5) περ Β) Οι επιφάνειες θεωρούνται ως αδιαφανείς, γκρίζες και διαχυτικές με ικανότητες εκπομπής ε=0.8 και ε=0.6. Για το περιβάλλον ισχύει ότι J=Ε = στ 0. Για τον υπολογισμό του καθαρού ρυθμού μεταφοράς θερμότητας από την επιφάνεια στην επιφάνεια εφαρμόζεται η άμεση μέθοδος, θεωρώντας περίβλημα επιφανειών. Η θερμή πλάκα είναι η επιφάνεια, η ψυχρή πλάκα είναι η επιφάνεια και το περιβάλλον ανάμεσα στις πλάκες η επιφάνεια. Στις επιφάνειες και είναι γνωστές οι θερμοκρασίες άρα οι εξισώσεις για την εφαρμογή της άμεσης μεθόδου για κάθε επιφάνεια διατυπώνονται ως εξής -ε στ = J + F J J F J ε Επιφάνεια : περ -ε στ = J + F J J F J ε Επιφάνεια : περ b (.6). (.7) Επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων (.6) και (.7) προκύπτει ότι J=906 W/m και J=760 W/m. Τέλος, ο καθαρός ρυθμός μεταφοράς θερμότητας από την επιφάνεια στην επιφάνεια υπολογίζεται ως εξής Q =Α F J - J = 5860 W. (.8) Σημειώνεται ότι το πρόβλημα επιλύεται στο EES (Engineering Equation Solver) και ο αντίστοιχος κώδικας δίνεται στο παράρτημα. Σημαντική παρατήρηση Πολλοί φοιτητές επέλεξαν να λύσουν το ερώτημα Β υπολογίζοντας τον καθαρό ρυθμό μεταφοράς θερμότητας από την επιφάνεια στην επιφάνεια με την μέθοδο του δικτύου χρησιμοποιώντας λανθασμένα την ακόλουθη σχέση σ Τ Τ Q = -ε - ε Α ε Α F Α ε. (.9) Η σχέση (.9) αποδεικνύεται με χρήση της μεθόδου του δικτύου εύκολα (μπορεί σαφώς να αποδειχθεί και με την άμεση μέθοδο υποθέτοντας περίβλημα επιφανειών-έχει γίνει στο μάθημα) και ισχύει μόνο στην περίπτωση περιβλήματος επιφανειών!! Στην άσκηση όμως έχουμε περίβλημα επιφανειών με την τρίτη επιφάνεια να είναι το περιβάλλον. Έτσι αν κάποιος ήθελε να λύσει την άσκηση με τη μέθοδο του δικτύου θα έπρεπε να χρησιμοποιήσει το δίκτυο αντιστάσεων για τρείς επιφάνειες που δίνεται στην διαφάνεια No. 57 των παρουσιάσεων της ενότητας του 6

7 μαθήματος. Στην ίδια διαφάνεια δίνεται και το σύστημα των εξισώσεων που θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί που για την άσκηση προς επίλυση γίνεται ως εξής στ J J J J J -ε Α ε Α F Α F + + = J J -ε Α F Α ε Α F J J στ J + = (.0) (.) J=σΤ (.) Το σύστημα των εξισώσεων λύνεται με χρήση του υπολογιστικού πακέτου Wolfram Mathematica και η λύση φαίνεται στην εικόνα α. Όπως φαίνεται τα αποτελέσματα ταυτίζονται με τα αντίστοιχα της άμεσης μεθόδου. Σημειώνεται ότι η σχέση (.9) που χρησιμοποιήθηκε από τους φοιτητές αποτελεί λύση της άσκησης στην περίπτωση όπου το πλάτος και το ύψος είναι πολύ μεγαλύτερα από την απόσταση των δύο πλακών με αποτέλεσμα να θεωρούμε ότι το κλάσμα της ακτινοβολίας που διαφεύγει στο περιβάλλον είναι 0 ( F = F 0 ) και ισχύει ότι F = F. Άσκηση (5%) Εικόνα α: Λύση του συστήματος των εξισώσεων (.0)-(.). Σχήμα : Γεωμετρία κόλουρου κώνου που θεωρείται στην άσκηση. Θεωρώντας την γεωμετρία κόλουρου κώνου που δίνεται στο σχήμα και κάνοντας χρήση της άμεσης μεθόδου δεδομένου ότι οι επιφάνειες είναι αδιαφανείς, γκρίζες και διαχυτικές να υπολογίσετε τα εξής: Με βάση την αρίθμηση των σελίδων του pdf αρχείου. 7

