ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη (2η έκδοση, 7/5/2013)
|
|
- Ζηνοβία Αλεξανδρίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη (2η έκδοση, 7/5/2013) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 23 Απριλίου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 1/ 42
2 Περιεχόµενα 10ης διάλεξης 1 Το Γκαουσιανό Κανάλι. Θεώρηµα Κωδικοποίησης 2 Γκαουσιανό κανάλι µε πεπερασµένο εύρος Ϲώνης 3 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 2/ 42
3 Το Γκαουσιανό Κανάλι Εισαγωγή Κανάλι διακριτού χρόνου µε συνεχές αλφάβητο. Σχέση Εισόδου-Εξόδου Y i = X i + Z i, Z i N (0, N), όπου οι τ.µ. Z i είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους και ανεξάρτητες από τις X i. Αποτελεί πολύ καλό και ευρέως χρησιµοποιούµενο µοντέλο για συστήµατα επικοινωνιών. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 3/ 42
4 Το Γκαουσιανό Κανάλι Εισαγωγή (2) Ποια είναι η χωρητικότητα του Γκαουσιανού Καναλιού; Εξαρτάται από τις υποθέσεις! Εάν η διασπορά του ϑορύβου ισούται µε 0, η έξοδος του καναλιού ισούται µε την είσοδό του. Εποµένως, µπορούµε να µεταδώσουµε µε άπειρο ϱυθµό (χρησιµοποιώντας συνεχές η άπειρο διακριτό αλφάβητο για τη X). Το ίδιο ισχύει εάν ο ϑόρυβος έχει πεπερασµένη διασπορά, αλλά δεν υπάρχει περιορισµός πλάτους ή ισχύος της εισόδου. Μπο- ϱούµε πάντα να χρησιµοποιήσουµε είσοδο τέτοιου πλάτους ώστε να µπορούµε να ανακτήσουµε το µεταδοθέν σήµα στην έξοδο µε πιθανότητα σφάλµατος που τείνει στο 0. Στην πράξη, ο ϑόρυβος Z έχει µη µηδενική διασπορά (ισχύ). Επίσης, υπάρχει περιορισµός ως προς τη διαθέσιµη ισχύ της X. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 4/ 42
5 Το Γκαουσιανό Κανάλι Εισαγωγή (3) Στο µάθηµα ``Θεωρία Πληροφορίας είδαµε ότι, για την περίπτωση πεπερασµένης ισχύος εισόδου 1 n n i=1 x2 i P, η χωρητικότητα του Γκαουσιανού καναλιού ισούται µε Χωρητικότητα Γκαουσιανού Καναλιού C = 1 ( 2 log 1 + P ) bits/χρήση καναλιού N ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 5/ 42
6 Χωρητικότητα Γκαουσιανού Καναλιού µε περιορισµό ισχύος Ορισµός Η ``πληροφοριακή χωρητικότητα του Γκαουσιανού Καναλιού µε περιορισµό ισχύος (power contraint) P ορίζεται ως C = max I(X; Y ). f X (x):e[x 2 ] P Θα επαναλάβουµε τον υπολογισµό της πληροφοριακής χωρητικότητας Γκαουσιανού καναλιού που παρουσιάστηκε στο µάθηµα ``Θεωρία Πληροφορίας. I(X; Y ) = h(y ) h(y X) = h(y ) h(x + Z X) = h(y ) h(z X) (a) = h(y ) h(z) = h(y ) 1 log 2πeN. 2 (a) η Z (ϑόρυβος) είναι ανεξάρτητη της X. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 6/ 42
7 Χωρητικότητα Γκαουσιανού Καναλιού µε περιορισµό ισχύος (2) Για τη διασπορά της Y, και δεδοµένου ότι E[Z] = 0, ισχύει E [ Y 2] = E [ (X + Z) 2] = E [ X 2] +2E[X]E[Z]+E [ Z 2] = P+N. Εποµένως, h(y ) 1 log 2πe(P + N), µε = όταν η Y ακολουθεί 2 Γκαουσιανή κατανοµή. Συνεπώς, I(X; Y ) = h(y ) 1 log 2πeN log 2πe(P + N) 1 log 2πeN 2 C 1 ( 2 log 1 + P ). N ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 7/ 42
8 Χωρητικότητα Γκαουσιανού Καναλιού µε περιορισµό ισχύος (3) Y = X + N. Από τη Θεωρία Πιθανοτήτων, ο γραµµικός συνδυασµός δύο Γκαουσιανών τ.µ. ακολουθεί Γκαουσιανή κατανοµή. Συνεπώς, όταν η Y ακολουθεί Γκαουσιανή κατανοµή, το ίδιο ισχύει και για τη X. Προκειµένου να έχουµε Var(X) = P πρέπει E[X] = 0 ούτως ώστε Var(X) = E[X 2 ] = P. ιαισθητικά, αν E[X] 0 χάνουµε ισχύ για να ``πολώσουµε τη X σε µη µηδενική µέση τιµή. Αρα, η πληροφοριακή χωρητικότητα του Γκαουσιανού καναλιού ε- πιτυγχάνεται µε χρήση Γκαουσιανής εισόδου X N (0, P) και C = 1 2 log ( 1 + P N ). Αποµένει να αποδείξουµε ότι η ``πληροφοριακή χωρητικότητα του Γκαουσιανού καναλιού ισούται µε τη ``λειτουργική του χωρητικότητα. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 8/ 42
9 1 Το Γκαουσιανό Κανάλι. Θεώρηµα Κωδικοποίησης 2 Γκαουσιανό κανάλι µε πεπερασµένο εύρος Ϲώνης 3 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 9/ 42
10 Θεώρηµα Κωδικοποίησης για το Γκαουσιανό κανάλι Σηµείωση: Η απόδειξη του ευθέος είναι παρόµοια µε αυτή για το διακριτό κανάλι χωρίς µνήµη και δίνεται στο Κεφάλαιο 9.1 του ϐιβλίου των Cover & Thomas. Θα επισηµάνουµε µόνο τις διαφορές. Οπως και για το διακριτό κανάλι χωρίς µνήµη, κατασκευάζονται κωδικές λέξεις µήκους n. Η µόνη διαφορά είναι ότι πρέπει να n ικανοποιούν τον περιορισµό ισχύος: i=1 x2 i (w) np, w = 1, 2,..., M, όπου M ο αριθµός των µηνυµάτων (και ίσος µε 2 nr ). Εάν κατασκευάσουµε τα σύµβολα των κωδικών λέξεων µε ϐάση Γκαουσιανή κατανοµή N (0, P ɛ), για µεγάλο n, 1 n X 2 i P ɛ και, εποµένως, ο περιορισµός ικανοποιείται µε πιθανότητα που τείνει στο 1. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 10/ 42
