Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare"

Transcript

1 Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba greacă, topos" înseamnă loc") sau apropierea" unui punct de o mulţime dată, clasificând de asemenea submulţimile lui R cu un număr infinit de elemente după cum aceste elemente pot fi numărate sau nu. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Fie o mulţime A R. Vom spune că a R se numeşte punct de acumulare al mulţimii A dacă orice vecinătate V a lui a conţine puncte ale lui A diferite de a, adică V V(a), (V\ {a}) A =. Exemple. 1. a = 0 este punct de acumulare al mulţimii A = (0, 1) deoarece orice vecinătate V a lui 0 conţine un interval I = ( ε, ε), ε > 0, deci şi puncte ale lui (0, 1) diferite de 0. Altfel spus, (V\ {0}) A (0, ε) =. 122

2 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL a = 3 nu este punct de acumulare al mulţimii A = (0, 1) {3} deoarece vecinătatea V = (2, 4) a lui 3 nu conţine puncte ale lui A diferite de 3. Altfel spus, (V\ {3}) A =. 3. a = + este punct de acumulare al mulţimii A = N deoarece orice vecinătate V a lui + conţine un interval I = (M, + ], M > 0, deci şi puncte ale lui N diferite de +. Altfel spus, (V\ {+ }) A = {[M] + 1, [M] + 2,...} =. Din exemplele de mai sus se deduc câteva consecinţe privind localizarea punctelor de acumulare. Mai întâi, un punct de acumulare al unei mulţimi A poate să nu fie element al acelei mulţimi (exemplul 1). De asemenea, nu orice element al unei mulţimi A este neapărat punct de acumulare al acelei mulţimi (exemplul 2). Din cel de-al treilea exemplu, se poate observa că punctele de acumulare ale unei mulţimi pot fi şi la infinit. Mulţimea tuturor punctelor de acumulare ale mulţimii A se numeşte atunci mulţimea derivată a lui A şi se notează A, în vreme ce un element al unei mulţimi A care nu este punct de acumulare al acelei mulţimi se numeşte punct izolat al lui A. De aici se poate observa că a A este punct izolat al lui A dacă există o vecinătate V a lui A care nu conţine puncte din A. Exemple. 1. Dacă A = (0, 3) {5}, atunci A = [0, 3], iar 5 este punct izolat al lui A.

3 124Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R (rezumat) 2. Dacă A = {0, 1, 2}, atunci A =, toate elementele lui A fiind puncte izolate. 3. Dacă A = 1, 2 1, 1 3,..., n 1,..., atunci A = {0}, toate elementele lui A fiind puncte izolate. Alegând în mod potrivit în definiţia unui punct de acumulare vecinătăţi V din ce în ce mai mici se obţin puncte ale lui A diferite de a care sunt din ce în ce mai aproape de a. În acest mod se poate obţine următoarea caracterizare echivalentă a unui punct de acumulare cu ajutorul şirurilor, exprimând faptul că o mulţime care are un punct de acumulare a conţine elemente oricât de apropiate" de a şi diferite de a. Teorema 4.1. Fie A R. Atunci a R este punct de acumulare al lui A dacă şi numai dacă există un şir {a n } n 0 de elemente ale lui A, diferite de a, cu limita a. Din cele de mai sus, observând că şirul {a n } n 0 poate fi ales cu termenii diferiţi între ei, deducem că o mulţime A care are un punct de acumulare a este în mod necesar infinită. În particular, o mulţime finită nu are puncte de acumulare, toate elementele sale fiind deci puncte izolate. De asemenea, din aceeaşi observaţie se obţine în mod imediat următorul rezultat. Corolar Un punct a R este punct de acumulare al unei mulţimi A R dacă şi numai dacă orice vecinătate V V(a) conţine o infinitate de elemente ale lui A. Pot fi demonstrate cu ajutorul celor de mai sus următoarele proprietăţi de calcul. Teorema 4.2. Fie A, B R. Au loc următoarele proprietăţi. 1. Dacă A B, atunci A B. 2. (A B) = A B. 3. (A B) A B. Faptul că (A B) şi A B nu sunt neapărat egale se poate observa considerând A = (0, 1) şi B = (1, 2). Atunci A = [0, 1] şi B = [1, 2], deci A B = {1}. Totuşi, A B =, deci (A B) =, iar (A B) = A B.

4 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL Puncte aderente Fie o mulţime A R. Vom spune că a R se numeşte punct aderent al mulţimii A dacă orice vecinătate V a lui a conţine puncte ale lui A, adică V V(a), V A =. Cum definiţia unui punct aderent este mai puţin restrictivă decat definiţia unui punct de acumulare (este necesar ca V A =, în loc de (V\ {a}) A =, când cea din urmă relaţie este satisfăcută, fiind satisfăcută în mod evident şi cea dintâi), urmează că orice punct de acumulare al unei mulţimi A este în acelaşi timp şi punct aderent al acelei mulţimi. De asemenea, deoarece a V pentru orice V V(a), urmează că a V A pentru orice a A şi orice V V(a), deci V A =. De aici, orice a A este punct aderent al lui A. Mulţimea tuturor punctelor aderente ale mulţimii A se numeşte atunci aderenţa sau închiderea mulţimii A şi se notează A. Din cele de mai sus se observă că A A şi A A. În mod analog Teoremei 4.1 se poate demonstra următorul rezultat, care afirmă faptul că A conţine, pe lângă elementele din A, şi limitele de şiruri cu termeni din A. Teorema 4.3. Fie A R. Atunci a R este punct aderent al lui A dacă şi numai dacă există un şir {a n } n 0 de elemente ale lui A, cu limita a. Exemple. 1. Dacă A = {0, 1,..., n}, atunci A = A. 2. Dacă A = (0, 1), atunci A = [0, 1]. 3. Dacă A = Q, atunci A = R, deoarece orice număr real este limita unui şir de numere raţionale, + este limita şirului (x n ) n 0 : x n = n Q, iar este limita şirului (x n ) n 0 : x n = n Q. Cu ajutorul celor de mai sus se pot demonstra următoarele proprietăţi de calcul.

5 126Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R (rezumat) Teorema 4.4. Fie A, B R. Au loc următoarele proprietăţi. 1. A = A A. 2. Dacă A B, atunci A B. 3. A B = A B. 4. A B A B. Faptul că A B şi A B nu sunt neapărat egale se poate observa considerând A = (0, 1) şi B = (1, 2). Atunci A = [0, 1], B = [1, 2], deci A B = {1}. Totuşi, A B =, deci A B =, iar A B = A B Puncte interioare Fie o mulţime A R. Vom spune că a R se numeşte punct interior al mulţimii A dacă A este vecinătate pentru a. Deoarece A este vecinătate pentru a, rezultă că a A, adică un punct interior al unei mulţimi aparţine în mod necesar acelei mulţimi. Conform definiţiei vecinătăţii unui punct, urmează că a R este punct interior al lui A dacă există (c, d) astfel ca a (c, d) A, respectiv + este punct interior lui A dacă există (c, ] astfel ca + (c, ] A, iar este punct interior lui A dacă există [, d) astfel ca [, d) A. De asemenea, dacă A nu conţine intervale, atunci A nu are puncte interioare, neputând fi vecinătate pentru niciun punct al său. În cele ce urmează, prin interval deschis I" vom înţelege un interval de tip (c, d), (c, ] sau [, d), potrivit cu situaţia în care este utilizat. Exemple. 1. a = 1 2 este punct interior al mulţimii A = [0, 1) 2 deoarece a (0, 1) A, dar a = 0 şi a = 2 nu sunt puncte interioare ale lui A, întrucât A nu conţine intervale deschise în care se află 0 şi 2, neconţinând nici numere negative, nici numere mai mari ca A = Q nu are puncte interioare deoarece nu conţine intervale. Mulţimea tuturor punctelor interioare ale mulţimii A se numeşte atunci interiorul mulţimii A şi se notează A.