8 A. Τον καθαρό ρυθμό μεταφοράς θερμότητας από την επιφάνεια στην επιφάνεια θεωρώντας τις ακόλουθες συνθήκες: Επιφάνεια Επιφάνεια Επιφάνεια Θερμοκρασία: 00 Κ Τέλεια μονωμένη Θερμοκρασία: 600 Κ Ικανότητα Απορροφητικότητα: 0.6 Ανακλαστικότητα: 0.9 εκπομπής: 0.8 B. Την θερμοκρασία της επιφάνειας θεωρώντας τις ακόλουθες συνθήκες: Επιφάνεια Επιφάνεια Επιφάνεια Καθαρός ρυθμός μεταφοράς θερμότητας: 0 5 W/m Ικανότητα εκπομπής: 0.6 Τέλεια μονωμένη Ικανότητα εκπομπής: 0.8 Μέλαν σώμα Θερμοκρασία: 600 Κ Απάντηση Αρχικά υπολογίζονται οι συντελεστές όψεως των επιφανειών, και. Ο συντελεστής προκύπτει από την εικόνα που δίνεται στην διαφάνεια No. 5 των F παρουσιάσεων της ενότητας του μαθήματος 5 ίσος περίπου με 0.. Επίσης για τις επίπεδες επιφάνειες ισχύει ότι F = F 0. Επίσης εφαρμόζοντας τον κανόνα της άθροισης στην επιφάνεια προκύπτει ο συντελεστής όψεως ανάμεσα στις επιφάνειες και ως F =- F Εφαρμόζοντας το κανόνα της αμοιβαιότητας μπορούν να προκύψουν οι συντελεστές όψεως F και F ΑF Α F Α F F 0.8 Α Α F Α F F ΑF Α ως εξής (.) 0.9, (.) όπου Α = = 8.7 m και Α = =.57 m τα εμβαδά των επιφανειών και αντίστοιχα. Το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειας του κόλουρου κώνου Α μπορεί να υπολογιστεί εύκολα χρησιμοποιώντας μία από τις διαθέσιμές σελίδες υπολογισμού εμβαδόν γεωμετρικών σχημάτων 6. Για την συγκεκριμένη περίπτωση προκύπτει Α 6.77 m. Εφαρμόζοντας τον κανόνα της άθροισης στην επιφάνεια 5 Με βάση την αρίθμηση των σελίδων του pdf αρχείου

9 προκύπτει ο συντελεστής όψεως ανάμεσα στις επιφάνειες και ως F =- F 0.85, και στη συνέχεια από τον κανόνα της αμοιβαιότητας προκύπτει ότι F F Α Α. Τέλος, με κανόνα της άθροισης στην 0.7 επιφάνεια προκύπτει F =- F - F Α) Ο καθαρός ρυθμός μεταφοράς θερμότητας από την επιφάνεια στην επιφάνεια θεωρώντας υπολογίζεται με χρήση της άμεσης μεθόδου. Το σύστημα των εξισώσεων διατυπώνεται ως εξής -ε ε Επιφάνεια : στ = J + F J J F J J 0 Επιφάνεια : (.5) = F J J F J J (.6) Επιφάνεια : στ = J + F J J F J J -ε ε. (.7) Σημειώνεται ότι αφού οι επιφάνειες είναι αδιαφανείς, γκρίζες και διαχυτικές ισχύει ότι ε α 0.6 και ε α ρ 0.. Επίσης η εξίσωση (.) βασίζεται στο γεγονός ότι λόγω της μόνωσης ισχύει ότι Q = 0. Το σύστημα με αγνώστους τα J, J και J επιλύεται στο EES και ο αντίστοιχος κώδικας δίνεται στο παράρτημα. Η επίλυση του συστήματος δίνει J=56 W/m, J=8 W/m και J=078 W/m. Τέλος, ο καθαρός ρυθμός μεταφοράς θερμότητας από την επιφάνεια στην επιφάνεια προκύπτει ως εξής Q =Α F J - J = 509 W. (.8) Σημειώνεται ότι ένας έλεγχος για την ορθότητα των υπολογισμών είναι να υπολογιστεί ο καθαρός ρυθμός μεταφοράς θερμότητας σε κάθε επιφάνεια και στη συνέχεια να ελεγχθεί αν το άθροισμα ισούται με μηδέν. Ο έλεγχος πραγματοποιείται στο τέλος του κώδικα που δίνεται στο παράρτημα όπου Q +Q +Q = 0 (.9) Q Α F J J F J J Q Α F J J F J J Q Α F J J F J J (.0) Επίσης λόγω της μονωμένης επιφάνειας ισχύει ότι Q 0 και -Q Q 85W. B) Όπως και στο Α ερώτημα η θερμοκρασία της επιφάνειας θα υπολογιστεί με χρήση της άμεσης μεθόδου. Σε αυτή την περίπτωση το σύστημα προς επίλυση έχει ως εξής 9

10 5 Επιφάνεια : 0 Επιφάνεια : Επιφάνεια : = F J J F J J (.) 0 = F J J F J J (.) στ = J. (.) Η επίλυση του συστήματος δίνει J=87 W/m, J=660 W/m και J=78 W/m. Τέλος, η θερμοκρασία της επιφάνειας προκύπτει ως εξής -ε J + F J J F J J ε Τ= 06. (.) σ Σημειώνεται ότι και σε αυτή την περίπτωση έχει ελεγχθεί η ορθότητα της σχέσης Q +Q +Q = 0. 0

11 Παράρτημα: Κώδικες στην υπολογιστική πλατφόρμα EES Στη συνέχεια δίνονται οι κώδικες για την επίλυση των ασκήσεων και όπου έχει γίνει εφαρμογή της άμεσης μεθόδου. Σημειώνεται ότι οι κώδικες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για παραμετρική ανάλυση των αντίστοιχων προβλημάτων και προτείνεται οι φοιτητές να πειραματιστούν αλλάζοντας τις τιμές των παραμέτρων στην ενότητα "GIVEN PARAMETERS". Άσκηση "GIVEN PARAMETERS" A_=* [m^] "Area of surface " epsilon_=0.8 "Emissity of surface " epsilon_=0.6 "Emissity of surface " T_=800 [K] "Temperature of surface " T_=00 [K] "Temperature of surface " T_=0 [K] "Temperature of surroundings" F_=0.5 "View factor of the parallel plates --> (from figure)" "ANALYSIS" "Stefan-Boltzmann constant" sigma=sigma# "view factors" F_=F_ F_=0 F_=0 F_=-F_ F_=-F_ "Radiation energies emitted by black surfaces per unit time" E_b=sigma*T_^ E_b=sigma*T_^ E_b=sigma*T_^ J_=E_b "Surface A" A_=A_ "The system of equations" R_=(-epsilon_)/epsilon_ R_=(-epsilon_)/epsilon_ (E_b-J_)/R_=(F_*(J_-J_))+(F_*(J_-J_)) (E_b-J_)/R_=(F_*(J_-J_))+(F_*(J_-J_)) "Calculation of the net rate of radiation heat transfer between surfaces" Q_=A_*F_*(J_-J_)

12 Άσκηση Ερώτημα Α "GIVEN PARAMETERS" A_=pi*(^) "Area of surface " A_= "Area of surface " A_=pi*(^) "Area of surface " epsilon_=0.6 "Emissity of surface " epsilon_=0. "Emissity of surface " T_=00 [K] "Temperature of surface " T_=600 [K] "Temperature of surface " F_=0. "View factor of the parallel plates --> (obtained from figure)" "ANALYSIS" "Stefan-Boltzmann constant" sigma=sigma# "view factors" F_=0 F_=0 F_=-F_ F_=(A_/A_)*F_ F_=(A_/A_)*F_ F_=-F_ F_=(A_/A_)*F_ F_=-F_-F_ "The system of equations" R_=(-epsilon_)/epsilon_ R_=(-epsilon_)/epsilon_ (sigma*(t_^ ))=J_+(R_*( (F_*(J_-J_))+(F_*(J_-J_)))) 0=(F_*(J_-J_))+(F_*(J_-J_)) (sigma*(t_^ ))=J_+(R_*( (F_*(J_-J_))+(F_*(J_-J_)))) "Calculation of the net rate of radiation heat transfer from surface to surface " Q_=A_*F_*(J_-J_) "Check the solution Q+Q+Q=0" Q_=A_*F_*(J_-J_)+A_*F_*(J_-J_) Q_=A_*F_*(J_-J_)+A_*F_*(J_-J_) Q_=A_*F_*(J_-J_)+A_*F_*(J_-J_) Q_TOT= Q_+Q_+Q_

13 Ερώτημα Β "GIVEN PARAMETERS" A_=pi*(^) "Area of surface " A_= "Area of surface " A_=pi*(^) "Area of surface " epsilon_=0.6 "Emissity of surface " T_=600 [K] "Temperature of surface " F_=0. "View factor of the parallel plates --> (obtained from figure)" "ANALYSIS" "Stefan-Boltzmann constant" sigma=sigma# "view factors" F_=0 F_=0 F_=-F_ F_=(A_/A_)*F_ F_=(A_/A_)*F_ F_=-F_ F_=(A_/A_)*F_ F_=-F_-F_ "The system of equations" R_=(-epsilon_)/epsilon_ (*(0^5 ))=(( (F_*(J_-J_))+(F_*(J_-J_)))) 0=(F_*(J_-J_))+(F_*(J_-J_)) (sigma*(t_^ ))=J_ "Calculation of the temperature of the surface " T=((J_+R_*((( (F_*(J_-J_))+(F_*(J_-J_))))))/sigma)^(/) "Check the solution Q+Q+Q=0" Q_=A_*F_*(J_-J_)+A_*F_*(J_-J_) Q_=A_*F_*(J_-J_)+A_*F_*(J_-J_) Q_=A_*F_*(J_-J_)+A_*F_*(J_-J_) Q_TOT= Q_+Q_+Q_