Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
|
|
- Οὐρβανός Νικολάκος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict) crescatoare pe I, daca sensul inegalitatii dintre oricare doua valori ale argumentului se pastreaza pentru valorile functiei. c) functia f este (strict) crescatoare, daca f( x) f( y) f( x) f( y) x y > 0, respectiv 0 x y x y ) a) functia f este (strict) descrescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) > f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict) descrescatoare pe I, daca sensul inegalitatii dintre oricare doua valori ale argumentului se schimba pentru valorile functiei. c) functia f este (strict) crescatoare, daca f( x) f( y) f( x) f( y) x y < 0, respectiv 0. x y x y Fie f : A B si g: B C, atunci g f : A C 3) a) Daca f : A B, g: B C, h: C D h ( g f) = ( h g) f (asociativitatea compunerii functiilor ) 1 1 b) Daca f si g sunt inversabile, atunci ( g f) = f g 1 II Fie f : a) functia f este para daca f(-x)=f(x), x b) functia f este impara daca f(-x)=-f(x), x c) graficul functiei f are axa de simetrie dreapta x=a, daca f(a+x)=f(a-x) sau f(x)=f(a-x) d) graficul functiei f are centrul de simetrie punctual A(a,b) daca f(x)+f(a-x)=b.
2 III Fie f : si T>0 1) functia f este periodica daca f(x+t)=f(x), x ) cel mai mic numar pozitiv T 0 (daca exista) se numeste perioada principala 3) f(x+kt)=f(x), x, k Z IV Fie f : A B a) 1) functia f este injectiva, daca x, y A, x y f( x) f( y) ) functia f este injectiva, daca din f(x)=f(y) x=y 3) functia f este injectiva, daca orice paralela la axa 0x intersecteaza graficul functiei in cel mult un punct 4) functia f este injectiva, daca y B, exista cel mult un x A astfel incat f(x)=y. b) 1) functia f este surjectiva, daca y B, x A, ai.. f( x) = y ) functia f este surjectiva, daca f(a)=b 3) functia f este surjectiva, daca orice paralela la axa 0x, dusa printr-un punct al lui B, intersecteaza graficul functiei in cel putin un punct. 4) functia f este surjectiva, daca ecuatia f(x)=y, are solutii in A pentru orice y din B. c) 1) functia f este bijectiva, daca este injective si surjectiva. ) functia f este bijectiva, daca pentru orice y B, exista un singur x Aaif,.. ( x) = y(ecuatia f(x)=y, are o singura solutie, pentru orice y din B). 3) functia f este bijectiva, daca orice paralela la axa 0x, dusa printr-un punct al lui B, intersecteaza graficul functiei intr-un punct si numai unul. d) 1 A : A A prin 1 ( x A ) = x, x A 1) functia f : A B este inversabila, daca exista o functie g: B A, astfel incat g f =1 A si f g = 1 B, unde functia g este inversa functiei f si se noteaza cu f 1 ) f(x)=y x = f 1 ( y) 3) f este bijectiva f este inversabila. V Fie f : A B si g: B C, doua functii 1) Daca f si g sunt injective atunci g f este injectiva ) Daca f si g sunt surjective, atunci g f este surjectiva. 3) Daca f si g sunt bijective, atunci g f este bijectiva. 4) Daca f si g sunt (strict) crescatoare, atunci g f este (strict) crescatoare.
3 5) Daca f si g sunt (strict) descrescatoare, atunci g f este (strict) Crescatoare 6) Daca f si g sunt monotone, de monotonii diferite, atunci g f este descrescatoare. 7) Daca f este periodica, atunci g f este periodica 8) Daca f este para, atunci g f este para. 9) Daca f si g sunt impare, atunci g f este impara 10) Daca f este impara si g para, atunci g f este para. VI Fie f : A B si g: B C, doua functii a) Daca g f este injectriva, atunci f este injectiva. b) Daca g f este surjectiva, atunci g este surjectiva. c) Daca g f este bijectiva, atunci f este injective si g surjectiva. d) Daca f, g:a B, iar h: B C bijectiva si h f = h g, atunci f=g. VII Fie f : A B si X, Y multimi oarecare a) Functia f este injectiva, daca si numai daca oricare ar fi functiile u, v:x A, din f u = f v u = v b) Functia f este surjectiva, daca si numai daca oricare ar fi functiile u,v:b Y, din u f = v f u = v VIII 1) Daca f : A B este strict monotona, atunci f este injectiva. ) Daca f : este periodica si monotona, atunci f este constanta. 1 3) Daca f : este bijectiva si impara, atunci f este impara. 4) Fie A finita si f : A A, atunci f este injectiva f este surjectiva. IX Fie f : E F, atunci 1) f este injectiva g: F E( surjectiva) astfel incat g f =1 E ) f este surjectiva g: F E( injectiva) astfel incat f g = 1 F 3) f bijectiva f inversabila. X Fie f : E F 1) functia f este injectiva daca si numai daca A, B E, f( A B) = f( A) f( B) ) functia f este surjectiva daca si numai daca B FexistaA,, Eaif,.. ( A) = B 3) functia f este injectiva daca f ( A B) = f( A) f( B), A, B E
4 XI Fie f : E F si A E, B E, atunci f ( A) = { y F/ x A, ai.. f( x) = y} f 1 ( B) = { x E/ f( x) B}. Fie f : E F si A E, B E, atunci 1) a) A B f( A) f( B) b) f ( A B) = f( A) f( B) c) f ( A B) f( A) f( B) d) f ( A) f( B) f( A B) Fie f : E F si AB, F, atunci ) a) b) c) d) e) 1 1 A B f A f B ( ) ( ) f A f B f A B ( ) ( ) ( ) f A f B = f A B ( ) ( ) ( ) f A f B = f A B ( ) ( ) ( ) f 1 ( F) = E. XII Fie f : E F si A E, B E, atunci au loc afirmatiile 1) functia f este injectiva f ( CA) Cf ( A), A Ρ ( E) ) functia f este surjectiva Cf ( A) f ( CA), A Ρ( E) 3) functia f este bijectiva f ( CA) = Cf ( A), A Ρ ( E) ( CA= C A= E A, Cf( A) = C f( A) = F f( A) ) XIII Fie f : E F A B, A si B finite. A are n elemente si B are m elemente.atunci: 1) numarul functiilor f : A B este n m. ) numarul functiilor injective f : A B este C n m,( n m) 3) numarul functiilor surjective f : A B este 1 3 m n C ( m 1) n C ( m ) n C ( m 3) n... ( 1) m C m m m 1 m 1 m
5 FUNCTII POBLEME POPUSE 8 IANUAIE 15 IANUAIE 1) Sa se arate ca nu exista functii care sa verifice relatiile de mai jos: a) f ( x) f( x) = x, x Solutie: se dau lui x valorile 1 si -1 f(1) f( 1) = 1 si f(-1)-f(1)=1 - contradictie b) f ( x) + f( a x) = x, x, a Solutie: se dau lui x valorile 0 si a f(0) + f(a)=0 si f(a) + f(0)= a contradictie c) f ( xgy ) ( ) = x+ y+ 1, xy, Solutie: evident f(0)=a 0 si g(0)=b 0, deoarece pentru x=y=0 f(0)g(0)=1. x + 1 Pentru y=0 f(x)=. b y + 1 Pentru x=0 g( y) =, care nu verifica relatia din enunt pentru x, y. a ) Sa se determine functia f : care satisface relatia 3 f ( x) 5 f( x) = x + 4x+ 4, x. Solutie: Facand substitutia x x in relatia data, obtinem 3 f ( x) 5 f( x) = x 4x+ 4.Eliminand f(-x) rezulta f( x) = x + 3x 3) Sa se determine functiile f : care verifica inegalitatile: f( x+ a) x f( x) + a, x si a, dat. Solutie: Facand substitutia x x a in f( x+ a) x f( x) x a, ori din x f( x) + a f( x) x a, deci f( x) = x a
6 4) Sa se determine functiile f : care verifica egalitatea : f ( x) + f( [ x] ) f({ x}) = x, x Solutie: Se stie ca x=[x]+{x} si pentru x=0 relatia devine : f(0)+f(0)f(0)=0 f(0)=0 sau f(0)=-1. Daca f(0)=-1, fie x0 (0,1), atunci f( x = 0) + f(0) f( x0) = x0 f( x0) f( x0) = x0 x0 0, absurd. Deci f(0)=0. Efectuand substitutia x [ x] si x {x}, obtinem f ([ x]) + f([ x]) f(0) = [ x] f([ x]) = [ x] si respectiv f ({ x}) + f(0) f({ x}) = { x} f({ x}) = { x}, de unde rezulta forma relatiei din f( x) + [ x]{ x} = x f( x) = x [ x]{ x}, sau enunt: f( x) = x [ x]( x [ x]) = x x[ x] + [ x] 5) Sa se arate ca daca f : satisface relatia f ( x+ a) = f( x) + b, x cu a si b reali fixate, a 0, atunci f se poate scrie ca suma a doua functii, una periodica si alta liniara. Solutie: Punand (1) g(x)=f(x)-mx-n si impunand ca g sa fie periodica, adica b gx ( + a) = gx ( ), x ma= b m= si prin urmare, din (1) avem a b f ( x) = g( x) + mx= n f( x) = g( x) + x+ b, x. a 6) Fie f :. Sa se arate ca: a) Dreapta x=a este axa de simetrie a graficului functiei, daca si numai daca f ( x) = f( a x), x. b) Daca graficul functiei f are doua axe de simetrie, atunci f este periodica. c) Punctul A(a,b) este centrul de simetrie al graficului functiei, daca si numai daca f ( x) + f( a x) = b, x. Solutie: a) Dreapta x=a este axa de simetrie pentru graficul functiei daca si numai daca f(a+x)=f(a-x), x. Efectuand substitutia x x a in ultima relatie, obtinem f(x)=f(a-x) b) Daca dreptele x=a si x=b sunt axe de simetrie, atunci din f(x)=f(a-x) si f(x)=f(b-x), obtinem f(a-x)=f(b-x) si efectuand substitutia x a x, obtinem f(x)=f(b-a+x), deci f este periodica cu perioada T=(b-a). c) Daca A(a,b) este centrul de simetrie al graficului functiei, atunci f( a x) + f( a+ x) = b si efectuand substitutia x a x obtinem f ( x) + f( a x) = b
7 7) Sa se gaseasca functia f : + care indeplineste conditiile: a) f(x)f(-x) 1, x b) mn, N astfel ca nf( x) + mf( x) = m+ n, x Solutie: Facand substitutia x x in nf ( x) + mf ( x) = m + n, obtinem nf ( x) + mf ( x) = m + n.adunand si scazand membru cu membru in ipoteza m n obtinem f(x)+f(-x)= si f(x)-f(-x)=0 de unde rezulta ca f(x)=1. Daca m=n atunci relatia din enunt devine: f(x)+f(-x)= =f(x)+f(-x) f( x) f( x). Daca f(x) f(-x) in cel putin un punct se obtine o contradictie, deci f(-x)=f(x) f(x)=1. 8) Sa se determine toate functiile f : care verifica egalitatea: 4 x f( x) + f(1 x) = x x, x. Solutie: Dand lui x valorile 0 si 1 obtinem f(1)=0 si respectiv f(1)+f(0)=1 f(0)=1.facand substitutia x 1 x obtinem: (1 x) f(1 x) + f( x) = (1 x) (1 x) 4.Eliminand f(1-x) din cele doua relatii, 4 4 rezulta (1 x) [ x x x f( x)] + f( x) = (1 x) (1 x) f( x)(1 x+ x )(1 + x x ) = (1 x)[ (1 x) (1 x)( x x )] f( x)( x x+ 1)( x x 1) = (1 x )( x x+ 1)( x x 1). Pentru x \{ α, β}, unde α si β sunt radacinile ecuatiei x x 1= 0 obtinem f( x) = 1 x, x \{ α, β}. Sa determinam valorile functiei pentru x= α si x= β. Observam ca (1) α + β = 1 si αβ=-1 si () α α 1= 0, β β 1= 0. Dand lui x valorile α si β obtinem 4 α f( α) + f(1 α) = α α (3) 4 β f( β) + f(1 β) = β β Dat din (1) rezulta 1 α = β si 1-β =α si din () rezulta 4 α = α + 1 α = 3α + 4 β = β + 1 β = 3β + Sistemul (3) devine α f( α) + f( β) = α f( α) + β f( β) = β, inmultind ecuatia a doua cu Obtinem tinand seama de (1) si () α f( α) + f( β) = α ( β ) = α α = α ( α + 1) = α si sistemul devine α,
8 α f α + f β = α ( ) ( ) sistemul este compatibil nedeterminat. Notand cu f( α) + β f( β) = β f( α) = a si f( β) = α a α = a( α + 1) α si deci, 1 x, x αβ, f( x) = a, x= α a( α + 1) α, x = β 9) Sa se determine functiile f : care satisfac relatia: af ( x 1) + bf (1 x) = cx, unde a, b, c. Solutie: Efectuand substitutiile x x+ 1 si x 1 x, obtinem af ( x) + bf ( x) = c(1 + x). Studiind solutiile sistemului, obtinem: bf ( x) + af ( x) = c(1 x) c c a) f ( x) = x+, daca a b a b a+ b b) f nu exista daca a = b si c 0 c) f este orice functie impara daca a = b 0 si c= 0 d) f este orice functie para daca a = -b si c = 0. 10) Fie a, b, c, nu toate egale si a+b+c 0. Sa se demonstreze ca pentru orice functie g: \{0,1} exista o singura functie f : \{0,1} care x 1 1 verifica relatia : af ( x) + bf ( ) + cf ( ) = g( x), x \{0, 1}. x 1 x x 1 1 Solutie : Efectuand substitutiile x si x in relatia data, obtinem x 1 x x 1 1 x 1 af ( ) + bf ( ) + cf ( x) = g( ), x \{0, 1} si respective x 1 x x 1 x 1 1 af ( ) + bf ( x) + cf ( ) = g( ), x \{0, 1}. 1 x x 1 x 1 x 1 ezolvand sistemul in necunoscutele f(x), f( ), f( ), obtinem 1 x x x 1 1 ( a bc) g( x) + ( c ab) g( ) + ( b ac) g ( ) f( x) = x 1 x a + b + c 3abc
9 1 11) Sa se determine functia f : \ ± care satisface relatia : 3 x f = x f( x), x \ ±. 1 3x 3 Solutie : Efectuand in relatia data substitutia x se obtine x x + x+ 1 x f = f 1 3x 1+ 3x 1 3x 1 3x (1) Efectuand din nou in (1) substitutia x 1 x 1 x 1 x se obtine f ( x) = f (). 1+ 3x 1+ 3x 1+ 3x elatia din enunt impreuna cu cele din (1) si () da un sistem de unde rezulta 3 9x + 6x x+ f( x) =. 9x 1 1) Sa se determine f : care verifica relatia f ( x ) f( xy) + f( y ) = x 4xy+ y + 5, x, y. Solutie: Pentru y=0 f ( x ) f(0) + f(0) = x + 5, deci pentru x 0 f( x) = x+ 5. x Daca y =, atunci din relatia data, rezulta x x f( x ) + f f( x ) = x + x f( x ) = x Deci, pentru x < 0 rezulta f(x) = x + 5, asadar f(x) = x + 5 x. 13) Sa se determine functiile f : care verifica relatia f ( x+ y) f( xy), x, y. Solutie: Din relatia data pentru y = 0, obtinem f ( x) f(0), x (1). Daca in relatia data se fac substitutiile y x si x x cu x [0, + ] f(0) = f( x x) f( x) x [0, + ] () si tinand seama de (1) rezulta f(-x) = f(0), x [0, + ]. Daca in relatia data se fac substitutiile y x si x x obtinem f (0) = f( x) f( x ) si tinand seama de (1) rezulta f(x) = f(0), x [0, + ], De unde avem f(x) = f(0) = a, x [0, + ], prin urmare numai functiile constante verifica relatia data.
10 14) Fie functia f : \{ 1,0} cu proprietatile : f(1) = 0 si x 1 f = f( x) f( y), x \{ 1,0}, x y si k Z \{ ± 1,0}. y k n a) Sa se exprime f ( x ) in functie de f(x) pentru n Z. b) Sa se arate ca f nu este injectiva. Solutie : In relatia data se fac substitutiile k + 1 x x, y x si obtinem f( x ) = f( x) (1). Facand din nou substitutiile k 3 k + x x 3, y x si tinand seama de (1), obtinem f ( x ) = k f( x). n k+ n 1 f x f x k n N atunci, notand m = -n N, obtinem 1 n m 1 m k+ m 1 n+ 1 k f ( x ) = f( x ) = f = f( x ) = f( x) = f( x), deci x k k k k+ n 1 ( ), f x daca n N n f( x ) = k n + 1 k ( ), \ f x daca n Z N k b)pentru n par, f este functie para, deci neinjectiva. Prin inductie dupa n, obtinem ( ) = ( ),. Daca n Z \ N, 15) Sa se determine functia f : care verifica relatiile : a) f(x)+f(y) = f(x+y), x, y b) f(1) = 1 1 c) x f f( x), x x = Solutie : Daca x = 0 f (0) = 0 si pentru y = x f(0) = f( x) + f( x) f( x) = f( x), x Din ultima conditie pentru 1 1 f (1) f( x) 1 f( x) x \{0,1} f = f(1 x) = = 1 x 1 x (1 x) (1 x) Dar, 1 x x x 1 x f = f 1 + = f(1) + f = 1+ f = 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 x 1 = 1+ f 1 = 1 + f f(1 1 x x 1 x ) = x (1)
11 x f( x) f( x) x 1 x+ f( x) = 1+ 1 = 1+ = () 1 x x (1 x) (1 x) (1 x) D in (1) si () f ( x) = x, x \{0,1} dar f(0) = 0 si f(1) = 1 f( x) = x, x.
12 FUNCTII POBLEME POPUSE 8 IANUAIE 15 IANUAIE 1) Sa se arate ca nu exista functii care sa verifice relatiile de mai jos: a) f ( x) f( x) = x, x b) f ( x) + f( a x) = x, x, a c) f ( xgy ) ( ) = x+ y+ 1, xy, ) Sa se determine functia f : care satisface relatia 3 f ( x) 5 f( x) = x + 4x+ 4, x. 3) Sa se determine functiile f : care verifica inegalitatile: f( x+ a) x f( x) + a, x si a, dat. 4) Sa se determine functiile f : care verifica egalitatea : f ( x) + f( [ x] ) f({ x}) = x, x 5) Sa se arate ca daca f : satisface relatia f ( x+ a) = f( x) + b, x cu a si b reali fixate, a 0, atunci f se poate scrie ca suma a doua functii, una periodica si alta liniara. 6) Fie f :. Sa se arate ca: a) Dreapta x=a este axa de simetrie a graficului functiei, daca si numai daca f ( x) = f( a x), x. b) Daca graficul functiei f are doua axe de simetrie, atunci f este periodica. c) Punctul A(a,b) este centrul de simetrie al graficului functiei, daca si numai daca f ( x) + f( a x) = b, x. 7) Sa se gaseasca functia f : + care indeplineste conditiile: d) f(x)f(-x) 1, x e) mn, N astfel ca nf( x) + mf( x) = m+ n, x
13 8) Sa se determine toate functiile f : care verifica egalitatea: 4 x f( x) + f(1 x) = x x, x. 9) Sa se determine functiile f : care satisfac relatia: af ( x 1) + bf (1 x) = cx, unde a, b, c. 10) Fie a, b, c, nu toate egale si a+b+c 0. Sa se demon streze ca pentru orice functie g: \{0,1} exista o singura functie f : \{0,1} care x 1 1 verifica relatia : af ( x) + bf ( ) + cf ( ) = g( x), x \{0, 1}. x 1 x 1 11) Sa se determine functia f : \ ± care satisface relatia : 3 x f = x f( x), x \ ±. 1 3x 3 1) Sa se determine f : care verifica relatia f ( x ) f( xy) f( y ) x 4xy y 5, x, y + = ) Sa se determine functiile f : care verifica relatia f ( x+ y) f( xy), x, y. 14) Fie functia f : \{ 1,0} cu proprietatile : f(1) = 0 si x 1 f = f( x) f( y), x \{ 1,0}, x y si k Z \{ ± 1,0}. y k n f) Sa se exprime f ( x ) in functie de f(x) pentru n Z. b) Sa se arate ca f nu este injectiva 15) Sa se determine functia f : care verifica relatiile : g) f(x)+f(y) = f(x+y), x, y h) f(1) = 1 1 i) x f = f( x), x x
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραProbleme pentru clasa a XI-a
Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραVARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007
VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραGRADUL II n α+1 1
GRADUL II 2007 BUCUREŞTI 1. Fie A un inel cu unitate. Notăm cu Z(A) = {a A ( )x A,ax = xa}. Să se arate că: a) Z(A) este un subinel comutativ al lui A (numit centrul inelului A). b) Dacă B este un alt
Διαβάστε περισσότεραavem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +
Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραDreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότεραTESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 2018
TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 8 A U T O R I Prof.univ.dr. Vasile Câmpian Prof.univ.dr. Iuliu Crivei Prof.univ.dr. Bogdan Gavrea Prof.univ.dr. Ioan Gavrea Prof.univ.dr. Dumitru Mircea Ivan Prof.univ.dr. Nicolaie
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραConcursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a
Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραGRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I
GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I 1. Fie f : R R definită prin f(x) = x(1+e x ). a) Să se arate că f este indefinit derivabilă şi că f (n) (x) = a n e x +b n xe x, ( ) n 3, ( ) x R. Deduceţi că a n+1
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραy y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =
Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului
Διαβάστε περισσότεραBACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1
BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 Filiera teoretică, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profil Militar, specializarea matematică - informatică. a) Să se calculeze modulul vectorului
Διαβάστε περισσότεραTeste admitere Facultatea de Automatică şi Calculatoare Domeniul Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei
Teste admitere Facultatea de Automatică şi Calculatoare Domeniul Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei 0 aprilie 04 Cuprins Algebră 5 Analiza 39 3 Trigonometrie 6 4 Geometrie 69 5 Modele teste 73 5.
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότερα1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <
Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότερα1Ecuaţii diferenţiale
1Ecuaţii diferenţiale 1.1 Introducere Definitia 1.1 Se numeşte ecuaţie diferenţială ordinarădeordin1: y 0 (x) =f (x, y (x)) (EDO) unde y este funcţia necunoscută, iar f este o funcţie de două variabile
Διαβάστε περισσότεραTema/Unitatea: Numere reale. Radicali. Puteri. Logaritmi. Numere complexe. Funcții și ecuații
Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραPuncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.
Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE
CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă
Διαβάστε περισσότερα1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.
Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuaţii diferenţiale
Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x
Διαβάστε περισσότερα