6 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 127 Teorema 4.5. Fie A, B R. Au loc următoarele proprietăţi. 1. A A. 2. Dacă A B, atunci A B Å B = A B. Å B A B. Faptul că Å B şi A B nu sunt neapărat egale se poate observa considerând A = (0, 1) şi B = [1, 2). Atunci A = (0, 1), B = (1, 2), deci A B = (0, 1) (1, 2). Totuşi, A B = (0, 2), deci A B = (0, 2), iar Å B = A B. Un alt tip de legătură între aderenţa şi interiorul unei mulţimi, exprimat cu ajutorul mulţimilor complementare, este precizat în teorema următoare. În cele ce urmează, pentru o mulţime M dată, prin cm se va înţelege complementara mulţimii M în raport cu R, adică mulţimea R\M. De asemenea, a R se va numi punct exterior al mulţimii M dacă cm este vecinătate pentru a. Teorema 4.6. Fie A R. Au loc egalităţile 1. ca = ca; 2. c A = ca. Corolar Fie B R. Au loc egalităţile 1. B = c Ä cb ä ; 2. B = c Ä cb ä. Demonstraţie. Demonstraţiile celor două egalităţi se obţin în mod imediat punând B = ca în Teorema 4.6, ţinând seama că c(cb) = B Puncte de frontieră Fie A R. Vom spune că a R se numeşte punct de frontieră al lui A dacă a A ca.

7 128Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R (rezumat) Din definiţia de mai sus se observă că un punct a R este punct de frontieră al lui A dacă este limita atât a unui şir de elemente din A cât şi a unui şir de elemente din ca, adică există două şiruri (a n ) n 0 A şi (b n ) n 0 ca astfel ca a n a şi b n a pentru n. Mulţimea tuturor punctelor de frontieră ale lui A se numeşte atunci frontiera lui A şi se notează Fr A sau A. Are loc de asemenea următoarea proprietate de calcul, utilă în determinarea frontierei unei mulţimi. Teorema 4.7. Fie A R. Atunci Fr A = A\ A. Demonstraţie. Au loc relaţiile Fr A = A ca = A c A = A\ A, de unde concluzia. Exemple. 1. Dacă A = (0, 1), atunci A = [0, 1], {0, 1}. 2. Dacă A = {1, 2,..., n}, atunci A = A, intervale), deci Fr A = A. 3. Dacă A = Q, atunci A = R, A =, deci Fr A = R. A = (0, 1), deci Fr A = A = (deoarece A nu conţine Mulţimi deschise, mulţimi închise, mulţimi compacte Mulţimi deschise Fie A R. Vom spune că A este deschisă dacă este mulţimea vidă sau este vecinătate pentru orice punct al său. Exemple. 1. Dacă A = (0, 1), atunci ea este deschisă, fiind vecinătate pentru orice a (0, 1). 2. Dacă A = [0, 2), atunci A nu este deschisă, întrucât ea nu este vecinătate pentru a = 0.

8 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL Dacă A = N, atunci A nu este deschisă, întrucât ea nu este vecinătate pentru niciun punct al său, neconţinând intervale. 4. Dacă A =, ea este deschisă prin definiţie. Dacă A = R, atunci pentru orice a R, a (a 1, a + 1) R, deci R este vecinătate pentru a. Cum a este arbitrar, R este deschisă. Dacă A = R, la observaţia anterioară se adaugă faptul că + (0, ] R, iar [, 0) R, deci R este de asemenea deschisă. Are loc următoarea teoremă de caracterizare a mulţimilor deschise prin intermediul interiorului acestora. Teorema 4.8. Fie A R. Atunci A este deschisă dacă şi numai dacă A = A. În particular, din rezultatul de mai sus se obţine uşor faptul că I 1 = (c, d), I 2 = (c, + ), I 3 = (c, + ], I 4 = [, d] şi I 5 = (, d) sunt mulţimi deschise pentru orice c, d R. Se va observa în cele ce urmează că interiorul unei mulţimi A este mulţime deschisă şi este cea mai mare mulţime deschisă inclusă în A, în sensul că oricare altă mulţime deschisă inclusă în A este conţinută în A. Teorema 4.9. Fie A R. Atunci A este o mulţime deschisă, iar dacă B A este o altă mulţime deschisă, atunci B A. Operaţii cu mulţimi deschise Teorema Au loc următoarele proprietăţi. 1. Orice reuniune de mulţimi deschise este mulţime deschisă. 2. Orice intersecţie finită de mulţimi deschise este mulţime deschisă. A = A. Mai mult, Se poate observa că o intersecţie infinită de mulţimi deschise nu este neapărat mulţime deschisă. În acest sens, să considerăm (A i ) i 1 : A i = ( 1 i, 1 i ). Atunci A i este deschisă pentru orice i 1, dar A i = {0}, care nu este mulţime deschisă. i 1

9 130Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R (rezumat) Exemplu. A = (0, 1) (2, 4) este deschisă, ca reuniune a mulţimilor deschise (0, 1) şi (2, 4). Mulţimi închise Fie A R. Vom spune că A este închisă dacă ca este deschisă. Se poate observa imediat că are loc următoarea teoremă de caracterizare a mulţimilor închise prin intermediul aderenţei acestora. Teorema Fie A R. Atunci A este închisă dacă şi numai dacă A = A. Demonstraţie. Au loc următoarele echivalenţe A închisă ca deschisă ca = ca ca = ca A = A. Din teorema de mai sus şi din teorema de caracterizare a mulţimilor închise cu ajutorul limitelor de şiruri (Teorema 4.3) se poate observa că A R este închisă dacă si numai dacă ea conţine limitele tuturor şirurilor cu elemente din A. Exemple. 1. A = [0, 1] este mulţime închisă, deoarece A = A. Altfel, ca = [, 0) (0, ], care este mulţime deschisă, fiind reuniunea mulţimilor deschise [, 0) şi (0, ]. 2. A = R nu este mulţime închisă, deoarece A = R = A. Altfel, A nu conţine +, care este limita şirului (x n ) n 0 : x n = n cu elemente din A. 3. A = (, 0] nu este mulţime închisă, deoarece ca = { } (0, ], care nu este mulţime deschisă, întrucât nu este vecinătate a lui +. Altfel, A = [, 0] = A, sau A nu conţine, care este limita şirului (x n ) n 0 : x n = n cu elemente din A. 4. este mulţime închisă deoarece c = R, care este mulţime deschisă. De asemenea, R este mulţime închisă, deoarece cr =, care este mulţime deschisă. Din exemplele de mai sus se poate observa că şi R sunt atât mulţimi deschise, cât şi închise. Se poate demonstra că aceste mulţimi sunt singurele care au simultan cele două proprietăţi.

10 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 131 Prin analogie cu Teorema 4.9, se va observa că aderenţa unei mulţimi date A este mulţime închisă şi este cea mai mică mulţime închisă care include pe A, în sensul că oricare altă mulţime închisă care include pe A, conţine şi A. Teorema Fie A R. Atunci A este o mulţime închisă, iar A = A. Mai mult, dacă B A este o altă mulţime închisă, atunci B A. Operaţii cu mulţimi închise Teorema Au loc următoarele proprietăţi. 1. Orice reuniune finită de mulţimi închise este mulţime închisă. 2. Orice intersecţie de mulţimi închise este mulţime închisă. Se poate observa că o reuniune infinită de mulţimi închise nu este neapărat mulţime închisă. În acest sens, să considerăm (A i ) i 0 : A i = [ i, i]. Atunci A i este închisă pentru orice i 0, dar A i = R, care nu este mulţime închisă. i 0 Exemplu. A = [ 1, 2] [4, 5] este închisă, ca reuniune a mulţimilor închise [ 1, 2] şi [4, 5]. Mulţimi compacte Fie A R. Vom spune că A este compactă dacă este închisă şi mărginită. Exemple. 1. A = [0, 1] este compactă, fiind închisă şi mărginită. 2. A = [0, 2] [4, 6] este compactă, fiind închisă (ca reuniune finită de mulţimi închise) şi mărginită. 3. A = [0, ] nu este compactă, nefiind mărginită. 4. A = 1, 1 2, 1 3,..., 1 n,... nu este compactă, nefiind închisă, deoarece limita şirului 1, 1 2, 1 3,..., n 1,... este 0, element neconţinut în mulţimea A. Operaţii cu mulţimi compacte

