ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟΥ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ ΜΕ ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΚΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΣΤΑΘΜΕΣ ΕΠΙΤΕΛΕΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Edmond Muho Διπλωματούχος Πολιτικός Μηχανικός, M.Sc ΠΑΤΡΑ 2017

2 Αυτή η σελίδα αφήνεται σκόπιμα κενή.

3 Η παρούσα διδακτορική διατριβή με τίτλο Αντισεισμικός σχεδιασμός επιπέδων κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος με ιδιομορφικούς συντελεστές συμπεριφοράς και διάφορες στάθμες επιτελεστικότητας απο τον Edmond Muho, έχει εξεταστεί και εγκριθεί για την απόκτηση Διδακτορικού Διπλώματος στην επιστήμη του Πολιτικού Μηχανικού από την παρακάτω επιτροπή: Επιβλέπων Καθηγητής Δημήτριος Μπέσκος Υπογραφή Ημερ Καθηγητής Στέφανος Δρίτσος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χατζηγεωργίου Υπογραφή Υπογραφή Καθηγητής Δημήτριος Καράμπαλης Επίκουρος Καθηγητής Μανόλης Σφακιανάκης Υπογραφή Υπογραφή Καθηγητής Ευστάθιος Μπουσιας Καθηγητής Απόστολος Παπαγεωργίου Υπογραφή Υπογραφή iii

4 Αυτή η σελίδα αφήνεται σκόπιμα κενή.

5 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Με την συγγραφή της παρούσας Διδακτορικής Διατριβής μια γεμάτη φοιτητική ζωή ολοκληρώνεται ανοίγοντας νέους ορίζοντες εξερεύνησης. Από το 2005 με την εισαγωγή μου στο τμήμα Πολιτικών Μηχανικών έκανα γνωστούς και φίλους οι οποίοι συνετέλεσαν ο καθένας με τον τρόπο του στη διαμόρφωση του χαρακτήρα μου. Θέλω να ευχαριστήσω τους καλούς φίλους και συναδέλφους Βασίλη Κατζουράκη, Δημήτρη Κορέλωβ, Παναγιώτη Ρήγα, Στέλιο Οικονομίδη και Χάρη Θανόπουλο. Ευχαριστώ από καρδιάς για την στήριξή τους την κ. Αγγελική Αποστολοπούλου και την κ. Μαρία Σταθοπόυλου. Ευχαριστώ την κ. Ιωάννα Βλάχου με την οποία μοιράστηκα τον τελευταίο χρόνο των σπουδών τον ίδιο χώρο εργασίας. Ευχαριστώ την κ. Άννα Σταμίρη, γραμματέα του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών, για την βοήθεια της και την άμεση εξυπηρέτηση κάθε φορά που εμφανιζόμουν στη γραμματεία. Ευχαριστώ επίσης όσους γνώρισα το τελευταίο έτος των διδακτορικών μου σπουδών και συνετέλεσαν σε μια ακόμα πιο ευχάριστη χρονιά, όπως και το προσωπικό της κεντρικής βιβλιοθήκης για την όμορφη συνεργασία που είχαμε. Ευχαριστώ τους συναδέλφους και φίλους Διδάκτορες που μοιραστήκαμε κατά τη διάρκεια της έρευνας πέρα από το γραφείο, τις ανησυχίες μας και την δίψα μας για γνώση, Δημήτριο Λουλέλη, Νικόλαο Καλαπόδη και Κωνσταντίνο Σκαλωμένο. Ευχαριστώ θερμότατα τους καθηγητές και μέλη της Επταμελούς Επιτροπής Απόστολο Παπαγεωργίου, Γεώργιο Χατζηγεωργίου, Δημήτριο Καράμπαλη, Στέφανο Δρίτσο, Ευστάθιο Μπούσια και Μανόλη Σφακιανάκη για την κριτική ανάγνωση του κειμένου της διατριβής και για την συνεργασία τους. Ευχαριστώ τον συνάδελφο Διδάκτορα Γεώργιο Παπαγιαννόπουλο για την συνεργασία, την ευχάριστη παρέα και τις επιστημονικές του συμβουλές. Ευχαριστώ ιδιαιτέρως τον Καθηγητή μου και επιβλέποντα της παρούσας Διδακτορικής Διατριβής κ. Δημήτριο Μπέσκο για την στήριξη, την εμπιστοσύνη, την καθοδήγηση και την επιστημονική και ηθική βοήθεια που μου πρόσφερε, τα οποία συνετέλεσαν σημαντικά στην μέχρι τώρα επιστημονική μου κατάρτιση. Τέλος, ευχαριστώ τους γονείς μου Vladimir και Dyshka καθώς και την αδερφή μου Eriona για την αμέριστη πρακτική και ηθική στήριξή όλα αυτά τα χρόνια στους οποίους και αφιερώνεται η παρούσα Διδακτορική Διατριβή. Edmond Muho Πάτρα, 1/2/2017 v

6 Αυτή η σελίδα αφήνεται σκόπιμα κενή.

7 Ζήσε σαν να ήταν να πεθάνεις αύριο. Μάθε σαν να ήταν να ζήσεις για πάντα. Μαχάτμα Γκάντι Live as if you were to die tomorrow. Learn as if you were to live forever. Mahatma Gandhi vii

8 Αυτή η σελίδα αφήνεται σκόπιμα κενή.

9 ix Αφιερώνεται στους γονείς μου και την αδερφή μου

10 Αυτή η σελίδα αφήνεται σκόπιμα κενή.

11 ΠΕΡΊΛΗΨΗ H παρούσα Διδακτορική Διατριβή είναι το αποτέλεσμα τεσσάρων ετών έρευνας με τελικό αποτέλεσμα την ανάπτυξη μια νέας μεθόδου αντισεισμικού σχεδιασμού επιπέδων κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος, με χρήση ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς. Η πιο ακριβής μέθοδος υπολογισμού της σεισμικής απόκρισης μιας κατασκευής είναι η μη γραμμική δυναμική ανάλυση με χρήση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων στο πεδίο του χρόνου. Ωστόσο η μέθοδος αυτή δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τους σκοπούς του αντισεισμικού σχεδιασμού καθώς ειναι δύσκολη και χρονοβόρα. Έτσι, οι σύγχρονοι αντισεισμικοί κανονισμοί όπως ο Ευρωκώδικας 8 κάνουν χρήση της γραμμικής ελαστικής φασματικής ανάλυσης σε συνδυασμό με τον συντελεστή μείωσης (R) των σεισμικών δυνάμεων ή αλλιώς κατά τα ευρωπαϊκά πρότυπα τον συντελεστή συμπεριφοράς (q), ο οποίος λαμβάνει υπόψιν του κατά ένα πολύ προσεγγιστικό τρόπο (απλά σταθερές τιμές ανάλογα με τον τύπο της κατασκευής) την ανελαστική συμπεριφορά της κατασκευής. Ο έλεγχος των μετακινήσεων ή παραμορφώσεων γίνεται στο τελικό στάδιο του σχεδιασμού και συνήθως οδηγεί σε βαρύτερες διατομές συγκριτικά με τις διατομές της αρχικής κατασκευής κατά την οποία ικανοποιούνται οι απαιτήσεις αντοχής. Αυτή η προσέγγιση του σεισμικού σχεδιασμού είναι γνωστή ως η μέθοδος των δυνάμεων (Force-based design, FBD) καθώς οι σεισμικές δυνάμεις είναι οι βασικές παράμετροι του προβλήματος. Η βλάβη και η παραμόρφωση μιας κατασκευής είναι στενά συνδεδεμένες έννοιες, αφού με τον έλεγχο των παραμορφώσεων κατά την διαδικασία του σχεδιασμού, ελέγχεται και η βλάβη. Αυτή είναι η βασική ιδέα της μεθόδου σχεδιασμού με βάση τις μετακινήσεις (Displacement-based design, DBD), η οποία κάνει χρήση των μετακινήσεων ως βασική παράμετρο του προβλήματος και έτσι ελέγχοντας τις μετακινήσεις ελέγχονται άμεσα και οι βλάβες. Τα τελευταία 15 χρόνια περίπου εμφανίζεται μια νέα φιλοσοφία αντισεισμικού σχεδιασμού. Αυτή είναι ο σχεδιασμός με βάση την επιτελεστικότητα (Performance-based design, PBD), η οποία θεωρεί τρία ή τέσσερα επίπεδα σχεδιασμού, κάθε ένα απο τα οποία αντιστοιχεί σε συγκεκριμένη σεισμική ένταση και συγκεκριμένη απαίτηση επίδοσης σε όρους παραμορφώσεων και/ή βλάβης. Το Μέρος-3 του Ευρωκώδικα 8 υιοθετεί πλήρως την φιλοσοφία της επιτελεστικότητας για υπάρχοντα κτίρια και ορίζει τρία επίπεδα επιτελεστικότητας σε όρους γωνιών στροφής των μελών. Αυτή η προσέγγιση θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί στον σχεδιασμό με βάση την επιτελεστικότητα για κτίρια οπλισμένου σκυροδέματος. Στον συντελεστή συμπεριφοράς q που αναφέρεται σε όλους τους αντισεισμικούς κανονισμούς υπάρχουν δύο βασικές αδυναμίες. Η πρώτη είναι ότι ο συντελεστής αυτός δεν είναι εξαρτημένος από τα δυναμικά χαρακτηριστικά της κατασκευής και η δεύτερη ότι δεν μπορεί να ελέγξει τις παραμορφώσεις όπως απαιτείται στον αντισεισμικό σχεδιασμό με βάση την επιτελεστικότητα. Στην παρούσα Διδακτορική Διατριβή προτείνεται μια νέα μέθοδος αντισεισμικού σχεδιασμού για επίπεδα κτίρια οπλισμένου σκυροδέματος βασισμένη στην μέθοδο των δυνάμεων και στην φιλοσοφία αντισεισμικού σχεδιασμού με βάση την επιτελεστικότητα. Η βασική ιδέα είναι να κατασκευαστούν ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς για τις πρώτες xi

12 τέσσερις ιδιομορφές και τέσσερα με έξι επίπεδα επιτελεστικότητας, οι οποίοι να εξαρτώνται από τα δυναμικά χαρακτηριστικά της κατασκευής, την παραμόρφωση και την βλάβη. Η ιδέα των ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς πρωτοπαρουσιάστηκε από τους Papagiannopoulos and Beskos (2011) για τον αντισεισμικό σχεδιασμό επιπέδων μεταλλικών πλαισίων. Η ιδέα αυτή επεκτείνεται εδώ στον αντισεισμικό σχεδιασμό επιπέδων κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος (Ο/Σ). Τα κτίρια που εξετάζονται εδώ (συνολικά 76 σε αριθμό) είναι τα εξής Επίπεδα καμπτικά πλαίσια Επίπεδα πλαίσια με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως (τοιχοπληρώσεις) στην σεισμική απόκριση του συστήματος Επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων. Το κάθε πλαίσιο εξετάστηκε για συνολικά 100 σεισμικές διεγέρσεις μακρινού πεδίου, 25 σεισμικές διεγέρσεις για κάθε μία από τις 4 κατηγορίες εδάφους ( A, B, C, D ) όπως κατατάσσονται στον Ευρωκώδικα 8. Τέλος ενώ οι Papagiannopoulos and Beskos (2011) όρισαν τους ιδιομορφικούς συντελεστές συμπεριφοράς σε συνδυασμό με το απόλυτο φάσμα επιταχύνσεων σχεδιασμού (το οποίο θα πρέπει να κατασκευαστεί από τον σχεδιαστή μηχανικό), σε αυτήν την εργασία οι συντελεστές αυτοί έχουν οριστεί και μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με το συμβατικό φάσμα σχεδιασμού ψευδό-επιταχύνσεων. Συνοπτικά η διαδικασία που ακολουθείται για τον προσδιορισμό των ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς είναι η εξής: Υπολογίζονται οι απαραίτητοι λόγοι ιδιομορφικής απόσβεσης που καθιστούν την ανελαστική κατασκευή σε ισοδύναμη ελαστική (ισοδύναμη γραμμικοποίηση). Η ισοδύναμη αυτή κατασκευή έχει την ίδια μάζα και την ίδια αρχική δυσκαμψία με την αρχική κατασκευή και μπορεί να προσεγγίσει με ακρίβεια την σεισμική απόκριση της πραγματικής μη γραμμικής κατασκευής με την βοήθεια ιδιομορφικών λόγων ιξώδους απόσβεσης στους οποίους έχουμε ποσοτικοποιήσει όλο το έργο των η γραμμικοτήτων. Ο υπολογισμός των ιδιομορφικών αποσβέσεων για τις πρώτες σημαντικές ιδιομορφές γίνεται μέσω επαναληπτικής διαδικασίας κατά την οποία προσφέρεται στο σύστημα βηματικά ιξώδης απόσβεση και σχηματίζεται η απόλυτη τιμή της συνάρτησης μεταφοράς του, δηλαδή του λόγου της απόλυτης επιτάχυνσης της οροφής του κτηρίου προς την επιτάχυνση του εδάφους. Για μια γραμμική κατασκευή η συνάρτηση μεταφοράς πληροί κάποια κριτήρια ομαλότητας και εμφανίζει εμφανή μέγιστα σε αντίθεση με μια μή-γραμμική κατασκευή για την οποία καταστρέφεται η ομαλότητα και τα μέγιστα δεν είναι εμφανή. Τροφοδοτείται λοιπόν με απόσβεση η μή-γραμμική κατασκευή και ελέγχεται αν η συνάρτηση μεταφοράς της πληρεί τα κριτήρια ομαλότητας και εμφάνισης ευκρινών μεγίστων. Όταν συμβεί αυτό τότε η μή-γραμμική κατασκευή έχει καταστεί ισοδύναμη γραμμική, δηλαδή δίνει την ίδια απόκριση με την αρχική μή-γραμμική κατασκευή με τη βοήθεια της αυξημένης απόσβεσης. xii

13 Για την ισοδύναμη αυτή γραμμική κατασκευή μέσω της επίλυσης κατάλληλων μη γραμμικών εξισώσεων υπολογίζονται οι ιδιομορφικόι λόγοι ισοδύναμης απόσβεσης (ξ k ) οι οποίοι είναι εξαρτώμενοι από την αντίστοιχη επιθυμητή/στοχευόμενη παραμόρφωση ή/και βλάβη. Στη συνέχεια έχοντας τις τιμές των λόγων ισοδύναμης ιδιομορφικής απόσβεσης (ξ k ), κατασκευάζονται φάσματα απολύτων επιταχύνσεων για κάθε τιμή των λόγων ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης. Από τα φάσματα αυτά μπορούν να υπολογιστούν οι αντίστοιχοι ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς (q k ), οι οποίοι εξαρτώνται και αυτοί από την αντίστοιχη επιθυμητή/στοχευόμενη παραμόρφωση ή/και βλάβη της κατασκευής. Οι ιδιομορφικόι συντελεστές συμπεριφοράς (q k ) μετασχηματίζονται ούτως ώστε να αντιστοιχούν σε φάσματα ψευδό-επιταχύνσεων λαμβάνοντας έτσι τον τελικό ιδιομορφικό συντελεστή συμπεριφοράς ( q k ) για τον σχεδιασμό στο πλαίσιο της μεθόδου των δυνάμεων του Ευρωκώδικα 8. Η χρήση των ιδιομορφικών αυτών συντελεστών συμπεριφοράς σε ελαστικά φάσματα ψευδοεπιταχύνσεων με 5% απόσβεση οδηγεί στον υπολογισμό των σεισμικών δυνάμεων σχεδιασμού για την επιθυμητή/στοχευόμενη παραμόρφωση ή/και βλάβη του συστήματος ακολουθώντας την φιλοσοφία του αντισεισμικού σχεδιασμού με βάση την επιτελεστικότητα προτείνονται εμπειρικές σχέσεις ισοδύναμων λόγων απόσβεσης και ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς συναρτήσει της ιδιοπεριόδου, της παραμόρφωσης/βλάβης και του τύπου του εδάφους. Οι ιδιομορφικοί αυτοί λόγοι απόσβεσης και συντελεστές συμπεριφοράς χρησιμοποίούνται για τον αντισεισμικό σχεδιασμό κατασκευών Ο/Σ. Οι κατασκευές αυτές είναι α) επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, β) επίπεδα πλαίσια με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως (τοιχοπληρώσεις) και γ) επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων. Τέλος η μέθοδος που προτείνει η παρούσα διατριβή συγκρίνεται (μέσω αριθμητικών παραδειγμάτων) με τον αντισεισμικό σχεδιασμό κατά Ευρωκώδικα 8, με την βοήθεια μη-γραμμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας. Από την σύγκριση αυτή προκύπτει ότι η μέθοδος που προτείνεται εδώ οδηγεί σε πιο αξιόπιστα αποτελέσματα όσον αφορά στον έλεγχο παραμόρφωσης και βλάβης της κατασκευής. xiii

14 Αυτή η σελίδα αφήνεται σκόπιμα κενή.

15 Περιεχόμενα 1 Αντισεισμικός σχεδιασμός κτηρίων οπλισμένου σκυροδέματος Εισαγωγή Ιστορική Αναδρομή Οπλισμένο Σκυρόδεμα Αντισεισμική Μηχανική Αντισεισμικοί Κανονισμοί Ο αντισεισμικός σχεδιασμός στην Ελλάδα Σύγχρονη αντισεισμική μηχανική Η φιλοσοφία των σύγχρονων αντισεισμικών κανονισμών Αντισεισμικός σχεδιασμός με βάση την επιτελεστικότητα Η μέθοδος των δυνάμεων Φάσμα απόκρισης Ανελαστικό φάσμα Μειωτικός συντελεστής συμπεριφοράς q Συντελεστής πλαστιμότητας μ Συντελεστής υπεραντοχής Ω xv

16 1.4.7 Μειωτικός συντελεστής συμπεριφοράς με βάση την πλαστιμότητα Η προτεινόμενη μέθοδος αντισεισμικού σχεδιασμού Η διάρθρωση της διατριβής Η μέθοδος της ισοδύναμης γραμμικοποίησης Εισαγωγή Ιστορική ανασκόπηση Jacobsen 1930 και Rosenblueth and Herrera Jennings Gulkan and Sozen Shibata and Sozen Shimazaki and Sozen Iwan and Gates Kowalsky et. al Miranda and Ruiz - Garcia Iwan and Guyader Dairi and Kowalsky Blandon and Priestley Ramirez, Constantinou, Gomez, Whittaker, Chrysostomou Zaharia and Taucer Priestley, Calvi, Kowalsky Papagiannopoulos and Beskos Απόσβεση: Προσδιορισμός και Προσομοίωση Εισαγωγή Μέτρηση απόσβεσης σε κτίρια xvi

17 3.3 Προσομοίωση της απόσβεσης σε κατασκευές Ιδιομορφικοί λόγοι ιξώδους απόσβεσης Απόσβεση μη κλασικού τύπου Απόσβεση Κλασικού Τύπου Υστερητική απόσβεση Tαυτοποίηση απόσβεσης Προσδιορισμός λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης Εισαγωγή Υπολογισμός λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης Κριτήρια ομαλότητας για τον υπολογισμό των λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης Προσδιορισμός Ιδιομορφικών Συντελεστών Συμπεριφοράς Εισαγωγή Εξαγωγή φασμάτων ψευδοεπιτάχυνσης Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος Εισαγωγή Σχεδιασμός Κτηρίων Υλικά και φορτίσεις σχεδιασμού Μη γραμμική ανάλυση Προσομοίωση απομείωσης αντοχής και δυσκαμψίας Φαινόμενα 2ας τάξης Ανάλυση Διατομής μελών Ενεργή Δυσκαμψία μελών Προσομοίωση κόμβων Προσομοίωση Τοιχωμάτων xvii

18 6.4.6 Προσομοίωση τοιχοπληρώσεων Επίπεδα επιτελεστικότητας Σεισμικές Καταγραφές Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Εισαγωγή Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Εισαγωγή Σχέσεις σχεδιασμού ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k Γενικές εκφράσεις συντελεστή συμπεριφοράς και σύγκριση με τους ιδιομορφικούς συντελεστές συμπεριφοράς Eπίπεδα καμπτικά πλαίσια με ενεργή δυσκαμψία EI eff = 0.5EI g Eπίπεδα καμπτικά πλαίσια με ενεργή δυσκαμψία EI eff = M y /ϕ y Eπίπεδα πλαίσια με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως (τοιχοπληρώσεις) Eπίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Παραδείγματα εφαρμογής προτεινόμενης μεθόδου αντισεισμικού σχεδιασμού Εισαγωγή Παραδείγματα αντισεισμικού σχεδιασμού με ιδιομοφικούς συντελεστές συμπεριφοράς Δεκα-όροφο επίπεδο καμπτικό πλαίσιο σχεδιασμένο για 1.5% IDR και ενεργή δυσκαμψία EI eff = 0.5EI g Δέκα-όροφο επίπεδο καμπτικό πλαίσιο σχεδιασμένο για 1.5% IDR και δυσκαμψία EI eff = M y /ϕ y Σχεδιασμός για επίπεδα επιτελεστικότητας Δεκα-όροφο επίπεδο καμπτικό πλαίσιο σχεδιασμένο για 1.5% IDR, έδαφος C και ενεργή δυσκαμψία EI eff = 0.5EI g xviii

19 9.2.5 Επτά-όροφο επίπεδο πλαίσιο με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως σχεδιασμένο για 0.7% IDR και ενεργή δυσκαμψία EI eff = 0.5EI g Οκτώ-όροφο επίπεδο δυαδικό σύστημα πλαισίων-τοιχωμάτων σχεδιασμένο για 1.5% IDR Παραδείγμα αντισεισμικού σχεδιασμού με ιδιομοφικούς λόγους απόσβεσης Συμπεράσματα Προτάσεις για μελλοντική έρευνα Παράρτημα Αʹ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΟΠΛΙΣΜΟΙ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΠΛΑΙΣΙΩΝ Ο/Σ 285 Αʹ.1 Γεωμετρία και οπλισμοί επιπέδων καμπτικών πλαισίων Αʹ.2 Γεωμετρία και οπλισμοί επιπέδων καμπτικών πλαισίων με τοιχοπληρώσεις Αʹ.3 Γεωμετρία και οπλισμοί πλαισίων-τοιχωμάτων xix

20 Αυτή η σελίδα αφήνεται σκόπιμα κενή.

21 Κατάλογος σχημάτων 1.1 Μετακίνηση φράχτη στον σεισμό του San Andreas, Σεισμός μεγέθους 7.9 της κλίμακας Ρίχτερ στην Ιαπωνία Kanto, Σεισμός στην Καλιφόρνια Long Beach, Σεισμός μεγέθους 8 της κλίμακας Ρίχτερ στην Κίνα Tangshan, Σεισμός μεγέθους 9.1 της κλίμακας Ρίχτερ στην Ιαπωνία Tokohu το 2011 με πρόκληση καταστροφικού τσουναμιού Συνεργασία χάλυβα και σκυροδέματος για την παραλαβή δυνάμεων Άποψη της αρχαίας δεξαμενής της Καμίρου. (φωτ. Ε. Ευσταθιάδη) Επίπεδα επιτελεστικότητας (SEAOC [1]) Προσομοίωση δρώσας σεισμικής επιτάχυνσης ως στατικές δυνάμεις εφαρμοζόμενες στο κέντρο μάζας της κατασκευής Διαδικασία σχεδιασμού με τη μέθοδο των δυνάμεων Ελαστικό φάσμα επιταχύνσεων σχεδιασμού EC8 [2] Ανελαστικό φάσμα επιταχύνσεων σχεδιασμού EC8 [2] για q = Δύναμη σχεδιασμού και συντελεστής συμπεριφοράς Μονοβάθμιος ταλαντωτής xxi

22 2.2 Τέμνουσα δυσκαμψία σε ελαστοπλαστική σχέση δύναμης - παραμόρφωσης Προσομοίωμα Takeda, απόκριση δύναμης-μετακίνησης Υπολογισμός ισοδύναμης απόσβεσης κατα Kowalsky et al. [3, 4] Προσομοίωμα απόκρισης δύναμης-μετακίνησης Ring-Spring ο υστεριτικό προσομοίωμα Ramirez et, al. [5, 6] ο υστεριτικό προσομοίωμα Ramirez et, al. [5, 6] Ισοδύναμο μονοβάθμιο σύστημα Τέμνουσα δυσκαμψία ισοδύναμου συστήματος Ισοδύναμη απόσβεση Ισοδύναμη μετακίνηση Παράγοντες συνάρτησης μεταφοράς Συνάρτηση μεταφοράς ενός γραμμικού συστήματος με ισοδύναμη απόσβεση Συνάρτηση μεταφοράς ενός μη γραμμικού συστήματος Τυπικός υστεριτικός βρόχος Γραφική απεικόνιση της δύναμης επαναφοράς P = P e + P d Συναρτήσεις μεταφοράς μη γραμμικού συστήματος για σταδιακή τροφοδότηση με απόσβεση (Papagiannopoulos [7]) Συνάρτηση μεταφοράς μη γραμμικής κατασκευής και περιοχή συχνοτήτων εξέτασης μονοτονίας (Papagiannopoulos [7]) Συνάρτηση μεταφοράς ισοδύναμης γραμμικής κατασκευής και περιοχή συχνοτήτων εξέτασης μονοτονίας (Papagiannopoulos [7]) Διαδικασία υπολογισμόυ των ισοδύναμων λόγων ιδιομορφικής απόσβεσης Διάγραμμα γωνίας φάσης μη γραμμικής κατασκευής (Papagiannopoulos [7]) Διάγραμμα γωνίας φάσης γραμμικής κατασκευής (Papagiannopoulos [7]) Σημεία ελέγχου κριτηρίων μονοτονίας διαγράμματος γωνίας φάσης (Papagiannopoulos [7]) xxii

23 4.8 Διάγραμμα συνάρτησης μεταφοράς και γωνίας φάσης καμπτικού πλαισίου Ο/Σ 10 ορόφων με απόσβεση 5% Διάγραμμα συνάρτησης μεταφοράς και γωνίας φάσης καμπτικού πλαισίου Ο/Σ 10 ορόφων με απόσβεση 10% Διάγραμμα συνάρτησης μεταφοράς και γωνίας φάσης καμπτικού πλαισίου Ο/Σ 10 ορόφων με απόσβεση 15% Διάγραμμα συνάρτησης μεταφοράς και γωνίας φάσης καμπτικού πλαισίου Ο/Σ 10 ορόφων με απόσβεση 20% Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q συναρτήσει της ιξώδους απόσβεσης για έδαφος Α Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q συναρτήσει της ιξώδους απόσβεσης για έδαφος B Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q συναρτήσει της ιξώδους απόσβεσης για έδαφος C Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q συναρτήσει της ιξώδους απόσβεσης για έδαφος D Διαδικασία Σχεδιασμού με ιδιομορφικούς συντελεστές συμπεριφοράς q k Επίπεδο καμπτικό πλαίσιο Επίπεδο καμπτικό πλαίσιο με συνυπολογισμό τοιχπληρώσεων Επίπεδα δυαδικό σύστημα πλαισίου-τοιχώματος Διαγραμμα τεμνουσών για τον σεισμικό συνδυασμό δυαδικού συτήματος πλάισιο-τοιχωμα Ελαστικό φάσμα σχεδιαμσού EC8, q = Ανελαστικό φάσμα σχεδιασμού EC8 για q = Προσομοίωση/Σχεδιασμός τρισδιάστατης κατασκευής Προσομοίωση δισδιαστατης κατασκευής Τυπικό 3όροφο πλαισιο Διατομή και οπλισμός Δοκάριου Διατομή και οπλισμός Υποστύλωματος xxiii

24 6.12 Προσομοίωση δυσκαμψίας κόμβου, Elwood et al., Προσομοίωση τοιχοπλήρωσης με ισοδύναμη θλιβόμενη διαγώνια αντηρίδα Αναπαράσταση της προσομοίωση ενός τυπικού πλαισίου στο Ruaumoko για μη-γραμμική ανάλυση Διαδικασία κλιμάκωσης επιταχυνσιογραφημάτων για δεδομένο επίπεδο βλάβης Υστερητικό τροποποιημένο κατά Otani [8] προσομοίωμα Takeda [9] Προσομοίωση αλληλεπίδρασης Ροπής - Αξονικής δύναμης Προσομοίωση απομείωσης αντοχής σε όρους πλαστιμότητας ([10]) Καμπύλη ροπής M και στροφής θ ([11, 12]) Τροποποιημένο υστεριτικό προσομοίοωμα Takeda για δύναμη F (ή ροπή M) και μετακίνησης d (η στροφή θ) [10] Προσομοίωση ανομοίωσης αντοχής Προγραμμα Hysteresis Calibration Tool Φαινόμενα 2ας τάξης σε ένα τυπικό υποστύλωμα Δυσκαμψία αρχική και δυσκαμψία διαρροής, Haselton et al., Σύγκριση σχέσεων δυσκαμψίας Haselton et al. [11] και Elwood [13] Ιδεατή Προσομοίωση δυσκαμψίας κόμβου [14] Προσομοίωση δυσκαμψίας κόμβου, Elwood et al. [13] Προσομοίωση τοιχώματος Αποκόλληση τοιχοπλήρωσης Τυπικές αστοχίες τοιχοπληρωμένων πλαισίων Προσομοίωση τοιχοπλήρωσης με διαγώνια αντηρίδα για την αλληλεπίδραση με το πλαίσιο Προσομοίωση τοιχοποιίας με ισοδύναμη θλιβόμενη διαγώνια αντηρίδα Προσομοίωση τοιχοποιίας με ισοδύναμη θλιβόμενη διαγώνια αντηρίδα Προσομοίωση απομοίωσης αντοχής τοιχοποιίας Υστερητικό προσομοίωμα τοιχοποιίας Eπιταχυνσιογραφήματα σεισμικών καταγραφών του Πίνακα 6.2 για έδαφος τύπου A και B130 xxiv

25 6.37 Eπιταχυνσιογραφήματα σεισμικών καταγραφών του Πίνακα 6.2 για έδαφος τύπου C και D Φάσματα ψευδο-επιταχύνσεων σεισμικών καταγραφών του Πίνακα 6.2 για έδαφος τύπου A και B Φάσματα ψευδο-επιταχύνσεων σεισμικών καταγραφών του Πίνακα 6.2 για έδαφος τύπου C και D Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EI eff = 0.5EI g, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5, 1.0, 1.5) και έδαφος Α Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EI eff = 0.5EI g, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3) και έδαφος Α Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EI eff = 0.5EI g, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5,1.0, 1.5) και έδαφος B Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EI eff = 0.5EI g, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3) και έδαφος B Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EI eff = 0.5EI g, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5,1.0, 1.5) και έδαφος C Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EI eff = 0.5EI g, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3) και έδαφος C Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EI eff = 0.5EI g, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5,1.0, 1.5) και έδαφος D Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EI eff = 0.5EI g, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3) και έδαφος D Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EI eff = M y /ϕ y, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5,1.0, 1.5) και έδαφος Α Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EI eff = M y /ϕ y, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3) και έδαφος Α Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EI eff = M y /ϕ y, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5,1.0, 1.5) και έδαφος B Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EI eff = M y /ϕ y, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3) και έδαφος B Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EI eff = M y /ϕ y, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5,1.0, 1.5) και έδαφος C 156 xxv

26 7.14 Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EI eff = M y /ϕ y, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3) και έδαφος C Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EI eff = M y /ϕ y, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5,1.0, 1.5) και έδαφος D Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EI eff = M y /ϕ y, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3) και έδαφος D Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.2, 0.4, 0.7) και έδαφος Α Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=0.8, 0.9, 1.0) και έδαφος Α Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.2, 0.4, 0.7) και έδαφος B Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=0.8, 0.9, 1.0) και έδαφος B Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.2, 0.4, 0.7) και έδαφος C Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=0.8, 0.9, 1.0) και έδαφος C Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.2, 0.4, 0.7) και έδαφος D Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=0.8, 0.9, 1.0) και έδαφος D Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5, 1.0, 1.5) και έδαφος Α xxvi

27 7.26 Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος Α Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ, 4 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος B Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος B Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5, 1.0, 1.5) και έδαφος C Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος C Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5, 1.0, 1.5) και έδαφος D Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος D Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = 0.5EI g ) και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος Α Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = 0.5EI g ) και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος Β Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = 0.5EI g ) και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος C Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = 0.5EI g ) και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος D Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff /ϕ y ) και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος A Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff /ϕ y ) και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος B Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff /ϕ y ) και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος C Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff /ϕ y ) και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος D xxvii

28 8.9 Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος A Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος B Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος C Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος D Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος A Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος B Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος C Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος D Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = 0.5EI g ) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και εδαφος Α Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = 0.5EI g ) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και εδαφος Α Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = 0.5EI g ) για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 2.0%, 2.5%, 3.0%, 4.0%) και εδαφος Α Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = 0.5EI g ) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και εδαφος B Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = 0.5EI g ) για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 2.0%, 2.5%, 3.0%, 4.0%) και εδαφος B Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = 0.5EI g ) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και εδαφος C Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = 0.5EI g ) για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 2.0%, 2.5%, 3.0%, 4.0%) και εδαφος C Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = 0.5EI g ) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και έδαφος D xxviii

29 8.25 Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = 0.5EI g ) για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 2.0%, 2.5%, 3.0%, 4.0%) και έδαφος D Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = My y /ϕ y ) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και εδαφος A Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = My y /ϕ y ) για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 2.0%, 2.5%, 3.0%, 4.0%) και έδαφος A Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = My y /ϕ y ) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και εδαφος B Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = My y /ϕ y ) για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 2.0%, 2.5%, 3.0%, 4.0%) και έδαφος B Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = My y /ϕ y ) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και εδαφος C Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = My y /ϕ y ) για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 2.0%, 2.5%, 3.0%, 4.0%) και έδαφος C Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = My y /ϕ y ) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και έδαφος D Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = My y /ϕ y ) για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 2.0%, 2.5%, 3.0%, 4.0%) και έδαφος D Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.2%, 0.4%, 0.7%) και εδαφος Α Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 0.8%, 0.9%, 1.0%) και εδαφος Α Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.2%, 0.4%, 0.7%) και έδαφος B Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 0.8%, 0.9%, 1.0%) και έδαφος B Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.2%, 0.4%, 0.7%) και εδαφος C Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 0.8%, 0.9%, 1.0%) και έδαφος C224 xxix

30 8.40 Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.2%, 0.4%, 0.7%) και εδαφος D Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 0.8%, 0.9%, 1.0%) και εδαφος D Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5, 1.0, 1.5) και εδαφος Α Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ για 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος Α Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5, 1.0, 1.5) και έδαφος B Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ για 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος B Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5, 1.0, 1.5) και εδαφος C Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ για 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος Α Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5, 1.0, 1.5) και έδαφος D Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ για 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος D Συγκριση q 1 (1ης ιδιομορφής) με τα q απο τα οποία προέκυψε η γενική σχέση (8.2) για IDR = 2.5% Συγκριση q 1 1ης ιδιομορφής με τα q απο τα οποία προέκυψε η γενική σχέση (8.3) για IDR = 2.5% Short caption Συγκριση q 1 1ης ιδιομορφής με τα q απο τα οποία προέκυψε η γενική σχέση (8.5) για IDR = 2.0% xxx

31 9.1 Αρχικό παράθυρο επιλογής μεθόδου σχεδιασμού Υπολογισμός απόλυτου φάσματος σχεδιασμού με ιδιομορφικούς λόγους ισοδύναμης απόσβεσης Υπολογισμός φάσματος σχεδιασμού με ιδιομορφικούς συντελεστές συμπεριφοράς Προσαρμογή σεισμών - επιταχυνσιογραφημάτων στο φάσμα απόκρισης του EC8 για έδαφος B και a g = 0.3 (Ο αριθμός No. αναφέρεται στους σεισμούς του Πίνακα 6.2) Τροποποιημένο φάσμα σχεδιασμού με χρήση ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k για το πλαίσιο Β Τροποποιημένο φάσμα σχεδιασμού με χρήση ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k για το πλαίσιο Ζ Τροποποιημένο φάσμα σχεδιασμού με χρήση ιδιομορφικών λόγων απόσβεσης ξ k για το πλαίσιο A Αʹ.1 Αρίθμηση μελών Αʹ.2 Αρίθμηση μελών πλαισίων με τοιχώματα xxxi

32 Αυτή η σελίδα αφήνεται σκόπιμα κενή.

33 Κατάλογος πινάκων 1.1 Εμπειρική κλίμακα Mercalli για την μέτρηση της σεισμικής έντασης Κριτήρια ελέγχου σταθμών επιτελεστικότητας κατα Ευρωκώδικα 8 - Μέρος Διαστάσεις διατομών και οπλισμοί για το το 3-όροφο καμπτικό πλαίσιο Επιταχυνσιογραφήματα μακρινού πεδίου για έδαφος τύπου A, B, C και D κατα EC8 [2] Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος A και ενεργή δυσκαμψία EI eff = 0.5EI g Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος B και ενεργή δυσκαμψία EI eff = 0.5EI g Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος C και ενεργή δυσκαμψία EI eff = 0.5EI g Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος D και ενεργή δυσκαμψία EI eff = 0.5EI g Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος A και ενεργή δυσκαμψία EI eff = M y /ϕ y Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος B και ενεργή δυσκαμψία EI eff = M y /ϕ y Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος C και ενεργή δυσκαμψία EI eff = M y /ϕ y xxxiii

34 7.8 Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος D και ενεργή δυσκαμψία EI eff = M y /ϕ y Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, έδαφος A Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, έδαφος B Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, έδαφος C Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, έδαφος D Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ και έδαφος A Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ και έδαφος B Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ και έδαφος C Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξ k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ και έδαφος D Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος A και ενεργή δυσκαμψία EI eff = 0.5EI g Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος B και ενεργή δυσκαμψία EI eff = 0.5EI g Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος C και ενεργή δυσκαμψία EI eff = 0.5EI g Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος D και ενεργή δυσκαμψία EI eff = 0.5EI g Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος A και ενεργή δυσκαμψία EI eff = M y /ϕ y Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος B και ενεργή δυσκαμψία EI eff = M y /ϕ y Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος C και ενεργή δυσκαμψία EI eff = M y /ϕ y xxxiv

35 8.8 Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος D και ενεργή δυσκαμψία EI eff = M y /ϕ y Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, έδαφος A Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, έδαφος B Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, έδαφος C Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, έδαφος D Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ και έδαφος A Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ και έδαφος B Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ και έδαφος C Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ και έδαφος D Διαστάσεις διατομών και οπλισμοί για το Πλαίσιο Α λαμβάνοντας υπόψη μόνο την απαίτηση αντοχής (πριν τον έλεγχο των μετακινήσεων) Διαστάσεις διατομών και οπλισμοί για το Πλαίσιο Α μετά τον έλεγχο των μετακινήσεων Διαστάσεις διατομών και οπλισμοί για το Πλαίσιο Β Αποτελέσματα απόκρισης για το Πλαίσιο Α και Β απο τις μη-γραμμικές αναλύσεις με EI eff = 0.5EI g Διαστάσεις διατομών και οπλισμοί για το Πλαίσιο Γ όροφο Πλαίσιο Γ σχεδιασμένο για IDR = 1.5% και EI eff = M y /ϕ y : Αποτελέσματα απόκρισης από τις μη-γραμμικές αναλύσεις με Αποτελέσματα απόκρισης για το Πλαίσιο Α και Β απο τις μη-γραμμικές αναλύσεις με EI eff = M y /ϕ y Διαστάσεις διατομών και οπλισμοί για το Πλαίσιο Δ Διαστάσεις διατομών και οπλισμοί για το Πλαίσιο Ε xxxv

36 9.10 Αποτελέσματα απόκρισης για το Πλαίσιο Δ και Ε σχεδιασμένα κατά την προτεινόμενη μέθοδο LS (IDR 2.5%) (μέγιστες τιμές) Διαστάσεις διατομών και οπλισμοί για το Πλαίσιο E1 μετά τον έλεγχο των μετακινήσεων Διαστάσεις διατομών και οπλισμοί για το Πλαίσιο E Αποτελέσματα απόκρισης για το Πλαίσιο E1 και E2 από τις μη-γραμμικές αναλύσεις με EI eff = 0.5EI g Διαστάσεις διατομών και οπλισμοί για το Πλαίσιο Ζ Διαστάσεις διατομών και οπλισμοί για το Πλαίσιο H1 μετά τον έλεγχο των μετακινήσεων Διαστάσεις διατομών και οπλισμοί για το Πλαίσιο H Αποτελέσματα απόκρισης για το Πλαίσιο H1 και H2 από τις μη-γραμμικές αναλύσεις Διαστάσεις διατομών και οπλισμοί για το Πλαίσιο Α1 λαμβάνοντας υπόψη μόνο την απαίτηση αντοχής (πριν τον έλεγχο των μετακινήσεων) Αʹ.1 Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 2-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.2 Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 3-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.3 Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 4-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.4 Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 5-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.5 Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 6-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.6 Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 7-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.7 Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 8-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.8 Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 9-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.9 Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 10-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] xxxvi

37 Αʹ.10Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 11-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.11Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 12-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.12Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 13-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.13Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 14-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.14Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 15-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.15Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 16-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.16Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 17-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.17Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 18-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.18Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 19-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.19Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 20-όροφου επιπέδου καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.20Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 2-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.21Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 3-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.22Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 4-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.23Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 5-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.24Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 6-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.25Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 7-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] xxxvii

38 Αʹ.26Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 8-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.27Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 9-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.28Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 10-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.29Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 11-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.30Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 12-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.31Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 13-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.32Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 14-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.33Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 15-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.34Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 16-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.35Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 17-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.36Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 18-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.37Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 19-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.38Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 20-όροφου επιπέδου(δύσκαμπτου, έμμεση συνεκτίμηση τοιχοπλήρωσεων) καμπτικού πλαισίου σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.39Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 2-όροφου επιπέδου δυαδικού συστήματος πλαισίουτοιχωμάτων σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.40Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 3-όροφου επιπέδου δυαδικού συστήματος πλαισίουτοιχωμάτων σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.41Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 4-όροφου επιπέδου δυαδικού συστήματος πλαισίουτοιχωμάτων σχεδιασμένο κατά EC8 [2] xxxviii

39 Αʹ.42Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 5-όροφου επιπέδου δυαδικού συστήματος πλαισίουτοιχωμάτων σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.43Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 6-όροφου επιπέδου δυαδικού συστήματος πλαισίουτοιχωμάτων σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.44Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 7-όροφου επιπέδου δυαδικού συστήματος πλαισίουτοιχωμάτων σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.45Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 8-όροφου επιπέδου δυαδικού συστήματος πλαισίουτοιχωμάτων σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.46Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 9-όροφου επιπέδου δυαδικού συστήματος πλαισίουτοιχωμάτων σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.47Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 10-όροφου επιπέδου δυαδικού συστήματος πλαισίου-τοιχωμάτων σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.48Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 11-όροφου επιπέδου δυαδικού συστήματος πλαισίου-τοιχωμάτων σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.49Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 12-όροφου επιπέδου δυαδικού συστήματος πλαισίου-τοιχωμάτων σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.50Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 13-όροφου επιπέδου δυαδικού συστήματος πλαισίου-τοιχωμάτων σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.51Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 14-όροφου επιπέδου δυαδικού συστήματος πλαισίου-τοιχωμάτων σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.52Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 15-όροφου επιπέδου δυαδικού συστήματος πλαισίου-τοιχωμάτων σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.53Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 16-όροφου επιπέδου δυαδικού συστήματος πλαισίου-τοιχωμάτων σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.54Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 17-όροφου επιπέδου δυαδικού συστήματος πλαισίου-τοιχωμάτων σχεδιασμένο κατά EC8 [2] Αʹ.55Γεωμετρία και οπλισμοί δομικών μελών 19-όροφου επιπέδου δυαδικού συστήματος πλαισίου-τοιχωμάτων σχεδιασμένο κατά EC8 [2] xxxix

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αντισεισμικός σχεδιασμός κτηρίων οπλισμένου σκυροδέματος 1.1 Εισαγωγή Ο σεισμός ως φυσικό φαινόμενο καθίσταται επικίνδυνος για την ανθρώπινη ζωή και περιουσία μόνο σε συσχετισμό με τις ανθρώπινες κατασκευές. Αυτοτελώς δεν μπορεί να θεωρηθεί επικίνδυνο φαινόμενο παρά μόνο σε λίγες περιπτώσεις όπως π.χ. πρόκληση γενικών κατολισθήσεων. Παρ όλα αυτά ιστορικά, εκατοντάδες χιλιάδες άνθρωποι τραυματίστηκαν ή έχασαν τη ζωή τους κατά τη διάρκεια των σεισμών, όπως ο σεισμός της Καλιφόρνια των Η.Π.Α. (San Andreas) το 1906, που ευθύνεται για το θάνατο ατόμων όπου και ένα ποσοστό της τάξεως του 80% της πόλης καταστράφηκε, ο σεισμός του Long Beach πάλι στην Καλιφόρνια των Η.Π.Α. το 1933 όπου προξένησε τεράστιες υλικές ζημιές, περίπου 40 εκ. δολαρίων της εποχής εκείνης, ο σεισμός του Kanto της Ιαπωνίας το 1923, αυτός του Tangshan της Κίνας το 1976 ή ο πρόσφατος μεγάλος σεισμός του Tohoku της Ιαπωνίας το 2011 μεγέθους 9.1 της κλίμακας Ρίχτερ που προκάλεσε στην συνέχεια ισχυρό και καταστροφικό τσουνάμι (Σχ ). Οι καταστροφικές συνέπειες των σεισμών οφείλονται στις επιδράσεις των σεισμικών δυνάμεων στις κατασκευές και/ή την αστοχία του εδάφους που τις υποστηρίζει. Για την αποτροπή των σεισμικών καταστροφών, οι πολιτικοί μηχανικοί θα πρέπει να σχεδιάζουν σωστά τις κατασκευές ακολουθώντας κατά γράμμα τους κανόνες που βρίσκονται στους εκάστοτε κανονισμούς ενώ και οι κατασκευαστές θα πρέπει να ακολουθούν πιστά τα σχέδια μελέτης με τελικό στόχο την υλοποίηση κατασκευών που μπορούν να αντισταθούν στην φθορά και την βλάβη που προκαλείται από τους σεισμούς. Στόχος της αντισεισμικής μηχανικής είναι ο περιορισμός των καταστροφικών συνεπειών του σεισμού στις ζωές των ανθρώπων με το να επεκτείνει την υπάρχουσα γνώση γύρω από το θέμα αυτό, να προτείνει λύσεις και να εκπαιδεύει τους πολιτικούς μηχανικούς που εφαρμόζουν τη μελέτη της κατασκευής στην πράξη. 1

41 2 Κεφάλαιο 1. Αντισεισμικός σχεδιασμός κτηρίων οπλισμένου σκυροδέματος Σχήμα 1.1: Μετακίνηση φράχτη στον σεισμό του San Andreas, 1906 Σχήμα 1.2: Σεισμός μεγέθους 7.9 της κλίμακας Ρίχτερ στην Ιαπωνία Kanto, 1923 Η μεγάλη συνεισφορά της εξέλιξης της αντισεισμικής μηχανικής στην επιστήμη του πολιτικού μηχανικού και στην ανθρωπότητα μπορεί να εκφραστεί με ένα παράδειγμα. Δύο παρόμοιοι σεισμοί χτυπούν δύο διαφορετικά γεωγραφικά πλάτη σε κοντινές χρονικές περιόδους, ο πρώτος προξενεί τρομερές απώλειες και ο δεύτερος σχεδόν τίποτα. Ο πρώτος είναι ο σεισμός της Αρμενίας το 1988 μεγέθους 6.9 Ρίχτερ και ο δεύτερος είναι ο σεισμός της Καλιφόρνια το 1989 μεγέθους 7.1 Ρίχτερ. Οι δύο σεισμοί είχαν την ίδια περίπου ένταση και οι δύο χώρες χονδρικά παρόμοια μορφολογία εδάφους, οικιστική ανάπτυξη και πληθυσμιακή πυκνότητα. Παρόλα αυτά ο σεισμός της Αρμενίας άφησε πίσω του πάνω από 25,000 νεκρούς ενώ της Καλιφόρνια μόνο 67. Ο λόγος αυτής την τεράστιας διαφοράς στις συνέπειες της ανθρώπινης ζωής έγκειται στο ότι στην Καλιφόρνια, η εντατική έρευνα και η εκπαίδευση των Πολιτικών Μηχανικών στην Αντισεισμική Μηχανική είχε αρχίσει ήδη από το 1950, οπότε ο έλεγχος και η αναβάθμιση των παλαιότερων κατασκευών για την αντιμετώπιση σοβαρών καταστάσεων όπως και η αναβάθμιση των κανονισμών αντισεισμικού σχεδιασμού είχε ξεκινήσει νωρίς και είχε θωρακίσει επαρκώς τις κατασκευές έναντι σεισμού. Στην Αρμενία οι σύγχρονοι κανόνες και μέθοδοι της αντισεισμικής μηχανικής δεν είχαν τηρηθεί ή είχαν τηρηθεί ανεπαρκώς [15]. Το παράδειγμα αυτό αναδεικνύει την εντυπωσιακή πρόοδο που έχει επιτευχθεί στον τομέα της αντισεισμικής μηχανικής τα τελευταία χρόνια και το άμεσο αντίκτυπο που

42 1.1. Εισαγωγή 3 Σχήμα 1.3: Σεισμός στην Καλιφόρνια Long Beach, 1933 Σχήμα 1.4: Σεισμός μεγέθους 8 της κλίμακας Ρίχτερ στην Κίνα Tangshan, 1976 είχε και έχει αυτό στις ανθρώπινες ζωές. Σύμμαχος στον αντισεισμικό σχεδιασμό κατασκευών είναι το οπλισμένο σκυρόδεμα, το οποίο είναι ένα από τα πιο ευρέως χρησιμοποιούμενα σύμμεικτα υλικά στην κατασκευή δομικών έργων. Ράβδοι χάλυβα και σκυρόδεμα συνεργάζονται για να παραλάβουν τις απαιτούμενες σεισμικές δυνάμεις. Ο σωστός αντισεισμικός σχεδιασμός των κατασκευών αποτελεί ένα από τα πιο απαιτητικά στάδια κατά την διαδικασία της μελέτης μιας κατασκευής, και όσο η διαθέσιμη υπολογιστική ισχύς αυξάνει και η γνώση γύρω από την συμπεριφορά των κατασκευών εξελίσσεται, προκύπτει η ανάγκη για πιο ακριβείς μεθόδους ανάλυσης αντισεισμικού σχεδιασμού, με βασικές παραμέτρους το μέγιστο περιορισμό των λαθών κατά την ανάλυση, την όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ταύτιση προσομοίωσης μελέτης και πραγματικής κατασκευής, καθώς και τη μέγιστη διασφάλιση της ανθρώπινης ζωής και περιουσίας σε συνδυασμό με την οικονομία υλικών. Η πιο σύγχρονη, άμεση και αξιόπιστη μέθοδος προσομοίωσης και ανάλυσης για τον προσδιορισμό της σεισμικής απόκρισης μιας κατασκευής είναι η χρήση της μη γραμμικής δυναμικής ανάλυσης σε συνδυασμό με την μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων και την αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης στο πεδίο του χρόνου. Η τεχνική αυτή απαιτεί όμως εξειδικευμένη γνώση και εμπειρία για

43 4 Κεφάλαιο 1. Αντισεισμικός σχεδιασμός κτηρίων οπλισμένου σκυροδέματος Σχήμα 1.5: Σεισμός μεγέθους 9.1 της κλίμακας Ρίχτερ στην Ιαπωνία Tokohu το 2011 με πρόκληση καταστροφικού τσουναμιού Σχήμα 1.6: Συνεργασία χάλυβα και σκυροδέματος για την παραλαβή δυνάμεων την σωστή εφαρμογή της με μεγάλη πιθανότητα σφάλματος κατά την εφαρμογή της. Έτσι χρήζει η ανάγκη για πιο απλές αλλά ασφαλείς μεθόδους ανάλυσης και σχεδιασμού όπου θα μειώνεται το λάθος εφαρμογής χωρίς όμως να υστερεί σημαντικά σε ακρίβεια. Αυτή είναι και η φιλοσοφία που ακολουθείται από τους σύγχρονους αντισεισμικούς κανονισμούς όπως θα δούμε σε επόμενη ενότητα. Στο παρόν πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται χρονικά η εξέλιξη του οπλισμένου σκυροδέματος στην μορφή που είναι γνωστή σήμερα, της αντισεισμικής μηχανικής και των αντισεισμικών κανονισμών.

44 1.2. Ιστορική Αναδρομή Ιστορική Αναδρομή Οπλισμένο Σκυρόδεμα Σύμφωνα με τις περισσότερες πηγές το σκυρόδεμα εφευρέθηκε κατά τους ρωμαϊκούς χρόνους και αναπτύχθηκε ιδιαίτερα στον δυτικό κόσμο από το 1824 και μετά έτος κατά το οποίο ο Άγγλος Joseph Aspdin παρασκεύασε πρώτος το λεγόμενο τσιμέντο τύπου Portland [16]. Τοποθετώντας χρονικά τα σημαντικότερα γεγονότα που οδήγησαν στην εξέλιξη της χρήσης του οπλισμένου σκυροδέματος όπως την γνωρίζουμε στην σύγχρονη εποχή μπορούμε να πούμε πως η χρήση του ξεκινάει από τα αρχαιοελληνικά χρόνια όπως αποκαλύπτεται από κατασκευές που έχουν ανακαλυφθεί (π.χ. στην ακρόπολη της Καμείρου σώζεται σήμερα κτίσμα μιας μεγάλης δεξαμενής από σκυρόδεμα, χωρητικότητας 600 κυβικών μέτρων που χρονολογείται γύρω στο 500 π.χ.) Σχ Σχήμα 1.7: Άποψη της αρχαίας δεξαμενής της Καμίρου. (φωτ. Ε. Ευσταθιάδη) Φαίνεται πως οι κτίστες της εποχής εκείνης είχαν κάποιες γνώσεις σχετικά με τη δυνατότητα όπλισης των λίθων προκειμένου να τους προσδώσουν μεγαλύτερη αντοχή [17]. Για την εποχή εκείνη δεν υπάρχουν περαιτέρω στοιχεία πέρα από αυτά που αποκαλύπτουν οι κατασκευές που έχουν ανακαλυφθεί. Έτσι φτάνουμε στο 1678 όπου ο Joseph Moxon γράφει για τη μυστική φωτιά που εμφανίζεται όταν προστίθεται νερό σε ασβέστη που έχει προηγουμένως θερμανθεί. Ακολουθούν σειρά ευρεσιτεχνιών για υδραυλικό τσιμέντο. Το 1824 ο κτίστης Joseph Aspdin στο Leeds της Αγγλίας εφηύρε το πρώτο τσιμέντο υψηλής αντοχής. Ήταν αποτέλεσμα καύσης μίγματος ασβεστόλιθου και αργίλου μετά από άλεση του προϊόντος της καύσης (κλίνκερ). Το ονόμασε Portland γιατί έμοιαζε με το πέτρωμα που εξορυσσόταν στο νησί Portland της Αγγλίας. Το τσιμέντο τύπου Portland παραμένει το τσιμέντο με την πιο διαδεδομένη χρήση μέχρι και σήμερα. Το 1848 ο Γάλλος Jean-Louis Lambot κατασκεύασε μικρές βάρκες διασταυρώνοντας τσιμεντοκονίαμα σε πλέγματα από σύρμα και σιδερένιες ράβδους τοποθετημένα το ένα επάνω στο άλλο, ο οποίος έλαβε και δίπλωμα ευρεσιτεχνία για αυτό. Στο δίπλωμα αυτό φαινόταν ένα δοκάρι και ένα υποστύλωμα

45 6 Κεφάλαιο 1. Αντισεισμικός σχεδιασμός κτηρίων οπλισμένου σκυροδέματος οπλισμένου σκυροδέματος με τέσσερις κυκλικές σιδερένιες ράβδους. Το 1854 ο W.Β. Wilkinson απέκτησε δίπλωμα ευρεσιτεχνίας κατασκευάζοντας μικρά διώροφα σπίτια με δάπεδα και οροφή από σκυρόδεμα ενσωματώνοντας σιδερένιες ράβδους στο εφελκυόμενο πέλμα τους. Το 1861 ένας Γάλλος ονόματι Francois Coignet δημοσίευσε ένα βιβλίο όπου παρουσίαζε τις πολλές εφαρμογές που θα μπορούσε να έχει η χρήση οπλισμένου σκυροδέματος. Ωστόσο την πρώτη πρακτική εφαρμογή του οπλισμένου σκυροδέματος την πιστώνεται ο Γάλλος ιδιοκτήτης φυτωρίου στο Παρίσι Joseph Monier ο οποίος παρουσίασε μελέτη για κάνιστρα και αργότερα για δοκούς και στρωτήρες από οπλισμένο σκυρόδεμα το Έλαβε το πρώτο δίπλωμα ευρεσιτεχνίας ενισχύοντας με σίδηρο σωλήνες σκυροδέματος και ακολούθησαν και επόμενα το 1868 για δεξαμενές, επίπεδες πλάκες το 1869, γέφυρες το 1873 και κλιμακοστάσιο το Η όπλιση σκυροδέματος με σίδερο του Monier γινόταν εμπειρικά με μόνη προυπόθεση ο οπλισμός να συμμορφώνεται με το περίγραμμα του δομικού στοιχείου χωρίς ο ίδιος να διαθέτει περαιτέρω γνώσεις και τεχνικές υπολογισμού. Το 1877 στην Αμερική ο Thaddeus Hyatt, δικηγόρος, δημοσίευσε τα αποτελέσματα από πειραματική έρευνα που είχε κάνει το Στα πειράματα του ο Hyatt φαίνεται ότι είχε τοποθετήσει με εξαιρετικό τρόπο τον οπλισμό στο εφελκυόμενο πέλμα του δοκαριού λυγίζοντας τον λίγο κοντά στις στηρίξεις και αγκυρώνοντάς τον στην θλιβόμενη ζώνη όπου είχε τοποθετήσει επίσης και κατακόρυφο οπλισμό (συνδετήρες). Ήταν ο πρώτος που έκανε χρήση και απέκτησε πατέντα για παραμορφωμένες (λυγισμένες) ράβδους το Οι Γερμανικές πατέντες του Monier πουλήθηκαν στην G. A. Wayss and Company of Germany το Τη δεκαετία αυτή διεξήχθησαν πολλά πειράματα από Γερμανούς μηχανικούς και έτσι το 1886 οι Koenen και Wayss δημοσιεύουν θεωρίες και μεθόδους υπολογισμού οπλισμένου σκυροδέματος. Το 1887 δημοσιεύονται τα αποτελέσματα των πειραματικών δοκιμών του Wayss και του J. Basuschinger. Το 1890, Ο Randsome έχτισε το μουσείο Leland Stanford Jr. στο San Francisco, ένα διώροφο κτίριο από οπλισμένο σκυρόδεμα. Από τότε η ανάπτυξη του οπλισμένου σκυροδέματος στην Αμερική ήταν ραγδαία. Μία από τις πρώτες δημοσιεύσεις, η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί ως βιβλίο, ήταν αυτή του Considére το Κατά την αλλαγή του αιώνα υπήρχαν πολλαπλά προτεινόμενα συστήματα και μέθοδοι με μικρή ομοιομορφία και συνοχή για την διαδικασία του σχεδιασμού, τον προσδιορισμό των επιτρεπόμενων τάσεων και τον τρόπο υπολογισμού/τοποθέτησης συστημάτων όπλισης σε οπλισμένο σκυρόδεμα. Το 1903 στις Ηνωμένες Πολιτείες με την ίδρυση μιας μικτής επιτροπής από εκπροσώπους όλων των οργανισμών που μελετούσαν το οπλισμένο σκυρόδεμα ξεκίνησε μια πρώτη προσπάθεια στο να τεθεί μια κοινή βάση κανόνων συγκεντρώνοντας την υπάρχουσα έρευνα και προτείνοντας κανόνες σχεδιασμού. Κατα την πρώτη δεκαετία του εικοστού αιώνα η πρόοδος στο οπλισμένο σκυρόδεμα ήταν ραγδαία. Εκτεταμένα πειράματα για τον προσδιορισμό της συμπεριφοράς του δοκαριού, την αντοχή θλίψης του σκυροδέματος και του προσδιορισμού του μέτρου ελαστικότητας έγιναν από πολλά πανεπιστήμια. Από

46 1.2. Ιστορική Αναδρομή 7 το 1919 έως τα μέσα του 1930 οι ερευνητές επικεντρώθηκαν στη συμπεριφορά φορτισμένων με αξονική δύναμη υποστυλωμάτων και στην επίδραση του ερπυσμού, δηλαδή παραμόρφωση για σταθερό φορτίο στο χρόνο. Κατά το 1930 και 1940 έκκεντρα φορτισμένα υποστυλώματα, θεμέλια και η μέγιστη αντοχή των δοκαριών έλαβαν ιδιαίτερη προσοχή. Κατά το 1950 έμφαση δόθηκε στην μελέτη του προεντεταμένου σκυροδέματος και κατά το 1960 δίνεται έμφαση στην μελέτη του φαινομένου της διάτμησης των δοκαριών. Ο Αντισεισμικός σχεδιασμός, συμπεριλαμβάνοντας την συμπεριφορά των διατμητικών τοιχωμάτων, τα τελευταία χρόνια εχει προσελκύσει και συνεχίζει να προσελκύει το ενδιαφέρον των ερευνητών.[18] Αντισεισμική Μηχανική Το σημείο γένησης της σεισμικής μηχανικής μπορεί θεωρηθεί πως έλαβε χώρα σε τέσσερα γεωγραφικά μέρη, Καλιφόρνια, Ιαπωνία, Ιταλία και στα νησιά της Βρετανίας. Ίσως η πρώτη επίσημη μελέτη ήταν από τον R. Hooke ( ) ο οποίος έδωσε μια σειρά από διαλέξεις στη Royal Society κατά το 1667 και το 1668, όπου στην συνέχεια οι διαλέξεις αυτές εκδόθηκαν σε βιβλίο το Ο τίτλος ήταν Διαλέξεις και ομιλίες στους σεισμούς και στις υπομεσογειακές εκρήξεις. Η έρευνα συνεχίστηκε από την εργασία του T. Young ( ) ο οποίος συγκέντρωσε την τότε ευρωπαϊκή βιβλιογραφία πάνω στους σεισμούς και τα δημοσίευσε το Ανεξάρτητα ο R. Mallet ( ) μελετούσε την γέννηση των σεισμών και έψαχνε τρόπους κατασκευής συσκευών για την μέτρηση τους. Το 1847, παρουσίασε μια εργασία με τίτλο Δυναμική των Σεισμών ( On the Dynamics of Earthquake ). Σε εκείνη την εργασία παρουσιαζόταν ένα πρωτότυπο σχεδιάγραμμα για την κατασκευή σεισμογράφου όπου ίσως και να ενέπνευσε την μετέπειτα κατασκευή τους στην Ιταλία την Καλιφόρνια και την Ιαπωνία. Ο Mallet επίσης εφηύρε τον όρο στα αγγλικά Seismology, ενώνοντας τις δύο ελληνικές λέξεις: σεισμός και λόγος. Το έτος 1880, ένας μικρής έντασης σεισμός χτύπησε την Γιοκοχάμα της Ιαπωνίας προκαλώντας μικρές ζημιές σε κτίρια δίνοντας ωστόσο το έναυσμα τριών Άγγλων μηχανικών, οι οποίοι ταξίδευαν τότε για την Ιαπωνία, να ασχοληθούν με το θέμα της αντισεισμικής μηχανικής. Οι ταξιδιώτες ήταν J. Milne ( ), J. A. Ewing ( ) και ο T. Gray ( ). Ο τελευταίος θεωρείται πως έπαιξε μεγάλο ρόλο στην ανάπτυξη της αντισεισμικής μηχανικής του οποίου απονεμήθηκε το Μετάλλιο Cleland την εργασία του Πειραματικός προσδιορισμός των μαγνητικών ροπών σε απόλυτες μετρήσεις (On the experimental determination of magnetic moments in absolute measure ). Είναι πολύ πιθανό ότι η Κοινότητα σεισμολόγων της Ιαπωνίας Seismological Society of Japan ιδρύθηκε από τον John Milne με την συνεργασία του Fusakichi Omori (1868-άγνωστο) και Seikei Sekiya ( ). Ο τελευταίος θεωρείται παγκοσμίως ο πρώτος καθηγητής σεισμολογίας, δίδαξε στο κολέγιο του Imperial στο Τόκιο και ίσως ήταν και ο πρώτος που παρατήρησε την επίδραση της τοπολογίας στη σεισμική επιτάχυνση του εδάφους. Ο ιαπωνικός πυρήνας συνεχίστηκε να αυξάνει με τον σχηματισμό της επιτροπής (Imerial Earthquake Investigation Committee) το 1892, όπου είχε στόχο την έρευνα πάνω στην πρόβλεψη των σεισμών

47 8 Κεφάλαιο 1. Αντισεισμικός σχεδιασμός κτηρίων οπλισμένου σκυροδέματος και την μείωση της καταστροφικής τους επίδρασης στις ανθρώπινες ζωές. Μετά τον σεισμό του Great Kanto το 1923 όπου έχασαν την ζωή τους άτομα, σχηματίζεται το Ινστιτούτο έρευνας σεισμών στο Imperial College του Τόκιου (όπου ο John Milne ήταν και ο πρώτος καθηγητής Γεωλογίας που μελέτησε σεισμούς). Ο πρώτος διευθυντής του ινστιτούτου Dr. Kyoji Suyehiro χρεώνεται τον όρο Σεισμική μηχανική, οι διαλέξεις του οποίου στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνια, στο πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια, στο Stanford και στο MIT το 1931 και 1932 τόνισαν την ανάγκη να συγκεντρωθούν και να επεξεργαστούν υπάρχουσες μετρήσεις σεισμών για την δημιουργία και την μελέτη των χαρακτηριστικών τους. Σαν αποτέλεσμα ο καθηγητής Derleth μετά τον σεισμό του Σαν Φρανσίσκο το 1906 έβγαλε ένα δημοσίευμα στο American Society of Civil Engineering όπου τόνιζε τα αποτελέσματα της έρευνας Η προσπάθεια του υπολογισμού της τάσης του σεισμού είναι μάταια, τέτοιοι υπολογισμοί δεν έχουν πρακτική εφαρμογή. Το 1855 ο Ιταλός Luigi Palmieri ( ) κατασκεύασε έναν σεισμογράφο παρόμοιο με αυτόν που είχε δημοσιεύσει ο Robert Mallet το Στην συνέχεια έγιναν γιγαντιαία βήματα. Μετά τον σεισμό στην Messina της Ιταλίας το 1908 ο οποίος προκάλεσε 83,000 θανάτους, η Ιταλική κυβέρνηση μαζί με μια ομάδα μηχανικών έγραψε μια αναφορά όπου φαινόταν για πρώτη φορά η διαδικασία υπολογισμού των σεισμικών δυνάμεων ως ένα ποσοστό του βάρους της κατασκευής γνωστή και ως ισοδύναμη στατική μέθοδος. Φαίνεται ότι αυτή η προσέγγιση βασιζόταν στην δουλειά του καθηγητή Panetti του πολυτεχνείου του Turin. Η μέθοδος αυτή έγινε γρήγορα δημοφιλής και επεκτάθηκε στη Ιαπωνία και στις ΗΠΑ σαν βασική μέθοδος για τον αντισεισμικό σχεδιασμό. [19] Αντισεισμικοί Κανονισμοί Αν και όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη παράγραφο οι Ιταλοί ήταν οι πρώτοι που ανέπτυξαν την ισοδύναμη στατική μέθοδο, ο πρώτος επίσημος κανονισμός για τον αντισεισμικό σχεδιασμό ήταν από την Ιαπωνική Διάταξη Κτιρίων μετά τον σεισμό Great Kanto το 1923 στην Ιαπωνία. Ο κανονισμός αυτός όριζε ότι τα κτίρια θα πρέπει να σχεδιαστούν αντισεισμικά ώστε να αντέχουν μια οριζόντια δύναμη ίση με το 10% του βάρους τους. Στην Αμερική ο αντισεισμικός σχεδιασμός των κατασκευών έγινε υποχρεωτικός μετά τον σεισμό Long Beach το Σε αυτές της διατάξεις παρεχόταν ένας σεισμικός συντελεστής ίσος με το 8% του βάρους της κατασκευής, ανεξάρτητα από τον σεισμό ή τα χαρακτηριστικά της κατασκευής. Επίσης, το συμβάν αυτό απέδωσε και το πρώτο πακέτο ισχυρών καταγραφών (strong-motion) από το καινούριο εγκατεστημένο δίκτυο σεισμογράφων στο Long Beach το Los Angeles και το Varnon. Ο σεισμός του Long Beach κατέγραψε μέγιστη εδαφική επιτάχυνση ίση με 0.23 g (όπου g ειναι η επιτάχυνση βαρύτητας ίση με 9.81m/s 2 ). Αυτή η επιτάχυνση ήταν περίπου 6 φορές μεγαλύτερη της συνιστώμενης τότε τιμής του αντισεισμικού σχεδιασμού. Παρόλα αυτά, λίγα κτίρια κατέρρευσαν με αποτέλεσμα να γίνει τότε η πρώτη παρατήρηση της πλάστιμης συμπεριφοράς των κατασκευών και τα οφέλη της στην απόσβεση της σεισμικής ενέργειας.

48 1.2. Ιστορική Αναδρομή 9 Οι κύριοι αντισεισμικοί κανονισμοί που έχουν ευρύτατα εξετασθεί και δοκιμασθεί είναι ο Uniform Building Code (UBC) που αναπτύχθηκε κυρίως στην Καλιφόρνια, ο Japanese Building Law και ο New Zealand Code. Τα τελευταία χρόνια εμφανίστηκε ο Ευρωκώδικας 8 ένας πανευρωπαϊκός αντισεισμικός κώδικας που έχει τώρα υιοθετηθεί όχι μόνο από χώρες μέλη της ευρωπαϊκής ένωσης αλλά και από πολλά άλλα γειτονικά κράτη Ο αντισεισμικός σχεδιασμός στην Ελλάδα Ύστερα από τον σεισµό µεγέθους 6.3 της κλίμακας Ρίχτερ στις 22/4/1928, ο οποίος ισοπέδωσε την Κόρινθο και το Λουτράκι, συντάχθηκαν οδηγίες για την κατασκευή των νέων αντισεισµικών κτιρίων που θα ανεγείροντο στις πόλεις αυτές. Οι οδηγίες αυτές πήραν τη µορφή Αντισεισµικού Κανονισµού Κορίνθου - Λουτρακίου µε το από 1/11/1928 Προεδρικό ιάταγµα. Με το από 2/10/1931 Προεδρικό ιάταγµα «Περί Αντισεισµικού Οικοδοµικού Κανονισµού της σεισµοπλήκτου περιοχής Κορίνθου Λουτρακίου», καθορίζονται περαιτέρω όροι δοµήσεως και επισκευών των κτιρίων. Με το από 9/8/1941 Κανονιστικό ιάταγµα «Περί επεκτάσεως του Αντισεισµικού Οικοδοµικού Κανονισµού εις την περιοχήν Λαρίσης» επεκτείνεται η εφαρµογή του Κανονισµού, ύστερα από τον σεισµό µεγέθους 6.3 της κλίμακας Ρίχτερ της 1/3/1941 που έπληξε τη περιοχή της Λάρισας. Βελτιώσεις κατά τις γνώσεις της εποχής εισάγονται µε το από 28/7/1947 «Περί τροποποιήσεως του από 29/10/1931 ιατάγματος περί Αντισεισµικού Οικοδοµικού Κανονισµού. Μετά από τον σεισµό µεγέθους 7,2 της κλίμακας Ρίχτερ της 12/8/1953 που κατέστρεψε τη Ζάκυνθο και την Κεφαλλονιά εκδίδεται το Βασιλικό ιάταγμα της 17/6/1954 «Περί επεκτάσεως του Αντισεισµικού Οικοδοµικού Κανονισµού Κορίνθου - Λουτρακίου εις την περιοχήν των Νοµών Κεφαλληνίας και Ζακύνθου». Με το Βασιλικό ιάταγμα 26/2/1959 «Περί Αντισεισµικού Κανονισµού Οικοδοµικών Έργων» καθίσταται υποχρεωτική η εφαρµογή των διατάξεών του σε ολόκληρη τη χώρα. Η αναθεώρηση του αντισεισμικού σχεδιασμού με τις πρόσθετες διατάξεις το 1984 οδήγησε σε ουσιαστική αναβάθμιση της αντισεισμικής προστασίας εισάγοντας για πρώτη φορά όλα τα κύρια χαρακτηριστικά των σύγχρονων αντισεισμικών κανονισμών, όπως τον ικανοτικό σχεδιασμό των υποστυλωμάτων σε κάμψη, την κατασκευαστική διαμόρφωση και τις λεπτομέρειες όπλισης μελών για λόγους τοπικής πλαστιμότητας, τον έλεγχο βλαβών στον οργανισμό πλήρωσης και τον υπολογισμό των επιρροών 2ας τάξεως. Το 1995 έγινε ριζική αναθεώρηση του Αντισεισμικού Κανονισμού με τις όποιες ελλείψεις του, που οδήγησαν τελικά στις αναθεωρήσεις του Οι κανονισμοί του 1995 ανταποκρίνονταν για πρώτη φορά πλήρως στα διεθνή πρότυπα και στο σύγχρονο επίπεδο γνώσης. Η εξέλιξη του κανονισµού αυτού και οι διαδοχικές του συµπληρώσεις και τροποποιήσεις οδηγούν στον ΕΑΚ Το 2014 εγκρίθηκε η εφαρμογή και χρήση των Ευρωκωδίκων σε συνδυασμό με τα αντίστοιχα Εθνικά Προσαρτήματα χωρίς όμως την κατάργηση ισχύος των παλαιοτέρων κανονιστικών διατάξεων.

49 10 Κεφάλαιο 1. Αντισεισμικός σχεδιασμός κτηρίων οπλισμένου σκυροδέματος 1.3 Σύγχρονη αντισεισμική μηχανική Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, η επίδραση των σεισμικών δυνάμεων στον σχεδιασμό των κατασκευών ξεκίνησε να εφαρμόζεται στις αρχές του 20ού αιώνα μετά τους σεισμούς της Santa Barbara το 1925 και του Long Beach το 1933 στις Ηνωμένες Πολιτείες. Οι σεισμικές δυνάμεις ορίστηκαν αρχικά σαν οριζόντια στατικά επιβαλλόμενες δυνάμεις περίπου ίσες με το 10% του συνολικού βάρους της κατασκευής και έγινε μια πρώτη προσπάθεια συνυπολογισμού των σεισμικών δυνάμεων ως αδρανειακές δυνάμεις ισοδύναμες με ένα μειωμένο ποσοστό των κατακόρυφων δυνάμεων. Η ιδέα επιβολής οριζόντιων αδρανειακών δυνάμεων αποτέλεσε την βάση της σύγχρονης αντισεισμικής μηχανικής. Η αρχική ιδέα για την προσομοίωση της σεισμικής διέγερσης από ένα φάσμα απόκρισης εφαρμόστηκε για πρώτη φορά από τον Suyehiro το Το ελαστικό φάσμα αποτελεί την σύνοψη της μέγιστης απόκρισης όλων των πιθανών γραμμικών μονοβάθμιων συστημάτων (βάση της ιδιοπεριόδου T) που υπόκεινται σε μια σεισμική εδαφική σεισμική διέγερση. Η παραγωγή του πρώτου φάσματος απόκρισης χρεώνεται στον Biot το 1935 ο οποίος πειραματικά σε μια σεισμική τράπεζα εξήγαγε το φάσμα απόκρισης μονοβάθμιων συστημάτων με ιδιοσυχνότητες μεταξύ 0.1 και 2.4 sec. [20] Το 1949 με την εμφάνιση των ηλεκτρονικών υπολογιστών οι Housner και Kahn έφτιαξαν το πρώτο αναλυτικό φάσμα απόκρισης. Το 1960 οι Veletsos και Newmark πραγματοποίησαν την πρώτη εξέταση της σεισμικής συμπεριφοράς ανελαστικών συστημάτων μελετώντας και υπολογίζοντας την μέγιστη απόκριση ελαστο-πλαστικών συστημάτων. Το συμπέρασμα που προέκυψε ήταν πως η μέγιστη ανελαστική μετακίνηση είναι περίπου ίση ή μικρότερη από την μέγιστη ελαστική μετακίνηση κάτι που οδήγησε στον κανόνα των ίσων μετακινήσεων μεταξύ ελαστικού και ανελαστικού συστήματος. Το 1969 οι Newmark και Hall εισήγαγαν την έννοια του ανελαστικού φάσματος σχεδιασμού, εξάγοντας σημαντικά συμπεράσματα για την επιρροή της ιδιοπεριόδου στην σχέση μεταξύ ελαστικής και ανελαστικής απόκρισης. Πρότειναν σχέσεις υπολογισμού της μέγιστης ανελαστικής απόκρισης με γνωστή την μέγιστη ελαστική απόκριση για τρεις βασικές περιοχές ιδιοπεριόδου (χαμηλές, μεσαίες και υψηλές τιμές). Τότε ορίστηκε και ο όρος του συντελεστή μείωσης αντοχής (strength reduction factor, R) ή συντελεστή συμπεριφοράς (behaviour factor, q), ως ο λόγος της απαιτούμενης αντοχής (για να παραμείνει η κατασκευή στην ελαστική περιοχή) προς την πραγματική αντοχή της κατασκευής. Οι σύγχρονοι αντισεισμικοί κανονισμοί βασίζονται στον αντισεισμικό σχεδιασμό με βάση τις δυνάμεις (Force - Based Design) καθώς: 1. Οι πολιτικοί μηχανικοί είναι εξοικειωμένοι με τον σχεδιασμό με βάση τις δυνάμεις για άλλου τύπου φορτίσεις (όπως τα κατακόρυφα φορτία και άνεμος). 2. Η στατική ισορροπία των εξωτερικών φορτίων αποτελεί ισχυρή βάση για την ανάλυση. 3. Τα εργαλεία για τον άμεσο υπολογισμό των σεισμικών παραμορφώσεων των κατασκευών δεν

50 1.4. Η φιλοσοφία των σύγχρονων αντισεισμικών κανονισμών 11 θεωρούνται ακόμα πλήρως αναπτυγμένα για πρακτική χρήση. Η μεθοδολογία αυτή βασίζεται στον προσδιορισμό οριζόντιων αδρανειακών δυνάμεων που εφαρμόζονται στις μάζες της κατασκευής, λόγω της κίνησης του εδάφους θεμελίωσης, εξαιτίας του σεισμού. Για αυτούς τους λόγους φαίνεται πως στο εγγύς μέλλον η μέθοδος σχεδιασμού με βάση τις δυνάμεις θα συνεχίζει να υπάρχει στους κανονισμούς και στην πρακτική εφαρμογή. Η μέθοδος των δυνάμεων για πλαστιμότητα βασίζεται στο ανελαστικό φάσμα απόκρισης μονοβάθμιου ταλαντωτή (SDOF) με ελαστική - πλήρως πλαστική καμπύλη δύναμης- μετακίνησης, F δ, σε μονοτονική φόρτιση. Για σταθερή τιμή απόσβεσης (όπου ξ=5% είναι το σύνηθες) το ανελαστικό φάσμα συνδέει: 1. την ιδιοπερίοδο του συστήματος 2. τον λόγο q = F el /F y στην μέγιστη φόρτιση, όπου F el είναι η δύναμη που θα προέκυπτε αν το σύστημα ήταν πλήρως γραμμικά-ελαστικό, F y είναι η δύναμη διαρροής του συστήματος. Το q καλείται συντελεστής συμπεριφοράς στην Ευρώπη ενώ στην Αμερική γίνεται χρήση του συμβόλου R και καλείται συντελεστής μείωσης δυνάμεων ή τροποποιητικός συντελεστής απόκρισης. Στην εργασία αυτή απο εδώ και πέρα θα γίνεται η χρήση του συμβόλου q Η μέγιστη ζητούμενη μετακίνηση του ανελαστικού μονοβάθμιου συστήματος, δ max εκφράζεται ως το πηλίκο αυτή προς την μετακίνηση διαρροής δ y (δηλ. ως συντελεστής πλαστιμότητας μετακίνησης µ δ = δ max /δ y ) Ο Eυρωκώδικας 8 έχει υιοθετήσει το ανελαστικό φάσμα που προτάθηκε απο τους Vidie et al [21]. 1.4 Η φιλοσοφία των σύγχρονων αντισεισμικών κανονισμών Όπως έχει αναφερθεί, ο σεισμικός κίνδυνος ή ο σεισμικός σχεδιασμός προκύπτει απο τα φάσματα σχεδιασμού. Η ιδεώδης λύση θα ήταν η ύπαρξη φασμάτων αποκρίσεως για την κάθε περιοχή βάση μακροχρόνιων καταγραφών. Οι σεισμολογικές εγγραφές δεν ξεπερνούν όμως τον έναν αιώνα καθώς τα τελευταία 60 χρόνια άρχισαν να καταγράφονται οι σεισμικές κινήσεις και έτσι η μόνη λύση είναι η εκτίμηση της αναμενόμενης μέγιστης επιτάχυνσης εδάφους με συγκεκριμένη πιθανότητα για ορισμένη περίοδο επανάληψης με βάση γεωτεχνικά σεισμολογικά και εδαφοδυναμικά στοιχεία, καθώς και τον περιορισμένο αριθμό εγγραφών σεισμικών κινήσεων καθώς και στην εκτίμηση της αναμενόμενης έντασης με βάση υποκειμενικές κλίμακες (από το ιστορικά βεβαιωμένο σεισμικό παρελθόν) από της οποίες όμως δεν εξαρτάται απαραιτήτως η συμπεριφορά των κατασκευών π.χ. κλίμακα Mercalli (Πίνακας 1.1) ή η πρόσφατα αναπτυχθείσα 12-βαθμιαία Ευρωπαική Μακροσεισμική κλιμακα (EMS) [22].

51 12 Κεφάλαιο 1. Αντισεισμικός σχεδιασμός κτηρίων οπλισμένου σκυροδέματος Πίνακας 1.1: Εμπειρική κλίμακα Mercalli για την μέτρηση της σεισμικής έντασης I. Μη αισθητός II. Ελάχιστα αισθητός III. Ασθενής IV. Mέτριος V. Σχετικά Ισχυρός VI. Ισχυρός VII. Πολύ Ισχυρός VIII. Καταστροφικός IX. Πολύ Καταστροφικός X. Εξαιρετικά Καταστροφικός XI. Ασύλληπτα Καταστροφικός XII. Ολική Καταστροφή (ή Κατακλυσμιαίος) Κλίμακα Mercalli Δεν γίνεται αισθητός. Καταγράφεται μόνο από σεισμογράφους. Αισθητός από μερικούς ανθρώπους που βρίσκονται σε ανάπαυση στους υψηλότερους ορόφους κτιρίων. Αισθητός μέσα στα σπίτια, ως δονήσεις σαν να περνάει ελαφρύ φορτηγό. Μπορεί να μην αναγνωριστεί ως σεισμός. Αισθητός μέσα στα σπίτια, ως δονήσεις σαν να περνάει βαρύ φορτηγό δίπλα στο σπίτι. Λιγότερο αισθητός στην ύπαιθρο. Τίθενται σε κίνηση κρεμασμένα αντικείμενα. Τζάμια τρίζουν. Κρότοι πιάτων και παραθύρων, χτύπος στις πόρτες. Σταματημένα αυτοκίνητα κλυδωνίζονται. Την νύχτα μερικοί ξυπνούν. Αισθητός από όλους μέσα στα σπίτια, ως δονήσεις σαν να περνάει τραίνο δίπλα στο σπίτι. Ενδεχομένως μη αισθητός στην ύπαιθρο υπό ορισμένες συνθήκες. Αιώρηση κρεμασμένων αντικειμένων. Ανατροπή μερικών μικρών αντικειμένων και σπάσιμο πιάτων. Ανοιχτές πόρτες ταλαντεύονται. Υγρά από δοχεία χύνονται. Την νύχτα όλοι ξυπνούν. Αισθητός από όλους. Πολλοί τρομοκρατούνται και τρέχουν έξω από τα κτίρια. Οι άνθρωποι περπατούν με αστάθεια. Μετακίνηση ή ανατροπή πολυάριθμων μεγάλων αντικειμένων και επίπλων. Τζάμια σπάζουν. Βλάβες σε σοβάδες, κεραμίδια, καπνοδόχους. Μικρές καμπάνες ηχούν. Ζημιές λίγες, ελαφρές. Δύσκολη η όρθια στάση. Πτώση πολυάριθμων κεραμιδιών, καπνοδόχων. Μικρές ζημιές σε ισχυρές κατασκευές. Σοβάδες και τοιχοποιία ρηγματώνονται στις συνηθισμένες κατασκευές. Στις κακές κατασκευές πέφτουν σοβάδες, αποκολλώνται τούβλα και πέτρες. Γίνεται αισθητός από οδηγούς αυτοκινήτων. Μεγάλες καμπάνες ηχούν. Κυματισμός στις λίμνες, θόλωμα νερού από λάσπη. Επηρεάζεται η οδήγηση των αυτοκινήτων. Αρκετές ζημιές και μερική κατάρρευση στις συνηθισμένες κατασκευές. Μέτριες ζημιές στην τοιχοποιία των καλών κατασκευών και μεγάλες στις κακές κατασκευές. Κλαδιά σπάνε από τα δένδρα. Αλλαγές στη ροή και στη θερμοκρασία του νερού σε πηγές και σε πηγάδια. Γενικός πανικός. Σοβαρές βλάβες στην τοιχοποιία των καλών κατασκευών. Γενική καταστροφή στις κακές κατασκευές. Μικρού μεγέθους κτίρια αποσπώνται από τα θεμέλια. Υπόγειοι αγωγοί σπάζουν. Εμφανίζονται ρωγμές στο έδαφος. Σε περιοχές με υπόγεια ύδατα, αναβλύζει από το έδαφος λεπτή άμμος, ιλύς και νερό. Τα περισσότερα κτίρια καταστρέφονται. Πτώση μερικών καλών κατασκευών, ανθεκτικών ξύλινων κτιρίων και γεφυρών. Σχεδόν όλες οι κατασκευές τοιχοποιίας και τα προκατασκευασμένα κτίσματα καταρρέουν μέχρι θεμελίων. Σοβαρές ζημιές στο οδικό δίκτυο και σε φράγματα, υδροφράκτες και αναχώματα. Οι σιδηροτροχιές κάμπτονται ελαφρά. Μεγάλες κατολισθήσεις. Ελάχιστα κτίρια μένουν όρθια. Πτώση σχεδόν όλων των ανθρώπινων κατασκευών. Υπόγειοι αγωγοί και γραμμές μεταφοράς ενέργειας καταστρέφονται εντελώς. Καταστροφή οδικού δικτύου, πτώση γεφυρών και ανισόπεδων κόμβων. Οι σιδηροτροχιές κάμπτονται έντονα. Πολυάριθμες κατολισθήσεις, ρήγματα και παραμορφώσεις του εδάφους. Ολική καταστροφή. Κατάρρευση όλων των κτιρίων μέχρι θεμελίων. Τεράστιες παραμορφώσεις του φλοιού της Γης. Το έδαφος κινείται σε κύματα ή ανυψώνεται και υποχωρεί αρκετά μέτρα και τα σεισμικά κύματα φαίνονται στην επιφάνεια. Αλλαγές στο ανάγλυφο του εδάφους και τη γραμμή του ορίζοντα. Μεγάλες ποσότητες βράχων αλλάζουν θέση. Αλλαγή ροής ποταμών. Δημιουργία καταρρακτών. Παραμόρφωση της όρασης. Μεγάλα αντικείμενα εκτινάσσονται στον αέρα. Το επίπεδο XII έχει καταγραφεί μόλις μία φορά στην ανθρώπινη ιστορία. Βάση των παραπάνω, η πιο λογική προσέγγιση του αντισεισμικού σχεδιασμού των κατασκευών είναι η αναγνώριση της αβεβαιότητας των σεισμικών φαινομένων και των απαιτήσεων που απορρέουν από αυτά κατά τον αντισεισμικό σχεδιασμό. Έτσι, η πρόβλεψη υπάρξεως στην κατασκευή αποθεμάτων αντίστασης επιτρέπει κατά την διάρκεια ενός μεγάλου σεισμού την αποφυγή κατάρρευσης χωρίς την ανάγκη επιπλέον δαπάνης κατά τον σχεδιασμό για πιο πιθανές και συχνές σεισμικές καταπονήσεις. Έτσι η φιλοσοφία του αντισεισμικού σχεδιασμού συνοψίζεται ως εξής: 1. Οριακή κατάσταση λειτουργικότητας Χωρίς βλάβες ή μικρές βλάβες (όχι διαρροή μελών κατασκευής) για μικρούς και επαναλαμβανόμενους σεισμούς με μεγάλη πιθανότητα εμφάνισης. 2. Οριακή κατάσταση αστοχίας ή αντοχής Λίγες και επισκευάσιμες βλάβες, υπέρβαση του ορίου ελαστικότητας για μεσαίους έντασης σεισμούς (σεισμός σχεδιασμού, με περίοδο εμφάνισης 50 ετών). 3. Οριακή κατάσταση κατάρρευσης Αποφυγή κατάρρευσης σε ισχυρούς και καταστροφικούς σεισμούς (σεισμοί με περίοδο εμφάνισης πάνω από 500 έτη δηλ. πάνω από την διάρκεια ζωής του έργου).

52 1.4. Η φιλοσοφία των σύγχρονων αντισεισμικών κανονισμών 13 Γίνεται φανερό ότι η αποδοχή των παραπάνω προϋποθέτει ότι στον καθορισμό του επιπέδου της φόρτισης της κατασκευής θα πρέπει να συνεκτιμηθεί τόσο η μέγιστη αναμενόμενη ένταση του σεισμού όσο και η συχνότητα επανεμφάνισης του. Επίσης, γίνεται αποδεκτή για μέσες και ισχυρές σεισμικές εντάσεις η υπέρβαση του ορίου ελαστικότητας στα μέλη (διαρροή). Έτσι, η κατασκευή σχεδιάζεται με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορεί να υποστεί μεγάλες ανελαστικές παραμορφώσεις χωρίς να χάνει σημαντικό ποσοστό της αρχικής αντοχής του. Η ιδιότητα αυτή ονομάζεται πλαστιμότητα και όλοι οι σύγχρονοι αντισεισμικοί κανονισμοί έχουν υιοθετήσει αυτήν την ιδιότητα των κατασκευών κατά τον σχεδιασμό σε συνδυασμό με την επαρκή τελική αντοχή. Είναι σαφές πως τα παραπάνω ισχύουν για τα κοινά έργα του πολιτικού μηχανικού και όχι σε ειδικά έργα όπου ο βαθμός υπερστατικότητας είναι μικρός πχ υδατόπυργοι ή σε έργα όπου υπάρχει κίνδυνος ψαθυρής αστοχίας (απότομη αστοχία) ή έργα όπου μια πιθανή αστοχία θα σήμαινε μεγάλη καταστροφή (πχ πυρηνικοί αντιδραστήρες). Η παραπάνω φιλοσοφία που παρουσιάστηκε, δηλαδή, αυτή της ελεγχόμενης βλάβης και της υιοθέτησης της ιδιότητας των κατασκευών να παραμορφώνονται πέρα από την ελαστική περιοχή χωρίς να χάνουν σε αντοχή, εφαρμόζεται στον σύγχρονο αντισεισμικό σχεδιασμό των κατασκευών. Αυτό επιτυγχάνεται εν μέρη χοντρικά σχεδιάζοντας την κατασκευή για οριζόντια αδρανειακά φορτία (ισοδύναμη στατική μέθοδος) με κατανομή καθ ύψος, αυτή που προσεγγίζει καλύτερα την δυναμική ανάλυση, αλλά με μεγέθη μικρότερα (διαιρεμένα με τον συντελεστή συμπεριφοράς q) από εκείνα που θα έδινε το φάσμα αποκρίσεως (1.5-6 φορές μικρότερα ανάλογα με το επίπεδο πλαστιμότητας της κατασκευής). Η μείωση αυτή προϋποθέτει την διασφάλιση της πλάστιμης συμπεριφοράς της κατασκευής και αυτό γίνεται εφικτό μόνο με κατάλληλη κατασκευαστική διαμόρφωση του φέροντος οργανισμού (πχ. ικανοτικός σχεδιασμός) και την κατάλληλη όπλιση των μελών (λεπτομέρειες όπλισης). Στην συνέχεια, περιγράφεται αναλυτικότερα η σύγχρονη φιλοσοφία του αντισεισμικού σχεδιασμού Αντισεισμικός σχεδιασμός με βάση την επιτελεστικότητα Έχοντας διερευνήσει τις μεγάλες οικονομικές απώλειες στους προηγούμενους σεισμούς, όπως του Loma Prieta το 1989, σεισμός με περισσότερα από 10 δισεκατομμύρια δολάρια σε απώλειες, και του Northridge το 1994 σεισμός με πάνω από 20 δισεκατομμύρια δολάρια σε απώλειες, οι άνθρωποι άρχισαν να συνειδητοποιούν τον κρίσιμο ρόλο που παίζει η απόδοση μιας κατασκευής στην διατήρηση της λειτουργίας και της ασφάλειας, κατά τη διάρκεια και μετά τους σεισμούς. Στην συνέχεια των προηγούμενων σεισμών οι οποίοι προξένησαν σημαντικές οικονομικές απώλειες, έγινε αντιληπτό πως ο αρχικός σχεδιασμός με βάση τις δυνάμεις και την πλαστιμότητα δεν είναι πρακτικός και αξιόπιστος για το σχεδιασμό των νέων κτιρίων. Ο σχεδιασμός με βάση την επιτελεστικότητα (ή αποδοτικότητα, δηλ. σχεδιασμός για ελεγχόμενη/γνωστή/επιτρεπόμενη βλάβη) γίνεται όλο και πιο αποδεκτός από τους μηχανικούς. Ο σχεδιασμός με βάση την επιτελεστικότητα περιγράφει τα αποδεκτά όρια ρίσκου ή κινδύνου για διαφορετικά επίπεδα βλάβης σε φέροντα και μη φέροντα δομικά στοιχεία που προκαλείται από ένα συγκεκριμένο επίπεδο του σεισμικού κινδύνου. Για διαφορετικούς τύπους κατασκευών, υιοθετούνται διαφορετικά κριτήρια σχεδιασμού επιλέγοντας

53 14 Κεφάλαιο 1. Αντισεισμικός σχεδιασμός κτηρίων οπλισμένου σκυροδέματος διαφορετικά αποδεκτά επίπεδα βλάβης. Οι συνιστώμενες τιμές επιτελεστικότητας έχουν αναπτυχθεί συνδέοντας κάθε επίπεδο επιτελεστικότητας με ένα συγκεκριμένο επίπεδο σεισμικού κινδύνου. Τα επίπεδα επιτελεστικότητας περιγράφουν τις οριακές τιμές των μετρήσιμων παραμέτρων απόκρισης της κατασκευής, όπως οι σχετικές μετακινήσεις ορόφων (inter-story drift ratios, IDRs), επιταχύνσεις και ταχύτητες ορόφων ή στροφικές πλαστιμότητες δοκών. Μετά την επιλογή των επιπέδων επιτελεστικότητας, οι οριακές αυτές τιμές ελέγχονται στα τελευταία στάδια του σχεδιασμού (Bozorgnia και Bertero, 2004 [23]). Για την αξιόπιστη περιγραφή των επίπεδων επιτελεστικότητας, η θεωρία των πιθανοτήτων εισάγεται από τους Cornell και Krawinkler στον σχεδιασμό με βάση την επιτελεστικότητα. Σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο κριτήριο σχεδιασμού, οι κατασκευές θα πρέπει να σχεδιαστούν ώστε να ικανοποιούν μια αποδεκτή πιθανότητα υπέρβασης των κριτηρίων σχεδιασμού κάτω από ένα συγκεκριμένο επίπεδο της σεισμικής επικινδυνότητας (πιθανότητα αστοχίας). Κατά τον καθορισμό με βάση την αποδεκτή αυτή πιθανότητα, πρέπει να διατηρείται ισορροπία μεταξύ του ασφαλούς και οικονομικού σχεδιασμού, εξετάζοντας παράγοντες όπως η σπουδαιότητα της κατασκευής, η οικονομική κατάσταση των ιδιοκτητών και οι εκάστοτε ανάγκες της κοινωνίας. Έτσι, λύση που ισορροπεί ανάμεσα στην ασφάλεια και την οικονομία είναι και η πιο επιθυμητή. Προκειμένου να ληφθεί η πιο οικονομική λύση, μια ακριβής και αξιόπιστη πρόβλεψη της πιθανότητας υπέρβασης είναι απαραίτητη. Για την ακριβή και ρεαλιστική πρόβλεψη της απόκρισης μιας κατασκευής, μια ρεαλιστική και αξιόπιστη σεισμική δύναμη σχεδιασμού (π.χ., ένα φάσμα απόκρισης σχεδιασμού), αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση. Έτσι, ένα ρεαλιστικό και αξιόπιστο φάσμα απόκρισης σχεδιασμού κρίνεται ως η πρώτη και η πιο βασική παράμετρος κατά τον αντισεισμικό σχεδιασμό. Στον NEHRP [24], ο αντισεισμικός σχεδιασμός γίνεται με χρήση μιας τιμής εδαφικής επιτάχυνσης, λαμβανόμενη ως τα δύο-τρίτα του μέγιστου πιθανοτικά θεωρούμενου σεισμού (Maximum Considered Earthquake, MCE). Αυτή λαμβάνεται ως σεισμική δύναμη σχεδιασμού στις ΗΠΑ. Για κατασκευές συνήθους σημαντικότητας, το επίπεδο επιτελεστικότητας ασφάλεια ζωής απαιτεί η σεισμική δύναμη σχεδιασμού να είναι ίση με τα δύο-τρίτα της MCE. Αν αυτό το επίπεδο πληρούται, τότε θεωρείται ότι η αποφυγή κατάρρευσης επιτυγχάνεται έμμεσα για φορές ισχυρότερο MCE όπως και η άμεση χρήση, η οποία αναμένεται για συχνό σεισμό με 50% πιθανότητα υπέρβασης σε διάστημα 50 ετών (72 χρόνια μέσο περίοδο εμφάνισης). Από το 1960 έχει γίνει αντιληπτό ότι δεν είναι εφικτό να αποφευχθούν ζημιές υπό έναν ισχυρό σεισμό, ο Structural Engineers Association of California (SEAOC) [1] είχε υιοθετήσει από το 1968 τις εξής συστάσεις για τον σεισμικό σχεδιασμό: Οι κατασκευές θα πρέπει γενικά να είναι ικανές να αντιστέκονται σε ένα μικρο επίπεδο σεισμικής εδαφικής επιτάχυνσης χωρίς βλάβες, να αντιστέκονται σε ένα μετρίου επιπέδου σεισμικής εδαφικής κίνησης χωρίς βλάβες στα δομικά στοιχεία αλλά με πιθανές βλάβες σε μη φέροντα στοιχεία και να αντιστέκονται σε σημαντικό επίπεδο σεισμικής εδαφικής κίνησης αναμένοντας βλάβες σε φέροντα και μη φέροντα στοιχεία χωρίς ωστόσο να επέλθει κατάρρευση.

54 1.4. Η φιλοσοφία των σύγχρονων αντισεισμικών κανονισμών 15 Μετά από ισχυρούς σεισμούς κατά το δεύτερο μισό του 1980 και το πρώτο του 1990 όπου προέκυψαν λίγες ανθρώπινες απώλειες, αλλά πολύ μεγάλες βλάβες με αντίκτυπο στην οικονομία, αναδύθηκε ο σχεδιασμός με βάση την επιτελεστικότητα (performance based design) στον SEAOC Vision 2000 και εξελίχθηκε στην συνέχεια στην πιο σημαντική ιδέα των τελευταίων χρόνων για τον σεισμικό σχεδιασμό και ενίσχυση των κατασκευών (SEAOC 1995 [1]) [25]. Για να επιτευχθεί ο στόχος του σχεδιασμού με βάση την επιτελεστικότητα απαιτείται να καθοριστούν τα επίπεδα σεισμικής δράσης (seismic hazard levels) καθώς και τα αντίστοιχα επίπεδα βλάβης (damage levels). Τα ζεύγη σεισμικής δράσης και αντίστοιχης βλάβης συνιστούν το επίπεδο επιτελεστικότητας (Performance Level), ενώ το σύνολο των επιπέδων επιτελεστικότητας συνιστά την συμπεριφορά στόχο του σχεδιασμού (Performance objective). Σύμφωνα με τον SEAOC [1] ορίζονται 4 επίπεδα επιτελεστικότητας. Αυτά τα επίπεδα επιτελεστικότητας έχουν τα παρακάτω χαρακτηριστικά βλάβης [26]. Επίπεδο 1 Στο επίπεδο αυτό η κατασκευή συμπεριφέρεται ελαστικά και δεν υπάρχει διαρροή. Κανένα φέρον στοιχείο δεν έχει διαρρεύσει, ενώ και οι ζημιές στα μή-φέροντα στοιχεία είναι αμελητέες. Η πιθανότητα εμφάνισης του συχνού σεισμού είναι περίπου 50% ανά 50 χρόνια και η περίοδος επανάληψης είναι τα 43 χρόνια (Λειτουργικότητα κατά τον σεισμό - operational or functionality). Επίπεδο 2 Η βλάβη του φέροντος οργανισμού μπορεί να θεωρηθεί από μικρή έως μέτρια. Τα μη φέροντα στοιχεία βρίσκονται στην ελαστική περιοχή παρουσιάζοντας κάποιες μικρές αποκολλήσεις από τον φέροντα οργανισμό. Η πιθανότητα εμφάνισης του σεισμού σχεδιασμού για το συγκεκριμένο επίπεδο επιτελεστικότητας είναι 50% στα 50 χρόνια. Σκοπός είναι η αποφυγή σοβαρών βλαβών ώστε μετά το σεισμό να επιτυγχάνεται η άμεση χρήση της κατασκευής (Άμεση χρήση - immediate occupancy). Επίπεδο 3 Η βλάβη του φέροντος οργανισμού είναι σημαντική και η συνολικά επιβαλλόμενη πλησιάζει το 60% της συνολικά διαθέσιμης παραμόρφωσης της κατασκευής. Τα μη φέροντα στοιχεία παραμένουν ασφαλή αλλά με σημαντικές βλάβες. Ο σεισμός σχεδιασμού για αυτό το επίπεδο έχει πιθανότητα εμφάνισης 10% στα 50 χρόνια και η μέση περίοδος επανάληψης του σεισμού είναι τα 475 χρόνια (Life Safety - Προστασία Ζωής). Επίπεδο 4 Η βλάβη του φέροντος οργανισμού είναι πολύ μεγάλη και η επιβαλλόμενη παραμόρφωση σχεδόν πλησιάζει το 80% της συνολικά διαθέσιμης παραμόρφωσης της κατασκευής. Με κάθε τρόπο επιβάλλεται να αποφευχθεί η συνολική κατάρρευση ή γενικότερα η κατάρρευση που μπορεί να προκαλέσει μεγάλο αριθμό θυμάτων. Οι βλάβες είναι τόσο μεγάλες που ενδέχεται το δόμημα να είναι ασύμφορο να επισκευαστεί και να χρειαστεί κατεδάφιση. Η πιθανότητα για αυτή την σεισμική δράση είναι 2% έως 5% στα 50 χρόνια και η μέση περίοδος επανάληψης του πολύ ισχυρού αυτού σεισμού είναι από 1000 έως 2500 χρόνια. (Οιονεί Κατάρρευση - Collapse prevention or near collapse) Στο Σχ. 1.8 φαίνονται τα επίπεδα επιτελεστικότητας με τα αντίστοιχα επίπεδα σεισμικής δράσης.

55 16 Κεφάλαιο 1. Αντισεισμικός σχεδιασμός κτηρίων οπλισμένου σκυροδέματος Σχήμα 1.8: Επίπεδα επιτελεστικότητας (SEAOC [1]) Στο σχήμα φαίνονται 3 καμπύλες που συμβολίζουν την συμπεριφορά των κατασκευών. Η καμπύλη με τίτλο Performance for ordinary buildings αντιστοιχεί σε συνηθισμένα έργα πολιτκού μηχανικού όπως οι κατοικίες, ενώ οι άλλες δύο καμπύλες αντιστοιχούν στον σχεδιασμό κτηρίων μεγαλύτερης σημασίας όπως δημόσια κτήρια, νοσοκομεία, σχολεία κλπ. Για την περιγραφή της βλάβης της κατασκευής μπορούν να χρησιμοποιηθούν διάφοροι δείκτες βλάβης (damage indices). Τα μεγέθη αυτά σχετίζονται με την μέγιστη παραμόρφωση της κατασκευής ή την παραμόρφωση των μελών. Γενικά έχουν προταθεί διάφοροι δείκτες βλάβες που μπορεί να σχετίζονται είτε με την παραμόρφωση είτε με την καταναλισκόμενη ενέργεια μέσω υστερητικών κύκλων φόρτισης - αποφόρτισης. Ο Ευρωκώδικας 8 (2004) χρησιμοποιεί ως βλάβη την μέγιστη γωνιακη παραμόρφωση του ορόφου για την περιγραφή της βλάβης των μη φέροντων στοιχείων. Συγκεκριμένα η μέγιστη γωνιακή παραμόρφωση ορίζεται σε 0.5% στην περίπτωση ευαίσθητων στοιχείων πλήρωσης όπως υαλοπετάσματα και σε 0.7% για στοιχεία πλήρωσης που δεν είναι ευαίσθητα όπως είναι οι τοιχοποιίες. Ο SEAOC [1] χρησιμοποιεί την μέγιστη γωνιακή παραμόρφωση ορόφου για να περιγράψει την βλάβη σε φέροντα και μη φέροντα δομικά στοιχεία καθώς και την πλαστιμότητα των μελών προκειμένου να περιγραφεί η βλάβη στα φέροντα στοιχεία. Η FEMA 356 [27] όπως και ο SEAOC [1] ορίζει την μέγιστη γωνιακή παραμόρφωση του ορόφου για τα μη φέροντα στοιχεία, ενώ για τα φέροντα στοιχεία χρησιμοποιεί την πλαστιμότητα (ductility) των μελών του κτηρίου. Η πλαστιμότητα μέλους ορίζεται από την σχέση µ θ = θ max θ y (1.1) όπου θ max είναι η μέγιστη γωνία στροφής του μέλους κατά την σεισμική δράση και θ y είναι η γωνία στροφής κατά την διαρροή.

56 1.4. Η φιλοσοφία των σύγχρονων αντισεισμικών κανονισμών 17 Η μέγιστη γωνιακή παραμόρφωση ορόφου Interstorey Drift Ratio, (IDR) δίνεται από την σχέση IDR max,i = q(u d,i u d,i 1 ) h i (1.2) όπου u d,i και u d,i 1 είναι η μετακίνηση στο κατακόρυφο επίπεδο i και i 1 αντίστοιχα που προκύπτουν από ελαστική φασματική ανάλυση, q είναι ο μειωτικός συντελεστής συμπεριφοράς, ενώ h i είναι η κατακόρυφη απόσταση των επιπέδων i και i 1, (δηλ. το ύψος ορόφου). Στην εργασία των Ghobarah et al. [28] παρουσιάζεται η συσχέτιση της μέγιστης γωνιακής παραμόρφωσης του ορόφου με τον γνωστό δείκτη βλάβης δομικών στοιχείων των Park and Ang [29] ο οποίος εκφράζεται ως συνάρτηση της μέγιστης μετατόπισης και της απορροφώμενης ενέργειας. Ο EC8 μέρος 3 [30] υιοθετεί πλήρως την προσέγιση της φιλοσοφίας σχεδιασμού με βάση την επιτελεστικότητα για υφιστάμενες κατασκευές, δίνοντας τρία επίπεδα απόδοσης, με τη μορφή της γωνίας στροφής χορδής μελών (Πίνακας 1.2). Πίνακας 1.2: Κριτήρια ελέγχου σταθμών επιτελεστικότητας κατα Ευρωκώδικα 8 - Μέρος 3 Στοιχεία Περιορισμός βλαβών Σημαντικές βλάβες Οιονεί Κατάρευση Πλάστιμα πρωτεύοντα θ Sd θ y θ Sd 0.75θ u,m σ θ Sd θ u,m σ Πλάστιμα δευτερεύοντα θ Sd θ y θ Sd 0.75θ u,m θ Sd θ u,m Ψαθυρά πρωτεύοντα V SdRd,EC2, V SdRd,EC8 /1.15 Ψαθυρά δευτερεύοντα V SdRm,EC2, V SdRm,EC8 όπου θ Sd η γωνία στροφής χορδής απο την ανάλυση, θ y η γωνία στροφής χορφής στην διαρροή, θ u,m σ η μέση τιμή μείον μια τυπική απόκλιση της γωνίας στροφής χορδής στην αστοχία, ίση με θ u,m /1.5 και θ u,m απο την Εξ. (1.4), θ u,m η μέση αναμενόμενη τιμή της γωνίας στροφής χορδής στην αστοχία V S,d = V CD η τέμνουσα απο ικανοτικό σχεδιασμό αν η ανάλυση είναι ελαστική, V S,d = V E,max η τέμνουσα απο ανάλυση, V Rd,EC2 η διατμητική αντοχή για μονοτονική ένταση κατά Ευρωκώδικα 2 [31] με βάση τις μέσες τιμές αντοχής των υλικών,v Rd,EC8 η διατμητική αντοχή για ανακυκλιζόμενη ένταση κατά Ευρωκώδικα 8-Μέρος 3 [30] με βάση τις μέσες τιμές αντοχής των υλικών. θ um = v max(0.01; ω ) [ γ el max(0.01; ω) f c] ( L f yw v h ) (αρsx ) f c ( ρ d ) (1.3) θ y = ϕ y L v + α v z 3 + c 1 (1 + c 2 h L v ) + ϵ y d d d b f y 6 f c (1.4) όπου: γ el ισούται με 1.5 για κύρια σεισμικά στοιχεία και 1.0 για δευτερεύοντα σεισμικά στοιχεία. h το ύψως της διατομής

57 18 Κεφάλαιο 1. Αντισεισμικός σχεδιασμός κτηρίων οπλισμένου σκυροδέματος L v ο λόγος ροπής/διάτμησης (M/V ) στην ακραία διατομή. v ανοιγμένη αξονική δύναμη στο εμβαδόν της διατομής N/bhf c, N η αξονική δύναμη, θετική για θλίψη και b το πλάτος διατομής. ω, ω μηχανικό ποσοστό οπλισμού του εφελκυόμενου και θλιβόμενου διαμήκη οπλισμού αντίστοιχα. f c, f y, f yw η θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος η τάση διαρροής του διαμήκους χάλυβα και η τάση διαρροής των συνδετήρων αντίστοιχα σε μονάδες MPa. ρ ποσοστό εγκάρσιου οπλισμού παράλληλου προς την κατέυθυνση x της φόρτισης, A sx /b w s h, όπου s h η απόσταση μεταξύ των συνδετήρων ρ d το ποσοστό του διαγώνιου οπλισμού (άν υπάρχει) σε κάθε διαγώνια κατεύθυνση. α ο συντελεστής αποτελεσματικότητας της περίσφιξης ίσος με: όπου: α = (1 s h )(1 s h b 2 )(1 i ) (1.5) 2b o 2h o 6h o b o b o, h o η διάσταση του περισφιγμένου πυρήνα μετρούμενο μέχρι τον άξονα του συνδετήρα. b i η αξονική απόσταση μεταξύ διαμήκων ράβδων i οι οποίες συγκρατούνται πλευρικά απο γωνιακό συνδετήρα. ϕ y η καμπυλότητα διαρροής [25] α v ισούται με 1 αν η διατμητική ρηγμάτωση αναμένεται να πρηγηθεί της καμπτικής διαρροής στην ακραία διατομή, δηλαδή αν M y < L v V R,c, σε αντίθετη περίπτωση ισούται με 0. για δοκούς και υποστυ- z μήκος εσωτερικού μοχλοβραχίωνα δυνάμεων, λαμβάνεται ίσος με d d λώματα και με 0.8h για ορθογωνικά τοιχώματα. ϵ y παραμόρφωση χάλυβα στην διαρροή f y /E s. d bl μέση διάμετρος εφελκυόμενου οπλισμού. c 1, c 2 παιρνουν τιμές ίσες με , και 1.5, για δοκάρια/υποστυλώματα και τοιχώματα, αντίστοιχα. Στην περίπτωση τοιχίων οι τιμές της Εξ.(1.4) διαιρούνται με 1.6.

58 1.4. Η φιλοσοφία των σύγχρονων αντισεισμικών κανονισμών Η μέθοδος των δυνάμεων Ο αντισεισμικός σχεδιασμός με την μέθοδο των δυνάμεων βασίζεται στην οικεία φιλοσοφία του μηχανικού πως κάθε δράση προσομοιώνεται με μια ισοδύναμη στατική δύναμη πάνω στην κατασκευή. Έτσι και ο σεισμός προσομοιώνεται με κατάλληλα υπολογισμένες στατικές φορτίσεις στο κέντρο μάζας κάθε ορόφου (Σχ. 1.9). Οι αδρανειακές αυτές δυνάμεις προέρχονται από την κίνηση του εδάφους θεμελίωσης λόγω του σεισμού. Οι σεισμικές δυνάμεις για ένα μεγάλο σεισμό μπορεί να είναι ακόμα και μεγαλύτερες από το βάρος της κατασκευής και έτσι ο ελαστικός σχεδιασμός (δηλ. η κατασκευή να παραλάβει τις δυνάμεις χωρίς να φύγει από την ελαστική περιοχή που σημαίνει καθόλου βλάβες στα φέροντα δομικά στοιχεία) για τόσο μεγάλες δυνάμεις (τουλάχιστον για τις συνήθεις κατασκευές) προκύπτει αντιοικονομικός. Έτσι θεωρείται αποδεκτό ο σχεδιασμός να ξεπερνάει την ελαστική περιοχή λαμβάνοντας τις σεισμικές δυνάμεις σχεδιασμού μειωμένες κατά έναν συντελεστή. Αυτό είναι εφικτό σε κατασκευές οι οποίες έχουν όλκιμα (πχ. σωστά οπλισμένο σκυρόδεμα, μεταλλικές κατασκευές) και όχι ψαθυρά χαρακτηριστικά (π.χ. κτίρια από τοιχοποιία). Εξαίρεση γίνεται σε ειδικές κατασκευές όπου το κόστος κατασκευής για ελαστική συμπεριφορά δικαιολογείται. Ο συντελεστής μείωσης των σεισμικών δυνάμεων σχεδιασμού είναι ο συντελεστής συμπεριφοράς q. Η τέμνουσα βάσης λόγω της σεισμικής διέγερσης υπολογίζεται απο το φάσμα ψευδο-επιταχύνσεων βάση της ιδιοπεριόδου (T ) της κατασκευής. Οι στατικές δυνάμεις εφαρμόζονται στην κατασκευή με μέγεθος και κατεύθυνση την όσο δυνατή καλύτερη προσέγγιση της ακριβούς επίδρασης των δυναμικών φορτίσεων του σεισμού. Οι συγκεντρωμένες δυνάμεις τείνουν να εμφανίζονται σε κάθε όροφο της κατασκευής όπου υπάρχει συγκεντρωμένη μάζα όπως φαίνεται και από το Σχ Επίσης αυτές οι συγκεντρωμένες δυνάμεις τείνουν να ακολουθούν την πρώτη ιδιομορφή της κατασκευής. Δηλαδή έχουν μεγαλύτερο μέγεθος καθώς αυξάνεται ο όροφος του κτιρίου (Σχ. 1.9). Έτσι οι μέγιστες οριζόντιες μετακινήσεις και δυνάμεις εμφανίζονται συχνά στην οροφή του τελευταίου ορόφου. Αυτές οι επιδράσεις προσομοιώνονται, με ισοδύναμες στατικές φορτίσεις στην πλειονότητα τον αντισεισμικών κανονισμών, με την επιβολή δηλαδή δυνάμεων σε κάθε όροφο, το οποίο είναι άμεσα ανάλογο του ύψους. Αν και η μέθοδος των δυνάμεων δεν αντιμετωπίζει με ακρίβεια τον αντισεισμικό σχεδιασμό ως προς τον έλεγχο βλάβης, καθώς ο σεισμός είναι δράση δυναμική και απαιτεί από το δόμημα να αντεπεξέλθει σε μια ποσότητα ενέργειας ταλάντωσης και σε κάποιες επιβαλλόμενες παραμορφώσεις, παραμένει μία δημοφιλής μέθοδος και έχει υιοθετηθεί από πολλούς σύγχρονους αντισεισμικούς κανονισμούς, όπως από τον Ευρωκώδικα 8, καθώς οι πολιτικοί μηχανικοί είναι εξοικειωμένοι με τον σχεδιασμό υπό την δράση στατικών φορτίων. Η διαδικασία σχεδιασμού με βάση τις δυνάμεις έχει ως εξής: 1. Τα μέλη διαστασιολογούνται έναντι σεισμού με βάση την οριακή κατάσταση αστοχίας σε δυνάμεις που υπολογίζονται από την μάζα της κατασκευής επί την μέγιστη επιτάχυνση που προκύπτει από το ελαστικό φάσμα σχεδιασμού διαιρεμένο με τον συντελεστή συμπεριφοράς q (Σχ. 1.13). 2. Σχεδιάζεται ο κάθε κόμβος της κατασκευής ώστε να επιτευχθεί η επιθυμητή στάθμη βλάβης με πλάστιμη συμπεριφορά μέσω των πλαστικών αρθρώσεων ώστε να αποφευχθεί μια πιθανή ψαθυρή

59 20 Κεφάλαιο 1. Αντισεισμικός σχεδιασμός κτηρίων οπλισμένου σκυροδέματος αστοχία. 3. Ελέγχονται οι μέγιστες σχετικές μετακινήσεις των ορόφων για την εξασφάλιση της λειτουργικότητας του κτιρίου. 4. Ελέγχονται οι μέγιστες ανελαστικές μετακινήσεις και γωνιακές παραμορφώσεις των ορόφων για την αποφυγή φαινομένων δευτέρας τάξης (φαινόμενα P ). Στο σχήμα 1.10 υπό μορφή διαγράμματος ροής (flow chart) περιγράφεται ο αντισεισμικός σχεδιασμός κατασκευών με την μέθοδο των δυνάμεων. Βλέπουμε πως ο έλεγχος των μετακινήσεων/βλαβών με τον συμβατικό αντισεισμικό σχεδιασμό με την μέθοδο των δυνάμεων (EC8 [2]) απαιτεί μια επαναληπτική διαδικασία, η οποία καταλήγει συνήθως σε μεγαλύτερες διατομές απο αυτές που προκύπτουν από τους ελέγχους αντοχής. F 3 m 3 K 3 F 2 m 2 K 2 Σεισμικές Δυνάμεις Ορόφων F 1 m 1 K 1 Τεμνουσα Βασης Σχήμα 1.9: Προσομοίωση δρώσας σεισμικής επιτάχυνσης ως στατικές δυνάμεις εφαρμοζόμενες στο κέντρο μάζας της κατασκευής Ως σεισμός σχεδιασμού θεωρείται η σεισμική δράση με πιθανότητα υπέρβασης 10% σε περίοδο διάρκειας 50 ετών, δηλαδή ένας σεισμός με μέση περίοδο επανάληψης τα 475 χρόνια. Επίσης όπως αναφέρθηκε απαιτείται και ο έλεγχος περιορισμού βλάβης σε μη φέροντα στοιχεία για έναν μικρότερο και πιο συχνό σεισμό που ορίζεται ως το 50% του σεισμού σχεδιασμού και με πιθανότητα υπέρβασης 50% σε περίοδο διάρκειας 50 ετών. Η τέμνουσα βάσης V b μπορεί να προκύψει απο το ανελαστικό φάσμα (το οποίο θα περιγραφεί στην συνέχεια) για την τιμή της πρώτης περιόδου T 1 ως εξής V b = m eff,1 S a,d (T 1 ) (1.6)

60 1.4. Η φιλοσοφία των σύγχρονων αντισεισμικών κανονισμών 21 Εκτίμηση διατομής μελών Ελαστικές δυνάμεις απο φάσμα επιταχύνσεων Επιλογή τάξης πλαστιμότητας και q Αλλαγή διατομών Υπολογισμός σεισμικών δυνάμεων Σχεδιασμός σημείων πλαστικών αρθρώσεων ΟΧΙ Ελεγχος αντοχών, ικανοποιείται? ΝΑΙ ΟΧΙ Ελεγχος μετακινήσεων, ικανοποιείται? ΝΑΙ Τέλος Σχήμα 1.10: Διαδικασία σχεδιασμού με τη μέθοδο των δυνάμεων όπου m eff,1 ειναι η ταλαντούμενη μάζα της 1 ης ιδιομορφής και S a,d ειναι η επιτάχυνση που προκύπτει από το φάσμα για την πρώτη ιδιοπερίοδο T 1 του συστήματος Φάσμα απόκρισης Το φάσμα απόκρισης (response spectrum), αποτελεί ένα εξαιρετικά σπουδαίο εργαλείο της αντισεισμικής μηχανικής όχι μόνο για την αξιολόγηση των καταγεγραμμένων δονήσεων, αλλά και για τον αντισεισμικό σχεδιασμό των κατασκευών με την μορφή των φασμάτων σχεδιασμού. Το φάσμα απόκρισης μέσω ενός ελαστικού μονο-βάθμιου ταλαντωτή με 5% απόσβεση είναι η πιο κοινή αναπαράσταση των σεισμικών δυνάμεων στους αντισεισμικούς κανονισμούς.

61 22 Κεφάλαιο 1. Αντισεισμικός σχεδιασμός κτηρίων οπλισμένου σκυροδέματος Παρατηρώντας ένα φάσμα (π.χ. Σχ. 1.11) μπορεί κανείς να διακρίνει πως σε πολύ δύσκαμπτους ταλαντωτές η μάζα κινείται όπως περίπου και το έδαφος ενώ σε πολύ μαλακούς ταλαντωτές η μάζα παραμένει σχεδόν σε ηρεμία. Επίσης μπορεί κανείς να καταλάβει ποιοι/ποιές ταλαντωτές/κατασκευές θα επηρεαστούν περισσότερο παρατηρώντας την ιδιοπερίοδο της κατασκευής πάνω στο φάσμα και την τεταγμένη της πάνω στην απόκριση. Σχήμα 1.11: Ελαστικό φάσμα επιταχύνσεων σχεδιασμού EC8 [2] Η πρώτη ιδέα για την προσομοίωση της σεισμικής διέγερσης από ένα φάσμα απόκρισης παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τον Suyehiro το 1926 [32] και ακολούθησαν μετά τα μέσα της δεκαετίας του 30 οι Benioff, Biot, Housner [33, 34]. Το φάσμα απόκρισης αποτελεί τη σύνοψη της μέγιστης απόκρισης όλων των πιθανών γραμμικών μονοβάθμιων συστημάτων που υπόκεινται σε μια συγκεκριμένη εδαφική σεισμική διέγερση. Μέσω του φάσματος απόκρισης επιτυγχάνεται η γραφική απεικόνιση της μέγιστης τιμής ενός μεγέθους απόκρισης ως συνάρτηση της ιδιοπεριόδου ταλάντωσης T n του συστήματος και είναι διαφορετικό για κάθε τιμή του λόγου απόσβεσης ξ. Αποτελεί επομένως τον πλέον πρακτικό τρόπο για την ανάπτυξη των απαιτήσεων των πλευρικών σεισμικών δυνάμεων στους κτιριακούς κανονισμούς. Το γεγονός ότι το φάσμα απόκρισης είναι άμεσα εξαρτώμενο από την εδαφική καταγραφή, καθώς σε μια γεωγραφική περιοχή υπάρχουν καταγραφές με διαφορετικά χαρακτηριστικά, οδήγησε στην δημιουργία ενός φάσματος που να είναι αντιπροσωπευτικό των εδαφικών κινήσεων που καταγράφηκαν στην περιοχή και να αποτελείται από ένα σύνολο από ομαλές καμπύλες ή μια σειρά από ευθείες γραμμές για κάθε τιμή της απόσβεσης. Οι παράγοντες που προσπαθεί κανείς να προσεγγίσει περιλαμβάνουν το μέγεθος του σεισμού, την απόσταση της περιοχής της καταγραφής από το γενεσιουργό ρήγμα, το μηχανισμό του ρήγματος, τη γεωλογία της διαδρομής που ακολουθούν τα σεισμικά κύματα από την πηγή στην περιοχή της καταγραφής και τις τοπικές εδαφικές συνθήκες της περιοχής. Ο Housner (1959) [35] αρχικά και έπειτα οι Newmark και Hall (1969) [36] ανάπτυξαν την ιδέα του ελαστικού φάσματος σχεδιασμού (π.χ. Σχ. 1.11). Στην περίπτωση λοιπόν που σχεδιάζεται μια κατασκευή σύμφωνα με τον Ευρωκώδικα 8 χρειάζεται να ληφθεί υπόψη το ελαστικό φάσμα σχεδιασμού που παρέχεται και ανάλογα με την ιδιοπερίοδο (T ) της κατασκευής και το έδαφος που χαρακτηρίζει την εκάστοτε περιοχή, να υπολογιστεί η ισοδύναμη σεισμική δύναμη που ενεργεί στην κατασκευή με στόχο την επιβολή της σε συνδυασμό με τα κατακό-

62 1.4. Η φιλοσοφία των σύγχρονων αντισεισμικών κανονισμών 23 ρυφα επιβαλλόμενα φορτία επάνω στην κατασκευή. Όμως, στην προκειμένη περίπτωση ο σχεδιασμός θα είχε ως αποτέλεσμα την ελαστική απόκριση της κατασκευής. Αυτό οδηγεί σε μη αξιοποίηση της δυνατότητας των μελών να απορροφούν υστερητική ενέργεια μέσω της μη γραμμικής παραμόρφωσης (ή πλάστιμης συμπεριφοράς) τους στις ζώνες που είναι ικανές να απορροφούν ενέργεια, το οποίο έχει αντίκτυπο στο τελικό οικονομικό κόστος της κατασκευής. Για την αξιοποίηση λοιπόν της ανελαστικής συμπεριφοράς των μελών και τον περιορισμό του οικονομικού κόστους κατασκευής, οι δυνάμεις σχεδιασμού πρέπει να προκύψουν με βάση το ανελαστικό φάσμα σχεδιασμού (π.χ. Σχ. 1.12). Με αυτό τον τρόπο, όταν επιβληθεί στην κατασκευή ο σεισμός σχεδιασμού, θα αποκριθεί ανελαστικά απαιτώντας μια συγκεκριμένη πλαστιμότητα. Όσο πιο έντονα τα μη γραμμικά φαινόμενα τόσο μεγαλύτερη και η απαιτούμενη πλαστιμότητα, άρα και η απαιτούμενη ακριβέστερη σχεδίαση και κατασκευή Ανελαστικό φάσμα Oι Veletsos και Newmark (1960) [37] μελέτησαν για πρώτη φορά την ανελαστική απόκριση μονοβάθμιων ελαστο-πλαστικών συστημάτων και κατέληξαν στην ανάπτυξη του ανελαστικού φάσματος απόκρισης. Τρεις σημαντικές ιδέες προέκυψαν: 1. Η ανάπτυξη του κανόνα ίσων μετακινήσεων και του κανόνα των ίσως ενεργειών που συνδέουν την μέγιστη μετακίνηση u m ενός ελαστο-πλατικού συστήματος, με την μετακίνηση διαρροής του u y και την μέγιστη μετακίνηση u o του αντίστοιχου ελαστικού συστήματος μέσω του συντελεστή πλαστιμότητας µ = u m /u y. Στην περίπτωση του κανόνα ίσων μετακινήσεων η μέγιστη μετακίνηση του ελαστοπλαστικού συστήματος ισούται με την μέγιστη μετακίνηση του αντίστοιχου ελαστικού συστήματος u m = u 0 και u y /u 0 = 1/µ = Q y /Q 0. Στην περίπτωση του κανόνα ίσων ενεργειών, ο οποίος εξισώνει την επιφάνεια κάτω από την καμπύλη δύναμης - μετακίνησης (Σχ. 1.13) του ελαστο-πλαστικού συστήματος με την επιφάνεια της κάτω από την αντίστοιχη καμπύλη του ελαστικού συστήματος, ισχύουν : u m = u 0 µ 2μ 1 και u y /u 0 = 1/ 2µ 1. Ο λόγος Q 0 /Q y = R y = q είναι γνωστός ως μειωτικός συντελεστής συμπεριφοράς. Στον αριθμητή βρίσκεται η μέγιστη δύναμη που αναπτύσσεται στο ελαστικό σύστημα λόγω της σεισμικής δράσης ενώ στο παρονομαστή βρίσκεται η δύναμη διαρροής του ελαστοπλαστικού συστήματος. Έτσι καταλήγουμε στην ισότητα µ = R y. 2. Ο δεύτερος λόγος της σπουδαιότητας της συγκεκριμένης εργασίας είναι η τραπεζοειδής απεικόνιση του φάσματος απόκρισης σε τριμερές λογαριθμικό χαρτί που το διακριτοποιεί σε τρεις περιοχές οι οποίες θα παίξουν καθοριστικό ρόλο για την ανάπτυξη του ανελαστικού φάσματος σχεδιασμού. 3. Παρατηρήθηκε πως για συστήματα με χαμηλή ιδιοπερίοδο, η μέγιστη μετακίνηση του ελαστοπλαστικού συστήματος είναι μεγαλύτερη από την μέγιστη μετακίνηση του ελαστικού. Η διερεύνηση της ανελαστικής απόκρισης μονοβάθμιων ελαστοπλαστικών συστημάτων και η σχέση

63 24 Κεφάλαιο 1. Αντισεισμικός σχεδιασμός κτηρίων οπλισμένου σκυροδέματος Σχήμα 1.12: Ανελαστικό φάσμα επιταχύνσεων σχεδιασμού EC8 [2] για q = 3.9 των παραμέτρων R y µ T n, είναι ένα θέμα που έχει απασχολήσει στο παρελθόν αρκετούς ερευνητές, ενώ έχει γίνει συνοπτική παρουσίαση από τους Chopra and Chintanapakdee (2004) [33], Miranda (1993) καθώς και Miranda and Bertero (1994) [38]. Στην εργασία τους οι Li Hyung Lee, Sang Whan Han και Young Hun Oh (1999) μελέτησαν την επιρροή διαφορετικών μοντέλων υστέρησης στην ανελαστική απόκριση μονοβάθμιων συστημάτων. Οι παραπάνω μελέτες οδήγησαν στην σταδιακή ανάπτυξη του ανελαστικού φάσματος σχεδιασμού στο οποίο στηρίζεται και όλη η μεθοδολογία αντισεισμικού σχεδιασμού με βάση τις δυνάμεις. Όμως οι Newmark και Hall (1969) [36] ήταν αυτοί που εδραίωσαν την έννοια του ανελαστικού φάσματος σχεδιασμού προτείνοντας πρώτοι σχέσεις για τον υπολογισμό της μέγιστης ανελαστικής απόκρισης με γνωστή την μέγιστη ελαστική απόκριση για τις εξής τρεις περιοχές της ιδιοπεριόδου: 1) περιοχή χαμηλών ιδιοπεριόδων 2) περιοχή μεσαίων ιδιοπεριόδων και 3) περιοχή υψηλών ιδιοπεριόδων. Το φάσμα του Ευρωκώδικα 8 [2] λαμβάνεται αναλογικά με την μέγιστη εδαφική επιτάχυνση και περιλαμβάνει τις εξής τρεις περιοχές [26]: 1. σταθερής ψευδο-επιτάχυνσης μεταξύ των περιόδων T b και T c 2. σταθερής ψευδο-ταχύτητας μεταξύ των περιόδων T c και T d 3. σταθερής μετατόπισης περιόδων μεγαλύτερης της T d Το ανελαστικό φάσμα σχεδιασμού προκύπτει διαιρώντας με την πλαστιμότητα µ τις τιμές της απόκρισης του ελαστικού φάσματος σχεδιασμού στις περιοχές όπου μπορεί να εφαρμοστεί ο κανόνας ίσων μετακινήσεων (περιοχές υψηλών ιδιοπεριόδων) και με (µ 1)1/2 τις τιμές της απόκρισης του ελαστικού φάσματος σχεδιασμού στις περιοχές όπου εφαρμόζεται ο κανόνας ίσων ενεργειών (περιοχές χαμηλών ιδιοπεριόδων).

64 1.4. Η φιλοσοφία των σύγχρονων αντισεισμικών κανονισμών 25 V el Ελαστική Δύναμη Τέμνουσα Βάσης, V V y V d Πραγματική Δύναμη Δύναμη Σχεδιασμού Δ u Δ y Πλαστιμότητα Υπεραντοχή = Vy / Vd Πραγματική Μείωση Δυνάμεων = Vel / Vy Συντελεσής Συμπεριφοράς Σχεδιασμού, q = Vel / Vd Δ y Δ u Μετακίνηση Οροφής, Δ Σχήμα 1.13: Δύναμη σχεδιασμού και συντελεστής συμπεριφοράς Μειωτικός συντελεστής συμπεριφοράς q Όπως φάνηκε στις προηγούμενες ενότητες ένα από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά για την ανάπτυξη του φάσματος σχεδιασμού είναι ο μειωτικός συντελεστής συμπεριφοράς q. Ο συντελεστής αυτός βασίζεται κυρίως στην ικανότητα της κατασκευής να αναπτύσσει ανελαστικές παραμορφώσεις, στην δυνατότητα απορρόφησης υστερητικής ενέργειας, στην υπεραντοχή της και στην ευστάθεια του φέροντα οργανισμού κατά την διέγερση υπό τη μέγιστη εδαφική κίνηση. Στην περίπτωση που εξετάζονται πολυβάθμια συστήματα ο συντελεστής συμπεριφοράς q αποτελεί την συσχέτιση της απαιτούμενης τέμνουσας βάσης σχεδιασμού με την απαιτούμενη αντοχή ενός μονοβάθμιου συστήματος ίσης ιδιοπεριόδου με το πολυβάθμιο σύστημα έτσι ώστε η μέγιστη πλαστιμότητα ορόφου του πολυβαθμίου να ισούται με την πλαστιμότητα μετακίνησης του μονοβαθμίου συστήματος. (Nassar and Krawinkler 1991 [39]). Στο παρελθόν έχουν γίνει αντίστοιχες προσπάθειες παρόμοιες με της παρούσας εργασίας με στόχο την σύνδεση του μειωτικού συντελεστή συμπεριφοράς με συγκεκριμένα επίπεδα επιτελεστικότητας του πολυβαθμίου συστήματος (Kappos 1999 [40], Mwafy and Elnashai 2002 [41], Karavasilis et al [42]).

65 26 Κεφάλαιο 1. Αντισεισμικός σχεδιασμός κτηρίων οπλισμένου σκυροδέματος Ο υπολογισμός των μετακινήσεων στους κανονισμούς βασίζεται στον κανόνα ίσων μετακινήσεων, ο οποίος υποθέτει ότι οι μέγιστες ανελαστικές μετακινήσεις είναι ίσες με αυτές της απεριόριστα ελαστικής κατασκευής. Γίνονται δηλαδή δύο παραδοχές, αυτή της επέκτασης της ισχύος του κανόνα ίσης μετακίνησης από τα μονοβάθμια στα πολυβάθμια συστήματα και αυτή της θεώρησης του σταθερού σχήματος της καθ ύψος κατανομής των μεγίστων μετακινήσεων, ανεξάρτητα από το αν η κατασκευή βρίσκεται στην ελαστική ή στην ανελαστική περιοχή απόκρισης. Όμως, αυτές οι δυο παραδοχές έχει αποδειχθεί σε παρελθοντικές εργασίες πως δεν ισχύουν, με αποτέλεσμα ο κανόνας ίσης μετακίνησης να υπερεκτιμά τις μέγιστες μετακινήσεις ενώ το παραμορφωμένο σχήμα της κατασκευής αλλάζει δραστικά καθώς αυτή εισέρχεται βαθύτερα στην ανελαστική περιοχή (Gupta and Krawinkler 2000 [43], Karavasilis et al [44, 45]). Στο σχήμα 1.13 παρουσιάζεται η πραγματική, η ιδεατή και η ελαστική απόκριση πολυβαθμίου συστήματος. Απεικονίζεται η πραγματική καμπύλη φορτίου μετακίνησης (ουσιαστικά αποτελεί την περιβάλλουσα της ανελαστικής απόκρισης), η ιδεατή-διγραμμική απλοποιημένη προσέγγιση καθώς και η ελαστική απόκριση ενός πολυβαθμίου συστήματος. Ο κατακόρυφος άξονας λαμβάνει τις τιμές της αναπτυσσόμενης μέγιστης τέμνουσας βάσης του συστήματος ενώ ο οριζόντιος παρέχει πληροφορίες για την μέγιστη μετακίνηση της κορυφής της κατασκευής, όπου: 1. δ u : είναι η μέγιστη ανελαστική μετακίνηση 2. V el, δ el : είναι η μέγιστη τέμνουσα βάσης και η μεγίστη μετακίνηση της κορυφής της κατασκευής, αντίστοιχα, αν υποθέσουμε πως η κατασκευή είναι πλήρως ελαστική 3. V y, δ y : είναι η τέμνουσα βάσης και η μετακίνηση της κορυφής της κατασκευής, αντίστοιχα, τη στιγμή της διαρροής του ισοδύναμου ιδεατού ελαστικού τέλεια πλαστικού συστήματος 4. V d, δ d : είναι η τέμνουσα βάσης σχεδιασμού και η αντίστοιχη μετακίνηση της κορυφής της κατασκευής Από αυτό το διάγραμμα απόκρισης (Σχ. 1.13) μπορούν να προκύψουν και οι ορισμοί των χαρακτηριστικών που περιγράφουν την ανελαστική απόκριση πολυβάθμιων συστημάτων (υπεραντοχή, συντελεστής συμπεριφοράς, πλαστιμότητα). Ο EC8 [2] χωρίζει τον συντελεστή συμπεριφοράς q ανάλογα με την κατηγορία πλαστιμότητα (υψηλή, μέση, χαμηλή), το είδος του συστήματος ανάλυψης δυνάμεων και την κανονικότητα του συστήματος. Η υπεραντοχή των υλικών και των μελών θεωρείται οτι αντιπροσωπεύει ένα q ίσο με 1.5 το οποίο είναι και η τιμή του που λαμβάνει το q για κτίρια χαμηλής κατηγορίας πλαστιμότητας. Για κτίρια κανονικά σε κάτοψη οι προεπιλεγμένες τιμές είναι 1. α u /α 1 = 1 για συστήματα τοιχωμάτων με μόνον δύο ασύζευκτα τοιχώματα σε κάθε οριζόντια διεύθυνση 2. α u /α 1 = 1.1 για μονώροφα κτίρια και άλλα συστήματα ασύζευκτων τοιχωμάτων

66 1.4. Η φιλοσοφία των σύγχρονων αντισεισμικών κανονισμών α u /α 1 = 1.2 για πολυώροφα δίστυλα παλισιωτά κτίρια και για ισοδύναμα προς τοιχώματα διπλά συστήματα 4. α u /α 1 = 1.3 για πολυώροφα πολύστυλα πλαισιωτά κτίρια ή ισοδύναμα προς αυτά διπλά συστήματα Συντελεστής πλαστιμότητας μ Ο συντελεστής πλαστιμότητας µ είναι ένας τρόπος έμμεσης ποσοτικοποίησης του ποσοστού της υστερητικής ενέργειας που μπορεί να απορροφήσει μια κατασκευή μέσω της ανελαστικής παραμόρφωσης των μελών της. Στην περίπτωση πολύ δύσκαμπτων συστημάτων η απαιτούμενη πλαστιμότητα για τη μείωση της μέγιστης δύναμης είναι πολύ μεγαλύτερη συγκρίνοντάς την με την αντίστοιχη απαιτούμενη πλαστιμότητα ενός εύκαμπτου συστήματος. Για να επιτευχθεί η απόσβεση της σεισμικής ενέργειας ώστε να μειωθεί η δύναμη στο επιθυμητό επίπεδο απαιτείται η ανάπτυξη μεγάλων ανελαστικών παραμορφώσεων που μόλις διαιρεθούν με την σχετικά μικρή δύναμη διαρροής οδηγούν σε υψηλές απαιτήσεις πλαστιμότητας. Η παραπάνω έκφραση της πλαστιμότητας αναφέρεται στο επίπεδο της κατασκευής και για αυτό εκφράζεται μέσω της συνολικής μετακίνησης του συστήματος (Εξ. 1.7). Όμως, η πλαστιμότητα μπορεί να υπολογιστεί μεμονωμένα και σε επίπεδο μέλους εξετάζοντας την ικανότητα της ανελαστικής παραμόρφωσης του, που εξαρτάται άμεσα από την διατομή και το υλικό του. Η πιο συχνή έκφραση της τοπικής, όπως αποκαλείται, πλαστιμότητας βασίζεται στην μέγιστη στροφή/καμπυλότητα μέλους και την στροφή/καμπυλότητα διαρροής (Εξ. 1.8 και 1.7) [25]. µ = y (1.7) µ θ = θ θ y (1.8) µ ϕ = ϕ ϕ y (1.9) Συντελεστής υπεραντοχής Ω Ο συντελεστής υπεραντοχής Ω προσπαθεί να εκτιμήσει την υπεραντοχή της κατασκευής που προέρχεται από την υπερστατικότητα του συστήματος, την δυνατότητα ανακατανομής των δυνάμεων μετά την πρώτη διαρροή (στον Ευρωκώδικα 8 παρουσιάζεται μέσω του λόγου της σεισμικής δράσης, που μετατρέπει το δομικό σύστημα σε πλαστικό μηχανισμό, προς αυτή που προκαλεί την πρώτη διαρροή οποιουδήποτε μέλους του δομικού συστήματος, a u /a 1 = 1.3), την αύξηση της αντοχής των υλικών κατά

67 28 Κεφάλαιο 1. Αντισεισμικός σχεδιασμός κτηρίων οπλισμένου σκυροδέματος την μη γραμμική τους παραμόρφωση (κράτυνση, strain-hardening) καθώς επίσης την διαφορά μεταξύ της πραγματικής αντοχής και της αντοχής σχεδιασμού των υλικών. Επίσης πιθανή πηγή υπεραντοχής είναι το γεγονός ότι η τελική επιλογή των αντοχών μπορεί να είναι διαφορετική από αυτή που καθορίζει ο έλεγχος των δυνάμεων λόγω της αυξημένης απαίτησης δυσκαμψίας για τη μείωση των φαινομένων δευτέρας τάξης και την αποφυγή βλαβών σε δευτερεύοντα μέλη. Οι απλοποιητικές παραδοχές που μπορεί να γίνουν κατά την προσομοίωση για την μείωση του υπολογιστικού κόστους κατά την ανάλυση, η συχνή παράλειψη της συνεισφοράς στην αντοχή των δευτερευόντων στοιχείων ακόμα και οι αρχιτεκτονικές απαιτήσεις που μπορεί να έχει μια κατασκευή, είναι δυνατό να συνεισφέρουν στην συνολική υπεραντοχή του συστήματος. Ο συντελεστής υπεραντοχής Ω ορίζεται στο σχήμα 1.13 και στον ΕC8 [2] Μειωτικός συντελεστής συμπεριφοράς με βάση την πλαστιμότητα Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, σε μονοβάθμια συστήματα η πλαστιμότητα συνδέεται άμεσα με τον μειωτικό συντελεστή συμπεριφοράς σύμφωνα πάντα με την περιοχή της ιδιοπεριόδου του συστήματος (equal displacement rule, equal energy rule). Επομένως βασιζόμενοι στην συγκεκριμένη θεώρηση, καθώς και στην υπόθεση ότι ο κανόνας ίσων μετακινήσεων ισχύει και στα πολυβάθμια συστήματα, μπορούμε να απομονώσουμε ένα ποσοστό του μειωτικού συντελεστή συμπεριφοράς πολυβάθμιων συστημάτων που βασίζεται στην πλαστιμότητα και μόνο του συστήματος. Ο μειωτικός συντελεστής συμπεριφοράς q για ένα πολυβάθμιο σύστημα μπορεί να εκφραστεί πλέον συνολικά ως το γινόμενο του συντελεστή υπεραντοχής Ω και του μειωτικού συντελεστή συμπεριφοράς q με βάση την πλαστιμότητα µ συμπεριλαμβάνοντας έτσι όλους τους παράγοντες που επιδρούν στην ανελαστική απόκριση του πολυβάθμιου συστήματος. µ ϕ = 2q o 1αν T c µ ϕ = 1 + 2(q o 1) T c T αν T c (1.10) όπου T η περίοδος ταλάντωσης του συστήματος, T c η περίοδος άνω ορίου του κλάδου σταθερής φασματικής επιτάχυνση και q o η βασική τιμή του συντελεστή συμπεριφοράς που εξαρτάται απο τον τύπο του συατικού συστήματος και από την κανονικότητα σε κάτοψη. Στην πράξη ο μειωτικός συντελεστής συμπεριφοράς q υπολογίζεται από τις παρακάτω μεθόδους (Mazzolani and Piluso 1996)[46] : 1. Δυναμικής ανελαστικής ανάλυσης 2. Θεωρίας του συντελεστή πλαστιμότητας 3. Ανελαστικής απόκρισης μονοβάθμιων συστημάτων 4. Ενεργειακές

68 1.5. Η προτεινόμενη μέθοδος αντισεισμικού σχεδιασμού Θεωρίας κόπωσης 1.5 Η προτεινόμενη μέθοδος αντισεισμικού σχεδιασμού Πολλοί ερευνητές έχουν μελετήσει τον συντελεστή συμπεριφοράς που χρησιμοποιείται στην μέθοδο των δυνάμεων και μερικοί έχουν επίσης προτείνει πιο εμπεριστατωμένες εκφράσεις για αυτόν τον συντελεστή απο τις απλές σταθερές τιμές που παρέχονται στον EC8 [2] και αναφέρονται μόνον στον τύπο της κατασκευής. Οι εκφράσεις αυτές ειναι συναρτήσεις των δυναμικών χαρακτηριστικών της κατασκευής (περίοδος, πλαστιμότητα, βλάβη) και έχουν προκύψει μετά από εκτεταμένες παραμετρικές μελέτες [2-8]. Η βλάβη και η παραμόρφωση είναι στενά συνδεδεμένα. Έτσι, ελέγχοντας την παραμόρφωση κατά την διαδικασία του αντισεισμικού σχεδιασμού ελέγχονται και οι βλάβες. Αυτή είναι και η βασική ιδέα του σχεδιασμού με βάση τις μετακινήσεις, ο οποίος λαμβάνει τις μετατοπίσεις ως τις κύριες παραμέτρους και έτσι ελέγχει την παραμόρφωση και κατά συνέπεια την βλάβη [53, 54, 55, 56, 57]. Αντισεισμικές μέθοδοι σχεδιασμού στηριζόμενες κατευθείαν στην βλάβη έχουν επίσης προταθεί [58, 59]. Κατά την διάρκεια των τελευταίων 15 ετών περίπου προέκυψε μια νέα φιλοσοφία αντισεισμικού σχεδιασμού, ο σχεδιασμός με βάση την επιτελεστικότητα, ο οποίος θεωρεί τρία ή τέσσερα επίπεδα σχεδιασμού, με το καθένα από αυτά να αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη σεισμική ένταση και συγκεκριμένες απαιτήσεις επίδοσης όσον αφορά την παραμόρφωση ή/και την βλάβη [23, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68]. Το μέρος 3 του EC8 [30] υιοθετεί πλήρως την φιλοσοφία σχεδιασμού με βάση την επιτελεστικότητα κατά την αποτίμηση των υφιστάμενων κτιρίων με τρία επίπεδα επιτελεστικότητας σε όρους στροφής χορδής, έτσι θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τον αντισεισμικό σχεδιασμό με βάση την επιτελεστικότητα όπως περιγράφεται στο [25]. Οι δύο κύριες αδυναμίες που έχουν διαπιστωθεί στον συντελεστή συμπεριφοράς που παρέχουν όλοι οι σύγχρονοι αντισεισμικοί κανονισμοί είναι: 1) δεν συνδέεται με τα δυναμικά χαρακτηριστικά της κατασκευής και 2) δεν μπορεί να ελέγξει την παραμόρφωση όπως απαιτείται στην φιλοσοφία του σχεδιασμού με βάση την επιτελεστικότητα. Οι Rivera and Petrini [69] έχουν μελετήσει την σεισμική απόκριση πλαισίων Ο/Σ που σχεδιάστηκαν κατά τον Ευρωκώδικα 8 και κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι αυτός ο κανονισμός ναι μεν μπορεί να οδηγήσει σε σχεδιασμό για επίπεδο επιτελεστικότητας ασφάλεια ζωής αλλά η απόδοση των κτιρίων ίδιου τύπου και ίδιας τάξης πλαστιμότητας μπορεί να είναι ιδιαίτερα ανομοιόμορφη. Σε αυτήν την εργασία προτείνεται μια μέθοδος αντισεισμικού σχεδιασμού επιπέδων κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος (Ο/Σ) στα πλάισια της οικείας μεθόδου σχεδιασμού με βάση τις δυνάμεις. Η βασική ιδέα της μεθόδου αυτής ειναι η κατασκευή εξαρτώμενων από την παραμόρφωση και την βλάβη ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k για τις πρώτες ιδιομορφές και 6 επίπεδα επιτελεστικότητας. Η έννοια αυτών των ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τους Papagiannopoulos and Beskos [70] σε σχέση με τον αντισεισμικό σχεδιασμό επιπέδων μεταλλικών

69 30 Κεφάλαιο 1. Αντισεισμικός σχεδιασμός κτηρίων οπλισμένου σκυροδέματος πλαισίων. Η έννοια αυτή επεκτείνεται εδώ για την περίπτωση του αντισεισμικού σχεδιασμού επιπέδων κατασκευών Ο/Σ σε μια πολύ πιο βελτιωμένη μορφή. Μια τέτοια επέκταση δεν είναι καθόλου απλή, δεδομένου ότι απαιτεί λεπτομερή και προηγμένη μοντελοποίηση της συμπεριφωράς του υλικού απο Ο/Σ, το οποίο συνήθως είναι πιο περίπλοκο από ότι εκείνο του χάλυβα. Επιπλέον, εδώ θεωρούνται πολύ περισσότερα πλαίσια και σεισμικές δράσεις από ότι στην εργασία των Papagiannopoulos and Beskos [70], όπου είχαν θεωρηθεί μόνο κοντινού πεδίου σεισμικές κινήσεις. Εδώ εξετάζονται συνολικά 76 πλαίσια κάτω από 100 κινήσεις μακρινού πεδίου που κατατάσονται ανά 25 στους τέσσερις τύπους εδαφών A, B, C και D του EC8 [2]. Τέλος, ενώ στο [70] οι ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς μπορεί να χρησιμοποιηθούν μόνο σε συνδυασμό με τα φάσματα απόλυτης επιτάχυνσης σχεδιασμού (τα οποία πρέπει να κατασκευάζονται από τον σχεδιαστή), σε αυτήν την εργασία οι συντελεστές αυτοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με το συμβατικό φάσματα σχεδιασμού ψευδό -επιταχύνσεων, το οποίο είναι οικείο στους μηχανικούς. 1.6 Η διάρθρωση της διατριβής Στην συνέχεια της παρούσας εργασίας ακολουθούν άλλα 9 κεφάλαια επί πλέον του παρόντος: 2ο Κεφάλαιο όπου αναφέρεται η μέθοδος της ισοδύναμης γραμμικοποίησης για αντικατάσταση της ανελαστικής κατασκευής με μια ισοδύναμη ελαστική κατασκευή. 3ο Κεφάλαιο όπου αναφέρεται η απόσβεση, η ταυτοποίηση και ο προσδιορισμός και προσομοίωση της απόσβεσης (κλασικής και μή κλασικής) στις κατασκευές. 4ο Κεφάλαιο όπου αναφέρεται ο προσδιορισμός ισοδύναμων λόγων ιδιομορφικής απόσβεσης. 5ο Κεφάλαιο όπου αναφέρεται ο προσδιορισμού ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς. 6ο Κεφάλαιο όπου αναφέρεται ο σχεδιασμός και η προσομοίωση των υπό εξέταση πλαισίων. 7ο Κεφάλαιο όπου γίνεται η παρουσίαση αποτελεσμάτων και προτεινόμενων σχέσεων ισοδύναμων λόγων ιδιομορφικής απόσβεσης. 8ο Κεφάλαιο όπου γίνεται η παρουσίαση αποτελεσμάτων και προτεινόμενων σχέσεων ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς. 9ο Κεφάλαιο όπου παρέχονται παραδείγματα εφαρμογής προτεινόμενης μεθόδου αντισεισμικού σχεδιασμού. 10ο Κεφάλαιο όπου αναφέρονται τα συμπεράσματα της παρούσας διατριβής.

70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η μέθοδος της ισοδύναμης γραμμικοποίησης 2.1 Εισαγωγή Ο πιο ακριβής τρόπος υπολογισμού της σεισμικής απόκρισης μια κατασκευής, είναι η δυναμική μη γραμμική ανάλυση στο πεδίο του χρόνου σε συνδυασμό με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων [71]. Ωστόσο αυτή η μέθοδος δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τις ανάγκες του σχεδιασμού όπου απαιτούνται αρκετές επαναλήψεις μέχρι τον τελικό καθορισμό της προς σχεδίαση κατασκευής, καθώς είναι δύσκολη στην εφαρμογή, απαιτεί πολύ καλή γνώση της μη γραμμικής προσομοίωσης των κατασκευών και είναι πολύ χρονοβόρα. Για τον σκοπό αυτό απαιτούνται εξειδικευμένα και προηγμένα λογισμικά (Sap 2000 [72], ETABS [73], Abaqus [74], OpenSees [75], Ruaumoko [76]), γνώση των καταστατικών σχέσεων των υλικών, καθώς και λεπτομερής προσομοίωση του φορέα. Επιπλέον τα αποτελέσματα της μη γραμμικής ανάλυσης στο πεδίο του χρόνου εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της σεισμικής διέγερσης με αποτέλεσμα να μην παρέχεται μεγάλη βεβαιότητα για την ασφάλεια του σχεδιασμού του κτιρίου με τον παραπάνω τρόπο παρόλο που χρησιμοποιούνται τρείς με πέντε σεισμοί. Για τους παραπάνω λόγους και μέχρι να αναπτυχθούν προγράμματα που θα κάνουν αυτόματα την παραπάνω διαδικασία, τις τελευταίες δεκαετίες η έρευνα στην επιστήμη του πολιτικού μηχανικού έχει επικεντρωθεί στην όσο το δυνατόν απλούστερη αποτίμηση της σεισμικής απόκρισης των κατασκευών υπό την προϋπόθεση ότι αυτή θα είναι συντηρητική για λόγους ασφάλειας. Έτσι απλούστερα γίνεται χρήση της στατική μη-γραμμικής ανάλυση για τον υπολογισμό των μέγιστων εντατικών μεγεθών και πλευρικών ανελαστικών μετακινήσεων. Άλλες απλούστερες μέθοδοι σε σχέση με την δυναμική μή-γραμμική μέθοδο είναι: 31

71 32 Κεφάλαιο 2. Η μέθοδος της ισοδύναμης γραμμικοποίησης 1. μέθοδος με χρήση του ανελαστικού ψεύδο-φάσματος επιταχύνσεων 2. μέθοδος της ισοδύναμης γραμμικοποίησης Στην πρώτη περίπτωση πραγματοποιείται ελαστική φασματική ανάλυση, χρησιμοποιώντας όμως το ανελαστικό φάσμα σχεδιασμού, θεωρώντας τα μη γραμμικά συστήματα ως γραμμικά με ίδιες τιμές δυσκαμψίας και μάζας. Η μέθοδος αυτή παρουσιάστηκε στο 1ό κεφάλαιο και είναι η βασική μέθοδος αντισεισμικού σχεδιασμού που κάνουν χρήση οι σύγχρονοι αντισεισμικοί κανονισμοί [2]. Στην δεύτερη περίπτωση γίνεται ο προσδιορισμός μίας υποκατάστατης γραμμικής (ελαστικής) κατασκευής η οποία διαθέτει τροποποιημένες ιδιότητες (μητρώο δυσκαμψίας και απόσβεση) σε σχέση με την αρχική μη γραμμική κατασκευή και η οποία είναι σε θέση να προσεγγίζει με υψηλή ακρίβεια την απόκριση της μη γραμμικής κατασκευής. Οι μέθοδοι της ισοδύναμης γραμμικοποίησης αποτελούν το αντικείμενο του παρόντος κεφαλαίου. 2.2 Ιστορική ανασκόπηση Jacobsen 1930 και 1960 Η ιδέα της ισοδύναμης γραμμικοποίησης (ισοδύναμου ελαστικού συστήματος) πρωτοπαρουσιάστηκε στην εργασία του Jacobsen το 1930 [77]. Η βασική ιδέα της εργασίας ήταν η αντικατάσταση της μη γραμμικής σχέσης δύναμης παραμόρφωσης του υλικού ενός μονοβάθμιου φορέα (2.1) με ιξώδη απόσβεση έτσι ώστε ο νέος φορέας να παραμένει ελαστικός αλλά σαφώς με υψηλότερη τιμή της ιξώδους απόσβεσης από την τιμή που είχε ο αρχικός φορέας. Το πλεονέκτημα ήταν ότι η ιξώδης απόσβεση ως ένα απλό μαθηματικό προσομοίωμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην προσομοίωση ενός φορέα και κατ επέκταση στις διαφορικές εξισώσεις κίνησης του φορέα. Έτσι για το μονοβάθμιο σύστημα του σχήματος 2.1 ισχύει η εξίσωση δυναμικής ισορροπίας m ẍ + c ẋ + k = F 0 sin(ω t) (2.1) όπου m είναι η μάζα του μονοβάθμιου ταλαντωτή, x είναι η μετακίνηση, ẋ είναι η ταχύτητα, ẍ είναι η επιτάχυνση, c είναι η απόσβεση, k είναι η δυσκαμψία και F 0 είναι το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης. Ο όρος της ισοδύναμης απόσβεσης υπολογίζεται με τέτοιο τρόπο ώστε ο μη γραμμικός μονοβάθμιος ταλαντωτής και το ισοδύναμο γραμμικό σύστημα καταναλώνουν την ίδια ποσότητα ενέργειας σε κάθε κύκλο της απόκρισης της ημιτονοειδούς φόρτισης. Η δυσκαμψία και για τα δύο συστήματα παραμένει ίδια. Ο ίδιος ερευνητής σε επόμενη εργασία του [78] επισημαίνει τα προβλήματα που παρουσιάστηκαν στην πρώτη του εργασία λόγο της αύξησης της ιδιοπεριόδου σε συστήματα που έχουν διαρρεύσει.

72 2.2. Ιστορική ανασκόπηση 33 x F o sin(ωt) m K,c Σχήμα 2.1: Μονοβάθμιος ταλαντωτής Έτσι στην περίπτωση που η μεταβολή της ιδιοπεριόδου θα πρέπει να ληφθεί υπόψη, η απόσβεση όσο και η περίοδος του συστήματος θα πρέπει να μεταβάλλονται προκειμένου να λάβουν υπόψη τους τις μη γραμμικότητες απορρόφησης ενέργειας. Επίσης στην περίπτωση που η δυσκαμψία του συστήματος αλλάζει θα πρέπει αντίστοιχα και η τιμή της κρίσιμης απόσβεσης c = 2 mk να αλλάζει Rosenblueth and Herrera 1964 Οι Rosenblueth and Herrera το 1964 [79] πρωτοπαρουσίασαν την τέμνουσα δυσκαμψία (Secant Stiffness) ως τρόπο προσομοίωσης της αύξησης της ιδιοπεριόδου κατά την βλάβη της κατασκευής. Έτσι η δυσκαμψία του αντίστοιχου γραμμικού συστήματος προσδιορίζεται από την γεωμετρία μίας ελαστοπλαστικής σχέσης δύναμης παραμόρφωσης και ισούται με την κλίση του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα άκρα του υστερητικού βρόγχου, Σχ P Py k xy xo x Σχήμα 2.2: Τέμνουσα δυσκαμψία σε ελαστοπλαστική σχέση δύναμης - παραμόρφωσης Η δυσκαμψία του ισοδύναμου γραμμικού συστήματος δίνεται από την σχέση

73 34 Κεφάλαιο 2. Η μέθοδος της ισοδύναμης γραμμικοποίησης k x0 = k x y x 0 (2.2) όπου x y η μετακίνηση στην διαρροή, x 0 η μέγιστη μετακίνηση του συστήματος, k η δυσκαμψία του αρχικού συστήματος και k(x 0 ) η εφαπτομενική δυσκαμψία στην θέση x 0. Ο λόγος ισοδύναμης απόσβεσης ξ xo υπολογίζεται εξισώνοντας την ενέργεια που εκλύεται σε κάθε κύκλο του γραμμικού συστήματος με αυτή που εκλύεται σε κάθε κύκλο φόρτισης του μη γραμμικού συστήματος, οπότε ξ x0 = 2 π ( 1 x y x 0 ) (2.3) Σε μία γενίκευση της προηγούμενης σχέσης και θεωρώντας ως πλαστιμότητα µ = x 0 x y και προσθέτοντας την αρχική απόσβεση που έχει το σύστημα που διαρρέει, η παραπάνω σχέση μπορεί να τροποποιηθεί και να λάβει την μορφή ξ eq = ξ π ( ) 1 µ (2.4) Η ισοδύναμη περίοδος δίνεται από την σχέση T eq = T 0 µ (2.5) όπου T 0 και ξ 0 είναι αντίστοιχα η περίοδος και απόσβεση του συστήματος πριν την διαρροή, ενώ µ είναι η πλαστιμότητα. Οι δύο τελευταίες εξισώσεις (2.4) και (2.5) γενικεύονται για την περίπτωση ενός διγραμμικού ελαστοπλαστικού προσομοιώματος θεωρώντας συντελεστή κράτυνσης (ποσοστό αρχικής δυσκαμψίας μετά την διαρροή, r) ως εξής: ξ eq = ξ π [ (1 r)(µ 1) ] µ r + rµ (2.6) µ T eq = T r + µ (2.7) Jennings 1968 Ο Jennings στην εργασία του [80] εξέτασε έξι διαφορετικές μεθόδους ισοδύναμης γραμμικοποίησης βασιζόμενος στην ιδέα του Jacobsen [77, 78] για την σταθερή απόκριση ενός συστήματος που διαρρέει. Κατά την άποψη του οι διαφορετικές μέθοδοι υπολογισμού της αύξησης της ιδιοπεριόδου κατά την

74 2.2. Ιστορική ανασκόπηση 35 διαρροή, είναι οι κύριοι λόγοι του διαφορετικού υπολογισμού της ιξώδους απόσβεσης. Ενώ η μάζα του συστήματος παραμένει ίδια, η απόσβεση και η δυσκαμψία πρέπει να προσδιοριστούν. Όπως και κατά τον Jacobsen έτσι και τώρα, η ισοδύναμη απόσβεση του γραμμικού συστήματος προκύπτει εξισώνοντας την ενέργεια που απελευθερώνεται σε κάθε κύκλο του αρχικού συστήματος με την ενέργεια του ισοδύναμου συστήματος. Η ενέργεια που απελευθερώνεται σε κάθε κύκλο για το μη γραμμικό σύστημα δίνεται απο την σχέση E p (x 0 ) = 4kx y (x 0 x y ) (2.8) Η τιμή της κρίσιμης απόσβεσης, του λόγου απόσβεσης και της ενέργειας που εκλύεται σε κάθε κύκλο είναι c x r(x 0 ) = 2 m(x 0 )k(x 0 ) (2.9) x(x 0 ) = c(x 0) c c r(x 0 (2.10) E p (x 0 ) = 2px(x 0 )k(x 0 )x 2 0 (2.11) Gulkan and Sozen 1974 Οι Gulkan and Sozen [81] μελέτησαν την απόκριση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος. Σύμφωνα με την εργασία τους η συμπεριφορά των κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος δεν μπορεί να περιγραφεί μόνο από την πλαστιμότητα µ αλλά επηρεάζεται επιπλέον από τους εξής δύο παράγοντες: i) την απομείωση της δυσκαμψίας και ii) την αύξηση της ικανότητας απορρόφησης ενέργειας. Δύο συστήματα με διαφορετικά υστερητικά μοντέλα που όμως έχουν την ίδια πλαστιμότητα µ, η οποία έχει υπολογιστεί από μία καμπύλη φορτίου παραμόρφωσης αστοχίας υπό αυξανόμενο φορτίο μέχρι την αστοχία (στατική υπερωθητική ανάλυση ή Push-Over), ενδεχόμενα μπορεί να επιδείξουν διαφορετική συμπεριφορά εάν τα δύο παραπάνω συστήματα υπόκεινται σε ανακυκλιζόμενη φόρτιση. Έτσι για μία δεδομένη αύξηση της ιδιοπεριόδου, το υστερητικό προσομοίωμα επηρεάζει την τιμή της ισοδύναμης απόσβεσης. Όσο η μετακίνηση αυξάνει λόγω της σεισμικής φόρτισης η δυσκαμψία μειώνεται ενώ η ικανότητα απορρόφησης ενέργειας αυξάνει. Όλες οι παραπάνω μέθοδοι χρησιμοποιούσαν αρμονικά φορτία, στην περίπτωση όμως σεισμικών καταγραφών που είναι πολυπλοκότερες φορτίσεις και προφανώς όχι αρμονικές, η απόκριση του συστήματος είναι επίσης περίπλοκη. Το συμπέρασμα της εργασίας αυτής ήταν πως η μέγιστη δυναμική απόκριση κατασκευών από οπλισμένο σκυρόδεμα όπως προσομοιώνεται μέσω μονοβάθμιων ταλαντωτών μπορεί να προσεγγιστεί μέσω ελαστικής ανάλυσης χρησιμοποιώντας μειωμένη δυσκαμψία (K eq )

75 36 Κεφάλαιο 2. Η μέθοδος της ισοδύναμης γραμμικοποίησης και ισοδύναμη απόσβεση (ξ eq ) τα οποία να σχετίζονται με τις υστερητικές ιδιότητες του σκυροδέματος. Βασισμένοι σε πειράματα που πραγματοποιήθηκαν σε σεισμική τράπεζα υπό τεχνητή σεισμική φόρτιση, πρότειναν μία άλλη τιμή της ισοδύναμης απόσβεσης βασισμένοι στην σχέση του Jacobsen [77, 78] αλλά χρησιμοποιώντας το προσομοίωμα Takeda et al. [9] με μειούμενη δυσκαμψία κατά την αποφόρτιση. Η ευθεία Α-C του Σχ. 2.3 παριστάνει την τέμνουσα δυσκαμψία του γραμμικού συστήματος. Λαμβάνοντας υπόψη τους την συμμετρία του κύκλου φόρτισης και σύμφωνα με την θεώρηση του Jacobsen [77, 78] ο ισοδύναμος λόγος απόσβεσης υπολογίζεται εξισώνοντας το εμβαδόν της περιοχής ACG (ενέργεια που απορροφά το μη γραμμικό σύστημα) με το εμβαδόν της περιοχής ACO (ενέργεια που απορροφάται από το γραμμικό σύστημα). Έτσι προκύπτει ( ξ eq = ξ ) µ (2.12) Η Εξ. (2.12) είναι προφανώς προσεγγιστική και δεν εκφράζει την ακριβή ποσότητα της απόσβεσης. P B C,F k k(1/μ) α E A G O x D Σχήμα 2.3: Προσομοίωμα Takeda, απόκριση δύναμης-μετακίνησης Shibata and Sozen 1976 Οι Shibata and Sozen [82] πρότειναν την μέθοδο της υποκατάστατης κατασκευής ως ένα σχεδιαστικό εργαλείο το οποίο θα δίνει την δυνατότητα στους μηχανικούς να υπολογίζουν την ελάχιστη δύναμη που απαιτείται για κάθε ένα από τα δομικά μέλη έτσι ώστε να μην υπερβαίνουν τις επιτρεπόμενες μετακινήσεις. Η εργασία τους βασίζεται στην εργασία των Gulkan and Sozen [81] όπου ανέλυσαν μονοβάθμια συστήματα τα οποία μπορούσαν να υποκαταστήσουν τα αντίστοιχα πολυβάθμια μη γραμμικά συστήματα. Η μέθοδος της υποκατάστατης κατασκευής συνδέει την καμπτική δυσκαμψία του υποκατάστατου στοιχείου με το πραγματικό στοιχείο μέσω της πλαστιμότητας ως (ES) si = (EI) αi µ i (2.13)

76 2.2. Ιστορική ανασκόπηση 37 όπου (ES) si και (EI) ai είναι η καμπτική δυσκαμψία διατομής του υποκατάστατου στοιχείου i και του πραγματικού στοιχείου αντίστοιχα, και µ i είναι η επιλεγμένη βλάβη για το στοιχείο i. Η ανελαστική σεισμική απόκριση ενός μονοβάθμιου συστήματος μπορεί να υπολογιστεί από την ανάλυση ενός ισοδύναμου ελαστικού προσομοιώματος με μειωμένη δυσκαμψία και με έναν υποκατάστατο συντελεστή απόσβεσης ο οποίος σχετίζεται με την βλάβη ως [ ( 1 )] β s = (µ i ) (2.14) όπου β s είναι ο υποκατάστατος συντελεστής απόσβεσης και µ i είναι ο λόγος βλάβης Shimazaki and Sozen 1984 Οι Shimazaki and Sozen [83] βρήκαν ότι η μέγιστη μη γραμμική μετακίνηση δεν επηρεάζεται από την τέμνουσα βάσης της κατασκευής για συστήματα με θεμελιώδη ιδιοπερίοδο μεγαλύτερη από την χαρακτηριστική περίοδο, T g, η οποία προσδιορίζεται σε ένα φάσμα απόκρισης εκεί που τελειώνει η περιοχή της σταθερής επιτάχυνσης. Για ένα ιδεατό γραμμικό φάσμα επιτάχυνσης ενός μονοβάθμιου ταλαντωτή η T g ορίζεται από τις σχέσεις S α = P GAgA α T < T g (2.15) S α = P GAgA α (T g /T )T > T g (2.16) Βρήκαν μία απλή σχέση μεταξύ της μέγιστης μετακίνησης και της ιδιοπεριόδου του γραμμικού συστήματος μέσω μίας ιδεατής απόκρισης της μετακίνησης ενός συστήματος με ισοδύναμη περίοδο που δίνεται από την σχέση T eff = 2T i (2.17) όπου T i είναι η αρχική περίοδος που αντιστοιχεί σε αρηγμάτωτη διατομή. Η ανελαστική μετακίνηση μπορεί να υπολογιστεί ως η γραμμική απόκριση ενός συστήματος με περίοδο T eff. Αυτή η μέθοδος δίνει ένα λογικό πάνω όριο για την απόκριση της μετακίνησης για κατασκευές που έχουν ιδιοπεριόδους μεγαλύτερες από T g Iwan and Gates Οι Iwan and Gates [84, 85, 86] χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα 12 σεισμικών καταγραφών προσάρμοσαν εμπειρικές σχέσεις ισοδύναμης απόσβεσης και αύξησης της ιδιοπεριόδου ενός ισοδύναμου

77 38 Κεφάλαιο 2. Η μέθοδος της ισοδύναμης γραμμικοποίησης γραμμικού συστήματος. Χρησιμοποίησαν έξι διαφορετικά υστερητικά μοντέλα για τις ανελαστικές τους αναλύσεις. Η εξίσωση κίνησης του μονοβάθμιου υστερητικού ταλαντωτή είναι της μορφής ẍ + 2ξ 0 ω 0 ẋ + kω 2 0f[x(t)]/k 0 = α(t) (2.18) όπου x είναι η γενικευμένη μετακίνηση, ξ 0 είναι ο λόγος ιξώδους απόσβεσης, ω 0 είναι η φυσική συχνότητα, f[x(t)] είναι η δύναμη επαναφοράς του συστήματος, k 0 είναι η ονομαστική δυσκαμψία και α(t) η εξωτερική φόρτιση. Η ονομαστική περίοδος είναι T 0 = 2π/ω 0. Η δύναμη επαναφοράς του συστήματος αποτελείται από μία επιλογή γραμμικών ελαστικών και στοιχείων ολίσθησης Coulomb. Η δύναμη υπολογίζεται ως συνδυασμός τριών διαφορετικών τύπων των παραπάνω στοιχείων, τα οποία διακρίνονται σε 3 κατηγορίες: i) ελαστικό στοιχείο, ii) ελαστοπλαστικό στοιχείο και iii) στοιχείο με απομείωση δυσκαμψίας. Ο συνδυασμός των παραπάνω στοιχείων έχει ως αποτέλεσμα την κατασκευή των 6 υστερητικών προσομοιωμάτων που χρησιμοποιήθηκαν για τις ανελαστικές αναλύσεις. Στην συνέχεια υπολογίστηκαν οι μέγιστες μετακινήσεις από την ανάλυση συναρτήσει της πλαστιμότητας. Κατασκευάστηκαν ανελαστικά φάσματα απόκρισης μετακινήσεων για κάθε υστερητικό προσομοίωμα και για κάθε σεισμό ως συνάρτηση της πλαστιμότητας µ = x m /x y. Τα ανελαστικά φάσματα κατασκευάστηκαν για πλαστιμότητες 2, 4 και 8, θεωρώντας 9 ονομαστικές ιδιοπεριόδους T 0 = 0.4, 0.5, 0.6, 0.8, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0, 4.0. Παρατήρησαν ότι μετατρέποντας το φάσμα μετατοπίσεων σε ένα κανονικοποιημένο φάσμα ψευδοταχυτήτων (PSV), το σχήμα του ανελαστικού φάσματος για μία συγκεκριμένη τιμή πλαστιμότητας θυμίζει το φάσμα που θα είχε το ελαστικό σύστημα εάν αυτό ήθελε τροποποιηθεί μέσω κάποιου κατάλληλου συντελεστή. Συμπέραναν ότι ήταν εύκολο να βρουν την καλύτερη πρόβλεψη της ανελαστικής απόκρισης μέσω σωστού υπολογισμού της ιδιοπεριόδου και της απόσβεσης του ισοδύναμου γραμμικού συστήματος. Οι σχέσεις της ισοδύναμης ιδιοπεριόδου και ισοδύναμου λόγου ιδιομορφικής απόσβεσης που προσαρμόζονται καλύτερα σε όλες τις ανελαστικές αναλύσεις που πραγματοποιήθηκαν είναι οι εξής T eq = T 0 [ (µ 1) ] (2.19) ξ eq = ξ (µ 1) (2.20) Kowalsky et. al Οι Kowalsky et al. [3, 4] χρησιμοποίησαν την τέμνουσα δυσκαμψία στην μέγιστη παραμόρφωση για να προσδιορίσουν την αύξηση της ιδιοπεριόδου, όπως οι Rosenblueth and Herrera [79] και Gulkan and Sozen [81], χρησιμοποιώντας το υστερητικό προσομοίωμα των Takeda et al. [9] για την απομείωση της δυσκαμψίας. Βασιζόμενοι στην προσέγγιση του Jacobsen [77, 78] υπολόγισαν την ισοδύναμη απόσβεση εξισώνοντας την ενέργεια που διαχέεται σε έναν κύκλο φόρτισης στο μη γραμμικό σύστημα

78 2.2. Ιστορική ανασκόπηση 39 με την ενέργεια που αποθηκεύεται στο ισοδύναμο γραμμικό σύστημα στον ίδιο κύκλο φόρτισης για την περίπτωση ημιτονοειδούς φόρτισης. P A2 rko ko keff x A1 Σχήμα 2.4: Υπολογισμός ισοδύναμης απόσβεσης κατα Kowalsky et al. [3, 4] Η ισοδύναμη περίοδος δίνεται από την σχέση µ T eq = T α + αµ (2.21) όπου µ είναι η πλαστιμότητα, T 0 η αρχική περίοδος, µ η πλαστιμότητα και α είναι η κλίση του κλάδου αποφόρτισης του προσομοιώματος Takeda. Η ισοδύναμη απόσβεση δίνεται από την σχέση ξ eq = 2 π A 1 A 2 (2.22) όπου A 1 είναι το εμβαδόν της περιοχής του μη γραμμικού υστερητικού βρόγχου και A 2 είναι το εμβαδόν της περιοχής του άκαμπτου - τέλεια πλαστικού βρόγχου όπως φαίνεται στο Σχ Για την περίπτωση σεισμικής φόρτισης και υστερητικού προσομοιώματος Takeda [9], με συντελεστή κράτυνσης r, αρχική δυσκαμψία k 0 και συντελεστή απομείωσης δυσκαμψίας α = 0.5 (Σχ. 2.3), η ισοδύναμη απόσβεση έχει την μορφή 1 ( ξ eq = ξ r π µ 0.5 rµ0.5) (2.23) Παρόλο που η ενέργεια που απορροφάται σε κάθε βρόχο του υστερητικού προσομοιώματος Takeda [9] αλλάζει σε κάθε κύκλο, μετά από αρκετούς κύκλους, το σχήμα του βρόγχου σταθεροποιείται απορροφώντας λιγότερη ενέργεια συγκριτικά με τον αρχικό κύκλο.

79 40 Κεφάλαιο 2. Η μέθοδος της ισοδύναμης γραμμικοποίησης Miranda and Ruiz - Garcia 2002 Οι Miranda and Ruiz-Garcia [87] έλεγξαν τέσσερις μεθόδους ισοδύναμης γραμμικοποίησης και υπολόγισαν την μέγιστη ανελαστική μετακίνηση μονοβάθμιων ταλαντωτών. Επιπλέον έλεγξαν και δύο μεθόδους στις οποίες η μέγιστη ανελαστική μετακίνηση υπολογίζεται ως γινόμενο της μέγιστης παραμόρφωσης ενός ελαστικού γραμμικού συστήματος και ενός πολλαπλασιαστικού συντελεστή. Για λόγους συμβατότητας οι παραπάνω επανεκτιμήσεις χρησιμοποιούν την ίδια πλευρική δυσκαμψία και τον ίδιο συντελεστή απόσβεσης όπως και στο ανελαστικό σύστημα για το οποίο υπολογίζεται η μέγιστη μετακίνηση. Οι μέθοδοι ισοδύναμης γραμμικοποίησης που εξέτασαν είναι: 1. Περίπτωση αρμονικής (ημιτονοειδούς) φόρτισης, Rosenblueth and Herrera, 1964 [79] 2. Μέθοδος ισοδύναμης γραμμικοποίησης χρησιμοποιώντας το προσομοίωμα Takeda [9] και Gulkan and Sozen, 1974 [81] 3. Μέθοδος ισοδύναμης ιδιοπεριόδου του Iwan, 1980 [86] 4. Μέθοδος βασιζόμενη στον σχεδιασμό με βάση την μετακίνηση χρησιμοποιώντας την τέμνουσα δυσκαμψία Kowalsky, 1994 [3, 4] και επιπλέον έλεγξαν τις ακόλουθες δύο μεθόδους: 1. Μέθοδος [Newmark and Hall, 1982] [88] όπου ο πολλαπλασιαστικός συντελεστής μετακίνησης ποικίλει ανάλογα με την περιοχή του φάσματος 2. Μέθοδος εναλλακτικού τρόπου υπολογισμού του πολλαπλασιαστικού συντελεστή μετακίνησης όπως υπολογίζεται στην εργασία του Miranda, 2000 [89] Aκολούθως συνέκριναν τα ακριβή αποτελέσματα που προκύπτουν από ανελαστικές δυναμικές αναλύσεις και τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τις τέσσερις προσεγγιστικές μεθόδους που αναφέρθηκαν. Τα υστερητικά μοντέλα που χρησιμοποιήθηκαν στην εργασία τους είναι: i) Ελαστοπλαστικό προσομοίωμα, ii) προσομοίωμα με τροποποιημένη δυσκαμψία των Clough and Johnston, 1996 [90] και iii) το προσομοίωμα Takeda, 1970 [9]. Η μετελαστική δυσκαμψία θεωρήθηκε μηδενική για όλα τα προσομοιώματα ενώ ο λόγος απόσβεσης λήφθηκε ίσος με 5%. Στην εργασία των Miranda and Ruiz-Garcia [87] εξετάστηκαν 50 διαφορετικά συστήματα με ιδιοπεριόδους μεταξύ 0.05 sec και 3 sec σε σύνολο 264 σεισμικών καταγραφών που έχουν καταγραφεί στην περιοχή της California για 12 διαφορετικούς σεισμούς. Οι Miranda and Ruiz-Garcia [87] κατέληξαν ότι οι Rosenblueth and Herrera [79] υποτιμούν σημαντικά την μέγιστη ανελαστική μετακίνηση για τα 3 υστερητικά προσομοιώματα που χρησιμοποιήθηκαν στην εργασία. Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι

80 2.2. Ιστορική ανασκόπηση 41 γιατί οι Rosenblueth and Herrera [79] είχουν χρησιμοποιήσει ελαστο-πλαστικό υστερητικό προσομοίωμα και ημιτονοειδή φόρτιση αντί για σεισμική καταγραφή. Ετσι οι κανονικοποιημένοι λόγοι ιξώδους απόσβεσης, δηλαδή το γινόμενο του ισοδύναμου λόγου απόσβεσης με τον λόγο αρχικής δυσκαμψίας προς ισοδύναμη δυσκαμψία, εμφανίζουν υψηλότερες τιμές για την μέθοδο Rosenblueth and Herrera [79]. Αντιθέτως οι τρείς υπόλοιπες μέθοδοι έχουν χρησιμοποιήσει υστερητικά μοντέλα που περιλαμβάνουν την απομείωση της δυσκαμψίας (πχ Takeda [9]) και πραγματικές σεισμικές καταγραφές. Οι μικρότεροι κανονικοποιήμένοι ισοδύναμοι λόγοι ιξώδους απόσβεσης έχουν προκύψει από τους Gulkan and Sozen [81] ενώ οι τιμές που προκύπτουν από τους Iwan and Gates [84, 85] και Kowalsky et al. [3, 4] παρουσιάζουν παραπλήσιες μεταξύ τους τιμές. Στις μεθόδους των Gulkan and Sozen [81], Iwan and Gates [84, 85], Kowalsky et al.[3, 4] το μέσο σφάλμα που αφορά στην μέγιστη ανελαστική απόκριση αυξάνει όσο αυξάνει η τιμή της πλαστιμότητας και μειώνεται η τιμή της ιδιοπεριόδου. Ακριβέστερα και πιο κοντινά αποτελέσματα με την ανελαστική δυναμική απόκριση ενός μονοβάθμιου συστήματος εμφανίζονται στις ενδιάμεσες και μεγάλες περιοχές περιόδων. Στην περιοχή των μικρών τιμών της ιδιοπεριόδου, οι Gulkan and Sozen [81] και Kowalsky et al.[3, 4] υποτιμούν σημαντικά την μέγιστη μετακίνηση ενώ οι Iwan and Gates [84, 85] δίνουν καλύτερα αποτελέσματα. Το συμπέρασμα τους είναι ότι παρά το μικρό μέσο λάθος, η απόκλιση των αποτελεσμάτων σε μερικές περιπτώσεις ενδέχεται να είναι σημαντική και ιδιαίτερα στις μεγάλες τιμές της πλαστιμότητας Iwan and Guyader 2002 Οι Iwan and Guyader, 2002 [91] τροποποίησαν τις σχέσεις που προτάθηκαν από τους Iwan and Gates, 1979 [84] και ανέπτυξαν νέες εκφράσεις για τον υπολογισμό της μέγιστης παραμόρφωσης ενός ανελαστικού μονοβάθμιου συστήματος. Οι νέες εξισώσεις βασίζονται στην πλαστιμότητα για να εκτιμηθεί η μετατόπιση της ιδιοπεριόδου και ο ισοδύναμος λόγος απόσβεσης ως εξής: (T eq /T ) = (µ 1) (µ 1) 3 (2.24) ξ eq = ξ (µ 1) (µ 1) 3 (2.25) (T eq /T ) = (µ 1) (2.26) ξ eq = ξ (µ 1) (2.27) Στις ανωτέρω εξισώσεις ο λόγος T c /T 0 αναπαριστά μία μεταβολή της ιδιοπεριόδου, ξ e είναι η ενεργός ιξώδης απόσβεση, ξ 0 είναι η αρχικός λόγος απόσβεσης του συστήματος και µ είναι η πλαστιμότητα

81 42 Κεφάλαιο 2. Η μέθοδος της ισοδύναμης γραμμικοποίησης που προσδιορίζεται ως ο λόγος της μέγιστης μετακίνησης προς την μετακίνηση διαρροής. Η μέθοδος αυτή λαμβάνει υπόψη της τα φαινόμενα των υψηλών επιπέδων πλαστιμοτήτων στην περίοδο και στην απόσβεση και δίνει πολύ ακριβή αποτελέσματα για κατασκευές με ιδιοπεριόδους μεγαλύτερες από 0.5 sec Dairi and Kowalsky 2004 Οι Kowalsky and Dwairi [92] διερεύνησαν την ακρίβεια του ισοδύναμου λόγου ιξώδους απόσβεσης, όπως ορίστηκε από τον Jacobsen [77], και την εφαρμογή του σε πραγματικές σεισμικές καταγραφές χρησιμοποιώντας τα υστερητικά μοντέλα των Takeda et al., 1970 [9] και Ring - Spring (Hill, 1968 [93]) (Σχ. 2.5). Οι υπολογισμοί της πλαστιμότητας μετακίνησης και του ισοδύναμου λόγου απόσβεσης έγιναν χρησιμοποιώντας την λογική του Jacobsen [77]. P rk r 1 k k r 2 k x Σχήμα 2.5: Προσομοίωμα απόκρισης δύναμης-μετακίνησης Ring-Spring Χρησιμοποιώντας το προσομοίωμα Takeda [9], οι Dairi and Kowalsky [94] θεώρησαν δύο διαφορετικές ακραίες περιπτώσεις του προσομοιώματος. Η μία αφορούσε μεγάλο βρόχο υστέρησης (fat Takeda) ενώ η άλλη περίπτωση αφορούσε μικρό βρόχο υστέρησης (thin Takeda). Αυτό δεν έγινε με το προσομοίωμα Ring-Spring όπου μόνο ο μεγαλύτερος βρόγχος υστέρησης λήφθηκε υπόψη. Παρατηρήθηκε ότι για δύο σεισμούς με αρκετά διαφορετικά φάσματα απόκρισης εμφανίζεται μεγάλη απόκλιση αποτελεσμάτων για τα τρία ανωτέρω υστερητικά μοντέλα. Η μεγαλύτερη απόκλιση εμφανίζεται στην περιοχή των χαμηλών περιόδων όπου το σύστημα ταλαντώνεται γύρω από την φυσική του συχνότητα, ενώ μικρότερη απόκλιση παρατηρείται στην περιοχή των μεγάλων περιόδων όπου το σύστημα ταλαντώνεται υπό την συχνότητα φόρτισης. Σύμφωνα με τα παραπάνω, οι Dairi and Kowalsky [94] διαπίστωσαν ότι η θεώρηση του Jacobsen [77, 78] επηρεάζεται τόσο από τα χαρακτηριστικά της σεισμικής καταγραφής όσο και από την τιμή της πλαστιμότητας αλλά και την συχνότητα του συστήματος που ταλαντώνεται. Η απόκλιση αυτή εκτιμήθηκε χρησιμοποιώντας έναν μεγάλο όγκο αποτελεσμάτων που προήλθε από ανελαστικές αναλύσεις 50 ταλαντωτών με ιδιοπεριόδους από 0.1 έως 5 sec για 100 σεισμικές καταγραφές.

82 2.2. Ιστορική ανασκόπηση 43 Οι Dairi and Kowalsky [94] κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι τα υστερητικά προσομοιώματα με χαμηλά επίπεδα υστερητικής απόσβεσης, δηλαδή το Takeda με τον μικρό υστερητικό βρόχο, δίνουν καλύτερα αποτελέσματα πράγμα που σημαίνει ότι η απόσβεση που υπολογίζεται με την θεώρηση του Jacobsen [77, 78] υπερεκτιμά την απόσβεση και κατά συνέπεια υποεκτιμά τις πραγματικές μετακινήσεις. Έτσι προκύπτει το συμπέρασμα ότι θα μπορούσε να εισαχθεί ένας μειωτικός συντελεστής ο οποίος θα μειώνει την υπολογιζόμενη ισοδύναμη απόσβεση Blandon and Priestley 2005 Οι Blandon and Priestley, 2005 [95] συνέκριναν τους ισοδύναμους λόγους ιδιομορφικής απόσβεσης για σταθερή αρμονική απόκριση, όπως υπολογίζεται από τον Jacobsen [77, 78], με τους ενεργούς λόγους απόσβεσης που προκύπτουν από μία επαναληπτική διαδικασία πραγματοποιώντας ανελαστικές αναλύσεις χρονοϊστορίας για μονοβάθμια συστήματα. Τα προσομοιώματα που χρησιμοποίησαν ήταν ένα ελαστοπλαστικό, ένα διγραμμικό, το προσομοιώμα του Takeda, του Ramberg Osgood και το προσομοίωμα Ring - Spring (Σχ. 2.5). Οι ανελαστικές αναλύσεις πραγματοποιήθηκαν με 6 τεχνητά επιταχυνσιογραφήματα συμβατά με το φάσμα σχεδιασμού του ATC 32, 2003 [96]. Οι συγγραφείς κατέληξαν ότι η θεώρηση του Jacobsen [77, 78] υπερεκτιμά τις τιμές της ισοδύναμης ιξώδους απόσβεσης και για το λόγο αυτόν πρότειναν την διαφοροποιημένη εξίσωση ξ eq = α π (1 1 )( 1 ) 1 µ b 1 + (T + c) d N (2.28) όπου τα a και d είναι σταθερές διαφορετικές ανάλογα με το υστερητικό προσομοίωμα που έχει χρησιμοποιηθεί, µ είναι η πλαστιμότητα, T είναι η ενεργός περίοδος και N είναι ένας συντελεστής. Οι συντελεστές N προέκυψαν μέσω ρύθμισης έτσι ώστε οι μέγιστες ανελαστικές μετακινήσεις για ένα μονοβάθμιο σύστημα και δεδομένο επίπεδο πλαστιμότητας να προσεγγίζονται από την μέγιστη μετακίνηση ενός ισοδύναμου ελαστικού συστήματος το οποίο έχει την ίδια περίοδο και κατάλληλη τιμή ισοδύναμης απόσβεσης. Κατασκευάστηκαν 8 διαφορετικοί μονοβάθμιοι ταλαντωτές με ιδιοπεριόδους από 0.5 sec έως 4 sec και έγιναν αναλύσεις για 5 διαφορετικά επίπεδα πλαστιμότητας με έξι τεχνητά επιταχυνσιογραφήματα. Ευρέθηκε ότι οι περισσότερες μέθοδοι προσεγγίζουν τον ισοδύναμο λόγο ιδιομορφικής απόσβεσης μέσω της θεώρησης σταθερής απόκρισης ημιτονοειδούς φόρτισης εξισώνοντας το έργο που καταναλώνεται σε έναν κύκλο φόρτισης με το έργο του ισοδύναμου ελαστικού συστήματος. Η ενέργεια που απορροφάται από το σύστημα υπολογίζεται μέσω του κύκλου που αντιστοιχεί στην μέγιστη παραμόρφωση του συστήματος. Στην περίπτωση που η φόρτιση είναι μία σεισμική καταγραφή η θεώρηση αυτή υπερεκτιμά την ποσότητα της ισοδύναμης απόσβεσης (ξ eq ). Η ισοδύναμη απόσβεση υπολογίζεται με βάση την ενέργεια που αντιστοιχεί σε ένα κύκλο φόρτισης που αντιστοιχεί στην μέγιστη παραμόρφωση. Όμως κατά τη διάρκεια της σεισμικής φόρτισης οι κύκλοι παραμόρφωσης είναι πολύ μικρότεροι από τον κύκλο της μέγιστης απόκρισης του συστήματος που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της ισοδύναμης απόσβεσης.

83 44 Κεφάλαιο 2. Η μέθοδος της ισοδύναμης γραμμικοποίησης Ramirez, Constantinou, Gomez, Whittaker, Chrysostomou 2002 Οι Ramirez et, al, 2002 [5, 6] επέκτειναν την εργασία του Tsopelas, 1997 [97] ώστε να συμπεριλάβουν μη γραμμικά ιξώδη και υστερητικά αποσβεστικά συστήματα. Η μελέτη επικεντρώνεται κυρίως στο να εκτιμήσει την ακρίβεια των απλουστευτικών αναλυτικών μεθόδων που περιγράφονται στο National Earthquake Hazard Reduction Program Provisions (NEHRP, 2000 [24]). Χρησιμοποίησαν 20 μακρινού πεδίου (far fault) οριζόντιες καταγραφές (κατά την δ/νση x και y) από 10 διαφορετικούς σεισμούς και τα δύο υστερητικά προσομοιώματα των σχημάτων 2.6 και 2.7. Σχήμα 2.6: 1ο υστεριτικό προσομοίωμα Ramirez et, al. [5, 6] Σχήμα 2.7: 2ο υστεριτικό προσομοίωμα Ramirez et, al. [5, 6] Η μη - γραμμική απόκριση ενός μονοβάθμιου ταλαντωτή με μηχανισμό απόσβεσης προκύπτει από την αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης mü(t) + F D (t) + 4πβ im u T eff + F F (t) = mα g (t) (2.29) όπου m είναι η μάζα του μονοβάθμιου ταλαντωτή, u είναι η σχετική ταχύτητα, ü είναι η σχετική επιτάχυνση, α g είναι η εδαφική επιτάχυνση, T eff είναι η ενεργός περίοδος ή η περίοδος που προκύπτει από την τέμνουσα δυσκαμψία, β i είναι ο υπάρχων λόγος απόσβεσης, F D (t) είναι η απόσβεση που μεταβάλλεται με τον χρόνο και F F (t) είναι η δύναμη επαναφοράς του συστήματος. Η διαφορά της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης από την σχέση του [97] βρίσκεται στους χρονικά μεταβαλλόμενους όρους F D (t) και F F (t) ενώ χρησιμοποιείται και ο υπάρχων συντελεστής απόσβεσης ο οποίος περιγράφεται από ένα γραμμικό ιξώδη λόγο απόσβεσης ο οποίος έχει τιμή ίση με Η περίοδος της παραπάνω εξίσωσης δίνεται από τη σχέση

84 2.2. Ιστορική ανασκόπηση 45 m T eff = 2π (2.30) K eff Η ιξώδης απόσβεση που χρησιμοποιείται μπορεί να είναι γραμμική ή μη - γραμμική. Για γραμμικές ιξώδεις αποσβέσεις η δύναμη απόσβεσης δίνεται από την σχέση F D = C u (2.31) ενώ για μη γραμμικές ιξώδεις αποσβέσεις από την σχέση F D = C N u α sgn( u) (2.32) όπου C και C N είναι συντελεστές απόσβεσης, u είναι η σχετική ταχύτητα και α είναι εκθέτης απόσβεσης ίσος με 0.5. Οι Ramirez et. al., 2002 [5] κατέληξαν ότι οι απλουστευτικές μέθοδοι ανάλυσης του NEHRP (2000) [24], προβλέπουν με αρκετή ακρίβεια τις επιταχύνσεις και μετακινήσεις της κατασκευής, ενώ σε κάποιες άλλες περιπτώσεις οι υπολογισμοί καταλήγουν να είναι υπέρ-συντηρητικοί. Επίσης παρατήρησαν ότι οι απλουστευτικές διατάξεις υποτιμούν την μέγιστη προβλεπόμενη ταχύτητα της κατασκευής με ενεργή περίοδο μεγαλύτερη από 1.5 sec και υπερεκτιμούν την μέγιστη ταχύτητα για ενεργές ιδιοπεριόδους μικρότερες από 1.0 sec. Οι αποκλίσεις είναι αρκετά μεγάλες και μπορεί να φτάσουν απο 50% έως και 100% στις περιπτώσεις που η περίοδος είναι αρκετά μικρή Zaharia and Taucer 2008 Οι Zaharia and Taucer, 2008 [98] υπολόγισαν την ισοδύναμη απόσβεση και την ισοδύναμη περίοδο του συστήματος βασιζόμενοι στην θεώρηση των Iwan and Gates [84, 85, 86]. Συγκεκριμένα, για μια μεγάλη ομάδα 60 τεχνητών επιταχυνσιογράφων συμβατών με το φάσμα επιτάχυνσης του Ευρωκώδικα 8, για συγκεκριμένο υστερητικό προσομοίωμα και διάφορες κατηγορίες πλαστιμότητας, υπολογίσαν με ανελαστική ανάλυση χρονοϊστορίας το ανελαστικό φάσμα μετακινήσεων. Στην συνέχεια υπολογίσαν το ελαστικό φάσμα μετακινήσεων για διαφορετικές τιμές της απόσβεσης και της ιδιοπεριόδου και επέλεξαν το καταλληλότερο ζεύγος των παραπάνω ισοδύναμων γραμμικών παραμέτρων. Οι ισοδύναμες αυτές ποσότητες αντιστοιχούν στο ελαστικό φάσμα μετακινήσεων το οποίο δίνει μικρότερο μέσο σφάλμα από το ακριβές ανελαστικό φάσμα μετακίνησης. Στη συνέχεια αντιστοιχώντας την αύξηση της ιδιοπεριόδου συναρτήσει της πλαστιμότητας και την ισοδύναμη απόσβεση συναρτήσει της αύξησης της ιδιοπεριόδου, προκύπτουν εμπειρικές σχέσεις για ισοδύναμη περίοδο και απόσβεση ως συνάρτηση της πλαστιμότητας. Οι χρονοϊστορίες που χρησιμοποιήθηκαν στην μελέτη αυτή προέρχονται από τα δύο διαφορετικά είδη φάσματος του Ευρωκώδικα 8 [2] (Type 1 and Type 2) και για διαφορετικές κατηγορίες εδάφους. Τα υστερητικά προσομοιώματα που επιλέχθηκαν είναι ένα διγραμμικό κινηματικό (bilinear kinematic)

85 46 Κεφάλαιο 2. Η μέθοδος της ισοδύναμης γραμμικοποίησης προσομοίωμα που λαμβάνει υπόψη του το φαινόμενο Bauschinger (για το οποίο το συνολικό εύρος της τάσης ισούται με το διπλάσιο της τάσης διαρροής) και το ring-spring (flag shape). Οι Zaharia and Taucer [98] προχώρησαν σε λεπτομερή ανάλυση πραγματοποιώντας μεγάλο όγκο αναλύσεων και χρησιμοποιώντας μεγάλο αριθμό μονοβάθμιων ταλαντωτών. Οι περίοδοι ταλάντωσης κυμαίνονται μεταξύ 0.2 sec και 4.0 sec με βήμα 0.02 sec. Οι κατηγορίες πλαστιμότητας είναι 6 ( µ = 1.5, 2, 3, 4, 5 και 6). Τα υστερητικά προσομοιώματα είναι 5, 1 διγραμμικό με κινηματική υστέρηση και 4 τύπου ring-spring. Οι Zaharia and Taucer [98] σύγκριναν το ελαστικό με το ανελαστικό φάσμα μετακινήσεων και υπολογίσαν την απόσβεση και την αύξηση της ιδιοπεριόδου για το ελαστικό φάσμα για το οποίο οι τελικές μετακινήσεις προσεγγίζουν με το μικρότερο σφάλμα τις ανελαστικές μετακινήσεις. Ενα σύνολο κατάλληλων ισοδύναμων αποσβέσεων και ισοδύναμων περιόδων προκύπτουν για κάθε σεισμό ως συνάρτηση της πλαστιμότητας. Οι ισοδύναμες αυτές ποσότητες υπολογίζονται ξεχωριστά για κάθε υστερητικό προσομοίωμα. Τα βήματα της διαδικασίας των Zaharia and Taucer [98] συνοψίζονται ως εξής: 1. Για ένα δεδομένο σεισμό και πλαστιμότητα κατασκευάζεται το ανελαστικό φάσμα μετακινήσεων (S De /α g ). Η τιμή του λόγου ιξώδους απόσβεσης ξ 0 θεωρείται ίση με 5%. 2. Κατασκευάζεται το ελαστικό φάσμα μετακινήσεων του ίδιου σεισμού για λόγους απόσβεσης που κυμαίνονται μεταξύ 5% και 25% με βήμα αύξησης 0.01% και αρχική περίοδο μεταξύ 1 sec έως 3 sec με βήμα 0.01 sec. Οι ανώτατες τιμές στον λόγο απόσβεσης και στην ισοδύναμη απόσβεση υπολογίστηκαν μετά από αρχική ανάλυση για την μεγαλύτερη τιμή πλαστιμότητας. Για έναν δεδομένο συνδυασμό ισοδύναμου λόγου απόσβεσης ξ eq και μετατοπισμένης ιδιοπεριόδου T eq (ισοδύναμη περίοδος), το μετατοπισμένο ισοδύναμο ελαστικό φάσμα μετακίνησης υπολογίζεται για ιδιοπεριόδους ταλάντωσης ενός μονοβάθμιου ταλαντωτή μεταξύ 0.02 sec και 4 sec με αυξητικό βήμα 0.02 sec. Ο λόγος μεταξύ της ανελαστικής ακριβούς μετακίνησης S Di και της ισοδύναμης ελαστικής μετακίνησης S De υπολογίζεται με σφάλμα ε i (xi eq, T eq ) = S Dε S Di 1 (2.33) Το μέτρο του συνολικού σφάλματος για ολόκληρο το εύρος των περιόδων ταλάντωσης μεταξύ 0.02 sec και 4.0 sec δίνεται από τον μέσο όρο του σφάλματος ως ε i (xi eq, T eq ) = N ε 2 i N i=1 (2.34) όπου N= 200 και είναι ο αριθμός των μονοβάθμιων ταλαντωτών. Για δεδομένη πλαστιμότητα, το μέσο σφάλμα υπολογίζεται για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς xi eq και T eq. Το ζεύγος (xi eq, T eq ) το οποίο δίνει το μικρότερο σφάλμα ε min (xi eq, T eq ) είναι αυτό το οποίο δίνει την καλύτερη εκτίμηση της ανελαστικής μετακίνησης για το δεδομένο εύρος περιόδων.

86 2.2. Ιστορική ανασκόπηση Οι τιμές των κατάλληλων μετατοπισμένων ιδιοπεριόδων σχεδιάζονται ως προς την πλαστιμότητα για όλους τους 30 σεισμούς. Στην συνέχεια υπολογίζεται με παλινδρόμηση η κατάλληλη καμπύλη που δίνει την ισοδύναμη περίοδο συναρτήσει της πλαστιμότητας. Η σχέση που υπολογίζεται για το διγραμμικό προσομοίωμα υστέρησης είναι T eq = T 0 [ (µ 1) 1.02 ] (2.35) και η ισοδύναμη απόσβεση συναρτήσει της ιδιοπεριόδου δίνεται από την σχέση ( Teq ) ξ eq ξ 0 = 14 1 T 0 (2.36) Από τις σχέσεις (2.35) και (2.36) μπορεί να υπολογιστεί η ισοδύναμη απόσβεση συναρτήσει της πλαστιμότητας ως ξ eq = ξ (µ 1) 1.02 (2.37) Οι σχέσεις που προτείνουν οι Zaharia and Taucer [98] για τον υπολογισμό της ισοδύναμης απόσβεσης και ισοδύναμης ιδιοπεριόδου είναι T eq = T 0 [1 + A(µ 1) α ] (2.38) ξ eq = ξ 0 + B(µ 1) b (2.39) όπου οι συντελεστές A, α, B, b υπολογίζονται για κάθε περίπτωση υστερητικού προσομοιώματος, τύπο φάσματος και δεδομένη πλαστιμότητα. Σύμφωνα με τους Zaharia and Taucer [98], από τα δύο υστερητικά προσομοιώματα που χρησιμοποίησαν τα καλύτερα αποτελέσματα προέκυψαν με χρήση του ιξώδουςελαστικού (viscoelastic) προσομοιώματος, όπου οι ισοδύναμες ποσότητες της ιδιοπεριόδου και της απόσβεσης δίνουν την καλύτερη προσέγγιση στις μετακινήσεις που προκύπτουν από το μη - γραμμικό προσομοίωμα, λαμβάνοντας υπόψη τον μέσο όρο όλων των επιταχυνσιογραφημάτων και των πλαστιμοτήτων που χρησιμοποιήθηκαν στις αναλύσεις. Ο λόγος μεταξύ της προσεγγιστικής και της ακριβούς μετακίνησης κυμαίνεται μεταξύ 0.70 (περιοχή των χαμηλών περιόδων) και 1.25 (περιοχή των μεγάλων περιόδων που βρίσκονται μεταξύ των 3 sec και 4 sec). Ο λόγος τείνει να γίνει ίσος με την μονάδα (δηλαδή η προσεγγιστική λύση είναι ίση με την ακριβή λύση) για ιδιοπεριόδους μεταξύ των 1.5 sec και 3.2 sec και για τα δύο είδη φάσματος Priestley, Calvi, Kowalsky 2007 Η μέθοδος των μετακινήσεων βασίζεται στην ισοδύναµη γραµµικοποίηση ενός µη γραµµικού συστήµατος σύμφωνα µε την εργασία των Shibata and Sozen [82]. Ο αρχικός πολυβάθµιος φορέας

87 48 Κεφάλαιο 2. Η μέθοδος της ισοδύναμης γραμμικοποίησης αντικαθίσταται µε έναν µονοβάθµιο ισοδύναµο γραµµικό φορέα ο οποίος έχει διαφορετική ιδιοπερίοδο (δυσκαµψία) και διαφορετική απόσβεση από τον αρχικό φορέα. Η δυσκαµψία του νέου φορέα k eff, προκύπτει από την τέµνουσα δυσκαµψία του φορέα στην µέγιστη ανελαστική παραµόρφωση. Η ισοδύναµη απόσβεση ξ eff του µονοβάθµιου συστήµατος αντιστοιχεί στο σύνολο της ενέργειας απόσβεσης της πραγματικής κατασκευής μέσω ελαστικής (ξ elastic ) ή ανελαστικής (ξ hysteretic ) συμπεριφοράς Σχήμα 2.8: Ισοδύναμο μονοβάθμιο σύστημα Τέμνουσα Δύναμη Μετακίνηση Σχήμα 2.9: Τέμνουσα δυσκαμψία ισοδύναμου συστήματος Η διαδικασία της υποκατάστασης του πραγµατικού µη γραµµικού πολυβάθµιου φορέα με τον ισοδύναμο γραμμικό μονοβάθμιο φορέα γίνεται με την παρακάτω διαδικασία. Σύμφωνα με την αρχή των ίσων έργων, το έργο των δυνάμεων F i επί τις αντίστοιχες μετακινήσεις u i του πολυβάθμιου συστήματος είναι ίσο με το έργο της δύναμης F eff επί την μετακίνηση u eff του ισοδύναμου μονοβάθμιου ταλαντωτή. Η σχέση των μετακινήσεων u i και της μετακίνησης u eff δίνεται απο την σχέση u i = c i u eff (2.40)

88 2.2. Ιστορική ανασκόπηση 49 όπου c i είναι η σταθερά που χαρακτηρίζει την κατανομή των μετακινήσεων για κάθε όροφο i του πραγματικού συστήματος. Αντίστοιχα με τις μετακινήσεις με τον ίδιο τρόπο μπορεί να οριστούν και οι επιταχύνσεις α i και α eff α i = c i α eff (2.41) Η αντίστοιχη ισοδύναμη δύναμη κατά τον νόμο του Νεύτωνα και την αρχή των ίσων έργων είναι ίση με F eff = n (F i = i=1 n m i α i = α eff i=1 n m i c i (2.42) i=1 Η ενεργός μάζα του συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως m eff = n (m i c i ) = i=1 n i=1 m i u i u eff (2.43) οπότε η Eξ. (2.42) γίνεται F eff = m eff α eff (2.44) Η ισοδύναμη επιτάχυνση του μονοβάθμιου συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως α eff = F eff n i=1 m ic i (2.45) Με χρήση της αρχής των ίσων έργων μεταξύ των δυνάμεων F i και των αντίστοιχων μετακινήσεων u i του πολυβάθμιου συστήματος και της δύναμης F eff και της μετακίνησης u eff του μονοβάθμιου ταλαντωτή προκύπτει u eff = n i=1 m iu 2 i n i=1 m iu i (2.46) Ο υπολογισμός του ισοδύναμου λόγου απόσβεσης δίνεται απο την σχέση ξ eff = ξ elastic + ξ hysteretic (2.47) όπου η ξ elastic λαμβάνεται συνήθως ίση με 5%. Η υστερητική απόσβεση δίνεται απο την σχέση των Dwairi et. al. [94]

89 50 Κεφάλαιο 2. Η μέθοδος της ισοδύναμης γραμμικοποίησης ξ eff = ξ elastic + C µ eff 1 µ eff π (2.48) όπου ο συντελεστής C εξαρτάται απο τον υστερητικό νόμο του υλικού και µ eff ειναι η πλαστιμότητα του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Στο σχήμα 2.10 παρουσιάζεται η ισοδύναμη απόσβεση συναρτήσει της ισοδύναμης πλαστιμότητας µ, και στο σχήμα 2.11 το φάσμα σχεδιασμού των μετακινήσεων κατά Priestley [99]. Ελάστο-Πλαστικό Μεταλλικό Πλαίσιο Λόγος Απόσβεσης, ξ Γέφυρα απο Ο/Σ Πλαίσιο απο Ο/Σ Υβριδική Προένταση Πλαστιμότητα Μετακίνησης, μ Σχήμα 2.10: Ισοδύναμη απόσβεση Μετακίνηση Περίοδος Σχήμα 2.11: Ισοδύναμη μετακίνηση Αφού καθοριστεί το επίπεδο επιτελεστικότητας για το οποίο ζητείται ο σχεδιασμός της κατασκευής, υπολογίζεται η μέγιστη μετακίνηση u i εφόσον είναι γνωστό το σχήμα της κατανομής των οριζοντίων μετακινήσεων, που αντιστοιχούν στο επιθυμητό IDR σχεδιασμού (SEAOC, 1999 [1], FEMA 356, 2000 [27]). Ανάλογη έκφραση της καθ ύψος κατανομής των οριζοντίων μετακινήσεων έχει προταθεί από τους Karavasilis et al., 2006 [100] όπου έχει υπολογιστεί η κατανομή για την 1η διαρροή καθώς και για τα διάφορα επίπεδα επιτελεστικότητας.

90 2.2. Ιστορική ανασκόπηση 51 Από τη σχέση (2.46) υπολογίζεται η μετακίνηση σχεδιασμού u t,eff του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Από την ίδια σχέση υπολογίζεται και η μετακίνηση διαρροής u y,eff αν θεωρήσει κανείς τα u i ότι αντιστοιχούν στην πρώτη διαρροή. Από τα παραπάνω μπορεί να υπολογιστεί η ισοδύναμη πλαστιμότητα µ eff του υποκατάστατου συστήματος ως u t,eff /u y,eff. Έτσι η ισοδύναμη απόσβεση ξ eff υπολογίζεται από τη Εξ. (2.48). Στην συνέχεια, από το σχήμα 2.10 με γνωστή την ισοδύναμη πλαστιμότητα υπολογίζεται η ισοδύναμη απόσβεση ξ eff, ενώ απο το σχήμα 2.11, προσδιορίζει κανείς την απαιτούμενη περίοδο T eff για μέγιστη μετακίνηση u t,eff. Από την ιδιοπερίοδο του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος μπορεί να βρεθεί η ισοδύναμη δυσκαμψία K eff από την σχέση K eff = 4π2 m eff T 2 eff (2.49) Εφόσον είναι γνωστή η ισοδύναμη δυσκαμψία του μονοβάθμιου συστήματος K eff μπορεί τελικά να βρεθεί η δύναμη σχεδιασμού από την σχέση F eff = K eff u eff (2.50) Η παραπάνω δύναμη κατανέμεται καθ ύψος των ορόφων βάσει της ανεστραμμένης τριγωνικής κατανομής και γίνεται σχεδιασμός μέσω ελαστικής στατικής ανάλυσης. H κατανομή ανά όροφο της ελαστικής δύναμης μέσω τριγωνικής κατανομής δίνεται από την σχέση: F i = F eff (m i u i ) n i=1 m iu i (2.51) Ο αντισεισμικός σχεδιασμός με την μέθοδο σχεδιασμού των μετακινήσεων έχει το σημαντικό πλεονέκτημα ότι η μεταβλητή εκκίνησης είναι η στοχευόμενη μετακίνηση η οποία προκύπτει από το επιθυμητό επίπεδο επιτελεστικότητας σχεδιασμού. Η μετακίνηση ως έννοια είναι πιο κοντά στο φαινόμενο του σεισμού ο οποίος προκαλεί επιβαλλόμενη παραμόρφωση στην κατασκευή Papagiannopoulos and Beskos 2009 Τέλος οι Papagiannopoulos and Beskos, 2009 [101] επέκτειναν την ιδέα της ισοδύναμης γραμμικοποίησης σε πολυβάθμια συστήματα με ανάπτυξη μεθόδου εύρεσης του ισοδύναμου πολυβάθμιου γραμμικού συστήματος ενός αρχικού μή-γραμμικού πολυβάθμιου συστήματος. Το ισοδύναμο πολυβάθμιο γραμμικό σύστημα έχει την ίδια δυσκαμψία και μάζα με το αρχικό μη-γραμμικό πολυβάθμιο σύστημα και ιξώδη απόσβεση ισοδύναμη με την υστερητική (ανελαστική) απόσβεση του αρχικού μη-γραμμικού συστήματος. Αυτό επιτυγχάνεται με τον υπολογισμό κατάλληλων ιδιομορφικών λόγων απόσβεσης,

91 52 Κεφάλαιο 2. Η μέθοδος της ισοδύναμης γραμμικοποίησης σταθερών με τον χρόνο, για τις πρώτες σημαντικές ιδιομορφές που εμφανίζονται στην συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος. Σύμφωνα με την μέθοδο αυτή το υποκατάστατο γραμμικό ελαστικό σύστημα με τις τροποποιημένες τιμές ιξώδους απόσβεσης επιδεικνύει την ίδια ανελαστική συμπεριφορά με το πραγματικό μη-γραμμικό σύστημα. Οι ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής απόσβεσης υπολογίζονται μέσω μίας επαναληπτικής διαδικασίας κατά την οποία το κτήριο τροφοδοτείται με ιξώδη απόσβεση η οποία αυξάνεται βηματικά με ένα μικρό βήμα d c = Σε κάθε βήμα, υπολογίζεται η συνάρτηση μεταφοράς R(ω) όπου για ένα γραμμικό πολυβάθμιο σύστημα/κτήριο με ιξώδη απόσβεση ορίζεται στο πεδίο συχνοτήτων ως ο λόγος της απόλυτης επιτάχυνσης οροφής Ü r(ω) του κτιρίου προς την επιτάχυνση της βάσης του ü g (ω), (βλέπε Σχ. 2.12) δηλ., R(ω) = Ü r(ω) ü g (ω) (2.52) όπου Ü r(ω) = ü g (ω)+ü r (ω), ü g (ω) and ü r (ω) είναι η σεισμική κίνηση και η σχετική κίνηση της οροφής ορόφου, αντίστοιχα στο πεδίο των συχνοτήτων, ω ειναι η συχνότητα και η άνω παύλα συμβολίζει τον μετασχηματισμό Fourier ([102]). Output u roof (t) Input u groung (t) Σχήμα 2.12: Παράγοντες συνάρτησης μεταφοράς Μπορεί να αποδειχθεί [103] (αναλυτικά στην ενότητα 3.4 σελ. 60) ότι η απόλυτη τιμή της συνάρτησης μεταφοράς R(ω) για την συχνότητα ω k της k ιδιομορφής έχει τη μορφή

92 2.2. Ιστορική ανασκόπηση 53 R(ω = ω k ) 2 = N ϕ rj Γ j ωk 2(ω2 j ω2 k ) N (ω 2 j=1 j ω2 k )2 + (2ξ j ω j ω) 2 + ϕ 2 rj Γ2 j ω4 k (ω 2 j=1 j ω2 k )2 + (2ξ j ω j ω) 2 [ ] N ϕ rj Γ j ϕ rm Γ m ωk 4 (ωj 2 ω2 k )(ω2 m ωk 2) + 4ξ jξ m ω j ω m ωk ] [(ω [(ωj 2 ω2 k )2 + (2ξ j ω j ω k ) 2 2 m ωk 2)2 (2ξ m ω m ω k ) 2] (2.53) j m,m>j όπου ϕ rj είναι το j th ιδιομορφικό σχήμα για την j - ιδιομορφή στον όροφο r, και ξ j και Γ j είναι οι λόγοι απόσβεσης και οι αντίστοιχοι συντελεστές συμμετοχής της ιδιομορφής j. Η παραπάνω εξίσωση (2.53), με την θεώρηση πως τα ϕ rj, ω j, Γ j και R(ω) είναι γνωστά, μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύστημα Ν μη - γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων για τον υπολογισμό των ιδιομορφικών συντελεστών απόσβεσης ξ k ενός γραμμικού συστήματος. Οι τιμές των ϕ rj, ω j και Γ j λαμβάνονται απο σύνθεση ιδιομορφών, ενώ οι τιμές R(ω = ω k ) υπολογίζονται ως οι μέγιστες τιμές της σχέσης R(ω) συναρτήσει ω που αντιστοιχούν στις συχνότητες συντονισμού. Δεδομένου ότι η απόκριση μια κατασκευής πρακτικά λαμβάνεται με κατάλληλη υπέρθεση των πρώτων σημαντικών ιδιομορφών, το σύστημα της Εξ. (2.53) λύνεται μόνο για αυτές τις πρώτες ιδιομορφές ώστε να ληφθούν τα αντίστοιχα ξ k. Για γραμμικές κατασκευές, η καμπύλη R(ω) συναρτήσει του ω ειναι ομαλή με ευδιάκριτες κορυφές για τις πρώτες ιδιομορφές όπως στο σχήμα Ωστόσο, όταν η κατασκευή είναι μη - γραμμική, η καμπύλη έχει έντονα παραμορφωμένο σχήμα όπως στο σχήμα 2.14 χωρίς ευδιάκριτες κορυφές, ειδικά για υψηλές ιδιομορφές. Με την σταδιακή παροχή ιξώδους απόσβεσης τύπου Rayleigh στην κατασκευή, η καμπύλη R(ω) συναρτήσει ω γίνεται ολοένα και ομαλότερη και σε κάποια τιμή της απόσβεσης γίνεται εντελώς λεία με ευδιάκριτες κορυφές (Σχ. 2.13). Για ακριβώς εκείνη την τιμή της απόσβεσης, η αρχική μη-γραμμική καθίσταται ισοδύναμη γραμμική για την οποία ισχύει η Εξ. (2.53) για τον προσδιορισμό των ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k. Όταν μια ιδιομορφή δεν εμφανίζεται στη συνάρτηση μεταφοράς, τότε για αυτήν θεωρείται ισοδύναμη απόσβεση ίση με 100 %. Η σεισμική κίνηση που εφαρμόζεται στη βάση της κατασκευής θεωρείται μόνο μέχρι τη στιγμή εκείνη που έχει επιτευχθεί η μέγιστη τιμή του μέτρου παραμόρφωσης ή βλάβης που έχει οριστεί. Μετά από αυτό το χρονικό διάστημα η σεισμική χρονοιστορϊα αντικαθίσταται από μια ζώνη από μηδενικά. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την εξάρτηση των ιδιομορφικών αποσβέσεων από την παραμόρφωση ή βλάβη της κατασκευής. Οι Papagiannopoulos and Beskos [101] έλεγξαν την ισχύ της παραπάνω μεθόδου τόσο για συστήματα με κλασσική απόσβεση (ιδανική περίπτωση) όσο και για την περίπτωση συστημάτων με μη κλασσική απόσβεση (συνηθισμένη περίπτωση) και διαπίστωσαν την γενική ισχύ της μεθόδου εφ όσον η απόκριση των συστημάτων με μη κλασσική απόσβεση προσεγγίζεται με ακρίβεια. Στην συνέχεια, από τους υπολογισμένους ιδιομορφικούς λόγους απόσβεσης για μία μεγάλη ομάδα πραγματικών σεισμικών καταγραφών, προσδιορίζονται οι απόλυτοι ιδιομορφικοί συντελεστές συμπερι-

93 54 Κεφάλαιο 2. Η μέθοδος της ισοδύναμης γραμμικοποίησης Σχήμα 2.13: Συνάρτηση μεταφοράς ενός γραμμικού συστήματος με ισοδύναμη απόσβεση Σχήμα 2.14: Συνάρτηση μεταφοράς ενός μη γραμμικού συστήματος φοράς q k, οι οποίοι προκύπτουν από τον λόγο των φασμάτων απόλυτης επιτάχυνσης τα οποία έχουν κατασκευαστεί για τις υπολογισμένες αποσβέσεις για κάθε ιδιομορφή και του φάσματος απόλυτης επιτάχυνσης για 5% απόσβεση (η οποία είναι και η τυπική τιμή απόσβεσης για κατασκευές Ο/Σ). Τα q k ειναι διαφορετικά για κάθε ιδιομορφή k, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με τους σύγχρονους αντισεισμικούς κανονισμούς οι οποίοι θεωρούν έναν συντελεστή q ίδιο για όλες τις ιδιομορφές.

94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Απόσβεση: Προσδιορισμός και Προσομοίωση 3.1 Εισαγωγή Η απόσβεση σε ένα δυναμικό σύστημα μπορεί να οριστεί ως το σύνολο των μηχανισμών λόγω των οποίων το εύρος της ελεύθερης ταλάντωσης μειώνεται σταθερά και σχετίζεται με την κατανάλωση έργου που προέρχεται από διάφορους φυσικούς μηχανισμούς όπως η τριβή, η θερμότητα, η πλαστικοποίηση κλπ. [34]. Η μαθηματική προσομοίωση της απόσβεσης είναι δύσκολη και παραμένει ένα ανοικτό πεδίο έρευνας γιατί είναι πολύ δύσκολο και ακόμα ανέφικτο να προσομοιωθούν πλήρως οι παραπάνω φυσικοί μηχανισμοί οι οποίοι την διέπουν. Λόγω της πολυπλοκότητας των μηχανισμών της απόσβεσης και για λόγους ευκολίας, το προσομοίωμα απόσβεσης υποτίθεται γραμμικό, αμετάβλητο στο χρόνο και αιτιατό. Θεωρώντας ότι οι δυνάμεις απόσβεσης μπορούν να οριστούν με την βοήθεια ενός συνελικτικού ολοκληρώματος μεταξύ της ταχύτητας και ενός πυρήνα μνήμης, λαμβάνεται η γενική γραμμική απόσβεση κατά την οποία η δύναμη απόσβεσης σε μια τωρινή κατάσταση ενός συστήματος εξαρτάται από την τωρινή και τις προηγούμενες τιμές της ταχύτητας του [104]. Με την περαιτέρω υπόθεση ότι ο πυρήνας μνήμης είναι η συνάρτηση Dirac, λαμβάνεται το πιο κοινό προσομοίωμα απόσβεσης, αυτό της γραμμικής ιξώδους απόσβεσης το οποίο θεωρεί ότι η απόσβεση καθορίζεται από την τωρινή ταχύτητα ενός συστήματος. Με την εισαγωγή της επιπλέον συνθήκης ότι το μητρώο απόσβεσης αποτελείται από ένα γραμμικό συνδυασμό των μητρώων μάζας και δυσκαμψίας λαμβάνεται η επονομαζόμενη απόσβεση κλασικού ή αναλογικού τύπου ή απόσβεσης Rayleigh [105]. Η απόσβεση σε ένα σύστημα θεωρείται κλασικού τύπου για λόγους καθαρά υπολογιστικούς, επειδή επιτρέπει την ταυτόχρονη διαγωνιοποίηση των μητρώων 55

95 56 Κεφάλαιο 3. Απόσβεση: Προσδιορισμός και Προσομοίωση απόσβεσης, μάζας και δυσκαμψίας χρησιμοποιώντας το μητρώο των πραγματικών ιδιομορφών που απαντώνται στην περίπτωση συστήματος χωρίς απόσβεση [106]. Η επιλογή απόσβεσης κλασικού τύπου δικαιολογείται σε πολλές πρακτικές περιπτώσεις, όπως π.χ., όταν η επιρροή των μη-διαγωνίων όρων στο μητρώο απόσβεσης είναι αμελητέα. Παρ όλα αυτά, δεν υπάρχει επαρκής πειραματική τεκμηρίωση ότι η απόσβεση σε ένα δυναμικό σύστημα είναι κλασικού τύπου. Στην πραγματικότητα τα πειράματα αποδεικνύουν ότι η απόσβεση σε ένα πραγματικό σύστημα δεν είναι κλασικού τύπου και οι ιδιομορφές του προκύπτουν μιγαδικές. Περισσότερες λεπτομέρειες για συστήματα με μη κλασική ιξώδη απόσβεση θα δοθούν παρακάτω. Γενικά, το προσομοίωμα ιξώδους απόσβεσης δεν είναι το μόνο προσομοίωμα που μπορεί να θεωρηθεί στα πλαίσια της γραμμικής θεωρίας. Οποιοδήποτε αιτιατό προσομοίωμα στο οποίο ο συναρτησιακός πυρήνας απόσβεσης δεν είναι αρνητικός, αποτελεί πιθανό υποψήφιο προσομοίωμα απόσβεσης [104]. Στην περίπτωση αυτή ένα σύστημα έχει μη ιξώδη απόσβεση και μιγαδικές ιδιομορφές και μόνο αν η απόσβεση είναι πολύ μικρή μπορεί να θεωρηθεί ιξώδους τύπου [107, 104]. Το προσομοίωμα απόσβεσης κατα Rayleigh εκφράζεται απο τη σχέση [C] = α 0 [M] + α 1 [K] (3.1) όπου το μητρώο [C] στην παραπάνω σχέση είναι το μητρώο Rayleigh ή αναλογικό μητρώο απόσβεσης ή κλασσικό μητρώο απόσβεσης (proportional damping or classical damping matrix), [M] το μητρώο μάζας, [K] το μητρώο δυσκαμψίας και α o, α 1 είναι σταθερές. Ο λόγος απόσβεσης ξ n για την n-οστή ιδιομορφή δίνεται από τη σχέση ξ n = α ω n + α 1 2 ω n (3.2) Η κλασσική απόσβεση είναι η καταλληλότερη και απλούστερη προσομοίωση όταν παρόμοιοι μηχανισμοί απόσβεσης κατανέμονται σε όλη την κατασκευή με ομοιόμορφο τρόπο, δηλαδή σε ένα πολυώροφο κτίριο με παρόμοιο δομικό σύστημα και παρόμοια δομικά υλικά καθ ύψος. Στην πράξη όμως η απόσβεση είναι γενικά μη - κλασικού τύπου και λόγω του μη κλασικού τύπου απόσβεσης, η αποσύζευξη των διαφορικών εξισώσεων κίνησης ενός ελαστικού συστήματος της μορφής [M]{ü} + [C]{ u} + [K]{u} = {F } (3.3) δεν είναι δυνατή κατά τρόπο ακριβή. Στην ανωτέρω σχέση {ü}, { u} και {u} είναι αντίστοιχα τα διανύσματα της σχετικής επιτάχυνσης, ταχύτητας και μετακίνησης. Ένας τρόπος να επιτευχθεί αποσύζευξη του συστήματος των εξισώσεων (3.3) είναι να αγνοηθούν οι μη διαγώνιοι όροι του μητρώου απόσβεσης, δηλαδή οι όροι {ϕ} {T } [C]{ϕ} όπου [Φ] είναι το μητρώο ιδιομορφών. Η επίλυση των αποσυζευγμένων εξισώσεων θα είναι ακριβέστερη όσο οι προηγούμενοι όροι είναι μικρού μεγέθους.

96 3.2. Μέτρηση απόσβεσης σε κτίρια 57 Οι εργασίες [108, 109, 110] έχουν ασχοληθεί με την επιρροή στην ακρίβεια της λύσης που έχει η παράλειψη των μη διαγώνιων όρων του μητρώου απόσβεσης [C]. Η εργασία [111] προσδιόρισε ως κριτήριο για να μην λαμβάνονται υπόψη οι μη διαγώνιοι όροι του μητρώου απόσβεσης το να είναι καλά διαχωρισμένες οι ιδιομορφές του συστήματος. Οι Shahruz and Ma [112] προσπάθησαν να βρουν κατάλληλο διαγώνιο μητρώο απόσβεσης [C diag ] αντί του αρχικού [C] μητρώου απόσβεσης, κάτι που μπορεί να επιτευχθεί όταν στο αρχικό μητρώο η διαγώνιος έχει σημαντικά μεγαλύτερες τιμές από τα άλλα στοιχεία του πίνακα. Οι Udwadia and Esfandiari [113] προτείνουν μία επαναληπτική διαδικασία επίλυσης των συζευγμένων εξισώσεων. Στην περίπτωση που η απόσβεση είναι μη κλασικού τύπου, η διαδικασία είναι πιο απαιτητική υπολογιστικά εφ όσον οι ιδιομορφές έχουν ως στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς. Τέτοιες έρευνες έχουν πραγματοποιηθεί στις εργασίες [106, 114, 115, 116]. Το μητρώο απόσβεσης Rayleigh [105] όπως φαίνεται από τη σχέση (3.1), είναι ανάλογο του μητρώου δυσκαμψίας το οποίο κατά την διάρκεια των δυναμικών ανελαστικών αναλύσεων αλλάζει καθώς η κατασκευή διαρρέει. Ο υπολογισμός της απόσβεσης κατά Rayleigh [105] με βάση την αρχική δυσκαμψία ή με βάση την εφαπτομενική δυσκαμψία έχει ερευνηθεί στις εργασίες [117, 118, 119]. Σε περίπτωση που ληφθεί υπόψη το αρχικό μητρώο δυσκαμψίας για τον υπολογισμό των ιδιομορφικών όρων απόσβεσης, τότε παρατηρείται η ανάπτυξη μη ρεαλιστικών επικόμβιων δυνάμεων απόσβεσης, με αποτέλεσμα να υποτιμούνται οι μετακινήσεις και να υπερεκτιμούνται τα εσωτερικά εντατικά μεγέθη των μελών. Άρα είναι πολύ σημαντικό να ληφθεί υπόψη η επιρροή της μεταβολής του μητρώου δυσκαμψίας στο μητρώο απόσβεσης κατά Rayleigh. Για τον λόγο αυτόν ο Carr [10, 120] προτείνει την χρήση του εφαπτομενικού μητρώου δυσκαμψίας για την μόρφωση του μητρώου απόσβεσης το οποίο χρησιμοποιείται ως τέμνον μητρώο απόσβεσης. Με τον τρόπο αυτόν λαμβάνεται υπόψη η επιρροή της αλλαγής της δυσκαμψίας στην απόσβεση λόγω της ανελαστικής απόκρισης. Με το εφαπτομενικό μητρώο απόσβεσης περιορίζεται η παραμένουσα δύναμη απόσβεσης που αναπτύσσεται λόγω της υστέρησης που παρουσιάζεται στο εφαπτομενικό μητρώο δυσκαμψίας κατά την ανελαστική απόκριση της κατασκευής. Είναι προτιμότερο να υπάρχει ένας μηχανισμός ελέγχου των δυνάμεων απόσβεσης και να εξετάζονται με λεπτομέρεια οι περιπτώσεις κατά τις οποίες εμφανίζονται μεγάλες δυνάμεις απόσβεσης. Ας σημειωθεί ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί διαφορετικό προσομοίωμα απόσβεσης (Adhikari, [121]) ή να συμπεριληφθεί η απόσβεση ως μέρος της υστέρησης της κατασκευής. 3.2 Μέτρηση απόσβεσης σε κτίρια Η απευθείας μέτρηση της απόσβεσης σε υφιστάμενα κτήρια είναι μία διαδικασία δύσκολη, χρονοβόρα και δαπανηρή. Ενα παράδειγμα όπου οι ιδιότητες ταλάντωσης της κατασκευής, δηλαδή οι ιδιοπερίοδοι, ιδιομορφές και ιδιομορφικοί λόγοι απόσβεσης έχουν υπολογιστεί σε πραγματική κατασκευή μέσω εξαναγκασμένων ταλαντώσεων από γεννήτρια παραγωγής ταλαντώσεων έχει να κάνει με την βιβλιοθήκη Millikan στο Caltech των Η.Π.Α. [34]. Ο ακριβής προσδιορισμός της απόσβεσης είναι εξαιρετικά ση-

97 58 Κεφάλαιο 3. Απόσβεση: Προσδιορισμός και Προσομοίωση μαντικός για τον αντισεισμικό σχεδιασμό των κατασκευών [122, 123, 124] και για την ακριβέστερη εκτίμηση της συμπεριφοράς των κτιρίων. Αυτό μπορεί να οδηγήσει σε λεπτομερέστερα και ακριβέστερα προσομοιώματα με αποτέλεσμα τον ορθό σχεδιασμό των κατασκευών. Η μέτρηση της απόσβεσης πραγματοποιείται υπό διεγέρσεις κατά τις οποίες τα κτήρια παραμένουν στην ελαστική περιοχή (γραμμική απόκριση της κατασκευής). Στην περίπτωση που η κατασκευή έχει υποστεί διαρροή κατά την διέγερση σε ισχυρό σεισμό τότε οι τιμές απόσβεσης εμπεριέχουν και την κατανάλωση έργου λόγω πλαστικοποίησης των υλικών. Στην μη - γραμμική δυναμική ανάλυση, η κατανάλωση έργου λόγω διαρροής λογαριάζεται ξεχωριστά μέσω του βρόχου υστέρησης δηλαδή μη γραμμικών σχέσεων δύναμης - παραμόρφωσης και έτσι οι δυνάμεις απόσβεσης της μορφής [C] u περιορίζονται στην ελαστική περιοχή αν και μπορεί να επηρεάζονται από την ανελαστική παραμόρφωση αν το μητρώο [C] της Εξ. (3.1) σχετίζεται με μεταβαλλόμενο μητρώο [K]. Η εργασία [88] δίνει τιμές απόσβεσης για την πρώτη ιδιομορφή που μπορούν να χρησιμεύσουν στον σχεδιασμό των κτιρίων με γραμμικές ελαστικές δυναμικές αναλύσεις και χρήση φασματικής ανάλυσης ή στην αποτίμηση της συμπεριφοράς υφιστάμενων κτηρίων κατά την εκτέλεση μη γραμμικών δυναμικών αναλύσεων. Η διαδικασία επιλογής της απόσβεσης για την πρώτη ιδιομορφή ενδέχεται να εμπεριέχει σφάλματα, καθώς η απόσβεση κάθε ιδιομορφής δεν είναι η ίδια λόγω ανομοιομορφίας του εύρους των σεισμικών κινήσεων στην περιοχή ιδιοπεριόδων μίας συγκεκριμένης ιδιομορφής [122], καθώς ενδεχόμενη σύζευξη δύο ιδιομορφών με κοντινές συχνότητες μπορεί να προσφέρει μεγαλύτερη διαθέσιμη απόσβεση σε αυτή [125]. 3.3 Προσομοίωση της απόσβεσης σε κατασκευές Αντίθετα με τις άλλες δυο δυναμικές ιδιότητες ενός συστήματος, δηλαδή τη μάζα και τη δυσκαμψία, οι οποίες αναπαρίστανται με ακρίβεια μέσω της μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων (Bathe, [71]), η απόσβεση σε μια κτιριακή κατασκευή εκφράζεται ως ένα επί τοις εκατό ποσοστό της αντίστοιχης κρίσιμης τιμής της για κάθε ιδιομορφή του συστήματος. Και αυτό γιατί ο σχηματισμός του μητρώου απόσβεσης απευθείας από τα επιμέρους μέλη του συστήματος και τις ιδιότητες απόσβεσης των υλικών του είναι πρακτικά ανέφικτος αφού απαιτεί να απομονωθούν όλα τα μέλη του, για κάθε ένα από αυτά να βρεθεί η ιδιοσυχνότητα και η απόσβεση του και κατόπιν να χρησιμοποιηθούν γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ των μελών του [122]. Για την ανάλυση γραμμικών κατασκευών, η έκφραση της απόσβεσης σε όρους ιδιομορφών θεωρώντας απόσβεση κλασικού τύπου είναι επαρκής. Η επιλογή του διαγωνίου μητρώου απόσβεσης μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους ([126], [110], [127]). Από την άλλη πλευρά, ο σχηματισμός του μητρώου απόσβεσης είναι απαραίτητος για την ανάλυση μη γραμμικών συστημάτων με οποιοδήποτε τύπο απόσβεσης όπως και για την ανάλυση γραμμικών συστημάτων τα οποία εκδηλώνουν μη κλασική απόσβεση. Στην περίπτωση μητρώου απόσβεσης κλασικού τύπου θεωρείται ένα ποσοστό απόσβεσης για δυο συγκεκριμένες ιδιομορφές (την πρώτη και μια άλλη υψηλή) όποτε οι συντελεστές αναλογίας των μητρώων μάζας και δυσκαμψίας προκύπτουν ως συνάρτηση των ιδιοσυχνοτήτων και των ιδιομορφικών αποσβέσεων, ενώ η απόσβεση των υπολοίπων

98 3.3. Προσομοίωση της απόσβεσης σε κατασκευές 59 ιδιομορφών είναι προκαθορισμένη από τον κανόνα Rayleigh [34]. Το προκύπτον μητρώο απόσβεσης ως γραμμικός συνδυασμός των μητρώων μάζας και δυσκαμψίας είναι ταινιωτό. Ο ορισμός της απόσβεσης κατά Caughey [34], είναι πιο γενικός αλλά προϋποθέτει τον υπολογισμό των όρων της σειράς Caughey από προκαθορισμένους λόγους απόσβεσης μέσω της επίλυσης συστήματος που ενδέχεται να εμφανίσει υψηλή ευαισθησία (πρόβλημα αστάθειας). Το μητρώο απόσβεσης κατά Caughey λαμβάνει υπ όψιν του τις ιδιομορφές και για όσες από αυτές δεν θεωρείται κάποιο ποσοστό απόσβεσης προκύπτει μηδενική απόσβεση. Η απόσβεση κατά Rayleigh υποτίθεται στις περισσότερες πρακτικές περιπτώσεις λόγω ευκολίας στη χρήση της. Στην γενική περίπτωση που δύο η περισσότερα μέρη ενός συστήματος έχουν διαφορετική απόσβεση, το προκύπτoν μητρώο απόσβεσης είναι μη κλασικού τύπου. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το σύστημα κατασκευής εδάφους. Το μητρώο απόσβεσης για ένα τέτοιο σύστημα συντίθεται από τα επιμέρους μητρώα απόσβεσης των μελών τα οποία μπορεί και να είναι κλασικού τύπου. Όπως προαναφέρθηκε, οι ιδιομορφές ενός συστήματος μη κλασικού τύπου είναι μιγαδικές. Η επιρροή της απόσβεσης κατά Rayleigh στην ανελαστική σεισμική απόκριση κατασκευών θεωρώντας τους όρους Rayleigh υπολογισμένους είτε με βάση την αρχική δυσκαμψία είτε με βάση την εφαπτομενική δυσκαμψία έχει ερευνηθεί στις εργασίες [117], [118], [128], [129], [119], [130]. Από τις εργασίες αυτές προκύπτει ότι η προσομοίωση της απόσβεσης κατά Rayleigh με βάση την αρχική δυσκαμψία μπορεί να οδηγήσει σε σημαντικά σφάλματα στην απόκριση καθώς, ενώ οι ελαστικές δυνάμεις περιορίζονται από το μηχανισμό της διαρροής, κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει για τις δυνάμεις απόσβεσης οι οποίες είναι πάντα ανάλογες της ταχύτητας, όσο μεγάλη και να γίνει αυτή. Η ύπαρξη συγκεντρωμένων ανελαστικών παραμορφώσεων σε συγκεκριμένα σημεία της κατασκευής, όταν ξεκινήσει η διαρροή, οδηγεί στην τοπική εμφάνιση μεγάλων ταχυτήτων παραμόρφωσης και άρα πολύ μεγάλων δυνάμεων και ροπών απόσβεσης. Οι δυνάμεις και ροπές αυτές μπορούν να ξεπεράσουν την αντοχή ενός μέλους και είναι φανταστικά παράγωγα της προσομοίωσης κατά Rayleigh. Το φαινόμενο αυτό εγκυμονεί κινδύνους στην αξιοπιστία των ανελαστικών σεισμικών αποκρίσεων αν δεν ληφθεί υπ όψιν. Η χρήση της απόσβεσης κατά Rayleigh με βάση την εφαπτομενική δυσκαμψία δεν δημιουργεί φανταστική απόσβεση [118, 130], αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι η απόσβεση κατά Rayleigh θα πρέπει να υπολογίζεται με βάση την εφαπτομενική δυσκαμψία καθ ότι αυτή δεν έχει φυσική έννοια παρά μόνο μαθηματική. Γενικότερα, είναι προτιμότερο να υπάρχει ένας μηχανισμός ελέγχου των δυνάμεων απόσβεσης [119] και παράλληλα να εξετάζονται με λεπτομέρεια οι περιπτώσεις κατά τις οποίες δύναται να εμφανιστούν μεγάλες δυνάμεις απόσβεσης [128, 119, 130]. Εναλλακτικά, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα άλλο προσομοίωμα απόσβεσης [121] ή να συμπεριληφθεί η εν γένει απόσβεση ως μέρος της υστέρησης της κατασκευής. Αυτά αποτελούν αντικείμενο περαιτέρω έρευνας.

99 60 Κεφάλαιο 3. Απόσβεση: Προσδιορισμός και Προσομοίωση 3.4 Ιδιομορφικοί λόγοι ιξώδους απόσβεσης Το μητρώο της απόσβεσης είναι πολύ δύσκολο να μορφωθεί, συγκριτικά με το μητρώο δυσκαμψίας της κατασκευής μέσω επαλληλίας της απόσβεσης των μελών της κατασκευής. Το μητρώο απόσβεσης, προσδιορίζεται μέσω των ιδιομορφικών λόγων απόσβεσης, οι οποίοι αντιπροσωπεύουν τους μηχανισμούς απόσβεσης ενέργειας. Η εξίσωση κίνησης σε μητρωική μορφή που περιγράφει την απόκριση μίας πολυβάθμιας (Ν-βαθμών) γραμμικής κατασκευής με ιξώδη απόσβεση σε σεισμική φόρτιση δίνεται από τη σχέση [M]{ü} + [C]{ u} + [K]{u} = [M]{I}ü g (3.4) όπου [M] είναι το μητρώο μάζας της κατασκευής, [C] είναι το μητρώο απόσβεσης, [K] είναι το μητρώο δυσκαμψίας, ü είναι το διάνυσμα των επιταχύνσεων της κατασκευής, u είναι το διάνυσμα των ταχυτήτων, u είναι το διάνυσμα των μετακινήσεων και ü g είναι το διάνυσμα της σεισμικής επιτάχυνσης που ασκείται στην βάση του κτηρίου. Η ακριβής λύση της παραπάνω εξίσωσης γίνεται μέσω βηματικής χρονικής ολοκλήρωσης ανεξάρτητα από τον τύπο του μητρώου απόσβεσης. Όταν το μητρώο απόσβεσης [C] είναι μη κλασικού ή κλασικού τύπου η επίλυση της (3.4) γίνεται με επαλληλία ιδιομορφών, όπως περιγράφεται στις ακόλουθες δύο υποενότητες Απόσβεση μη κλασικού τύπου Στην περίπτωση που η απόσβεση ορίζεται με μητρώο μη κλασικού τύπου τότε η εξίσωση (3.4) για την περίπτωση ελεύθερων ταλαντώσεων μπορεί να γραφεί στο πεδίο συχνοτήτων ως εξής: (Ω 2 [M] + iω[c] + [K]){ϕ} = 0 (3.5) (Ω j = ξ j ω j ± iω j 1 ξ 2 j (3.6) ω j = Ω j = Re(Ω j ) 2 + Im(Ω j ) 2 (3.7) ξ i = Re(Ω j) Ω j (3.8) Στην παραπάνω εξίσωση Re(Ω j ) και Im(Ω j ) είναι το πραγματικό και φανταστικό μέρος του Ω j. Εάν το μητρώο [K][M] 1 [C] είναι συμμετρικό [106] τότε προκύπτει η περίπτωση απόσβεσης κλασικού τύπου και οι ιδιομορφικοί λόγοι απόσβεσης μπορούν να βρεθούν από την Εξ. (3.8).

100 3.4. Ιδιομορφικοί λόγοι ιξώδους απόσβεσης 61 Η επίλυση της Εξ. (3.4) για περίπτωση μη κλασικού μητρώου απόσβεσης μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας μεταβλητές κατάστασης. Πράγματι η Εξ. (3.4) μπορεί να γραφεί ως [A]{ ω} + [B]{ω} = {f(t)} (3.9) όπου {ω} = {ω(t)} = [{u}, { u}] T είναι το 2Nx1 διάνυσμα των μεταβλητών [ ] κατάστασης, [ {f(t)} = ] [ [M]{I} {{u g (t)}, {0}] T [C] [M] [K] [0] είναι το 2Nx1 διάνυσμα δύναμης και [A] = και [B] = [M] [0] [0] [ K] είναι συμμετρικά 2N x2n μητρώα. Η εξίσωση (3.9) μπορεί να αποσυζευχθεί με χρήση επαλληλίας μιγαδικών ιδιομορφών (κατά αναλογία με την περίπτωση κλασσικής απόσβεσης) υποθέτοντας ότι {ω(t)} = [Φ]{q(t)} όπου [Φ] είναι το 2N x2n μητρώο των μιγαδικών ιδιομορφών {ϕ}, ενώ {q} = {q(t)} είναι το διάνυσμα των ιδιομορφικών συντεταγμένων κατάστασης χώρου. Για την i ιδιομορφή προκύπτει q i Ω i q i = 1 [ ] {ϕ i } T [M]{I}ü g(t) d {0} i (3.10) όπου d i = diag [ [Φ] T [A][Φ] ] i Μετατρέποντας την προηγούμενη εξίσωση στο πεδίο συχνοτήτων προκύπτει η σχέση q i (ω) = 1 1 [ ] {ϕ} T [M]{I}ü g(t) (iω Ω i ) d {0} i (3.11) q i (ω) = 2N k=1 { ϕ 1 [ ] i } (iω Ω i ) {ϕ}t [M]{I}ü g(t) {0} (3.12) όπου ω(ω) = ϕ i di. Εκφράζοντας το {ω} σε όρους {u} και { u} και εισάγοντας το Γ ri = ϕ rk { ϕ r } T [M]{I} ως συντελεστή συμμετοχής της i ιδιομορφής στον τελευταίο r όροφο της κατασκευής, η απόκριση μετακινήσεων του τελευταίου ορόφου στο πεδίο συχνοτήτων ū r (ω) μπορεί να γραφεί ως ū r (ω) = [ N i=1 Γ rk (iω Ω i ) + Γ rk (iω Ω i ) ] ( ü g (ω)) (3.13) όπου Γ rk και Ω i είναι οι συζυγείς των Γ rk και Ω i.

101 62 Κεφάλαιο 3. Απόσβεση: Προσδιορισμός και Προσομοίωση Θέτοντας ÿ r (ω) = ü r (ω) + ü g (ω) όπου ü r (ω) = ω 2 ü r (ω), οι ιδιομορφικοί λόγοι ιξώδους απόσβεσης υπολογίζονται μέσω της συνάρτησης μεταφοράς του τελευταίου ορόφου R r (ω) R r (ω) = ȳr(ω) ū g (ω) = 1 + N i=1 2µ rk ω 3 i + 2 λ rk ω 2 ω i ξ i 2µ rk ω 2 ω i 1 ξ 2 i ω 2 i ω2 + 2iωω i ξ i (3.14) όπου λ rk και µ rk είναι το πραγματικό και φανταστικό μέρος του Γ rk. Ισχύει ότι R r (ω) 2 = R r (ω)r r(ω) και άρα N R r (ω) 2 2δ i = 1 + βi 2 + γ2 i i=1 + δ i + ε i i β 2 i + γ2 i N i=1 δ i ε i i β 2 i + γ2 i (3.15) όπου β i = ωi 2 ω2, γ i = 2ωω i ξ i, δ i = (2λ rk ω 2 ω i ξ i 2µ ri ω 2 ω i 1 ξi 2 2µ ri ω 3 β i Η εξίσωση (3.16) μπορεί τελικά να γραφτεί ως (2λ rk ω 2 ω i ξ i 2µ ri ω 2 ω i 1 ξi 2 ) γ i ) β i + 4µ rk ω 4 ω i ξ i, ε i = N N N R r (ω) 2 = Re(c k ) + c k Re(c k c j) (3.16) i=1 i=1 k j,j>k όπου c k = (δ k + ε k i)/(β 2 k + γ2 k ) Απόσβεση Κλασικού Τύπου Στην περίπτωση που η απόσβεση είναι κλασικού τύπου, χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό από τις κανονικές (ορθογωνικές) συντεταγμένες στο Ν-διάστατο σύστημα των ιδιομορφών, {u} = [Φ]{q} μέσω του μητρώου [Φ] των ιδιομορφών μπορεί να γίνει η αποσύζευξη του παραπάνω συστήματος εξισώσεων (3.4) σε ανεξάρτητες εξισώσεις που έχουν τη μορφή q j (t) + 2ξ j ω j q j (t) + ω 2 j q j (t) = Γ j ü g (t) (3.17) όπου j = 1, 2,..., N είναι ο αριθμός των ιδιομορφών, q j (t) είναι οι ιδιομορφικές συντεταγμένες, ω j είναι η φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση, ξ j είναι ο ιδιομορφικός λόγος ιξώδους απόσβεσης για την j ιδιομορφή και Γ j είναι ο συντελεστής συμμετοχής για την j ιδιομορφή. Μετασχηματίζοντας την διαφορική εξίσωση κίνησης (3.17) για την j ιδιομορφή στο πεδίο των συχνοτήτων μέσω του μετασχηματισμού Fourier προκύπτει η λύση

102 3.4. Ιδιομορφικοί λόγοι ιξώδους απόσβεσης 63 q j (ω) = Γ j ü g (ω) (ω 2 j ω2 ) + i(2ξ j ω j ω) (3.18) όπου οι παύλες στο επάνω μέρος των συναρτήσεων συμβολίζουν την έκφραση τους στο πεδίο των συχνοτήτων. Στην συνέχεια σχηματίζεται η συνάρτηση μεταφοράς της κατασκευής R(ω), η οποία ορίζεται ως ο λόγος της απόλυτης επιτάχυνσης οροφής του κτηρίου Ü r (ω) προς την εδαφική επιτάχυνση στην βάση της κατασκευής ü g (ω), στο πεδίο μετασχηματισμού Fourier, δηλαδή R(ω) = Ü r (ω ü g (ω) (3.19) όπου Ü r (ω) = ü r (ω) + ü g (ω) και ü r (ω) όπως προκύπτει από τη σχέση {u} = [Φ]{q} στο πεδίο συχνοτήτων. Το R(ω) της εξίσωσης (3.19) υπολογίζεται για ω = ω k (k = 1, 2, 3..) όπου ω k η k-στη ιδιομορφή και γράφεται στην μορφή R(ω = ω k ) = N j=1 ϕ rj Γ j ω 2 k (ω 2 j ω2 k ) + i(2ξ iω j ωk) (3.20) Προκειμένου να απαλειφθεί ο φανταστικός όρος, της Εξ. (3.20) λαμβάνει κανείς το μέτρο του R(ω = ω k ) οπότε προκύπτει η σχέση R(ω = ω k ) 2 = N j=1 ϕ rj Γ j ωk 2(ω2 j ω2 k ) N (ωj 2 ω2 k )2 + (2ξ j ω j ω k ) 2 + ϕ 2 rj Γ2 j ω2 k (ωj 2 ω2 k )2 + (2ξ j ω j ω k ) 2 N j m,m>j j=1 ϕ rj Γ j ϕ rm Γ m ω 4 k [(ω2 j ω2 k )(ω2 m ω 2 k ) + 4ξ iξ m ω j ω m ω 2 k ] [(ω 2 j ω2 k )2 + (2ξ j ω j ω k ) 2 ][(ω 2 m ω 2 k )2 + (2ξ m ω m ω k ) 2 ] (3.21) Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να εκληφθεί ως ένα σύστημα μη - γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με γνωστές τιμές της συνάρτησης μεταφοράς στις συχνότητες συντονισμού ω k και αγνώστους τους ιδιομορφικούς λόγους ιξώδους απόσβεσης ξ j. Το σύστημα αυτό για τους σκοπούς της παρούσας εργασίας λύνεται μέσω επαναληπτικής διαδικασίας σύμφωνα με τον αλγόριθμο Levenberg Marquardt[131] μέσω του προγράμματος Matlab[132]. Οι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης προκύπτουν μόνο για όσες κορυφές εμφανίζονται στην συνάρτηση μεταφοράς. Η εξίσωση (3.21) χρησιμοποιήθηκε πρώτη φορά από τους Papagiannopoulos and Beskos [133] οι οποίοι γενίκευσαν και έλεγξαν την ισχύ της αρχικής έκφρασης R r (ω) των Hart and Vasudevan

103 64 Κεφάλαιο 3. Απόσβεση: Προσδιορισμός και Προσομοίωση [124]. Οι εξισώσεις (3.16) και (3.21) αποτελούν το σύστημα των αλγεβρικών εξισώσεων από το οποίο προκύπτουν οι λόγοι ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης για την περίπτωση συστημάτων με μη-κλασσική απόσβεση και συστημάτων με κλασσική απόσβεση, αντίστοιχα. Επειδή η επίλυση του συστήματος (3.21) είναι υπολογιστικά πολύ ευκολότερη από αυτή του (3.16) λόγω του ότι στην τελευταία εξίσωση εμπλέκονται φανταστικοί όροι, άρα υπολογίζονται και μιγαδικοί λόγοι ιξώδους απόσβεσης, οι Papagiannopoulos and Beskos [133] έλεγξαν την επέκταση της (3.21) στην γενικότερη περίπτωση συστήματος με απόσβεση μη-κλασικού τύπου. Αυτό έγινε υπολογίζοντας την σεισμική απόκριση ελαστικών κατασκευών με μη-κλασσική απόσβεση χρησιμοποιώντας τις κλασσικές ιδιομορφές και τους λόγους ιξώδους απόσβεσης που ευρίσκονται από την εξίσωση (3.21) και συγκρίνοντας την απόκριση αυτή με την ακριβή απόκριση που προκύπτει από την χρονική αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης. Ο προσδιορισμός αυτός που αφορά μόνο τις ιδιομορφές που εμφανίζονται στην συνάρτηση μεταφοράς έχει χρησιμοποιηθεί από τους Thomson et al. [110] για τον υπολογισμό του διαγωνίου μητρώου απόσβεσης και από τον Tsai [134] για τον υπολογισμό των ιδιομορφικών λόγων ιξώδους απόσβεσης σε προβλήματα αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής. Οι Papagiannopoulos and Beskos [133] κατέληξαν ότι η προσεγγιστική μέθοδος της υπέρθεσης των ιδιομορφών σε ελαστικά πλαίσια με κλασικού ή με μη-κλασικού τύπου απόσβεση και καλά διαχωρισμένες ιδιομορφές δίνει πολύ καλής ακρίβειας αποτελέσματα τόσο στην χρονοϊστορία της απόκρισης όσο και στα μέγιστα των μεγεθών απόκρισης. Τα αποτελέσματα είναι καλύτερα για την περίπτωση σεισμικών διεγέρσεων όπου κυριαρχούν οι χαμηλές συχνότητες. Στα πλαίσια όπου υπάρχουν ιδιομορφές με παραπλήσιες ιδιοσυχνότητες και έχουν προσάρτημα, του οποίου η συχνότητα ταυτίζεται με κάποια ιδιοσυχνότητα του πλαισίου, τα αποτελέσματα είναι πολύ καλής ακρίβειας για την περίπτωση σεισμικών καταγραφών όπου κυριαρχούν οι χαμηλές συχνότητες. Στην περίπτωση σεισμικών καταγραφών όπου κυριαρχούν οι υψηλές συχνότητες, τα αποτελέσματα παρουσιάζουν σφάλματα ενώ μερικές φορές είναι μη συντηρητικά και απαιτείται η χρήση επαλληλίας μιγαδικών ιδιομορφών. Εν κατακλείδι, για γραμμικές ελαστικές κατασκευές με καλά διαχωρισμένες ιδιοσυχνότητες και με μη-κλασικού τύπου απόσβεση οι οποίες διεγείρονται σε οποιοδήποτε σεισμό (χαμηλών ή υψηλών συχνοτήτων) η ταυτοποίηση των λόγων ιδιομορφικής απόσβεσης μπορεί να γίνει με αποδεκτή ακρίβεια μέσω της απλούστερης εξίσωσης (3.21), η οποία έχει προκύψει για κατασκευές με απόσβεση κλασικού τύπου. 3.5 Υστερητική απόσβεση Πέρα απο την ιξωδοελαστική συμπεριφορά των υλικών υπάρχουν και άλλοι παράγοντες που προσδίδουν απόσβεση σε ένα συστημα. Ο σημαντικότερος απο όλους, ειδικά για μεγάλες φορτίσεις όπως είναι οι σεισμικές, είναι η υστερητική συμπεριφορά των υλικών. Κατά την κυκλική φόρτιση των υλικών παρουσιάζεται διαγραμμα τάσεων παραμορφώσεων όπως στο Σχ. 3.1 με διάφορες παραλλαγές. Το εμβαδόν του βρόχου παριστάνει την ενέργεια που διαχέεται ανά κύκλο φορτίσεως υπο μορφή θερμότητας

104 3.5. Υστερητική απόσβεση 65 λόγω πλαστικής συμπεριφοράς του υλικού. Όσο μεγαλύτερο το εμβαδόν (δηλ. μεγαλύτερη φόρτιση) τόσο μεγαλύτερη η διαχεόμενη ενέργεια και συνεπώς και η απόσβεση. Δύναμη Παραμόρφωση Σχήμα 3.1: Τυπικός υστεριτικός βρόχος Η δύναμη της υστερητικής απόσβεσης εκφράζεται με ικανοποιητική προσέγγιση από τη σχέση και η δύναμη επαναφοράς από τη σχέση P d = c u (3.22) P = P e + P d = ku + c u (3.23) Η ακριβής μορφή κίνησης μη γραμμικών συστημάτων (υλικά, κατασκευές) εκφράζεται από τη σχέση Mü + V ( u, u) = Mẍ 0 (t) (3.24) όπου V ( u, u) ειναι η συνάρτηση της δύναμης επαναφοράς περιλαμβάνοντας την ιξώδη και την υστερητική απόσβεση. Τα μη γραμμικά αυτα συστήματα μπορούν να εκφραστούν με ικανοποιητική ακρίβεια με την γραμμική εξίσωση Mü + c u + ku = Mẍ 0 (t) (3.25) και για την περίπτωση που η ταλάντωση ειναι της μορφής u = u 0 sin(ωt) η δύναμη επαναφοράς παίρνει την μορφή

105 66 Κεφάλαιο 3. Απόσβεση: Προσδιορισμός και Προσομοίωση P = ku 0 sin(ωt) + cωu 0 cos(ωt) (3.26) Η διαχεόμενη ενέργεια του υστερητικού βρόχου για ένα κύκλο φόρτισης ισούται με W = T +2π/ω και η μέγιστη δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι ίση με T P (t) du dt dt = πcωu2 0 (3.27) U e = 1 2 ku2 0 (3.28) Σχηματίζοντας το λόγο W U e = 2πcω k (3.29) και θέτοντας c = ζ e c cr = 2Mωζ e προκύπτει η υστερητική απόσβεση ζ e = 1 W (3.30) 4π U e P Kuo cωuo -uo K uo u -Kuo Σχήμα 3.2: Γραφική απεικόνιση της δύναμης επαναφοράς P = P e + P d Το υστερητικό προσομοιώματος Takeda et al. [9] και το τροποποιημένο προσομοίωμα Takeda κατά Otani [8] δίνει υστερητική απόσβεση για κύκλο n > 1 ίση με αυτή των Εξ. (3.31) και (3.32), αντίστοιχα [25]

106 3.6. Tαυτοποίηση απόσβεσης 67 ζ n>1,t akeda = ϵ πµ (3.31) ζ n>1,otani = ϵ πµ (1 + β(1 ρ ϵ) 2(1 α)(1 + ρ(µ 1)) ) (3.32) όπου ϵ = (1 ρ)(µ 1) για το προσομοίωμα Takeda et al. [9] και ϵ = (1 α)(1 ρ)(µ 1) για το τροποποιημένο προσομοίωμα Takeda κατά Otani [8] και µ είναι η τοπική πλαστιμότητα όπως ορίστηκε στην ενότητα (σελ. 27). Οι ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής απόσβεσης ξ k που υπολογίζονται στην παρούσα εργασία λαμβάνουν υπόψη τους και την υστερητική απόσβεση. 3.6 Tαυτοποίηση απόσβεσης Η ταυτοποίηση ενός συστήματος θα μπορούσε να χαρακτηριστεί και ως το αντίστροφο πρόβλημα της δυναμικής των κατασκευών μέσω του οποίου βρίσκονται οι δυναμικές ιδιότητες μιας κατασκευής (ιδιομορφές, ιδιοσυχνότητες, λόγοι ιδιομορφικής απόσβεσης κ.τ.λ.) κάνοντας χρήση πραγματικών ή από προσομοίωση σε ηλεκτρονικό υπολογιστή μετρήσεων, της απόκρισης του συστήματος υπό δεδομένη δυναμική διέγερση. Οι μέθοδοι ταυτοποίησης συστήματος παίζουν σημαντικό ρόλο στην ανίχνευση των περιοχών βλάβης ενός συστήματος. Μπορούν να εφαρμοστούν είτε σε ένα γραμμικό, είτε σε ένα μη γραμμικό σύστημα υποκείμενο σε δυναμική φόρτιση. Οι μέθοδοι ταυτοποίησης που έχουν αναπτυχθεί έχουν ως κοινό στοιχείο την κατασκευή μαθηματικών αλγορίθμων για ένα δεδομένο δυναμικό σύστημα οι οποίοι να οδηγούν σε αναλυτικά αποτελέσματα, σχετικά με την απόκριση και τις δυναμικές ιδιότητες του συστήματος, όσο το δυνατόν πιο κοντά στα μετρούμενα σε αυτό από πειράματα ή καταγραφές. Αντίθετα, διαφέρουν στην πολυπλοκότητα, την αποτελεσματικότητα και το υπολογιστικό κόστος. Σημαντικό πρόβλημα αποτελεί η παρουσία θορύβου στις μετρήσεις ο οποίος ενδέχεται να επηρεάσει την αποτελεσματικότητα της μεθόδου ταυτοποίησης. Για την ελαχιστοποίηση της επίδρασης του χρησιμοποιούνται τεχνικές φίλτρων και επεξεργασίας σήματος [135, 136]. Το ενδιαφέρον στην ταυτοποίηση ενός συστήματος εστιάζεται κυρίως στην απόσβεση του, γιατί η προσομοίωση της είναι πρακτικά πολύ δύσκολη. Συνεπώς, οποιαδήποτε πληροφορία που μπορεί να ληφθεί μέσω των μεθόδων ταυτοποίησης σχετικά με την ιδιότητα της απόσβεσης είναι σημαντική. Λαμβάνοντας υπ όψιν την ποικιλία και την πολυπλοκότητα των μηχανισμών απόσβεσης, η προσομοίωση της περιορίζεται σε αυτή του ιξώδους τύπου και, συνεπώς, η ταυτοποίηση της στοχεύει στην εύρεση του μητρώου ιξώδους απόσβεσης από μετρήσεις σε ένα δυναμικό σύστημα. Αν και κάθε μέθοδος ταυτοποίησης συνοδεύεται από πειραματική τεκμηρίωση, στη βιβλιογραφία δεν υπάρχει κάποια εργασία που να αναφέρει και να συγκρίνει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα των διαφόρων με-

107 68 Κεφάλαιο 3. Απόσβεση: Προσδιορισμός και Προσομοίωση θόδων ταυτοποίησης απόσβεσης λόγω της πληθώρας αυτών. Εξαίρεση αποτελεί η εργασία των Phani and Woodhouse [137] στην οποία απλά αναφέρονται οι πιο αντιπροσωπευτικές μέθοδοι. Αναφορικά με την ταυτοποίηση του μητρώου ιξώδους απόσβεσης κλασικού ή μη κλασικού τύπου καθώς και των ιδιομορφικών λόγων ιξώδους απόσβεσης μπορούν να αναφερθούν οι εργασίες των [138, 137, 139, 111, 140, 113, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 104, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161]. Γενικά, η ταυτοποίηση του μητρώου απόσβεσης καθίσταται δύσκολη στην περίπτωση που το μητρώο απόσβεσης είναι πολύ μεγάλο, οπότε η αποτελεσματικότητα και η ακρίβεια των προαναφερθεισών μεθόδων περιορίζεται σε συστήματα με λίγους βαθμούς ελευθερίας. Αν ταυτοποιηθεί το μητρώο απόσβεσης, τότε είναι δυνατή η κατασκευή του ιδιομορφικού μητρώου απόσβεσης. Η περίπτωση ταυτοποίησης απόσβεσης συστήματος με μη κλασική απόσβεση είναι περισσότερο απαιτητική αφού, όπως προαναφέρθηκε, οι ιδιομορφές είναι μιγαδικές και η ταυτοποίηση τους δυσκολότερη σε σχέση με τις πραγματικές. Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται με μεθόδους οι οποίες βρίσκουν βέλτιστες πραγματικές ιδιομορφές από τις ταυτοποιούμενες μιγαδικές [141, 148, 162]. Οι ιδιότητες απόσβεσης ενός υλικού σε μια κτιριακή κατασκευή δεν είναι καθορισμένες. Αλλά ακόμα και να ήταν, το προκύπτον μητρώο απόσβεσης δεν θα λάμβανε υπ όψιν του το έργο που καταναλώνεται λόγω τριβής στις μεταλλικές συνδέσεις, ανοίγματος και κλεισίματος μικρορωγμών στο σκυρόδεμα, ή τριβής μεταξύ φερόντων και μη φερόντων στοιχείων καθώς και άλλους μηχανισμούς, γιατί αυτοί δεν μπορούν ούτε να ταυτοποιηθούν ούτε όμως και να ποσοτικοποιηθούν. Η μέτρηση και ταυτοποίηση της απόσβεσης στα κτίρια είναι σημαντική για δύο λόγους: 1. για να κατανοηθεί ο μηχανισμός της, γεγονός το οποίο θα επιτρέψει την χρήση καλύτερων θεωρητικών προσομοιωμάτων σε επίπεδο ανάλυσης και ταυτόχρονα θα μειώσει το λάθος σε επίπεδο σχεδιασμού 2. για να ελεγχθούν οι θεωρούμενες τιμές απόσβεσης σε επίπεδο ανάλυσης, γεγονός το οποίο θα φανερώσει την πραγματική εικόνα σχετικά με την απόκριση του κτιρίου. Η χρήση μεθόδων ταυτοποίησης και αναλυτικών προσομοιωμάτων από Πεπερασμένα Στοιχεία για ένα κτίριο παρέχουν τον πιο αποτελεσματικό τρόπο για την εκτίμηση της απόσβεσης. Παρόλη όμως την σημασία που έχει η απόσβεση στο αντισεισμικό σχεδιασμό των κατασκευών [122, 123, 124], φαίνεται ότι οι μέθοδοι ταυτοποίησης στο πεδίο αυτό δεν έχουν εξελιχθεί επαρκώς αν και ένα μεγάλο μέρος των μεθόδων ταυτοποίησης που παρατέθηκαν στο Κεφάλαιο 2 ασχολούνται με την απόσβεση σε κτιριακές κατασκευές. Επιπλέον, η ταυτοποίηση της απόσβεσης γίνεται κυρίως σε όρους ιδιομορφών παρά σε όρους μητρώου απόσβεσης καθότι η τελευταία είναι πρακτικώς ανέφικτη στην περίπτωση μετρήσεων απόκρισης συστημάτων με πολλούς βαθμούς ελευθερίας, όπως ένα κτίριο. Εν τέλει, οι μετρούμενες τιμές απόσβεσης περιορίζονται σε διεγέρσεις μικρού εύρους.

108 3.6. Tαυτοποίηση απόσβεσης 69 Η τιμή της απόσβεσης που καθορίζεται από σεισμική διέγερση μικρού εύρους (γραμμική απόκριση της κατασκευής) δεν είναι αντιπροσωπευτική της αντίστοιχης τιμής που αναμένεται σε σεισμική διέγερση μεγάλου εύρους (μη γραμμική απόκριση της κατασκευής). Από την άλλη πλευρά, χρησιμοποιώντας μεθόδους ταυτοποίησης και την καταγεγραμμένη κίνηση κατασκευής που έχει υποστεί σημαντική διαρροή και πλαστικοποίησης κατά την διάρκεια ενός σεισμού, παρέχονται τιμές απόσβεσης στις οποίες εμπεριέχεται η κατανάλωση έργου που λαμβάνει χώρα λόγω διαρροής και πλαστικοποίησης του υλικού της κατασκευής. Οι αποσβέσεις αυτές δεν είναι χρήσιμες στην μη γραμμική ανελαστική δυναμική ανάλυση, λόγω του γεγονότος ότι η κατανάλωση έργου λόγω διαρροής λογαριάζεται ξεχωριστά μέσω του βρόχου υστέρησης. Έτσι τα δεδομένα απόσβεσης που είναι περισσότερο πολύτιμα αλλά και λιγότερο εφικτά στον προσδιορισμό τους, προέρχονται από μετρήσεις σε κατασκευές που ταλαντώνονται αλλά δεν παραμορφώνονται ανελαστικά. Τέτοιες συνιστώμενες τιμές απόσβεσης δίνονται από τους Newmark and Hall [88]. Οι συνιστώμενες τιμές απόσβεσης των Newmark and Hall [88] για την πρώτη ιδιομορφή μπορούν να χρησιμοποιηθούν απευθείας σε γραμμική ελαστική δυναμική ανάλυση κατασκευών με κλασική απόσβεση είτε σε φασματική ανάλυση με ιδιομορφική σύνθεση. Για τέτοιες κατασκευές, ως γνωστόν, οι εξισώσεις κίνησης μπορούν να αποσυζευχθούν σε ένα σύστημα τόσων εξισώσεων όσες είναι οι ιδιομορφές αυτών, οπότε και οι συνιστώμενες τιμές αποσβέσεις χρησιμοποιούνται απευθείας σε κάθε ιδιομορφική εξίσωση. Εντούτοις, η διαδικασία αυτή της επιλογής της απόσβεσης για την πρώτη ιδιομορφή, σφάλει καθότι η απόσβεση κάθε ιδιομορφής μιας κατασκευής δεν είναι η ίδια λόγω ανομοιομορφίας του εύρους των σεισμικών κινήσεων στην περιοχή ιδιοπεριόδων μιας συγκεκριμένης ιδιομορφής [122]. Επίσης, η πιθανή σύζευξη δύο ιδιομορφών με παραπλήσιες συχνότητες σε μια κατασκευή μπορεί να προσφέρει μεγαλύτερη διαθέσιμη απόσβεση σε αυτήν [125]. Η εφαρμογή της μεθόδου επαλληλίας των ιδιομορφών σε ένα γραμμικό ελαστικό πολυβάθμιο σύστημα με ιξώδη απόσβεση για την εύρεση της σεισμικής του απόκρισης γίνεται με τη βοήθεια του μητρώου των ιδιομορφών που αποτελείται από τις ιδιομορφές του συστήματος χωρίς απόσβεση και οδηγεί στην διαγωνιοποίηση των μητρώων μάζας και δυσκαμψίας του αλλά όχι πάντα σε αυτή του μητρώου απόσβεσης του. Οι Caughey and O Kelly [106] βρήκαν τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν τα μητρώα μάζας, δυσκαμψίας και απόσβεσης ώστε να διαγωνοποιείται και το μητρώο απόσβεσης και έτσι να επιτυγχάνεται αποσύζευξη των εξισώσεων κίνησης του πολυβαθμίου συστήματος σε ένα σύνολο ανεξάρτητων ιδιομορφικών εξισώσεων. Αυτή είναι η περίπτωση πολυβαθμίου συστήματος με απόσβεση κλασικού ή αναλογικού τύπου, για την οποία η εφαρμογή της ιδιομορφικής ανάλυσης είναι άμεση και έχει πλήρως παγιωθεί [163]. Η δυναμική απόκριση αυτών των συστημάτων μπορεί να βρεθεί αποτελεσματικά με επαλληλία ιδιομορφών. Η κατάσταση που όμως απαντάται συνήθως στην πράξη είναι αυτή της απόσβεσης μη κλασικού ή μη αναλογικού τύπου κατά την οποία οι ιδιομορφικές εξισώσεις είναι συζευγμένες μέσω του μητρώου απόσβεσης. Η δυναμική απόκριση ενός γραμμικού ελαστικού συστήματος με απόσβεση μη κλασικού τύπου βρίσκεται με απευθείας ολοκλήρωση των συζευγμένων εξισώσεων κίνησης στο πεδίο του χρόνου, εκφρασμένων στις πραγματικές διακριτές συντεταγμένες, ή με ιδιομορφική επαλληλία χρησιμοποιώντας τις ιδιομορφές χωρίς απόσβεση (πραγματικές ιδιομορφές) ή τις ιδιομορφές με απόσβεση (μιγαδικές ιδιομορφές) του συστήματος αυτού.

109 70 Κεφάλαιο 3. Απόσβεση: Προσδιορισμός και Προσομοίωση Οι μέθοδοι της απευθείας ολοκλήρωσης στο πεδίο του χρόνου και της ιδιομορφικής επαλληλίας με χρήση μιγαδικών ιδιομορφών παρέχουν την ακριβή λύση για οποιοδήποτε σύστημα με απόσβεση μη κλασικού τύπου, αλλά το υπολογιστικό κόστος, ιδιαίτερα κατά την εφαρμογή της δεύτερης μεθόδου μπορεί να είναι μεγάλο. Από την άλλη πλευρά, η εφαρμογή επαλληλίας πραγματικών ιδιομορφών σε ένα σύστημα με απόσβεση μη κλασικού τύπου σε συνδυασμό με την παράλειψη των μη διαγωνίων όρων του γενικευμένου μητρώου απόσβεσης, αποτελεί μια προσεγγιστική μέθοδο. Το σφάλμα στην μέθοδο αυτή επηρεάζεται από την κατανομή της απόσβεσης στο σύστημα και άρα την μορφή του μητρώου απόσβεσης, τις δυναμικές ιδιότητες του συστήματος όπως επίσης και από το είδος της δυναμικής διέγερσης (Park et al. [164]). Το σφάλμα αυτό έχει μελετηθεί από πολλούς ερευνητές και έχουν προταθεί διάφοροι τρόποι για την ελαχιστοποίηση του [110], [112], [134]-[174]. Έχουν επίσης προταθεί επαναληπτικές μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων με απόσβεση μη κλασικού τύπου με χρήση απόσβεσης κλασικού τύπου [175]-[178]. Εναλλακτικά, η προσεγγιστική μέθοδος των Clough and Mojtahedi [179] με τις βελτιώσεις των Duncan and Taylor [180] και Kulkarni and Ng [181] χρησιμοποιεί απευθείας ολοκλήρωση στο πεδίο του χρόνου λαμβάνοντας υπ όψιν τις πρώτες μόνο κλασικές ιδιομορφές αλλά και την επίδραση της απόσβεσης στη σύζευξη αυτών.οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες υπό τις οποίες ένα σύστημα με απόσβεση μη κλασικού τύπου μπορεί να αποσυζευχθεί σε ένα σύνολο μιγαδικών ιδιομορφικών εξισώσεων έχουν βρεθεί από τους Caughey and Ma [182]. Το σύστημα έχει τότε μιγαδικές ιδιομορφές οι οποίες βρίσκονται επιλύοντας το τετραγωνικό ιδιοπρόβλημα ή ιδιοπρόβλημα με απόσβεση [108], [116], [183]-[199]. Χρήση επαλληλίας μιγαδικών ιδιομορφών για τον καθορισμό δυναμικής απόκρισης έγινε πρώτη φορά από τον Foss [200], ενώ εφαρμογή της μεθόδου αυτής σε προβλήματα αντισεισμικής μηχανικής στις εργασίες [201]-[210]. Γενικά, η επαλληλία μιγαδικών ιδιομορφών πλεονεκτεί ως προς το γεγονός ότι παρέχει αποτελέσματα δυναμικής απόκρισης μεγάλης ακρίβειας. Εντούτοις, η χρήση μιγαδικής ανάλυσης και η ανάγκη να συμπεριληφθεί μεγαλύτερος αριθμός ιδιομορφών από ότι στην περίπτωση επαλληλίας ιδιομορφών κλασικού τύπου για τον ακριβή υπολογισμό απόκρισης καταλήγει σε γενικά πολύπλοκες υπολογιστικές τεχνικές.

110 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Προσδιορισμός λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης 4.1 Εισαγωγή Η μέθοδος της ισοδύναμης γραμμικοποίησης που χρησιμοποιείται εδώ βασίζεται στην ιδέα της κατασκευής μιας ισοδύναμης γραμμικής (ως προς τη γεωμετρία και το υλικό) πολυβάθμιας κατασκευής η οποία να μπορεί να αναπαράξει τη σεισμική απόκριση της αρχικής μη γραμμικής (ως προς τη γεωμετρία και το υλικό) πολυβάθμιας κατασκευής. Η ισοδύναμη γραμμική κατασκευή θα έχει την ίδια μάζα και αρχική δυσκαμψία με τη μη γραμμική και θα λαμβάνει υπ όψιν της τις μη γραμμικότητες υλικού και γεωμετρίας με τη μορφή λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης αμετάβλητων στο χρόνο. Η ισοδύναμη γραμμική κατασκευή με ιξώδη απόσβεση παραμένει πολυβάθμια και δεν ανάγεται σε μονοβάθμια, όπως είναι η συνήθης περίπτωση στη βιβλιογραφία, με φανερά πλεονεκτήματα στην ακρίβεια προσομοίωσης. Επιπλέον, η ισοδύναμη αυτή κατασκευή χαρακτηρίζεται μόνο από τους λόγους ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης και όχι από ισοδύναμη δυσκαμψία και ιξώδη απόσβεση όπως είναι η συνήθης περίπτωση στη βιβλιογραφία. Οι λόγοι ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης για τις πρώτες λίγες ιδιομορφές που συνεισφέρουν σημαντικά στην απόκριση υπολογίζονται πρώτα σχηματίζοντας επαναληπτικά μια συνάρτηση μεταφοράς ορισμένη στο πεδίο των συχνοτήτων μέχρις ότου αυτή να ικανοποιήσει συγκεκριμένα κριτήρια ομαλότητας και μετά επιλύοντας έναν αριθμό μη γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Οι λόγοι ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης δίνονται ως συνάρτηση της παραμόρφωσης ή και της βλάβης και μπορούν να χρησιμοποιηθούν με ένα ελαστικό φάσμα απόκρισης ή σχεδιασμού τροποποιημένο για μεγάλη απόσβεση με χρήση του μειωτικού συντελεστή απόσβεσης. Επειδή οι λόγοι ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης παίζουν το ρόλο του συντελεστή συμπεριφοράς, αποδεικνύεται ότι με τη 71

111 72 Κεφάλαιο 4. Προσδιορισμός λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης βοήθεια αυτών και του μειωτικού συντελεστή απόσβεσης μπορεί να οριστεί συντελεστής συμπεριφοράς q k ανά ιδιομορφή k της κατασκευής (βλέπε Κεφ. 5). Το μόνο πρόβλημα είναι οτι οι ιδιομορφικοί λόγοι ισοδύναμης ιξώδους απόσβεσης και ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς ορίζονται έτσι ώστε να απαιτείται χρήση φασμάτων απόκρισης/σχεδιασμού απόλυτης επιτάχυνσης και όχι ψέυδο-επιτάχυνσης, όπως στους κανονισμούς. Το κοινό στοιχείο που χαρακτηρίζει σχεδόν όλες τις προαναφερθείσες μεθόδους ισοδύναμης γραμμικοποίησης, που παρουσιάστηκαν στο Κεφάλαιο 2, είναι ότι η ισοδύναμη γραμμική κατασκευή δεν έχει καμμία ομοιότητα με την πραγματική μη γραμμική. Πιο συγκεκριμένα, η κατασκευή μιας ισοδύναμης δυσκαμψίας και απόσβεσης για να προσεγγιστούν τα φαινόμενα της υποβάθμισης της δυσκαμψίας και κατανάλωσης έργου, οδηγεί σε μια ισοδύναμη γραμμική κατασκευή εντελώς διαφορετική από την πραγματική αρχική. Επιπλέον, το πώς ορίζεται η ισοδύναμη απόσβεση εξαρτάται από το πώς ορίζεται η ισοδύναμη δυσκαμψία και αντίστροφα. Συνεπώς, καμμία από αυτές τις μεθόδους δεν μπορεί να δώσει ικανοποιητικά αποτελέσματα για όλα τα επίπεδα μη γραμμικότητας που αναμένονται σε μια κατασκευή. Ακολουθώντας την πρωτοποριακή ιδέα του Jacobsen [77] και το ισοζύγιο έργου που διέπει τη σεισμική απόκριση μιας κατασκευής, όπως αρχικά διατυπώθηκε από τον Housner [35], ο στόχος είναι η κατασκευή μιας πολυβάθμιας γραμμικής κατασκευής που να έχει την ίδια μάζα και αρχική δυσκαμψία με την πραγματική μη γραμμική και συγχρόνως χρονικά αμετάβλητους λόγους ιδιομορφικής απόσβεσης οι οποίοι να αντιπροσωπεύουν τις επιδράσεις όλων των μη γραμμικοτήτων. Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να πραγματοποιηθεί μια ισοδυναμία έργου μεταξύ δυνάμεων απόσβεσης και μη γραμμικοτήτων. Η απόσβεση σε μία κατασκευή που αποκρίνεται στη γραμμική περιοχή υποτίθεται, όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 2, ότι μπορεί να αναπαρασταθεί από την απλή αλλά μαθηματικά εύχρηστη ιξώδη απόσβεση. Η ιδέα είναι να μετατραπούν όλες οι μη γραμμικότητες, που ουσιαστικά εμφανίζονται όταν η κατασκευή αρχίζει να αποκρίνεται στη μη γραμμική περιοχή, σε ισοδύναμη ιξώδη απόσβεση η οποία θα δίνεται για κάθε ιδιομορφή της κατασκευής. Η επίτευξη της ισοδυναμίας έργου μεταξύ απόσβεσης και μη γραμμικοτήτων επιτυγχάνεται με τη βοήθεια της μεθόδου ταυτοποίησης των λόγων ιδιομορφικής απόσβεσης γραμμικών κατασκευών που παρουσιάστηκε λεπτομερώς στο Κεφάλαιο 3. Εκεί αποδείχθηκε ότι για ελαστικές κατασκευές που έχουν διαχωρισμένες ιδιοσυχνότητες (όπως και τα κτίρια της παρούσας εργασίας), ιξώδη απόσβεση μη κλασικού τύπου και διεγείρονται από οποιουδήποτε είδους σεισμό ως προς το περιεχόμενο συχνοτήτων του, η ταυτοποίηση των λόγων ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης τους μπορεί να γίνει με τη χρήση αλγορίθμου που ισχύει στην περίπτωση κατασκευής που έχει ιξώδη απόσβεση κλασικού τύπου και διεγείρεται από οποιουδήποτε είδους σεισμό ως προς το περιεχόμενο συχνοτήτων του.

112 4.2. Υπολογισμός λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης Υπολογισμός λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης Με βάση τα αποτελέσματα των Papagiannopoulos and Beskos [133], μια γραμμικά ελαστική επίπεδη πλαισιωτή κατασκευή εκδηλώνει μια ομαλή συνάρτηση μεταφοράς επιταχύνσεων τελευταίου ορόφου βάσης κατασκευής με καθορισμένες και ορατές κορυφές συντονισμού. Οι λόγοι ιδιομορφικής απόσβεσης μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας στην Εξ. (3.21) τις συχνότητες συντονισμού, τις τιμές του μέτρου συνάρτησης μεταφοράς για τις συχνότητες συντονισμού και τους ιδιομορφικούς συντελεστές συμμετοχής, όπως αυτοί προκύπτουν από ιδιομορφική ανάλυση. Όταν η κατασκευή δεν συμπεριφέρεται ελαστικά, οι μη γραμμικότητες που εμφανίζονται οδηγούν την συνάρτηση μεταφοράς της να χάσει το ομαλό της σχήμα εκδηλώνοντας πολλαπλές κορυφές και γενικά μια ακανόνιστη μορφή. Σύμφωνα με τον McVerry [211] η ακανόνιστη μορφή στη συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να οφείλεται α) σε μη γραμμικότητες, β) στα διακριτά δείγματα μετρήσεων και το πεπερασμένο μέγεθος τους, γ) στην παράλειψη αρχικών συνθηκών, ή δ) στην ύπαρξη θορύβου. Από τους παραπάνω λόγους μη κανονικότητας της συνάρτησης μεταφοράς ο β) λαμβάνεται κατάλληλα υπ όψιν μέσω κατάλληλης αριθμητικής τεχνικής η οποία θα εξηγηθεί κατωτέρω, ενώ οι γ) και δ) δεν παίζουν κανένα ρόλο αφού τα σήματα (αποκρίσεις) που χρησιμοποιούνται για το σχηματισμό της συνάρτησης μεταφοράς στην εργασία αυτή είναι αριθμητικά, δεν περιέχουν θόρυβο και εφαρμόζονται στο σύνολο τους και όχι τμηματικά. Συνεπώς η μη κανονικότητα της συνάρτησης μεταφοράς οφείλεται μόνον στην ύπαρξη μη γραμμικότητας (περίπτωση α) ανωτέρω), η οποία δεν επιτρέπει την εύρεση λόγων ιδιομορφικής απόσβεσης από την Εξ. (3.21) που ισχύει για γραμμική κατασκευή. Είναι επίσης γνωστό από τη θεωρία μη γραμμικών συστημάτων [212], ότι όταν ένα μη γραμμικό σύστημα υπόκειται σε αρμονική διέγερση, δύναται να παραχθούν πολλαπλές αρμονικές, δηλαδή, ισχυρή απόκριση με συχνότητες που θα έχουν τιμές πολλαπλάσια της τιμής της συχνότητας της αρμονικής διέγερσης. Στην περίπτωση σεισμικής διέγερσης, η οποία χαρακτηρίζεται από ένα πλούσιο περιεχόμενο συχνοτήτων, το φαινόμενο αυτό ενισχύεται και σε συνδυασμό με την αλλαγή των ιδιοπεριόδων μιας κατασκευής λόγω της μη γραμμικής συμπεριφοράς της δημιουργεί την ακανόνιστη μορφή στη συνάρτηση μεταφοράς. Το εύρος της μη κανονικότητας εξαρτάται από τις δυναμικές ιδιότητες της κατασκευής, την έκταση της μη γραμμικότητας σε αυτή και από τα χαρακτηριστικά της σεισμικής διέγερσης. Το γεγονός ότι η μη κανονικότητα της συνάρτησης μεταφοράς αποδίδεται στη μη γραμμικότητα μπορεί επίσης να ελεγχθεί με χρήση της εξής ιδιότητας του μετασχηματισμού Hilbert: αν σε ένα σύστημα το πραγματικό και φανταστικό μέρος της συνάρτησης μεταφοράς αποτελούν ζεύγη μετασχηματισμού Hilbert, τότε το σύστημα είναι γραμμικό, αλλιώς είναι μη γραμμικό [212]. Ο στόχος λοιπόν είναι να κατασκευαστεί από τη μη γραμμική κατασκευή, η οποία εκδηλώνει μια μη ομαλή συνάρτηση μεταφοράς (Σχ. 4.1αʹ), μια ισοδύναμη γραμμική κατασκευή η οποία εκδηλώνει μια ομαλή συνάρτηση μεταφοράς (Σχ. 4.1στʹ), ώστε να μπορεί τότε να εφαρμοστεί η Εξ. (3.21) για τον προσδιορισμό των λόγων ιδιομορφικής απόσβεσης. Αρχικά υποτίθεται ότι έχει υπολογιστεί η μη

113 74 Κεφάλαιο 4. Προσδιορισμός λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης γραμμική σεισμική απόκριση απολύτων επιταχύνσεων του τελευταίου ορόφου της επίπεδης πλαισιωτής κατασκευής και κατασκευαστεί η συνάρτηση μεταφοράς της στο πεδίο των συχνοτήτων. Αυτή η συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να είναι πολύ ακανόνιστη ή μπορεί να εκδηλώνει μικρό βαθμό μη κανονικότητας ανάλογα με το βαθμό μη γραμμικότητας. Αυξάνοντας κατάλληλα την γραμμική ιξώδη απόσβεση της κατασκευής, η συνάρτηση μεταφοράς αρχίζει να ομαλοποιείται και οι κορυφές συντονισμού αρχίζουν να διακρίνονται. Η τελική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς επιτυγχάνεται όταν οι λόγοι ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης έχουν τέτοιες τιμές ώστε το έργο των μη γραμμικών παραμορφώσεων να εξισορροπείται πλήρως από αυτό της απόσβεσης (Σχ. 4.1στʹ). Τότε η αρχικά μη-γραμμική κατασκευή έχει καταστεί ισοδύναμη γραμμική με απόσβεση και επομένως μπορεί να χρησιμοποιηθεί η Εξ. (3.21). Επίλυση της εξίσωσης αυτής οδηγεί στον προσδιορισμό των ισοδύναμων λόγων ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης. Η υποβάθμιση της δυσκαμψίας ή η προκαλούμενη από αυτή επιμήκυνση της ιδιοπεριόδου της κατασκευής λαμβάνεται υπ όψιν στους λόγους ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης. Αυτό συμβαίνει γιατί κατά τη διαδικασία μετασχηματισμού της μη γραμμικής κατασκευής σε ισοδύναμη γραμμική η αύξηση της απόσβεσης οδηγεί σε μείωση των αλλαγών της δυσκαμψίας της κατασκευής οι οποίες εξαφανίζονται όταν η κατασκευή γίνει πλήρως γραμμική. Το έργο της απόσβεσης κατά τη διαδικασία αύξησης της δεν πρέπει να ξεπερνά αυτό των μη γραμμικοτήτων για να μην οδηγεί σε υπερεκτίμηση των ισοδυνάμων λόγων ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης. Συμπερασματικά, η μη γραμμικότητα σε μια κατασκευή οδηγεί σε μη ομαλή μορφή της συνάρτησης μεταφοράς (Σχ. 4.1αʹ), η οποία τελικά ομαλοποιείται πλήρως (Σχ. 4.1στʹ), υποδηλώνοντας γραμμική συμπεριφορά, μέσω την προσθήκης γραμμικής ιξώδους απόσβεσης σε αυτή. Αυτό που χρειάζεται τώρα είναι η υλοποίηση αυτής της ισοδύναμης γραμμικοποίησης ή καλύτερα η μετατροπή μιας μη ομαλής καμπύλης σε ομαλή αριθμητικά. Αυτή επιτυγχάνεται με την δημιουργία συγκεκριμένων κριτηρίων ή κανόνων που εξασφαλίζουν την ομαλότητα της συνάρτησης μεταφοράς, όπως περιγράφεται στην επόμενη ενότητα. 4.3 Κριτήρια ομαλότητας για τον υπολογισμό των λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης Θεωρείται μονοβάθμιο ελαστοπλαστικό σύστημα με 3% κράτυνση και ιδιοπερίοδο T = 0.48 sec το οποίο διεγείρεται με ένα επιταχυνσιογράφημα. Για το σύστημα αυτό κατασκευάζεται η συνάρτηση μεταφοράς και συγκεκριμένα το μέτρο της για διάφορες τιμές της γραμμικής ιξώδους απόσβεσης, ήτοι για 5%, 12%, 25%, 37%, 41% και 42.1%, όπως φαίνεται στα Σχ. 4.1αʹ έως 4.1στʹ. Παρατηρείται ότι η συνάρτηση μεταφοράς λόγω της ανελαστικής συμπεριφοράς είναι μη ομαλή και ο βαθμός της μη ομαλότητας της εξαρτάται από το επίπεδο ανελαστικότητας και την γραμμική ιξώδη απόσβεση έτσι ώστε, όσο αυξάνει η απόσβεση μειώνεται η ανελαστικότητα και αυξάνεται ο βαθμός ομαλότητας. Όταν το έργο της απόσβεσης εξισωθεί πλήρως με το έργο των ανελαστικών παραμορφώσεων, οπότε το μονοβάθμιο σύστημα καθίσταται ελαστικό, τότε η συνάρτηση μεταφοράς εξομαλύνεται πλήρως και ακολουθεί τη μορφή του Σχ. 4.1στʹ. Το πρόβλημα εστιάζεται τώρα στην μαθηματική περιγραφή αυτής

114 4.3. Κριτήρια ομαλότητας για τον υπολογισμό των λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης 75 της ομαλότητας. Η περιγραφή αυτή καταλήγει στον σχηματισμό συγκεκριμένων κριτηρίων τα οποία δίνονται πρώτα για την περίπτωση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας και κατόπιν γενικεύονται για την περίπτωση πολυβαθμίων συστημάτων. Για το σύστημα αυτό ορίζεται επίσης η διακριτή σειρά συχνοτήτων ω 1 < ω 2 <... < ω n 1 < ω n για κάθε στοιχείο της οποίας υπολογίζεται το αντίστοιχο μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς. Τα μέτρα αυτά γράφονται επίσης υπό μορφή σειράς ως R r (ω 1 ), R r (ω 2 ),... R r (ω n 1 ), R r (ω n ). Ορίζονται επίσης δυο διακριτές συχνότητες ω p, ω q [ω 1, ω n ] καθώς και η συχνότητα συντονισμού ω m (ω p, ω q ) που αντιστοιχεί στο R r (ω m ) = R max. Με βάση τα Σχ. 4.2 και 4.3 για μια μη γραμμική και μια γραμμική κατασκευή, αντίστοιχα, μπορούν να γραφούν τα ακόλουθα κριτήρια τα οποία θα πρέπει να ικανοποιούνται σε μια ομαλή καμπύλη που αντιστοιχεί σε γραμμική κατασκευή ω 1, ω 2,..., ω k [ω p, ω m ]μεω 1 < ω 2 <... < ω k είναι R r (ω 1 ) > R r (ω 2 ) >... > R r (ω k ) ω 1, ω 2,..., ω k [ω m, ω q ]μεω 1 < ω 2 <... < ω k είναι R r (ω 1 ) > R r (ω 2 ) >... > R r (ω k ) (4.1) Με άλλα λόγια, η συνάρτηση R r (ω) πρέπει να είναι γνησίως αύξουσα στο [ω p, ω m ] και γνησίως φθίνουσα στο [ω m, ω q ] (Σχ. 4.3). Συνεπώς, η συνάρτηση R r (ω) ορισμένη για ω [ω p, ω q ], θα παρουσιάσει μέγιστο στο ω m, καθιστώντας ουσιαστικά τα κριτήρια της Εξ. 4.1 κριτήρια μονοτονίας. Επειδή η R r (ω) είναι παραγωγίσιμη στο (ω p, ω q ) και έχει οριακή τιμή στο ω m (ω p, ω q ), σύμφωνα με το θεώρημα Fermat [213] είναι R r(ω ω ) ω=ωm = 0. Επίσης, η ύπαρξη σημείου ω [ω p, ω q ] για το οποίο R r(ω ω ) = 0 είναι εξασφαλισμένη, αφού η R r(ω) είναι συνεχής συνάρτηση στο [ω p, ω q ], παραγωγίσιμη στο (ω p, ω q ) και ισχύει R r (ω p ) = R r (ω q ) = R, δηλαδή ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle [213]. Τα κριτήρια ομαλότητας αυτοματοποιήθηκαν καθώς προγραμματίστηκαν σε γλώσσα Matlab [132]. Το αποδεκτό σφάλμα που τέθηκε για την ικανοποίηση της ομαλότητας της συνάρτησης μεταφοράς ήταν ίσο με 0.01%. Μη ικανοποίηση των κριτηρίων της Εξ. (4.1) οφείλεται στη μη εξισορρόπηση του έργου των μη γραμμικοτήτων από αυτό της ιξώδους απόσβεσης. Αυτή η περίπτωση απεικονίζεται στο Σχ. 4.2 όπου η παρουσία έστω και μικρού βαθμού μη κανονικότητας στην περιοχή ενδιαφέροντος των συχνοτήτων [ω p, ω q ] εμποδίζει την ικανοποίηση των κριτηρίων της Εξ. (4.1) για την συνάρτηση R r (ω). Από την άλλη πλευρά, η κατάσταση εκείνη για την οποία τα κριτήρια της Εξ. (4.1) ικανοποιούνται φαίνεται στο Σχ Η περιοχή συχνοτήτων [ω p, ω q ] στην οποία ελέγχονται τα κριτήρια αυτά δεν είναι εκ των προτέρων γνωστή αλλά προκύπτει από τη διαδικασία επαναληπτικού σχηματισμού της R r (ω) προς επίτευξη της ομαλούς μορφής της καθώς τα R r και ω αλλάζουν με την τιμή της απόσβεσης που δέχεται το σύστημα, οπότε να να προσδιοριστεί η ακριβή τιμή τους θα πρέπει πρώτα να δοθεί συγκεκριμένη απόσβεση στο σύστημα. Σε συνδυασμό με την συνάρτηση μεταφοράς υπολογίζεται και το διάγραμμα γωνίας φάσης (παράγωγος συνάρτησης μεταφοράς) (πχ. μονοβάθμιο σύστημα, Σχ. 4.5, 4.6 και 4.7) και εφαρμόζονται και

115 76 Κεφάλαιο 4. Προσδιορισμός λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης (αʹ) 5% (βʹ) 12% (γʹ) 25% (δʹ) 37% (εʹ) 41% (στʹ) 42.1% Σχήμα 4.1: Συναρτήσεις μεταφοράς μη γραμμικού συστήματος για σταδιακή τροφοδότηση με απόσβεση (Papagiannopoulos [7])

116 4.3. Κριτήρια ομαλότητας για τον υπολογισμό των λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης 77 Σχήμα 4.2: Συνάρτηση μεταφοράς μη γραμμικής κατασκευής και περιοχή συχνοτήτων εξέτασης μονοτονίας (Papagiannopoulos [7]) Σχήμα 4.3: Συνάρτηση μεταφοράς ισοδύναμης γραμμικής κατασκευής και περιοχή συχνοτήτων εξέτασης μονοτονίας (Papagiannopoulos [7]) εκεί τα κριτήρια ομαλότητας ώστε να εξασφαλιστεί ο ακριβής υπολογισμός των λόγων ιδιομορφικής απόσβεσης. Η περιοχή συχνοτήτων στην οποία εφαρμόζονται τα κριτήρια της Εξ. (4.1) γίνεται περισσότερο φανερή στην περίπτωση πολυβάθμιας κατασκευής. Για ένα 10-όροφο καμπτικό επίπεδο πλαίσιο κατασκευάζονται οι καμπύλες γωνίας φάσης της συνάρτησης μεταφοράς για σταδιακή τροφοδότηση ιξώδης απόσβεσης (Σχ 4.8, 4.9 και 4.9). Η κατασκευή των συναρτήσεων μεταφοράς με χρονικό βήμα μεγαλύτερο από εκείνο που χρειάζεται για την ορθή απεικόνιση του στο πεδίο των συχνοτήτων, οδηγεί στο σχηματισμό πλασματικών συχνοτήτων κυρίως στην περιοχή των υψηλών συχνοτήτων. Σε αυτές τις περιπτώσεις γίνεται ανακατασκευή ενός τέτοιου σήματος με μικρότερο χρονικό βήμα, ακολουθώντας τη μέθοδο που έχει προταθεί από τον Liou [214]. Ένα επιπρόσθετο σχόλιο πρέπει να γίνει αναφορικά με το μετασχηματισμό Fourier του σήματος της σεισμικής απόκρισης του τελευταίου ορόφου. Το σήμα αυτό στο πεδίο του χρόνου πρέπει να σβήνει

117 78 Κεφάλαιο 4. Προσδιορισμός λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης Σεισμικές καταγραφές Εφαρμογή Συντελεστή Κλιμάκωσης όπως προσδιορίστικε για κάθε επίπεδο επιτελεστικότητας Απόσβεση 0,5% Μη γραμμική ανάλυση χρονοϊστορίας Καταγραφή απόκρισης επιτάχυνσης οροφής Προσθήκη επιπλέων απόσβεσης στο σύστημα Προηγούμενη απόσβεση + 0.5% Υπολογισμός Συνάρτησης μεταφοράς με μετασχηματισμό Fourier ΟΧΙ Έλεγχος ικανοποίησης ομαλότητας καμπύλης συνάρτησης μεταφοράς, Ικανοποιείται? ΝΑΙ Τελικές τιμές απόσβεσης Σχήμα 4.4: Διαδικασία υπολογισμόυ των ισοδύναμων λόγων ιδιομορφικής απόσβεσης (μηδενίζεται) με το τέλος της σεισμικής διέγερσης ώστε να ικανοποιείται η περιοδικότητα που απαιτεί ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier. Αλλιώς, στο μετασχηματισμένο στο πεδίο των συχνοτήτων σήμα απόκρισης του τελευταίου ορόφου εμφανίζεται το φαινόμενο της διαρροής και κατ επέκταση της μη ομαλής καμπύλης [215]. Τέτοιες ανωμαλίες γενικά μπορούν να αντιμετωπίστούν με τη χρήση συναρτήσεων παραθύρου (window function) η οποία όμως μπορεί να μεταβάλλει σημαντικά το μέτρο Fourier στο μετασχηματισμένο σήμα εισάγοντας του τεχνητή απόσβεση. Αυτό μειώνει την ακρίβεια στον υπολογισμό του μέτρου της συνάρτησης μεταφοράς και συνεπώς των λόγων της ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης. Στην παρούσα διατριβή για την αντιμετώπιση της ανωμαλίας αυτής υιοθετείται η μέθοδος των Veletsos and Ventura [216] και δεν χρησιμοποιούνται συναρτήσεις παραθύρου. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, τοποθετείται μετά το τέλος της σεισμικής διέγερσης μια σειρά από μηδενικά των οποίων το εύρος

118 4.3. Κριτήρια ομαλότητας για τον υπολογισμό των λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης 79 Σχήμα 4.5: Διάγραμμα γωνίας φάσης μη γραμμικής κατασκευής (Papagiannopoulos [7]) Σχήμα 4.6: Διάγραμμα γωνίας φάσης γραμμικής κατασκευής (Papagiannopoulos [7]) εξαρτάται από την ιδιοπερίοδο και την απόσβεση της κατασκευής. Με τον τρόπο αυτό εξασφαλίζεται η περιοδικότητα που απαιτεί ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier. Η επίδραση της υπάρχουσας ιξώδους απόσβεσης στην γραμμική περιοχή των παραμορφώσεων αρχικά αγνοείται. Εντούτοις, ένα μέρος του πραγματικού μη γραμμικού έργου των παραμορφώσεων (όπως αυτό αναπαρίσταται μέσω των λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης) καλύπτεται από την υπάρχουσα απόσβεση της κατασκευής στην γραμμική περιοχή των παραμορφώσεων. Έτσι, η πραγματική απόσβεση ανά ιδιομορφή της ισοδύναμης γραμμικής κατασκευής βρίσκεται αφαιρώντας το σύνηθες ποσοστό απόσβεσης στη γραμμική περιοχή παραμορφώσεων, που είναι 2-10% για κάθε ιδιομορφή ανάλογα με το είδος της κατασκευής [34], από τους λόγους της ισοδύναμης ιδιομορφικής απόσβεσης που υπολογίζονται από την Εξ. (3.21). Η θεώρηση επιπρόσθετης απόσβεσης της γραμμικής περιοχής των παραμορφώσεων στις τιμές των λόγων ισοδύναμους ιξώδους απόσβεσης οδηγεί σε ασύμβατα αποτελέσματα καθότι εμπεριέχει λογικό σφάλμα. Οι λόγοι ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης μπορούν να βρεθούν μόνο για εκείνες τις ιδιομορφές που εμφανίζονται στην συνάρτηση μεταφοράς. Οι υπόλοιπες υψηλότερες ιδιομορφές που δεν εμφανίζονται σε αυτή έχουν ουσιαστικά κρίσιμη ή και υπερκρίσιμη απόσβεση, όμως πρέπει να ληφθούν υπ όψιν για να επιτευχθεί ακρίβεια στον υπολογισμό κάθε είδους απόκρισης (μετακινή-

119 80 Κεφάλαιο 4. Προσδιορισμός λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης Σχήμα 4.7: Σημεία ελέγχου κριτηρίων μονοτονίας διαγράμματος γωνίας φάσης (Papagiannopoulos [7]) Σχήμα 4.8: Διάγραμμα συνάρτησης μεταφοράς και γωνίας φάσης καμπτικού πλαισίου Ο/Σ 10 ορόφων με απόσβεση 5% σεων, επιταχύνσεων, τεμνουσών δυνάμεων κλπ.). Το φαινόμενο αυτό της αποκοπής των ιδιομορφών αντιμετωπίζεται εδώ με τη θεώρηση ότι οι ιδιομορφές που δεν εμφανίζονται στη συνάρτηση μεταφοράς, αλλά και εκείνες που εξαφανίζονται κατά τη διαδικασία επαναληπτικού σχηματισμού της, έχουν κρίσιμη απόσβεση (δηλ. λαμβάνουν τιμή απόσβεσης ίση με 100%). Η προτεινόμενη μέθοδος ισοδύναμης γραμμικοποίησης μέσω της επαναληπτικής διαδικασίας σχηματισμού της συνάρτησης μεταφοράς οδηγεί σε λόγους ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης οι οποίοι είναι άμεσα εξαρτημένοι απο την παραμόρφωση η/και βλάβη και μπορούν να λάβουν υπ όψιν τους τις οποιοδήποτε είδους μη γραμμικότητες, εφόσον αυτές έχουν αρχικά θεωρηθεί (πχ. στοχευόμενη μετακίνηση, IDR κτλ.), κατά τη επαναληπτική εύρεση της μη γραμμικής σεισμικής απόκρισης μιας κατασκευής. Οι λόγοι ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης μπορούν να θεωρηθούν ως οι οριακές τιμές για τις οποίες όλες οι παραμορφώσεις της κατασκευής είναι στη γραμμική περιοχή και η τέμνουσα βάσης της έχει τιμή που αντιστοιχεί σε κατάσταση ακριβώς πριν την πρώτη διαρροή της. Συνεπώς, οι λόγοι ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης μπορούν να παίξουν το ρόλο του συντελεστή συμπεριφοράς στον αντισεισμικό σχεδιασμό των κατασκευών γιατί αναπαριστάνουν και

120 4.3. Κριτήρια ομαλότητας για τον υπολογισμό των λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης 81 Σχήμα 4.9: Διάγραμμα συνάρτησης μεταφοράς και γωνίας φάσης καμπτικού πλαισίου Ο/Σ 10 ορόφων με απόσβεση 10% Σχήμα 4.10: Διάγραμμα συνάρτησης μεταφοράς και γωνίας φάσης καμπτικού πλαισίου Ο/Σ 10 ορόφων με απόσβεση 15% ποσοτικοποιούν τις μη γραμμικές απαιτήσεις παραμορφώσεων της σεισμικής κίνησης ως προς την κατασκευή. Εντούτοις, η εύρεση και ποσοτικοποίηση των λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης είναι πιο ορθολογική από τον ασαφή και εμπειρικό συντελεστή συμπεριφοράς γιατί δίνεται για κάθε ιδιομορφή της κατασκευής η οποία συνεισφέρει σημαντικά στη δυναμική απόκριση της. Τέλος, αν και είναι αριθμητικά εφικτό να βρεθούν πολύ μεγάλες τιμές ισοδύναμης ιξώδους απόσβεσης, θα πρέπει να ελεγχθεί αν οι τιμές αυτές είναι φυσικά αποδεκτές αναφορικά με την κατάσταση παραμόρφωσης της κατασκευής. Θεωρώντας ως ένδειξη παραμόρφωσης π.χ. την σχετική μετακίνηση ορόφου και απαιτώντας ότι αυτή δεν μπορεί να ξεπεράσει μια ορισμένη τιμή, δύναται να οριστούν λόγοι ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης που να αντιστοιχούν στην τιμή αυτή ακολουθώντας την μέθοδο όπως περιγράφηκε ανωτέρω αλλά με μια μικρή διαφορά. Αυτή έγκειται στο ότι τόσο τα χρονικά σήματα απόκρισης του τελευταίου ορόφου όσο και της σεισμικής διέγερσης που χρησιμοποιούνται στο σχηματισμό της συνάρτησης μεταφοράς τελευταίου ορόφου βάσης θα πρέπει να τροποποιηθούν. Πιο

121 82 Κεφάλαιο 4. Προσδιορισμός λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης Σχήμα 4.11: Διάγραμμα συνάρτησης μεταφοράς και γωνίας φάσης καμπτικού πλαισίου Ο/Σ 10 ορόφων με απόσβεση 20% συγκεκριμένα, η σεισμική διέγερση θεωρείται ακριβώς μέχρι εκείνη τη χρονική στιγμή στην οποία γίνεται για πρώτη φορά παραβίαση του προεπιλεγμένου ορίου παραμόρφωσης και το υπόλοιπο του σήματος που ακολουθεί αντικαθίσταται με μηδενικά. Αυτό δικαιολογείται από το γεγονός ότι μας ενδιαφέρει μόνο το τμήμα της απόκρισης που αντιστοιχεί στην πρώτη παραβίαση του προεπιλεγμένου ορίου παραμόρφωσης καθότι τόσο η απόκριση του τελευταίου ορόφου όσο και η σεισμική διέγερση περιέχουν την απαιτούμενη πληροφορία που χρειάζεται. Για την εύρεση της απόκρισης μέχρι τη χρονική στιγμή που αντιστοιχεί στην πρώτη παραβίαση του προεπιλεγμένου ορίου παραμόρφωσης θεωρείται 5% απόσβεση στη γραμμική περιοχή παραμορφώσεων όπως συνηθίζεται κατά την εκτέλεση μη γραμμικών δυναμικών αναλύσεων στο πεδίο του χρόνου στην περίπτωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος. Τα αποτελέσματα και οι προτεινόμενες σχέσεις των λόγων ισοδύναμης ιξώδους ιδιομορφικής απόσβεσης συναρτήσει της παραμόρφωσης για τον αντισεισμικό σχεδιασμό κατασκευών Ο/Σ παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο 7

122 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Προσδιορισμός Ιδιομορφικών Συντελεστών Συμπεριφοράς 5.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η διαδικασία υπολογισμού των ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k για τον αντισεισμικό σχεδιασμό με βάση τις δυνάμεις. 5.2 Εξαγωγή φασμάτων ψευδοεπιτάχυνσης Έχοντας προσδιορίσει τιυς ισοδύναμους λόγους απόσβεσης ξ k με τον τρόπο που περιγράφτηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, η σεισμική απόκριση ενός ισοδύναμου γραμμικού συστήματος μπορεί να καθοριστεί σε συνδυασμό με το απόλυτο φάσμα επιταχύνσεων λόγω της παρουσίας μεγάλων τιμών των αποσβέσεων [217]. Η αδρανειακή (ή σεισμική) δύναμη σε μια ιδιομορφή k ειναι ιση με το άθροισμα των ελαστικών δυνάμεων επαναφοράς και των δυνάμεων απόσβεσης, δηλαδή, mü t k (t) = m[ω2 k u(t) + 2ξω k u(t)] (5.1) όπου m ειναι η μάζα και οι άνω τόνοι υποδεικνύουν την παράγωγο ως προς το χρόνο t. Για συστήματα με μικρές τιμές απόσβεσης και περιόδου, (ξ < 10%, T < 0.15sec), η μέγιστη επιτάχυνση μπορεί να θεωρηθεί περίπου ίση με ωk 2 u(t) [217, 218]. Αυτό οδηγεί στο φάσμα ψευδοεπιτάχυνσης. Ωστόσο, όταν οι τιμές απόσβεσης και περιόδου είναι μεγάλες, όπως συμβαίνει με το ισοδύναμο γραμμικό σύστημα, (ξ > 10%, T > 0.15sec) η μέγιστη επιτάχυνση είναι ίση με την μέγιστη τιμή του [ωk 2u(t) + 2ξω k u(t)]. Αυτό οδηγεί στο απόλυτο φάσμα επιτάχυνσης. Έτσι, για ένα ισοδύναμο 83

123 84 Κεφάλαιο 5. Προσδιορισμός Ιδιομορφικών Συντελεστών Συμπεριφοράς γραμμικό συστήμα με υψηλή απόσβεση, οι μειωτικοί λόγοι ιδιομορφικής απόσβεσης B d,k είναι απόλυτοι και ορίζονται ως [217] B d,k = S a,k (T, ξ)/s a,k (T, 5%) (5.2) όπου ξ k είναι ο λόγος απόσβεσης, S a,k (T, 5%) η απόλυτη μέγιστη επιτάχυνση της κατασκευής με 5% απόσβεση και S a,k (T, ξ) η απόλυτη μέγιστη επιτάχυνσης της κατασκευής για διαφορετική από 5%. Η ιδιομορφική συμβολή στη σεισμική δύναμη σχεδιασμού δίνεται ως M k S a,k(t k, ξ eq,k ), όπου M k είναι η ενεργή μάζα (ταλαντούμενη μάζα). Ο παράγοντας μείωσης της αντοχής q k για την k th ιδιομορφή μπορεί να εκφραστεί με τον λόγο της ιδιομορφικής συμβολής στην τέμνουσα βάσης κατά την αντίστοιχη ιδιομορφική συμβολή στην έμνουσα βάσης διαρροής (Εξ.5.3), δηλαδή, q k = V el,k /V y,k = M k S a,k(t k, 5%)/M k S a,k(t k, ξ eq,k ) = S a,k (T k, 5%)/S a,k (T k, ξ eq,k ) = 1/B d,k (5.3) Τέλος, οι απόλυτοι παράγοντες μείωσης αντοχής σε συνδυασμό με την απόλυτη φάσματική απόκριση για υψηλές τιμές της απόσβεσης, μπορούν να δώσουν την συνολική τέμνουσα βάσης της κατασκευής μέσω της ιδιομορφικής ανάλυσης συμπεριλαμβανομένων τόσο της ελαστικής δύναμης επαναφοράς όσο και της δύναμης απόσβεσης. Αυτή η τέμνουσα βάσης είναι διαφορετική από το συμβατική που λαμβάνεται από τα ψευδο - φάσματα επιτάχυνσης τα οποία περιλαμβάνουν μόνο τις ελαστικές δυνάμεις επαναφοράς. Καθώς οι ισοδύναμοι ιδιομορφικοί λόγοι απόσβεσης επιτυγχάνουν πολύ υψηλές τιμές, η μείωση ιδιομορφικής απόσβεσης και ως εκ τούτου οι ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k εκφράζεται από την Εξ. (5.2) και Εξ. (5.3), αντίστοιχα, σε απόλυτες τιμές του ιδιομορφικού φάσματος επιτάχυνσης [217]. Ωστόσο, οι σημερινοί αντισεισμικοί κανονισμοί, όπως ο EC8 [2] κάνουν χρήση των φασμάτων απόκρισης σχεδιασμού ψευδο - επιτάχυνσεων για την σεισμική ανάλυση και το σχεδιασμό των κατασκευών και έτσι οι ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς πρέπει να ορίζονται και να προσδιορίζονται σε συνδυασμό με τα φάσματα απόκρισης/σχεδιασμού σε όρους ψευδο - επιτάχυνσης. Αυτό επιτυγχάνεται στην συνέχεια. Ο προσδιορισμός ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k φάσμα ψευδο-επιταχύνσεων μπορεί να επιτευχθεί ως εξής: για χρήση σε συνδυασμό με το Οι ιδιομορφικοί λόγοι μείωσης απόσβεσης B d,k για το φάσμα ψευδο-επιταχύνσεων ορίζονται ως B d,k = P S a,k(t k, ξ eq,k ) P S a,k (T k, ξ 5% ) (5.4) και έτσι οι αντίστοιχοι ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k με χρήση της Εξ. (5.4) ως q k = 1 B d,k (5.5) όπου P S a,k (T k, ξ k ) δηλώνει της τιμές του φάσματος ψευδοεπιτάχυνσης για την ιδιομορφή k, ξ eq,k είναι η ισοδύναμη απόσβεση της ιδιομορφής k, ξ 5% η απόσβεση ίση με 5% (τυπικές τιμές για απόσβεση σε κατασκευές Ο/Σ) και T k η χωρίς απόσβεση φυσική ιδιοπερίοδος στην ιδιομορφή k.

124 5.2. Εξαγωγή φασμάτων ψευδοεπιτάχυνσης 85 Η μετάβαση από τον απόλυτο ιδιομορφικό συντελεστή συμπεριφοράς q k στον ψευδο - συντελεστή συμπεριφοράς q k που χρησιμοποιείται για τον αντισεισμικό σχεδιασμού βάση των ελαστικών δυνάμεων επιτυγχάνεται εδώ με την ακόλουθη διαδικασία. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ο απόλυτος συντελεστής μείωσης δυνάμεων ορίζεται ως q k = S a,k (T acc,k, ξ 5%,k )/S a,k (T acc,k, ξ eq,k ) (5.6) όπου T acc,k η αποσβενημένη ιδιοπερίοδος της k ιδιομορφής που είναι ίση με T acc,k = T k / 1 ξk 2. Για τον σκοπό της συσχέτισης του T acc,k με T k για 5% απόσβεση και κάθε άλλου λογου απόσβεσης ξ eq, μπορεί να οριστεί S a,k (T acc,k, ξ 5%,k ) = k 1 S a,k (T k, ξ 5%,k ) και S a,k (T acc,k, ξ eq,k ) = k 2 S a,k (T k, ξ eq,k ). Επιπλέον, σύμφωνα με τους Papagiannopoulos et al. [219], S a,k (T acc,k, ξ 5%,k ) = λ 1 P S a,k (T k, ξ 5%,k ) και S a,k (T acc,k, ξ eq,k ) = λ 2 P S a,k (T k, ξ eq,k ). Έτσι, η Εξ. (5.6) μπορεί να γραφτεί βάση των ανωτέρω σχέσεων και των Εξ. (5.4) και (5.5) ως q k = k 1 λ 1 P S a,k (T k, ξ 5%,k ) k 2 λ 2 P S a,k (T k, ξ eq,k ) = k 1 λ 1 k 2 λ 2 1 B d,k = k 1 λ 1 k 2 λ 2 q k (5.7) και ως εκ τούτου οι ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς σχεδιασμού q k μπορούν να εκφραστούν ως q k = q k k 2 λ 2 k 1 λ 1 (5.8) Τα Σχ. 5.1 έως 5.4, δείχνουν γραφικά ισοδύναμους ιδιομορφικούς λόγους απόσβεσης q ως συνάρτηση της περιόδου (όσο υψηλότερη είναι η παραμόρφωση/βλάβη του συστήματος τόσο μεγαλύτερη είναι η απαιτούμενη ιδιομορφική απόσβεση που απαιτείται για την απόκτηση του αρχικού γραμμικού μη βλαμμένου συστήματος) για διάφορες κατηγορίες εδαφών (A, B, C, D). Τα σχήματα αυτά προέκυψαν με βάση την κατασκευή του μέσου φάσματος απόλυτων επιταχύνσεων για τα επιταχυνσιογραφήματα της παρούσας εργασία (βλέπε ενότητα 6.6), για κάθε τύπο εδάφους θεωρώντας 5% και διαφορετικές ποσότητες απόσβεσης, οι οποίες αντιπροσοπεύουν διαφορετικές τιμές παραμορφωσης/βλάβης τους συστήματος και με χρήση των Εξ. (5.6) και (5.8) λαμβάνονται οι απόλυτοι ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k και οι μετασχηματισμένοι ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς σχεδιασμού q k αντίστοιχα.

125 86 Κεφάλαιο 5. Προσδιορισμός Ιδιομορφικών Συντελεστών Συμπεριφοράς Σχήμα 5.1: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q συναρτήσει της ιξώδους απόσβεσης για έδαφος Α Σχήμα 5.2: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q συναρτήσει της ιξώδους απόσβεσης για έδαφος B

126 5.2. Εξαγωγή φασμάτων ψευδοεπιτάχυνσης 87 Σχήμα 5.3: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q συναρτήσει της ιξώδους απόσβεσης για έδαφος C Σχήμα 5.4: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q συναρτήσει της ιξώδους απόσβεσης για έδαφος D

127 88 Κεφάλαιο 5. Προσδιορισμός Ιδιομορφικών Συντελεστών Συμπεριφοράς Εκτίμηση διατομής μελών Ελαστικές δυνάμεις απο φάσμα επιταχύνσεων Επιλογή q k για επίπεδο παραμόρφωσης/βλάβης Αλλαγή διατομών Υπολογισμός σεισμικών δυνάμεων Σχεδιασμός σημείων πλαστικών αρθρώσεων ΟΧΙ Ελεγχος αντοχών, ικανοποιείται? ΝΑΙ Τέλος Σχήμα 5.5: Διαδικασία Σχεδιασμού με ιδιομορφικούς συντελεστές συμπεριφοράς q k

128 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος 6.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται τα κτίρια στα οποία βασίστηκε η παρούσα εργασία, ο σχεδιασμός τους και η προσομοίωσή που ακολουθήθηκε τόσο για τις γραμμικές όσο και για τις μη γραμμικές αναλύσεις. Οι κατηγορίες κτιρίων οπλισμένου σκυροδέματος που εξετάζονται ειναι 1) Επίπεδα καμπτικά πλαίσια (Σχ. 6.1), 2) Επίπεδα πλαίσια με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως (τοιχοπληρώσεις) στην σεισμική απόκριση του συστήματος (Σχ. 6.2), 3) Επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων (Σχ. 6.3). Eπίπεδα καμπτικά πλαίσια θεωρούνται τα πλαίσια που παραλαμβάνουν τις σεισμικές δυνάμεις μέσω καμπτικής συμπεριφοράς. Το πλαισιωτό σύστημα είναι το στατικό σύστημα όπου τόσο τα κατακόρυφα όσον και τα οριζόντια φορτία αναλαμβάνονται κυρίως απο χωρικά πλαίσια, των οποίων η διατμητική αντοχή στην βάση του κτιρίου υπερβαίνει το 65% της συνολικής διατμητικής αντοχής του όλου στατικού συστήματος. Τα πλαισιακά φέροντα συστήματα δεν υστερούν απο πλευράς αντοχής από τα δυαδικά, υπερτερούν από άποψη πλαστιμότητας, παρουσιάζουν όμως μειωμένη δυσκαμψία έναντι των δυαδικών. Μειονέκτημα τους είναι η ανάπτυξη μεγαλύτερων σχετικών μετακινήσεων ορόφων 89

129 90 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος (IDR) κατά την εκδήλωση της σεισμικής δράσης με αποτέλεσμα την εμφάνιση εκτεταμένων ζημιών στον οργανισμό πλήρωσης. Τα επίπεδα πλαίσια με συνυπολογισμό των τοιχπλοιρώσεων, ειναι πιο δύσκαμπτα απο τα γυμνά επίπεδα καμπτικά πλαισια. Οι τοιχοπληρώσεις, αν και θεωρούνται δευτερέυοντα στοιχεία και δεν παραλαμβάνουν κατακόρυφα φορτία βαρύτητας, στην περίπτωση σεισμικών φορτίων η επιρροή τους στη συμπεριφορά της κύριας κατασκευής εξαρτάται από την σύνδεση μεταξύ των τοιχοπληρώσεων και του σκελετού. Στην παρούσα εργασία εξετάζονται κατασκευές όπου οι τοίχοι πλήρωσης συνδέονται με τον κύριο σκελετό Ο/Σ έτσι ώστε να ακολουθούν τις παραμορφώσεις του. Αποτέλεσμα της σύνδεσης αυτής είναι να αναπτύσσονται δυνάμεις αλληλεπίδρασης στη διεπιφάνεια πλαισίων και τοιχοπληρώσεων, οι οποίες επηρεάζουν την συμπεριφορά των τοιχοπληρωμένων στοιχείων του πλαισίου καθώς και όλης της κατασκευής. Στον Ελληνικό χώρο το σύνολο σχεδόν των τοίχων πλήρωσης κατασκευάζεται με πλινθοδομή σε επαφή με το πλαίσιο του φέροντος οργανισμού. Έτσι οι τοίχοι αυτού του τύπου προσδίδουν αξιόλογη αντοχή και δυσκαμψία στο συνολικό φορέα και επηρεάζουν σοβαρά την απόκρισή του σε σεισμό παρεμποδίζοντας την πλευρική παραμόρφωση. Έτσι οι τοίχοι πλήρωσης αʹ) αυξάνουν την δυσκαμψία του κτιρίου, μειώνουν την ιδιοπερίοδό του οδηγώντας έτσι σε αύξηση της τέμνουσας βάσης λόγο σεισμού βʹ) παραλαμβάνουν μέρος της σεισμικής δύναμης ανακουφίζοντας την ένταση του φέροντος οργανισμού γʹ) αυξάνουν την ικανότητα απορροφήσεως σεισμικής ενέργειας στο εκάστοτε κτίριο Όσο περισσότερο εύκαμπτος είναι ο σκελετός τόσο μεγαλύτερες είναι και οι παραπάνω επιρροές. Καθώς ο οργανισμός πλήρωσης κατασκευάζεται απο μικρότερης αντοχής και παραμορφωσιμότητας υλικά από αυτά του φέροντα οργανισμού, είναι ο πρώτος που αστοχεί, με αποκολλήσεις από το τελάρο του σκελετού και χιαστί ρήγματα, απορροφώντας έτσι μεγάλες ποσότητες σεισμικής ενέργειας και ενεργώντας ως μια πρώτη γραμμή αντισεισμικής άμυνας. Η αστοχία αυτή οδηγεί σε απότομη μείωση της αντοχής και της δυσκαμψίας του πλινθοπληρωμένου πλαισίου σε πρώιμο στάδιο παραμορφώσεως, με αποτέλεσμα την απότομη μεταφορά φορτίων στον σκελετό. Τα επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων είναι πλαίσια τα οποία έχουν τοίχωμα από το οποίο είναι ένα κατακόρυφο μέλος με πεπλατυσμένη διατομή (συνήθως με λόγο πλευρών ορθογωνικής διατομής μεγαλύτερο του 4). Από πλευράς λειτουργίας στο σεισμό, τα τοιχώματα θεωρούνται τα στοιχεία που έχουν διάγραμμα ροπών χωρίς σημείο καμπής στο ενδιάμεσο του ύψους των ορόφων με ενδεχόμενη ίσως εξαίρεση στους τελευταίους ορόφους. Χαρακτηριστικό της σύζευξης αυτής είναι ότι στους χαμηλούς ορόφους το τοίχωμα αντιστηρίζει το πλαίσιο, ενώ αντίθετα στους επάνω ορόφους το πλαίσιο εμποδίζει τις μεγάλες μετακινήσεις του τοιχώματος και έτσι παρατηρείται το πλαίσιο να παρουσιάζει μικρή διακύμανση τέμνουσας ορόφου από τον πρώτο μέχρι τον τελευταίο όροφο

130 6.1. Εισαγωγή 91 ΚΑΜΠΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ m m Σχήμα 6.1: Επίπεδο καμπτικό πλαίσιο ΚΑΜΠΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΜΕ ΣΥΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΟΙΧΟΠΟΙΙΑΣ m m Σχήμα 6.2: Επίπεδο καμπτικό πλαίσιο με συνυπολογισμό τοιχπληρώσεων (Σχ. 6.4). Η λειτουργία του τοιχώματος μπορεί να προσομοιωθεί με την λειτουργία μιας μονόπακτης δοκού με ελαστική στήριξη στην κορυφή. Έτσι γίνεται αντιληπτή η μεγάλη ροπή που αναπτύσσεται στην πάκτωση του τοιχίου. Τα παραπάνω ισχύουν στην περίπτωση που εξασφαλίζονται οι συνθήκες πάκτωσης τοιχώματοςεδάφους. Για τα δίδυμα συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων που εξετάζονται σε αυτήν την εργασία θεωρείται πως ισχύουν συνθήκες πλήρους πάκτωσης με το έδαφος. Ο ρόλος των τοιχωμάτων είναι κατά κύριο λόγο η ανάληψη των σεισμικών φορτίων. Στις περισσότερες μάλιστα περιπτώσεις τα τοιχώματα αναλαμβάνουν το μεγαλύτερο ποσοστό της σεισμικής δύναμης, ενώ τα συνυπάρχοντα πλαίσια διαστασιολογούνται με στόχο την λειτουργία ως μια δεύτερη γραμμή αντισεισμικής άμυνας σε περίπτωση

131 92 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος ΤΟΙΧΩΜΑΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ m bw 9 1 6m 2 6m - bw Σχήμα 6.3: Επίπεδα δυαδικό σύστημα πλαισίου-τοιχώματος αστοχίας των τοιχωμάτων πέρα από την παραλαβή των κατακόρυφων φορτίων. Ειδικά σε χώρες όπως η Ελλάδα όπου η κατασκευαστική διαμόρφωση συστημάτων με πλαίσια υψηλής πλαστιμότητας είναι εν γένει πολύ δυσχερής, η χρήση των τοιχωμάτων είναι η κατεξοχήν ενδεικνυόμενη λύση αντισεισμικής προστασίας, ιδιαίτερα για κτίρια με περισσότερους από δύο ή τρεις ορόφους. Το κυριότερο πλεονέκτημα που παρουσιάζουν τα αντισεισμικά τοιχώματα είναι η σημαντική αύξηση της δυσκαμψίας ενός κτιρίου γεγονός που οδηγεί στην μείωση της επιρροής των φαινομένων 2ας τάξης και την μείωση των βλαβών στα μή φέροντα στοιχεία, των οποίων το κόστος είναι μεγαλύτερο από εκείνο του φέροντος οργανισμού. Η επιρροή των τοιχοπληρώσεων στην απόκριση των επίπεδων δυαδικών συστημάτων πλαισίων-τοιχωμάτων, είναι αρκετά μικρότερη από εκείνη στην απόκριση των καμπτικών πλαισίων (λόγω της μεγαλύτερης δυσκαμψίας των συστημάτων πλαισίων-τοιχωμάτων) και για αυτό στην παρούσα εργασία δεν εξετάζεται η επιρροή των τοιχοπληρώσεων σε αυτά τα συστήματα. Σχήμα 6.4: Διαγραμμα τεμνουσών για τον σεισμικό συνδυασμό δυαδικού συτήματος πλάισιο-τοιχωμα

132 6.2. Σχεδιασμός Κτηρίων 93 Συνοπτικά, για την εξαγωγή των τελικών εκφράσεων των ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς για τα ανωτέρω τρία συστήματα επιπέδων κατασκευών Ο/Σ, τα βήματα που ακολουθούνται είναι τα εξής: 1) Αντισεισμικός σχεδιασμός κτιρίων κατά τους ευρωπαϊκούς κανονισμούς. 2) Μη γραμμικές αναλύσεις για διάφορα επίπεδα βλάβης και προσδιορισμός έντασης σεισμού (μεγεθυντικού συντελεστή) κάθε επιπέδου αντίστοιχα. 3) Μη γραμμικές δυναμικές αναλύσεις χρονοϊστορίας για τον εκάστοτε έντασης σεισμό (και μεγεθυντικό συντελεστή) κάθε επιπέδου επιτελεστικότητας (όπως προέκυψε από την πρώτη ομάδα) με στόχο τον προσδιορισμό της απαιτούμενης ιξώδους απόσβεσης ώστε η βλαμμένη/μη-γραμμική κατασκευή να επιστρέψει στην γραμμική περιοχή. Η διαδικασία αυτή γίνεται επαναληπτικά προσφέροντας βηματικά απόσβεση στο σύστημα και ελέγχοντας την μορφή της συνάρτησης μεταφοράς. Η μη-γραμμική κατασκευή συνοδεύεται από μη λεία συνάρτηση μεταφοράς, ενώ η γραμμική κατασκευή από λεία συνάρτηση μεταφοράς (Κέφ. 3-4). 4) Υπολογισμός ιδιομορφικών λόγων ιξώδους απόσβεσης εξαρτώμενων από την κατηγορία εδάφους, τα δυναμικά χαρακτηριστικά της κατασκευής (περίοδος T) και τα επίπεδα βλάβης (Κεφ. 7). 5) Υπολογισμός ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k απο τους αντίστοιχους λόγους ιξώδους απόσβεσης που έχουν προσδιοριστεί (Κεφ. 8). 6.2 Σχεδιασμός Κτηρίων Η ένταση που αναπτύσσεται σε μια κατασκευή κατά την σεισμική διέγερση οφείλεται στην εξαναγκασμένη κίνηση στην οποία υποβάλλεται η θεμελίωση της με συνέπεια την ταλάντωση της κατασκευής. Είναι μια διαδικασία εισαγωγής κινητικής ενέργειας υπό μορφή ελαστικών παραμορφώσεων και διαδοχικών εναλλαγών από κινητική σε δυναμική ενέργεια παραμορφώσεων κατά τις διαδοχικές φάσεις ταλαντώσεως μέχρι την τελική διάχυσή της υπό μορφή θερμότητας με την διαδικασία της ιξώδους και υστερητικής αποσβέσεως. Έτσι το πρόβλημα σχεδιασμού έγκειται στην κατάλληλη διαστασιολόγηση των μελών στις αναμενόμενες πλαστικές αρθρώσεις ώστε να απορροφηθεί η κινητική ενέργεια υπό μορφή έργου παραμορφώσεως χωρίς να ξεπεραστεί ένα ελεγχόμενο επίπεδο βλάβης η οποία ορίζεται από τον εκάστοτε κανονισμό Γίνεται φανερό πως ενώ κατά τον σχεδιασμό για στατικά φορτία κυρίαρχα στοιχεία αποτελούν η δυσκαμψία και η αντοχή, κατά τον σχεδιασμό για σεισμική διέγερση εξίσου σημαντικοί παράγοντες είναι η παραμορφωσιμότητα (πλαστιμότητα) των δομικών μελών και η μάζα της κατασκευής. Για την παρούσα εργασία συνολικά σχεδιάστηκαν αʹ) 19 επίπεδα καμπτικά πλαίσια (2-20 ορόφων), με κριτήριο η σχετική μετακίνηση των ορόφων να μην ξεπερνάει το 1% για το συχνό σεισμό όπως ορίζεται στον Ευρωκώδικα 8 [2].

133 94 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος βʹ) 19 επίπεδα πλαίσια με έμμεση συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως (τοιχοπληρώσεις), η συνεκτίμιση αυτή προέκυψε με βάση το κριτήριο η σχετική μετακίνηση των ορόφων να μην ξεπερνάει το 0.5% για τον συχνό σεισμό, όπως ορίζεται στον Ευρωκώδικα 8[2] για την περίπτωση εκείνη που υπάρχει τοίχος πλήρωσης συνδεδεμένος μονολιθικά με το πλαίσιο. Τα πλαίσια αυτά είναι πιο δύσκαμπτα από την τα επίπεδα καμπτικά πλαίσια. γʹ) 19 επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων (2-20 ορόφων), με κριτήριο η σχετική μετακίνηση των ορόφων να μην ξεπερνάει το 1% για το συχνό σεισμό όπως ορίζεται στον Ευρωκώδικα 8 [2]. Οι διαστάσεις και οι οπλισμοί των παραπάνω πλαισίων μπορούν να βρεθούν στο Παράρτημα της παρούσας εργασίας Έτσι επιτυγχάνεται ένα ευρύ φάσμα ιδιοπεριώδων (Τ) το οποίο συντελεί σε καλύτερη αξιοπιστία και μεγαλύτερο εύρος εφαρμογής των προτεινόμενων σχέσεων σχεδιασμού που παρουσιάζονται στα Κεφ. 7 και Υλικά και φορτίσεις σχεδιασμού Όλα τα κτίρια Ο/Σ σχεδιάστηκαν για Κατηγορία Πλαστιμότητας Μέση (ΚΠΜ) με τις εξής ιδιότητες υλικών: αʹ) Σκυρόδεμα ποιότητας C25/30 (χαρακτηριστική αντοχή κυλίνδρου 25 MPa) με μέτρο ελαστικότητας ίσο με E c = 31GP a, ιδικό βάρος γ c = 25kN/m 3 και λόγο Poisson ν = 0.2. Ο συντελεστής ασφάλειας λήφθηκε ίσος με γ c = 1.50 βʹ) Ράβδοι χάλυβα ποιότητας S500s (τάση διαρροής ίση με 500MPa) με μέτρο ελαστικότητας ίσο με E s = 200GP a και ιδικό βάρος γ s = 77kN/m 3. Ο συντελεστής ασφάλειας λήφθηκε ίσος με γ s = 1.15 Τα φορτία που δρουν στην κατασκευή είναι : 1. Ίδιο βάρος κατασκευής G πού υπολογίζεται απο το ίδιο βάρος των υλικών. 2. Κινητά φορτία Q πάρθηκαν ίσα με 2kN/m 2 3. Σεισμικά φορτία E υπολογίστηκαν κατα τις διατάξεις του EC8 μέσω του φάσματος σχεδιασμού ψευδοεπιτάχυνσης με μέγιστη εδαφική επιτάχυνση ίση με α g = 0.30g, έδαφος κατηγορίας Β, ιξώδη απόσβεση ξ = 5% και συντελεστή συμπεριφοράς q = 3.90, (Σχ. 6.5 και 6.6). 4. Η ταλαντούμενη μάζα (η μάζα που δρά κατά την σεισμική διέγερση) θεωρήθηκε ίση με G+0.3Q.

134 6.2. Σχεδιασμός Κτηρίων Οι συνδυασμοί φορτίσεων σχεδιασμού ειναι 1.35G+1.50Q για τα στατικά φορτία και ±E + G Q για τα σεισμικά φορτία. Από τις παραπάνω φορτίσεις προκύπτει επίπεδο πλαίσιο με κατανεμημένο φορτίο στα δοκάρια ίσο με G beam = 24kN/m και Q beam = 6kN/m. Επιπλέον στα υποστυλώματα προκύπτει φορτίο ίσο με G col,mid = 142.7kN και Q col,mid = 36kN στα ενδιάμεσα και ίσο με G col,ext = 97.6kN και Q col,ext = 18kN στα εξωτερικά, τα οποία δρουν από τα γειτονικά πλαίσια και δεν επηρεάζουν τα φορτία των δοκών. Σχήμα 6.5: Ελαστικό φάσμα σχεδιαμσού EC8, q = 1 Σχήμα 6.6: Ανελαστικό φάσμα σχεδιασμού EC8 για q = 3.9 Ελήφθησαν υπόψη οι αποκρίσεις όλων των ιδιομορφών ταλάντωσης που συμβάλουν σημαντικά στη συνολική απόκριση, δηλ. εκείνων για τις οποίες το άθροισμα των ιδιομορφικών μαζών είναι τουλάχιστον ίσο με το 90% της συνολικής μάζας του φορέα. Ο συνδυασμός των ιδιομορφικών αποκρίσεων λήφθηκε κατά τον κανόνα SRSS καθώς οι περίοδοι απέχουν αρκετά μεταξύ τους, δηλαδή

135 96 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος E E = ΣE 2 Ei (6.1) όπου το E E ειναι το σεισμικό μέγεθος που εξετάζεται (δύναμη, μετακίνηση, κλπ) και E Ei είναι η τιμή του ίδιου σεισμικού μεγέθους λόγο της ιδιομορφής ταλάντωσης i. Η οριζόντιες συνιστώσες της σεισμικής δράσης είναι E Edx E Edy E Edy E Edx (6.2) Ακολουθήθηκαν όλες οι κατασκευαστικές διατάξεις του EC8 [2] για τοπική πλαστιμότητα. ετσι, π.χ., για την περίπτωση των δοκών θα πρέπει ο θλιβόμενος οπλισμός ρ 2 να είναι μεγαλύτερος απο το 50% του τοποθετημένου εφελκυόμενου οπλισμού ρ 1 και μικρότερος από το ρ 1,max που δίνεται από την σχέση ρ 1,max = ρ ϵ yd µ ϕ f cd f yd ρ 1,min 0.5 f ctm f yk (6.3) όπου ρ 2 = A s2 /bd είναι το ποσοστό θλιβόμενου οπλισμού, f cd η θλιπτική αντοχή σχεδιασμού του σκυροδέματος, f yd η εφελκυστική αντοχή σχεδιασμού του χάλυβα οπλισμού και ϵ yd = f yd /E s η παραμόρφωση σχεδιασμού του χάλυβα οπλισμού και µ ϕ η πλαστιμότητα καμπυλότητας που δίνεται από τις σχέσεις µ ϕ = 2q o 1αν T c µ ϕ = 1 + 2(q o 1) T c T αν T c (6.4) όπου T η περίοδος ταλάντωσης του συστήματος, T c η περίοδος άνω ορίου του κλάδου σταθερής φασματικής επιτάχυνσης και q o η βασική τιμή του συντελεστή συμπεριφοράς που εξαρτάται από τον τύπο του στατικού συστήματος και από την κανονικότητα σε κάτοψη. Επίσης έγινε ο έλεγχος συνάφειας των ράβδων της δοκού σε κάθε κόμβο δοκού-υποστυλώματος ο οποίος καθορίζει την ελάχιστη διάσταση των υποστυλωμάτων σύμφωνα με τους τύπους: Εσωτερικοί κόμβοι d bl h c 7.5f ctm γ Rd f yd v d k D ρ /ρ max (6.5) Εξωτερικοί κόμβοι

136 6.2. Σχεδιασμός Κτηρίων 97 d bl h c 7.5f ctm γ Rd f yd ( v d ) (6.6) όπου h c η διαθέσιμη, για την ανάπτυξη της συνάφειας των ράβδων, διάσταση του υποστυλώματος, ρ το ποσοστό του κάτω (θλιβόμενου) οπλισμού, d bl η μέγιστη διάμετρος του διαμήκους οπλισμού της δοκού που συντρέχει στον κόμβο και v d η ανηγμένη στο εμβαδό διατομής αξονική δύναμη. Για τις απαιτήσεις του σχεδιασμού, για τα επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων τα κτίρια προσομοιώθηκαν στο λογισμικό πεπερασμένων στοιχείων SAP2000[220] και ETABS[73] ως κτίρια τριών διαστάσεων (3-D), όπως φαίνεται στο Σχ Ο σχεδιασμός των κτιρίων πραγματοποιήθηκε βάση των ευρωπαϊκών κανονισμών Ευρωκώδικα 2 [31] και Ευρωκώδικα 8 [2]. Για την ολοκλήρωση του σχεδιασμού πέρα απο τα SAP2000 και ETABS έγινε επίσης χρήση του πακέτου υπολογιστικών εργαλείων MATLAB [132] με το οποίο κατασκευάστηκαν πολλές βοηθητικές ρουτίνες για τους ελέγχους οι οποίοι δεν προσφέρονταν από τα παραπάνω προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων, όπως, π.χ., οι έλεγχοι PΔ μέσω του συντελεστή ευαισθησίας θ και οι έλεγχοι βλάβης (σχετικές μετακινήσεις) όπως και διάφοροι έλεγχοι που αφορούν τις λεπτομέρειες σχεδιασμού (π.χ., οπλισμοί για τοπική πλαστιμότητα κτλ.) Τα υποστυλώματα και τα δοκάρια προσομοιώθηκαν ως γραμμικά μέλη συνδεδεμένα άκαμπτα μεταξύ τους, ενώ τα τοιχώματα με πεπερασμένα στοιχεία (shell element) στο ETABS [73]. Τα υποστυλώματα και τα τοιχώματα του ισογείου θεωρήθηκαν πακτωμένα στο έδαφος χωρίς να ληφθεί υπόψιν η αλληλεπίδραση εδάφους-κατασκευής. Η διαφραγματική λειτουργία λήφθηκε υπόψη με την προσομοίωση των δοκών ως πλακοδοκών ή δοκών Τ με συνεργαζόμενο πλάτος ίσο με το 1/8 του ανοίγματος [25], δηλαδή, b eff = 1.2m, ίδιο για όλες τις δοκούς, με τον ορισμό διαφράγματος σε κάθε έναν από τους ορόφους και τέλος λαμβάνοντας υπόψη τα κατάλληλα κατανεμημένα στις δοκούς νεκρά φορτία. Για όλες τις διατομές των μελών θεωρήθηκε επικάλυψη ίση με c = 30mm. Ο σχεδιασμός έγινε θεωρώντας κατηγορία εδάφους τύπου Β (αποθέσεις πολύ πυκνής άμμου, χαλίκων, ή πολύ σκληρής αργίλου, πάχους τουλάχιστον αρκετών δεκάδων μέτρων, που χαρακτηρίζεται από βαθμιαία βελτίωση των μηχανικών ιδιοτήτων με το βάθος). Η μέγιστη εδαφική επιτάχυνση αναφοράς a gr σε έδαφος κατηγορίας Β θεωρήθηκε 0.30g (όπου g η επιτάχυνση βαρύτητας ίση με 9.81 m/s 2 ). Η ιξώδης απόσβεση λήφθηκε ίση με 5%. Ως φάσμα σχεδιασμού για ελαστική ανάλυση με συντελεστή συμπεριφοράς q ίσο με 3.9 επελέγη αυτό τύπου 1 [2]. Ο συντελεστής συμπεριφοράς προκύπτει απο την σχέση q = q o k w 1.5 (6.7) όπου q o εξαρτάται από τον τύπο του στατικού συστήματος και από την κανονικότητά του σε όψη. Για κατηγορία μέσης πλαστιμότητας και για πλαισιωτό σύστημα q o = 3.0 a u /a 1 όπου για πολυώροφα πολύστυλα πλαισιωτά κτίρια a u /a 1 = 1.3. Η τιμή k w είναι ίση με 1.0 για πλαισιωτά συστήματα. Έτσι

137 98 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος η τελική τιμή του συντελεστή συμπεριφοράς προκύπτει ίση με q=3*1.3*1=3.9. Τα κτίρια που μελετήθηκαν χαρακτηρίζονται από στατική απλότητα, ομοιομορφία, συμμετρία και υπερστατικότητα, διαξονική αντοχή και δυσκαμψία, στρεπτική αντοχή και δυσκαμψία, διαφραγματική δράση στα επίπεδα των ορόφων και επαρκής θεμελίωση. Η κατηγορία σπουδαιότητας των κτιρίων, όπως ορίζεται στον EC8 [2] λήφθηκε η ΙΙ (συνήθη κτίρια). Τα ελαστικά καμπτικά και διατμητικά χαρακτηριστικά δυσκαμψίας των στοιχείων λήφθηκαν ίσα με το ήμισυ της αντίστοιχης δυσκαμψίας των μη ρηγματωμένων στοιχείων, δηλαδή ως EI eff = 0.5EI g (6.8) Ούτως ώστε να ληφθεί υπόψη η ρηγμάτωση των στοιχείων.οι επιρροές δευτέρας τάξεως (P-Δ) λήφθηκαν υπόψη μέσω του συντελεστή ευαισθησίας σχετικής μετακίνησης ορόφου θ και περιορίστηκαν σε τιμές μικρότερες από 0.2 σε όλους τους ορόφους. Ο συντελεστής αυτός δίνεται από τη σχέση θ i = P tot,i d i V tot,i h (6.9) όπου P tot,i είναι το συνολικό φορτίο βαρύτητας στην σεισμική κατάσταση σχεδιασμού του ορόφου i που εξετάζεται και των υπερκείμενων ορόφων, di είναι η τιμή σχεδιασμού της σχετικής μετακίνησης του ορόφου i, V tot,i η συνολική σεισμική τέμνουσα του ορόφου i και h i το ύψος του ορόφου i. Στα κτίρια που το θ βρισκόταν ανάμεσα στο 0.1 < θ < 0.2 τα αποτελέσματα δευτέρας τάξεως λήφθηκαν υπόψη προσεγγιστικά πολλαπλασιάζοντας τα αντίστοιχα σεισμικά εντατικά μεγέθη και μετακινήσεις με τον συντελεστή 1/(1 θ). Ακολουθήθηκε η συνθήκη γενικής και τοπικής πλαστιμότητας βάση του ικανοτικού σχεδιασμού. Βασικός παράγοντας του ικανοτικού σχεδιασμού είναι να αποτρέψει το σχηματισμό πλαστικών αρθρώσεων στα υποστυλώματα. Έτσι επιλέγονται οι δοκοί ως στοιχεία απορρόφησης ενέργειας και οπλίζονται κατάλληλα. Με αυτόν το τρόπο αποφεύγεται η ανάπτυξη πλαστικών αρθρώσεων στα υποστυλώματα καθώς αυτό μπορεί να οδηγήσει σε σχετικές μετακινήσεις ορόφων τέτοιες ώστε τα φαινόμενα δευτέρας τάξης να επιταχύνουν την κατάρρευση. Σύμφωνα με τον ικανοτικό σχδιασμό (EC8 [2]) MRb M i,d = 1.3M Rc,i min( ) (6.10) MRc όπου i, d είναι η ροπή σχεδιασμού των υποστυλωμάτων, M Rc είναι το άθροισμα των τιμών σχεδιασμού των ροπών αντοχής των υποστυλωμάτων κατά την αξονική δύναμη στην σεισμική κατάσταση σχεδιασμού και M Rb το άθροισμα των τιμών σχεδιασμού των ροπών αντοχής των δοκών που συνδέονται μονολιθικά στον κόμβο, αντίστοιχα, M Rc,i είναι η τιμή σχεδιασμού των ροπών αντοχής του υποστυλώματος στο άκρο i στην φορά της σεισμικής ροπής κάμψεως για την εξεταζόμενη φορά της σεισμικής δράσης. Στα τοιχώματα ο ικανοτικός σχεδιασμός γίνεται για την διασφάλιση διαμόρφωσης της πλαστικής άρθρωσης στην βάση του τοιχώματος.

138 6.2. Σχεδιασμός Κτηρίων 99 Ο Ευρωκώδικας 8 περιορίζει τις βλάβες στα κτήρια μέσω του περιορισμού των γωνιακών παραμορφώσεων των ορόφων (Interstorey drift ratio = IDR) υπο συχνή σεισμική δράση (κατάσταση λειτουργικότητας) και έτσι για κτίρια σπουδαιότητας Ι και ΙΙ με ελαστική σεισμική δύναμη το 50% αυτής του σχεδιασμού), το όριο της γωνιακής παραμόρφωσης των ορόφων (IDR max) ορίζεται ίσο με αʹ) 0.5% αν υπάρχουν ψαθυρά μη φέροντα στοιχεία συνδεδεμένα με τον φορέα έτσι ώστε να ακολουθούν τις παραμορφώσεις του (πχ τοιχοπληρώσεις) βʹ) 0.75% αν τα μη φέροντα στοιχεία που συνδέονται με τον φορέα είναι πλάστιμα γʹ) 1% αν δεν υπάρχουν μη φέροντα στοιχεία συνδεδεμένα με τον φορέα Έτσι για την περίπτωση γ) (καμπτικά και δυαδικά πλαίσια) έχει κανείς ότι (IDR)v = rv h (6.11) όπου r είναι η τιμή σχεδιασμού της σχετικής παραμόρφωσης ορόφου h, είναι το ύψος του ορόφου και v συντελεστής μείωσης 0.5 για κατηγορίες κτιρία σπουδαιότητας Ι και ΙΙ. Κατά τον σχεδιασμό και για το ήμισυ της σεισμική επιτάχυνσης, στα επίπεδα καμπτικά πλαίσια (Σχ.6.1) και επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων (Σχ. 6.3) η γωνιακή παραμόρφωση περιορίστηκε στο 1% ενώ στα επίπεδα πλαίσια με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως (τοιχοπληρώσεις) (Σχ. 6.2) η γωνιακή παραμόρφωση περιορίστηκε στο 0.5% και έτσι λήφθηκε έμμεσα υπόψη η παρουσία των τοιχοπληρώσεων κατά τον σχεδιασμό. Σχήμα 6.7: Προσομοίωση/Σχεδιασμός τρισδιάστατης κατασκευής Για τις μετέπειτα ανελαστικές αναλύσεις το πλαίσιο απομονώνεται και εξετάζεται στις δύο διαστάσεις (2D). Ο τελικός σχεδιασμός των πλαισίων, διατομές και διαμήκεις οπλισμοί δίνονται στο Παράρτημα (σελ. 285). Στο Σχ. 6.9 παρουσιάζεται ένα τυπικό καμπτικό επίπεδο πλαίσιο τριών ορόφων και στον Πίνακα 6.1 δίνονται οι διαστάσεις και οι οπλισμοί των υποστυλωμάτων και των δοκών. Στα

139 100 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος Σχήμα 6.8: Προσομοίωση δισδιαστατης κατασκευής σχήματα 6.10 και 6.11 φαίνεται η διατομή του υποστυλώματος και της δοκού με τα γεωμετρικά τους χαρακτηριστικά και την διάταξη του οπλισμού τους. Σε όλα τα κτίρια θεωρήθηκε οπλισμός πλάκας ίσος με 250mm 2 /m του συνεργαζόμενου πλάτους πέλματος b eff για τις δοκούς. Τα σύμβολα που χρισημοποιούνται στον Πίνακα 6.1 και στο Σχ. 6.9 ειναι τα ακόλουθα : h είναι το ύψος της διατομής των υποστυλωμάτων και των δοκών, n A, n B είναι οι συνολικοί αριθμοί των ράβδων οπλισμού κάθε ομάδας ράβδου Α και Β, αντίστοιχα, ϕ A και ϕ B είναι η διάμετρος των ράβδων οπλισμού της κάθε ομάδας ράβδου Α, Β, αντίστοιχα το σύμβολο R c συμβολίζει τον συνολικό οπλισμό των υποστυλωμάτων και R 1, R 2, R 3 and R 4 συμβολίζουν τον οπλισμό κάθε πλευράς των δοκών ακολουθώντας τους δείκτες της εικόνας 6.9. Έτσι, για παράδειγμα, η δοκός Νο. 5 (Σχ. 6.10) του 3-όροφου πλαισίου (Σχ. 6.9) έχει οπλίστεί στην πάνω αριστερή πλευρά (R 1 ) με 2ϕ18(n A ϕ A )+2ϕ16(n B ϕ B )+250mm 2 /m (με τον τελευταίο οπλισμό να προέρχεται απο το συνεργαζόμενο πλάτος σε εφελκυσμό και συμβολίζεται με ένα αστέρι στο R 1 ) και επίσης το υποστύλωμα Νο. 1 (Σχ. 6.11) έχει οπλιστεί με 8ϕ18(n A ϕ A ). Στον Πίνακα 6.1 δίνονται μονο οι απαραίτητες γεωμετρικές διαστάσεις και οπλισμοί των μελών του πλαισίου. Τα πλαίσια ειναι συμμετρικά, δηλ., τα εξωτερικά (1,4) και τα εσωτερικά (2,3) υποστυλώματα έχουν τις ίδιες γεωμετρικές διαστάσεις και οπλισμούς, οι δοκοί Νο. 5 και Νο. 7 επίσης έχουν τις ίδιες γεωμετρικές διαστάσεις και οπλισμούς κτλ. Στο Παράρτημα, όπου δίνονται οι διαστάσεις και οι οπλισμοί όλων των πλαισίων της εργασίας, ακολουθούνται οι ίδιοι συμβολισμοί και δείκτες με το Σχ. 6.9 και τον Πίνακα 6.1. Η σύνδεση υποστυλωμάτων-δοκών δεν θεωρήθηκε πλήρως άκαμπτη αλλά σύμφωνα με το Σχ ώστε να μην υποτιμηθεί η περίοδος της κατασκευής [25]. Στα κτίρια όπου υπάρχουν τοιχοπληρώσεις, για την αποφυγή τυχών δυσμενών επιρροών των τοιχοπληρώσεων στην γενική απόκριση του κτιρίου και για τις περιπτώσεις που η κατανομή των τοιχοπληρώσεων κατά την κάτοψη ενός κτίριο είναι έντονα μη κανονική, ο EC8 [2] απαιτεί την προσομοίωση των τοιχοπληρώσεων για τις γραμμικές αναλύσεις στα πλαίσια του αντισεισμικού σχεδιασμού.

140 6.2. Σχεδιασμός Κτηρίων m 11 R1 5 R3 R3 6 R3 R3 7 R1 R2 R4 R4 R4 R4 R2 Ri=Reinforcement 6m 1 Rc Σχήμα 6.9: Τυπικό 3όροφο πλαισιο Πίνακας 6.1: Διαστάσεις διατομών και οπλισμοί για το το 3-όροφο καμπτικό πλαίσιο Frame 3 R c R1 R 2 R3 R 4 Column h n A ϕ A n B ϕ B Beam h n A ϕ A n B ϕ B n A ϕ A n B ϕ B n A ϕ A n B ϕ B n A ϕ A n B ϕ B * +250mm 2 /m top reinforcement of the effective slab width in tension Αυτό μπορεί να γίνει κάνοντας χρήση μιας ισοδύναμης θλιβόμενης διαγώνιας αντηρίδας (Σχ. 6.13) (Mainstone [221]) με την χρήση των σχέσεων w inf = 0.175L cl cosθ(λh) 0.4 (6.12) λ = ( E wt w sin2θ 4E c I c H cl ) )0.25 (6.13) όπου L cl είναι η καθαρή οριζόντια διάσταση της τοιχοπλήρωσης, θ = Arctan(H cl /L cl ), H και H cl είναι το θεωρητικό και καθαρό ύψος, αντίστοιχα, E c και E w είναι το μέτρο ελαστικότητας υποστυλώματος Ο/Σ (30 GPa) και τοιχοποιίας ( MPa κατα EC6[222]), αντίστοιχα, t w είναι το πάχος της τοιχοποιίας και I c είναι η ροπή αδράνειας υποστυλώματος. Εναλλακτικά ο EC8[2] επιτρέπει τον προσδιορισμό του πλάτους της διαγωνίου ως ένα ποσοστό του καθαρού μήκους της διαγωνίου, L cl, όπου για νέα κτίρια και για στάθμη ασφάλειας ζωής το ποσοστό αυτό είναι 10-15% υπο τον σεισμό σχεδιασμού, ενω για την στάθμη άμεσης χρήσης το ποσοστό είναι περίπου 20%.

141 102 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος h s=150mm Beam 5 beff=1200mm R1 2Φ16 2Φ18 h=500mm 3Φ18 R2 bw=300mm Σχήμα 6.10: Διατομή και οπλισμός Δοκάριου 5 Column 1 b=350mm h=350mm 8Φ18 Σχήμα 6.11: Διατομή και οπλισμός Υποστύλωματος 1 Ο Ευρωκώδικας 8 [2] για να λάβει υπόψη την δυσμενή επιρροή των τοιχοπληρώσεων λόγω ανομοιόμορφης κατανομής καθ ύψος (πχ. ύπαρξη πυλωτής) και όταν δεν υπάρχουν στο κτίριο τοιχώματα δυσκαμψίας που να αναλαμβάνουν τουλάχιστον το 50% της σεισμικής τέμνουσας βάσης, προτείνει την αύξηση της σεισμικής έντασης σχεδιασμού των στοιχείων των μη τοιχοπληρωμένων ορόφων, ώστε να καλυφθεί το έλλειμμα στην συνολική αντοχή του ορόφου από την παρουσία περισσότερων τοιχοπληρώσεων στον αμέσως επόμενο όροφο. Η αύξηση αυτή γίνεται με τον πολλαπλασιασμό των εντατικών μεγεθών που προκύπτουν από την ανάλυση για τον σεισμό σχεδιασμού επί τον συντελεστή n = 1 + V Rd ΣV Ed q (6.14) όπου V Rd είναι το έλλειμμα της διατμητικής αντοχής των τοιχοπληρώσεων του ορόφου ως προς αυτή των τοιχοπληρώσεων στον ακριβώς πάνω από όροφο και ΣV Ed είναι η συνολική τέμνουσα σχεδιασμού του ορόφου. Στην παρούσα εργασία για τον αντισεισμικό σχεδιασμό των επίπεδων πλαισίων με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως (τοιχοπληρώσεις), δεν λήφθηκε κάποιο προσομοίωμα κατα τον σχεδιασμό για την συνεκτίμηση των τοιχοπληρώσεων, η συνεκτίμηση αυτή προέκυψε έμμεσα με βάση το κριτήριο βλάβης των μη φέροντων στοιχείων για τα οποία η σχετική μετακίνηση των ορόφων περιορίζεται στο 0.5% για τον συχνό σεισμό (δηλ., τον μισό σεισμό σχεδιασμού), όπως ορίζεται στον Ευρωκώδικα 8 [2] για την περίπτωση εκείνη που υπάρχει τοίχος πλήρωσης συνδεδεμένος μονολιθικά με το πλαίσιο. Αναλυτικό προσομοίωμα για τον συνυπολογισμό των τοιχοπληρώσεων λήφθηκε μόνο στις μη-γραμμικές αναλύσεις το οποίο θα παρουσιαστεί παρακάτω

142 6.3. Μη γραμμική ανάλυση 103 Σχήμα 6.12: Προσομοίωση δυσκαμψίας κόμβου, Elwood et al., 2007 Σχήμα 6.13: Προσομοίωση τοιχοπλήρωσης με ισοδύναμη θλιβόμενη διαγώνια αντηρίδα 6.3 Μη γραμμική ανάλυση Οι φορείς που αναλύονται όπως έχει ήδη αναφερθεί είναι επίπεδα καμπτικά πλαίσια (Σχ. 6.1), επίπεδα πλαίσια με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως (τοιχοπληρώσεις) στην σεισμική απόκριση του συστήματος, (Σχ. 6.2) και επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων, (Σχ. 6.3). Η διακριτοποίηση των φορέων γίνεται κατά δομικό στοιχείο και η ανάλυση πραγματοποιείται με την μέθοδο αμεσης δυσκαμψίας όπου το μητρώο δυσκαμψίας προκύπτει ως άθροισμα των κατάλληλων όρων των μητρώων δυσκαμψίας των μεμονωμένων στοιχείων [71]. Η βασική εξίσωση της δυναμικής ισορροπίας, ενός διακριτοποιημένου μη-γραμμικού συστήματος που υπόκειται σε σεισμική επιτάχυνση στην βάση του δίνεται από την M ü + C T u + K T u = M ẍ 0 (6.15) όπου M είναι το μητρώο μάζας του συστήματος, C T το εφαπτομενικό μητρώο απόσβεσης, K T το εφαπτομενικό μητρώο δυσκαμψίας του συστήματος που γενικά μεταβάλλεται σε κάθε στιγμή που κάποιο μέλλος περνά απο την ελαστική στην μετελαστική φάση και αντίστροφα. Τα u, u, ü είναι τα διανύσματα μεταβολών των σχετικών ως προς την βάση μετακινήσεων, ταχυτήτων και επιταχύνσεων, αντίστοιχα, με t να δηλώνει το χρονικό βήμα της αριθμητικής ολοκληρώσεως. Τέλος, ẍ 0 είναι το

143 104 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος διάνυσμα των μεταβολών των σεισμικών επιταχύνσεων βάσεως στο χρονικό διάστημα t. Για την επίλυση της ανωτέρω μητρωικής διαφορικής εξίσωσης δευτέρας τάξεως γίνεται χρήση της αριθμητικής μεθόδου Newmark με β = 1/4 [218] η οποία είναι μέθοδος σταθερής επιτάχυνσης για κάθε χρονικό διάστημα ολοκληρώσεως, σε συνδυασμό με την παραδοχή πως το μητρώο απόσβεσης C T δίνεται από την εξίσωση [218] C T = αm + β T K T + β 0 K 0 (6.16) όπου K 0 ειναι το αρχικό μητρώο δυσκαμψίας του συστήματος, α, β T, β 0 είναι συντελεστές απόσβεσης ανάλογοι προς τον λόγο απόσβεσης ξ (ξ = 5% τυπική τιμή σε κτίρια από Ο/Σ). Έτσι προκειμένου να αναλυθεί ένα επίπεδο πλαίσιο με ανελαστική συμπεριφορά σε σεισμική διέγερση θα πρέπει να είναι γνωστά τα εξής: αʹ) Η γεωμετρία του συστήματος (μήκη δομικών στοιχείων, διατομές, συνδεσμολογια) βʹ) Η όπλιση των δομικων στοιχείων με διαμήκεις οπλισμούς και συνδετήρες γʹ) Τα φορτία ορόφων του πλαισίων απο τα οποία προκύπτουν οι αντίστοιχες μάζες δʹ) Η τιμή της ιξώδους απόσβεσης (ξ) εʹ) Τα επιταχυνσιογραφήματα διεγέρσεως στʹ) Τα μηχανικά χαρακτηριστικά των υλικών της κατασκευής Κατά την μη γραμμική ανάλυση το μητρώο δυσκαμψίας και αποσβέσεως μεταβάλλεται ενώ το μητρώο μάζας διατηρείται σταθερό καθ όλη τη διαδικασία της χρονικής ολοκληρώσεως. Οι μη γραμμικές αναλύσεις πραγματοποιήθηκαν με το λογισμικό Ruaumoko [223] το οποίο διακρίνεται για την ευκολία χρήσης του, την ταχύτητα επίλυσης καθώς και για τα πολλά υστεριτικά μοντέλα που περιλαμβάνει. Οι μη γραμμικές αναλύσεις χωρίζονται σε δύο ομάδες: αʹ) Στην πρώτη ομάδα πραγματοποιήθηκαν μη γραμμικές αναλύσεις με σκοπό την εύρεση του συντελεστή μεγέθυνσης κάθε επιταχυνσιογραφήματος που αντιστοιχεί στο εκάστοτε επίπεδο βλάβης (Σχ. 6.15). Οι αναλύσεις αυτές πραγματοποιήθηκαν για 38 επίπεδα καμπτικά πλαίσια, 19 επίπεδα πλαίσια με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως (τοιχοπληρώσεις) και 19 επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων,δηλ., συνολικά 76 πλαίσια. Κάθε πλαίσιο εξετάστηκε για 100 σεισμούς (25 από κάθε τύπο εδάφους A, B, C, D κατά EC8 [2]). Κάθε σεισμός κλιμακώθηκε αναλόγως ώστε να προκαλεί βλάβη στο σύστημα ή να αντιστοιχεί σε κάθε ένα από τα 7 επίπεδα

144 6.3. Μη γραμμική ανάλυση 105 M θ p θ pc M c M y M r EI eff θ y θ Σχήμα 6.14: Αναπαράσταση της προσομοίωση ενός τυπικού πλαισίου στο Ruaumoko για μη-γραμμική ανάλυση επιτελεστικότητας (βλέπε Ενότητα 6.5). Η διαδικασία κλιμάκωσης (Σχ. 6.15) χρειάστηκε περίπου 8 επαναλήψεις με την μέθοδο της διχοτόμησης. Έτσι συνολικά μόνο για αυτήν την πρώτη ομάδα χρειάστηκαν περίπου = 425, 600 μη γραμμικές αναλύσεις χρονοϊστορίας. βʹ) Στην δεύτερη ομάδα πραγματοποιήθηκαν μη γραμμικές αναλύσεις με σταθερό συντελεστή μεγέθυνσης (αυτό που αντιστοιχεί σε κάθε σεισμο για το εκάστοτε επίπεδο βλάβης) όπου σε κάθε βήμα αυξανόταν η απόσβεση από 0% μέχρι 100% με βήμα 1% και 0.5% για τα μικρά επίπεδα επιτελεστικότητας/βλάβης και καταγραφόταν η τιμή αυτή της απόσβεσης που πληρούσε τα κριτήρια μονοτονίας που παρουσιάστηκαν στο κεφάλαιο 4 για κάθε ιδιομορφή που εμφανιζόταν. Η διαδικασία αυτή χρειάστηκε περίπου 25 επαναλήψεις για κάθε επίπεδο βλάβης. Οπότε συνολικά οι αναλύσεις της δεύτερης ομάδας φτάνουν τις = 1, 330, 000. Έτσι προκύπτει ένας πολύ μεγάλος όγκος μη γραμμικών αναλύσεων (συνολικά περίπου 1, 755, 600) και για αυτόν τον λόγο η προσομοίωση των πλαισίων στηρίχθηκε σε απλά προσομοιώματα χωρίς ωστόσο να επιβαρύνεται η ζητούμενη επιθυμητή ακρίβεια και καθώς ο σκοπός των παραπάνω αναλύσεων δεν είναι η ακριβής εύρεση των αποκρίσεων μιας συγκεκριμένης κατασκευής, αλλά η κατασκευή

145 106 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος Σεισμικές καταγραφές Συντελεστής κλιμάκωσης Αναθεώρηση Συντελεστή κλιμάκωσης Μη γραμμική ανάλυση χρονοϊστορίας ΟΧΙ Έλεγχος Μετακινήσεων Ικανοποιείται? ΝΑΙ Τελικές τιμές συντελεστή κλιμάκωσης Σχήμα 6.15: Διαδικασία κλιμάκωσης επιταχυνσιογραφημάτων για δεδομένο επίπεδο βλάβης εξισώσεων σχεδιασμού μέσω μη-γραμμικών αναλύσεων παλινδρόμησης (δηλ. τα αποτελέσματα προκύπτουν ως ένας μέσος όρος των αναλύσεων), οπότε η υπερβολική ακρίβεια στην προσομοίωση δεν θα είχε νόημα. Έτσι για τις ανάγκες της παρούσας εργασίας η ακρίβεια των προσομοιωμάτων θεωρείται ικανοποιητική Η ανελαστική συμπεριφορά των στοιχείων απο Ο/Σ λαμβάνεται υπόψη με θεώρηση κατάλληλων προσομοιωμάτων για το διάγραμμα ροπών - στροφών (Μ - θ) στα άκρα των στοιχείων. Για την προσομοίωση της καμπτικής συμπεριφοράς δοκών υποστυλωμάτων και τοιχωμάτων χρησιμοποιήθηκε το στοιχείο γραμμικού μέλους και συγκεντρωμένης πλαστιμότητας (σημειακές αρθρώσεις) στα άκρα των μελών. Η σχέση ροπής - στροφής χορδής στο άκρο του μέλους για ανακυκλιζόμενη ένταση θεωρήθηκε οτι ακολουθεί το τροποποιημένο κατά Otani [8] προσομοίωμα Takeda [9] (Σχ.6.16) το οποίο είναι διαθέσιμο στο λογισμικό του Ruaumoko [10]. Το προσομοίωμα αυτό είναι δημοφιλές για την ανάλυση Ο/Σ καθώς απεικονίζει αρκετά αξιόπιστα την ανελαστική συμπεριφορά σε ανακυκλιζόμενη φόρτιση στοιχείων Ο/Σ όπου κυρίαρχη είναι η κάμψη. Για τον ποσοτικό καθορισμό του προσομοιώματος ανά δομικό στοιχείο απαιτούνται οι διαστάσεις διατομών, οπλισμοί και η ποιότητα των υλικών. Οι παράμετροι του προσομοιώματος είναι οι εξής: 1. Οι ροπές διαρροής M + y και M y, οι οποίες λαμβάνονται διαφορετικές σε θετική και αρνητική κάμψη για τις μή συμμετρικές διατομές και/ή οπλισμό, όπως π.χ. σε δοκούς. 2. Η δυσκαμψία EI μέχρι την διαρροή, με την ίδια τιμή για θετική και για αρνητική κάμψη. Στις περιπτώσεις μη συμμετρικής διατομής και/ή οπλισμού υπολογίστηκε ο μέσος όρος των EI για θετική και αρνητική κάμψη.

146 6.3. Μη γραμμική ανάλυση 107 Σχήμα 6.16: Υστερητικό τροποποιημένο κατά Otani [8] προσομοίωμα Takeda [9] 3. Ο σταθερός λόγος κράτυνσης ρ της μετελαστικής περιοχής, ίδιος για θετική και αρνητική κάμψη. 4. Η παράμετρος α που δηλώνει την απομείωση δυσκαμψίας κατα την ανακυκλιζόμενη φόρτιση. 5. Η παράμετρος β, η οποία καθορίζει την απόσταση του μετελαστικού κλάδου της καμπύλης στον οποίο κατευθύνεται ο κλάδος επαναφόρτισης, από το ακρότατο προγενέστερο σημείο φόρτισης πάνω στον ίδιο μετελαστικό κλάδο, ως ποσοστό της απόστασης του τελευταίου σημείου απο το σημείο διαρροής. Στην εργασία αυτήν οι συντελεστές α και β για όλα τα μέλη δοκών και υποστυλωμάτων ελήφθησαν ως α = 0.3 και β = 0.5, ενώ για τα τοιχώματα το α = 0.3 και το β = 0. Οι παράμετροι βασίστηκαν στην χρήση των μέσων τιμών αντοχών των αντίστοιχων υλικών σχεδιασμού (f cm = f ck + 8MP a και f ym = 1.15f yk ). Η κόμβος σύνδεσης υποστυλωμάτων - δοκών θεωρήθηκε ότι δεν έχει μεγάλη επίδραση καθώς τα μέλη σχεδιάστηκαν σύμφωνα με νέους κανονισμούς (EC8 [2]) όπου οι διατάξεις τους αποφεύγουν την πρόωρη αστοχία σε διάτμηση στον κόμβο. Έτσι και μετά από τον ικανοτικό σχεδιασμό στην περιοχή του κόμβου προκύπτει να αστοχεί πρώτα η δοκός σε κάμψη. Για τον λόγο αυτόν παραλήφθηκε η προσομοίωση του κόμβου και εκλέχθηκε να προσομοιωθεί με άκαμπτο στοιχείο το μήκος του υποστυλώματος εσωτερικά του κόμβου όπως φαίνεται στο Σχ Τα υποστυλώματα και τα τοιχώματα του ισογείου θεωρήθηκαν πακτωμένα στη βάση τους καθώς σκοπός των αναλύσεων ήταν ο προσδιορισμός της απόκρισης της ανωδομής στις πλαστικές αρθρώσεις των μελών από την πλευρά της ασφάλειας λόγω του λικνισμού των τοιχωμάτων και/ή ανακούφισης των ροπών των υποστυλωμάτων στην βάση του. Ο σκοπός ήταν η εξαγωγή σχέσεων σχεδιασμού και όχι η ακριβής εύρεση της απόκρισης της κατασκευής. Για τον λόγο αυτόν δεν θεωρήθηκε απαραίτητη η προσομοίωση της αλληλεπίδρασης εδάφους - κατασκευής.

147 108 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος Τα μέλη θεωρούνται σχεδιασμένα έτσι ώστε να μην αστοχήσουν πρόωρα σε τέμνουσα και έτσι δεν λαμβάνεται υπόψη διατμητική αστοχία κατά τις ανελαστικές αναλύσεις. Η προσομοίωση της ανακυκλιζόμενης φόρτισης των μελών έγινε σε επίπεδο δομικού στοιχείου. Τα υποστυλώματα και οι δοκοί προσομοιώθηκαν ως γραμμικά στοιχεία συγκεντρωμένης πλαστιμότητας στις άκρες τους όπου και αναμένεται η δημιουργία πλαστικής άρθρωσης. Για τα υποστυλώματα λήφθηκε υπόψιν η αλληλεπίδραση αξονικής δύναμης και ροπής αντοχής, όπως φαίνεται στο σχήμα Σχήμα 6.17: Προσομοίωση αλληλεπίδρασης Ροπής - Αξονικής δύναμης 6.4 Προσομοίωση απομείωσης αντοχής και δυσκαμψίας Η απομείωση αντοχής λαμβάνεται υπόψη για όλα τα μέλη στις πλαστικές αρθρώσεις τους. Η απομείωση αυτή προσομοιώνεται στο λογισμικό Ruaumoko 2-D [10] ως συνάρτηση της μέγιστης πλαστιμότητας όπως φαίνεται στο σχήμα (6.18). Πρέπει να τονιστεί πως για την περίπτωση των δοκών Τ η πλαστιμότητα είναι διαφορετική για κάθε διεύθυνση κάμψης καθώς έχουν διαφορετικούς οπλισμούς πάνω και κάτω στην διατομή και διαφορετική ροπή αδράνειας συναρτήσει της διεύθυνσης της κάμψης. Στο σχήμα 6.18 DUCT1 αναφέρεται στην τιμή της πλαστιμότητας όπου η η απομείωση της αντοχής ξεκινάει να συμβαίνει και DUCT2 αναφέρεται στην πλαστιμότητα στο τέλος της απομείωσης αντοχής υποθέτοντας εδω μια τιμή M/M y = 0.2. Η καμπύλη ροπής M και στροφής θ είναι όπως φαίνεται στο Σχ όπου θ p και θ pc δίνονται από τις εμπειρικές σχέσεις ([11, 12]) θ p = 0.12( α sl )(0.16) v ( ρ sh ) 0.43 (0.54) 0.01cf c(0.66) 0.1sn (2.27) 10.0ρ (6.17) θ pc = (0.76)(0.031) v ( ρ sh ) (6.18) όπου a sl = 0 (η ολίσθηση του οπλισμού αποτρέπεται), v = P /f ca g ανοιγμένη αξονική δύναμη (με P την αξονική δύναμη, f c η ονομαστική καθορισμένη ελάχιστη αντοχή του σκυροδέματος σε θλίψη και

148 6.4. Προσομοίωση απομείωσης αντοχής και δυσκαμψίας 109 M/My DUCT1 (>1.0) DUCT2 Ductility Σχήμα 6.18: Προσομοίωση απομείωσης αντοχής σε όρους πλαστιμότητας ([10]) A g το εμβαδό διατομής), ρ sh = A sh /sb ποσοστό εγκάρσιου οπλισμού στις πλαστικές αρθρώσεις (με A sh εμβαδόν ράβδου, s απόσταση ράβδου, και b το πλάτος διατομής), c είναι ίσο με 1.0 για μονάδες SI σε MPa, s n = (s/d b )(f y /100) 0.5 συντελεστής λυγισμού των ράβδων (όπου s η απόσταση των συνδετήρων, d b η διάμετρος διαμήκους ράβδου και f y /100 η αντοχή των ράβδων οπλισμού σε μονάδες SI) και ρ = A s /bh το ποσοστό διαμήκους οπλισμού (με A s το εμβαδόν του οπλισμού b και h διάσταση διατομής). Έτσι, κατά το Σχ. 6.19, μπορεί να προσδιοριστεί με την βοήθεια των Εξ. (6.17) και (6.18) DUCT1 = (θ y + θ p )/θ y και DUCT2 = (θ y + θ p + θ pc )/θ y και η καμπύλη απομείωσης αντοχής του Σχ ορίζεται πλήρως. Η απομείωση δυσκαμψίας στις πλαστικές αρθρώσεις λαμβάνεται μέσω του υστερητικού προσομοιώματος Takeda (Σχ. 6.20) με παράμετρο αποφόρτισης α = 0.3, παράμετρο επαναφόρτισης β = 0.5 [224] και μετ ελαστικής κράτυνσης r = 0.05 της ελαστικής δυσκαμψίας για όλα τα μέλη. Η παραπάνω προσομοίωση ελέγχθηκε με πειραματικά δεδομένα εργαστηρίου [225] με τη βοήθεια του προγράμματος που κατασκευάστηκε σε γλώσσα MATLAB [132] που φαίνεται στο Σχ Έτσι λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω η τελική απόκριση κάθε μέλους προκύπτει να είναι της μορφής του Σχ Φαινόμενα 2ας τάξης Όσο αυξάνει το ύψος των κτιρίων τόσο πιο έντονα είναι τα φαινόμενα 2ας τάξης. Τα φέροντα συστήματα, υπό την επίδραση των σεισμικών δυνάμεων, λόγω της ανελαστικής αποκρίσεως τους εμφανίζουν μεγάλες οριζόντιες μετατοπίσεις με αποτέλεσμα να δημιουργούνται σοβαρά προβλήματα δευτέρας τάξης. Η επίδραση των φαινομένων δευτέρας τάξης μπορεί να παρουσιαστεί με το παράδειγμα του Σχ Όταν ένα υποστύλωμα μετακινηθεί στο άνω άκρο του οριζόντια χωρίς στροφή κατά λόγω κάποιου οριζόντιου φορτίου H όπως ο σεισμός ή ο άνεμος, τότε οι δυνάμεις κάθε στύλου αποτελούνται από σε μια αξονική P και μια οριζόντια δύναμη H = H + dh, όπου

149 110 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος M Mc θp θpc My Mr EI eff θy θy + θp θy + θp + θpc θ Σχήμα 6.19: Καμπύλη ροπής M και στροφής θ ([11, 12]) Σχήμα 6.20: Τροποποιημένο υστεριτικό προσομοίοωμα Takeda για δύναμη F (ή ροπή M) και μετακίνησης d (η στροφή θ) [10] Σχήμα 6.21: Προσομοίωση ανομοίωσης αντοχής dh = P 2h (6.19) είναι η επιπλέον οριζόντια δύναμη που προκύπτει λόγο των φαινομένων 2ας τάξης. Τα φαινόμενα αυτά λαμβάνονται υπόψιν στην παρούσα εργασία [223] Ανάλυση Διατομής μελών Για τον προσδιορισμό των μηχανικών ιδιοτήτων των διατομών όπως ροπή διαρροής M y, αστοχίας M u, καμπυλότητας διαρροής ϕ y και αστοχίας ϕ u έγινε ανάλυση με την μέθοδο των ινών που προσφέρει το πρόγραμμα BIAX [226, 227]. Λόγω του μεγάλου αριθμού των μελών των πλαισίων και την αυτομα-

150 6.4. Προσομοίωση απομείωσης αντοχής και δυσκαμψίας 111 Σχήμα 6.22: Προγραμμα Hysteresis Calibration Tool P Δ P dh = P Δ 2 h 2h Σχήμα 6.23: Φαινόμενα 2ας τάξης σε ένα τυπικό υποστύλωμα τοποίηση της διαδικασίας έγινε χρήση του προγράμματος BIAX με ρουτίνα που προγραμματίστηκε σε γλώσσα Matlab. Έτσι η τελική διαδικασία είχε ως εξής: 1. Σχεδιασμός μελών με τα προγράμματα SAP2000 και για τα τοιχώματα με ETABS και στην

151 112 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος συνέχεια εξαγωγή των αποτελεσμάτων σε πίνακες EXCEL. 2. Aνάγνωση και συλλογή των δεδομένων και παραγωγή του κατάλληλου αρχείου εισαγωγής (Input) του προγράμματος BIAX με αυτόματη εκκίνησή του για την ανάλυση διατομής. 3. Ανάγνωση του αρχείου εξαγωγής (Output) του BIAX απο άλλο πρόγραμμα και παραγωγή του κατάλληλου αρχείου Input του βασικού προγράμματος μη-γραμμικών αναλύσεων Ruaumoko μέ όλα τα γεωμετρικά και μηχανικά στοιχεία των διατομών Ενεργή Δυσκαμψία μελών Η δυσκαμψία των στοιχείων από οπλισμένο σκυρόδεμα δεν έχει μια σταθερή τιμή μέχρι την διαρροή αλλά είναι συνεχώς μεταβαλλόμενη λόγω της σταδιακής ρηγμάτωσης μέχρι την διαρροή, και έτσι κατά την ανάλυση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η ανάπτυξη ρωγμών στα καμπτικά δομικά μέλη με απομείωση της δυσκαμψίας σε αυτά τα μέλη. Ακολουθώντας αυτο το σκεπτικό και σε περίπτωση που δεν γίνεται περαιτέρω ανάλυση, ο EC8 [2] προτείνει την χρήση μιας ενεργής δυσκαμψίας EI eff = 0.5EI g, όπου I eff και I g είναι η ενεργή και η ολική ροπή αδράνειας της σύμμεικτης (σκυρόδεμα-χάλυβας) διατομής, αντίστοιχα. Στον κανονισμό της New Zealand [228] ο συντελεστής 0.5 αντικαθίσταται από 0.35 για τις δοκούς και για τα υποστυλώματα, ενώ παρόμοιες τιμές δίνονται και από τους Elwood et al. [13]. Η τιμή EI eff = 0.5EI g για την περίπτωση των ελαστικών αναλύσεων είναι υπέρ της ασφάλειας καθώς δίνει μικρή ιδιοπερίοδο και έτσι μεγάλη σεισμική τέμνουσα. Στην περίπτωση όμως των μη-γραμμικών αναλύσεων αυτή η τιμή της δυσκαμψίας μπορεί να απέχει πολύ από την πραγματική τιμή και να δώσει μη ρεαλιστικά αποτελέσματα με αποτέλεσμα να υποεκτιμούνται οι μετακινήσεις. Τα αποτελέσματα των Rivera and Pertini [69], δείχνουν πως, αν και ο σχεδιασμός καμπτικών πλαισίων μέσης και μεγάλης περιόδου δεν εξαρτάται σημαντικά από την επιλογή της ενεργούς δυσκαμψίας, ο υπολογισμός όμως των απαιτούμενων σχετικών μετακινήσεων (IDR) επηρεάζεται σημαντικά. Για τις μη-γραμμικές αναλύσεις και πιο συγκεκριμένα για τον υπολογισμό των μετακινήσεων και βλαβών, η χρήση μιας πρότυπης τιμής ποσοστού μείωσης της συνολικής δυσκαμψίας μπορεί να οδηγήσει σε μη ασφαλή αποτελέσματα [25, 229]. Η επιλογή της ενεργής δυσκαμψίας έχει επίσης άμεση επίδραση στην εκτίμηση της ιδιοπεριόδου της κατασκευής. Η δυσκαμψία στην διαρροή του μέλους εξαρτάται πέρα από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της διατομής από το ποσοστό οπλισμού χάλυβα και από την αξονική δύναμη που ενεργεί. Οι Biskinis and Fardis [230] και Haselton et al. [11] (Εξ. (6.22) και (6.23)) έχουν προτείνει εμπειρικές σχέσεις για τον υπολογισμό της ελαστικής ενεργής δυσκαμψίας μελών, ανεξάρτητες από τον οπλισμό, και εξαρτώμενες μόνο από την γεωμετρία της διατομής και την αξονική δύναμη που ενεργεί σε αυτά. Όταν ο οπλισμός είναι γνωστός, η πιο ρεαλιστική εκτίμηση της ελαστικής ενεργούς δυσκαμψίας στο μήκος διάτμησης L s με βάση ένα διγραμμικό προσομοίωμα δύναμης-παραμόρφωσης, δίνεται από την σχέση

152 6.4. Προσομοίωση απομείωσης αντοχής και δυσκαμψίας 113 EI eff = M yl s 3θ y (6.20) όπου L s είναι το μήκος διάτμησης από το σημείο μέγιστης ροπής έως το σημείο καμπής, το οποίο τυπικά λαμβάνεται ίσο με το μισό του μήκους του μέλους, M y είναι η ροπή διαροής που εκφράζεται και αναλυτικά στο βιβλιο του M. Fardis [25] και θ y είναι η αντίστοιχη στροφή χορδής στην διαρροή στα άκρα του μέλους (πλαστικές αρθρώσεις). Η στροφή χορδής στην διαρροή μπορεί να περιγραφεί είτε αναλυτικά με θ y = ϕ y L s /3, όπου ϕ y ειναι η καμπυλότητα στην διαρροή, ή από εμπειρικές σχέσεις που προτείνονται στο [25]. Στην πρώτη περίπτωση η Εξ. (6.20) παιρνει την γνωστή, από την αντοχή των υλικών, μορφή EI eff = M y /ϕ y (6.21) Στην παρούσα διατριβή η ανάλυση της κατασκευής για τον σχεδιασμό έγινε με την τυπική δυσκαμψία κατά EC8 [2] EI eff = 0.5EI g, ενώ για τις μη γραμμικές αναλύσεις προσδιορίστηκε επιπλέον της EI eff = 0.5EI g και με την επιβατική δυσκαμψία του μέλους στην διαρροή (Εξ. 6.21). Σχήμα 6.24: Δυσκαμψία αρχική και δυσκαμψία διαρροής, Haselton et al., 2008 Οι Haselton et at. [11] έχουν προτείνει τις εξής σχέσεις για τον προσδιορισμό της δυσκαμψίας μέλους: K y = EI y P == [ ] [ L s EI g A g f c H ]όπου0.2 EI y 0.6 (6.22) EI g K stf = EI stf P == [ ] [ L s EI g A g f c H ]όπου0.35 EI y 0.8 (6.23) EI g όπου K st και K y ορίζονται στο Σχ. 6.24, EI y είναι η δυσκαμψια της στάθμης διαρροής, EI g είναι η δυσκαμψία μη ρηγματωμένης διατομής, P είναι η αξονική θλιπτική δύναμη, A g είναι το εμβαδό

153 114 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος διατομής, f c ειναι η θλιπτική τάση αντοχής του σκυροδέματος και H είναι το πλάτος της διατομής. Αυτές οι σχέσεις έχουν λάβει υπόψη τους την αποκόλληση στα άκρα του μέλους και έχουν προταθεί θεωρώντας διατμητική δυσκαμψία ίση με 0.4E c A g. Οι δυσκαμψίες K st και K y των Haselton et al. [11] συγκρίνονται στο Σχ με την δυσκαμψία κατά Elwood et al. [13] που έχει υιοθετηθεί από την ASCE. Σχήμα 6.25: Σύγκριση σχέσεων δυσκαμψίας Haselton et al. [11] και Elwood [13] Προσομοίωση κόμβων Όπως αναφέρθηκε πιο πάνω, οι κόμβοι δεν προσομοιώθηκαν λεπτομερειακά. Θεωρήθηκε άκαμπτη σύνδεση της περιοχής υποστυλωμάτων μέσα στον κόμβο, ενώ η περιοχή των δοκών διατήρησε την δυσκαμψία της δοκού. Αυτό έγινε για να μην υπερεκτιμηθεί η ιδιοπερίοδος καθώς ο κόμβος δεν είναι πλήρως δύσκαμπτος. Στην βιβλιογραφία υπάρχουν διάφορα αναλυτικά προσομοιώματα για την περιοχή του κόμβου [231, 14, 232, 233, 234, 235, 236] άλλα η μεγάλη πλειοψηφία τους έχει εφαρμογή σε ελλιπείς κόμβους κακά σχεδιασμένος με παλαιούς κανονισμούς. Αν και στα τελικά αποτελέσματα δεν έγινε χρήση κάποιου αναλυτικού προσομοιώματος, καθώς αυξάνεται ο όγκος των μελών και των κόμβων με αποτέλεσμα την επιβράδυνση κατά την διαδικασία των μη γραμμικών αναλύσεων, παρόλα αυτά έγινε χρήση του προσομοιώματος των Kim and Lafave [14] (Σχ. 6.26) για λόγους σύγκρισης με τον ημι-άκαμπτο κόμβο (Σχ b). Η διαφορά στην απόκριση προέκυψε αμελητέα καθώς ο σχεδιασμός του κόμβου κατά Ευρωκώδικα αποτρέπει πρόωρες διατμητικές αστοχίες. Έτσι για την μείωση του υπολογιστικού κόστους εφαρμόστηκε για τις τελικές αναλύσεις η θεώριση ημι-άκαμπτου κόμβου (Σχ b) Προσομοίωση Τοιχωμάτων Τοιχώματα θεωρούνται τα κατακόρυφα στοιχεία με ύψος διατομής τουλάχιστον 4-πλάσιο του πλάτους. Τα προσομοιώματα που υπάρχουν στην βιβλιογραφία για αυτα τα στοιχεία, χωρίζονται σε δύο

154 6.4. Προσομοίωση απομείωσης αντοχής και δυσκαμψίας 115 Σχήμα 6.26: Ιδεατή Προσομοίωση δυσκαμψίας κόμβου [14] Σχήμα 6.27: Προσομοίωση δυσκαμψίας κόμβου, Elwood et al. [13] μεγάλες κατηγορίες: 1) Μικροσκοπικά προσομοιώματα και 2) Μακροσκοπικά προσομοιώματα. Τα μικροσκοπικά προσομοιώματα υιοθετούν την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων και εστιάζουν στην τοπική συμπεριφορά των τοιχωμάτων. Κάνοντας χρήση δισδιάστατων (2-D) στοιχείων κελύφους ή τρισδιαστατων (3-D) στοιχείων στερεού, τα προσομοιώματα αυτά παρέχουν εκλεπτυσμένη και λεπτομερή ερμηνεία της τοπικής απόκρισης. Ωστόσο η χρήση μικροσκοπικών προσομοιωμάτων απαιτεί τεράστιο υπολογιστικό κόστος, το οποίο μπορεί να είναι ακατόρθωτο και περιττό για μια προσομοίωση σύνθετων και υψηλών κτιρίων. Ως εκ τούτου, η εφαρμογή της μικροσκοπικής προσέγγισης περιορίζεται κατά βάση στην ανάλυση απομονωμένων τοιχωμάτων ή απλών δομικών συστημάτων. Τα μακροσκοπικά προσομοιώματα περιγράφουν την συνολική συμπεριφορά των τοιχωμάτων μέσω ανάλογης εξιδανίκευσης σε επίπεδο κατασκευής. Σε σύγκριση με τα μικροσκοπικά προσομοιώματα τα μακροσκοπικά, παρόλο που είναι λιγότερο ακριβή, είναι σχετικά απλά και υπολογιστικά αποτελεσματικά. Απαιτούν μικρότερη υπολογιστική ισχύ και έτσι είναι πιο πρακτικά για την προσομοίωση της μη γραμμικής απόκρισης των τοιχωμάτων οπλισμένου σκυροδέματος. Κατά τις τελευταίες δεκαετίες έχουν αναπτυχθεί και εφαρμοστεί στην ανάλυση τοιχωμάτων Ο/Σ πολλοί τύποι μακροσκοπικών προσομοιομάτων. Ωστόσο, καθώς αυτά τα προσομοιώματα καθορίστηκαν βάσει διαφορετικών υποθέσεων και θεωριών, η εφαρμογή τους, η ακρίβεια τους και το υπολογιστικό κόστος ποικίλλει σημαντικά από το ένα στο άλλο, το οποίο δυσχεραίνει τους ερευνητές και τους μηχανικούς της πράξης και περιορίζει την εμπιστοσύνη τους στα εκάστοτε αποτελέσματα των αναλύσεων. Με στόχο την παροχή μια κατευθυντήριας γραμμής για την προσομοίωση των πλαισίων Ο/Σ για μη γραμμικές αναλύσεις οι Huang and Kwon [237] αξιολόγησαν την απόδοση πέντε αντιπροσωπευτικών γραμμικών στοιχείων για Ο/Σ. Ωστόσο παρόμοια εργασία για την μακροσκοπική προσομοίωση τοιχωμάτων δεν έχει αναφερθεί. Η παρούσα εργασία κάνει χρήση μακροσκοπικού προσομοιώματος για τους λόγους που προαναφέρθηκαν. Τα πιο συνήθη μακροσκοπικά προσομοιώματα είναι

155 116 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος 1. Γραμμικά κατακόρυφα στοιχεία τύπου δοκού/υποστυλώματος 2. 2-D διατμητικού φάτνωμα/πέτασμα 3. Ισοδύναμο στοιχείο δικτυώματος 4. Προσομοίώματα βασισμένα στην μέθοδο των ινών Τα πειραματικά αποτελέσματα έχουν δείξει πως αν και η διατμητική δύναμη είναι σταθερή κατά το ύψος στην περίπτωση των τοιχωμάτων τύπου προβόλου που υπόκεινται σε πλευρικά φορτία στην κορυφή του τοιχώματος, οι διατμητικές τάσεις δεν είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες κατά το ύψος (Bayer and Priestley [238]). Βάσει πειραματικών δεδομένων από τους Thomsen and Wallace [239], Massone and Wallace [240] προέκυψε περαιτέρω, πως αν και η διατμητική αντοχή των τοιχωμάτων είναι περίπου διπλάσια από την δρώσα τέμνουσα του ορόφου, ανελαστικές διατμητικές συμπεριφορές συνεχίζουν να εμφανίζονται, ιδιαιτέρως στην περιοχή όπου αναπτύσσεται καμπτική διαρροή. Έτσι προκύπτει πως αλληλεπίδραση διάτμησης και κάμψης ειναι μια γενική ιδιότητα των τοιχωματικών στοιχείων ακόμα και για σχετικά λεπτά τοιχώματα και έτσι η ανελαστική καμπτική παραμόρφωση συνοδεύεται συχνά από τις ανελαστικές διατμητηκές παραμορφώσεις. Βεβαίως η επίδραση της τέμνουσας μεγαλώνει όσο μεγαλώνει και ο λόγος ύψους προς πλάτος του τοιχώματος (κοντόχοντρα τοιχώματα) (Wallace [241]). Προσομοιώματα γραμμικών κατακόρυφων στοιχείων έχουν προταθεί από τους Vulcano et al. [242], Kabayasawa et al. [243], Fischinger et al. [244] και άλλους. Τα στοιχεία δοκού χωρίζονται σε ενός στοιχείου κατά Giberson [245], δύο στοιχείων κατά Clough et al [246] και πολλαπών ελατηρίων κατά Takayanagi [247]. Το ποιο κοινό στοιχείο που εφαρμόζεται είναι αυτό του ενός στοιχείου το οποίο αποτελείται από ένα πλήρως ελαστικό στοιχείο με δύο ανελαστικά στροφικά ελατήρια στα δύο άκρα του, δηλαδή, η ανελαστικότητα είναι συγκεντρωμένη στα δυο στροφικά ελατήρια και το υπόλοιπο τμήμα θεωρείται ελαστικό. Επίσης τα δύο άκρα των πλαστικών αρθρώσεων υποτίθεται οτι έχουν μηδενικό μήκος. Ερευνητική προσπάθεια για την βελτίωση της ακρίβειας του προσομοιόματος ενός στοιχείου έχει γίνει από τους Mergos and Beyer [248] για την προσομοίωση της αλληλεπίδρασης διάτμησης και κάμψης για λεπτά στοιχεία τοιχώματος. Ο Colotti [249] πρότεινε προσομοίωση με δι-διάστατα διατμητικά πανέλα για να ξεπεραστεί το μειονέκτημα της φτωχής περιγραφής της διατμητικής απόκρισης όπως και της αλληλεπίδρασης μεταξύ κάμψης και διάτμησης, ειδικά σε περιπτώσεις υψηλής διάτμησης. Το προσομοίωμα αυτό βασίζεται στην τροποποιημένη θεωρία πεδίου συμπίεσης (modified compression field theory) των Vecchio and Collins [250]. Αυτό το προσομοίωμα καταλήγει ωστόσο να υπερεκτιμά τη διάτμηση δίνοντας 20% μεγαλύτερη τέμνουσα από την πειραματικά μετρούμενη (Oracle and Wallace [251]). Παρόμοια προσομοιώματα από τον Milev [252] και τους Chen and Kabeyasawa [253]. Τα προσομοιώματα ισοδύναμου δικτυώματος αποτελούνται από ένα στοιχείο υποστυλώματος με δύο άκαμπτες οριζόντιες δοκούς πάνω και κάτω και δύο διαγώνια αξονικά στοιχεία με αρθρώσεις στην σύνδεση τους με τις άκαμπτες δοκούς. Η κάμψη αναλαμβάνεται από τo στοιχείο υποστυλώματος και η διατμητική δυσκαμψία προκύπτει από το στοιχείο υποστυλώματος και τις οριζόντιες συνιστώσες των διαγωνίων στοιχείων. Οι κατακόρυφες συνιστώσες των διαγωνίων και η αξονική δυσκαμψία του

156 6.4. Προσομοίωση απομείωσης αντοχής και δυσκαμψίας 117 στοιχείου υποστυλώματος προσφέρουν την συνολική αξονική δυσκαμψία του τοιχώματος. Τέτοια προσομοιώματα έχουν προταθεί από τους Smith and Girgis [254], Hiraishi and Kawashima [255], Mazars et al. [256] και Panagiotou et al. [257]. Οι Lu et al. [258] επέκτειναν την προσομοίωση από 2-D σε 3-D ισοδύναμου δικτυώματος. Προσομοιώματα με χρήση ινών είναι αρκετά δημοφιλή και μπορούν να θεωρηθούν ως απλοποιημένα πεπερασμένα στοιχεία (Kaba and Mahin [259]) ή ως περίπλοκη μορφή μακροσκοπικού προσομοιώματος. Τα στοιχεία αυτά προσομοιώνουν την διατομή χωρίζοντας την σε διακριτά στοιχεία ινών. Για κάθε ίνα ορίζεται ένα μονοαξονικό υστερητικό μοντέλο μαζί με τις κατάλληλες απαιτήσεις, κινηματικές και ισορροπίας, για την εξασφάλιση της μηχανικής συμπεριφοράς της συνολικής διατομής. Τέτοια προσομοιώματα έχουν προταθεί απο τους Spacone et al. [260], Neuenhofer and Filippou [261] και Bao and Kunath [262]. Με την προσθήκη ενός διατμητικού ελατηρίου σε κάθε κατακόρυφη ίνα η μέθοδος των ινών τροποποιήθηκε για να προσομοιώσει την αλληλεπίδραση διάτμησης και κάμψης (Petrangeli et al [263], Massone et al 2009 [264], Jiang and Kurama 2010 [265], Fischinger et al. [266], Kolozvari [267]). Οι παραπάνω μέθοδοι προφανώς δεν είναι πανάκεια και θα πρέπει να εφαρμόζονται με την κατάλληλη προσοχή και να επιλέγονται ανάλογα με τις εκάστοτε ανάγκες ακριβείας. Βασιζόμενοι σε πειραματικά δεδομένα για ελαφρά οπλισμένα τοιχώματα οι Wallace et al. [268] πρότειναν σχέσεις δύναμης - παραμόρφωσης για την προσομοίωση των τοιχωμάτων της μορφής V cr = 4 f c[1 + P u/a g f c 4 ] 1/2 < 0.6V n f c V y = V n = A cv (α c f c + ρ n f y ) (6.24) γ cr = V cr 0.4EI c γ y = (6.25) όπου V cr και V y είναι η τέμνουσα στην ρηγμάτωση και στην διαρροή, αντίστοιχα, γ cr και γ y είναι η γωνιακή παραμόρφωση στην ρηγμάτωση και στην διαρροή, αντίστοιχα. Το μέρος 3 του EC8 [30] δίνει επίσης σχέση για τον υπολογισμό της διατμητικής αντοχής υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση μετά την καμπτική διαρροή V R = 1 γ el [ h x 2L s min(n; 0.55A c f c ) + (1 0.05min(5; µ pl θ )) [0.16max(0.5, 100 tot )(1 0.16min(5; L v h )) f c A c + V w ]] (6.26) όπου: γ el ισούται με 1.5 για κύρια σεισμικά στοιχεία και 1.0 για δευτερεύοντα σεισμικά στοιχεία. h το ύψος της διατομής

157 118 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος L v ο λόγος ροπής/διάτμησης (M/V) στην ακραία διατομή. N η αξονική δύναμη, θετική για θλίψη. A c η επιφάνεια της διατομής, η οποία λαμβάνεται ίση με b w d για μια διατομή με ορθογωνικό κορμό πλάτους b w και στατικού ύψους d. ρ tot το συνολικό ποσοστό του διαμήκους οπλισμού. V w η συνεισφορά του εγκάρσιου οπλισμού στην διατμητική αντοχή που για ορθογωνικό κορμό πλάτους b είναι ίση με V w = ρ w b w zf yw (6.27) όπου ρ w, z και f yw ειναι το ποσοστό του εγκάρσιου οπλισμού, το μήκος εσωτερικού μοχλοβραχίωνα δυνάμεων, λαμβάνεται ίσος με d d για δοκούς και υποστυλώματα και με 0.8h για ορθογωνικά τοιχώματα και f yw είναι η τάση διαρροής του εγκάρσιου οπλισμού, αντίστοιχα. Στην επάνω σχέση παρατηρείται πως η διατμητική αντοχή υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση, V R μειώνεται με το πλαστικό μέρος της απαίτησης πλαστιμότητας, η οποία εκφράζεται σε όρους συντελεστή πλαστημότητας στροφής χορδής µ pl θ = µu θ 1 στο άκρο του μέλους. Καθώς τα τοιχώματα που παρουσιάζονται σε αυτήν την εργασία είναι ψηλά με λόγο πλάτους προς μήκος μεγαλύτερο του 4 καθώς και λεπτά με λόγο πλάτους προς πάχος h w /l w >= 3 δεν υπάρχει σημαντική αλληλεπίδραση κάμψης διάτμησης και θεωρούνται καμπτικά [25, 241]. Έτσι αποφασίστηκε να προσομοιωθούν με γραμμικά μέλη τύπου δοκού-υποστυλώματος [25], όπως φαίνεται στο Σχ και υποθέτοντας την τέμνουσα ελαστική κατά την ανελαστική καμπτική απόκριση [241]. Αν και με χρήση γραμμικού μέλους τύπου δοκού-υποστυλώματος δεν μπορεί να ληφθεί υπόψη η μετακίνηση του ουδέτερου άξονα στην διατομή του στοιχείου κατά την φόρτιση και αποφόρτιση, η αλληλεπίδραση του στην σύνδεση με τα άλλα στοιχεία όπως και η επίδραση της διαφοράς της αξονικής δύναμης κατά το πλάτος του στοιχείου στην αντοχή και δυσκαμψία του, θεωρούνται για τους λόγους που προαναφέρθηκαν περιορισμένες. Το ανωτέρω προσομοίωμα των τοιχωμάτων θεωρείται υπολογιστικά επαρκές για της ανάγκες της παρούσας μελέτης, η οποία περιλαμβάνει ένα πολύ μεγάλο όγκο μη γραμμικών αναλύσεων χρονοιστορίας, έτσι τυχόν ανακρίβειες εξισορροπούνται ή χάνονται στο τελικό αποτέλεσμα καθώς τα αποτελέσματα αυτά λαμβάνονται από τον μέσο όρο των συνολικών αποκρίσεων των μη γραμμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας, χωρίς να ενδιφέρει η πολύ ακριβής απόκριση της κατασκευής. Γίνεται χρήση του νόμου υστέρησης Takeda τροποπιημένου κατά Otani [8] με α=0.5 και β=0 (slim takeda). Η καμπτική αντοχή υπολογίστηκε από ανάλυση διατομής (Ενότητα 6.4.2) και οι γωνίες στροφής από την [25]. Η απομείωση αντοχής λήφθηκε υπόψη με τον τρόπο που περιγράφηκε στην Ενότητα 6.4. Απαραίτητες παράμετροι για την προσομοίωση με ισοδύναμο στοιχείο δοκού-υποστυλώματος είναι η δυσκαμψία για την κάμψη E c I eff και την τέμνουσα G c A, η αντοχή στην διαρροή M y και V y, η μετά

158 6.4. Προσομοίωση απομείωσης αντοχής και δυσκαμψίας 119 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΙΧΕΙΟΥ Διατμητικό ελατήριο Άκαμπτη ζώνη δοκών lw t w h w lw Αρθρώσεις A column = t w l w I column = α crack [1/12 t w l 3 w ] Σχήμα 6.28: Προσομοίωση τοιχώματος την διαρροή δυσκαμψία (τυπικά λαμβάνεται σαν ένα ποσοστό της ενεργούς δυσκαμψίας), οι δυνατές παραμορφώσεις και η απομένουσα αντοχή. Ο Ευρωκώδικας 8 προτείνει δυσκαμψία ίση με EI eff = 0.5EI g. Πειράματα σεισμικής τράπεζας πλήρους κλίμακας προτείνουν μια χαμηλότερη δυσκαμψία, της τάξης του 0.2EI g (Maffei, 2007 [269]). Στην εργασία αυτή ο σχεδιασμός έγινε κατά τον Ευρωκώδικα 8 για EI eff = 0.5EI g ενώ οι μη γραμμικές αναλύσεις έγιναν με χρήση του EI eff = 0.2EI g Προσομοίωση τοιχοπληρώσεων Οι τοίχοι πλήρωσης είναι διαχωριστικοί, διαμορφώνουν την αρχιτεκτονική μορφή του κτηρίου, κατασκευάζονται μετά την συμπλήρωση του κυρίου δομικού συστήματος και είναι αρκετά ισχυροί για να αντέξουν τις εκτός επιπέδου επιδράσεις. Όσον αφορά την παραλαβή των κατακόρυφων φορτίων βαρύτητας, οι τοιχοπληρώσεις αντιπροσωπεύουν χαρακτηριστικά δευτερεύοντα, μη φέροντα στοιχεία, τα οποία προσθέτουν επιπλέον βάρος στο δομικό σύστημα αλλά δεν συμμετέχουν στη φέρουσα ικανότητα. Η κατάσταση είναι πολύ διαφορετική στην περίπτωση που το κτήριο υπόκειται σε σεισμικά φορτία, όπου ο ρόλος και η επιρροή των τοιχοπληρώσεων στην συμπεριφορά της κύριας κατασκευής εξαρτάται από την σύνδεση μεταξύ των τοιχοπληρώσεων και του σκελετού. Αν και οι τοιχοπληρώσεις θεωρούνται μη φέροντα στοιχεία συχνά συνδέονται στερεά με τον κύριο σκελετό και εμποδίζουν την παραμόρφωση

159 120 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος της κατασκευής. Έτσι αντιπροσωπεύουν ένα τμήμα που συμμετέχει στην ταλάντωση του δομικού συστήματος. Αποτέλεσμα της σύνδεσης είναι να αναπτύσσονται δυνάμεις αλληλεπίδρασης στη διεπιφάνεια πλαισίων και τοιχοπληρώσεων, οι οποίες επηρεάζουν τη συμπεριφορά των τοιχοπληρωμένων στοιχείων του πλαισίου καθώς και όλης της κατασκευής. Στην περίπτωση που οι τοιχοπληρώσεις είναι καλά κατανεμημένες σε όλους τους ορόφους η συνεισφορά τους στην σεισμική αντίσταση μπορεί να είναι πολύ σημαντική και να εμποδίσουν την κατάρρευση σχετικά εύκαμπτων και αδύναμων κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος. Οι τοιχοπληρώσεις προσδίδουν ένα σημαντικό ποσοστό στην ικανότητα απορρόφησης της σεισμικής ενέργειας, μειώνοντας την σεισμική ενέργεια στα μέλη του πλαισίου και μειώνοντας σημαντικά τις μέγιστες μετακινήσεις. Σε μικρά επίπεδα παραμόρφωσης (πρώτο επίπεδο επιτελεστικότητας) και πριν από την αποκόλληση του τοίχου πλήρωσης, το τοιχοπληρωμένο πλαίσιο συμπεριφέρεται σαν μονολιθικό δομικό στοιχείο και σχεδόν ένα 95% της σεισμικής ενέργειας παραλαμβάνεται από τις τοιχοπληρώσεις. Ενώ σε ψηλότερα επίπεδα γύρω στο 40% της συνολικής ενέργειας απορροφάται από αυτές ενώ το υπόλοιπο από το πλαίσιο. Μετά την αποκόλληση του τοίχου πλήρωσης, το τοιχοπληρωμένο πλαίσιο συμπεριφέρεται σαν συνδυασμός ενός περισφιγμένου τοίχου και ενός πλαισίου οπλισμένου σκυροδέματος με διαγώνια αντηρίδα. Σχήμα 6.29: Αποκόλληση τοιχοπλήρωσης Έτσι φαίνεται ξεκάθαρα πως οι τοιχοπληρώσεις είναι η πρώτη γραμμή άμυνας κατά τον σεισμό και θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη κατά την ανάλυση αλλά και κατά τον σχεδιασμό ώστε να αποφευχθούν ψαθυρές αστοχίες. Γενικά οι τοιχοπληρώσεις αν και δεν λαμβάνονται άμεσα υπόψη κατά τον σχεδιασμό αλλά έμμεσα, η συνεισφορά τους στην αντοχή των κτιρίων Ο/Σ είναι γνωστή και αποδεδειγμένη πειραματικά [270]. Η συμπεριφορά της τοιχοπλήρωσης και του πλαισίου είναι σημαντική για την συνολική συμπεριφορά του

160 6.4. Προσομοίωση απομείωσης αντοχής και δυσκαμψίας 121 τοιχοπληρωμενου πλαισίου. Η παρουσία των τοιχοπληρώσεων στα πλαίσια οπλισμένου σκυροδέματος στις σεισμογενής χώρες ανά τον κόσμο όπως η Ελλάδα είναι ίσως και ο λόγος που πολλά παλαιά κτίρια έχουν αντέξει ισχυρούς σεισμούς τα προηγούμενα χρόνια. Υπάρχει έλλειψη παροχής κανόνων σχεδιασμού όσον αφορά ειδικώς στα τοιχοπληρωμένα πλαίσια. Ο Ευρωκώδικας 8 περιλαμβάνει απλές διατάξεις για τον σχεδιασμό κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος που συνεκτιμούν την αλληλεπίδραση των τοιχοπληρώσεων με τους πλαισιακούς φορείς οπλισμένου σκυροδέματος. Ανάλογα με την κατηγορία πλαστιμότητας ενός κτιρίου με πλαισιακό δομικό σύστημα, αν οι τοιχοπληρώσεις προκαλούν έντονη εκκεντρότητα, ο κανονισμός συνιστά να συμπεριλαμβάνονται οι τοιχοπληρώσεις στο προσομοίωμα της ανάλυσης της κατασκευής. Συγκεκριμένα, σε κτίρια με υψηλή πλαστιμότητα (H) ο κανονισμός απαιτεί να συμπεριλαμβάνονται οι τοιχοπληρώσεις στο προσομοίωμα της ανάλυσης της κατασκευής, ενω σε αυτά με μέση (M) ή χαμηλή (L), απλά συνίσταται. Αν δεν υπάρχει έντονη ανομοιομορφία της κατανομής των τοιχοπληρώσεων σε κάτοψη, τότε δέχεται την υποκατάσταση της προσομοίωσης των τοιχοπληρώσεων στην ανάλυση του δομήματος στο χώρο με διπλασιασμό της τυχηματικής εκκεντρώτητας (απο 5% σε 10%). Τυπικές μορφές ή μηχανισμοί αστοχίας τοιχοπληρώσεων για οριζόντια φορτία φαίνονται στο Σχ. 6.30: 1. Ο μηχανισμός (1) είναι ο καθαρά καμπτικός τρόπος αστοχίας στην βάση του πλαισίου τοιχοπλήρωσης, όπου στο ένα άκρο αναπτύσσεται εφελκυσμός και στο άλλο θλίψη. Εμφανίζεται σπάνια και σε χαμηλά επίπεδα φόρτισης όπου δεν υφίσταται διαχωρισμός πλαισίου τοιχοπλήρωσης. Παρουσιάζεται κυρίως σε πλαίσια μεγάλου ύψους με χαμηλό ποσοστό διαμήκους οπλισμού στα υποστυλώματα. 2. Ο μηχανισμός (2) συνίσταται στην ανάπτυξη ρωγμής στο μέσο του ύψους συνήθως στην θέση του αρμού. Πλαστικές αρθρώσεις δημιουργούνται στα υποστυλώματα ενώ συνηθισμένη είναι η περίπτωση κατά την οποία τα υποστυλώματα αστοχούν διατμητικά. 3. Ο μηχανισμός (3) αναπτύσσεται στην τοιχοπλήρωση με τη μορφή διαγώνιας ρωγμής που ξεκινά από τη γωνία που ασκείται το φορτίο και καταλήγει στην απέναντι γωνία ενώ ταυτόχρονα μπορεί να συνοδεύεται από ολίσθηση σε ενδιάμεσο αρμό. Σε αυτήν την περίπτωση η τοιχοπλήρωση λειτουργεί σαν μια θλίβόμενη διαγώνιος η οποία συνήθως οδηγεί σε ψαθυρή αστοχία των γωνιών του τοίχου και ανάπτυξη πλαστικών αρθρώσεων ή διατμητικών ρωγμών στα μέλη. Αυτός είναι ο συνηθέστερος τρόπος αστοχίας και για αυτό συνηθίζεται η επίδραση των τοιχοπληρώσεων στα πλαίσια να προσομοιώνεται με μια ισοδύναμη θλιβόμενη διαγώνια αντηρίδα. 4. Ο μηχανισμός αστοχίας (4) συνίσταται στην ανάπτυξη ρωγμών σχεδόν σε όλους τους αρμούς της τοιχοπλήρωσης όταν το κονίαμα έχει πολύ μικρή διατμητική αντοχή. 5. Ο μηχανισμός (5) είναι η περίπτωση θλιβόμενης διαγωνίου κατά την οποία αναπτύσσονται διαγώνιες ρωγμές στον τοίχο και συνοδεύεται από αστοχία στις διαγώνιες και σε κάποιες περιπτώσεις στο κέντρο του φατνώματος.

161 122 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος Για την προσομοίωση της τοιχοποιίας υπάρχουν δύο βασικές κατηγορίες προσομοιωμάτων που προτείνονται: α) 2D προσομοιώματα βασιζόμενα στα πεπερασμένα στοιχεία [71] και β) ισοδύναμη αντηρίδα (equivalent strut) (Σχ. 6.33). Η πιο ακριβής προσομοίωση είναι η λεγόμενη micro-modelling (Hao et al. [271]) με πεπερασμένα στοιχεια που προσομοιώνουν το κάθε μέρος της τοιχοποιίας (τούβλο, κονίαμα) όπως και την διεπαφή μεταξύ τους. Ωστόσο η τεχνική αυτή είναι εφικτή μόνο στην περίπτωση τοπικής συμπεριφοράς μικρών υποκατασκευών. Η προσέγγιση με πεπερασμένα στοιχεία αυξάνει σε σημαντικό βαθμό την απαιτούμενη υπολογιστική ισχύ συγκριτικά με την μέθοδο της ισοδύναμης διαγωνίου, αλλά έχει το πλεονέκτημα να προβλέψει τοπικά φαινόμενα λόγω π.χ. της αλληλεπίδρασης πλαισίου τοιχοπλήρωσης. Από τους πρώτους ερευνητές που ασχολήθηκαν με την προσέγγιση micro-modeling ήταν οι Mallick και Severn [272] οι οποίοι αντιμετώπισαν το πρόβλημα με κατάλληλες συνθήκες διεπαφής πλαισίου-τοιχοπλήρωσης. Άλλοι ερευνητές ανέπτυξαν περαιτέρω την ιδέα των Mallick και Severn στις εργασίες τους ([273]-[278] Σχήμα 6.30: Τυπικές αστοχίες τοιχοπληρωμένων πλαισίων Προσομοιώματα που βασίζονται σε ισοδύναμη αντηρίδα γνωστά και ως macro-modeling είναι ικανά να προσομοιώσουν την συνολική συμπεριφορά της κατασκευής. Αυτά τα προσομοιώματα γενικά υποθέτουν δύο ισοδύναμες αντηρίδες (στύλους) σε χιαστί με σύνδεση στους κόμβους δοκούυποστυλώματος. Το ισοδύναμο πλάτος και πάχος των ισοδύναμων αντηρίδων είναι οι βασικές γεωμετρικές παράμετροι της προσομοίωσης. Ο προσδιορισμός ωστόσο της μη γραμμικής σχέσης δύναμηςμετατόπισης είναι πρόκληση και υπάρχει μεγάλο πεδίο έρευνας σε αυτό το αντικείμενο.

162 6.4. Προσομοίωση απομείωσης αντοχής και δυσκαμψίας 123 Στην βιβλιογραφία υπάρχουν αρκετά προσομοίώματα όσον αφορά στις τοιχοπληρώσεις [279]. Η ιδέα της ισοδύναμης διαγώνιας αντηρίδας, που ξεκίνησε από τον Holmes [280], έχει χρησιμοποιηθεί κατά κόρων για την προσομοίωση των τοιχοπληρώσεων. Ο Holmes [280] πρότεινε ένα πλάτος θλιπτήρα ίσο με w = 1/3r inf, όπου r inf το μήκος της διαγωνίου. Ο Stafford Smith [281] υπέθεσε μια αναλογία δοκού επί ελαστικής βάσης και κατέληξε ότι η δυσκαμψία της διαγωνίου και η αντοχή των τοιχοπληρώσεων εξαρτιούνται όχι μόνο από τις γεωμετρικές διαστάσεις και τα φυσικά χαρακτηριστικά του αλλά και στο μήκος της επαφής με το περιβάλλον πλαίσιο. Επίσης ο Stafford Smith and Carter [282] κατέληξαν πως η επιρροή της καμπτικής δυσκαμψία των υποστυλωμάτων και όχι αυτής των δοκών επηρεάζει την δυσκαμψία των τοιχοπληρώσεων. Αυτό έχει έκτοτε επαληθευτεί από πειραματικές και αναλυτικές μελέτες [273, 283]. Έτσι, για να εκφραστεί η σχετική πλευρική δυσκαμψία του πλαισίου σε σχέση με αυτήν της τοιχοπλήρωσης ορίστηκε η παράμετρος λ ως λ = 4 E m t inf sin2θ 4E f I col h inf (6.28) όπου E m, t inf και h inf ειναι το μέτρο ελαστικότητας, το πάχος και το ύψος αντίστοιχα του πλαισίου, E j και I col είναι το μέτρο ελαστικότητας και η ροπή αδράνειας των υποστυλωμάτων αντίστοιχα και θ είναι η γωνία που η εφαπτομένη της δίνεται από τον λόγο ύψος προς πλάτος την τοιχοπλήρωσης (η γωνία δηλαδή της ισοδύναμης αντηρίδας ή διαγώνιου θλιπτήρα). Ο Mainstone (1971) [221] μετέπειτα συσχέτισε το πλάτος της αντηρίδας w με την παράμετρο λ και το μήκος της διαγωνίου r inf με βάση τη σχέση w = 0.175(λh col ) 0.4 r inf ) (6.29) Το μήκος της περιοχής επαφής μεταξύ της τοιχοπλήρωσης και του πλαισίου είναι σημαντικό για την προσομοίωση και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των δυνάμεων που μεταφέρονται από την τοιχοπλήρωση στο πλαίσιο στην περίπτωση χρήσης ενός και όχι πολλών προσομοιωμάτων διαγωνίου. Ο FEMA-356 [27] υιοθετεί την σχέση του Mainstone [221] για την προσομοίωση της τοιχοπλήρωσης και περιλαμβάνει επίσης τοπικές αλληλεπιδράσεις, ορίζοντας για τις δοκούς και τα υποστυλώματα να έχουν επαρκή αντοχή για να αναλάβουν τοπικές διατμητικές δράσεις προερχόμενες από την αλληλεπίδραση τοιχοπλήρωσης και πλαισίου κατά την διάρκεια επιβολής εγκάρσιων φορτίων. Ο FEMA-356 [27] ορίζει πως η καμπτική και διατμητική αντοχή στα άκρα των δοκών και υποστυλωμάτων πρέπει να είναι μεγαλύτερη από τις εσωτερικές δυνάμεις που υπολογίζονται κατά την εφαρμογή της οριζόντιας και κατακόρυφης συνιστώσας της αξονικής δύναμης του ισοδύναμου στύλου. Έτσι με βάση το Σχ. 6.31, προσδιορίζει κανείς τα μήκη l c,eff και l b,eff ως l ceff = w/cos θc (6.30)

163 124 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος l beff = w/sinθ b ) (6.31) όπου tanθ c = (h inf w/cosθ c )/L inf, tanθ b = (h inf /(L inf w/sinθ b ) (6.32) Σχήμα 6.31: Προσομοίωση τοιχοπλήρωσης με διαγώνια αντηρίδα για την αλληλεπίδραση με το πλαίσιο Στην παρούσα εργασία γίνεται χρήση macro-modeling με ισοδύναμη αμφιαρθρωτή θλιβόμενη διαγώνια αντιρήδα (στύλος/θλιπτήρας) και συγκεκριμένα το προσομοίωμα των Papia και Cavaleri [284] το οποίο έδωσε σημαντική βελτίωση στην προσομοίωση της επίδρασης των τοιχοπληρώσεων και κατ επέκταση στην ακριβέστερη ανάλυση για την απόκριση των πλαισίων οπλισμένου σκυροδέματος υπό οριζόντια σεισμικά φορτία. Το προσομοίωμα αυτό ορίζει το πλάτος της ισοδύναμης διαγώνιας αντιρήδας λαμβάνοντας υπόψη όχι μόνο την καμπτική δυσκαμψία του πλαισίου και της τοιχοπλήρωσης αλλά και την αξονική δυσκαμψία των μελών καθώς και την διατμητική δυσκαμψία των τοιχοπληρώσεων (μέσω του λόγου Poisson ν ο οποίος εκφράζει την ελαστική σχέση E w = 2G w (1 + v) μεταξύ του E w και G w της τοιχοποιίας). Σχήμα 6.32: Προσομοίωση τοιχοποιίας με ισοδύναμη θλιβόμενη διαγώνια αντηρίδα Μέσω πειραμάτων, οι Papia και Cavaleri [284] όρισαν τον λόγο w/d πλάτους προς μήκος της διαγώνιας αντηρίδας

164 6.4. Προσομοίωση απομείωσης αντοχής και δυσκαμψίας 125 Σχήμα 6.33: Προσομοίωση τοιχοποιίας με ισοδύναμη θλιβόμενη διαγώνια αντηρίδα w d = k c 1 j z (λ ) β (6.33) όπου λ είναι παράμετρος που χαρακτηρίζει τον λόγο δυσκαμψίας μεταξύ τοιχοπλήρωσης και πλαισίου, c και β είναι συντελεστές που λαμβάνουν υπόψη το λόγο Poisson και z είναι μια γεωμετρική παράμετρος. Οι ανωτέρω συντελεστές δίνονται απο τις σχέσεις λ = E ( d th h 2 E f A c l ) l A b A c h (6.34) c = v d v 2 d β = v d v 2 d (6.35) 1, if l = 1 z = h 1.125, if l = 1.5 h (6.36) όπου E d και E f είναι τα μέτρα ελαστικότητας της τοιχοποιίας κατά την διεύθυνση της διαγωνίου και του πλαισίου Ο/Σ, αντίστοιχα, A c και A b είναι διατομές των υποστυλωμάτων και των δοκών, αντίστοιχα, του πλαισίου που περιβάλει την τοιχοποιία, t είναι το πάχος της τοιχοποιίας, v d είναι ο λόγος Poisson της τοιχοποιίας κατά την διαγώνια διεύθυνση και τα l, l, h, h ορίζονται στα Σχ και Ο Συντελεστής k j εκφράζει την επίδραση του κατακόρυφου φορτίου k j = 1 + (18λ + 200)ϵ v (6.37)

165 126 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος ϵ v = F v 2A c E f (6.38) όπου F v είναι η κατακόρυφη δρώσα δύναμη στην τοιχοποιία, δηλαδή στα υποστυλώματα που περιβάλουν την τοιχοποιία και A c η διατομή των υποστυλωμάτων. Το μέτρο ελαστικόπτητας E d και ο λόγος Poisson v d κατά την διαγώνια διεύθυνση μπορούν να εκφραστούν ως συνάρτηση των μηχανικών παραμέτρων E 1, E 2, G 12 και ν 12 της τοιχοποιίας (Cavaleri et al. [285]) 1 = 1 (cosθ) [ 2ν 12 ](sinθcosθ) (sinθ) 4 (6.39) E d E 1 G 12 E 1 E 2 ν d = E d [ ν 12 E 1 ((sinθ) 4 + (cosθ) 4 ) [ 1 E E 2 1 G 12 ](sinθcosθ) 2 ] (6.40) όπου E 1 και E 2 είναι το μέτρο ελαστικότητας της τοιχοποιίας στις δύο διευθύνσεις της (οριζόντια και κατακόρυφη), G 12 είναι το μέτρο διάτμησης και ν 12 είναι ο λόγος Poisson. Τα E d και ν d είναι το μέτρο ελαστικότητας και ο λόγος Poisson σε οποιαδήποτε άλλη διεύθυνση συμπεριλαμβανομένης και της διεύθυνσης της διαγώνιας αντηρίδας. Η τιμές που χρησιμοποιούνται για τα μηχανικά χαρακτηριστικά της τοιχοποιίας είναι ένας συνδυασμός λιθοσωμάτων και κονιάματος και όχι των συστατικών της. Τα χαρακτηριστικά αυτά προσδιορίζονται με πρότυπες εργαστηριακές μεθόδους (EC6 [222]). Τα μηχανικά και γεωμετρικά στοιχεία που θεωρήθηκαν για την προσομοίωση των τοιχοπληρώσεων στην παρούσα διατριβή είναι τα εξής: πάχος τοιχοπλήρωσης t = 9cm, ύψος τοιχοπλήρωσης h = 3m, πλάτος τοιχοπλήρωσης l = 6m, μέτρο ελλαστικότητας στις δύο διευθύνσεις E 1, E 2 = 800 MPa, λόγος Poisson στις δύο διευθύνσεις ν 1, ν 2 = 0.0, θλιπτική αντοχή f k = 2.5MP a, διατμιτική αντοχή f vt = 0.3MP a, εφελκιστική αντοχή f t = 0.18MP a, μέτρο διατμήσης G 12 = 2000f tk, E 1 = 700f m και E 2 = 900f m. Η αντοχή στο όριο ελαστικότητας F y δίνεται από την σχέση (Panagiotakos and Fardis [286]) όπου f tp είναι η διατμητική αντοχή της τοιχοποιίας. Η αρχική ελαστική δυσκαμψία K 1 του στύλου ισούται με ([286]) F y = f tp tl (6.41) K 1 = G mtl h (6.42) και η μετακίνηση που αντιστοιχεί στην δύναμη F 1 είναι ίση με

166 6.4. Προσομοίωση απομείωσης αντοχής και δυσκαμψίας 127 δ 1 = F 1 K 1 (6.43) H δυσκαμψία μετά την ελαστική περιοχή δίνεται από την σχέση ([286]) K 2 = E mtw d (6.44) Η μετακίνηση που αντιστοιχεί στην μέγιστη δύναμη F 2, η οποία υποτίθεται ίση με 1.25F y ([286]), δίνεται από την σχέση δ 2 = δ 1 + F 2 F 1 K 2 (6.45) Η απομένουσα αντοχή F 3 υποτέθηκε ίση με 0.1F 2 και η μετακίνηση που αντιστοιχεί στην παραμένουσα αντοχή ισούται με δ 3 = δ 2 + F 2 F 3 K 3 (6.46) όπου K 3 είναι η δυσκαμψία αποφόρτισης, η οποία υποτέθηκε ίση με 0.1K 1. Η απομείωση αντοχής λήφθηκε υπόψη με τον τρόπο που περιγράφηκε στην Ενότητα 6.4 δηλαδή σε όρους πλαστιμότητας αλλα οι πλαστιμότητες αυτές προέκυψαν απο τις μετακινήσεις δ 1, δ 2, δ 3. δηλαδή DUCT1 = δ 2 /δ 1 και DUCT2 = δ 3 /δ 1 (Σχ. 6.34). Το υστερητικό προσομοίωμα που χρησιμοποιήθηκε είναι του Fukada 6.35 ([223]) το οποίο τροποποιήθηκε κατάλληλα για την προσομοίωση των τοιχοπληρώσεων με τα δεδομένα που παρουσιάστηκαν παραπάνω (η δύναμη F cr υποτέθηκε ίση με 0.4F y και ο συντελεστής απομείωσης δυσκαμψίας β ίσος με 0). F Fm Fy K2 K3 Fr K1 δy δm δr δ Σχήμα 6.34: Προσομοίωση απομοίωσης αντοχής τοιχοποιίας

167 128 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος Σχήμα 6.35: Υστερητικό προσομοίωμα τοιχοποιίας 6.5 Επίπεδα επιτελεστικότητας Συνήθως αναγνωρίζονται τέσσερα επίπεδα επιτελεστικότητας: Άμεση χρήση (SP1), Περιορισμός Βλάβης (SP2), Ασφάλεια ζωής (SP3) και Αποφυγή κατάρευσης (SP4) [27],[1]. Σε αυτήν την εργασία ως επίπεδα μέτρησης επιτελεστικότητας χρησιμοποιούνται οι σχετικές μετακινήσεις (interstorey drift ratio, IDR) σε συνδυασμό με την πλαστιμότητα μετακίνησης (µ ), περιορισμοί στροφών (θ), εναπομένουσες IDR (residual IDR, RIDR) και δείκτες βλάβης (damage index, DI) Η FEMA-356 [27] και ο SEAOC [1] παρέχουν συγκεκριμένες τιμές για το IDR, την πλαστιμότητα μετακίνησης, περιορισμούς στροφών και RIDR. Περιορισμοί στροφών μπορούν να βρεθούν επίσης στο μέρος 3 του EC8 [30]. Ο Ghobarah [60] παρέχει επίσης τιμές IDR και δεικτών βλάβης. Σύμφωνα με τον SEAOC [1], για τις περιπτώσεις καμπτικών πλαισίων Ο/Σ, οι τιμές IDR που αντιστοιχούν στα επίπεδα SP1, SP2, SP3, SP4 είναι ίσα με 0.5%, 1.5%, 2.5%, 4.0%, αντίστοιχα και οι πλαστιμότητες μετακίνησης ίσες με 1.0, 3.6, 6.2, 8.0. Επιπλέον, ο FEMA-356 [27] προτείνει για τα SP2 SP3 and SP4, τιμές IDR ίσες με : 1.0%, 2.0%, 4.0%, αντίστοιχα, ενώ παρέχει και περιορισμούς στροφών για κάθες μέλος. Για τις περιπτώσεις καμπτικών πλαισίων Ο/Σ με συνυπολογισμό των τοιχοπληρώσεων, o Ghobarah [287] προτείνει τιμές IDR που αντιστοιχούν στα επίπεδα SP1, SP2, SP3, SP4 και είναι ίσες με 0.2%, 0.4%, 0.7%, 0.8%, αντίστοιχα και οι πλαστιμότητες μετακίνησης ίσες με 1.0, 3.6, 6.2, 8.0. Επιπλέον, ο FEMA 356 [27] προτείνει για τα SP2, SP3 και SP4, τιμές IDR ίσες με : 0.1%, 0.5%, 0.6%, αντίστοιχα. Τέλος για τις περιπτώσεις δυαδικών πλαισίων Ο/Σ με τοιχώματα ο SEAOC [1], δίνει τιμές IDR που αντιστοιχούν στα επίπεδα SP1, SP2, SP3, SP4 και είναι ίσες με 0.5%, 1.0%, 1.5%, 2.5%, αντίστοιχα και οι πλαστιμότητες μετακίνησης ίσες με 1.0, 2.5, 1.0, 5.0. Ο Ghobarah [287] προτείνει τιμές IDR που αντιστοιχούν στα επίπεδα SP1, SP2, SP3, SP4 και είναι ίσες με 0.4%, 0.8%, 1.5%, 2.5%, αντίστοιχα

168 6.6. Σεισμικές Καταγραφές 129 Επιπλέον, ο FEMA 356 [27] προτείνει για τα SP2 SP3 and SP4, τιμές IDR ίσες με : 0.5%, 1.0%, 2.0%, αντίστοιχα και παρέχει περιορισμούς στροφών για κάθες μέλος. Η εργασία αυτή προσφέρει εκφράσεις των ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k (Κεφ. 8) που αντιστοιχούν στους παραπάνω συνδυασμούς των τιμών IDR, χωρίς να υπερβαίνονται οι παραπάνω περιορισμοί στις πλαστιμότητες μετακίνησης, RIDR και DI στα μέλη. 6.6 Σεισμικές Καταγραφές Για τον σκοπό των μη γραμμικών δυναμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας επιλέχθηκαν 100 επιταχυνσιογραφήματα από ιστορικούς σεισμούς μακρινού πεδίου που έχουν καταγραφεί σε όλο τον κόσμο (Pacific Earthquake Engineering Research Center (PEER) ground motion database [288]), 25 για κάθε μία από τις τέσσερις κατηγορίες εδάφους A, B, C, D του EC8 [2]. Λεπτομέρειες σχετικά με αυτές τις εδαφικές κινήσεις μπορούν να βρεθούν στον Πίνακα 6.2 και στα σχήματα 6.36 έως 6.37 για την χρονοϊστορία τους και στα σχήματα 6.38 έως 6.39 για τα αντίστοιχα φάσματα ψευδο-επιταχύνσεων.

169 130 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος Σχήμα 6.36: Eπιταχυνσιογραφήματα σεισμικών καταγραφών του Πίνακα 6.2 για έδαφος τύπου A και B

170 6.6. Σεισμικές Καταγραφές 131 Σχήμα 6.37: Eπιταχυνσιογραφήματα σεισμικών καταγραφών του Πίνακα 6.2 για έδαφος τύπου C και D

171 132 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος Σχήμα 6.38: Φάσματα ψευδο-επιταχύνσεων σεισμικών καταγραφών του Πίνακα 6.2 για έδαφος τύπου A και B

172 6.6. Σεισμικές Καταγραφές 133 Σχήμα 6.39: Φάσματα ψευδο-επιταχύνσεων σεισμικών καταγραφών του Πίνακα 6.2 για έδαφος τύπου C και D

173 134 Κεφάλαιο 6. Σχεδιασμός και προσομοίωση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος Πίνακας 6.2: Επιταχυνσιογραφήματα μακρινού πεδίου για έδαφος τύπου A, B, C και D κατα EC8 [2] SOIL A SOIL B No. Date Record Name Comp. Station Name PGA (g) No. Date Record Name Comp. Station Name PGA (g) 1. 10/4/1987 Whittier Narrows NS Mt Wilson - CIT Station /25/1992 Cape Mendocino NS Eureka /4/1987 Whittier Narrows EW Mt Wilson - CIT Station /25/1992 Cape Mendocino EW Eureka /20/1999 Chi-Chi, Taiwan 056-N HWA /9/1980 Victoria, Mexico N Cerro Prieto /20/1999 Chi-Chi, Taiwan 056-N HWA /9/1980 Victoria, Mexico N Cerro Prieto /1/1987 Whittier Narrows NS Mt Wilson - CIT Station /25/1992 Cape Mendocino EW Rio Dell Overpass /1/1987 Whittier Narrows EW Mt Wilson - CIT Station /25/1992 Cape Mendocino NS Rio Dell Overpass /9/1971 San Fernando N Lake Hughes # /13/1978 Santa Barbara N Santa Barbara Courthouse /9/1971 San Fernando N Lake Hughes # /13/1978 Santa Barbara N Santa Barbara Courthouse /17/1994 Northridge NS San Gabriel - E. Gr. Ave /20/1999 Chi-Chi, Taiwan NS TCU /17/1994 Northridge EW San Gabriel - E. Gr. Ave /20/1999 Chi-Chi, Taiwan NS TCU /20/1999 Chi-Chi, Taiwan NS TAP /6/1979 Coyote Lake N San Juan Bautista /20/1999 Chi-Chi, Taiwan EW TAP /6/1979 Coyote Lake N San Juan Bautista /17/1994 Northridge N LA - Wonderland Ave /17/1994 Northridge NS LA - N Westmoreland /17/1994 Northridge N LA - Wonderland Ave /17/1994 Northridge EW LA - N Westmoreland /7/1975 Northern Calif N Cape Mendocino, Petrolia /8/1986 N. Palm Springs NS San Jacinto - Soboba /7/1975 Northern Calif N Cape Mendocino, Petrolia /8/1986 N. Palm Springs EW San Jacinto - Soboba /8/1986 N. Palm Springs NS Silent Valley /12/1970 Lytle Creek N Wrightwood /18/1989 Loma Prieta N San Francisco /12/1970 Lytle Creek N Wrightwood /18/1989 Loma Prieta NS Gilroy Array # /18/1989 Loma Prieta NS Saratoga - Aloha Ave /18/1989 Loma Prieta EW Gilroy Array # /18/1989 Loma Prieta EW Saratoga - Aloha Ave /17/1999 Kocaeli, Turkey NS Gebze /28/1992 Landers NS Joshua Tree /17/1999 Kocaeli, Turkey EW Gebze /28/1992 Landers EW Joshua Tree /28/1992 Landers NS Amboy /15/1976 Friuli, Italy NS 8014 Forgaria Cornino /28/1992 Landers EW Amboy /15/1976 Friuli, Italy EW 8014 Forgaria Cornino /20/1999 Chi-Chi, Taiwan N034 TCU /20/1999 Chi-Chi, Taiwan N045 TCU SOIL C SOIL D No. Date Record Name Direction Station Name PGA (g) No. Date Record Name Comp. Station Name PGA (g) 1. 9/20/1999 Chi-Chi, Taiwan NS NST /26/1981 Westmorland N Salton Sea Wildlife Ref /20/1999 Chi-Chi, Taiwan EW NST /26/1981 Westmorland N Salton Sea Wildlife Ref /2/1983 Coalinga EW Parkfield /24/1987 Superstitn Hills N Salton Sea Wildlife Refuge /2/1983 Coalinga NS Parkfield /24/1987 Superstitn Hills N Salton Sea Wildlife Refuge /12/1999 Duzce, Turkey NS Bolu /17/1994 Northridge N Montebello - Bluff Rd /12/1999 Duzce, Turkey EW Bolu /17/1994 Northridge N Montebello - Bluff Rd /15/1979 Imperial Valley N Compuertas /18/1989 Loma Prieta NS Treasure Island /15/1979 Imperial Valley N Compuertas /18/1989 Loma Prieta EW Treasure Island /15/1979 Imperial Valley N Chihuahua /17/1999 Kocaeli, Turkey NS Ambarli /15/1979 Imperial Valley N Chihuahua /17/1999 Kocaeli, Turkey EW Ambarli /17/1999 Kocaeli, Turkey NS Atakoy /18/1989 Loma Prieta N APEEL 2 - Redwood City /17/1999 Kocaeli, Turkey EW Atakoy /18/1989 Loma Prieta N APEEL 2 - Redwood City /18/1989 Loma Prieta NS 1028 Hollister City Hall /15/1979 Imperial Valley N El Centro Array # /18/1989 Loma Prieta EW 1028 Hollister City Hall /15/1979 Imperial Valley N El Centro Array # /24/1984 Morgan Hill NS Gilroy Array # /20/1999 Chi-Chi, Taiwan N041 CHY /24/1984 Morgan Hill EW Gilroy Array # /20/1999 Chi-Chi, Taiwan N131 CHY /17/1994 Northridge NS Canyon Country /18/1989 Loma Prieta N APEEL 2 - Redwood City /17/1994 Northridge EW Canyon Country /18/1989 Loma Prieta N APEEL 2 - Redwood City /9/1971 San Fernando EW 135 LA Hollywood /20/1999 Chi-Chi, Taiwan EW TAP /9/1971 San Fernando NS 135 LA - Hollywood /20/1999 Chi-Chi, Taiwan NS TAP /26/1981 Westmorland NS 5169 Westmorland Fire Sta /16/1995 Kobe NS Nishi-Akashi /26/1981 Westmorland EW 5169 Westmorland Fire Sta /16/1995 Kobe EW Nishi-Akashi /24/1987 Superstitn Hills(B) NS El Centro Imp. Co. Cent /20/1999 Chi-Chi, Taiwan N040 TCU /24/1987 Superstitn Hills(B) EW El Centro Imp. Co. Cent /20/1999 Chi-Chi, Taiwan N130 TCU /27/1980 Livermore EW San Ramon /16/1995 Kobe NS Kakogawa 0.345

174 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k 7.1 Εισαγωγή Οι ισοδύναμοι ιδιομορφικοί λόγοι απόσβεσης ξ k παρουσιάζονται σε αυτό το Kεφάλαιο σε πινακοποιημένη μορφή και σε σχήματα για χρήση στον αντισεισμικό σχεδιασμό α) επιπέδων καμπτικών πλαισίων (Σχ. 6.1), β) επιπέδων πλαισίων με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως (τοιχοπληρώσεις) στην σεισμική απόκριση του συστήματος (Σχ. 6.2) και γ) επιπέδων δυαδικών συστημάτων πλαισίωντοιχωμάτων (Σχ. 6.3). Οι συντελεστές αυτοί δίνονται συναρτήσει επιπέδων βλάβης, ιδιοπεριόδου και τύπο εδάφους (A, B, C, D). Οι εξισώσεις σχεδιασμού προέκυψαν λαμβάνοντας το κάτω όριο (υπέρ της ασφάλειας) των τιμών των ισοδύναμων λόγων ιξώδους απόσβεσης. Όσα αποτελέσματα στους πίνακες δεν βρίσκονται και σε μορφή εικόνας είναι γιατί η ισοδύναμη ιξώδης απόσβεση προέκυψε μεγαλύτερη από 100% και τελικά λήφθηκε αυθαίρετα ίση με 100% για τις εξισώσεις σχεδιασμού. 7.2 Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k Οι σχέσεις αυτές δίνονται στους παρακάτω Πίνακες και Σχ

175 136 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Πίνακας 7.1: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος A και ενεργή δυσκαμψία EIeff = 0.5EIg SOIL A Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 1st Yield : 0.55 T T T T T T T T T 0.55 ξ=-1.23t+5.3 ξ=1.48t-0.24 ξ=-2.8t+3.4 ξ=1.3t+0.3 ξ=-34.3t+8.2 ξ=-5.4t+3.3 ξ=1.1 ξ=-13.5t+5.1 ξ=1.2 IDR=0.5% : 0.55 T T T T T T T T 0.55 ξ=-22t+18.1 ξ=0.5% ξ=-80t+18.1 ξ=0.5 ξ=-68t+10.7 ξ=0.5 ξ=-125t ξ=0.5 IDR=1.0% : 0.55 T T T T T T T T 0.55 ξ=-82.5τ+73.9 ξ=12 ξ=-8.3t+11.1 ξ=5.2 ξ=-15.2t+13 ξ=3.9 ξ=-59.4t+23.4 ξ=-22.4t+13.7 ξ=3.2 IDR=1.5% : 0.55 T T T T T T T T T T 0.55 ξ=-77.5t+93.1 ξ=-3.5t+37.6 ξ=-100t+75 ξ=-9.9t+21.8 ξ=-102.4t+46.2 ξ=-23.5t+21.8 ξ=6.5 ξ=-154.5t+58.9 ξ=-31.25t+20.7 ξ=6 IDR=2.0% : 0.55 T T T T T T T T T 0.55 ξ=-147.5t ξ=-3.5t+45.6 ξ=-51.6t+56.7 ξ=16 ξ=-131.4t+73.1 ξ=-20t+23 ξ=10 ξ=-143.6t+77.9 ξ=9 IDR=2.5% : 0.55 T T T T T T T T 0.55 ξ=-160t+183 ξ=-20.4t+78.3 ξ=-180t+115 ξ=-15.6t+41 ξ=100 ξ=-315t ξ=34 ξ=100 IDR=3.0% : 0.55 T T T T T 0.55 ξ=-90t ξ=80 ξ=100 ξ=100 ξ=100 IDR=4.0% : 0.55 T T T T 0.55 ξ=100 ξ=100 ξ=100 ξ=100 Πίνακας 7.2: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος B και ενεργή δυσκαμψία EIeff = 0.5EIg SOIL B Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 1st Yield : 0.55 T T T T T T T T 0.55 ξ=-1.06t+5.09 ξ=1.3t+0.2 ξ=-3.3t+3.7 ξ=1.8t-0.2 ξ=-11.9t+5.2 ξ=1.5 ξ=-13t+5.07 ξ=1.3 IDR=0.5% : 0.55 T T T T T T T T 0.55 ξ=-28t+21.5 ξ=0.5 ξ=-88.3t+19.3 ξ=0.7 ξ=-84t+13.2 ξ=0.6 ξ=-113.3t+14.2 ξ=0.6 IDR=1.0% : 0.55 T T T T T T T T T 0.55 ξ=-102.5t+87.9 ξ=-1.05t+11.8 ξ=-11.4t+12.2 ξ=4 ξ=-12.7t+10.3 ξ=2.5 ξ=-44.5t+17.9 ξ=-14.7t+9.3 ξ=2.2 IDR=1.5% : 0.55 T T T T T T T T T 0.55 ξ=-70t+81 ξ=28.5 ξ=-97.2t+74.6 ξ=-3.73t ξ=-88.9t+46.9 ξ=-4.6t+8.1 ξ=-172.5t+59 ξ=-26.3t+16.6 ξ=4 IDR=2.0% : 0.55 T T T T T T T T 0.55 ξ=-95t ξ=-3.9t+44.9 ξ=-53.8t+57.1 ξ=14 ξ=-287.2t ξ=-10.8t+16.5 ξ=-166.4t+77.9 ξ=8 IDR=2.5% : 0.55 T T T T T T T T T 0.55 ξ=-130t+152 ξ=-4.6t+57.9 ξ=-184.6t ξ=-20.6t+45.5 ξ=20.9 ξ=100 ξ=-189.1t ξ=34 ξ=100 IDR=3.0% : 0.55 T T T T T 0.55 ξ=-90t ξ=72 ξ=100 ξ=100 ξ=100 IDR=4.0% : 0.55 T T T T 0.55 ξ=100 ξ=100 ξ=100 ξ=100

176 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 137 Πίνακας 7.3: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος C και ενεργή δυσκαμψία EIeff = 0.5EIg SOIL C Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 1st Yield : 0.55 T 2 2 T T T T T T T 0.55 ξ=-1.6t+5.7 ξ=1.25t ξ=-3t+3.55 ξ=1.33t+0.3 ξ=-7.5t+4.15 ξ=1.6t+0.32 ξ=-15t+5.45 ξ=1.5t+0.65 IDR=0.5% : 0.55 T T T T T T T T 0.55 ξ=-28.5t+21.8 ξ=0.4 ξ=-90t+20.4 ξ=0.6 ξ=-68t+10.8 ξ=0.6 ξ=-110t+14.9 ξ=0.6 IDR=1.0% : 0.55 T T T T T T T T T T 0.55 ξ=-65t ξ=-1.1t+11.8 ξ=-9.4t+11.4 ξ=4 ξ=-22.5t ξ= ξ=16.4t-9.2 ξ=-71.7t ξ=-14.8t+8.9 ξ=22.9t-9.1 IDR=1.5% : 0.55 T T T T T T T T T 0.55 ξ=-62.5t+74.4 ξ=-2.6t+29.5 ξ=-81.7t+71.3 ξ=10 ξ=-76.25t+43.5 ξ=-17.6t+18.9 ξ=-150.5t+55.5 ξ=-31.1t+21 ξ=6 IDR=2.0% : 0.55 T T T T T T T T T 0.55 ξ=-75t ξ=-3.3t+43.5 ξ=-81.7t ξ=13.9 ξ=-260t+118 ξ=-35t+28 ξ=7 ξ=-198.5t+91.4 ξ=8 IDR=2.5% : 0.55 T T T T T T T T 0.55 ξ=-125t ξ=48 ξ=-273.3t+118 ξ=-20.5t+42.2 ξ=21 ξ=100 ξ=-156.8t ξ=100 IDR=3.0% : 0.55 T T T T T 0.55 ξ=-102t+146 ξ=69.5 ξ=100 ξ=100 ξ=100 IDR=4.0% : 0.55 T T T T 0.55 ξ=100 ξ=100 ξ=100 ξ=100 Πίνακας 7.4: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος D και ενεργή δυσκαμψία EIeff = 0.5EIg SOIL D Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 1st Yield : 0.55 T T T T T T T T 0.55 ξ=-1.4t+5.4 ξ=1.6t-0.7 ξ=-3t+3.55 ξ=1.7t+0.05 ξ=-7.5t+4.35 ξ=1.08t+0.75 ξ=-15t+5.65 ξ=1.3 IDR=0.5% : 0.55 T T T T T T T T 0.55 ξ=-31.5t+23.8 ξ=0.2 ξ=-98.3t ξ=0.6 ξ=-66t+10.4 ξ=0.5 ξ=-3.3t+4.8 ξ=0.5 IDR=1.0% : 0.55 T T T T T T T T T 0.55 ξ=-66.5t+60.4 ξ=-0.9t+11.2 ξ=-10.1t+11.5 ξ=3.9 ξ=-16.3t+11.6 ξ=2.5 ξ=-44.5t+17.9 ξ=-13.7t+8.9 ξ=2.4 IDR=1.5% : 0.55 T T T T T T T T 0.55 ξ=-62.5t+71.9 ξ=-1.8t+26.3 ξ=-108.6t+66.3 ξ=-2.5t+13.2 ξ=-78.2t+40.8 ξ=-4.05t+9.7 ξ=-227.5t+74.5 ξ=-13.5t+12.4 IDR=2.0% : 0.55 T T T T T T T T 0.55 ξ=-80t ξ=-3.2t+42.9 ξ=-65.6t+65.8 ξ=14 ξ= t ξ=8% ξ= t+93.3 ξ=8 IDR=2.5% : 0.55 T T T T T T T T 0.55 ξ=-103t ξ=47.9 ξ=-144.6t+95.2 ξ=-20.3t+41.6 ξ=19 ξ=100 ξ=-203.3t ξ=100 IDR=3.0% : 0.55 T T T T T 0.55 ξ=-117.5t ξ=71 ξ=100 ξ=100 ξ=100 IDR=4.0% : 0.55 T T T T 0.55 ξ=100 ξ=100 ξ=100 ξ=100

177 138 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Πίνακας 7.5: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος A και ενεργή δυσκαμψία EIeff = My/ϕy SOIL A Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 1st Yield : 0.85 T T T T T T T T 0.7 ξ=-0.1t+4.3 ξ=0.8t+1.42 ξ=-9.7t+6.6 ξ=1.8 ξ=-9.6t+5.6 ξ=1.4 ξ=-19.2t+7 ξ=1.6 IDR=0.5% : 0.85 T T T T 0.70 ξ=0.14t+0.07 ξ=0.2 ξ=0.1 ξ=-0.1 IDR=1.0% : 0.85 T T T T T T T 0.7 ξ=2.8 ξ=-15.9t+7.3 ξ=1.1 ξ=-30t+9.3 ξ=3.6t+0.86 ξ=28.9t+7.4 ξ=1 IDR=1.5% : 0.85 T T T T T T T T 0.7 ξ=-2.8t+17.4 ξ=10 ξ=-5.9t+9.7 ξ=4.5 ξ=-8.3t+9.2 ξ=3.5 ξ=-10.8t+8.5 ξ=3 IDR=2.0% : 0.85 T T T T T T T 0.7 ξ=-1.86τ+23.6 ξ=-15t+15.2 ξ=6 ξ=-14.2t+14.8 ξ=5 ξ=-34.6t+19.4 ξ=5.5 IDR=2.5% : 0.85 T T T = T T T T T 0.7 ξ=-6.05τ+40.1 ξ=23.5 ξ=-23.1t+33.8 ξ=11 ξ=-54.3t+37.7 ξ=-9.4t+14.8 ξ=7 ξ=-112.6t+57.7 ξ=7 IDR=3.0% : 0.85 T T T T T T T T 0.7 ξ=-12.4t+70.5 ξ=31.5 ξ=-61.9t+80 ξ=15 ξ=-157.6t ξ=8 ξ=-240.9t ξ=-39.1t+40.4 IDR=4.0% : 0.85 T T T T T T 0.7 ξ=-10.9t+85.2 ξ=51 ξ=-70.4t ξ=-18.05t+50.9 ξ=100 ξ=100 Πίνακας 7.6: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος B και ενεργή δυσκαμψία EIeff = My/ϕy SOIL B Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 1st Yield : 0.85 T T T T T T T T 0.7 ξ=-0.57t+5.1 ξ=0.97t+0.8 ξ=-5.5t+5.1 ξ=1.8 ξ=-10t+5.8 ξ=1.4 ξ=-12.9t+5.9 ξ=1.5 IDR=0.5% : 0.85 T T T T 0.70 ξ=0.18t+0.04 ξ=0.2 ξ=0.1 ξ=-0.1 IDR=1.0% : 0.85 T T T T T T T 0.7 ξ=2.9 ξ=-8.4t+5 ξ=1.2 ξ=-7.9t+4.5 ξ=0.9 ξ=-14.5t+5.93 ξ=1 IDR=1.5% : 0.85 T T T T T T T T 0.7 ξ=-5.1t+18.8 ξ=9.9 ξ=-4.1t+8.7 ξ=4.5 ξ=-10.4t+9.5 ξ=3 ξ=-8.4t+7.3 ξ=3 IDR=2.0% : 0.85 T T T T T T T T 0.7 ξ=-4.2t+26.6 ξ=14.9 ξ=-5.9t+12.3 ξ=6 ξ=-13.3t+14.5 ξ=-0.51t+5.4 ξ=-42.6t+22.5 ξ=-0.34t+5.1 IDR=2.5% : 0.85 T T T T T T T T 0.7 ξ=-7.89τ+38.2 ξ=-2.2t+27.9 ξ=-26.25t ξ=9 ξ=-55.4t+34.4 ξ=-0.19t+6.2 ξ=-106.8t+50.9 ξ=6 IDR=3.0% : 0.85 T T T T T T T T 0.7 ξ=-6.4t+49.4 ξ=24.5 ξ=-53.8t+67.3 ξ=14 ξ=-146.3t+93.3 ξ=7 ξ=-191.9t ξ=7 IDR=4.0% : 0.85 T T T T T T 0.70 ξ=-10.2t+78.7 ξ=48 ξ=-69.4t+94.5 ξ=-18.1t+48.3 ξ=100 ξ=100

178 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 139 Πίνακας 7.7: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος C και ενεργή δυσκαμψία EIeff = My/ϕy SOIL C Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 1st Yield : 0.85 T T T T T T T T 0.7 ξ=-0.91t+5.6 ξ=0.9t+0.86 ξ=-10.7t+7.1 ξ=1.8 ξ=-7.9t+5.2 ξ=1.7 ξ=-8.75t+4.9 ξ=1.6 IDR=0.5% : 0.85 T T T T 0.70 ξ=0.1t+0.1 ξ=0.2 ξ=0.1 ξ=-0.1 IDR=1.0% : 0.85 T T T T T T T 0.7 ξ=1.9 ξ=-17.3t+6.6 ξ=1.1 ξ=-23.3t+7.7 ξ=1.2 ξ=-12.5t+4.7 ξ=1 IDR=1.5% : 0.85 T T T T T T T T 0.7 ξ=-3.9t+14.4 ξ=9.5 ξ=-5t+8.55 ξ=3.5 ξ=-8.4t+8.4 ξ=3.3 ξ=-9.4t+7.3 ξ=3 IDR=2.0% : 0.85 T T T T T T T T 0.7 ξ=-3.2t+20.7 ξ=4.2t+0.3 ξ=-6.25t+12.3 ξ=6 ξ=-16.3t+14.6 ξ=5 ξ=-32.5t+18.6 ξ=4.9 IDR=2.5% : 0.85 T T T T T T T 0.7 ξ=24 ξ=-21.7t+27.6 ξ=8 ξ=-48.6t+30.8 ξ=6 ξ=-75t+39.5 ξ=5 IDR=3.0% : 0.85 T T T T T T T T 0.7 ξ=-3.4t+38.4 ξ=25 ξ=-50t+65.5 ξ=16 ξ= t+83.8 ξ=7.5 ξ=-167.7t+87.5 ξ=7 IDR=4.0% : 0.85 T T T T T T 0.70 ξ=-7.9t+69.7 ξ=48 ξ=-56.4t+80.8 ξ=-12.7t+37.5 ξ=100 ξ=100 Πίνακας 7.8: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος D και ενεργή δυσκαμψία EIeff = My/ϕy SOIL D Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 1st Yield : 0.85 T T T T T T T T 0.70 ξ=-0.7t+5.6 ξ=1.06t+0.2 ξ=-9.6t+6.3 ξ=1.9 ξ=-8.6t+5.4 ξ=1.5 ξ=-14.7t+6.3 ξ=-1.9t+2.6 IDR=0.5% : 0.85 T T T T 0.70 ξ=0.2 ξ=0.1 ξ=0.1 ξ=0.1 IDR=1.0% : 0.85 T 1 1 T T T T T T T 0.70 ξ=-16t+17.1 ξ=1.1 ξ=-13t+6 ξ=1 ξ=-11.1t+4.8 ξ=1 ξ=-35t+8.3 ξ=1 IDR=1.5% : 0.85 T T T T T T T T 0.7 ξ=-1.05t+11.4 ξ=8.5 ξ=-3.7t+7.8 ξ=4 ξ=-11.1t+9.7 ξ=3 ξ=-7.8t+6.9 ξ=3 IDR=2.0% : 0.85 T T T 1 1 T T T T T 0.7 ξ=-3t+18.6 ξ=2.3t+3.5 ξ=-7.6t+12.6 ξ=5 ξ=-13t+12.6 ξ=4.9 ξ=-28.1t+16.4 ξ=4.9 IDR=2.5% : 0.85 T T T T T T T T 0.7 ξ=-1.7t+24.5 ξ=17.9 ξ=-18.8t+26.9 ξ=8 ξ=-51.4t+32.2 ξ=6 ξ=-60.9t+34.5 ξ=5.9 IDR=3.0% : 0.85 T T T T T T T 0.7 ξ=-2.9t+33.9 ξ=-59.7t ξ=9.5 ξ=-141.7t+79.2 ξ=6.9 ξ=-173.5t+88.8 ξ=5.5 IDR=4.0% : 0.85 T T T T T T 0.70 ξ=-11.8t+73.1 ξ=47 ξ=-103.9t ξ=-8.8t+32 ξ=100 ξ=100

179 140 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Πίνακας 7.9: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, έδαφος A SOIL A Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 1st Yield : 0.38 T T T T T T T T 0.22 ξ=4.9 ξ=-1.8t ξ=-5.8t +3.4 ξ=1 ξ=-18.2t ξ=1 ξ=-45t ξ=1 IDR=0.2% : 0.38 T T T T 0.22 ξ=0.2 ξ=0.2 ξ=0.2 ξ=0.2 IDR=0.4% : 0.38 T T T T T T T 0.22 ξ=-18τ ξ=5.2t +5.8 ξ=-3.75t+4.6 ξ=3.9 ξ=-90t+18.7 ξ=28.3t-2.6 ξ=2 ξ=50t-7 IDR=0.7% : 0.38 T T T T T 0.22 ξ=21.7t+9.7 ξ=78.4t-2.7 ξ=20.8 ξ=16.5 ξ=100 IDR=0.8% : 0.38 T T T T T 0.22 ξ=28.8t ξ=61.1t+3.3 ξ=21 ξ=100 ξ=100 IDR=0.9% : 0.38 T T T T T 0.22 ξ=14.9t+31 ξ=-240t+94.4 ξ=20 ξ=100 ξ=100 IDR=1.0% : 0.38 T T T T 0.22 ξ=21.2t+38.9 ξ=100 ξ=100 ξ=100 Πίνακας 7.10: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, έδαφος B SOIL B Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 1st Yield : 0.38 T T T T T T T T 0.22 ξ=4.8 ξ=- 1.9T+6.7 ξ=-8.9t+3.8 ξ=1.2 ξ=-19.t+5.5 ξ=0.9 ξ=-35t+7.25 ξ=1.3 IDR=0.2% : 0.38 T T T T 0.22 ξ=0.2 ξ=0.2 ξ=0.2 ξ=0.2 IDR=0.4% : 0.38 T T T T T T T T 0.22 ξ=11.8 ξ=20.4t-18.4 ξ=4 ξ=28.6t-6.6 ξ=-137.5t+25.4 ξ=30t-3.1 ξ=-50t+11 ξ=75t-11.5 IDR=0.7% : 0.38 T T T T T T 0.22 ξ=25 ξ=31.6t-8.2 ξ=90t-5.1 ξ=21 ξ=-58.8t+27.2 ξ=100 IDR=0.8% : 0.38 T T T T T T 0.22 ξ=32 ξ=38.7t-5.9 ξ=63.9t+1.9 ξ=20.5 ξ=100 ξ=100 IDR=0.9% : 0.38 T T T T T T 0.22 ξ=36 ξ=40.2t-3.8 ξ=-217.7t+82.8 ξ=20 ξ=100 ξ=100 IDR=1.0% : 0.38 T T T T T 0.22 ξ=45 ξ=33.5t+13.2 ξ=100 ξ=100 ξ=100

180 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 141 Πίνακας 7.11: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, έδαφος C SOIL C Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 1st Yield : 0.38 T T T T T T 0.22 ξ=4.9 ξ=-1.8t+6.8 ξ=-7.05t+3.8 ξ=-3t+2.64 ξ=-11.8t+3.3 ξ=-12.8t+3.6 IDR=0.2% : 0.38 T T T T 0.22 ξ=0.2 ξ=0.1 ξ=0.2 ξ=0.1 IDR=0.4% : 0.38 T T T T T T T 0.22 ξ=10.5 ξ=16.02t-12.3 ξ=-32.9t+9.7 ξ=8t+2.36 ξ=-95t ξ=43.6t+6.1 ξ=15.8t+0.4 IDR=0.7% : 0.38 T T T T T T 0.22 ξ=-31.8t+44 ξ=26.4t-3.7 ξ=67.2t+1.5 ξ=21 ξ=-96.5t+36.4 ξ=100 IDR=0.8% : 0.38 T T T T T T 0.22 ξ=-21.6t+44.2 ξ=49.6t-5.4 ξ=67.2t+1.5 ξ=21 ξ=100 ξ=100 IDR=0.9% : 0.38 T T T T T T 0.22 ξ=-13.6t ξ=46.4t-6.07 ξ=-219.4t+84.1 ξ=20.5 ξ=100 ξ=100 IDR=1.0% : 0.38 T T T T T 0.22 ξ=-25.5t+59.7 ξ=46.7t-1.7 ξ=100 ξ=100 ξ=100 Πίνακας 7.12: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, έδαφος D SOIL D Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 1st Yield : 0.38 T T T T T T T T 0.22 ξ=4.9 ξ=-0.66t+5.6 ξ=-7.06t+3.6 ξ=1.6 ξ=-16t+3.98 ξ=1.1 ξ=40t-5.8 ξ=1 IDR=0.2% : 0.38 T T T T 0.22 ξ=0.2 ξ=0.1 ξ=0.1 ξ=0.2 IDR=0.4% : 0.38 T T T T T T 0.22 ξ=9 ξ=1.2t+1.3 ξ=4.1 ξ=20t-3.5 ξ=2.5 ξ=2.1 IDR=0.7% : 0.38 T T T T T T 0.22 ξ=24 ξ=23.6t+4.7 ξ=86.1t-3.9 ξ=21 ξ=-74.5t+31.9 ξ=100 IDR=0.8% : 0.38 T T T T T T 0.22 ξ=28 ξ=42.5t-12.4 ξ=67.7t+2.1 ξ=21 ξ=100 ξ=100 IDR=0.9% : 0.38 T T T T T T 0.22 ξ=36 ξ=37.1t-0.35 ξ=-160t+69.6 ξ=20 ξ=100 ξ=100 IDR=1.0% : 0.38 T T T T T 0.22 ξ=44 ξ=37.8t+9.1 ξ=100 ξ=100 ξ=100

181 142 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Πίνακας 7.13: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ και έδαφος A SOIL A Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 1st Yield : 0.62 T T T T T T T T 0.39 ξ=3.9 ξ=5 ξ=-15.7t ξ=1.9 ξ=-25.6t ξ=1.8 ξ=-19.1t ξ=1.7 IDR=0.5% : 0.62 T T T T T T T T 0.39 ξ=0.8t-0.13 ξ=4 ξ=0.2 ξ=2 ξ=0.4 ξ=1.9 ξ=5.56t-0.21 ξ=1.8 IDR=1.0% : 0.62 T T T T T T T T 0.39 ξ=-17.6τ+19.6 ξ=10.6t ξ=24 ξ=-132.5t+34.7 ξ=7.9t+2.4 ξ=6 ξ=6.8t+3.6 ξ=20.7t-0.3 IDR=1.5% : 0.62 T T T T T T T T T 0.39 ξ=-30t+38.5 ξ=10.7t+5.9 ξ=-36.8t+21.5 ξ=61.7t-15.9 ξ=14.9 ξ=-30.9t+16.6 ξ=19.4t-1.6 ξ=4.3 ξ=94t-27.7 IDR=2.0% : 0.62 T T T T T T T T 0.39 ξ=32 ξ=12.7t+19.5 ξ=-47.1t+58.9 ξ=17.5 ξ=-83.3t+47.4 ξ=9.9 ξ=-114.3t+34.1 ξ=13.5 IDR=2.5% : 0.62 T T T T T T 0.39 ξ=47 ξ=16.2t+29.1 ξ=-147.8t+97.1 ξ=-20.5t+43.6 ξ=100 ξ=100 IDR=3.0% : 0.62 T T T T T T T 0.39 ξ=53 ξ=40t+27 ξ=97 ξ=-25.2t+49.7 ξ=25 ξ=100 ξ=100 Πίνακας 7.14: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ και έδαφος B SOIL B Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 1st Yield : 0.62 T T T T T T T T 0.39 ξ=4.1 ξ=5.1 ξ=-15.3t+7.7 ξ=1.9 ξ=-18.2t ξ=1.8 ξ=-18.22t ξ=1.8 IDR=0.5% : 0.62 T T T T T T T T 0.39 ξ=0.2 ξ=3.4t-5.75 ξ=0.2 ξ=3.4t-1.86 ξ=0.5 ξ=5t-1.1 ξ=0.7 ξ=8t-0.82 IDR=1.0% : 0.62 T T T T T T T T 0.39 ξ=8 ξ=9.6t-4 ξ=-36.4t+14.9 ξ=11.1t+0.7 ξ=6 ξ=15.9t-0.7 ξ=15.7t+2.2 ξ=38.6t-3.5 IDR=1.5% : 0.62 T T T T T T T T T T 0.39 ξ=-26t+34.8 ξ=20.6t-2.5 ξ=49 ξ=-40.9t+20.3 ξ=23.3t+1 ξ=15 ξ=-205.7t T+2.1 ξ=-34.8t+15.8 ξ=4 IDR=2.0% : 0.62 T 1 1 T T T T T T T 0.39 ξ=32 ξ=13.1t+18.9 ξ=-45.8t+58.7 ξ=17.5 ξ=-80.3t ξ=9.9 ξ=-141.7t+37.1 ξ=13 IDR=2.5% : 0.62 T T T T T T 0.39 ξ=47 ξ=15.9t+30.3 ξ=-147.8t+97.1 ξ=-20.5t+47.6 ξ=100 ξ=100 IDR=3.0% : 0.62 T T T T T T T 0.39 ξ=53 ξ=44t+22.2 ξ=97 ξ=-26.2t+49.8 ξ=25 ξ=100 ξ=100

182 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 143 Πίνακας 7.15: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ και έδαφος C SOIL C Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 1st Yield : 0.62 T T T T T T T T T T 0.39 ξ=-0.38t+4.7 ξ=5 ξ=-10.9t+6.3 ξ=1.7 ξ=-1.5t+3.7 ξ=-47.5t+11.5 ξ=-3.6t+3.2 ξ=-4.4t+4.3 ξ=-17.3t+5.8 ξ=-1.2t+2.3 IDR=0.5% : 0.62 T T T T T T T T 0.39 ξ=0.2 ξ=2.8t-4.7 ξ=0.2 ξ=3.8t-2.6 ξ=0.5 ξ=4.8t-1.2 ξ=0.7 ξ=7.6t-0.9 IDR=1.0% : 0.62 T T T T T T T T T 0.39 ξ=-12τ+15.6 ξ=8t-0.4 ξ=20 ξ=-66.7t+21.2 ξ=6.6t+2.85 ξ=7.8 ξ=5.9 ξ=42.2t-2.6 ξ=-27.2t+14.7 IDR=1.5% : 0.62 T T T T T T T T T 0.39 ξ=-35t+40.2 ξ=15.5t+2.3 ξ=41 ξ=-25t+15.8 ξ=30t-3.5 ξ=14.5 ξ=5 ξ=13.6t+2 ξ=5 IDR=2.0% : 0.62 T T T T T T T T T 0.39 ξ=-30t+47.5 ξ=19.4t+10.4 ξ=59 ξ=-52.4t+65.2 ξ=18 ξ=-300t+95 ξ=8 ξ=-600t+111 ξ=9 IDR=2.5% : 0.62 T T T T T T T T 0.39 ξ=-50t+69.5 ξ=26.3t+12.3 ξ=78 ξ=-421t+200 ξ=-35.1t+53.3 ξ=20 ξ=100 ξ=100 IDR=3.0% : 0.62 T T T T T T T T 0.39 ξ=-45tt ξ=24.5t+21.6 ξ=89 ξ=-143.5t+97.3 ξ=-30.2t+49.7 ξ=22.5 ξ=100 ξ=100 Πίνακας 7.16: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ και έδαφος D SOIL D Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 1st Yield : 0.62 T T T T T T T T T T 0.39 ξ=-1.6t+5.8 ξ=4 ξ=5 ξ=-14.5t+7.6 ξ=2 ξ=-55t ξ=-4.7t+3.4 ξ=1.7 ξ= 16.9T ξ=1.7 IDR=0.5% : 0.62 T T T T T T T T 0.39 ξ=0.2 ξ=3.65t-6.2 ξ=0.2 ξ=3.3t-1.9 ξ=0.5 ξ=4.5t-0.9 ξ=0.5 ξ=8.9t-1.4 IDR=1.0% : 0.62 T T T T T T T T T T 0.39 ξ=-14τ+16.7 ξ=9.7t-2.2 ξ=-150t+38 ξ=3.7t+4.2 ξ=26.7t-19.9 ξ=-82.5t+19.9 ξ=4t+3.44 ξ=2 ξ=17.9t-1.75 ξ=175t-56.7 IDR=1.5% : 0.62 T T T T T T T 0.39 ξ=-28t+36.4 ξ=16.3t+0.9 ξ=-123.3t+38.3 ξ=20.6t+2.4 ξ=3.6t+12.7 ξ=5 ξ=20.7t-0.2 IDR=2.0% : 0.62 T T T T T T T 0.39 ξ=29 ξ=27.5t-3.9 ξ=-36.2t+56.9 ξ=22.5 ξ=10 ξ=6.1 ξ=120t-34.7 IDR=2.5% : 0.62 T 1 1 T T T T T T T 0.39 ξ=40 ξ=38.6t+5.7 ξ=100 ξ=-318.7t ξ=-95.8t+82.5 ξ=26 ξ=100 ξ=100 IDR=3.0% : 0.62 T T T T T T 0.39 ξ=-173.5t ξ=100 ξ=-76.4t+74.5 ξ=-11t+38.6 ξ=100 ξ=100

183 144 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Σχήμα 7.1: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EIeff = 0.5EIg, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5, 1.0, 1.5) και έδαφος Α

184 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 145 Σχήμα 7.2: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EIeff = 0.5EIg, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3) και έδαφος Α

185 146 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Σχήμα 7.3: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EIeff = 0.5EIg, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5,1.0, 1.5) και έδαφος B

186 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 147 Σχήμα 7.4: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EIeff = 0.5EIg, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3) και έδαφος B

187 148 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Σχήμα 7.5: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EIeff = 0.5EIg, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5,1.0, 1.5) και έδαφος C

188 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 149 Σχήμα 7.6: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EIeff = 0.5EIg, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3) και έδαφος C

189 150 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Σχήμα 7.7: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EIeff = 0.5EIg, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5,1.0, 1.5) και έδαφος D

190 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 151 Σχήμα 7.8: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EIeff = 0.5EIg, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3) και έδαφος D

191 152 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Σχήμα 7.9: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EIeff = My/ϕy, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5,1.0, 1.5) και έδαφος Α

192 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 153 Σχήμα 7.10: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EIeff = My/ϕy, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3) και έδαφος Α

193 154 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Σχήμα 7.11: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EIeff = My/ϕy, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5,1.0, 1.5) και έδαφος B

194 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 155 Σχήμα 7.12: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EIeff = My/ϕy, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3) και έδαφος B

195 156 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Σχήμα 7.13: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EIeff = My/ϕy, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5,1.0, 1.5) και έδαφος C

196 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 157 Σχήμα 7.14: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EIeff = My/ϕy, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3) και έδαφος C

197 158 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Σχήμα 7.15: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EIeff = My/ϕy, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5,1.0, 1.5) και έδαφος D

198 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 159 Σχήμα 7.16: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, EIeff = My/ϕy, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3) και έδαφος D

199 160 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Σχήμα 7.17: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.2, 0.4, 0.7) και έδαφος Α

200 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 161 Σχήμα 7.18: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=0.8, 0.9, 1.0) και έδαφος Α

201 162 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Σχήμα 7.19: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.2, 0.4, 0.7) και έδαφος B

202 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 163 Σχήμα 7.20: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=0.8, 0.9, 1.0) και έδαφος B

203 164 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Σχήμα 7.21: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.2, 0.4, 0.7) και έδαφος C

204 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 165 Σχήμα 7.22: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=0.8, 0.9, 1.0) και έδαφος C

205 166 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Σχήμα 7.23: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.2, 0.4, 0.7) και έδαφος D

206 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 167 Σχήμα 7.24: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=0.8, 0.9, 1.0) και έδαφος D

207 168 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Σχήμα 7.25: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5, 1.0, 1.5) και έδαφος Α

208 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 169 Σχήμα 7.26: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος Α

209 170 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Σχήμα 7.27: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ, 4 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος B

210 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 171 Σχήμα 7.28: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος B

211 172 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Σχήμα 7.29: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5, 1.0, 1.5) και έδαφος C

212 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 173 Σχήμα 7.30: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος C

213 174 Κεφάλαιο 7. Αποτελέσματα: Ισοδύναμοι Λόγοι Ιξώδους Απόσβεση ξ k Σχήμα 7.31: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ, 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5, 1.0, 1.5) και έδαφος D

214 7.2. Σχέσεις σχεδιασμού ισοδύναμων λόγων απόσβεσης ξ k 175 Σχήμα 7.32: Ισοδύναμοι λόγοι ιδιομορφικής ιξώδους απόσβεσης ξk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ, 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος D

215 Αυτή η σελίδα αφήνεται σκόπιμα κενή.

216 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k 8.1 Εισαγωγή Οι ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k παρουσιάζονται σε αυτό το Kεφάλαιο σε πινακοποιημένη μορφή και σε σχήματα για χρήση στον αντισεισμικό σχεδιασμό α) επιπέδων καμπτικών πλαισίων (Σχ. 6.1) β) επιπέδων πλαισίων με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως (τοιχοπληρώσεις) στην σεισμική απόκριση του συστήματος (Σχ. 6.2) και γ) επιπέδων δυαδικών συστημάτων πλαισίωντοιχωμάτων (Σχ. 6.3). Οι συντελεστές αυτοί δίνονται συναρτήσει επιπέδων βλάβης, ιδιοπεριόδου και τύπο εδάφους (A, B, C, D). Οι εξισώσεις προέκυψαν από μη-γραμμική ανάλυση παλινδρόμησης. 8.2 Σχέσεις σχεδιασμού ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k Οι σχέσεις αυτές δίνονται στους παρακάτω πίνακες και Σχ

217 178 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Πίνακας 8.1: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος A και ενεργή δυσκαμψία EIeff = 0.5EIg SOIL A Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode T T T T st Yield: q(t ) = 0.06T T q(t ) = 0.1T q(t ) = 0.24T q(t ) = 0.31T IDR=0.5% : q = 0.40T q = 0.12T q = 0.11T q = 0.20T IDR=1.0% : q(t ) = 0.20T T q(t ) = 0.28T q(t ) = 0.52T q(t ) = 1.1T IDR=1.5% : q(t ) = 0.34T T q(t ) = 1.76T 2 4.1T q(t ) = 1.39T q(t ) = 2.45T IDR=2.0% : q(t ) = 0.49T T q(t ) = 0.74T 2 2.3T q(t ) = 2.33T q(t ) = 10.69T T IDR=2.5% : q(t ) = 0.51T T q(t ) = 2.05T T q(t ) = 19.24T T q(t ) = 12.05T T IDR=3.0% : q(t ) = 0.7T T q(t ) = 6.13T T T q(t ) = 10.38T T q(t ) = 12.05T T IDR=4.0% : q(t ) = 0.69T T q(t ) = 2.6T T q(t ) = 10.38T T q(t ) = 12.05T T Πίνακας 8.2: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος B και ενεργή δυσκαμψία EIeff = 0.5EIg SOIL B Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode T T T T st Yield: q(t ) = 0.04T q(t ) = 0.06T q(t ) = 0.1T q(t ) = 0.16T IDR=0.5% : q = 0.04T q = 0.07T q = 0.06T q = 0.05T IDR=1.0% : q(t ) = 0.09T T q(t ) = 0.27T 2 0.6T q(t ) = 0.27T q(t ) = 0.57T IDR=1.5% : q(t ) = 0.20T q(t ) = 1.19T T q(t ) = 1.06T q(t ) = 1.4T IDR=2.0% : q(t ) = 0.38T q(t ) = 0.45T T q(t ) = 44.33T T T q(t ) = 96.74T T T 0.38 IDR=2.5% : q(t ) = 0.46T q(t ) = 1.14T T q(t ) = 17.64T T q(t ) = 22.94T T IDR=3.0% : q(t ) = 0.39T q(t ) = 1.51T T q(t ) = 10.91T T q(t ) = 22.94T T IDR=4.0% : q(t ) = 0.19T T q(t ) = 1.51T T q(t ) = 10.91T T q(t ) = 22.94T T

218 8.2. Σχέσεις σχεδιασμού ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 179 Πίνακας 8.3: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος C και ενεργή δυσκαμψία EIeff = 0.5EIg SOIL C Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode T T T T st Yield: q(t ) = 0.06T T q(t ) = 0.04T q(t ) = 0.05T q(t ) = 0.12T IDR=0.5% : q = 0.04T q = 0.06T q = 0.04T q = 0.08T IDR=1.0% : q(t ) = 0.1T T q(t ) = 0.14T q(t ) = 0.25T q(t ) = 0.54T IDR=1.5% : q(t ) = 0.13T T q(t ) = 4.85T T T q(t ) = 1.62T T q(t ) = 0.61T IDR=2.0% : q(t ) = 0.15T T q(t ) = 3.91T T T q(t ) = 29.85T T T q(t ) = 75.25T T T 0.18 IDR=2.5% : q(t ) = 0.21T 2 1.1T q(t ) = 0.74T T q(t ) = 14.31T T q(t ) = 11.86T T IDR=3.0% : q(t ) = 0.23T T q(t ) = 4.79T T q(t ) = 6.17T T q(t ) = 11.86T T IDR=4.0% : q(t ) = 0.19T T q(t ) = 4.79T T q(t ) = 6.17T 2 10T q(t ) = 11.86T T Πίνακας 8.4: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος D και ενεργή δυσκαμψία EIeff = 0.5EIg SOIL D Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode T T T T st Yield: q(t ) = 0.04T T q(t ) = 0.01T q(t ) = 0.07T q(t ) = 0.08T IDR=0.5% : q = 0.04T q = 0.06T q = 0.08T q = 0.24T IDR=1.0% : q(t ) = 0.09T T q(t ) = 0.21T q(t ) = 0.22T q(t ) = 0.23T IDR=1.5% : q(t ) = 0.27T q(t ) = 0.78T T q(t ) = 0.42T q(t ) = 0.71T 1.74 IDR=2.0% : q(t ) = 0.42T q(t ) = 6.54T T T q(t ) = 37.08T T T q(t ) = 92.83T T T 0.83 IDR=2.5% : q(t ) = 0.42T q(t ) = 3.9T 3 8.4T T q(t ) = 20.08T T 0.1 q(t ) = 13T T IDR=3.0% : q(t ) = 0.24T T q(t ) = 2.51T T q(t ) = 11.38T T q(t ) = 13T T IDR=4.0% : q(t ) = 0.44T T q(t ) = 2.51T T q(t ) = 11.38T T q(t ) = 13T T

219 180 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Πίνακας 8.5: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος A και ενεργή δυσκαμψία EIeff = My/ϕy SOIL A Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode st Yield: q(t ) = 0.03T T q(t ) = 0.11T q(t ) = 0.55T T q(t ) = 1.17T T IDR=0.5% : q(t ) = 1.0 q(t ) = 1.0 q(t ) = 1.0 q(t ) = 1.0 IDR=1.0% : q(t ) = 1.11 q(t ) = 0.08T q(t ) = 0.02T q(t ) = 0.20T IDR=1.5% : q(t ) = 0.08T T q(t ) = 0.21T q(t ) = 0.35T q(t ) = 0.5T IDR=2.0% : q(t ) = 0.05T T T q(t ) = 0.26T q(t ) = 0.51T q(t ) = 0.86T IDR=2.5% : q(t ) = 0.07T T T q(t ) = 0.42T T q(t ) = 1.51T 2 2.8T q(t ) = 4.1T T IDR=3.0% : q(t ) = 0.11T T T q(t ) = 2.03T T T q(t ) = 3.27T 2 6.9T q(t ) = 5.11T IDR=4.0% : q(t ) = 0.14T T T q(t ) = 2.6T T T q(t ) = 5.91T T + 3 q(t ) = 9.85T T Πίνακας 8.6: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος B και ενεργή δυσκαμψία EIeff = My/ϕy SOIL A Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode st Yield: q(t ) = 0.03T q(t ) = 0.07T q(t ) = 0.16T q(t ) = 0.21T IDR=0.5% : q(t ) = 1.0 q(t ) = 1.0 q(t ) = 1.0 q(t ) = 1.0 IDR=1.0% : q(t ) = 0.02T q(t ) = 0.06T q(t ) = 0.15T q(t ) = 0.25T IDR=1.5% : q(t ) = 0.05T T q(t ) = 0.11T q(t ) = 0.27T q(t ) = 0.23T IDR=2.0% : q(t ) = 0.06T 2 0.5T q(t ) = 0.15T q(t ) = 0.36T q(t ) = 1.79T T IDR=2.5% : q(t ) = 0.07T T q(t ) = 0.21T T q(t ) = 1.49T 2 2.4T q(t ) = 3T T IDR=3.0% : q(t ) = 0.07T T q(t ) = 0.47T T q(t ) = 10.5T T T q(t ) = 52.61T T T IDR=4.0% : q(t ) = 0.12T T q(t ) = 1.22T q(t ) = 10.84T T T q(t ) = 10.02T T

220 8.2. Σχέσεις σχεδιασμού ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 181 Πίνακας 8.7: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος C και ενεργή δυσκαμψία EIeff = My/ϕy SOIL A Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode st Yield: q(t ) = 0.01T q(t ) = 0.07T q(t ) = 0.08T q(t ) = 0.07T IDR=0.5% : q(t ) = 1.0 q(t ) = 1.0 q(t ) = 1.0 q(t ) = 1.0 IDR=1.0% : q(t ) = 1.1 q(t ) = 0.02T q(t ) = 0.06T q(t ) = 0.07T IDR=1.5% : q(t ) = 0.05T T q(t ) = 0.12T q(t ) = 0.11T q(t ) = 0.05T IDR=2.0% : q(t ) = 0.06T T q(t ) = 0.13T q(t ) = 0.19T q(t ) = 10.05T T T IDR=2.5% : q(t ) = 0.03T q(t ) = 0.71T T 2 + 1T q(t ) = 0.45T q(t ) = 24.6T T T IDR=3.0% : q(t ) = 0.15T q(t ) = 2.32T T T q(t ) = 0.87T T q(t ) = 49.52T T T 0.15 IDR=4.0% : q(t ) = 0.08T T q(t ) = 2.82T T 2 + 6T q(t ) = 6.58T T q(t ) = 5.48T T Πίνακας 8.8: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα καμπτικά πλαίσια Ο/Σ, έδαφος D και ενεργή δυσκαμψία EIeff = My/ϕy SOIL A Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode st Yield: q(t ) = 0.03T q(t ) = 0.07T q(t ) = 0.14T q(t ) = 0.16T IDR=0.5% : q(t ) = 1.0 q(t ) = 1.0 q(t ) = 1.0 q(t ) = 1.0 IDR=1.0% : q(t ) = 0.01T q(t ) = 0.05T q(t ) = 0.09T q(t ) = 0.07T IDR=1.5% : q(t ) = 0.08T q(t ) = 0.14T q(t ) = 0.27T q(t ) = 0.12T 1.26 IDR=2.0% : q(t ) = T q(t ) = 0.24T q(t ) = 0.26T q(t ) = 0.317T IDR=2.5% : q(t ) = T q(t ) = 0.47T q(t ) = 0.54T T 1.7 q(t ) = 0.83T IDR=3.0% : q(t ) = 0.05T T q(t ) = 0.37T T q(t ) = 9.09T T T q(t ) = 46.7T T T IDR=4.0% : q(t ) = 0.17T 2 1.4T q(t ) = 2.37T T T q(t ) = 6.44T T q(t ) = 10.23T T

221 182 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Πίνακας 8.9: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, έδαφος A SOIL A Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode st Yield: q(t ) = 0.10T q(t ) = 0.25T q(t ) = 0.85T q(t ) = 1.14T IDR=0.2% : q(t ) = 1.01 q(t ) = 1.01 q(t ) = 1.02 q(t ) = 1.01 IDR=0.4% : q(t ) = 0.38T T q(t ) = 0.02T q(t ) = 19.1T T q(t ) = 0.94T IDR=0.7% : q(t ) = 0.18T T q(t ) = 7.07T T q(t ) = 0.15T q(t ) = T T 1.18 IDR=0.8% : q(t ) = 0.18T T q(t ) = 5.98T T q(t ) = 2.94T q(t ) = T T 1.18 IDR=0.9% : q(t ) = 0.35T q(t ) = 6.93T T q(t ) = 2.94T q(t ) = T T 1.18 IDR=1.0% : q(t ) = 0.42T q(t ) = 10.29T T q(t ) = 2.94T q(t ) = T T 1.18 Πίνακας 8.10: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, έδαφος B SOIL A Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode st Yield: q(t ) = 0.08T q(t ) = 0.13T q(t ) = 0.56T q(t ) = 0.31T IDR=0.2% : q(t ) = 1.01 q(t ) = 1.01 q(t ) = 1.01 q(t ) = 1.00 IDR=0.4% : q(t ) = 0.18T T q(t ) = 0.50T q(t ) = 0.35T q(t ) = 0.45T IDR=0.7% : q(t ) = 0.20T T q(t ) = 7.85T T q(t ) = 24.52T T q(t ) = 65.12T T 1.13 IDR=0.8% : q(t ) = 0.69T q(t ) = 6.72T T q(t ) = 64.46T T 0.91 q(t ) = 65.12T T 1.13 IDR=0.9% : q(t ) = 0.70T q(t ) = 0.72T q(t ) = 64.46T T 0.91 q(t ) = 65.12T T 1.13 IDR=1.0% : q(t ) = 0.58T q(t ) = 20.09T T q(t ) = 64.46T T 0.91 q(t ) = 65.12T T 1.13

222 8.2. Σχέσεις σχεδιασμού ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 183 Πίνακας 8.11: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, έδαφος C SOIL A Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode st Yield: q(t ) = 0.07T q(t ) = 0.10T q(t ) = 0.04T q(t ) = 0.27T IDR=0.2% : q(t ) = 1.01 q(t ) = 1.00 q(t ) = 1.00 q(t ) = 1.00 IDR=0.4% : q(t ) = 0.23T T q(t ) = 0.43T q(t ) = 3.76T q(t ) = 1.21T IDR=0.7% : q(t ) = 0.54T T q(t ) = 3.27T T q(t ) = 0.99T q(t ) = 66.74T T IDR=0.8% : q(t ) = 1.17T q(t ) = 3.27T T q(t ) = 38.17T T 0.86 q(t ) = 66.74T T IDR=0.9% : q(t ) = 0.34T T q(t ) = 0.16T q(t ) = 38.17T T 0.86 q(t ) = 66.74T T IDR=1.0% : q(t ) = 0.48T T q(t ) = 10.32T T q(t ) = 38.17T T 0.86 q(t ) = 66.74T T Πίνακας 8.12: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως, έδαφος D SOIL A Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode st Yield: q(t ) = 0.05T q(t ) = 0.01T q(t ) = 0.07T q(t ) = 1.21T IDR=0.2% : q(t ) = 1.01 q(t ) = 1.00 q(t ) = 1.00 q(t ) = 1.00 IDR=0.4% : q(t ) = 0.26T T q(t ) = 0.63T q(t ) = 0.21T q(t ) = 0.51T IDR=0.7% : q(t ) = 0.60T q(t ) = 7.23T T q(t ) = 27.35T T q(t ) = 12.57T IDR=0.8% : q(t ) = 0.95T q(t ) = 6.75T T q(t ) = 49.51T T 0.89 q(t ) = 12.57T IDR=0.9% : q(t ) = 0.80T q(t ) = 3.78T T q(t ) = 49.51T T 0.89 q(t ) = 42.09T T 0.63 IDR=1.0% : q(t ) = 0.89T q(t ) = 12.70T T q(t ) = 49.51T T 0.89 q(t ) = 42.09T T 0.63

223 184 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Πίνακας 8.13: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ και έδαφος A SOIL A Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode st Yield: q(t ) = 0.05T T q(t ) = 0.42T T q(t ) = 0.26T q(t ) = 0.33T IDR=0.5% : q(t ) = 0.05T q(t ) = 0.10T q(t ) = 0.20T q(t ) = 0.40T IDR=1.0% : q(t ) = 0.14T q(t ) = 0.17T q(t ) = 0.04T q(t ) = 1.12T IDR=1.5% : q(t ) = 0.23T T q(t ) = 0.03T q(t ) = 3.47T T q(t ) = 2.82T T IDR=2.0% : q(t ) = 0.35T T q(t ) = 1.5T q(t ) = 2.72T T q(t ) = 0.07T IDR=2.5% : q(t ) = 0.49T 2 1.8T q(t ) = 1.34T T q(t ) = 8.20T T q(t ) = 5.56T IDR=3.0% : q(t ) = 0.32T T q(t ) = 0.30T T q(t ) = 8.2T T q(t ) = 13.42T T Πίνακας 8.14: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ και έδαφος B SOIL B Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode st Yield: q(t ) = 0.02T q(t ) = 0.37T T q(t ) = 0.16T q(t ) = 0.12T IDR=0.5% : q(t ) = 0.07T q(t ) = 0.11T q(t ) = 0.17T q(t ) = 0.36T IDR=1.0% : q(t ) = 0.15T q(t ) = 0.66T T q(t ) = 1.09T T q(t ) = 1.36T IDR=1.5% : q(t ) = 0.21T T q(t ) = 0.42T q(t ) = 4.54T T q(t ) = 7.21T T IDR=2.0% : q(t ) = 0.09T q(t ) = 0.87T q(t ) = 1.48T q(t ) = 0.59T IDR=2.5% : q(t ) = 0.08T T q(t ) = 1.26T T q(t ) = 12.48T T q(t ) = 29.86T T IDR=3.0% : q(t ) = 0.49T T q(t ) = 0.33T q(t ) = 12.42T T q(t ) = 29.86T T

224 8.2. Σχέσεις σχεδιασμού ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 185 Πίνακας 8.15: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ και έδαφος C SOIL C Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode st Yield: q(t ) = 0.01T q(t ) = 0.05T q(t ) = 0.03T q(t ) = 0.09T IDR=0.5% : q(t ) = 0.04T T q(t ) = 0.07T q(t ) = 0.17T q(t ) = 0.26T IDR=1.0% : q(t ) = 0.03T T q(t ) = 0.34T T q(t ) = 0.26T q(t ) = T IDR=1.5% : q(t ) = 0.1T T q(t ) = 0.89T T q(t ) = 0.22T q(t ) = 0.52T IDR=2.0% : q(t ) = 0.11T T q(t ) = 1.8T T q(t ) = 6.35T T q(t ) = 0.52T IDR=2.5% : q(t ) = 0.12T T q(t ) = 1.15T T q(t ) = 6.49T T q(t ) = 16.13T T IDR=3.0% : q(t ) = 0.05T T q(t ) = 0.66T q(t ) = 6.49T T q(t ) = 16.13T T Πίνακας 8.16: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ και έδαφος D SOIL D Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode st Yield: q(t ) = 0.01T q(t ) = 0.10T q(t ) = 0.1T q(t ) = 0.09T IDR=0.5% : q(t ) = 0.04T T q(t ) = 0.20T T q(t ) = 0.20T q(t ) = 0.34T IDR=1.0% : q(t ) = 0.08T T q(t ) = 0.35T T q(t ) = 0.31T q(t ) = 6.32T T IDR=1.5% : q(t ) = 0.17T T q(t ) = 0.49T q(t ) = 0.22T q(t ) = 1.26T IDR=2.0% : q(t ) = 0.18T T q(t ) = 1.27T T q(t ) = 0.49T q(t ) = 1.08T IDR=2.5% : q(t ) = 0.63T T q(t ) = 1.88T T q(t ) = 11.77T T q(t ) = 18.46T T IDR=3.0% : q(t ) = 0.33T T q(t ) = 0.38T q(t ) = 11.77T T q(t ) = 18.46T T

225 186 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k 8.3 Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.1: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = 0.5EI g ) και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος Α

226 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 187 Σχήμα 8.2: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = 0.5EI g ) και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος Β

227 188 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.3: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = 0.5EI g ) και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος C

228 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 189 Σχήμα 8.4: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff = 0.5EI g ) και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος D

229 190 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.5: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff /ϕ y ) και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος A

230 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 191 Σχήμα 8.6: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff /ϕ y ) και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος B

231 192 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.7: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff /ϕ y ) και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος C

232 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 193 Σχήμα 8.8: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για καμπτικά πλαίσια (EI eff /ϕ y ) και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος D

233 194 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.9: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος A

234 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 195 Σχήμα 8.10: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος B

235 196 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.11: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος C

236 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 197 Σχήμα 8.12: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος D

237 198 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.13: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος A

238 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 199 Σχήμα 8.14: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος B

239 200 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.15: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος C

240 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 201 Σχήμα 8.16: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς q k για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίωντοιχωμάτων Ο/Σ και διάφορα επίπεδα βλάβης, έδαφος D

241 202 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.17: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για καμπτικά πλαίσια (EIeff = 0.5EIg) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και εδαφος Α

242 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 203 Σχήμα 8.18: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για καμπτικά πλαίσια (EIeff = 0.5EIg) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και εδαφος Α

243 204 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.19: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για καμπτικά πλαίσια (EIeff = 0.5EIg) για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 2.0%, 2.5%, 3.0%, 4.0%) και εδαφος Α

244 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 205 Σχήμα 8.20: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για καμπτικά πλαίσια (EIeff = 0.5EIg) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και εδαφος B

245 206 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.21: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για καμπτικά πλαίσια (EIeff = 0.5EIg) για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 2.0%, 2.5%, 3.0%, 4.0%) και εδαφος B

246 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 207 Σχήμα 8.22: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για καμπτικά πλαίσια (EIeff = 0.5EIg) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και εδαφος C

247 208 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.23: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για καμπτικά πλαίσια (EIeff = 0.5EIg) για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 2.0%, 2.5%, 3.0%, 4.0%) και εδαφος C

248 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 209 Σχήμα 8.24: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για καμπτικά πλαίσια (EIeff = 0.5EIg) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και έδαφος D

249 210 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.25: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για καμπτικά πλαίσια (EIeff = 0.5EIg) για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 2.0%, 2.5%, 3.0%, 4.0%) και έδαφος D

250 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 211 Σχήμα 8.26: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για καμπτικά πλαίσια (EIeff = M yy/ϕy) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και εδαφος A

251 212 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.27: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για καμπτικά πλαίσια (EIeff = M yy/ϕy) για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 2.0%, 2.5%, 3.0%, 4.0%) και έδαφος A

252 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 213 Σχήμα 8.28: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για καμπτικά πλαίσια (EIeff = M yy/ϕy) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και εδαφος B

253 214 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.29: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για καμπτικά πλαίσια (EIeff = M yy/ϕy) για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 2.0%, 2.5%, 3.0%, 4.0%) και έδαφος B

254 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 215 Σχήμα 8.30: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για καμπτικά πλαίσια (EIeff = M yy/ϕy) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και εδαφος C

255 216 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.31: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για καμπτικά πλαίσια (EIeff = M yy/ϕy) για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 2.0%, 2.5%, 3.0%, 4.0%) και έδαφος C

256 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 217 Σχήμα 8.32: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για καμπτικά πλαίσια (EIeff = M yy/ϕy) για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.5%, 1.0%, 1.5%) και έδαφος D

257 218 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.33: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για καμπτικά πλαίσια (EIeff = M yy/ϕy) για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 2.0%, 2.5%, 3.0%, 4.0%) και έδαφος D

258 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 219 Σχήμα 8.34: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.2%, 0.4%, 0.7%) και εδαφος Α

259 220 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.35: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 0.8%, 0.9%, 1.0%) και εδαφος Α

260 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 221 Σχήμα 8.36: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.2%, 0.4%, 0.7%) και έδαφος B

261 222 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.37: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 0.8%, 0.9%, 1.0%) και έδαφος B

262 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 223 Σχήμα 8.38: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.2%, 0.4%, 0.7%) και εδαφος C

263 224 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Soil C - IDR = 0.9 /o - Mode q(t) * T q(t) = * T O"' t5 2.4 ro LL t5 :::::i 2 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0)... -:-i ;.~ ; ;-:-,, :-;-,, -;-;',, -;-: ;,7, ; ~.. :-:-.. -:-:-.. :-:.... c 1.6 ~ U ,,.., Period T (sec) Σχήμα 8.39: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 0.8%, 0.9%, 1.0%) και έδαφος C

264 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 225 Σχήμα 8.40: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR= 0.2%, 0.4%, 0.7%) και εδαφος D

265 226 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.41: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα πλαίσια Ο/Σ με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως για 4 επίπεδα βλάβης (IDR= 0.8%, 0.9%, 1.0%) και εδαφος D

266 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 227 Soil A - 1st yield - Mode Soil A - 1st yield - Mode Soil A - 1st yield - Mode Soil A - 1st yield - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T q(t) = * T * T q(t) = * T * T q(t) * T q(t) = * T q(t) * T q(t) = * T O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c ~ O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c :-:- : :-:.-:-: :-:-. :-:-.. ";";7.~ --:-. ~. ~...:::: ~.... O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) O+-----,..,... _......_ Period T (sec) O _..._...,.. _..., Period T (sec) O+-,_._..,...,..._..,_.,,_._..,_._...,.....,...,..._..,...,,.....,......, Period T (sec) O+-_......_._._... _......_..._..._..._..._ Period T (sec) Soil A- IDR = 0.5 /o - Mode Soil A- IDR = 0.5 /o - Mode Soil A- IDR = 0.5 /o - Mode Soil A- IDR = 0.5 /o - Mode q(t) * T q(t) = * T q(t) * T q(t) = * T q(t) * T q(t) = * T q(t) * T q(t) = * T O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) :-:'~. ~..:.... "!!...:..: i ~ -..,.,...,.,-;-t ;,-;-: ;:-;',. :-:-..:-:-:.... O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) ~. ':! :=_ :.:. : :!:... l'm!!. ~ r; ::. '."' '."' "'.'.'.' :.': '..fi ~:~.:.- :. ~. ~ :~: ~ ~.. :... :. :.~.... O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) ~ -... ~ f'~, ~... -1'.!!."~.r. ~. :-:-.. ~.~.~ ~. ~. "::7!:.~ ~~:~.~.~~:.~.. ~~~... C"' ro LL c "':I. t5 -~ ]E _.,..,=!i'.d'!'... ~~ ~ ~ 1...?!'... ~~~.... ~.. :.... "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c ~ +-' (,/) Period T (sec) o...._,......, _ Period T (sec) O ,,.. _ , Period T (sec) ,_ Period T (sec) Soil A- IDR = 1 /o - Mode Soil A- IDR = 1 /o - Mode Soil A- IDR = 1 /o - Mode Soil A- IDR = 1 /o - Mode ~ q(t) * T q(t) = * T ro LL c t5 :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 1 c ~ U5 0.5,,,--... ::-... ::-:::... =-c ~..,;. -.:.... -,,.,... ~ :-;_ : :..:.: O ,,.. _..._..,...,..._ Period T (sec) q(t) * T q(t) = * T C"' ro LL c t5 :::::i "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c ~ +-' (,/) o... --_ _...,,,.._._..._ ,...., , Period T (sec) q(t) * T q(t) = * T O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) O+-,_._..,...,..._..,_.,,_._..,_._...,.....,...,..._..,...,,.....,......, Period T (sec) q(t) * T q(t) = * T C"' ro ~ ::::' LL c t5 :::::i "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c ~ +-' (,/) O+-_..._..,,_....._...,......_....,..._....._.._ Period T (sec) Soil A - IDR = 1.5 /o - Mode Soil A - IDR = 1.5 /o - Mode Soil A - IDR = 1.5 /o - Mode Soil A - IDR = 1.5 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T if ~ t5 :::::i 2.5 "'O Q) Cl:'.... ; )"' / / / / '/./ i' / / /,.,,,,,.,,. :.....,,,,.,,./.,,... _..,..,,,. ;""'.r ~ : :-:--... :7.;. : :.:.-:i:~.. :~..:..:..,:.,; f"'f" ~ Period T (sec) q(t) * T q(t) = * T if ~ t5 :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. 15> ~ U o _ _...,,,.._._..._...,......,...._._ , Period T (sec) q(t) = * T * T q(t) = * T * T if ~ t5 :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 1 c ~ U5 0.5 O+-..._ _--.,...,, Period T (sec) O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) q(t) = * T * T q(t) = * T * T ,, :-:-.. ::.. --: O+..--._....._...,..., _....._..,,_...,._..._ Period T (sec) Σχήμα 8.42: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5, 1.0, 1.5) και εδαφος Α 0 c 0 0 c 0 c 0 c 0 0

267 ' Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k 3.5 c 0 t5 :::::i 2.5 "'O Q) Cl:'. Soil A- IDR = 2 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T / / ; 3... ;/.;; / / ~// ~ /... /..... ~./ / / ;-"./ :5 '....,,,,../ 0) 2... :.,.,,,-..:....:.::,:: ;.. ;,;,"".... c... _.....,,,,.,.,,,,...,,.,,.~ ~ U _ ,......, Period T (sec) Soil A- IDR = 2 /o - Mode q(t) 1.50 * T q(t) = * T ~ ro LL c 0 t5 :::::i 2.5 "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) c ~ U ~:.,...,,,,,,.~~., ,...,, ,, 2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,',,...,...:-...,.... ' , ,...., ~..,... ~ ',, ' , Period T (sec)... ~ ro 2 LL c 0 t5 :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 1 c ~ U5 0.5 Soil A- IDR = 2 /o - Mode q(t) = * T * T q(t)=+2.68*t *T O+-....,...._....,..,, Period T (sec) Soil A- IDR = 2 /o - Mode q(t) * T q(t) = * T O"' t5 2.4 ro LL t5 :::::i 2 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 1.6 ~ +-' (J) _ _..._..._..._..._ Period T (sec) O"' ' (.) ro LL c 0 +:i (.) :::::i "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) c... Q) +-' (J) Soil A- IDR = 2.5 /o - Mode q(t) * T * T q(t) = * T * T ,....,t: I.:.... / / / '/.... ;;- ~ -/. / ' ~.... ~ ;. /.:.... ~ ; / '... ~.... _....,,,.-._.~ ',, _ :-:.'7": ,... "f"': Period T (sec)... ~ ro LL c 0 t :::::i 2.5 "'O Q) Cl:'. Soil A- IDR = 2.5 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T ' _..., _..., Period T (sec) 5. 5 Soil A- IDR = 2.5 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T ~ ro LL c 0 t5 :::::i 4.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 4 c ~ U ~ ,,(.' _...,,.. _......, Period T (sec) O"' ' (.) ro LL c 0 +:i (.) :::::i "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) c... Q) +-' (J) Soil A- IDR = 2.5 /o - Mode q(t) * T q(t) = * T ;;.i""',, <" _ ,..._......, Period T (sec) O"' ' (.) ro LL c 0 +:i (.) :::::i "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) c... Q) +-' (J) q(t) * T * T q(t) = * T * T Soil A- IDR = 3 /o - Mode 1 /. / / /....,,.... / ;.... /. / / /. / ~,.,/lft~..... / ,,.,,,./ Soil A- IDR = 3 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T ~ ro LL c 0 t5 :::::i 2.5 "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) c ~ U5 2...,.... ',....,, ' :-: :..:....:: 5. 5 Soil A- IDR = 3 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T ~ ro LL c 0 t5 :::::i 4.5 "'O Q) Cl:' ~ ,,(.'..... O"' ' (.) ro LL c 0 +:i (.) :::::i "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) c... Q) +-' (J) Soil A- IDR = 3 /o - Mode q(t) * T * T q(t) = * T * T ;""./,,,,,,,./ 'I"''''''''''/ "..:-: 3.5,,. _,./",,,,,,"'... r..:...../ Period T (sec) 1+-,......,..., Period T (sec) ,,.....,....., Period T (sec) _....._ ,...._ Period T (sec) Σχήμα 8.43: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ για 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος Α

268 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 229 Soil B - 1st yield - Mode Soil B - 1st yield - Mode Soil B - 1st yield - Mode Soil B - 1st yield - Mode q(t) * T q(t) = * T q(t) = * T * T q(t) = * T * T q(t) * T q(t) = * T q(t) * T q(t) = * T O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) ~~-:'~. ~ ~ O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) _-. ~. _ :-:-.~ ~ O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) O+-----,..,... _......_ Period T (sec) O _..._...,.. _..., Period T (sec) O+-,_._..,...,..._..,_.,,_._..,_._...,.....,...,..._..,...,,.....,......, Period T (sec) O+-_......_._._... _......_..._..._..._..._ Period T (sec) Soil B - IDR = 0.5 /o - Mode Soil B - IDR = 0.5 /o - Mode Soil B - IDR = 0.5 /o - Mode Soil B - IDR = 0.5 /o - Mode q(t) * q(t) = * T q(t) *T q(t) = * T q(t) * T q(t) = * T q(t) * T q(t) = * T O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c = ~=. 1:.~ ,.,..,.,.,,..=--~- ~~~. ;... : ;..;..,.:..:. - -;;.,-='"'~... ~. O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ~. "!.?!..."!' :..... E:M "'.'li +'r.~. :-:'.~.~."'.".'.-:-.~.~.~~. ~: :... :... :... :.... ~... ~... ~.... O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,..!'!,,. :7. ':'t~.,-,... ~.~.~ ~. '.".'. '.':.":.... ~. ~... ".". '.".'. ~... ~... :... : ~~ ~. ~.= O"' ro LL c 1.2 t L ~ ~ :::::i 1...!!'?!:"!l.. Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) O+-----,..,......_ Period T (sec) o...._,......, _ Period T (sec) O ,,.. _ , Period T (sec) ,_ Period T (sec) Soil B - IDR = 1 /o - Mode Soil B - IDR = 1 /o - Mode Soil B - IDR = 1 /o - Mode Soil B - IDR = 1 /o - Mode ~ q(t) * T q(t) = * T ro LL c t5 :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 1 c ~ U5 0.5 O ,,.. _..._..,...,..._ Period T (sec) O"' ' (.) ro LL c 0 +:i (.) :::::i "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) c Q)... +-' (J) q(t) = * T * T q(t) = * T * T o... --_ _...,,,.._._..._ ,...., , Period T (sec) q(t) = * T * T q(t) = * T * T C"' ro LL c t5 :::::i "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c ~ +-' (,/) O+-....,...._....,..,, Period T (sec) q(t) * T q(t) = * T if ~ t5 :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 1 c ~ U O+-_..._..,,_....._...,......_....,..._....._.._ Period T (sec) Soil B - IDR = 1.5 /o - Mode Soil B - IDR = 1.5 /o - Mode Soil B - IDR = 1.5 /o - Mode Soil B - IDR = 1.5 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T if ~ t5 :::::i 2.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 2 c ~ U5 -. ~... :.;-;....,:.: 1.5 '''''''''''''''''''' Y" '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' Period T (sec) 2.5 O"' ' (.) ro 2 LL +:i (.) :::::i "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) c Q)... +-' (J) q(t) * T q(t) = * T o...._,.... _.., _ Period T (sec)... ~ q(t) = * T * T q(t) = * T * T ro LL c t5 :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 1 c ~ U5 0.5 _ : O+-..._ _--.,...,, Period T (sec) O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) q(t) = * T * T q(t) = * T * T : O _.,.._...,....._...,..._....._.._ Period T (sec) Σχήμα 8.44: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5, 1.0, 1.5) και έδαφος B c 0 c c 0

269 / Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Soil B - IDR = 2 /o - Mode q(t) * T q(t) = * T ~ ro LL c 0 t5 :::::i 2.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 2 c ~ U Soil B - IDR = 2 /o - Mode q(t) * T q(t) = * T if ~ c 0 t5 :::::i 2.5 "'O Q) Cl:' , +"" ~....:..:..::... ~..,..... :..-:.~:.... 0),, c,, ~ U Soil B - IDR = 2 /o - Mode q(t) 1.48 * T q(t) = * T ~ ro 2... """.,r., LL c t5... '""" ~......_. :..:...:..: :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 1 c ~ U _._ Soil B - IDR = 2 /o - Mode q(t) * T q(t) = * T if ~ c 0 t5 :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. 15> c ~ U Period T (sec) _,..... _..., _ Period T (sec) O+-....,...._....,..,, Period T (sec) O _....._...,..._..., _......_.,,_..., _..._ Period T (sec) Soil B - IDR = 2.5 /o - Mode O"' t5 3.4 ro LL t5 :::::i 3 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 2.6 ~ +-' (J) q(t) = * T * T q(t) = * T * T ,/ Period T (sec) 3. 5 Soil B - IDR = 2.5 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T ~ ro LL c 0 t5 :::::i 2.5 "'O Q) Cl:' _,.... _..., _ Period T (sec)... ~ ro 4 LL c 0 t5 :::::i 3.5 "'O Q) Cl:'. Soil B - IDR = 2.5 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T s::::. / 15> 3...,,, /,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, c ~ U ,,.....,....., Period T (sec) O"' ' (.) ro LL c 0 +:i (.) :::::i "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) c... Q) +-' (J) Soil B - IDR = 2.5 /o - Mode q(t) * T * T q(t) = * T * T ,..,.., / "....,.,.,/ /,/ ;./ /./... :,;. ~..., ~... /./ /./ / ~ /...,.<.:.... /,./ ; / / / ''''''''''''''''''''' ~ ')' '" ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' / 1+..._....,...,..,,_...._ Period T (sec) ~ 4.5 ro 4 LL c 0 t5 :::::i 3.5 "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) c ~ U5 Soil B - IDR = 3 /o - Mode /. / / / / q(t) = * T * T q(t) = * T * T / / ' \ 3... "... :... ::-._... ~.... / ' \ / \ \ \ \ \ 2.5 ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\'''''''''''''''''''''' Soil B - IDR = 3 /o - Mode q(t) * T q(t) = * T if ~ c 0 t5 :::::i 2.5 "'O Q) Cl:' :-: :.7. : ;:-,. :-:-.. T"r - ~ : :. :.:: :.. :.::.:..: ~ ro 4 LL c 0 t5 :::::i 3.5 "'O Q) Cl:'. Soil B - IDR = 3 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T s::::. / 15> 3...,,, /,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, c ~ U O"' ' (.) ro LL c 0 +:i (.) :::::i "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) c... Q) +-' (J) Soil B - IDR = 3 /o - Mode q(t) * T * T q(t) = * T * T ,..,.., / "....,.,.,/ /,/ ;./ /./... :,;. ~..., ~... /./ /./ / ~ /...,.<.:.... /,./ ; / / / ''''''''''''''''''''' ~ ')' '" ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' / , , Period T (sec) _......_...,,,.._._.,..._......,...., , Period T (sec) ,,.....,....., Period T (sec) 1+..._....,._..,,_......, Period T (sec) Σχήμα 8.45: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ για 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος B

270 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 231 Soil C - 1st yield - Mode Soil C - 1st yield - Mode Soil C - 1st yield - Mode Soil C - 1st yield - Mode q(t) * T q(t) = * T q(t) * T q(t) = * T q(t) * T q(t) = * T q(t) * q(t) = * T O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q)... ~... - _"'.'.. ~ ::::: ~~"'.'.:... "'.' ~~~ ~ ~ O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) ~. -= -.._ "'!' :a... Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) Period T (sec) O _..._...,.. _..., Period T (sec) O+-,_._..,...,..._..,_.,,_._..,_._...,.....,...,..._..,...,,.....,......, Period T (sec) O _....._...,..._..., _......_.,,_..., _..._ Period T (sec) Soil C - IDR = 0.5 /o - Mode Soil C - IDR = 0.5 /o - Mode Soil C - IDR = 0.5 /o - Mode Soil C - IDR = 0.5 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T q(t) * T q(t) = * T q(t) * T q(t) = * T q(t) * T q(t) = * T O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c ,_,_,,.,,,..-.~... ~... ~... ~... =... O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6.W!'Sj'f.Wh Z.i LZ... - :.!! ,,..,'!T,?!,7, ~. ~. ". ':'.~,7, :7.,,.?.,,, :.,, :.,.:.., : ~ =:=:. :.'.~.~.~'.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, - O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.,.,., ; ~..~ ~..~ ~. ~,,,, :,,, :, --.~ ~ ~.~~.~ ~,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.:zw!ep #f.,t"(,,,,,,?7. 7.'.'!'7.7. :,',,,.?. ;,,,,.,,..... O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c ::tt'.!ll!l" ~ ~... ~. :".'. 7.. :: ~ ~.= : :... ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) O+-----,..,......_ o...,......, _ O ,,.. _......, O+..--._....._...,..._.., _....._..,,_...,._..._ Period T (sec) Period T (sec) Period T (sec) Period T (sec) Soil C - IDR = 1 /o - Mode Soil C - IDR = 1 /o - Mode Soil C - IDR = 1 /o - Mode Soil C - IDR = 1 /o - Mode ~ q(t) = * T * T q(t) = * T * T ro LL c t5 :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 1 c ~ U ~ -=- - = ~ ::.- ;.:,.~,-,-,, ;,,. -:-:- :.~ Period T (sec) O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) q(t) = * T * T q(t) = * T * T o... --_ _...,,,.._._..._ ,...., , Period T (sec) O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) q(t) * T q(t) = * T O+-,_._..,...,..._..,_.,,_._..,_._...,.....,...,..._..,...,,.....,......, Period T (sec) O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) q(t) = * T * T q(t) = * T * T O+-_..._..,,_....._...,......_....,..._....._.._ Period T (sec) Soil C - IDR = 1.5 /o - Mode Soil C - IDR = 1.5 /o - Mode Soil C - IDR = 1.5 /o - Mode Soil C - IDR = 1.5 /o - Mode O"' ' (.) 2.4 ro LL c 2.2 +:i (.) :::::i "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 1.6 Q)... +-' (J) q(t) = * T * T q(t) = * T * T ;. : :.....,,,,,. """'.,..'!":.-:".~~ JJ r-.-; ~. ~.. ~ :.~.-:. ~. ~.. ~ : -:.... ''''''''''''''''''''''' / ' ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' Period T (sec)... ~ q(t) = * T * T q(t) = * T * T ro LL c t5 :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 1 c ~ U5 0.5,,- o...,.... _..., _ Period T (sec) q(t) * T q(t) = * T O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) O+-,_._..,...,..._..,_.,,_._..,_...,...,.....,...,..._..,...,,.....,..._...,..., Period T (sec) O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c q(t) * T q(t) = * T ~ +-' (J) O+-_..._..,,_....._...,....._...,..._....._.._ Period T (sec) Σχήμα 8.46: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5, 1.0, 1.5) και εδαφος C / / 0 0

271 c Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Soil C - IDR = 2 /o - Mode q(t) =- 0.11*T * T q(t) = * T * T ~ ro LL c 0 t5 : ;,.: :": :.~.... :::::i 2.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 2 c ~ U5 r :.... / ,,.. _......,..._ 2.8 O"' ' (.) 2.4 ro LL +:i (.) 2.2 :::::i "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 1.6 Q)... +-' (J) Soil C - IDR = 2 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T ;.;,,,;,.: ;.;. ;,,:, ~.... ~ :,;,.,.JJ,-,-,,;"';",',7-::.-:-::.-:-: ::-: :...:.. ~., ',... ',... ', '... " :.,,.... ' ' :\,.... " '... " :.""... '.. ~\:.... \,,, '\... "'\.' '... '\: ' ~ ,... _..., _..., Soil C - IDR = 2 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T ~ ro LL c 0 t5 :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 1 c ~ U5 0.5 """" '..:..;~ ;,;. """' ''''''''''''''''''''' O+-... _...,,.. _ Soil C - IDR = 2 /o - Mode q(t) * T q(t) = * T if ~ c 0 t5 :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 1 c ~ U O+-_......_._._... _......_..._..._..._..._ Period T (sec) Period T (sec) Period T (sec) Period T (sec) ~ ro LL c 0 t5 :::::i 2.5 "'O Soil C - IDR = 2.5 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T ~-...:: ,,.,,,,.,,.,,,,,, ~ ::,,. : :,...- <..... ;-;, ~... Q),,,- Cl:'.,,, Period T (sec)... ~ 3.5 ro 3 LL c 0 t5 :::::i 2.5 "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) c ~ U5 1.5 Soil C - IDR = 2.5 /o - Mode " ~ ',, q(t) = * T * T q(t) = * T * T " :...,... '...,~... ' ' , 2... ~.,... ~ ' _....., Period T (sec) 5.5 Soil C - IDR = 2.5 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T O"' ro LL c 0 t5 :::::i 3.5 "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) c 2.5 ~ U ~ ~""... """ ,; ;. :"'....,,,"./ / "./ ~ " " ,,. _...,..., Period T (sec) O"' ' (.) ro LL c 0 +:i (.) :::::i "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) c... Q) +-' (J) Soil C - IDR = 2.5 /o - Mode q(t) * T * T q(t) = * T * T ~: -.~~-:. : ~. ~ ,,-,,-.,,,. /',,,. /'./' /'..., /,,,,,.,,./ ~..-..,..,,..,-,.,,;,,,,,,' '/ ' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''',;.,/.,.,.,.... :;.'(::.... / /' '//... < _....,...,..,,_...._ Period T (sec) Soil C - IDR = 3 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T ~ ro LL c 0 t5 :::::i 3.5 "'O Q) Cl:' :': Period T (sec) Soil C - IDR = 3 /o - Mode q(t) * T q(t) = * T if ~ c 0 t5 :::::i 2.5 "'O Q) Ck:: _... 15> 2... :-: :. -:-:,.~ ' "'-' : :..:::.:.:.... '.':'.':':'... _..., ;.;.":.;:.:.: ~~ c ~ U _......_...,,,.._._.,..._......,...., , Period T (sec) 5.5 Soil C - IDR = 3 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T O"' ro LL c 0 t5 :::::i 3.5 "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) c 2.5 ~ U ~ ~""... """ ,; ;. :"'....,,,"./ / "./ ~ " " ,,. _...,..., Period T (sec) O"' ' (.) ro LL c 0 +:i (.) :::::i "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) c... Q) +-' (J) Soil C - IDR = 3 /o - Mode q(t) * T * T q(t) = * T * T ~: -.~~-:. : ~. ~ ,,-,,-.,,,. /',,,. /'./' /'..., /,,,,,.,,./ ~..-..,..,,..,-,.,,;,,,,,,' '/ ' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''',;.,/.,.,.,.... :;.'(::.... / /' '//... < _....,._..,,_......, Period T (sec) Σχήμα 8.47: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ για 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος Α

272 8.3. Γραφήματα ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k 233 Soil D - 1st yield - Mode Soil D - 1st yield - Mode Soil D - 1st yield - Mode Soil D - 1st yield - Mode q(t) * T q(t) = * T q(t) * T q(t) = * T q(t) * T q(t) = * T q(t) * T q(t) = * T O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) -=-:::z.-:....::- _.~~-~ ~.~. -~~ Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) O _ ,.._ Period T (sec) O _..._...,.. _..., Period T (sec) Period T (sec) O+-_..._..,, ,....._ _._._., Period T (sec) Soil D - IDR = 0.5 /o - Mode Soil D - IDR = 0.5 /o - Mode Soil D - IDR = 0.5 /o - Mode Soil D - IDR = 0.5 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T q(t) = * T * T q(t) = * T * T q(t) * T q(t) = * T q(t) * T q(t) = * T O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c O"' t5 1.4 ro LL t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.,.,.,,'!'!..,., -...,,.,, _,...,,.-- ""' *'--""'w-... ~ ~... ~... ~... '.':":' ~ :.'.".... ':'.".... ':".".'... '.".".' :".".':'....:...:... ~.... O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 '''''''''''.!!",~TT o ~;,7, ~,,,,,~, 7..7!.7.~.?:'.~.~,'7,,,, ~,,,,,,,,,,,,,~:~.~ ~' ~''' '~~~'''''''''''''''''''''''''''''''''''' O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 =- " ~ - ~ -~ - -!~!.... ~b:'fll!!!m ;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) 0.4 ~ +-' (J) O+-----,,.. _..., _ ,..._... _ Period T (sec) O _..,..,... _..., Period T (sec) Period T (sec) _ _.--_ _ Period T (sec) Soil D - IDR = 1 /o - Mode Soil D - IDR = 1 /o - Mode Soil D - IDR = 1 /o - Mode Soil D - IDR = 1 /o - Mode ~ q(t) = * T * T q(t) = * T * T ro LL c t5 :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 1 c ~ U5 0.5 :."'7': :':': , Period T (sec) q(t) = * T * T q(t) = * T * T if ~ t5 :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 1 c ~ U5 0.5 o... --_ _...,,,.._._..._ ,...., , Period T (sec) O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) q(t) *T q(t) = *T O Period T (sec) q(t) = * T * T q(t) = * T * T if ~ o..., _.,....., Period T (sec) Soil D - IDR = 1.5 /o - Mode Soil D - IDR = 1.5 /o - Mode Soil D - IDR = 1.5 /o - Mode Soil D - IDR = 1.5 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T q(t) * T q(t) = * T q(t) * T q(t) = * T q(t) * T q(t) = * T O"' ' (.) 2.4 ro LL c 2.2 +:i (.) :::::i "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 1.6 Q)... +-' (J) Period T (sec)... ~ ro LL c t5 :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 1 c ~ U5 0.5 o...,.... _.., _ Period T (sec) O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) O Period T (sec) O"' ro LL c t5 :::::i 1 "'O Q) Cl:' s::::. +-' 0) c 0.6 ~ +-' (J) O+---.._...._.,...._...,_...._..._...._., Period T (sec) Σχήμα 8.48: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ για 4 επίπεδα βλάβης (1η διαρροή, IDR=0.5, 1.0, 1.5) και έδαφος D / # 0 c 0 0

273 / / / / 234 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k 3. 5 Soil D - IDR = 2 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T s::::. /' 15> 2...,,,.... c ~ U Soil D - IDR = 2 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T if ~ c 0 t5 :::::i 2.5 "'O Q) Cl:' :."":'":... :. :. ' '... '.':'., Soil D - IDR = 2 /o - Mode q(t) * T q(t) = * T ~ ro LL c 0 t5 :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 1 c ~ U Soil D - IDR = 2 /o - Mode q(t) * T q(t) = * T if ~ c 0 t5 :::::i 1.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 1 c ~ U ~ ,.....,....., Period T (sec) _..._ ,... _..., Period T (sec) O Period T (sec) O+---.._...._.,...._.,,_.._.._..._...._., Period T (sec) ~ 4.5 ro 4 LL c 0 t5 :::::i 3.5 "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) c ~ U5 2.5 Soil D - IDR = 2.5 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T ~ ' ',...'/'...,,;,--:',: -::. ":-:-:. :-:-::::,';-,... >,... /./ ' ' / / ' / / \~ / / ' \ 3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,/,,,,,,,(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.:"<.... / / \,. \, \ '. \ \ I '/ \ \ /' 1" "\: \~ I \ \ \ \ _..., Period T (sec)... ~ 3. 5 ro 3 LL c 0 t5 :::::i 2.5 "'O Q) Cl:'...s::::. "El 2 c ~ U5 Soil D - IDR = 2.5 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T "...,.... ", ,,...,..,,..,,, _ _..._ ,......,, Period T (sec) O"' ' (.) ro LL c 0 +:i (.) :::::i "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) Soil D - IDR = 2.5 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T ;....,.... / "''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''?. ; / / c <'.'..... /. Q)... +-' (J) , Period T (sec) O"'... 4 ~ ro LL 3.5 c 0 t5 :::::i 3 "'O Q) Cl:'...s:::: ' 0) c ~ 2 U5 1.5 Soil D - IDR = 2.5 /o - Mode q(t) * T * T q(t) = * T * T ,,.., - - :,;, "'If": (,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.,,,,,....::::,,, _ , Period T (sec) O"' ' (.) ro LL c 0 +:i (.) :::::i "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) Soil D - IDR = 3 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T ',,.,.,.,,... ~...,,,, ', c 3.5 ' '... '""' Q)... +-' (J) '-., ',, ',... ::... "... ~ " ',...,... ', _ ,....,, " \, " Period T (sec) Soil D - IDR = 3 /o - Mode q(t) * T q(t) = * T if ~ c 0 t5 :::::i 2.5 "'O Q) Cl:' _ _ : :-:-.. 1"7" _,..... _..., _ Period T (sec) O"' ' (.) ro LL c 0 +:i (.) :::::i "'O Q) Cl:'...s::::. +-' 0) Soil D - IDR = 3 /o - Mode q(t) = * T * T q(t) = * T * T ;....,.... / "''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''?. ; / / c <'.'..... /. Q)... +-' (J) , Period T (sec) O"'... 4 ~ ro LL 3.5 c 0 t5 :::::i 3 "'O Q) Cl:'...s:::: ' 0) c ~ 2 U5 1.5 Soil D - IDR = 3 /o - Mode q(t) * T * T q(t) = * T * T ,,.., - - :,;, "'If": (,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.,,,,,....::::,,, , Period T (sec) Σχήμα 8.49: Ιδιομορφικοί συντελεστές συμπεριφοράς qk για επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων Ο/Σ για 3 επίπεδα βλάβης (IDR=2.0, 2.5, 3.0) και έδαφος D

274 8.4. Γενικές εκφράσεις συντελεστή συμπεριφοράς και σύγκριση με τους ιδιομορφικούς συντελεστές συμπεριφοράς Γενικές εκφράσεις συντελεστή συμπεριφοράς και σύγκριση με τους ιδιομορφικούς συντελεστές συμπεριφοράς Στην συνέχεια προτείνονται γενικές εκφράσεις του συντελεστή συμπεριφοράς q συναρτήσει όλων τον μεταβλητών που τον επηρεάζουν σημαντικά, οι οποίες προέκυψαν με διαφορετικό τρόπο από αυτόν των ιδιομορφικών συντελεστών συμπεριφοράς q k. Πέρα από την χρησιμότητά τους στον αντισεισμικό σχεδιασμό, οι εκφράσεις αυτές δίνουν και μια εικόνα σύγκρισης των q k που υπολογίστηκαν και προτείνονται σε αυτή την εργασία. Η διαδικασία υπολογισμού τους βασίστηκε στην διαδικασία κλιμάκωσης των επιτανχυσιογραφημάτων a g (βλέπε σελ. 104). Έτσι, κατά την διαδικασία κλιμάκωσης για ένα στοχευμένο IDR και για την πρώτη διαρροή της εκάστοτε κατασκευής, υπολογίστηκε ο αντίστοιχος συντελεστής κλιμάκωσης επιτάχυνσης SC. Οπότε ο συντελεστής συμπεριφοράς q, ίδιος για όλες τις ιδιομορφές, ορίστηκε ως q = V IDR V y = M (SC) IDR α g M (SC) y α g = (SC) IDR (SC) y (8.1) Στην συνέχεια από μη-γραμμική ανάλυση παλινδρόμησης και με χρήση της μεγάλης βάσης δεδομένων που προέκυψε από τα αποτελέσματα των μη-γραμμικών δυναμικών αναλύσεων της παρούσας εργασίας προέκυψαν οι επιπλέον γενικές εκφράσεις των q για α) επίπεδα καμπτικά πλαίσια (Σχ. 6.1) β) επίπεδα πλαίσια με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως (τοιχοπληρώσεις) (Σχ. 6.2) και γ) επίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων (Σχ. 6.3). Οι συντελεστές αυτοί δίνονται συναρτήσει της ιδιοπεριόδου T, των σχετικών μετακινήσεων IDR και του τύπου εδάφους (A, B, C ή D) και καταλήγουν σε τιμές πιο ορθολογικές και ακριβείς από αυτές των υπαρχόντων αντισεισμικών κανονισμών Eπίπεδα καμπτικά πλαίσια με ενεργή δυσκαμψία EI eff = 0.5EI g q (MRF,EIeff =0.5EI g) = (IDR) T (NS) (S) (8.2) με μέση τιμή 1, διάμεσο , τυπική απόκλιση , συσχέτιση και διάμεσο απόκλισης Η Εξ. (8.2) περιλαμβάνει τις εξής παραμέτρους: 1. IDR: μέγιστη σχετική μετακίνηση ορόφου που λαμβάνει τις τιμές από 0.5 έως 3.0 (τιμές επί τις εκατό, δηλ. 0.5% έως 3.0% IDR). 2. T : ιδιοπερίοδος που λαμβάνει τιμές μεταξύ 0.7 έως 3.6 sec 3. NS: αριθμός ορόφων από 2 μέχρι 20.

275 236 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k 4. S: τύπος εδάφους κατά EC8 [2] που λαμβάνει τιμές 1, 2, 3, και 4, για κατηγορία εδάφους A, B, C και D, αντίστοιχα. Σχήμα 8.50: Συγκριση q 1 (1ης ιδιομορφής) με τα q απο τα οποία προέκυψε η γενική σχέση (8.2) για IDR = 2.5% Eπίπεδα καμπτικά πλαίσια με ενεργή δυσκαμψία EI eff = M y /ϕ y q (MRF,EIeff =M y/ϕ y) = (IDR) (T ) (NS) (S) (8.3) με μέση τιμή 1, διάμεσο , τυπική απόκλιση , συσχέτιση και διάμεσο απόκλισης Η Εξ. (8.3) περιλαμβάνει έχεις τις εξής παραμέτρους: 1. IDR: μέγιστη σχετική μετακίνηση ορόφου που λαμβάνει τις τιμές απο 1.0 έως 4.0 (τιμές επί τις εκατό, δηλ. 1.0% έως 4.0% IDR). 2. T : ιδιοπερίοδος που λαμβάνει τιμές μεταξύ 1.0 έως 4.5 sec 3. NS: αριθμός ορόφων απο 2 μέχρι S: ο τύπος εδάφους κατά EC8 [2] που λαμβάνει τιμές 1, 2, 3, και 4, για κατηγορία εδάφους A, B, C και D, αντίστοιχα.

276 8.4. Γενικές εκφράσεις συντελεστή συμπεριφοράς και σύγκριση με τους ιδιομορφικούς συντελεστές συμπεριφοράς 237 Σχήμα 8.51: Συγκριση q 1 1ης ιδιομορφής με τα q απο τα οποία προέκυψε η γενική σχέση (8.3) για IDR = 2.5% Eπίπεδα πλαίσια με συνεκτίμηση του οργανισμού πληρώσεως (τοιχοπληρώσεις) q (infills) = (IDR) (T ) (NS) (S) (8.4) με μέση τιμή 1, διάμεσο 1, τυπική απόκλιση , συσχέτιση και διάμεσο απόκλισης 0,1877. Η Εξ. (8.4) περιλαμβάνει έχεις τις εξής παραμέτρους: 1. IDR: μέγιστη σχετική μετακίνηση ορόφου που λαμβάνει τις τιμές από 0.2 έως 1.0 (τιμές επί τις εκατό, δηλ, 0.2% έως 1.0% IDR). 2. T : ιδιοπερίοδος που λαμβάνει τιμές μεταξύ 0.3 έως 2.3 sec 3. NS: αριθμός ορόφων απο 2 μέχρι S: ο τύπος εδάφους κατά EC8 [2] που λαμβάνει τιμές 1, 2, 3, και 4, για κατηγορία εδάφους A, B, C και D, αντίστοιχα Eπίπεδα δυαδικά συστήματα πλαισίων-τοιχωμάτων q (walls) = (IDR) (T ) (NS) (S) (8.5) με μέση τιμή 1, διάμεσο , τυπική απόκλιση , συσχέτιση και διάμεσο απόκλισης

277 238 Κεφάλαιο 8. Αποτελέσματα: Ιδιομορφικοι Συντελεστες Συμπεριφοράς q k Σχήμα 8.52: Συγκριση q 1 1ης ιδιομορφής με τα q απο τα οποία προέκυψε η γενική σχέση (8.4) για IDR = 0.9% Η Εξ. (8.5) περιλαμβάνει έχεις τις εξής παραμέτρους: 1. IDR: μέγιστη σχετική μετακίνηση ορόφου που λαμβάνει τις τιμές απο 0.5 έως 3.0 (τιμές επί τις εκατό, δηλ. 0.5% έως 3.0% IDR). 2. T : ιδιοπερίοδος, λαμβάνει τιμές μεταξύ 0.6 έως 4.0 sec 3. NS: αριθμός ορόφων απο 2 μέχρι S: ο τύπος εδάφους κατά EC8 [2] και λαμβάνει τιμές 1, 2, 3, και 4, για κατηγορία εδάφους A, B, C και D, αντίστοιχα. Τα Σχ παρουσιάζουν συγκρίσεις των q 1 με τα q για τις τρεις κατηγορίες κατασκευών Ο/Σ που εξετάστηκαν στην παρούσα διατριβή. Από αυτά τα σχήματα μπορεί κανείς να παρατηρήσει πως τα q 1 (που υπολογίστηκαν με την μέθοδο που παρουσιάστηκε στο Κεφάλαιο 5) εκφράζουν το κάτω όριο των q (που υπολογίστηκαν με διαφορετικό τρόπο), δηλαδή, οι τιμές q k προκύπτουν υπέρ της ασφάλειας. Οι διαφορές που φαίνονται για μικρές τιμές της περιόδου (Τ < sec), φαίνεται να προέρχονται απο την επίδραση των ανωτέρων ιδιομορφών (που λαμβάνεται στο q αλλά όχι στο q 1 ).

278 8.4. Γενικές εκφράσεις συντελεστή συμπεριφοράς και σύγκριση με τους ιδιομορφικούς συντελεστές συμπεριφοράς 239 Σχήμα 8.53: Συγκριση q 1 1ης ιδιομορφής με τα q απο τα οποία προέκυψε η γενική σχέση (8.5) για IDR = 2.0%

279 Αυτή η σελίδα αφήνεται σκόπιμα κενή.

280 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Παραδείγματα εφαρμογής προτεινόμενης μεθόδου αντισεισμικού σχεδιασμού 9.1 Εισαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζονται παραδείγματα σχεδιασμού με βάση την προτεινόμενη μέθοδο που παρουσιάστηκε στην παρούσα διδακτορική διατριβή. Στο πρώτο μέρος εφαρμόζεται ο σχεδιασμός με βάση τους ιδιομορφικούς συντελεστές συμπεριφοράς q k για διάφορα επίπεδα επιτελεστικότητας. Επίσης γίνεται σύγκριση με τον σχεδιασμό βάσει του Ευρωκώδικα 8 και με τα αποτελέσματα της δυναμικής μη-γραμμικής ανάλυσης. Στο τέλος παρουσιάζεται ένα παραδείγματα σχεδιασμού με κατευθείαν χρήση των ιδιομορφικών λόγων απόσβεσης ξ k και συγκρίνονται τα αποτελέσματα με αυτά της δυναμικής μη-γραμμικής ανάλυσης. Για τις ανάγκες του σχεδιασμού με την προτεινόμενη μέθοδο,δηλαδή για την παραγωγή του τροποποιημένου φάσματος σχεδιασμού με βάση τους ιδιομορφικούς συντελεστές συμπεριφοράς q k ή τους λόγους ιδιομορφικής απόσβεσης, κατασκευάστηκε πρόγραμμα υπο μορφή παραθύρων (GUI) (Σχ. 9.1, 9.2 και 9.3 ) Οι αρχικές διατομές υποτίθενται σε όλα τα παραδείγματα σχεδιασμού οι ίδιες ως ακολούθως: Εξωτερικά υποστυλώματα 35x35 cm και εσωτερικά 40x40cm για όλους τους ορόφους. Το πλάτος των δοκών και το ενεργό πλάτος λόγω της επίδρασης της πλάκας είναι σε όλες τις περιπτώσεις b = 30cm και b eff = 1200cm αντίστοιχα, ενώ το ύψος των δοκών είναι 40 cm για όλους τους ορόφους. Η αρχική ενεργή δυσκαμψία για όλα τα μέλη υποτίθεται ίση με EI eff = 0.5EI g. Τα φορτία και οι άλλες παράμετροι που αφορά την προσομοίωση είναι όπως περιγράφονται στο κεφάλαιο 5. Οι πρώτες τέσσερις ιδιοπεριόδοι του αρχικού πλαισίου βρέθηκαν ίσες με T 1 = 2.82 sec, T 2 = 0.92 sec, T 3 = 0.54 sec, T 4 = 0.37 sec. 241

281 Κεφάλαιο Παραδείγματα εφαρμογής προτεινόμενης μεθόδου αντισεισμικού σχεδιασμού Σχήμα 9.1: Αρχικό παράθυρο επιλογής μεθόδου σχεδιασμού. Σχήμα 9.2: Υπολογισμός απόλυτου φάσματος σχεδιασμού με ιδιομορφικούς λόγους ισοδύναμης απόσβεσης. Σε όλες τις περιπτώσεις ο σχεδιασμός επιτυγχάνεται με την βοήθεια του λογισμικού SAP2000 [72] και η αποτίμηση με μη γραμμική ανάλυση με το λογισμικό Ruaumoko-2D [10] με χρήση των προσαρμοσμένων στο στοχευόμενο φάσμα επιταχυνσιογραφημάτων του Σχ. 9.4 που παράγεται με την βοήθεια του λογισμικού SeismoMatch [289].

282 9.1. Εισαγωγή 243 Σχήμα 9.3: Υπολογισμός φάσματος σχεδιασμού με ιδιομορφικούς συντελεστές συμπεριφοράς. Acceleration (g) Target Spectrum No. 3 No. 7 No. 10 No. 13 No. 14 No. 17 No. 21 No. 23 No. 24 No Period (sec) 3 4 Σχήμα 9.4: Προσαρμογή σεισμών - επιταχυνσιογραφημάτων στο φάσμα απόκρισης του EC8 για έδαφος B και a g = 0.3 (Ο αριθμός No. αναφέρεται στους σεισμούς του Πίνακα 6.2).