h(t τ k ) X (t) = X (t) = (shot noise). 3/28 4/28

Transcript

1 Θόρυβος Στοχαστικά συστήματα & επικοινωνίες 6 Δεκεμβρίου /28 2/28

2 Ο θόρυβος βολής εμφανίζεται στις ηλεκτρονικές συσκευές, όπως οι δίοδοι και τα τρανζίστορ, εξαιτίας της διακριτής φύσης της ροής του ρεύματος. Για παράδειγμα, σε ένα κύκλωμα φωτοδιόδου ένας παλμός ρεύματος δημιουργείται κάθε φορά που ένα ηλεκτρόνιο εκπέμπεται από την κάθοδο. Τα ηλεκτρόνια εκπέμπονται φυσικά σε τυχαίες στιγμές τ k, όπου < k <. Ετσι, το συνολικό ρεύμα το οποίο διαρρέει τη φωτοδίοδο δίνεται από την X (t) = k= h(t τ k ) όπου h(t) είναι ο παλμός που γεννιέται από ένα ηλεκτρόνιο. 3/28 Η ανέλιξη του θόρυβου βολής Η στοχαστική ανέλιξη X (t) που ορίζεται από την X (t) = k= h(t τ k ) είναι μια στατική ανέλιξη και ονομάζεται θόρυβος βολής (shot noise). 4/28

3 Η μετρώσα ανέλιξη (counting process) Ο αριθμός των ηλεκτρονίων N(t) που εκπέμπονται στο χρονικό διάστημα (0, t) αποτελεί διακριτή στοχαστική ανέλιξη, η τιμή της οποίας αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά που εκπέμπεται ένα ηλεκτρόνιο. Η N(t) ακολουθάει την κατανομή Poisson με ρυθμό λ, ήτοι Pr{N(t) = k} = (λt)k k! e λt, k = 0, 1, /28 Ιδιότητες της κατανομής Poisson Ισχύει Pr{N(t + t 0 ) = k + k 0 /N(t 0 ) = k 0 } = Pr{N(t) = k} (απώλεια μνήμης) Η μέση τιμή είναι E{N(t)} = E{N(t + t 0 ) = N(t 0 )} = λt 6/28

4 Ιδιότητες της ανέλιξης θορύβου βολής Για την ανέλιξη του θορύβου βολής αποδεικνύονται οι εξής ιδιότητες: Η μέση τιμή είναι E{X (t)} = λ h(t) dt Η αυτοσυνδιασπορά είναι (θεώρημα Campbell) C X (τ) = E{[X (t + τ) E{X (t + τ)}][x (t) E{X (t)}]} = λ h(t)h(t + τ) dt 7/28 είναι το όνομα που δίνεται στον ηλεκτρικό θόρυβο που προκαλείται από την τυχαία κίνηση των ηλεκτρονίων σε έναν αγωγό. Η μέση τετραγωνική τιμή της τάσης θερμικού θορύβου v n, η οποία εμφανίζεται στα άκρα μιας αντίστασης R και μετράται σε εύρος ζώνης f Hertz δίνεται από τον τύπο E{v 2 n } = 4k T R f (volt 2 ) όπου k η σταθερά Boltzmann (1, joule K 1 ), T η απόλυτη θερμοκρασία. Για στατικό και εργοδικό ως προς την παραπάνω τιμή σήμα S n (f ) = 2kTR (1) οπότε v 2 n (t) = S n (f ) df = 4kTR f (2) 8/28

5 Συνολικός θερμικός θόρυβος στην έξοδο κυκλώματος Για το συνολικό θερμικό θόρυβο 1. υπολογίζουμε ξεχωριστά τον θόρυβο από κάθε αντίσταση και 2. εφαρμόζουμε την αρχή της επαλληλίας: S n (f ) = N 2kT i R i H i (f ) 2 (3) i=1 όπου H i (f ) είναι η συνάρτηση μεταφοράς από την πηγή θορύβου, που αντιστοιχεί στην αντίσταση R i, υποθέτοντας ότι μόνο αυτή η πηγή λειτουργεί. 9/28 Κυκλώματα για τον υπολογισμό του θερμικού θορύβου R 1 R 2 B R 1 R 2 C B γραμμικό δίκτυο, ομοιόμορφης θερμοκρασίας Τ (α) (β) (γ) 10/28

6 Παράδειγμα: Θόρυβος από αντιστάσεις εν παραλλήλω. V n1 (t) A V n2 (t) R 1 R 2 B Θερμοκρασίες των αντιστάσεων T 1 και T 2. Ο θόρυβος της R i οφείλεται σε μια πηγή τάσης θορύβου v ni (t). 11/28 Οι αντίστοιχες συναρτήσεις μεταφοράς είναι H 1 (f ) V o (f ) V n1 (f ) H 2 (f ) V o (f ) V n2 (f ) Υπολογίζεται εύκολα τότε ότι Vn2 (f )=0 Vn1 (f )=0 H 1 (f ) = R 2 R 1 + R 2 H 2 (f ) = R 1 R 1 + R 2 12/28

7 Η συνολική πυκνότητα φάσματος ισχύος του θορύβου στην έξοδο είναι S 0 (f ) = H 1 (f ) 2 2kT 1 R 1 + H 2 (f ) 2 2kT 2 R 2 S 0 (f ) = ( R2 R 1 + R 2 ) 2 2kT 1 R 1 + ( R1 R 1 + R 2 ) 2 2kT 2 R 2 Αν T 1 = T 2 = T S 0 (f ) = 2kT R 1R 2 R 1 + R 2 Ας παρατηρηθεί ότι S 0 (f ) = 2kTR 0 όπου R 0 είναι η αντίσταση εξόδου του κυκλώματος. 13/28 Θεώρημα του Nyquist Ισχύει για τα αμφίπλευρα δίκτυα (π.χ. αν περιέχουν στοιχεία R, L, C και δεν έχουν εξαρτημένες πηγές): S 0 (f ) = 2kTR 0 όπου R 0 (f ) είναι το πραγματικό μέρος της σύνθετης αντίστασης εξόδου. 14/28

8 Παράδειγμα Η θερμοκρασία και των δύο αντιστάσεων είναι T. Οπως και προηγουμένως όπου S 0 (f ) = 2kT R 1 + R f 2 f 2 0 f 1 0 = 2π(R 1 + R 2 )C Η μέση τετραγωνική τιμή της τάσης του θορύβου στην έξοδο είναι v0 2(t) = E{v 2 (t)} = S 0 (f )df = v0 2 (t) = kt /C R 1 R 2 C A B 15/28 Παθητικό γραμμικό δίκτυο με ομοιόμορφη θερμοκρασία Παθητικό γραμμικό δίκτυο, ομοιόμορφης θερμοκρασίας Τ C v0 2 (t) = kt /C Είναι αποτέλεσμα της εφαρμογής του θεωρήματος της ισοκατανομής: Σε κάθε βαθμό ελευθερίας αντιστοιχεί ίση ενέργεια kt /2, οπότε και η ενέργεια η αποθηκευμένη στον πυκνωτή είναι 1 2 Cv2 0 (t) = kt /2. 16/28

9 Μέγιστη ισχύς μονοθύρου I Η πυκνότητα φάσματος ισχύος που παράγει το μονόθυρο είναι S s (f ) = 2kT s R s, η οποία στην έξοδο φθάνει ως 2kT s R s H s (f ) 2 = 2kT s R s ( RL R s + R L ) 2 17/28 Μέγιστη ισχύς μονοθύρου II Αν υποτεθεί προσαρμογή, δηλ. R L = R s, η εν λόγω π.φ.ι. γίνεται kt s R s /2. Η αντίστοιχη μέγιστη μέση τετρ. τάση που μεταφέρεται στην έξοδο σε εύρος f είναι Η αντίστοιχη ισχύς είναι v 2 = kt sr s 2 2 f v 2 R L = kt sr s R L f = kt s f που λέγεται διαθέσιμη ισχύς. 18/28

10 Λευκό θόρυβος Η ανάλυση του θορύβου βασίζεται στη χρήση του λευκού θορύβου: S ww (f ) = N 0 2 Οι διαστάσεις του N 0 είναι W/Hz. Η αυτοσυσχέτιση είναι Rww(τ) = N 0 2 δ(τ) 19/28 Άλλες ιδιότητες του λευκού θορύβου Για τ 1 0, τ 2 0 τιμές της ανέλιξης w(τ 1 ), w(τ 2 ) σε διαφορετικές στιγμές είναι ασυσχέτιστες επειδή E{w(τ 1 )w(τ 2 )} = R ww (τ 1, τ 2 ) = 0 Αν είναι και Gauss, οι τ.μ. w(τ 1 ), w(τ 2 ) είναι και ανεξάρτητες. Η χρησιμότητα του λευκού θορύβου είναι ανάλογη εκείνης της κρουστικής συνάρτησης στα γραμμικά συστήματα. 20/28

11 Ισοδύναμη θερμοκρασία μονοθύρου Αν ο θόρυβος προερχόταν από μονόθυρο θερμοκρασίας T e θα ίσχυε για την ισχύ σε εύρος f ότι N f = kt e f N 0 = kt e οπότε η T e ονομάζεται ισοδύναμη θερμοκρασία θορύβου του μονοθύρου. 21/28 Παράδειγμα: Ιδανικός βαθυπερατός θόρυβος Λευκός θόρυβος Gauss μηδενικής μέσης τιμής και φασμ. πυκνότητας N 0 /2 εισάγεται σε ιδανικό βαθυπερατό εύρους ζώνης B και πλάτους 1 στην περατή ζώνη. Στην έξοδο εμφανίζεται θόρυβος με πυκνότητα φάσματος S nn (f ) = N 0 2 για B < f < B και 0 αλλού. Η αυτοσυσχέτιση είναι R nn (τ) = B B N 0 2 exp(j2πf τ)df = N 0Bsinc(2Bτ) 22/28

12 Δειγματοληψία Στο προηγ. παράδειγμα R nn (τ) = 0 για τ = ± n 2B. Επομένως δείγματα με απόσταση n/(2b) (δηλ. με ρυθμό δειγματοληψίας 2B) είναι ασυσχέτιστα: E{x(t ± n 2B ) x(t)} = 0 Εφόσον ο θόρυβος είναι Gauss, τα δείγματα είναι και ανεξάρτητα. 23/28 Παράδειγμα: Θόρυβος φιλτραρισμένος από βαθυπ. RC Λευκός θόρυβος Gauss μηδενικής μέσης τιμής και φασμ. πυκνότητας N 0 /2 εισάγεται σε βαθυπερατό RC με H(f ) = 1 1+j2πfRC. Στην έξοδο εμφανίζεται θόρυβος με πυκνότητα φάσματος S nn (f ) = N 0 2 H(f ) 2 = N (2πfRC) 2 Γνωστού όντος ότι exp( τ ) 2, η 1+(2πf ) 2 αυτοσυσχέτιση είναι R nn (τ) = N 0 4RC exp ( τ ) RC 24/28

13 Παράδειγμα: Αρμονικό κύμα με λευκό θόρυβο Δίνεται η x(t) = A cos(2πf c t + Θ) + w(t) όπου Θ είναι τ.μ. ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [0, 2π] και w(t) λευκός θόρυβος με E{x(t)} = 0 και S xx (f ) = N 0 /2. E{x(t + τ)x(t)} = E{[A cos(2πf c (t + τ) + Θ) + w(t + τ)][a cos(2πf c t + Θ) + w(t)]} = E{A 2 cos(2πf c (t + τ) + Θ) cos(2πf c t + Θ)} + E{w(t + τ)w(t)} + E{A cos(2πf c (t + τ) + Θ)w(t)} + E{A cos(2πf c t + Θ)w(t + τ)} 25/28 Η παράσταση αυτή στη συνέχεια επειδή τα w(t) και Θ είναι ανεξάρτητα γίνεται E{x(t + τ)x(t)} = A2 2 cos(2πf cτ) + R ww (τ) + E{A cos(2πf c (t + τ) + Θ)}E{w(t)} + E{A cos(2πf c t + Θ)}E{w(t + τ)} = A2 2 cos(2πf cτ) + R ww (τ) = A2 2 cos(2πf cτ) + N 0 2 δ(τ) 26/28

14 B Ορίζεται από τον τύπο 2BH 2 (0) = H(f ) 2 df 27/28 Βιβλιογραφια 1. Simon Haykin, Michael Mocher, «Συστήματα Επικοινωνίας», 5η έκδοση, Παπασωτηρίου, Αθήνα, B.P.Lathi, Communication systems, John Wiley and Sons, New York, Ε.Ν.Πρωτονοτάριος, «Στοχαστικές Ανελίξεις και Μετάδοση Σημάτων», Αθήνα, Peyton Z. Peebles, Probability, random variables, and random signal principles, 3rd ed., McGraw-Hill, New York, /28