ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΙΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΙΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ: «Αριθμητικοί υπολογισμοί κατά προσέγγιση στα σχολικά εγχειρίδια των Μαθηματικών του Δημοτικού σχολείου. Η χρήση τους από παιδιά της Στ τάξης» ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: ΤΡΕΣΣΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΊΤΣΙΟΥ ΣΤΥΛΙΑΝΗ Α.Ε.Μ. 91 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2009

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ σελ 4 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ σελ 8 Στόχοι της μαθηματικής εκπαίδευσης σελ 8 Ορισμός των αριθμητικών εκτιμήσεων σελ 11 Η σημασία των αριθμητικών εκτιμήσεων έναντι των υπολογισμών με ακρίβεια σελ 13 Γιατί να διδάξουμε τις αριθμητικές εκτιμήσεις σελ 15 Η θέση των αριθμητικών εκτιμήσεων στα αναλυτικά προγράμματα σελ 25 Στρατηγικές αριθμητικών εκτιμήσεων σελ 27 Διδασκαλία των αριθμητικών εκτιμήσεων σελ 33 ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ σελ 41 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ σελ 43 Περιγραφή έρευνας σελ 45 Πρώτη διδασκαλία σελ 47 Δεύτερη διδασκαλία σελ 53 Τελική αξιολόγηση σελ 57 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ σελ 60 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ σελ 72 ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ σελ 76 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ σελ 82 2

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στα πλαίσια της παρούσης εργασίας μελετάται και αναδεικνύεται η σημασία της διδασκαλίας των αριθμητικών εκτιμήσεων στο δημοτικό σχολείο. Όπως προκύπτει από τη μελέτη της βιβλιογραφίας, η ικανότητα εκτέλεσης αριθμητικών εκτιμήσεων αποτελεί μια δεξιότητα χρήσιμη ώστε να μπορέσουν τα παιδιά να ανταποκριθούν στις ανάγκες της καθημερινής ζωής σε μια σύγχρονή τεχνολογικά ανεπτυγμένη κοινωνία αλλά και ένα απαραίτητο εφόδιο για την παραπέρα μαθηματική τους εκπαίδευση. Στη συνέχεια της εργασίας παρουσιάζεται μια κατηγοριοποίηση των στρατηγικών προσεγγιστικών υπολογισμών καθώς και βασικές αρχές για την οργάνωση ενός προγράμματος διδασκαλίας αριθμητικών εκτιμήσεων. Αναγνωρίζοντας τη σημασία της διδασκαλίας των αριθμητικών εκτιμήσεων εξετάζονται οι επιδόσεις των παιδιών ΣΤ τάξης στους κατά προσέγγιση υπολογισμούς σε προβλήματα πράξεων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού φυσικών αριθμών, τα λάθη που κάνουν τα παιδιά, οι στρατηγικές που χρησιμοποιούνται για την επίλυση των προβλημάτων καθώς και το ενδεχόμενο να σχετίζεται το φύλο με τις επιδόσεις των παιδιών. Abstract This postgraduate work studies and proves the significance of teaching computational estimations at the elementary school. According to bibliography, computational estimation skills are useful for children in order to cope with daily needs in a technologically advanced society but also these skills are necessary for their future mathematical education. Moreover, in this work it is presented computational estimation strategies as well as basic principles to organize a programme for teaching computational estimations. Recognizing the value of teaching these skills, it is examined the performance of 6 th grade students at problems of computational estimation that involves addition and multiplication of natural numbers, the errors that the children make, the strategies which are used in order to solve these problems and the possibility of a relationship between gender and performance. 3

4 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ «Οι αριθμοί και οι πράξεις μεταξύ τους είναι ένα από τα βασικότερα περιεχόμενα του αναλυτικού προγράμματος για όλες τις τάξεις του δημοτικού σχολείου και αποτελούν έναν από τους κεντρικότερους στόχους στη διαδικασία της μάθησης των Μαθηματικών»( Rathmell and Trafton 1990 στην Dolma 2002). «Οι πράξεις και κατά συνέπεια και οι υπολογισμοί θεωρούνται μια διαδικασία που ακολουθείται έτσι ώστε να πετύχει κανείς μια λύση σε ένα αριθμητικό πρόβλημα. Ως εκ τούτου πολλοί άνθρωποι πιστεύουν ότι η λέξη υπολογισμός είναι ταυτόσημη με την εφαρμογή των τυπικών αλγόριθμων, μια σειρά αυστηρών βημάτων που είναι απαραίτητο να ακολουθηθούν προκειμένου να φτάσει κανείς στη μία και μοναδική σωστή απάντηση».(dolma 2002, p.9). «Η τελευταία αυτή πρόταση συνοψίζει μια επιπλέον λανθασμένη πεποίθηση ότι δηλαδή οι μαθηματικοί υπολογισμοί ταυτίζονται με την αυστηρότητα και την ακρίβεια παρά με τη δημιουργική και παραγωγική σκέψη» (Payne 1990 στην Dolma 2002). Τη θέση αυτή που ενστερνίζεται ο Payne εμπλουτίζει τονίζοντας ότι: «οι κανόνες και οι διαδικασίες στα Μαθηματικά μεταξύ των οποίων συμπεριλαμβάνονται και αυτούς που αφορούν τους υπολογισμούς, συχνά μαθαίνονται χωρίς πραγματική κατανόηση». Ωστόσο οι Rathmell et al (1990) επισημαίνουν ότι «η διδασκαλία δεν πρέπει να στοχεύει στην ελάχιστη κατανόηση και στην εφαρμογή διαδικασιών που τα παιδιά θα πρέπει να απομνημονεύουν χωρίς να κατανοούν τη βαθύτερη εννοιολογική τους δομή. Μια τέτοιου είδους διδασκαλία εμποδίζει την ικανότητά τους να κατανοήσουν τη σημασία των αριθμών, την ικανότητα να κρίνει κανείς την ορθότητα των απαντήσεων που δίνονται σε μια σειρά αριθμητικών πράξεων, την ευελιξία σκέψης αναφορικά με την επίλυση αριθμητικών προβλημάτων και την αντιμετώπιση των υπολογιστικών διαδικασιών με κατανοητό τρόπο». Η Dolma (2002, p.4) επισημαίνει ότι «ένα πρόβλημα στη διδασκαλία και μάθηση των Μαθηματικών είναι ότι η πλειοψηφία των παιδιών υπολογίζουν αριθμητικές πράξεις κατά τη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων 4

5 από την οποία απουσιάζει βαθύτερη εννοιολογική κατανόηση». «Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι στα περισσότερα αναλυτικά προγράμματα που παρέχουν οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηματικών δίνεται περισσότερη σημασία στην ακρίβεια και στην ταχύτητα εκτέλεσης υπολογισμών ακολουθώντας τα τυπικά και αυστηρά βήματα των παραδοσιακών αλγόριθμων, παρά στο κατά πόσο ο συγκεκριμένος τρόπος υπολογισμού εξαγόμενων αριθμητικών πράξεων κάνει νόημα και έχει σημασία για τα ίδια τα παιδιά» (Bawa and Bourgeois 1976 στην Dolma 2002). Όπως χαρακτηριστικά αναφέρει και η Wolfinger(1998 στην Dolma 2002) «ένα πρόγραμμα που στόχο έχει την ενίσχυση της μαθηματικής εκπαίδευσης των παιδιών είναι απαραίτητο να δίνει έμφαση στη μαθηματική κατανόηση παρά στην αριθμητική ρουτίνα, θα πρέπει να εστιάζει στην κατανόηση παρά στις απαντήσεις και τέλος θα πρέπει να συμβάλλει στην ανάπτυξη και συγκρότηση εννοιών παρά σε παραγεμισμένους φακέλους με συμπληρωμένα φύλλα εργασίας». Έτσι, όπως επισημαίνει και η Dolma (2002 βασιζόμενη στον Cole 1987): «η μάθηση των Μαθηματικών συχνά παραμένει κάτι ανούσιο για την πλειοψηφία των παιδιών που δε συμβάλλει στην κατανόηση των εννοιών καθώς δίδεται ιδιαίτερη βαρύτητα στον υπολογισμό της μιας και σωστής απάντησης μέσα από μια διαδικασία όμως που δεν κάνει κανένα νόημα στα ίδια τα παιδιά».η πρόταση που φαίνεται να επηρεάζει θετικά τη μάθηση των Μαθηματικών είναι η διδασκαλία των αριθμητικών εκτιμήσεων. Και αυτό διότι η ενασχόληση των παιδιών με τις αριθμητικές εκτιμήσεις διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στην προσπάθεια των παιδιών να κατανοήσουν τη λειτουργία των αριθμών, να πάρουν αποφάσεις για διαδικασίες υπολογισμού και να αναπτύξουν διαφορετικές στρατηγικές για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων.(varol 2007). Σύμφωνα με τη Sowder (1992 στο Varol 2007) τα παιδιά που δεν έχουν δεξιότητες προσεγγιστικών υπολογισμών αγνοούν ακόμα και τις προφανείς ιδιότητες των αριθμών και εξαρτώνται από τη νοητική αναπαράσταση των γραπτών αλγόριθμων που ακολουθούν στην περίπτωση 5

6 χρησιμοποίησης χαρτιού και μολυβιού για το χειρισμό καταστάσεων που απαιτείται η εκτέλεση νοερών υπολογισμών. Ο Macllelan (2001 στη Varol 2007) επισημαίνει μια από τις σημαντικές διαφορές μεταξύ των υπολογισμών με τη χρήση εξωτερικών μέσων όπως είναι το χαρτί και το μολύβι και των υπολογιστικών εκτιμήσεων. Στην πρώτη περίπτωση τονίζει, η χρήση γραπτών αλγόριθμων ενθαρρύνει τα παιδιά να ακολουθήσουν διαφορετικά βήματα χωρίς να σκέφτονται και χωρίς να δίνουν νόημα στο τι κάνουν, αντίθετα η ενασχόληση των παιδιών με τις αριθμητικές εκτιμήσεις επιτρέπει σε αυτά να εμπλακούν σε διαδικασίες νοηματοδότησης της σημασίας των αριθμών. Παρά τα θετικά αποτελέσματα που φαίνεται να προκύπτουν από τη διδασκαλία των αριθμητικών εκτιμήσεων, έχει αποδοθεί ελάχιστη σημασία στο περιεχόμενο αυτό σε όλη τη μακρά ιστορία της μαθηματικής εκπαίδευσης. (Hanson 2000). H Sowder (1992 στο Hanson 2000) επισημαίνει ότι: «μέχρι πρόσφατα τα αναλυτικά προγράμματα έχουν δώσει ελάχιστη προσοχή στη διδασκαλία των αριθμητικών εκτιμήσεων». Οι Carpenter, Coburn, Reys and Wilson (1976 στο Hanson 2000) σημειώνουν ότι: «το περιεχόμενο των αριθμητικών εκτιμήσεων είναι ένα από τα περισσότερο παραμελημένα κεφάλαια του αναλυτικού προγράμματος των Μαθηματικών». Είκοσι χρόνια αργότερα οι Kenney and Silver (1997 στο Hanson 2000) καταλήγουν στο ίδιο συμπέρασμα ότι δηλαδή η έμφαση στις αριθμητικές εκτιμήσεις συνεχίζει να είναι ακόμη ένα πρόσφατο φαινόμενο. Ωστόσο, τα πρώτα βήματα στην ελληνική πραγματικότητα έχουν επιτευχθεί με την εισαγωγή των καινούριων σχολικών εγχειριδίων των Μαθηματικών στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση, που αντικατοπτρίζουν μια προσπάθεια εκσυγχρονισμού των προγραμμάτων σπουδών παρέχοντας πλέον σαφείς κατευθύνσεις για τη διδακτική αξιοποίηση των αριθμητικών εκτιμήσεων. Η ανάπτυξη της ικανότητας των μαθητών / τριών για μετρήσεις, νοερούς υπολογισμούς και αριθμητικές εκτιμήσεις αποτελεί έναν από τους γενικότερους διδακτικούς στόχους για τη διδασκαλία του μαθήματος των Μαθηματικών στο Δημοτικό Σχολείο. Στη συνέχεια της 6

7 παρούσης εργασίας γίνεται εκτενέστερη αναφορά στο περιεχόμενο των αριθμητικών εκτιμήσεων καθώς επίσης και στον τρόπο με τον οποίο συμβάλλει η διδασκαλία στρατηγικών προσεγγιστικών υπολογισμών στην παραπέρα μαθηματική εκπαίδευση των παιδιών αλλά και στην ανάπτυξη ικανοτήτων για να ανταποκριθούν στις απαιτήσεις μιας σύγχρονης τεχνολογικά αναπτυγμένης κοινωνίας. 7

8 2.ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 2.1 Στόχοι της μαθηματικής εκπαίδευσης «Η μαθηματική εκπαίδευση σήμερα πρέπει να πληρεί μια σειρά από στόχους ώστε να ικανοποιεί διαφορετικές τάσεις και ανάγκες. Καλείται λοιπόν να εξασφαλίζει: 1. τις μαθηματικές γνώσεις που είναι απαραίτητες για τη μελέτη σε βάθος των ίδιων των μαθηματικών και για την κατανόηση των άλλων επιστημών. 2. τις ικανότητες που είναι χρήσιμες για την ερμηνεία και την αξιολόγηση των πληροφοριών που μεταφέρονται με μαθηματικό τρόπο από πολιτειακούς και κοινωνικούς φορείς και από τα μέσα μαζικής επικοινωνίας 3. τις μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες που είναι απαραίτητες για να αντιμετωπιστούν ανάγκες της καθημερινής ζωής 4. την ικανότητα εφαρμογής μαθηματικών γνώσεων, δεξιοτήτων και διαδικασιών σε μη μαθηματικά συμφραζόμενα, έτσι ώστε να μπορούν να τεθούν ή να επιλυθούν προβλήματα, να εντοπιστούν ελλείψεις ή πλεονασμοί δεδομένων, να αξιολογηθούν και να επιβεβαιωθούν ή να απορριφθούν υποθέσεις».(τρέσσου 1997, p 10) Βασική βέβαια προϋπόθεση για την επίτευξη των παραπάνω στόχων και ένα από τα πρώτα βήματα της μαθηματικής εκπαίδευσης είναι η εξοικείωση των μαθητών/ τριων με τους αριθμούς και τις αριθμητικές πράξεις καθώς και η ικανότητα να εκτελούν με ευχέρεια διάφορους αριθμητικούς υπολογισμούς όχι μόνο γραπτά αλλά και νοερά, εφόδια τα οποία είναι απαραίτητα για την καθημερινή ζωή. Για να πραγματοποιηθούν αυτοί οι στόχοι η πολιτεία δεν υπήρξε ποτέ φειδωλή ως προς το πλήθος των σχολικών ωρών που αφιερώνονται για τη 8

9 διδασκαλία του μαθήματος των Μαθηματικών τόσο στο δημοτικό σχολείο όσο και στο Γυμνάσιο και το Λύκειο (Χαλάτσης 1998). Συγκεκριμένα στο δημοτικό σχολείο τα παιδιά σε καθεμιά από τις έξι τάξεις διδάσκονται μαθηματικά τέσσερις ώρες την εβδομάδα αν και στην πραγματικότητα προκειμένου να καλυφθεί η ύλη οι εκπαιδευτικοί διδάσκουν και περισσότερες ώρες σε βάρος των άλλων μαθημάτων. Το ουσιαστικό βέβαια δεν είναι το πόσες ώρες διδάσκεις ένα αντικείμενο αλλά το τι διδάσκεις και πώς το διδάσκεις. Το ζητούμενο επομένως είναι η επιλογή του κατάλληλου διδακτικού περιεχομένου έτσι ώστε η διδασκαλία να ανταποκρίνεται και να εξυπηρετεί την υλοποίηση των παραπάνω στόχων (Χαλάτσης 1998). Οι προτάσεις για το ποιο μπορεί να είναι αυτό το περιεχόμενο στο σύνολό του αποτελεί ένα πολύ δύσκολο εγχείρημα και ξεφεύγει από τα όρια αυτής της εργασίας. Ωστόσο στις επόμενες σελίδες επιχειρείται μια απόπειρα εξέτασης του βαθμού στο οποίο το περιεχομένου των αριθμητικών υπολογισμών έτσι όπως διδάσκονταν στα παιδιά του δημοτικού σχολείου εξυπηρετούσε τους σκοπούς της μαθηματικής εκπαίδευσης όπως παρουσιάστηκαν παραπάνω. Πριν όμως μελετηθεί διεξοδικότερα το ζήτημα αυτό είναι απαραίτητο να γίνει μια αναφορά στον τρόπο με τον οποίο πραγματοποιούνται οι αριθμητικοί υπολογισμοί. Στη συνέχεια θα χρησιμοποιηθεί ο όρος Αριθμητικός Λογισμός προκειμένου να αναφερόμαστε συνολικά στους αριθμητικούς υπολογισμούς. Ως προς τον τρόπο της εκτέλεσής τους ο αριθμητικός λογισμός διακρίνεται σε: Στο γραπτό αριθμητικό λογισμό ή αλλιώς με χαρτί και μολύβι. Στον προφορικό αριθμητικό λογισμό ή διαφορετικά στην αριθμητική με το νου. Στον ηλεκτρονικό αριθμητικό λογισμό ή αλλιώς σε εκείνον που εκτελείται με ηλεκτρονικά μέσα όπως ο υπολογιστής τσέπης ή η ταμιακή μηχανή. 9

