3. LEGI DE STARE ALE CÂMPULUI ELECTRIC. ECUAŢII

Transcript

1 Câmpul lctomagntic LEGI E TARE ALE CÂMPULUI ELECTRIC ECUAŢII La 5 -a făcut o pznta gnală aupa lgilo şi tomlo tabilit în cadul toii macocopic claic aupa lctomagntimului In cl c umază pzntăm ti lgi d ta al câmpului şi cpuilo în ca intin xclui măimi fizic d natuă lctică Rlaţiil c xpimă lgi şi/au tom fomază cuaţiil itmului fizic conidat Acta contitui obictil pzntului capitol Lga polaizaţii lctic tmpoa Acată lg xpimă laţia d lgătuă dint polaizaţia lctică tmpoaă P t şi intnitata câmpului lctic dint-un punct c apaţin unui mdiu dilctic Rlaţia pin ca xpimă acată lg t P c E () Enunţul lgii t umătoul:: t Polaizaţia lctică tmpoaă dint-un punct al unui mdiu dilctic izotop şi linia t popoţională cu intnitata câmpului lctic din aclaşi punct factoul d popoţionalitat fiind poduul dint pmitiitata a idului şi ucptiitata lctică χ a mdiului - o contantă d matial adimnională pozitiă ci lga polaizaţii lctic tmpoa t o lg d matial in laţia () c xpimă lga mnţionată zultă că în mdiil dilctic izotop ctoii E şi P t unt coliniai acă mdiul dilctic t făă polaiza lctică pmanntă atunci P p şi P t P ( l 78) ia lga ci atfl: P c E () În ituaţia că mdiul pzintă şi polaiza lctică pmanntă atunci P c E + P () p La mdiil dilctic nlinia ucptiitata lctică înt-un punct dpind d aloaa intnităţii câmpului lctic în acl punct χ E ) In cazul mdiilo dilctic anizotop cum t d xmplu mdiul unui cital ucptiitata lctică t un tno imtic d odinul doi notat χ în ca caz lga polaizaţii lctic tmpoa ci în foma d podu contactat înt tnoul χ şi ctoul E : P t ( χ E (4)

2 Lgi d ta al câmpului lctic Ecuaţii In acată ituaţi ctoii E şi P t nu unt coliniai Exită totuşi la mdiil anizotop ti dicţii cipoc otogonal şi dnumit dicţiil (axl) pincipal în lungul căoa ci doi ctoi unt coliniai atfl că: P c E P c E P c E (5) t t t und χ χ şi χ unt ucptiităţil lctic copunzătoa clo ti dicţii Lga lgătuii dint E şi P Int măimil ctoial d ta locală E şi P -a tabilit o laţi d lgătuă cu caact d lg în foma: E + P (6) Acata t o lg ta gnală find alabilă în oic punct la oic momnt şi în oic gim al câmpului lctomagntic In id în a şi în mdii conductoa nu apa fnomnul d polaiza lctică au t nglijabil dci P şi lga lgătuii xpimă pin laţia: E (7) In mdiil dilctic izotop ctoii E în mdiil anizotop nu unt coliniai (Fig b) şi P unt coliniai (Fig a) ia a) b) Fig Poziţiil ctoilo E şi P în mdii izotop (a) pcti în mdii anizotop (b) Rfindu-n la mdiil izotop linia şi făă polaiza lctică pmanntă am P p şi P P χ E ia laţia c xpimă lga ci atfl: t E + E (+ χ χ ) E au E (8)

