Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών"

Transcript

1 Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 4 Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά θεωρήµατα Αφινική ϑήκη και αφινική διάσταση Τοπολογικές ιδιότητες κυρτών συνόλων Μετρική προβολή Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Υπερεπίπεδα στήριξης ιαχωριστικά ϑεωρήµατα Πολικό συνόλου Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 4 Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά θεωρήµατα 4.1 Αφινική θήκη και αφινική διάσταση Ορισµός (αφινικός συνδυασµός). Εστω x 0, x 1,..., x k R n. Το x R n λέγεται αφινικός συνδυασµός των x 0, x 1,..., x k αν (4.1.1) x = t 0 x 0 + t 1 x t k x k για κάποιους t i R µε t 0 + t t k = 1. Ορισµός (αφινική ϑήκη). Εστω S µη κενό υποσύνολο του R n. Η αφινική ϑήκη aff(s) του S είναι το σύνολο όλων των αφινικών συνδυασµών σηµείων του S. ηλαδή, aff(s) = {x = t 0 x 0 + t 1 x t k x k : k 0,t i R,t 0 + t t k = 1}. Λήµµα Εστω S µη κενό υποσύνολο του R n µε 0 S. Τότε, η aff(s) είναι γραµµικός υπόχωρος του R n. Απόδειξη. Εστω x, y aff(s). Τότε, υπάρχουν x 0, x 1,..., x k S και t 0,t 1,...,t k R µε t t k = 1 ώστε (4.1.2) x = t 0 x 0 + t 1 x t k x k. Οµοίως, (4.1.3) y = s 0 y 0 + s 1 y s m y m, όπου y i S και s i R µε s 0 + s s m = 1. Μπορούµε να γράψουµε (4.1.4) x + y = t 0 x 0 + t 1 x t k x k + s 0 y 0 + s 1 y s m y m + ( 1)0, όπου 0, x 0, x 1,..., x k, y 0, y 1,..., y m S και 1 + i t i + j y j = 1. Αρα, x + y aff(s). Παρατηρούµε επίσης ότι, αν λ R και x aff(s) τότε x = t 0 x 0 + t 1 x t k x k µε t i R, t 0 + t t k = 1 και x i S, οπότε (4.1.5) λx = (λt 0 )x 0 + (λt 1 )x (λt k )x k + (1 λ)0, όπου 0, x 0, x 1,..., x k S και (1 λ) + i λt i = 1. ηλαδή, λx aff(s). Από τα παραπάνω συµπεραίνουµε ότι η aff(s) είναι γραµµικός υπόχωρος του R n. Λήµµα Εστω S µη κενό υποσύνολο του R n και z R n. Τότε, (4.1.6) aff(s) z = aff(s z). Απόδειξη. Εστω x aff(s). Τότε, το x γράφεται στη µορφή x = k t i x i µε k t i = 1. Αρα, (4.1.7) x z = Ετσι, έχουµε ότι k k k t i x i z = t i x i t i z = i=0 i=0 i=0 i=0 (4.1.8) aff(s) z aff(s z). Ο αντίστροφος εγκλεισµός αποδεικνύεται παρόµοια. i=0 i=0 k t i (x i z) aff(s z). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Λήµµα Εστω S µη κενό υποσύνολο του R n. Τότε για κάθε x S υπάρχει υπόχωρος F του R n ώστε aff(s) = x + F. Απόδειξη. Εστω x S. Τότε aff(s) x = aff(s x), άρα (4.1.9) aff(s) = x + aff(s x) και ο F = aff(s x) είναι γραµµικός υπόχωρος του R n από το Λήµµα 4.1.3, διότι 0 S x. Πρόταση Εστω S µη κενό υποσύνολο του R n. Τότε, υπάρχει µοναδικός υπόχωρος F του R n µε την ιδιότητα (4.1.10) aff(s) = x + F για κάποιο x R n. Απόδειξη. Από το προηγούµενο λήµµα, αν ϑεωρήσουµε τυχόν x S τότε aff(s) = x + aff(s x) και ο F = aff(s x) είναι υπόχωρος του R n. Παρατηρούµε επίσης ότι: αν aff(s) = x + F για κάποιον υπόχωρο του R n τότε x x + F = aff(s). Υποθέτουµε λοιπον ότι (4.1.11) aff(s) = x 1 + F 1 = x 2 + F 2 για κάποιους υπόχωρους F 1, F 2 του R n και κάποια x 1, x 2 aff(s) και ϑα δείξουµε ότι F 1 = F 2. Ισοδύναµα, αρκεί να δείξουµε ότι (4.1.12) aff(s x 1 ) = aff(s x 2 ). Λόγω συµµετρίας, αρκεί να δείξουµε τον εγκλεισµό aff(s x 1 ) aff(s x 2 ). Εστω z aff(s x 1 ). Τότε, (4.1.13) z = k t i (s i x 1 ) = i=0 k t i (s i x 2 ) + ( 1)(x 1 x 2 ) aff(s x 2 ), i=0 διότι ο aff(s x 2 ) είναι υπόχωρος του R n και x 1 x 2 aff(s x 2 ). Αρα, aff(s x 1 ) aff(s x 2 ). Ορισµός (αφινική διάσταση). Εστω S µη κενό υποσύνολο του R n. Είδαµε ότι aff(s) = x + F για κάποιον µονοσήµαντα ορισµένο υπόχωρο F του R n. Η διάσταση του F λέγεται αφινική διάσταση του S. Ορισµός (αφινική ανεξαρτησία). Τα x 0, x 1,..., x k R n λέγονται αφινικά εξαρτηµένα αν κάποιο από αυτά είναι αφινικός συνδυασµός των υπολοίπων. Σε αντίθετη περίπτωση, λέγονται αφινικά ανεξάρτητα. Λήµµα Εστω x 0, x 1,..., x k R n. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (i) Τα x 0, x 1,..., x k είναι αφινικά εξαρτηµένα. (ii) Υπάρχουν t 0,t 1,...,t k R, όχι όλοι ίσοι µε µηδέν, ώστε t 0 + t t k = 0 και t 0 x 0 + t 1 x t k x k = 0. (iii) Υπάρχει i {0,1,..., k} ώστε τα x j x i, j i, να είναι γραµµικά εξαρτηµένα. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 Απόδειξη. Υποθέτουµε πρώτα το (i). Κάποιο από τα x i είναι αφινικός συνδυασµός των υπολοίπων. Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι x 0 = t 1 x t k x k για κάποιους t i R µε k t i = 1. i=1 Θέτοντας t 0 = 1 έχουµε t 0 + t t k = 0 και t 0 x 0 + t 1 x t k x k = 0. Αφού t 0 0, ισχύει το (ii). Υποθέτουµε τώρα το (ii). Αν υποθέσουµε ότι t i 0, τότε t i = t j και αυτό δείχνει ότι t j 0 για j i τουλάχιστον ένα j 0 i. Γράφουµε t j (x j x i ) = t j x j + t j x i = t j x j + t i x i = j i j i j i j i k t j x j = 0. j=0 Αφού t j0 0, τα x j x i, j i είναι γραµµικά εξαρτηµένα, δηλαδή ισχύει το (iii). Τέλος, υποθέτουµε ότι ισχύει το (iii). t j (x j x i ) = 0. Τότε, j i (4.1.14) Υπάρχουν i {0,1,..., k} και t j, j i, όχι όλοι µηδέν, ώστε t j x j + t j x i = 0, j i j i δηλαδή υπάρχουν s 0, s 1,..., s k όχι όλοι µηδέν, ώστε γενικότητας υποθέτουµε ότι s 0 0, και τότε, (4.1.15) x 0 = k j=1 k j=0 ( s ) j x j. s 0 s j = 0 και k j=0 s j x j = 0. Χωρίς περιορισµό της s j = s 0, έπεται ότι το x 0 είναι αφινικός συνδυασµός των x 1,..., x k. ηλαδή, τα x 0, x 1,..., x k Αφού k j=1 είναι αφινικά εξαρτηµένα. Πρόταση Εστω S µη κενό υποσύνολο του R n και έστω k 0. Το S έχει αφινική διάσταση m k αν και µόνον αν υπάρχουν x 0, x 1,..., x k S ώστε τα x 1 x 0,..., x k x 0 να είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Απόδειξη. Εστω ότι το S έχει αφινική διάσταση m k. Τότε, υπάρχουν x 0 S και υπόχωρος F του R n µε dim F = m ώστε aff(s) = x 0 +F, όπου F = aff(s x 0 ). Παρατηρούµε ότι F = aff(s x 0 ) = span(s x 0 ). Ο F είναι υπόχωρος και περιέχει το S x 0, άρα F span(s x 0 ). Από την άλλη πλευρά, κάθε στοιχείο του F είναι αφινικός συνδυασµός στοιχείων του S x 0, δηλαδή γραµµικός συνδυασµός στοιχείων του S x 0. Συνεπώς, dim(span(s x 0 )) = m. Επεται ότι το S x 0 περιέχει m k γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα. Αλλά τότε, υπάρχουν x 0, x 1,..., x k S ώστε τα x 0 x 1,..., x 0 x k να είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Αντίστροφα, υποθέτουµε ότι υπάρχουν x 0,..., x k S ώστε τα x 0 x 1,..., x 0 x k να είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Αφού ο F = aff(s x 0 ) περιέχει τα x 0 x 1,..., x 0 x k, ισχύει dim F k. ηλαδή η αφινική διάσταση του S είναι dim F k. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Πόρισµα Εστω S µη κενό υποσύνολο του R n και έστω k 0. Το S έχει αφινική διάσταση k αν και µόνον αν υπάρχουν k + 1 αφινικά ανεξάρτητα σηµεία του S και οποιαδήποτε k + 2 σηµεία του S είναι αφινικά εξαρτηµένα. Πόρισµα Εστω S µη κενό υποσύνολο του R n και έστω k 0. Αν το S έχει αφινική διάσταση k και x 0, x 1,..., x k είναι αφινικά ανεξάρτητα σηµεία του S, τότε κάθε x aff(s) γράφεται µονοσήµαντα ως αφινικός συνδυασµός των x 0, x 1,..., x k. Απόδειξη. Από τα προηγούµενα, αν x 0 S τότε ο F = aff(s x 0 ) είναι υπόχωρος διάστασης k και έχει ϐάση {x 1 x 0,..., x k x 0 }, όπου x 1,..., x k S. Τα x 0, x 1,..., x k είναι αφινικά ανεξάρτητα. Εστω x aff(s). Τότε, x x 0 = t 1 (x 1 x 0 ) + + t k (x k x 0 ) άρα (4.1.16) x = (1 t 1 t k )x 0 + t 1 x t k x k, δηλαδή το x γράφεται ως αφινικός συνδυασµός των x 0,..., x k. Για το µονοσήµαντο υποθέτουµε ότι (4.1.17) t 0 x t k x k = s 0 x s k x k, όπου s s k = t t k = 1. Τότε, (4.1.18) (t 0 s 0 )x (t k s k )x k = 0 και k (t i s i ) = 0. i=0 Αφού τα x 0, x 1,..., x k είναι αφινικά ανεξάρτητα, το Λήµµα 4.1.9(ii) δείχνει ότι t i = s i, i = 0,1,..., k. Ορισµός (ϐαρυκεντρικές συντεταγµένες). Εστω S µη κενό υποσύνολο του R n µε αφινική διάσταση k και έστω x 0, x 1,..., x k αφινικά ανεξάρτητα σηµεία του S. Αν x = t 0 x t k x k aff(s), τότε οι µονοσήµαντα ορισµένοι πραγµατικοί αριθµοί t 0,t 1,...,t k είναι οι ϐαρυκεντρικές συντεταγµένες του x ως προς το {x 0,..., x k }. 