= (2)det (1)det ( 5)det 1 2. u

Transcript

1 Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε ΘΕΜΑ ο det ()det ()det ()det ()( ) ()( 6 ) ()( ) det 4 ()det ()det ( 5)det ()( 4 ) ()( ) ( 5)( ) 4 Το απλό διάνυσμα κατεύθυνσης είναι: u(,)-(,)(,) Το μέτρο του είναι: u Άρα το μοναδιαίο διάνυσμα κατεύθυνσης είναι: Γ. Σχηματίζουμε τα διανύσματα των πλευρών του: PQ(,,)-(α,,-)(-α,,) QR(,-,)-(,,)(,-,) RP(α,,-)-(,-,)(α-,,-4) Υπολογίζουμε τα τετράγωνα των μέτρων των πλευρών: Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: u e (,), u PQ QR RP 4 a 9 ( ) a a a PQ QR 4 a 9 RP PQ QR a a a 9 8 a a 4 4

2 Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε ΘΕΜΑ ο Οι διαγώνιοι είναι: ΓΑΒ ΔΑ-Β Επομένως τέμνονται κάθετα όταν: Γ.Δ<>(ΑΒ)(Α-Β)<>Α-ΒΑ-Β<>Α-Β<> Α Β <> Α Β δηλ. όταν είναι τετράγωνο. Έχουμε: B A a 6 projab A ( a,) A A a 4 Άρα είναι μηδενική όταν α6<>α-6 Είναι αρνητική όταν: α(α6)<<>-6<a< και ταυτόχρονα όταν: α6<<>α<-6 Επομένως δεν μπορεί ποτέ να είναι αρνητική η προβολή. Γ. Η γωνία θ έχει συνημίτονο: cos ( θ ) u v u v 9 Άρα η γωνία είναι: ο 8 θ cos ( ).74474( rad ) π ο ΘΕΜΑ ο Βρίσκουμε τα διανύσματα των πλευρών του: Α(,5,)-(,,)(,,) Β(,,6)-(,,)(,-,5) Βρίσκουμε το εξωτερικό γινόμενο των Α,Β: i j k A B det ( i)det ( )det ( )det 5 j k 5 5 ( i)(6 ) ( j)( ) ( k)( 7 ) (6,, 7)

3 Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε Οπότε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι το μέτρο του εξωτερικού γινομένου: A B 6 ( ) ( 7) Ο όγκος είναι η απόλυτη τιμή του μεικτού γινομένου των Α,Β,C: 4 A ( B C) det ()det ()det (4)det ()( ) ()(4 ) (4)( ) > Υπολογίζουμε το μεικτό γινόμενο: a ( b c) det ()det ( )det ()det ()( ) ( )( ) ()( ) 9 ΘΕΜΑ 4ο.. ()(5 ) ( )(4 ) ()( ) ( )(4 ) AB ()(5 ) ()(4 ) ()( ) ()(4 ) 4 ()( ) ( )( 4 ) ()( ) ( )( ) 6 ( AB) C ()( ) (4)( 4 ) ()( ) (4)( ) 6 4. (5)( ) ()( 4 ) (5)( ) ()( ) 8 7 BC (4)( ) (4)( 4 ) (4)( ) (4)( ) Ορίζεται και είναι: ()( 8 ) ( )( 4 ) ()(7 ) ( )(6 ) 6 ABC ( ) ()( 8 ) ()( 4 ) ()(7 ) ()(6 ) 6 4

4 Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε 4 ()( ) ()( ) ( )( ) ()( ) ()( ) ( )( ) ()( ) ()( ) ( )( ) (4)( ) ()( ) ()( ) (4)( ) ()( ) ()( ) (4)( ) ()( ) ()( ) 7 Δεν ορίζεται ο πολλαπλασιασμός ( ). (, ) Ορίζεται και είναι: ΘΕΜΑ 5ο Η ορίζουσα του συστήματος είναι: Οι ορίζουσες που προκύπτουν με αντικατάσταση της ης, ης στήλης με την στήλη των σταθερών όρων είναι: 4 4 ( 4)( ) ()(4) 4 y ()() ( )( 4) 5 Άρα η λύση είναι: 5 (5)( ) ()( ) (5)( ) ()( 5 ) 5 ()( ) ()( ) ()( ) ()( 5 ) Η ορίζουσα του πίνακα του συστήματος είναι: 4 ()( ) ( )(4) y y 5 det ()det ()det ( )det

5 Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε Ενώ οι βοηθητικές ορίζουσες είναι: y z 5 det (5)det ()det ( )det det ()det (5)det ( )det 75 5 det ()det ()det (5)det Άρα η λύση είναι: 4 y y z y Γ. Θέτουμε y Κι έχουμε: y y Η διακρίνουσα είναι: Δ b ac 4 ( ) 4()() 5 Άρα οι δύο λύσεις ως προς y είναι: 5 b ± Δ ( ) ± 5 y, a 5 5

6 Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε Επομένως οι λύσεις ως προς θα είναι: 5 5, ± ± φ 5 5,4 ± ± ± Φ (όπου φ, Φ οι αριθμοί της χρυσής τομής) ΘΕΜΑ 6ο Είναι απροσδιόριστη μορφή /. Με τον κανόνα L Hospital έχουμε: Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Άρα το όριο δεν υπάρχει. ( ) ( ) ( ) ( ) Είναι απροσδιόριστη μορφή /. Με τον κανόνα L Hospital έχουμε: ( ) ( ) lim lim lim lim ( ) lim ( ) lim ()( ) lim l im ()( ) ( ) cos( ) sin( ) ln ( cos( ) ) ( ln ( cos( ) )) cos( ) cos( ) ln ( cos( ) ) ( ln ( cos( ) )) ( cos( ) ) cos( ) cos( ) lim lim lim lim sin( ) sin( )cos( ) sin( )cos( ) sin( ) sin( ) lim lim lim sin( )cos( ) sin( )cos( ) sin( ) sin( ) sin(5 ) sin( ) lim sin(5 ) sin( ) Με ακόμη μία εφαρμογή του ίδιου κανόνα έχουμε: ( sin(5 ) sin( ) ) ( ) sin(5 ) sin( ) lim lim sin(5 ) sin( ) sin(5 ) sin( ) 5cos(5 ) cos( ) lim 5cos(5 ) cos( )

7 Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε Γ. Παρατηρούμε ότι: όμως: sin sin sin lim sin sin lim δηλ. έχουμε απροσδιόριστη μορφή /. Με τον κανόνα L Hospital έχουμε: Με ακόμη μία εφαρμογή του ίδιου κανόνα έχουμε: Δ. Έχουμε ότι: ( ) ( ) ( ) sin sin 4 sin lim sin lim lim sin lim sin cos sin ( sin cos ) ( sin ) sin cos lim sin sin cos cos ( ) cos (cos ) lim lim lim sin sin cos cos cos sin sin lim lim lim lim lim sin cos sin cos sin cos sin cos Αφού: lim lim lim lim 4 7

8 Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε ΘΕΜΑ 7ο Χρησιμοποιώντας τον κανόνα σύνθετης παραγώγισης καθώς και τους υπόλοιπους κανόνες έχουμε: y y y y y ( y y ) yln sin ( ln ) y y sin y y y y y sin y y ( ln ) y sin y ( ln ) y y sin y y y y ( ln ) ( n ) ( n ) n n y ny y y y ny y y y y n ( n ) n y y ( ) ( n ) ny y y y y ( ) ny ΘΕΜΑ 8ο f( ) ( ) f ( ) 9 Γ. 5 t 5 t 5t 5t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f () t 4 te f () t 4 te 4 t e t e 5t 5t 5t 5t 5t 5t 4 e te ( 5)( t ) 4 e t e 4e 4t e b b f( ) arctan tan f ( ) tan ab a ab b a tan a b ( tan ) b tan tan tan ab b a a a b tan tan a a 8

9 Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε Δ. ( ) ( ) f( ) ln ( ) f ( ) ΘΕΜΑ 9ο Παραγωγίζοντας ως προς t έχουμε: ds υ() t c sin kt ϕ c sin kt ϕ c sin kt ϕ dt ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( bt) sin ( kt ϕ) c cos( kt ϕ)( kt ϕ) in ( ) cos( ) c υ() t bc s kt ϕ ck kt ϕ Παραγωγίζοντας άλλη μία φορά ως προς t έχουμε: ( ) dυ a() t ( bc sin( kt ϕ) ck cos( kt ϕ) ) dt ( ) sin ( ϕ) ( sin ( ϕ) ) ( ) cos( ϕ) ( cos( ϕ) ) bc kt bc kt ck kt ck kt cb sin ( kt ϕ) bck cos( kt ϕ) bck cos( kt ϕ) ck sin ( kt ϕ) sin ( kt ϕ) bck cos( kt ϕ) ck sin ( kt ϕ ) sin ( kt ϕ) ck sin ( kt ϕ) b sin ( k ϕ) cos( ϕ) cb cb c t bck kt ( k b ) c sin ( kt ϕ) b( bc sin ( kt ϕ) ck cos( kt ϕ) ) ( b ) bυ ( t) at () k st () 9

10 Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε Έχουμε ότι η εφαπτομένη στο σημείο ((t),y(t)) είναι: dy dy dt t t dt dt t d d dy t t d dt t t dt dt t t Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης στο (,y )((t ),y(t )), όπου t, θα είναι: dy y y ( ) y y() ( ()) d t t y ( )( ) y y ΘΕΜΑ ο Θέλουμε το μέγιστο της συνάρτησης: g(, y) y δεδομένου ότι: y 6 y 6 Αντικαθιστούμε και έχουμε την συνάρτηση μιας μεταβλητής: Αναγκαία συνθήκη για μέγιστο: f ( ) (6 ) 6 f ( ) 6

11 Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε Υπολογίζουμε την δεύτερη παράγωγο: f ( ) < άρα έχουμε μέγιστο όταν, κι αυτό είναι: fma f() (6 ) 9 Επομένως οι αριθμοί είναι: y6- Έχουμε ότι ο όγκος του κυλίνδρου είναι: V Ε ό Β ά Ύ RL ( μβαδ ν σης ) ( ψος ) π () Ενώ το εμβαδόν των τοιχωμάτων είναι: E ( Εμβαδόν Β άσης ) ( Εμβαδόν Παράπλευρης Επιϕάνειας ) Ε πr ( πr) L E πr πrl () Από την () λύνουμε ως προς L και βρίσκουμε: L π R () Αντικαθιστούμε την () στην () κι έχουμε ότι: E πr πr E( R) πr π R R Αναγκαία συνθήκη για ελάχιστο: E ( R) 4πR 4πR 4πR R R 5 5 R π π R Υπολογίζουμε την δεύτερη παράγωγο:

12 Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε 4 ( ) 4π 4π ( ) 4π 4 4π E R R R R R R 5 Όμως R π 5 4 4π 4π 8π π π 5 π > E Άρα έχουμε ελάχιστο όταν: 5 R π L π R 5 π 5 π π