10 Ως προς το εξαγόμενο αποτέλεσμα ο αριθμητικός λογισμός διακρίνεται Στον ακριβή. Στον προσεγγιστικό ή αλλιώς στις Αριθμητικές Εκτιμήσεις(Χαλάτσης 1998). Όπως είναι γνωστό το δημοτικό σχολείο, έως πρόσφατα τουλάχιστον, προωθούσε αποκλειστικά και μόνο τον πρώτο τρόπο εκτέλεσης αριθμητικών υπολογισμών δηλαδή το γραπτό υπολογισμό με χαρτί και μολύβι. Τα παιδιά τελειώνοντας το δημοτικό σχολείο γνώριζαν επίλυση προβλημάτων, βασικές γεωμετρικές έννοιες και εκτέλεση γραπτών αριθμητικών πράξεων στους φυσικούς και δεκαδικούς αριθμούς. Το τελευταίο αυτό περιεχόμενο σχεδόν μονοπωλούσε τη διδασκαλία του μαθήματος των Μαθηματικών καθώς τα κύρια αντικείμενα διδασκαλίας του ήταν η προπαίδεια και οι αλγόριθμοι (Χαλάτσης 1998). Οι μαθητές/ τριες διδάσκονταν και εξασκούνταν στο να υπολογίζουν οποιαδήποτε αριθμητική πράξη γραπτά. Το μόνο που χρειάζονταν ήταν να εφαρμόσουν με επιτυχία τον αλγόριθμο. Τι είναι όμως οι αλγόριθμοι; Οι αλγόριθμοι είναι αυστηρά διατυπωμένες οδηγίες με τη βοήθεια των οποίων οι πράξεις μεταξύ δύο οποιωνδήποτε φυσικών αριθμών ανάγονται στις πράξεις μεταξύ μονοψήφιων φυσικών αριθμών. Αρκεί λοιπόν κανείς να απομνημονεύσει τα εξαγόμενα των πράξεων με μονοψήφιους αριθμούς και να ακολουθήσει αυστηρά τα βήματα, τότε θα είναι σε θέση να φέρει σε πέρας οποιαδήποτε αριθμητική πράξη χρειαστεί να υπολογίσει (Χαλάτσης 1998). Η προϋπάρχουσα κατάσταση που περιγράφεται παραπάνω φαίνεται να αλλάζει με την εισαγωγή των καινούριων σχολικών εγχειριδίων. Η κυριαρχία και η αποκλειστικότητα της διδασκαλίας των γραπτών αλγορίθμων δείχνει να κλονίζεται καθώς στο περιεχόμενό τους εντάσσεται η διδασκαλία των προσεγγιστικών υπολογισμών, η ενασχόληση με τους οποίους αποτελεί και αντικείμενο της παρούσης εργασίας. Τι είναι όμως οι υπολογιστικές εκτιμήσεις; 10

11 2.2 Ορισμός των αριθμητικών εκτιμήσεων. Αριθμητική εκτίμηση είναι η λογική και νοερή προσεγγιστική λύση σε ένα αριθμητικό πρόβλημα χωρίς να υπολογίζουμε το πραγματικό αποτέλεσμα ή χωρίς να έχουμε κάνει προηγουμένως τον ακριβή υπολογισμό (Lemaire 2002). Σύμφωνα με τον Reys (1984) υπάρχουν τέσσερα τουλάχιστον διακριτά χαρακτηριστικά των αριθμητικών εκτιμήσεων. Ο υπολογισμός γίνεται με το νου, χωρίς τη χρήση χαρτιού και μολυβιού. Η απάντηση δίνεται γρήγορα. Η αριθμητική εκτίμηση δεν είναι ο ακριβής υπολογισμός αλλά ένα προσεγγιστικό αποτέλεσμα το οποίο ωστόσο είναι ικανοποιητικό για την περίσταση που το χρησιμοποιούμε. Η αριθμητική εκτίμηση αντανακλά προσωπικές προσεγγίσεις και γι αυτό παράγονται ποικίλες απαντήσεις. Στο ίδιο αριθμητικό πρόβλημα για παράδειγμα μπορεί δύο άνθρωποι να δώσουν διαφορετικές απαντήσεις οι οποίες είναι και οι δύο σωστές μια και ο καθένας σκέφτεται με διαφορετικό τρόπο για την επίλυση των προβλημάτων. Με δύο λόγια λοιπόν τα βασικά χαρακτηριστικά των αριθμητικών εκτιμήσεων είναι ότι γίνονται με το νου, γρήγορα και στο «περίπου».(reys 1983 στο Στρικούδη 2007). Πέρα από τις αριθμητικές εκτιμήσεις υπάρχουν και άλλοι δύο τύποι εκτιμήσεων, οι εκτιμήσεις μετρήσεων και οι εκτιμήσεις μιας ποσότητας. Η εκτίμηση μιας μέτρησης είναι ο καθορισμός της προσέγγισης μιας μέτρησης χωρίς να κάνουμε την ακριβή μέτρηση. Για παράδειγμα, μπορούμε να εκτιμήσουμε το μήκος ενός δωματίου ή το βάρος ενός καρπουζιού στο οπωροπωλείο. Η εκτίμηση μιας ποσότητας είναι ο υπολογισμός κατά 11

12 προσέγγιση του αριθμού των αντικειμένων σε ένα σύνολο. Για παράδειγμα μπορούμε να εκτιμήσουμε τον αριθμό των παιδιών σε ένα ακροατήριο ή τον αριθμό από ζελεδάκια σε ένα βάζο (Van de Walle 2007). Στα πλαίσια της παρούσας εργασίας όμως περιοριζόμαστε στη μελέτη αποκλειστικά και μόνο των αριθμητικών εκτιμήσεων. Πολλά παιδιά μπερδεύουν την έννοια της εκτίμησης με το μάντεμα. Κανένας όμως από τους τρεις τύπους εκτίμησης δεν περιλαμβάνει το μάντεμα. Ο κάθε τύπος εμπεριέχει μια έννοια λογικής. Όπως χαρακτηριστικά αναφέρει και ο Micklo(1999) «οι εκτιμήσεις είναι μια μέθοδος σκέψης που χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων με τα οποία ερχόμαστε αντιμέτωποι στην καθημερινή μας ζωή παρά ένας τύπος μαντέματος. Τονίζει ακόμη ότι για να μαντέψει κανείς κάτι δε χρειάζεται να σκεφτεί». Κάθε αριθμός μπορεί να είναι αποτέλεσμα μαντέματος. Για να κάνει όμως κάποιος / α μια εκτίμηση απαιτείται να θέσει σε λειτουργία τη σκέψη του. (Walle 2007). Όπως τονίστηκε παραπάνω ένα από τα χαρακτηριστικά των αριθμητικών εκτιμήσεων είναι ότι πραγματοποιούνται με το νου. Παρόλο που κανένα γραπτό δεδομένο δε σχετίζεται με τις αριθμητικές εκτιμήσεις ωστόσο οι αριθμοί βάση των οποίων γίνεται η εκτίμηση πρέπει να είναι ορατοί, κατά τη διάρκεια της διαδικασίας υπολογισμού. Και αυτό διότι υπολογίζοντας ένα πρόβλημα νοερά απαιτεί κάποιο μικρό χώρο στη μνήμη. Σύμφωνα με ψυχολόγους (Sowder 1989) η βραχυπρόθεσμη μνήμη όμως είναι περιορισμένη τόσο για τα παιδιά όσο και για τους ενήλικες. Η οπτικοποίηση επομένως των αριθμών αυξάνει τις δυνατότητες της βραχυπρόθεσμης μνήμης καθώς αυτή περιορίζεται μόνο στη διαδικασία του υπολογισμού και δεν επιβαρύνεται με την αποθήκευση σε αυτή των αριθμών βάση των οποίων γίνεται η εκτίμηση.(sowder 1990). Σύμφωνα με τον Reys(1984) πολλοί μαθητές / τριες δε γνωρίζουν να κάνουν εκτιμήσεις. Για παράδειγμα εάν ζητηθεί να εκτιμήσουν το γινόμενο 56 x 28 πολλά παιδιά της πέμπτης ( Ε ) τάξης πολύ επίπονα θα 12

13 προσπαθήσουν να υπολογίσουν νοητικά την ακριβή απάντηση. Οι μαθητές / τριες έχουν μάθει να στηρίζονται και να δίνουν μεγάλη αξία μόνο στη μία και σωστή απάντηση και ως αποτέλεσμα αυτής τους της πεποίθησης παρανοούν τη χρήση των εκτιμήσεων. Άλλοι μαθητές/ τριες θα γράψουν πρώτα τους αριθμούς, θα υπολογίσουν το γινόμενο γραπτά χρησιμοποιώντας τον παραδοσιακό αλγόριθμο και έπειτα θα στρογγυλοποιήσουν τα αποτέλεσμα πετυχαίνοντας με αυτό τον τρόπο την «εκτίμησή» τους. Σύμφωνα με τον ορισμό της αριθμητικής εκτίμησης αυτή η διαδικασία δεν είναι ωστόσο προσεγγιστικός υπολογισμός και οι εκπαιδευτικοί δε θα πρέπει να επιτρέπουν στα παιδιά να χρησιμοποιούν αυτή την «υπολογίζω και μετά στρογγυλοποιώ» προσέγγιση. Αντίθετα οι μαθητές/ τριες είναι απαραίτητο να θεωρήσουν τις αριθμητικές εκτιμήσεις σαν μια χρήσιμη τεχνική που μπορεί κάποιος ή κάποια να την εκτελέσει εύκολα και γρήγορα. Στο σημείο αυτό μπορεί να προβάλλει κανείς το ερώτημα. Αφού μπορούμε να υπολογίζουμε τα αποτελέσματα των πράξεων με ακρίβεια εφαρμόζοντας τους αλγόριθμους γιατί χρειάζεται να καταφεύγουμε και επομένως να διδάσκουμε στο σχολείο τις αριθμητικές εκτιμήσεις. 2.3 Η σημασία των αριθμητικών εκτιμήσεων έναντι των υπολογισμών με ακρίβεια Ο Usiskin(1989) παραθέτει μια σειρά περιπτώσεων όπου επισημαίνεται η σημασία των νοερών προσεγγιστικών υπολογισμών έναντι των γραπτών υπολογισμών με ακρίβεια. Πρώτα από όλα τονίζει χρησιμοποιούμε τις εκτιμήσεις για την αντιμετώπιση εμποδίων προβλημάτων. Συχνά για παράδειγμα έχουμε να αντιμετωπίσουμε ερωτήματα του τύπου: «πόσες αίθουσες θα χρειαστούμε για 110 μαθητές / τριες αν υπάρχει ανώτατο όριο των 25 μαθητών / τριων για κάθε τάξη;». Η απάντηση είναι 5 (πέντε) αίθουσες καθώς δεν μπορούμε να 13

14 έχουμε 4,4 αίθουσες που είναι το ακριβές αποτέλεσμα της διαίρεσης του 110 με το 25. Η εκτίμηση λοιπόν σε αυτή την περίπτωση αποτελεί αντιμετώπιση των προβλημάτων που επιφέρει ο ακριβής υπολογισμός. Επιπλέον σε πολλές περιπτώσεις μια προσεγγιστική τιμή δίνει σαφέστερη εικόνα του μεγέθους στο οποίο αναφέρεται. Για παράδειγμα, συνεχίζει ο Usiskin, είναι πιο κατανοητό να αναφερθεί ότι το υπουργείο παιδείας σκοπεύει να διαθέσει 150 εκατομμύρια ευρώ για 63 χιλιάδες μαθητές / τριες παρά να αναφερθεί ότι θα δοθούν ευρώ για παιδιά. Οι στρογγυλοποιημένοι αριθμοί εντυπώνονται ευκολότερα στην μνήμη μας. Επίσης ο πληθυσμός μιας χώρας δίνεται πάντα κατά προσέγγιση. Δεν έχει νόημα να πούμε ότι ο πληθυσμός της Ελλάδας είναι κάτοικοι. Το νούμερο γίνεται περισσότερο κατανοητό. Όπως αναφέρει ο Usiskin «η σαφήνεια και η ακρίβεια βρίσκονται συχνά σε σύγκρουση. Η ακριβής τιμή δεν γίνεται πάντοτε εύκολα κατανοητή και γι αυτό σε πολλές περιπτώσεις είναι προτιμότερο να θυσιάζεται η ακρίβεια για χάρη της σαφήνειας». Ειδικότερα στην περίπτωση του παραδείγματος του προσδιορισμού του πληθυσμού μιας χώρας η εύρεση της ακριβής τιμής είναι ανέφικτη μιας και είναι αδύνατο να μετρηθούν καθημερινά οι γεννήσεις, οι θάνατοι και οι μετακινήσεις ανθρώπων (π.χ. μετανάστες). Αυτός είναι ένας ακόμη λόγος για τον οποίο οι υπολογισμοί κατά προσέγγιση είναι προτιμότεροι. Έτσι λοιπόν υπάρχουν περιπτώσεις όπου η ακριβής τιμή είναι άγνωστη ή μπορεί να μεταβάλλεται. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελούν οι προσπάθειες των επιστημόνων να χρονολογήσουν την ηλικία των ευρημάτων τους. Σε αυτή την περίπτωση μόνο εκτιμήσεις μπορούν να κάνουν καθώς δεν είναι δυνατό να προσδιορίσουν την ακριβή ηλικία. Παράλληλα οι προβλέψεις για το μέλλον δεν μπορεί παρά να γίνονται στη βάση των εκτιμήσεων. Είναι αδύνατο να υπολογιστεί πόσο θα κοστίσει ακριβώς η τιμή της βενζίνης που θα χρειαστεί κάποιος / α στη διάρκεια ενός ταξιδιού το οποίο θα πραγματοποιήσει σε ένα μήνα. 14

15 Επιπρόσθετα ο υπολογισμός κατά προσέγγιση είναι συχνά πιο εύχρηστος. Για παράδειγμα αν ένα προϊόν κοστίζει 3,98 ευρώ είναι ευκολότερο να κάνουμε υπολογισμούς θεωρώντας ότι η τιμή του είναι 4 ευρώ (Usiskin,1989). Τέλος οι προσεγγιστικές τιμές συχνά εξασφαλίζουν σταθερότητα. Αν για παράδειγμα 8 εκατομμύρια εργαζόμενοι/ ες σε μια χώρα, με πληθυσμό 99 εκατομμύρια πιθανού εργατικού δυναμικού, είναι άνεργοι/ ες τότε η κυβέρνηση θα αναγγείλει ότι το ποσοστό ανεργίας είναι 8,1% παρά το ακριβές ποσοστό που είναι 8,08%. Σε αυτή την περίπτωση προτιμάται η εκτίμηση διότι τα αρχικά δεδομένα δεν μπορούν να είναι ακριβή αλλά και σε περίπτωση μικρής μεταβολής τους επιτυγχάνεται η σταθερότητα υπολογισμού της ανεργίας (Usiskin,1989). Συνοψίζοντας λοιπόν όλα τα παραπάνω διαπιστώνει κανείς ότι από τη μια δεν μπορούμε να έχουμε πάντα μια ακριβή τιμή αλλά και από την άλλη μια προσεγγιστική τιμή δίνει σαφέστερη εικόνα του μεγέθους που αντιπροσωπεύει. Εκτός όμως από αυτά που ήδη αναφέρθηκαν υπάρχει και μια σειρά από λόγους οι οποίοι ερμηνεύουν γιατί πρέπει οι προσεγγίσεις και οι κατ εκτίμηση υπολογισμοί να αποτελούν αναπόσπαστο μέρος της μαθηματικής εκπαίδευσης στα σχολεία. Παράλληλα και ο Reys σε άρθρο του ήδη από το 1984 (p 546) τονίζει ότι : «οι νοεροί υπολογισμοί και οι αριθμητικές εκτιμήσεις θα πρέπει να τύχουν ιδιαίτερης σημασίας στο σχολικό πρόγραμμα των Μαθηματικών». Ποιες είναι άραγε οι αιτίες που ενισχύουν και δικαιολογούν αυτή του τη θέση; 2.4 Γιατί να διδάξουμε τις αριθμητικές εκτιμήσεις; Οι τεχνολογικές αλλαγές στη σημερινή κοινωνία έχουν αναδείξει σε μεγάλο βαθμό τη σπουδαιότητα απόκτησης δεξιοτήτων αριθμητικών εκτιμήσεων. «Η ευρεία χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών και των υπολογιστών τσέπης στη σημερινή κοινωνία, για καταστάσεις που απαιτούν ακριβείς 15

