ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 1 ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ / Γραμμική Άλγεβρα

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ /00- Γραμμική Άλγεβρα Διανυσματικά γινόμενα Να αποδείξετε ότι για τα διανύσματα, b,cισχύουν : (i) 0b, = c και b= c b= c (ii) +b+c= 0 b=b c= c (iii) ( b) ( c ) = (,b,c) (iv) ( b,b c,c ) = (,b,c) (i) b= c b c = 0 b c= λ λ, Άρα έχουμε: b=c b-c = 0 λ= 0 λ = 0 λ = 0, οπότε θα έχουμε: b c= 0 b= c +b+c= 0 b+ c= b+ c = b+ c= 0 b= c Ομοίως αποδεικνύομε και ότι: b c= c ( b) ( c) = ( b) c ( b) c=,b,c, αφού ( b) = 0 (ii) (iii) { } { } = ( b,,c) b ( c ) = (,b,c)( b,c, ) =(,b,c) { } {} (iv) ( b,b c,c ) = b b c c = b b c c Αν τα διανύσματα, b,c είναι μη συνεπίπεδα, να αποδείξετε ότι και τα διανύσματα b,b c,c είναι μη συνεπίπεδα Αν τα διανύσματα, b,c είναι μη συνεπίπεδα, τότε (,b,c) 0 Λόγω της (iv)θα έχουμε και ότι ( b,b c,c ) = (,b,c) =0, οπότε και τα b,b c,c θα είναι μη συνεπίπεδα Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε διανύσματα, b,c,d ισχύει η ισότητα: ( b) ( c d) = ( c )( bd ) ( d )( bc) ( b) ( c d) = ( b) c d= ( c) b b c d= ( c)( b d) ( d)( b c) { } { } 4 Αν b, είναι δύο μη συγγραμμικά μοναδιαία διανύσματα, να προσδιορίσετε το διάνυσμα u που ικανοποιεί την εξίσωση ( ub ) + 4= u Θεωρούμε το εσωτερικό γινόμενο των δύο μελών της εξίσωσης με το, οπότε 4 {( ) + 4 } = ( )( ) + 4 = ( ) = ub u u b u u ( b )

2 4 u = ( b ), αφού τα, b είναι μοναδιαία Άρα είναι u= + ( ) b b 5 Έχουμε ότι: ΑΒΓΔ,,, συνεπίπεδα ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ συνεπίπεδα b -,c -,d - συνεπίπεδα b -,c -,d - = 0 0 b,c,d b,c,,b,d,c,d = [αφού, όταν σε ένα μικτό γινόμενο δύο τουλάχιστον διανύσματα ταυτίζονται ή είναι συγγραμμικά, τότε το μικτό γινόμενο ισούται με μηδέν] ( b,c,d) ( b,c,) (,b,d) (,c,d) = 0,b,c b,c,d + d,,b c,d, = 0 6 Τα σημεία Α, Β και Γ έχουν διανύσματα θέσης ως προς το καρτεσιανό σύστημα αναφοράς Ο xyz,, b, και c, αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι: Ε( ΑΒΓ ) = ( b) + ( b c) + ( c ) Αν ΑΒΔΓ είναι το παραλληλόγραμμο που σχηματίζεται με δύο διαδοχικές πλευρές ΑΒ και ΑΓ, τότε έχουμε : Ε( ΑΒΓ ) = Ε( ΑΒΓΔ ) = AB ΑΓ = ( b-) ( c-) = b c c b = b c+ c+ b 7 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x+ x = b, όπου, b είναι γνωστά διανύσματα, έχει μοναδική λύση ως προς x, η οποία και να βρεθεί (α) Μοναδικότητα Αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο λύσεις x, x της εξίσωσης με x x, τότε x + x = x + x = b x x + x x = 0 { } + = 0 = 0 = = x x x x x x x x x x 0 x x, που είναι άτοπο Άρα, αν υπάρχει λύση, αυτή θα είναι μοναδική (β) Ύπαρξη Κατ αρχή από τη δοθείσα εξίσωση λαμβάνουμε: x=b x+ x = b x = b x Θεωρούμε το εξωτερικό γινόμενο των δύο μελών της εξίσωσης από αριστερά με το, οπότε, λόγω των () και (), λαμβάνουμε: { } + x= b+ b + b x= b+ b + b + { } x+ x = b x + x = b b x+ x x = b