11 132Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R (rezumat) Teorema Au loc următoarele proprietăţi. 1. Orice reuniune finită de mulţimi compacte este mulţime compactă. 2. Orice intersecţie de mulţimi compacte este mulţime compactă. Teorema Fie A R. Atunci A este compactă dacă şi numai dacă din orice şir de elemente din A se poate extrage un subşir convergent la un element din A. Mulţimi dense Fie A, B R. Vom spune că A este densă în B dacă orice element al lui B este limita unui şir cu elemente din A, adică B A. Dacă B = R, adică orice element al lui R este limita unui şir cu elemente din A, atunci A se numeşte densă. Din definiţia de mai sus, se observă că dacă A este densă, atunci A = R. Într-adevăr, conform definiţiei, R A, iar cum A R, urmează că A = R. De asemenea, pentru a se demonstra că A este densă este suficient să se arate că A R. În acest sens, dacă A R, atunci A R, iar cum A = A, urmează că A R. Exemple. 1. Q este densă, deoarece orice număr real este limita unui şir de numere raţionale. 2. R\Q este de asemenea densă, deoarece orice număr real este limita unui şir de numere iraţionale. Altfel, R\Q = R\(Q {, + }) = c(q {, + }) ˇ = cq {, + } = c = R, ˇ deci R\Q este densă. S-a folosit faptul că Q {, + } =, deoarece Q {, + } nu conţine intervale. 3. Q [0, 1] este densă în [0, 1], deoarece Q [0, 1] = Q [0, 1] = R [0, 1] = [0, 1].

12 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL A = 1, 1 2, 1 3,..., n 1,... nu este densă în [0, 1], deoarece A = A {0} [0, 1]. Denumirea de mulţime densă este justificată de următoarea teoremă, care afirmă faptul că pentru oricare două numere reale date, o mulţime densă conţine măcar un element situat între acestea. Teorema Fie A R. Atunci A este densă dacă şi numai dacă pentru orice x, y R, x < y, există a A astfel ca x < a < y. Exemple. 1. Z nu este densă, deoarece nu conţine niciun punct situat între 0 şi (Q (, 1]) (Q [1, )) nu este densă, deoarece nu conţine niciun punct situat între 1 şi Proprietăţi de numărare ale lui R Numere cardinale Fie A, B R. Vom spune că A, B au acelaşi cardinal şi vom nota A B dacă există o funcţie bijectivă f : A B. Se observă că relaţia " astfel definită între mulţimi este relaţie de echivalenţă, întrucât este 1. reflexivă, deoarece A A, cu f : A A, f (x) = x. 2. simetrică, deoarece dacă A B, cu f : A B bijectivă, atunci şi B A, cu f 1 : B A bijectivă. 3. tranzitivă, deoarece dacă A B, cu f : A B bijectivă, iar B C, cu g : B C bijectivă, atunci A C, cu g f : A C bijectivă. Mulţimi finite O mulţime A va fi numită finită dacă este mulţimea vidă (şi atunci are cardinal 0, sau are 0 elemente) sau are acelaşi cardinal cu A n = {1, 2,..., n} pentru un n N oarecare (şi atunci se spune că are cardinal n, sau are n elemente).