16 υπολογισμούς θέτει υπό αμφισβήτηση τον κεντρικό ρόλο που κατείχε η διδασκαλία των αλγορίθμων για τις τέσσερις αριθμητικές πράξεις στο μάθημα των Μαθηματικών στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση. Καθώς ο υπολογιστής τσέπης έχει γίνει πλέον κοινός τόπος, υπάρχουν όλο και λιγότερες περιπτώσεις που απαιτούν από τους ενήλικες να εκτελούν σύνθετους υπολογισμούς με τον παραδοσιακό τρόπο δηλαδή με μολύβι και χαρτί» αναφέρει ο Levin (1981, p 421). Η χρήση του υπολογιστή για τον υπολογισμό πράξεων στην καθημερινή ζωή έχει μεγάλη σημασία και για τη διδασκαλία του μαθήματος των μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο. Ο Levin στο άρθρο του Estimation techniques for arithmetic: Everyday math and mathematics instruction (p 421) τονίζει ότι «η διδασκαλία της εκμάθησης υπολογισμών με τη χρήση των παραδοσιακών αλγόριθμων αποτελούσε ακρογωνιαίο λίθο της διδασκαλίας των μαθηματικών. Ωστόσο με την εισαγωγή των υπολογιστών τσέπης στις καθημερινές μας δραστηριότητες η κινητοποίηση και το ενδιαφέρον των παιδιών να μάθουν τις παραδοσιακές υπολογιστικές τεχνικές είναι ανύπαρκτο καθώς διαπιστώνουν τη μη χρησιμότητα των δεξιοτήτων αυτών στην καθημερινή ζωή» (Levin, 1981). Η ικανότητα να εκτελέσει κανείς μια αριθμητική πράξη είναι απαραίτητη αλλά για τον υπολογισμό των εξαγόμενων είναι προτιμότερο να ακολουθηθεί ο πιο εύκολος και σύντομος δρόμος, και αυτόν τον δρόμο στη σημερινή κοινωνία εξασφαλίζουν οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές και ο υπολογιστής τσέπης παρά οι αλγόριθμοι. Η αυξανόμενη χρήση της υπολογιστικής τεχνολογίας επομένως θέτει σε προτεραιότητα την εκμάθηση τεχνικών υπολογιστικών εκτιμήσεων έτσι ώστε να είναι δυνατός ο έλεγχος της εγκυρότητας των αποτελεσμάτων που εξάγονται από τις υπολογιστικές μηχανές. Και αυτό διότι είναι ενδεχόμενο με τον υπολογιστή να κάνουμε λάθη πληκτρολόγησης. «Η παράλειψη πληκτρολόγησης ενός αριθμού, η λανθασμένη πληκτρολόγηση ενός δεκαδικού ή το πάτημα ενός λάθους πλήκτρου είναι κοινές λανθασμένες ενέργειες που επηρεάζουν το αποτέλεσμα που φαίνεται στην οθόνη του 16

17 υπολογιστή. Αν δεν είναι ικανός / η ο / η χρήστης να εκτιμήσει προηγουμένως το αποτέλεσμα και να αντιληφθεί τη λογικότητά του τότε τα υπολογιστικά λάθη θα περάσουν απαρατήρητα» επισημαίνουν οι Reys et all (1981, p ). Έτσι, αν λ. χ. πληκτρολογήσουμε σε έναν υπολογιστή το γινόμενο 16 x 80 και λάβουμε ως αποτέλεσμα της πράξης τον αριθμό 2880 τότε μας περνάει η υποψία ότι κάτι δεν πάει καλά και στη συνέχεια επιβεβαιώνεται η υποψία μας με τη νοερή εκτίμηση 16x100=1600<2880. (Χαλάτσης 1998). Όπως χαρακτηριστικά αναφέρει και ο Edwards (1984 στην Dolma 2002) «δεν μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει υπολογιστή ώστε να βρει απαντήσεις σε προβλήματα υπολογισμών αν δεν είναι υποψιασμένος από πριν για τα όρια μέσα στα οποία θα κυμαίνεται το αναμενόμενο αποτέλεσμα». «Οι αριθμητικές εκτιμήσεις λοιπόν είναι μια βασική δεξιότητα και η αναδυόμενη αξία της σε μια τεχνολογικά αναπτυγμένη κοινωνία είναι αναγνωρισμένη» (Reys 1992 στο Dolma 2002). «Είναι πολύ σημαντικό συνεπώς για τους / τις μαθητές /τριες να ασκηθούν στην εκτέλεση αριθμητικών εκτιμήσεων ώστε από τη μια μεριά να εντοπίζουν λάθη και από την άλλη να είναι ικανοί / ες να απαντούν κάθε φορά στην ερώτηση: είναι λογική η απάντησή μου;» αναφέρει ο Woodcock (1996 στην Dolma 2002). Οι δεξιότητες αριθμητικών εκτιμήσεων επομένως δεν είναι μόνο χρήσιμες ώστε να εκτελέσουμε υπολογισμούς χωρίς τη χρήση εξωτερικών μέσων αλλά και για να είναι δυνατός ο έλεγχος των αποτελεσμάτων που γράφονται στις οθόνες των υπολογιστικών μηχανών. Οι Poylter & Haylock (1988) στο ίδιο άρθρο της Dolma υποστηρίζουν την ανάγκη διδασκαλίας των προσεγγιστικών υπολογισμών οι οποίοι τονίζουν ότι: «οι κατ εκτίμηση υπολογισμοί και η ικανότητα να κρίνουμε τη λογικότητα των απαντήσεων πρέπει να είναι οι βασικοί στόχοι της διδασκαλίας των μαθηματικών». Σήμερα λοιπόν που οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται τόσο γρήγορα με τη χρήση της νέας τεχνολογίας δεν είναι δυνατόν να στηριζόμαστε αποκλειστικά και μόνο στους αλγόριθμους. 17

18 Εκτός από τον έλεγχο της εγκυρότητας των αποτελεσμάτων των πράξεων που προκύπτουν από τις υπολογιστικές μηχανές, σε προβλήματα και καταστάσεις στην καθημερινή ζωή απαιτείται συνήθως μια εκτίμηση παρά ακριβής μέτρηση και υπολογισμός. «Δεν υπάρχουν άλλωστε πολλές δραστηριότητες σε καθημερινή βάση που να μην εμπλέκεται μια αριθμητική εκτίμηση» τονίζουν οι Foegen & Deno (2001) στο άρθρο της Dolma the relationship between estimation skill and computational ability of students in years 5,7 and 9 for whole and rational numbers. Στην πραγματικότητα, συνεχίζουν, «είναι ο πιο αντιπροσωπευτικός τύπος μαθηματικών δεξιοτήτων που ευρέως χρησιμοποιείται από τους ενήλικες και συνεπώς η εισαγωγή των αριθμητικών εκτιμήσεων στο σχολικό αναλυτικό πρόγραμμα κρίνεται απολύτως απαραίτητη ενέργεια». «Πολύ συχνά, λοιπόν, στις καθημερινές μας ασχολίες όταν χρειάζεται να χειριστούμε αριθμούς είναι αδύνατο ή μη ρεαλιστικό ή μη χρήσιμο να δώσουμε μια ακριβής απάντηση. Αντίθετα προτιμούμε να χρησιμοποιούμε προσεγγιστικές τιμές. Προκειμένου να ανταποκριθεί κανείς σε περιστάσεις όπως η σύγκριση τιμών στα μαγαζιά, το κόστος των προϊόντων που σκοπεύει να αγοράσει, ο υπολογισμός του φόρου που πρόκειται να πληρώσει ή των χρημάτων που θα ξοδέψει σε ένα ταξίδι καταφεύγει σε εκτιμήσεις παρά σε ακριβείς υπολογισμούς».(reys, 1984) Ο Zevenberg (2004) υποστηρίζει ότι οι περισσότεροι υπολογισμοί της καθημερινής μας ζωής βασίζονται στις αριθμητικές εκτιμήσεις. Αλλά και από έρευνες που διεξήγαγαν οι Reys (1986) καθώς και οι Northcote & McIntosh (1999), προέκυψε ότι το 80% - 90% των εφαρμογών των Μαθηματικών σε καθημερινές καταστάσεις εμπεριέχει την έννοια της αριθμητικής εκτίμησης παρά του ακριβούς υπολογισμού. «Τέλος, έρευνα (Lave, 1979 στο Levin 1981) η οποία έχει ως αντικείμενο μελέτης της το πώς οι άνθρωποι χειρίζονται πραγματικά υπολογισμούς σε μη σχολικά περιβάλλοντα έχει δείξει ότι οι υπάρχουσες παραδοσιακές υπολογιστικές τεχνικές σπάνια χρησιμοποιούνται σε 18

19 καθημερινές καταστάσεις. Αντίθετα, οι άνθρωποι είτε αναπτύσσουν τις προσωπικές υπολογιστικές τεχνικές είτε αποφεύγουν να εκτελέσουν τους υπολογισμούς. Δεδομένου λοιπόν ότι οι υπολογιστικές τεχνικές που μαθαίνουμε στο σχολείο απαιτούν τη χρήση χαρτιού και μολυβιού δεν είναι παράδοξο το γεγονός ότι σε καταστάσεις της καθημερινότητας οι τεχνικές αυτές αδυνατούν να λειτουργήσουν αποτελεσματικά και να βοηθήσουν τους ανθρώπους στην εκτέλεση αριθμητικών πράξεων». Αν μας ενδιαφέρει όπως αναφέρει και ο Swan (1991 στο Dolma 2002) να εφοδιάζονται οι μαθητές / τριες με τις δεξιότητες που θα χρησιμοποιήσουν στον πραγματικό κόσμο τότε ανάμεσα στους στόχους διδασκαλίας και μάθησης των Μαθηματικών συμπεριλαμβάνεται και η εξερεύνηση, από μέρους των παιδιών, τρόπων υπολογισμού που έχει νόημα και σημασία γι αυτά παρά στη στείρα απομνημόνευση αλγόριθμων(sowder 1994) Πέρα όμως από την πρακτική χρησιμότητά τους σε καταστάσεις της καθημερινής ζωής και στον έλεγχο των αποτελεσμάτων των πράξεων που εκτελούνται από τις υπολογιστικές μηχανές, η διδασκαλία των νοερών υπολογισμών και εκτιμήσεων φαίνεται να συμβάλλει στην ανάπτυξη της αισθητοποίησης των αριθμητικών μεγεθών, την αριθμητική αίσθηση όπως εμφανίζεται στη διεθνή βιβλιογραφία, στην εξάσκηση του νου καθώς και στην ανάπτυξη άλλων μαθηματικών δεξιοτήτων όπως είναι η επίλυση προβλημάτων με τρόπο που να κάνει νόημα για τα ίδια τα παιδιά. Στο σημείο αυτό είναι απαραίτητο να διευκρινιστεί ότι με τον όρο αριθμητική αίσθηση εννοείται η ικανότητα των ανθρώπων να κατανοούν τους αριθμούς και τις πράξεις τους και να χρησιμοποιούν αυτή την κατανόηση με ευέλικτο τρόπο για να χειρίζονται αριθμητικές καταστάσεις.(mcintosh 1992, Reys and Yang 1998) «Ένα κοινό παράπονο μεταξύ των δασκάλων είναι ότι οι μαθητές / τριες, δε φαίνεται να έχουν μια αίσθηση των αριθμών και των υπολογισμών τους»(levin 1981, p 425). Επίσης έρευνες (Sowder 1992, Yang 1995 στο Dolma 2002), δείχνουν ότι ακόμη και μαθητές / τριες με εξαιρετικές επιδόσεις στην εκτέλεση αλγορίθμων επιδεικνύουν εκπληκτική αδυναμία 19

20 στην αριθμητική αίσθηση. Σύμφωνα με τον Edwards (1984 στην Dolma 2002) η αδυναμία αυτή των παιδιών μπορεί να βελτιωθεί με τη διδασκαλία των κατά προσέγγιση υπολογισμών. «Το επιχείρημα για την προτεραιότητα που πρέπει να δοθεί στη διδασκαλία των αριθμητικών εκτιμήσεων είναι η ανάγκη να αναπτυχθεί η αριθμητική αίσθηση των παιδιών», τονίζει ο ίδιος. Την ίδια στιγμή και έως πολύ πρόσφατα, τα παιδιά στα πλαίσια της μαθηματικής τους παιδείας που δέχονταν από το ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα καλούνταν να υπολογίσουν αποτελέσματα πράξεων αποκλειστικά και μόνο με τον παραδοσιακό τρόπο, δηλαδή ακολουθώντας τα βήματα κάποιου αλγόριθμου, ενώ η διδασκαλία νοερών υπολογισμών ήταν ανύπαρκτη. Ένα βασικό στοιχείο όμως που διακρίνει τους προσεγγιστικούς υπολογισμούς από τα αλγοριθμικά αποτελέσματα είναι ότι οι πρώτοι έχουν ολιστικό χαρακτήρα. «Στην προσεγγιστική αριθμητική χειριζόμαστε τους αριθμούς ως ολότητες, ενώ αντίθετα στους αλγόριθμους ασχολούμαστε μόνο με τα ψηφία των αριθμών. Έτσι στους από μνήμης υπολογισμούς έχουμε νοητικές εικόνες που διευκολύνουν την κατανόηση των μεγεθών που παριστάνουν οι αριθμοί, ενώ αντίθετα στις αλγοριθμικές διαδικασίες απουσιάζει αυτή η κατανόηση, αφού κατά την εκτέλεση του αλγόριθμου δουλεύουμε σε ένα κατώτερο επίπεδο, σε αυτό των ψηφίων» Χαλάτσης (1998). Οι Rathmell & Trafton (1990 στην Dolma 2002) τονίζουν ότι: «οι εκτιμήσεις βοηθούν τα παιδιά να αναπτύξουν την ικανότητα να σκεφτούν με αριθμούς και τους παρέχουν τη βάση για να κρίνουν τη λογικότητα των αποτελεσμάτων». Η μονοδιάστατη επομένως διδασκαλία των αριθμητικών υπολογισμών και η εμμονή στη διδασκαλία των τυπικών αλγοριθμικών διαδικασιών κάθε άλλο παρά θετικά αποτελέσματα επιφέρει στην προσπάθεια των παιδιών να κατανοήσουν τους αριθμούς και να κάνουν πράξεις με αυτούς με τέτοιο τρόπο που να κάνει νόημα για τα ίδια τα παιδιά. Ο Yang (1995) όπως αναφέρεται στην Dolma (2002) βασιζόμενος σε πολλές έρευνες (Burton 1993, Edwards 1984, Greenes, Schulman & Spungin 1993, Hiebert 1988, Markovits and Sowder 1994, Mclntosh, Reys and Reys 1992, Reys et al 1991, Sowder 1988, 1992) αναφέρει ότι: «οι υπολογιστικές 20

21 εκτιμήσεις διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της αριθμητικής αίσθησης. Αδυναμίες στην εκτέλεση υπολογιστικών εκτιμήσεων ίσως αποκαλύψουν έλλειψη αριθμητικής αίσθησης». «Αυτή η έλλειψη προκαλεί ανυπέρβλητα εμπόδια στην προσπάθεια των παιδιών να μάθουν Μαθηματικά. Για παράδειγμα εάν ένα παιδί αποτυγχάνει να κατανοήσει ότι το 1,50 είναι διαφορετική έκφραση του 1,5 και ότι το ¾ είναι λιγότερο από 1, τότε το συγκεκριμένο παιδί θα πρέπει να θυμάται πλήθος κανόνων ώστε να αντιμετωπίσει τις καθημερινές αριθμητικές καταστάσεις. Έτσι λοιπόν για πολλά παιδιά η μάθηση των Μαθηματικών φαίνεται ότι δε συμβαίνει με κανένα άλλο τρόπο παρά μόνο με την αποστήθιση» επισημαίνει η Dolma (2002, p 12). Η μάθηση με αποστήθιση φαίνεται να συμβάλλει στην αδυναμία των μαθητών να κατανοήσουν τι κάνουν ή τι μαθαίνουν μέσα στην τάξη κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας των Μαθηματικών. Για παράδειγμα η Dolma(2002) στη διάρκεια ενός μαθήματος έδωσε μια δραστηριότητα πρόσθεσης των ακέραιων αριθμών και τους ζήτησε να εκτιμήσουν το άθροισμά τους χωρίς τη χρήση χαρτιού και μολυβιού. Η απάντηση που δόθηκε ήταν ο αριθμός Το συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι τα παιδιά έλυσαν μηχανικά το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο της πρόσθεσης αλλά υστερούσαν σε ότι αφορά την αισθητοποίηση/ νοηματοδότηση των αριθμητικών μεγεθών καθώς διαπιστώθηκε η αδυναμία τους να κρίνουν ότι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης που τους ζητήθηκε δεν μπορούσε να ξεπερνά τη χιλιάδα. Ένα τέτοιο παράδειγμα αποδεικνύει ότι τα παιδιά «δε δουλεύουν με αριθμούς και σχέσεις αλλά μόνο με ψηφία», όπως τονίζει και ο Hope(1986, p 50). Σε έρευνες των Macintosh, Reys &Reys (1997 στην Dolma 2002) αναφέρεται ότι στην προσπάθεια εκτίμησης του γινομένου 24 x 0,98 από τις επιλογές «περισσότερο από 24», «λιγότερο από 24» και «αδύνατο να απαντήσω χωρίς να υπολογιστεί» πάνω από 60% των μαθητών Β 21

22 Γυμνασίου αποκρίθηκαν λανθασμένα στην ερώτηση. Επίσης οι απαντήσεις που έδωσαν δεκατριάχρονοι/ες μαθητές /τριες από τις Ηνωμένες Πολιτείες στην εκτίμηση του αθροίσματος των κλασμάτων 12/13 και 7/8 ήταν απογοητευτικές. Από τις επιλογές των αριθμών «1,2,19,21» και της φράσης «δεν ξέρω» πάνω από 50% έδωσε τις λανθασμένες απαντήσεις 19 ή 21. «Από τις έρευνες που παρουσιάστηκαν παραπάνω φαίνεται η έλλειψη κατανόησης, από την πλευρά των παιδιών, της αριθμητικής αίσθησης των μαθηματικών πράξεων και των υπολογισμών» επισημαίνει η Dolma (2002, p 12). «Αυτό συμβαίνει διότι οι μαθητές πολύ συχνά ενθαρρύνονται να ακολουθούν και να απομνημονεύουν κανόνες και σύμβολα παρά να αποδίδουν νόημα στις αριθμητικές καταστάσεις τις οποίες χειρίζονται» (Yang 1995 στην Dolma 2002). Προκειμένου να αντιμετωπιστεί λοιπόν αυτό το φαινόμενο πολλοί ερευνητές έχουν διεξάγει έρευνες και έχουν παρουσιάσει αναρίθμητες αποδείξεις αναφορικά με το πώς οι εκτιμήσεις συμβάλλουν στην ανάπτυξη της αριθμητικής αίσθησης (Campell & Clements, 1990 στην Dolma 2002). Η άποψη αυτή υποστηρίζεται και από τους Poulter & Haylock (1988 στην Dolma 2002) οι οποίοι αναφέρουν ότι: «Ο χρόνος που παρέχεται στη διδασκαλία εκτιμήσεων είναι εξαιρετικά σημαντικός. Οι μαθητές όχι μόνο αποκτούν χρήσιμες δεξιότητες, ιδιαίτερα αν οι εκτιμήσεις διδάσκονται σε οικεία για τα παιδιά περιβάλλοντα, αλλά επίσης γίνονται πιο ικανοί στο να σκεφτούν με τους αριθμούς, να αποκτήσουν ευελιξία στη σκέψη τους, να γνωρίσουν τη σχέση μεταξύ διαφορετικών αριθμητικών πράξεων και γενικότερα να αναπτύξουν μια καλύτερη αίσθηση των αριθμών». Επομένως η αριθμητική αίσθηση των παιδιών βελτιώνεται όταν ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν αριθμούς σε καταστάσεις της πραγματικής ζωής και όταν ενισχύονται να εκτιμούν αριθμητικές ποσότητες σε διαφορετικά μαθηματικά περιβάλλοντα. Το ίδιο υποστηρίζεται και από τον Lang (2001 στην Dolma 2002) ο οποίος προτείνει ότι «προσφέροντας στα παιδιά ευκαιρίες εκτίμησης αποτελεσμάτων σε ποικίλα περιβάλλοντα, οι 22

23 εκπαιδευτικοί μπορούν να βοηθήσουν τα παιδιά να αναπτύξουν τα θεμέλια που είναι απαραίτητα έτσι ώστε να χτίσουν μια καλύτερη αίσθηση των αριθμών και των μεγεθών που αυτοί εκφράζουν». Αλλά και η Sowder (1988 στην Dolma 2002) τονίζει ότι: «τα παιδιά θα πρέπει να μαθαίνουν όχι μόνο πώς να εξάγουν ακριβείς απαντήσεις με τη βοήθεια αλγορίθμων αλλά και να αναπτύξουν μια καλύτερη κατανόηση των σημασιών των αριθμών καθώς και τις σχέσεις μεταξύ αριθμών και πράξεων». Σημαντική είναι επίσης η συμβολή των υπολογιστικών εκτιμήσεων στην εξάσκηση του νου και στην ανάπτυξη της σκέψης. «Οι νοεροί υπολογισμοί θέτουν σε εγρήγορση τη σκέψη κάθε παιδιού καθώς το ίδιο θα πρέπει να προβληματιστεί, να επινοήσει και να επιλέξει κατάλληλους τρόπους ώστε να φτάσει πιο εύκολα και γρήγορα στο προσεγγιστικό αποτέλεσμα. Τα βήματα που θα ακολουθήσει δεν είναι προδιαγεγραμμένα. Όταν πρόκειται να εκτελέσει έναν προσεγγιστικό αριθμητικό υπολογισμό με το νου βρίσκεται κάθε φορά μπροστά σε ένα καινούριο πρόβλημα αφού δεν έχει έτοιμη τη διαδικασία που οδηγεί στο εξαγόμενο. Αντίθετα στο γραπτό αριθμητικό λογισμό όλα είναι προκαθορισμένα. Για την ίδια πράξη όλοι θα ακολουθήσουμε την ίδια ακριβώς πορεία»(χαλάτσης 1998). Όπως αναφέρει και ο Micklo (1999, 142) «για να κάνει κανείς μια εκτίμηση θα πρέπει προηγουμένως να σκεφτεί» Το παιδί λοιπόν θα πρέπει να σκεφτεί ώστε κάθε φορά να μετασχηματίζει τους αριθμούς κατάλληλα για να μπορεί να εκτελέσει την πράξη με το νου. Για παράδειγμα το 60% των γίνεται περίπου 3/5 των = ή για να υπολογίσει το γινόμενο 263x37 θα πρέπει πρώτα να στρογγυλοποιήσει τους παραπάνω αριθμούς 263x37 250x40=100 00= Παράλληλα η διδασκαλία των αριθμητικών εκτιμήσεων παρέχει τη δυνατότητα στους / στις μαθητές / τριες να εξερευνήσουν και να δομήσουν στρατηγικές υπολογισμού με τρόπο που να γίνονται κατανοητές από τα ίδια 23

24 τα παιδιά. «Οι δεξιότητες που διδάσκονται μηχανικά χρησιμοποιώντας παραδοσιακές προσεγγίσεις συχνά δε γίνονται κατανοητές διότι στερούνται εννοιολογικής βάσης» τονίζει ο Swan(1990). Ο μονοδιάστατος τρόπος διδασκαλίας λοιπόν των παραδοσιακών αλγόριθμων αποτελεί εμπόδιο στην ανάπτυξη και την εξέλιξη της σκέψης των παιδιών και στην εξεύρεση από μέρους τους νέων τρόπων υπολογισμών. Η Robitalle (στο Hope 1986,50) αναφέρεται στην αδυναμία των παιδιών να κάνουν λογικούς συλλογισμούς με αριθμούς λέγοντας: «Οι υπολογισμοί αντιμετωπίζονται από τα παιδιά και τους ενήλικες σαν ένας τρόπος να πάρουμε μία και μόνο σωστή απάντηση ενώ το αν η μέθοδος που ακολουθήθηκε για να φτάσουμε σε αυτή την απάντηση καθώς και αν η ίδια η απάντηση έχει νόημα ή όχι απασχολεί ελάχιστα την πλειοψηφία των ανθρώπων». Για τον Hope(1986) είναι πολύ σημαντικό να επιτρέπουμε στα παιδιά να χρησιμοποιούν τη δική τους κατανόηση που έχουν για τους αριθμούς και να επινοούν τρόπους ώστε να φτάνουν σε γρήγορες λύσεις. Και ο Reys (1981) τονίζει ότι η ενασχόληση των παιδιών με στρατηγικές υπολογιστικών εκτιμήσεων έχει ως αποτέλεσμα τα παιδιά να αναπτύσσουν στο τέλος τις δικές τους προσωπικές προσεγγίσεις. Για παράδειγμα συνεντεύξεις με 35 παιδιά αποκάλυψαν οχτώ διαφορετικούς τρόπους εκτίμησης του φιλοδωρήματος που θα δινόταν στο σερβιτόρο ενός εστιατορίου.( Reys 1980 στο Reys 1981) Παράλληλα με το να αγνοούμε την προσεγγιστική αριθμητική καταστρέφουμε ένα μέρος της μαγείας των μαθηματικών. Η διαδικασία εκτέλεσης γραπτών αριθμητικών πράξεων ώστε να προκύψουν τα ακριβή εξαγόμενα αποτελεί ένα μέρος μόνο των μαθηματικών. Συχνά όμως η εμμονή για την εύρεση των ακριβών τιμών μας αναγκάζει να κάνουμε κάποιους μη απαραίτητους υπολογισμούς και έτσι κρατάμε τους / τις μαθητές/ τριες μακριά από την απόκτηση καινούριων εμπειριών όπως είναι οι κατά προσέγγιση υπολογισμοί (Usiskin,1986). Με αυτό τον τρόπο όμως «σκοτώνουμε τη διαίσθηση με τη λεπτομέρεια και ενισχύουμε τη 24

25 λανθασμένη αντίληψη ότι η ακρίβεια πάντα είναι προτιμότερη από την προσέγγιση» επισημαίνει ο Usiskin ( 1986, p 15). 2.5 Η θέση των αριθμητικών εκτιμήσεων στα αναλυτικά προγράμματα. Σύμφωνα με τα όσα προηγήθηκαν γίνεται φανερό ότι αν θέλουμε η αριθμητική που διδάσκεται στο σχολείο να είναι προσανατολισμένη στις πρακτικές ανάγκες της καθημερινής ζωής, να οξύνει την κριτική σκέψη των μαθητών / τριών και να τους / τις προετοιμάζει για την παραπέρα μαθηματική τους εκπαίδευση τότε θα πρέπει στο πρόγραμμά της να περιληφθεί οπωσδήποτε και η διδασκαλία των αριθμητικών εκτιμήσεων. Ωστόσο κάνοντας μια ανασκόπηση του μαθηματικού περιεχομένου που διδάσκονταν οι μαθητές / τριες στο δημοτικό σχολείο ελάχιστη έως καμία σημασία δεν είχε δοθεί στην καλλιέργεια της παραπάνω δεξιότητας. «Είναι γεγονός ότι στο Δημοτικό Σχολείο υπήρχε και εξακολουθεί να υπάρχει μια έντονη κυριαρχία των γραπτών παραδοσιακών αλγόριθμων. Αν και οι αριθμητικοί υπολογισμοί μπορούν να εκτελεστούν νοερά ή με τη βοήθεια του υπολογιστή τσέπης, η άσκηση των αλγόριθμων έχει μονοπωλήσει τη διδασκαλία της αριθμητικής» τονίζει η Κοτσακώστα (2007). Βασικά οι δυνατότητες των μαθητών / τριων ξοδεύονται στην απόκτηση συμβόλων της αριθμητικής καθώς και στους υπολογισμούς αποτελεσμάτων (Μπούφη 1992 στο Κοτσακώστα 2007). Κάνοντας μια αναδρομή σε παλαιότερα προγράμματα σπουδών των μαθηματικών για το δημοτικό σχολείο η Κοτσακώστα (2007, p 313) αναφέρει ότι «οι νοεροί υπολογισμοί θεωρούνται ξεκάθαρα ως ένας από τους βασικούς στόχους της διδασκαλίας και της μάθησης των μαθηματικών για πρώτη φορά στο αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών του1982. Οι μεθοδολογικές οδηγίες του αναλυτικού προγράμματος σπουδών και οι ελάχιστες τροποποιήσεις των σχολικών βιβλίων του 1985, δεν ήταν αρκετές για να προάγουν τους νοερούς και προσεγγιστικούς υπολογισμούς 25

26 και έτσι η καθημερινή σχολική πρακτική περιορίστηκε βασικά στους γραπτούς υπολογισμούς». Η διδασκαλία της προσεγγιστικής εκτίμησης,συνεχίζει, εισάγεται για πρώτη φορά στο πρόγραμμα σπουδών του 1999 και αφορά μόνο στις δύο τελευταίες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Χαρακτηριστικά αναφέρεται: «Στην Ε και ΣΤ τάξη οι μαθητές προτείνεται να ασκούνται αρκετά στην προσεγγιστική εκτίμηση, που αφορά τη δυνατότητα αναγνώρισης της ορθότητας ενός αποτελέσματος. Αυτό θα τους βοηθήσει τόσο στη λύση ασκήσεων και προβλημάτων στο χαρτί όσο και στη χρήση του υπολογιστή τσέπης». (ΥΠΕΠΘ 1999). Η κατάσταση φαίνεται να αλλάζει με την εισαγωγή των καινούριων σχολικών εγχειριδίων όπως και του νέου ΑΠΣ και ΔΕΠΠΣ. Ήδη στις πρώτες σελίδες του προγράμματος σπουδών των μαθηματικών για το δημοτικό σχολείο αναφέρεται ότι μεταξύ των γενικών στόχων της διδασκαλίας του μαθήματος των μαθηματικών είναι η ανάπτυξη της ικανότητας του / της μαθητή/ τριας για μετρήσεις, υπολογισμούς και εκτιμήσεις καθώς και η καλλιέργεια της ικανότητας των παιδιών να διατυπώνουν, να εικάζουν και να υποθέτουν. Αλλά και στις επόμενες παραγράφους αναφέρεται ότι ανεξάρτητα από το περιεχόμενο της καθεμιάς ενότητας οι δραστηριότητες θα έχουν ως επίκεντρο του ενδιαφέροντός τους την ανάπτυξη της ικανότητας του παιδιού να επιλύει προβλήματα, να κάνει λογικούς συλλογισμούς, να κάνει υπολογισμούς και απλές πράξεις από μνήμης, να εκτιμά το αποτέλεσμα κατά προσέγγιση και να αξιολογεί τη λογικότητά του. Πέρα όμως από τις μεθοδολογικές οδηγίες η διδασκαλία των αριθμητικών εκτιμήσεων ευνοείται και από τις ασκήσεις που εμπεριέχονται στα καινούρια σχολικά εγχειρίδια. Στα προβλήματα που συναντούν οι μαθητές / τριες στα νέα βιβλία καλούνται πάντα να κάνουν προηγουμένως μια εκτίμηση του αποτελέσματος πριν επιλύσουν το πρόβλημα με τη χρήση των παραδοσιακών αλγόριθμων. Οι συγγραφείς θεωρούν ότι «εκτός από την πρακτική χρησιμότητά τους σε καταστάσεις της καθημερινής ζωής, οι νοεροί υπολογισμοί και οι αριθμητικές εκτιμήσεις δίνουν στα παιδιά τη δυνατότητα να κατανοήσουν καλύτερα τους αριθμούς και κάποιες ιδιότητές 26

27 τους, και να λειτουργήσουν ως πρόβλεψη και συνακόλουθα έλεγχος των αποτελεσμάτων των πράξεων» (βιβλίο δασκάλου μαθηματικών Δ τάξη, p 13). Χαρακτηριστικό μάλιστα της σημασίας που έχει δοθεί στις αριθμητικές εκτιμήσεις είναι το γεγονός ότι οι νοεροί υπολογισμοί, οι οποίοι αποτελούν προϋπόθεση για τις αριθμητικές εκτιμήσεις διδάσκονται ήδη από την πρώτη Α τάξη. Μέλος της συγγραφικής ομάδας των σχολικών εγχειριδίων της Α τάξης άλλωστε επισημαίνει ότι η ικανότητα των μαθητών/ τριών να υπολογίζουν νοερά είναι σημαντικός γνωστικός στόχος γι αυτό και οι νοερές πράξεις αποτελούν ένα από τα κεντρικά θέματα στην πρόταση που γίνεται για τη διδασκαλία του μαθήματος των Μαθηματικών (Λεμονίδης 2007). 2.6 Στρατηγικές αριθμητικών εκτιμήσεων Οι μαθητές / τριες μπορούν να αναπτύξουν και να μάθουν στρατηγικές αριθμητικών εκτιμήσεων μέσω της διδασκαλίας. (Reys 1982). Ωστόσο, η ανάπτυξη δεξιοτήτων υπολογιστικών εκτιμήσεων είναι μια διαδικασία που ολοκληρώνεται σε μακρά περίοδο χρόνου.( Reys 1984). «Παρόλο που υπάρχουν πολλά σημαντικά σημεία σε ένα ολοκληρωμένο πρόγραμμα διδασκαλίας κατ εκτίμηση υπολογισμών το πιο σημαντικό είναι η διδασκαλία των στρατηγικών υπολογισμού» (Reys 1986, p 33). Όπως και στην αριθμητική με το νου, οι μέθοδοι και οι στρατηγικές των προσεγγιστικών εκτιμήσεων είναι ποικίλες και αυτοσχέδιες. Ωστόσο, είναι δυνατό ένα σημαντικό πλήθος από αυτές τις μεθόδους να ταξινομηθούν και να διδαχθούν στους / στις μαθητές / τριες. «Καμία στρατηγική από αυτές που παρουσιάζονται στη συνέχεια δεν είναι αποτελεσματική για κάθε πρόβλημα. Η επιλογή της μιας σε βάρος της άλλης εξαρτάται από τον τύπο του προβλήματος, το μέγεθος των αριθμών και την πράξη που απαιτείται. Άλλωστε μέρος του έργου που χαρακτηρίζει έναν άνθρωπο που έχει ευχέρεια στους προσεγγιστικούς υπολογισμούς είναι 27