3 Câmpul lctomagntic în ca + χ (9) t pmitiitata lctică latiă şi t pmitiitata lctică abolută a mdiului in laţiil (6) şi (8) obţin: P ( - ) E ( - ) E () acă mdiul dilctic izotop t polaizat lctic atât tmpoa cât şi pmannt atunci lga lgătuii din: E + P p () La mdiil nlinia pmitiitata lctică latiă dpind d aloaa intnităţii câmpului lctic în punctul conidat (E) In cazul mdiilo anizotop pmitiitata lctică latiă t un tno imtic d odinul al doila notat ia lga lgătuii xpimă pin poduul contactat dint tnoul şi ctoul E : E () Aând în d foma laţii (9) poat ci: în ca t tnoul unita d odinul al doila + c () Fig Fnomnul d hitzi lctic Lga fluxului lctic Obaţi La mdiil folctic (nlinia) ituat înt-un câmp lctic altnati maniftă fnomnul dnumit hitzi lctic ca contă în ămâna în umă a aiaţiilo aloilo lui în apot cu aiaţiil aloilo lui E (Fig ) Lga fluxului lctic t o lg d ta gnală din cadul toii claic (Maxwll - Htz) aupa lctomagntimului xpimă în foml intgală şi difnţială (locală) a Foma intgală a lgii fă la fluxul lctic pint-o upafaţă închiă ituată în câmpul lctic (Fig ) aând umătoul nunţ:

4 4 Lgi d ta al câmpului lctic Ecuaţii Fluxul lctic pin oic upafaţă închiă aşzată în câmpul lctomagntic aând oic fomă şi oic poziţi în oica momnt t gal cu uma algbică a acinilo lctic adăat c apaţin copuilo din intioul upafţi: und Q k Q k ò d Q (4) acinil lctic din xtioul upafţi închi nu modifică fluxul lctic pin upafaţa acă Q atunci lga din: d (5) Fig chiţă xplicatiă pntu lga fluxului lctic b Foma difnţială (locală) a lgii fluxului lctic poat obţin din foma intgală (4) În act n admitm că olumul dlimitat d t un domniu d continuitat pntu câmpul d ctoi dci că nu xită upafţ linii au punct und -a găi acini lctic adăat ca a cauza dicontinuităţi pntu Int-un atfl d domniu pot xita numai acini lctic olumtic cu dnitata încât ò (6) Q d In act condiţiuni poat aliza tanfomaa d intgală d tip Gau- Otogadki:: d di d (7) Inlocuind laţiil (6) şi (7) în (4) şi nunţând la opaţia d intga zultă foma difnţială (locală) a lgii: cu umătoul nunţ: d i (8)

5 Câmpul lctomagntic 5 ignţa olumtică a ctoului câmp calculată în oica punct al unui domniu d continuitat t gală cu dnitata olumtică a acinii lctic adăat din acl punct acă în domniul d olum xită upafţ încăcat cu acini lctic d dnitat (Fig 4) în punct al uni atfl d upafţ d i şi în concinţă opază cu dignţa upficială:( A) d i (9) Conidând că şi unt inducţiil lctic în punct foat apopiat ituat d o pat şi d alta a upafţi (Fig 4) atunci: n n d i n ( - ) - + () Fig 4 upafaţă încăcată cu acini lctic adăat und n t oul nomal la upafaţă ia n n şi n n unt aloil componntlo nomal la acaşi upafaţă al inducţii lctic Rzultă: au - () n n V V ( ) - ( ) () n n V und E n şi E n n n Aşada pntu componntl inducţii lctic nomal la upafaţa unt dicontinui n ¹ n (nu conă) ia pntu act componnt unt continui n n ( conă) 4 Toma lui Gau a Foma intgală a tomi lui Gau fă la fluxul ctoului intnităţii câmpului lctic E pint-o upafaţă închiă : Ψ E E d () şi dduc din lga fluxului lctic în foma intgală (l 4) şi din lga lgătuii (l6) obţin:

