Complemente teoretice. Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D; DefiniŃii ale limitei DefiniŃia 1.1.
|
|
- Φιλύρη Μαυρογένης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Analiza matmatică clasa axi-a, problm rzolvat Complmnt tortic Limit d funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct d acumular a lui D; DfiniŃii al limiti DfiniŃia lim f = l, l R, dacă pntru oric vcinătat V a lui l istă o α vcinătat U a lui α astfl încât D U, α, să rzult f() V DfiniŃia lim f = l, l R, dacă pntru oric şir ( n ) n, n D\{α}, având α lim =α rzultă lim f = l (critriul cu şiruri); n n DfiniŃia n lim f = l, l R, dacă ε >, δ ε > astfl încât D\{α} şi α - α < δ ε rzultă f() - l < ε; DfiniŃia lim f = l, dacă l s = l d =l, und l α = lim f şi l = lim f s <α α d >α α OpraŃii cu limit d funcńii f :D R, g:d R, α - punct d acumular a lui D, lim f = l lim ( f + g) = l + l ; α lim f g = l l ; α lim af = a l ; α l lim f daca, = α g l l α, lim g( ) = l α, l,l R; Limit tip α n n n n + a + + an ) = aα + aα lim ( a + + a n n lim ( a + a + + an ) = lim a ± ± n n n n a + a + + an aα + aα lim = m m m m α b + b + + bm bα + bα + + b n ; + + a n n m
2 n n n a + a + + an a lim = lim ; m m m ± b + b + + bm ± b n n n lim = α, α R+, n N, n ; = α * lim a α = a, α R, a R+ \ { }; a = α lim a =, lim a =, dacă < a < ; α a a + lim, lim n = ; lim, lim a =, dacă a > ; * + > a 5 lim log = log α, α > finita, α R \ { }; limlog = şi lim log = + dacă a >; limloga = + şi lim log = > a dacă <a< ; π 6 lim sin = sinα, lim cos = cosα ; lim tg= tgα, α + πz, lim ctg= ctgα, α πz ; α α α α lim tg=, lim tg= ; limctg=, limctg= ; π π < π π > > < 7 lim arcsin = arcsinα, α [, ], lim arccos = arccosα, α [, ]; α α π lim arctg= arctgα, α R, lim arcctg= arcctgα, α R ; lim arctg=, α α π lim arctg= =π ; lim arcctg, lim arcctg= ; sin tg arcsin arctg 8 lim =, lim =, lim =, lim = ; n a 9 lim =, n Z, a> ; lim = ln a, a>, a (+ ) lim =,lim(+ ) + = ; ± r lim = r, r R ln(+ ) lim = ; Continuitata funcńiilor DfiniŃia Fi f:d R, o D, o punct d acumular a lui D, f st continuã în o, dacã lim f = lim f = lim f = f ( ), iar o s numşt punct d continuitat < > DfiniŃia Fi α D, α st punct d discontinuitat d prima spńã dacã istã şi sunt finit limitl latral în α, dar funcńia nu st continuã în α DfiniŃia Fi α D, α st punct d discontinuitat d spńa a doua dacã nu st d prima spńã Tormã Dacã f:i R, I intrval şi f continuã p I, atunci J = f(i) st intrval (o funcńi continuã p un intrval ar propritata lui Darbou p acl intrval) a
3 FuncŃii drivabil DfiniŃia drivati într-un punct f : E R, o E, o punct d acumular a lui E: f f ( ) lim = f istă şi st finită f f ( ) f s ( ) = lim f d ( ) = < f lim ( ) > f ( ) o funcńi st drivabilă într-un punct f ( ) = f s ( ) = f d ( ) Intrprtara gomtrică: - dacă f ( ) R, atunci acasta rprzintă panta tangnti la graficul funcńii în punctul, m=f ( ) - dacă f ( ) R, y - f( ) = f ( )( ) st cuańia tangnti la graficul funcńii f în punctul A(,f( )); - dacă f st continuă în, f d ( ) = +, f s ( ) =, sau invrs, st punct d întoarcr al graficului; - dacă f st continuă în şi istă drivatl latral în, cl puńin una fiind finită, dar f nu st drivabilă în, st punct unghiular al graficului Rguli d drivar f,g:e R, f,g drivabil în E: (f + g) () = f () + g (); (cf) () = cf (), c R; (f g) () = f () g() + f() g () f f g( ) f g( ) dacă g(), = ; g g 5 drivata funcńii compus: dacă f:i J, g:j R, f drivabilă în I şi g drivabilă în y = f( ), atunci (gbf) ( ) = g (y )f ( ); 6 drivat funcńii invrs: dacă f:i J continuă, bijctivă şi drivabilă în cu f ( ), atunci f - :J I st drivabilă în y = f( ) şi f - (y ) = f ( ) DfiniŃi: Punctl critic al uni funcńii drivabil sunt rădăcinil (zrouril) drivati întâi Drivat d ordin suprior Fi f:idr R, I, o funcńi drivabilă Spunm că f st d două ori drivabilă în dacă istă şi st finită: f f ( ) lim = f ( )
4 Drivatl funcńiilor lmntar Drivatl funcńiilor compus FuncŃia (condińii) Drivata (condińii) c, (constanta) n, n N* n n- r, r R, > r n-, log a, a, a>, > ln, > a, a, a>, > sin cos tg, π (k+ ), k Z ctg, kπ, k Z arcsin, [-,] arcos, [-,] arctg arcctg, > ln a a ln a cos -sin cos sin, (,), (,) + + FuncŃia (condińii) u n, n N* u r, r R, u> u, u log a u, a, a>, u> ln u, u> a u, a, a> u sin u cos u tg u, cos u ctg u, sin u arcsin u, u [-,] arccos u, u [-,] arctg u arcctg u Drivata (condińii) nu n- u u n- u u, u> u u ln a u u u a u ln a u u u cos u u - sin u u u cos u u sin u u, u u (,) u, u u (,) u + u u + u
5 ProprităŃi al funcńiilor drivabil DfiniŃi: Fi f:i R, cu IdR, intrval Spunm că punctul I st un punct d maim local strict pntru f, dacă istă o vcinătat U a lui, astfl încât: f < f ( ), U ( I \{ } ) Spunm că punctul I st un punct d minim local strict pntru f, dacă istă o vcinătat U a lui, astfl încât: f > f ( ), U ( I \{ } ) Torma lui Frmat: Fi f:i R drivabilă p I În oric punct trm local din intriorul lui I, f st nulă Torma lui Roll: Dacă funcńia continuă f:[a,b] R st drivabilă p (a,b) şi f(a) = f(b) atunci istă c (a,b) astfl încât f (c) = Torma lui Lagrang: Dacă funcńia continuă f:[a,b] R st drivabilă p (a,b), atunci istă c (a,b) astfl f ( b) f ( a) încât = f ( c) b a ConscinŃ al Tormi lui Lagrang: Fi f:e R o funcńi drivabilă şi IdE un intrval - Dacă I, avm f ()>, atunci funcńia st strict crscătoar p I - Dacă I, avm f ()<, atunci funcńia st strict dscrscătoar p I Fi f:(a,b) R o funcńi drivabilă şi c(a,b) Dacă f s anulază în c schimbânduşi smnul, atunci c st un punct d trm local pntru f Tormă Dacă funcńia f st continuă şi drivabilă p I (I intrval dschis), atunci: într două rădăcini conscutiv al funcńii istă cl puńin o rădăcină a drivati; într două rădăcini conscutiv al drivati istă cl mult o rădăcină a funcńii Torma lui Cauchy: Dacă f,g:[a,b] R continu p [a,b], drivabil p (a,b) şi g (), (a,b) atunci f ( b) f ( a) f ( c) c (a,b) astfl încât = g( b) g( a) g( c) FuncŃii conv şi funcńii concav O funcńi st convă p un intrval ral (a,b), dacă pntru, (a,b) graficul funcńii p intrvalul (, ) st situat sub sgmntul d draptă car unşt punctl (,f( )) şi (,f( )) O funcńi st concavă p un intrval ral (a,b), dacă pntru, (a,b) graficul funcńii p intrvalul (, ) st situat dsupra sgmntului d draptă car unşt punctl (,f( )) şi (,f( )) PropoziŃia Dacă funcńia f ar drivată d ordinul al doila strict pozitivă (f ()>) p intrvalul (a,b), atunci f st strict convă p (a,b) Dacă funcńia f ar drivată d ordinul al doila strict ngativă (f ()<) p intrvalul (a,b), atunci f st strict concavă p (a,b) 5
6 + Asimptot Asimptot orizontal (f:d R) DfiniŃia Dacă lim f = l sau lim f = l, l R şi/sau l R, drptl y=l şi/sau y=l sunt asimptot orizontal a lui f spr +, rspctiv Asimptot oblic (f:d R) f DfiniŃia Dacă lim = m şi lim [ f m] = n, m, n R drapta y=m+n + st asimptotă oblică a lui f spr + f DfiniŃia Dacă lim = m şi lim [ f m ] = n, m, n R drapta + y=m +n st asimptotă oblică a lui f spr - Asimptot vrtical (f:d R) DfiniŃia Dacă lim f = ±, α - punct d acumular a lui D, drapta =α st α < α asimptotă vrticală la stânga a lui f DfiniŃia 5 Dacă lim f = ±, α - punct d acumular a lui D, drapta =α st α > α asimptotă vrticală la drapta a lui f Rgulil lui l Hospital Fi I un intrval p aa rală şi un punct d acumular al lui I Fi f şi g două funcńii dfinit p I { } Dacă: lim f = lim g = ; f şi g sunt drivabil p I { }; g( ), I \{ } ; lim f istă = l, l R, atunci lim g a) g, I \{ } şi f f b) lim = lim = l g g 6
7 Problm rzolvat = + a) Să s calculz drivata funcńii f b) Să s dtrmin intrvall d monotoni al funcńii f c) Să s dmonstrz că f() pntru oric < R a) FuncŃia st drivabilă p domniul d dfinińi doarc st o funcńi rańională Folosind formula d drivar a unui cât d funcńii drivabil, pntru oric avm S considră funcńia f:r\{ } R, f ( + ) ( + ) ( ) + + ( + ) ( + ) ( ) + f = = = + + = = b) Monotonia funcńii f st dată d smnul drivati f Cum numitorul ( + ) st pozitiv pntru oric din domniu, smnul lui f () st dat d smnul funcńii d gradul doi + Rzolvăm cuańia + =, ( + ) = şi găsim rădăcinil = şi = Tablul d smn al drivati: (+) f () / f() Ma - p intrvalul ( ; ), avm + >, dci f () > f st strict crscătoar p ( ; ] - p intrvalul ( ; ), avm + <, dci f ()< f st strict dscrscătoar p [ ; ) - p intrvalul ( ;), avm + <, dci f () < f st strict dscrscătoar p ( ; ] - p intrvalul (;+), avm + >, dci f () > f st strict crscătoar p [;+) c) Conform punctului b), f în intrvalul ( ; ) ar un maim, punctul = Dci f() f( )=, pntru oric < S considră funcńia f: R R, f() = - f f () a) Să s calculz lim b) Să s arat că funcńia f st crscătoar p R c) Să s calculz S = g() + g() + + g(8), und g: R R, g()=f ()-f () R a) Punctul = st punct d acumular pntru R şi limita st f f () lim = f Calculăm f = +, und 7
8 = = = după formula d drivar ( u u ) = u şi f f () f = + = + =, dci lim = b) În f = + avm şi - sunt strict pozitiv R, atunci şi suma lor f ()>, R şi funcńia st crscătoar p domniul d dfinińi, R c) Doarc f () = -, avm g() = f () f () = - Atunci suma S din nunń st suma primilor 9 trmni ai uni progrsii gomtric d prim trmn g() = - = şi rańi - n q <, Sn = b Dci, S = g() + g() + + g(8)= q ( ) = = = 8 ln S considră funcńia f: (,+ ) R, f = a) Să s calculz drivata funcńii f b) Să s dtrmin intrvall d monotoni al funcńii f 5 c) Să s dmonstrz că < 5 Ra) Folosind formula d drivar a unui cât, avm: ln ( ln ) ln ln ln f = = = = b) Dtrminăm punctl critic: f ()= ln= ln= = ; (,+) > şi > Tablul d smn: + -ln f () P intrvalul (, ), f ()>, atunci f st funcńi strict crscătoar p acst intrval P intrvalul (,+), f ()<, atunci f st funcńi strict dscrscătoar p acst intrval c) Din,7 >,7 =7,9 şi atunci <<5<, adică şi 5(, ), intrval p car ln ln5 funcńia st strict crscătoar (punctual b) Avm: < 5 f () < f (5) < ln< ln5 ln < ln5 şi funcńia logaritm natural fiind strict crscătoar s păstrază ingalitata şi într argumnt, adică 5 < 5 S considră funcńia f:r R, f() = + - a) Să s calculz f (), R b) Să s arat că f st dscrscătoar p (-,] şi crscătoar p [,+ ) c) Să s dtrmin cuańia asimptoti oblic cătr + la graficul funcńii f 8
9 R a) Folosind rgula d drivar a sumi obńinm f ()= - b) Pntru dtrminara monotonii folosim smnul drivati întâi Pntru tablul d smn al drivati dtrminăm punctl critic: f ()= - = - = = + f () P intrvalul (,], f ()< f st funcńi dscrscătoar p (-,]; P intrvalul [,+), f ()> f st funcńi crscătoar p [,+ ) f c) Dacă lim = m, m R şi lim ( f m) = n, n R drapta y = m + n st + + asimptotă oblică spr + la graficul funcńii Calculăm rgula lui l Hospital f f m= lim = = lim = lim = şi n= lim f m = lim + = lim = EcuaŃia asimptoti oblic: y=a+ y= (prima bisctoar) 5 S considră funcńia f :R R, f () = 9 9( ) a) Să s calculz f () + f () b) Să s scri cuańia tangnti la graficul funcńii f în punctul d abscisă = c) Să s arat că funcńia f st convă p [;+ ) Ra) Calculăm f ()=9 8 9; f ()= 9 9( ) =9 =8 şi f ()=9A 8 9= 9 Răspunsul f()+f ()=8 9= b) EcuaŃia tangnti la graficul funcńii st y - f( ) = f ( )( ), und =, f( )=f()=8 şi f ()=8A 7 8= 8 Prin înlocuir s obńin: y 8= 8( ) y= c) Calculăm drivata a doua f ()=(f ())=( 9-9) =9A8 7 Doarc 7, R f () şi atunci f st convă p R + 6 S considră funcńia f: [,+) R, f = a) Să s calculz lim f b) Să s vrific că + f = + ( + ) ( + ), oricar ar fi c) Să s dmonstrz că f < pntru oric [,+) + lim f = lim + lim = lim + lim = + = b) Aplicăm rgula d drivar a sumi şi câtului şi avm: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) f = + = Ra) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = + = + 9
10 c) Pntru dmonstrara ingalităńii utilizăm monotonia funcńii Monotonia s stabilşt cu ajutorul primi drivat S obsrvă că f ()> ca sumă d pătrat, [,+] şi atunci funcńia st crscătoar p domniul d dfinińi, adică + <+ f() f()< lim f Calculăm f () = + = şi din punctul a) avm lim f = Înlocuind s obńin f < + 7 S considră funcńia f:r R, f() = + f f () a) Să s calculz lim b) Să s dmonstrz că funcńia f nu ar asimptotă cătr + c) Să s dmonstrz că funcńia f st convă p R R a) Din dfinińia drivati funcńii în punctul d acumular = s obńin f f () lim = f () Calculăm f ()= + şi f ()= +A=+ S obńin f f () lim = + b) Cătr + funcńia poat să aibă asimptotă orizontală sau oblică Vrificăm asimptota orizontală: lim f = lim + = lim + lim = + = nu ar asimptotă orizontală Vrificăm asimptota oblică: f + m= lim = lim = lim + lim = + = nu ar asimptota oblică c) Pntru dtrminara convităńii n folosim d drivata d ordinul II f " = f = + = + = + Din >, R, obńinm f ()>, R şi funcńia st convă p R 8 S considră funcńia f : (,+ )\{} R, a) Să s calculz lim f + ln f = ln b) Să s vrific că f =, (, )\{} ( ln ) c) Să s dtrmin cuańia asimptoti orizontal cătr + la graficul funcńii f + ln + lim f = f = = = ln ( + ln ) ( ln ) ( + ln ) ( ln ) f = = ln R a) b) Avm: ( ln ) + ( + ln ) ( + ln ) = =
11 ln ln + + = = = ( ln ) ( ln ) ( ln ) l Hospital + ln ( + ln ) c) Calculăm lim f = lim = lim lim = = = şi + + ln + ( ln ) + obńinm asimptota orizontală, drapta y= 9 S S considră funcńia f: R R dfinită prin f()= (a +b + c), und a,b,cr a) Pntru a=,b=c=, să s calculz lim f + b) Să s vrific că f () - f() = b c) Să s dtrmin a,b,cr, astfl încăt f() =, f () = şi f () = R a) Pntru a=,b=c=, f()= şi lim f = lim =+ ( + ) =+ + + b) Calculăm: f = a + b+ c + a + b+ c = a + b+ c + a+ b = ( ) ( ) = a + b+ c+ a+ b = a + a+ b + b+ c f() = (aa + ba + c) = Ac = c şi f () = [aa + A(a + b) + b + c] = b + c ObŃinm: f () - f() = b + c c = b c) Calculăm " f = ( a b c a b) = ( )( a + b+ c+ a+ b) + + a + b+ c+ a+ b = ( ) ( ) ( ) = a + b+ c+ a+ b + a+ b+ a = a + a+ b+ a+ b+ c şi f()= (aa+ba+c) = c; f ()= b+c; f () = a + b + c ObŃinm sistmul: c= c= c= c= b+ c= b+ = b= b= cu soluńia a=b= şi c= a+ b+ c= a+ + = a= a=, S S considră funcńia f:r R, f = +, < a) Să s studiz continuitata funcńii f în punctul = b) Să s calculz f () + f () c) Să s dmonstrz că funcńia f st concavă p (,) R a) Folosim dfinińia funcńii continu şi calculăm limitl latral în punctul = lim f = lim + = + = + = < < lim f = lim = = = > > şi f()= = Din lim f = lim f = f () = rzultă că funcńia st continuă în = < >
12 , > b) Calculăm f =, f st drivabilă p (-,)c(,+) +, < f ()= A+ = şi f () = A = ObŃinm: f ()+ f ()=+= c) Calculăm drivata a doua a funcńii p intrvalul (,) f () = ( + ) = < şi funcńia st concavă p (,) S considră funcńia f: (,+ ) R, f = + ( + ) a) Să s vrific că f =, oricar ar fi (, ) ( + ) b) Să s dmonstrz că funcńia f st dscrscătoar p intrvalul (,+ ) c) Să s calculz lim f + R a) Drivăm ficar fracńi: ( ) ( + ) ( + ) f = + = + ( ) ( + ) ( ) = + ( + ) + = ( + ) ( + ) b) Pntru dtrminara monotonii funcńii dtrminăm smnul drivati: > > < (, + ) ( + ) > < ( + ) şi atunci f ()<, (,+), rzultă că f st strict dscrscătoar p (,+) lim f = lim = lim = c) ( + ) ( ) + = lim = = S considră funcńia f : (,+) R dfinită prin f()= -ln a) Să s calculz f (), (,+) b) Să s dmonstrz că funcńia f st convă p intrvalul (,+) c) Să s dmonstrz că f ln, (,+) R a) f = (ln ) = = = b) Pntru stabilira convităńi dtrminăm smnul drivati a II-a f = = = =, car vidnt st pozitivă p domniul d dfinińi Din f ()> f st convă p (,+)
13 c) Pntru dmonstrara ingalităńii stabilim monotonia funcńii f = = = =, punct critic Tablul d smn al drivati: + f () P (;], f ()< f st funcńi dscrscătoar, iar p [,+), f ()> f st funcńi crscătoar, atunci = st punct d minim local f f () Calculăm () ln ln ln ln ln ln f = = = =, obńinm: f ln S considră funcńia f: R\{ } R, dfinită prin f = + a) Să s vrific că f = oricar ar fi R\{ } ( + ) b) Să s dtrmin cuańia asimptoti cătr - la graficul funcńii f c) Să s dmonstrz că f(), pntru oric > R a) Calculăm drivata după rgula d drivar a funcńii cât ( )( + ) ( + ) ( + ) + f = = = = b) Calculăm lim f = lim = lim = = = şi atunci drapta + ( + ) + y= st asimptotă orizontală spr - c) Pntru dmonstara ingalităńii n folosim d monotonia funcńii f car st dată d smnul drivati f Dtrminăm punctl critic, f ()= = şi tablul d smn al drivati p intrvalul (-,+) + f () P intrvalul (-,], f () f st funcńi dscrscătoar, iar p [,+), f () f st funcńi crscătoar, atunci = st punct d minim local f() f() Calcuăm f () = = = şi s obńin ingaliata crută, f () + ln S considră funcńia f : (,+ ) R dfinită prin f = a) Să s calculz f () b) Să s dtrmin cuańia asimptoti orizontal spr + a graficului funcńii f c) Să s dmonstrz că pntru oric > ln ( ln ) ln ln R a) Calculăm drivata funcńii f = = = ln = = = = iar f ( )
14 l Hospital ln ( ln ) b) Calculăm lim f = lim = lim lim = = = lim = = şi atunci drapta y= st asimptotă orizontală spr + c) Pntru dmonstara ingalităńii n folosim d monotonia funcńii f car st dată d smnul funcńii f Dtrminăm punctl critic, f ()= -ln= ln= = şi tablul d smn al drivati p intrvalul (,+) + f () P intrvalul (,], f () f st funcńi crscătoar, iar p [,+), f () f st funcńi dscrscătoar, atunci = st punct d maim local propf logaritm ln ln f() f() ln ln ln ln pntru oric > 5 S considră funcńiil f n :R R, dat prin f () = - - şi f f n+ = n pntru oric nn a) Să calculz f (), R b) Să s dtrmin cuańia asimptoti orizontal cătr + a graficului funcńii f f + c) Să s calculz lim R a) Dtrminăm f () pntru n=: f = f = = = = = b) Calculăm lim f = lim( ) = lim = = = şi obńinm asimptota orizontală drapta y = c) Calculăm mai întâi, pntru n =, f = f = = = = şi l Hospital + ( ) l Hospital ( + ) f lim = lim = = lim = lim = = = lim = lim = =, < 6 S considră funcńia f: R R d forma f =, und a R + + a, a) Să s dtrmin ar astfl încât funcńia f să fi continuă în punctul = b) Să s scri cuańia tangnti la graficul funcńii în punctul d abscisă c) Să s arat că funcńia f st crscătoar p (; +), oricar ar fi ar R a) Calculăm limitl latral în : l = lim f = lim = = = s < <
15 d lim lim > > l = f = + + a = + + a= a Pntru ca funcńia să fi continuă în = trbui ca l s ()=l d () a= b) EcuaŃia tangnti la graficul funcńii st y f ( ) = f ( )( - ), und = < şi funcńia st f()= Calculăm f f = = =, ( + ) f ( ) = =, înlocuim şi s obńin: y = ( + ) y + = y + = + t : y+ = c) P (; +), f () = + + a şi funcńia f st crscătoar dacă f st pozitivă f = + şi f = >, a R, atunci funcńia f st funcńi Calculăm = =, crscătoar (Sau f () = +, funcńi d gradul I, cu coficintul lui gal cu > şi atunci st crscătoar) 7 S considră funcńia f :R * R, dfinită prin f = a) Să s calculz f (), R * b) Să s dmonstrz că funcńia f st dscrscătoar p (,] c) Să s arat că R a) Drivăm după cât : f = = = = ( ) = b) Dtrminăm smnul drivati p intrvalul (,]: > >, > şi - atunci f () şi f st funcńi dscrscătoar c) Pntru dmonstrara ingalităńii n folosim d punctual b) FuncŃia st dscrscătoar, adică f( ) f( ) Din intrvalul (,] luăm numrl şi obńinm: 8 S considră funcńia f :R R, f() = ( +) +(-) a) Să s vrific că f () = pntru oric R f b) Să s calculz lim + c) Să s dtrmin intrvall d monotoni al funcńii g: R R, g R a) Ridicăm la putr: f()= +++ += + şi apoi drivăm f ()=A+= f + b) lim = lim = lim lim + + = + = + = = f f 5
16 c) Dtrminăm g = g şi calculăm drivata + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) = = = = = ( ) 8( ) ( ) = = + + Punctl critic: g = = =±, tabl d smn: + g () P (-,-]c[,+), g () g st dscrscătoar, iar p [-,] g () şi g st crscătoar ln 9 S considră funcńia f :(,+ ) R, f = a) Să s calculz f (), (, ) b) Să s calculz lim f + c) Să s dmonstrz că < f pntru oric, + ) R a) Folosim rgula d drivar a câtului ( ln ) ln ( ) ln ln ( ln ) ln f = = = = = b) l Hospital ln ( ln ) lim f = lim = lim lim = = = lim = = ( ) c) Dtrminăm monotonia funcńii f Aflăm punctl critic: f ()= ln = ln = ln = ln = = = Tablul d smn + f () ObŃinm: f st dscrscătoar p intrvalul, + ), adică <+ ln ln ln lim f <f() f( ) < f, und f ( ) + = = = = S considră funcńia f:[,] R, f = + a) Să s calculz f (), [,] b) Să s arat că f st funcńi crscătoar p [,], 6
17 c) Să s dmonstrz că, pntru oric [,] f R a) Calculăm după rgula d drivar a câtului ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) f = = = = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) b) Dtrminăm monotonia funcńii p intrvalul [,] S obsrvă că f () doarc sunt numai valori pozitiv şi atunci funcńia st crscătoar p [,] c) Conform dfinińii monotonii funcńi, avm: f () f () f () f şi invrsând rapoartl s obńin, [,] f + + S considră funcńia f:r\{} R, dfinită prin f = =, pntru oric R\{} a) Să s vrific că f ( ) b) Să s dtrmin cuańia asimptoti oblic cătr + la graficul funcńii f c) Să s arat că f f 8, oricar ar fi > R a) Calculăm după rgula d drivar a câtului ( + + ) ( ) ( + + ) ( ) ( + ) ( ) ( + + ) f = = = = = + ( ) ( ) b) Doarc gradul numărătorului st iar gradul numitorului, funcńia nu ar asimptotă orizontală şi atunci poat ava asimptotă oblică d forma y=m+n, und + + f lim lim + + m= = = lim =, doarc numărătorul şi numitorul au grad gal, iar ( ) n= lim ( f m) = lim = lim = = lim = lim = + + Asimptota oblică va ava forma y=+ c) Notăm h:(,+) R, h = f f = = = ( ) 7
18 = = = h ( + ) şi calculăm + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + ) ( ) ( ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) = = = = = Dtrminăm punctl critic p intrvalul (,+): h() = + = = 6 =, =,, = ± Dintr acsta = + > şi tablul d smn: + + h () Punctul = + st punct d minim local, h( ) h ( + ) = = = = ( + )( ) = = = h() 8 f f 8 ( ) S considră funcńia f: (,+ ) R, f() = -ln a) Să s calculz f (), (, ) f b) Să s calculz lim f ( ) c) Să s dtrmin intrvall d monotoni al funcńii f f = ln = ln = = Ra) = 6 8, adică ( ) f l Hospital ln ln ln b) lim = lim = lim = = lim = f ( ) ln + ( ) ( ln ) ln + ( ln ) = lim = lim = lim = ( ln + ) = lim = ln = = c) Dtrminăm punctl critic, f ()=, = = = şi tablul d smn 8
19 + f () P (,], f () f st funcńi dscrscătoar, iar p [,+), f () f st funcńi crscătoar S considră funcńia f:r R, f() = ( +) a) Să s calculz f (), R b) Să s dtrmin punctl d trm al funcńii f f c) Să s calculz lim f R a) S calculază drivata după rgula produsului f = = + + = ( ) ( ) = + + = b) Dtrminăm punctl critic, f ()= şi din tablul d smn aflăm punctl d trm f = = =, =± f () P (+, ], f () f st funcńi crscătoar, iar p [-,+], f () f st funcńi dscrscătoar şi atunci = punct d maim local P [-,+], f () f st funcńi dscrscătoar, iar p [+,+), f () f st funcńi crscătoar şi atunci =+ st punct d minim local FuncŃia ar două punct d trm local, = şi = + f ( ) + c) lim = lim = lim = f ( ) + + = lim lim = = + + f ( )( + ) + sau lim = lim = lim = f + + = lim = lim = lim = S considră funcńia f:(,+ ) R, dfinită prin f = ln a) Să s calculz f (), (, ) b) Să s dtrmin punctl d trm al funcńii f c) Să s dmonstrz că ln pntru oric (,+ ) 9
20 R a) f = ( ln ) = = = b) Aflăm punctl critic, f ()=, = = ( )( + ) = =, =±, dar = nu st în domniul d dfinińi al funcńii şi atunci punct critic st = În tablul d smn contază numai smnul prsii -: f () / / / / / / / / / / / / / / / / / P intrvalul (,], f () f st dscrscătoar, iar p [,+) f () f st crscătoar şi atunci = st punct d trm c) Ingalitata s mai poat scri: ln ln ( ) ln, ca c n arată că s compară f ( ) cu f() Din monotonia funcńi d la pctb) avm funcńia crscătoar p [,+), adică f f ln, car st ingalitata d dmonstrat 5 S considră funcńia f : R R dfinită prin f() = a) Să s calculz f (), R b) Să s dmonstrz că f() pntru oric R c) Să s scri cuańia asimptoti oblic cătr la graficul funcńii f f = = R a) b) Dtrminăm monotonia funcńii şi punctl d trm f = = = = Tablul d smn: + f () f() m = punct d minim pntru f, adică f() f() f() =, pntru oric R c) EcuaŃia asimptoti oblic st y = m + n,und f m= lim = lim = lim = lim = = =, iar n= lim ( f m) = lim( ( ) ) = lim( + ) = lim = = şi asimptota oblică cătr la graficul funcńii va fi y = A + y = 6 S considră funcńia f : R R dfinită prin f() = a) Să s calculz drivata funcńii f b) Să s dtrmin intrvall d monotoni al funcńii f c) Să s arat că + + +, pntru oric R
21 R a) f = = b) Dtrminăm monotonia funcńii Punctl critic f = = = = Tablul d smn: - + f () f() m P intrvalul (-,], f () < f st dscrscătoar, iar p [,+), f ()> f st crscătoar c) Din punctul b) punctul d coordinat (,) st punct d minim, adică f() şi d asmna f( ) Adunăm cl două rlańii: ln 7 S considră funcńia f:(,+) R, f = a) Să s calculz f (), (, ) b) Să s dtrmin intrvall d monotoni al funcńii f c) Să s dtrmin cuańia asimptoti orizontal la graficul funcńii f R a) S calculază drivata funcńii după rgula d drivar a câtului ln ( ln ) ln ln f = = = b) Pntru studira monotonii dtrminăm punctl critic şi facm tablul d smn al ln drivati f = = ln = ln = = + f () P (,], f () atunci funcńia st crscătoar, p [,+), f () şi funcńia st dscrscătoar c) Calculăm limita la +: l Hospital ln ( ln ) lim f = lim = lim lim = = = lim = = şi atunci drapta y=, (aa O) st asimptotă orizontală spr +, 8 S considră funcńia f:r R, f = ln, > a) Să s studiz continuitata funcńii f în punctul = b) Să s dtrmin cuańia asimptoti cătr - la graficul funcńii f c) Să s arat că funcńia f st concavă p (, + )
22 R a) Pntru dtrminara continuităńii calculăm limitl latral în punctual = şi valoara funcńii: ls = lim f = lim = = = > > < < ld = lim f = lim ln = ln=, f = = = Avm l s ()=l d ()=f ()= şi atunci funcńia st continuă în = b) lim f = lim = lim lim = + = = + = = = şi drapta y = st asimptotă orizontală cătr la graficul funcńii f c) Pntru dtrminara concavităńii uni funcńii n folosim d drivat a II-a a funcńii P intrvalul (,+) funcńia st f()=ln şi atunci f =, f, > = > car st ngativă doarc > pntru oric (,+) Dacă f () < atunci funcńia st concavă p (,+ ) 9 S considră funcńia f :(,+ ) R, f () = ln a) Să s arat că f() f ()= b) Să s dtrmin punctul d trm al funcńii f f c) Să s calculz lim + R a) ln f() f ()= = b) = st punct critic şi tablul d variańi la funcńii: + f () f () f = = =, f = ( ln ) = şi f = = = Atunci P (,], f () şi f st dscrscătoar, iar p [, +), f () şi f st crscătoar, atunci A(,) st punct d minim f ln ln L H c) lim = lim = lim = lim = = lim = = S considră funcńia f :R R, f () = + f f a) Să s calculz lim b) Să s arat că funcńia f st convă p R c) Să s rzolv în mulńima numrlor ral cuańia f () f () + f () =
23 f f () f f () R a) lim = lim car st drivata funcńii în punctul = ( f f () f = + ) = + şi f () = + = şi atunci lim = b) Convitata s dtrmină cu ajutorul smnului drivati a II-a: f = + = + = +, f ()>, R şi atunci f st convă p R c) Înlocuim p f şi f d la pcta), rspctiv b) s obńin: f ()-f ()+f() = + (+ )+ + = = ++= (+) =, = S considră funcńia f :(,+ ) R, f ()= ln a) Să s arat că f ()=(ln+), oricar ar fi (,+ ) f b) Să s calculz lim ln c) Să s dmonstrz că f f = ln + ln = ln + R a), pntru oric > ( ln ) = + f ln + ln b) lim = lim = lim + ր = ln ln ln ln c) Dtrminăm monotonia funcńii: f = ( ln + ) = ln + = ln = =, tablul d smn > + f () f() min Punctul =, f = ln = = st punct d minim f, pntru oric > f = a) Să s calculz f()+f () f + f b) Să s calculz lim c) Să s arat că funcńia f st concavă p R R a) f = ( ) = + = + şi f ( ) f + = + + = + + = S considră funcńia f :R R,
24 b) + + f + f + lim = lim = lim = f = + = = <, R f st concavă p R c) S considră funcńia f :[,+ ) R, f a) Să s vrific că f = ( ) ( + ) = +, pntru oric [,+ ) b) Să s dtrmin cuańia asimptoti orizontal cătr + la graficul funcńii f c) Să s arat că f, oricar ar fi + R a) ( + ) ( + ) + f = = = = b) Asimptota orizontală y = l, l= lim lim = = = y = + + c) Dtrminăm monotonia funcńii: f ()= = =, punct d trm Tablul d variańi: + f () f() +, + f = = = f = = = = punct d maim + f () + f = + + S considră funcńia f :R R, a) Să s calculz f (), R b) Să s dtrmin lim f f c) Să s dmonstrz că funcńia f st crscătoar p R R a) f = = = ( 5 ) = + +
25 b) f f lim = f = ( + + 5) = 5 conf df drivati c) f = ( )( + + 5) + ( ) = ( ) = f st = = +, R crscătoar p R 5 S considră funcńia f :(,+ ) R, f = 6 a) Să s vrific că f =, pntru oric (;+ ) b) Să s dtrmin intrvall d monotoni al funcńii f c) Să dmonstrz că f ()+ f( ), pntru oric (;] R a) f = + = + b) Smnul drivati: f ()= 6= = = + f () ) ) 6 = + = P intrvalul (,], f () f st dscrscătoar, iar p [, + ), f () f st crscătoar c) f f lim (,] = <, f = = şi f < [,] f ( ) f + f ( ) f ( ) 5
Teorema Rezidurilor şi Bucuria Integralelor Reale
Torma Ridurilor şi Bucuria Intgrallor Ral Prntar d Alandru Ngrscu Intgral cu funcţii raţional c dpind d sin t şi cos t u notaţia it, avm: cos t ( + sin t ( i dt d i, iar intgrara s va fac d-a lungul crcului
Διαβάστε περισσότεραEşantionarea semnalelor
Eşantionara smnallor Eşantionara = prlvara d prob dintr-un smnal la momnt d timp dcalat intr l cu cu frcvnta d şantionar, f =/. xˆ t x k t k k = ( = δ ( Smnalul şantionat idal:. Spctrul Xˆ = X ( k k =
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 9.
Capitolul V: Şiruri şi srii d fucţii. Lct. dr. Lucia Maticiuc Facultata d Hidrothică, Godzi şi Igiria Mdiului Matmatici Suprioar, Smstrul I, Lctor dr. Lucia MATICIUC SEMINAR 9. Cap. V Şiruri şi srii d
Διαβάστε περισσότεραCapitolul I ECUAŢII DIFERENŢIALE. 1 Matematici speciale. Probleme. 1. Să de integreze ecuaţia diferenţială de ordinul întâi liniară
Mamaici spcial Problm c solţia apioll I EUAŢII DIFERENŢIALE Să d ingrz caţia difrnţială d ordinl înâi liniară g cos d Solţi: Ecaţia omognă aaşaă s: - g sa g d ln - ln cos ln sa Pnr rzolvara caţii cos nomogn
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραlim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότερα7. INTEGRALA IMPROPRIE. arcsin x. cos xdx
7 INTEGRALA IMPROPRIE 7 Erciţii rzolv Erciţiul 7 Să s sudiz nur urăorlor ingrl irorii şi să s drin vloril csor în cz d convrgnţă: d c sin d 3 / rcsin d cos d d sin d > R Soluţii Funcţi f : - R f s ingrilă
Διαβάστε περισσότεραπ } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.
Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραILE FUNCłIILOR DERIVABILE PE UN INTERVAL
PROPRIETĂłILE ILE FUNCłIILOR DERIVABILE PE UN INTERVAL 1. Puncte de etrem ale unei uncńii Determinarea punctelor de etrem ale unei uncńii are o mare importanńă practică, iind legată de rezolvarea problemelor
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότερα2.CARACTERIZAREA GENERALĂ A RADIOACTIVITǍŢII
2.CARACTERIZAREA GEERALĂ A RADIOACTIVITǍŢII Radioactivitat -fnomnul d misi d radiaţii d cătr unl substanţ numit substanţ radioactiv. Procsul constă în misia a tri tipuri d radiaţii: α, β şi γ, priml două
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραcateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC
.Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραy y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =
Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότεραSiruri de numere reale
Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότεραModele matematice pentru îmbunătăţirea calităţii sistemelor electrice
Modl matmatic pntru îmbunătăţira calităţii sistmlor lctric Lct.univ.dr.ing. Ghorgh RAŢIU. Introducr Ţinând sama d tndinţl modrn al proictării sistmlor lctric (chipamntlor lctric) d înlocuir a uni proictări
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE
Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE Noţiunea de derivată, elementul fundamental al calculului diferenţial, are o deosebită importanţă în studiul matematic al mărimilor variabile. Problemele principale care
Διαβάστε περισσότεραProiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότερα!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).
1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραÎn spectrul de rotaţie al moleculei HCl s-au identificat linii spectrale consecutive cu următoarele lungimi de undă: λ
PROBLMA 5 În spctrul d rotaţi al molculi HCl s-au idntificat linii spctral conscutiv cu următoarl lungimi d undă: λ 6.4 m; λ 69. m ; λ 8. 4 m ; λ 96. 4 ; λ. 6 m ; 4 5 a Prsupunând molcula un rotator rigid
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραSistem analogic. Sisteme
Sistm Smnall pot fi supus prlucrarii in scopul obtinrii unor alt smnal, sau al obtinrii unor paramtri ai acstora. Prlucraril s aplica unui smnal intrar x(t) si s obtin un alt smnal, isir, y(t). Moulara/moulara,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότερα, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότερα1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.
Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp
Διαβάστε περισσότεραavem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +
Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραHONDA. Έτος κατασκευής
Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότερα1Reziduuri şi aplicaţii
Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραEcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau
EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x
Διαβάστε περισσότεραProbleme. c) valoarea curentului de sarcină prin R L şi a celui de la ieşirea AO dacă U I. Rezolvare:
Pobleme P Pentu cicuitul din fig P, ealizat cu amplificatoae opeaţionale ideale, alimentate cu ±5V, să se detemine: a) elaţia analitică a tensiunii de ieşie valoile tensiunii de ieşie dacă -V 0V +,8V -V
Διαβάστε περισσότερα5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Διαβάστε περισσότερα