28 η ικανότητά του να επιλέγει και να χρησιμοποιεί στρατηγικές που ταιριάζουν στο υπό επίλυση πρόβλημα»( Reys 1986, p 35). Οι στρατηγικές που χρησιμοποιούνται στους προσεγγιστικούς υπολογισμούς έχουν μελετηθεί σε παιδιά ποικίλων επιπέδων υπολογιστικής ικανότητας (Case & Sowder 1990, Dowker 1997, Lefevre, Greenham & Waheed 1993, Newman & Berger 1984, Reys, Rybolt, Bestgen &Wyatt 1982, Sowder & Markovits 1990 στο Lemaire et all 2000). «Σε όλες από τις παραπάνω μελέτες ζητήθηκε από τα παιδιά να δώσουν προσεγγιστικές λύσεις σε αριθμητικά προβλήματα. Η ακρίβεια και η ορθότητα των απαντήσεων, όπως αυτή μετρήθηκε από την απόλυτη ή τη σχετική απόσταση από τη σωστή απάντηση, καθώς και οι προφορικές συνεντεύξεις, στη διάρκεια των οποίων τα παιδιά εξηγούσαν τον τρόπο με τον οποίο βρήκαν την απάντηση, ήταν τα δύο πράγματα τα οποία εξετάστηκαν. Το πρώτο συμπέρασμα που αναδύθηκε από τις έρευνες είναι ότι κατ αρχάς χρησιμοποιήθηκαν ποικίλες στρατηγικές αριθμητικών εκτιμήσεων ανάλογα με τον τύπο του προς επίλυση προβλήματος. Για παράδειγμα για τον κατ εκτίμηση υπολογισμό του γινομένου 46 x 58 κάποιοι/ ες στρογγυλοποίησαν και τους δύο πολλαπλασιαστέους ως εξής 50 x 60=3000, ή κάποιοι / ες άλλοι /ες στρογγυλοποίησαν μόνο τον έναν και έτσι το πρόβλημα έγινε 46 x 60 = Άλλοι/ ες πάλι στρογγυλοποίησαν μόνο προς κάτω τον έναν ή και τους δύο όρους υπολογίζοντας στο τέλος το γινόμενο 40 x 50 = Επίσης παρατηρήθηκε η μέθοδος της αποσύνθεσης του αρχικού προβλήματος σε υποπροβλήματα. Έτσι, το προσεγγιστικό αποτέλεσμα του αθροίσματος προέκυψε τελικά από το άθροισμα Παράλληλα, οι στρατηγικές υπολογιστικών εκτιμήσεων ποικίλλουν σε συχνότητα χρήσης και αποτελεσματικότητα. Κάποιες στρατηγικές βρέθηκε ότι χρησιμοποιούνται περισσότερο συχνά από ότι άλλες. Για παράδειγμα, στην εκτίμηση αθροισμάτων ή γινομένων, η στρογγυλοποίηση και των δύο αριθμών απαντάται συχνότερα από ότι η στρογγυλοποίηση μόνο του ενός. Επίσης οι στρατηγικές δεν είναι ισότιμα αποτελεσματικές αλλά καθεμιά 28

29 παράγει μία απάντηση που είναι λιγότερο ή περισσότερο κοντά στην ακριβή απάντηση. Έτσι, η στρογγυλοποίηση και των δύο αριθμών για τον υπολογισμό του αθροίσματος πετυχαίνει πιο ακριβής απάντηση ( = 100) παρά όταν στρογγυλοποιείται μόνο ο πρώτος ( = 107) ή μόνο ο δεύτερος ( = 106). Τέλος, η χρήση στρατηγικών για τους προσεγγιστικούς υπολογισμούς εξαρτάται / επηρεάζεται από τα χαρακτηριστικά του προβλήματος όπως είναι το μέγεθος των αριθμών ή η απόστασή τους από την πλησιέστερη δεκάδα. Στην έρευνα του Lefevre et all 1993 βρέθηκε ότι τα παιδιά κάνουν ορθότερες εκτιμήσεις όταν οι αριθμοί είναι μικροί όπως για παράδειγμα το άθροισμα καθώς και όταν απέχουν ελάχιστα από τις πλησιέστερες δεκάδες αντίστοιχα όπως στην περίπτωση του προβλήματος Αντίθετα όταν οι αριθμοί εκφράζουν μεγάλα μεγέθη όπως συμβαίνει στην περίπτωση υπολογισμού του αθροίσματος ή όταν απέχουν αρκετά από τις πλησιέστερες δεκάδες όπως στο άθροισμα τα παιδιά συναντούν επιπρόσθετες δυσκολίες στην προσπάθεια υπολογισμού μιας εκτίμησης» (Lemaire, 2000, p 141). Σύμφωνα με έρευνa (Reys, 1986) οι στρατηγικές των αριθμητικών εκτιμήσεων ταξινομούνται ως εξής: 1. Στρατηγική των σημαντικών από μπροστά ψηφίων (front end strategy): «Για την εφαρμογή αυτής της στρατηγικής επικεντρωνόμαστε στα μπροστινά ψηφία κάθε αριθμού διότι αυτά έχουν τη μεγαλύτερη θεσιακή αξία και είναι τα πιο σημαντικά για να σχηματίσουμε μια αρχική εκτίμηση. Στη συνέχεια απαιτείται μια ρύθμιση της αρχικής εκτίμησης ώστε το προσεγγιστικό αποτέλεσμα να είναι πιο κοντά στο ακριβές. Για παράδειγμα αν έχουμε να προσθέσουμε τους αριθμούς , χωρίς τη χρήση χαρτιού και μολυβιού, αρχικά σκεφτόμαστε = 5 και επειδή τα ψηφία είναι χιλιάδες άρα η αρχική μας εκτίμηση θα είναι Στη συνέχεια σκεφτόμαστε ότι μας κάνουν άλλες 2000 άρα η τελική εκτίμηση θα 29

30 είναι = Η στρατηγική αυτή προτείνεται για τη διδασκαλία σε μικρές τάξεις διότι τα παιδιά βλέπουν μπροστά τους τα νούμερα που χειρίζονται και δε χρειάζεται να αλλάξει η μορφή τους. Η εφαρμογή της στον πολλαπλασιασμό θυμίζει τον τρόπο με τον οποίο σκεφτόμαστε για να βρούμε το ακριβές εξαγόμενο. Για παράδειγμα αν θέλουμε να υπολογίσουμε το γινόμενο 4 x 736 σκεφτόμαστε: 4 x 700 = 2800 και στη συνέχεια ότι 4 x 36 είναι τουλάχιστο 100. Άρα η τελική εκτίμηση θα είναι περίπου =2900. Παρόλο που η στρατηγική αυτή εφαρμόζεται σε κάθε αριθμητική πράξη συνήθως είναι πιο εύχρηστη στην πρόσθεση» (Reys, 1986, p ). 2. Στρατηγική της ομαδοποίησης (clustering strategy): «Η στρατηγική αυτή ταιριάζει για έναν ιδιαίτερο τύπο προβλημάτων που συναντούμε συνήθως στην καθημερινή μας ζωή. Χρησιμοποιείται για μια ομάδα αριθμών που όλοι κυμαίνονται γύρω από μια σταθερή αξία. Για παράδειγμα έστω ότι έχουμε να προσθέσουμε τους αριθμούς εφόσον όλοι οι έξι 6 παραπάνω αριθμοί είναι κοντά στην ίδια αξία, δηλαδή το , πολλαπλασιάζουμε 6 x και έχουμε το προσεγγιστικό αποτέλεσμα Η στρατηγική αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο με ακέραιους αλλά και με δεκαδικούς και κλάσματα. Αποτρέπει τη νοητική ταξινόμηση μακράς λίστας μπροστινών ψηφίων ή στρογγυλοποιημένων αριθμών δημιουργώντας ένα πρόβλημα με λιγότερα ψηφία τα οποία είναι εύκολο να υπολογιστούν» (Reys, 1986, p 38 39). 3. Στρατηγική της στρογγυλοποίησης (rounding strategy): «Η στρατηγική αυτή είναι μια αποτελεσματική διαδικασία για την εκτίμηση δύο πολυψήφιων αριθμών. Περιλαμβάνει πρώτα στρογγυλοποίηση των αριθμών και έπειτα υπολογισμό της πράξης με τα στρογγυλοποιημένα νούμερα. Η στρογγυλοποίηση μπορεί να γίνει 30

31 προς τα πάνω όπως στην περίπτωση υπολογισμού του γινομένου 28 x 56 που γίνεται 30 x 60 = 1800, προς τα κάτω όπως στην περίπτωση 62 x 23 όπου το προσεγγιστικό αποτέλεσμα μπορεί να είναι 60 x 20 = 1200 ή εναλλάξ όπως για παράδειγμα το 62 x 79 που γίνεται 60 x 80=4800. Ένα τρίτο βήμα ρύθμισης πολλές φορές χρειάζεται όταν και οι δύο αριθμοί στρογγυλοποιούνται προς την ίδια κατεύθυνση. Για παράδειγμα το γινόμενο 28 x 56 είναι περίπου 30 x 60 = Ο αριθμός 1800 είναι μια υπερεκτίμηση καθώς και οι δύο αριθμοί στρογγυλοποιήθηκαν προς τα πάνω. Αντίθετα στην περίπτωση όπου ο ένας αριθμός στρογγυλοποιείται προς τα πάνω και ο άλλος προς τα κάτω η ρύθμιση γίνεται αυτόματα και το αποτέλεσμα είναι πολλές φορές ικανοποιητικό χωρίς επιπλέον ρύθμιση. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το 61 x 79 όπου γίνεται 60 x 80 =4800. Ο αριθμός 4800 είναι μια ικανοποιητική προσέγγιση» (Reys, 1986, p ). 4. Στρατηγική των συμβατών αριθμών (compatible Numbers Strategy)`: Σύμφωνα με αυτή τη στρατηγική επιλέγουμε αριθμούς που κάνουν εύκολο τον υπολογισμό και ταυτόχρονα δίνουν μια καλή εκτίμηση του αποτελέσματος. Η στρατηγική αυτή είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική όταν χρησιμοποιείται σε προβλήματα διαίρεσης. Για παράδειγμα συμβατοί αριθμοί ώστε να υπολογιστεί το πηλίκο 3388:7 μπορεί να είναι οι 3500:7, 3200:8, ή 4000:8. Η στρατηγική αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί επίσης και για την πρόσθεση με πολλούς προσθετέους. Για παράδειγμα όταν έχουμε να προσθέσουμε τους αριθμούς ψάχνουμε για ζευγάρια αριθμών που μας δίνουν αποτελέσματα τα οποία μπορούν να προστεθούν εύκολα. Έτσι, στη συγκεκριμένη περίπτωση έχουμε κάνει περίπου 100, περίπου 100 και περίπου 100 άρα το τελικό προσεγγιστικό αποτέλεσμα θα είναι περίπου 300» (Reys, 1986, p 41). 31

32 5. Στρατηγική ειδικών αριθμών (Special Numbers Strategy): «Οι μαθητές / τριες χρησιμοποιούν αυτή τη στρατηγική όταν αναζητούν αριθμούς που είναι κοντά σε «ειδικές αξίες» και οι οποίες είναι εύκολο να υπολογιστούν νοερά. Οι «ειδικές αξίες» αφορούν δυνάμεις του 10, γνωστά κλάσματα και δεκαδικούς. Για παράδειγμα το άθροισμα 7/8 + 12/13 θα είναι περίπου 2 αφού το καθένα κλάσμα είναι κοντά στο 1. Το 23/45 του 720 θα είναι περίπου το ½ του 720 μια και το 23/45 είναι περίπου ½ και το 436,2:0,98 μας δίνει περίπου 1 αφού το 0,98 είναι κοντά στο 1» (Reys, 1986, p 42). Η εισαγωγή του περιεχομένου των αριθμητικών εκτιμήσεων στα καινούρια σχολικά εγχειρίδια και η διδασκαλία των στρατηγικών στα παιδιά αποτελεί ένα θετικό βήμα καθώς, όπως σημειώθηκε παραπάνω, παρέχει τη δυνατότητα στα παιδιά να αποκτήσουν εφόδια για την παραπέρα μαθηματική τους εκπαίδευση αλλά και για να ανταποκριθούν στις ανάγκες της καθημερινής ζωής σε μια σύγχρονη και τεχνολογικά ανεπτυγμένη κοινωνία. Ωστόσο για την αξιοποίηση αυτού του καινούριου περιεχομένου είναι πολύ σημαντικός ο ρόλος του/ της εκπαιδευτικού που θα το διδάξει. Παρόλα αυτά όμως είναι γενική πεποίθηση ότι τα μαθηματικά ταυτίζονται με την ακρίβεια. Στην κοινή αντίληψη μαθηματικά σημαίνει υπολογίζω το ακριβές αποτέλεσμα μια πράξης με την παραδοσιακή χρήση των αλγόριθμων. Έτσι, κατά την άποψη των περισσότερων δασκάλων οι προσεγγιστικοί υπολογισμοί δεν είναι μαθηματικά ή τουλάχιστον δεν μπορούν να έχουν σχέση με τη σχολική διδασκαλία. (Χαλάτσης 1998). Πέρα λοιπόν από την εισαγωγή των αριθμητικών εκτιμήσεων στα καινούρια σχολικά εγχειρίδια είναι απαραίτητη και η αλλαγή των πεποιθήσεων των εκπαιδευτικών για την επιτυχή διδασκαλία του καινούριου για τα ελληνικά δεδομένα περιεχομένου. Με ποιο τρόπο όμως είναι δυνατό να επιτευχθεί αυτή η διδασκαλία; 32

33 2.7 Διδασκαλία των αριθμητικών εκτιμήσεων «Οι κατ εκτίμηση υπολογισμοί προϋποθέτουν μια ποικιλία δεξιοτήτων, αναπτύσσονται και βελτιώνονται σε μακρά περίοδο χρόνου. Όπως και η εκμάθηση της διαδικασίας της επίλυσης προβλήματος, έτσι και οι κατά προσέγγιση υπολογισμοί δεν είναι ένα περιεχόμενο που μπορεί να διδαχθεί απομονωμένα σε ένα μόνο κεφάλαιο του μαθήματος των μαθηματικών. Αντίθετα, διεισδύει σε πολλά περιεχόμενα του αναλυτικού προγράμματος και για να είναι αποτελεσματική η εκμάθηση στρατηγικών υπολογιστικών εκτιμήσεων πρέπει η ενασχόληση με αυτές να ενθαρρύνεται σε όλη τη διάρκεια της διδασκαλίας των μαθηματικών στα πλαίσια μιας σχολικής χρονιάς» (Reys, 1986, p 31). Η Sowder (1990, p 19) στο άρθρο της Μental computation and number sense προτείνει ότι: «η ενασχόληση με τις στρατηγικές των κατ εκτίμηση υπολογισμών δεν θα πρέπει να καθυστερεί αλλά να εισάγεται αμέσως μετά την μάθηση και την εξοικείωση με τους τυπικούς γραπτούς αλγόριθμους. Σε διαφορετική περίπτωση οι μαθητές/ τριες ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν νοητικά μόνο τον τρόπο υπολογισμού που είναι αποτελεσματικός με τη χρήση χαρτιού και μολυβιού παραβλέποντας άλλους τρόπους που οδηγούν ευκολότερα και γρηγορότερα στο αποτέλεσμα μιας αριθμητικής πράξης». Όπως και η επίλυση προβλημάτων οι στρατηγικές αριθμητικών εκτιμήσεων γίνονται κτήμα των παιδιών μέσω της προσεκτική διδασκαλίας, συζήτησης πάνω σε αυτές και χρήσης. Γι αυτό λοιπόν, σύμφωνα με τη βιβλιογραφία (Reys 1986,) προκειμένου να επιφέρει καλύτερα αποτελέσματα, η ανάπτυξη ενός ολοκληρωμένου προγράμματος είναι απαραίτητο να περιλαμβάνει τις ακόλουθες τρεις φάσεις. 1. «Διδασκαλία της στρατηγικής: για να μπορέσουν οι μαθητές/ τριες να χρησιμοποιήσουν τις στρατηγικές υπολογιστικών εκτιμήσεων είναι απαραίτητο να τις διδαχθούν προηγουμένως τα περισσότερα παιδιά δεν αναπτύσσουν αυτές τις στρατηγικές από μόνα τους. Η εξήγηση 33

34 της στρατηγικής περιλαμβάνει ότιδήποτε θα μπορούσε να βοηθήσει τα παιδιά να κατανοήσουν τη λογική της. Προαπαιτούμενες δεξιότητες όπως η γνώση βασικών αριθμητικών πράξεων και η θεσιακή αξία πρέπει να λαμβάνονται υπόψη κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας της στρατηγικής. Επίσης καλύτερη κατανόηση της στρατηγικής επιτυγχάνεται όταν αυτή εφαρμόζεται σε διαφορετικές καταστάσεις. Η πρακτική πάνω στη στρατηγική είναι απαραίτητη αλλά η διδασκαλία καθεμιάς στρατηγικής θα συμπληρώνει, θα κατευθύνει και θα προωθεί πρακτική που κάνει νόημα στα ίδια τα παιδιά. 2. Πρακτική εξάσκηση: αφού τα παιδιά διδαχθούν μια συγκεκριμένη στρατηγική μικρά ολιγόλεπτα μαθήματα είναι απαραίτητα. Ένας τέτοιος προγραμματισμός βοηθάει τα παιδιά να κατανοήσουν τα βασικά σημεία της στρατηγικής, βελτιώνει τις δεξιότητες νοητικών υπολογισμών και επιπλέον παρέχει ευκαιρίες για περαιτέρω βελτίωσή τους στις δεξιότητες προσεγγιστικού υπολογισμού. Οι ασκήσεις εξάσκησης είναι απαραίτητο να ποικίλουν και να επικεντρώνονται όχι μόνο στην ίδια την απάντηση αλλά και σε συζήτηση του πώς τα παιδιά έφτασαν στην απάντηση που έδωσαν» (Reys, 1986, p 42). «Οι ασκήσεις που δίνονται στα παιδιά θα πρέπει να περιλαμβάνουν σύνθετους αριθμούς έτσι ώστε να ενθαρρύνεται η εκτίμηση παρά ο υπολογισμός του ακριβούς εξαγόμενου της αριθμητικής πράξης. Για παράδειγμα η εύρεση του γινομένου 68 x 10 είναι κατάλληλη για να υπολογιστεί με το νου ενώ το γινόμενο 68 x 12 απαιτεί εκτίμηση. Επίσης το πρόβλημα όπως μπορεί εύκολα να υπολογιστεί ακριβώς με το νου ενώ το άθροισμα ενθαρρύνει τον κατά προσέγγιση υπολογισμό. Γενικότερα στα προβλήματα προσθετικού τύπου είναι απαραίτητο να υπάρχουν πολλοί προσθετέοι ή πολυψήφιοι αριθμοί. Τα παιδιά παράλληλα είναι απαραίτητο να γνωρίζουν ότι δεν έχουν άπειρο χρόνο στη διάθεσή τους προκειμένου να δώσουν μια απάντηση αλλά ακόμη και 34

35 όταν μπορούν να υπολογίσουν το ακριβές αποτέλεσμα με το νου πρέπει να συνειδητοποιήσουν ότι αυτό είναι μια μακρά και επίπονη διαδικασία. Όσο θα συνηθίζουν να απαντούν γρήγορα και σωστά τόσο θα αναγνωρίζουν την αξία των υπολογιστικών εκτιμήσεων. Παρόλα αυτά βέβαια είναι σημαντικό στην αρχή της εφαρμογής του προγράμματος διδασκαλίας αριθμητικών εκτιμήσεων τα παιδιά να αποκτήσουν το αίσθημα της επιτυχίας καθώς και ότι μπορούν να τα καταφέρουν» (Reys et all, 1981, p 126). Σε αντίθετη περίπτωση η αποτυχία και η συνακόλουθη αίσθηση της απογοήτευσης θα επισκιάσει οποιαδήποτε προσπάθεια διδασκαλίας των αριθμητικών εκτιμήσεων και θα επιφέρει κάθε άλλο παρά θετικά αποτελέσματα. Ο /η εκπαιδευτικός συνεπώς είναι απαραίτητο να φροντίσει έτσι ώστε η διδασκαλία να διεξάγεται με παιγνιώδη μορφή που θα είναι μια ευχάριστη διαδικασία για τα παιδιά παρά να μετατραπεί σε μια βασανιστική πορεία για τα ίδια. 3. «Αξιολόγηση: η τρίτη και τελευταία φάση περιλαμβάνει την αξιολόγηση της διδασκαλίας. Οι ασκήσεις αξιολόγησης σε περιοδικά χρονικά διαστήματα (κάθε 3-4 εβδομάδες) αυξάνουν την κινητοποίηση των μαθητών / τριων για να αναπτύξουν δεξιότητες κατ εκτίμηση υπολογισμού καθώς ενημερώνονται για την πρόοδό τους. Η καθεμιά ερώτηση πρέπει να επιδεικνύεται ταυτόχρονα σε όλη την τάξη και ο χρόνος που θα διατίθεται για καθεμιά ο οποίος σύμφωνα με τον Reys προτείνεται να είναι γύρω στα 20 sec πρέπει να ελέγχεται προσεκτικά»(reys, 1986, p 44). Και αυτό διότι σε διαφορετική περίπτωση «η αξιολόγηση θα είναι ένα μέτρο της ικανότητας των παιδιών να εκτελούν νοητικά τους παραδοσιακούς αλγόριθμους που χρησιμοποιούν με το χαρτί και το μολύβι παρά της ικανότητάς τους για κατ εκτίμηση υπολογισμούς. Τέλος ο χρόνος αξιολόγησης δε θα πρέπει να ξεπερνά τα λεπτά, μια και η χρονομέτρηση κάθε ερώτησης απαιτεί υψηλό επίπεδο προσοχής και συγκέντρωσης, παράγοντες οι οποίοι προκαλούν την κούραση από μέρους των παιδιών πολύ γρήγορα»( Reys, 1981, p 124). 35

36 Παράλληλα κατά το σχεδιασμό ενός προγράμματος διδασκαλίας κατ εκτίμηση υπολογισμών ο / η εκπαιδευτικός πρέπει να έχει υπόψη του / της δύο παράγοντες που επηρεάζουν τις επιδόσεις των παιδιών στο παραπάνω περιεχόμενο. Ο πρώτος είναι η αυτοπεποίθηση των μαθητών/ τριων. «Υπάρχει μια σχέση μεταξύ της ικανότητας των παιδιών να φέρουν σε πέρας προσεγγιστικούς υπολογισμούς και του αυξημένου αισθήματος αυτοπεποίθησής τους ότι μπορούν να τα καταφέρουν» τονίζει η Sowder στο άρθρο της Estimation and number sense (p 379). «Μαθητές/ τριες με υψηλό το αίσθημα αυτοπεποίθησής τους τείνουν να μαθαίνουν περισσότερα, αισθάνονται καλύτερα με τους εαυτούς τους και δείχνουν περισσότερο ενδιαφέρον στο να ακολουθήσουν μαθηματικές ιδέες σε σύγκριση με τους / τις μαθητές/ τριες που στερούνται αυτοπεποίθησης» επισημαίνει η Reys (1984 στη Sowder, 1992). Επιπλέον σε μια μελέτη των Reys et all (1982 στη Sowder, 1992) μαθητές / τριες με εξαιρετικές επιδόσεις στις αριθμητικές εκτιμήσεις βρέθηκε ότι ήταν αρκετά πεπεισμένοι για τις ικανότητές τους. Αλλά και η Sowder (1989) κατέληξε στο ίδιο συμπέρασμα. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της έρευνά της διαπιστώθηκε ότι μαθητές / τριες με ευχέρεια στους προσεγγιστικούς υπολογισμούς ήταν πεπεισμένοι για τις ικανότητές τους στα μαθηματικά και απέδιδαν την επιτυχία τους σε αυτές τους τις ικανότητες ενώ την αποτυχία τους σε εξωτερικές αιτίες όπως η δυσκολία της άσκησης ή στην έλλειψη προσπάθειας από μέρους τους. Από την άλλη μεριά μαθητές / τριες που δεν είχαν αυξημένες επιδόσεις στους κατ εκτίμηση υπολογισμούς στερούνταν αυτοπεποίθησης στην ικανότητά τους να κάνουν μαθηματικά και απέδιδαν την επιτυχία τους σε παράγοντες όπως η προσπάθεια που κατέβαλαν ή η βοήθεια που δέχτηκαν από άλλο και την αποτυχία στην έλλειψη ικανότητάς τους. Φαίνεται, καταλήγει η ερευνήτρια, ότι αυτή η δεύτερη ομάδα παιδιών είναι απίθανο να τα πάει καλά με τις αριθμητικές εκτιμήσεις καθώς τις αντιμετωπίζει σαν ρίσκο. Θεωρούν ότι είναι ασφαλέστερο να υπολογίζουν με αλγοριθμικές διαδικασίες διότι γνωρίζουν ότι θα τους οδηγήσουν σίγουρα στην επιτυχία. 36

37 Ένας άλλος παράγοντας που έχει επίδραση στην ικανότητα προσεγγιστικών υπολογισμών επισημαίνει η Sowder (1992) είναι η προσωπική ανοχή στο αριθμητικό σφάλμα. Πράγματι εκείνο που είναι πρωταρχικό για την εξοικείωση με τις αριθμητικές εκτιμήσεις είναι η εδραίωση της νομιμότητας του προσεγγιστικού αποτελέσματος, με άλλα λόγια η καλλιέργεια ανοχής στο αριθμητικό σφάλμα, μια και τα μαθηματικά ταυτίζονται συνήθως με την ακρίβεια (Χαλάτσης, 1998). Σύμφωνα άλλωστε και με τον Reys (1980 στη Sowder,1992) «η ανοχή στο αριθμητικό σφάλμα είναι ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά των ανθρώπων που τα πάνε καλά με τις αριθμητικές εκτιμήσεις». Παράλληλα και έρευνα του Wyatt (1986 στη Sowder, 1992) έδειξε ότι μαθητές / τριες που σημείωναν εξαιρετικές επιδόσεις στους προσεγγιστικούς υπολογισμούς ήταν λιγότερο προβληματισμένοι / ες για την ακρίβεια της απάντησής τους από παιδιά με χαμηλότερες επιδόσεις. Βάση λοιπόν όλων των παραπάνω εκείνο που θα πρέπει να έχουν υπόψιν τους οι μαθητές / τριες προκειμένου να κάνουν έναν προσεγγιστικό υπολογισμό, αλλά και οι εκπαιδευτικοί στη διάρκεια της διδασκαλίας του περιεχομένου αυτού, είναι η ανοχή στο αριθμητικό σφάλμα. «Αλλά ένα ακόμη σημαντικό βήμα είναι ότι τα παιδιά χρειάζεται να αποκτήσουν αυτοπεποίθηση καθώς και το αίσθημα ότι μπορούν να τα καταφέρουν με τις αριθμητικές εκτιμήσεις. Σημαντικό παράλληλα θα ήταν να ξεπεραστεί η πεποίθησή τους ότι στα μαθηματικά υπάρχει μία μόνο σωστή απάντηση για κάθε αριθμητική πράξη και μία μόνο σωστή και αποδεκτή διαδικασία για να φτάσουμε σε αυτή» (Sowder, 1992, p 379). Ο ρόλος του/ της εκπαιδευτικού για την πραγματοποίηση των παραπάνω προτάσεων είναι τεράστιος. Άλλωστε μια από τις γενικές αρχές που πρέπει να λαμβάνει υπόψιν του για το σχεδιασμό ενός προγράμματος διδασκαλίας αριθμητικών εκτιμήσεων είναι η αποδοχή, από μέρους των εκπαιδευτικών, ποικιλίας απαντήσεων που δίνονται από τα παιδιά σε ασκήσεις προσεγγιστικών υπολογισμών. «Μια τέτοια στάση», συνεχίζει ο Trafton, «συμβάλλει στο να αντιληφθούν οι μαθητές/ τριες ότι στους κατ εκτίμηση 37

38 υπολογισμούς δεν υπάρχει μία και μόνο σωστή απάντηση, αλλά οποιαδήποτε εκτίμηση η οποία είναι λογικά κοντά στο ακριβές αποτέλεσμα θεωρείται σωστή. Αντίθετα η εμμονή στη μοναδική απάντηση ενισχύει την πεποίθηση ότι και οι αριθμητικές εκτιμήσεις είναι μια τυπική και αυστηρή διαδικασία με κανόνες που χρήζουν απομνημόνευσης ακριβώς όπως και στην περίπτωση του υπολογισμού των αριθμητικών πράξεων με χαρτί και μολύβι. Επιπρόσθετα, ο πλουραλισμός των απαντήσεων που ανακοινώνονται στην τάξη ενισχύει τη διδασκαλία και μάθηση των προσεγγιστικών υπολογισμών μια και οι μαθητές/ τριες μοιράζονται τις σκέψεις τους και εξηγούν ο καθένας/ η καθεμιά τον τρόπο με τον οποίο έφτασαν στις διαφορετικές απαντήσεις. Στα πλαίσια μιας τέτοιας διαδικασίας λοιπόν από τη μια μεριά ο εκπαιδευτικός γνωρίζει τον τρόπο σκέψης των μαθητών / τριων του και τις στρατηγικές που ακολουθούν και από την άλλη κερδίζουν όλα τα υπόλοιπα παιδιά μιας τάξης καθώς έρχονται αντιμέτωποι/ ες με μια συλλογιστική διαδικασία που ίσως δεν είχαν σκεφτεί και με αποτελέσματα που δεν είναι ίδια ακριβώς με τα δικά τους» (Trafton, 1986, p 21). Παράλληλα, όπως τονίσθηκε παραπάνω οι μαθητές/ τριες τα πάνε καλά με τις αριθμητικές εκτιμήσεις αν έχουν αυτοπεποίθηση και αν τους καλλιεργηθεί το αίσθημα ότι μπορούν να τα καταφέρουν. Προς αυτή την κατεύθυνση μπορούν να συμβάλλουν οι εκπαιδευτικοί χρησιμοποιώντας εύκολα παραδείγματα στα πρώτα στάδια της διδασκαλίας και αποφεύγοντας να απαιτούν από τα παιδιά ως λύσεις μόνο τα προσεγγιστικά εξαγόμενα που είναι όσο γίνεται πιο κοντινά στα πραγματικά καθώς είναι βασικό να πεισθούν οι μαθητές / τριες ότι οι προσεγγιστικοί υπολογισμοί είναι εύκολοι. «Έτσι, το να ζητήσουμε για παράδειγμα από τα παιδιά να υπολογίσουν με όσο το δυνατό μεγαλύτερη ακρίβεια την παρακάτω πρόσθεση δεν είναι ούτε εύκολο, ούτε χρήσιμο 16, ,83 + 8,75. Πολύ πιο απλό και αποτελεσματικό θα ήταν αν μετατραπεί σε Και αυτό διότι οι ικανότητες των παιδιών ποικίλλουν. Κάποια παιδιά είναι ικανά να υπολογίζουν προσεγγιστικά αποτελέσματα με μεγαλύτερη ακρίβεια χρησιμοποιώντας ασυνήθιστες στρατηγικές και ρυθμίζοντας τις αρχικές τους εκτιμήσεις αλλά κάποια άλλα αδυνατούν να εκτελέσουν κατ εκτίμηση 38

39 υπολογισμούς. Η πίεση συνεπώς για μεγαλύτερη ακρίβεια είναι πιθανό να μετατρέψει τις εκτιμήσεις σε ένα τόσο δύσκολο περιεχόμενο ώστε στο τέλος να τις αποφεύγουν (Trafton, 1986, p 20). «Σκόπιμο επίσης θα ήταν τα παραδείγματα βάση των οποίων τα παιδιά καλούνται να κάνουν προσεγγιστικούς υπολογισμούς να αντλούνται από περιπτώσεις της καθημερινής ζωής. Με αυτόν τον τρόπο όχι μόνο διατηρείται αμείωτο το ενδιαφέρον των παιδιών και κινητοποιούνται να συμμετάσχουν σε διαδικασίες αριθμητικών εκτιμήσεων αλλά παράλληλα αντιλαμβάνονται τις εκτιμήσεις σαν μια χρήσιμη δεξιότητα που είναι μέρος της καθημερινής ζωής» (Trafton, 1986, p 19). Σημαντικό ρόλο στη διδασκαλία των προσεγγιστικών υπολογισμών διαδραματίζει και η γλώσσα. «Η χρησιμοποίηση εκφράσεων όπως περίπου, σχεδόν, λιγότερο από, μεταξύ του και του, κάπου ανάμεσα στο, κοντά στο, γύρω από συμβάλλουν στην καλύτερη κατανόηση από μέρους των παιδιών των αριθμητικών εκτιμήσεων. Τα παιδιά πρέπει να καταλάβουν ότι προσπαθούν να φτάσουν όσο το δυνατό πιο κοντά στο ακριβές αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας γρήγορες και εύκολες μεθόδους, αλλά δεν υπάρχει μια νομαδική σωστή εκτίμηση. Η γλώσσα μπορεί να συμβάλλει στη μεταβίβαση αυτής της ιδέας» (Van de Walle, 2007, p 327). Ωστόσο προκειμένου να αναγνωριστεί η αξία των αριθμητικών εκτιμήσεων και γίνει μέρος της σκέψης των παιδιών είναι απαραίτητη η συστηματική και τακτική διδασκαλία τους. «Καθώς οι αριθμητικές έχουν να κάνουν με ένα διαφορετικό τρόπο αντίληψης των αριθμών, σε σύγκριση με τη διδασκαλία των παραδοσιακών αλγόριθμων, είναι απαραίτητο παραδείγματά τους να γίνονται συχνά μέσα στην τάξη, έτσι ώστε οι μαθητές/ τριες να εξοικειωθούν με αυτού του είδους τους υπολογισμούς και να τους θεωρήσουν σαν ένα βασικό και αναπόσπαστο τμήμα των μαθηματικών. Ένα απομονωμένο μάθημα ενασχόλησης με τους προσεγγιστικούς υπολογισμούς θα έχει μικρή επίδραση. Αντίθετα, προτείνεται η μεθοδική διδασκαλία τους και η παράλληλη ενσωμάτωσή τους σε περιεχόμενα όπως η διδασκαλία 39

40 παραδοσιακών αλγόριθμων και επίλυσης προβλημάτων» (Trafton, 1986, p 22). Η αξία των αριθμητικών εκτιμήσεων έγκειται στο γεγονός ότι εφοδιάζει τους / τις μαθητές/ τριες με δεξιότητες χρήσιμες για τη μαθηματική τους εκπαίδευση και την καθημερινή τους ζωή. Γνωρίζοντας πότε και πως να κάνουν προσεγγιστικούς υπολογισμούς παρέχονται στα παιδιά εργαλεία και στρατηγικές για την επίλυση των καθημερινών τους προβλημάτων και την εκτίμηση της ορθότητας των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από τις υπολογιστικές μηχανές. Παράλληλα φαίνεται να κατανοούν καλύτερα τα μεγέθη των αριθμών καθώς χειρίζονται τους αριθμούς ως ολότητες και όχι ως ψηφία. Τέλος τίθεται σε εγρήγορση η σκέψη κάθε παιδιού κάνοντας λογικούς συλλογισμούς για τον κατάλληλο μετασχηματισμό των αριθμών ώστε να εκτελεστεί η πράξη με το νου. Αναγνωρίζοντας λοιπόν την αξία των αριθμητικών εκτιμήσεων γίνεται φανερό ότι η ενασχόληση με το περιεχόμενο αυτό χρήζει ιδιαίτερης προσοχής. 40

41 3. ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Σύμφωνα με τα όσα αναπτύχθηκαν στο θεωρητικό πλαίσιο της παρούσης εργασίας η αξία της διδασκαλίας των κατά προσέγγιση υπολογισμών κρίνεται αδιαμφισβήτητη. Η ικανότητα εκτέλεσης προσεγγιστικών υπολογισμών αποτελεί όχι μόνο μια δεξιότητα χρήσιμη, ώστε να μπορέσουν τα παιδιά, ως αυριανοί πολίτες, να ανταποκριθούν στις ανάγκες της καθημερινής ζωής σε μια σύγχρονη τεχνολογικά ανεπτυγμένη κοινωνία αλλά και από την άλλη παρέχει στα παιδιά τη δυνατότητα να αποκτήσουν εφόδια για την παραπέρα μαθηματική τους εκπαίδευση. Η αξία των αριθμητικών εκτιμήσεων έγκειται στο γεγονός ότι τέτοιου είδους δεξιότητες φαίνεται να συμβάλλουν στη βαθύτερη κατανόηση της έννοιας των αριθμών και των μεγεθών που αυτοί εκφράζουν, στην όξυνση του νου και την καλλιέργεια της σκέψης, στην ουσιαστική κατανόηση των τυπικών παραδοσιακών αλγόριθμων και στην ανάπτυξη άλλων μαθηματικών δραστηριοτήτων όπως είναι η δόμηση υπολογιστικών τεχνικών που έχει νόημα για τα ίδια τα παιδιά. Παράλληλα μαθαίνοντας τα παιδιά να υπολογίζουν προσεγγιστικά προσκομίζουν γνώση που θα τους / τις χρησιμεύσει σε πολλές εκφάνσεις της καθημερινής μας ζωής. Άλλωστε όλο και περισσότερο στις μέρες μας καλούμαστε να αξιοποιούμε αριθμητικές γνώσεις και να θέτουμε σε εγρήγορση τη μαθηματική μας σκέψη προκειμένου να ελέγξουμε την εγκυρότητα των αποτελεσμάτων που εξάγονται από τα μηχανήματα τεχνολογίας. Αναγνωρίζοντας λοιπόν τη σημασία της διδασκαλίας των αριθμητικών εκτιμήσεων στα πλαίσια της παρούσης εργασίας τίθενται τα παρακάτω ερωτήματα. 1. Ποιες είναι οι επιδόσεις των παιδιών της ΣΤ τάξης στις αριθμητικές εκτιμήσεις και πώς αυτές μεταβάλλονται με τη διαμεσολάβηση της διδασκαλίας; 2. Σε ποιες από τις δύο πράξεις πρόσθεσης ή πολλαπλασιασμού σημειώνουν τα παιδιά υψηλότερες επιδόσεις; 41

42 3. Σε ποιες κατηγορίες μπορούν να χωριστούν οι λανθασμένες απαντήσεις των παιδιών σε προβλήματα αριθμητικών εκτιμήσεων; 4. Ποιες είναι οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές/ τριες για την σωστή επίλυση προβλημάτων αριθμητικών εκτιμήσεων; 5. Υπάρχει συσχετισμός ανάμεσα στο φύλο και τις επιδόσεις των παιδιών στους κατά προσέγγιση υπολογισμούς; 42

43 4. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΕΡΕΥΝΑΣ Στόχος της παρούσης εργασίας είναι να μελετήσει τις επιδόσεις των παιδιών της ΣΤ τάξης των Δημοτικών σχολείων της χώρας Τήνου στις αριθμητικές εκτιμήσεις σε πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού, να διαπιστώσει τις πράξεις στις οποίες παρουσιάζουν καλύτερες επιδόσεις, να κατηγοριοποιήσει τα λάθη των παιδιών, να εντοπιστούν με ποιες στρατηγικές τα παιδιά υπολογίζουν πράξεις κατά προσέγγιση με το νου και να ελεγχθεί η πιθανότητα να συνδέεται το φύλο με το πόσο καλά τα καταφέρνουν οι μαθητές/ τριες στους κατά προσέγγιση υπολογισμούς. Η παρούσα έρευνα που μελετά τα ερωτήματα που διατυπώθηκαν στο τρίτο μέρος της εργασίας και η οποία παρουσιάζεται στη συνέχεια πραγματοποιήθηκε στα Δημοτικά Σχολεία της χώρας Τήνου. Επιλέχθηκε το συγκεκριμένο νησί διότι σε αυτό υπηρετούσα την οργανική μου θέση, ως εκπαιδευτικός, και λόγω των γεωγραφικών συνθηκών ήταν αδύνατο να διεξάγω την έρευνα σε οποιαδήποτε άλλο μέρος. Το δείγμα της έρευνας αποτέλεσαν 51 μαθητές / τριες της ΣΤ τάξης που φοιτούσαν στα σχολεία της χώρας Τήνου. Ο παραπάνω αριθμός των παιδιών συγκροτούσε τρία τμήματα. Επιλέχθηκαν για τη διεξαγωγή της έρευνας οι μαθητές/ τριες της ΣΤ τάξης για τους εξής λόγους. 1. Τα παιδιά της ΣΤ τάξης είναι εξοικειωμένα και με τις τέσσερις πράξεις σε φυσικούς και δεκαδικούς αριθμούς και μπορούν να τις εκτελούν, τουλάχιστον γραπτά με σχετική ευχέρεια. Σε ότι αφορά την πρόσθεση είναι σε θέση να αναγνωρίζουν την αξία θέσης των ψηφίων και να χειρίζονται αριθμούς μέχρι και τις δεκάδες εκατομμυρίων, επομένως μπορούν να κατανοήσουν στρατηγικές υπολογιστικών εκτιμήσεων που προϋποθέτουν την αναγνώριση της θεσιακής αξίας και το χειρισμό των μπροστινών ψηφίων. Αναφορικά με τον πολλαπλασιασμό τα παιδιά αυτής της ηλικιακής βαθμίδας στην πλειοψηφία τους έχουν διδαχθεί 43

44 τον πίνακα της προπαίδειας. Επίσης γνωρίζουν σύντομους τρόπους υπολογισμού γινομένων με αριθμούς που τελειώνουν σε ένα ή περισσότερα μηδενικά. Έτσι, μπορούν εύκολα να υπολογίσουν πράξεις όπως 40 x 20, 300 x 50 κτλ καθώς μαθαίνουν ήδη από την τρίτη Γ τάξη τον οριζόντιο τρόπο υπολογισμού γινομένων φυσικών αριθμών που τελειώνουν σε ένα ή περισσότερα μηδενικά. Άρα έχουν τις προαπαιτούμενες γνώσεις ώστε να διδαχθούν στρατηγικές υπολογιστικών εκτιμήσεων γινομένων. 2. Οι αριθμητικές εκτιμήσεις είναι ένα καινούριο περιεχόμενο που εντάσσεται για πρώτη φορά στα νέα σχολικά εγχειρίδια των Μαθηματικών. Πιο έντονη είναι η παρουσία τους στα βιβλία της Τετάρτης (Δ ), Πέμπτης (Ε ) και Έκτης ( ΣΤ ) τάξης. Ειδικότερα στην Τετάρτη τάξη, εκτός των άλλων, υπάρχει και ένα ολόκληρο μάθημα με τον αριθμό 56 που ασχολείται με τις εκτιμήσεις με το νου αλλά και στην Πέμπτη τάξη πριν επιλύσουν τα παιδιά τα προβλήματα και τις ασκήσεις που τους δίνονται, με τη χρήση αλγόριθμων στο χαρτί, ζητείται προηγουμένως μια εκτίμηση του αποτελέσματος. Σαν ένα νέο περιεχόμενο λοιπόν είναι ενδιαφέρον να διαπιστώσουμε ποιες είναι οι επιδόσεις των παιδιών που διδάχθηκαν έστω και μία μόνο χρονιά με τα νέα σχολικά εγχειρίδια σε αυτό το καινούριο περιεχόμενο που καλείται υπολογιστικές εκτιμήσεις. Οι ασκήσεις στις οποίες κλήθηκαν τα παιδιά να απαντήσουν αφορούσαν σε προβλήματα πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού φυσικών αριθμών. Μεταξύ των συνόλων των αριθμών επέλεξα τους φυσικούς και όχι τους δεκαδικούς γιατί με το πρώτο σύνολο αριθμών τα παιδιά είναι περισσότερο εξοικειωμένα μια και τους χειρίζονται από την πρώτη τάξη της φοίτησής τους στο Δημοτικό Σχολείο. Παράλληλα, οι πράξεις μεταξύ δεκαδικών και ειδικά ο πολλαπλασιασμός ανάμεσα σε δεκαδικούς είναι νοητικά απαιτητικότερος σε σύγκριση με τους φυσικούς και γι αυτό απαιτεί περαιτέρω εξάσκηση για να εκτελεστεί νοερά από τα παιδιά του Δημοτικού. 44

45 Επίσης από τα ζεύγη των πράξεων πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός διαίρεση προτίμησα τις πρώτες κάθε ζεύγους καθώς πιστεύω ότι κατακτούνται πιο εύκολα από τα παιδιά. Αντίθετα, η αφαίρεση, ως αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης, και η διαίρεση, ως αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού θεωρώ ότι δημιουργεί περαιτέρω δυσκολίες στα παιδιά. Μια λοιπόν και αντικείμενο ενασχόλησης της παρούσας εργασίας αποτελούν οι αριθμητικές εκτιμήσεις, ένα περιεχόμενο που εισήχθη πρόσφατα με τα καινούρια σχολικά εγχειρίδια επέλεξα να ζητήσω την επίλυση ασκήσεων με τις πράξεις που πιστεύω ότι κατακτούνται πιο εύκολα από τα παιδιά, την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΕΡΕΥΝΑΣ Η έναρξη της έρευνας πραγματοποιήθηκε με τη συμπλήρωση ενός αρχικού τεστ από τους / τις μαθητές/ τριες των τριών τμημάτων του δείγματος που φοιτούσαν στην ΣΤ τάξη, η διάρκεια του οποίου ήταν μία διδακτική ώρα σε καθένα τμήμα ξεχωριστά. Το τεστ αυτό, το οποίο παρατίθεται στο παράρτημα της εργασίας, αποτελούνταν από 26 προβλήματα πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού φυσικών αριθμών. Κάθε πρόβλημα ήταν και μια αριθμημένη διαφάνεια φτιαγμένη στο πρόγραμμα Power Point η οποία προβάλλονταν με τη βοήθεια του ηλεκτρονικού υπολογιστή και του προβολέα στον πίνακα κάθε τάξης έτσι ώστε, όπως αναφέρεται και στο θεωρητικό μέρος της εργασίας, να επικεντρώνεται η προσοχή όλων των παιδιών ταυτόχρονα στο ίδιο πρόβλημα. Πριν μπουν τα παιδιά κάθε τμήματος στην τάξη είχα ήδη συνδέσει τον υπολογιστή με τον προβολέα διαφανειών και είχα ετοιμάσει την προβολή. Αρχικά συστήθηκα στα παιδιά, τους εξήγησα το σκοπό της επίσκεψής μου στην τάξη τους και στη συνέχεια ανέφερα ότι θα τους έδειχνα στον 45

46 πίνακα 26 αριθμητικά προβλήματα. Το περιεχόμενο των προβλημάτων αφορούσε πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού και έγιναν με βάση ασκήσεις που εμπεριέχονται στα βιβλία των Μαθηματικών της Πέμπτης (Ε ) και Έκτης (ΣΤ ) τάξης. Τόνισα ιδιαίτερα, και μάλιστα παραπάνω από μία φορά, ότι στα προβλήματα που θα έβλεπαν δεν επιθυμούσα να υπολογίσουν τις ακριβείς λύσεις των προβλημάτων αλλά να κάνουν μια εκτίμηση των αποτελεσμάτων και να βρίσκουν στο περίπου τα εξαγόμενα των πράξεων, όπως τους ζητούνταν να κάνουν πολλές φορές στο βιβλίο των Μαθηματικών πριν λύσουν κάποια πράξη εφαρμόζοντας τους γνωστούς αλγόριθμους. Διευκρίνισα ακόμη ότι δε θα είχαν στη διάθεσή τους άπειρο χρόνο αλλά ότι οι διαφάνειες, με τις δυνατότητες που παρέχει το πρόγραμμα δημιουργίας τους, θα εναλλάσσονται αυτόματα κάθε 20 δευτερόλεπτα γι αυτό και όποιος/ α δεν προλάβαινε να λύσει κάποιο από τα προβλήματα θα ήταν προτιμότερο να προχωρήσει παρακάτω. Στη συνέχεια μοίρασα από μια φωτοτυπία Α 4 με αριθμούς από το 1 έως το 26, όσες και οι ερωτήσεις των διαφανειών, γραμμένους τον έναν κάτω από τον άλλο. Δίπλα σε κάθε αριθμό υπήρχε κενός χώρος για να σημειώσουν τα παιδιά την απάντηση κάθε ερώτησης που θα έβλεπαν στην αντίστοιχη διαφάνεια. Αφού εξήγησα τη διαδικασία συμπλήρωσης της αρχικής αυτής γραπτής δοκιμασίας εγέρθησαν οι πρώτες διαμαρτυρίες. Υπήρξαν κάποια παιδιά που αρνούνταν να συμμετάσχουν στην έρευνα διότι θεώρησαν ότι αυτό που έγραφαν ήταν τεστ που θα μετρούσε στη διαμόρφωση της τελικής τους βαθμολογίας στο μάθημα των Μαθηματικών. Έτσι, επανέλαβα, για μία ακόμη φορά, ότι τα γραπτά τους προορίζονταν για μια έρευνα και ότι δε θα διορθώνονταν από το δάσκαλο ή τη δασκάλα της τάξης τους. Ωστόσο, δεν ήθελα να δώσω τελείως αρνητική απάντηση, αλλά είπα ότι αν το ήθελαν οι δάσκαλοι/ες της τάξης τους πιθανό και να τα έδειχνα, ώστε να έχουν και κάποιο κίνητρο να απαντήσουν σωστά και συνειδητά. Τελικά τα παιδιά που 46

47 αντιδρούσαν συμμετείχαν στην έρευνα και με ρώτησαν αν οι διαφάνειες θα προβάλλονταν και δεύτερη φορά. Εδώ η απάντησή μου ήταν αρνητική. Μέσα σε λίγα λεπτά η γραπτή δοκιμασία ολοκληρωνόταν και αφού συνέλεγα τα γραπτά των παιδιών αποχωρούσα από την καθεμιά τάξη. Αφού διόρθωσα τα αρχικά τεστ που συγκέντρωσα από τα παιδιά διαπίστωσα ότι οι επιδόσεις τους ήταν αρκετά χαμηλές. Αποφάσισα τότε να διδάξω δύο στρατηγικές υπολογιστικών εκτιμήσεων. Από το σύνολο των στρατηγικών που παρουσιάστηκαν στο θεωρητικό μέρος της εργασίας επέλεξα αυτή της στρογγυλοποίησης και των σημαντικών από μπροστά ψηφίων. Και επειδή οι αριθμητικές εκτιμήσεις με το νου είναι ένα νοητικά απαιτητικό περιεχόμενο, ειδικά για παιδιά που δεν έχουν εξασκηθεί με αυτές, επιλέχθηκαν από το σύνολο οι στρατηγικές που φαίνεται να είναι οι λιγότερο απαιτητικές και οι πιο εύκολα κατανοητές. Παράλληλα σύμφωνα με τον Reys (1983 στο Στρικούδη 2007) η στρατηγική της στρογγυλοποίησης συγκαταλέγεται μεταξύ των στρατηγικών που προτείνεται να διδαχθούν σε παιδιά τα οποία δεν έχουν μεγάλη εμπειρία στην εκτέλεση αριθμητικών εκτιμήσεων. Σε ότι αφορά τη στρατηγική των σημαντικών από μπροστά ψηφίων ο Van de Walle (2007) προτείνει ότι η διδασκαλία της μπορεί να ξεκινήσει από τις μικρές ακόμη τάξεις. Και αυτό διότι η στρατηγική αυτή είναι εύκολη στη χρήση και τη διδασκαλία μια και δεν απαιτεί μεταβολή των αριθμών. «Οι χρησιμοποιούμενοι αριθμοί βρίσκονται μπροστά μας και τους βλέπουμε και έτσι τα παιδιά μπορούν να δουν με τι ασχολούνται», επισημαίνει ο ίδιος. Για όλους λοιπόν τους παραπάνω λόγους και αναλογιζόμενη ότι τα παιδιά, δεν έχουν μεγάλη εμπειρία στην εκτέλεση κατά προσέγγιση υπολογισμών θεώρησα ότι οι παραπάνω στρατηγικές ήταν οι καταλληλότερες. Πρώτη διδασκαλία Η πρώτη διδασκαλία, η οποία διήρκησε δύο διδακτικές ώρες σε κάθε τμήμα, στόχο είχε τη διδασκαλία της στρατηγικής της στρογγυλοποίησης. 47

48 Στο μάθημα χρησιμοποιήθηκε σαν εποπτικό μέσο οι διαφάνειες στο πρόγραμμα Power Point που προβάλλονταν με τη βοήθεια του προτζέκτορα στον πίνακα κάθε τάξης, ώστε να είναι ορατές από όλα τα παιδιά, καθώς και ο πίνακας των τάξεων. Σε καθένα τμήμα ξεκίνησα τη διδασκαλία δείχνοντας στα παιδιά το παρακάτω πρόβλημα και ζητώντας να υπολογίσουν γρήγορα και με το νου το σύνολο των βόλων που έχει ο Γιάννης. Στην αρχή, επειδή οι αριθμοί ήταν μικροί, κάποια παιδιά προσπαθούσαν να βρουν το ακριβές αποτέλεσμα εφαρμόζοντας με το νου τον αλγόριθμο που θα έκαναν αν είχαν μπροστά τους χαρτί και μολύβι. Έτσι, προσπαθούσαν να υπολογίσουν τον πολλαπλασιασμό κάθετα πολλαπλασιάζοντας το 4 με το 7 και το 4 με το 5. Με αφορμή αυτή τους την σκέψη ανέφερα ότι με τον τρόπο που σκέφτονταν θα έβρισκαν το ακριβές αποτέλεσμα και όχι το περίπου. Έτσι, τους / τις εξήγησα πως μπορούν να υπολογίζουν κατά προσέγγιση, πιο γρήγορα και πιο εύκολα με τη μέθοδο της στρογγυλοποίησης. Διευκρινίζω ότι για να κάνω με το νου τον υπολογισμό στο περίπου με δυσκολεύει ο αριθμός 57. Γι αυτό, ζωγραφίζοντας μια αριθμογραμμή στον πίνακα της τάξης, δείχνω ότι μπορώ να τον αντικαταστήσω με έναν κοντινό του «στρόγγυλο» αριθμό το 60, δηλαδή ένα νούμερο που έχει μηδενικά στο τέλος γιατί με βοηθάει να κάνω τον υπολογισμό με το νου. Αναφέρω επίσης ότι επειδή με αυτή τη μέθοδο ψάχνουμε να βρούμε 48

49 «στρόγγυλους» αριθμούς που διευκολύνουν τον υπολογισμό των πράξεων ονομάζεται στρογγυλοποίηση. Στη συνέχεια, ξαναγυρίζοντας στο αρχικό μας παράδειγμα, ρωτώ τα παιδιά κάθε τμήματος ποιο γινόμενο είναι πιο εύκολο και γρήγορο να υπολογίσω το 4 x 57 ή το 4 x 60; Όλα απαντούν το δεύτερο και όταν ζητώ να το βρουν δίνουν την απάντηση 240. Στην ερώτησή μου για το πώς σκέφτηκαν σε γενικές γραμμές μου απαντούν ότι υπολόγισαν πρώτα ότι 4 x 6 μας κάνει 24 άρα 4 x 60 δίνει 240. Έτσι, εξηγώ και στα υπόλοιπα παιδιά κάθε τάξης ότι αν σε έναν πολλαπλασιασμό, ο πολλαπλασιαστής, ο πολλαπλασιαστέος ή και οι δύο όροι, έχουν στο τέλος μηδενικά τότε προκειμένου να διεξαχθεί ο υπολογισμός εύκολα και γρήγορα βγάζουμε τα μηδενικά και αφού πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς που μένουν και γράψουμε το αποτέλεσμα της πράξης προσθέτουμε στο γινόμενο τόσα μηδενικά όσα αφαιρέσαμε στην αρχή. Στην συνέχεια σε επόμενη διαφάνεια δίνω στα παιδιά και άλλα παραδείγματα για εξάσκηση τα οποία εμφανίζονται σταδιακά με κλικ του ποντικιού. Το πρώτο παράδειγμα είναι η πράξη 7 x 68. Ζητώ από ένα παιδί κάθε τάξης να τη λύσει και όλα σκέφτονται σωστά μετατρέποντας το 68 σε 70. Στη συνέχεια είπαν 7 x 70 = 490. Τα παιδιά ανταποκρίθηκαν επιτυχώς και στα υπόλοιπα παραδείγματα. 49

50 Η επόμενη διαφάνεια περιείχε ένα πιο σύνθετο πρόβλημα το εξής: «Υπάρχουν 48 κουτιά χυμού σε ένα κιβώτιο. Ένα μεγάλο super market παρήγγειλε 57 κιβώτια. Πόσους περίπου χυμούς παρήγγειλε;». Διαβάζοντας το πρόβλημα τα παιδιά είπαν ότι πρέπει να κάνουμε πολλαπλασιασμό. Ρώτησα ποιους αριθμούς θα πολλαπλασιάσουμε και απάντησαν το 48 με το 57. Ζήτησα να μου πουν τον τρόπο και κάποια είπαν ότι θα στρογγυλοποιήσουμε του δύο αριθμούς. Το 48 θα γίνει 50 και το 57 θα γίνει 60. Στην προσπάθειά τους να υπολογίσουν κατά προσέγγιση το γινόμενο κάποια απαντούν ότι 50 x 60=300. Γράφω τότε στον πίνακα το γινόμενο 50 x 60 και υπογραμμίζω τα μηδενικά που φεύγουν από τους δύο αριθμούς. Λέω να βρούν πόσο κάνει 5 x 6. Απαντούν σωστά 30. Στη συνέχεια λέω αν βάλω και τα δύο μηδενικά στο τέλος ποιος αριθμός προκύπτει; Τότε καταλαβαίνουν το σημείο όπου μπερδεύτηκαν και μου απαντούν τελικά ότι 50 x 60=3000. Έτσι, προχώρησα στην επόμενη διαφάνεια στην οποία εμφανίζονταν σταδιακά ασκήσεις για εμπέδωση. 50

51 Η πρώτη άσκηση ζητούσε από τα παιδιά να βρουν πόσο περίπου κάνει 84 x21. δίνω το λόγο σε ένα παιδί και αποκρίνεται: το 84 είναι κοντά στο 80 και το 21 κοντά στο 20. Άρα 80 x 20 ή 2 x 8 =16 και δύο μηδενικά στο αποτέλεσμα μας κάνει Ένα άλλο παιδί δίνει διαφορετική απάντηση: «εγώ δεν πείραξα καθόλου το 84. Στρογγυλοποίησα το 21 και το έκανα 20. Μετά είπα 20 x 84 είναι 2 x 84 =168 και ένα μηδενικό στο τέλος 1680». Του έδωσα συγχαρητήρια για τον τρόπο σκέψης του και είπα ότι η εκτίμησή του είναι καλύτερη από την προηγούμενη γιατί είναι πιο ακριβής. Ωστόσο δεν παρέλειψα να αναφέρω ότι και η πρώτη εκτίμηση είναι απόλυτα σωστή καθώς και ότι στον τομέα των εκτιμήσεων δεν υπάρχει μια και μόνο σωστή απάντηση όπως συμβαίνει όταν υπολογίζω μια πράξη με μολύβι και χαρτί. Σε γενικές γραμμές τα παιδιά δε φάνηκε να αντιμετωπίζουν ιδιαίτερα προβλήματα στις ασκήσεις πολλαπλασιασμού. Το μόνο σημείο βέβαια στο οποίο κάποια από αυτά μπερδεύονταν ήταν ο αριθμός των μηδενικών που έπρεπε να προσθέσουν στο γινόμενο ώστε να προκύψει το τελικό αποτέλεσμα. Ωστόσο όταν τους / τις ξαναζητούσα να σκεφτούν το αποτέλεσμα που είπαν διόρθωναν την απάντησή τους. Στη συνέχεια αναφέρω ότι η μέθοδος αυτή δε χρησιμοποιείται μόνο σε πράξεις πολλαπλασιασμού αλλά και στην πρόσθεση. Έτσι τους δείχνω την επόμενη διαφάνεια με το παρακάτω πρόβλημα: «τρία παιδιά η Μαρία, η Πόπη και η Λένα μάζεψαν το περσινό καλοκαίρι από την παραλία 4.909, και κοχύλια για τη συλλογή τους. Πόσα κοχύλια περίπου έχουν και οι τρεις φίλες μαζί;» 51

52 Τα παιδιά καταλαβαίνουν αμέσως ότι πρέπει να κάνουν πρόσθεση και προτείνουν τη στρογγυλοποίηση. Κάποια λένε ότι το θα γίνει 5.000, το το μετατρέπουν σε και το σε δίνοντας ως τελικό αποτέλεσμα τον αριθμό Ακολούθησαν στη συνέχεια για εξάσκηση οι επόμενες τρεις διαφάνειες με τις παρακάτω πράξεις πρόσθεσης. Τα παιδιά στα οποία έδωσα το λόγο στρογγυλοποίησαν σωστά τους αριθμούς και κατέληγαν σε σωστά προσεγγιστικά αποτελέσματα. Με την εφαρμογή της μεθόδου της στρογγυλοποίησης στην πρόσθεση ολοκληρώθηκε η διδασκαλία. Οι μαθητές/ τριες δε φάνηκε να αντιμετωπίζουν ιδιαίτερα προβλήματα στην εφαρμογή της μεθόδου αυτής και συμμετείχαν με ενθουσιασμό στις ασκήσεις. Έτσι, μέχρι να χτυπήσει το κουδούνι για διάλειμμα κάναμε και κάποια επιπλέον παραδείγματα. 52

53 Δεύτερη διδασκαλία Στόχος της δεύτερης διδασκαλίας, η διάρκεια της οποίας ήταν δύο διδακτικές ώρες σε κάθε τμήμα, ήταν να κατανοήσουν τα παιδιά τη στρατηγική των σημαντικών από μπροστά ψηφίων και να την εφαρμόσουν στην εκτέλεση υπολογιστικών εκτιμήσεων με το νου στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού φυσικών αριθμών. Και σε αυτή τη διδασκαλία χρησιμοποιήθηκαν διαφάνειες που δημιουργήθηκαν στο πρόγραμμα Power Point. Αρχικά έδειξα στα παιδιά την πρώτη διαφάνεια και ζήτησα να απαντήσουν στην ερώτηση πόσα περίπου κιβώτια κουβάλησε το φορτηγό και τις τρεις ημέρες συνολικά. Τα παιδιά απάντησαν σωστά χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της στρογγυλοποίησης και τους επαίνεσα για την προσπάθειά τους. Ωστόσο ανέφερα ότι υπάρχει και άλλη στρατηγική υπολογισμού με το νου στην οποία ξεκινάμε πάντα να προσθέτουμε από μπροστά γιατί εκεί βρίσκονται τα ψηφία με τη μεγαλύτερη θεσιακή αξία που είναι και τα πιο σημαντικά ψηφία ενός αριθμού. Η στρατηγική αυτή ανέφερα ονομάζεται στρατηγική των μπροστινών ψηφίων. Συνεχίζοντας με την παρουσίαση της δεύτερης αυτής στρατηγικής, στην επόμενη διαφάνεια δείχνω αρχικά μόνο τους αριθμούς που προστίθενται. 53

54 Ζητώντας από τα παιδιά να υπολογίσουν το άθροισμα των μπροστινών ψηφίων, αφού αντικαταστήσουν τα υπόλοιπα με μηδενικά, απαντούν Στο σημείο αυτό εμφανίζεται το πρώτο βήμα σκέψης. Προχωρώντας ζητώ να υπολογίσουν το άθροισμα των ψηφιών των εκατοντάδων αντικαθιστώντας και πάλι τα ψηφία των υπόλοιπων θέσεων με μηδενικά. Έτσι τα παιδιά σκέφτονται και λένε =1200. Σε αυτό το σημείο εμφανίζω και το δεύτερο βήμα σκέψης και ζητώντας να πουν την τελική εκτίμηση παίρνω ως απάντηση τον αριθμό Τέλος εμφανίζω και το τρίτο βήμα σκέψης και σχολιάζουμε ότι για να εκτελέσουμε προσεγγιστικούς υπολογισμούς με το νου δεν υπάρχει ένας μόνο τρόπος ούτε και ένα μόνο σωστό αποτέλεσμα. Ακόμη επισημαίνω ότι σταματάμε στην περίπτωση αυτή στις εκατοντάδες διότι οι υπολογισμοί με το νου πρέπει να γίνονται γρήγορα και σε σύντομο χρονικό διάστημα επομένως δεν προλαβαίνω να ασχοληθώ με τα άλλα ψηφία. Ακολούθησαν οι ασκήσεις των δύο επόμενων διαφανειών για περισσότερη εξάσκηση των παιδιών με τη στρατηγική που διδάχθηκαν. 54

55 Προτίμησα όλοι οι προσθετέοι να έχουν ίδιο αριθμό ψηφίων ώστε να μην προκαλέσω σύγχυση στα παιδιά. Από την περιγραφή του τρόπου σκέψης τους έδειχναν ότι κατάλαβαν και τη δεύτερη αυτή στρατηγική. Συνεχίζοντας δείχνω περιπτώσεις αριθμών όπου οι προσθετέοι δεν έχουν τον ίδιο αριθμό ψηφίων όπως είναι και το επόμενο παράδειγμα: Τα παιδιά αμέσως εντόπισαν ως σημαντικά ψηφία αυτά των χιλιάδων και εφαρμόζοντας τη στρατηγική των μπροστινών ψηφίων έδωσαν την απάντηση Όταν ρώτησα γιατί δεν συμπεριλάβατε το 28 μαθητές / τριες απάντησαν ότι ήταν πολύ μικρός αριθμός σε σχέση με τα άλλα νούμερα επομένως μπορούμε να μην το προσθέσουμε καθόλου. 55

56 Στη συνέχεια τους/ τις έδειξα τρεις ακόμη πράξεις με προσθετέους που είχαν άνισο αριθμό ψηφίων στις οποίες τα παιδιά δε συνάντησαν δυσκολίες. Προχωρώντας στις επόμενες ασκήσεις ζητώ από τους / τις μαθητές /τριες να υπολογίσουν αθροίσματα αριθμών που είναι γραμμένοι οριζόντια. Σε αυτή την περίπτωση τα παιδιά δυσκολεύτηκαν περισσότερο και εξέφρασαν την άποψη ότι ο κάθετος τρόπος γραφής των αριθμών ήταν προτιμότερος καθώς τους διευκόλυνε περισσότερο στον υπολογισμό αθροισμάτων. Τελειώνοντας με την πρόσθεση η διδασκαλία συνεχίστηκε με την εφαρμογή της στρατηγικής στον πολλαπλασιασμό. Τα παιδιά διαβάζουν στην επόμενη διαφάνεια το παρακάτω πρόβλημα: «Η Καίτη έχει 8 κουτιά. Στο καθένα έχει βάλει 456 κάρτες. Πόσες κάρτες έχει περίπου η Καίτη;». Τα παιδιά κατανοούν ότι πρέπει να κάνουν πολλαπλασιασμό και δείχνω το γινόμενο 8 x 456. Λέω ότι κρατώντας το πρώτο ψηφίο και αντικαθιστώντας τα υπόλοιπα με τον αριθμό μηδέν, όπως και στην πρόσθεση, το γινόμενο γίνεται 8 x 400=3200. Στη συνέχεια παίρνω το 56 και σκέφτομαι ότι είναι περίπου 60 επομένως 8 x 60=480 επιπλέον. Άρα η Καίτη 56

57 έχει =3680 περίπου κάρτες. Με αυτό το παράδειγμα δείχνω στα παιδιά ότι χρησιμοποιώ και την τεχνική της στρογγυλοποίησης συνεπώς καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι τεχνικές μπορούν να συνδυάζονται για να δίνουν καλύτερα αποτελέσματα και ότι δε χρησιμοποιούνται ανεξάρτητα η μία από την άλλη. Στη συνέχεια δίνω και άλλα παραδείγματα για εξάσκηση τα οποία φαίνονται στην επόμενη διαφάνεια. Το σημείο στο οποίο μπερδεύονταν κάποια παιδιά ήταν ο αριθμός των μηδενικών που θα έβαζαν στο αποτέλεσμα. Έτσι στο πρώτο παράδειγμα ένα παιδί που κλήθηκε να το υπολογίσει αρχικά ανέφερε ότι 5 x 800=400. Του επέστησα την προσοχή στον αριθμό των μηδενικών που αφαίρεσε από το 800 για να υπολογίσει το γινόμενο 5 x 800 και διορθώθηκε μόνος του. Στο σημείο αυτό ολοκληρώθηκε και η δεύτερη διδασκαλία. Ωστόσο μέχρι να χτυπήσει το κουδούνι κάναμε και επιπλέον παραδείγματα χρησιμοποιώντας τις δύο πρώτες ασκήσεις του αρχικού τεστ. Τα παιδιά αυτή τη φορά τα κατάφερναν καλύτερα Τελειώνοντας κάποια παιδιά ανέφεραν ότι ήταν άδικο να τους βάλω να γράψουν πρώτα το τεστ και μετά να τους διδάξω τους τρόπους υπολογιστικών εκτιμήσεων. Επίσης με ρώτησαν αν θα ξανακάνουμε μαζί μάθημα. Τους απάντησα φεύγοντας ότι μετά από μιάμιση εβδομάδα θα τους βάλω και πάλι να απαντήσουν σε μια σειρά ερωτήσεων για να διαπιστώσω τι θυμούνται. Απέφυγα να αναφέρω τη λέξη τεστ ώστε να μην προκαλέσω σύγχυση και άγχος στα παιδιά. Η τελική αξιολόγηση των μαθητών / τριών και των τριών τμημάτων διεξήχθη στις 11 Ιουνίου μιάμιση εβδομάδα μετά το πέρας των διδασκαλιών. 57