13 134Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R (rezumat) Mulţimi numărabile Fie A R. Vom spune că A este numărabilă dacă există o funcţie bijectivă f : N A. În această situaţie, cardinalul mulţimii A se va nota cu ℵ 0 (alef zero). O mulţime care nu este numărabilă se va numi nenumărabilă. Dacă notăm f (n) = a n, n N, atunci se observă că A este numărabilă dacă elementele sale pot fi puse sub forma unui şir cu termeni distincţi, anume A = {a 0, a 1,..., a n,...}. O mulţime A se va numi cel mult numărabilă dacă este finită sau numărabilă. Se observă atunci că A este cel mult numărabilă dacă şi numai dacă există o funcţie injectivă f : A N. Exemple. 1. A = N este numărabilă. În acest caz, f : N N, f (n) = n este funcţia căutată. Altfel, N = {0, 1, 2,...}, elementele sale putând fi puse sub forma unui şir cu termeni distincţi. 2. A = Z este numărabilă, deoarece Z = {0, 1, 1, 2, 2,...}, elementele sale putând fi puse sub forma unui şir cu termeni distincţi. Altfel, este bijectivă. f : N Z, f (n) = n 2 dacă n este par n+1 2 dacă n este impar. Din Exemplul 2, în care s-a construit o funcţie bijectivă f : N Z, se observă că o mulţime infinită poate avea acelaşi cardinal ca şi o submulţime proprie a sa. De asemenea, f 1 : R ( 1, 1), f 1 (x) = x 1 + x f 2 : R (0, ), f 2 (x) = 1 1+x, dacă x [0, ) 1 x, dacă x (, 0) sunt bijective, deci R, (0, ) şi ( 1, 1) au acelaşi cardinal. De fapt, toate intervalele deschise (a, b) au acelaşi cardinal, întrucât au acelaşi cardinal cu ( 1, 1), acest lucru observându-se din faptul că f 3 : (a, b) ( 1, 1), f 3 (x) = 2 b a x a + b b a

14 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 135 este bijectivă. Similar, intervalele (a, ) au acelaşi cardinal cu (0, ) întrucât f 4 : (a, ) (0, ), f 4 (x) = x a este bijectivă, iar intervalele (, b) au acelaşi cardinal cu (, 0) întrucât f 5 : (, b) (, 0), f 5 (x) = x b este bijectivă. Cum (0, ) şi (, 0) au acelaşi cardinal, întrucât f 6 : (0, ) (, 0), f 6 (x) = x este bijectivă, urmează că mulţimile R, (a, ), (, b), (a, b) au acelaşi cardinal pentru orice a, b R. Vom demonstra ulterior că aceste mulţimi nu sunt numărabile. Operaţii cu mulţimi numărabile Se poate observa că o reuniune finită de mulţimi numărabile este numărabilă. În acest sens, fie (A i ) 1 i n o familie finită de mulţimi numărabile. Atunci A i poate fi pusă sub forma unui şir cu termeni distincţi, A i = a i 0, ai 1, ai 2,... pentru orice 1 i n. De aici, n A i = a 1 0, a 2 0,..., a0, n a 1 1, a 2 1,... a1 n,.... i=1 n Eliminând eventualele repetări, elementele mulţimii A i pot fi scrise sub forma i=1 unui şir cu termeni distincţi, iar n A i este numărabilă. Cu un raţionament asemănător, se poate demonstra că dacă F este finită iar A este numărabilă, atunci A i=1 F este numărabilă. De asemenea, dacă A este numărabilă, atunci orice submulţime a sa este finită sau numărabilă. Vom studia acum situaţia în care se face reuniunea unei familii numărabile de mulţimi numărabile. Teorema Fie (A i ) i N o familie de mulţimi numărabile. Atunci numărabilă. i N A i este Cu ajutorul acestei teoreme se poate demonstra că mulţimea numerelor raţionale este numărabilă.

15 136Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R (rezumat) Teorema Q este numărabilă Mulţimi de puterea continuului Vom demonstra în cele ce urmează că intervalul [0, 1] are mai multe elemente" decât Q, proprietate care nu este evidentă intuitiv, în sensul că elementele lui Q se pot număra, iar elementele lui [0, 1] nu, deşi este evident că ambele mulţimi au un număr infinit de elemente. Teorema Intervalul [0, 1] nu este o mulţime numărabilă. Demonstraţie. Presupunem prin reducere la absurd că [0, 1] este o mulţime numărabilă. Atunci [0, 1] = {x 0, x 1, x 2,..., x n,...}, intervalul [0, 1] putându-se pune sub forma unui şir cu termeni distincţi. Notâm I 0 = [0, 1] şi împărţim acest interval în subintervalele [0, 1 3 ], [ 1 3, 2 3 ], [ 2 3, 1] de lungimi egale; fie I 1 un interval dintre acestea care nu-l conţine pe x 0. Împărţim acum I 1 în trei subintervale de lungimi egale şi fie I 2 un interval dintre acestea care nu-l conţine pe x 1. Procedând în mod inductiv, obţinem un şir de intervale (I n ) n 0, I n = [a n, b n ], b n a n = 1 3 n, astfel ca I 0 I 1 I 2... I n... şi I n nu conţine x 0, x 1,... x n 1. Şirul de intervale (I n ) n 0 este descrescător, cu lungimea tinzând la 0, intersecţia tuturor intervalelor fiind un punct. Urmează că I n = {x}, iar cum x [0, 1], x = x n0 pentru n 0 N oarecare, n 0 ceea ce este o contradicţie, deoarece atunci x I n0 +1, deci x I n. Vom nota cardinalul intervalului [0, 1] cu c (puterea continuului), înţelegând că o mulţime cu cardinal c are mai multe elemente" decât o mulţime numărabilă, de cardinal ℵ 0. Cum f : [0, 1] (0, 1), f (x) = n 0 1 2, dacă x = 0, 1 n+2, dacă x = n 1, n N x, în rest

16 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 137 este bijectivă, urmează că [0, 1] şi (0, 1) au acelaşi cardinal. Cu ajutorul unei construcţii similare se poate demonstra că [0, 1] şi [0, 1) au acelaşi cardinal. Din consideraţiile enunţate anterior se deduce că atât mulţimea R cât şi toate intervalele [a, b], (a, b), (, b], (, b), [a, ), (a, ) au acelaşi cardinal c. Din cele ce urmează se va observa că numerele iraţionale, fiind în număr mai mare decât cele raţionale, sunt responsabile" pentru faptul că mulţimea numerelor reale nu este numărabilă. Corolar Mulţimea I a numerelor iraţionale nu este numărabilă. Demonstraţie. Presupunem prin reducere la absurd că I este numărabilă. Atunci, deoarece R = Q I, urmează că R este numărabilă, ca reuniunea unui număr finit de mulţimi numărabile, contradicţie. Aplicaţii 4.1. Precizaţi interiorul următoarelor mulţimi: A 1 = (0, 1) [2, 3]; A 2 = [0, 2) (4, 5] {6}; A 3 = [2, ); A 4 = [, 5]; A 5 = Q [1, 2]; A 6 = (R\Q) [2, 3]; A 7 = {x R; 4 x < 8}; A 8 = R ; A 9 = {0, 1, 2,..., 10} Precizaţi mulţimea derivată şi aderenţa următoarelor mulţimi: A 1 = (0, 1) (1, 2); A 2 = (1, 2) (3, 4) {7}; A 3 = N; A 4 = (2, ); A 5 = Q ( 1, 1); A 6 = (R\Q) (0, 2); A 7 = 0, 1 2, 3 1,..., n n+1,... ; A 8 = 2, 3 2, 4 3,..., n+1 n, Fie A = [0, 1) (1, 2] {6}. Determinaţi A, A, A, Fr A. Este A deschisă? Dar închisă sau compactă? 4.4. Demonstraţi că A = i Demonstraţi că A = 10 i=1 Ä 2i+1 i+1, 2i+3 ä i+1 este mulţime deschisă. î 2n+1 n+1, 3n+5 ó n+2 este mulţime închisă Precizaţi dacă următoarele mulţimi sunt dense în mulţimile precizate: A 1 = Z în B 1 = R; A 2 = N în B 2 = Z; A 3 = [0, 1] în B 3 = [ 1, 2]; A 4 = Q în B 4 = R; A 5 = {0, 1, 2,..., 10} în B 5 = [0, 10]; A 6 = 0, 1 2, 1 3,..., n n+1,... în B 6 = [0, 1].

