Transcript

1 Panepisthmio Patrwn Poluteqnikh Sqolh Tmhma Mhqanikwn H/U kai Plhroforikhc Prìgramma Metaptuqiak n Spoud n : fiepist mh kai TeqnologÐa twn Upologist nfl Diplwmatik ErgasÐa Suntomìterec Diadromèc DÔo KrithrÐwn: Algìrijmoi kai Peiramatik Axiolìghsh TsaggoÔrhc Ge rgioc A.M. : 354 Epiblèpwn Kajhght c : Exetastik Epitrop : Zaroli gkhc Qr stoc Gallìpouloc Eustr tioc Zaroli gkhc Qr stoc Spur khc PaÔloc P tra, Febrou rioc 2006

2

3 EuqaristÐec H diplwmatik aut ergasða ekpon jhke kat to akadhma kì ètoc sto Tm ma Mhqanik n H/U kai Plhroforik c tou PanepisthmÐou Patr n sta plaðsia tou metaptuqiakoô progr mmatoc spoud n fiepist mh kai TeqnologÐa twn Upologist nfl. Katarq c, ja jela na ekfr sw thn eugnwmosônh mou ston epiblèponta thc diplwmatik c ergasðac Anaplhrwt Kajhght Qr sto Zaroli gkh. Tou qrwst w èna meg lo euqarist, gia ton qrìno pou tan p ntote prìjumoc na diajèsei, tic sumboulèc tou kai thn pragmatik polôtimh kajod ghsh kai thn enj rrunsh tou. Oi suzht seic mac p nw sta jèmata thc diplwmatik c, ta sqìlia kai oi parathr seic tou apotèlesan idiaðtera shmantik bo jeia sthn ekpìnhsh thc ergasðac aut c. EpÐshc ja jela na pw èna meg lo euqarist sthn oikogènei mou. H ag ph kai h st rix touc tan kai eðnai gia emèna to polutimìtero agajì. TsaggoÔrhc Ge rgioc P tra, Febrou rioc 2006

4

5 PerÐlhyh To prìblhma eôreshc suntomìterhc diadrom c eðnai èna apì ta pio jemeli dh probl mata monokrithriak c beltistopoðhshc se dðktua. Se pollèc efarmogèc wstìso, mac endiafèroun perissìtera apì èna krit ria proc beltistopoðhsh. Gia par deigma, sthn dromolìghsh se èna odikì dðktuo me diìdia, mac endiafèrei tautìqrona h elaqistopoðhsh tou qrìnou kai tou kìstouc se qr mata. Parìmoia paradeðgmata brðskoume kai ston q ro twn diktôwn thlepikoinwni n, ìpou exet zontai krit ria ìpwc h kajustèrhsh, h pijanìthta l jouc, o arijmìc sundèsmwn kai lla. Se autèc oi peript seic h fikalôterhfl lôsh den mporeð na oristeð me monos manto trìpo, kai sunep c katafeôgoume se antistajmðseic twn paragìntwn. Suqnìtera sthn bibliografða sunant tai h perðptwsh duo krithrðwn, tìso epeid èqei tic perissìterec efarmogèc, ìso kai epeid faðnetai na mporeð na epilujeð apodotikìtera pr gma pou thn kajist perissìtero elkustik gia praktikèc efarmogèc. Treic eðnai oi basikèc proseggðseic epðlushc tètoiwn problhm twn, ìpou exet zontai pollapl krit ria: a) H paragwg tou sunìlou mh kuriarqoômenwn lôsewn. b) H beltistopoðhsh wc proc èna krit rio me periorismoôc sta upìloipa. g) H kanonikopoihmènh beltistopoðhsh h opoða epilègei thn fikalôterhfl lôsh eis gontac mða sun rthsh ekmet lleushc me paramètrouc ta krit ria pou mac endiafèroun. Gia to prìblhma thc suntomìterhc diadrom c me dôo krit ria oi treic autèc proseggðseic odhgoôn sta ex c probl mata antðstoiqa: a) To prìblhma Suntomìterhc Diadrom c DÔo KrithrÐwn. b) To prìblhma Suntomìterhc Diadrom c upì Periorismì Pìrou. g) To prìblhma Mh Ajroistik c Suntomìterhc Diadrom c. Sthn ergasða aut k noume gia pr th for mia episkìphsh twn uparqìntwn mejìdwn gia ta trða probl mata se èna enopoihmèno plaðsio. ProteÐnoume nèec mejìdouc belti seic twn uparqìntwn. UlopoioÔme tic mejìdouc pou parousi zoume kai dðnoume mia ekten peiramatik melèth.

6

7 Perieqìmena 1 Eisagwg Probl mata kai ShmasÐa touc Stìqoc Diplwmatik c ErgasÐac Suneisfor Diplwmatik c ErgasÐac Dom Grafojewrhtikì kai Algorijmikì Upìbajro Basik JewrÐa Grafhm twn kai Algìrijmoi DiktÔwn OrismoÐ To Prìblhma Suntomìterhc Diadrom c O Algìrijmoc EÔreshc Suntomìterwn Diadrom n tou Dijkstra Parallagèc tou AlgorÐjmou tou Dijkstra Basik JewrÐa Poluplokìthtac NP-plhrìthta (NP-completeness) ProseggistikoÐ Algìrijmoi Grammikìc kai Mh Grammikìc Programmatismìc Grammikìc Programmatismìc Akèraioc Grammikìc Programmatismìc Mh Grammikìc Programmatismìc Qal rwsh kat Lagrange Polukrithriak BeltistopoÐhsh To Prìblhma Suntomìterhc Diadrom c upì Periorismì Pìrou MontelopoÐhsh san Prìblhma Akèraiou GrammikoÔ ProgrammatismoÔ Qal rwsh kat Lagrange kai Mèjodoc LÔshc

8 8 PERIEQ OMENA Sustatik StoiqeÐa tou AlgorÐjmou O Algìrijmoc KurtoÔ Peribl matoc Belti nontac thn Apìdosh tou AlgorÐjmou KurtoÔ Peribl matoc YeudopoluwnumikoÐ Algìrijmoi gia to Prìblhma SDPP Proseggistik Sq mata Pl rwc PoluwnumikoÔ Qrìnou Sunduasmìc tou AlgorÐjmou KurtoÔ Peribl matoc me Proseggistikì Sq ma PPQ Peir mata Algìrijmoc KurtoÔ Peribl matoc Proseggistik Sq mata Pl rwc PoluwnumikoÔ Qrìnou kai sunduasmoð me ton Algìrijmo kurtoô peribl matoc To Prìblhma Suntomìterhc Diadrom c me duo Krit ria Upologismìc tou Kat terou KurtoÔ Peribl matoc Proseggistik Sq mata PPQ gia thn EÔresh kat Prosèggish Sunìlou Pareto Sunduasmìc tou AlgorÐjmou KurtoÔ Peribl matoc me Proseggistikì Sq ma PPQ Peir mata SÔgkrish Ulopoi sewn tou AlgorÐjmou KurtoÔ Peribl matoc Proseggistik Sq matapl rwcpoluwnumikoô qrìnou kai sunduasmoð me ton algìrijmo kurtoô peribl matoc To Prìblhma mh Ajroistik Suntomìterhc Diadrom c EpÐlush me thn Mèjodo KurtoÔ Peribl matoc Proseggistik Sq mata Pl rwc PoluwnumikoÔ Qrìnou Sunduasmìc tou AlgorÐjmou KurtoÔ Peribl matoc me Proseggistikì Sq ma PPQ Peir mata Algìrijmoc KurtoÔ Peribl matoc Proseggistik Sq matapl rwcpoluwnumikou qrìnou kai SunduasmoÐ me ton Algìrijmo KurtoÔ Peribl matoc 83 6 Sumper smata kai Prooptikèc 89

9 Kef laio 1 Eisagwg 1.1 Probl mata kai ShmasÐa touc To prìblhma eôreshc suntomìterhc diadrom c eðnai èna apì ta jemeli dh probl mata monokrithriak c beltistopoðhshc se dðktua. Dojèntoc enìc dieujunìmenou graf matoc me mða sun rthsh kìstouc stic akmèc tou, to prìblhma suntomìterhc diadrom c zht thn eôresh mðac diadrom c apì ènan kìmbo afethrðac se ènan kìmbo proorismoô me to mikrìtero kìstoc. EÐnai to pio polumelethmèno prìblhma beltistopoðhshc diktôwn kaj c eðte montelopoieð èna meg lo pl joc efarmog n, eðte prokôptei san upoprìblhma se autèc (blèpe p.q. [3]). Se pollèc efarmogèc (akìma kai sthn kajhmerin mac zw ) mac endiafèroun perissìtera apì èna krit ria. Gia par deigma k poioc pou endiafèretai na agor sei èna autokðnhto jèlei na brei èna montèlo pou na eðnai eurôqwro, gr goro, me kal poiìthta kataskeu c, meg lo qronikì di sthma eggôhshc kai tautìqrona na eðnai kai oikonomikì! Epeid wstìso, eðnai sun jwc adônato na brei kaneðc to tèleio, mia lôsh dhlad pou na eðnai tautìqrona h bèltisth se ìla ta krit ria, katafeôgoume se antistajmðseic twn diafìrwn paramètrwn. To prìblhma thc suntomìterhc diadrom c sunant me suqn se efarmogèc pou aforoôn kurðwc beltistopoðhsh diktôwn metafor n thlepikoinwni n, kai ìpou endiaferìmaste gia th beltistopoðhsh duo perissotèrwn krithrðwn. Sthn perðptwsh aut to prìblhma kaleðtai prìblhma Suntomìterhc Diadrom upì Pollapl Krit ri - SDPK (Multiobjective or Multicriteria Shortest Path - MOSP). To prìblhma ègkeitai sthn eôresh enìc sunìlou diadrom n pou beltistopoioôn ìqi mia, all di forec sunart seic kìstouc (pou onom - 1

