Korelacijska i regresijska analiza

Transcript

1 Korelacjska regresjska analza

2 Odnos među pojavama Odnos među pojavama može bt: determnstčk l funkconaln stohastčk l statstčk Kod determnstčkoga se odnosa za svaku vrjednost jedne pojave točno zna vrjednost druge pojave. Kod stohastčkoga se odnosa na osnov vrjednost jedne pojave ne može e sa sgurnošću u predvdjet vrjednost druge pojave. Prmjer determnstčkh odnosa: stranca kvadrata njegov opseg, kolčna na prodane robe dobven znos novca. Prmjer stohastčkh odnosa: cjena neke robe njezna potražnja nja, vsna starost stabla.

3 Osnovna su ptanja koja pr proučavanju odnosa zmeđu dvju l vše e pojava postavljamo: Jesu l statstčke varjable povezane? Na koj su načn povezane? Kolko su snažno no povezane? Može l se povezanost numerčk zrazt? Istražvanjem kvantfcranjem povezanost među promatranm pojavama, odnosno varjablama bav se korelacjska analza. Utvrđvanjem analtčkoga zraza povezanost među pojavama bav se regresjska analza.

4 Djagram raspa panja Polazna točka u korelacjskoj regresjskoj analz jest djagram raspanja. To je grafčk prkaz točaka u koordnatnome sustavu koje predstavljaju nz uređenh parova: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),,, ( (x n, y n ); pr čemu su x 1, x 2,, x n, vrjednost jedne varjable (X ), a y 1, y 2,, y n, vrjednost druge varjable (Y ). Uočmo l neku pravlnost u rasporedu točaka u djagramu raspa panja, možemo zaključt jesu l varjable korelrane l nsu.

5 Prmjer djagrama raspanja Y Y X X Postoj korelacja Nema korelacje

6 Y Y X X Lnearna nelnearna korelacja

7 Y Y X X Korelacje poztvnoga negatvnoga smjera

8 Y Y X X Jaka slaba korelacja

9 Y X Potpuna korelacja

10 Koefcjent korelacje Koefcjent korelacje su pokazateljp stupnja statstčke povezanost. Ako se stražuje veza zmeđu dvju varjabl ako je ta veza lnearna, stupanj povezanost zražava ava se koefcjentom lnearne korelacje. Istražuje l se postojanje lnearne veze jedne varjable u ovsnost od dvju l vše e drugh varjabl, stupanj povezanost zražava ava se koefcjentom všestruke lnearne korelacje. Stupanj nelnearne l krvolnjske veze zmeđu varjabl zražava ava se koefcjentom krvolnjske korelacje. Ako su promatrane pojave predstavljene redosljednm varjablama, stupanj njhove povezanost zražava ava se koefcjentom korelacje ranga.

11 Pearsonov * koefcjent korelacje Pearsonov koefcjent korelacje (r ) mjer jakost smjer lnearne korelacje. Računa se po formul: σxy r = (1), σ σ x y gdje su σ x σ y standardne devjacje varjabl X Y, a σ xy je kovarjanca -artmetčka sredna umnožaka odstupanja varjabl od njhovh artmetčkh sredna. Standardna devjacja nza n podataka oblježja X računa se po jenoj od formula: σ x = n 1 2 ( x x) n = 1 l σ x = 1 n n = 1 x 2 x 2 gdje je x artmetčka sredna nza podataka. *Karl Pearson ( ), englesk matematčar, ar, statstčar ar bolog.

12 Kovarjanca nza n uređenh parova vrjednost oblježja X Y računa se po jednoj od formula: σ xy = 1 n n = 1 ( x x)( y y) l σ xy = 1 n n =1 x y x y Uvrštavanjem vrjednost za transformra u: tavanjem vrjednost za σ x, σ y σ xy r = n = 1 x 2 n = 1 x nx y 2 xy u formulu (1), ta se formula nx y n = 1 y 2 ny 2

13 Uvjek je -1 r 1. Ako je r = 1, veza je funkconalna; ako je r = 0, 0 ne postoj lnearna korelacja među sptvanm pojavama. Smjer korelacje jednak je predznaku od r. Stupanj jakost korelacje okvrno je dan saljedećom tablcom: r 0 0-0,5 0,5-0,8 0,8-1 1 Jakost korelacje nema korelacje slaba korelacja srednje jaka korelacja jaka korelacja potpuna korelacja

14 Regresjska analza Regresjska analza bav se određvanjem funkconalne zavsnost zmeđu dvju l vše varjabl. Analtčk zraz te zavsnost zove se regresjsk model. Ako model zražava ava vezu zmeđu zavsne jedne nezavsne varjable, rječ je o jednostavnom regresjskom modelu. Ako model zražava ava vezu zmeđu zavsne dvju l vše e nezavsnh varjabl, rječ je o modelu všestruke regresje.

15 Modelom jednostavne regresje pokušavamo objasnt velčnu nu ( (Y ) preko samo jedne velčne ne (X),( a sv ostal utjecaj se zanemaruju. Takav je prstup u praks opravdan jer najčešće nsmo u mogućnost sagledat sve utjecaje na velčnu nu Y,, pa uzmamo u obzr samo najbtnje. No moguće e je da se analzom dođe do zaključka ka da velčna na Y značajno ajno zavs od vše e varjabl ( (X 1, X 2, X n. Tada T b određval model všestruke regresje.

16 Podac za regresjsku analzu nastaju opažanjem anjem l mjerenjem u statstčkm pokusma. U gospodarskm prmjenama regresjskog modela podac se javljaju kao: 1. brojčane vrjednost pojava za određene gospodarske l prostorne jednce 2. vremensk nzov 3. kombnacja 1. 2.

17 Regresjsk model mogu zražavat avat lnearne* nelnearne veze zmeđu promatranh pojava l varjabl. Najjednostavnj oblk zavsnost, odnosno najjednostavnj regresjsk model je model jednostavne lnearne regresje. *Model je lnearan ako svaka varjabla u modelu ma potencju 1.

18 Model jednostavne lnearne regresje je model oblka: gdje je a, b R. y = ax + b, Model všestruke lnearne regresje je model oblka: y = ax 1 + ax ax k + b, gdje je a, b R, = 1,, k.

19 Model jednostavne lnearne regresje Pretpostavmo da je zadan djagram raspanja od n točaka ( (x 1, y 1 ), ( (x 2, y 2 ),..., ( (x n, y n ), te da nas oblk toga djagrama upućuje uje na postojanje lnearne korelacje među oblježjma jma X Y. Pravac regresje p ma jednadžbu bu: y = ax + b. Nagb (a)( ) odsječak (b)( ) određuju o se metodom najmanjh kvadrata.

20 Metoda najmanjh kvadrata Metoda najmanjh kvadrata bazra se na uvjetu da zbroj kvadrata vertkalnh odstupanja točaka u djagramu raspanja od traženog pravca regresje bude mnmalan. Y y = ax + b (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) ε 1 ε 2 ax 1 + b ax 2 + b ε 3 (x 3 y 3 ) ax 3 + b X x 1 x 2 x 3 Vertkalna odstupanja od pravca regresje (rezdualna odstupanja)

21 Iz zadanog uvjeta dobje se: a σxy =, b = y a x, σ 2 x gdje je σ 2 x varjanca varjable X,, a σ xy kovarjanca zmeđu varjabl X Y. Uvrštavanjem vrjednost za σ x, σ y σ. xy u formulu kojom se zračunava koefcjent a,, ta se formula transformra u:, a n = 1 = n = 1 x x y 2 nx y nx 2.

22 Parametar a zove se regresjsk koefcjent. On pokazuje za kolko se u prosjeku promjen zavsna varjabla ako se nezavsna varjabla promjen za jedan. Parametar b je pokazuje vrjednost zavsne varjable u slučaju kada je nezavsna varjabla jednaka nul.,.

23 Prmjedba Kao što smo promatral pravac regresje velčne ne Y u odnosu na velčnu nu X, možemo promatrat obrnuto: pravac regresje velčne ne X u odnosu na velčnu nu Y.. Taj pravac ma jednadžbu bu: x = a y + b,, gdje je: σxy a =, 2 b = x a y. σ y.

24 Prmjer 1: Promatrana je veza zmeđu broja prozvedenh prozvoda (X) ukupnog profta (Y) (u tsućama kuna). Dobven podac dan su u tablc: x y a) Nacrtajte djagram raspanja. b) Odredte jednadžbu pravca regresje koj pokazuje ovsnost ukupnog profta o broju prozvedenh prozvoda označte značenje parametara. c) Ucrtajte pravac regresje u prethodn graf. d) Izračunajte regresjske vrjednost vrjednost rezdualnh odstupanja.

25 Rješenje: enje: a) Seres

26 b) x y x 2 x y

27 x 730 = = 121,67, y 6 = = 34,67 a = x x y 2 nx y nx 2 = ,67 34, ,67 2 = 680,2 2228,47 = 0,30523 b = y bx = 34,67 0, ,67 = 2,46733 Jednadžba pravca regresje je: y = 0,30523x 2,46733

28 d) y = 0,306x - 2,5597 R 2 = 0, Seres1 Lnear (Seres1)

29 d) Izračunavanje regresjskh vrjednost vrjednost rezdualnh odstupanja. x y ŷ ε , , , , , , , , , , , , , y ˆ = y

30 Prmjer 2: Analzraju se ukupn troškov prozvodnje u jednom poduzeću. u. Na temelju kvartalnh podataka utvrđene su kolčne ne prozvodnje ukupn troškov prozvodnje. Podac su dan u tablc. (a) Nacrtajte djagram raspanja. Što zaključujete ujete z djagrama? (b) Procjente vrjednost parametara regresjskog modela protumačte njhovo značenje. (c) Izračunajte regresjske vrjednost. (d) Odredte vrjednost rezdualnh odstupanja.

31 Uk Uk. tro. troškov kov Prozvodnja Prozvodnja

32 x y x 2 y x

33 x a b = = = = 519,1818 y = = 216, , , ,17 = , ,84 216,9091 0, ,1818 = 19,14236 = 0,38092 Jednadžba pravca regresje je: y = 0,38092x + 19,14236

34 - 0,0000 0, , , ,72% 0,72% -2,1659 2, , , ,19% 3,19% -8,7390 8, , , ,75% 1,75% 4,6879 4, , , ,39% 0,39% -0,9332 0, , , ,80% 2,80% 6,3510 6, , , ,06% 1,06% 2,2068 2, , , ,82% 4,82% 9,8726 9, , , ,51% 1,51% 2,8719 2, , , ,73% 0,73% 1,2995 1, , , ,38% 5,38% -8,2255 8, , , ,95% 4,95% -7,2262 7, , , ε,rel,rel ε x y x 2 y x ŷ

35 Korelacja ranga Spearmanov koefcjent korelacje ranga zračunava se kod sptvanja korelacje dvju varjabl ranga, tj. kod sptvanja povezanost dvaju redosljednh oblježja. ja. Računa se prema formul: gdje je: d = r x r y. r s n = 1 6 = 1 3 n d 2 n r x rang varjable X, r y rang varjable Y.

36 r S > 0 - poztvna korelacja ranga r S < 0 - negatvna korelacja ranga r S = 1 - savršena poztvna korelacja ranga r S = savršena negatvna korelacja ranga

37 Prmjer: Novnar dvaju časopsa bral su menadžera era godne. Desetorc kanddata novnar pojednog časopsa su daval bodove kojma je mjerena njhova uspješnost. Izračunat ćemo stupanj korelacje krterja ocjenjvanja obaju urednštava: Redn broj kanddata Bodov dodjeljenh od urednštva časopsa A x B Rang vrjednost varjable X Rang vrjednost varjable Y y r( x ) ( ) Razlke rangova d r y Kvadrat razlka rangova Ukupno d

38 Objašnjenje rangova u 4. stupcu: najmanjoj vrjednost varjable X, 14, prdružen je rang 1. Sljedeć su po velčn n bodova 15 19, pa su njma prdružen rangov 2 3. nakon toga sljede dva po velčn n jednaka broja bodova, 25, a kako su na redu rangov 4 5, to je svakoj vrjednost prdružena artmetčka sredna th dvaju rangova, tj. 4,5. Sljed po velčn n 30 bodova, kojma je prdružen rang 6 td. r s n 2 d = = 1 = 1 = n n Spearmanov koefcjent korelacje ranga je dosta blzu jednce, što znač da je veza među rangovma dvju varjabl poztvna dosta jaka. Znač da je kanddat kojeg je jedno urednštvo ocjenlo dobro, prošao dobro kod drugog urednka obrnuto. To upućuje uje na dosta dobru usklađenost krterja obaju urednštva.