Literatura WEB: Teorija signala. Signal. Prvi dio: osnove. Kontinuirani i diskretni signali. Klasa signala

Transcript

1 Teorja sgnala Prof. dr. sc. Hrvoje Babć, Prof. dr. sc. Damr Seršć ZESOI - ER Lerara WEB: hp://s.zeso.fer.hr H. Babć: Sgnal ssav, Zavodsa srpa ER, Zagreb, 996. hp://ss.zeso.fer.hr, 22.. de Colon: Sgnal Theor and Processng, Arech Hose, Dedham, 986. L.E. rans: Sgnal Theor, Prence Hall, Englewood Clffs, 969. A. Papols: Sgnal Analss, McGraw-Hll, 977. Prv do: osnove Klase sgnala ssava Vremens onnran dsren Bezmemorjs ssav ncjs relacjs bloov Memorjs ssav Memorjse predcjse operacje Model s varjablama sanja Odzv lnearnh ssava Sgnal Sgnal: fenomen oj nos ne nformacj. Sgnale - vremense fncje označava ćemo malm slovma - x, v,. Trenna vrjednos: (), R. Ao je ogrančen na T R, onda je sgnal preslavanje : T U, gdje je T domena, a U odomena od. {(, ()) T}. Klasa sgnala ea je U sp svh sgnala z T na U. Tada je sgnal varjabla z lase sgnala U. Razljemo: odomena od () je U (sp brojeva), odomena od je U (sp fncja). Konnran dsren sgnal Ao je domena T neprebrojv nepren (onnran) sp, onda se rad o vremens onnranom sgnal. Ao je domena T prebrojv sp renaa {,, 2,..., }, onda je o vremens dsrean sgnal

2 Dsrena vremensa varjabla Trene možemo poreda rasć nz < < 2 <..., j. ves ndesacj spa T, T. Trene prdržjemo sp cjelh brojeva : Z R. l () je vrjednos na cjelom broj Z, gdje je ndes l ora nza. {(, ) K}; K Z. Dsrena vremensa varjabla... zove vrem. renaa označavamo ao..., -,,, 2,... l {()}, Z l { }, Z ajjednosavnj prmjer: armeč nz {, +T, +2T,...}, gdje je T onsana (van vremena). Jednola dsrezacja vremena T Z. T 2T 3T 4T Amplde sgnala Ao je podrčje amplda sgnala U R, neprebrojv onnran sp, sgnal je nevanzran l analogan. Ao je podrčje amplda sgnala prebrojv sp U {..., -2, -,,, 2,...}, sgnal je vanzran. Dsrezacja amplde Dsrezacja amplde... Indesacja amplda n je preslavanje : Z U, { n n }, Z. ajjednosavnj prmjer: armeč nz {..., a -Q, a, a +Q, a +2Q,...}, gdje je Q onsana (van amplde). n Q n n. 4Q 3Q 2Q Q

3 Dsrezacja... Jednolo dsrezran sgnal (po vremen po ampld) može se zraz samo spovma ndesa n (z poznae T Q). {n()}, K Z, n Z. Konnran sgnal n n 4Q 3Q 2Q Q T 2T 3T 4T 5T 6T 7T Aperodčn sgnal Aperodčn sgnal μ () rc () pd () λ () T T Sepenca Pravon pls, μ ( ), < rc( ) μ( ) μ( T) Plsn dble pd( ) μ( ) 2μ( T 2) + μ( T) Kosna, λ( ), < r () Aperodčn sgnal δ () Perodčn sgnal δ T() T T Tron pls r( ) λ( ) 2λ( T 2) + λ( T) Impls, δ ( ), Implsn nz δ ( ) δ ( T) T Tp Plsn nz p( T) δ ( ) d δ ( ) ϕ( ) d ϕ() Snsoda x( ) a sn( ω + ϕ)

