n, C n, διανύσματα στο χώρο Εισαγωγή

Transcript

1 Θα περιοριστούμε σε διανύσματα των οποίων τα στοιχεία προέρχονται από τον χώρο και τον C, χωρίς καμία δυσκολία όμως μπορούν να αναχθούν σε οποιοδήποτε χώρο K Το πρώτο διάνυσμα: Τέρματα που έχουν πέτυχει κάποιοι ποδοσφαιριστές 5, 4, 3, 2 αν θεωρήσουμε ότι αυτή η λίστα έχει όνομα t( έρματα) τότε τα στοιχεία της θα είναι τα t 1, t 2, t 3, t 4. Αντιστοίχιση? Μια τέτοια λίστα ονομάζεται διάνυσμα

2 Τα διανύσματα στην Φυσική: Μονόμετρα μεγέθη: χρόνος, θερμοκρασία, μάζα ( βάρος;) από πραγματικούς αριθμούς και ονομάζονται βαθμωτά (scalar) περιγράφονται Διανύσματα: ταχύτητα, δύναμη για τα οποία απαιτείται μέτρο και διεύθυνση, φορά ( αρχή ένα συγκεκριμένο σημείο και απεικόνιση τους με βέλη)

3 Τα διανύσματα στην Φυσική: Το επίπεδο αναφέρεται ως 2 ( όλα τα διανύσματα είναι διατεταγμένες δυάδες) και ο χώρος 3 ( όλα τα διανύσματα είναι διατεταγμένες τριάδες). Για αρχή των αξόνων το O(0,0,0) τότε κάθε διάνυσμα που ξεκινά από την αρχή των αξόνων περιγράφεται με τις συντεταγμένες του τελικού του σημείου.

4 Τα διανύσματα στην Φυσική: Δύο πράξεις εφαρμόζονται στην Φυσική α) πρόσθεση, και β) βαθμωτός πολλαπλασιασμός (scalar product) α) Πρόσθεση: Εφαρμόζεται ο κανόνας του παραλληλογράμμου για τα διανύσματα α, b

5 Τα διανύσματα στην Φυσική: Δύο πράξεις εφαρμόζονται στην Φυσική α) πρόσθεση, και β) βαθμωτός πολλαπλασιασμός (scalar product) k a β) Πολλαπλασιασμός: Το γινόμενο λαμβάνεται πολ/ ντας το μέτρο του διαν. με το k και διατηρώντας την ίδια κατεύθυνση για k>0 ή την αντίθετη για k<0. Για συνιστώσες (a,a,a ) το νέο διάνυσμα θα είναι (ka,ka,ka )

6 Διανύσματα στον Το σύνολο όλων των - αδων πραγματικών αριθμών,, ονομάζεται - χώρος. Μια συγκεκριμένη - άδα στον u= u 1,u 2,...,u ονομάζεται σημείο ή διάνυσμα. Οι αριθμοί στην παρένθεση ονομάζονται συνιστώσες. Δύο διανύσματα είναι ίσα όταν έχουν τόν ίδιο αριθμό συνιστωσών και οι αντίστοιχες συνιστώσες είναι ίσες π. χ (1,2,3) και (3,2,1), ομάδα1-ομάδα2. Το διάνυσμα Ο(0,0,...,0) του οποίου όλες οι καταχωρίσεις είναι 0 καλείτε μηδενικό διάνυσμα.

7 Διανύσματα στον Παραδείγματα 1) (2,3), (3,4,5), (6,7,8,9), (9,5,6,4,2) (0,0,0,0) σε ποιους χώρους ανήκουν? 2) Για ποια x,y,z τα διανύσματα (x+y, y, z-3)=(4,3,2) είναι ίσα? 3) Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιαστεί το (4,3,2) με το (1,3/4,1/2)? για να είναι ίσο

8 Διανύσματα στον Τα διανύσματα μπορούν να γραφούν και σαν στήλες:

9 Πρόσθεση διανυσμάτων Έστω τα το άθροισμα τους λαμβάνεται αν προσθέσω τις αντίστοιχες συνιστώσες τους: u= u 1,u 2,...,u, v= v 1, v 2,...,v u v= u 1 v 1,u 2 v 2,...,u v Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Το βαθμωτό γινόμενο (scalar product) ή γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού k με διάνυσμα λαμβάνεται πολ/ ντας με τον αριθμό τις συνιστώσες του διανύσματος: k u= k u 1,k u 2,...,k u

10 Διανύσματα στον Παρατηρούμε ότι τα αποτελέσματα των πράξεων είναι και αυτά διανύσματα του ς αρνητικό ενός διανύσματος και αντίστοιχα η αφαίρεση διανυσμάτων ορίζονται στον ως u= 1 u, u v= u 1 v 1,u 2 v 2,...,u v u, v, o, p, Για τα διανύσματα του και οι αριθμοι k, k, k, k του ο πολ/ μος αριθμού με διάνυσμα και η, στη συνέχει πρόσθεση, των διανυσμάτων, δίνει τον γραμμικό συνδυασμό των V =k 1 u k 2 v k 3 o k 4 p u, v, o, p,

11 Διανύσματα στον Παραδείγματα 1) u= 1,2,3, v= 4,5,6.Ορίστε τα u v, v u, u v, v u, 2) Ορίστε τις ίδιες πράξεις για τα 0 u,2 u 3 v 1 3 2, 4 6 5

12 Για οποιαδήποτε διανύσματα στον ισχύει u v w= u v w u 0= u u u =0 u v= v u k u v =k u k v k k ' u=k u k ' u kk ' u=k k ' u 1 u= u

13 Για δύο οποιαδήποτε διανύσματα του ισχύει u= u 1, u 2,...,u, v= v 1, v 2,...,v Το εσωτερικό τους γινόμενο είναι το u v=u 1 v 1 u 2 v 2... u v Αριθμός ή διάνυσμα; Τα διανύσματα αυτά λέγονται ορθογώνια ( ή κάθετα) όταν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν.

14 Για οποιαδήποτε διανύσματα στον ισχύει u v w= u w v w k u v=k u v u v= v u u u 0, u u=0 αν και μόνο αν u=o

15 Διανύσματα στον Παραδείγματα 1) Έστω τα (1,-2,3), (4,5,-1), (2,7,4). Να εξεταστούν ως προς την ορθογωνικότητά τους; 2) Ομοίως τα 1, 4 2 5, ) Ποια η τιμή του k ώστε τα (1,2,3,4) και (6,k,-8,2) είναι ορθόγωνια?

16 Η νόρμα (orm) ή το μήκος ή το μέτρο ενός διανύσματος: Η νόρμα ενός διανύσματος στον χώρο συμβολίζεται και ορίζεται ως η μη- αρνητική τετραγωνική ρίζα του u= u 1, u 2,...,u u u Για το διάνυσμα είναι: u = u u= u 1 2 u u 2 u Δλδ η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συνιστωσών του u Ένα διάνυσμα ονομάζεται μοναδιαίο εάν u =1

17 Για οποιοδήποτε μη- μηδενικό διάνυσμα του το διάνυσμα u= 1 u u= u u Είναι το μοναδιαίο διάνυσμα που έχει την ίδια διεύθυνση και φορά με το u. Η διαδικασία εύρεσης του u ονομάζεται κανονικοποίηση του u

18 Διανύσματα στον Παραδείγματα 1) Να βρεθεί το μέτρο των u= 1,2,3, v= 4,5,6.Ορίστε τα u v, v u, u v, v u, 0 u,2 u 3 v 2) Ομοίως των , 4 6

19 Διανύσματα στον Παραδείγματα 1) Ποιο απο το παρακάτω είναι το μοναδιαίο διάνυσμα; u= 1, 3,4,2, v= 1 2, 1 6, 5 6, 1 6 2) Να γίνει η κανονικοποίηση των παραπάνω

20 Διανύσματα στον Θεώρημα Schwarz: για οποιαδήποτε διανύσματα στον χώρο, ισχύει Απόδειξη: Για κάθε πραγματικό αριθμό k ισχύει 2 Δλδ για καθε t at +bt + c 0. Τότε το πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει 2 πραγμ. ρίζες, δλδ 0 Δ= β 2-4 αγ ή 4αγ β 2. Με αντικατάσταση προκύπτει η ανισότητα. u v u v u, v 0 t u v t u v = t 2 u u 2t u v v v = = u 2 t 2 2 u v v 2. Αν u 2 =a,2 u v =b,c= v 2

21 Διανύσματα στον Θεώρημα Mikowski: για οποιαδήποτε διανύσματα στον χώρο, ισχύει u v u v u, v u v 2 = u v 2 u u v v u 2 2 u v v 2 = = u v 2,δλδ u v u v

22 Απόσταση, Γωνία και Προβολή διανυσμάτων στον Για οποιαδήποτε διανύσματα στον χώρο, ισχύει ότι η απόστασή τους είναι u, v d u v = u v = u 1 v 1 2 u 2 v u v 2 Η γωνία θ μεταξύ τους ( προυπόθεση: μη- μηδενικά) ορίζεται ως cosθ= u v u v και από την ανισότητα Schwarz ισχύει: 1 cosθ= u v u v 1

23 Απόσταση, Γωνία και Προβολή διανυσμάτων στον u v=0 ο Και αν τότε θ=90. Να δειχτεί η σχέση του με τον ορισμό της ορθογωνικότητας. Η προβολή ενός διανύσματος πάνω σε ένα διάνυσμα συμβολίζεται με u u v proj u, v = v v 2 v

24 Διανύσματα στον Παραδείγματα 1) Να βρεθεί η απόσταση, η γωνία και η προβολή των u= 1,2,3, v= 4,5, , ) Ομοίως των