v(t) = Ri(t). (1) website:

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "v(t) = Ri(t). (1) website:"

Δαίδαλος Βουρδουμπάς
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 10 Μαρτίου Βασικά μεγέθη ηλεκτρικών συστημάτων 1.1 Ηλεκτρική αντίσταση R Με τον όρο ηλεκτρική αντίσταση εκφράζουμε την δυσκολία που παρουσιάζεται στην διέλευση των ηλεκτρικών φορτίων μέσω ενός υλικού. Η μονάδα της ηλεκτρικής αντίσταση στο Διεθνές Σύστημα (SI) είναι το Ωμ (Ω). Το ηλεκτρικό στοιχείο που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση της αντίστασης ονομάζεται αντιστάτης και συμβολίζεται όπως στο σχήμα 1. Σχήμα 1: Αντιστάτης Οταν ο αντιστάτης αποτελείται από υλικά που χαρακτηρίζονται από γραμμική συμπεριφορά τότε η αντίσταση παίρνει σταθερή τιμή και καθορίζεται από τον νόμο του Ohm v(t) = Ri(t). (1) jmaay@physics.auth.gr, website: 1

2 Χαρακτηριστική καμπύλη v i ονομάζουμε την καμπύλη που δίνεται σε ένα διάγραμμα v i. Για έναν γραμμικό αντιστάτη η Χαρακτηριστική καμπύλη δίνεται όπως στο σχήμα 2, απ όπου βλέπουμε ότι η κλίση της καμπύλης καθορίζει την ηλεκτρική αντίσταση. u t i t Σχήμα 2: Χαρακτηριστική καμπύλη v i γραμμικού αντιστάτη. Στην περίπτωση ενός μη γραμμικού αντιστάτη ορίζουμε τη στατική α- ντίσταση του υλικού για κάποιο σταθερό σημείο λειτουργίας a του ως την κλίση της ευθείας που περνά από το συγκεκριμένο σημείο και την αρχή των αξόνων στο συγκεκριμένο σημείο (γκρι γραμμή στο σχήμα 3), δηλαδή R static = V a I a. (2) Η στατική αντίσταση έχει νόημα όταν το σύστημα λειτουργεί σταθερά στο συγκεκριμένο σημείο λειτουργίας του. Στα πραγματικά συστήματα η λειτουργία σε κάθε σημείο έχει πάντα μικρές αποκλίσεις γύρω από κάποιο συγκεκριμένο σταθερό σημείο λειτουργίας. Ετσι στην περίπτωση αυτή ορίζουμε τη δυναμική αντίσταση ως την κλίση της εφαπτομένης στο συγκεκριμένο σημείο λειτουργίας του R dynamic = dv di i=i a. (3) 2

3 20 u t i t Σχήμα 3: Μαύρη γραμμή: Χαρακτηριστική καμπύλη v i μη γραμμικού αντιστάτη. Γκρί γραμμή: στατική αντίσταση. Μαύρη διακεκομένη γραμμή: δυναμική αντίσταση 1.2 Ηλεκτρική χωρητικότητα C Ηλεκτρική χωρητικότητα πυκνωτή ονομάζουμε την ποσότητα ηλεκτρικού φορτίου που απαιτείται για να προκαλέσει αύξηση του δυναμικού στα άκρα του πυκνωτή κατά 1Volt (V ), δηλαδή C = q v. (4) Το ηλεκτρικό στοιχείο που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση τον πυκνωτή δίνεται στο σχήμα 4. Σχήμα 4: Πυκνωτής 1.3 Αυτεπαγωγή L Αυτεπαγωγή L ενός πηνίου ονομάζουμε την απαιτούμενη μεταβολή της διαφοράς δυναμικού στα άκρα του πηνίου ώστε να προκαλέσει μοναδιαία αύξηση του 3

4 ρυθμού μεταβολής του φορτίου κατά 1 Coulomb/second (Cb/s), δηλαδή οπου Φ η μεταβολή της μαγνητικής ροή. V = L i t = Φ t, (5) Το ηλεκτρικό στοιχείο που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση του πηνίου δίνεται στο σχήμα 5. Σχήμα 5: Πηνίο 2 Μοντελοποίηση ηλεκτρικών συστημάτων 2.1 Γενικές αρχές και μεθοδολογία Βασικό εργαλείο για την επίλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων- συστημάτων είναι οι νόμοι του Kirchhoff. Ο πρώτος νόμος του Kirchhoff λέει ότι σε έναν κόμβο το αλγεβρικό άθροισμα των ηλεκτρικών ρευμάτων ισούται με το μηδέν, δηλαδή I = I1 + I I n = 0. (6) Ο δεύτερος νόμος του Kirchhoff λέει ότι σε έναν βρόγχο το αλγεβρικό άθροισμα των διαφορών δυναμικού ισούται με το μηδέν, δηλαδή V = 0. (7) Η χρήση του μετασχηματισμού Laplace μας επιτρέπει να δουλεύουμε στο μετασχηματισμένο κύκλωμα με πολύ μεγαλύτερη ευκολία από το αρχικό κύκλωμα. 4

5 Ορίζουμε την ηλεκτρική εμπέδηση Z(s) = V (s) I(s) Z capacitor = 1 Cs, Z resistor = R, των ηλεκτρικών στοιχείων Z inductance = Ls. (8) Υπάρχουν δύο κύριες μεθοδολογίες που μπορούμε να ακολουθήσουμε για την επίλυση απλών και σύνθετων ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Η πρώτη ονομάζεται Ανάλυση Πλέγματος (Mesh Analysis) και μπορούμε να την κωδικοποιήσουμε με τα εξής βήματα: 1. Αντικαθιστούμε τα ηλεκτρικά στοιχεία με τα αντίστοιχα στοιχεία εμπέδησης. 2. Αντικαθιστούμε τις πηγές με τις αντίστοιχες του μετασχηματισμού Laplace. 3. Υποθέτουμε τα ηλεκτρικά ρεύματα και τις διευθύνσεις τους. 4. Γράφουμε τον δεύτερο νόμο του Kirchhoff γιά κάθε πλέγμα. 5. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων. 6. Βρίσκουμε τη συνάρτηση μεταφοράς. Η δεύτερη μεθοδολογία ονομάζεται Ανάλυση Κόμβου (Nodal Analysis) και μπορούμε να την κωδικοποιήσουμε με τα εξής βήματα: 1. Αντικαθιστούμε τα ηλεκτρικά στοιχεία με τα αντίστοιχα στοιχεία αγωγιμότητας. 2. Αντικαθιστούμε τις πηγές με τις αντίστοιχες του μετασχηματισμού Laplace. 3. Αντικαθιστούμε τις μετασχηματισμένες πηγές τάσης με τις αντίστοιχες μετασχηματισμένες πηγές έντασης. 4. Γράφουμε τον πρώτο νόμο του Kirchhoff γιά κάθε κόμβο. 5

6 5. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων. 6. Βρίσκουμε τη συνάρτηση μεταφοράς. Οι παραπάνω διαδικασίες διευκολύνουν πολύ την επίλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων γιατί μας επιτρέπουν να βρίσκουμε τις εξισώσεις του συστήματος χωρίς να χρειάζεται να μελετάμε το κάθε στοιχείο του συστήματος Επίλυση απλού κυκλώματος με τη μεθοδολογία της α- νάλυσης πλέγματος Να βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς της τάσης του πυκνωτή ως προς την τάση της πηγής στο παρακάτω κυκλώμα (σχήμα 6) με την μεθοδολογία της ανάλυσης πλέγματος. Σχήμα 6: Κύκλωμα RLC Στο παρών πρόβλημα θεωρούμε ως έξοδο την τάση του πυκνωτή ενώ η τάση της πηγής θεωρείται η είσοδος του συστήματος. Ακολουθώντας τα βήματα που κωδικοποιήσαμε για την μεθοδολογία της ανάλυσης πλέγματος έχουμε τα εξής: Αντικαθιστούμε τα ηλεκτρικά στοιχεία με τα αντίστοιχα στοιχεία εμπέδησης και έχουμε: V c (s) = 1 Cs I(s), V R (s) = RI(s), V L (s) = LsI(s), (9) 6

7 ενώ η τάση της πηγής μετά τον μετασχηματισμό Laplace είναι V (s). Θεωρούμε τη φορά του ρεύματος που βλέπουμε στο σχήμα 6 και με τη βοήθεια του δεύτερου νόμου του Kirchhoff έχουμε: V (s) V c (s) V R (s) V L (s) = 0 V (s) = V c (s) + V R (s) + V L (s) V (s) = ( 1 Cs + R + Ls)CsV c(s) από όπου λύνοντας την παραπάνω εξίσωση έχουμε τη συνάρτηση μεταφοράς V c V (s) = 1 CLs 2 + RCs + 1. (10) Επίλυση απλού κυκλώματος με τη μεθοδολογία της α- νάλυσης κόμβου Να βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς της τάσης του πυκνωτή ως προς την τάση της πηγής του προηγούμενου παραδείγματος (σχήμα 6) με την μεθοδολογία της ανάλυσης κόμβου. Αντικαθιστούμε τα ηλεκτρικά στοιχεία με τα αντίστοιχα στοιχεία αγωγιμότητας και από τη συνισταμένη αγωγιμότητα Z(s) = V (s) έχουμε: I(s) Ls + R + 1 Cs = V (s) I(s) Ομως I(s) = CsV c (s) και άρα η συνάρτηση μεταφοράς γίνεται: V c V (s) = 1 CLs 2 + RCs + 1. (11) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Οπως παρατηρούμε με τη χρήση των παραπάνω μπορούμε να βρούμε την συνάρτηση μεταφοράς του κυκλώματος χωρίς να χρειάζεται να επιλύσουμε τις Διαφορικές Εξισώσεις που διέπουν την συμπεριφορά του συστήματος. 7

8 2.1.3 Να βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς I(s)/V (s) του κυκλώματος (σχήμα 7) με τη μέθοδο της ανάλυσης πλέγματος Σχήμα 7: Αντικαθιστούμε τα ηλεκτρικά στοιχεία με τα αντίστοιχα στοιχεία εμπέδησης και έχουμε: V c (s) = 1 C 1 s I(s), V R (s) = RI(s), V L (s) = L 1 si(s), (12) ενώ η τάση της πηγής μετά τον μετασχηματισμό Laplace είναι V (s). Θεωρούμε τη φορά των ρευμάτων I 1, I 2 όπως βλέπουμε στο σχήμα 7 και με τη βοήθεια του δεύτερου νόμου του Kirchhoff στα δύο πλέγματα (δεξιό και αριστερό) του σχήματος έχουμε τις δύο εξισώσεις: R 1 I 1 (s) + L 1 si 1 (s) L 1 si 2 (s) = V (S), L 1 si 2 (s) + R 2 I 2 (s) + 1 C 1 s I 2(s) L 1 si 1 (s) = 0. (13) Από όπου επιλύοντας αλγεβργικά το σύστημα βρίσκουμε τη συνάρτηση μεταφοράς: I 2 (s) V (s) = L 1 C 1 s 2 (R 1 + R 2 )L 1 C 1 s 2 + (R 1 R 2 C 1 + L 1 )s + R 1 (14) 8

9 2.1.4 Να βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς V c (s)/v (s) του κυκλώματος (σχήμα 8) με τη μέθοδο της ανάλυσης κόμβου Σχήμα 8: Αντικαθιστούμε τα ηλεκτρικά στοιχεία με τα αντίστοιχα στοιχεία εμπέδησης και την τάση της πηγής με τον μετασχηματισμό Laplace. Παίρνουμε τον πρώτο νόμο του Kirchhoff γιά τους κόμβους V L και V C και έχουμε τις παρακάτω εξισώσεις V L (s) V (s) R 1 + V L(s) Ls + V L(s) V C (s) R 2 = 0, CsV C (S) + V C(s) V L (s) R 2 = 0. (15) Από όπου επιλύοντας αλγεβργικά το σύστημα βρίσκουμε τη συνάρτηση μεταφοράς: V C (s) V (s) = Ls R 1 + (L + CR 1 R 2 )s + CL(R 1 + R 2 )s 2 (16) 3 Τελεστικοί Ενισχυτές - Operational A- mplifiers Ο τελεστικός ενισχυτής (σχήμα 9) είναι ένας ενισχυτής τάσης με πολύ μεγάλο όφελος και αποτελεί το βασικό δομικό στοιχείο σε μια πληθώρα αναλογικών εφαρμογών. 9

10 Σχήμα 9: Τελεστικός Ενισχυτής Ο τελεστικός ενισχυτής έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά: 1. Διαφορά δυναμικού εισόδου, v 2 (t) v 1 (t). 2. Υψηλή αγωγιμότητα εισόδου, Z i =. 3. Χαμηλή αγωγιμότητα εξόδου, Z o = Υψηλό συντελεστή ενίσχυσης, A =. Η τάση εξόδου του τελεστικού ενισχυτή δίνεται από τη σχέση v 0 (t) = A(v 2 (t) v 1 (t)). (17) 3.1 Αναστρέφων τελεστικός ενισχυτής - Inverting Operational Amplifier Αναστρέφων τελεστικός ενισχυτής ονομάζεται ένας τελεστικός ενισχυτής όταν γειώνουμε την τάση v 2 (t) (σχήμα 10). Για τον αναστρέφων τελεστικό η τάση εξόδου του δίνεται από τη σχέση v 0 (t) = Av 1 (t). (18) Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση που στον αναστρέφων τελεστικό ενισχυτή συνδέουμε δύο αντιστάσεις όπως στο σχήμα 11. Στην περίπτωση αυτή ισχύει ότι V 0 (s) V i (s) = Z 2(s) Z 1 (s). (19) 10

11 Σχήμα 10: Αναστρέφων Τελεστικός Ενισχυτής Σχήμα 11: Αναστρέφων Τελεστικός Ενισχυτής συνδεδεμένος με δύο αντιστάσεις 3.2 Μη Αναστρέφων Τελεστικός Ενισχυτής - Noninverting Operational Amplifier Μη Αναστρέφων τελεστικός ενισχυτής ονομάζουμε τον τελεστικό ενισχυτή με την συνδεσμολογία του σχήματος 12. Για τον Μη αναστρέφων τελεστικό ενισχυτή ισχύει ότι V 0 (s) V i (s) = Z 1(s) + Z 2 (s). (20) Z 1 (s) 11

12 4 Ασκήσεις Σχήμα 12: Μη Αναστρέφων Τελεστικός Ενισχυτής για το κύκλωμα του σχήμα- 1. Να βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς V L(s) V (s) τος 13. Σχήμα 13: Κύκλωμα άσκησης 1 για το κύκλωμα του σχήμα- 2. Να βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς V 0(s) V i (s) τος 14. για το κύκλωμα του σχήμα- 3. Να βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς V 0(s) V i (s) τος

13 Σχήμα 14: Κύκλωμα άσκησης 2 Σχήμα 15: Κύκλωμα άσκησης 3 για το κύκλωμα του σχήμα- 4. Να βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς V 0(s) V i (s) τος 16. Σχήμα 16: Κύκλωμα άσκησης 4 5. Να βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς V 0(s) V i (s) για το κύκλωμα του σχήμα- 13

14 τος 17. Σχήμα 17: Κύκλωμα άσκησης 5 για το κύκλωμα του σχήμα- 6. Να βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς V L(s) V (s) τος 18. Σχήμα 18: Κύκλωμα άσκησης 6 για το κύκλωμα του σχήμα- 7. Να βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς V L(s) V (s) τος 19. Σχήμα 19: Κύκλωμα άσκησης 7 14

Σχετικά έγγραφα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 17 Μαρτίου 2017 1 Βασικά μεγέθη Μηχανικών