E(X(t)) = 1 k + k sin(2π) + k cos(2π) = 1 k + k 0 + k 1 = 1

Transcript

1 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Τηλεπικοινωνιών ΤΗΛ 2: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΑ ΣΗΜΑΤΑ 4ο Εξάμηνο η ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΣΚΗΣΗ Εστω τυχαία διαδικασία X(t) = a sin(2πt) + a cos(2πt) + a, όπου a Bernoulli τ.μ με p = k. (i) Υπολογίστε την μέση τιμή της διαδικασίας την στιγμή t = (4%) (ii) Υπολογίστε την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για τις χρονικές στιγμές t =, t 2 = 2 (4%) (iii) Χαρακτηρίστε την X(t) ως προς την στασιμότητα (Είναι WSS; SSS; αν SSS, τότε τι τάξης;). Δικαιολογήστε την απάντησή σας (5%) (iv) Δημιουργήστε στο MATLAB πολλές απεικονίσεις της διαδικασίας και από αυτές παράγετε και σχεδιάστε την μέση τιμή της ως προς τον χρόνο. (5%) ΛΥΣΗ (i) E(X(t)) = E [a sin(2πt) + a cos(2πt) + a ] = = [0 sin(2πt) + 0 cos(2πt) + 0 ] P (a = 0) + [ sin(2πt) + cos(2πt) + ] P (a = ) = = ( k) + [sin(2πt) + cos(2πt)]k = = k + k sin(2πt) + k cos(2πt) Για t = : E(X(t)) = k + k sin(2π) + k cos(2π) = k + k 0 + k = (ii) R(t, t 2 ) = E [(a sin(2πt ) + a cos(2πt ) + a )(a sin(2πt 2 ) + a cos(2πt 2 ) + a )] = = P (a = 0) + [(sin(2πt ) + cos(2πt ))(sin(2πt 2 ) + cos(2πt 2 ))] P (a = ) = = ( k) + k [sin(2πt )sin(2πt 2 ) + sin(2πt )cos(2πt 2 ) + cos(2πt )sin(2πt 2 ) + cos(2πt )cos(2πt 2 )] = = ( k) + 2 k [cos(2π(t 2 t )) cos(2π(t 2 + t )) + sin(2π(t 2 + t )) + sin(2π(t 2 t ))+ +sin(2π(t 2 + t )) sin(2π(t 2 t )) + cos(2π(t 2 t )) + cos(2π(t 2 + t ))] = = ( k) + 2 k [2cos(2π(t 2 t )) + 2sin(2π(t 2 + t ))] = = ( k) + k cos(2π(t 2 t )) + k sin(2π(t 2 + t ))

2 Για t =, t 2 = 2: R(t, t 2 ) = ( k) + k cos(2π) + k sin(6π) = (iii) Η μέση τιμή της διαδικασίας δεν είναι σταθερή, οπότε η διαδικασία δεν είναι στάσιμη. (iv) Δημιουργούμε πολλές τυχαίες τιμές της τ.μ. a και για κάθε μια από αυτές την αντίστοιχη απεικόνιση, σχηματίζοντας έτσι έναν πίνακα που έχει μια απεικόνιση σε κάθε γραμμή. Επειτα παίρνουμε τον μέσο όρο κάθε στήλης, σχηματίζοντας ένα διάνυσμα που περιέχει την μέση τιμή προς τον χρόνο. ΚΩΔΙΚΑΣ %c l e a r memory, screen and c l o s e a l l graphs clear a l l ; close a l l ; clc ; %c r e a t e b e r n o u l l i a a = rand( i t e r, ) < p ; %c r e a t e p o s s i b l e r e a l i z a t i o n s t = 0 : 0. 0 : 0 ; x0 = repmat (,, length ( t ) ) ; x = sin (2 pi. t ) + cos (2 pi. t ) ; %matrix with each l i n e b e i n g a r e a l i z a t i o n r = ( a==0) x0 + ( a==) x ; %g e t mean per column m = mean( r ) ; plot (m)

3 ΑΣΚΗΣΗ 2 Η τυχαία διαδικασία διακριτού χρόνου X(n) παράγεται από ανεξάρτητες ρίψεις ενός δίκαιου νομίσματος, παίρνοντας τιμή -k όταν έρχεται κορώνα και k όταν έρχονται γράμματα. Επειτα παράγουμε την τυχαία διαδικασία Y (n) που παίρνει τιμές Y (2n) = X(n) για κάθε n ακέραιο και Y (n) = X(n + ) για κάθε n περιττό ακέραιο. (i) Υπολογίστε την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R XX για τις στιγμές n =, n 2 = 2 (4%) (ii) Υπολογίστε την μέση τιμή της διαδικασίας Y (n) την στιγμή n = 3. (4%) (iii) Υπολογίστε την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R Y Y για τις στιγμές n =, n 2 = 4 (4%) (iv) Υπολογίστε την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R Y Y για τις στιγμές n = 2, n 2 = 4 (4%) (v) Υπολογίστε την αυτοσυνδιακύμανση C Y Y τις στιγμές n = 2, n 2 = 3 (4%) (vi) Χαρακτηρίστε την Y (n) ως προς την στασιμότητα. Δικαιολογήστε την απάντησή σας (6%) ΛΥΣΗ Μπορούμε να μετασχηματίσουμε το Y (2n) = X(n) για κάθε n ακέραιο σε Y (n) = X( n 2 ) για κάθε n άρτιο ακέραιο (i) Είναι εύκολο να δούμε ότι: E(X(n)) = k 2 k 2 = 0 Η X(n) αποτελείται από ανεξάρτητα δείγματα, οπότε Αν n = n 2, τότε R XX (n, n 2 ) = E(X(n )X(n 2 )) = E(X(n ))E(X(n 2 )) = 0, n n 2 R XX (n, n 2 ) = E(X(n )X(n 2 )) = E(X(n ) 2 ) = k ( k)2 2 = k2 Συνολικά R XX (n, n 2 ) = { k 2 εάν n = n 2 (ii) Για να υπολογίσουμε την μέση τιμή της Y (n) πρέπει να πάρουμε περιπτώσεις για το n: α) n άρτιο E(Y (n)) = E(X(n + )) = 0 β) n περιττό E(Y (n)) = E(X( n 2 )) = 0 Οπότε συνολικά: E(Y (n)) = 0 (iii) + (iv) Πρέπει να πάρουμε περιπτώσεις, ανάλογα με το αν τα n, n 2 είναι περιττά ή άρτια.

4 α) n άρτιο, n 2 άρτιο β) n περιττό, n 2 περιττό R Y Y (n, n 2 ) = E(Y (n )Y (n 2 )) = E(X( n 2 )X(n 2 2 )) = R Y Y (n, n 2 ) = E(Y (n )Y (n 2 )) = E(X(n + )X(n 2 + )) = { k 2 εάν n = n 2 { k 2 εάν n = n 2 γ) n περιττό, n 2 άρτιο R Y Y (n, n 2 ) = E(Y (n )Y (n 2 )) = E(X(n + )X( n 2 2 )) = δ) n άρτιο, n 2 περιττό R Y Y (n, n 2 ) = E(Y (n )Y (n 2 )) = E(X( n 2 )X(n 2 + )) = { { k 2 εάν n 2 = 2(n + ) k 2 εάν n = 2(n 2 + ) συνολικά: k 2 εάν n = n 2 k 2 εάν n 2 = 2(n + ) R Y Y (n, n 2 ) = k 2 εάν n = 2(n 2 + ) Που σημαίνει ότι η R Y Y είναι διάφορη του μηδέν μόνο όταν οι στιγμές n, n 2 είναι τέτοιες ώστε να αναφέρονται στο ίδιο δείγμα της X(n) (v) C Y Y (t, t 2 ) = R Y Y (t, t 2 ) µ Y (t )µ Y (t 2 ) = R Y Y (t, t 2 ) (vi) Η μέση τιμή είναι σταθερή, αλλά η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης δεν εξαρτάται μόνο από την απόσταση των στιγμών, οπότε δεν είναι WSS ή SSS 2ης τάξης. ελέγξουμε την κατανομή της Y (n). P Y (n) (y) = { P X(n) (y + ) P X(n) ( y 2 ) Για να δούμε αν είναι SSS ης τάξης πρέπει να εάν y περιττό εάν y άρτιο Η κατανομή της X(n) είναι σταθερή, ανεξάρτητη του χρόνου, καθώς παίρνει πάντα τις τιμές k, k με ίση πιθανότητα, οπότε: 2 εάν y = k P Y (n) (y) = 2 εάν y = k Η κατανομή είναι σταθερή στον χρόνο, οπότε η διαδικασία είναι SSS ης τάξης.

5 ΑΣΚΗΣΗ 3 Εστω τυχαία διαδικασία: N X(t) = cos(2πt + θ n ) Οπου θ n είναι ανεξάρτητες και ισοκατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές στο [0, 2π] και N = k. (i) Υπολογίστε την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης στα σημεία t =, t 2 = 2. (5%) (ii) Είναι η διαδικασία WSS; (5%) (iii) Υπολογίστε την πυκνότητα φάσματος ισχύος (5%) ΛΥΣΗ n= (i) R XX (t, t 2 ) = E(X(t )X(t 2 )) = [ N ] N = E cos(2πt + θ n ) cos(2πt 2 + θ m ) = n= m= N N = [E(cos(2πt + θ n ) cos(2πt 2 + θ m ))] n= m= Η αναμενόμενη τιμή που χρειαζόμαστε μπορεί να εκφραστεί σαν E(g(θ n )h(θ m )). Τα θ n, θ m είναι ανεξάρτητα, εφόσον n m, οπότε και οι συναρτήσεις τους θα είναι ανεξάρτητες και : E(g(θ n )h(θ m )) = E(g(θ n ))E(h(θ m )) = 0, n m Οπότε: N R XX (t, t 2 ) = [E(cos(2πt + θ n ) cos(2πt 2 + θ n ))] = n= = N [E(cos(2π(t 2 t )) + cos(2π(t + t 2 ) + 2θ n ))] = 2 n= [ [ = N ]] N cos(2π(t 2 t )) + E cos(2π(t + t 2 ) + 2θ n )) = 2 n= [ ] = N N cos(2π(t 2 t )) + E [cos(2π(t + t 2 ) + 2θ n ))] 2 Η αναμενόμενη τιμή μέσα στο άθροισμα είναι μηδέν για κάθε n. R XX (t, t 2 ) = N 2 cos(2π(t 2 t )) R XX (τ) = N 2 cos(2πτ) Για t =, t 2 = 2: n= R XX () = N 2 cos(2π) = N 2

6 (ii) Εχουμε δείξει ότι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης εξαρτάται μόνο από την απόσταση των χρονικών στιγμών, οπότε εξετάζουμε την μέση τιμή: [ N ] E(X(t)) = E cos(2πt + θ n ) = = Άρα η διαδικασία είναι WSS. (iii) n= N E [cos(2πt + θ n )] = 0 n= S XX () = F(R XX (τ)) = F( N 2 cos(2πτ)) = N 2 F(cos(2πτ)) S XX () = N [δ( ) + δ( + )] 4

7 ΑΣΚΗΣΗ 4 Θεωρείστε μία Κανονική Τυχαία Διαδικασία X(t) με μέση τιμή 0 και συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R X (τ) = sinc 2 (τ). Υποθέστε ότι η X(t) περνάει μέσα από ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο μοναδιαίου κέρδους και εύρους ζώνης k, δηλαδή H() = αν < k και προκύπτει ένα καινούργιο σήμα Y (t). (i) Υπολογίστε την πυκνότητα φάσματος ισχύος της Y (t) στο σημείο = 0.2 (5%) (ii) Στο MATLAB, σχεδιάστε τις ποσότητες S X () και S Y () που υπολογίσατε θεωρητικά (5%) ΛΥΣΗ Σχεδιάζουμε την H() 2 H() 2 -k 0 k (i) S X () = F(R X (τ)) = F(sinc 2 (τ)) = tri() Που είναι ο τριγωνικός παλμός που φαίνεται στο σχήμα: S X () 0 Η S X () =, [, ] Ξέρουμε ότι η Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος S Y () ισούται με S X () H() 2 που γεωμετρικά έχει σαν αποτέλεσμα: S Y () = S X () H() 2 -k 0 k Η S Y () =, [ k, k] (ii) ΚΩΔΙΚΑΣ

8 %c l e a r memory, screen and c l o s e a l l graphs clear a l l ; close a l l ; clc ; = 2 : 0. 0 : 2 ; Sx ( : length ( ) ) = 0 ; part = abs ( )<=; Sx ( part ) = abs ( ( part ) ) ; plot (, Sx ) ; igure ( 2 ) Sy ( : length ( ) ) = 0 ; part = abs ( )<=k ; Sy ( part ) = abs ( ( part ) ) ; plot (, Sy ) ;

9 ΑΣΚΗΣΗ 5 Εστω ένα Γραμμικό Χρονικά Αναλλοίωτο σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H() για την οποία γνωρίζουμε: H() Η είσοδος του συστήματος είναι η διαδικασία Z(t) = X(t)+N(t), όπου X(t) WSS διαδικασία με συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R X (τ) = sinc 2 (τ) και N(t) κανονικός θόρυβος με συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R N (τ) = δ(τ) sinc(τ) και μέση τιμή 0. Θεωρήστε ότι οι διαδικασίες X(t), N(t) είναι ανεξάρτητες. Αν Y (t) η έξοδος του συστήματος, υπολογίστε: (i) την φασματική πυκνότητα ισχύος S X () στο σημείο = 0.2 (7%) (ii) την φασματική πυκνότητα ισχύος S Z () στο σημείο = 0.7 (7%) (iii) την φασματική πυκνότητα ισχύος S Y () στο σημείο = 0.7 (7%) (iv) Σχεδιάστε στο MAT LAB τις ποσότητες S X (), S N (), S Z (), S Y () όπως τις υπολογίσατε θεωρητικά (0%). ΛΥΣΗ (i) S X () = F(R X (τ)) = F(sinc 2 (τ)) = tri() Που είναι ο τριγωνικός παλμός του σχήματος: S X () 0 Η S X () =, [, ] (ii) Για να υπολογίσουμε την φασματική πυκνότητα ισχύος της Z(t), χρειαζόμαστε την συνάρτηση αυτοσυσχέτισής της: R Z (t 2, t 2 ) = E((X(t ) + N(t ))(X(t 2 )) + N(t 2 )) = = E(X(t )X(t 2 )) + E(N(t )N(t 2 )) + E(X(t )N(t 2 )) + E(X(t 2 )N(t )) + E(X(t )N(t 2 )) = = R X (t, t 2 ) + R N (t, t 2 ) + E(X(t 2 ))E(N(t )) + E(X(t ))E(N(t 2 )) = = R X (t, t 2 ) + R N (t, t 2 ) R Z (τ) = R X (τ) + R N (τ)

10 S Z () = F(R Z (τ)) = F(R X (τ) + R N (τ)) = S X () + F(δ(τ)) F(sinc(τ)) = tri() + rect() Οπου rect() ο τετραγωνικός παλμός του σχήματος: rect() Αναλυτικά: rect() =, [ 2, 2 ] Και S N () = rect() =, [, 2 ] [ 2, + ] : S N () Και τελικά: εάν [, ] [, + ] S Z () = 2 εάν [, 2 ] [ 2, ] εάν [ 2, 2 ] S Z () (iii) Ξέρουμε ότι S Y () = S Z () H() 2 και για να το υπολογίσουμε θα πάρουμε περιπτώσεις. Μπορούμε να δουλέψουμε εντελώς γραφικά, αλλά θα προτιμήσουμε τις κλειστές μορφές. Αρχικά μπορούμε να εκφράσουμε την H() 2 μαθηματικά, σαν: 2 2 εάν [, H() 2 2 ] [ 2, ] = εάν [ 2, 2 ]

11 Και παίρνουμε περιπτώσεις για τα υποδιαστήματα των S Z (), H() 2 α) [, ] [, + ] S Y () = S Z () H() 2 = 0 = 0 β) [, 2 ] [ 2, ] S Y () = S Z () H() 2 = (2 ) (2 2 ) = γ) [ 2, 2 ] S Y () = S Z () H() 2 = ( ) = Συνολικά: εάν [, 2 ] [ 2, ] S Y () = εάν [ 2, 2 ] S Y () (iv) ΚΩΔΙΚΑΣ %c l e a r memory, screen and c l o s e a l l graphs clear a l l ; close a l l ; clc ; = 3 : : 3 ; % H( ) ˆ 2 H ( : length ( ) ) = 0 ; part = abs ( )>=/2 & abs ( )<=; part2 = abs ( ) </2; H ( part ) = 2 2. abs ( ( part ) ) ; H ( part2 ) = ; plot (, H ) ; %Sx Sx ( : length ( ) ) = 0 ; part = abs ( )<=; Sx ( part ) = abs ( ( part ) ) ;

12 igure ( 2 ) ; plot (, Sx ) ; %Sn Sn ( : length ( ) ) = ; part = abs ( )<=/2; Sn ( part ) = 0 ; igure ( 3 ) ; plot (, Sn ) ; %Sz Sz = Sx + Sn ; igure ( 4 ) ; plot (, Sz ) ; %Sy Sy = Sz. H ; igure ( 5 ) ; plot (, Sy ) ;