6 6 Lgi d ta al câmpului lctic Ecuaţii ò ( E + P )d Q Aând în d şi laţia (8) zultă: ò E d ( Q + Q ) (4) adică: Fluxul ctoului intnităţii câmpului lctic E calculat p o upafaţă închiă ituată în câmpul lctomagntic în oic poziţi la oic momnt t popoţional cu uma algbică a acinilo lctic adăat şi d polaiza c apaţin copuilo din intioul upafţi factoul d popoţionalitat fiind b Foma difnţială (locală) a tomi lui Gau obţin din foma intgală (4) în ca fac înlocuia Q + Q ( + ) d (5) şi în condiţiuni d continuitat fctuând tanfomaa d intgal G-O zultă: + di E (6) In punct al uni upafţ d dicontinuitat încăcată cu acini lctic adăat aând dnitata şi cu acini lctic d polaiza aând dnitata toma lui Gau ci atfl: + di E (7) Aplicaţia Un mdiu dilctic izotop linia şi făă polaiza lctică pmanntă aând pmitiitata latiă ct t încăcat în olum cu acini lctic adăat cu dnitata Câmpul lctic din mdiu dtmină polaizaa tmpoaă a lui şi apa acini lctic d polaiza cu dnitata ă tabilacă lgătua dint şi Rzola foloc foml difnţial al lgii fluxului lctic (l8) şi tomi lui Gau (l6) pcum şi laţia Rzultă: + c + d und obţin E - + / c In caχ t ucptiitata lctică a mdiului dilctic ci acinil şi au mn opu Pntu c zultă (8) (9)

7 Câmpul lctomagntic 7 Aplicaţia conidă un cop mtalic încăcat cu acini lctic upficial cu dnitata înconjuat d un mdiu dilctic omogn izotop şi făă polaiza lctică pmanntă aând pmitiitata lctică La upafaţa dilcticului în contact cu mtalul apa acini lctic d polaiza cu dnitata ă tabilacă lgatua dint dnităţil acinilo şi Rzola Rcugm la aclaşi aţionamnt ca la aplicaţia cu mnţiuna că în mtal E mtal şi mtal obţin laţiil: + d i die adică din ca zultă : + o () pcti () + χ Pciza Rlaţii d foma (9) şi () nu pot fi tabilit la upafaţa d paaţi dint doi dilctici Aplicaţia Un cop dilctic izotop făă polaiza lctică pmanntă şi nâncăcat cu acini lctic adăat ( ) t ituat înt-un câmp lctic ă tabilacă în c ituaţii apa în olumul copului acini lctic d polaiza Rzola foloc laţiil (8) (8) şi (6) atfl că: E g a d + di E d i E diting umătoal ituaţii: ilcticul t omogn şi linia: gad di E şi atât în câmp unifom cât şi nunifom ilcticul t nomogn şi linia: gad di E şi atât în câmp unifom cât şi nunifom ilcticul t omogn şi nlinia (E) : gad gad E t gal cu zo în E câmp unifom ( E ct) şi t difit d zo în câmp nunifom ci nunifom numai în câmp Aplicaţia 4 O fă dilctică d ază a aând ct t încăcată unifom cu acini lctic adăat cu dnitata fa t înconjuată d o coajă mtalică fică d az a şi b (a < b) nâncăcată cu acini lctic In xtio t id (au a) c: a E şi P în punct din cl ti zon (-fa dilctică -coaja mtalică -a) şi potnţialul lctic al cojii mtalic b nităţil acinilo d polaiza pntu fa dilctică c ă ific lga fluxului lctic în punct din zonl şi

8 8 Lgi d ta al câmpului lctic Ecuaţii Rzola: a Câmpul pzintă imti fică Intucât în toma lui Gau intin şi acinil lctic d polaiza (ncunocut) calculază mai întâi cu lga fluxului lctic Zona conidă upafaţa fică d ază [ a] pntu ca ò d ò Vctoii şi d unt coliniai şi ct Rzultă: d P 4p 4 p E P ( - ) E ( - ) Zona fiind ocupată d mtal obţin E şi P oac d înamnază că p upafaţa intioaă a cojii mtalic paă acina Q a - 4p a a - a a ia p ca xtioaă Q b - Q a b b In zona [b ] şi ò 4p a 4p a a d 4 p E P Potnţialul cojii mtalic calculază cu o laţi d foma ( b) în ca: V V obţin: a d a V ò E d l ò b b b b Calculul dnităţilo acinilo d polaiza fac cu laţiil (84) pcti (85) adică: - - d i P - ( - ) Ñ - Pn - P n a ( - ) a a acinil total d polaiza unt - 4p a - 4p ' a ' Q Q obă că ' Q + Q c calculază di şi di und şi au aloil calculat mai u 5 Ecuaţiil câmpului lctic

9 Câmpul lctomagntic 9 In gnal cuaţiil unui cto câmp diă din lgil / toml pcific câmpului fiind cl ca conduc la dtminaa uniocă a ctoului în toat punctl domniului conidat acă în domniul d tudiu al câmpului xită upafţ linii şi / au punct d dicontinuitat (ingulaităţi) acta tbui xclu pin conidaa lo în afaa domniului Mnţionăm aici cl pcificat la Anxa A4 fitoa la claificaa câmpuilo şi anum: Un câmp ctoial t d natuă potnţială dacă în toat punctl lui otoul ctoului c îl caactizază t nul (câmp notaţional) Câmpul t d natuă olnoidală (otaţională) dacă în toat punctl lui dignţa coului c îl caactizază t nulă În cazul gnal câmpul coial poat aa atât o componntă potnţială cât şi o componntă olnoidală 5 Toma d unicitat a oluţii cuaţiilo unui câmp ctoial N fim aici la unicitata oluţii cuaţiilo unui câmp ctoial în gim taţiona caactizat în fica punct pin ctoul F Mdiul în ca a loc câmpul t linia şi izotop Înt-un caz paticula act câmp poat fi câmpul lctic caactizat în fica punct al domniuluipin ctoiul E pcti pin ctoul Enunţul tom t: Vctoul F c caactizază un câmp taţiona dint-un mdiu linia şi izotop t unioc dtminat în domniul d olum măginit d upafaţa închiă (upafaţa d fontiă) dacă cunoc în fica punct al domniului: - dignţa olumtică: d i F f () ; - otoul olumtic: ot F g() ia în punctl upafţi d fontiă unt pci: - fi componntl noml F n - fi componntl tangnţial F t -a notat cu ctoul d poziţi al punctului ia funcţiil f ( ) şi g( ) unt conidat ca fiind continui montaţia tomi o facm numai pntu cazul când în toat punctl fontii unt pci aloil componntlo nomal F ' '' Pin abud fi F şi F două oluţii ditinct al poblmi ca atifac fica cuaţiil din domniu şi condiţia p fontiă Vctoul câmp difnţă F F - F" a atifac umătoal condiţiuni: d i F ot F şi F n () oac ot F înmnază că F diă dint-un potnţial cala ϕ F - ϕ ca atifac cuaţia Laplac ϕ ia în punctl fontii j F n adică In act condiţiuni cugând la fomula întâia a lui Gn n n

10 Lgi d ta al câmpului lctic Ecuaţii pntu funcţii cala (l A) obţin ò ( Ñj ) d adică ϕ şi F ci "' ' F F ca c înmnază oluţi unică a cuaţiilo câmpului d ctoi F 5 Ecuaţiil câmpului lctotatic N fim la câmpul lctotatic dint-un mdiu linia izotop şi făă polaiza lctică pmanntă pntu ca dăm cuaţiil ca conduc la o oluţi unică omniul d xitnţă al câmpului conidă xtin la infinit und câmpul t nul Ecuaţiil intnităţii câmpului lctotatic E Acta unt cl copunzătoa fomlo difnţial (local) al lgilo/tomlo alabil în câmpul lctotatic adică: ' + di E ot E E n () Pima dint act cuaţii pzintă foma difnţială a tomi lui Gau (l6) ca d adoua cuaţi pzintă foma difnţială a lgii inducţii lctomagntic paticulaizată pntu câmpul lctotatic (toma potnţialului lctotatic) (l ) ia a tia cuaţi idnţiază că la infinit câmpul t nul acă în olumul Ζ al domniului xită ingulaităţi în punctl uno upafţ d limită (d paaţi dint mdii difit) în punctl uno cub au în punct popiu zi atunci la cuaţiil () adaugă cuaţiil condiţiilo d limită Q d i E + d i E d i E ; ot E l p l p (4) Act cuaţii unt foloit la xcluda ingulaităţilo din domniul în ca tudiază câmpul ( 6) Întucât dignţa ctoului E t nulă în toat puncl câmpului lctotatic act câmp t d natuă minamnt potnţială Ca uma ctoul intităţii actui câmp diă din funcţia calaă d paţiu V numită potnţialul lctotatic pin laţia E - g a d V Gupuil d cuaţii () şi (4) contitui condiţiil d xitnţă al ctoului intnităţii câmpului lctotatic E din domniul conidat Ecuaţiil inducţii lctic unt: d i ot ¹ (5) Pima dint act cuaţii pzintă foma difnâială (locală) a lgii fluxului lctic ca d a doua t o ingalitat doac în mdiul nomogn luat în conida ct şi ot ot( E ) g ad E + ot E E gd ¹ und -a înlocuit ot E ci ctoul inducţii lctic al câmpului lctotatic dint-un n