4 Aperodčn sgnal Aperodčn sgnal sn d sn d 2 e α d d e 2 α Aperodčn sgnal Aperodčn sgnal Im Re x( ) e s s σ + jω Czoda τ lm e δ () τ τ Osnovn dsren sgnal (nzov) Jednčn nz δ...,,,,,,... (z s jednčnm članom l zorom, Kronecerov dela, δ nz) δ ( ) δ() za, Z za Osnovn dsren sgnal (nzov) Jednčna sepenca (Heavsdeov nz) za, Z S...,,,,,,... S ( ) za < S()

5 Snsn nz () U cos (ωt + ζ ), gdje je ω frevencja dodrnce () Osnovn dsren sgnal (nzov) Osnovn dsren sgnal (nzov) () U cos (Ω + ζ ), Z U - amplda ζ - faza Ω ωτ - ora argmena radanma analogan frevencj () cos (Ω + ζ ), Z Svojsva snsnog nza Ω π / 6 Ω 2 π / 6 Za Ω 2π - Δ zlaz () cos (2π - Δ) cos (-Δ) cos Δ Iz raspoložvog nza se ne može razlova da l je frevencja dodrnce Ω 2π - Δ l Ω 2 Δ Svojsva snsnog nza Vd se da se z ovog nza ne može razlova frevencja Ω od blo oje Ω n Ω + 2nπ, n Z jer je cos [(Ω +2nπ)] cos (Ω +2nπ) cos (Ω ) Da b se Ω mogao odred jednoznačno z nza moramo b sgrn da je Ω < π, odnosno ω < π / T l 2 f < / T. n, Z Operacje na sgnal, ssav Promjene na sgnal se događaj ad sgnal prolaz roz medj l ssav. Ssav je cjelna sasavljena od međsobno povezanh objeaa gdje svojsva objeaa njhovo međdjelovanje određj svojsva vladanje cjelne. Mldscplnarn problem: odred, podes, predvdje vladanje ssava, l pa realzra ssav željenh svojsava.

6 Preslavanje sgnala Jednosavno preslavanje - ompozcja fncja: v() f(()), vf(), U, v V. Trenna vrjednos preslava se renn. Složenje preslavanje - operaor prdržje sgnal drg sgnal: v (), U, v V. Složeno preslavanje... ea preslava sgnal z nervala [, 2 ] sgnal v nerval [, 2 ]. v ( ) [, ] [ ] 2, 2 Trenna vrjednos v(), z [, 2 ] zavs od svh rennh vrjednos (τ) z nervala τ [, 2 ]! () ( ) ( τ) dτ + Složeno preslavanje... Trenna vrjednos v() može se zraz ao: ( ) v( ) [ ],, 2 gdje je fnconal oj fncj na nerval [, 2 ] prdržje broj v(). Posebce s zanmljve 2 mogćnos: v() ovs od segmena [, ) - prje, l v() ovs od segmena (, 2 ] - poslje. Trenc, 2 mog b besonačnos. Operacje međ sgnalma Djelovanje vše sgnala na jedan rezlrajć može se opsa fncjom: v() f( (), 2 (), 3 (),...). Općeno, o je nelnearna fncja, npr. v ( ) l lnearna, npr. [ ( )] 2 ( ), v( ) α ( ) + β2( ). 2 2 f v Operacje međ sgnalma Elemenarne operacje - ne mog se dalje razlaga. Važne elemenarne operacje: zbrajanje v + 2 množenje v 2 Razlaganje f na elemenarne operacje - Talorov red s onačnm brojem članova. Osnovne operacje na nzovma elemen dsrenog ssava Zbrajanje nzova Zbroj dva nza + v l {()} {()} + {v()} je nz s općm članom () () + v() za sva Z. Prod nzova Prod dva nza v l {()} {()} {v()} je nz s općm članom () () v() za sva Z. v v +

