נושאים: 4. בסיס 5. מימד ליניארית - אסוציאטיביות (קיבוץ) וקומטטיביות (חילוף) החיבור בין אברי V (הוקטורים) לאיברי F (סקלרים) התנאים:

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "נושאים: 4. בסיס 5. מימד ליניארית - אסוציאטיביות (קיבוץ) וקומטטיביות (חילוף) החיבור בין אברי V (הוקטורים) לאיברי F (סקלרים) התנאים:"

ÊἙρμῆς Βαρουξής
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 תרגול 1 אלגברה ליניארית נושאים: מרחב ליניארי 1. תת מרחב ליניארי 2. Span.3 תלות ליניארית 4. בסיס 5. מימד 6. טרנספורמציות דמות, גרעין, (שניהם תתי מרחב), משפט המימדים 7. מרחב העמודות, דרגה של מטריצה, מרחב האפס, תנאי לקיום פתרון למערכת משוואות ליניארית.8 מטריצות ריבועיות מטריצה מדרגה מלאה, דטרמיננטה, מטריצה הופכית, מטריצה צמודה ערכים עצמיים, וקטורים עצמיים 11. מטריצות לכסינות מרחב ליניארי מרחב ליניארי הוא מבנה אלגברי כלומר אוסף של איברים בצירוף אוסף של פעולות המוגדרות בינהם, המקיימים אוסף של תנאים על מנת שיוכלו להיקרא מרחב ליניארי. קבוצה V מהווה מרחב ליניארי מעל שדה F (שדה גם הוא מבנה אלגברי, וגם בו מוגדרים מספר כללים. קבוצת המספרים הממשיים בצירוף פעולות החיבור והכפל היא שדה, והיא גם השדה שבו אנו נעסוק. בהקשר זה, המרחבים שאנו עוסקים בהם הם תמיד ה n יות) איברי הקבוצה V נקראים מעתה וקטורים בתוך הקבוצה V התנאים: סגירות ביחס לחיבור אסוציאטיביות (קיבוץ) וקומטטיביות (חילוף) החיבור איבר ניטרלי ביחס לחיבור איבר נגדי ביחס לחיבור בין אברי V (הוקטורים) לאיברי F (סקלרים) התנאים: סגירות ביחס לכפל בסקלר דיסטריבוטיביות (פילוג) של כפל בסקלר מעל חיבור, ושל חיבור סקלר מעל כפל אסוציאטיביות של כפל סקלר בוקטור איבר היחידה של השדה הוא איבר ניטרלי ביחס לכפל דוגמאות מעבר לדוגמא המשעממת של Rn בקטע סופי, סדרות אינסופיות מתכנסות. פולינומים ממעלה כלשהי, פונקציות ממשיות רציפות תת מרחב אם כבר הוכח שקבוצה V מעל שדה F בצירוף הגדרת פעולות הכפל הסקלרי והחיבור הוקטורי היא מרחב לינארי, אז קבוצה חלקית של וקטורים מ V תיקרא תת מרחב לינארי, אם גם היא מקיימת תכונות של מרחב לינארי. מסתבר שלקביעה האם תת קבוצה של V היא מרחב ליניארי דרוש קיום מספר מוגבל יותר של תנאים: קבוצה לא ריקה סגירות ביחס לחיבור סגירות ביחס לכפל בסקלר

2 ומתכונות אלה נובעות כל התכונות של מרחב ליניארי (רק אם הקבוצה שלקחנו מקורה בקבוצה שהוכחה כמרחב ליניארי) דוגמא לתת מרחב מתוך המישור הקרטזי ניתן לבחור את אחד הצירים, מתוך הפולינומים ממעלה 5 ניתן לבחור פולינומים ממעלה 3,(C) R מעתה נעסוק במרחב (Cn) Rn מרחב לינארי מופשט כלשהו מעל השדה למרות שההגדרות והמשפטים תקפים לגבי Span אוסף הצירופים לינארי של קבוצת וקטורים מ U V, הוא תת מרחב, ואומרים שהקבוצה U פורשת את.Span(U) תלות ליניארית קבוצת וקטורים תיקרא תלויה לינארית אם קיים צירוף לא טריביאלי של סקלרים a1,a2..an (לא טריביאלי לא כולם אפסים) a1 v1 + a2 v2 + + an vn = 0 0 וקטור האפס. שקול קבוצת וקטורים תיקרא תלויה לינארית אם ניתן להציג את אחד מאברי הקבוצה כצירוף ליניארי של שאר הוקטורים. בסיס קבוצה של וקטורים בלתי תלויים ליניארית הפורשת מרחב V נקראת הבסיס של V. כל הבסיסים של Rn מכילים אותו מספר איברים n. מימד מספר האיברים בבסיס של מרחב V נקרא המימד של V. במרחב ממימד n לא תיתכן קבוצה בעלת יותר מ n וקטורים שהיא בלתי תלויה ליניארית. טרנספורמציות לינארית טרנספורמציה ליניארית T ממרחב V למרחב W היא העתקה המקיימת את תכונות הליניאריות המוכרות לנו. הדמות (Image) של טרנספורמציה היא קבוצת האיברים ב W שמועתקים על ידי T מתוך V Im( T) = { w W v V, T( v) = w} הגרעין (Kernel) של טרנספורמציה הוא קבוצת האיברים ב V המועתקים על ידי T לאפס של W Ker( T ) = { v V T ( v) = 0} הדמות היא תת מרחב של W, הגרעין הוא תת מרחב של V (אלו הם משפטים, לא הגדרות) מתקיים dim(ker(t))+dim(im(t))=dim(v) מטריצות וטרנספורמציות ניתן לאמר שמטריצה A מסדר n x m מגדירה טרנספורמציה מ Rm ל,Rn במובן, m n Av = u v R, u R מרחב העמודות של המטריצה הוא הדמות של ההעתקה, ומכנים אותו Range A מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות Av=0 הוא הגרעין של ההעתקה, ומכנים אותו Null A למימד של של Range A קוראים דרגת המטריצה,(Rank) ולפי המשפט הקודם מתקיים: Rank A + dim(null A) = m

3 קיים גם מרחב הנפרש על ידי וקטורי השורה של המטריצה. מימד מרחב זה נקרא דרגת השורות של.Rank A אך קיים משפט הטוען כי דרגת השורות שווה לדרגת העמודות, ולכן מספיק לרשום A, דרגת המטריצה, אם כן, קטנה או שווה לקטן מבין מספר השורות או מספר העמודות של המטריצה. מטריצה מדרגה מלאה היא מטריצה שדרגתה היא מקסימלית (כלומר שווה לקטן מבין מספר השורות או מספר העמודות) :MATLAB הפקודה rank(a) מחזירה את דרגת המטריצה. v Range( A) Rank[ A; v] = Rank[ A] למערכת משוואות לא הומוגנית Ax=v קיים פתרון אם ורק אם או לחילופין מטריצות ריבועיות 1 1 A A= AA = I ( AB) = B A מעתה ואילך נעסוק במטריצות ממימדים n x n אם A מטריצה ריבועית מדרגה מלאה אז אומרים שהמטריצה היא רגולרית. אם A מדרגה לא מלאה אז המטריצה היא סינגולרית. אם A רגולרית אז קיימת מטריצה שתסומן ומטריצה זו מקיימת גם מטריצה זו רגולרית. אם מטריצות A ו B הפיכות אז: A 1 שיחלוף מטריצות: מטריצה המתקבלת מהחלפת שורות ועמודות בתוך המטריצה נקראת מטריצה T משוחלפת,(Transposed) ומסומנת. A תכונות השיחלוף: בנוסף, אם A הפיכה אז גם T T T ( AB) = B A ( A + B) = A + B T T T T A הפיכה ומתקיים: ( A ) = ( A ) 1 T T 1 :MATLAB הסימון `A משחלף מטריצות, לווא דווקא ריבועיות. יש לשים לב שכשעובדים עם ערכים מרוכבים הסימון הנ"ל גם מבצע פעולת צימוד על איברי A. הפקודה inv(a) מחזירה את ההפכית של A אם היא הפיכה. אם לא, ה MATLAB מהיותו כלי נומרי לא יכול להראות באופן אנליטי שמטריצה אינה הפיכה, ולכל היותר ייקבע שעד לרמת הדיוק שהוא מגיע המטריצה היא סינגולרית, ויוציא הודעה: Warning: Matrix is singular to working precision כאשר המטריצה המתקבלת תכיל ערכי.Inf בנוסף ניתן להשתמש באופרטורים / ו \, כאשר המשמעות היא:

4 דטרמיננטות אופרטור הדטרמיננטה פועל על מטריצות ריבועיות בלבד, ומקיים את התכונה החשובה ש 0=A det אם ורק אם A סינגולרית. תכונה חשובה נוספת: det AB = deta det B אם מוסיפים שורה או עמודה במטריצה לשורה או עמודה אחרת, הדרטרמיננטה לא משתנה אם מכפילים שורה או עמודה בסקלר אז הדטרמיננטה מוכפלת באותו סקלר הדטרמיננטות של מטריצות משוחלפות זהות. A. מחזירה את הדטרמיננטה של det(a) :MATLAB Adjoined המטריצה הצמודה ל A מהווה דרך ישירה לחשב את המטריצה ההפכית ל A, ללא שימוש בדירוג שורות (לווא דווקא פשוט יותר, אך משמש אותנו כאשר אנו עובדים עם מטריצות המכילות פרמטרים), האיבר בשורה ה i ובעמודה ה j של המטריצה הצמודה נתון לפי: i+ j A [ adja] = ( 1) det[ M ] A 1 = ij adja det A ji P = AdjP = + = והתכונה החשובה היא שאם A הפיכה אז מתקיים לדוגמא MATLAB אין פקודת מטלב המחשבת מטריצה צמודה. לא בעיה לכתוב אחת כזו... (אם כי יש דברים יותר חשובים לעשות)

5 ערכים עצמיים n n סקלר λ ייקרא ערך עצמי של A אם קיים וקטור v שונה מאפס המקיים Av = λv אוסף הוקטורים המקיימים את הנ"ל הוא תת מרחב, ונקראים תת המרחב העצמי של. λ המימד של תת המרחב הזה נקרא הריבוי הגיאומטרי של. λ ניתן להראות שכל הערכים העצמיים של A הם שורשיו של הפולינום האפייני של A: P ( ) det( ) 0 A λ = λi A = את הפולינום האפייני כמו כל פולינום, ניתן לרשום כמכפלת הגורמים: 1 2 ( λ λ ) ( λ λ )...( λ λ ) rm r r 1 2 m λ... 1 החזקות r1 rm נקראות הריבוי האלגברי של הערכים λm הריבוי הגיאומטרי של כל ערך עצמי קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו. משפט: וקטורים עצמיים השייכים לערכים עצמיים שונים הם בלתי תלויים לינארית. אם הריבוי הגיאומטרי של כל הע"ע שווה לריבוי האלגברי שלהם, אז ל A קיימים n וקטורים עצמיים בלתי תלויים, וניתן לרשום: Av1 = λ1v 1, Av2 = λ2v2,..., Avn = λnvn λ1 0 0 λ A[ v1v2... vn] = [ v1v2... v n] 0 0 [ v1v2... vn] A[ v1v2... vn] = λn 0 0 λn במקרה זה אומרים שהמטריצה A לכסינה, ושקיימת טרנספורמציית דימיון המלכסנת את A. שים לב: vv v היא מטריצה שעמודותיה הם n וקטורים עצמיים בלתי תלויים של A. [ ] n הערות: מטריצה היא לכסינה אם ורק אם יש לה n וקטורים עצמיים בלתי תלויים. לא מתחייב שיהיו לה n ערכים עצמיים שונים, אך אם זה מתקיים אז היא לבטח לכסינה. 1 הפעולה P AP נקראת באופן כללי (לווא דווקא בהקשר של ליכסון) טרנספורמציית דמיון והמטריצות נקראות מטריצות דומות. למטריצות דומות אותם ערכים עצמיים אך לא אותם וקטורים עצמיים. כמו כן למטריצות דומות אותה הדטרמיננטה מכאן שלמטריצה לכסינה הדטרמיננטה היא מכפלת הערכים העצמיים. למטריצות ממשיות ייתכנו ערכים עצמיים מרוכבים אך תמיד יבואו בזוגות צמודים למטריצה סימטרית ערכים עצמיים ממשיים בלבד, והיא תמיד לכסינה. :MATLAB הפונקציה [v,e]=eig(a) מחזירה את המטריצה המלוכסנת (המטריצה שעל האלכסון שלה נמצאים הערכים העצמיים) ב e ואת המטריצה המלכסנת (המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים העצמיים) ב v. כרגיל, MATLAB הוא כלי נומרי, ומכיוון שמבחינה הסתברותית קשה "לפגוע" במטריצה לא לכסינה גם עבןר מטריצה שבאופן אנליטי ניתן להראות שאינה לכסינה, ה MATLAB ילכסן. אלא ש,eig בניגוד למשל ל,inv אפילו לא מודיעה על בעיה.

6 לדוגמא:

Σχετικά έγγραφα

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות מטריצות + [( αij+ β ij ] m λ [ λα ij ] m λ [ αijλ ] m + + ( + +C + ( + C i C m q m q ( + C C + C C( + C + C λ( ( λ λ( ( λ (C (C ( ( λ ( + + ( λi ( ( ( k k i חיבור מכפלה בסקלר מכפלה בסקלר קומוטטיב אסוציאטיב