3 8 Αν το διάνυσμα w ικανοποιεί την εξίσωση ( w ) + w = b, όπου, b είναι γνωστά διανύσματα, τότε: (i) να αποδείξετε ότι w = b και w = ( b ), + (ii) να προσδιορίσετε τη λύση της εξίσωσης (i) Θεωρώντας το εσωτερικό γινόμενο των δύο μελών της δεδομένης εξίσωσης με το, λαμβάνουμε ( w ) + w = b (,,w ) + w = b w = b Θεωρώντας το εξωτερικό γινόμενο των δύο μελών της δεδομένης εξίσωσης με το, λαμβάνουμε w + w = b w w + w= b + ( w ) = b w = ( b ) + (ii) Σύμφωνα με το (i) η δεδομένη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την w=b- ( w ) w= b { ( b ) } + b w = b+ = { ( b) +b} Έστω,b,r Δ,,b 0 και t Να προσδιορίσετε την τιμή του t για την οποία έχει λύση ως προς r η εξίσωση r = +tb και στη συνέχεια να προσδιορίσετε τη λύση της εξίσωσης Θεωρώντας το εσωτερικό γινόμενο των δύο μελών της εξίσωσης με το, λαμβάνουμε ( r) = ( + tb) + t( b) = 0 t = b, αφού b 0, η οποία είναι η αναγκαία συνθήκη για να έχει η εξίσωση λύση ως προς r Αν b = 0 τότε προκύπτει = 0, δηλαδή = 0, που αντίκειται στην υπόθεση Για t = b, η εξίσωση γίνεται: r =c, όπου c= b b,

4 η οποία, σύμφωνα με το παράδειγμα, Κεφάλαιο 4, σελίδα 97 του βιβλίου, έχει τις λύσεις r = λ+ ( c ) = λ+ ( b), λ b 0 Αν, b,c και d είναι διανύσματα του Δ, να αποδείξετε ότι: ( b) ( c d) = (,c,d) b ( b,c,d) = (,b,d) c (,b,c) d Σύμφωνα με τον κανόνα υπολογισμού του δις εξωτερικού γινομένου, έχουμε b c d = c d b b c d =,c,d b b,c,d { } { } Επίσης έχουμε b c d = b d c b c d =,b,d c,b,c d { } { } Εστω {,, },{ δύο βάσεις του Δ, όπου Δ είναι ο διανυσματικός χώρος των ελεύθερων διανυσμάτων του χώρου Οι βάσεις αυτές λέγονται αμοιβαίες, αν, αν i= j i bj = δij = i, j=,, 0, αν i j Να αποδείξετε ότι οι βάσεις αυτές είναι αμοιβαίες, αν και μόνον αν, ισχύει: b= ( ), b = ( ), b = ( ),όπου = (,, ) Αν b= ( ), b = ( ), b = ( ),όπου = (,, ), τότε (,, ) (,, ) b = {( ) } = =, b = {( ) } = = 0, = ( ) { } 0 =,, b = και ομοίως αποδεικνύεται οι υπόλοιπες σχέσεις Αντίστροφα, έστω ότι {,, },{ είναι δύο αμοιβαίες βάσεις Τότε θα είναι b = 0 και b = 0 b b = λ( ), λ Άρα έχουμε = b = { λ( ) } = λ(,, ) = λ λ =, οπότε θα είναι b = ( ) Ομοίως, αποδεικνύονται και οι υπόλοιπες σχέσεις b = ( ) και b = ( )

5 Αν {,, },{ είναι δύο αμοιβαίες βάσεις, να αποδείξετε ότι: ' (i) = ( b, b, b) =,όπου = (,, ) (ii) Το τυχόν διάνυσμα r γράφεται : r= ( r b ) + ( r b ) + ( r b ) (i) Έχουμε = ( b ),b,b = = [ δες άσκηση ( iv)],,,, = = (ii) Έστω ότι r = λ + λ + λ, λ, λ, λ Τότε ισχύουν r b = λ b+ λ b + λ b = λ και ομοίως αποδεικνύεται ότι rb = λ και rb = λ