7 Osnovne operacje na nzovma elemen dsrenog ssava Množenje s onsanom a l {()} a{()} {a ()} () a() za sva Z. ncjs blo f () l {()} f [{()}] () f [()] za sva Z. a f Klasfacja ssava Bezmemorjs l renn () f (, ()), memorjs l azaln () (, (-, ] ), predvn (ancpavn) l anazaln () (, [, ) ), memorjso-predvn l neazaln () (, (-, ) ). eazaln ssav česo se dobvaj pr snez ssava, sljed dealzranh zahjeva. Spajanje ssava Ssav se predsavlja ao blo Ssav s vše laza zlaza može se jednosavno razlož na vše ssava s vše laza, al samo s po jednm zlazom. Dva vše objeaa l podssava mog se spoj ao da zajedno čne jedan složen ssav. Ssav od ojh je sasavljen složen ssav zov se podssav. Pravla spajanja Izlaz z bloova se ne spajaj međsobno. Sva laz bloa spaja se na zlaz neog bloa l je laz spojen složen ssav. Sv laz podssava s angažran. Izlaz bloa može b zlaz složenog ssava. ajmanje jedan zlaz podssava je zlaz spojenog ssava. Konnran ssav bez memorje Ssav onačnom nom nerval Izlaz ren ovs samo o vrjednos laznog sgnala ren Elemen ssava prazan fncjsm bloom ncjs blo opsan fncjom ) ( 2 f ( ( ), ( ),..., ( )) ( ), ( ) R m 2 3 f(.,.,.) Vladanje ssava glavnom pramo na onačnom vremensom nerval (, ] oj nazvamo nerval promaranja. Zanma nas, dale, odsječa odzva (, ] ao posljedca odsječa pobde (, ].

8 Ssav onačnom nom nerval Pobda se može podjel na (, ], (, ]. (, ] (, ] Izlaz ssava (, ] je posljedca oba segmena () ( (, ], (, ] ), >. ( x, ) ( ) (, ] Memorjse predcjse operacje dsrenog ssava naprjed (predcja) Poma nza - E E l {()} E {()} () (E)() () ( +). jednčn poma daje z laznog nza, nz poman za jedan ora. narag (ašnjenje pamćenje) E - E - l {()} E - {()} () (E - )() () ( -) >. Operacja pomaa nza naprjed raž neazalan ssav pa je neosvarva. Zao se ssavma slžmo redovo jedncama za ašnjenje, odnosno operacjom E -. () () ( +) ( ) ( ), > Dferencja nza zlazna slazna Δ Δ l {()} Δ {()} l {()} {()} () (Δ)() (+) - () () ( )() () - (-) {()} (E - ){()} {()} ( - E - ){()} E + E - + Dferencja všeg reda n Δ n n r n r { ( )} (E ) { ( )} ( ) E { ( )} r n r n n n r { } { } { } r ( ) ( E ) ( ) ( ) E ( ) r n r n nn n n r n r ( )( 2) K ( - + )! r! r!( n r)! Amlacja nza Andferencjs operaor Δ - daje nz {()} Δ - {()} aav da je Δ{()} {()} + j Može se poaza da vrjed Δ ( j) K { ( ) } Za slčaj azalnh sgnala ( j) + K ( j) + K ( ) j j Prema ome ( ), Δ { ( )} ( j) + K ( ) ( ) + ( j) > j, j Σ

9 Lnearn ssav Lnearn ssav Prncp sperpozcje Sperpozcjs negral smacja Odzv ssava na mpls zora Konvolcjs negral smacja Karaersčne fncje lnearnog ssava Sablnos lnearnog ssava Ssav: sp operacja na sgnal () Analza ssava: odzv poznaog ssava na ražen pobd, Sneza ssava: ssav željenog odzva na ražen pobd, Za odzv ssava počevš od neog rena reba počeno sanje x pobda (, ] (, ] ( x, ) ( ) (, ] x Bdć da je odzv posljedca dvaj nezavsnh zroa x mamo (, ] a) jednoznačn zavsnos odzva od pobde samo ao je počeno (, ] sanje nla x b) jednoznačn zavsnos odzva od x samo ao ssav nje pobđen j. () za x Ssav može b vremens onnran l dsrean zavsno od oga da l s varjable ssava fncje od neprebrojvog l prebrojvog spa renaa Ssav je vremens salan ao vremens poma pobde za onsanno vrjeme ( ) zroje samo s vremens poma odzva ( ) Drga bna lasfacja ssava je na lnearan nelnearan ssav

10 Lnearn ssav Da b ssav s jednm lazom jednm zlazom (x) bo lnearan reba zadovolj () vje homogenos: ( ax) a( x) Ao je odzv ssava na x ( (x) ) ada je a odzv ssava na ax za sva a. x, ax a () vje advnos ( x + x2) ( x) + ( x2) Ao je (x ) odzv na x, ada je + 2 odzv na x + x 2. x, x + x Oba vjea napsana zajedno ( ax + bx2) a( x ) + b( x2) daj prncp sperpozcje On je nžan dovoljan vje, da je ssav lnearan (nače je ssav nelnearan) Lnearne operacje na sgnalma Preposavmo složen sgnal predsavljen lnearnom ombnacjom od elemenarnh sgnala ( ) a ( ), R, Z Preslavanjem lnearnm operaorom može se jednosavno odred oršenjem prncpa sperpozcje v a a( ) av gdje je v ( ), dobven preslavanjem samo omponene, odnosno odzvom ssema na. a 2 a n an () ( ) a a 2 n gdje je ) a a an ( Za renne vrjednos () možemo napsa ( ) a( ) (, ) v( ) Ovo je obl sperpozcje l ransformacje gdje je domena sgnala onnrana, a paramear cjel broj sgnal je jednoznačno određen spom l nzom amplda a( ) v(, ) Ao sp elemenarnh fncja { } posane posve gs odnosno paramear λ neprebrojv, ežnsa onsana posaje onnrana fncja paramera a(, a smacja negral v ( ) a( v(, dλ Sgnal v je predsavljen negralom elemenarnh sgnal (, s ežnsom fncjom a( sperom, ojom je jednoznačno određen

11 Prmjena lnearnog operaora (v) na zvorn sgnal daje ( v) a( ( dλ a( ( ( ) dλ a( z( dλ ( ) ) gdje je ( z( λ Za renne vrjednos sgnala oj se nazva sperpozcjs a negral. Pogodan je za analz vremens promjenjvh ssava. ( ) ( z(, dλ Slčno možemo predsav vremens dsrean vremens ssav v() s elemenarnm nzovma v v[ ] a v a[ v[, Prmjenom operaora možemo dob a[ [ ( [ ) gdje je v[, [ Za zore zlaz [ ] a[ v[, sperpozcjsa smacja pogodna za analz vremens promjenjvh ssava. { ( )} a[ a[ v[ Sperpozcjs negral smacj smo dobl z prncpa sperpozcje Doves ćemo h vez s odzvom ssava na jednčn zora δ [] jednčn mpls δ () Preposavmo ne sgnal [] nzom zoraa [ ] a[ δ[ Bdć da je δ[ za za Pa zlaz za da je a() () Sva nz se dade rasav na jednčne zore [ ] [ δ[ Prmjena operaora vod na ( ) [ h[, gdje je h[, δ[, ( ( )) Iso ao možemo razlož sgnal na sm l negral mplsa ao nza elemenarnh fncja ( ) a( δ ( dλ ( δ ( dλ aon prmjene lnearnog operaora na gornj prezenacj sgnala, zlaz sperpozcjs negral gdje je h(, odzv ssava na mpls ren λ. ( ) ( h(, dλ U slčaj vremens salnh ssava h(, τ) je vje s samo asn za τ olo asn pobdna δ fncja j. h(, τ ) h( τ ) Sperpozcjs negral dobva obl oj se nazva onvolcjs negral ( ) ( τ ) h( τ ) dτ h( τ ) ( τ ) dτ Operacja zmeđ h nazva se onvolcjom

12 Za vremens dsrene ssave dobva se obl [ ] [ h[ h[ [ oj se nazva onvolcjsom smacjom Svojsva onvolcjse smacje negrala onvolcjso preslavanje vrjed za sve lnearne vremens salne ssave oj se zao nead nazvaj onvolcjs ssav Odzv dsrenog ssava s h() h() na pobd 4 sepencom (4) h( ) μ( ) { } {} 8 Za azalan odzv h[], azaln pobd [] za <. Odzv na sepenc dobva se amlacjom zoraa odzva na zora h( ) Konvolcjs negral preslava fncj pobde fncj odzva, ao da je renna vrjednos odgovarajće () određena negralom, odnosno cjelm jeom odzva h pobde Vdmo da je o zasa preslavanje fncje fncj. Uzmmo ao prmjer ( ) h( τ ) ( τ ) dτ h, ( τ ) a vrjednos () ječe pobda z nervala (, ) Iz prmjera zraza se vd da b se zvršla onvolcja dobla vrjednos () za rena reba zvrš sljedeće:. Vremens nverzj sgnala na os τ 2. Mlplacj sgnala ao soje 3. Inegrra prod od do h(τ ) τ Iz prmjera se vd da je odzv na sepenc negral mplsnog odzva h( τ ) μ( τ ) dτ ( ) h( τ ) dτ Grance negrala prozlaze z azalnos pobde mplsnog odzva h( ) za τ < μ( ) zaτ > Preposavmo da s sgnal,, z, h defnran na cjeloj vremensoj os (, ) Može se poaza da za operacj onvolcje vrjed omavnos h h asocjavnos ( h ) z ( h z) dsrbvnos h ( z) h + h z mlplacja s onsanom α( h ) ( αh) h ( α) dferencranje D( h ) Dh h D olo desne srane posoje

13 Spor onvolcje Sp l podrčje vremensh renaa za oje je sgnal razlč od Ao je spor od h neom nerval [a, b], a od nerval [c, b] s m da se a c evenalno proež do, a b d do, ada je spor onvolcje [a+c, b+d] Karaersčne fncje Pobda ao lnearna ombnacja sgnala Odzv ao lnearna ombnacja sgnala a Ovo osgrava jednosavn analz ssava Može se još pojednosavn ao b se našla ava fncja za oj b prmjena operaora bla jednosavna a v pr. jednae fncje za sasavljanje pobde odzva ncje oje mog slž snez pobde odzva ssava danog operaorom, rebaj zadovolj vje: ( ) H, gdje je H realan l omplesan broj ao da se v razlj samo za saln faor H. Kaže se da s o vlase l araersčne fncje operaora Esponencjalna fncja je araersčna fncja lnearnog saconarnog ssava šo se može poaza onvolcjom s Odredmo odzv na esponencjal e, s σ + jω s( τ ) s s h( τ ) ( τ ) dτ h( τ ) e dτ e h( τ ) e Inegral zagrad je onsana l je fncja od s azva se vlasom vrjednošć l fncjom operaora. H ncje s jednae, razlj se samo za saln faor Za esponencjal ao elemenarn fncj zlaz s s e H ( s ) e odnosno s s a ( ) ae ah ( s ) e Ta svojsva esponencjala prozlaze z čnjence da se operaor lnearnog ssava sasoj od ombnacja dervacja negrala, a e operacje na esponencjal daj ope esponencjal Slčno se može zaljč da je dsrena esponencjala l -a poencja od z, vlas nz dferencjsog operaora h[ [ h[ z z z H ( z), H ( z) h[ z Šo znač da za lnearn ombnacj pobd dobvamo lnearn ombnacj odzv a [ ] a z a H ( z ) z h[ z

14 Sablnos ssava Lnearn vremens promjenjv ssav je sablan ao ma omeđen odzv ( ) M na blo oj omeđen pobd ( ) M žan dovoljan vje je apsolno negrablan mplsn odzv ssava ea je: h(,τ ) dτ ( ) h(, τ ) ( τ ) dτ < M h(, τ ) dτ ( ) < M < <