11 Câmpul lctomagntic mdiu nomogn a atât o componntă potnţială cât şi ocomponntă olnoidală acă mdiul t omogn atunci componnta olnoidală a lui t nulă Ecuaţiil copunzătoa condiţiilo d limită pntu câmpul d ctoi unt: di di di Q ; ot ¹ (6) l l p p În cazul upafţlo copuilo npolaizat lctic ituat înt-un mdiu npolaizabil copuil fiind încăcat numai cu acini olumtic cuaţiil:unt di E ot E ; (7 a) di ot (7 b) Înmnază că upafţl pcti nu contitui dicontinuităţi pntu componntl nomal şi / au tangnt al lui E pcti al lui Aplicaţia 5 ă ci cuaţiil câmpului lctotatic nunifom xitnt înt-un mdiu dilctic omogn da nlinia cu pmitiitata ( E ) podu d acini lctic xtn înt-un domniu finit Rzola : În ituaţia dată în intioul mdiului acumulază acini lctic d polaiza cu dnitata Ecuaţiil inducţii lctic unt indpndnt d natua mdiului şi au foma: d i ot in act cuaţii dduc cl al intităţii câmpului lctic aând în d că ( E )E Foma cuaţiilo t: n d i E - E ga d ( E ) ot E E g d ( E ) E n ( E ) ( E ) 6 Ecuaţiil Poion şi Laplac al potnţialului lctotatic 6 Foma cuaţiilo Câmpul lctotatic fiind d natuă potnţială intnitata actui câmp xpimă pin gadintul cu mn chimbat al potnţialului lctotatic: E - gad V Aând în d şi toma lui Gau (l 6) adică di E ( + )/ obţin cuaţia lui Poion a potnţialului lctotatic: - d i g a d V ( + )/ au + V Ñ - (8)

12 Lgi d ta al câmpului lctic Ecuaţii în ca + + Ñ x y z (9) t opatoul linia a lui Laplac (coodonat catzin) In punctl din câmpul lctotatic und nu xită acini lctic ( ) cuaţia (8) din V au V (4) fiind dnumită cuaţia lui Laplac a potnţialului lctotaticcâmpuil potnţial ca atifac cuaţia lui Laplac numc adoi câmpui laplacn 6 Toma unicităţii oluţii cuaţii lui Poion conidă câmpul lctotatic din domniul d olum măginit d upafaţa închiă caactizat pin potnţialul lctotatic V ( )Toma unicităţii oluţii cuaţii lui Poion a potnţialului lctotatic (l 8) nunţă atfl: acă în toat punctl din domniul funcţia V ( ) atifac cuaţia lui Poion şi dacă în punctl fontii unt pci: - fi aloil V(P ) pzntând condiţiil p fontiă d tip iichlt - fi aloil { n g ad V } P pzntând condiţiil p fontiă d tip Numann atunci oluţia cuaţii lui Poion t unică -a notat cu n oul nomal la aând nul p intioul domniului ' montaţi pupun pin abud că xită două funcţiuni V ( ) şi '' V ( ) ca atifac acaşi cuaţi Poion şi aclaşi condiţiuni p fontiă Apoi intoduc funcţiuna difnţă V () V () - V"() ca idnt atifac cuaţia Laplac şi condiţiunil p fontiă: V V V ( P Î ) (iichlt) au { n ÑV ( Numan ) } P Î P Î n In continua cug la fomula întâia a lui Gn pntu funcţii cala (la4) ciă pntu funcţia V Rzultă: - în condiţiuni p fontiă d tip iichlt: ò ( V ) d V V ct doac V ( P Î ) V () V" () (oluţi unică); - în condiţiuni p fontiă d tip Numann: ò V ( ÑV ) d V V ct doac P Î n şi