11 Θεώρηµα Κωδικοποίησης για το Γκαουσιανό κανάλι (2) Μετά την κατασκευή του τυχαίου κώδικα, αυτός αποκαλύπτεται τόσο στον ποµπό όσο και στο δέκτη. Θεωρούµε ότι η αποκωδικοποίηση στο δέκτη γίνεται µε χρήση από κοινού τυπικότητας. Σε σύγκριση µε τα διακριτά κανάλια χωρίς µνήµη, υπάρχει ένα ε- πιπλέον ενδεχόµενο που συµβάλλει στην πιθανότητα σφάλµατος: Το ενδεχόµενο η κωδική λέξη που έχει αποσταλεί να µην ικανοποιεί τον περιορισµό ισχύος. Ωστόσο, για µεγάλα n η πιθανότητα αυτή µπορεί να γίνει αυθαίρετα µικρή (από το Νόµο των Μεγάλων Αριθµών). Συνεπώς, και η συνολική πιθανότητα σφάλµατος µπορεί να γίνει αυθαίρετα µικρή, όπως και στην περίπτωση του διακριτού καναλιού χωρίς µνήµη. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 11/ 42
12 1 Το Γκαουσιανό Κανάλι. Θεώρηµα Κωδικοποίησης 2 Γκαουσιανό κανάλι µε πεπερασµένο εύρος Ϲώνης 3 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 12/ 42
13 Θεώρηµα Κωδικοποίησης για το Γκαουσιανό κανάλι (αντίστροφο) Και για το αντίστροφο, η απόδειξη είναι παρόµοια µε αυτή για το αντίστροφο του Θεωρήµατος Κωδικοποίησης για διακριτά κανάλια χωρίς µνήµη. Θεωρούµε ότι οι κωδικές λέξεις ικανοποιούν τον περιορισµό ι- 1 n σχύος, δηλαδή ότι n i=1 x2 i (w) P. Επιπλέον, ϑεωρούµε ότι η κατανοµή των 2 nr µηνυµάτων είναι οµοιόµορφη και χρησιµοποιούµε την ανισότητα Fano. ( ) H(W Ŵ) H P (n) e + P (n) e log X ( ) = 1 + np (n) 1 e R = n n + P(n) e R = nɛ n, όπου ɛ n 0 καθώς P (n) e 0. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 13/ 42
14 Θεώρηµα Κωδικοποίησης για το Γκαουσιανό κανάλι (αντίστροφο) (2) Οπως και στην περίπτωση διακριτού καναλιού χωρίς µνήµη, I(X n ; Y n ) n i=1 I(X i; Y i ). I(X n ; Y n ) = h(y n ) h(y n X n ) = h(y n ) h(z n ) n h(y i ) h(z n ) = i=1 n h(y i ) i=1 n h(z i ) = i=1 n I(X i, Y i ). i=1 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 14/ 42
15 Θεώρηµα Κωδικοποίησης για το Γκαουσιανό κανάλι (αντίστροφο) (3) ( H(W Ŵ) H ( 1 = n P (n) e ) + P (n) e ) n + P(n) e R log X = 1 + np (n) e R = nɛ n, Εποµένως, µπορούµε να γράψουµε nr = H(W) = I(W; Ŵ) + H(W Ŵ) (a) I(W; Ŵ) + nɛ n (b) n I(X n ; Y n ) + nɛ n I(X i, Y i ) + nɛ n. i=1 (a) Ανισότητα Fano, (b) Ανισότητα Επεξεργασίας εδοµένων ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 15/ 42
16 Θεώρηµα Κωδικοποίησης για το Γκαουσιανό κανάλι (αντίστροφο) (4) Ορίζουµε P i = 1 2 w nr x2 i (w), δηλαδή τη µέση ισχύ του i οστού συµβόλου των κωδικών λέξεων. Εποµένως, E [ ] Yi 2 = Pi + N και h(y i ) 1 2 log 2πe(P i + N). Συνεπώς, nr i I(X i ; Y i ) + nɛ n i ( 1 2 log 1 + P ) i + nɛ n. N ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 16/ 42
17 Θεώρηµα Κωδικοποίησης για το Γκαουσιανό κανάλι (αντίστροφο) (5) nr i 1 2 log ( 1 + P i N ( R { 1 1 n 2 log 1 + P i N i (b) 1 ( 2 log 1 + P ). N ) + nɛ n )} + ɛ n (a) 1 2 log ( n n i=1 P i N ) (a) από την ανισότητα Jensen. (b) δεδοµένου ότι οι κωδικές λέξεις ικανοποιούν τον περιορισµό ισχύος, 1 n i P i P. Συνεπώς, για P (n) e 0, R ( ) 1 2 log 1 + P N και δεν υπάρχει κώδικας που να ικανοποιεί τον περιορισµό ισχύος και να επιτυγχάνει R > C. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 17/ 42
18 Κωδικοποίηση καναλιού µε κόστος Η µετάδοση στο Γκαουσιανό κανάλι µε περιορισµό ισχύος είναι ειδική περίπτωση της κωδικοποίησης µε κόστος. Στην κωδικοποίηση µε κόστος, σε κάθε σύµβολο x X της πηγής αντιστοιχεί µία τιµή κόστους b(x) 0 και επιβάλλεται ο περιορισµός n i=1 b(x i(m)) nb για κάθε κωδική λέξη x n (m). Αποδεικνύεται (δείτε π.χ. El Gamal & Kim, Network Information Theory) ότι η χωρητικότητα ιακριτού Καναλιού Χωρίς Μνήµη µε περιορισµό κόστους B ισούται µε C(B) = max I(X; Y ). p(x):e[b(x)] B Αποδεικνύεται, επίσης, ότι η C(B) (η οποία ονοµάζεται συνάρτηση χωρητικότητας-κόστους (cost-capacity function)) είναι αύξουσα, κοίλη και συνεχής συνάρτηση του κόστους B. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 18/ 42
19 1 Το Γκαουσιανό Κανάλι. Θεώρηµα Κωδικοποίησης 2 Γκαουσιανό κανάλι µε πεπερασµένο εύρος Ϲώνης 3 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 19/ 42
20 Γεωµετρικό Επιχείρηµα (Sphere Packing Argument) ιαισθητικά, το Θεώρηµα Κωδικοποίησης Καναλιού για Γκαουσιανά κανάλια µπορεί περιγραφεί µε το ακόλουθο γεωµετρικό επιχείρη- µα. Μια κωδική λέξη x n αποτελεί ένα διάνυσµα στο n διάστατο χώρο. Εποµένως, η ακολουθία y n που λαµβάνεται στο δέκτη και αντιστοιχεί στο x n ϐρίσκεται µέσα σε µια n διάστατη σφαίρα µε κέντρο x n και ακτίνα n(n + ɛ). Καθώς το n αυξάνει, η y n ϐρίσκεται µέσα στη σφαίρα µε ολοένα αυξανόµενη πιθανότητα (και µε ɛ 0). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 20/ 42
21 Γεωµετρικό Επιχείρηµα (Sphere Packing Argument) (2) Μάλιστα, µε πιθανότητα που τείνει στο 1, το διάνυσµα ϐρίσκεται στο ϕλοιό της σφαίρας (δείτε και Φυλλάδιο 8). Εστω σφαίρα n διαστάσεων. Ο όγκος της δίνεται από τη σχέση C n r n. Εποµένως, ο λόγος του όγκου του ϕλοιού πάχους ɛ > 0 προς τον όγκο της σφαίρας ισούται µε r n (r ɛ) n r n ( = 1 1 ɛ ) n 1 για n. r Με χρήση του νόµου των µεγάλων αριθµών, υπάρχει n 0 τέτοιο ώστε, για n > n 0 και ακολουθία x = x n, το διάνυσµα x + z να ϐρίσκεται στο ϕλοιό σφαίρας n διαστάσεων πάχους ɛ µε κέντρο x και ακτίνα ne[ z 2 ] µε πιθανότητα αυθαίρετα κοντά στο 1. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 21/ 42
22 Γεωµετρικό Επιχείρηµα (Sphere Packing Argument) (3) Για µεγάλο n, ο χώρος όλων των πιθανών ακολουθιών στο δέκτη έχει ακτίνα περίπου ίση µε n(p + N). εδοµένου ότι σε κάθε x n αντιστοιχεί µια σφαίρα ακτίνας περίπου nn και ότι ο όγκος µιας n διάστατης σφαίρας ισούται µε C n r n, ο αριθµός ``σφαιρών που αντιστοιχούν σε µηνύµατα και τις οποίες µπορούµε να χωρέσουµε στο χώρο όλων των y n προκειµένου αυτές να µην επικαλύπτονται (και, εποµένως, να µη γίνονται σφάλµατα εκτίµησης στο δέκτη) δεν µπορεί να υπερβεί τις ( n(p ) n ( n(p ) n C n + N) ( ) n log C n + N) ( ) n C n nn C n nn = n ( 2 log 1 + P N ). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 22/ 42
23 Γεωµετρικό Επιχείρηµα (Sphere Packing Argument) (4) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 23/ 42
24 Γκαουσιανό κανάλι µε πεπερασµένο εύρος Ϲώνης 1 Το Γκαουσιανό Κανάλι. Θεώρηµα Κωδικοποίησης 2 Γκαουσιανό κανάλι µε πεπερασµένο εύρος Ϲώνης 3 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 24/ 42
25 Γκαουσιανό κανάλι µε πεπερασµένο εύρος Ϲώνης Στη ϕύση, τα κανάλια είναι όχι µόνο συνεχών τιµών αλλά και συνεχούς χρόνου (waveform channels). Το Γκαουσιανό κανάλι συνεχούς χρόνου και πεπερασµένου εύρους Ϲώνης, W, δίνεται από τη σχέση Y (t) = (X(t) + Z(t)) h(t), όπου Z(t) είναι λευκός Γκαουσιανός ϑόρυβος και h(t) είναι η κρουστική απόκριση ιδανικού ϐαθυπερατού ϕίλτρου µε f max = W. Από το Θεώρηµα ειγµατοληψίας Nyquist-Shannon-Kotelnikov γνω- ϱίζουµε ότι οποιοδήποτε ϐαθυπερατό σήµα µπορεί να αναπαραστα- ϑεί χωρίς απώλεια πληροφορίας µε χρήση τουλάχιστον 2W δειγ- µάτων του ανά δευτερόλεπτο. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 25/ 42
26 Γκαουσιανό κανάλι µε πεπερασµένο εύρος Ϲώνης (2) Συνεπώς, για σήµατα X(t) τα οποία δεν έχουν ϕασµατικό περιεχόµενο σε συχνότητες µεγαλύτερες της W, µπορούµε να χρησι- µοποιήσουµε τα δείγµατά τους και, εποµένως, διακριτό µοντέλο καναλιού. Για πληρέστερη δικαιολόγηση δείτε π.χ. Cover & Thomas 9.3. Για µια εξαντλητική εξέταση του προβλήµατος µε όλες τις απαραίτητες λεπτοµέρειες δείτε Gallager, Chapter 8. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 26/ 42
27 Γκαουσιανό κανάλι µε πεπερασµένο εύρος Ϲώνης (3) Εστω ότι παρατηρούµε το σήµα X(t) εύρους Ϲώνης W για T s. Εάν η Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος (PSD) της Z(t) ισούται µε N0 2, η ισχύς του ϑορύβου ισούται µε N0 2 2W = N 0W. Εποµένως, η διασπορά κάθε δείγµατος ϑορύβου (από τα 2WT, συνολικά) ισούται = N0 2. Η ενέργεια ανά δείγµα ισούται µε µε N0WT 2WT PT = P 2WT 2W. Αποδεικνύεται ότι τα δείγµατα λευκού Γκαουσιανού ϑορύβου είναι ανεξάρτητες και οµοίως κατανεµηµένες (i.i.d.) Γκαουσιανές τ.µ. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 27/ 42
28 Γκαουσιανό κανάλι µε πεπερασµένο εύρος Ϲώνης (4) Συνεπώς, η χωρητικότητα του Γκαουσιανού καναλιού µε πεπερασµένο εύρος Ϲώνης ισούται µε Χωρητικότητα Γκαουσιανού καναλιού πεπερασµένου εύρους Ϲώνης W ( C = 1 2 log 1 + P 2W N 0 2 ( C = W log 1 + P N 0 W ) = 12 log ( ) bits/s. 1 + P N 0 W ) bits/δείγµα ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 28/ 42
29 Γκαουσιανό κανάλι µε πεπερασµένο εύρος Ϲώνης (5) Παρατηρήσεις: Χωρητικότητα Γκαουσιανού καναλιού εύρους Ϲώνης W ( C = W log 1 + P ) bits/s N 0 W Η χωρητικότητα έχει λογαριθµική εξάρτηση από την ισχύ. Εποµένως, καθώς αυξάνουµε την ισχύ, το ``κέρδος που αποκοµίζουµε µειώνεται. Η αλλιώς: Για δεδοµένη ισχύ, εάν είναι διαθέσιµα δύο Γκαουσιανά κανάλια (ταυτόχρονα) µε ίδιο ϑόρυβο, είναι καλύτερο να µοιράσου- µε την ισχύ στα κανάλια. Για W, C = P N 0 log 2 e bits/s. Εποµένως, για άπειρο εύρος Ϲώνης, η χωρητικότητα αυξάνει γραµµικά µε την ισχύ. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 29/ 42
30 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος 1 Το Γκαουσιανό Κανάλι. Θεώρηµα Κωδικοποίησης 2 Γκαουσιανό κανάλι µε πεπερασµένο εύρος Ϲώνης 3 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 30/ 42
31 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος Εστω k παράλληλα Γκαουσιανά κανάλια τα οποία µπορούν να χρησιµοποιηθούν για τη µετάδοση πληροφορίας. Για παράδειγµα, µπορεί να έχουµε Γκαουσιανό κανάλι συνεχούς χρόνου µε έγχρωµο ϑόρυβο (µε διαφορετική, δηλαδή, πυκνότητα ισχύος σε κάθε συχνότητα). Το κανάλι σε κάθε συχνότητα µπορεί να µοντελοποιηθεί ως Γκαουσιανό. Τυπικό παράδειγµα: Συστήµατα DSL. Το µοντέλο παράλληλων Γκαουσιανών καναλιών µπορεί, επίσης, να εφαρµοστεί σε κανάλια µε διαλείψεις (fading). Στην περίπτωση επίπεδων (flat) διαλείψεων το κάθε ένα από τα k κανάλια αντιστοιχεί σε µια χρονική στιγµή. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 31/ 42
32 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος (2) Εποµένως, για το κανάλι j, Y j = X j + Z j, j = 1, 2,..., k, και Z j N (0, N j ). Τέλος, ϑεωρούµε ότι η συνολική ισχύς που [ είναι διαθέσιµη για µετάδοση είναι πεπερασµένη. ηλαδή, E k ] j=1 X j 2 P. Ποια είναι η χωρητικότητα του συστήµατος και πώς επιτυγχάνεται; ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 32/ 42
33 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος (3) Η ` πληροφοριακή χωρητικότητα των k παράλληλων καναλιών ισούται µε C = max f (x I(X 1, X 2,..., X k ; Y 1, Y 2,..., Y k ). 1,x 2,...,x k): EXi 2 P Αποδεικνύεται ότι, και για τα παράλληλα Γκαουσιανά κανάλια, η ``λειτουργική χωρητικότητα ισούται µε την ``πληροφοριακή. εδοµένου ότι οι Z i είναι ανεξάρτητες, I(X 1, X 2,..., X k ; Y 1, Y 2,..., Y k ) = h(y 1,..., Y k ) h(y 1,..., Y k X 1,..., X k ) = h(y 1,..., Y k ) h(z 1,..., Z k X 1,..., X k ) = h(y 1,..., Y k ) h(z 1,..., Z k ) = h(y 1,..., Y k ) i h(z i ) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 33/ 42
34 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος (4) I(X 1, X 2,..., X k ; Y 1, Y 2,..., Y k ) = h(y 1,..., Y k ) i όπου P i = E [X 2 i ]. (a) i h(z i ) h(y i ) h(z i ) (b) i ( 1 2 log 1 + P ) i, N i Η ισότητα στο (a) ισχύει όταν οι Y i είναι ανεξάρτητες (και, εποµένως, οι X i, δεδοµένου ότι οι Z i είναι ανεξάρτητες). Η ισότητα στο (b) ισχύει για Γκαουσιανές X i. Εποµένως, πρέπει να χρησιµοποιήσουµε P i (X 1, X 2,..., X k ) N 0, 0 P P k. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 34/ 42
35 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος (5) Αποµένει να ϐρούµε την κατανοµή ισχύος (δηλαδή τα P i : i P i P) η οποία µεγιστοποιεί την I(X 1, X 2,..., X k ; Y 1, Y 2,..., Y k ). Πρόβληµα ϐελτιστοποίησης: µεγιστοποίησε την ποσότητα ( 1 i 2 log 1 + Pi µε τον περιορισµό i P i = P N i ) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 35/ 42
36 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος (6) Με χρήση πολλαπλασιαστών Lagrange (ϐλ. π.χ. Cover & Thomas 9.4) αποδεικνύεται ότι η λύση δίνεται από την όπου (x) + = και i (ν N i) + = P. P i = (ν N i ) +, { x εάν x 0 0 εάν x < 0 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 36/ 42
37 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος Waterfilling Η κατανοµή ισχύος ονοµάζεται waterfilling (ή waterpouring) γιατί η διαθέσιµη ισχύς χρησιµοποιείται για να ``γεµίσει δοχεία µε ύψος πάτου ανάλογο της ισχύος του ϑορύβου. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 37/ 42
38 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος Waterfilling (2) Στην πράξη, ο αλγόριθµος waterfilling, µπορεί να υλοποιηθεί ως εξής (ϐλ. και Cioffi 1. Εστω ότι K είναι ο αριθµός των καναλιών που χρησιµοποιούνται για τη µετάδοση (όπου, δηλαδή, P i > 0). Αρχικά υποθέτουµε ότι όλα τα κανάλια είναι ``ενεργά και τα διατάσσουµε ως προς το ϑόρυβο. Το κανάλι 1 έχει τη µικρότερη διασπορά ϑορύβου (N i N j για i < j). 2. Εποµένως, K = K, P i = (ν N i ) και P = K i=1 P i = Kν K i=1 N i. 3. Λύνουµε ως προς τον άγνωστο ν. 4. Θεωρούµε το κανάλι K µε το µεγαλύτερο ϑόρυβο. Εάν P K = ν N K 0 και τα K κανάλια χρησιµοποιούνται (εκτός, πιθανώς, από κάποια µε P i = 0) και η ϐέλτιστη κατανοµή δίνεται από τα P i = ν N i, i = 1,..., K. Εάν P K = ν N K < 0, το κανάλι K δε χρησιµοποιείται και το αφαιρούµε. Θέτουµε K = K 1 και επιστρέφουµε στο Βήµα 3. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 38/ 42
39 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος 1 Το Γκαουσιανό Κανάλι. Θεώρηµα Κωδικοποίησης 2 Γκαουσιανό κανάλι µε πεπερασµένο εύρος Ϲώνης 3 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 39/ 42
40 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος Με δεδοµένο ότι η µετάδοση σε κάθε κανάλι πρέπει να γίνει ανεξάρτητα µε χρήση Γκαουσιανού ϐιβλίου κωδικων, ένας άλλος τρόπος να ϐρεθεί ο τρόπος κατανοµής της ισχύος είναι ο εξής: Παραγωγίζοντας τη χωρητικότητα του i στού καναλιού ως προς P i προκύπτει ότι C i = 1 P i 2N i N i N i + P i log 2 e = log 2 e 2(N i + P i ) > 0. Παρατηρούµε ότι η Ci P i είναι ϕθίνουσα συνάρτηση της ισχύος P i. Επίσης, η Ci P i είναι ϕθίνουσα συνάρτηση της ϕασµατικής πυκνότητας ισχύος, N i, του ϑορύβου. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 40/ 42
41 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος (2) Εποµένως, αρχίζοντας από P i = 0 για όλα τα i, το πρώτο κανάλι, έστω j, στο οποίο πρέπει να δοθεί ισχύς P είναι αυτό για το οποίο ισχύει N j N i για όλα τα i. Στο επόµενο ϐήµα, το επίπεδο ``ϑορύβου σε όλα τα κανάλια ισούται µε N i, εκτός από το j-στό κανάλι, το οποίο έχει επίπεδο ``ϑορύβου ίσο µε N j + P. Εάν N j < N i για όλα τα i j, ϑα συνεχίσουµε να αναθέτουµε ισχύ στο κανάλι j έως ότου N j + P j = N k, όπου N j < N k N i, k i και k j. Στη συνέχεια, η ισχύς ϑα µοιράζεται εξίσου και στα δύο κανάλια j και k έως ότου υπάρξει τρίτο κανάλι m για το οποίο N j + P j = N k + P k = N m. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 41/ 42
42 Χωρητικότητα Παράλληλων Γκαουσιανών Καναλιών Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος Μια εναλλακτική µέθοδος εύρεσης του τρόπου κατανοµής ισχύος (3) Συνεπώς, όταν τελειώσει η συνολική ισχύς, P, για όλα τα κανάλια τα οποία χρησιµοποιούνται ϑα ισχύει N i + P i = ν, ενώ για τα κανάλια για τα οποία N j > ν, P j = 0. Για περισσότερες λεπτοµέρειες δείτε D. Tse, Optimal Power Allocation over Parallel Gaussian Broadcast Channels, Ενότητα dtse/broadcast2.pdf ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη 42/ 42
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 2 Ιουνίου 2015 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχ. Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η
Διαβάστε περισσότεραΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 17 Μαΐου 2011 (2η έκδοση, 21/5/2011) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα
Διαβάστε περισσότεραΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 4η διάλεξη (4η έκδοση, 11/3/2013)
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 4η διάλεξη (4η έκδοση, 11/3/2013) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 5 Μαρτίου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα
Διαβάστε περισσότεραΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 6η διάλεξη
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 6η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 24 Μαρτίου 2010 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας
Διαβάστε περισσότεραΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 14 Μαΐου 2010 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας
Διαβάστε περισσότεραΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη (2η έκδοση, 20/5/2013)
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη (2η έκδοση, 20/5/2013) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 14 Μαΐου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα
Διαβάστε περισσότεραΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 2η διάλεξη (3η έκδοση, 11/3)
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 2η διάλεξη (3η έκδοση, 11/3) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 19 Φεβρουαρίου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα
Διαβάστε περισσότεραΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 21 Μαΐου 2015 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας
Διαβάστε περισσότεραEE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια. Παράδοση: Έως 22/6/2015
EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Φυλλάδιο 13 Δ. Τουμπακάρης 30 Μαΐου 2015 EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια Παράδοση:
Διαβάστε περισσότεραΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η & 12η διάλεξη
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η & 12η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 13 & 27 Μαΐου 2014 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχ. Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας
Διαβάστε περισσότεραΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η διάλεξη
ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 15 Μαρτίου 2010 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η
Διαβάστε περισσότεραΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 25 Απριλίου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 9 : Κανάλι-Σύστημα Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Χωρητικότητα Χ ό καναλιού Το Gaussian κανάλι επικοινωνίας Τα διακριτά
Διαβάστε περισσότεραEE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Ενδεικτικές Λύσεις
EE78 (Α004 - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Φυλλάδιο 15 Δ Τουμπακάρης 3 Ιουνίου 015 EE78 (Α004 - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Ενδεικτικές Λύσεις 1 Υποβέλτιστοι κώδικες
Διαβάστε περισσότεραιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς
ιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς Για πηγές διακριτού χρόνου µε συνεχές αλφάβητο, των οποίων οι έξοδοι είναι πραγµατικοί αριθµοί, ορίζεται µια άλλη ποσότητα που µοιάζει µε την εντροπία και καλείται
Διαβάστε περισσότερα1 1 c c c c c c = 1 c = 1 28 P (Y < X) = P ((1, 2)) + P ((4, 1)) + P ((4, 3)) = 2 1/ / /28 = 18/28
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις : Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 14/11/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 8/11/01
Διαβάστε περισσότεραcov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα
Διαβάστε περισσότεραP (A) + P (B), [Α,Β: ξένα µεταξύ τους] P (C A B) [P (A) + P (B)] P (C A) P (A) P (B) 3 4 ( ) 1 7 = 3 7 =
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217 - Θεωρία Πιθανοτήτων ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Προόδου- 22 Νοεµβρίου 2014 Θέµα 1 - (15 µονάδες) Εχουµε ότι : P (C A B) P (C (A B)) P (CA CB)
Διαβάστε περισσότερα22Α004 - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Τελική Εξέταση
22A004 (eclass EE278) Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Φυλλάδιο 11 Δ. Τουμπακάρης 6 Ιουνίου 2013 22Α004 - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Τελική Εξέταση Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες. 4 ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραP (M = 9) = e 9! =
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 5ο Φροντιστήριο Ασκηση 1. ύο ποµποί ο Α και ο Β στέλνουν ανεξάρτητα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στο µάθηµα «Επισκόπηση των Τηλεπικοινωνιών»
Ασκήσεις στο µάθηµα «Επισκόπηση των Τηλεπικοινωνιών» Άσκηση 1 Πρόκειται να µεταδώσουµε δυαδικά δεδοµένα σε RF κανάλι µε. Αν ο θόρυβος του καναλιού είναι Gaussian - λευκός µε φασµατική πυκνότητα W, να βρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΕυρυζωνικά δίκτυα (2) Αγγελική Αλεξίου
Ευρυζωνικά δίκτυα (2) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1 Σήματα και πληροφορία Βασικές έννοιες 2 Αναλογικά και Ψηφιακά Σήματα Στις τηλεπικοινωνίες συνήθως χρησιμοποιούμε περιοδικά αναλογικά σήματα και
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουµε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηµατισµό Fourier µιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουµε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουµε εύκολα την απόκριση
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόµενα διαλέξεων 2ης εβδοµάδας
Εισαγωγή οµή και πόροι τηλεπικοινωνιακού συστήµατος Σήµατα Περιεχόµενα διαλέξεων 1ης εβδοµάδας Εισαγωγή Η έννοια της επικοινωνιας Ιστορική αναδροµή οµή και πόροι τηλεπικοινωνιακού συστήµατος οµή τηλεπικοινωνιακού
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.
3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού
Διαβάστε περισσότεραp(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 206-207 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Από κοινού συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη
Διαβάστε περισσότεραx(t) = 4 cos(2π400t π/3) + 2 cos(2π900t + π/8) + cos(2π1200t) h(t) = 2000sinc(2000t) = h(t) = 2000sinc(2000t) H(f) = rect
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 215-16 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ιάρκεια : 3 ώρες - Ηµεροµηνία
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2004., η οποία όµως µπορεί να γραφεί µε την παρακάτω µορφή: 1 e
ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 AΣΚΗΣΗ () [ ] (.5)
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-27: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 205- ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση. (αʹ) Σύµφωνα µε το αξίωµα της κανονικοποίησης,
Διαβάστε περισσότεραΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΚΑΙ ΑΠΟ ΟΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΚΑΙ ΑΠΟ ΟΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εξετάζονται οι βασικοί συµβιβασµοί (δυνατότητες ανταλλαγής) µεταξύ των εξής σχεδιαστικών παραµέτρων ψηφιακών τηλεπικοινωνιακών συστηµάτων: Εύρους
Διαβάστε περισσότεραΣυμπίεση Δεδομένων
Συμπίεση Δεδομένων 2014-2015 Κβάντιση Δρ. Ν. Π. Σγούρος 2 Αναλογικά Ψηφιακά Σήματα Αναλογικό Σήμα x t, t [t min, t max ], x [x min, x max ] Δειγματοληψία t n, x t x n, n = 1,, N Κβάντιση x n x(n) 3 Αλφάβητο
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Βέλτιστος Δέκτης
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστος Δέκτης Σύνδεση με τα Προηγούμενα Επειδή το πραγματικό κανάλι είναι αναλογικό, κατά τη διαβίβαση ψηφιακής πληροφορίας, αντιστοιχίζουμε τα σύμβολα σε αναλογικές κυματομορφές
Διαβάστε περισσότεραΑκαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΒΕΣ 6: ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 26 27, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 : Θόρυβος Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Είδη θορύβου Περιγραφή θορύβου Θεώρημα Shannon Hartley Απόδοση ισχύος και εύρους
Διαβάστε περισσότεραΠροσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος
Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα
Διαβάστε περισσότερα( x) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Βασικά αξιώµατα και ιδιότητες της πιθανότητας. Σεραφείµ Καραµπογιάς
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Βασικά αξιώµατα και ιδιότητες της πιθανότητας Σεραφείµ Καραµπογιάς Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής cumulaive diribuio ucio CDF µίας τυχαίας µεταβλητής X ορίζεται
Διαβάστε περισσότερα2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών
Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότεραx(t) = 4 cos(2π600t π/3) + 2 sin(2π900t + π/4) + sin(2π1200t) (1) w(t) = y(t)z(t) = 2δ(t + 1) (2) (2 sin(2π900t + π/4) t= 1 + sin(2π1200t) )
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ιάρκεια : 3 ώρες Ρήτρα τελικού : 4.0/10.0
Διαβάστε περισσότεραΒασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση
Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n
Διαβάστε περισσότεραΤηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ Διάλεξη 11: Κωδικοποίηση Πηγής Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα 1. Αλγόριθμοι κωδικοποίησης πηγής Αλγόριθμος Fano Αλγόριθμος Shannon Αλγόριθμος Huffman
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις Συσχέτισης
Συναρτήσεις Συσχέτισης Για ένα σήµα ενέργειας ορίζεται η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R + ( τ = ( τ ( τ = ( ( τ d = ( + τ + ( d Για ένα σήµα ισχύος ορίζεται η µέση χρονική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R ( τ =
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραεξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.
Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Τηλεπικοινωνίες
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Πληροφορίας: Χωρητικότητα Καναλιού Χωρητικότητα Καναλιού Η θεωρία πληροφορίας περιλαμβάνει μεταξύ άλλων: κωδικοποίηση πηγής κωδικοποίηση καναλιού Κωδικοποίηση πηγής: πόση
Διαβάστε περισσότερα1 Βασικές Έννοιες Θεωρίας Πληροφορίας
1 Βασικές Έννοιες Θεωρίας Πληροφορίας Εντροπία τυχαίων μεταβλητών X, Y : H(X) = E [log Pr(x)] (1) H(X, Y ) = E [log Pr(x, y)] (2) H(X Y ) = E [log Pr(x y)] (3) Ιδιότητες Εντροπίας: Νόμος Bayes: Pr(y x)
Διαβάστε περισσότεραX(t) = A cos(2πf c t + Θ) (1) 0, αλλού. 2 cos(2πf cτ) (9)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 05-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Τυχαίες ιαδικασίες Ασκηση. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότερα8 Άρα η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 014 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 4/10/014 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 5/11/014
Διαβάστε περισσότερα1 Το ϑεώρηµα του Rademacher
Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Διάλεξη 5 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Wepage: http://eclass.uop.gr/courses/tst233
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 7η διάλεξη
ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 7η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 13 Μαΐου 2011 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 7η
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Διάλεξη 6 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst215
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a
Διαβάστε περισσότεραΠροχωρημένα Θέματα Ασυρμάτων Επικοινωνιών (3) Αγγελική Αλεξίου
Προχωρημένα Θέματα Ασυρμάτων Επικοινωνιών (3) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1 Capacity (Χωρητικότητα) 2 Θεωρία πληροφορίας Μέχρι τώρα εξετάζαμε μόνο συγκεκριμένα σχήματα επικοινωνίας. Η θεωρία πληροφορίας
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Τηλεπικοινωνίες
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Πληροφορίας: Κωδικοποίηση Πηγής Ψηφιακή Μετάδοση Υπάρχουν ιδιαίτερα εξελιγμένες τεχνικές αναλογικής μετάδοσης (που ακόμη χρησιμοποιούνται σε ορισμένες εφαρμογές) Επίσης,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 3 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst15
Διαβάστε περισσότεραΗ Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας
Η Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας Η έννοια της τυχαίας διαδικασίας, βασίζεται στην επέκταση της έννοιας της τυχαίας µεταβλητής, ώστε να συµπεριλάβει το χρόνο. Σεκάθεαποτέλεσµα s k ενόςπειράµατοςτύχης αντιστοιχούµε,
Διαβάστε περισσότερα8. Τεχνικές απαϱίϑµησης
8. Τεχνικές απαϱίϑµησης Rosen Κεϕ. 8 Ιωάννης Εµίϱης Τµήµα Πληϱοϕοϱικής & Τηλεπικοινωνιών Εγκλεισµός-Αποκλεισµός Εϕαϱµογές του Εγκλεισµού-Αποκλεισµού ιαταϱάξεις Εισαγωγή Πολλά πϱοϐλήµατα απαϱίϑµησης δεν
Διαβάστε περισσότερα( ) log 2 = E. Σεραφείµ Καραµπογιάς
Παρατηρούµε ότι ο ορισµός της Η βασίζεται στη χρονική µέση τιµή. Για να ισχύει ο ορισµός αυτός και για µέση τιµή συνόλου πρέπει η πηγή να είναι εργοδική, δηλαδή H ( X) ( ) = E log 2 p k Η εντροπία µιας
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ 5. Εισαγωγή Ο σκοπός κάθε συστήματος τηλεπικοινωνιών είναι η μεταφορά πληροφορίας από ένα σημείο (πηγή) σ ένα άλλο (δέκτης). Συνεπώς, κάθε μελέτη ενός τέτοιου συστήματος
Διαβάστε περισσότεραEΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalman
EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalma Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ακολουθιακή Επεξεργασία Τα δείγµατα
Διαβάστε περισσότεραΥπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.
Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΥΡΟΣ ΖΩΝΗΣ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΙΑΚΡΙΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Η ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΕΥΡΟΥΣ
Διαβάστε περισσότεραΑνω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων:
Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f(n) είναι O( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C και n
Διαβάστε περισσότεραf(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).
Διαβάστε περισσότεραMarkov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov
Γ. Κορίλη, Αλυσίδες Markov 3- http://www.seas.upe.edu/~tcom5/lectures/lecture3.pdf Αλυσίδες Markov Αλυσίδες Markov ιακριτού Χρόνου Υπολογισµός Στάσιµης Κατανοµής Εξισώσεις Ολικού Ισοζυγίου Εξισώσεις Λεπτοµερούς
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 007-008 ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής 1η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 4: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Θεωρητικές Ασκήσεις (# ): ειγµατοληψία, κβαντοποίηση και συµπίεση σηµάτων. Στην τηλεφωνία θεωρείται ότι το ουσιαστικό περιεχόµενο της
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-15: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ - Ενδεικτικές Λύσεις ιάρκεια : 3 ώρες Ρήτρα τελικού :
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΤηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Διάλεξη 3: Ο Θόρυβος στα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα Εισαγωγή Τύποι Θορύβου Θερμικός θόρυβος Θόρυβος βολής Θόρυβος περιβάλλοντος
Διαβάστε περισσότεραΓ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης
- Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης http://www.seas.upenn.edu/~tcom50/lectures/lecture.pdf ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Αναπαράσταση ικτύου µε Γράφο Μη Κατευθυνόµενοι Γράφοι Εκτεταµένα έντρα Κατευθυνόµενοι
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006
Διαβάστε περισσότερα0, αλλιώς. Σεραφείµ Καραµπογιάς. Παράδειγµα 1 Η πηγή X(t) είναι στατική Gaussian µε µέση τιµή µηδέν και φασµατική πυκνότητα ισχύος.
Παράδειγµα Η πηγή X(t) είναι στατική Gussin µε µέση τιµή µηδέν και φασµατική πυκνότητα ισχύος S X ( f ) 70, f < 00Hz 0, αλλιώς S X ( f ) 00 00 f 50 Λύση: 60 40 0 30 0 0 30 0 40 60 Ο ρυθµός που απαιτείται
Διαβάστε περισσότεραΑναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες
Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα : Βέλτιστος δέκτης για ψηφιακά διαμορφωμένα σήματα Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
Διαβάστε περισσότεραx(t) = 4 cos(2π600t π/3) + 2 cos(2π900t + π/8) + cos(2π1200t) (3)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ιάρκεια : 3 ώρες Ρήτρα τελικού : 4.0/0.0 Θέµα ο - Περιοδικά
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Ιουνίου ακαδηµαϊκού έτους 29-21 Παρασκευή, 1 Ιουνίου 21 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πληροφορίας. Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Θεωρία Πληροφορίας Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη Ποσότητα πληροφορίας της πηγής Κωδικοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες και Στοχαστικές ιαδικασίες Θόρυβος µετρήσεων είκτης Χρηµατιστηρίου Σήµα Πληροφορίας (φωνή, data) Ατµοσφαιρικός Θόρυβος Πως δηµιουργείται
Πιθανότητες και Στοχαστικές ιαδικασίες Θόρυβος µετρήσεων είκτης Χρηµατιστηρίου Σήµα Πληροφορίας (φωνή, data) Ατµοσφαιρικός Θόρυβος Πως δηµιουργείται το τυχαίο I do not believe that God rolls dice Μακροσκοπική
Διαβάστε περισσότεραPr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)
Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,
Διαβάστε περισσότεραxp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( ΙΙ ) Ασκηση. Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο εξάεδρο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 5 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst215
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 13 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Wepage: http://eclass.uop.gr/courses/tst15
Διαβάστε περισσότεραx(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΚυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Χώροι L p Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. Ζυγοβίστι Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ αʹ Το συνολικό πλήθος των τερμάτων που θα σημειωθούν είναι X + Y, και η μέση
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική ΙΙ Ενότητα 2: ειγµατοληψία
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Στατιστική ΙΙ Ενότητα 2: ειγµατοληψία Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Περιεχόµενα ειγµατοληψία Κατανοµές ειγµατοληψίας Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Τι
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Επικοινωνιών ΙI
+ Διδάσκων: Δρ. Κ. Δεμέστιχας e-mail: cdemestichas@uowm.gr Συστήματα Επικοινωνιών ΙI Ψηφιακή μετάδοση στη βασική ζώνη + Ιστοσελίδα nιστοσελίδα του μαθήματος: n https://eclass.uowm.gr/courses/icte302/ +
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόµενα ΕΠΛ 422: στα Συστήµατα Πολυµέσων. Βιβλιογραφία. ειγµατοληψία. ηµιουργία ψηφιακής µορφής πληροφορίας στα Συστήµατα Πολυµέσων
Περιεχόµενα ΕΠΛ 422: Συστήµατα Πολυµέσων Ψηφιακή Αναπαράσταση Σήµατος: ειγµατοληψία Βιβλιογραφία ηµιουργία ψηφιακής µορφής πληροφορίας στα Συστήµατα Πολυµέσων Βασικές Έννοιες Επεξεργασίας Σηµάτων Ψηφιοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Επικοινωνιών
Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 5: Μαθιόπουλος Παναγιώτης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιγραφή ενότητας Πλεονεκτήματα-Μειονεκτήματα ψηφιακών επικοινωνιών, Κριτήρια Αξιολόγησης
Διαβάστε περισσότερα(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 21//2016 Ηµεροµηνία Παράδοσης :
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205
Διαβάστε περισσότερα