17 138Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R (rezumat) 4.7. Precizaţi care dintre următoarele mulţimi sunt numărabile: A 1 = [0, 1) (2, 3]; A 2 = 2Z = {x; x = 2k, k Z}; A 3 = N N; A 4 = Q Z; A 5 = R Q; A 6 = R n ; A 7 = Q n.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R 3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Inegalităţi şi limite Convergenţă, monotonie, mărginire Limite remarcabile Limita unei funcţii...

2.3. Inegalităţi şi limite Convergenţă, monotonie, mărginire Limite remarcabile Limita unei funcţii... Cuprins GEOMETRIE 1 Vectori 1 11 Segmente orientate Vectori în plan 1 12 Operaţii cu vectori 3 13 Vectori coliniari 8 14 Vectori de poziţie 10 15 Drepte paralele, concurente Colinearitate 12 16 Produsul

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Rădăcini primitive modulo n

Rădăcini primitive modulo n Universitatea Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Rădăcini primitive modulo n Îndrumător ştiinţific: Prof. Dr. Victor Alexandru 2010 Rezumat Tema lucrarii este studiul radacinilor primitive.

Διαβάστε περισσότερα

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute

Διαβάστε περισσότερα

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai

Διαβάστε περισσότερα

TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1. Bucureşti, 2006

TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1. Bucureşti, 2006 1 TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1 Bucureşti, 2006 2 Profesorului meu NICOLAE RADU 3 PREFAŢĂ Lucrarea se adresează studenţilor din anul I de la facultăţile de matematică şi informatică din universităţi. În

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare

Διαβάστε περισσότερα

Siruri de numere reale

Siruri de numere reale Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

1 Şiruri şi serii numerice Proprietăţi ale şirurilorconvergente... 10

1 Şiruri şi serii numerice Proprietăţi ale şirurilorconvergente... 10 Cuprins 1 Şiruri şi serii numerice 9 1.1 Şiruri numerice în R şi C.... 9 1.2 Proprietăţi ale şirurilorconvergente.... 10 1.3 Şiruri numerice în R 2 şi R 3.... 15 1.4 Serii numerice în R şi C.... 17 1.5

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Teorema de punct fix a lui Banach

Teorema de punct fix a lui Banach CURSUL 8 Teorema de punct fix a lui Banach Teorema de punct fix a lui Banach, cunoscută şi sub denumirea de principiul contracţiilor, este un instrument important în teoria spaţiilor metrice; ea garantează

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

Testul nr. 1. Testul nr. 2

Testul nr. 1. Testul nr. 2 CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1986 Clasa a V-a 1. Este numărul 1+2+3+ +1985 par? 2. Să se afle cel mai mic număr natural care împărțit la 5 dă restul 4, împărțit la 6 dă restul

Διαβάστε περισσότερα

Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Asist. Dr. Oana Captarencu.  otto/pn.html. Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

Numere reale 1.Multimea numerelor reale R, impreuna cu doua operatii notate + si precum si cu o relatie notata

Numere reale 1.Multimea numerelor reale R, impreuna cu doua operatii notate + si precum si cu o relatie notata Numere reale 1.Multimea numerelor reale R, impreuna cu doua operatii notate + si precum si cu o relatie notata are urmatoarele proprietati, oricare ar fi x,y,z din R: 1) R este corp comutativ : a) (x+y)+z=x+(y+z)

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Numere Fibonacci. f n+1 = f n + f n 1. (1) In plus, f 0 = 0 si f 1 = 1. (2)

Numere Fibonacci. f n+1 = f n + f n 1. (1) In plus, f 0 = 0 si f 1 = 1. (2) Numere Fibonacci Problema iepurilor Fie data o pereche de iepuri. Se stie ca fiecare pereche de iepuri produce in fiecare luna o noua pereche de iepuri, care la randul sau devine productiva la varsta de

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a 1. Fiind dat un număr natural nenul n, vom nota prin n! produsul 1 2 3... n (de exemplu, 4! = 1 2 3 4). Determinați numerele naturale

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα