Transcript

1 PANEPISTHMIO KRHTHS SQOLH JETIKWN KAI TEQNOLOGIKWN EPISTHMWN TMHMA MAJHMATIKWN ELENH TZANAKH SUNDUASTIKH GENIKEUMENWN SUMPLEGMATWN SMHNWN KAI PARATAGMATWN UPEREPIPEDWN DIDAKTORIKH DIATRIBH HRAKLEIO 2007

2

3 H didaktorik aut diatrib parousi sthke sto Tm ma Majhmatik n tou PanepisthmÐou Kr thc stic 6 MartÐou Epiblèpwn kajhght c tan o Q.A. Ajanasi dhc. Thn eptamel epitrop axiolìghshc apotèlesan oi: Q. Ajanasi dhc (Panepist mio Ajhn n), K. Ajanasìpouloc (Panepist mio Kr thc), I. Antwni dhc (Panepist mio Kr thc), E. Keqagi c (Panepist mio IwannÐnwn), M. Mali kac (Panepist mio Ajhn n), J. Mpìlhc (Panepist mio IwannÐnwn) kai P. P mfiloc (Panepist mio Kr thc).

4 4

5 Perieqìmena 0 Prìlogoc 7 1 Om dec anakl sewn kai sunduastik Genik stoiqeða p nw stic om dec anakl sewn Om dec anakl sewn kai sust mata riz n Jetik kai apl sust mata riz n Sust mata riz n klassik n om dwn Graf mata Coxeter AnalloÐwtec om dwn Coxeter Krustallografikèc om dec Affinikèc om dec Parat gmata uperepipèdwn kai om dec Coxeter Parat gmata uperepipèdwn Katal neia parat gmata uperepipèdwn MÐa eklèptunsh tou arijmoô Catalan To sômplegma smhn n (Φ) Monoplektik sumplègmata PolÔtopa kai monoplektik ripðdia Orismìc tou (Φ) To (Φ) kai polugwnikèc upodiairèseic M diastaroômenec diamerðseic O sôndesmoc NC(n) Genikìc orismìc tou sundèsmou NC(W ) m-epitreptèc m diastauroômenec diamerðseic Sumplègmata smhn n kai polugwnikèc upodiairèseic Eisagwg kai apotelèsmata Prokatarktik Aparijmhtik apotelèsmata Apofloiwsimìthta

6 6 PERIEQ OMENA 2.5 O genikìc orismìc tou m (Φ) Jetik keli kai parat gmata uperepipèdwn Eisagwg kai apotelèsmata Prokatarktik AlusÐdec idewd n, perioqèc kai jalamðskoi Plègma surriz n kai affinik om da Oi arijmoð t xewc Hisìthta F = H Oi klasikèc peript seic Parathr seic Pleurèc sumplegm twn smhn n Eisagwg Prokatarktik Apìdeixh tou krithrðou pleur n EL-Epigraf kai fjðnousec alusðdec tou NC m (γ) Apìdeixh thc isìthtac F = M

7 Kef laio 0 Prìlogoc Oi om dec anakl sewn emfanðzontai se pollèc perioqèc twn majhmatik n. SumbaÐnei suqn pollèc apì tic idiìthtec touc na mporoôn na proseggistoôn me di forouc trìpouc, qrhsimopoi ntac algebrikèc, gewmetrikèc sunduastikèc teqnikèc. H allhlepðdrash aut emploutðzei thn jewrða twn om dwn anakl sewn dðnont c touc sunarpastikèc ptuqèc. Klasik suggr mmata p nw se om dec anakl sewn eðnai aut twn Bourbaki [22] kai Humphreys [43]. Piì prìsfato sôggramma eðnai autì twn Björner kai Brenti [20] to opoðo proseggðzei tic om dec anakl sewn apì sunduastik skopi. Skopìc thc paroôsac diatrib c eðnai h melèth tri n kl sewn sunduastik n antikeimènwn ta opoða orðzontai gia k je peperasmènh pragmatik om da anakl sewn. 'Opwc prokôptei sthn poreða, ta antikeðmena aut susqetðzontai me aprìsmenec aparijmhtikèc sqèseic, oi opoðec se orismènec peript seic paramènoun anex ghtec. ShmeÐo ekkðnhshc gia thn parap nw susqètish eðnai to gegonìc ìti kai oi treðc autèc kl seic aparijmoôntai apì thn Ðdia posìthta, thn opoða ja orðsoume amèswc parak tw. JewroÔme èna an gwgo sôsthma riz n Φ t xewc n me antðstoiqh om da anakl sewn W. O genikeumènoc arijmìc Catalan orðzetai wc N (m) (Φ) = n i=1 e i + mh +1, e i +1 ìpou e 1,...,e n eðnai oi ekjètec, h o arijmìc Coxeter kai m ènac m arnhtikìc akèraioc. 'Otan Φ=A n 1 kai m =1tìte to N (m) (Φ) = 1 n+1( 2n n ) eðnai gnwstì wc o klasikìc n-ostìc arijmìc Catalan. 'Opwc sumbaðnei kai me touc klasikoôc ètsi kai oi genikeumènoi arijmoð Catalan èqoun pl joc sunduastik n ermhnei n kai prìsfata proèkuyan se pollèc diaforetikèc perioqèc, ìpwc se parat gmata uperepipèdwn, lgebrec smhn n kai domèc Garside om dwn braid. Kat th melèth twn parap nw antikeimènwn prokôptei epðshc o genikeumènoc jetikìc arijmìc 7

8 8 KEF ALAIO 0. PR OLOGOS Catalan o opoðoc orðzetai wc N (m) + (Φ) = n i=1 e i + mh 1 e i +1 kai eðnai Ðsoc me ton (n 1)-ostì klasikì arijmì Catalan 1 n kai Φ=A n 1. ( 2(n 1) ) n 1 ìtan m =1 PrÐn dìsoume thn perðlhyh thc diatrib c ja perigr youme sunoptik tic k- l seic twn tri n sunduastik n antikeimènwn pou melet me. Se ìlec tic peript seic jewroôme èna an gwgo sôsthma riz n Φ t xewc n me antðstoiqh om da anakl sewn W kai ènan m arnhtikì akèraio m. Sun jwc h exèlixh thc melèthc aut n twn antikeimènwn èqei wc ex c. Arqik eðnai gnwst h perðptwsh ìpou Φ=A n 1 (dhlad ìtan h W eðnai h summetrik om da S n ) kai m =1. Sthn sunèqeia orðzetai h genðkeush gia k je om da anakl sewn W kai m =1, h opoða en gènei eðnai m tetrimmènh. H peraitèrw genðkeush gia Φ=A n 1 B n kai m 1 eðnai sun jwc problèyimh apì tic antðstoiqec peript seic giam =1, se antðjesh me thn perðptwsh W = D n. Tèloc, o orismìc gia k je W kai m 1 apaiteð kai p li perissìterh diaðsjhsh. Katal neia parat gmata uperepipèdwn. To m-ostì Katal neio par tagma uperepipèdwn A m (Φ) melet jhke apì touc Ajanasi dh [2, 3, 5, 6], Postnikov [55], Postnikov kai Stanley [57], Stanley [69] kai Yoshinaga [75]. To A m (Φ) apoteleðtai apì to sônolo twn uperepipèdwn tou R n pou perigr fontai apì tic exis seic (α, x) = k, ìpou α Φ, 0 k m kai (x, y) eðnai to eswterikì ginìmeno twn x, y R n. Oi kurðarqec perioqèc tou A m (Φ) eðnai autèc pou ikanopoioôn thn anisìthta (α, x) > 0 gia k je α Φ +. 'Otan to sôsthma riz n Φ eðnai krustallografikì tìte to pl joc twn kurðarqwn perioq n eðnai Ðso me N (m) (Φ) en to pl joc aut n pou eðnai fragmènec eðnai Ðso me N (m) + (Φ). Oi perioqèc autèc eðnai se èna proc èna antistoiqða me k poiec alusðdec idewd n thc merik c di taxhc tou Φ + kaj c epðshc kai me tic troqièc dr shc thc W sto phlðko L(Φ )/(mh +1)L(Φ ) (bl. Par grafo 1.1.6gia ton orismì tou L(Φ )). H antistoiqða aut diathreð k poiec fusikèc statistikèc p nw sta sônola aut oi opoðec ekleptônoun ton arijmì N (m) (Φ). Oi arijmoð pou prokôptoun apì aut n thn eklèptunsh onom zontai arijmoð Narayana kai sumbolðzontai me Nar k (Φ,m). Sthn perðptwsh ìpou m =1oi kurðarqec perioqèc tou A 1 (Φ) eðnai se èna proc èna antistoiqða me antialusðdec thc merik c di taxhc tou Φ +. To pl joc twn antialusðdwn aut n epidèqetai kai llec sunduastikèc ermhneðec, ìpwc faðnetai sta rja tou Shi [62, 63] gia affinikèc om dec kai parat gmata uperepipèdwn kaj c epðshc kai sto rjro twn Cellini kai Papi [28] gia upo lgebrec Borel twn apl n algebr n Lie. Sumplègmata smhn n. To sômplegma smhn n (Φ) eis qjh apì tou-

9 9 c Fomin kai Zelevinsky sta plaðsia thc melèthc touc p nw se lgebrec smhn n kai Y -sust mata [40,38]. To (Φ) eðnai agnì monoplektikì sômplegma diast sewc n 1 kai omoiomorfikì me thn (n 1)-di stath sfaðra. 'Otan to Φ eðnai krustallografikì, to (Φ) eðnai isìmorfo me to sunoriakì sômplegma enìc n- di statou polutìpou to opoðo onom zetai W -polôtopo metajèsewn. To m-ostì genikeumèno sômplegma smhn n m (Φ) eis qjh apì touc Fomin kai Reading amèswc met apì th melèth k poiwn eidik n peript sewn sthn paroôsa diatrib. Parìlo pou to sômplegma m (Φ) den diathreð tic parap nw gewmetrikèc idiìthtec tou (Φ), èqei pollèc llec oi opoðec kajistoôn endiafèrousa thn peraitèrw melèth tou. To m (Φ) èqei èna fusikì uposômplegma to opoðo sumbolðzetai me m + (Φ) kai onom zetai jetikì genikeumèno sômplegma smhn n. To sônolo twn edr n tou m (Φ) aparijmeðtai apì ton arijmì Catalan. Piì sugkekrimèna, to pl joc twn edr n tou m (Φ) kaj c kai aut n tou m + (Φ) eðnai Ðso me N (m) (Φ) kai N (m) + (Φ) antðstoiqa. EpÐshc, h k-ost suntetagmènh tou h-dianôsmatoc tou m (Φ) sumpðptei me ton arijmì Narayana Nar n k (Φ,m) ìtan m =1kai gia tic klasikèc om dec ìtan m 1. M diastauroômenec diamerðseic. O sôndesmoc twn m diastauroômenwn diamerðsewn NC(n) eis qjh apì ton Kreweras [47] kai eðnai èna klasikì antikeðmeno sth sunduastik me pollèc sunarpastikèc idiìthtec. ApoteleÐtai apì to sônolo twn diamerðsewn π tou sunìlou {1,...,n} tètoiec ste an a<b<c<dkai ta a, c an koun se èna mèroc B thc π en ta b, d se èna mèroc B thc π tìte B = B. Prìsfata, oi Brady kai Watt [26] kai Bessis [14], qrhsimopoi ntac domèc Garside se om dec braid, genðkeusan ton orismì tou Kreweras eis gontac th merik di taxh NC(W ) twn mh diastauroômenwn diamerðsewn gia k je om da anakl sewn W. ApodeiknÔetai ìti to NC(W ) eðnai autoduïkìc, diabajmismènoc sôndesmoc kai ìti to NC(A n 1 ) eðnai isìmorfo me to NC(n). Argìtera, o Armstrong sth didaktorik tou diatrib [1] epèkteine ton orismì NC(W ) me thn eisagwg thc ènnoiac twn m-epitrept n mh diastauroômenwn diamerðsewn NC m (W ) me trìpo ste NC 1 (W )=NC(W). H merik di taxh NC m (W ) eðnai hmisôndesmoc me el qisto stoiqeðo kai èqei plhj rijmo N (m) (Φ). EpÐshc, to pl joc stoiqeðwn tou NC m (W ) t xewc k sumpðptei me thn suntetagmènh h k tou h-dianôsmatoc (h 0,h 1,...,h n ) tou m (Φ). H dom thc diatribhc èqei wc ex c. Sto pr to kef laio epanalamb noume sunoptik orismoôc kai basikèc idiìthtec twn pragmatik n om dwn anakl sewn, gia dieukìlunsh tou anagn sh. Sth sunèqeia orðzoume analutik ta trða basik sunduastik antikeðmena mac, dhlad ta Katal neia parat gmata uperepipèdwn, to sômplegma smhn n kai thn merik di taxh twn mh diastauroômenwn diamerðsewn kai anafèroume k poia apì ta dh gnwst apotelèsmata ta opoða suntèlesan

10 10 KEF ALAIO 0. PR OLOGOS sthn exèlixh thc diatrib c. Ta epìmena kef laia perièqoun nèa apotelèsmata ta opoða èqoun dh dhmosieujeð eðte èqoun upoblhjeð proc dhmosðeush. To deôtero kef laio antistoiqeð sto rjro [73]. JewroÔme sôsthma riz n Φ pou antistoiqeð stic om dec A n 1 B n. OrÐzoume èna monoplektikì sômplegma m (Φ) me qr sh polugwnik n upodiairèsewn gia k je tètoia om da kai fusikì arijmì m. Gia m =1, to m (Φ) eðnai isìmorfo me to sômplegma smhn n (Φ). AparijmoÔme tic pleurèc tou m (Φ) kai deðqnoume ìti oi suntetagmènec tou h-dianôsmatoc tou m (Φ) sumpðptoun me touc genikeumènouc arijmoôc Narayana. EpÐshc, apodeiknôoume ìti gia k je m 1 to sômplegma m (Φ) eðnai apofloi simo kai epomènwc Cohen-Macaulay. Sto tèloc autoô tou kefalaðou dðnoume to genikì orismì tou m (Φ) gia k je om da anakl sewn, ìpwc dìjhke apì touc Fomin kai Reading. Parìlo pou o orismìc autìc den eðnai mèroc twn apotelesm twn tou [73], h anafor tou sto tèloc tou kefalaðou autoô sumfwneð me thn qronik seir thc exèlixhc tou antikeimènou. To trðto kef laio antistoiqeð sto rjro [12], to opoðo èqei grafeð se sunergasða me to Qr sto Ajanasi dh. 'Estw Φ èna an gwgo krustallografikì sôsthma riz n t xewc n me antðstoiqh om da Weyl W kai plègma surriz n L(Φ ). JewroÔme èna m arnhtikì akèraio m kai to antðstoiqo Katal neio par tagma uperepipèdwn A m (Φ). EÐnai gnwstì ìti to pl joc N (m) + (Φ) twn fragmènwn kurðarqwn perioq n tou A m (Φ) eðnai Ðso me to pl joc twn edr n tou jetikoô sumplègmatoc smhn n m + (Φ). OrÐzoume mða statistik sto sônolo twn fragmènwn kurðarqwn perioq n tou A m (Φ) kai eik zoume ìti h antðstoiqh eklèptunsh tou arijmoô N (m) + (Φ) sumpðptei me to h-di nusma tou m + (Φ). UpologÐzoume tic ekleptônseic autèc gia ta klasik sust mata riz n kai gia ìla ta sust mata riz n ìtan m =1 kai epalhjeôoume thn parap nw eikasða gia autèc tic peript seic. DÐnoume k poiec sunduastikèc ermhneðec gia autoôc touc arijmoôc qrhsimopoi ntac alusðdec idewd n tou Φ, troqièc dr shc thc W sto phlðko L(Φ )/(mh 1)L(Φ ) kai shmeða tou plègmatoc surriz n mèsa se k poio monìploko, kat' analogða me tic antðstoiqec ekleptônseic tou arijmoô N (m) (Φ) gia tic kurðarqec perioqèc tou A m (Φ) [6]. EpÐshc, apodeiknôoume mða eikasða tou Chapoton [29, EikasÐa 6.1] h opoða susqetðzei mða eklèptunsh twn pleur n tou m (Φ) me mða statistik p nw se perioqèc tou parat gmatoc A m (Φ). Tèloc, sthn eidik perðptwsh m =1dÐnoume mða duïk ermhneða twn parap nw arijm n qrhsimopoi ntac fðltra thc merik c di taxhc twn riz n tou Φ. To tètarto kai teleutaðo kef laio antistoiqeð sto rjro [74]. 'Estw èna peperasmèno sôsthma riz n Φ me antðstoiqh om da anakl sewn W kai m ènac m arnhtikìc akèraioc. JewroÔme to genikeumèno sômplegma smhn n m (Φ) kai to merik c diatetagmèno sônolo twn m-epitrept n m diastauroômenwn di-

11 11 amerðsewn NC m (W ). DÐnoume èna nèo qarakthrismì twn pleur n tou m (Φ) qrhsimopoi ntac m diastauroômenec diamerðseic tou NC m (W ), genikeôontac antðstoiqo qarakthrismì twn Brady kai Watt [27] gia thn perðptwsh m = 1. Qrhsimopoi ntac to parap nw apotèlesma, apodeiknôoume mða eikasða twn Chapoton kai Armstrong, h opoða susqetðzei mða eklèptunsh twn pleur n tou m (Φ) me th sun rthsh Möbius tou NC m (W ). Telei nontac, ja jela na euqarist sw jerm ton epiblèponta Qr sto Ajanasi dh gia thn anektðmhth kajod ghsh kai peirh upomon tou se ìla ta st dia thc sunergasðac mac kaj c kai sthn diìrjwsh tou telikoô keimènou thc diatrib c. Parìlo pou sto xekðnhma thc diatrib c den eðqa kamða exoikeðwsh me om dec anakl sewn kai sunduastik, jewr meg lh tôqh pou telik eðqa thn eukairða na entruf sw se autìn ton sunarpastikì kl do twn majhmatik n. O orismìc tou m (Φ) me qr sh polugwnik n upodiairèsewn sto Kef laio 2 dìjhke apì ton Victor Reiner sthn perðptwsh ìpou Φ=A n 1 kai ton Qr sto Ajanasi sh ìtan Φ=B n. Euqarist kai touc dôo pou mou upèdeixan thn melèth twn sumplegm twn m (Φ) kai thn endeqìmenh susqètis touc me touc genikeumènouc arijmoôc Narayana. EpÐshc, ja jela na euqarist sw ton Sergey Fomin gia tic upodeðxeic kai thn enj runsh tou, ton Drew Armstrong pou dièjese to perieqìmeno thc diatrib c tou se polô arqikì st dio, kajwc epðshc kai ton Victor Reiner gia ta dedomèna tou PÐnaka 1.1. Idiaitèrwc euqarist ton P rh P mfilo gia thn bo jeia tou me to prìgramma sqedðashc EucliDraw me to opoðo èginan ta perissìtera apì ta sq mata. Kat thn di rkeia thc ekpìnhshc thc paroôsac diatrib c (IoÔnioc 2003-Noèmbrioc 2006) moun upìtrofoc tou IdrÔmatoc Kratik n Upotrofi n.

12 12 KEF ALAIO 0. PR OLOGOS

13 Kef laio 1 Om dec anakl sewn kai sunduastik antikeðmena sqetik me autèc. 1.1 Genik stoiqeða p nw stic om dec anakl sewn Om dec anakl sewn kai sust mata riz n An klash se ènan eukleðdio q ro V eðnai mða grammik apeikìnish h opoða stèlnei èna di nusma α V sto antðjetì tou kai af nei stajerì k je shmeðo tou uperepipèdou H α, ìpou H α eðnai to uperepðpedo orjog nio sto α. SumbolÐzoume mða tètoia an klash me r α kai èqoume ton tôpo r α (λ) =λ 2(λ, α) (α, α) α, ìpou λ V kai (, ) eðnai to eswterikì ginìmeno ston V. K je an klash eðnai orjog nia apeikìnish, dhlad grammik apeikìnish pou diathreð to m koc. Onom zoume peperasmènh om da anakl sewn k je peperasmènh upoom da thc om dac twn orjogwnðwn apeikonðsewn O(V) tou q rou V h opoða par getai apì k poio sônolo anakl sewn. En gènei, sumbolðzoume tic om dec anakl sewn me W. Sthn paroôsa diatrib ja perioristoôme se peperasmènec om dec anakl sewn tou pragmatikoô eukleðdiou q rou R n. Autèc oi om dec melet jhkan kai taxinom jhkan arqik apì ton Coxeter [33] sthn prosp jei tou na melet sei tic om dec summetri n kanonik n polutìpwn. Mia om da anakl sewn lègetai an gwgh an den eðnai dunatìn na ekfrasteð wc eujô ginìmeno perissotèrwn tètoiwn om dwn. Oi peperasmènec (pragmatikèc) an gwgec om dec anakl sewn eðnai oi ex c: A n,b n = C n,d n (klasikèc), I 2 (m) (diedrikèc), E 6,E 7,E 8, F 4 kai H 3,H 4. 13

14 14 KEF ALAIO 1. OM ADES ANAKL ASEWN KAI SUNDUASTIK H O upodeðkthc k je kefalaðou gr mmatoc sumbolðzei thn di stash tou q rou ston opoðo dra h om da. 'Estw mða peperasmènh om da anakl sewn W ston R n. Up rqei ènac diaforetikìc trìpoc me ton opoðo mporoôme na anaparast soume mia tètoia om da mèsw thc ènnoiac tou sust matoc riz n. H genik idèa eðnai na antikatast soume k je epðpedo an klashc H thc om dac W me èna zeôgoc antijètwn dianusm twn kajètwn sto H. Axiwmatik, orðzoume èna sôsthma riz n Φ wc èna peperasmèno sônolo dianusm twn tou R n me tic ex cidiìthtec: (i) Φ Rα = {α, α} gia k je α Φ, (ii) r α Φ=Φgia k je α Φ. OrÐzoume thn om da W pou antistoiqeð sto sôsthma riz n Φ wc thn om da anakl sewn me genn torec r α ìpou α Φ. 'Opwc ja doôme amèswc parak tw, se k je peperasmènh om da anakl sewn mporoôme na antistoiqðsoume k poio sôsthma riz n all kai antistrìfwc, k je sôsthma riz n par gei k poia peperasmènh om da anakl sewn. Gianato deðxoume qreiazìmaste thn parak tw prìtash. Prìtash 1.1. [43, Prìtash 1.2] 'Estw t O(R n ) kai α R n mh mhdenikì di nusma. Tìte tr α t 1 = r tα. Eidikìtera, an w W tìte r wα W an kai mìnon an r α W. Katarq n, se k je peperasmènh om da anakl sewn W mporoôme na antistoiqðsoume èna sôsthma riz n Φ wc exhc. K je an klash r α W orðzei èna uperepðpedo an klashc H α kai mða eujeða L α k jeth se autì. Apì thn Prìtash 1.1 sumperaðnoume ìti h W metajètei to sônolo twn L α ìpou r α an klash thc W, me trìpo ste w(l α )=L wα. Mìno oi eujeðec L α kajorðzontai apì thn W, all ìqi kai ta dianôsmata α. 'Etsi, an epilèxoume ta zeôgh twn monadiaðwn antijètwn dianusm twn pou brðskontai p nw se autèc tic eujeðec tìte ikanopoioôntai oi sunj kec (i) kai (ii). Shmei noume ìtihepilog twn parap nw dianusm twn den eðnai monadik kai epðshc den eðnai aparaðthto aut naeðnai monadiaða. 'Estw t ra èna sôsthma riz n Φ kai W = r α : α Φ. Ja deðxoume ìti h W eðnai mia peperasmènh om da anakl sewn. Pr gmati, èstw Φ={α 1,...,α N } kai ac sumbolðsoume me Perm(Φ) thn om da metajèsewn twn stoiqeðwn tou Φ. Tìte, lìgw thc idiìthtac (ii) twn susthm twn riz n, h apeikìnish φ : W Perm(Φ) w (w(α 1 ),...,w(α N )), eðnai kal orismènoc omomorfismìc om dwn kai m lista monomorfismoc diìti o pur nac eðnai tetrimmènoc. Epomènwc, h W eðnai peperasmènh.

15 1.1. GENIK A STOIQE IA P ANW STIS OM ADES ANAKL ASEWN Jetik kai apl sust mata riz n JewroÔme èna sôsthma riz n Φ kai èna uperepðpedo H me H Φ={0}. To H qwrðzei to Φ se dôo xèna sônola Φ + kai Φ kai afoô gia k je rðza α Φ isqôei α Φ, èqoume Φ + = Φ. OrÐzoume ta Φ + kai Φ wc to jetikì kai arnhtikì antðstoiqa sôsthma tou Φ. EpÐshc, onom zoume èna uposônolo Π tou Φ aplì sôsthma an: (i) to Π eðnai b sh tou dianusmatikoô q rou pou par goun ta stoiqeða tou Φ p nw sto R kai (ii) k je α Φ eðnai grammikìc sunduasmìc me omìshmouc suntelestèc stoiqeðwn tou Π. MporeÐ na deðxei kaneðc ìti an to Π eðnai aplì sôsthma k poiou sust matoc riz n Φ tìte up rqei monadikì jetikì sôsthma Φ + gia to Φ me Π Φ +. AntÐstrofa, k je jetikì sôsthma Φ + perièqei monadikì aplì sôsthma Π. Sthn pragmatikìthta, èna aplì sôsthma Π orðzei monadik thn om da W. Sto epìmeno je rhma blèpoume p c mða om da anakl sewn mporeð na kajoristeð apì anakl seic r α ìpou α Π. Φ + Φ H Sq ma 1.1: 'Ena sôsthma riz n pou antistoiqeð sthn om da anakl sewn tou kanonikoô exag nou. To uperepðpedo H diaqwrðzei to sôsthma riz n sto Φ + kai Φ kai oi aplèc rðzec eðnai autèc me kìkkino qr ma. Je rhma 1.1. [43, Je rhma 1.9] 'Estw Π to aplì sôsthma riz n pouantis- toiqeð sto Φ. Tìte hantðstoiq hom da anakl sewn W èqei genn torec tosônolo S := {r α : α Π} kai parist tai apì tic sqèseic (r α r β ) m(α,β) = 1, ìpou α, β Π kai m(α, β) eðnai h t xh tou r α r β sthn W. K je om da pou anaparist tai ìpwc parap nw onom zetai om da Coxeter kai to zeôgoc (W, S) onom zetai sôsthma Coxeter. An kai oi om dec Coxeter proèkuyan apì thn taxinìmhsh twn peperasmènwn om dwn anakl sewn se eukleðdio q ro, o orismìc touc eðnai polô pio genikìc. MporeÐ na eðnai peirec kai na anaparist ntai gewmetrik san om dec anakl sewn m EukleidÐwn q rwn.

16 16 KEF ALAIO 1. OM ADES ANAKL ASEWN KAI SUNDUASTIK H 'Estw èna sôsthma riz n Φ me sônolo apl n riz n Π={σ 1,...,σ n }. Gia k je J [n] sumbolðzoume me W J thn upoom da tou W pou par getai apì tic anakl seic r σi,i J. EÔkola faðnetai ìti W = {1} kai W [n] = W. Oi om dec pou paðrnoume me ton parap nw trìpo onom zontai parabolikèc upoom dec thc W. 'Estw Π J := {σ i Π:i J} kai Φ J h tom thc grammik c j khc twn dianusm twn tou Π J me to Φ. ApodeiknÔetai ìti to Φ J eðnai sôsthma riz n me aplì sôsthma Π J kai antðstoiqh om da anakl sewn W J (bl. [43, Par grafoc 1.10]) Sust mata riz n klassik n om dwn EÐnai profanèc ìti se k je om da anakl sewn W antistoiqoôn perissìtera apì èna sust mata riz n. Se aut n thn par grafo anafèroume k poia sust mata riz n ta opoða antistoiqoôn stic klasikèc om dec kai ta opoða qrhsimopoioôntai suqnìtera. SumbolÐzoume me ɛ 1,ɛ 2,...,ɛ n thn sun jh orjokanonik b sh tou R n. A n (n 1) : To sôsthma riz n aut c thc om dac apoteleðtai apì ta n(n+1) dianôsmata ɛ i ɛ j, 1 i j n +1 kai oi aplèc rðzec eðnai oi σ 1 = ɛ 1 ɛ 2,σ 2 = ɛ 2 ɛ 3,...,σ n = ɛ n ɛ n+1. H an klash pou antistoiqeð sto σ i dra ston R n+1 antimetajètontac tic suntetagmènec i kai i +1. Epomènwc h om da anakl sewn A n eðnai isìmorfh me thn om da metajèsewn S n+1 kai sunep c èqei (n +1)!stoiqeÐa. B n (n 2) : To sôsthma riz n aut c thc om dac apoteleðtai apì ta 2n 2 dianôsmata ±ɛ i (1 i n) kai ± ɛ i ± ɛ j (i<j) kai oi aplèc rðzec eðnai oi σ 1 = ɛ 1 ɛ 2,σ 2 = ɛ 2 ɛ 3,...,σ n 1 = ɛ n 1 ɛ n,σ n = ɛ n. H om da B n èqei 2 n n! stoiqeða. C n (n 2) : To sôsthma riz n thc C n eðnai duïkì me autì thc B n kai oi om dec anakl sewn B n kai C n tautðzontai. 'Enac apì touc lìgouc pou, orismènec forèc, melet me aut ta dôo sust mata qwrist eðnai ìti to pr to antistoiqeð sthn om da summetri n tou n-di statou kôbou en to deôtero se aut n n-di statou staurwtoô polutìpou. To sôsthma riz n thc om dac C n apoteleðtai apì ta 2n 2 dianôsmata ±2ɛ i (1 i n) kai ± ɛ i ± ɛ j (i<j)

17 1.1. GENIK A STOIQE IA P ANW STIS OM ADES ANAKL ASEWN 17 kai oi aplèc rðzec Π eðnai oi σ 1 = ɛ 1 ɛ 2,σ 2 = ɛ 2 ɛ 3,...,σ n 1 = ɛ n 1 ɛ n,σ n =2ɛ n. D n (n 4) : To sôsthma riz n thc D n apoteleðtai apì ta 2n(n 1) dianôsmata ±ɛ i ± ɛ j (1 i<j n) kai oi aplèc rðzec eðnai oi σ 1 = ɛ 1 ɛ 2,σ 2 = ɛ 2 ɛ 3,...,σ n 1 = ɛ n 1 ɛ n,σ n = ɛ n 1 + ɛ n. H om da anakl sewn D n èqei 2 n 1 n! stoiqeða. σ 2 σ 2 σ 1 σ 1 A 2 B 2 Sq ma 1.2: Ta sust mata riz ntwn om dwn A 2 kai B 2. To pr to antistoiqeð sthn om da anakl sewn tou isopleôrou trig nou kai to deôtero se aut n tou tetrag nou Graf mata Coxeter To Je rhma 1.1 mac dðnei ènan eôkolo trìpo na anaparast soume mða om da Coxeter kataskeu zontac èna gr fhma pou antistoiqeð se aut n wc ex c: tautðzoume tic korufèc tou graf matoc me tic aplèc rðzec sto Π kai sundèoume k je zeôgoc α β Π me mða akm, thn opoða epigr foume me m(α, β), anm(α, β) 3. An m(α, β) =2tìte oi korufèc α β den sundèontai me akm kai upenjumðzoume ìti m(α, α) = 1. Lème ìti èna sôsthma Coxeter eðnai an gwgo an to antðstoiqo gr fhma Coxeter eðnai sunektikì. Parathr ste ìti an m(α, β) =2tìte r α r β = r β r α isodônama α β. To epìmeno je rhma deðqnei ìti oi peperasmènec om dec Coxeter tautðzontai me tic peperasmènec om dec anakl sewn. Epomènwc, ìlec oi an gwgec peperasmènec om dec Coxeter qwrðzontai stic kathgorðec A n (n 1), B n (n 2), D n (n 4), E 6,E 7,E 8,F 4,H 3,H 4 kai I 2 (m) (m 2). Perissìterec leptomèreiec up rqoun sto [43].

18 18 KEF ALAIO 1. OM ADES ANAKL ASEWN KAI SUNDUASTIK H Je rhma 1.2. K je peperasmènh om da Coxeter eðnai isìmorfh me mða peperasmènh om daanakl sewn. 'Olecoian gwgec peperasmènecom dec Coxeter eðnai aôtec twn opoðwn ta graf mata faðnontai sto Sq ma 1.3. A n B n 4 D n E 6 E 7 E 8 F 4 4 H 3 H 4 I 2 (m) 5 5 m Sq ma 1.3: Graf mata Coxeter twn anag gwn om dwn anakl sewn. JewroÔme ìti oi akmèc qwrðc shmeðwsh epigr fontai me 3. Sthn sunèqeia jèloume na doôme p c oi om dec anakl sewn droôn ston pragmatikì q ro R n. Piì sugkekrimèna, eðnai fusikì na anarwthjoôme an k je an gwgh om da anakl sewn eðnai om da summetri n k poiou kurtoô polutìpou, dhlad kurt c j khc peperasmènou to pl joc shmeðwn. Profan c, an èna tètoio polôtopo up rqei ja prèpei na èqei k poiou eðdouc summetrða. Autì dðnei to kðnhtro gia ton akìloujo orismì. Kanonikì polôtopo onom zetai k je kurtì polôtopo tou opoðou h om da summetri n (dhlad h om da isometri n tou q rou pou af noun to polôtopo analloðwto) dr metabatik stic megistikèc alusðdec thc morf c: koruf akm 2-di stasth pleur èdra. Den eðnai dôskolo na diapist soume ìti h om da summetri n enìc kanonikoô polutìpou eðnai peperasmènh om da anakl sewn. To antðstrofo ìmwc den isqôei p ntote. Apì thn apìdeixh tou Jewr matoc 1.2 prokôptei ìti mða peperasmènh om da anakl sewn eðnai om da summetri n enìc kanonikoô polutìpou an kai mìnon anto

19 1.1. GENIK A STOIQE IA P ANW STIS OM ADES ANAKL ASEWN 19 antðstoiqo gr fhma Coxeter den èqei diaklad seic. Epomènwc, oi om dec A n,b n (kai C n ), F 4,H 3,H 4 kai I 2 (m) eðnai om dec summetri n kanonik n polutìpwn. Piì sugkekrimmèna, oi om dec A n,b n kai C n eðnai oi om dec summetri n tou kanonikoô monoplìkou, tou kôbou kai tou staurwtoô polôtopou antðstoiqa diast sewc n. H om da H 3 eðnai om da summetri n tou kanonikoô dwdekaèdrou. H om da F 4 eðnai h om da summetri n enìc tetradi statou polutìpou pou onom zetai 24-cell, toopoðo èqei 24 korufèc kai 24 oktaedrikèc èdrec. Tèloc, up rqoun dôo polôtopa twn opoðwn h om da summetri n eðnai h H 4. To èna apo aut èqei 600 korufèc kai 120 dwdekaedrikèc èdrec en to llo èqei 120 korufèc kai 600 tetraedrikèc èdrec. Tèloc, h I 2 (m) eðnai h om da summetri n enìc kanonikoô m- g nou. 'Opwc blèpoume apì thn parap nw an lush, ta mìna kanonik polôtopa diast sewc megalôterhc tou 4 eðnai ta monìploka, ta staurwt polôtopa kai oi kôboi AnalloÐwtec om dwn Coxeter 'Estw an gwgo sôsthma riz n Φ t xewc n me antðstoiqh om da anakl sewn W kai S to sônolo twn anakl sewn wc proc tic aplèc rðzec tou Φ. K je ginìmeno ìlwn twn anakl sewn tou S onom zetai stoiqeðo Coxeter thc W. Ta stoiqeða Coxeter den eðnai monadik diìti h om da W den eðnai en gènei antimetajetik, parìla aut èqoun pollèc koinèc idiìthtec. Katarq n opoiad pote dôo eðnai suzug [43, Prìtash 3.16] kai epomènwc èqoun thn Ðdia t xh h, thn opoða onom zoume arijmì Coxeter. An to γ eðnai stoiqeðo Coxeter thc W, up rqei ènac dudi statoc upìqwroc tou R n o opoðoc paramènei analloðwtoc apì thn dr sh tou γ. Piì sugkekrimmèna, h dr sh tou γ ston upìqwro autì eðnai strof kat gwnða 2π h. Epomènwc, h rðza ζ thc mon doc t xewc h eðnai idiotim tou γ afoô eðnai idiotim thc strof c kat 2π h. Epiplèon, ìlec oi idiotimèc tou γ eðnai dun meic tou ζ. Autèc oi dun meic onom zontai ekjètec thcw kai sumbolðzontai me e 1,...,e n. Lìgw suzugðac twn stoiqeðwn Coxeter, oi arijmoð Coxeter kai oi ekjètec eðnai anex rthtoi thc epilog c tou γ. Sthn epìmenh prìtash parajètoume orismèna stoiqeða gia tic om dec Coxeter ta opoða ja qrhsimopoi soume epaneilhmmèna. Prìtash 1.2. (i) [43, Prìtash 3.18] IsqÔei ìti h = 2N n, ìpou N eðnai to pl joc twn jetik n riz n, h oarijmìc Coxeter kai n h t xh thc W. (ii) [43, Je rhma 3.19] W = n i=1 (e i +1).

20 20 KEF ALAIO 1. OM ADES ANAKL ASEWN KAI SUNDUASTIK H om da W N h ekjètec n(n+1) A n,n 1 (n +1)! 2 n +1 1, 2,...,n B n,n 2 2 n n! n 2 2n 1, 3,...,2n 1 D n,n 4 2 n 1 n! n 2 n 2(n 1) 1, 3,...,2n 3,n 1 E , 4, 5, 7, 8, 11 E , 5, 7, 9, 11, 13, 17 E , 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 F , 5, 7, 11 H , 5, 9 H , 11, 19, 29 I 2 (m),m 3 2m m m 1,m 1 PÐnakac 1.1: Basikèc analloðwtec twn om dwn Coxeter Krustallografikèc om dec MÐa om da anakl sewn ston R n lègetai krustallografik an af nei analloðwto k poio plègma L tou R n,dhlad anwl = L gia k je w W. ApodeiknÔetai ìti an h W eðnai krustallografik tìte k je epigraf m(α, β) tou di grammatoc Coxeter prèpei na eðnai Ðsh me 2, 3, 4 6 [43, Prìtash 2.8]. Sunep c, oi om dec H 3 kai H 4 kaj c kai ìlec oi diedrikèc ektìc apì autèc t xewc 2,4,6,8 kai 12 den eðnai krustallografikèc. Sto Sq ma 1.5 faðnetai h kat taxh twn anag gwn om dwn anakl sewn se krustallografikèc kai om dec summetri n kanonik n polutìpwn. Up rqei ènac diaforetikìc trìpoc na orðsoume mða krustallografik om da mèsw tou sust matoc riz n thc. Piì sugkekrimmèna, lème ìti èna sôsthma riz n eðnai krustallografikì an 2(α, β) (β,β) Z gia k je α, β Φ. MÐa om da anakl sewn pou orðzetai apì to krustallografikì sôsthma riz n Φ onom zetai om da om dec Weyl tautðzontai. Weyl. ApodeiknÔetai ìti oi krustallografikèc om dec kai oi Parak tw parajètoume k poia apì ta plègmata ta opoða paramènoun stajer k tw apì thn dr sh mðac krustallografik c om dac W. To plègma riz n L(Φ): apoteleðtai apì ìlouc touc akèraiouc grammikoôc sunduasmoôc twn stoiqeðwn tou Φ. To plègma surriz n L(Φ ): Gia k je rðza α Φ orðzoume thn antðstoiqh surrðza wc α = 2α (α,α) kai sumbolðzoume me Φ to sônolo ìlwn twn surriz n. To Φ eðnai epðshc krustallografikì sôsthma riz n me antðstoiqh om da anakl sewn isìmorfh me aut n tou Φ. To plègma surriz n apoteleðtai apì ìlouc touc akèraiouc grammikoôc sunduasmoôc twn stoiqeðwn tou Φ.

21 1.1. GENIK A STOIQE IA P ANW STIS OM ADES ANAKL ASEWN 21 SummetrÐec kanonik n polutìpwn Krustallografikèc Om dec I 2 (m) (m 3, 4, 6) A n D n (n 4) E 6 E7 H 4 H 3 B n = C n (n 3) F 4 I 2 (3) = A 2 I 2 (4) = B 2 I 2 (6) = G 2 E 8 Sq ma 1.4: Oi peperasmènec an gwgec om dec Coxeter To plègma bar n: ˆL(Φ ):={λ R n (λ, α ) Z gia k je α Φ}. To plègma sumbar n: ˆL(Φ) := {λ R n (λ, α) Z gia k je α Φ}. IsqÔei ìti L(Φ) ˆL(Φ) kai L(Φ ) ˆL(Φ ) Affinikèc om dec Sthn par grafo aut ja orðsoume k poiec om dec Coxeter pou onom zontai affinikèc om dec anakl sewn kai oi opoðec, ìpwc ja doôme, sqetðzontai me tic krustallografikèc. Piì sugkekrimmèna, mða affinik an klash ston R n eðnai mða an klash wc proc èna uperepðpedo tou R n to opoðo den dièrqetai aparait twc apì thn arq twn axìnwn. OrÐzoume thn affinik om da Aff(R n ) wc to hmieujô ginìmeno thc genik c grammik c om dac GL(R n ) kai thc om dac twn apeikonðsewn metafor c kat stoiqeðo tou R n. An h W eðnai krustallografik om da t xewc n, gia k je rðza α Φ kai k Z orðzoume to uperepðpedo H α,k := {λ R n (λ, α) =k}.

22 22 KEF ALAIO 1. OM ADES ANAKL ASEWN KAI SUNDUASTIK H Parathr ste ìti H α,k = H α, k kai epðshc ìti to H α,k eðnai metafor kat k 2 α tou uperepipèdou H α,0. OrÐzoume thn an klash wc proc to uperepðpedo H α,k wc ex c: r α,k (λ) :=λ ((λ, α) k)α. (1.1) Pr gmati, h apeikìnish r α,k diathreð stajerì to H α,k kai stèlnei to 0 sto kα. An sumbolðsoume me H to sônolo twn uperepipèdwn H α,k me α Φ,k Z ja doôme ìti ta stoiqeða tou H metatðjentai k tw apì thn dr sh thc W kaj c kai orismènwn apeikonðsewn metafor c thc Aff(R n ). parak tw prìtash Prìtash 1.3. [43, Prìtash 4.1] (i) An w W tìte wh α,k = H wα,k kai wr α,k w 1 = r wα,k. Autì faðnetai apì thn (ii) 'Estw λ R n me (λ, α) Z gi k je α Φ. Tìte t(λ)h α,k = H α,k+(λ,α) kai t(λ)r α,k t( λ) =r α,k+(λ,α). OrÐzoume thn affinik om da Weyl W α wc thn upoom da thc Aff(R n ) pou par getai apì tic anakl seic r α,k, ìpou α Φ kai k Z. ApodeiknÔetai ìti h om da W α eðnai to hmieujô ginìmeno thc W me thn om da metafor n pou antistoiqeð sto plègma L(Φ ). Oloklhr noume aut n thn par grafo me orismèna genik stoiqeða gia to p c h om da W α dra sto sônolo uperepipèdwn H. JewroÔme to sônolo A twn sunektik n sunistws n tou R n \ H H H. K je tètoia sunist sa onom zetai jalamðskoc. H α,1 H α2,0 A H α1,0 Sq ma 1.5: To sônolo twn uperepipèdwn H kai o jemeli dhc jalamðskoc gia Φ=A 2

23 1.2. PARAT AGMATA UPEREPIP EDWN KAI OM ADES COXETER 23 Sthn perðptwsh ìpou to krustallografikì sôsthma Φ eðnai an gwgo xeqwrðzoume to jalamðsko A = {λ R n 0 < (λ, α) < 1 gia k je α Φ + }, ton opoðo onom zoume jemeli dh. AfoÔ to Φ eðnai an gwgo kai krustallografikì, up rqei monadik rðza α pou onom zetai megistik, methnidiìthta ìti gia k je α Φ + h diafor α α eðnai mh arnhtikìc grammikìc sunduasmìc apl n riz n. ApodeiknÔetai ìti A = {λ R n 0 < (λ, α) gia k je α Π, (λ, α) < 1}. AfoÔ ta stoiqeða tou Π eðnai grammik c anex rthta, sumperaðnoume ìti to A eðnai monìploko diast sewc n. Onom zoume teðqoc enìc jalamðskou A k je uperepðpedo pou uposthrðzei ton A. Ta teðqh tou A eðnai ta uperepðpeda H α,0 me α Π kai to uperepðpedo H α,1. SumbolÐzoume me S α tosônolo twn anakl sewn wc proc aut ta uperepðpeda, dhlad S α = {r α,0 : α Π} {r α,1 }. Prìtash 1.4. [43, Prìtash 4.3] H om da W α metajètei sônolo A twn jalamðskwn metabatik kai par getai apì tic anakl seic sto S α. Apì thn parap nw prìtash sumperaðnoume ìti k je jalamðskoc mporeð na grafeð wc wa gia k poio w W α. Epomènwc, teðqoc tou wa eðnai k je uperepðpedo wh ìpou to H eðnai teðqoc tou A. Stic epìmenec paragr fouc autoô tou kefalaðou parajètoume orismèna s- toiqeða gia parat gmata uperepipèdwn, sumplègmata smhn n kai mh diastauroômenec diamerðseic mðac om dac Coxeter. 1.2 Parat gmata uperepipèdwn susqetizìmena me om dec Coxeter Parat gmata uperepipèdwn 'Ena par tagma uperepipèdwn A ston R n eðnai èna sônolo affinik n uperepipèdwn tou R n. H di stash tou A eðnai h di stash tou q rou R n kai h t xh rk(a) eðnai h di stash tou q rou pou par getai apì ta dianôsmata orjìjeta sta uperepðpeda tou A. Lème ìti to A eðnai ousi dec an rk(a) =dim(a). MÐa perioq tou A eðnai mia sunektik sunist sa tou sumplhr matoc X twn uperepipèdwn X = R n \ H. H A

24 24 KEF ALAIO 1. OM ADES ANAKL ASEWN KAI SUNDUASTIK H Mia perioq lègetai fragmènh an eðnai fragmèno uposônolo tou R n. To par tagma uperepipèdwn A lègetai kentrikì an H A. To merik c diatetagmèno sônolo tom n tou A eðnai to sônolo L A = { F : F A}, diatetagmèno antistrìfwc wc proc ton egkleismì. To L A èqei monadikì el qisto stoiqeðo to ˆ0 =R n. To qarakthristikì polu numo tou A orðzetai wc χ(a,q)= x L A µ(x)q dim(x), ìpou µ eðnai h sun rthsh Möbius tou L A, me { 1, an x = ˆ0 µ(x) = y<x µ(y), alli c. To qarakthristikì polu numo mac dðnei polô qr simec plhroforðec gia è- na peperasmèno par tagma uperepipèdwn A, ìpwc faðnetai kai sto parak tw je rhma tou Zaslavsky. Je rhma 1.3. [76] To pl joc twn perioq n stic opoðec ta uperepðpeda tou A diaqwrðzoun ton q ro R n eðnai Ðso me( 1) n χ(a, 1). An to A eðnai ousi dec tìte to pl joc twn fragmènwn perioq n eðnai Ðso me( 1) n χ(a, 1) Katal neia parat gmata uperepipèdwn Se aut n thn diatrib ja asqol joôme me parat gmata uperepipèdwn pou sqet'- izontai me sust mata riz n. Piì sugkekrimèna, jewroôme èna peperasmèno krustallografikì sôsthma riz n Φ t xewc n me antðstoiqh om da anakl sewn W. Gi k je m arnhtikì akèraio m orðzoume to m-ostì Katal neio par tagma uperepipèdwn A m (Φ) wc to sônolo twn uperepipedwn H α,k pou orðzontai apì tic exis seic (α, x) =k, gia α Φ kai k = 0,...,m. Sthn perðptwsh m = 0 to A 0 (Φ) onom zetai par tagma Coxeter kai sumbolðzetai me A Φ, en sthn perðptwsh m =1to A 1 (Φ) onom zetai par tagma Catalan tou Φ. H om da W dra sto Φ. EpÐshc, dra apl metabatik sto sônolo twn perioq n tou A Φ, oi opoðec onom zontai d mata. Onom zoume jemeli decd ma tou A Φ thn perioq pou orðzetai apì tic anisìthtec (σ i,x) > 0 gia 1 i n, ìpouσ i eðnai oi aplèc rðzec tou Φ. 'Ena uposônolo tou R n onom zetai kurðarqo an perièqetai sto jemeli dec d ma tou A Φ. Tèloc, sumbolðzoume me ÃΦ to Coxeter affinikì par tagma uperepipèdwn, toopoðoapoteleðtai apì ta uperepðpeda H α,k me α Φ kai k Z kai me W α thn affinik om da Weyl me genn torec tic anakl seic sta uperepðpeda tou ÃΦ.

25 1.2. PARAT AGMATA UPEREPIP EDWN KAI OM ADES COXETER 25 Sthn perðptwsh ìpou to sôsthma riz n Φ eðnai an gwgo kai krustallografikì, to qarakthristikì polu numo tou m-ostoô KatalaneÐou parat gmatoc uperepipèdwn A m (Φ) èqei upologisteð apì ton Ajanasi dh. Je rhma 1.4. [5, Je rhma 1.2] Gi k je an gwgo kai krustallografikì sôsthma riz n kai akèraio m èqoume χ(a m (Φ),q)= n (q mh e i ), i=1 ìpou n eðnai h t xh kai e 1,...,e n oi ekjètec tou Φ. Sundu zontac ta Jewr mata 1.3 kai 1.4, lamb nontac upìyin ìti W = n i=1 (e i +1) kai ìti oi perioqèc tou A Φ eðnai isoplhjeðc me ta stoiqeða thc W sumperaðnoume to parak tw. Pìrisma 1.1. [5, Pìrisma 1.3] (i) To pl joc twn kurðarqwn perioq n tou m-ostoô KatalaneÐou parat gmatoc uperepipèdwn eðnai Ðso me N (m) (Φ) = n i=1 e i + mh +1. (1.2) e i +1 (ii) To pl joc twn fragmènwn kurðarqwn perioq n tou m-ostoô KatalaneÐou parat gmatoc uperepipèdwn eðnai Ðso me n N (m) + (Φ) = i=1 e i + mh 1. (1.3) e i +1 St n perðptwsh m =1to mèroc (i) tou parap nw jewr matoc isodunameð me ta apotelèsmata tou Shi [63], o opoðoc aparðjmhse tic antialusðdec tou merik c diatetagmènou sunìlou twn riz n Φ + kai èdeixe ìti autèc eðnai se èna proc èna antistoiqða me tic kurðarqec perioqèc tou A 1 (Φ). EpÐshc, apì to Je rhma sto [41] eðnai gnwstì ìti to ginìmeno (1.2) aparijmeð to pl joc twn troqi n thc dr shc thc W sto L(Φ )/(mh+1)l(φ ), ìpou L(Φ ) eðnai to plègma surriz n. To pl joc twn kurðarqwn perioq n sthn perðptwsh m =1kai Φ=A n 1 eðnai Ðso me ton gnwstì arijmì Catalan C n = 1 n+1( 2n n ),en to pl joc aut n pou eðnai fragmènec eðnai Ðso me ton arijmì Catalan C n 1. Oarijmìc Catalan sunant tai polô suqn kai aparijmeð dek dec sunduastik n antikeimènwn (bl. [71, Askhsh 6.19]). Oarijmìc N (m) (Φ) onom zetai genikeumènoc arijmìc Catalan wc proc to zeôgoc (Φ,m). EpÐshc o arijmìc N (m) + (Φ) onom zetai genikeumènoc jetikìc arijmìc Catalan. Sthn perðptwsh m =1gr foume N(Φ) kai N + (Φ) antð gia N (1) (Φ) kai N (1) + (Φ) antðstoiqa.

26 26 KEF ALAIO 1. OM ADES ANAKL ASEWN KAI SUNDUASTIK H Shmei noume ìti o orismìc tou m-ostoô KatalaneÐou parat gmatoc uperepipèdwn kaj c kai o arijmìc N (m) (Φ) èqoun nìhma kai sthn perðptwsh ìpou to Φ den eðnai krustallografikì. Tìte ìmwc, gia par deigma stic diedrikèc om dec I 2 (5),I 2 (7) kai I 2 (8), o arijmìc N (m) (Φ) den aparijmeð p ntote to pl joc twn kurðarqwn perioq n tou antistoðqou parat gmatoc uperepipèdwn (bl. [32]) MÐa eklèptunsh tou arijmoô Catalan Sthn sunèqeia ja anaferjoôme se mða eklèptunsh tou arijmoô Catalan pou orðsthke kai melet jhke apì ton Ajanasi dh [6]. Aut h eklèptunsh aparijmeð kurðarqec perioqèc tou m-ostoô KatalaneÐou parat gmatoc uperepipèdwn sômfwna me mða statistik h opoða sqetðzetai me teðqh touc thc morf c H α,m. PrÐn mpoôme se leptomèreiec parajètoume orismèna eisagwgik genik stoiqeða. 'Estw èna krustallografikì sôsthma riz n Φ t xewc n me jetikì sôsthma Φ + kai antðstoiqh om da anakl sewn W. 'Opwc anafèrame parap nw, h om da W dra sto plègma surriz n L(Φ ) kaj c kai sthn diìgkwsh autoô (mh+1)l(φ ) kai epomènwc sto phlðko touc T m = L(Φ )/(mh +1)L(Φ ). An y T m sumbolðzoume me W y ton stajeropoiht tou y wc prìc thn dr sh thc W sto T m. To sônolo W y eðnai upoom da thc W h opoða par getai apì anakl seic. To el qisto pl joctwn anakl sewn pou eðnai aparaðthtec gia na par goun thn W y onom zetai t xh tou y kai sumbolðzetai me rk(y). MporoÔme na gr youme rk(y) kai sthn perðptwsh ìpou to y eðnai mða troqi dr shc thc W sto T m,diìti stoiqeða thc Ðdiac troqi c èqoun suzugeðc stajeropoihtèc. JewroÔme th merik di taxh sto Φ + me α β an h diafor β α eðnai m arnhtikìc grammikìc sunduasmìc jetik n riz n. Hdi taxh aut eðnai gnwst wc merik di taxh riz n tou Φ +. K je uposônolo tou Φ + apoteloômeno apì an dôo m sugkrðsima stoiqeða onom zetai antialusðda. EpÐshc, onom zoume fðltro tou Φ + èna uposônolo I Φ + tètoio stean α Ikai α β sto Φ + tìte β I. MÐa fjðnousa alusðda I :Φ + = I 0 I 1 I 2 I m fðltrwn tou Φ + onom zetai gewmetrik alusðda fðltrwn m kouc m an isqôei (I i + I j ) Φ + I i+j (1.4) gia k je i, j ìpou I i = I m gia k je i m kai (J i + J j ) Φ + J i+j (1.5) gia k je i, j 1 me i + j m, ìpou J i =Φ + \I i gia 0 i m. MÐa rðza α Φ + onom zetai mh analôsimh t xewc m wc proc thn alusðda I an α I m kai epiplèon den mporoôme na gr youme α = β + γ me β I i, γ I j,

27 1.2. PARAT AGMATA UPEREPIP EDWN KAI OM ADES COXETER 27 ìpou i, j 0 kai i + j = m. Onom zoume teðqoc mðac perioq c R tou KatalaneÐou parat gmatoc uperepipèdwn k je uperepðpedo pou uposthrðzei thn R. Lème ìti èna uperepðpedo H α,m diaqwrðzei mia perioq R apì to basikì jalamðsko A an isqôei ìti (α, x) >mgia k je x R. Je rhma1.5. [5, Je rhma 1.2] 'Estw Φ an gwgo krustallografikì sôsthma t xewc n me antðstoiq hom da Weyl W, m jetikìc akèraioc kai O m (Φ) to sônolo twn troqi n dr shc thc W sto T m. Ta akìlouja eðnai Ðsa gia k je akèraio 0 k n: (i) to pl joc twn kurðarqwn perioq n R tou parat gmatoc uperepipèdwn A m (Φ) oi opoðec èqoun k teðqh thc morf c H α,m pou diaqwrðzoun thn R apì to jemeli dh jalamðsko A, (ii) to pl joc twn troqi n y O m (Φ) me rk(y) =k kai (iii) to pl joc twn gewmetrik n alusðdwn fðltrwn tou Φ + m kouc m oi opoðec èqoun k m analôsimec rðzec t xewc m. Eidikìtera, to sunolikì pl joc twn gewmetrik n alusðdwn fðltrwn tou Φ + m kouc m eðnai Ðso me n i=1 e i + mh +1. e i +1 Sthn perðptwsh ìpou to Φ eðnai klasikì sôsthma riz n oi parap nw arijmoð upologðzontai analutik, ìpwc faðnetai parak tw. Je rhma 1.6. [6, Par grafoc 5] To pl joc twn troqi n y O m (Φ) me rk(y) =n k (0 k n) eðnai Ðso me: ( )( ) 1 n +1 m(n +1) n +1 k +1 k ( )( ) n mn k k ( )( n mn m k k ) + ( n 2 k 2 )( ) mn m +1 k an Φ=A n, an Φ=B n C n, an Φ=D n. Sthn perðptwsh Φ=A n kai m =1 o arijmìc tou parap nw jewr matoc )( eðnai n+1 ) kai eðnai gnwstìc wc arijmìc Narayana [53]. Onom - 1 n+1 ( n+1 k+1 k zoume, loipìn, to pl joc twn stoiqeðwn pou aparijmoôntai sto Je rhma 1.5 genikeumèno arijmì Narayana t xewc n k kai gr foume Nar n k (Φ,m).

28 28 KEF ALAIO 1. OM ADES ANAKL ASEWN KAI SUNDUASTIK H Par deigma 1.1. Sto Sq ma 1.6blèpoume tic kurðarqec perioqèc tou KatalaneÐou par tagmatoc uperepipèdwn A 3 (A 2 ). Apì to Je rhma 1.6, gia k =0, 1, 2 paðrnoume touc arijmoôc 1, 9, 12. Me b sh to Je rhma 1.5 kai elègqontac kai to sq ma, blèpoume ìti up rqei 1 perioq (kìkkino) me dôo teiqh thc morf c H α,3 ta opoða thn diaqwrðzoun apì to A, 9 perioqèc (pr sino) me èna teiqoc thc morf c H α,3 to opoðo tic diaqwrðzei apì to A kai tèloc 12 perioqèc ( spro) me kanèna tètoio teðqoc. H α2,3 H α,3 H α1,3 A Sq ma 1.6: Oi kurðarqec perioqèc tou katalaneðou parat gmatoc gia m =3kai Φ=A 2. Touc genikeumènouc arijmoôc Narayana ja touc sunant soume kai parak tw kai ìpwc ja doôme, epidèqontai endiafèrousec ermhneðec kai aparijmoôn kai lla sunduastik antikeðmena. Oloklhr noume aut n thn par grafo me mða eikasða tou Ajanasi dh gia touc arijmoôc Narayana, thc opoðac h shmasða ja faneð sthn epìmenh par grafo kai ja apanthjeð en mèrei sto Kef laio 2. EikasÐa 1.1. Up rqei èna Cohen-Macaulay monoplektikì sômplegma diast sewc n tou opoðou to h-di nusma (h 0,h 1,...,h n ) ikanopoieð thn sqèsh h i =Nar n i (Φ,m). 1.3 To sômplegma smhn n (Φ) Me th melèth thc apìluthc jetikìthtac twn om dwn Lie, oi Fomin kai Zelevinsky eis gagan thn ènnoia thc lgebrac smhn n [38]. MÐa lgebra smhn n t xewc n eðnai ènac metajetikìc daktôlioc efodiasmènoc me mða oikogèneia gennhtìrwn

29 1.3. TO S UMPLEGMA SMHN WN (Φ) 29 oi opoðoi onom zontai metablhtèc smhn n. MÐa lgebra smhn n eðnai peperasmènou tôpou an èqei peperasmènou pl jouc metablhtèc smhn n. To sônolo twn metablht n smhn n eðnai ènwsh mðac sugkekrimènhc oikogèneiac sunìlwn ta opoða èqoun plhj rijmo n kai onom zontai sm nh. Oi lgebrec smhn n pro ljan apì thn prosp jeia perigraf c, me kajar algebrikì kai sunduastikì trìpo, thc dom c twn duïk n kanonik n b sewn daktulðwn suntetagmènwn k poiwn algebrik n pollaplot twn pou sqetðzontai me hmiaplèc om dec. 'Ena apì ta basik apotelèsmata sthn jewrða smhn n eðnai ìti oi peperasmènou tôpou lgebrec smhn n eðnai se èna proc èna antistoiqða me ta peperasmèna sust mata riz n [39]. Gia na katano sei kaneðc mða lgebra smhn n peperasmènou tôpou, qrei zetai na melet sei thn sunduastik thc dom, h opoða apotup netai sto sômplegma smhn n. Piì sugkekrimèna, jewroôme èna krustallografikì sôsthma riz n Φ t xewc n me jetikì sôsthma Φ +, sônolo apl n riz n Π kai antðstoiqh om - da Weyl W. ApodeiknÔetai ìti oi genn torec thc antðstoiqhc Φ- lgebrac smhn n eðnai se èna proc èna antistoiqða me to sônolo twn sqedìn jetik n riz n Φ 1 := Φ + ( Π). EpÐshc, oi sqèseic metaxô twn gennhtìrwn kajorðzontai apì èna agnì monoplektikì sômplegma diast sewc n 1, to sômplegma smhn n (Φ), tou opoðou oi èdrec antistoiqoôn sta sm nh thc antðstoiqhc lgebrac. To sômplegma (Φ) exart tai apì thn antðstoiqh lgebra smhn n all, ìpwc èdeixan oi Fomin kai Zelevinsky, mporeð epðshc na perigrafeð sunduastik qwrðc anafor sthn antðstoiqh lgebra smhn n. Piì sugkekrimèna up rqei mða summetrik dimel c sqèsh sto sônolo Φ 1 h opoða onom zetai sumbatìthta kai h opoða kajorðzei pìte dôo sqedìn jetikèc rðzec brðskontai sto Ðdio sm noc. Me th melèth tou sumplègmatoc smhn n anakalôfjhkan pollèc endiafèrousec idiìthtec, genikèuseic kai susqetismoð me lla sunduastik antikeðmena, ìpwc to Katal neio parat gma uperepipèdwn kai to sôndesmo twn m diastaroômenwn diamerðsewn NC(W ), ston opoðo ja anaferjoôme analutik parak tw. Prin proqwr soume ston orismì tou (Φ) qrei zetai na anakalèsoume orismèna genik stoiqeða p nw se monoplektik sumplègmata kai polôtopa Monoplektik sumplègmata 'Estw E èna peperasmèno sônolo. 'Ena afhrhmèno monoplektikì sômplegma p nw sto sônolo E eðnai mða sullog uposunìlwn tou E me thn idiìthta ìti an F F tìte kai F. To sônolo V = {v E : {v} } eðnai to sônolo koruf n tou. K je stoiqeðo F tou onom zetai pleur. H di stash thc pleur c F eðnai F 1, ìpou F eðnai o plhj rijmoc tou F. Oi èdrec tou eðnai oi pleurèc oi opoðec den perièqontai gn sia se kamða llh pleur tou. To onom zetai agnì sômplegma diast sewc d an ìlec oi èdrec tou èqoun

30 30 KEF ALAIO 1. OM ADES ANAKL ASEWN KAI SUNDUASTIK H di stash d. OrÐzoume to epagìmeno uposômplegma tou me sônolo koruf n V V wc to monoplektikì sômplegma tou opoðou oi pleurèc eðnai oi pleurèc tou oi opoðec perièqontai sto V. H monoplektik sôndesh dôo afhrhmènwn monoplektik n sumplegm twn kai p nw sta (xèna metaxô touc) sônola E kai E antistoðqwc, sumbolðzetai me kai eðnai to afhrhmèno monoplektikì sômplegma p nw sto sônolo E E me pleurèc F F, ìpou F kai F eðnai pleurèc tou kai antistoðqwc. H di stash tou eðnai Ðsh me to jroisma twn diast sewn twn kai meiwmèno kat èna. Onom zoume k-monìploko ston R n to kurtì perðblhma k +1 affinik c anex rthtwn dianusm twn tou R n. 'Ena sônolo monoplìkwn lègetai gewmetrikì monoplektikì sômplegma e n (i) k je pleur monoplìkou tou an kei epðshc sto kai (ii) an σ 1,σ 2 tìte to σ 1 σ 2 eðnai eðte kenì eðte koin pleur twn σ 1,σ 2. Ta monìploka tou lègontai pleurèc tou. H di stash tou orðzetai wc dim( ) = max{dim(σ) : σ }. K je gewmetrikì monoplektikì sômplegma me sônolo koruf n V orðzei èna afhrhmèno monoplektikì sômplegma me sônolo koruf n V wc ex c: gia F èqoume ìti F an kai mìnon anto F eðnai sônolo koruf n k poiac pleur c tou. To lègetai gewmetrik ulopoðhsh tou. Antistrìfwc, èqei apodeiqjeð ìti k je afhrhmèno monoplektikì sômplegma diast sewc d =dim( ) èqei gewmetrik ulopoðhsh kai m listaston R 2d+1. Sto ex c ìtan anaferìmaste se topologikèc idiìthtec enìc afhrhmènou monoplektikoô sumplègmatoc ja ennooôme autèc thc gewmetrik c ulopoðhs c tou PolÔtopa kai monoplektik ripðdia PolÔtopo ston R n onom zoume thn kurt j kh P = { n i=1 λ iα i : λ i 0 kai λ i =1} peperasmènou pl jouc shmeðwn α 1,...,α n R n. Hdi stash tou P eðnai h di stash thc affinik c j khc { n i=1 λ iα i : λ i R, λ i =1} tou {α 1,...,α n }. Oi pleurèc tou polutìpou eðnai oi tomèc tou me uperepipèda H tètoio ste to polôtopo na perièqetai se ènan apì touc dôo kleistoôc hmiq rouc pou orðzei to H. MÐa pleur tou P lègetai gn sia an aut perièqetai gnhsðwc sto P. O sôndesmoc pleur n L(P ) tou P eðnai to merik c diatetagmèno sônolo twn pleur n tou P me th merik di taxh tou egkleismoô. EpÐshc, to sunoriakì sômplegma C( P) enìc polutìpou eðnai to merik c diatetagmèno sônolo twn gnhsðwn pleur n me th di taxh tou egkleismoô. Profan c C( P) =L(P ) \ P. DÔo polôtopa eðnai sunduastik c isodônama an èqoun isìmorfa sunoriak sumplègmata. 'Ena polôtopo diast sewc d onom zetai monoplektikì an k je pleur tou eðnai monìploko dhlad, isodônama, k je èdra èqei ton el qisto arijmì d koruf n. EpÐshc, èna polôtopo diast sewc d onom zetai

31 1.3. TO S UMPLEGMA SMHN WN (Φ) 31 aplì an k je koruf tou perièqetai sto el qisto pl joc d edr n. Onom zoume k no èna m kenì sônolo dianusm twn C R n tètoio steto C perièqei k je grammikì sunduasmì me m arnhtikoôc suntelestèc stoiqeðwn tou. Eidikìtera, k je k noc perièqei to 0. Gia tuqìn uposônolo Y R n orðzoume thn kwnik j kh cone(y ) tou Y wc thn tom ìlwn twn k nwn pou perièqoun to Y. O k noc onom zetai monoplektikìc an eðnai kwnik j kh k poiou sunìlou grammik c anex rthtwn dianusm twn. Onom zoume ripðdio ston R n mða oikogèneia F = {C 1,C 2,...,C N } m ken n k nwn me tic akìloujec idiìthtec: (i) K je m ken pleur enìc k nou sto F eðnai epðshc k noc sto F. (ii) Htom k je dôo k nwn sto F eðnai pleur kai twn dôo. To ripðdio F onom zetai pl rec an F := C 1 C 2 C N = R n kai monoplektikì an ìloi oi k noi tou eðnai monoplektikoð. Olìgoc gia ton opoðo melet me ta ripðdia eðnai ìti sundèontai polô fusik me ta polôtopa. 'Estw P èna polôtopo ston R n tètoio steto 0 na brðsketai sto eswterikì tou P. OrÐzoume to ripðdio pleur n tou P wc to sônolo twn k nwn oi opoðoi par gontai apì tic kwnikèc j kec twn gnhsðwn pleur n tou P, dhlad F(P ):={cone(f ):F L(P ) \ P }. EÔkola blèpoume ìti an to polôtopo P ston R n èqei di stash n tìte to antðstoiqo ripðdio pleur n eðnai pl rec. EpÐshc, an to P eðnai monoplektikì tìte kai to ripðdio F(P ) eðnai monoplektikì. ApodeiknÔetai ìti up rqoun pl rh ripðdia F ta opoða den eðnai thc morf c F(P ) gia kanèna polôtopo P. Gia perissìterec leptomèreiec parapèmpoume sto Kef laio 7tou [77]. 0 Sq ma 1.7: 'Ena polôtopo ston R 2 kai to antðstoiqo ripðdio pleur n Orismìc tou (Φ) T ra eðmaste se jèsh na d soume ton orismì tou (Φ) basizìmenoi sto [40,Kef laio 3]. JewroÔme loipìn sôsthma riz n Φ me antðstoiqh om da anakl sewn

32 32 KEF ALAIO 1. OM ADES ANAKL ASEWN KAI SUNDUASTIK H W. An to Φ den eðnai krustallografikì tìte den up rqei h antðstoiqh lgebra smhn n, parìla aut o orismìc tou (Φ) epekteðnetai kai se aut n thn perðptwsh. ApodeiknÔetai ìti epilog diaforetikoô sust matoc riz n thc W dðnei isìmorfo sômplegma. Epomènwc orismènec forèc, an den mac endiafèrei h sugkekrimènh epilog tou Φ, gr foume (W ). Katarq n, ja orðsoume to (Φ) sthn perðptwsh ìpou to Φ eðnai an gwgo diast sewc n. JewroÔme to sônolo Φ + kai Π twn jetik n kai apl n riz n antðstoiqa kai diamerðzoume to Π se dôo sônola Π=Π + Π, ètsi ste oi rðzec se kajèna apì aut na eðnai an dôo k jetec. EÐnai fanerì oti up rqei mða tètoia diamèrish an parathr soume ìti oi korufèc ìlwn twn diagramm twn Coxeter tou Sq matoc mporoôn na qwristoôn se dôo sônola tètoia ste oi korufèc se k je èna apo aut na mhn sundèontai me k poia akm. 'Estw γ = r α r α α Π + α Π to dimerèc stoiqeðo Coxeter se sqèsh me th diamèrish Π +, Π, ìpou r α eðnai h an klash pou antistoiqeð sth rðza α. JewroÔme to sônolo Φ 1 =Φ + ( Π) twn sqedìn jetik n rðz n kai orðzoume thn apeikìnish R :Φ 1 Φ 1 me R(α) = { γ 1 (α) an α Π + ( Π ) α an α Π + ( Π ). (1.6) To parak tw je rhma prokôptei apì to [40, Par grafoc 3.1]. Je rhma1.7. Up rqei mða monadik summetrik dimer c sqèsh sto Φ 1 h opoða onom zetai sumbatìthta kai h opoða ikanopoieð tic ex c sunj kec: (i) ta α kai β eðnai sumbat an kaimìnon anta R(α) kai R(β) eðnai sumbat, (ii) mða arnhtik apl rðza α eðnai sumbat me mða jetik rðza β an kai mìno an to an ptugma thcβ se jroisma apl n riz ndensumperilamb nei thn α. An to sôsthma riz n Φ den eðnai an gwgo tìte jewroôme tic an gwgec sunist sec tou, èstw Φ 1,...,Φ l. Jètoume Φ 1 = l i=1 (Φ i) 1 kai orðzoume dôo rðzec sto Φ 1 na eðnai sumbatèc an eðte an koun se diaforetik sunist sa eðte an koun sthn Ðdia sunist sa kai eðnai sumbatèc mèsa se aut n. Orismìc 1.1. [40, Kef laio 1] To sômplegma smhn n (Φ) eðnai to afhrhmèno monoplektikì sômplegma me sônolo koruf n to sônolo Φ 1 kai pleurèc tauposônola tou Φ 1 apoteloômena apì rðzec an dôo sumbatèc. EÐnai profanèc ìti sthn perðptwsh ìpou to Φ den eðnai an gwgo kai è- qei an gwgec sunist sec Φ 1,...,Φ l, to (Φ) eðnai h monoplektik sôndesh