13 Câmpul lctomagntic şi V () V" () + ct oluţia t unică cu apoximaţia uni contant 6 oluţia cuaţii Poion a potnţialului lctotatic conidă câmpul lctotatic xitnt înt-un mdiu omogn p domnii linia izotop şi făă polaiza lctică pmanntă Ecuaţia Poion a potnţialului lctotatic V înt-un punct dint-un atfl d domniu a fot tabilită la 6 şi a foma: V (4) Intgaa acti cuaţii în condiţii d limită şi d fontiă dat şi cunocând ditibuţia acinilo lctic în întg domniul conidat fac foloind fomula a II-a a lui Gn (A4) aând foma: ( U V V U ) d (U V V U )d (4) în ca U şi V unt funcţii cala d paţiu ultima pzntând potnţialul lctotatic Pntu funcţia U pun umătoal condiţii: - ă fi o funcţi numai d ditanţa d la punctul P în ca dtmină potnţialul la lmntl d olum d şi d upafaţă d ; U U( ) (Fig 5) - ă aibă laplacianul nul în oic punct al domniului: Ñ U Foma funcţii U ( ) dtmină galând cu zo laplacianul i Rzultă umătoaa fomă a acti funcţii: U (4) Înlocuind laţia (4) şi condiţia impuă Ñ U în (4) obţin: d òñ ( ÑV - V Ñ )d - ò (44) Conct în cl c umază n fim la intgaa cuaţii (4) în apot cu potnţialul lctotatic V din punctul P al câmpului dint-un domniu dlimitat d upafaţa d fontiă podu d copul dilctic omogn C încăcat cu acini lctic adăat olumtic şi upficial aând dnităţil copul mtalic C încăcat cu acini lctic adăat upficial cu dnitata lctic d polaiza upficial (Fig 5) pcti şi d und apa şi acini

14 4 Lgi d ta al câmpului lctic Ecuaţii Fomula a II-a a lui Gn ptind continuitata clo două funcţii U şi V şi a diatlo lo a contată că în domniul d olum funcţia U din infinită în punctul P (und ) ca c ncită izolaa actui punct cu o fă mică cu cntul în P şi d upafaţă p (Fig 6 a) amna funcţia V a diatl dicontinu în punctl upafţlo şi 4 und xită acini lctic upficial Et nca ca act upafţ ă fi liminat din domniu adică ă fi conidat ca upafţ d limită ci intgala upafaţă din mmbul tând al laţii (44) fctuază pntu upafţl p pntu ultiml două upafţ intgala fctuază d două oi adică pntu două upafţ infinit apopiat d o pat şi d alta a ficăia cu copul d a fi xclu din domniu (Fig 6 b c) Calculăm în continua act intgal Pntu upafaţa c dlimitază domniul am: cu obaţia că V ( V V ) d ( n V V n ) d ( V ) d (45) n n acă upafaţa t xtină la infinit zultă: V V )d ( (46) doac copuil încăcat cu acini lctic ocupă un domniu finit şi când V V tind la zo ca şi ( ) ca ia d cşt ca ci măima d n n intgat tind la zo ca Voul n t nomal la upafaţa ointat p xtioul i Pntu upafaţa P (Fig 6 a) obţin: V V ( ÑV - V Ñ )d d - V d ( ) md 4p - Vmd 4p ò ò ò (47) n n p p p und Fig 5 omniul d xitnţă al câmpului lctotatic V ( ) n md şi V m d pzintă aloil mdii al lui P Am aut în d şi umătoal laţii: V n pcti V p upafaţa

15 Câmpul lctomagntic 5 V u n Ñ V n Ñ - d ò d ò W 4 p La limită când V funcţiil ( ) md n şi V md tind p aloil lo finit din punctul P aşa că lim ò ( ÑV - V Ñ ) d - 4pV (48) P Pntu upafaţa (Fig 96 b) zultă: V n V n ( V V ) d [ ( + ) + V ( n + n )] d di E d und am aut în d că + n şi n + ' p d u Fig 6 upafţ d limită V V ( E + E ) d i E n n n n Pntu upafaţa pzntată in figua 6 c obţin în mod analog: + ( ÑV - V Ñ ) d d ò ò (49) Intoducând zultatl d mai u în laţia (47) şi xplicitând funcţia V ajung la umătoaa fomă a oluţii cuaţii lui Poion: + + V d + π π d (5 4 4

16 6 Lgi d ta al câmpului lctic Ecuaţii Acată laţi a oluţii cuaţii lui Poion am ci-o aând în d că pntu un mdiu dilctic omogn izotop şi făă polaiza pmanntă cu pmitiitata am + mtalic şi un atfl d mdiu poat ci in laţia (5) obţin: ia la upafaţa d paaţi dint un cop + (Aplic ) ( + ) d ( + ) d E V u + π π u (5) 4 4 Mnţionăm că intgala d olum din laţiil (5) pcti (5) fctuază pntu acl domnii und xită acini lctic olumtic ia intgala d upafaţă fctuză pntu toat acl upafţ und xită acini lctic upficial acă oigina pntu ctoii d poziţi alg ca în figua 7 atunci oluţia cuaţii Poion a umătoa fomă: und R - V( ) d + d ( ) + ( ) ( ) + ( ) 4 p R 4 p R ò ò (5) Fig 7 Oigina ctoilo d poziţi 7 Ecuaţia d odinul doi a intnităţii câmpului lctotatic conida cuatia lui Poion a potnţialului lctotatic (4) şi calculaza gadintul actia adică g a d ( V ) - g a d În mmbul tâng al aci cuaţii inază opaţiil d dia şi obţin: gad ( V ) ( gad V ) E und E gad V Rzultă cuaţia ctoială d tip Poion a intnităţii câmpului lctotatic E g a d (5)

17 Câmpul lctomagntic 7 Pntu au ct obţin cuaţia ctoială d tip Laplac E (54) Eidnt fica dint cuaţiil ctoial (5) au (54) poat tanfoma în ti cuaţii cala d tip Poion pcti d tip Laplac Găia oluţii E () a cuaţiilo ctoial mnţionat ncită cunoaşta condiţiilo d tip iichlt au d tip Numan p fontia domniului ca unt mai puţin obişnuit pntu intnitata câmpului lctotatic 8 Toma uppoziţii câmpuilo lctotatic În mdii linia izotop şi făă polaiza lctică pmanntă t alabilă umătoaa tomă a uppoziţii: Câmpul lctotati podud două au mai mult patiţii d acini lctic t gal cu uma câmpuilo podu d fica patiţi în pat Înumaa fac gomtic pntu intnităţil câmpuilo (măimi ctoial) şi fac algbic pntu potnţial (măimi cala) Acată tomă t o concinţă a faptului că în mdii linia cuaţiil câmpului unt linia Pntu jutificaa tomi conidă câmpul lctotatic podu înt-un mdiu omogn/nomogn d căt acini lctic cu patiţi olumtică şi upficială apaţinând uno copui dint-un domniu finit Potnţialul întu-un punct al câmpului t: V d + π d 4 4π (55) Pntu o altă patiţi şi a acinilo p aclaşi copui potnţialul în aclaşi punct t: V ò d + d 4p ò 4p (56) Şi acum uma clo două patiţii al acinilo poduc potnţialul: + + V d + d obă că V V + V ò 4p ò 4p (57) 9 Toma facţii liniilo câmpului lctotatic Fi upafaţa d paaţi dint două mdii dilctic linia izotop şi făă polaiza lctică pmanntă aând pmitiităţil lctic ĺ pcti ĺ în

18 8 Lgi d ta al câmpului lctic Ecuaţii ca xită un câmp lctic tatic/taţiona cat d u xtioa P upafaţă nu xită acini lctic adăat ( ) La tca pin upafaţă liniil câmpului lctic ufă o facţi ca xplică după cum umază Confom lgii fluxului lctic -au obţinut laţiil (9) şi () în ca intoduc Rzultă că componntl nomal la upafaţă al inducţii lctic în două punct foat apopiat ituat d o pat şi d alta a upafţi conă (unt continui) (Fig 8 a): (58) n n P d altă pat confom cu toma potnţialului lctic (l4) componntl tangnţial al intnităţii câmpului lctic conă (unt continui) (Fig 8 b): E t E t au t t (59) Fig 8 chiţă xplicatiă pntu toma facţii liniilo câmpului lctic Unghiuil dint nomala la upafaţă şi dicţiil ctoilo ( au E ) pcti ( au E ) unt notat cu α şi α pntu ca t gα t / n Et / n t gα t / n E t / n şi ţinând ama d laţiil () şi (4) zultă: t g t g α α (6) Acată laţi t dnumită toma facţii liniilo câmpului lctotatic P R O B L E M E (P)

19 Câmpul lctomagntic 9 P O fă dilctică d ază a aşzată în id (au a) t încăcată unifom în olum cu acina lctică adăată d dnitat Ştiind că pmitiitata lctică latiă a matialului fi t ct c: a) E şi P în punct din intioul şi din xtioul fi dilctic; upafaţa i b) nităţil acinilo lctic d polaiza din olumul fi ' ' pcti d d p R: a) Ei nt i nt P i nt ( - ) a a E P xt xt xt - a - ( - ) ' ' ' b) P O coajă dilctică fică d az intioaă a şi xtioaă b ituată în id a pmitiitata lctică aiabilă în funcţi d ază confom laţii ituată acina lctică punctifomă Q ă calculz: () In cntul cojii t a) E şi P în punct din cl ti zon; b) difnţa d potnţial dint upafaţa intioaă şi ca xtioaă a cojii; c) dnităţil acinilo lctic d polaiza Q Q Q R: a) E E E ; E / 4 p R 4 p b 4 p Q Q b ; P P P ( - ) E ; 4π 4π Q a b b Q Q b ) V V ln ; c) a - ( - ) b ; 4π a a 4π a b 4 p b P conidă ituată în id o ţaă izolantă d az a şi b (a < b) aând pmitiitata lctică latiă ct şi fiind încăcată unifom în olum cu acina lctică d dnitat ă calculz dnităţil acinilo lctic d polaiza conţinut d ţaă ( b - a ) R : a b ( - ) - ( - ) b P4 Amătuil unui condnato lctic plan aând upafaţa unt lgat la o uă cu tniuna U paţiul dint amătui t ocupat d două tatui dilctic cu goimil d şi d aând pmitiităţil x ( x) ( - ) ; d x und x măoaă d la pima amătuă ( d ) ă calculz: a) capacitata lctică a condnatoului; b) E şi P în punct din cl două tatui dilctic b

20 Lgi d ta al câmpului lctic Ecuaţii C U C U R: a) C ; b) E i E i ; d ln + d (x) E / (x) E / ; P [ (x) - ] E P P5 ă zol cinţl pcificat la poblma P conidând că mdiul dilctic dint amătuil condatoului plan t omogn da nlinia: ( E ) ( E ) U R: a) C ; b) E i ( E )E P [ ( E ) - ] E d d P6 ă tabilacă cuaţia d odinal doi a ctoului inducţii lctic al câmpului lctotatic dint-un mdiu dilctic omogn şi linia ca conţin în olum acini lctic adăat cu dnitata R : g a d