4.2 Τοπολογικές ιδιότητες κυρτών συνόλων Ορισµός (σχετικό εσωτερικό και σύνορο). Εστω C µη κενό κυρτό υποσύνολο του R n. Το σχετικό εσωτερικό ri(c) του C είναι το εσωτερικό του C ως προς την αφινική του ϑήκη aff(c). ηλαδή, x ri(c) αν υπάρχει δ > 0 ώστε (4.2.1) B(x, δ) aff(c) C. Το σχετικό σύνορο του C είναι το σύνολο (4.2.2) rb(c) = C \ ri(c). ηλαδή, το σύνορο του C ως προς την αφινική του ϑήκη aff(c) (παρατηρήστε ότι η κλειστή ϑήκη του C ως προς την aff(c) συµπίπτει µε το C, διότι η aff(c) είναι κλειστό σύνολο). Ορισµός (simplex). Εστω x 0, x 1,..., x k αφινικά ανεξάρτητα διανύσµατα στον R n. Η κυρτή τους ϑήκη (4.2.3) conv({x 0, x 1,..., x k }) λέγεται k simplex. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 Πρόταση Εστω 1 k n και S = conv({x 0, x 1,..., x k }) ένα k simplex στον R n. Τότε, (4.2.4) ri(s) = {t 0 x 1 + t 1 x t k x k : 0 < t i < 1,t 0 + t t k = 1}. Ειδικότερα, ri(s). Απόδειξη. Μεταφέροντας αν χρειαστεί το S, µπορούµε να υποθέσουµε ότι x 0 = 0 και, αφού εξετάζουµε το σχετικό εσωτερικό του S, µπορούµε επίσης να υποθέσουµε ότι k = n. Με αυτές τις υποθέσεις, έχουµε (4.2.5) S = n t i x i : 0 t i 1, και ϑα δείξουµε ότι (4.2.6) int(s) V = n t i x i : 0 < t i < 1, οπότε, ειδικότερα, int(s). i=1 i=1 n t i 1 i=1 n t i < 1, Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R n R n που ορίζεται ως εξής: τα x 1,..., x n είναι γραµµικά ανεξάρτητα, άρα, κάθε x R n γράφεται µονοσήµαντα στη µορφή x = n t i x i, και τότε ορίζουµε (4.2.7) f (x) = f (t 1 x t n x n ) = (t 1,...,t n ). Αφού κάθε t i εκφράζεται συναρτήσει των συντεταγµένων των x i, x (λύνουµε το σύστηµα t 1 x 1 + +t n x n = x ως προς t i ), εύκολα ελέγχουµε ότι η f είναι συνεχής. Παρατηρούµε ότι το σύνολο (4.2.8) B = (t 1,...,t n ) : 0 < t i < 1, i=1 i=1 n t i < 1 είναι ανοικτό υποσύνολο του R n. Από τον ορισµό της f έχουµε f 1 (B) S. Το σύνολο V = f 1 (B) είναι µη κενό και ανοικτό, διότι η f είναι συνεχής. Αρα, int(s) V. Θεώρηµα Εστω C µη κενό κυρτό υποσύνολο του R n. Τότε, ri(c). i=1 Απόδειξη. Εστω k η αφινική διάσταση του C. Τότε, υπάρχουν x 0, x 1,..., x k C ώστε το S = conv({x 0, x 1,..., x k }) να είναι k simplex. Από την Πρόταση υπάρχει x ri(s). Οµως, S C και aff(s) = aff(c). Αρα, x ri(c). ηλαδή, ri(c). Θεώρηµα Εστω C κυρτό υποσύνολο του R n. Τότε, (4.2.9) C = A C := {x R n : υπάρχει y C ώστε (x, y] C} και (4.2.10) int(c) = B C := {x R n : για κάθε y R n µε y x, υπάρχει z (x, y) ώστε [x, z] C}. Για την απόδειξη ϑα χρησιµοποιήσουµε το εξής λήµµα: Λήµµα Εστω C κυρτό υποσύνολο του R n. Αν x C και y int(c), τότε [y, x) ri(c). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 Απόδειξη. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι dim(c) = n. Εστω x C και y ri(c). Θεωρούµε τυχόν z (y, x). ηλαδή, z = (1 t)x + ty για κάποιο t (0,1). Γράφουµε (4.2.11) y = 1 ( ) z (1 t)x. t Αφού x C, υπάρχει ακολουθία (x k ) στο C ώστε x k x. Ορίζουµε (4.2.12) y k = 1 ( ) z (1 t)xk. t Τότε, y k y. Αφού y int(c), υπάρχει δ > 0 ώστε B(y, δ) C. Τότε, υπάρχει k 0 N ώστε y k B(y, δ) για κάθε k k 0. Σταθεροποιούµε ένα k k 0 και ϐρίσκουµε δ 1 > 0 ώστε B(y k, δ 1 ) B(y, δ) C. Τότε, το σύνολο tb(y k, δ 1 ) + (1 t)x k είναι ανοικτό και, από την κυρτότητα του C και το γεγονός ότι x k C, (4.2.13) tb(y k, δ 1 ) + (1 t)x k tc + (1 t)c = C. Συνεπώς, z = ty k + (1 t)x k C. Επεται ότι [y, x) C. Απόδειξη του ϑεωρήµατος Μπορούµε να υποθέσουµε ότι C και, στη συνέχεια, να υποθέσουµε ότι dim(c) = n. Αν ( x ) A C τότε είναι ϕανερό ότι x C: αφού (x, y] C για κάποιο y C, η ακολουθία y k = 1 1 k x + 1 k y περιέχεται στο C και συγκλίνει στο x. Αντίστροφα, έστω x C. Από το Θεώρηµα υπάρχει y int(c) και από το Λήµµα έχουµε [y, x) C. Ο δεύτερος ισχυρισµός ισχύει τετριµµένα αν dim(c) < n, αφού σε αυτή την περίπτωση τα δύο σύνολα της ισότητας είναι κενά (εξηγήστε γιατί). Υποθέτουµε λοιπόν ότι dim(c) = n. Αν x int(c) τότε υπάρχει δ > 0 ώστε B(x, δ) C. Τότε, για κάθε y R n µε y x έχουµε [x, z] C, όπου (4.2.14) z = x + δ 2 y x y x 2. Συνεπώς, x B C. Αυτό αποδεικνύει ότι int(c) B C. Αντίστροφα, έστω x B C. Θεωρούµε y int(c). Μπορούµε να υποθέσουµε ότι y x (αλλιώς, αµέσως έχουµε x = y int(c)). Εφαρµόζοντας τον ορισµό του B C για το y = x + (x y) ϐρίσκουµε z (x, y ) ώστε [x, z] C. Από το Λήµµα έχουµε [y, z) int(c). Οµως, x (y, z). Συνεπώς, x int(c). ηλαδή, B C int(c). Πρόταση Εστω C κυρτό υποσύνολο του R n. Τα σύνολα ri(c) και C είναι κυρτά. Απόδειξη. (α) Εστω x, y ri(c). Χρησιµοποιώντας το Λήµµα για τα x ri(c) C και y ri(c), συµπεραίνουµε ότι (x, y) ri(c). Επεται ότι [x, y] ri(c) και αυτό αποδεικνύει ότι το ri(c) είναι κυρτό. (ϐ) Εστω x, y C και t (0,1). Υπάρχουν ακολουθίες (x m ), (y m ) στο C ώστε x m x και y m y. Τότε, z m := (1 t)x m + ty m (1 t)x + ty. Από την κυρτότητα του C έχουµε z m C για κάθε m, άρα (1 t)x + ty C. Πρόταση Εστω C κυρτό υποσύνολο του R n. Τότε, (4.2.15) C = ri(c) και (4.2.16) ri(c) = ri(c). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 Απόδειξη. (α) Από την ri(c) C παίρνουµε ri(c) C. Εστω x C. Θεωρούµε κάποιο y ri(c). Από το Λήµµα έχουµε [y, x) ri(c). Τότε, είναι ϕανερό ότι x [y, x) ri(c). Αυτό αποδεικνύει τον αντίστροφο εγκλεισµό. (ϐ) Αφού C C και aff(c) = aff(c), έχουµε ri(c) ri(c). Αντίστροφα, έστω x ri(c). Θεωρούµε κάποιο y ri(c). Αν y = x έχουµε x = y ri(c). Εστω ότι y x. Τότε, παίρνοντας y 1 = 2x y y και εφαρµόζοντας το Θεώρηµα για το C, ϐρίσκουµε z C ώστε x (y, z). Οµως, [y, z) ri(c) από το Λήµµα Αρα, x ri(c). ηλάδή, αν x ri(c) τότε x ri(c). 4.3 Μετρική προβολή Εστω C ένα µη κενό, κλειστό και κυρτό υποσύνολο του R n. Η µετρική προβολή p C απεικονίζει κάθε x R n στο πλησιέστερο προς το x σηµείο p C (x) του C. Η ύπαρξη και η µοναδικότητα αυτού του σηµείου αποδεικνύονται στην επόµενη Πρόταση. Πρόταση Εστω C µη κενό, κλειστό και κυρτό υποσύνολο του R n. Για κάθε x R n υπάρχει µοναδικό p C (x) C ώστε (4.3.1) x p C (x) 2 x y 2 για κάθε y C: δηλαδή, x p C (x) 2 = d(x,c). Η απεικόνιση x p C (x) λέγεται µετρική προβολή του C. Απόδειξη. Αν x C ϑέτουµε p C (x) = x: είναι ϕανερό ότι είναι το µοναδικό σηµείο του C που ικανοποιεί την (4.3.1) για κάθε y C. Μπορούµε λοιπόν να υποθέσουµε ότι x C. Για κάθε m N µπορούµε να ϐρούµε y m C µε την ιδιότητα (4.3.2) d(x,c) x y m 2 < d(x,c) + 1 m. Παρατηρούµε ότι η ακολουθία (y m ) περιέχεται στην κλειστή µπάλα B(x, d(x,c) + 1) η οποία είναι συµπαγής. Συνεπώς, υπάρχει υπακολουθία (y km ) της (y m ) η οποία συγκλίνει σε κάποιο y 0 R n. Αφού y km C και το C είναι κλειστό, έχουµε y 0 C. Επιπλέον, η (4.3.2) δείχνει ότι (4.3.3) x y 0 2 = lim m x y k m 2 = d(x,c). Για τη µοναδικότητα, ας υποθέσουµε ότι (4.3.4) x y 2 = x y 0 2 = d(x,c) για κάποιο y C. Από την κυρτότητα του C έχουµε y+y 0 2 C. Χρησιµοποιώντας τον κανόνα του παραλληλογράµµου γράφουµε 4d 2 (x,c) = 2 x y x y = 2x (y + y 0 ) y y = 4 x y + y y y d 2 (x,c) + y y 0 2 2, οπότε y y Αναγκαστικά, y = y 0. Το επόµενο Λήµµα περιγράφει µία χρήσιµη ιδιότητα του πλησιέστερου σηµείου. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 10

11 Λήµµα Εστω C µη κενό, κλειστό και κυρτό υποσύνολο του R n. Για κάθε x R n και για κάθε y C έχουµε (4.3.5) x p C (x), y p C (x) 0. Απόδειξη. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι y p C (x). Για κάθε t (0,1) έχουµε p C (x)+t(y p C (x)) C, άρα (4.3.6) x p C (x) 2 2 x p C(x) t(y p C (x)) 2 2. Αναπτύσσοντας, ϐλέπουµε ότι (4.3.7) 2t x p C (x), y p C (x) t 2 y p C (x) 2 2. ιαιρώντας µε t και αφήνοντας το t 0 + παίρνουµε την (4.3.5). Θεώρηµα (Busemann-Feller, 1935). Εστω C µη κενό, κλειστό και κυρτό υποσύνολο του R n. Η µετρική προβολή p C : R n C είναι Lipschitz συνεχής µε σταθερά 1. ηλαδή, αν x, y R n τότε (4.3.8) p C (x) p C (y) 2 x y 2. Απόδειξη. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι u = p C (x) p C (y) = v. Από το Λήµµα έχουµε (4.3.9) x u,v u 0 και y v,v u 0. Αρα, (4.3.10) x y + v u,v u 0. Χρησιµοποιώντας και την ανισότητα Cauchy-Schwarz παίρνουµε (4.3.11) v u 2 2 y x,v u y x 2 v u 2. Αφού u v, έπεται ότι p C (y) p C (x) 2 = v u 2 y x 2. Ορισµός Εστω C µη κενό, κλειστό και κυρτό υποσύνολο του R n και έστω x R n \ C. d(x,c) > 0. Ορίζουµε Τότε, (4.3.12) u C (x) = x p C(x). d(x,c) Από την x p C (x) 2 = d(x,c) ϐλέπουµε ότι u C (x) 2 = 1. ηλαδή, u C (x) S n 1 : το u C (x) είναι το µοναδιαίο διάνυσµα µε κατεύθυνση από το p C (x) προς το x. Συµβολίζουµε µε R C (x) την ηµιευθεία που ξεκινάει από το p C (x) και διέρχεται από το x: (4.3.13) R C (x) = {p C (x) + tu C (x) : t 0}. Το επόµενο Λήµµα δείχνει ότι αν x C τότε όλα τα σηµεία που ανήκουν στην ηµιευθεία που ξεκινάει από το p C (x) και διέρχεται από το x έχουν το ίδιο πλησιέστερο σηµείο. Λήµµα Εστω C µη κενό, κλειστό και κυρτό υποσύνολο του R n και έστω x R n \ C. Αν y R C (x) τότε p C (y) = p C (x). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 11

12 Απόδειξη. Αφού y R C (x), έχουµε y = p C (x) + t(x p C (x)) για κάποιον t > 0. Από το Λήµµα έχουµε (4.3.14) x p C (x), p C (y) p C (x) 0 και (4.3.15) y p C (y), p C (x) p C (y) 0. Αντικαθιστώντας το y = p C (x) + t(x p C (x)) στην (4.3.15) έχουµε (4.3.16) p C (x) p C (y) t x p C(x), p C (x) p C (y) 0. Από την (4.3.14) έπεται ότι p C (x) p C (y) Συνεπώς, p C(x) = p C (y). Εστω C ένα µη κενό, συµπαγές κυρτό υποσύνολο του R n. Συµβολίζουµε µε bd(c) το σύνορο του C. Η επόµενη Πρόταση έχει σαν συνέπεια ότι η µετρική προβολή p C : R n \ C bd(c) είναι επί. Πρόταση Εστω C ένα µη κενό, συµπαγές κυρτό υποσύνολο του R n. Υποθέτουµε ότι το C περιέχεται στην ανοικτή µπάλα B(0,r) µε κέντρο το 0 και ακτίνα r. Τότε, (4.3.17) p C (rs n 1 ) = bd(c). Απόδειξη. Ο εγκλεισµός p C (rs n 1 ) bd(c) είναι ϕανερός: γενικά, αν x C τότε p C (x) bd(c) (εξηγήστε γιατί). Εστω z bd(c). Για κάθε m N µπορούµε να ϐρούµε x m B (0,r) \ C µε (4.3.18) z x m 2 < 1 m. Από το Θεώρηµα έχουµε (4.3.19) z p C (x m ) 2 = p C (z) p C (x m ) 2 z x m 2 < 1 m. Θεωρούµε την ηµιευθεία R C (x m ). Αυτή τέµνει την rs n 1 σε κάποιο σηµείο y m. Από το Λήµµα έχουµε p C (y m ) = p C (x m ), άρα (4.3.20) z p C (y m ) 2 < 1 m. Η rs n 1 είναι συµπαγής, άρα υπάρχουν y rs n 1 και υπακολουθία (y km ) της (y m ) ώστε y km y. Από τη συνέχεια της µετρικής προβολής έχουµε p C (y) = lim p C(y km ). Οµως, η (4.3.20) δείχνει ότι m p C (y km ) z. Συνεπώς, z = p C (y) p C (rs n 1 ). 4.4 Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά θεωρήµατα Υπερεπίπεδα στήριξης Ορισµός Εστω H = H(u,α) = {x R n : x,u = α}, όπου u 0 και α R, ένα υπερεπίπεδο. Θεωρούµε τους κλειστούς ηµιχώρους (4.4.1) H + = {x R n : x,u α} και H = {x R n : x,u α} που ορίζει το H. Αν A είναι ένα µη κενό υποσύνολο του R n, λέµε ότι το H στηρίζει το A στο x (ή ϕέρει το A στο x) αν Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 12

13 1. x A H, 2. Είτε A H + ή A H. Αν G είναι ένας κλειστός ηµίχωρος, λέµε ότι ο G στηρίζει το A αν A bd(g) και A G. Αν ο G = H ορίζεται από το υπερεπίπεδο H = H(u,α) και στηρίζει το A σε κάποιο σηµείο x, τότε λέµε ότι το u είναι ένα εξωτερικό κάθετο διάνυσµα του A στο x. Η µελέτη των ιδιοτήτων της µετρικής προβολής στην 4.3 µας επιτρέπει να αποδείξουµε την ύπαρξη υπερεπιπέδων που στηρίζουν ένα κλειστό κυρτό γνήσιο υποσύνολο του χώρου. Λήµµα Εστω C ένα µη κενό, κλειστό και κυρτό υποσύνολο του R n. Αν x R n \C τότε το υπερεπίπεδο που περνάει από το p C (x) και είναι κάθετο στο u C (x) στηρίζει το C στο σηµείο p C (x). Απόδειξη. Το υπερεπίπεδο που περνάει από το p C (x) και είναι κάθετο στο u C (x) είναι το (4.4.2) H = {y R n : y,u C (x) = p C (x),u C (x) }. Είναι ϕανερό ότι (4.4.3) p C (x) C H. Επιπλέον, αν y C τότε το Λήµµα δείχνει ότι (4.4.4) u C (x), y p C (x) 0 y,u C (x) p C (x),u C (x). Αυτό σηµαίνει ότι C H. Από τον Ορισµό 4.4.1, το H στηρίζει το C στο σηµείο p C (x). Θεώρηµα (α) Εστω C ένα µη κενό, κλειστό κυρτό υποσύνολο του R n. Αν y bd(c) τότε υπάρχει υπερεπίπεδο που στηρίζει το C στο σηµείο y. (ϐ) Εστω C ένα µη κενό, συµπαγές κυρτό υποσύνολο του R n. Για κάθε u S n 1 υπάρχει υπερεπίπεδο H(u) που στηρίζει το C και έχει εξωτερικό κάθετο διάνυσµα το u. Απόδειξη. (α) Εστω y bd(c). Υποθέτουµε πρώτα ότι το C είναι ϕραγµένο. Τότε, υπάρχει r > 0 ώστε το C να περιέχεται στην ανοικτή µπάλα B(0,r) µε κέντρο το 0 και ακτίνα r. Από το Λήµµα 4.3.6, υπάρχει x rs n 1 µε την ιδιότητα p C (x) = y. Από το Λήµµα υπάρχει υπερεπίπεδο που στηρίζει το C στο σηµείο y. Εστω τώρα ότι το C δεν είναι ϕραγµένο. Το σύνολο C B(y,1) (όπου B(y,1) είναι η κλειστή µπάλα µε κέντρο το y και ακτίνα 1) είναι µη κενό, συµπαγές και κυρτό. Αφού y bd(c) έχουµε y bd(c B(y,1)) (εξηγήστε γιατί). Αρα, υπάρχει υπερεπίπεδο H το οποίο στηρίζει το C B(y, 1) στο σηµείο y. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι (4.4.5) C B(y,1) H. Αν δεν ισχύει η C H, τότε υπάρχει z C \ H. Από την κυρτότητα του C έχουµε [y, z] C. Οµως, το z ανήκει στο συµπλήρωµα του H, άρα το (y, z] B(y,1) δεν µπορεί να περιέχεται στο H, άτοπο. (ϐ) Εστω u S n 1. Η συνάρτηση y y,u είναι συνεχής. Αφού το C είναι συµπαγές, υπάρχει y 0 C ώστε (4.4.6) y 0,u = max{ y,u : y C}. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 13

14 Θέτουµε (4.4.7) H = {y R n : y,u = y 0,u }. Τότε, C H και y 0 C H. Αρα, το H στηρίζει το C στο σηµείο y 0 και έχει εξωτερικό κάθετο διάνυσµα το u. Το επόµενο ϑεώρηµα δείχνει ότι η ιδιότητα (α) του Θεωρήµατος χαρακτηρίζει τα κλειστά κυρτά σύνολα που έχουν µη κενό εσωτερικό. Θεώρηµα Εστω C ένα κλειστό υποσύνολο του R n µε µη κενό εσωτερικό. Υποθέτουµε ότι για κάθε y bd(c) υπάρχει υπερεπίπεδο που στηρίζει το C στο y. Τότε, το C είναι κυρτό. Απόδειξη. Ας υποθέσουµε ότι το C δεν είναι κυρτό. Τότε, υπάρχουν x, y C και z [x, y] µε z C. Αφού το C έχει µη κενό εσωτερικό, υπάρχει w int(c) ώστε τα x, y και w να µην είναι συνευθειακά. Θεωρούµε το ευθύγραµµο τµήµα [w, z]. Αφού z C, υπάρχει u [w, z) το οποίο ανήκει στο σύνορο του C. Από την υπόθεση, υπάρχει υπερεπίπεδο H που στηρίζει το C στο u. Εχουµε w H, άρα η τοµή του H µε το επίπεδο E που ορίζουν τα x, y και w είναι µία ευθεία l που περνάει από το u. Αφού το C περιέχεται στον έναν από τους δύο κλειστούς ηµιχώρους που ορίζει το H, τα x, y και w είναι στο ένα από τα δύο ηµιεπίπεδα του E που ορίζει η l. Αυτό είναι άτοπο, αφού η l περνάει από το u το οποίο είναι εσωτερικό σηµείο του τριγώνου xyw ιαχωριστικά θεωρήµατα Ορισµός (α) Εστω H = H(u,α) = {x R n : x,u = α}, όπου u 0 και α R, ένα υπερεπίπεδο. Αν A, B είναι µη κενά υποσύνολα του R n, λέµε ότι το H διαχωρίζει τα A και B αν A H + και B H ή A H και B H +. (ϐ) Λέµε ότι τα A και B διαχωρίζονται γνήσια από το H αν A H + και B H ή A H και B H +, όπου H + και H οι ανοικτοί ηµίχωροι που ορίζονται από το H. (γ) Τέλος, λέµε ότι τα A και B διαχωρίζονται αυστηρά από το H αν υπάρχει ε > 0 ώστε τα A και B να διαχωρίζονται τόσο από το H(u,α ε) όσο και από το H(u,α + ε). (δ) Λέγοντας ότι το A διαχωρίζεται από το σηµείο x εννοούµε ότι τα σύνολα A και {x} διαχωρίζονται. Θεώρηµα Εστω C µη κενό κυρτό υποσύνολο του R n και έστω x C. διαχωρίζονται. Τότε, τα C και x και Αν, επιπλέον, υποθέσουµε ότι το C είναι κλειστό, τότε τα C και x διαχωρίζονται αυστηρά. Απόδειξη. Υποθέτουµε πρώτα ότι το C είναι κλειστό. Το υπερεπίπεδο H που περνάει από το p C (x) και είναι κάθετο στο u C (x) στηρίζει το C, άρα διαχωρίζει τα C και x. Αν ϑεωρήσουµε το υπερεπίπεδο H 1 που περνάει από το p C (x)+x 2 και είναι κάθετο στο u C (x), αυτό διαχωρίζει αυστηρά τα C και x. Εστω τώρα ότι το C δεν είναι κλειστό. Αν το x δεν ανήκει στην κλειστή ϑήκη C του C, από τον προηγούµενο ισχυρισµό υπάρχει υπερεπίπεδο που διαχωρίζει το κλειστό κυρτό σύνολο C από το x. Αυτό το υπερεπίπεδο διαχωρίζει τα C και x. Αν x C \ C, τότε x bd(c). Τότε, το Θεώρηµα 4.4.3(α) δείχνει ότι υπάρχει υπερεπίπεδο H που στηρίζει το C στο σηµείο x. Αυτό το υπερεπίπεδο διαχωρίζει τα C και x. Αµεσο πόρισµα του Θεωρήµατος είναι το εξής ϐασικό αποτέλεσµα. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 14

15 Θεώρηµα Κάθε µη κενό, κλειστό και κυρτό γνήσιο υποσύνολο του R n είναι η τοµή των κλειστών ηµιχώρων που το στηρίζουν. Απόδειξη. Εστω C ένα µη κενό, κλειστό και κυρτό γνήσιο υποσύνολο του R n. Από τον ορισµό του «ηµιχώρου στήριξης» είναι ϕανερό ότι C {G : ο G είναι κλειστός ηµίχωρος που στηρίζει το C}. Εστω x C. Από το Θεώρηµα το x διαχωρίζεται αυστηρά από το C, δηλαδή υπάρχει κλειστός ηµίχωρος G ο οποίος στηρίζει το C και δεν περιέχει το x. Το επόµενο λήµµα δείχνει ότι το να διαχωρίσουµε δύο υποσύνολα του Ευκλείδειου χώρου ανάγεται στο πρόβληµα του να διαχωρίσουµε σηµείο από σύνολο. Λήµµα Εστω A και B µη κενά υποσύνολα του R n. Τα A και B διαχωρίζονται (διαχωρίζονται αυστηρά) αν και µόνο αν τα A B και 0 διαχωρίζονται (διαχωρίζονται αυστηρά). Απόδειξη. Ας υποθέσουµε ότι τα A και B διαχωρίζονται αυστηρά από το H: υπάρχουν u 0, α R και ε > 0 ώστε τα A και B να διαχωρίζονται τόσο από το H(u,α ε) όσο και από το H(u,α + ε). Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι (4.4.8) A {x : x,u α + ε} και B {x : x,u α ε}. Εστω x A B. Μπορούµε να γράψουµε x = a b, όπου a A και b B. Από την (4.4.8) παίρνουµε (4.4.9) x,u = a,u b,u (α + ε) (α ε) = 2ε. Συνεπώς, τα A B και 0 διαχωρίζονται αυστηρά από το υπερεπίπεδο (4.4.10) H(u,ε) = {x : x,u = ε}. Αντίστροφα, υποθέτουµε ότι τα A B και 0 διαχωρίζονται αυστηρά. Τότε, υπάρχουν u 0 και ε > 0 ώστε (4.4.11) x,u 2ε για κάθε x A B. Ορίζουµε (4.4.12) s = inf{ a,u : a A} και t = sup{ b,u : b B}. Από την (4.4.11) έχουµε b,u + 2ε a,u για κάθε a A και b B. Αρα, t + 2ε s. Επεται ότι το ( (4.4.13) H u, s + t ) { = x : x,u = s + t } 2 2 διαχωρίζει αυστηρά τα A και B. Στην περίπτωση που Ϲητάµε τα A και B να διαχωρίζονται (απλώς), η απόδειξη είναι εντελώς όµοια. Με την υπόθεση ότι τα A και B είναι κυρτά έχουµε σαν άµεσο πόρισµα το εξής διαχωριστικό ϑεώρηµα. Θεώρηµα Εστω A και B µη κενά, κυρτά υποσύνολα του R n µε A B =. διαχωρίζονται. Τότε, τα A και B Αν, επιπλέον, το A είναι συµπαγές και το B είναι κλειστό, τότε τα A και B διαχωρίζονται αυστηρά. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 15

16 Απόδειξη. Αφού τα A και B είναι κυρτά, εύκολα ελέγχουµε ότι το A B είναι κυρτό σύνολο. Από την υπόθεση ότι A B = έπεται ότι 0 A B. Από το πρώτο µέρος του Θεωρήµατος 4.4.6, τα A B και 0 και διαχωρίζονται. Από το Λήµµα 4.4.8, τα A και B διαχωρίζονται. Αν υποθέσουµε ότι το A είναι συµπαγές και το B είναι κλειστό, τότε το A B είναι κλειστό: ϑεωρήστε ακολουθία x m = a m b m στο A B, η οποία συγκλίνει σε κάποιο z R n. Αφού το A είναι συµπαγές, υπάρχει υπακολουθία (a km ) της (a m ) η οποία συγκλίνει σε κάποιο a A. Τότε, (4.4.14) b km = a km (a km b km ) a z και a z = b B αφού το B είναι κλειστό. Συνεπώς, z = a b A B. Από το δεύτερο µέρος του Θεωρήµατος 4.4.6, τα A B και 0 διαχωρίζονται αυστηρά. Από το Λήµµα 4.4.8, τα A και B διαχωρίζονται αυστηρά. 4.5 Πολικό συνόλου Ορισµός Εστω C ένα µη κενό υποσύνολο του R n. Το πολικό του C είναι το σύνολο (4.5.1) C = {y R n : x, y 1 για κάθε x C}. Παρατηρήσεις (α) Το C είναι µη κενό: παρατηρήστε ότι 0 C. (ϐ) Το C είναι κυρτό και κλειστό: αν y 1, y 2 C και t [0,1], τότε για κάθε x C έχουµε (4.5.2) x, (1 t)y 1 + ty 2 = (1 t) x, y 1 + t x, y 2 (1 t) 1 + t 1 = 1. Αρα, (1 t)y 1 + ty 2 C. Για να δείξουµε ότι το C είναι κλειστό, ϑεωρούµε y m C µε y m y R n. Για κάθε x C και για κάθε m N έχουµε x, y m 1, άρα (4.5.3) x, y = lim m x, y m 1. Επεται ότι y C. (γ) Αν το C είναι ϕραγµένο, τότε το C περιέχει µία µπάλα µε κέντρο το 0 (άρα, έχει µη κενό εσωτερικό). Πράγµατι, υπάρχει M > 0 ώστε x 2 M για κάθε x C. Αν y 2 1/M, τότε (4.5.4) x, y x 2 y 2 M ηλαδή, η µπάλα B(0,1/M) περιέχεται στο C. 1 M = 1. (δ) Αν το C περιέχει µία µπάλα µε κέντρο το 0 τότε το C είναι ϕραγµένο. Πράγµατι, ας υποθέσουµε ότι B(0,r) C. Εστω 0 y C. Τότε, το σηµείο x = r y/ y 2 ανήκει στην B(0,r), άρα ανήκει στο C. Επεται ότι r y (4.5.5) 1 x, y =, y = r y 2. y 2 Με άλλα λόγια, C B(0,1/r). Συµβολίζουµε µε C το πολικό του πολικού του C. ηλαδή, C := (C ). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 16

17 Πρόταση Εστω C µη κενό υποσύνολο του R n. Τότε, (4.5.6) C = conv(c {0}). ηλαδή, το C είναι το µικρότερο κλειστό και κυρτό υποσύνολο του R n το οποίο περιέχει το C και το 0. Απόδειξη. Από τον ορισµό ϐλέπουµε εύκολα ότι C C. Από τις Παρατηρήσεις (α) και (ϐ) το C είναι κλειστό, κυρτό και περιέχει το 0. Επεται ότι (4.5.7) C conv(c {0}). Για να αποδείξουµε ότι ισχύει ισότητα, υποθέτουµε ότι υπάρχει x C το οποίο δεν ανήκει στο conv(c {0}). Από το δεύτερο µέρος του Θεωρήµατος 4.4.6, υπάρχει υπερεπίπεδο που διαχωρίζει αυστηρά το x από το conv(c {0}). Ειδικότερα, µπορούµε να ϐρούµε 0 y R n και α R ώστε (4.5.8) z, y < α για κάθε z C {0} και (4.5.9) x, y > α. Αφού 0 C {0}, έχουµε α > 0. Από την (4.5.8) έπεται ότι z, y/α < 1 για κάθε z C, άρα y/α C. Οµως, η (4.5.9) δίνει x, y/α > 1, το οποίο είναι άτοπο αφού x C. Στη συνέχεια υποθέτουµε ότι το C είναι κυρτό υποσύνολο του R n. Αµεση συνέπεια της Πρότασης είναι η εξής. Πρόταση Εστω C κυρτό υποσύνολο του R n µε 0 C. Τότε, C = C. Ειδικότερα, αν το C είναι κλειστό τότε C = C. Αν υποθέσουµε ότι το C είναι κυρτό σώµα που περιέχει το 0 στο εσωτερικό του, τότε η Πρόταση και οι Παρατηρήσεις (γ) και (δ) δείχνουν το εξής. Πρόταση Εστω K ένα κυρτό σώµα στον R n µε 0 int(k). Τότε: 1. Το K είναι κυρτό σώµα και 0 int(k ). 2. K = K. Η επόµενη Πρόταση χαρακτηρίζει τα σηµεία του συνόρου του πολικού ενός κυρτού σώµατος. Η στενή σχέση που υπάρχει ανάµεσα σε ένα κυρτό σώµα και στο πολικό του ϑα µελετηθεί στο επόµενο Κεφάλαιο. Πρόταση Εστω K ένα κυρτό σώµα στον R n µε 0 int(k), και έστω y R n. Τότε, y bd(k ) αν και µόνο αν το K στηρίζεται από τον ηµίχωρο (4.5.10) G(y,1) = {x R n : x, y 1}. Απόδειξη. Υποθέτουµε πρώτα ότι ο G(y,1) στηρίζει το K. Αφού K G(y,1), έχουµε y K. Αν y int(k ), τότε υπάρχει t > 1 ώστε ty K (εξηγήστε γιατί). Αυτό σηµαίνει ότι (4.5.11) max{ x, y : x K} = 1 t max{ x,ty : x K} 1 t < 1, Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 17

18 το οποίο είναι άτοπο: αφού ο G(y,1) στηρίζει το K, υπάρχει x 0 K H(y,1). ηλαδή, υπάρχει x 0 K ώστε x 0, y = 1. Αντίστροφα, υποθέτουµε ότι y bd(k ). Αφού 0 int(k), έχουµε y 0 και (4.5.12) 0 < max{ x, y : x K} 1. Μένει να δείξουµε ότι στη δεξιά ανισότητα έχουµε ισότητα. Αν όχι, τότε υπάρχει t > 1 ώστε max{ x,ty : x K} = 1. Επεται ότι ty K. Αφού το K είναι κυρτό σώµα και περιέχει το 0, συµπεραίνουµε ότι [0,ty] K, και αφού το y είναι εσωτερικό σηµείο του ευθύγραµµου τµήµατος [0,ty] συµπεραίνουµε ότι y int(k ) (χρησιµοποιούµε το Λήµµα 4.2.6). Καταλήξαµε σε άτοπο, άρα (4.5.13) max{ x, y : x K} = 1. Τότε, ο G(y,1) στηρίζει το K. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 18

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ

1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ Μια Εισαγωγή στη Θεωρία Παιγνίων Κώστας Στροπωνιάτης ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ A ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 1 Επιβλέπων Βαγγέλης Φελουζής Επιτροπή Χρήστος Νικολόπουλος Νίκος Παπαλεξίου 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard. Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη)

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) (L) Θέμα 1 α) i Ένα σύνολο A X λέγεται γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 1: Ο χώρος R n. Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Πολυράκης Καθηγητής ΕΜΠ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ και Θεωρία Γενικής Ισορροπίας στην Οικονοµία ΑΘΗΝΑ 2009 2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 7 1.1 Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών.................. 8 1.1.1 Λήψη αποφασεων...................

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται Απόδειξη Θεωρήµατος Poincare-Bendixson Το δυναµικό σύστηµα είναι στο επίπεδο, προσδιορίζεται από το διάνυσµατικό πεδίο ταχυτήτων v(x), και οι τροχιές ικανοποιούν την δυνα- µική: ẋ = v(x). Η τροχιά του

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13.1.2013 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Μαρία Μαστροθεοδώρου και Αγγελική Χαντζηθάνου Περίληψη Το κεντρικό αποτέλεσµα της εργασίας είναι ότι µια συνάρτηση f είναι απόλυτα συνεχής στο [, b] αν και µόνο

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13112012 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα