xp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "xp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3"

Φίλητος Βιτάλη
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( ΙΙ ) Ασκηση. Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο εξάεδρο Ϲάρι, και έστω Τ.Μ. X που αντιπρισωπεύει τον αριθµό που ϑα ϕέρει. Να υπολογιστούν : (α) Η µέση τιµή της X, E[X] (ϐ) Η διασπορά της X,V AR[X] Εφ όσον το Ϲάρι είναι αµερόληπτο, και τα ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα µε πιθανότητα εµφάνισης. (α) Από τον τύπο ορισµού της µέσης τιµής, έχουµε : (ϐ) Αντίχτοιχα µε πριν, έχουµε : E[X] = x= xp X(x) = x= x = = = 7. E[X ] = x= x x= x = =. Από γνωστές ιδιότητες υπολογισµού της διασποράς, έχουµε : V AR[X] = E[X ] (E[X]) = 4 4 = 5. Ασκηση. Μία Τ.Μ. X παίρνει τις τιµές {0,,,κ} µε αντίστοιχες πιθανότητες {, 5,,α}. (α) Να υπολογιστεί η πιθανότητα a. (ϐ) Αν E[X] = 8, να ϐρεθεί η τιµή k. (γ) Με ϐάση τα ερωτήµατα α)-ϐ), να υπολογιστεί η διασπορά της X,V AR[X]. (α) Θα πρέπει να ισχύει η Συνθήκη Κανονικοποίησης : x a = a = 0 + a = a = 0 a = 0 a = 0 (ϐ) εδοµένης της τιµής του a που προσδιορίσαµε στο α) ερώτηµα, έχουµε : E[X] = 8 x x k 0 = k 0 = 8 k 0 = 8 5 k 0 = 5 k 0 = 5 k = 0 5 k = (γ) Αντίχτοιχα µε πριν, έχουµε : E[X ] = x x = = = 7.

2 Πιθανότητες - 07/Φροντιστήριο 5 Από γνωστές ιδιότητες υπολογισµού της διασποράς, έχουµε : V AR[X] = E[X ] (E[X]) = 7 4 = 4 = 47. Ασκηση. Η ϑερµοκρασία µιας πόλης µοντελοποιείται ως µία τ.µ. µε µέση τιµή και τυπική απόκλιση ίσες µε 0 C. Μία ηµέρα ϑεωρείται «κανονική» αν η ϑερµοκρασία κατά τη διάρκειά της κυµαίνεται εντός µίας τυπικής απόκλισης από τη µέση τιµή. Να υπολογιστεί η διακύµανση της ϑερµοκρασίας για µία «κανονική» ηµέρα, αν η ϑερµοκρασία εκφραζόταν σε F. Σηµείωση: ίνεται ότι η σχέση που συνδέει C F είναι η εξής : F = 5 C +. Εστω X η ϑερµοκρασία σε C. Τότε, η ϑερµοκρασία σε F σύµφωνα µε την εκφώνηση της άσκησης ϑα είναι : Y = 5 X +. Εκµεταλλευόµενοι τις ιδιότητες της µέσης τιµής και της διασποράς, εχουµε : E[Y ] = E[ 5 X + ] = 5 E[X] + = 50 + = 50 V AR[Y ] = V AR[ 5 X + ] = ( 5 ) V AR[X] = ( 5 ) 0 = = 4 Άρα, η τυπική απόκλιση σε F ϑα είναι : σ Y = V AR[Y ] = 4 = 8 Άρα, για µία «κανονική» µέρα, η ϑερµοκρασία σε F ϑα ϐρισκοταν στο εξής διάστηµα : [E[Y ] σ Y, [E[Y ] + σ Y ] = [, 8]. Ασκηση 4. Ο Κώστας και ο Νίκος παίζουν το εξής παιχνίδι : Ο Νίκος ϑα ϱίξει διαδοχικά 4 ϕορές ένα κέρµα µε P (k) = 0.4. Πριν τις ϱίψεις ϑα πρέπει να αποφασίσει µεταξύ στρατηγικών : (ι) Να κερδίσει σε ευρώ ποσό X, ίσο µε το πλήθος των k (κορώνα) που ϑα ϕέρει (ιι) Να κερδίσει σε ευρώ ποσό Y, ίσο µε το τετραγωνο του πλήθους των k που ϑα ϕέρει µειωµένο.5 ϕορές κατά τα ίδιο πλήθος (α) Ποια είναι η πιο συµφέρουσα στρατηγική για το Νίκο ; ηλαδή, ποια στρατηγική µεγιστοποιεί το αναµενόµενο κέρδος του ; (ϐ) Στη γενική περίπτωση, όπου η πιθανότητα να έρθει «κορώνα» είναι p, για ποιο εύρος τιµών του p είναι πιο συµφέρουσα η στρατηγική ι) από την στρατηγική ιι); Εστω X τ.µ. που απεικονίζει το πλήθος των k σε 4 ϱίψεις του κέρµατος. Η πιθανότητα «επιτυχίας» (να έρθει k ) σε 4 διαδοχικές ϱίψεις είναι 0.4, σύµφωνα µε την εκφώνηση της άσκησης. Άρα η X ακολουθεί ιωνυµική Κατανοµή µε n = 4 και p = 0.4. Ως εκ τούτου, η ΣΜΠ της ϑα είναι η εξής : p X (k) = ( 4 k) (0.4) k (0.) 4 k, k = 0,,... (α) Σύµφωνα µε την στρατηγική ι), το κέρδος του Νίκου ϑα είναι X. Σύµφωνα µε τη στρατηγική ιι), το κέρδος του Νίκου ϑα είναι Y = X.5X. Προσδιορίζουµε την µεση τιµή του κέρδους σε κάθε περίπτωση, ώστε ν αποφασίσουµε ποια στρατηγική είναι η πιο συµφέρουσα : E[X] = np = =. E[Y ] = E[X.5X] = E[X ].5E[X] = V AR[X] + (E[X]).5E[X]

3 Πιθανότητες - 07/Φροντιστήριο 5 = np( p) + (np).5np = (4 0.4) = =., όπου χρησιµοποιήθηκε η γνωστή σχέση V AR[X] = E[X ] (E[X]). Παρατηρούµε ότι E[X] > E[Y ], και ως εκ τούτου η στρατηγική ι) είναι η πιο συµφέρουσα για τον Νίκο. (ϐ) Ακολουθώντας παρόµοιο σκεπτικό µε το α) ερώτηµα, η στρατηγική ι) είναι συµφερότερη από τη ιι) αν ισχύει E[X] > E[Y ]. Θα επιλύσουµε την παραπάνω ανισότητα, ώστε να ϐρούµε το Ϲητούµενο εύρος τιµών της πιθανότητας «επιτυχίας» p: E[X] > E[Y ] E[X] > V AR[X] + (E[X]).5E[X] np > np( p) + (np).5np.5np > np np + n p.5np > np (n ).5p p (n ) > 0 p + p ( n) > 0 p + p ( 4) > 0 p p > 0 p( p) > 0 p) > 0 p < Ως εκ τούτου, το Ϲητούµενο εύρος τιµών είναι : 0 < p <. Ασκηση 5. Η µέση ηµερήσια ϑερµοκρασία στην Αθήνα το µήνα Μάρτιο, µετρούµενη σε ακέραιους ϐαθµούς Κελσίου είναι µια τ.µ. X µε την ακόλουθη Συνάρτηση Πιθανότητας : { p X (k) = 0 k 0, 0 b k 0 + b (α) Υπολογίστε τη σταθερά b και δώστε τη γραφική παράσταση της Σ.Π. της τ.µ. X. Βοήθεια: Παρατηρήστε τη συµµετρία της Σ.Π. της X και χρησιµοποιήστε την σχέση b i= i = b(b+). (ϐ) Ποια είναι η αναµενόµενη τιµή, E[X], και η διασπορά, V AR[X], της τ.µ. X; (γ)το κόστος σε Ευρώ της ϑέρµανσης ενός σπιτιού το µήνα Μάρτιο είναι Y = 0(5 X). Υπολογίστε το µέσο κόστος, E[Y ]. (α) Για να είναι η p X (k) µια έγκυρη σ.π.π πρέπει να ισχύει η σχέση : 0+b k=0 b p X (k) = Εχουµε ότι : 0+b k=0 b 0+b 0 k 0 = 0 (k 0) [λόγω συµµετρίας της p X(k) γύρω από το k = 0] = = 0 b = 4 k= b m= 0 m = 0 b(b + ) = b m [m = k 0] m= b(b + ) 0 =

4 Πιθανότητες - 07/Φροντιστήριο 5 4 Η γραφική παράσταση της p X (k) ϕαίνεται στο Σχήµα. p X (k) = 0, k = 0 / 0, k = ή / 0, k = 8 ή / 0, k = 7 ή 4 / 0, k = ή 4 Σχήµα : Η γραφική παράσταση και η Σ.Π. για το υποερώτηµα 5(α). (ϐ) Προφανώς, λόγω συµµετρίας της p X (k) γύρω από το k = 0, προκύπτει E[X] = 0. Επίσης, έχουµε : E[X ] = k k p X (k) = 0 0+( + ) 0 +(8 + ) 0 +(7 + ) 0 +( +4 ) 4 0 = 0 V AR(X) = E[X ] (E[X]) = 0 0 = 0 (γ) Με ϐάση την διατήρηση της γραµµικότητας για τη µέση τιµή, έχουµε : Αν Y = ax + b, τότε E[Y ] = ae[x] + b. Εφαρµόζωντας την εν λόγω ιδιότητα στο πρόβληµά µας, έχουµε : E[Y ] = E[0 (5 X) ] = E[ X + 0 X ] = E[X] + 0 E[X ] = = 50. Ασκηση. Εστω η τ.µ. X µε πεδίο τιµών {, } και η τ.µ. Y µε πεδίο τιµών {,, }. Υποθέστε ότι η από κοινού συναρτηση πυκνότητας πιθανότητας για τις τ.µ. (X, Y ) δίνεται από την σχέση p(x, y) = c(x + y), όπου x {, }, y {,, } και c είναι µία σταθερά. (α) Βρείτε την τιµή της σταθεράς c. (ϐ) Βρείτε τις περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας για τις τ.µ. X και Y, p X (x), p Y (y). (α) Πρέπει να ισχύει η συνθήκη κανονικοποίησης : x= y= p(x, y) = c( x= x= y= c(x + y) = c( x= y= x + y= x= y) = x + y=)y = c( + ) = c = c = (ϐ) Για να προσδιορίσουµε την περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για την τ.µ. X αθροίζουµε ως προς όλα τα πιθανά y, και αντίστοιχα για την περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για την τ.µ. Y αθροίζουµε ως προς όλα τα πιθανά x. Ετσι έχουµε :

5 Πιθανότητες - 07/Φροντιστήριο 5 5 y= x= p(x, y) = p(x, y) = y= x= (x + y) = (x + y) = (x + y) = x+, x =, y= (x + y) = +y, y =,, x= Ασκηση 7. Θεωρείστε διακριτές τ.µ. X και Y µε από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που δίνεται στον Πίνακα : Πίνακας : Από κοινού σ.π.π των τ.µ. X και Y Y = Y = Y = X = / / / X = 0 / / X = / 0 / (α) Βρείτε την περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τ.µ. X, p X (x). (ϐ) Βρείτε την περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τ.µ. Y, p Y (y). (γ) Υπολογίστε τη µέση τιµή της τ.µ. X (E[X]) και τη µέση τιµή της τ.µ. Y (E[Y ]). (δ) Υπολογίστε τη διασπορά της τ.µ. X (V AR[X]) και τη διασπορά της τ.µ. Y (V AR[Y ]). (ε) Εστω η τ.µ. Z = g(x, Y ) = X + Y + 7. Υπολογίστε την µέση τιµή της τ.µ. Z (E[Z]). (α) Για να προσδιορίσουµε την περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για την τ.µ. αθροίζουµε ως προς όλα τα πιθανά y. Συνεπώς, έχουµε : X Από τον Πίνακα λοιπόν έχουµε : y= p XY (x, y), x =,, 4, x =, x =, x = (ϐ) Για να προσδιορίσουµε την περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για την τ.µ. Y αθροί- Ϲουµε ως προς όλα τα πιθανά x. Συνεπώς, έχουµε : Από τον Πίνακα λοιπόν έχουµε : x= p XY (x, y), y =,,, y =, y = 4, y = (γ) Χρησιµοποιώντας τον τύπο ορισµού της µέσης τιµής, έχουµε :

6 Πιθανότητες - 07/Φροντιστήριο 5 E[X] = E[Y ] = x= y= x = y = 0 (δ) Για τον υπολογισµό της διασποράς, ϑα κάνουµε χρήση του γνωστού τύπου από τη ϑεωρία : Με ϐάση τα δεδοµένα της άσκησης, έχουµε : E[X ] = E[Y ] = x= y= Άρα οι διασπορές των τ.µ. X και Y ϑα είναι : V AR[X] = E[X ] (E[X]) x = 4 y = 50 V AR[X] = E[X ] (E[X]) = 4 ( ) = = = 50 8 V AR[Y ] = E[Y ] (E[Y ]) = 50 ( 0 ) = = = 50 8 (ε) Με ϐάση την ιδιότητα της γραµµικότητας της µέσης τιµής, έχουµε : E[Z] = E[X + Y + 7] = E[X] + E[Y ] + 7 = = = 5 Ασκηση 8. Οι τ.µ. X και Y έχουν από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που δίνεται από τον παρακάτω τύπο : p XY (x, y) = { cy x, x {, 4, }, y {,, } (α) Υπολογίστε την σταθερά c. (ϐ) Υπολογίστε την πιθανότητα P (Y < X). (γ) Υπολογίστε την πιθανότητα P (Y > X). (δ) Υπολογίστε την πιθανότητα P (Y = X). (ε) Υπολογίστε τις περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας p X (x) και p Y (y). (στ) Υπολογίστε τις µέσες τιµές E[X] και E[Y ]. (Ϲ) Υπολογίστε τις διασπορές V AR[X] και V AR[Y ]. (α) Από την έκφραση της από κοινού συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας ϐλέπουµε ότι υπάρχουν υποψήφια Ϲεύγη {x, y} µε µη-µηδενική τιµή της p XY (x, y). Τα εν λόγω Ϲεύγη είναι τα εξής : (, ), (, ), (, ), (4, ), (4, ), (4, ), (, ), (, ), (, ). Η πιθανότητα ενός Ϲεύγους είναι ανάλογη του κλάσµατος y x των συντεταγµένων του Ϲεύγους. Με ϐάση την ιδιότητα της κανονικοποίησης ϑα έχουµε : p XY (x, y) = c + c + c + c 4 + c 4 + c 4 + c + c + c x y = c + c + c + c 4 + c = 7c + c = 4c + c = 7c = c = 7

7 Πιθανότητες - 07/Φροντιστήριο 5 7 (ϐ) Υπάρχουν Ϲεύγη για τα οποία ισχύει η σχέση Y < X, και πιο συγκεκριµένα τα : (4, ), (, ), (, ). Άρα, η Ϲητούµενη πιθανότητα ϑα είναι : P (Y < X) = P ({4, }) + P ({, }) + P ({, }) = 7 ( ) = 7 ( 4 + ) = 7 4 = 4 (γ) Υπάρχουν 4 Ϲεύγη για τα οποία ισχύει η σχέση Y > X, και πιο συγκεκριµένα τα : (, ), (, ), (, ), (4, ). Άρα, η Ϲητούµενη πιθανότητα ϑα είναι : P (Y > X) = P ({, }) + P ({, }) + P ({, }) + P ({4, }) = 7 ( ) = 7 ( + 4 ) = 7 4 (δ) Υπάρχουν Ϲεύγη για τα οποία ισχύει η σχέση Y = X, και πιο συγκεκριµένα τα : (4, ), (, ). Άρα, η Ϲητούµενη πιθανότητα ϑα είναι : P (Y = X) = P ({4, }) + P ({, }) = 7 ( 4 + ) = 7 = 7 Σηµείωση: Παρατηρούµε ότι ισχύει : P (Y < X) + P (Y > X) + P (Y = X) = = (ε) Για να προσδιορίσουµε την περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για την τ.µ. X αθροί- Ϲουµε ως προς όλα τα πιθανά y, και αντίστοιχα για να προσδιορίσουµε την περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για την τ.µ. Y αθροίζουµε ως προς όλα τα πιθανά x. Στην προκειµένη περίπτωση, ο αριθµός των πιθανών Ϲευγών µε µη-µηδενική τιµή της p XY (x, y) είναι αρκετά µικρός, µε αποτέλεσµα να µπορούµε να υπολογίσουµε τις αριθµητικές τιµές των περιθώριων συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότας κατευθείαν. Για παράδειγµα, έχουµε : p X (4) = P ({4, }) + P ({4, }) + P ({4, }) = 7 ( ) = 7 4 = 4 = 7 Με ϐάση τα παραπάνω, οι περιθώριες συναρτήσεις πυκνότας πιθανότητας ϑα είναι τελικά : 7, x = 7, x = 4 7, x =, y =, y =, y = (στ) Χρησιµοποιώντας τον τύπο ορισµού της µέσης τιµής, έχουµε : E[X] = x = = 7 x=,4, E[Y ] = y + + = + + = 4 = 7 y=,, (Ϲ) Για τον υπολογισµό της διασποράς, ϑα κάνουµε χρήση του γνωστού τύπου από τη ϑεωρία : V AR[X] = E[X ] (E[X]) Με ϐάση τα δεδοµένα της άσκησης, έχουµε : E[X ] = x = = 7 x=,4, E[Y ] = y + + = = = y=,, Άρα οι διασπορές των τ.µ. X και Y ϑα είναι : V AR[X] = E[X ] (E[X]) = 7 ( 7 ) = 7 8 = 44 8 V AR[Y ] = E[Y ] (E[Y ]) = ( 7 ) = 4 = 54 4 = 5 8 = 48 8

Σχετικά έγγραφα

p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49

p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 206-207 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Από κοινού συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη