שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

Transcript

1 תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא שורש שלם של (x f ( כלומר קיים כך ש כלומר f ( x) = ( x ) g( x) g( x) Z[ x] f ( m ) = ( m ) g( m ) = p M f ( m ) = ( m ) g( m ) = p m1 m5 ± 1 ± p הם הם 5 מחלקים שלמים שונים של p אבל המחלקים השלמים היחידים של וזו סתירה יקרא שדה אם: + F הגדרה: חבורה קמוטטיבית + F חבורה קומוטטיבית *F () () פילוג של הכפל ביחס לחיבור שדות ab ( + c) = a b+ a c דוגמאות: () שדות: RC p) ZpQ ראשוני) לא שדות: Z כי למשל לא הפיך + לא הפיך i כי למשל Zi [ ] Z 8 כי למשל 4 לא הפיך Z כאשר לא ראשוני הגדרה: L F יקרא תת שדה של F אם L בעצמו שדה יש לבדוק: 1 L 1 () אם ab L a b L וגם a b L L + F + L* F* Q תת שדה של R שהוא תת שדה של C הגדרה: שדה K יקרא הרחבה של שדה F ונסמן K F (אם קיים שיכון של F ב ) K אם קיים איזומורפיזם בין F לתת שדה של K K F חח"ע ועל F : הגדרה: יהי F שדה נסתכל על הסדר של 1 בחבורה + F אם הסדר של 1 הוא סופי המאפיין של F הוא

2 אם הסדר של 1 הוא אין סופי המאפיין של F הוא CharF = = הגדרה: CharF המספר הטבעי הקטן ביותר כך ש אם אין כזה דוגמאות: Char( Q) = Char( R) = Char( C) = Char( Zp) = p טענה: אם המאפיין של השדה הוא מספר טבעי הוא ראשוני = טבעי יהי CharF =1 ו {} הוא לא שדה לא יתכן ש 1= כי m s= כך ש m s< נניח בשלילה ש לא ראשוני קיימים 1) + + 1)(1 + + (1 = = קיבלנו שיש בשדה מחלקי וזו סתירה טענה: חיתוך תתי שדות של שדה F הוא תת שדה של F הגדרה: יהי F שדה התת שדה ראשוני של F הוא תת שדה הקטן ביות של F הסבר לכך שקיים לכל שדה תת שדה ראשוני: אם ניקח את חיתוך כל תתי שדות של F נקבל תת שדה הקטן ביותר של F וזה התת שדה הראשוני של F טענה: אם אם Q איזומורפי ל F התת שדה הראשוני של CharF = CharF = p התת שדה הראשוני של F איזומורפי ל Zp () m נסמן ב L את התת שדה הראשוני של F L 1 כי L תת שדה 1 L בגלל הסגירות של L לחיבור F + < ב 1> Z *L חבורה חלקית של אם נסמן m= מכאן ש F* 144 m L 1 1 וגם m L L m Q L ומכיוון ש Q הוא שדה נובע ש 11 L לכן L מכיל שיכון של לכל שלם כלומר L מכיל שיכון של Q Zp שהוא שדה Zp L () הערה: אם שדה F הוא התת שדה הראשוני של עצמו הוא נקרא שדה ראשוני ZpQ הם שדות ראשוניים הגדרה: נניח ש K F אפשר להסתכל על כך כ F תחום שלמות של K או כ K כמרחב וקטורי מעל שדה F ונסמן [F [ K : את המימד של מרחב וקטורי זה תזכורת: מרחב וקטורי: נתונה קבוצה V שאיבריה יקראו וקטורים

3 α v V מוגדר + ב V + ) V חבורה קומוטטיבית) נתון גם שדה F שאיבריו יקראו סקלרים ומוגדרת מכפלה בין איברי F לאיברי V הגדרה: V יקרא מרחב וקטורי מעל שדה F אם מתקיים: + V חבורה קומוטטיבית ( α β ) v= α ( β v) () ( α+ β ) v= α v+ β v () α ( v+ w) = α v+ α w (4) 1 v= v (5) חבורה קומוטטיבית + K (6) מוגדר כפל לבין α F לבין v K ע"פ הכפל של K (7) שאר התנאים מתקיימים בשדה K (8) {1 i} [ C : R ] = C הוא מרחב וקטורי מעל R ממימד צ"ל: C= Spa{1 i} {i 1} בלתי תלויים () בסיס למשל צ"ל שכל מספר מרוכב ניתן לכתוב כ a +1 b i C הוא השדה הקטן ביותר שמכיל כאשר a k R לכל k כאשר ab סקלרים כלומר{ { { ai + + ai+ חייב להכיל את } a C= a+ bi ab R 1 R { i} a+ bi Ri ( ) = c+ di R} Ri [ ] = { a+ bi ab c+ di ab= צ"ל a 1+ b i= b= a= וסיימנו a אחרת bi= a ו =i R וזו סתירה b נניח ש אם () F[ a] F( a) הגדרה: החוג הקטן ביותר שמכיל את F ואת a הוא השדה הקטן ביותר שמכיל את F ואת a הוא F L F( L) הגדרה: אם K שדה ו F תת שדה של K ו L K ( )Q הוא השדה הקטן ביותר שמכיל את Q ואת הוא השדה הקטן ביותר שמכיל את F[ x] הגדרה: יהי K הרחבה של שדה F איבר כך ש = ) α p( α K יקרא אלגברי מעל F אם קיים פולינום x α F[ x] הערה: אם לא קיים פולינום כזה α נקרא טרנסצנדנטי אם K F כל α F הוא אלגברי מעל F כי הוא מאפס את הפולינום ( ) = לכן R Q אבל הוא מתאפס ע"י אלגברי p x x R Q

4 + = α אלגברי α = + α = ( α ) ( α ) = = Q לא אלגברים טרנסצנדנטים מעל π e () () F( α) = F[ α] α K טענה: יהיו K F י F( α ) מסקנה: כאשר α אלגברי מורכב מכל הפולינומים ב F עם מקדמים מ α p x x אלגברי מעל R כי הוא שורש של + 1 = ) ( Ri ( ) Ri [ ] ai i C C R { ai 1 a ak R} = = ( ) = = { + } Q Q a b ab Q () הגדרה: נניח K F ו α K אלגברי מעל F קיימים פולינומים ב [x ]F ש α מאפס אותם mα את הפולינום המתוקן ) שמקדמו המוביל 1) ששונה מפולינום ה בעל מעלה נסמן ב (x ( הקטנה ביותר אשר α מאפס אותו והוא ייקרא הפולינום המינימלי של α הערה: לא יתכנו שני פולינומים מינימליים שונים כי: הפולינומים המאפסים את α) זהו אידיאל ב [x ]F: ( α ) כי = I () סגירות ביחס לחיסור: אם f g I י α) ( α ) ( α) ( x] g F[ = α) g f ( α) = g( α) f ( () בליעה: יהי f I ) קבוצת כל a f g I I = { f ( x) F[ x] f ( α) = } f g = f g = g f I I F[ x] מאחר ש F שדה תחום ראשי קיים פולינום הוא הפולינום המינימלי ) a המקדם המוביל של נמצא ב I לכן הוא כפולה של (x )p מעלתו שיוצר את נטען ש ) כי כל פולינום ש α מאפס אותו deg Q מעל R ב m ( x) תרגיל: מצא את m x x ( ) = פתרון: כי כך ש מאפס אותו ולא יתכן פולינום ממעלה קטנה מ שמתאפס ע"י וזו סתירה כי b = Q a a + b= = ax+ b טענה: יהי K F ו α אלגברי מעל F פולינום מתוקן x] F[ אם ורק אם = ) α p( ו x) p( אי פריק הוא הפולינום המינימלי ( ) x) p( הפולינום המינימלי = ) α p( ברור נניח בשלילה ש x) p( פריק = α) p( α) = g( α) h( = ) α h( או = ) α g( בסתירה למינימליות של p ) ( יהי x) f ( פולינום ש α מאפס אותו צ"ל x) deg f ( x) deg p( ראינו כבר שהפולינום g( xhx ) ( )

5 f ( x ) המינימלי יוצר את האידיאל של כל הפולינומים שמתאפסים ע"י α m x x ( ) = deg f ( x) deg R Q R פולינום זה הוא הפולינום המינימלי את Q מעל R ב m ( x) כי הוא אי פריק ומאפס טענה: אם α אלגברי מעל F י הוא אי פריק כי הוא ממעלה [ F( α ) : F] = deg m ( x) = 1 {1 } α α] F( α) = F[ בת"ל: נניח ש הפולינום של x) m ( כי α אלגברי נראה ש α α והוא ממעלה בסיס של ) α F( מעל F כי אחרת α מאפס את בסתירה למינימליות a1 = = a = deg mα ( x) > 1 1 a1+ α a+ + α a = 1 a1+ a x+ + a x F[ x] α