10 2 Eisagwg zontai epðshc krit ria qarakthristik ). Mia klassik efarmog tou probl matoc SDPK eðnai aut thc epilog c diadrom c se èna odikì dðktuo me diìdia, ìpou mac endiafèrei tautìqrona h beltistopoðhsh wc proc to qrìno kaj c kai wc proc to kìstoc lìgw diodðwn. Se dðktua thlepikoinwni n zhteðtai h dromolìghsh mhnum twn uphresi n me eggôhsh sthn poiìthta exuphrèthshc Quality-of-Service routing (QoS-routing) [30, 34], ìpou mac endiafèroun pollapl krit ria ìpwc to eôroc z nhc, h kajustèrhsh, h axiopistða kai lla. 'Allec efarmogèc perilamb noun peript seic ìpou parallagèc tou probl matoc SDPK qrhsimopoioôntai san uporoutðna gia thn epðlush pio sônjetwn problhm twn ìpwc gia par deigma sthn mèjodo gèneshc sthl n sthn ergasða [42], gia to prìblhma eôresh epikalôptontoc upograf matoc elaqðstou kìstouc (minimum weight spanner) sthn eôresh isorropi n se montèla odik c kukloforðac (traffic equilibria) [16, 39]. To prìblhma SDPK eðnai idiaðtera shmantikì prìblhma ston q ro thc polukrithriak c beltistopoðhshc (mia perioq upì suneq ereunhtik drasthriìthta sticepist mec thc epiqeirhsiak c èreunac kai twn oikonomik n ta teleutaða 60 qrìnia [11, 12]) me pollaplèc efarmogèc kurðwc sto q ro thc l yhc apof sewn upì pollapl krit ria (multicriteria decision making). Genik èna stigmiìtupo enìc probl matoc polukrithriak c beltistopoðhshc apoteleðtai apì èna sônolo efikt n lôsewn Q kai èna d-diastato di nusma sunart sewn f =[f 1,...,f d ] T, pou sqetðzoun k je efikt lôsh q Q me èna di nusma kìstouc f(q) (upojètoume pwc ìla ta krit ria eðnai proc elaqistopoðhsh). Aut ta probl mata tupik lônontai me thn eôresh thc legìmenhc kampôlhc Pareto (Pareto curve) [38], pou eðnai to sônolo twn (mh kuriarqoômenwn) Pareto-bèltistwn lôsewn fiantistajmðsewnfl (trade-offs) ìpwc lègontai (leme ìti mia lôsh p kuriarqeð epð miac lôshc q ann f i (p) f i (q), 1 i d). Ta probl matapolukrithriak c beltistopoðhshc eðnai tupik NP-dÔskola. Diaisjhtik h duskolða sthn epðlus touc ègkeitai sto ìti to sônolo twn Pareto-bèltistwn lôsewn èqei sun jwc ekjetik meg lo mègejoc, kai autì isqôei kai gia to prìblhma SDPK, akìma kai gia dôo krit ria. Epiprìsjeta, akìma kai an èna sôsthma apìfashc diajètei olìklhro to sônolo twn Paretobèltistwn diadrom n, prèpei na apofasðsei poia eðnai h kalôterh diadrom wc proc èna sugkekrimèno er thma. Sunep c, treic proseggðseic epðlushc gia probl matabeltistopoðhshc upì pollapl krit ria eðnai: a) H beltistopoðhsh wc proc èna krit rio me periorismoôc sta upìloipa. b) H paragwg enìc sunìlou proseggistik mh kuriarqoômenwn lôsewn. g) H beltistopoðhsh miac (sun jwc mh grammik c)

11 1.1 Probl mata kai ShmasÐa touc 3 sun rthshc ekmet lleushc, h opoða èqei paramètrouc ta krit ria pou mac endiafèroun. H prosèggish aut kaleðtai kanonikopoihmènh prosèggish. Sthn ergasða aut endiaferìmaste gia to prìblhma SDPK me duo krit ria. Oi parap nw treic proseggðseic odhgoôn sta ex c probl mata: a) To prìblhma Suntomìterhc Diadrom c upì Periorismì Pìrou - SDPP (Restricted or Resource Constrained Shortest Path Problem - RSP). b) To prìblhma Suntomìterhc Diadrom c DÔo KrithrÐwn - SDDK (Biobjective or Bicriteria Shortest Path Problem - BOSP). g) To prìblhma Mh Ajroistik c suntomìterhc diadrom c - MASD (Non- Additive Shortest Path Problem - NASP). Se ìlec tic parap nw parallagèc mac dðnetai èna dieujunìmeno gr fhma G = (V,E), men = V kìmbouc kai m = E akmèc. EpÐshc mac dðnetai mða sun rthsh c : E IR 0 + pou susqetðzei k je akm tou G me èna mh arnhtikì kìstoc c(e) kai mia sun rthsh r : E IR 0 + pou susqetðzei k je akm e E me mða mh arnhtik tim pìrou r(e). Oi sunart seic kìstouc kai pìrou epekteðnontai se diadromèc, epekteðnontac to pedðo orismoô touc sto dunamosônolo tou E, orðzontac ètsi tic sunart seic c :2 E IR 0 + kai r :2 E IR 0 +, ìpou c p c(p) = e p c(e) kai r p r(p) = e p r(e). Dojèntwn enìc arqikoô kìmbou s kai enìc telikoô kìmbou t, èstw P to sônolo twn diadrom n apì ton s ston t sto G. To prìblhma SDPP zht thn eôresh thc diadrom c p =argmin p P {c(p); r(p) B r }, dhlad ekeðnhc me to el qisto kìstoc metaxô ìlwn twn s-t diadrom n me pìro to polô Ðso me èna dojèn nw fr gma B r. To prìblhma SDDK zht thn eôresh tou sunìlou ìlwn twn mh kuriarqoômenwn s-t diadrom n. Sto prìblhma MASDmac dðnetai mia (mh-grammik ) aôxousa sun rthsh U(x, y), pou sundu zei to kìstoc kai thn katan lwsh pìrou se mia koin metrik kai zhtoômeno eðnai h eôresh thc diadrom c p =argmin p P {U(c(p),r(p))}, dhlad ekeðnhc pou elaqistopoieð thn antikeimenik sun rthsh U( ), metaxô ìlwn twn s-t diadrom n.

12 4 Eisagwg 1.2 Stìqoc Diplwmatik c ErgasÐac Stìqoc thc ergasðac aut c eðnai na exetastoôn kai oi treic proseggðseic gia to prìblhma suntomìterhc diadrom c me duo krit ria (SDPP, SDDK, MASD). Sugkekrimèna zhtoômena eðnai: a) H kritik episkìphsh thc bibliografðac kai h parousðash twn uparqìntwn mejìdwn epðlushc. b) H ulopoðhsh twn shmantikìterwn mejìdwn epðlushc kai h diereônhsh twn dunatot twn beltðwshc aut n. g) H ekten c peiramatik axiolìgish kai h exagwg gia thn apodotikìthta twn mejìdwn aut n sthn pr xh. 1.3 Suneisfor Diplwmatik c ErgasÐac Sta plaðsia thc diplwmatik c aut c ergasðac exet zoume kai tic treic proseggðseic gia to prìblhma suntomìterhc diadrom c me duo krit ria (SDPP, SDDK, MASD). Sugkekrimèna parousi zoume gia pr th for èna enopoihmèno plaðsio twn kôriwn mejìdwn epðlushc twn problhm twn aut n. Oi algìrijmoi epðlushc pou parousi zoume gia ta trða probl mata diakrðnontai se duo basikèc kathgorðec. H pr th kathgorða afor algorðjmouc pou basðzontai sthn mèjodo qal rwshc kat Lagrange. H mèjodoc aut èqei qrhsimopoihjeð ekten c sthn bibliografða tìso gia to prìblhma SDPP [4, 20, 33], ìso kai gia to MASD [26, 35, 43]. H deôterh kathgorða afor Proseggistik Sq mata Pl rwc PoluwnumikoÔ Qrìnou - PSPPQ (Fully Polynomial Time Approximation Schemes - FPTAS) [13, 25, 31]. Sta plaðsia thc ergasðac aut c ulopoi same a) algìrijmouc pou basðzontai sth mèjodo qal rwshc kat Lagrange, b) Proseggistik Sq mata PPQ ìpwc eðnai o algìrijmoc twn Lorenz & Raz [31] gia to prìblhma SDPP, kai Proseggistik Sq mata PPQgiata probl mata SDDK kai MASD pou basðzontai se ekeðna tou SDPP. Par llhla exet zoume tic dunatìthtec sunduasmoô twn mejìdwn kai dðnoume ubridikoôc algorðjmouc pou sundu zoun ta jetik stoiqeða apì k je mèjodo. EpÐshc ulopoioôme mia plhj ra euretik n teqnik n pou belti noun tìso thn apìdosh twn mejìdwn qal rwshc kat Lagrange ìso kai twn Proseggistik n Sqhm twn PPQ. AxÐzei na shmeiwjeð

13 1.3 Suneisfor Diplwmatik c ErgasÐac 5 ìti gia tic ulopoi seic èqoun qrhsimopoihjeð sôgqronec mèjodoi teqnologðac logismikoô kai idiaðtera an ptuxhc / ulopoðhshc algorðjmwn ìpwc teqnikèc genikeumènou programmatismoô (generic programming) [1], polumorfismoô kai sqedðashc basismènhc se politikèc (policy based design), pou uposthrðzontai kai ulopoioôntai apì thn C++ [41]. Oi teqnikèc autèc apoteloôn thn fiteleutaða lèxhfl thc teqnologðac gia thn an ptuxh logismikoô kai epitrèpoun thn grhgorìterh kai komyìterh an ptuxh ubridik n algorðjmwn. Sugkekrimèna, oi ulopoi seic pou anaptôqjhkan kai gia ta trða probl mata eðnai oi ex c: 1. Gia to prìblhma SDPP, ulopoioôme mia mèjodo epðlushc pou basðzetai sthn mèjodo qal rwshc kat Lagrange. Pio sugkekrimèna, exet zoume thn mèjodo kurtoô periblhmatoc [20, 33]. EpÐshc proteðnoume kai ulopoioôme nèec euretikèc teqnikèc epit qunshc thc mejìdou. Exet zoume thn efarmog thc mejìdou kurtoô peribl matoc me qr sh tou algorðjmou tou Dijkstra dipl c kateôjunshc kaj c kai me neec euretikèc mejìdouc pou eis goume se aut n thn ergasða. Sugkekrimèna, exet zoume thn euretik teqnik dunamik c apaloif c kìmbwn kai thn euretik teqnik sunart sewn dunamik n. EpÐshc ulopoioôme to Proseggistikì Sq ma PPQ twn Lorenz & Raz [31], exet zontac di forec ulopoi seic gia ton yeudopoluwnumikì algìrijmo pou qrhsimopoieð san uporoutðna kai proteðnontac nèec euretikèc mejìdouc beltðwshc tou. Akìmh exet - zoume tic dunatìthtec sunduasmoô tou algorðjmou kurtoô peribl matoc me ton algìrijmo twn Lorenz & Raz lamb nontac ètsi èna Proseggistikì Sq ma PPQ me kalôterh sumperifor sto qrìno ektèleshc. Tèloc, k noume mia ektetamènh peiramatik melèth ìlwn twn ulopoi sewn pou prokôptoun kai sqoli zoume ta apotelèsmata. ProkÔptei ìti o algìrijmoc kurtoô peribl matoc epitaqônetai shmantik apì thn qr sh twn euretik n teqnik n dunamik c apaloif c kìmbwn kai sunart sewn dunamik n. EpÐshc o sunduasmìc me ton algìrijmo twn Lorenz & Raz dðnei to kalôtero Proseggistikì Sq ma PPQ. 2. Gia to prìblhma SDDK, ulopoioôme mia mèjodo epðlushc pou basðzetai se pollaplasiastèc Lagrange, kai sugkekrimèna exet zoume thn efarmog thc mejìdou kurtoô peribl matoc sto prìblhma. EpÐshc exet zoume euretikèc teqnikèc epit qunshc thc mejìdou. Eidikìtera, exet zoume thn efarmog thc mejìdou kurtoô peribl matoc me qr sh tou algìrijmou tou Dijkstra dipl c kateôjunshc kai thn nèa euretik teqnik sunart sewn dunamik n. EpÐshc ulopoioôme èna Proseggistikì Sq ma

14 6 Eisagwg PPQ pou basðzetai se epanalambanìmenec kl seic tou algìrijmou twn Lorenz & Raz. Exet zoume gia pr th for tic dunatìthtec sunduasmoô tou algorðjmou kurtoô peribl matoc me to Proseggistikì Sq ma PPQ, epitugq nontac ètsi polô kalôterouc qrìnouc epðlushc sthn pr xh. Tèloc, k noume mia ektetamènh peiramatik melèth ìlwn twn ulopoi sewn kai sqoli zoume ta apotelèsmata. Apì ta peir mata prokôptei oti o algìrijmoc kurtoô peribl matoc epitaqônetai shmantik apì thn qr sh thc euretik c teqnik c sunart sewn dunamik n. EpÐshc o sunduasmìc thc me to proseggistikì sq ma pl rwc poluwnumikoô qrìnou dðnei ta kalôtera apotelèsmata. 3. Gia to prìblhma MASD, exet zoume thn efarmog thc mejìdou kurtoô peribl matoc, kaj c kai twn euretik n teqnik n pou qrhsimopoi jhkan gia to prìblhma SDPP, se sunduasmì m lista kai me mia nèa euretik teqnik pou eis goume kai kaleðtai teqnik bajmoô klðshc. EpÐshc, exet zoume Proseggistikì Sq ma PPQ gia to prìblhma gia mia arket meg lh oikogèneia antikeimenik n sunart sewn pou perilamb nei ìla ta jetik polu numa, kai basðzetai sthn an gwgh tou probl matoc sto SDDK, en exet zoume gia pr th for ton sunduasmì tou ProseggistikoÔ Sq matoc PPQ me th mèjodo kurtoô peribl matoc. KleÐnoume me peir mata p nw ston algìrijmo kurtoô peribl matoc, twn euretik n mejìdwn, kaj c kai p nw ston sunduasmì twn mejìdwn. Apì ta peir - mata prokôptei oti o algìrijmoc kurtoô peribl matoc epitaqônetai shmantik apì thn qr sh thc euretik c teqnik c sunart sewn dunamik n kai eidikìtera apì ton sunduasmì thc me thn euretik teqnik bajmoô klðshc. EpÐshc o sunduasmìc thc mejìdou kurtoô peribl matoc me to Proseggistikì Sq ma PPQ dðnei ta kalôtera apotelèsmata. 1.4 Dom H org nwsh tou upoloðpou thc paroôsac ergasðac èqei wc ex c. Xekin me me to aparaðthto algorijmikì kai grafojewrhtikì upìbajro sto Kef laio 2. ArqÐzoume anafèrontac basikèc ènnoiec thc jewrðac grafhm twn kai algorðjmwn diktôwn, ìpwc o algìrijmoc tou Dijkstra gia to prìblhma suntomìterhc diadrom c. Sth sunèqeia gðnetai mða episkìphsh basik n jem twn jewrðac poluplokìthtac, orðzontai oi kl seic poluplokìthtac kai oi basikèc ènnoiec proseggistik n algorðjmwn. Katìpin, exet zontai basikèc ènnoiec majhmati-

15 1.4 Dom 7 koô programmatismoô, orðzoume to grammikì kai mh grammikì programmatismì, en k noume kai mða eisagwg sth mejodologða qal rwshc kat Lagrange. Tèloc, orðzoume thn ènnoia thc beltistopoðhshc upì pollapl krit ria. Sto Kef laio 3 exet zoume to prìblhma suntomìterhc diadrom c upì periorismì pìrou. Arqik orðzoume to prìblhma kai parousi zoume mða montelopoðhsh tou san akèraio grammikì prìgramma. Sth sunèqeia dðnoume ton algìrijmo kurtoô peribl matoc, ènan apodotikì algìrijmo pou basðzetai sth mèjodo qal rwshc kat Lagrange, kaj c kai euretikèc mejìdouc gia thn epit qunsh tou algorðjmou. Parousi zoume yeudopoluwnumikoôc algorðjmouc epðlushc gia to prìblhma, kaj c kai mia nèa euretik mèjodo gia thn epit qunsh enìc yeudopoluwnumikoô algorðjmou an jeshc etiket n. 'Ustera anaferìmaste se proseggistik sq mata kai deðqnoume pwc mporoôn na sunduastoôn oi teqnikèc qal rwshc kat Lagrange me proseggistik sq mata. KleÐnoume sugkrðnontac peiramatik tic di forec mejìdouc kai sqoli zontac ta apotelèsmata. Sto Kef laio 4 exet zoume to prìblhma suntomìterhc diadrom c duo krithrðwn. Parousi zoume mia prosèggish epðlushc tou probl matoc me tropopoðhsh tou algorðjmou kurtoô peribl matoc kaj c kai teqnikèc pou odhgoôn se proseggistik sq mata pl rwc poluwnumikoô qrìnou. KleÐnoume exet zontac tic dunatìthtec sunduasmoô twn mejìdwn, k nontac peiramatikèc sugkrðseic kai sqoli zontac ta apotelèsmata. Sto Kef laio 5 exet zoume to prìblhma thc mh ajroistik c suntomìterhc diadrom c. Arqik orðzoume to prìblhma kai parousi zoume mða montelopoðhsh tou san akèraio mh grammikì prìgramma. Sth sunèqeia dðnoume ènan apodotikì algìrijmo gia th lôsh tou pou basðzetai sth mèjodo qal rwshc kat Lagrange, kaj c kai euretikèc mejìdouc gia thn epit qunsh tou algorðjmou. Katìpin dðnoume èna proseggistikì sq ma gia to prìblhma kai exet zoume pwc mporeð na sunduasteð o algìrijmoc pou basðzetai sthn mèjodo qal rwshc Lagrange me to proseggistikì sq ma. KleÐnoume me sugkritik peir mata p nw se di forec ulopoi seic tou algìrijmou basismènec stic diaforetikèc euretikèc mejìdouc kai sunduasmoôc.

16 8 Eisagwg

17 Kef laio 2 Grafojewrhtikì kai Algorijmikì Upìbajro 2.1 Basik JewrÐa Grafhm twn kai Algìrijmoi DiktÔwn Se aut n thn enìthta ja d soume di forouc basikoôc orismoôc apì thn jewrða grafhm twn, kai ja doôme se suntomða merikoôc basikoôc algorðjmouc diktôwn. Perissìterec leptomèreiec mporoôn na brejoôn sthn ergasða [3] OrismoÐ 'Ena dieujunìmeno gr fhma (directed graph) G =(V,E) apoteleðtai apì èna sônolo kìmbwn V kai èna sônolo akm n E, tou opoðou ta stoiqeða eðnai diatetagmèna zeôgh diakekrimènwn kìmbwn. Mia akm e apì ènan kìmbo u se ènan kìmbo v sumbolðzetai san e =(u, v). 'Ena dieujunìmeno dðktuo (directed network) eðnai èna dieujunìmeno gr fhma, ìpou oi kìmboi / kai oi akmèc susqetðzontai me arijmhtikèc timèc (p.q. kìsth, qwrhtikìthtec k.l.p.). Me parìmoio trìpo orðzetai kai èna mh dieujunìmeno gr fhma (undirected graph), mìno pou se aut n thn perðptwsh oi akmèc eðnai mh diatetagmèna zeôgh diakekrimènwn kìmbwn. Mia akm e pou sundèei duo kìmbouc u kai v sumbolðzetai kai ed san e =(u, v). Se mh dieujunìmena graf mata, mporoôme na paromoi soume mða akm me ènan drìmo fidipl c kateôjunshcfl en se dieujunìmena graf mata, mða akm paromoi zetai me ènan drìmo fimìnhc kateôjunshcfl. AntÐstoiqa, èna mh dieujunìmeno dðktuo (undirected network) eðnai èna mh dieujunìmeno 9

18 10 Grafojewrhtikì kai Algorijmikì Upìbajro gr fhma ìpou oi kìmboi /kai oi akmèc susqetðzontai me arijmhtikèc timèc. Me V = n sumbolðzoume ton arijmì twn kìmbwn kai me E = m ton arijmì twn akm n se èna gr fhma G. Gia mða akm e =(u, v) kaloôme ton u arq (source) kai ton v pèrac (target) thc akm c. Oi kìmboi u kai v kaloôntai kra (endpoints) thc akm c. Mia akm lègetai proskeðmenh se ènan kìmbo ìtan autìc eðnai kro thc. Mia akm lègetai eiserqìmenh se ènan kìmbo ìtan autìc eðnai pèrac thc. Mia akm lègetai exerqìmenh apì ènan kìmbo ìtan autìc eðnai arq thc. Duo akmèc lègontai geitonikèc ìtan èqoun èna koinì kro. Gia ènan kìmbo orðzoume san bajmì (degree) ton arijmì twn proskeðmenwn akm n tou, bajmì eisìdou (in-degree) ton arijmì twn eiserqìmenwn akm n tou kai bajmì exìdou (out-degree) ton arijmì twn exerqìmenwn akm n tou. 'Ena gr fhma G =(V,E ) eðnai èna upogr fhma (subgraph) tou G =(V,E), an V V kai E E. To G lème ìti eðnai gennhtikì upogr fhma (spanning subgraph) an eðnai V = V kai E E. Mia diadrom (path) metaxô duo kìmbwn u 1 kai u r m kouc r 1 se èna gr fhma G eðnai mða akoloujða (u 1, (u 1,u 2 ),u 2, (u 2,u 3 ),..., (u n 1,u r ),u r ) enallassìmenwn koruf n kai akm n tou G. An oi kìmboi thc diadrom c eðnai diaforetikoð an duo, tìte lème ìti h diadrom eðnai apl (simple) kuklh (loopless). 'Enac kôkloc m kouc r eðnai mða apl diadrom (u 1, (u 1,u 2 ),..., (u n 1,u r ),u r ), mazð me thn akm (u r,u 1 ). 'Ena gr fhma onom zetai kuklo (acyclic) an den perièqei kôklo. Lème ìti duo kìmboi i kai j sundèontai, an sto gr fhma up rqei toul qiston mða diadrom apì ton i ston j. 'Ena gr fhma eðnai sunektikì (connected), an k je zeôgoc kìmbwn sundèetai. 'Ena sunektikì gr fhma to opoðo den perièqei kôklo onom zetai dèntro (tree). 'Ena dèntro T eðnai gennhtikì dèntro tou G an to T eðnai gennhtikì upogr - fhma tou G To Prìblhma Suntomìterhc Diadrom c To prìblhma eôreshc suntomìterhc diadrom c (shortest path problem) eðnai èna apì ta pio jemeli dh ston q ro thc sunduastik c beltistopoðhshc. EmfanÐzetai m lista san upoprìblhma se poll all probl mata sunduastik c

19 2.1 Basik JewrÐa Grafhm twn kai Algìrijmoi DiktÔwn 11 beltistopoðhshc. Se aut n thn ergasða ja mac qreiasteð to prìblhma eôreshc suntomìterhc diadrom c me mh arnhtik b rh. 'Estw G =(V,E) èna dieujunìmeno dðktuo tou opoðou oi akmèc susqetðzontai me mða sun rthsh b rouc wt : E IR 0 +. Gia mða akm e =(u, v), me wt(e) =wt(u, v) sumbolðzoume to b roc thc akm c. An s, t V, mða dieujunìmenh diadrom p apì ton s ston t (s-t diadrom ), èqei b roc Ðso me to jroisma twn bar n twn akm n thc, dhlad wt(p) = e p wt(e). Gia mða s-t diadrom p kaloôme ton s afethrða (source) kai ton t proorismì (target) thc p. Mia suntomìterh s-t diadrom eðnai mða s-t diadrom me to mikrìtero kìstoc metaxô ìlwn twn s-t diadrom n. KaloÔme apìstash (distance) δ(s, t) apì ton kìmbo s ston t to b roc thc suntomìterhc s-t diadrom c. To prìblhma suntomìterhc diadrom c - PSD (shortest path problem - SPP) eðnai h eôresh miac suntomìterhc diadrom c metaxô dojèntwn zeug n kìmbwn tou G. DiakrÐnoume tèsseric parallagèc tou PSD: 1) AploÔ zeôgouc koruf n (Single-pair), ìpou dojeðshc mðac afethrðac s kai enìc proorismoô t, zhteðtai h eôresh miac suntomìterhc s-t diadrom c. 2) Arqik c koruf c (Single-source), ìpou dojeðshc mðac afethrðac s, zhteðtai h eôresh suntomìterwn s-u diadrom n gia k je kìmbo u V. 3) Telik c koruf c (Single-target), ìpou dojèntoc enìc proorismoô t, zhteðtai h eôresh suntomìterwn u-t diadrom n gia k je kìmbo u V. 4) 'Olwn twn zeug n (All-pairs), zhteðtai h eôresh suntomìterwn s-t diadrom n gia k je zeôgoc kìmbwn s, t V. 'Opwc eðdame kai sta prohgoômena up rqoun tèsseric parallagèc tou probl matoc eôreshc suntomìterhc diadrom c. H pr th parallag sun jwc anafèretai san upoperðptwsh twn upìloipwn. ParathroÔme epðshc ìti h trðth parallag eðnai du k thc deôterhc wc proc thn kateôjunsh, kai sunep c isodônamh, kaj c mporeð na lujeð me antistrof twn akm n tou graf matoc kai efarmog enìc algorðjmou gia deôterh perðptwsh. Akìmh eôkola blèpoume pwc h tètarth perðptwsh mporeð na lujeð me n = V efarmogèc enìc algorðjmou gia thn pr th f sh, mða gia k je kìmbo tou graf matoc wc kìmbo afethrðac. Apì thn parap nw suz thsh prokôptei ìti h shmantikìterh parallag eðnai h deôterh, dhlad h eôresh suntomìterhc diadrom c arqik c koruf c

20 12 Grafojewrhtikì kai Algorijmikì Upìbajro (SDAK). 'Opwc eðpame kai parap nw to prìblhma SDAK zht ei thn eôresh suntomìterwn s-u diadrom n se èna dieujunìmeno gr fhma G =(V,E) gia k je kìmbo u V. To prìblhma autì mporeð na lujeð me thn eôresh enìc dèntrou suntomìterwn diadrom n (shortest path tree) T me rðza ton kìmbo s, pou eðnai èna gennhtikì dèntro tou G kai k je s-u diadrom sto T eðnai mða suntomìterh diadrom sto G O Algìrijmoc EÔreshc Suntomìterwn Diadrom n tou Dijkstra O algìrijmoc tou Dijkstra [9] eðnai o pio gnwstìc algìrijmoc gia to prìblhma SDAK se dieujunìmeno dðktuo me mh arnhtik kìsth stic akmèc. O algìrijmoc basðzetai sthn stajeropoðhsh etiket n (label-setting). DiathreÐ mða etikèta apìstashc d(u) gia k je kìmbo u V, tètoia ste δ(s, u) d(u). Se k je b ma o algìrijmoc diathreð mða diamèrish tou V se duo uposônola, to èna apoteleðtai apì kìmbouc me mìnimh etikèta (S) kai to llo apì touc (upìloipouc) kìmbouc me proswrin etikèta (S). Arqik o algìrijmoc jètei S = 0, S = V, d(s) = 0kai d(u) = +, u V s. Se k je b ma epilègei ton kìmbo u tou sunìlou S me th mikrìterh etikèta. StajeropoieÐ ton u jètontac S = S {u}, S = S u, kai diorj nei tic etikètec ìlwn twn kìmbwn w gia touc opoðouc (u, w) E. Sto Sq ma 2.1 dðnoume mða perigraf se yeudok dika tou algorðjmou tou Dijkstra. Je rhma 1 Oalgìrijmoc tou Dijkstra lônei to prìblhmasuntomìterhc diadrom c se qrìno O(m + n 2 ). To b ma epilog c kìmbou ston algìrijmo tou Dijkstra epibarônei thn apìdosh tou. Wstìso, eðnai dunatì na belti soume thn qronik poluplokìthta, ulopoi ntac to b ma autì me qr sh our c proteraiìthtac (priority queue) p.q. me qr sh enìc swroô (heap). Mia our proteraiìthtac eðnai mða dom dedomènwn pou uposthrðzei tic ex c leitourgðec: i=q.find min() : Epistrèfei to antikeðmeno i me th mikrìterh proteraiìthta. Q.insert(i,val) : Eis gei èna nèo antikeðmeno i me proteraiìthta val. Q.decrease p(i,val) : Mei nei thn proteraiìthta tou antikeimènou i se val (me thn proôpìjesh ìti prin eðqe megalôterh proteraiìthta apì val).

21 2.1 Basik JewrÐa Grafhm twn kai Algìrijmoi DiktÔwn 13 Input: Directed Network G(V,E), weight function wt : E IR 0 +,sourcenodes V. Output: Array d( ) withd(u) =δ(s, u), array pred( ), where pred(u) isthefatherofu in the shortest path tree. Method: forall u V {d[u] =+ ;} d[s] =0; pred[s] =0; S = ; S = V ; while S < V { Let u S such that d[u] =min v S d[v]; S = S {u}; S = S {u}; for each (u, w) E { if (d[w] >d[u]+wt(u, w)) { d[w] =d[u]+wt(u, w); pred[w] =u; } } } Sq ma 2.1: O algìrijmoc tou Dijkstra. Me S sumbolðzoume to sônolo twn kìmbwn twn opoðwn oi etikètec èqoun stajeropoihjeð, en S eðnai to sônolo twn mh stajeropoihmènwn kìmbwn. i=q.delete min() : Epistrèfei kai afaireð to antikeðmeno i me th mikrìterh proteraiìthta. Sto Sq ma 2.2 dðnoume mða perigraf se yeudok dika tou algorðjmou tou Dijkstra me qr sh our c proteraiìthtac: Up rqoun pollèc epilogèc pou mporeð na k nei kaneðc gia thn our proteraiìthtac. H pio suqn qrhsimopoioômenh pou epðshc eðnai kai aut pou dðnei ton kalôtero asumptwtikì qrìno eðnai h our Fibonacci [15]. H our Fibonacci ulopoieð tic pr xeic find min, insert kai decrease p se qrìno O(1) kai thn pr xh delete min se epimerismèno (amortized) qrìno O(log n). Je rhma 2 O algìrijmoc tou Dijkstra me qr sh our c Fibonacci lônei to prìblhma suntomìterhc diadrom c se qrìno O(m + n logn).

22 14 Grafojewrhtikì kai Algorijmikì Upìbajro Input: Directed Network G(V,E), weight function wt : E IR 0 +,sourcenodes V. Output: Array d( ) withd(u) =δ(s, u), array pred( ), where pred(u) isthefatherofu in the shortest path tree. Method: forall u V {d[u] =+ ;} d[s] =0; pred[s] =0; Q.insert(s, 0); while Q { u = Q.delete min(); for each (u, w) E { val = d[u]+wt(u, w); if (d[w] >val) { if (d[w] ==+ ) Q.insert(w, val); else Q.decrease p(w, val); d[w] =val; pred[w] =u; } } } Sq ma 2.2: O algìrijmoc tou Dijkstra me qr sh our c proteraiìthtac Parallagèc tou AlgorÐjmou tou Dijkstra Sthn prohgoômenh enìthta parousi same ton algìrijmo tou Dijkstra, o opoðoc lônei apodotik to prìblhma eôreshc suntomìterwn diadrom n apì arqik koruf. Parall ssontac wstìso ton algìrijmo tou Dijkstra, eðnai dunatìn na epilujoôn apodotik kai ta probl mata eôreshc suntomìterwn diadrom n proc telik koruf kai eôreshc suntomìterhc diadrom c aploô zeôgouc. O antðstrofoc algìrijmoc tou Dijkstra. Sthn perðptwsh tou probl matoc eôreshc suntomìterhc diadrom c proc telik koruf, dojèntoc enìc proorismoô t, zhteðtai h eôresh suntomìterwn u-t diadrom n gia k je kìmbo u V. To prìblhma autì mporeð na lujeð apodotik antistrèfontac ton algìrijmo tou Dijkstra wc proc thn kateôjunsh. O antðstrofoc algìrijmoc tou Dijkstra eðnai san ton kanonikì me antðstrofh ìmwc kateôjunsh ektèleshc.

23 2.2 Basik JewrÐa Poluplokìthtac 15 ArqÐzoume dhlad apì thn telik koruf kai brðskoume suntomìterec diadromèc proc aut n. Autì gðnetai tropopoi ntac to b ma diìrjwshc etiket n, ìpou antð na exet zoume tic exerqìmenec akmèc kìmbou, exet zoume tic eiserqìmenec se autìn. EÐnai profanèc pwc h poluplokìthta qeirìterhc perðptwshc tou algìrijmou tou Dijkstra antðstrofhc kateôjunshc eðnai Ðdia me aut n tou kanonikoô. O algìrijmoc tou Dijkstra dipl c kateôjunshc. Sthn perðptwsh tou probl matoc eôreshc suntomìterhc diadrom c aploô zeôgouc (singlepair), jèloume na broôme th suntomìterh diadrom metaxô dôo mìno kìmbwn (s, t). Mia apl tropopoðhsh tou algìrijmou tou Dijkstra gia thn perðptwsh aut eðnai na stamat soume thn ektèlesh ìtan stajeropoihjeð o kìmboc t, epitugq nontac ètsi grhgorìterh ektèlesh. Mia deôterh lôsh eðnai na efarmìsoume ton algìrijmo tou Dijkstra dipl c kateôjunshc (bidirectional Dijkstra s algorithm). H parallag aut tou algorðjmou apoteleð ousiastik thn ektèlesh tou algìrijmo tou Dijkstra apì ton kìmbo s kai thn tautìqronh ektèlesh tou algorðjmou tou Dijkstra antðstrofa apì ton kìmbo t. O algìrijmoc dipl c kateôjunshc loipìn qrhsimopoieð dôo etikètec gia k je kìmbo, mða gia thn apìstash tou apì ton s kai mða gia thn apìstash tou t apì autìn. H ektèlesh stamat ei ìtan gia k poio kìmbo stajeropoihjoôn kai oi dôo etikètec, opìte kai eðnai dunat h an kthsh thc suntomìterhc s-t diadrom c. Parìti h poluplokìthta qeirìterhc perðptwshc tou algìrijmou tou Dijkstra dipl c kateôjunshc eðnai Ðdia me aut n tou kanonikoô, sthn pr xh peiramatik apotelèsmata deðqnoun meg lh beltðwsh ston qrìno ektèleshc. 2.2 Basik JewrÐa Poluplokìthtac Se aut n thn ergasða ìtan anaferìmaste sthn apìdosh enìc algorðjmou upojètoume to sunhjismèno montèlo mhqan c tuqaðac prospèlashc (Random Access Machine - RAM) kai qrhsimopoioôme asumptwtik an lush (Big-Oh notation) prokeðmenou na fr xoume thn poluplokìthta qeirìterhc perðptwshc (gia leptomèreiec parapèmpoume stouc Cormen, Leiserson, Rivest kai Stein [8]).

24 16 Grafojewrhtikì kai Algorijmikì Upìbajro NP-plhrìthta (NP-completeness) H jewrða poluplokìthtac mac epitrèpei taxinomoôme ta probl mata se dôo eureðec kathgorðec: 1. EÔkola probl mata pou mporoôn na lujoôn apì poluwnumikoôc se qrìno algorðjmouc. 2. DÔskola probl mata pou eðnai m llon apðjano na lujoôn se poluwnumikì qrìno kai gia ta opoða ìloi oi gnwstoð algìrijmoi apaitoôn ekjetikì qrìno ektèleshc. H jewrða poluplokìthtac apaiteð ton orismì twn problhm twn kat tètoio trìpo ste mporoôme na apant soume se aut me nai ìqi. Anaferìmaste se aut n thn nai-ìqi ekdoq enìc probl matoc wc ekdoq anagn rishc (recognition version). MporoÔme t ra na eis goume tic kl seic poluplokìthtac (complexity c- lasses): Lème ìti èna prìblhma anagn rishc R an kei sthn kl sh poluplokìthtac P, e n up rqei k poioc poluwnumikìc se qrìno algìrijmoc pou lônei to prìblhma R. To prìblhma eôreshc suntomìterhc diadrom c gia par deigma an kei sthn kl sh P. Lème ìti èna prìblhma anagn rishc R an kei sthn kl sh poluplokìthtac NP, e n gia k je nai-stigmiìtupo I tou R up rqei mða poluwnumikoô m kouc epal jeush ìti to stigmiìtupo I eðnai pr gmati nai-stigmiìtupo. Shmei noume ed ìti eðnai polô eukolìtero na elegqjeð ìti, paradeðgmatoc q rin, mða dedomènh an jesh ikanopoieð ènan tôpo tou Boole, apì to na apofasisteð ìti den up rqei kamða ikanopoihtik an jesh. 'Ena prìblhma anagn rishc R lègetai ìti eðnai NP-dÔskolo (NP-hard), e n gia ìla ta lla probl mata sthn kl sh NP up rqei poluwnumik anagwg sto R. 'Ena prìblhma anagn rishc R lègetai ìti eðnai NP-pl rec (NP-complete), e n (1) R NP kai (2) to R eðnai NP-dÔskolo. Merikèc forèc o qrìnoc ektèleshc enìc algorðjmou eðnai thc morf c O(n k C) ìpou to C eðnai ènac arijmìc pou dðnetai apì to stigmiìtupo tou probl matoc (p.q., to mègisto b roc akm n). 'Enac tètoioc qrìnoc ektèleshc den eðnai poluwnumikìc dedomènou ìti exart tai apì to C kai ìqi apì to log C. Tètoioi qrìnoi ektèleshc kaloôntai yeudo-poluwnumikoð.

25 2.3 Grammikìc kai Mh Grammikìc Programmatismìc ProseggistikoÐ Algìrijmoi Dedomènou ìti poll probl mata beltistopoðhshc eðnai fidôskolafl, den xèroume dhlad kanèna polu numiko algìrijmo gia aut, endiaferìmaste suqn gia algorðjmouc pou parèqoun mða efikt, all sqedìn bèltisth lôsh, mazð me mða apodedeigmènh eggôhsh gia thn poiìtht thc, dhlad to pìso apèqei apì to bèltisto. 'Enac algìrijmoc A kaleðtai ρ-prosèggistikoc, ρ > 1, gia èna prìblhma elaqistopoðhshc, e n gia k je stigmiìtupo tou probl matoc, o A epistrèfei mða lôsh me kìstoc Z A ètsi ste Z A ρz, ìpou Z eðnai to kìstoc thc bèltisthc lôshc. Lème ìti èqoume èna Proseggistikì Sq mapoluwnumikoô Qrìnou (polynomial time approximation scheme - PTAS), e n gia k je ε>0, up rqei ènac (1+ε)- proseggistikìc algìrijmoc pou trèqei se qrìno polu numiko sto mègejoc thc eisìdou, p.q. O(n 2 2 1/ε ). AntÐstoiqa lème ìti èqoume èna Proseggistikì Sq ma Pl rwc PoluwnumikoÔ Qrìnou - Proseggistikì Sq ma PPQ (fully polynomial time approximation scheme - FPTAS), e n gia k je ε>0, up rqei ènac (1 + ε)-proseggistikìc algìrijmoc pou trèqei se qrìno polu numiko sto mègejoc thc eisìdou kai sto 1/ε, p.q. O(n 2 1/ε 2 ). 2.3 Grammikìc kai Mh Grammikìc Programmatismìc Grammikìc Programmatismìc Sto Prìblhma GrammikoÔ ProgrammatismoÔ (Linear Programming Problem) mac dðnetai èna sôsthma Ax b grammik n anisot twn kai mða grammik antikeimenik sun rthsh (objective function) f(x) =c T x. O stìqoc eðnai na brejeð mða efikt (feasible) lôsh x (pou shmaðnei ìti Ax b kai x 0) pou megistopoieð ( elaqistopoieð) thn antikeimenik sun rthsh. Dojèntwn enìc mhtr ou A IR m n, enìc dianôsmatoc b IR m kai enìc dianôsmatoc c IR m,

26 18 Grafojewrhtikì kai Algorijmikì Upìbajro to antðstoiqo grammikì prìgramma -GP (linear program - LP) sumbolðzetai me minimize subject to c T x Ax b x 0 h gia suntomða wc min{c T x Ax b, x 0}. Probl mata parìmoiac morf c mporoôn eôkola na metatrapoôn se aut n thn tupopoihmènh morf. Mia efikt lôsh x kaleðtai bèltisth lôsh (optimal solution), e n isqôei c T x c T x gia ìlec tic efiktèc lôseic x. E n èna grammikì prìgramma den èqei kamða efikt lôsh, kaleðtai mh efiktì (nonfeasible). H ènnoia tou du smoô (duality) eðnai jemeli douc shmasðac ston q ro tou grammikoô programmatismoô. Gia k je grammikì prìgramma (P ):min{c T x Ax b, x 0} up rqei èna llo grammikì prìgramma susqetizìmeno me to (P ), to opoðo apokaleðtai du kì prìblhma (dual problem) tou (P ) kai orðzetai wc (D) :max{y T b y T A c, y 0}. To prìblhma (P ) kaleðtai prwteôon prìblhma (primal problem). Anafèroume t ra di fora shmantik apotelèsmata p nw sth sqèsh tou prwteôontoc probl matoc me to du kì kai parapèmpoume sto biblðo [37] gia diexodikìterh melèth p nw se jèmata grammikoô programmatismoô. L mma 1 To du kì enìc du koô probl matoc eðnai to prwteôon prìblhma. L mma 2 (asjen c du smìc - weak duality): E n x eðnai mða efikt lôsh tou prwteôontoc probl matoc kai y eðnai mða efikt lôsh tou du koô probl matoc, tìte c T x y T b. Je rhma 3 (isqurìc du smìc - strong duality): E n èna prìblhma grammikoô programmatismoô èqei bèltisth lôsh, tìte kai to du kì tou èqei bèltisth lôsh kai ta kìsth twn bèltistwn lôsewn eðnai Ðsa.

27 2.3 Grammikìc kai Mh Grammikìc Programmatismìc Akèraioc Grammikìc Programmatismìc Sta diakrit probl mata beltistopoðhshc, epidi koume na broôme mða lôsh x se èna diakritì sônolo X, pou na beltistopoieð mða antikeimenik sun rthsh f(x) orizìmenh gia k je x X. Ta diakrit probl mata beltistopoðhshc prokôptoun polô suqn se di - forouc tomeðc. 'Enac trìpoc na melethjeð mða eureða kathgorða tètoiwn problhm twn eðnai na montelopoihjoôn wc probl mata akèraiou grammikoô programmatismoô. 'Ena akèraio grammikì prìgramma - AGP (integer linear program - ILP) orðzetai ìpwc kai èna grammikì prìgramma me th diafor ìti (merikèc) metablhtèc periorðzontai na p roun akèraiec timèc. H epðlush problhm twn AGP gia eôresh bèltistou eðnai èna NP-pl rec prìblhma (Garey kai Johnson[18]) se antidiastol me thn epðlush GP pou mporeð na gðnei se poluwnumikì qrìno me th mèjodo tou elleiyoeidoôc (ellipsoid method). Se sqèsh me to grammikì programmatismì, o akèraioc grammikìc programmatismìc eðnai èna polô pio dunatì ergaleðo montelopoðhshc problhm twn. Poll probl mata beltistopoðhshc se dðktua mporoôn na montelopoihjoôn wc AGP Mh Grammikìc Programmatismìc 'Ena llo montèlo majhmatikoô programmatismoô eðnai autì tou mh grammikoô ProgrammatismoÔ (non-linear programming), ìpou h antikeimenik sun rthsh /kai oi periorismoð mporoôn na dðnontai san mh grammikèc sunart seic twn metablht n tou probl matoc. 'Ena mh grammikì prìgramma - MGP (non-linear program - NLP) elaqistopoðhshc me k periorismoôc èqei th genik morf min s.t. f(x) g i (x) 0,i=1...k x 0 'Opwc kai sto grammikì programmatismì ètsi kai ed mporoôme na genikeôsoume sthn perðptwsh pou merikèc metablhtèc periorðzontai se akèraiec timèc. H genðkeush aut odhgeð se akèraia mh grammik progr mmata - AMGP (integer non-linear programms - INLP).

28 20 Grafojewrhtikì kai Algorijmikì Upìbajro Qal rwsh kat Lagrange ProkeÐmenou na perigr youme th genik teqnik thc qal rwshc kat Lagrange (Lagrangian relaxation), jewroôme to akìloujo prìgramma akèraiou grammikoô programmatismoô z =min s.t. c T x Ax = b Cx = d x akèraioc kai upojètoume ìti ta stoiqeða twn A, C, b, c kai d lamb noun akèraiec timèc. 'Estw t ra to sônolo X = {x akèraioc Cx = d}. ProkeÐmenou na deðxoume thn qrhsimìthta thc mejìdou, upojètoume ìti h beltistopoðhsh p nw sto sônolo X mporeð na gðnei apodotik. Wstìso, h prosj kh twn periorism n Ax = b kajistoôn to prìblhma dôskolo. H teqnik qal rwshc kat Lagrange qrhsimopoieð thn idèa thc qal rwshc aut n twn periorism n pou duskoleôoun to prìblhma, susqetðzontac (pollaplasi zontac) touc me touc legìmenouc pollaplasiastèc Lagrange (Lagrangian multipliers) μ kai emfanðzont c touc sthn antikeimenik sun rthsh. Anaferìmaste sto prokôpton prìblhma min c T x + μ(ax b) s.t. x X san upoprìblhma Lagrange (Lagrangian subproblem) kai kaloôme th sun rthsh L(μ) =min{c T x + μ(ax b) x X} sun rthsh Lagrange (Lagrangian function). Gia dedomèno di nusma pollaplasiast n μ mða lôsh tou upoprobl matoc Lagrange den eðnai kat' an gkh efikt gia to arqikì prìblhma afoô èqoume apob lei touc periorismoôc Ax = b. Wstìso, to akìloujo l mma anafèrei poiec plhroforðec mporoôme na p - roume apì mða lôsh tou upoprobl matoc Lagrange. L mma 3 Gia opoiod pote di nusma μ twn pollaplasiast n Lagrange, h tim L(μ) thc sun rthshc Lagrange apoteleðèna k twfr gma sthn tim bèltisthc lôshc z tou arqikoô probl matoc.

29 2.4 Polukrithriak BeltistopoÐhsh 21 AfoÔ loipìn gia opoiod pote di nusma μ twn pollaplasiast n Lagrange, to L(μ) eðnai k tw fr gma sthn bèltisth tim tou arqikoô probl matoc, gia na l boume to kalôtero dunatì k tw fr gma qrei zetai na lôsoume to akìloujo prìblhma beltistopoðhshc L =maxl(μ) μ sto ìpoio anaferìmaste wc to prìblhma pollaplasiast n Lagrange (Lagrangian multiplier problem) du kì prìblhma kat Lagrange (Lagrangian dual problem) pou susqetðzetai me to arqikì prìblhma. Apì to L mma 3 eðnai safèc ìti isqôei o asjen c du smìc Je rhma 4 'Eqoume ìti L z. DÐnoume t ra to genikì je rhma pou mac leei ìti to bèltisto tou du koô kat Lagrange probl matoc isoôtai me th qal rwsh tou periorismoô twn akèraiwn tim n tou AGP. Je rhma 5 E n efarmìzoume thn teqnik qal rwshc kat Lagrange se èna prìblhma grammikoô programmatismoô P pou orðzetai wc min{c T x Ax = b, Cx = d, x 0} qalar nontac touc periorismoôc Ax = b, tìte h bèltisth tim L tou du koô kat Lagrange probl matoc isoôtai me thn tim thc bèltisthc lôshc tou P. To prohgoômeno je rhma mac leei ìti h qal rwsh kat Lagrange parèqei mða enallaktik mèjodo lôshc gia probl mata beltistopoðhshc. IdiaÐtera se peript seic ìpou to qalarwmèno prìblhma lônetai eôkola en to arqikì ìqi, h teqnik aut apoteleð mða elkustik prosèggish. 2.4 Polukrithriak BeltistopoÐhsh Ena prìblhma beltistopoðhshc orðzetai apì èna sônolo efikt n lôsewn X, kai mða antikeimenik sun rthsh f : X IR pou apodðdei se k je efikt lôsh x X èna kìstoc f(x). Stìqoc tou probl matoc beltistopoðhshc eðnai na brejeð h bèltisth efikt lôsh. Se èna prìblhma elaqistopoðhshc p.q. zhteðtai hlôshmeto el qisto kìstoc. Se pollèc peript seic wstìso mac endiafèrei h tautìqronh beltistopoðhsh pollapl n (suqn allhlosugkrouìmenwn) antikeimenik n sunart sewn.

30 22 Grafojewrhtikì kai Algorijmikì Upìbajro Tìte leme ìti èqoume èna prìblhma beltistopoðhshc upì pollapl krit ria polukrithriak c beltistopoðhshc (multiobjective or multicriteria optimization problem), ìpou orðzetai èna di nusma sunart sewn beltistopoðhshc f =[f 1,...,f d ] T pou sqetðzei k je efikt lôsh x X me èna d-diastato di nusma f(x). Ed den mporoôme na poôme p nta an mða lôsh eðnai kalôterh apì mða llh, exaitðac twn pollapl n sunart sewn kìstouc. Wstìso, mporeð na oristeð h ènnoia thc kuriarqðac (domination). Leme ìti mða lôsh x X kuriarqeðtai apì mða lôsh x X an f i (x) f i (x), i =1...d, kai ìpou mða anisìthta ikanopoieðtai austhr. Kat' autìn ton trìpo orðzoume to sônolo twn bèltistwn kat Pareto Pareto-bèltistwn (Pareto-optimal) lôsewn wc to sônolo twn mh kuriarqoômenwn efikt n lôsewn. Dojèntoc enìc dianôsmatoc lìgwn prosèggishc ρ =[ρ 1,...,ρ d ] T (ρ i 1, 1 i d), leme pwc mia lôsh x X ρ-kalôptei mia lôsh x X ann eðnai to Ðdio kal se ìla ta krit ria i toul qiston kat ènan par gonta ρ i. Dhlad, f i (x) ρ i f i (x), 1 i d. 'Ena sônolo Π X eðnai èna ρ-k lumma tou X ann gia k je x X, up rqei èna x Π tètoio ste to x na ρ-kalôptei to x (èna ρ-k lumma mporeð na perièqei kai kuriarqoômenec lôseic). 'Ena ρ-k lumma onom zetai epðshc ρ-pareto sônolo. An ìla ta stoiqeða tou ρ isoôntai me ρ, qrhsimopoioôme epðshc touc ìrouc ρ-kalumma kai ρ-pareto sônolo. 'Ena proseggistikì sq ma pl rwc poluwnumikoô qrìnou (fully polynomial time approximation scheme - FPTAS) gia ton upologismì tou sunìlou Pareto enìc stigmiìtupou enìc probl matoc polukrithriak c beltistopoðhshc eðnai mia oikogèneia algorðjmwn, pou gia k je ε>0, perièqei ènan algìrijmo pou p nta brðskei èna (1+ε)-Pareto sônolo kai trèqei se qrìno polu numiko sto mègejoc thc eisìdou kai sto 1/ε. Gia probl mata grammikoô programmatismoô upì pollapl krit ria, ìpou to sônolo efikt n lôsewn eðnai thc morf c X = {Ax = b, x 0} kai oi sunart seic beltistopoðhshc eðnai thc morf c c i (x) =c T i x, i =1...k, eðnai gnwstì ìti to sônolo twn Pareto-bèltistwn lôsewn eðnai akrib c oi lôseic pou prokôptoun apì th lôsh grammik n programm twn thc morf c min s.t. k λ i c T i x i=1 Ax = b x 0, ìpou k i=1 λ i =1kai λ i 0, 1 i k. Wstìso to parap nw apotèlesma den isqôei gia probl mata sunduastik c

31 2.4 Polukrithriak BeltistopoÐhsh 23 beltistopoðhshc me diakrit dom. Se aut n thn kathgìria problhm twn mða lôsh mporeð na eðnai Pareto-bèltisth qwrðc na apoteleð bèltisth lôsh gia k poio grammikì sunduasmì twn sunart sewn beltistopoðhshc. Wstìso to antðstrofo isqôei, dhlad an mða lôsh eðnai bèltisth gia k poio grammikì sunduasmì twn sunart sewn beltistopoðhshc tìte eðnai Pareto-bèltisth. IdiaÐtero endiafèron parousi zoun ta probl mata me duo sunart seic beltistopoðhshc ta opoða onom zontai kai probl mata beltistopoðhshc duo krithrðwn (bicriterion optimization problems).

32 24 Grafojewrhtikì kai Algorijmikì Upìbajro

33 Kef laio 3 To Prìblhma Suntomìterhc Diadrom c upì Periorismì Pìrou Sto prìblhma Suntomìterhc Diadrom c upì Periorismì Pìrou-SDPP (Restricted or Resource Constrained Shortest Path) mac dðnetai èna dieujunìmeno gr fhma G =(V,E) me n = V kìmbouc kai m = E akmèc. EpÐshc mac dðnetai mða sun rthsh c : E IR 0 + pou susqetðzei k je akm tou G me èna mh arnhtikì kìstoc c(e), mia sun rthsh r : E IR 0 + pou susqetðzei k je akm e E me mða mh arnhtik tim pìrou r(e) kai ènac periorismìc pìrou B r 0. Oi sunart seic kìstouc kai pìrou epekteðnontai se diadromèc, epekteðnontac to pedðo orismoô touc sto dunamosônolo tou E, orðzontac ètsi tic sunart seic c :2 E IR 0 + kai r :2 E IR 0 +, ìpou c p c(p) = e p c(e) kai r p r(p) = e p r(e). Dojèntwn enìc arqikoô kìmbou s kai enìc telikoô kìmbou t, èstw P to sônolo twn diadrom n apì ton s ston t sto G. To prìblhma suntomìterhc diadrom c upì periorismì pìrou zht thn eôresh thc diadrom c p me to el qisto kìstoc metaxô ìlwn twn diadrom n apì ton s ston t me pìro to polô Ðso me B r, dhlad p =argmin p P {c(p); r(p) B r }. To prìblhma SDPP èqei idiaðterh xia lìgw tou meg lou pl jouc twn praktik n tou efarmog n se dðktua metafor n kai thlepikoinwni n. Mia klassik efarmog eðnai aut thc epilog c diadrom c se èna odikì dðktuo me diìdia. Me dedomènh mia afethrða kai ènan proorismì zhteðtai h suntomìterh se qrìno diadrom ste to sunolikì kìstoc lìgw diodðwn na mhn xepern ei èna fr gma. 25

34 26 To Prìblhma Suntomìterhc Diadrom c upì Periorismì Pìrou Se dðktua thlepikoinwni n zhteðtai h dromolìghsh me eggôhsh sthn poiìthta exuphrèthshc Quality-of-Service routing (QoS-routing). Se aut n thn perðptwsh zhtoômeno eðnai h eôresh miac diadrom c elaqðstou kìstouc pou na mhn uperbaðnei orismèna dedomèna fr gmata kajustèrhshc axiopistðac [30, 34]. 'Allec efarmogèc perilamb noun peript seic ìpou to prìblhma SDPP qrhsimopoieðtai san uporoutðna kurðwc se mejìdouc gènnhshc sthl n (column generation) gia thn epðlush pio sônjetwn problhm twn. Merik paradeðgmata eðnai h mèjodoc gèneshc sthl n gia to prìblhma eôresh gennhtikoô upograf matoc elaqðstou kìstouc (minimum weight spanner) [42] kai h mèjodoc thc ergasðac [28] gia èna prìblhma ro c pollapl n agaj n elaqðstou kìstouc me periorismoôc sta m kh twn diadrom n. To prìblhma SDPP eðnai NP-dÔskolo (anagwg apì to knapsack [20]). Sunep c eðnai exairetik apðjano na brejeð potè ènac poluwnumikìc algìrijmoc pou na to lônei. Wstìso, sth bibliografða èqei protajeð mia plhj ra algorðjmwn, oi opoðoi mporoôn na kathgoriopoihjoôn se treic basikèc kathgorðec. 1. YeudopoluwnumikoÐ algìrijmoi [2, 29, 40]: Prìkeitai gia algorðjmouc pou basðzontai eðte se anadromikì dunamikì programmatismì eðte se teqnikèc an jeshc / enhmèrwshc etiket n. H poluplokìthta qeirìterhc perðptwshc aut n twn algorðjmwn eðnai sun jwc an logh tou fr gmatoc pìrou. 2. Algìrijmoi basismènoi sthn mèjodo qal rwshc kat Lagrange [4, 20, 33]: Oi algìrijmoi autoð basðzontai sthn montelopoðhsh tou probl matoc san akèraio grammikì prìgramma kai sthn efarmog thc mejìdou qal rwshc kat Lagrange prokeðmenou na an goun to prìblhma se mia seir apì upologismoôc suntomìterhc diadrom c. Oi algìrijmoi autoð brðskoun sun jwc mia upobèltisth lôsh qwrðc m lista egguhmènh apìstash apì to pragmatikì bèltisto. 3. Proseggistik Sq mata Pl rwc PoluwnumikoÔ Qronou [13, 25, 31]: Prìkeitai gia algorðjmouc pou gia k je ε>0brðskoun mia upobèltisth lôsh me egguhmèno ìmwc lìgo prosèggishc (1 + ε) wc proc th bèltisth lôsh, kai èqoun qrìno ektèleshc poluwnumikì sta m, n kai 1/ε. Oi algìrijmoi autoð basðzontai sun jwc se teqnikèc stroggulopoðhshc kai klim kwshc (rounding and scaling).

35 3.1 MontelopoÐhsh san Prìblhma Akèraiou GrammikoÔ ProgrammatismoÔ 27 To upìloipo kef laio organ netai wc ex c: Sthn Enìthta 3.1 dðnoume mia montelopoðhsh tou probl matoc san prìblhma akèraiou grammikoô programmatismoô. Sthn Enìthta 3.2 parousi zoume ton algìrijmo kurtoô peribl matoc pou prokôptei apì thn efarmog thc mejìdou qal rwshc kat Lagrange sto AGP, kaj c kai euretikèc mejìdouc gia thn epit qunsh tou algorðjmou. Sthn Enìthta 3.3 parousi zoume yeudopoluwnumikoôc algorðjmouc epðlushc gia to prìblhma, kaj c kai mia nèa euretik mèjodo gia thn epit qunsh enìc algorðjmou an jeshc etiket n. Sthn Enìthta 3.4 anaferìmaste se Proseggistik Sq mata PPQ me èmfash ston algìrijmo twn Lorenz & Raz [31]. Sthn Enìthta 3.5 deðqnoume pwc mporoôn na sunduastoôn oi teqnikèc qal rwshc kat Lagrange me ta Proseggistik Sq mata PPQ. Tèloc sthn Enìthta 3.6 sugkrðnoume peiramatik tic di forec mejìdouc kai sqoli zoume ta apotelèsmata. 3.1 MontelopoÐhsh san Prìblhma Akèraiou GrammikoÔ ProgrammatismoÔ ProkeÐmenou na eis goume kalôtera ton orismì tou probl matoc SDPP, dðnoume arqik mða montelopoðhsh tou gnwstoô probl matoc eôreshc suntomìterhc diadrom c, wc akèraio grammikì prìgramma. Gia k je diadrom p P eis goume mða duadik metablht x p {0, 1}. To prìblhma suntomìterhc diadrom c montelopoieðtai apì to akìloujo akèraio grammikì prìgramma. min s.t. c p x p p P x p =1 p P x p {0, 1}, p P 'Opwc proanafèrame sto prìblhma SDPP epiprìsjeta me th sun rthsh kìstouc, up rqei kai mða sun rthsh katan lwshc pìrou, kai to sônolo twn efikt n lôsewn dðnetai apì tic diadromèc me pìro to polô Ðso me B r. O periorismìc autìc eis gei thn ex c epiplèon anisìthta r p x p B r. (3.1) p P