W=FSσσνθ. το παρακϊτω ςχεδιϊγραμμα φαύνονται οι διϊφορεσ μορφϋσ ενϋργειασ που θα μασ απαςχολόςουν. ΕΝΕΡΓΕΙΑ ( Ε ή W)

Transcript

1 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Ενέργεια. «Δεν ξϋρουμε ακριβώσ τι εύναι ενϋργεια. Ξϋρουμε ότι εύναι κϊτι που μεταμορφώνεται, που μεταφϋρεται αλλϊ ςτο ςύνολο του παραμϋνει ςταθερό» R.Feyman Η παραπϊνω φρϊςη του νομπελύςτα φυςικού μασ δύνει την δυνατότητα να κατανοόςουμε αυτό το φυςικό μϋγεθοσ. Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι : Ενϋργεια εύναι ϋνα φυςικό μϋγεθοσ που: Μπορεύ να αλλϊζει μορφϋσ. Μπορεύ να μεταφϋρεται από ϋνα ςώμα ςτο ϊλλο το ςύνολο τησ όμωσ παραμϋνει ςταθερό. το παρακϊτω ςχεδιϊγραμμα φαύνονται οι διϊφορεσ μορφϋσ ενϋργειασ που θα μασ απαςχολόςουν. ΕΝΕΡΓΕΙΑ ( Ε ή W) ΔΤΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Ένα ςώμα ϋχει αποθηκευμϋνη δυναμικό ενϋργεια αν λόγω θϋςεωσ δϋχεται κϊποια δύναμη ό λόγω παραμορφώςεωσ του. Τπολογύζεται όπωσ θα δούμε ςτη ςυνϋχεια λύγο πιο δύςκολα από την κινητικό ενϋργεια.. ΕΡΓΟ ΔΤΝΑΜΗ Όπωσ αναφϋραμε όδη ςτην αρχό ό ενϋργεια μπορεύ να μεταφϋρεται από ϋνα ςώμα ςε κϊποιο ϊλλο ό να μεταφϋρεται από κϊποια μορφό ςε ϊλλη. Σο ενεργειακό μϋγεθοσ με το οπούο μετρϊμε τη μετατροπό ενϋργειασ ό τη μεταφορϊ τησ το ονομϊζουμε ϋργο δύναμησ W. ΕΡΓΟ ΣΑΘΕΡΗ ΔΤΝΑΜΗ Ασ θεωρόςουμε ϋνα ςώμα ( υλικό ςημεύο) που δϋχεται την επύδραςη μύασ δύναμησ (F) και μετατοπύζεται κατϊ S. Ορύζουμε ςαν ϋργο τησ δύναμησ F ςτο ςώμα το γινόμενο ΠΥΡΗΝΙΚΗ HΛΕΚΤΡΙΚΗ XHMIKH ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ ΜΗΦΑΝΙΚΗ W=FSσσνθ F ζρ. HΛΙΑΚΗ θ Q Α Γ S ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΡΓΟ Από τισ παραπϊνω μορφϋσ ενϋργειασ ςυςτηματικϊ θα μασ απαςχολόςουν, η μηχανικό ενϋργεια διαφόρων ςυςτημϊτων που εύναι το ϊθροιςμα των κινητικών και των δυναμικών ενεργειών του ςυςτόματοσ. ΚΙΝΗΣΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Εφόςον ϋνα ςώμα κινεύται ( ωσ προσ ϋνα ςύςτημα αναφορϊσ) ϋχει κινητικό ενϋργεια K που ορύζεται ςαν το μιςό του γινομϋνου, μϊζα του ςώματοσ m επύ το τετρϊγωνο του μϋτρου τησ ταχύτητασ του u. K= mu Θα μπορούςαμε να τη χαρακτηρύςουμε ςαν την πιο καθαρό μορφό διότι πολύ εύκολα την αντιλαμβανόμαςτε και πολύ εύκολα την υπολογύζουμε. Όπνπ : F :κέηξν ηεο δύλακεο S: κέηξν ηεο κεηαηόπηζεο θ : ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε δύλακε κε ηε κεηαηόπηζε. Σο ϋργο εύναι μονόμετρο μϋγεθοσ. Σο ϋργο μύασ δύναμησ μπορεύ να εύναι θετικό αν ( ςυνθ>0) ό αρνητικό (ςυνθ<0). Ειδικέσ περιπτώςεισ : η. Αν θ=0 : Δηλαδό η δύναμη ϋχει την κατεύθυνςη τησ μετατόπιςησ. ζρ. F Α Γ S W=FSςυν0 ή W=FS Η παραπϊνω απλό περύπτωςη μασ δύνει τη δυνατότητα να ορύςουμε τη μονϊδα μϋτρηςησ Κ. Β.Φιρφιρής

2 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ του ϋργου ςτο S.I. που εύναι και μονϊδα μετρόςεωσ τησ ενϋργειασ το ϋνα Joule. Ένα Joule (J) εύναι το ϋργο που παρϊγει δύναμη Newton (N) όταν μετατοπύζει το ςημεύο εφαρμογόσ τησ κατϊ ϋνα μϋτρο (m) ςτην κατεύθυνςη τησ. Joule=N m (ςυμβολύζεται J) η. Αν θ=90ο. Δηλαδό η δύναμη εύναι κϊθετη ςτη μετατόπιςη γ.) Η τϊςη του νόματοσ ςτη διϊταξη του ςχόματοσ δεν παρϊγει ϋργο πϊνω ςτο ςώμα. ζρ.6 T F ζρ.3 θ Α u Σεκείσζε : Σηηο θακππιόγξακκεο θηλήζεηο ε δηεύζπλζε ηεο κεηαηόπηζεο ηαπηίδεηαη κε ηε δηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο Γ S 3η θ=80ο. Δηλαδό η δύναμη ϋχει κατεύθυνςη αντύθετη τησ μετατόπιςησ. W=FSσσν90 ή W=0 τη περύπτωςη αυτό η δύναμη δεν παρϊγει ϋργο. Μερικϊ παραδεύγματα : α.) Σο βϊροσ (w) ενόσ ςώματοσ ςε μύα οριζόντια μετατόπιςη του δεν παρϊγει ϋργο. ζρ.4 Α Γ S w W(w) A Γ 0 β.) Η κεντρομόλοσ δύναμη ςε μύα κυκλικό κύνηςη δεν παρϊγει ϋργο. u 80o ζρ.7 F Α Γ S W=F S ςυν80ο W=F S (-) W=-F S Σϋτοιεσ δυνϊμεισ εύναι ςυνόθωσ τριβϋσ και αντιςτϊςεισ. ΕΡΩΣΗ ΕΙ -Α ΚΗ ΕΙ. Να αναφϋρετε δύο περιπτώςεισ που ενώ αςκεύται δύναμη πϊνω ςε ϋνα ςώμα το ϋργο τησ εύναι μηδϋν.. Κατϊ τη μετακύνηςη του ςώματοσ από τη θϋςη Α ςτη θϋςη Γ. N Fκ F T ζρ.5 Α w Γ Α. Ποιεσ δυνϊμεισ δεν παρϊγουν ϋργο ; Β. Ποιεσ δυνϊμεισ παρϊγουν θετικό ϋργο ; Γ. Ποιεσ δυνϊμεισ παρϊγουν αρνητικό ϋργο ; Κ. Β.Φιρφιρής

3 3 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΦΕ Η ΕΡΓΟΤ-ΕΝΕΡΓΕΙΑ ( θεώρημα ϋργου-ενϋργειασ Θ.Ε.Ε. ό θεώρημα μεταβολόσ κινητικόσ ενϋργειασ Θ.Μ.Κ.Ε.) Ασ θεωρόςουμε ϋνα ςώμα πϊνω ςτο οπούο ενεργεύ μόνο η δύναμη F (ςχ.8.) Σο ςώμα μετατοπύζεται από τη θϋςη Α ςτη θϋςη Γ. τη θϋςη Α το ςώμα ϋχει μύα αρχικό ταχύτητα ua, ϊρα και μύα κινητικό ενϋργεια ΚΑ= mua, ενώ ςτη θϋςη Γ ϋχει μύα τελικό ταχύτητα uγ, αντύςτοιχα κινητικό ενϋργεια ΚΓ= muγ. Xρήςιμεσ Παρατηρήςεισ ζρ.8 ua uγ F Α Γ Από τισ εξιςώςεισ κύνηςησ γνωρύζουμε ότι : uγ -ua S= α Εύναι : WF(A Γ) =F S uγ -ua WF(A Γ) =mα α muγ mua WF(A Γ) = WF(A Γ) =K Γ -Κ Α () H ςχϋςη () εύναι η μαθηματικό ϋκφραςη του θεωρόματοσ ϋργου-ενϋργειασ που διατυπώνεται ωσ εξόσ : «Κατϊ τη μετατόπιςη ενόσ ςώματοσ η μεταβολό τησ κινητικόσ του ενϋργειασ ιςούται με το ςυνολικό ϋργο των δυνϊμεων που δρουν ςτο ςώμα» ΔΚ=Wολικό ό ΔΚ= WF ό ΔΚ=W F Α. την απόδειξη του θεωρόματοσ Έργου-Ενϋργειασ θεωρόςαμε ότι ςτο ςώμα δρα μόνο μύα δύναμη. Αυτό η παραδοχό δε περιορύζει τη γενικότητα διότι η F εύναι η ςυνιςταμϋνη των δυνϊμεων που δρουν ςτο ςώμα. Β. το θεώρημα ϋργου-ενϋργειασ η μοναδικό μορφό ενϋργειασ που εμφανύζεται εύναι η κινητικό. Γ. Σο θεώρημα ϋργου-ενϋργειασ εύναι μύα από τισ εκφρϊςεισ τησ αρχόσ διατόρηςησ τησ ενϋργειασ και μπορεύ να διατυπωθεύ και ωσ εξόσ: «Η τελικό κινητικό ενϋργεια ενόσ ςώματοσ ςε μύα μετακύνηςη υπολογύζεται αν ςτην αρχικό κινητικό ενϋργεια προςθϋςουμε αλγεβρικϊ το ςυνολικό ϋργο των δυνϊμεων που δρουν ςτο ςώμα.» Καρχική+Wολικό=Κτελική (3) Κ. Β.Φιρφιρής 3

4 4 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Πωσ αντιμετωπύζουμε ϋνα πρόβλημα μετακύνηςησ με τη βοόθεια του Θ.Ε.Ε Έχοντασ υπόψη ότι : α.) Οι δυνϊμεισ που εύναι κϊθετεσ ςτη διεύθυνςη τησ μετατόπιςησ δεν παρϊγουν ϋργο β.)η ςυνιςταμϋνη των δυνϊμεων που εύναι κϊθετεσ ςτη μετατόπιςη όταν αυτό εύναι ευθύγραμμη εύναι μηδϋν. Πρϋπει κατϊ τη μελϋτη μύασ μετακύνηςησ: ον :Να ςχεδιϊςουμε τισ δυνϊμεισ που δρουν ςτο ςώμα. ον :Όταν η μετατόπιςη εύναι ευθύγραμμη αναλύουμε τισ δυνϊμεισ που δρουν ςτο ςώμα ςε ςυνιςτώςεσ παρϊλληλεσ και κϊθετεσ ςτη μετατόπιςη. 3 ον :Οι δυνϊμεισ που εύναι κϊθετεσ ςτη μετατόπιςη ϋχουν ςυνιςταμϋνη 0(ϊξονασ yy ) Fy=0() 4 ον :τη διεύθυνςη κύνηςησ ιςχύει : Fx=ma(3) Kτελική-Καρχική=W(4) ΕΡΓΟ ΣΑΘΕΡΗ ΔΤΝΑΜΗ ΟΣΑΝ Η ΣΡΟΦΙΑ ΣΟΤ ΩΜΑΣΟ ΕΙΝΑΙ ΚΑΜΠΤΛΗ Α ΦΡΗΙΜΕ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ υνόθωσ από την () υπολογύζουμε την κϊθετη δύναμη ςτόριξησ FK ό ΝΚ και ϋμμεςα την τριβό: Σ=μΝ() Αν Fx=0,τότε ΔΚ=0 και u:ςταθερό. την περύπτωςη αυτό το ϋργο υπολογύζεται ωσ W=F dπροβ Όπου dπροβ η προβολό τησ τροχιϊσ του ςώματοσ ςτη διεύθυνςη τησ δύναμησ F η οπούα αςκεύται ςτο ςώμα. d πρ ζρ.9 Γ Φαρακτηριςτικό περύπτωςη τϋτοιασ δύναμησ εύναι το βϊροσ (w) των ςωμϊτων. Κ. Β.Φιρφιρής 4

5 5 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Παράδειγμα. Σο ςώμα του ςχόματοσ ( ςχ0) αφόνεται να γλιςτρόςει ςτην καμπυλόγραμμη διαδρομό ΑΓ. Να υπολογύςετε το ϋργο του βϊρουσ του ςώματοσ ςτη διαδρομό του ςχόματοσ. (δύνονται m=60kg, g=0m/s ) Φρήςιμεσ Παρατηρήςεισ Α Α (3) ζρ.0 h=8m w () () h=8m w Δ Γ Απάντηςη : Εύναι w=mg=60 0N ό w=600n. Σο βϊροσ ςε όλη τη διϊρκεια τησ καθόδου ϋχει ςταθερό διεύθυνςη και φορϊ. Η προβολό τησ μετατόπιςησ ΑΓ εύναι η υψομετρικό διαφορϊ h=8m. Άρα Ww A Γ =w h ό ςτο S.I. Ww A Γ =600 8 J=4800J. Α ΚΗ ΕΙ 3. Η ςτατικό τριβό : α. δεν παρϊγει ϋργο β. παρϊγει πϊντα αρνητικό ϋργο γ. παρϊγει πϊντα θετικό ϋργο δ. ανϊλογα με την περύπτωςη ιςχύουν οι προτϊςεισ α,β,γ (3) Γ Παξαηεξνύκε όηη ην έξγν ηνπ βάξνπο ελόο ζώκαηνο εμαξηάηαη κόλν από ηελ πςνκεηξηθή δηαθνξά ησλ ζεκείσλ θαη όρη από ην είδνο ηεο δηαδξνκήο. Έηζη ζηηο δηαδξνκέο (), () θαη (3) είλαη πάληα W(w)=4800J. Απηέο νη δπλάκεηο πνπ ην έξγν ηνπο δελ εμαξηάηαη από ην είδνο ηεο δηαδξνκήο νλνκάδνληαη σσντηρητικές ή διατηρητικές δπλάκεηο. (Δηόηη όπσο ζα δνύκε ζηε ζπλέρεηα δηαηεξνύλ ηε κεραληθή ελέξγεηα ησλ ζπζηεκάησλ πάλσ ζηα νπνία ελεξγνύλ.) Αμίδεη λα ηνλίζνπκε όηη αλ ην ζώκα κεηά από δηαδνρηθέο κεηαηνπίζεηο μαλαγπξίζεη ζηελ αξρηθή ζέζε Α, κηα ηέηνηα δηαδξνκή νλνκάδεηαη θιεηζηή δηαδξνκή, ηόηε Wνι=0. Δειαδή ζε κία θιεηζηή δηαδξνκή ( θαη κόλν!) ην έξγν κίαο ζπληεξεηηθήο δύλακεο είλαη κεδέλ 4.Σο ςώμα του ςχόματοσ ϋχει μϊζα m=4kg. Αρχικϊ εύναι ακύνητο και δϋχεται δύναμη F =Ν. Η διεύθυνςη τησ F ςχηματύζει γωνύα 60ο με την οριζόντια διεύθυνςη. uo=0 F ζ=60ν α. Αν το οριζόντιο επύπεδο εύναι λεύο, ποια θα εύναι η ταχύτητα του ςώματοσ μετϊ από μετατόπιςη 4m ; Κ. Β.Φιρφιρής 5

6 6 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ β. Αν το ςώμα παρουςιϊζει τριβϋσ με μϋτρο Σ=w/0, όπου w=mg το βϊροσ του ςώματοσ,ποια θα εύναι η ταχύτητα του ςώματοσ μετϊ από μετατόπιςη 4m. Δύνεται : g=0m/s. 5. ώμα εκτοξεύεται κατϊ μόκοσ οριζοντύου δαπϋδου με αρχικό οριζόντια ταχύτητα uo=0m/s. α. Αν το ςώμα παρουςιϊζει με το δϊπεδο τριβϋσ με μ=/5, πόςο διϊςτημα θα διανύςει μϋχρι να ςταματόςει ; β. Ποιο εύναι το ϋργο του βϊρουσ ςτην παραπϊνω διαδρομό ; Δύνονται : m=kg, g=0m/s. 6. Σο ςώμα του ςχόματοσ αφόνεται να ολιςθόςει κατϊ μόκοσ του κεκλιμϋνου επιπϋδου του ςχόματοσ και από το ςημεύο που βρύςκεται ςε ύψοσ h=,8m. A h=,8m 30o Γ α. Αν το επύπεδο εύναι λεύο, ποιο εύναι το μϋτρο τησ ταχύτητασ του ςτη βϊςη του επιπϋδου ; ( ςημεύο Γ ) β. Ένα πανομοιότυπο ςώμα αφόνεται να πϋςει ελεύθερα από το ύδιο ύψοσ ( h=,8m), ποιο εύναι το μϋτρο τησ ταχύτητασ με την οπούα φτϊνει ςτο ϋδαφοσ ; γ. Να υπολογύςετε το ϋργο του βϊρουσ του και ςτισ δύο διαδρομϋσ. Σι παρατηρεύτε ; Δύνονται : m=kg, g=0m/s 7. ώμα μϊζασ m=kg εκτοξεύεται από τη βϊςη λεύου κεκλιμϋνου επιπϋδου με αρχικό ταχύτητα uo=6m/s προσ τα πϊνω και παρϊλληλα με το κεκλιμϋνο επύπεδο uo 30o A α. Πόςη διαδρομό κϊνει ςτο κεκλιμϋνο επύπεδο μϋχρι ςτιγμιαύα να ςταματόςει ; β. Πόςο εύναι το ϋργο του βϊρουσ ςτη παραπϊνω διαδρομό ; Δύνονται : g=0m/s, φ=30ο. 8. Ένα ςώμα με m=kg αφόνεται να ολιςθόςει από ϋνα ςημεύο Α κεκλιμϋνου επιπϋδου που βρύςκεται ςε ύψοσ h=3,6m. Σο ςώμα παρουςιϊζει τριβϋσ με το επύπεδο με 3 και η κλύςη του επιπϋδου εύναι θ=30ο. μ= 6 α. Με ποια ταχύτητα φτϊνει το ςώμα ςτη βϊςη του κεκλιμϋνου επιπϋδου; β. Πόςο εύναι το ϋργο του βϊρουσ ςτη ςυγκεκριμϋνη διαδρομό ; γ. Πόςο εύναι το ϋργο τησ τριβόσ ςτην παραπϊνω διαδρομό ; Δύνεται g=0m/s. 9. Γ uo A 30o Από ϋνα ςημεύο ενόσ κεκλιμϋνου επιπϋδου που ςχηματύζει γωνύα 300 με το οριζόντιο επύπεδο εκτοξεύουμε προσ τα πϊνω και παρϊλληλα προσ το κεκλιμϋνο επύπεδο ϋνα ςώμα με u0=4m/s και m=kg. α. Μετϊ από πόςη διαδρομό το ςώμα ςτιγμιαύα θα ςταματόςει ; (θϋςη Γ) Κ. Β.Φιρφιρής 6

7 7 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ β. Να εξετϊςετε αν το ςώμα θα κινηθεύ προσ τα κϊτω. 3 Δύνεται η μςτ=μολ=μ= ( μςτ : ςυντελεςτόσ 6 ςτατικόσ τριβόσ ό οριακόσ τριβόσ και μολ : ςυντελεςτόσ τριβόσ ολύςθηςησ ) γ. Αν το ςώμα κινηθεύ προσ τα κϊτω, ποια εύναι η ταχύτητα του, όταν περνϊει από το Α ; δ. Πόςο απϋχει από το Α η θϋςη (Δ) ςτην οπούα το μϋτρο τησ ταχύτητασ του ςώματοσ θα εύναι u=uo=4m/s Δύνεται g=0m/s. ε. Να υπολογύςετε το ϋργο του βϊρουσ για τισ διαδρομϋσ : ε. Α Γ ε. Α Γ Δ ε3. Α Δ (καθώσ κατεβαύνει) ε4. Α Γ Α ςτ. Να υπολογύςετε το ϋργο των τριβών ςτισ διαδρομϋσ : ςτ. Α Γ ςτ. Α Γ Δ ςτ3. Α Δ( καθώσ κατεβαύνει) ςτ4. Α Γ Α. Κατϊ το μόκοσ του λεύου τεταρτοκυκλύου του ςχόματοσ αφόνεται να ολιςθόςει από το ςημεύο Α ςώμα μϊζασ m=kg. A 0. ώμα μϊζασ m=kg εύναι ςτερεωμϋνο ςτην ϊκρη αβαρούσ και μη εκτατού νόματοσ. Η ϊλλη ϊκρη του νόματοσ εύναι ςτερεωμϋνη ςε ακλόνητο ςημεύο. Απομακρύνουμε το ςώμα από τη θϋςη ιςορροπύασ του μϋχρι το νόμα να γύνει οριζόντιο διατηρώντασ ςυνεχώσ το νόμα τεντωμϋνο και το αφόνουμε ελεύθερο.. Κατϊ μόκοσ του τεταρτοκυκλύου του ςχόματοσ και από το ςημεύο Α αφόνεται να ολιςθόςει (uo=0) ςώμα μϊζασ m=kg. Σο ςώμα φτϊνει ςτο ςημεύο Γ με u=4m/s. O Γ α. Πόςο εύναι το ϋργο του βϊρουσ κατϊ τη διαδρομό Α Γ ; β. Πόςο εύναι το ϋργο τησ κϊθετησ δύναμησ ςτόριξησ ςτην ύδια διαδρομό; γ. Ποιο εύναι το μϋτρο τησ ταχύτητασ του ςώματοσ ςτο Γ ; Δύνεται g=0m/s. ( Απϊντηςη : α. 0J β. 0 γ. 0m/s ) R=h=m A R Γ Τν κήθνο ηνπ λήκαηνο είλαη l=,8m α. Με ποια ταχύτητα προςπερνϊ το ςώμα τη θϋςη ιςορροπύασ του ; β. Να βρεύτε το ϋργο του βϊρουσ του ςώματοσ για την παραπϊνω διαδρομό. γ. Να βρεύτε το ϋργο τησ τϊςησ του νόματοσ ςτην παραπϊνω διαδρομό. α. Να εξετϊςετε αν υπϊρχουν τριβϋσ, και αν υπϊρχουν να υπολογύςετε το ϋργο τουσ κατϊ τη διαδρομό Α Γ. β. Πόςη θερμότητα ελευθερώνεται εξαιτύασ των τριβών ; Δύνεται g=0m/s ( Απϊντηςη α.) Ναι, WT=-4J β.) Q= WT =4J ) Κ. Β.Φιρφιρής 7

8 8 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΔΤΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΒΑΡΤΣΗΣΑ Ένα ςώμα λόγω τησ θϋςεωσ του ςε ϋνα βαρυτικό πεδύο επειδό δϋχεται δύναμη από το πεδύο ϋχει αποθηκευμϋνη ενϋργεια. Σην ενϋργεια αυτό την ονομϊζουμε βαρυτικό δυναμικό ενϋργεια ό απλϊ δυναμικό ενϋργεια. ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΗ ΔΤΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Για να υπολογύςουμε τη δυναμικό ενϋργεια : ον Επιλϋγουμε ϋνα ςημεύο ( ό ϋνα οριζόντιο επύπεδο όταν πρόκειται για το βαρυτικό πεδύο τησ Γησ ) ςτο οπούο αυθαύρετα θεωρούμε ότι η δυναμικό ενϋργεια εύναι μηδϋν. ( Σο ςημεύο αυτό ονομϊζεται και ςημεύο μηδενικόσ ςτϊθμησ) ον Κϊθε ςώμα που βρύςκεται υψηλότερα από το ςημεύο αυτό κατϊ h ϋχει δυναμικό ενϋργεια UA=mgh.(ςχ. ) 3 ον Κϊθε ςώμα που βρύςκεται χαμηλότερα κατϊ h ϋχει δυναμικό ενϋργεια UΓ=-mgh (ςχ.) Α U A =mgh ΦΕΗ ΔΤΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΟΤ ΒΑΡΟΤ ζρ 3. Α h A Γ h Γ Αο παξαθνινπζήζνπκε ηελ θίλεζε ηνπ ζώκαηνο ηνπ ζρήκαηνο από ην ζεκείν Α ζην ζεκείν Γ. Είλαη : W (w) Α Γ =W(h A -h Γ ) ή Δ Σρ. W (w) Α Γ =mgh A -mgh Γ ή h W (w) Α Γ =U A -U Γ ή W (w) =ΔU Α Γ Α Γ Σηάζκε αλαθνξάο U=0 Δηλαδή ηο έπγο ηος βάποςρ μεηπάει ηιρ απνηηικέρ μεηαβολέρ ηιρ δςναμικήρ ενέπγειαρ λόγω βαπύηηηαρ U Γ =-mgh' h' Γ ΑΠΟ ΣΟ Θ.Μ.Κ.Ε ΣΗΝ ΑΡΦΗ ΔΙΑΣΗΡΗΗ ΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Εφαρμόζοντασ ςτο προηγούμενο παρϊδειγμα το Θ.Μ.Κ.Ε για τη διαδρομό ΑΓ και εφόςον δεν υπϊρχουν τριβϋσ και αντιςτϊςεισ θα ϋχουμε: Κ -Κ = W ό Γ Α (w) Κ -Κ = U - U ό Γ Α Α Γ Κ +U =Κ + U () Γ Γ Α A Ε =Ε () μηχ(γ) μηχ(α) Οι παραπϊνω ςχϋςεισ εύναι οι μαθηματικϋσ αρχϋσ τησ Αρχόσ διατόρηςησ τησ μηχανικόσ ενϋργειασ.πρϋπει όμωσ να τονύςουμε ότι η παραπϊνω αρχό διατόρηςησ ιςχύει αν ςτο ςώμα δεν αςκούνται τριβϋσ και αντιςτϊςεισ. Κ. Β.Φιρφιρής 8

9 9 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Οι τριβϋσ και οι αντιςτϊςεισ εύναι δυνϊμεισ που μετατρϋπουν τη μηχανικό ενϋργεια ςε θερμότητα μϋςω του ϋργου τουσ. ( QT= WT ) την περύπτωςη λοιπόν που ςτο ςώμα αςκούνται τϋτοιεσ δυνϊμεισ εφαρμόζουμε μύα γενικότερη αρχό διατόρηςησ. Σην αρχό διατόρηςησ τησ ενϋργειασ που ιςχύει πϊντα. Καρχική+Uαρχική-QT=Kτελική+Uτελική ό το Θ.Μ.Κ.Ε: Κτελική-Καρχική= WF Σημείωζη : Εμβαδά απνηηικά παπιζηάνοςν απνηηικό έπγο ( ζσ 5) ζρ.5 W >0 W <0 F(N) W ολ =W +W W ολ =W - W W W ΕΡΓΟ ΔΤΝΑΜΗ ΣΑΘΕΡΗ ΚΑΣΕΤΘΤΝ Η ΠΟΤ ΣΟ ΜΕΣΡΟ ΣΗ ΜΕΣΑΒΑΛΛΕΣΑΙ Ε ΦΕ Η ΜΕ ΣΗΝ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΗ ΜΕΣΑΣΟΠΙ Η A F F F Γ x x' ε αυτό την περύπτωςη παριςτϊνουμε γραφικϊ την αλγεβρικό τιμό τησ δύναμησ ςε ςχϋςη με την μετατόπιςη : χ.4 F(N) Παράδειγμα : το ςώμα του ςχόματοσ που ϋχει μϊζα m=kg και αρχικϊ ηρεμεύ, αρχύζει να ενεργεύ οριζόντια δύναμη που η τιμό τησ μεταβϊλλεται ςύμφωνα με τη ςχϋςη F=0+x (SI). Να υπολογύςετε : α. Σο ϋργο τησ F για μετατόπιςη 5m β. Αν το επύπεδο εύναι λεύο, την ταχύτητα του ςώματοσ μετϊ από διαδρομό των τριών πρώτων μϋτρων γ. Αν υπϊρχουν τριβϋσ με μ=0,, πόςη θα εύναι η κινητικό ενϋργεια του ςώματοσ μετϊ από διαδρομό 5m Απάντηςη : α.) F=f(x) x(m) 3m Γ A Δ WF x= 5m x(m) Σο εμβαδόν που περιορύζεται από την καμπύλη τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ F και του ϊξονα μετατόπιςησ ςτο(s.i.) μασ δύνει το ϋργο τησ δύναμησ. Είλαη F=0+x (S.I.) παξηζηάλνπκε γξαθηθά ηελ F ζε ζρέζε κε ην x Από ηε γξαθηθή παξάζηαζε : (0+0) WF = 5 = 75J 0 0 WF=75J WF 5 Κ. Β.Φιρφιρής 9

10 0 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ β.) W F WF(A Γ) =75J και από Α Γ εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε. ( ό Θ.Ε.Ε.) Α Γ ΚΓ-ΚΑ = WF (A Γ) - W T ό ΚΓ-0= WF (A Γ) - W T Α Γ ό το S.I. ΚΓ=75-4 5(J) ό ΚΓ=55J 3 Από ηε γξαθηθή παξάζηαζε : 5 W F = (0+6) Από ην Α W F =39J Δ 3 = 39J Γηα ηε δηαδξνκή ησλ ηξίσλ κέηξσλ εθαξκόδνπκε Θ.Ε.Ε. K Δ -Κ Α = W F (A Γ ) ή u Δ = u Δ = u Δ = mu Δ -0=W F W F A-Δ m W F A-Δ m 39 u Δ = 39 m/s ή ή m/s γ. χεδιϊζουμε τισ δυνϊμεισ που δρουν πϊνω ςτο ςώμα. T N F ΕΡΓΟ ΣΑΗ ΕΛΑΣΗΡΙΟΤ Γνωρύζουμε ότι το ιδανικό ελατόριο εύναι ϋνα ελαςτικό μϋςον με αμελητϋα μϊζα Άξοναρ ελαηηπίος l o Όταν κατϊ μόκοσ του ϊξονα του ελατηρύου δεν αςκεύται καμύα δύναμη τότε το ελατόριο ϋχει το φυςικό του μόκοσ lo. Όταν το ελατόριο εύναι παραμορφωμϋνο κατϊ Δl, αςκεύ πϊνω ςτην αιτύα που το παραμορφώνει δύναμη που εύναι ανϊλογη τησ παραμόρφωςησ. Fελ=-kΔl () Όπου k μύα ςταθερϊ χαρακτηριςτικό για κϊθε ελατόριο που ονομϊζεται ςταθερϊ του ελατηρύου ( Η μονϊδα τησ k εύναι Ν/m). To (-) ςτη ςχϋςη () δηλώνει ότι η τϊςη του ελατηρύου ( Fελ) εύναι αντύθετη με τη παραμόρφωςη. Δηλαδό η Fελ τεύνει να φϋρει το ελατόριο ςτο φυςικό του μόκοσ. A Γ w Κϊθετα ςτη κύνηςη ( ϊξονασ yy ) πρϋπει Fy=0 ό Ν-w=0 ό Ν=mg ό ςτο S.I. N=0N ϊρα Σ=μΝ ό Σ=0, 0(Ν) ό Σ=4 Ν Τπολογύζουμε το ϋργο τησ F για τη διαδρομό Α Γ (ςχήμα α.) Κ. Β.Φιρφιρής 0

11 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Όταν το ελατόριο εύναι παραμορφωμϋνο κατϊ Δl ϋχει αποθηκευμϋνη δυναμικό ενϋργεια λόγω παραμορφώςεωσ Uελ. kδ Επειδό η F εύναι μεταβλητού μϋτρου παριςτϊνουμε γραφικϊ την Fελ ςε ςχϋςη με τη μετατόπιςη. F ει kδl A kδl Γ Δl A -Δl Γ x Aσ θεωρόςουμε το ελατόριο του παρακϊτω ςχόματοσ που η μύα ϊκρη του εύναι ςτερεωμϋνη ςτον κατακόρυφο τούχο (Δ) και ςτην ϊλλη ϊκρη του εύναι ςτερεωμϋνο ςώμα μϊζασ m. l o A F ει Δl A 0 Εύναι : (kδl A+kΔl Γ) (ΔlA -Δl Γ) W ει(α Γ) = kδl kδl kδl kδl kδl kδl W ει(α Γ) = W =U U ει(α Γ) ει(α) ει(γ) W =-ΔU () ει(α Γ) ει (Α Γ) A Γ Α Α Γ Γ l o Δl Γ A Γ F ει 0 ΑΚΗΕΙ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ 3.) ώμα μϊζασ m=kg που κινεύται με οριζόντια ταχύτητα uo=0m/s ςυναντϊ την ελεύθερη ϊκρη ιδανικού ελατηρύου όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Θα υπολογύςουμε το ϋργο τησ Fελ από τη θϋςη Α ςτη θϋςη Γ. u o l o Να βρεύτε τη μϋγιςτη ςυμπύεςη του ελατηρύου : α. Αν το επύπεδο εύναι λεύο β. Αν το ςώμα με το επύπεδο παρουςιϊζει τριβϋσ μ=49/60 Κ. Β.Φιρφιρής

12 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ γ. Πόςη εύναι η μϋγιςτη δύναμη που αςκεύ το ελατόριο ςτον κατακόρυφο τούχο και ςτισ δύο περιπτώςεισ ; [Απϊντηςη : α. 0,5m β.0,48m γ.400ν και 384Ν ] 4. την ελεύθερη ϊκρη κατακόρυφου ελατηρύου με k=00n/m αφόνουμε ( uo=0) ςώμα μϊζασ m=kg. Η ϊλλη ϊκρη του ελατηρύου εύναι ςτερεωμϋνη ςτο ϋδαφοσ. Να βρεύτε : Α. Ποια εύναι η μϋγιςτη ςυμπύεςη του ελατηρύου ; Β. Ποια εύναι η μϋγιςτη δύναμη που αςκεύ το ελατόριο ςτο ϋδαφοσ ; Γ. Ποια εύναι η μϋγιςτη ταχύτητα που αποκτϊ το ςώμα ; Δ. Πόςη εύναι η δύναμη που αςκεύ το ελατόριο ςτο ϋδαφοσ τη ςτιγμό που το ςώμα ϋχει τη μϋγιςτη ταχύτητα ; Δύνεται g=0m/s [Απϊντηςη : Α.0,m B.40N Γ.umax=m/s Δ. 0Ν ] 5. τη μύα ϊκρη αβαρούσ και μη εκτατού νόματοσ ςτερεώνουμε ςώμα μϊζασ m=0,4kg. Σην ϊλλη ϊκρη του νόματοσ τη ςτερεώνουμε ςε ακλόνητο ςημεύο. Απομακρύνουμε το ςώμα από τη θϋςη ιςορροπύασ του ϋτςι ώςτε το νόμα να ςχηματύςει γωνύα με την κατακόρυφη θ=60 ο, διατηρώντασ το νόμα τεντωμϋνο και το αφόνουμε ελεύθερο. Αν l=6m και g=0m/s Να βρεύτε : Α. Σο ϋργο του βϊρουσ από τη ςτιγμό που το αφόςαμε ελεύθερο μϋχρι τη ςτιγμό που το ςώμα διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ. Β. Σο μϋτρο τησ ταχύτητασ του ςώματοσ όταν διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ. [Απϊντηςη : Α. Ww=3,J Β. u=4m/s ] 6. Ένα ςώμα με m=0,kg ιςορροπεύ ςτερεωμϋνο ςτην κϊτω ϊκρη κατακόρυφου νόματοσ με l=,6m. Αν δώςουμε ςτο ςώμα οριζόντια ταχύτητα 4m/s, ποια γωνύα θα ςχηματύςει το νόμα με την κατακόρυφη όταν το ςώμα ςτιγμιαύα ςταματόςει ; Δίλεηαη g=0m/s [ Απ. 60 ο ] m u o 7. τη μύα ϊκρη οριζόντιου ελατηρύου που βρύςκεται ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο και που η ϊλλη ϊκρη του εύναι ςτερεωμϋνη ςε κατακόρυφο τούχο ςτερεώνουμε ςώμα μϊζασ m=0,4kg. m u o A Από τη θϋςη Α που το ελατόριο ϋχει το φυςικό του μόκοσ εκτοξεύουμε το ςώμα με αρχικό οριζόντια ταχύτητα uo=0m/s. Σο ςώμα ςτιγμιαύα ηρεμεύ όταν η παραμόρφωςη του ελατηρύου εύναι Δlmax =0,m. Επαναλαμβϊνουμε το πεύραμα εκτοξεύοντασ το ςώμα από τη θϋςη Α με uo=0m/s, αλλϊ το ελατόριο «ςπϊζει» όταν η επιμόκυνςη του ελατηρύου εύναι 6cm. Ποια εύναι η ταχύτητα του ςώματοσ εκεύνη τη ςτιγμό ; [Απϊντηςη : 6m/s] Κ. Β.Φιρφιρής

13 3 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 8. ε ςώμα που ηρεμεύ ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο αρχύζει να ενεργεύ οριζόντια δύναμη που η τιμό τησ μεταβϊλλεται ςύμφωνα με τη ςχϋςη F=4+4x. (S.I.) Α. Να υπολογύςετε το ϋργο τησ F για μετατόπιςη x= m B. Ποια εύναι η ταχύτητα του ςώματοσ εκεύνη τη ςτιγμό ; Δύνεται m=kg. 9. ε ςώμα μϊζασ m=kg που ηρεμεύ ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο αρχύζει να ενεργεύ δύναμη που η κατεύθυνςη τησ ςχηματύζει γωνύα φ με το οριζόντιο επύπεδο. Σο μϋτρο τησ F μεταβϊλλεται ςύμφωνα με τη ςχϋςη : F=0+0x (S.I.) Εύναι ημφ=0,8 και ςυνφ=0,6 και g=0m/s. Να βρεύτε : Α. Σο ϋργο τησ F πϊνω ςτο ςώμα μϋχρι τη ςτιγμό που θα χϊςει επαφό (το ςώμα) με το ϋδαφοσ. Β. Ποια εύναι η ταχύτητα του ςώματοσ εκεύνη τη ςτιγμό ; 0. τη διϊταξη του ςχόματοσ η μύα ϊκρη του ελατηρύου εύναι ςτερεωμϋνη ςε ακλόνητο ςημεύο. lo Νήκα F O την ϊλλη ϊκρη εύναι ςτερεωμϋνη μϊζα m=00gr και το οριζόντιο επύπεδο εύναι λεύο. Αρχικϊ το ςώμα ιςορροπεύ ςτη θϋςη Ο. Μϋςω νόματοσ αςκούμε ςτο ςώμα οριζόντια δύναμη που το μϋτρο τησ μεταβϊλλεται ςύμφωνα με τη ςχϋςη F=60+00x (S.I.) Σο όριο θραύςησ του νόματοσ εύναι 90Ν. Να βρεύτε : Α. Σο ϋργο τησ F από τη θϋςη Ο μϋχρι τη θϋςη που «ςπϊζει» το νόμα. Β. Σην ταχύτητα του ςώματοσ εκεύνη τη ςτιγμό.δύνεται k=80n/m [Απϊντηςη : Α. WF=,5J B. u=m/s] Κ. Β.Φιρφιρής 3

14 4 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΚΡΟΤΕΙ Μερικϋσ χρόςιμεσ ϋννοιεσ: u Φρήςιμεσ Παρατηρήςεισ p.ορμό ( P ) ενόσ ςώματοσ ονομϊζουμε το γινόμενο P=m u.σο μϋτρο τησ ορμόσ εύναι P=m u k μονϊδα μϋτρηςησ το Kg m/s. ΔP.Από τη ςχϋςη F = προκύπτει FΔt=ΔP (Δt 0) Δt. Σο γινόμενο FΔt ονομϊζεται ώθηςη τησ δύναμησ Ω=FΔt (Δt 0) 3.O χρόνοσ που διαρκεύ μύα κρούςη εύναι πϊρα πολύ μικρόσ (Δt 0). Αυτό το γεγονόσ μασ δύνει την δυνατότητα να θεωρόςουμε ότι κατϊ την κρούςη δύο ςωμϊτων (ό περιςςοτϋρων) η ορμό του ςυςτόματοσ διατηρεύται. 4.Για να διατηρεύται η ενϋργεια κατϊ την κρούςη πρϋπει η κρούςη να εύναι ελαςτικό. Επειδό η κρούςη διαρκεύ για πϊρα πολύ λύγο χρόνο δεν παρατηρούνται μεταβολϋσ ςτισ δυναμικϋσ ενϋργειεσ λόγω θϋςεωσ. Έτςι κατϊ την κρούςη μελετϊμε μόνο μεταβολϋσ των κινητικών ενεργειών. ΕΡΩΣΗΕΙ.Κατϊ την κρούςη δύο ςωμϊτων η ορμό διατηρεύται. Η ενϋργεια του ςυςτόματοσ διατηρεύται;. Κατϊ την κρούςη δύο ςωμϊτων. α) Η ορμό κϊθε ςώματοσ διατηρεύται β) Η ορμό κϊθε ςώματοσ μεταβϊλλεται καθώσ και η ςυνολικό ορμό του ςυςτόματοσ γ) Η ορμό κϊθε ςώματοσ καθώσ και η ςυνολικό παραμϋνει ςταθερό δ) Δεν ςυμβαύνει τύποτα από τα παραπϊνω 3.Κατϊ την κρούςη δύο ςωμϊτων α) Σα ςώματα διατηρούν τισ ταχύτητϋσ τουσ β) Όςο μειώνεται η ταχύτητα του ενόσ ςώματοσ τόςο αυξϊνεται η ταχύτητα του δεύτερου γ) Όςο αυξϊνεται η ορμό του ενόσ ςώματοσ τόςο μειώνεται η ορμό του δεύτερου ΔΡ = ΔΡ ϋτςι ώςτε ΔΡολ = ΔΡ + ΔΡ = 0 δ) Δεν ςυμβαύνει τύποτα από τα παραπϊνω. Η ορμό εύναι ςυγγραμικό και ομόρροπη με την ταχύτητα. Ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ ορμόσ ενόσ ςώματοσ ιςούται με τη ςυνιςταμϋνη των δυνϊμεων που δρουν ςτο ςώμα. Οι δυνϊμεισ που αναπτύςςονται μεταξύ των ςωμϊτων κατϊ την κρούςη και που εύναι υπεύθυνεσ για τισ μεταβολϋσ των ταχυτότων ϊρα και των ορμών των ςωμϊτων εύναι εςωτερικϋσ του ςυςτόματοσ οπότε: F ες = 0 ϊρα P πριν=pμετϊ Προςοχή!!! Η ςυνολικό ορμό του ςυςτόματοσ διατηρεύται και όχι του κϊθε ςώματοσ ξεχωριςτϊ. Όχι πϊντα P ολ : ςταθ. ΔΡ ολ =ΔΡ +ΔΡ =0 Κ. Β.Φιρφιρής 4

15 5 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 4.Κατϊ την πλαςτικό κρούςη δύο ςωμϊτων α) Η κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ παραμϋνει ςταθερό β) Η μηχανικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ παραμϋνει ςταθερό γ) Η κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ μειώνεται καθώσ και η ορμό του δ) Η κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ μειώνεται ΦΡΗΙΜΕ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ ΔΕΜ=ΔΚ αφού ΔU=0 5. Κατϊ την ελαςτικό κρούςη δύο ςωμϊτων η κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ: α) Διατηρεύται β) Μειώνεται γ) Αυξϊνεται 6. Ποιεσ από τισ παρακϊτω προτϊςεισ εύναι ςωςτϋσ: α) Κατϊ την ελαςτικό κρούςη δύο ςωμϊτων η ολικό ορμό του ςυςτόματοσ καθώσ και η μηχανικό του ενϋργεια διατηρεύται. β) Κατϊ την πλαςτικό κρούςη δύο ςωμϊτων η ολικό ορμό του ςυςτόματοσ διατηρεύται ενώ η μηχανικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ μειώνεται. γ) Κατϊ την μετωπικό κρούςη δύο ςωμϊτων οι ταχύτητεσ των ςωμϊτων πριν και μετϊ την κρούςη ϋχουν την ύδια διεύθυνςη. 7.φαύρα μϊζασ m που κινεύται με ταχύτητα υ ςυγκρούεται μετωπικϊ και ελαςτικϊ με τούχο. Η ςφαύρα ανακλϊται με ταχύτητα. Αυτό ςημαύνει ότι: α) ΔΡ = 0 β) ΔΡ = mu γ) ΔΚ = 0 δ) ΔΚ = mu Ποιεσ από τισ παραπϊνω προτϊςεισ εύναι ςωςτϋσ; Κ. Β.Φιρφιρής 5

16 6 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 8. Δύο ςφαύρεσ με μϊζεσ m κ m κινούνται με αντύθετεσ ταχύτητεσ u = u0 u = u0, μετϊ την μετωπικό και ελαςτικό κρούςη η ςφαύρα m παραμϋνει ακύνητη και η m κινεύται ςε αντύθετη κατεύθυνςη, με την αρχικό τησ κύνηςη με ταχύτητα μϋτρου. α) Να βρεύτε το λόγο β) Να υπολογύςετε την μεταβολό τησ ορμόσ κϊθε ςφαύρασ (Δύνονται m = m = Kg u0 = 0 m/s) Θεωρώντασ θετικό τη φορϊ τησ u. γ) Φρηςιμοποιώντασ το αποτϋλεςμα του ερωτόματοσ (α) να δεύξετε ότι κατϊ την κρούςη ΔΚολ = 0 ό Κολ(πριν) = Κολ(μετϊ). δ) Να βρεύτε το ποςοςτό τησ κινητικόσ ενϋργειασ τησ ςφαύρασ m που μεταφϋρθηκε ςτη ςφαύρα m κατϊ την κρούςη. ΦΡΗΙΜΕ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ m u mu mu mu u k u u u 9. φαύρα μϊζασ m που κινεύται με ταχύτητα u ςυγκρούεται μετωπικϊ και ελαςτικϊ με ακύνητη μϊζα m. α) Να υπολογύςετε το ποςοςτό τησ αρχικόσ ενϋργειασ τησ m που μεταφϋρθηκε ςτην m κατϊ την κρούςη ςε ςχϋςη με το λόγο β) Φρηςιμοποιεύςτε το παραπϊνω αποτϋλεςμα για να δικαιολογόςετε την χρόςη νερού για την επιβρϊδυνςη των νετρονύων ςτουσ πυρηνικούσ αντιδραςτόρεσ. (mp=mn) 0.Μια ςφαύρα μϊζασ m ςυγκρούεται ελαςτικϊ και κεντρικϊ με ακύνητη ςφαύρα μϊζασ m. Αν u και u οι ταχύτητεσ των ' ςφαιρών μετϊ την κρούςη, ποιεσ από τισ παρακϊτω προτϊςεισ εύναι ςωςτϋσ και ποιεσ λανθαςμϋνεσ; Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ ' α) Αν m = m, τότε u =0 και β) Αν m > m, τότε οι ταχύτητεσ ϋχουν αντύθετεσ φορϋσ. γ) Αν m < m, τότε οι ταχύτητεσ ' ' u =u. ' u ' u και και ϋχουν αντύθετεσ φορϋσ. δ) Αν m = m, τότε μετϊ την κρούςη οι ςφαύρεσ ϋχουν ύςεσ κινητικϋσ ενϋργειεσ. ' u ' u u m u m m Κ. Β.Φιρφιρής 6

17 7 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ. φαύρα με m = Kg που κινεύται με u = 0 m/s, ςυγκρούεται μετωπικϊ με ςφαύρα μϊζασ m = 6Kg που κινεύται ςε αντύθετη κατεύθυνςη με u = 0 m/s. Μετϊ την κρούςη η m μϋνει ακύνητη. Να ελϋγξετε αν η κρούςη εύναι ελαςτικό. ΦΡΗΙΜΕ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ.Δύο ςφαύρεσ m = m και m = m κρϋμονται από το ύδιο ςημεύο με νόματα ύδιου μόκουσ και ιςορροπούν ςτη θϋςη ιςορροπύασ τουσ. Ανυψώνουμε την m κατϊ h από τη θϋςη ιςορροπύασ τησ διατηρώντασ το νόμα τεντωμϋνο και την αφόνουμε ελεύθερη. Οι ςφαύρεσ ςυγκρούονται ελαςτικϊ. α) Ποιο ποςοςτό τησ αρχικόσ τησ m μεταφϋρθηκε ςτην m κατϊ την κρούςη; m h m β) ε πιο ύψοσ ανεβαύνει κϊθε ςφαύρα από το ςημεύο τησ κρούςησ μϋχρι ςτιγμιαύα να ςταματόςει; γ) Φρηςιμοποιώντασ το αποτϋλεςμα του β) ερωτόματοσ να δεύξετε ότι ςτη διϊρκεια του φαινομϋνου η μηχανικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ διατηρεύται. Για τη μϋτρηςη των δυναμικών ενεργειών να θεωρόςετε ςημεύο αναφορϊσ τη θϋςη ιςορροπύασ των ςφαιρών. Δύνονται: i) Σο ύψοσ h ii) Ότι οι ςφαύρεσ ϋχουν μελιταύεσ διαςτϊςεισ m O 3. Δύο ςφαύρεσ ύςων μαζών m = m = m κρϋμονται με νόματα του ύδιου μόκουσ από το ύδιο ςημεύο. Απομακρύνουμε την m ςε τϋτοια θϋςη ώςτε το νόμα να γύνει οριζόντιο και την αφόνουμε ελεύθερη. Η m ςυγκρούεται ςτη θϋςη ιςορροπύασ με την m και δημιουργεύ ςυςςωμϊτωμα. α) Να βρεύτε το ύψοσ ςτο οπούο θα ανϋβει το ςυςςωμϊτωμα μετϊ την κρούςη β) Ποιο ποςοςτό τησ αρχικόσ ενϋργειασ τησ m ϋγινε θερμότητα κατϊ την κρούςη; γ) Ποιο ποςοςτό τησ αρχικόσ ενϋργειασ τησ m μεταφϋρθηκε ςτη m κατϊ την κρούςη; m Για τη μϋτρηςη των δυναμικών ενεργειών να θεωρόςετε ςημεύο μηδενικόσ ενϋργειασ τη θϋςη ιςορροπύασ των δύο ςφαιρών. h Κ. Β.Φιρφιρής 7

18 8 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 4. Οι ςφαύρεσ mb και mγ του ςχόματοσ ηρεμούν ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο: ma u0 mb mγ Η ma που κινεύται με ταχύτητα u = u0 πϊνω ςτη διεύθυνςη που ορύζουν οι mb και mγ ςυγκρούεται μετωπικϊ και ελαςτικϊ με την mβ. Αν όλεσ οι κρούςεισ που ακολουθούν εύναι ελαςτικϋσ: α) να δεύξετε ότι αν i) mγ = m ϋχουμε τρεισ κρούςεισ m ii) αν m= ϋχουμε δύο κρούςεισ. Γ β) την περύπτωςη που mγ = m να βρεύτε το λόγο τησ τελικόσ κινητικόσ ενϋργειασ τησ ma προσ την αρχικό τησ κινητικό ενϋργεια. Δύνεται: mα = mβ = m Οι ςφαύρεσ ϋχουν αμελητϋεσ διαςτϊςεισ. 5. φαύρα μϊζασ m = 0,3Kg αφόνεται να πϋςει από ύψοσ h = m. Αμϋςωσ μετϊ από το ύδιο ςημεύο αφόνεται δεύτερη ςφαύρα μϊζασ m = 0,Kg. Η m αμϋςωσ μετϊ την τελεύωσ ελαςτικό κρούςη τησ με το ϋδαφοσ ςυγκρούεται ελαςτικϊ με την m. Να βρεύτε: α) Σο ύψοσ που θα ανϋβει μϋχρι ςτιγμιαύα να ςταματόςει η m μετϊ την κρούςη β) Ποια εύναι η δυναμικό ενϋργεια κϊθε ςφαύρασ εκεύνη τη ςτιγμό; 6. Βλόμα μϊζασ m = 0,Kg εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα u = 300m/s εναντύον ξύλινου κιβωτύου μϊζασ m = Kg που ηρεμεύ ςε οριζόντιο επύπεδο. Σο βλόμα βγαύνει ςχεδόν αμϋςωσ από το κιβώτιο με ταχύτητα u = 00m/s. Αν μετϊ την κρούςη το κιβώτιο ολιςθαύνει ςτο οριζόντιο επύπεδο και ςταματϊ αφού διανύςει διϊςτημα s =0 m, να βρεύτε: α) τον ςυντελεςτό τριβόσ ολύςθηςησ μεταξύ ςώματοσ και επιπϋδου. β) Ποιο ποςοςτό τησ αρχικόσ ενϋργειασ του βλόματοσ ϋγινε θερμότητα κατϊ την κρούςη. γ) Ποιο ποςοςτό τησ αρχικόσ ενϋργειασ του βλόματοσ ϋγινε θερμότητα εξαιτύασ των τριβών. Δύνεται: g = 0 m/s Κ. Β.Φιρφιρής 8

19 9 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 7. Ένα κομμϊτι ξύλου μϊζασ Μ =,9Kg εύναι δεμϋνο ςτο ϋνα ϊκρο νόματοσ μόκουσ = 0,9m, το ϊλλο ϊκρο του οπούου εύναι δεμϋνο ςε ακλόνητο ςημεύο. Σο ξύλο ιςορροπεύ με νόμα κατακόρυφο. Βλόμα μϊζασ m = 0,Kg που κινεύται οριζόντια με ταχύτητα u 0, ςφηνώνεται ςτο ξύλο. Σο ςύςτημα βλόμα ξύλο εκτρϋπεται, ώςτε η μϋγιςτη απόκλιςη του νόματοσ από την κατακόρυφη να εύναι φ = 60º. Να βρεύτε: α) Σην ταχύτητα uo του βλόματοσ. β) Σο ποςοςτό επύ τοισ εκατό τησ αρχικόσ ενϋργειασ του βλόματοσ που ϋγινε θερμότητα κατϊ την κρούςη. Δύνεται: g = 0 m/s ΦΡΗΙΜΕ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ 8. Μύα ςφαύρα μϊζασ m ςυγκρούεται κεντρικϊ και ελαςτικϊ με ακύνητη ςφαύρα μϊζασ m.μετϊ την κρούςη οι δύο ςφαύρεσ κινούνται ςε αντύθετεσ κατευθύνςεισ με ταχύτητεσ ύδιου μϋτρου. α) Να βρεύτε το λόγο m/m β) Ποιο ποςοςτό τησ αρχικόσ κινητικόσ ενϋργειασ τησ m μεταφϋρθηκε ςτην m κατϊ την κρούςη ; γ) Ποια πρϋπει να ναι η τιμό του κλϊςματοσ m/m ώςτε μετϊ την κρούςη η m να μεύνει ακύνητη ; 9. ώμα μϊζασ m ιςορροπεύ ςτερεωμϋνο ςτην ϊκρη κατακόρυφου νόματοσ που η ϊλλη ϊκρη του εύναι ςτερεωμϋνη ςε ςημεύο Ο. Σο νόμα ϋχει αμελητϋα μϊζα, μόκοσ l=0,9m και το ςύςτημα μπορεύ να περιςτρϋφεται γύρω από οριζόντιο ϊξονα που περνϊει από το Ο. Ένα δεύτερο ςώμα μϊζασ m που κινεύται οριζόντια με ταχύτητα υ=6 m/s ςφηνώνεται ςτο m.κατϊ την κρούςη το 50% τησ κινητικόσ ενϋργειασ τησ m γύνεται θερμότητα. α) Να βρεύτε το λόγο m/m β)ποια γωνύα ςχηματύζει το νόμα με την κατακόρυφη διεύθυνςη όταν όλη η κινητικό ενϋργεια του ςυςςωματώματοσ γύνει δυναμικό ; γ) Ποια πρϋπει να εύναι τουλϊχιςτον η ταχύτητα υ τησ m ώςτε το ςυςςωμϊτωμα μετϊ την κρούςη να κϊνει ανακύκλωςη ; Κ. Β.Φιρφιρής 9

20 0 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 0.Από το ςημεύο Α τεταρτοκυκλύου,ακτύνασ R=m,αφόνουμε ςώμα μϊζασ m= kg να ολιςθόςει. το ςημεύο Γ η m ςυγκρούεται πλαςτικϊ με ακύνητη μϊζα m=3kg. Μετϊ την κρούςη το ςυςςωμϊτωμα αποκτϊ ταχύτητα,5 m/s. Σελικϊ το ςυςςωμϊτωμα μετϊ από διαδρομό s=,5m ςε οριζόντιο επύπεδο ηρεμεύ. Να βρεύτε α) τον ςυντελεςτό τριβόσ ολύςθηςησ μεταξύ ςυςςωματώματοσ και οριζοντύου δαπϋδου. β) Πόςη θερμότητα ελευθερώθηκε ςυνολικϊ εξαιτύασ των τριβών γ ) Ποιο ποςοςτό τησ αρχικόσ μηχανικόσ ενϋργειασ τησ m ϋγινε θερμότητα κατϊ την κρούςη (επύπεδο αναφορϊσ για τη δυναμικό ενϋργεια να θεωρόςετε το οριζόντιο δϊπεδο ) g=0 m/s ΦΡΗΙΜΕ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ. ώμα μϊζασ m=kg ςυγκρούεται μετωπικϊ και πλαςτικϊ με ακύνητο ςώμα μϊζασ m. το διϊγραμμα φαύνονται οι μεταβολϋσ του μϋτρου τησ ορμόσ τησ m. α) Να βρεθεύ η μϊζα m β)ποιο ποςοςτό τησ αρχικόσ κινητικόσ ενϋργειασ τησ m χϊθηκε ςε θερμότητα εξαιτύασ τησ κρούςησ ; γ)πόςο μεταβλόθηκε η ορμό τησ P ; δ)ποιο ποςοςτό τησ αρχικόσ μηχανικόσ ενϋργειασ τησ m μεταφϋρθηκε ςτην m;. ώμα μϊζασ m=kg ςυγκρούεται μετωπικϊ και πλαςτικϊ με ςώμα μϊζασ m αρχικϊ ακύνητο. Κατϊ την κρούςη το ςύςτημα χϊνει το 0% τησ μηχανικόσ του(κινητικόσ) ενϋργειασ. α) Να υπολογύςετε τη μϊζα m β) Που πρϋπει να τεύνει ο λόγοσ m/m ώςτε όλη ςχεδόν η μηχανικό ενϋργεια να χϊνεται κατϊ την κρούςη ; γ) Επηρεϊζεται το ποςοςτό τησ απώλειασ από την αρχικό ταχύτητα τησ m και πώσ; Διϊγραμμα ϊςκηςησ. P(kg.m/s) 40 0 t(s) Κ. Β.Φιρφιρής 0

21 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 3. Ένασ κύβοσ μϊζασ m=4,5kg κινεύται ευθύγραμμα και ομαλϊ ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο με ταχύτητα μϋτρου υ=0 m/s. Mπροςτϊ του κινεύται με τον ύδιο τρόπο ϋνασ ϊλλοσ κύβοσ μϊζασ Μ=8kg με ταχύτητα μϋτρου υ=5m/s.την m εύναι ςτερεωμϋνο ελατόριο μόκουσ l0=m και ςταθερϊσ Κ=000 Ν/m. Να βρεύτε α) Σην ελϊχιςτη απόςταςη που θα πληςιϊςουν τα δύο ςώματα. β)σισ ταχύτητεσ τουσ με τισ οπούεσ κινούνται μετϊ τον αποχωριςμό τουσ. ΦΡΗΙΜΕ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ 4. Δύο ςφαύρεσ m και m εκτελούν μετωπικό κρούςη κατϊ μόκοσ του ϊξονα x x. το διϊγραμμα φαύνονται οι τιμϋσ των ταχυτότων των δύο ςφαιρών πριν και μετϊ την κρούςη. Με βϊςη το διϊγραμμα ποιεσ από τισ παρακϊτω προτϊςεισ εύναι ςωςτϋσ. α. Πριν από την κρούςη οι δύο ςφαύρεσ κινούνται ςε αντύθετεσ κατευθύνςεισ β. Μετϊ τη κρούςη η ςφαύρα παραμϋνει ακύνητη γ. Κατϊ την κρούςη η ςφαύρα χϊνει το 00% τησ κινητικόσ τησ ενϋργειασ δ. Η κρούςη εύναι ελαςτικό ε. Η κρούςη εύναι πλαςτικό ςτ. Ο λόγοσ των μαζών m/m =3 ζ. Κατϊ την κρούςη ϋχουμε απώλεια μηχανικόσ ενϋργειασ. Διϊγραμμα αςκ 4 u (m/s) u 3 u -3-6 u ' u ' t(s) 5. Δύο μικρϋσ ςφαύρεσ και ϋχουν μϊζεσ m και m=m/3 αντύςτοιχα και εύναι κρεμαςμϋνεσ με τη βοόθεια ςχοινιών μόκουσ l=m.τη θϋςη ιςορροπύασ τα δύο ςχοινιϊ εύναι κατακόρυφα και οι ςφαύρεσ εφϊπτονται. Απομακρύνουμε τισ δύο ςφαύρεσ από τη θϋςη ιςορροπύασ τουσ, τη προσ τα δεξιϊ και τη προσ τα αριςτερϊ, ώςπου τα ςχοινιϊ να γύνουν οριζόντια και τισ αφόνουμε ελεύθερεσ ταυτόχρονα.η κρούςη των δύο ςφαιρών γύνεται ςτη θϋςη ιςορροπύασ και δημιουργεύται ςυςςωμϊτωμα. α) Προσ τα πού θα κινηθεύ το ςυςςωμϊτωμα β)ε ποιο μϋγιςτο ύψοσ θα ανϋβει από το ςημεύο τησ κρούςησ; Κ. Β.Φιρφιρής

22 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 6. ώμα μϊζασ m κινούμενο ςε οριζόντιο επύπεδο ςυγκρούεται με ταχύτητα μϋτρου u=5m/s κεντρικϊ και ελαςτικϊ με ακύνητο ςώμα μϊζασ m. H χρονικό διϊρκεια τησ κρούςησ θεωρεύται αμελητϋα. Αμϋςωσ μετϊ την κρούςη,το ςώμα μϊζασ m κινεύται αντύρροπα με ταχύτητα μϋτρου u =9m/s. α. Να προςδιορύςετε τον λόγο των μαζών m/m β. Να βρεθεύ το μϋτρο τησ ταχύτητασ του ςώματοσ m αμϋςωσ μετϊ την κρούςη. γ. Να βρεθεύ το ποςοςτό τησ αρχικόσ κινητικόσ ενϋργειασ του ςώματοσ m που μεταβιβϊςτηκε ςτο ςώμα μϊζασ m λόγω τησ κρούςησ. δ. Να υπολογιςτεύ πόςο απϋχουν τα ςώματα όταν ςταματόςουν. Ο ςυντελεςτόσ τριβόσ ολύςθηςησ μεταξύ του επιπϋδου και κϊθε ςώματοσ εύναι μ=0,. Δύνεται g=0m/s. ΦΡΗΙΜΕ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ 7. φαύρα μϊζασ m που κινεύται ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο με ταχύτητα uo ςυγκρούεται κεντρικϊ και ελαςτικϊ με ακύνητη ςφαύρα μϊζασ m. Μετϊ την κρούςη οι δύο ςφαύρεσ κινούνται ςε αντύθετεσ κατευθύνςεισ με ταχύτητεσ που ϋχουν μϋτρο uo/ η καθεμύα. α.) Να βρεύτε τον λόγο m / m. β.) Ποιο ποςοςτό τησ αρχικόσ κινητικόσ ενϋργειασ τησ m μεταφϋρθηκε ςτην m κατϊ την κρούςη ; 8. Η ςημειακό μϊζα m=0,kg του ςχόματοσ κρϋμεται με την βοόθεια νόματοσ μόκουσ l=,6m από ακλόνητο ςημεύο. Απομακρύνουμε το ςώμα m από τη θϋςη ιςορροπύασ διατηρώντασ το νόμα τεντωμϋνο ϋωσ ότου το νόμα ςχηματύςει με την κατακόρυφο γωνύα φ=60 ο (ςυν60=/) και το αφόνουμε ελεύθερο. τη θϋςη ιςορροπύασ το ςώμα m ςυγκρούεται μετωπικϊ και ελαςτικϊ με ακύνητο ςώμα μϊζασ m=0,3kg που εύναι ςτερεωμϋνο ςτην ϊκρη ελατηρύου ςταθερϊσ k. Μετϊ την κρούςη το ςώμα m ηρεμεύ ςτιγμιαύα για πρώτη φορϊ όταν το ελατόριο ϋχει ςυςπεύρωςη Δl=0,m. Να βρεύτε : α.) Σην ςταθερϊ k του ελατηρύου. 60 o m m Κ. Β.Φιρφιρής

23 3 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ β.) Ποιο ποςοςτό τησ αρχικόσ μηχανικόσ ενϋργειασ τησ m μεταφϋρθηκε ςτην m κατϊ την κρούςη. γ.) Ποια γωνύα ςχηματύζει το νόμα με την κατακόρυφη όταν η m μετϊ την κρούςη ςταματϊει για πρώτη φορϊ. δ.) Ποια εύναι η μϋγιςτη δύναμη που αςκεύ το ελατόριο ςτον τούχο κατϊ την διϊρκεια του φαινομϋνου. Δύνονται g=0m/s, το επίπεδο είναι λείο. 9. Σο ςώμα m του ςχόματοσ εκτοξεύεται από το ςημεύο Α με uo=6m/s.σο ςώμα ολιςθαύνει για S=,5m ςτο οριζόντιο επύπεδο με το οπούο παρουςιϊζει τριβϋσ με μ=0,8 μϋχρι να ςυγκρουςτεύ με το ακύνητο ςώμα μϊζασ m=3m που ιςορροπεύ μϋςω νόματοσ με l=0,4m. Η κρούςη εύναι μετωπικό και ελαςτικό. Να βρεύτε : α.) Πόςο απϋχει η θϋςη που ηρεμεύ η m μετϊ την κρούςη από το ςημεύο Α β.) Ποιο ποςοςτό τησ αρχικόσ ενϋργειασ τησ m ϋγινε θερμότητα εξαιτύασ των τριβών. γ.) Ποιο ποςοςτό τησ αρχικόσ ενϋργειασ τησ m (ςημεύο Α) μεταφϋρθηκε ςτην m κατϊ την κρούςη. δ.) Ποια γωνύα ςχηματύζει το νόμα με την κατακόρυφη τη ςτιγμό που η m ϋχει χϊςει όλη τη κινητικό ενϋργεια που απϋκτηςε κατϊ την κρούςη. Δύνεται g=0m/s. 30. την διϊταξη του ςχόματοσ η μϊζα m =0,Kgr εύναι ςτερεωμϋνη ςτην ϊκρη ιδανικού ελατηρύου με k=40n/m. Όταν το ελατόριο ϋχει το φυςικό του μόκοσ η m βρύςκεται ςτην θϋςη Α.Σο τεταρτοκύκλιο ϋχει R=0,6m.H μϊζα m =m τοποθετεύται ςτο Α. Απομακρύνουμε την m από το Α ςυμπιϋζοντασ το ελατόριο κατϊ Δl=0,m πϊνω ςτο λεύο οριζόντιο επύπεδο και την αφόνουμε ελεύθερη. Η m ςυγκρούεται μετωπικϊ και ελαςτικϊ με την m. Μετϊ την κρούςη η m ολιςθαύνει πϊνω ςτο τεταρτοκύκλιο με το οπούο παρουςιϊζει τριβϋσ και ςταματϊει ςτιγμιαύα ςτο ανώτερο ςημεύο Γ. α.) Να δείξετε ότι οι m και m συγκροφονται ξανά στο Α. β.) Πόςη θερμότητα ελευθερώνεται εξαιτύασ των τριβών μεταξύ ησ και ησ κρούςησ ; γ.) Ποια εύναι η μϋγιςτη ςυμπύεςη του ελατηρύου μετϊ την δεύτερη κρούςη ; δ.) Αν γνωρύζουμε ότι η m τελικϊ ςταματϊ ςτο Α.Πόςη ςυνολικϊ θερμότητα ελευθερώνεται ; Δύνεται g=0m/s. χόμα ϊςκηςησ 9. u o A Γ χήμα άσκησης 30. Γ m R=0,6m m A Κ. Β.Φιρφιρής 3

24 4 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ Doppler Μ ε ρ ι κ έ σ χ ρ ή ς ι μ ε σ έ ν ν ο ι ε σ Η ςυχνότητα που αντιλαμβϊνεται ο παρατηρητόσ δεν εύναι ύδια με αυτόν που εκπϋμπει μια πηγό όταν ο παρατηρητόσ κινεύται ςε ςχϋςη με την πηγό. Σο φαινόμενο αυτό λϋγετε φαινόμενο Doppler. Αν fs εύναι η ςυχνότητα του όχου που εκπϋμπει μια πηγό και fa η ςυχνότητα που αντιλαμβϊνεται ο παρατηρητόσ, τότε: α) Αν ο παρατηρητόσ πληςιϊζει την ακύνητη πηγό με ταχύτητα ua. u+u A Ιςχύει: f A= fs u Όπου u η ταχύτητα του όχου ωσ προσ τον αϋρα (μϋςο διϊδοςησ). β) Αν ο παρατηρητόσ απομακρύνεται από την ακύνητη πηγό με ταχύτητα ua. Ιςχύει: u-ua f A= fs u γ) Αν η πηγό πληςιϊζει τον ακύνητο παρατηρητό με us τότε: u f A= fs u-us δ) Αν η πηγό απομακρύνεται από τον ακύνητο παρατηρητό με ταχύτητα us. u Ιςχύει: f A= fs u+us Γενικϊ ιςχύει: u±ua f A= f u u s s ΕΡΩΣΗΕΙ 3.Μύα ηχητικό πηγό παρϊγει ηχητικϊ κύματα με ςυχνότητα fs που διαδύδονται με ταχύτητα u. Η πηγό πληςιϊζει με ςταθερό ταχύτητα ϋνα fs παρατηρητό. Ο λόγοσ f εύναι: u α) u-u, β) u-us s u, γ) u+us u, δ) u u+us 3.Μια ακύνητη πηγό εκπϋμπει ηχητικϊ κύματα. Ένασ παρατηρητόσ πληςιϊζει ςτην πηγό με ταχύτητα u ενώ ϋνασ δεύτεροσ απομακρύνεται με ταχύτητα u. Ο λόγοσ f f A() A() εύναι: u+u α) u-u, β) u-u u+u, γ) u+u u+u, δ) u-u u-u 33.Ένα τρϋνο απομακρύνεται από ϋνα τούνελ το οπούο βρύςκεται ςε κατακόρυφο επύπεδο βρϊχο. Σο τρϋνο εκπϋμπει όχο ςυχνότητασ fs o οπούοσ ανακλϊται ςτο βρϊχο. α) Ο μηχανοδηγόσ του τρϋνου ακούει τον όχο που προϋρχεται από ανϊκλαςη με ςυχνότητα μεγαλύτερη, μικρότερη ό ύςη με τη ςυχνότητα του όχου που εκπϋμπει το τρϋνο; β) Ένασ παρατηρητόσ που βρύςκεται μεταξύ του τρϋνου και του τούνελ ακούει τον όχο που προϋρχεται από το τρϋνο απ ευθεύασ και τον όχο που προϋρχεται από ανϊκλαςη. Οι ςυχνότητεσ των όχων που αντιλαμβϊνεται εύναι ύςεσ; Αν όχι, ποιοσ από τουσ όχουσ που ακούει ϋχει μεγαλύτερη ςυχνότητα; ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ 34. Ένασ μοτοςικλετιςτόσ που βρύςκεται ςε απόςταςη d = 400 m από μια ακύνητη ηχητικό πηγό ςυχνότητασ fs = 540 Hz κινεύται προσ αυτό με ςταθερό επιτϊχυνςη. Αρχικϊ ο μοτοςικλετιςτόσ εύναι ακύνητοσ. Η ςυχνότητα του όχου που αντιλαμβϊνεται ο παρατηρητόσ τη ςτιγμό που προςπερνϊει την πηγό και πριν από την προςπϋραςη εύναι f = 603,5 Hz. α) Να υπολογύςετε την επιτϊχυνςη του μοτοςικλετιςτό. β) Να παραςτόςετε γραφικϊ την ςυχνότητα που αντιλαμβϊνεται ο παρατηρητόσ (μοτοςικλετιςτόσ) ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. τη γραφικό παρϊςταςη να φαύνεται η ςυχνότητα που αντιλαμβϊνεται ο παρατηρητόσ λύγο μετϊ την προςπϋραςη τησ πηγόσ. Σαχύτητα του όχου ςτον αϋρα u = 340 m/s. γ) Ένασ παρατηρητόσ που βρύςκεται μπροςτϊ από το τρϋνο κοντϊ ςτισ γραμμϋσ ακύνητοσ ακούει και αυτόσ δυο όχουσ; Να ςυγκρύνετε τισ ςυχνότητεσ των δυο όχων. δ) Ένασ μοτοςικλετιςτόσ κινεύται κατϊ μόκοσ των γραμμών με ταχύτητα ua μπροςτϊ από το τρϋνο. Να βρεύτε την ςυχνότητα του διαςτόματοσ που αντιλαμβϊνεται ο Κ. Β.Φιρφιρής 4

25 5 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ μοτοςικλετιςτόσ από τισ δύο ςυχνότητεσ fa και f A, μια από τον όχο που φθϊνει απ ευθεύασ από το τρϋνο και η ϊλλη από τον ανακλώμενο. Δύνονται: us, ua, u k ότι ο μοτοςικλετιςτόσ απομακρύνεται από το τρϋνο. Παρατηρόςεισ: ua = α t d= α t u+ua f A= fs u Πριν την προςπϋραςη: u+α t f A= fs u Μετϊ την προςπϋραςη: u-α t f A'= fs u ΘΕΜΑΣΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ο ΘΕΜΑ Α. Ερωτήςεισ πολλαπλήσ επιλογήσ. Μια κρούςη λϋγεται πλϊγια όταν: α. δεν ικανοποιεύ την αρχό διατόρηςησ τησ ορμόσ. β. δεν ικανοποιεύ την αρχό διατόρηςησ τησ ενϋργειασ. γ. οι ταχύτητεσ των κϋντρων μϊζασ των ςωμϊτων πριν από την κρούςη ϋχουν τυχαύα διεύθυνςη. δ. οι ταχύτητεσ των κϋντρων μϊζασ των ςωμϊτων πριν από την κρούςη εύναι παρϊλληλεσ..ε μια ελαςτικό κρούςη δεν διατηρεύται α. η ολικό κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ. β. η ορμό του ςυςτόματοσ. γ. η μηχανικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ. δ. η κινητικό ενϋργεια κϊθε ςώματοσ. 3.Η κρούςη ςτην οπούα διατηρεύται η κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ των ςυγκρουόμενων ςωμϊτων, ονομϊζεται: α. ελαςτικό β. ανελαςτικό γ. πλαςτικό δ. ϋκκεντρη 4. ε κϊθε κρούςη ιςχύει : α. η αρχό διατόρηςησ τησ μηχανικόσ ενϋργειασ. β. η αρχό διατόρηςησ τησ ορμόσ. γ. η αρχό διατόρηςησ του ηλεκτρικού φορτύου. δ. όλεσ οι παραπϊνω αρχϋσ. 5.ε μια κρούςη δύο ςφαιρών α. το ϊθροιςμα των κινητικών ενεργειών των ςφαιρών πριν από την κρούςη εύναι πϊντα ύςο με το ϊθροιςμα των κινητικών ενεργειών τουσ μετϊ από την κρούςη. β. οι διευθύνςεισ των ταχυτότων των ςφαιρών πριν και μετϊ από την κρούςη βρύςκονται πϊντα ςτην ύδια ευθεύα. γ. το ϊθροιςμα των ορμών των ςφαιρών πριν από την κρούςη εύναι πϊντα ύςο με το ϊθροιςμα των ορμών τουσ μετϊ από την κρούςη. Κ. Β.Φιρφιρής 5

26 6 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ δ. το ϊθροιςμα των ταχυτότων των ςφαιρών πριν από την κρούςη εύναι πϊντα ύςο με το ϊθροιςμα των ταχυτότων τουσ μετϊ από την κρούςη. 6. ε μια ελαςτικό κρούςη δύο ςωμϊτων α. ϋνα μϋροσ τησ κινητικόσ ενϋργειασ μετατρϋπεται ςε θερμικό. β. η ορμό κϊθε ςώματοσ παραμϋνει ςταθερό. γ. η κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ παραμϋνει ςταθερό. δ. η κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ ελαττώνεται. 7. ώμα μϊζασ m κινεύται οριζόντια με ταχύτητα μϋτρου υ. την πορεύα ςυγκρούεται μετωπικϊ με ϊλλο ςώμα και επιςτρϋφει κινούμενο με ταχύτητα μϋτρου υ. Σο μϋτρο τησ μεταβολόσ τησ ορμόσ του εύναι: α. 0. β. mυ. γ. mυ. δ. 3mυ. 8.ε κϊθε κρούςη α. η ςυνολικό ορμό του ςυςτόματοσ των ςυγκρουόμενων ςωμϊτων διατηρεύται. β. η ςυνολικό κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ παραμϋνει ςταθερό. γ. η μηχανικό ενϋργεια κϊθε ςώματοσ παραμϋνει ςταθερό. δ. η ορμό κϊθε ςώματοσ διατηρεύται ςταθερό. 9.Η ανελαςτικό κρούςη μεταξύ δύο ςφαιρών: α. εύναι πϊντα μη κεντρικό. β. εύναι πϊντα πλαςτικό. γ. εύναι πϊντα κεντρικό. δ. εύναι κρούςη, ςτην οπούα πϊντα μϋροσ τησ κινητικόσ ενϋργειασ των δύο ςφαιρών μετατρϋπεται ςε θερμότητα. 0.Κατϊ την κεντρικό ανελαςτικό κρούςη δύο ςφαιρών (οι οπούεσ κατϊ τη διϊρκεια τησ κρούςησ αποτελούν μονωμϋνο ςύςτημα), διατηρεύται ςταθερό : α. η κινητικό ενϋργεια κϊθε ςφαύρασ β. η κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ των δύο ςφαιρών γ. η ορμό κϊθε ςφαύρασ δ. η ορμό του ςυςτόματοσ των δύο ςφαιρών.. Μια ανελαςτικό κρούςη μεταξύ δύο ςωμϊτων χαρακτηρύζεται ωσ πλαςτικό όταν: α. η ορμό του ςυςτόματοσ δεν διατηρεύται. β. τα ςώματα μετϊ την κρούςη κινούνται χωριςτϊ. γ. η ολικό κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ διατηρεύται. δ. οδηγεύ ςτη ςυγκόλληςη των ςωμϊτων, δηλαδό ςτη δημιουργύα ςυςςωματώματοσ.. Έκκεντρη ονομϊζεται η κρούςη κατϊ την οπούα οι ταχύτητεσ των κϋντρων μϊζασ των δύο ςυγκρουόμενων ςωμϊτων εύναι μεταξύ τουσ α. κϊθετεσ β. παρϊλληλεσ γ. ύςεσ δ. ςε τυχαύεσ διευθύνςεισ 3. την ανελαςτικό κρούςη μεταξύ δύο ςφαιρών διατηρεύται α. η ορμό κϊθε ςφαύρασ. β. η ορμό του ςυςτόματοσ. γ. η μηχανικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ. δ. η κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ. 4. Όταν μια μικρό ςφαύρα προςπύπτει πλϊγια ςε κατακόρυφο τούχο και ςυγκρούεται με αυτόν ελαςτικϊ, τότε α. η κινητικό ενϋργεια τησ ςφαύρασ πριν την κρούςη εύναι μεγαλύτερη από την κινητικό ενϋργεια που ϋχει μετϊ την κρούςη. β. η ορμό τησ ςφαύρασ δεν μεταβϊλλεται κατϊ την κρούςη. γ. η γωνύα πρόςπτωςησ τησ ςφαύρασ εύναι ύςη με τη γωνύα ανϊκλαςησ. δ. η δύναμη που αςκεύ ο τούχοσ ςτη ςφαύρα ϋχει την ύδια διεύθυνςη με την αρχικό ταχύτητα τησ ςφαύρασ. 5. ε μύα πλαςτικό κρούςη α. δε διατηρεύται η ορμό. β. η τελικό κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ εύναι μεγαλύτερη τησ αρχικόσ. γ. η κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ διατηρεύται. Κ. Β.Φιρφιρής 6

27 7 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ δ. η αρχικό κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ εύναι μεγαλύτερη τησ τελικόσ. 6. φαύρα, μϊζασ m, κινούμενη με ταχύτητα u, ςυγκρούεται μετωπικϊ και ελαςτικϊ με ακύνητη ςφαύρα μϊζασ m. Οι ταχύτητεσ u και u των ςφαιρών μετϊ την κρούςη α. ϋχουν πϊντα την ύδια φορϊ β. ςχηματύζουν μεταξύ τουσ γωνύα 90 ο γ. ϋχουν πϊντα αντύθετη φορϊ δ. ϋχουν πϊντα την ύδια διεύθυνςη. 7. ε μύα ελαςτικό κρούςη α. η ορμό και η ενϋργεια του ςυςτόματοσ των ςωμϊτων διατηρούνται ςταθερϋσ. β. η ορμό του ςυςτόματοσ των ςωμϊτων αυξϊνεται ενώ η ολικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ των ςωμϊτων μειώνεται. γ. η ορμό του ςυςτόματοσ των ςωμϊτων μειώνεται ενώ η ολικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ των ςωμϊτων αυξϊνεται. δ. η ορμό του ςυςτόματοσ των ςωμϊτων παραμϋνει ςταθερό ενώ η ολικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ των ςωμϊτων μειώνεται. 8.Κατϊ την πλαςτικό κρούςη δύο ςφαιρών: α. διατηρεύται η μηχανικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ των ςφαιρών β. διατηρεύται η ορμό του ςυςτόματοσ των ςφαιρών γ. αυξϊνεται η μηχανικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ των ςφαιρών δ. διατηρεύται η μηχανικό ενϋργεια και η ορμό του ςυςτόματοσ των ςφαιρών. 9. φαύρα ςυγκρούεται μετωπικϊ και ελαςτικϊ με ακύνητη ςφαύρα τετραπλϊςιασ μϊζασ. Μετϊ την κρούςη α. η ςφαύρα παραμϋνει ακύνητη β. η ςφαύρα ςυνεχύζει να κινεύται ςτην ύδια κατεύθυνςη γ. όλη η κινητικό ενϋργεια τησ ςφαύρασ μεταφϋρθηκε ςτη ςφαύρα δ. ιςχύει Δp Δp, όπου Δp,Δp οι μεταβολϋσ των ορμών των δύο ςφαιρών. 0. την κεντρικό ελαςτικό κρούςη δύο ςωμϊτων α. διατηρεύται μόνο η ορμό του ςυςτόματοσ β. διατηρεύται μόνο η μηχανικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ γ. διατηρεύται και η ορμό και η μηχανικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ. δ. δεν διατηρεύται ούτε η ορμό, ούτε η μηχανικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ.. Δύο ςφαύρεσ Α και Β με ύςεσ μϊζεσ, μύα εκ των οπούων εύναι ακύνητη, ςυγκρούονται κεντρικϊ και ελαςτικϊ. Σο ποςοςτό τησ μεταβιβαζόμενησ ενϋργειασ από τη ςφαύρα που κινεύται ςτην αρχικϊ ακύνητη ςφαύρα εύναι: α) 00% β) 50% γ) 40% δ) 0%. Β. Ερωτήςεισ τύπου ςωςτό-λάθοσ.έκκεντρη ονομϊζεται η κρούςη ςτην οπούα οι ταχύτητεσ των κϋντρων μϊζασ των ςωμϊτων που ςυγκρούονται εύναι παρϊλληλεσ.. ε κϊθε κρούςη ιςχύει η αρχό διατόρηςησ τησ ενϋργειασ. 3. τισ ανελαςτικϋσ κρούςεισ δεν διατηρεύται η ορμό. 4. Κατϊ την πλαςτικό κρούςη δύο ςωμϊτων η μηχανικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ παραμϋνει ςταθερό. 5. Όταν μια ςφαύρα προςκρούει ελαςτικϊ ςε ϋνα τούχο, τότε πϊντα ιςχύει u =-u, όπου u η ταχύτητα τησ ςφαύρασ πριν την κρούςη u η ταχύτητα τησ ςφαύρασ μετϊ την κρούςη. 6. Κατϊ τη πλαςτικό κρούςη δύο ςωμϊτων πϊντα ιςχύει : p =p πριν μετά όπου p πριν η ορμό του ςυςτόματοσ πριν την κρούςη, p μετά η ορμό του ςυςτόματοσ μετϊ την κρούςη. 7.Όταν μια ςφαύρα μικρόσ μϊζασ προςκρούει ελαςτικϊ και κϊθετα ςτην επιφϊνεια ενόσ τούχου, ανακλϊται με ταχύτητα ύδιου μϋτρου και αντύθετησ φορϊσ από αυτό που εύχε πριν από την κρούςη. 8. Κρούςη ςτο μικρόκοςμο ονομϊζεται το φαινόμενο ςτο οπούο τα «ςυγκρουόμενα» ςωματύδια αλληλεπιδρούν με ςχετικϊ μεγϊλεσ δυνϊμεισ για πολύ μικρό χρονικό διϊςτημα. 9. ε μια πλαςτικό κρούςη διατηρεύται η μηχανικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ των ςυγκρουόμενων ςωμϊτων. Κ. Β.Φιρφιρής 7

28 8 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 0.Μικρό ςφαύρα, που κινεύται ευθύγραμμα και ομαλϊ ςε οριζόντιο επύπεδο, ςυγκρούεται ελαςτικϊ και πλϊγια με κατακόρυφο τούχο. την περύπτωςη αυτό η γωνύα πρόςπτωςησ τησ ςφαύρασ εύναι ύςη με τη γωνύα ανϊκλαςησ..μύα ειδικό περύπτωςη ανελαςτικόσ κρούςησ εύναι η πλαςτικό κρούςη..ε μύα πλαςτικό κρούςη μεταξύ δύο ςωμϊτων η κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ διατηρεύται. 3. ώμα Α ςυγκρούεται ελαςτικϊ και κεντρικϊ με ακύνητο αρχικϊ ςώμα Β που ϋχει την ύδια μϊζα με το Α. Σότε η ταχύτητα του Α μετϊ την κρούςη μηδενύζεται. 4. Έκκεντρη ονομϊζεται η κρούςη αν οι ταχύτητεσ των ςωμϊτων βρύςκονται ςε τυχαύα διεύθυνςη. 5. Κατϊ την ελαςτικό κρούςη μεταξύ δύο ςφαιρών ελαττώνεται η κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ των ςφαιρών. 6. Κατϊ την πλαςτικό κρούςη δύο ςωμϊτων η μηχανικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ παραμϋνει ςταθερό. 7.Η ορμό ενόσ μονωμϋνου ςυςτόματοσ ςωμϊτων δεν διατηρεύται κατϊ τη διϊρκεια μιασ ανελαςτικόσ κρούςησ. 8. την ελαςτικό κρούςη δύο ςφαιρών η κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ ελαττώνεται. 9. Μια ειδικό περύπτωςη ανελαςτικόσ κρούςησ εύναι εκεύνη που οδηγεύ ςτη ςυγκόλληςη των ςωμϊτων-ςτη δημιουργύα ςυςςωματώματοσ. 0. τισ μη κεντρικϋσ κρούςεισ δεν ιςχύει η αρχό διατόρηςησ τησ ορμόσ για το ςυγκρουόμενο ςύςτημα ςωμϊτων.. Έκκεντρη ονομϊζεται η κρούςη κατϊ την οπούα οι ταχύτητεσ των κϋντρων μϊζασ των δύο ςωμϊτων που ςυγκρούονται εύναι παρϊλληλεσ αλλϊ μη ςυγγραμμικϋσ..κατϊ την κεντρικό ελαςτικό κρούςη δύο ςφαιρών, οι οπούεσ ϋχουν ύςεσ μϊζεσ, οι ςφαύρεσ ανταλλϊςςουν ταχύτητεσ. 3. ε μια κρούςη αμελητϋασ χρονικόσ διϊρκειασ η δυναμικό ενϋργεια των ςωμϊτων, που εξαρτϊται από τη θϋςη τουσ ςτο χώρο, δεν μεταβϊλλεται. Γ. Ερωτήςεισ ςυμπλήρωςησ κενών.η κρούςη ςτην οπούα οι ταχύτητεσ των κϋντρων μϊζασ των ςωμϊτων που ςυγκρούονται εύναι παρϊλληλεσ ονομϊζεται... Δ. Ερωτήςεισ- ο ΘΕΜΑ. φαύρα μϊζασ m κινούμενη με ταχύτητα μϋτρου υ ςυγκρούεται κεντρικϊ και ελαςτικϊ με ακύνητη ςφαύρα ύςησ μϊζασ. Να βρεύτε τισ ςχϋςεισ που δύνουν τισ ταχύτητεσ των δύο ςφαιρών, μετϊ την κρούςη, με εφαρμογό των αρχών που διϋπουν την ελαςτικό κρούςη.. φαύρα A που κινεύται ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο ςυγκρούεται κεντρικϊ και πλαςτικϊ με ϊλλη όμοια αλλϊ ακύνητη ςφαύρα Β που βρύςκεται ςτο ύδιο επύπεδο. Να αποδεύξετε ότι η κινητικό ενϋργεια του ςυςςωματώματοσ μετϊ την κρούςη εύναι ύςη με το μιςό τησ κινητικόσ ενϋργειασ τησ ςφαύρασ Α, πριν από την κρούςη. 3. Μια μικρό ςφαύρα μϊζασ m ςυγκρούεται μετωπικϊ και ελαςτικϊ με ακύνητη μικρό ςφαύρα μϊζασ m. Μετϊ την κρούςη οι ςφαύρεσ κινούνται με αντύθετεσ ταχύτητεσ ύςων μϋτρων. Ο λόγοσ των μαζών m/m των δύο ςφαιρών εύναι: α. β. /3 γ. / Να αιτιολογόςετε την επιλογό ςασ 4.Ένα αυτοκύνητο Α μϊζασ Μ βρύςκεται ςταματημϋνο ςε κόκκινο φανϊρι. Ένα ϊλλο αυτοκύνητο Β μϊζασ m, ο οδηγόσ του οπούου εύναι απρόςεκτοσ, πϋφτει ςτο πύςω μϋροσ του αυτοκινότου Α. Η κρούςη θεωρεύται κεντρικό και πλαςτικό. Αν αμϋςωσ μετϊ την κρούςη το ςυςςωμϊτωμα ϋχει το /3 τησ κινητικόσ ενϋργειασ που εύχε αμϋςωσ πριν την κρούςη, τότε θα ιςχύει: α. m = M 6 β. m = γ. m = M M 3 Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 5. ώμα μϊζασ m που κινεύται με ταχύτητα υ ςυγκρούεται κεντρικϊ και πλαςτικϊ με ακύνητο ςώμα διπλϊςιασ μϊζασ. Η ταχύτητα του ςυςςωματώματοσ μετϊ την κρούςη ϋχει μϋτρο : α. υ β. u/ γ. u/3 Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ Κ. Β.Φιρφιρής 8

29 9 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 6. φαύρα μϊζασ m προςπύπτει με ταχύτητα υ ςε ακύνητη ςφαύρα μϊζασ m, με την οπούα ςυγκρούεται κεντρικϊ και ελαςτικϊ. Μετϊ την κρούςη η ςφαύρα μϊζασ m γυρύζει πύςω με ταχύτητα μϋτρου ύςου με το /5 τησ αρχικό τησ τιμόσ. Για το λόγο των μαζών ιςχύει : m 3 m m α. = β. = γ. = m m 3 m 3. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ.. Δύο ςώματα Α και Β με μϊζεσ m A και m B, αντύςτοιχα, ςυγκρούονται μετωπικϊ. Οι ταχύτητϋσ τουσ πριν και μετϊ την κρούςη, ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο φαύνονται ςτο παρακϊτω διϊγραμμα. 7. Μικρό ςώμα μϊζασ m που κινεύται με ταχύτητα u ςυγκρούεται κεντρικϊ με αρχικϊ ακύνητο μικρό ςώμα μϊζασ m Σ Σ u Μετϊ την κρούςη το ςώμα παραμϋνει ακύνητο. Μετϊ την κρούςη η κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ των δύο ςωμϊτων : α. αυξόθηκε β. παραμϋνει η ύδια γ. ελαττώθηκε Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ 8.φαύρα Α μϊζασ ma ςυγκρούεται κεντρικϊ και ελαςτικϊ με δεύτερη ακύνητη ςφαύρα Β μϊζασ mb. Σο ποςοςτό τησ μηχανικόσ ενϋργειασ που ϋχει μεταφερθεύ από την Α ςτη Β μετϊ την κρούςη γύνεται μϋγιςτο όταν: α. ma = mβ β. ma < mβ γ. ma > mβ Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 9. ώμα μϊζασ m, το οπούο ϋχει κινητικό ενϋργεια Κ, ςυγκρούεται πλαςτικϊ με ςώμα μϊζασ 4m. Μετϊ την κρούςη, το ςυςςωμϊτωμα μϋνει ακύνητο. Η μηχανικό ενϋργεια που χϊθηκε κατϊ την κρούςη, εύναι: α. 5/4 Κ β. Κ γ. 7/4Κ Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 0. φαύρα κινούμενη προσ ακύνητη ςφαύρα, ύςησ μϊζασ με την, ςυγκρούεται μετωπικϊ και ελαςτικϊ με αυτόν. Σο ποςοςτό τησ αρχικόσ κινητικόσ ενϋργειασ τησ που μεταβιβϊζεται ςτη κατϊ την κρούςη εύναι α. 50%. β. 00%. γ. 75%. Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. Ο λόγοσ των μαζών m Α και m Β εύναι: ma 3 ma α. = β. = mb 5 mb ma ma 3 γ. = δ. = mb 3 mb Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ.. ώμα μϊζασ m κινεύται οριζόντια με ταχύτητα μϋτρου U. Σο ςώμα ςυγκρούεται με κατακόρυφο τούχο και ανακλϊται με ταχύτητα μϋτρου u όπου u <u. Η κρούςη εύναι : α. Ελαςτικό β. Ανελαςτικό. Ποια από τισ δύο περιπτώςεισ εύναι η ςωςτό; Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 3. ε μετωπικό κρούςη δύο ςωμϊτων Α και Β που ϋχουν μϊζεσ m και m, αντύςτοιχα, δημιουργεύται ςυςςωμϊτωμα που παραμϋνει ακύνητο ςτο ςημεύο τησ ςύγκρουςησ. Ο λόγοσ των μϋτρων των ορμών των δύο ςωμϊτων πριν από την κρούςη, εύναι : α. / β. γ. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 4. Δύο μικρϊ ςώματα με μϊζεσ m και m ςυγκρούονται κεντρικϊ και ελαςτικϊ. Αν ΔΚ εύναι η μεταβολό τησ κινητικόσ ενϋργειασ του ςώματοσ μϊζασ m και ΔΚ εύναι η μεταβολόσ τησ κινητικόσ ενϋργειασ του ςώματοσ μϊζασ m λόγω τησ ελαςτικόσ κρούςησ, τότε ιςχύει : Κ. Β.Φιρφιρής 9

30 30 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΔΚ ΔΚ α. =- ΔΚ β. = m γ. = ΔΚ ΔΚ ΔΚ m Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό ςχϋςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 5. Δύο ςώματα Α και Β, με μϊζεσ 3m και m αντύςτοιχα, βρύςκονται ακύνητα πϊνω ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο. Δύνουμε ςτο ςώμα Β αρχικό ταχύτητα υ ϋτςι ώςτε να ςυγκρουςτεύ κεντρικϊ και ελαςτικϊ με το ακύνητο ςώμα Α. Ποια εύναι η ταχύτητα του ςώματοσ Β μετϊ την κρούςη; α. u/ β. u/ γ. u/4 Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 6. Ακύνητο ςώμα μϊζασ Μ βρύςκεται πϊνω ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο. Βλόμα μϊζασ m κινεύται οριζόντια με ταχύτητα υ = 00 m/s ςε διεύθυνςη που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ του ςώματοσ και ςφηνώνεται ς αυτό. Αν η ταχύτητα του ςυςςωματώματοσ αμϋςωσ μετϊ την κρούςη εύναι V = m/s, τότε ο λόγοσ των μαζών Μ/m εύναι ύςοσ με : α. 50 β. /5 γ. 49 Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 7. Δύο ςώματα με μϊζεσ m= kg και m=3 kg κινούνται χωρύσ τριβϋσ ςτο ύδιο οριζόντιο επύπεδο και ςε κϊθετεσ διευθύνςεισ με ταχύτητεσ υ=4 m/s και υ= m/s (όπωσ ςτο ςχόμα) και ςυγκρούονται πλαςτικϊ. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 8. Δύο ςώματα, το Α με μϊζα m και το Β με μϊζα m, εύναι διαρκώσ ςε επαφό και κινούνται ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο με την ύδια ταχύτητα υ. Σα ςώματα ςυγκρούονται κεντρικϊ με ςώμα Γ μϊζασ 4m, το οπούο αρχικϊ εύναι ακύνητο Μετϊ την κρούςη το Α ςταματϊ, ενώ το Β κολλϊει ςτο Γ και το ςυςςωμϊτωμα αυτό κινεύται με ταχύτητα υ/3. Σότε θα ιςχύει: m m α. m β. γ. m m m Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 9. Ανϊμεςα ςε δύο παρϊλληλουσ τούχουσ ΑΓ και ΒΔ, υπϊρχει λεύο οριζόντιο δϊπεδο. Σα ευθύγραμμα τμόματα ΑΒ και ΓΔ εύναι κϊθετα ςτουσ τούχουσ. φαύρα κινεύται πϊνω ςτο δϊπεδο, με ςταθερό ταχύτητα, μϋτρου υ, παρϊλληλη ςτουσ τούχουσ, και καλύπτει τη διαδρομό από το ΑΒ μϋχρι το ΓΔ ςε χρόνο t. τη ςυνϋχεια δεύτερη ςφαύρα που ϋχει ταχύτητα μϋτρου υ ςυγκρούεται ελαςτικϊ με τον ϋνα τούχο υπό γωνύα φ=60 ο και, ύςτερα από διαδοχικϋσ ελαςτικϋσ κρούςεισ με τουσ τούχουσ, καλύπτει τη διαδρομό από το ΑΒ μϋχρι το ΓΔ ςε χρόνο t. Οι ςφαύρεσ εκτελούν μόνο μεταφορικό κύνηςη. Η κινητικό ενϋργεια του ςυςςωματώματοσ εύναι: α. 5 J β. 0 J γ. 0 J Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη Tότε θα ιςχύει: α. t = t β. t = 4t γ. t = 8t Να επιλϋξετε τη ςωςτό πρόταςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 3 Δύνονται : ημ60 0 =, ςυν600 = Κ. Β.Φιρφιρής 30

31 3 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 0. το παρακϊτω ςχόμα. τα δύο ςώματα και εύναι όμοια, το δϊπεδο εύναι λεύο και οριζόντιο και το κατακόρυφο τούχωμα εύναι λεύο και ακλόνητο. Σο εύναι αρχικϊ ακύνητο και το κινεύται προσ το με ταχύτητα u. Οι κρούςεισ μεταξύ των και εύναι κεντρικϋσ και ελαςτικϋσ και η κρούςη του με το τούχωμα εύναι ελαςτικό. Μετϊ από όλεσ τισ κρούςεισ που θα μεςολαβόςουν α. το κινεύται με ταχύτητα -u, ενώ το εύναι ακύνητο. u β. τα και κινούνται με ταχύτητα γ. το ακινητοποιεύται, ενώ το κινεύται με u ταχύτητα Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό φρϊςη Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ.. ε λεύο οριζόντιο επύπεδο και ςε διεύθυνςη κϊθετη ςε κατακόρυφο τούχο κινεύται ςφαύρα μϊζασ m με ταχύτητα μϋτρου υ. Κϊποια χρονικό ςτιγμό η ςφαύρα μϊζασ m ςυγκρούεται κεντρικϊ και ελαςτικϊ με ακύνητη ςφαύρα μϊζασ m (m > m). Μετϊ την κρούςη με τη μϊζα m, η m ςυγκρούεται ελαςτικϊ με τον τούχο. Δύο ςώματα Α και Β με μϊζεσ m και 4m αντύςτοιχα, κινούνται πϊνω ςτην ύδια ευθεύα με αντύθετη φορϊ, όπωσ φαύνεται ςτο χόμα. Σα δύο ςώματα ϋχουν ύςεσ κινητικϋσ ενϋργειεσ και ςυγκρούονται μετωπικϊ και πλαςτικϊ. Αν υ εύναι το μϋτρο τησ ταχύτητασ του ςώματοσ A και V το μϋτρο τησ ταχύτητασ του ςυςςωματώματοσ που δημιουργεύται μετϊ την κρούςη, τότε: α.v=u/5 β. V=u/5 γ. V=3u/5 Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη, αιτιολογώντασ την επιλογό ςασ. 3. Δύο μαθητϋσ Α και Β, με μϊζεσ MA και ΜΒ (MA<ΜΒ), ςτϋκονται αρχικϊ ακύνητοι πϊνω ςτο λεύο οριζόντιο επύπεδο ενόσ παγοδρομύου, όπωσ φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμα. Οι δύο μαθητϋσ κρατϊνε τισ ϊκρεσ ενόσ ςχοινιού ςταθερού μόκουσ L. Κϊποια ςτιγμό οι μαθητϋσ αρχύζουν να μαζεύουν ταυτόχρονα το ςχοινύ και κινούνται ςτην ύδια ευθεύα. Μετϊ από κϊποιο χρονικό διϊςτημα οι μαθητϋσ αγκαλιϊζονται και παραμϋνουν αγκαλιαςμϋνοι. Παρατηρούμε ότι η απόςταςη των μαζών m και m, μετϊ την κρούςη τησ m με τον τούχο, παραμϋνει ςταθερό. Ο λόγοσ των μαζών m/m εύναι: α. 3 β. γ. /3 Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη, αιτιολογωντασ την απϊντηςη ςασ. Οι αγκαλιαςμϋνοι μαθητϋσ: i. θα κινηθούν προσ τα αριςτερϊ ii. θα κινηθούν προσ τα δεξιϊ iii. θα παραμεύνουν ακύνητοι. α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. Ε-3 ο Θέμα. Ένα ςώμα με μϊζα m =kg κινεύται με ταχύτητα υ =0m/s ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο και κατϊ μόκοσ του ϊξονα x x, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Κ. Β.Φιρφιρής 3

32 3 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Σο ςώμα ςυγκρούεται κεντρικϊ και ελαςτικϊ με ακύνητο ςώμα μϊζασ m =3kg που βρύςκεται ςτο ύδιο οριζόντιο επύπεδο με το. Η διϊρκεια τησ κρούςησ θεωρεύται αμελητϋα και η φορϊ τησ ταχύτητασ υ θετικό. Να υπολογύςετε: α. την ταχύτητα του μετϊ την κρούςη. β. την ταχύτητα του μετϊ την κρούςη. γ. την κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ των δύο ςωμϊτων μετϊ την κρούςη του. δ. την αλγεβρικό τιμό τησ μεταβολόσ τησ ορμόσ του ςώματοσ, λόγω τησ κρούςησ. Σ-4 ο Θέμα. ώμα με μϊζα m=kg και ταχύτητα u κινεύται ςε οριζόντιο επύπεδο και κατϊ μόκοσ του ϊξονα x x χωρύσ τριβϋσ, όπωσ ςτο ςχόμα. Σο ςώμα ςυγκρούεται με ςώμα μϊζασ m=3kg που αρχικϊ εύναι ακύνητο. Η κρούςη οδηγεύ ςτη ςυγκόλληςη των ςωμϊτων. α. Να δικαιολογόςετε γιατύ το ςυςςωμϊτωμα που προκύπτει από τη ςυγκόλληςη θα ςυνεχύςει να κινεύται κατϊ μόκοσ του ϊξονα x x. β. Να εξηγόςετε γιατύ η θερμοκραςύα του ςυςςωματώματοσ θα εύναι μεγαλύτερη από την αρχικό κοινό θερμοκραςύα των δύο ςωμϊτων. γ.να υπολογύςετε το λόγο K/K όπου Κ η κινητικό ενϋργεια του ςυςςωματώματοσ και Κ η κινητικό ενϋργεια του ςώματοσ πριν την κρούςη. δ. Να δικαιολογόςετε αν ο λόγοσ K/K μεταβϊλλεται ό όχι ςτην περύπτωςη που το ςώμα μϊζασ m εκινεύτο με ταχύτητα διπλϊςια τησ υ.. Έςτω ςώμα () μϊζασ Μ = kg και κωνικό βλόμα (β) μϊζασ m= 0, kg. Για να ςφηνώςουμε με τα χϋρια μασ ολόκληρο το βλόμα ςτο ςταθερό ςώμα (), όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα, πρϋπει να δαπανόςουμε ενϋργεια 00 J. Έςτω τώρα ότι το ςώμα () που εύναι ακύνητο ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο, πυροβολεύται με το βλόμα (β). Σο βλόμα αυτό κινούμενο οριζόντια με κινητικό ενϋργεια Κ προςκρούει ςτο ςώμα () και ακολουθεύ πλαςτικό κρούςη. α. Για Κ = 00 J θα μπορούςε το βλόμα να ςφηνωθεύ ολόκληρο ςτο ςώμα (); Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. β. Ποια εύναι η ελϊχιςτη κινητικό ενϋργεια Κ που πρϋπει να ϋχει το βλόμα, ώςτε να ςφηνωθεύ ολόκληρο ςτο ςώμα (); γ. Για ποια τιμό του λόγου M/m το βλόμα με κινητικό ενϋργεια Κ =00 J ςφηνώνεται ολόκληρο ςτο (); Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 3.ώμα μϊζασ m κινούμενο ςε οριζόντιο επύπεδο ςυγκρούεται με ταχύτητα μϋτρου υ=5m/s κεντρικϊ και ελαςτικϊ με ακύνητο ςώμα μϊζασ m. Η χρονικό διϊρκεια τησ κρούςησ θεωρεύται αμελητϋα. Αμϋςωσ μετϊ την κρούςη, το ςώμα μϊζασ m κινεύται αντύρροπα με ταχύτητα μϋτρου υ = 9m/s. α. Να προςδιορύςετε το λόγο των μαζών m /m. β. Να βρεθεύ το μϋτρο τησ ταχύτητασ του ςώματοσ μϊζασ m αμϋςωσ μετϊ την κρούςη. γ. Να βρεθεύ το ποςοςτό τησ αρχικόσ κινητικόσ ενϋργειασ του ςώματοσ μϊζασ m που μεταβιβϊςτηκε ςτο ςώμα μϊζασ m λόγω τησ κρούςησ. δ. Να υπολογιςθεύ πόςο θα απϋχουν τα ςώματα όταν ςταματόςουν. Κ. Β.Φιρφιρής 3

33 33 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Ο ςυντελεςτόσ τριβόσ ολύςθηςησ μεταξύ του επιπϋδου και κϊθε ςώματοσ εύναι μ=0,. Δύνεται g=0m/s. 4. ώμα μϊζασ m βρύςκεται ςτο ςημεύο Α λεύου κατακόρυφου τεταρτοκυκλύου (ΑΓ). Η ακτύνα ΟΑ εύναι οριζόντια και ύςη με R= 5m. Σο ςώμα αφόνεται να ολιςθόςει κατϊ μόκοσ του τεταρτοκυκλύου. Υθϊνοντασ ςτο ςημεύο Γ του τεταρτοκυκλύου, το ςώμα ςυνεχύζει την κύνηςό του ςε οριζόντιο επύπεδο με το οπούο εμφανύζει ςυντελεςτό τριβόσ μ=0,5. Αφού διανύςει διϊςτημα S=3,6m, ςυγκρούεται κεντρικϊ και ελαςτικϊ ςτο ςημεύο Δ με ςώμα μϊζασ m=3m, το οπούο τη ςτιγμό τησ κρούςησ κινεύται αντύθετα ωσ προσ το, με ταχύτητα μϋτρου U=4m/s α.να υπολογύςετε το μϋτρο τησ ταχύτητασ του ςώματοσ ςτο ςημεύο Γ, όπου η ακτύνα ΟΓ εύναι κατακόρυφη. β. Να υπολογύςετε τα μϋτρα των ταχυτότων των ςωμϊτων και αμϋςωσ μετϊ την κρούςη. γ. Δύνεται η μϊζα του ςώματοσ, m=3kg. Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ μεταβολόσ τησ ορμόσ του ςώματοσ κατϊ την κρούςη και να προςδιορύςετε την κατεύθυνςό τησ. δ. Να υπολογύςετε το ποςοςτό τησ μεταβολόσ τησ κινητικόσ ενϋργειασ του ςώματοσ κατϊ την κρούςη. Δύνεται: η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ g=0m/s. Κ. Β.Φιρφιρής 33

34 34 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ ΜΕΡΙΚΑ ΣΟΙΦΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ Περιοδικό κύνηςη εύναι η κύνηςη που επαναλαμβϊνεται ςε κανονικϊ χρονικϊ διαςτόματα που τα ονομϊζουμε περιόδουσ. Μύα απλό περιοδικό κύνηςη εύναι η απλό αρμονικό ταλϊντωςη. Ένα ςώμα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη όταν παλινδρομεύ γύρω από μύα θϋςη ιςορροπύασ και μεταξύ δύο ακραύων θϋςεων ϋτςι ώςτε η απομϊκρυνςό του από την θϋςη ιςορροπύασ να δύνεται από την ςχϋςη : x=aημ(ωt+φο) () ΦΡΗΙΜΕ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ Η α.α.τ. μπορεύ να περιγραφεύ και από την ' ςχϋςη x A ( t ) () αφού οι ςχϋςεισ () και () εύναι ιςοδύναμεσ γιατύ ( t ) ( t ) στήμα A O x U A Ακραία θέση θέση εσσταθούς ισορροπίας Γ Ακραία θέση την ςχϋςη () x εύναι η απομϊκρυνςη του κινητού από την θϋςη ιςορροπύασ, Α εύναι η μϋγιςτη απομϊκρυνςη ό πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ και εύναι η μϋγιςτη απόςταςη του κινητού από την θϋςη ιςορροπύασ. OA OA max την ςχϋςη () βλϋπουμε ότι η απομϊκρυνςη του κινητού από την θϋςη ιςορροπύασ εξαρτϊται από το ημύτονο μύασ γωνύασ που εύναι γραμμικό ςυνϊρτηςη του χρόνου, η γωνύα αυτό ονομϊζεται φϊςη (φ) φ=ωt+φο () Σο ω ονομϊζεται κυκλικό ςυχνότητα και δεύχνει τον χρονικό ρυθμό μεταβολόσ τησ φϊςησ (μετριϋται ςε rad/sec ). Η φο ονομϊζεται αρχικό φϊςη και εύναι η τιμό τησ φ τη χρονικό ςτιγμό που επιλϋγουμε ςαν αρχό των χρόνων (t=0). την πιο απλό περύπτωςη φο=0 και φ=ωt Η θϋςη ιςορροπύασ εύναι η πιο ςημαντικό θϋςη του κινητού ςτην ταλϊντωςη. Προςδιορύζεται από την ςυνθόκη : F=0 Ο Α Α θέση ισορροπίας ΣF=0 x= 0 α= 0 Οι ακραύεσ θϋςεισ ιςαπϋχουν από τη θϋςη ιςορροπύασ. ΟΑ = ΟΑ=Α. Κ. Β.Φιρφιρής 34

35 35 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ υ(rad) υ 0 φ=ωt+φ 0 t(s) ΦΡΗΙΜΕ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ Η ςχϋςη x=aημ(ωt+φο) μασ δύνει την αλγεβρικό τιμό τησ απομϊκρυνςησ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. Δεν πρϋπει να ξεχνϊμε ότι η απομϊκρυνςη του κινητού από την θϋςη ιςορροπύασ εύναι διανυςματικό μϋγεθοσ. Όμωσ επειδό η α.α.τ. πραγματοποιεύται πϊνω ςε ϊξονα, η αλγεβρικό τιμό τησ εύναι αρκετό να την προςδιορύςει. + A O M x>0 A υ(rad) x<0 O A N A φ=ωt A O A χόμα Περίοδοσ τησ απλόσ αρμονικόσ ταλϊντωςησ ονομϊζεται ο χρόνοσ που απαιτεύται για να ολοκληρωθεύ μύα πλόρη ταλϊντωςη : (3) υχνότητα f ςτην απλό αρμονικό ταλϊντωςη ονομϊζεται ο αριθμόσ των ταλαντώςεων ςτην μονϊδα του χρόνου.(μετριϋται ςε Hz= κύκλοσ/s) Εύναι f=/t και ω=π/σ=πf (4) Η ταχύτητα ςτην απλό αρμονικό ταλϊντωςη του κινητού δύνεται από την ςχϋςη : u=aωςυν(ωt+φο) (5) Η ποςότητα Αω ονομϊζεται μϋγιςτη ταχύτητα ό πλϊτοσ τησ ταχύτητασ : umax=aω (6) t(s) το Α x=-a το Α x=a x=0 H ταχύτητα του ςώματοσ που ταλαντώνεται ςυνδϋεται με την απομϊκρυνςη : u A x Σο διπλό πρόςημο δικαιολογεύται από το γεγονόσ ότι ςτην ύδια θϋςη το κινητό ϋχει διαφορετικϋσ ταχύτητεσ με το ύδιο μϋτρο. A O M u A A O M A u Κ. Β.Φιρφιρής 35

36 36 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Η απλό αρμονικό ταλϊντωςη εύναι μύα κύνηςη επιταχυνόμενη. Η επιτϊχυνςη του ςώματοσ που ταλαντώνεται δύνεται από την ςχϋςη. α=-αω ημ(ωt+φο) (7) ό α=-ω x (8) εύναι αmax=aω (9) Η ΔΤΝΑΜΗ ΣΗΝ ΣΑΛΑΝΣΩΗ Από το δεύτερο νόμο του Newton ϋχουμε F=mα ό F=-mω x (0). η ςχϋςη (0) μασ οδηγεύ ςτο ςυμπϋραςμα ότι ικανό και αναγκαύα ςυνθόκη για να εκτελεύ ϋνα ςώμα απλό αρμονικό ταλϊντωςη εύναι το ςώμα να δϋχεται ςυνεχώσ την επύδραςη δυνϊμεων, που η ςυνιςταμϋνη τουσ : α. εύναι ανϊλογη τησ απομϊκρυνςησ του κινητού από τη θϋςη ιςορροπύασ. β. εύναι δύναμη επαναφορϊσ, δηλαδό ϋχει πϊντα φορϊ προσ την θϋςη ιςορροπύασ (τεύνει να φϋρει το κινητό ςτην θϋςη ιςορροπύασ ) F=-Dx (0) όπου D=mω ό m Άρα T () ό T D D () m D και f ό f T m (3) ΓΡΑΥΙΚΕ ΠΑΡΑΣΑΕΙ ΣΩΝ x=f(t), u=f(t), α=f(t), F=f(t). ΣΗΝ ΑΠΛΗ ΠΕΡΙΠΣΩΗ ΠΟΤ φο=0. την απλό περύπτωςη που φο=0 ϋχουμε : x=aημωt : ΦΡΗΙΜΕ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΕ Η επιτϊχυνςη του κινητού ϋχει πϊντα φορϊ προσ την θϋςη ιςορροπύασ. O M A A x> a< 0 0 Από τα προηγούμενα καταλϊβαμε ότι όταν το κινητό απομακρύνεται από τη θϋςη ιςορροπύασ επιβραδύνεται, ενώ όταν πληςιϊζει προσ τη θϋςη ιςορροπύασ επιταγχύνεται ΔΙΑΥΟΡΕ ΥΑH ΜΕΣΑΞΤ ΣΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ x,u,α και F. Έχουμε για φο=0 : x=aημωt u=aωςυνωt=aωημ(ωt+π/) α=-αω ημωt=aω ημ(ωt+π) και F=mα=mAω ημ(ωt+π) Από τισ παραπϊνω ςχϋςεισ βλϋπουμε ότι η ταχύτητα προηγεύται ςτη φϊςη τησ απομϊκρυνςησ κατϊ π/, η επιτϊχυνςη προηγεύται τησ ταχύτητασ κατϊ π/, η επιτϊχυνςη προηγεύται τησ απομϊκρυνςησ κατϊ π. Η F και α εύναι ςυμφαςικϊ μεγϋθη. A -A 0 T/ 4 T/ 3T/ 4 T ςχημ 3 Κ. Β.Φιρφιρής 36

37 37 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ u=aωσυνωt ή u=aωημ(ωt+π/) u Ασ T/ T T/4 3T/4 t -Ασ ςχημ 4 α=-αω ημωt ή α=αω ημ(ωt+π) +σt T/ T -σt T/4 3T/4 t ςχημ 5 F=mα F=-mΑω ημωt F=-DAημωt. +DA T/ T -DA T/4 3T/4 t ςχημ.6 Κ. Β.Φιρφιρής 37

38 DA U=f(x) 38 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΗΝ Α.Α.Σ. Σο ςώμα που εκτελεύ α.α.τ ϋχει δυναμικό ενϋργεια U=/ Dx (4) και κινητικό ενϋργεια Κ=/mu (5). Η μηχανικό ενϋργεια του ςώματοσ που ταλαντώνεται δύνεται από το ϊθροιςμα : ΕΜ=/Dxo +/mu (6). τισ ακραύεσ θϋςεισ u=0 ϊρα : ΕΜ=/Dxo ή ΕΜ=/DA και /DA =/Dx +/mu (7) τη θϋςη ιςορροπύασ x=0, U=0 : Άρα /DA =/mu max ΓΡΑΥΙΚΕ ΠΑΡΑΣΑΕΙ ΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Ε ΤΝΑΡΣΗΗ ΜΕ ΣΗΝ ΑΠΟΜΑΚΡΤΝΗ Εύναι : U=/mω x K=/mω Α -/mω x EM= /mω Α : ταθερό. E ΦΡΗΙΜΕ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ Η ενϋργεια ςτην ταλϊντωςη (ΕΜ) παραμϋνει ςταθερό εφ όςον δεν ϋχουμε απώλειεσ. Οι U και Κ μεταβϊλλονται ημιτονοειδώσ ϋτςι ώςτε το ϊθροιςμϊ τουσ να παραμϋνει ςταθερό. Η ΕΜ ςτην ταλϊντωςη εξαρτϊται από το πλϊτοσ (Α) τησ ταλϊντωςησ όπωσ και η μϋγιςτη τιμό τησ δύναμησ Fmax =m ωx και τησ επιτϊχυςησ : αmax =ω Α και τησ ταχύτητασ. umax=ωα. D m D Σα μεγϋθη, T, f m D m x' -A +A K=f (x) x ςχημ. 7 ΓΡΑΥΙΚΕ ΠΑΡΑΣΑΕΙ ΣΩΝ ΕΜ=f(t), K=f(t), U=f(t). Εύναι Κ=/mu ό Κ=/mA ω ςυν ωt. U=/Dx ό U=/mω Α ημ ωt. EM=U+K=/mω Α : ςταθερή. χημ 8 Κ. Β.Φιρφιρής 38

39 39 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΤΣΗΜΑ ΜΑΖΑ-ΕΛΑΣΗΡΙΟΤ Ένα απλό ςύςτημα που οι κινόςεισ τησ μϊζασ του προςεγγύζουν την α.α.τ εύναι το ςύςτημα «μϊζα-ελατόριο». k χημ 9. την περύπτωςη αυτό D=K : m k m, T m k KA, U Kx K K( A x ). EM O,, f k m Α. ΕΡΩΣΗΕΙ ΚΑΣΑΝΟΗΗ ΚΑΙ ΕΜΠΕΔΩΗ ΙΑ.) ΕΡΩΣΗΕΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΕΠΙΛΟΓΗ.) Μονϊδα μϋτρηςησ τησ ςυχνότητασ εύναι : Α.) Hz B.) s - Γ.) c/s Δ.) Όλεσ οι παραπϊνω απαντόςεισ εύναι ςωςτϋσ..) Ένα ςώμα εκτελεύ Α.Α.Σ. με πλϊτοσ ταλϊντωςησ Α. Οι ακραύεσ θϋςεισ τησ τροχιϊσ απϋχουν : Α.) d=a B.) d=a Γ.) d=a/ Δ.) Δεν ιςχύει τύποτα από τα παραπϊνω. 3.) Όταν ϋνα ςώμα εκτελεύ Α.Α.Σ με πλϊτοσ ταλϊντωςησ Α ςε χρόνο μύασ περιόδου. Α.) Μετατοπύζεται κατϊ Δx=0. B.) Διανύει διϊςτημα S=A. Γ.) Μετατοπύζεται κατϊ Δx=A. Δ.) ωςτϋσ εύναι οι προτϊςεισ Α και Β. 4.) Απαραύτητη ςυνθόκη για να εκτελϋςει Α.Α.Σ εύναι : Α.) Σο ςώμα να δϋχεται ςυνεχώσ ςταθερό δύναμη. Β.) Σο ςώμα να δϋχεται δύναμη ανϊλογη τησ απομϊκρυνςησ. Γ.) Σο ςώμα να δϋχεται ςυνολικό δύναμη επαναφορϊσ ανϊλογη τησ απομϊκρυνςησ (F=-Dx) Δ.) Πρϋπει ςυνεχώσ F=0. 5.) Ένα ςώμα που εκτελεύ Α.Α.Σ ϋχει δυναμικό ενϋργεια η οπούα : Α.) Παραμϋνει ςταθερό και ύςη με U=/ DA. B.) Μεταβϊλλεται ημιτονοειδώσ με την απομϊκρυνςη. Γ.) Μεταβϊλλεται ημιτονοειδώσ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. Δ.) Για t=0 (ςτην αρχό τησ ταλϊντωςησ) εύναι πϊντα 0. 6.) Ένα ςώμα που εκτελεύ Α.Α.Σ ϋχει κινητικό ενϋργεια η οπούα : Α.) Παραμϋνει ςταθερό και ύςη με U=/ DA. B.) Μεταβϊλλεται ημιτονοειδώσ με την απομϊκρυνςη. Γ.) Μεταβϊλλεται ημιτονοειδώσ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. Δ.) Για t=0 (ςτην αρχό τησ ταλϊντωςησ) εύναι Κ=U. 7.) Η μηχανικό ενϋργεια ενόσ ςώματοσ που εκτελεύ Α.Α.Σ : A.) Εύναι ςταθερό και ανϊλογη με το τετρϊγωνο του πλϊτουσ. Β.) Ιςούται πϊντα με το ϊθροιςμα τησ δυναμικόσ και κινητικόσ ενϋργειασ. Γ.) Μεταβϊλλεται ανϊλογα με το τετρϊγωνο τησ απομϊκρυνςησ. Δ.) ωςτϋσ εύναι οι προτϊςεισ Α και Β. 8.) Ένα ςώμα εκτελεύ Α.Α.Σ με περύοδο Σ=0,s, πλϊτοσ Α=0,m και ενϋργεια Umax=4J. Η μϊζα του ςώματοσ εύναι : Α.) Kg B.) gr Γ.) 0gr Δ.) 00gr 9.) Ένα ςώμα εκτελεύ Α.Α.Σ με Σ=0,s ςε χρονικό διϊρκεια min το ςώμα διϋρχεται από το ςημεύο ιςορροπύασ : Α.) 00 φορϋσ Β.) 0 φορϋσ Γ.) 0 φορϋσ Δ.) 5 φορϋσ. 0.) Ένα ςώμα που εκτελεύ Α.Α.Σ ϋχει περύοδο Σ=0,π s και μϋγιςτη επιτϊχυνςη αmax=40m/s : Κ. Β.Φιρφιρής 39

40 40 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ A.) Οι ακραύεσ θϋςεισ απϋχουν μεταξύ τουσ 0,8m. B.) Η μϋγιςτη ταχύτητα εύναι 4m/s. Γ.) Η μηχανικό ενϋργεια ταλϊντωςησ εύναι ΕΜ=80J. Δ.) ωςτϋσ εύναι οι προτϊςεισ Α και Β..) Η φϊςη τησ Α.Α.Σ : Α.) Εύναι ςταθερό. Β.) Αυξϊνεται γραμμικϊ με τον χρόνο. Γ.) Ελαττώνεται γραμμικϊ με τον χρόνο. Δ.) Μεταβϊλλεται ημιτονοειδώσ ςε ςυνϊρτηςη με τον χρόνο..) Ένα ςώμα που εκτελεύ Α.Α.Σ την χρονικό ςτιγμό to=0 διϋρχεται από την θϋςη ιςορροπύασ. Η αρχικό φϊςη ταλϊντωςησ εύναι Α.) φο=0 Β.) φο=π Γ.) φο=π/ Δ.) Δεν μπορούμε να την προςδιορύςουμε. 3.) την Α.Α.Σ : Α.) Η ταχύτητα με την απομϊκρυνςη ϋχουν την ύδια φϊςη. Β.) Η ταχύτητα με την επιτϊχυνςη ϋχουν την ύδια φϊςη. Γ.) Η δύναμη με την επιτϊχυνςη ϋχουν την ύδια φϊςη Δ.) Δεν ιςχύει τύποτα από τα παραπϊνω. 4.) το πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτό η ολικό ενϋργεια : Α.) μεταβϊλλεται αρμονικϊ με το χρόνο. Β.) εύναι πϊντοτε μικρότερη από την δυναμικό ενϋργεια. Γ.) εύναι πϊντοτε μεγαλύτερη από την κινητικό ενϋργεια. Δ.) καθορύζει το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ. 5.) το πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτό η δυναμικό ενϋργεια : Α.) ϋχει την μϋγιςτη τιμό τησ ςτην θϋςη ιςορροπύασ. Β.) εύναι ύςη με την ολικό ενϋργεια ςτισ θϋςεισ x= A Γ.) ϋχει πϊντοτε μεγαλύτερη τιμό από την κινητικό του ενϋργεια Δ.) ϋχει αρνητικό τιμό ςτισ θϋςεισ -Α x 0 6.) το πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτό η κινητικό ενϋργεια : Α.) ςτη θϋςη x=0 εύναι ύςη με την ολικό του ενϋργεια. Β.) εύναι πϊντοτε μεγαλύτερη από την δυναμικό του ενϋργεια. Γ.) εξαρτϊται από την κατεύθυνςη τησ κύνηςησ τησ μϊζασ m. Δ.) παύρνει μηδενικό τιμό μύα φορϊ κατϊ την διϊρκεια μύασ περιόδου. 7.) το πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτό κατϊ την διϊρκεια μύασ περιόδου : Α.) Η δυναμικό ενϋργεια παύρνει τη μϋγιςτη τιμό τησ μόνο μύα φορϊ. Β.) Η δυναμικό του ενϋργεια εύναι ύςη με την κινητικό του μόνο μύα φορϊ. Γ.) Η ολικό ενϋργεια παραμϋνει ςταθερό. Δ.) Η κινητικό του ενϋργεια παύρνει την μϋγιςτη τιμό τησ μόνο μύα φορϊ. 8.) Η διαφορϊ φϊςησ Δφ=φu-φx μεταξύ ταχύτητασ u και απομϊκρυνςησ x ςτην απλό αρμονικό ταλϊντωςη εύναι : Α.) π/ Β.) π/ Γ.) π Δ.) 0 9.) Η διαφορϊ φϊςησ Δφ=φu-φα μεταξύ ταχύτητασ u και επιτϊχυνςησ α ςτην απλό αρμονικό ταλϊντωςη εύναι : Α.) π/ Β.) π/ Γ.) -π Δ.) 0 0.) ύςτημα μϊζασ-ελατόριο εκτελεύ ελεύθερη αμεύωτη ταλϊντωςη. Η ςυχνότητα ταλϊντωςησ εύναι : m Α.) f k Β.) Γ.) f f m k k m Δ.) f k m Κ. Β.Φιρφιρής 40

41 4 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΕΡΩΣΗΕΙ ΣΟΤ ΣΤΠΟΤ ΩΣΟ () Η ΛΑΘΟ (Λ).. το παρακϊτω διϊγραμμα βλϋπουμε τη γραφικό παρϊςταςη τησ ταχύτητασ μύασ Α.Α.Σ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. χόμα u 7. το παρακϊτω ςχόμα βλϋπουμε τη μεταβολό τησ φϊςησ ταλαντωτών () και (). υ = υ ( ) ( ) φ ο u o 0 t t t 3 t 4 u o t Ποια ό ποιεσ από τισ παρακϊτω προτϊςεισ εύναι ςωςτϋσ ; α.) Σην χρονικό ςτιγμό t0=0 το ςώμα βρύςκεται ςτην θϋςη x=+a. β.) Ση χρονικό ςτιγμό t0=0 το ςώμα βρύςκεται ςτη θϋςη x=-a γ.) Ση χρονικό ςτιγμό t0=0 το ςώμα βρύςκεται ςτη θϋςη ιςορροπύασ. δ.) Ση χρονικό ςτιγμό t το ςώμα βρύςκεται ςτη θϋςη ιςορροπύασ κινούμενο προσ τη θετικό κατεύθυνςη. ε.) Ση χρονικό ςτιγμό t το ςώμα βρύςκεται ςτη θϋςη x=+a. ςτ.) Ση χρονικό ςτιγμό t3 το ςώμα ϋχει αρνητικό απομϊκρυνςη. ζ.) Ση χρονικό ςτιγμό t4 το ςώμα ϋχει αρνητικό απομϊκρυνςη.. τη Α.Α.Σ η γωνιακό ςυχνότητα (ω=πf) εύναι διανυςματικό μϋγεθοσ. 3. τη Α.Α.Σ ςτο χρόνο μύασ περιόδου (Σ) το κινητό διανύει διϊςτημα S=4A. 4. τη Α.Α.Σ. ςτο χρόνο μύασ περιόδου (Σ) το κινητό μετατοπύζεται κατϊ Δx=4A. 5. τη Α.Α.Σ. ςτο χρόνο μύασ ημιπεριόδου (t=t/) το κινητό μετατοπύζεται κατϊ Δx=A. 6. τη Α.Α.Σ. η ςυνιςταμϋνη δύναμη που δϋχεται το ςώμα και η επιτϊχυνςη ϋχουν την ύδια φϊςη. t Ποιεσ από τισ παρακϊτω φρϊςεισ εύναι ςωςτϋσ : α. Ο ταλαντωτόσ () ϋχει μεγαλύτερη περύοδο από τον ταλαντωτό (). β. Ο ταλαντωτόσ () ϋχει μεγαλύτερη ςυχνότητα από τον ταλαντωτό (). γ. Αν οι ταλαντωτϋσ ϋχουν ύδιο πλϊτοσ ταλϊντωςησ τότε μεγαλύτερη μϋγιςτη ταχύτητα ϋχει ο ταλαντωτόσ (). δ. Ση χρονικό ςτιγμό t οι ταλαντωτϋσ ϋχουν την ύδια φϊςη ϊρα και την ύδια απομϊκρυνςη. ε. Αν οι ταλαντωτϋσ ϋχουν ύδιεσ μϋγιςτεσ επιταχύνςεισ ϋχουν και ύδια πλϊτη (Α=Α) 8. Ση χρονικό ςτιγμό t=0,s ο ταλαντωτόσ που η φϊςη του μεταβϊλλεται όπωσ ςτο παρακϊτω διϊγραμμα ϋχει απομϊκρυνςη x=0,m. υ rad π 3π/ π π/ 0 0,05 0, 0,5 Κ. Β.Φιρφιρής 4 t sec Ποιεσ από τισ παρακϊτω προτϊςεισ εύναι ςωςτϋσ ; α. Η μϋγιςτη ταχύτητα εύναι umax=π m/s. β. Ο ταλαντωτόσ διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ 00 φορϋσ το λεπτό. γ. Η μϋγιςτη επιτϊχυνςη εύναι amax=00m/s δ. Για t=0,3s η ταχύτητα μηδενύζεται. 9. το παρακϊτω ςχόμα βλϋπουμε τη γραφικό παρϊςταςη τησ δύναμησ

42 4 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ταλαντωτών () και () τησ ύδιασ μϊζασ m=m ςε ςυνϊρτηςη με την απομϊκρυνςη. Ποιεσ από τισ παρακϊτω προτϊςεισ εύναι ςωςτϋσ : α. δ. u0 u T β. 0 T γ. f u0 ε. f u 0 T T 3. Ποιεσ από τισ παρακϊτω προτϊςεισ που αναφϋρονται ςτα διαγρϊμματα του παρακϊτω ςχόματοσ εύναι ςωςτϋσ. - a 0 - A - A - a 0 A A - -a 0 () - -a 0 () 30. το παρακϊτω ςχόμα βλϋπουμε τη γραφικό παρϊςταςη τησ ταχύτητασ ταλαντωτών ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο για ταλαντωτϋσ () και (). t Ποιεσ από τισ παρακϊτω προτϊςεισ εύναι ςωςτϋσ : α. Ο ταλαντωτόσ () ϋχει διπλϊςιο πλϊτοσ ταλϊντωςησ από τον ταλαντωτό (). β. Ιςχύει ao=3ao γ. Ιςχύει 3Α=4Α δ. Οι ταλαντωτϋσ αρχύζουν να εκτελούν ταλϊντωςη από την ακραύα αρνητικό θϋςη. α. Αν η () παριςτϊνει απομϊκρυνςη η () παριςτϊνει ταχύτητα. β. Αν η () παριςτϊνει ταχύτητα η () παριςτϊνει επιτϊχυνςη. γ. Αν η () παριςτϊνει ταχύτητα η () παριςτϊνει απομϊκρυνςη. δ. Αν η () παριςτϊνει ταχύτητα η () παριςτϊνει ςυνιςταμϋνη δύναμη. 3. Ένα ςώμα αρχύζει Α.Α.Σ χωρύσ αρχικό φϊςη και τη χρονικό ςτιγμό t=0,04s ϋχει απομϊκρυνςη x= + A/. Ποιεσ από τισ παρακϊτω προτϊςεισ εύναι ςωςτϋσ. α. Ση χρονικό ςτιγμό t=0,s ϋχει u=0. β. Ση χρονικό ςτιγμό t=0,04s ϋχει u u 3 γ. Ση χρονικό ςτιγμό t3=0,08s ϋχει u o δ. Ση χρονικό ςτιγμό t4=0,4s ϋχει απομϊκρυνςη x= τα διαγρϊμματα του παρακϊτω ςχόματοσ ςτο διϊγραμμα () παριςτϊνεται η μεταβολό τησ ταχύτητασ ςε ςχϋςη με το χρόνο.ποιεσ από τισ παρακϊτω προτϊςεισ εύναι ςωςτϋσ ; u o Κ. Β.Φιρφιρής 4

43 43 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ α. Η καμπύλη του διαγρϊμματοσ () παριςτϊνει τη μεταβολό τησ επιτϊχυνςησ ςε ςχϋςη με το χρόνο. β. Η καμπύλη του διαγρϊμματοσ () παριςτϊνει την απομϊκρυνςη ςε ςχϋςη με το χρόνο. γ. Ση χρονικό ςτιγμό t το κινητό διϋρχεται από την θϋςη ιςορροπύασ κινούμενο προσ τη θετικό κατεύθυνςη. δ. Ση χρονικό ςτιγμό t το κινητό βρύςκεται ςτη θϋςη x=-a. ε. Σο ςώμα ταλαντώνεται με αρχικό φϊςη φο=π. 34. Ση χρονικό ςτιγμό t=t/4 ϋνα ςώμα που εκτελεύ Α.Α.Σ. πλϊτουσ Α ϋχει για πρώτη φορϊ απομϊκρυνςη x=-a/. Ποιεσ από τισ παρακϊτω προτϊςεισ εύναι ςωςτϋσ. α. Σο ςώμα ταλαντώνεται με αρχικό φϊςη 7π/6. β. Σο ςώμα ταλαντώνεται με αρχικό φϊςη π/3. γ. Σο ςώμα τη χρονικό ςτιγμό t ϋχει επιτϊχυνςη a=ao/. δ. Σο ςώμα τη χρονικό ςτιγμό t ϋχει αρνητικό ταχύτητα. ΑΚΗΕΙ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ 35. το παρακϊτω ςχόμα φαύνεται η γραφικό παρϊςταςη τησ απομϊκρυνςησ ςε ςχϋςη με το χρόνο για ϋνα ςώμα που εκτελεύ Α.Α.Σ. x(m) Ποιεσ από τισ παρακϊτω προτϊςεισ εύναι ςωςτϋσ και ποιεσ λανθαςμϋνεσ ; Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ ςε κϊθε περύπτωςη. α. Η μϋγιςτη ταχύτητα ϋχει τιμό 0,π m/s. β. Σισ χρονικϋσ ςτιγμϋσ και 6 sec η ταχύτητα του ςώματοσ εύναι 0. γ. Ση χρονικό ςτιγμό s το ςώμα κινεύται προσ τη θετικό κατεύθυνςη. δ. Ση χρονικό ςτιγμό 5s το ςώμα επιταχύνεται. 36. τη γραφικό παρϊςταςη του παρακϊτω ςχόματοσ φαύνεται η γραφικό παρϊςταςη τησ ταχύτητασ ςε ςχϋςη με το χρόνο για ϋνα ςώμα που εκτελεύ Α.Α.Σ. t(sec) 0,π -0,π -0,π x(m) Ποιεσ από τισ παρακϊτω προτϊςεισ εύναι ςωςτϋσ και ποιεσ λανθαςμϋνεσ ; Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ ςε κϊθε περύπτωςη. α. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ εύναι 0,4m. β. Σισ χρονικϋσ ςτιγμϋσ και 6 sec το ςώμα διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ. γ. Ση χρονικό ςτιγμό 5s το ςώμα επιταχύνεται. δ. Σισ χρονικϋσ ςτιγμϋσ 0 sec, 4sec και 8 sec το μϋτρο τησ επιτϊχυνςησ εύναι μϋγιςτο. 0, 4 6 t(s) -0, Κ. Β.Φιρφιρής 43

44 44 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 37. το παρακϊτω ςχόμα φαύνεται η γραφικό παρϊςταςη τησ επιτϊχυνςησ ςε ςχϋςη με το χρόνο ενόσ ςώματοσ που εκτελεύ Α.Α.Σ. 0, -0, m/s t(sec) 39. Η μϊζα (m) ενόσ Α.Α.Σ εκτελεύ αμεύωτη Α.Α.Σ. ϋχοντασ οριςμϋνη ολικό ενϋργεια. Η απομϊκρυνςη του ςώματοσ από τη θϋςη ιςορροπύασ περιγρϊφεται από την εξύςωςη 3 x A ( t ). Να αντιςτοιχύςετε κϊθε μύα από τισ ςυναρτόςεισ τησ ςτόλησ () με τισ γραφικϋσ παραςτϊςεισ τησ ςτόλησ (). ΣΤΗΛΗ ΣΤΗΛΗ i.) Eνι =f (t) ii.) U=f(t) iii.) K=f(t) (α) Ποιεσ από τισ παρακϊτω προτϊςεισ εύναι ςωςτϋσ και ποιεσ λανθαςμϋνεσ ; Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ ςε κϊθε περύπτωςη. α. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ εύναι 0,6m ( π =0.) β. Σισ χρονικϋσ ςτιγμϋσ sec και 5sec το ςώμα επιταχύνει. γ. Σισ χρονικϋσ ςτιγμϋσ sec και 6sec το μϋτρο τησ ταχύτητασ εύναι μϋγιςτο. δ. Σισ χρονικϋσ ςτιγμϋσ 0 sec και sec το ςώμα ϋχει απομϊκρυνςη x=-a. 38. (β) (γ) 40.) Η μϊζα ενόσ Α.Α.Σ εκτελεύ αμεύωτη Α.Α.Σ. ϋχοντασ οριςμϋνη ολικό ενϋργεια. Να αντιςτοιχύςετε κϊθε μύα από τισ ςυναρτόςεισ τησ ςτόλησ () με την αντύςτοιχη γραφικό παρϊςταςη τησ ςτόλησ () ΣΤΗΛΗ ΣΤΗΛΗ i.) Eνι =f(t) ii.) U=f (t) iii.) K=f(t) (α) () () 4 (β) (γ) -0, το παραπϊνω ςχόμα φαύνονται η γραφικϋσ παραςτϊςεισ τησ δύναμησ ςε ςχϋςη με τη απομϊκρυνςη για ςώματα τησ ύδιασ μϊζασ (m=m=0,kg ) που εκτελούν Α.Α.Σ. Με ποιεσ από τισ παρακϊτω προτϊςεισ ςυμφωνεύτε και με ποιεσ διαφωνεύτε ; Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. α.) Σα ςώματα ϋχουν ύδια πλϊτη ταλϊντωςησ β.) Σ<Σ γ.) α(max)=α(max) δ.) f<f 4. To ςύςτημα μϊζα-ελατόριο του παρακϊτω ςχόματοσ εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη πλϊτουσ Α. Ση χρονικό ςτιγμό t=0 η μϊζα διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ τησ κινούμενη προσ την αρνητικό κατεύθυνςη. Να θεωρόςετε ότι η απομϊκρυνςη x τησ μϊζασ από τη θϋςη ιςορροπύασ τησ εύναι ημιτονικό ςυνϊρτηςη του χρόνου. Με ποιο ό ποια από τα παρακϊτω διαφωνεύτε ό ςυμφωνεύτε και γιατύ ; Κ. Β.Φιρφιρής 44

45 45 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ α. Ση χρονικό ςτιγμό t=t/8 η επιτϊχυνςη ϋχει amax αλγεβρικό τιμό a β. Η ταχύτητα τησ μϊζασ καθορύζεται κϊθε ςτιγμό από την εξύςωςη : u umax t γ. Ση χρονικό ςτιγμό t= 3Σ/8 η δυναμικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ εύναι ύςη με την κινητικό του. δ. Η περύοδοσ τησ ταλϊντωςησ του ςυςτόματοσ δύνεται από τη ςχϋςη : m T k 4. τουσ δύο απλούσ αρμονικούσ ταλαντωτϋσ (Α) και (Β) δύνουμε την ύδια ολικό ενϋργεια. Με ποιο ό με ποια από τα παρακϊτω ςυμφωνεύτε ό διαφωνεύτε και γιατύ ; α. Οι ταλαντωτϋσ εκτελούν αρμονικό ταλϊντωςη ύδιου πλϊτουσ. β. Σο μϋτρο τησ μϋγιςτησ δύναμησ επαναφορϊσ ςτον ταλαντωτό (Α) εύναι διπλϊςιο του μϋτρου τησ μϋγιςτησ δύναμησ επαναφορϊσ ςτον ταλαντωτό (Β). γ. Οι ταλαντωτϋσ ταλαντώνονται με τη ύδια ςυχνότητα. δ. Σο μϋτρο τησ μϋγιςτησ ταχύτητασ του ταλαντωτό uoa του ταλαντωτό (Α) εύναι φορϋσ μεγαλύτερο από το μϋτρο τησ μϋγιςτησ ταχύτητασ του ταλαντωτό (Β) uob. 43. Απλόσ αρμονικόσ ταλαντωτόσ εκτελεύ ταλϊντωςη πλϊτουσ Α.Διατηρούμε ςταθερό το πλϊτοσ ταλϊντωςησ και διπλαςιϊζουμε τη μϊζα του ςώματοσ. με ποιο ό με ποια από τα παρακϊτω ςυμφωνεύτε ό διαφωνεύτε και γιατύ ; α. Η περύοδοσ ταλϊντωςησ διπλαςιϊζεται. β. Η ολικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ διπλαςιϊζεται. γ. Σο μϋτρο uo τησ μϋγιςτησ ταχύτητασ διπλαςιϊζεται. δ. Σο μϋτρο τησ μϋγιςτησ επιτϊχυνςησ του ςώματοσ υποδιπλαςιϊζεται. 44. Τλικό ςημεύο εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη πλϊτουσ Α=0,m και κυκλικόσ ςυχνότητασ ω=0 rad/s. Να θεωρόςετε ότι η απομϊκρυνςη x του υλικού ςημεύου από τη θϋςη ιςορροπύασ του εύναι ημιτονικό ςυνϊρτηςη του χρόνου. Να γρϊψετε την εξύςωςη ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο για την απομϊκρυνςη x. Δύνεται ότι για to=0 εύναι : α. x=0 και u>0. β. x=0 και u<0. [ Απ.(α) x=0,ημ0t (SI) (β) x=0,ημ(0t+π) (SI) ] 45. Τλικό ςημεύο εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη και η απομϊκρυνςη από τη θϋςη ιςορροπύασ του δύνεται από την εξύςωςη x=aημ(ωt+φο). α. Να υπολογύςετε τισ τιμϋσ των μεγεθών Α,ω,φο αν γνωρύζετε ότι η απόςταςη των ακραύων θϋςεων του υλικού ςημεύου εύναι d=0,m και για to=0 εύναι x=0,05m και u 3 m/s. β. Να βρεύτε τη χρονικό ςτιγμό to=0 την επιτϊχυνςη του υλικού ςημεύου. γ. Να παραςτόςετε γραφικϊ ςε ςυνϊρτηςη με τη απομϊκρυνςη x από τη θϋςη ιςορροπύασ του τη ςυνιςταμϋνη δύναμη που αςκεύται ςτο υλικό ςημεύο, αν η μϊζα του εύναι m=0,kg. [ Απ.(α) xo=0,m, ω=0rad/s, φο=5π/6 (β) α=-0m/s (γ) ευθεύα ] 46. Τλικό ςημεύο μϊζασ m=0,0kg εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη πλϊτουσ Α=0, m και περιόδου Σ= π sec. α. Να βρεύτε το ελϊχιςτο χρονικό διϊςτημα που απαιτεύται για να μεταβεύ το υλικό ςημεύο από τη θϋςη x=0,m ςτη θϋςη x=-0,m αν δύνεται ότι το υλικό ςημεύο περνϊει από τη θϋςη x κινούμενο. i.) προσ τη θετικό κατεύθυνςη. ii.) προσ τη αρνητικό κατεύθυνςη. β.) πόςοσ εύναι ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ ορμόσ του υλικού ςημεύου όταν αυτό περνϊει από τισ θϋςεισ x και x ; [Απ (α) i. π/ sec ii. π/6 sec (β) Ν, Ν ] 47. Τλικό ςημεύο εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη κατϊ μόκοσ του ϊξονα xx. Ση Κ. Β.Φιρφιρής 45

46 46 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ χρονικό ςτιγμό t=0 το υλικό ςημεύο διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ κινούμενο προσ τη θετικό κατεύθυνςη. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ εύναι Α=4cm και η ςυχνότητα f=hz. Να θεωρόςετε ότι απομϊκρυνςη x του υλικού ςημεύου από τη θϋςη ιςορροπύασ του εύναι ημιτονικό ςυνϊρτηςη του χρόνου. α. Να γρϊψετε τη εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ x ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. β. Να προςδιορύςετε την μϋγιςτη ταχύτητα (κατϊ μϋτρο ) του υλικού ςημεύου και τη χρονικό ςτιγμό t κατϊ την οπούα αυτό θα αποκτόςει αυτόν την ταχύτητα για πρώτη φορϊ μετϊ την χρονικό ςτιγμό tο =0. γ. Να προςδιορύςετε τη μϋγιςτη επιτϊχυνςη (κατϊ μϋτρο) του υλικού ςημεύου και τη χρονικό ςτιγμό t κατϊ την οπούα την αποκτϊ για πρώτη φορϊ μετϊ την ςτιγμό to=0. δ. Να υπολογύςετε τη ςυνολικό απόςταςη που διϊνυςε το υλικό ςημεύο από τη ςτιγμό to=0 ωσ τη ςτιγμό t=,5s. [Απ (α) x=4 0 - ημ4πt (SI) (β) 0,6π m/s, 0,5s (γ) 0,64π m/s, /8 s (δ) 0,4 m] 48. Τλικό ςημεύο εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη. Η απομϊκρυνςη του x από τη θϋςη ιςορροπύασ του δύνεται από την εξύςωςη x 0, (0 t )( SI) α. Για ποιεσ τιμϋσ τησ απομϊκρυνςησ x η δυναμικό ενϋργεια του U εύναι ύςη με το 50% τησ ολικόσ ενϋργειασ Εολ ; β. Να βρεύτε τη τιμό τησ αρχικόσ φϊςησ φο, αν δύνεται ότι για το to=0 εύναι : 3 K για x>0 και u<0. E 4 o [Απ. (α) -0,m και +0,m (β) 5π/6] 49. Τλικό ςημεύο μϊζασ m=0 - Kg εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη πλϊτουσ Α=0,m. Ση χρονικό ςτιγμό to=0 περνϊει από τη θϋςη x=0,m κινούμενο κατϊ την θετικό κατεύθυνςη, ενώ την χρονικό ςτιγμό t=/3s περνϊει από την ύδια θϋςη κινούμενο κατϊ την αρνητικό κατεύθυνςη. Να θεωρόςετε ότι η απομϊκρυνςη x του υλικού ςημεύου από τη θϋςη ιςορροπύασ του εύναι ημιτονικό ςυνϊρτηςη του χρόνου. α. Να υπολογύςετε την περύοδο τησ ταλϊντωςησ. o β. Να γρϊψετε για την ταλϊντωςη που εκτελεύ το υλικό ςημεύο τισ εξιςώςεισ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. i) τησ απομϊκρυνςησ x ii.) τησ ταχύτητασ u iii.) τησ επιτϊχυνςησ a. γ. Κατϊ το χρονικό διϊςτημα τησ κύνηςησ από to=0 μϋχρι t=/3 s, να βρεύτε το ϋργο τησ ςυνιςταμϋνησ δύναμησ που ενεργεύ ςτο υλικό ςημεύο. (π =0) [Απ.(α) s (β) i) x 0, ( t ) 6 ii.) u 0, ( t )( SI) 6 iii.) a ( t )( SI) 6 3 (γ) i.) N s ii.) 5 0 J 50. Σα δύο ςώματα Α και Β που δεύχνει το ςχόμα εύναι τοποθετημϋνα το ϋνα πϊνω ςτο ϊλλο και εκτελούν κατακόρυφη απλό αρμονικό ταλϊντωςη με περύοδο Σ=s και πλϊτοσ Α=0,5m.Σο ςώμα Β ϋχει μϊζα m=0,kg. α. Να βρεύτε τη δύναμη που αςκεύ το ςώμα Β ςτο ςώμα Α ςτισ θϋςεισ : i.) y=0 ii.) y=-0,5m iii.) y=+0,5m. β. Για ποια τιμό του πλϊτουσ ταλϊντωςησ το ςώμα Β θα εγκαταλεύψει το ςώμα Α όταν η περύοδοσ τησ ταλϊντωςησ εύναι Σ=s ; γ. Ποια εύναι η μϋγιςτη ςυχνότητα τησ ταλϊντωςησ για την οπούα το ςώμα Β δεν θα εγκαταλεύψει το ςώμα Α, όταν το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ εύναι 0,5m; Δύνονται : g=0m/s, π =0. Κ. Β.Φιρφιρής 46

47 47 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ [ Απ. (α) i.) -N ii.) -,5N iii.) -,5N (β) m (γ) Ηz ] 5. Σο ϋνα ϊκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ Κ=00Ν/m εύναι ςτερεωμϋνο ςε οριζόντιο δϊπεδο. το ϊλλο ϊκρο του εύναι ςταθερϊ ςυνδεδεμϋνοσ δύςκοσ Α μϊζασ Μ=,5Kg. Πϊνω ςτο δύςκο εύναι τοποθετημϋνο ςώμα Β μϊζασ m=0,5kg.σο ςύςτημα ιςορροπεύ. Να θεωρόςετε ότι η απομϊκρυνςη x του υλικού ςημεύου από τη θϋςη ιςορροπύασ του εύναι ημιτονικό ςυνϊρτηςη του χρόνου. [ Απ. (α) x 0, ( t )( SI) 3 (β) i.),5 0-3 J ii.) 3, J iii.) N ] 53. ώμα μϊζασ m=0,5kg εύναι δεμϋνο ςτο ϋνα ϊκρο ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ Κ=50Ν/m και ιςορροπεύ όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Πιϋζουμε το ςύςτημα κατακόρυφα προσ τα 5 κϊτω κατϊ A m και το αφόνουμε 0 ελεύθερο. α. Να δεύξετε ότι το ςώμα Β θα εγκαταλεύψει τον δύςκο Α. β. Ποια εύναι η ταχύτητα και η επιτϊχυνςη του ςώματοσ Β όταν εγκαταλεύπει το δύςκο ; γ. ε πόςο ύψοσ θα φτϊςει το ςώμα Β πϊνω από τη θϋςη ςτην οπούα εγκαταλεύπει το δύςκο ; Η αντύςταςη του αϋρα θεωρεύται αμελητϋα και g=0m/s. [ Απ. (α) εγκαταλεύπει ςτην θϋςη y=-0,m. (β) u=-m/s, a=0m/s (γ) h=0,m.] 5. Τλικό ςημεύο μϊζασ m=0,kg εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη πλϊτουσ A=0,m με περύοδο Σ=s. Ση χρονικό ςτιγμό t=0 το υλικό ςημεύο περνϊει από τη θϋςη x m κινούμενο κατϊ την αρνητικό κατεύθυνςη. α. Να γρϊψετε την εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ x ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. T β. Ση χρονικό ςτιγμό t να βρεύτε για το 4 υλικό ςημεύο ( 0 ) i.) Ση δυναμικό ενϋργεια. ii.) Ση κινητικό ενϋργεια iii.) Σο ρυθμό μεταβολόσ τησ ορμόσ του. Απομακρύνουμε τη μϊζα από τη θϋςη ιςορροπύασ τησ κατϊ τη διεύθυνςη του ϊξονα του ελατηρύου κατϊ 0,m προσ τα κϊτω και την αφόνουμε ελεύθερη. α. Να δεύξετε ότι το ςύςτημα μϊζασ-ελατηρύου θα εκτελϋςει απλό αρμονικό ταλϊντωςη και να υπολογύςετε την περύοδό τησ. β. Πόςη εύναι η μϋγιςτη δυναμικό ενϋργεια τησ ταλϊντωςησ ; γ. Πόςη εύναι η μϋγιςτη δυναμικό ενϋργεια του ελατηρύου ; δ. Να γρϊψετε την εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ τησ μϊζασ από τη θϋςη ιςορροπύασ τησ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο t=0 διϋρχεται από τη θϋςη y=+0, m κινούμενη προσ την αρνητικό κατεύθυνςη. Να θεωρόςετε ότι η απομϊκρυνςη y εύναι ημιτονικό ςυνϊρτηςη του χρόνου και g=0m/s [Απ. (α) Σ=π/5 s (β) J (γ),5j (δ) 5 y 0, (0 t )( SI) ] Δύο ςημεύα Γ και Δ βρύςκονται ςτο ύδιο οριζόντιο και απϋχουν μεταξύ τουσ l=0,9m. Πϊνω ςτη γραμμό που τα ενώνει μπορεύ να κινεύται χωρύσ τριβό υλικό ςημεύο Ν μϊζασ m= Kg το οπούο δϋχεται από τα ςημεύα Κ. Β.Φιρφιρής 47

48 48 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Γ και Β ελκτικϋσ δυνϊμεισ που ϋχουν μϋτρα FΓ=0,8 (ΓΝ) και FB=,6 (BN) αντύςτοιχα ςτο (SI). α. Να δεύξετε ότι το υλικό ςημεύο εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη. β. Αν το υλικό ςημεύο περνϊει από το ςημεύο Γ με ταχύτητα μϋτρου uγ=,5m/s ποιο εύναι το μϋτρο τησ ταχύτητασ του όταν περνϊει από το ςημεύο Β ; [Απ. (α) D=,4N/m (β) ub=3m/s] 55. Τλικό ςημεύο μϊζασ m=0,0kg εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη και η ολικό ενϋργεια εύναι Εολ=3 0-4 J. Η απομϊκρυνςη x του υλικού ςημεύου από τη θϋςη ιςορροπύασ εύναι ημιτονικό ςυνϊρτηςη του χρόνου και η επιτϊχυνςη του a ςυνδϋεται με την απομϊκρυνςη από την θϋςη ιςορροπύασ με τη ςχϋςη a=-6x (SI). α. Να βρεύτε την περύοδο και το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ. β. Να γρϊψετε την εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ x ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο, αν για to=0 το υλικό ςημεύο ϋχει U=K και κινεύται κατϊ τη θετικό κατεύθυνςη. [Απ. (α) Σ=π/ s, Α=0,m (β) i.) x 0, (4 t )( SI) 4 7 ii.) x 0, (4 t )( SI) ] Δύςκοσ μϊζασ Μ=3,75Kg εύναι ςυνδεδεμϋνοσ ςτο πϊνω ϊκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ k=400n/m του οπούου το ϊλλο ϊκρο ςτερεώνεται ςε ακλόνητο ςημεύο του δαπϋδου. Από ύψοσ h=0,75m πϊνω από το δύςκο αφόνεται να πϋςει ελεύθερο ϋνα ςφαιρύδιο μϊζασ m=0,5kg το οπούο ςυγκρούεται με το δύςκο μετωπικϊ και πλαςτικϊ.η διϊρκεια τησ κρούςησ θεωρεύται αμελητϋα. α. Να υπολογύςετε το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςυςτόματοσ. β. Να γρϊψετε την εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ του ςυςςωματώματοσ από τη θϋςη ιςορροπύασ του αν για t=0 δύνεται y=0 και u<0. Να θεωρόςετε ημιτονικό ςυνϊρτηςη του χρόνου (g=0m/s ). [Απ.(α) m (β) y=5 0-3 ημ(0t+π) (SI)] 57. φαύρα μϊζασ m=kg αφόνεται να πϋςει ελεύθερα από ύψοσ h=5m πϊνω από δύςκο μϊζασ Μ=0Kg, ο οπούοσ ιςορροπεύ ςυνδεδεμϋνοσ ςτη μύα ϊκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ k=000n/m, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Η ςφαύρα ςυγκρούεται μετωπικϊ με το δύςκο και η διϊρκεια τησ κρούςησ εύναι αμελητϋα. Μετϊ την κρούςη τησ με το δύςκο η ςφαύρα φτϊνει ςε ύψοσ h=,5m. Να βρεύτε α. τα μϋτρα των ταχυτότων τησ ςφαύρασ και του δύςκου αμϋςωσ μετϊ την κρούςη. β. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του δύςκου. γ. Σο ρυθμό μεταβολόσ τησ ορμόσ του δύςκου όταν βρύςκεται ςτισ ακραύεσ θϋςεισ τησ τροχιϊσ του. (g=0m/s ) [Απ. (α) 5m/s,5m/s (β) 0,5m (γ) -50N, 50N] 58. Από την κορυφό λεύου κεκλιμϋνου επιπϋδου γωνύασ κλύςησ φ=30 ο ςτερεώνεται διαμϋςου ιδανικού ελατηρύου ςώμα μϊζασ m=3kg και το ςύςτημα ιςορροπεύ πϊνω ςτο Κ. Β.Φιρφιρής 48

49 49 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ κεκλιμϋνο επύπεδο. Από τη βϊςη του κεκλιμϋνου επιπϋδου κινεύται προσ τα πϊνω ςώμα μϊζασ m=kg και αρχικόσ ταχύτητασ uo=5m/s που ϋχει τη διεύθυνςη του ϊξονα του ελατηρύου, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Η αρχικό απόςταςη των ςωμϊτων εύναι s=0,9m και η ςταθερϊ του ελατηρύου k=300nm -. Σα ςώματα ςυγκρούονται μετωπικϊ και η διϊρκεια τησ κρούςησ εύναι αμελητϋα. α. Πόςο εύναι το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςώματοσ m όταν η κρούςη εύναι ελαςτικό ; β. Όταν η κρούςη εύναι πλαςτικό να βρεύτε : i.) Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςυςςωματώματοσ. ii.) Ση μϋγιςτη παραμόρφωςη του ελατηρύου κατϊ την διϊρκεια τησ ταλϊντωςησ του ςυςςωματώματοσ (g=0m/s ) [Απ. α.) 0,m β.) i. 7/60 m ii. /60m (επιμόκυνςη) ] 59. Σο ςώμα του ςχόματοσ μϊζασ m=kg μπορεύ να εκτελϋςει απλό αρμονικό ταλϊντωςη. Σο οριζόντιο δϊπεδο εύναι λεύο και τα ελατόρια ιδανικϊ με ςταθερϋσ k=50n/m και k=50n/m. Εκτρϋπουμε το ςώμα από τη θϋςη ιςορροπύασ του ςτη θϋςη xo=+0,4m και τη χρονικό ςτιγμό t=0 το αφόνουμε ελεύθερο. Σαυτόχρονα από ύψοσ h πϊνω από τη θϋςη ιςορροπύασ αφόνεται να πϋςει ελεύθερα ςώμα μϊζασ m. α. Να βρεύτε το ύψοσ h ώςτε το ςώμα να ςυναντόςει το όταν διϋρχεται για πρώτη φορϊ από τη θϋςη ιςορροπύασ του. β. Αν τα ςώματα και ςυγκρούονται μετωπικϊ και πλαςτικϊ ςτη θϋςη 0, να βρεύτε το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςυςςωματώματοσ. Η διϊρκεια τησ κρούςησ εύναι πϊρα πολύ μικρό και η αντύςταςη του αϋρα αμελητϋα. (g=0m/s, π =0 ) [Απ. (α) /6m (β) 0,m] 60. ώμα μϊζασ m=kg εύναι ςυνδεδεμϋνο ςτο ϋνα ϊκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ k=400n/m και εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη πλϊτουσ xo=0,m κατϊ μόκουσ λεύου οριζόντιου επιπϋδου. Όταν το ςώμα διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ του ςυγκρούεται μετωπικϊ με ακύνητο ςώμα μϊζασ m=3kg. Η κρούςη εύναι μετωπικό και η διϊρκειϊ τησ αμελητϋα. Να βρεύτε το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ που εκτελεύται αν η κρούςη εύναι : α. ελαςτικό β. πλαςτικό [ Απ. (α) 0,05m (β) 0,05m ] 6. Σο ϋνα ϊκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ k=0 N/m εύναι ςτερεωμϋνο ςε οροφό. το ϊλλο ϊκρο του εύναι ςυνδεδεμϋνο ςώμα μϊζασ m=0,kg το οπούο εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη πλϊτουσ Α=0,m. Κϊποια ςτιγμό που θεωρούμε ωσ αρχό του χρόνου to=0 ενώ το ςώμα βρύςκεται ςτο μιςό του πλϊτουσ κατερχόμενο προσ τη θϋςη ιςορροπύασ του,ςυγκρούεται μετωπικϊ με ςώμα ύςησ μϊζασ, που ϋχει αντύθετη ταχύτητα. Να βρεύτε τισ εξιςώςεισ που περιγρϊφουν την κύνηςη κϊθε ςώματοσ αν η κρούςη εύναι : α. ελαςτικό. β. πλαςτικό. Η διϊρκεια τησ κρούςησ εύναι αμελητϋα. Ο ϊξονασ yy εύναι κατακόρυφοσ με φορϊ προσ τα κϊτω. Η απομϊκρυνςη από τη θϋςη ιςορροπύασ για την ταλϊντωςη εύναι ημιτονικό ςυνϊρτηςη του χρόνου.( g=0m/s ) Κ. Β.Φιρφιρής 49

50 50 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 6. Δύςκοσ μϊζασ Μ=Κg εύναι ςτερεωμϋνοσ ςτο πϊνω ϊκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ k=00n/m,του οπούου το ϊλλο ϊκρο εύναι ςτερεωμϋνο ςε οριζόντιο δϊπεδο. Πϊνω ςτο δύςκο κϊθεται ϋνα πουλύ μϊζασ m=0,kg και κϊποια ςτιγμό εκτινϊςςεται κατακόρυφα προσ τα πϊνω με ταχύτητα u=m/s. Να βρεύτε : α. Σο μϋτρο τησ ταχύτητασ που αποκτϊ ο δύςκοσ. β. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του δύςκου. γ. Ση μϋγιςτη δυναμικό ενϋργεια τησ ταλϊντωςησ. δ. Ση μϋγιςτη δυναμικό ενϋργεια του ελατηρύου (g=0m/s ) [ Απ. (α) 0,4m/s (β) 0,03m (γ) 0,09J (δ) 0,64 J ] 63. ώμα μϊζασ m=kg ιςορροπεύ ςυνδεδεμϋνο ςτο ϋνα ϊκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ k=00n/m του οπούου το ϊλλο ϊκρο ςτερεώνεται ςε οροφό (ςχόμα ΕΛ 5). Βλόμα ύςησ μϊζασ με το κινεύται κατακόρυφα προσ τα πϊνω και ςυγκρούεται με ταχύτητα μϋτρου uo 6 m / s μετωπικϊ και πλαςτικϊ με το ςώμα τη χρονικό ςτιγμό to=0. α. Να βρεύτε το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςυςςωματώματοσ. β. Μετϊ πόςο χρόνο από τη ςτιγμό τησ κρούςησ to=0 η ταχύτητα του ςυςςωματώματοσ θα μηδενιςτεύ για πρώτη φορϊ ; γ. Να βρεύτε για το χρονικό διϊςτημα του ερωτόματοσ (β), i.) Σο ϋργο τησ δύναμησ του ελατηρύου. ii.) την ώθηςη του βϊρουσ. iii.) την ώθηςη τησ δύναμησ του ελατηρύου. δ. Να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ τησ ορμόσ του ςυςςωματώματοσ. i.) αμϋςωσ μετϊ τη κρούςη. ii.) όταν βρύςκεται ςτισ ακραύεσ θϋςεισ τησ κύνηςόσ του. Να θεωρόςετε ότι η απομϊκρυνςη από τη θϋςη ιςορροπύασ εύναι ημιτονικό ςυνϊρτηςη του χρόνου (g=0m/s ) [ Απ. (α) 0,m (β) 30 s (γ) i. 0,5 J ii. Ns iii. ( 3) Ns 3 3 (δ) i.) -0N ii.) -0N, 0N ] 64. Κύβοσ μϊζασ m=0kg ιςορροπεύ τοποθετημϋνοσ πϊνω ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο. τη μύα κατακόρυφη ϋδρα του κύβου εύναι δεμϋνη η μύα ϊκρη ιδανικού οριζόντιου ελατηρύου ςταθερϊσ k=50n/m, του οπούου η ϊλλη ϊκρη εύναι δεμϋνη ςε ςταθερό ςημεύο κατακόρυφου τούχου. Σο ελατόριο βρύςκεται ςτο φυςικό του μόκοσ.την απϋναντι κατακόρυφη ϋδρα του κύβου εύναι δεμϋνο μη ελαςτικό και αβαρϋσ νόμα το οπούο ϋχει όριο θραύςησ Fθ=0Ν. Μϋςω του νόματοσ αςκούμε ςτο ςώμα δύναμη κατϊ την διεύθυνςη του ϊξονα του ελατηρύου και με φορϊ τϋτοια ώςτε το ελατόριο να επιμηκύνεται.σο μϋτρο τησ δύναμησ μεταβϊλλεται με τη επιμόκυνςη x του ελατηρύου ςύμφωνα με την εξύςωςη F=80+00x (SI). Να βρεύτε : α. Ση δυναμικό ενϋργεια του ελατηρύου. Κ. Β.Φιρφιρής 50

51 5 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ β. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ που θα εκτελϋςει το ςύςτημα ελατόριο-κύβοσ. γ. μετϊ από πόςο χρόνο από τη ςτιγμό to=0 που κόβεται το νόμα θα περϊςει ο κύβοσ από τη θϋςη ιςορροπύασ ; Να θεωρόςετε ϊξονα xx με αρχό τη θϋςη ιςορροπύασ του κύβου και θετικό φορϊ εκεύνη κατϊ την οπούα το ελατόριο επιμηκύνεται. [Απ. (α) 5J (β) 0,4m (γ) s ] Ένα ςώμα εκτελεύ Α.Α.Σ κατϊ μόκοσ του ϊξονα xοx μεταξύ των θϋςεων x=-cm και x=6cm. Η χρονικό διϊρκεια μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενιςμών τησ κινητικόσ ενϋργειασ εύναι Δt=0,s. Να βρεύτε : α. Σην ςυντεταγμϋνη τησ θϋςησ ιςορροπύασ. β. Ση ςυχνότητα τησ ταλϊντωςησ. γ. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ. δ. Ση μϋγιςτη ταχύτητα τησ ταλϊντωςησ. 66. Η ολικό ενϋργεια ταλϊντωςησ ενόσ ςώματοσ που εκτελεύ Α.Α.Σ. εύναι Εολ=4J και η μϋγιςτη τιμό τησ δύναμησ που ενεργεύ πϊνω του εύναι 00Ν. Η μϊζα του ςώματοσ εύναι m=kg. Αν για to=0 το ςώμα διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ κινούμενο προσ τη αρνητικό κατεύθυνςη. Να βρεύτε τισ χρονικϋσ εξιςώςεισ a=f(t), x=f(t), u=f(t), F=f(t). 67. το παρακϊτω ςχόμα η μϊζα του ςώματοσ εύναι m=500gr και το ελατόριο ϋχει ςταθερϊ Κ=00Ν/m.Σο ϋνα ϊκρο του ελατηρύου εύναι ςτερεωμϋνο ςε ακλόνητο ςημεύο ενώ ςτο ϊλλο ϊκρο του εύναι ςτερεωμϋνο το ςώμα.σο οριζόντιο δϊπεδο εύναι λεύο. Αρχικϊ το ελατόριο ϋχει το φυςικό του μόκοσ. Εκτρϋπουμε το ςώμα από τη θϋςη ιςορροπύασ κατϊ x=0cm και το αφόνουμε ελεύθερο. α. Να βρεύτε την χρονικό εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ θεωρώντασ για to=0 τη ςτιγμό που αφόνουμε το ςώμα. β. Αν ςτη θϋςη x=0cm εκτοξεύςουμε το ςώμα με αρχικό ταχύτητα u 3 m/ s ςτην οριζόντια διεύθυνςη O β. Ποιεσ εύναι οι πιθανϋσ χρονικϋσ εξιςώςεισ που περιγρϊφουν την απομϊκρυνςη του κινητού από τη θϋςη ιςορροπύασ ; β. Πόςη εύναι η ολικό ενϋργεια ταλϊντωςησ του ςυςτόματοσ ; 68. Η απόςταςη μεταξύ των ακραύων θϋςεων Γ και Δ ςε μύα απλό αρμονικό ταλϊντωςη που εκτελεύ ϋνα ςώμα εύναι 40cm. Όταν το ςώμα βρύςκεται ςτο ςημεύο Β τησ τροχιϊσ για το οπούο ιςχύει ΓΒ=3ΒΔ δϋχεται ςυνιςταμϋνη δύναμη F=8N και η ταχύτητα του ϋχει μϋτρο u 3 m/ s.να βρεύτε : α. Ση ςυχνότητα ταλϊντωςησ. β. Ση μϊζα του ςώματοσ. γ. Μετϊ από πόςο χρόνο από τη ςτιγμό που το ςώμα βρύςκεται ςτη θϋςη Β και κινεύται προσ το Δ η ταχύτητα μηδενύζεται για πρώτη φορϊ ; 69. ε ςύςτημα Α.Α.Σ η μϊζα του ςώματοσ εύναι Kg και η ςταθερϊ του ελατηρύου Κ=400N/m. Όταν η απομϊκρυνςη του ςώματοσ εύναι 0 cm η δυναμικό ενϋργεια ταλϊντωςησ εύναι ύςη με τη κινητικό ενϋργεια. Να βρεύτε : α. Σο πλϊτοσ τησ Α.Α.Σ β. Σισ μϋγιςτεσ τιμϋσ των μεγεθών F,u και a. 70. Ένα ςώμα που εκτελεύ Α.Α.Σ. με Α=0,4cm τη χρονικό ςτιγμό to =0 βρύςκεται ςτη θϋςη x=-a/ κινούμενο προσ θετικό κατεύθυνςη. Μετϊ από χρονικό διϊρκεια Δt=/5s (t- to=/5s ) η ταχύτητα του μηδενύζεται για πρώτη φορϊ ενώ το ϋργο τησ δύναμησ επαναφορϊσ εύναι -8J. Να βρεθούν : α. Η μϊζα του ςώματοσ. β. Η ςταθερϊ επαναφορϊσ (D). γ. Να γραφούν οι εξιςώςεισ x=f(t), u=f(t),a=f(t). δ. Για πόςο χρόνο ανϊ περύοδο η δύναμη επαναφορϊσ ϋχει μϋτρο μεγαλύτερο από 60Ν. 7. Ένα ςώμα μϊζασ m=0,kg μπορεύ να εκτελεύ Α.Α.Σ. με ω=0r/s.σο ςωματύδιο διεγεύρεται ςε ταλϊντωςη με ολικό ενϋργεια ταλϊντωςησ Εολ=0J. Να βρεθούν : α. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ. β. Η μϋγιςτη ταχύτητα και η μϋγιςτη επιτϊχυνςη. γ. Ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ ορμόσ του όταν ϋχει απομϊκρυνςη x=30cm. Κ. Β.Φιρφιρής 5

52 5 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ δ. Ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ κινητικόσ ενϋργειασ όταν ϋχει απομϊκρυνςη x=30cm. 7. Ένα ςώμα μϊζασ m=kg εύναι ςτερεωμϋνο ςτη μύα ϊκρη οριζόντιου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ k=00n/m. Η ϊλλη ϊκρη του ελατηρύου εύναι ςτερεωμϋνη ςε ακλόνητο ςημεύο. Αρχικϊ το ςώμα ηρεμεύ ςτη θϋςη Ο και το ελατόριο ϋχει το φυςικό του μόκοσ. Εφαρμόζουμε ςτο ςώμα ςταθερό οριζόντια δύναμη F=0N η οπούα μετατοπύζει το ςώμα επιμηκύνοντασ το ελατόριο. Όταν το ςώμα μετατοπιςτεύ κατϊ Δx=0cm ςταματϊμε να αςκούμε την F. α. Να δεύξετε ότι το ςώμα μετϊ την κατϊργηςη τησ F θα εκτελϋςει Α.Α.Σ β. Να γρϊψετε τισ ςχϋςεισ που δύνουν την απομϊκρυνςη, την ταχύτητα και την επιτϊχυνςη του ςώματοσ ςε ςχϋςη με το χρόνο.(θεωρόςτε ςαν to=0 τη ςτιγμό που καταργεύται η F ). γ. Μετϊ από πόςο χρόνο για πρώτη φορϊ από τη ςτιγμό που καταργεύται η F η ταχύτητα του ςώματοσ θα μηδενιςτεύ ; δ. Όταν u=0 με τη ρυθμό μεταβϊλλεται : δ. Η κινητικό ενϋργεια του ςώματοσ δ. Η ορμό του ςώματοσ. 73. την κατακόρυφη διϊταξη του ςχόματοσ το ελατόριο ϋχει k=400n/m και το ανώτερο ϊκρο του εύναι ςτερεωμϋνο. m m h O F το κϊτω ϊκρο του ελατηρύου εύναι ςτερεωμϋνο ςώμα μϊζασ m=m.με τη βοόθεια λεπτού και αβαρούσ νόματοσ ςυνδϋουμε την m με ςώμα μϊζασ m=m. Σο m απϋχει από το δϊπεδο h=5m. Για to=0 κόβουμε το νόμα. Μϋχρι η m να φτϊςει ςτο ϋδαφοσ η m ϋχει επιςτρϋψει για πρώτη φορϊ ςτην αρχικό τησ θϋςη. α. Να δεύξετε ότι η m αφού κοπεύ το νόμα εκτελεύ Α.Α.Σ και να βρεύτε την περύοδο τησ κύνηςησ. β. Να βρεύτε το πλϊτοσ τησ Α.Α.Σ. που θα εκτελϋςει η m. γ. Να γρϊψετε την εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ τησ m από τη θϋςη ιςορροπύασ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. ( Η φορϊ προσ τα πϊνω να θεωρηθεύ θετικό.) δ. Πότε το ελατόριο για πρώτη φορϊ αφού κοπεύ το νόμα αποκτϊ το φυςικό του μόκοσ ; Με τη ρυθμό μεταβϊλλεται η κινητικό του ενϋργεια και η ορμό εκεύνη τη ςτιγμό ; Δύνονται g=0m/s π = Ένα ςώμα ιςορροπεύ δεμϋνο ςτο ανώτερο ϊκρο κατακόρυφου ελατηρύου που το ϊλλο ϊκρο του εύναι ςτερεωμϋνο ςτο δϊπεδο όπωσ φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμα. Δl Δl F Σο ελατόριο αρχικϊ εύναι παραμορφωμϋνο κατϊ 0cm.Αςκώντασ την κατϊλληλη δύναμη ςυμπιϋζουμε το ελατόριο μϋχρι να διπλαςιϊςουμε την παραμόρφωςη του χωρύσ να αποκτόςει το ςώμα ταχύτητα. Ση χρονικό ςτιγμό to=0 αφόνουμε το ςύςτημα ελεύθερο. α. Να δεύξετε ότι το ςώμα θα εκτελϋςει Α.Α.Σ. β. Αν για to=0 το ελατόριο ϋχει αποθηκευμϋνη ενϋργεια Uελατ.=0,8J να βρεθούν i.) Η μϊζα του ςώματοσ. ii.) Η περύοδοσ τησ ταλϊντωςησ. γ. Θεωρώντασ θετικό τη φορϊ προσ τα πϊνω να γρϊψετε τισ εξιςώςεισ : x=f(t), u=f(t), a=f(t). δ. Σο ϋργο τησ δύναμησ ταλϊντωςησ (F) ςτο χρονικό διϊςτημα από to=0 ϋωσ το ςώμα αποκτόςει την μϋγιςτη ταχύτητα. + t o =0 Κ. Β.Φιρφιρής 5

53 53 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ε. Με τη ρυθμό μεταβϊλλεται η κινητικό ενϋργεια και η ορμό του ςώματοσ όταν αυτό αποκτόςει μϋγιςτη ταχύτητα ; 75. την οριζόντια διϊταξη του ςχόματοσ το δϊπεδο εύναι λεύο και το ςώμα μπορεύ να ολιςθαύνει χωρύσ τριβϋσ. k k β. Μετϊ από πόςο χρόνο από to=0, u=umax για πρώτη φορϊ ; 77. τη διϊταξη του ςχόματοσ το ελατόριο εύναι οριζόντιο και μεταξύ του (m=3kg) και του δαπϋδου δεν εμφανύζονται τριβϋσ. Σ Σο ςώμα m=kg εύναι ςτερεωμϋνο ςτην ϊκρη ιδανικού ελατηρύου με k=00n/m του οπούου η ϊλλη εύναι ςτερεωμϋνη ςε ακλόνητο ςημεύο.τη θϋςη ιςορροπύασ (Ο) το ςώμα εφϊπτεται ςε δεύτερο ελατόριο ςταθερϊσ k=300n/m και τα δύο ελατόρια ϋχουν το φυςικό τουσ μόκοσ. Εκτρϋπουμε το ςώμα ώςτε το ελατόριο (k) να ςυμπιεςτεύ κατϊ Δx=0cm και το αφόνουμε ελεύθερο. k Δx + α. Να περιγρϊψετε την περιοδικό κύνηςη που θα εκτελϋςει το ςώμα. β. Να υπολογύςετε την περύοδο τησ παραπϊνω κύνηςησ. γ. Να παραςτόςετε γραφικϊ την απομϊκρυνςη του ςώματοσ από τη θϋςη ιςορροπύασ ςε ςχϋςη με το χρόνο, θεωρώντασ για to=0 τη ςτιγμό που αφόνουμε το ςώμα ελεύθερο και τη φορϊ προσ τα δεξιϊ θετικό. 76. Ένα ςώμα μϊζασ m=0,kg διεγεύρεται ςε Α.Α.Σ. ϋχοντασ ολικό ενϋργεια ταλϊντωςησ Εολ=0,4J και επιτϊχυνςη που δύνεται από τη ςχϋςη : a=-00x ( x η απομϊκρυνςη του ςώματοσ από τη θϋςη ιςορροπύασ.) Για to=0 ϋχουμε a>0 u<0 και U=K. α. Να γραφούν οι εξιςώςεισ x=f(t), U=f(t),a=f(t), dk dp f() t, f() t dt dt k Μεταξύ των και ο ςυντελεςτόσ οριακόσ τριβόσ εύναι μ=0,4. Η ςταθερϊ του ελατηρύου εύναι k=400n/m. Σο ςύςτημα των ςωμϊτων εκτελεύ Α.Α.Σ. χωρύσ το να ολιςθαύνει πϊνω ςτο. α. Να βρεύτε τισ ςταθερϋσ επαναφορϊσ D και D για τα ςώματα. β. Ποιο εύναι το μϋγιςτο πλϊτοσ ταλϊντωςησ ώςτε το να μην ολιςθόςει πϊνω ςτο ; γ. Για το μϋγιςτο πλϊτοσ ταλϊντωςησ να παραςτόςετε γραφικϊ τη ςτατικό τριβό που δϋχεται το ςε ςχϋςη : i.) με το χρόνο ii.) με την ταχύτητα. 78. ώμα μϊζασ m=0,5kg εκτελεύ Α.Α.Σ. ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο δεμϋνο ςτο ϊκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρύου με k=60n/m που το ϊλλο ϊκρο του εύναι ςτερεωμϋνο ςε ακλόνητο ςημεύο. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ εύναι Α=0,m. Ο Ση ςτιγμό που το ςώμα διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ κινούμενο προσ τη θετικό κατεύθυνςη ςυγκρούεται πλαςτικϊ με δεύτερο ςώμα () μϊζασ m=3m που κινεύται με ταχύτητα u=m/s ςε αντύθετη κατεύθυνςη με την m. Να βρεύτε : α. Σο πλϊτοσ και την περύοδο τησ ταλϊντωςησ που θα εκτελϋςει το ςυςςωμϊτωμα. β. Θεωρώντασ για to=0 την ςτιγμό τησ κρούςησ να γρϊψετε τισ εξιςώςεισ : x=f(t), u=f(t),a=f(t) γ. Αν η κρούςη μεταξύ των m και m εύναι ελαςτικό : Κ. Β.Φιρφιρής 53

54 54 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ i.) Ποιο εύναι το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του μετϊ την κρούςη ; ii.) Ποιο ποςοςτό τησ κινητικόσ ενϋργειασ τησ m μεταφϋρθηκε ςτην m κατϊ την κρούςη ; iii.) Να εξετϊςετε αν τα m και m θα ςυγκρουςτούν για δεύτερη φορϊ. iv.) Αν το m και m ςυγκρούονται και δεύτερη φορϊ, πόςοσ χρόνοσ μεςολαβεύ μεταξύ των κρούςεων. 79. ώμα μϊζασ m=3kg εύναι ςτερεωμϋνο ςτην ϊκρη οριζοντύου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ Κ=400 Ν/m, του οπούου το ϊλλο ϊκρο εύναι ακλόνητα ςτερεωμϋνο. Σο ςώμα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο με περύοδο Σ και πλϊτοσ Α=0,4m.Ση χρονικό ςτιγμό t0 το ςώμα βρύςκεται ςτη θϋςη τησ μϋγιςτησ θετικόσ απομϊκρυνςησ. Ση χρονικό ςτιγμό T t, ϋνα ςώμα μϊζασ 6 m=kg που κινεύται ςτην ύδια κατεύθυνςη με το ςώμα μϊζασ m και ϋχει ταχύτητα μϋτρου u=8 m/s ςυγκρούεται κεντρικϊ και πλαςτικϊ με αυτό. Να υπολογύςετε: α. την αρχικό φϊςη τησ ταλϊντωςησ του ςώματοσ μϊζασ m β. τη θϋςη ςτην οπούα βρύςκεται το ςώμα μϊζασ m τη ςτιγμό τησ ςύγκρουςησ. γ. την περύοδο τησ ταλϊντωςησ του ςυςςωματώματοσ. δ. την ενϋργεια τησ ταλϊντωςησ μετϊ την κρούςη. 3 Δύνονται:, Σα ςώματα και αμελητϋων διαςτϊςεων, με μϊζεσ m=kg και m=3kg αντύςτοιχα εύναι τοποθετημϋνα ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο.σο ςώμα εύναι δεμϋνο ςτη μύα ϊκρη οριζοντύου ελατηρύου ςταθερϊσ k=00n/m. Η ϊλλη ϊκρη του ελατηρύου, εύναι ακλόνητα ςτερεωμϋνη. Σο ελατόριο με τη βοόθεια νόματοσ εύναι ςυςπειρωμϋνο κατϊ 0,m όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Σο ιςορροπεύ ςτο οριζόντιο επύπεδο ςτη θϋςη που αντιςτοιχεύ ςτο φυςικό μόκοσ lo του ελατηρύου. Κϊποια χρονικό ςτιγμό κόβουμε το νόμα και το ςώμα κινούμενο προσ τα δεξιϊ ςυγκρούεται κεντρικϊ και ελαςτικϊ με το ςώμα. Θεωρώντασ ωσ αρχό μϋτρηςησ των χρόνων τη ςτιγμό τησ κρούςησ και ωσ θετικό φορϊ κύνηςησ την προσ τα δεξιϊ, να υπολογύςετε : α. Σην ταχύτητα του ςώματοσ λύγο πριν την κρούςη του με το ςώμα β. Σισ ταχύτητεσ των ςωμϊτων και, αμϋςωσ μετϊ την κρούςη. γ. Σην απομϊκρυνςη του ςώματοσ, μετϊ την κρούςη, ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. δ. Σην απόςταςη των ςωμϊτων και όταν το ςώμα ακινητοποιεύται για δεύτερη φορϊ ςτιγμιαύα. Δεχθεύτε την κύνηςη του ςώματοσ πριν και μετϊ την κρούςη ωσ Α.Α.Σ. ςταθερϊσ k. Δύνεται π=3,4. 8. τη διϊταξη του διπλανού ςχόματοσ τα οριζόντια ελατόρια ϋχουν ςταθερϋσ k=50n/m και k=50n/m αντύςτοιχα. lo k m Οι μϊζεσ των ςωμϊτων εύναι m=0,5kg και m=,5kg, το οριζόντιο επύπεδο εύναι λεύο. Αρχικϊ τα ςώματα ηρεμούν ςτισ θϋςεισ ιςορροπύασ τουσ όπου τα ελατόρια ϋχουν το φυςικό τουσ μόκουσ και η απόςταςη μεταξύ των ςωμϊτων εύναι d=0cm. Απομακρύνουμε την m από τη θϋςη ιςορροπύασ τησ κατϊ 40cm ςυμπιϋζοντασ το ελατόριο και την αφόνουμε ελεύθερη. α. Μετϊ από πόςο χρόνο από τη ςτιγμό που αφϋθηκε η m θα ςυγκρουςτεύ με την m β. Αν η κρούςη των ςωμϊτων εύναι πλαςτικό (τα ςώματα κολλϊνε μετϊ την κρούςη) i.) Ποιο ποςοςτό τησ ολικόσ ενϋργειασ ταλϊντωςησ ϋγινε θερμότητα μετϊ την κρούςη; ii.) Ποια εύναι η περύοδοσ και ποιο το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ που θα προκύψει (δύνεται π=3,4 και π =0 ) Κ. Β.Φιρφιρής 54 m lo k

55 55 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 8. τη διϊταξη του παρακϊτω ςχόματοσ το ςώμα μϊζασ m=0,5kg μπορεύ να ταλαντώνεται ςτερεωμϋνο ςτην ϊκρη οριζοντύου ιδανικού ελατηρύου. Σο οριζόντιο επύπεδο εύναι λεύο ώςτε να μην εμφανύζονται τριβϋσ κατϊ την ολύςθηςη του ςώματοσ. + O Απομακρύνουμε την m από τη θϋςη ιςορροπύασ ςυμπιϋζοντασ το ελατόριο κατϊ Δl=0,5m και την αφόνουμε ελεύθερη να εκτελϋςει Α.Α.Σ. Σαυτόχρονα από ύψοσ h=/8m πϊνω από το Ο αφόνουμε να πϋςει δεύτερο ςώμα μϊζασ m=,5kg. Σα ςώματα ςυγκρούονται ςτο Ο όταν το διϋρχεται πρώτη φορϊ από το ςημεύο αυτό. Αν η κρούςη εύναι πλαςτικό : α. Να βρεύτε την k του ελατηρύου. β. Ποιο εύναι το πλϊτοσ τησ Α.Α.Σ. που θα εκτελϋςει το ςυςςωμϊτωμα. γ. Ποιο ποςοςτό τησ μηχανικόσ ενϋργειασ μετατρϊπηκε ςε θερμότητα; δ. Θεωρώντασ ςαν to=0 την ςτιγμό τησ κρούςησ να γρϊψετε τισ εξιςώςεισ απομϊκρυνςησ και ταχύτητασ του ςυςςωματώματοσ μετϊ την κρούςη. Δύνεται π =0, g=0m/s. ΥΘΙΝΟΤΕ ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ 00.Ένα ταλαντευόμενο ςώμα δϋχεται δύναμη απόςβεςησ Fa=-bu όπου b εύναι μύα ςταθερϊ που ονομϊζεται ςταθερϊ απόςβεςησ Ποιεσ από τισ παρακϊτω προτϊςεισ εύναι ςωςτϋσ () ό λανθαςμϋνεσ (Λ) α. Η μονϊδα μϋτρηςησ τησ ςταθερϊσ απόςβεςησ b εύναι Kg/s. β. Η μονϊδα μϋτρηςησ τησ ςταθερϊσ απόςβεςησ εύναι Ν/m γ.) Η ςταθερϊ απόςβεςησ εύναι αδιϊςτατο μϋγεθοσ ϊρα δεν χρειϊζεται μονϊδα μϋτρηςησ 0. Να ςυμπληρώςετε την παρακϊτω πρόταςη με μύα από τισ α,β,γ Όταν αυξϊνει η ςταθερϊ απόςβεςησ b : m Γ α. Η περύοδοσ τησ ταλϊντωςησ του ςυςτόματοσ αυξϊνει. β. Η περύοδοσ ταλϊντωςησ του ςυςτόματοσ μειώνεται. γ. Η περύοδοσ ταλϊντωςησ του ςυςτόματοσ παραμϋνει ςταθερό. 0. Φαρακτηρύςτε τισ παρακϊτω προτϊςεισ ωσ ςωςτϋσ () ό λανθαςμϋνεσ (Λ). α. Η περύοδοσ Σ ςε μύα φθύνουςα ταλϊντωςη εύναι λύγο μεγαλύτερη από την περύοδο Σο που θα εύχε αν η ταλϊντωςη εύναι αμεύωτη. β. Όταν αυξϊνεται η ςταθερϊ απόςβεςησ ςε μύα φθύνουςα ταλϊντωςη αυξϊνεται ο ρυθμόσ με το οπούο μειώνεται το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ. γ. Για μύα ςυγκεκριμϋνη τιμό τησ ςταθερϊσ απόςβεςησ b η περύοδοσ παραμϋνει ςταθερό ςε όλη τη διϊρκεια του φαινομϋνου. 03. Να ςυμπληρώςετε την παρακϊτω πρόταςη με μύα από τισ α, β και γ. Οι απώλειεσ ενϋργειασ ςε ϋνα κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώςεων οφεύλεται : α. τισ ωμικϋσ αντιςτϊςεισ του κυκλώματοσ. β. την ακτινοβολύα ενϋργειασ ςτο περιβϊλλον. γ. Κατϊ κύριο λόγω ςτισ ωμικϋσ αντιςτϊςεισ του κυκλώματοσ αλλϊ και ςτην ακτινοβολύα ενϋργειασ ςτο περιβϊλλον. 04. Από τισ παρακϊτω προτϊςεισ α,β,γ,δ να επιλϋξετε την ςωςτό : ε μύα φθύνουςα ταλϊντωςη : α. Ο χρόνοσ που απαιτεύται να ελαττωθεύ το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ από το αρχικό Αο ςτο μιςό (Αο/) εύναι ύδιοσ με το χρόνο που απαιτεύται να ελαττωθεύ το πλϊτοσ από Αο/ ςε Αο/4. β. Ο χρόνοσ που απαιτεύται να ελαττωθεύ το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ από το αρχικό Αο ςτο μιςό (Αο/) εύναι διπλϊςιοσ του χρόνου που απαιτεύται να ελαττωθεύ το πλϊτοσ από Αο/ ςε Αο/4. γ. Ο χρόνοσ που απαιτεύται να ελαττωθεύ το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ από το αρχικό Αο ςτο μιςό (Αο/) εύναι μιςόσ του χρόνου που απαιτεύται να ελαττωθεύ το πλϊτοσ από Αο/ ςε Αο/4. Κ. Β.Φιρφιρής 55

56 56 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ δ. Ο χρόνοσ που απαιτεύται να ελαττωθεύ το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ από το αρχικό Αο ςτο μιςό (Αο/) εύναι ανεξϊρτητοσ από την ςταθερϊ απόςβεςησ (b). 05. ε μύα φθύνουςα ταλϊντωςη όπου το πλϊτοσ μεταβϊλλεται ςύμφωνα με τη ςχϋςη Α=Αοe -Λt, διαπιςτώνουμε ότι για t=3t το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ εύναι Α=Αο/8. Ση χρονικό ςτιγμό t=3t το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ εύναι : α. Αο β. Αο / γ. Αο/4 δ. Αο /6 06. ε μύα φθύνουςα ηλεκτρικό ταλϊντωςη όπου Ι=Ιοe -Λt για to=0 Io=4mA ενώ για t=t I=mA. Για t=t το πλϊτοσ τησ ϋνταςησ του ρεύματοσ εύναι : α. 4mA β. 3mA γ. ma δ. ma. 07. Για κύκλωμα RLC να χαρακτηρύςετε τισ παρακϊτω προτϊςεισ ωσ ςωςτϋσ () ό λανθαςμϋνεσ (Λ). τισ φθύνουςεσ ηλεκτρικϋσ ταλαντώςεισ : α. Η περύοδοσ τησ ταλϊντωςησ εύναι ςταθερό για οριςμϋνη τιμό τησ αντύςταςησ R. β. Όταν αυξϊνεται η αντύςταςη R μειώνεται η περύοδοσ τησ ταλϊντωςησ. γ. Ο ρυθμόσ μεύωςησ του πλϊτουσ αυξϊνεται, όταν αυξϊνεται η αντύςταςη. δ. Σο πλϊτοσ τησ ϋνταςησ του ρεύματοσ εύναι αύξουςα ςυνϊρτηςη του χρόνου. 08. ε μύα φθύνουςα ταλϊντωςη για to=0 εύναι Αο=8cm.Μετϊ από τρεισ πλόρεισ ταλαντώςεισ το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ γύνεται Α=cm. Α. Ποιο εύναι το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ μετϊ από μύα πλόρη ταλϊντωςη ; Β. Πόςο % μεταβϊλλεται η αρχικό ολικό ενϋργεια ταλϊντωςησ μετϊ από πλόρεισ ταλαντώςεισ ; 09. ε μύα φθύνουςα ταλϊντωςη όπου Α=Αοe -Λt μετϊ από πλόρεισ ταλαντώςεισ το πλϊτοσ μειώνεται ςτο μιςό. Α.) Να βρεύτε την περύοδο τησ ταλϊντωςησ. Β.) Ποια χρονικό ςτιγμό η ολικό ενϋργεια ταλϊντωςησ γύνεται το /6 τησ αρχικόσ. ΕΞΑΝΑΓΚΑΜΕΝΕ ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ. Μύα ςημειακό μϊζα m=kg εύναι δεμϋνη ςτο κϊτω ϊκρο κατακόρυφου ελατηρύου με k=00n/m. Όταν το ςύςτημα ταλαντώνεται εκτελεύ φθύνουςα αρμονικό ταλϊντωςη εξαιτύασ τησ δύναμησ απόςβεςησ που δύνεται από τη ςχϋςη : F=-0,u (SI). Για να διατηρεύται το πλϊτοσ ςταθερό εφαρμόζουμε ςτο ςύςτημα Κ-m κατϊλληλη εξωτερικό δύναμη ςυχνότητασ fδ=0/π Ηz. α. Να γρϊψετε την εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ και τησ ταχύτητασ επιλϋγοντασ για to=0 τη χρονικό ςτιγμό που το ςώμα διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ κινούμενο προσ τη θετικό κατεύθυνςη. β. Να γρϊψετε την χρονικό εξύςωςη του ρυθμού απορρόφηςησ ενϋργειασ από τον ταλαντωτό. γ. Αν αυξόςουμε την ςυχνότητα διϋγερςησ ςε fδ=5/π Ηz, το πλϊτοσ τησ εξαναγκαςμϋνησ ταλϊντωςησ : i.) Θα αυξηθεύ ii.) Θα μειωθεύ iii.) Θα παραμεύνει ύδιο. Να επιλϋξετε την ςωςτό απϊντηςη αιτιολογώντασ την απϊντηςό ςασ..την αύθουςα του εργαςτηρύου ϋνασ μαθητόσ αφόνει μύα ςφαύρα με m=00gr να πϋςει από μεγϊλο ύψοσ και διαπιςτώνει ότι αυτό αποκτϊ ςταθερό ( οριακό ) ταχύτητα uορ=,5m/s. τη ςυνϋχεια ςτερεώνει τη ςφαύρα ςτην κατώτερη ϊκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρύου με k=80n/m. Για to=0 αφόνει το ςύςτημα να εκτελϋςει Α.Α.Σ. από τη θϋςη που αντιςτοιχεύ ςτο φυςικό μόκοσ του ελατηρύου. α. Να γρϊψετε την εξύςωςη τησ εξωτερικόσ δύναμησ που πρϋπει να αςκεύται ςτη ςφαύρα ώςτε να εκτελεύ αμεύωτη ταλϊντωςη με το ύδιο πλϊτοσ που θα ταλαντωνόταν αν δεν υπόρχαν αποςβϋςεισ. β. Με ποιο μϋγιςτο ρυθμό απορροφϊ ενϋργεια το ςύςτημα ςε αυτό την περύπτωςη ; Να θεωρόςετε την φορϊ προσ τα πϊνω θετικό. Δύνεται g=0m /s Κ. Β.Φιρφιρής 56

57 57 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΘΕΜΑΣΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ο ΘΕΜΑ Α. Ερωτήςεισ πολλαπλήσ επιλογήσ. Τλικό ςημεύο εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη υπό την επύδραςη ςυνιςταμϋνησ δύναμησ F. Αν x εύναι η απομϊκρυνςη του ςημεύου από τη θϋςη ιςορροπύασ του και D θετικό ςταθερϊ, τότε για τη δύναμη ιςχύει: α. F = D β. F = D x γ. F = D x δ. F = 0. Ο ωροδεύκτησ ενόσ ρολογιού ϋχει περύοδο ςε ώρεσ (h): α. h β. h γ. 4h δ. 48h 3. ε μια εξαναγκαςμϋνη ταλϊντωςη η ςυχνότητα του διεγϋρτη εύναι μικρότερη από την ιδιοςυχνότητα του ταλαντωτό. Αυξϊνουμε ςυνεχώσ τη ςυχνότητα του διεγϋρτη. Σο πλϊτοσ τησ εξαναγκαςμϋνησ ταλϊντωςησ θα: α. αυξϊνεται ςυνεχώσ. β. μειώνεται ςυνεχώσ. γ. μϋνει ςταθερό. δ. αυξϊνεται αρχικϊ και μετϊ θα μειώνεται. 4. ώμα ςυμμετϋχει ταυτόχρονα ςε δύο απλϋσ αρμονικϋσ ταλαντώςεισ που περιγρϊφονται από τισ ςχϋςεισ x=αημωt και x=aημωt, των οπούων οι ςυχνότητεσ ω και ω διαφϋρουν λύγο μεταξύ τουσ. Η ςυνιςταμϋνη ταλϊντωςη ϋχει: α. ςυχνότητα (ω ω). β. ςυχνότητα ω+ω. γ. πλϊτοσ που μεταβϊλλεται μεταξύ των τιμών μηδϋν και Α. δ. πλϊτοσ που μεταβϊλλεται μεταξύ των τιμών μηδϋν και Α. 5. Αν ςτον αρμονικό ταλαντωτό εκτόσ από την ελαςτικό δύναμη επαναφορϊσ ενεργεύ και δύναμη αντύςταςησ F = - bυ, με b = ςταθερό, το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ μεταβϊλλεται με το χρόνο ςύμφωνα με την εξύςωςη (για Λ > 0). α. Α = Α 0 bt. β. A = A 0 e Λt. γ. A = A e -Λt Ao. δ. A= 0 Λt 6. Κατϊ τη ςύνθεςη δύο απλών αρμονικών ταλαντώςεων ύδιασ διεύθυνςησ, που γύνονται γύρω από το ύδιο ςημεύο, με το ύδιο πλϊτοσ Α και ςυχνότητεσ f και f που διαφϋρουν λύγο μεταξύ τουσ α. το μϋγιςτο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ εύναι Α. β. όλα τα ςημεύα ταλαντώνονται με το ύδιο πλϊτοσ. γ. ο χρόνοσ ανϊμεςα ςε δύο διαδοχικούσ μηδενιςμούσ του πλϊτουσ εύναι : T= f f δ. Ο χρόνοσ ανϊμεςα ςε δύο διαδοχικούσ μηδενιςμούσ του πλϊτουσ εύναι : T= f -f 7. Κατϊ τη φθύνουςα μηχανικό ταλϊντωςη α. το πλϊτοσ παραμϋνει ςταθερό. β. η μηχανικό ενϋργεια διατηρεύται. γ. το πλϊτοσ μεταβϊλλεται ςύμφωνα με τη ςχϋςη Α=Α 0 e Λt, όπου Λ θετικό ςταθερϊ. δ. ϋχουμε μεταφορϊ ενϋργειασ από το ταλαντούμενο ςύςτημα ςτο περιβϊλλον. 8. την απλό αρμονικό ταλϊντωςη, το ταλαντούμενο ςώμα ϋχει μϋγιςτη ταχύτητα: α. ςτισ ακραύεσ θϋςεισ τησ τροχιϊσ του. β. όταν η επιτϊχυνςη εύναι μϋγιςτη. γ. όταν η δύναμη επαναφορϊσ εύναι μϋγιςτη. δ. όταν η δυναμικό του ενϋργεια εύναι μηδϋν. 9. ε μύα φθύνουςα ταλϊντωςη τησ οπούασ το πλϊτοσ μειώνεται εκθετικϊ με το χρόνο : α. Η ενϋργεια του ταλαντωτό εύναι ςυνεχώσ ςταθερό. β. Η ςυχνότητα αυξϊνεται με τη πϊροδο του χρόνου. γ. Ο λόγοσ δύο διαδοχικών μϋγιςτων απομακρύνςεων προσ την ύδια κατεύθυνςη διατηρεύται ςταθερόσ δ. το πλϊτοσ μειώνεται γραμμικϊ με το χρόνο. 0. ε μύα απλό αρμονικό ταλϊντωςη η απομϊκρυνςη και η επιτϊχυνςη την ύδια χρονικό ςτιγμό : α. ϋχουν πϊντα αντύθετο πρόςημο β. ϋχουν πϊντα ύδιο πρόςημο γ. θα ϋχουν το ύδιο ό αντύθετο πρόςημο ανϊλογα με την αρχικό φϊςη τησ απλόσ αρμονικόσ ταλϊντωςησ. Κ. Β.Φιρφιρής 57

58 58 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ δ. μερικϋσ φορϋσ ϋχουν το ύδιο και ϊλλεσ φορϋσ ϋχουν αντύθετο πρόςημο. Σο φαινόμενο του ςυντονιςμού παρατηρεύται μόνο ςτισ α. μηχανικϋσ ταλαντώςεισ. β. ηλεκτρικϋσ ταλαντώςεισ. γ. εξαναγκαςμϋνεσ ταλαντώςεισ. δ. ελεύθερεσ ταλαντώςεισ.. Δύο απλϋσ αρμονικϋσ ταλαντώςεισ πραγματοποιούνται ςτο ύδιο ςημεύο, ϋχουν την ύδια διεύθυνςη και ςυχνότητα, και πλϊτη Α και Α. Αν οι ταλαντώςεισ αυτϋσ παρουςιϊζουν διαφορϊ φϊςησ 80 ο, τότε το πλϊτοσ Α τησ ςύνθετησ ταλϊντωςησ που προκύπτει από τη ςύνθεςό τουσ εύναι : α. Α = Α + Α. β. Α = Α - Α. 6. τισ εξαναγκαςμϋνεσ ταλαντώςεισ ϋνα ςύςτημα ταλαντώνεται με ςυχνότητα που εύναι ύςη με α. την ιδιοςυχνότητϊ του. β. τη ςυχνότητα του διεγϋρτη. γ. τη διαφορϊ ιδιοςυχνότητασ και ςυχνότητασ του διεγϋρτη. δ. το ϊθροιςμα ιδιοςυχνότητασ και ςυχνότητασ του διεγϋρτη. 7. Σο διϊγραμμα του ςχόματοσ παριςτϊνει την ταχύτητα ενόσ ςώματοσ που εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. γ. A= A A δ. A= A -A 3.Ένα ςώμα εκτελεύ γραμμικό αρμονικό ταλϊντωςη. Όταν διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ α. η κινητικό του ενϋργεια εύναι μηδϋν. β. η επιτϊχυνςό του εύναι μϋγιςτη. γ. η δύναμη επαναφορϊσ εύναι μηδϋν. δ. η δυναμικό του ενϋργεια εύναι μϋγιςτη. 4.Η ςυχνότητα τησ εξαναγκαςμϋνησ ταλϊντωςησ... α. εύναι πϊντα ύςη με την ιδιοςυχνότητα τησ ταλϊντωςησ. β. εύναι πϊντα μεγαλύτερη από την ιδιοςυχνότητα τησ ταλϊντωςησ. γ. εύναι ύςη με τη ςυχνότητα του διεγϋρτη. δ. εύναι πϊντα μικρότερη από την ιδιοςυχνότητα τησ ταλϊντωςησ. 5. ώμα μϊζασ m που εύναι προςδεδεμϋνο ςε οριζόντιο ελατόριο ςταθερϊσ k, όταν απομακρύνεται από τη θϋςη ιςορροπύασ κατϊ Α, εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη με περύοδο Σ. Αν τετραπλαςιϊςουμε την απομϊκρυνςη Α, η περύοδοσ τησ ταλϊντωςησ γύνεται α. Σ. β. Σ. γ. Σ/. δ. 4Σ. την περύπτωςη αυτό : α. ςτα ςημεύα και 5 το ςώμα βρύςκεται ςτη μϋγιςτη απομϊκρυνςη. β. ςτα ςημεύα και 4 το ςώμα βρύςκεται ςτη μϋγιςτη απομϊκρυνςη. γ. ςτα ςημεύα 4 και 5 το ςώμα βρύςκεται ςτη θϋςη ιςορροπύασ. δ. ςτα ςημεύα 3 και 4 το ςώμα βρύςκεται ςτη θϋςη ιςορροπύασ. 8. Σο αποτϋλεςμα τησ ςύνθεςησ δύο αρμονικών ταλαντώςεων που γύνονται πϊνω ςτην ύδια διεύθυνςη και γύρω από την ύδια θϋςη ιςορροπύασ εύναι μια νϋα αρμονικό ταλϊντωςη, όταν οι δύο αρχικϋσ ταλαντώςεισ ϋχουν : α. παραπλόςιεσ ςυχνότητεσ και ύδια πλϊτη. β. παραπλόςιεσ ςυχνότητεσ και διαφορετικϊ πλϊτη. γ. ύδιεσ ςυχνότητεσ και διαφορετικϊ πλϊτη. δ. ύδια πλϊτη και διαφορετικϋσ ςυχνότητεσ. 9. ε μια φθύνουςα ταλϊντωςη που η αντιτιθϋμενη δύναμη εύναι τησ μορφόσ F= bυ, με b ςταθερό α. ο λόγοσ δύο διαδοχικών πλατών μειώνεται ςε ςχϋςη με το χρόνο. β. η περύοδοσ τησ ταλϊντωςησ εξαρτϊται από το πλϊτοσ. Κ. Β.Φιρφιρής 58

59 59 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ γ. το πλϊτοσ παραμϋνει ςταθερό ςε ςχϋςη με το χρόνο. δ. η περύοδοσ παραμϋνει ςταθερό ςε ςχϋςη με το χρόνο. 0. Ένα ςώμα εκτελεύ ταυτόχρονα δύο αρμονικϋσ ταλαντώςεισ ύδιασ διεύθυνςησ και ύδιου πλϊτουσ Α, που πραγματοποιούνται γύρω από το ύδιο ςημεύο. Αν οι ςυχνότητεσ των δύο ταλαντώςεων f και f διαφϋρουν λύγο μεταξύ τουσ, τότε α. το ςώμα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη. β. το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ παραμϋνει ςταθερό. γ. το μϋγιςτο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ εύναι Α. δ. η περύοδοσ του διακροτόματοσ εύναι ανϊλογη με τη διαφορϊ ςυχνοτότων f f.. Όταν ϋνα ςύςτημα εκτελεύ φθύνουςα ταλϊντωςη ςτην οπούα η αντιτιθϋμενη δύναμη εύναι ανϊλογη τησ ταχύτητασ, τότε α. η περύοδοσ μεταβϊλλεται. β. η μηχανικό ενϋργεια παραμϋνει ςταθερό. γ. ο λόγοσ δύο διαδοχικών μεγύςτων απομακρύνςεων προσ την ύδια κατεύθυνςη αυξϊνεται. δ. το πλϊτοσ μειώνεται εκθετικϊ με το χρόνο..ε μύα γραμμικό αρμονικό ταλϊντωςη διπλαςιϊζουμε το πλϊτοσ τησ. Σότε: α. η περύοδοσ διπλαςιϊζεται. β. η ςυχνότητα διπλαςιϊζεται. γ. η ολικό ενϋργεια παραμϋνει ςταθερό. δ. η μεγύςτη ταχύτητα διπλαςιϊζεται. 3. ε φθύνουςα μηχανικό ταλϊντωςη τησ οπούασ το πλϊτοσ μειώνεται εκθετικϊ με το χρόνο, για οριςμϋνη τιμό τησ ςταθερϊσ απόςβεςησ, η περύοδοσ τησ ταλϊντωςησ με τη πϊροδο του χρόνου : α. αυξϊνεται β. διατηρεύται ςταθερό γ. μειώνεται γραμμικϊ δ. μειώνεται εκθετικϊ 4. Η ςυνολικό δύναμη F που αςκεύται ςε ϋνα ςώμα που εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη ςυνδϋεται με την απομϊκρυνςη x από τη θϋςη ιςορροπύασ του ςώματοσ με τη ςχϋςη ( D : θετικό ςταθερϊ) α. F=Dx β. F=-Dx γ. F=-Dx δ. F=Dx 5. ε μια εξαναγκαςμϋνη ταλϊντωςη η ςυχνότητα του διεγϋρτη εύναι μεγαλύτερη τησ ιδιοςυχνότητασ του ταλαντωτό. Αν αυξϊνουμε ςυνεχώσ τη ςυχνότητα του διεγϋρτη, το πλϊτοσ τησ εξαναγκαςμϋνησ ταλϊντωςησ θα: α. μϋνει ςταθερό β. αυξϊνεται ςυνεχώσ γ. μειώνεται ςυνεχώσ δ. αυξϊνεται αρχικϊ και μετϊ θα μειώνεται. 6. ώμα εκτελεύ ταυτόχρονα δύο αρμονικϋσ ταλαντώςεισ ύδιου πλϊτουσ και διεύθυνςησ. Οι ςυχνότητεσ f και f (f > f) των δύο ταλαντώςεων διαφϋρουν λύγο μεταξύ τουσ, με αποτϋλεςμα να παρουςιϊζεται διακρότημα. Αν η ςυχνότητα f προςεγγύςει τη ςυχνότητα f, χωρύσ να την ξεπερϊςει, ο χρόνοσ που μεςολαβεύ ανϊμεςα ςε δύο διαδοχικούσ μηδενιςμούσ του πλϊτουσ θα: α. αυξηθεύ. β. μειωθεύ. γ. παραμεύνει ο ύδιοσ. δ. αυξηθεύ ό θα μειωθεύ ανϊλογα με την τιμό τησ f. 7. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ κϊθε ςημεύου ελαςτικού μϋςου ςτο οπούο ςχηματύζεται ςτϊςιμο κύμα: α. εύναι το ύδιο για όλα τα ςημεύα του μϋςου. β. εξαρτϊται από τη θϋςη του ςημεύου. γ. εξαρτϊται από τη θϋςη και τη χρονικό ςτιγμό. δ. εξαρτϊται από τη χρονικό ςτιγμό. 8. ε μια φθύνουςα ταλϊντωςη τησ οπούασ το πλϊτοσ μειώνεται εκθετικϊ με το χρόνο: α. το μϋτρο τησ δύναμησ που προκαλεύ την απόςβεςη εύναι ανϊλογο τησ απομϊκρυνςησ. β. ο λόγοσ δύο διαδοχικών πλατών προσ την ύδια κατεύθυνςη δεν διατηρεύται ςταθερόσ. γ. η περύοδοσ διατηρεύται ςταθερό για οριςμϋνη τιμό τησ ςταθερϊσ απόςβεςησ. δ. το μϋτρο τησ δύναμησ που προκαλεύ την απόςβεςη εύναι ςταθερό. Κ. Β.Φιρφιρής 59

60 60 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 9. Κατϊ τη ςύνθεςη δύο απλών αρμονικών ταλαντώςεων τησ ύδιασ διεύθυνςησ που γύνονται γύρω από το ύδιο ςημεύο, προκύπτει απλό αρμονικό ταλϊντωςη ςταθερού πλϊτουσ, μόνο όταν οι επιμϋρουσ ταλαντώςεισ ϋχουν: α. ύςεσ ςυχνότητεσ. β. παραπλόςιεσ ςυχνότητεσ. γ. διαφορετικϋσ ςυχνότητεσ. δ. ςυχνότητεσ που η μια εύναι ακϋραιο πολλαπλϊςιο τησ ϊλλησ. 30. Με την πϊροδο του χρόνου και καθώσ τα αμορτιςϋρ ενόσ αυτοκινότου παλιώνουν και φθεύρονται: α. η τιμό τησ ςταθερϊσ απόςβεςησ b αυξϊνεται. β. η τιμό τησ ςταθερϊσ απόςβεςησ b μειώνεται. γ. το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του αυτοκινότου, όταν περνϊ από εξόγκωμα του δρόμου, μειώνεται πιο γρόγορα. δ. η περύοδοσ των ταλαντώςεων του αυτοκινότου παρουςιϊζει μικρό αύξηςη. 3. Ένασ ταλαντωτόσ τη χρονικό ςτιγμό t ϋχει ενϋργεια ταλϊντωςησ Ε και πλϊτοσ ταλαντωςησ Α. Ση χρονικό ςτιγμό t που ϋχει χϊςει τα 3/4 τησ αρχικόσ του ενϋργειασ το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςόσ του εύναι: α. Α/4 β. 3Α/4 γ. Α/ δ. Α/3 3. Η κύνηςη που προκύπτει από τη ςύνθεςη δύο απλών αρμονικών ταλαντώςεων α. εύναι ανεξϊρτητη από τισ ςυχνότητεσ των επιμϋρουσ αρμονικών ταλαντώςεων. β. εύναι ανεξϊρτητη από τη διαφορϊ φϊςησ των δύο ταλαντώςεων. γ. εύναι ανεξϊρτητη από τισ διευθύνςεισ των δύο αρμονικών ταλαντώςεων. δ. εξαρτϊται από τα πλϊτη των δύο αρμονικών ταλαντώςεων. 33. Δύο ταλαντώςεισ με ςυχνότητεσ f και f δημιουργούν διακροτόματα. Η περύοδοσ των διακροτημϊτων ιςούται με: α. f f β. f +f γ. δ. f -f f +f 34. ε μια φθύνουςα ταλϊντωςη ςτην οπούα η δύναμη απόςβεςησ εύναι ανϊλογη τησ ταχύτητασ του ςώματοσ, με την πϊροδο του χρόνου α. η περύοδοσ μειώνεται. β. η περύοδοσ εύναι ςταθερό. γ. το πλϊτοσ διατηρεύται ςταθερό. δ. η ενϋργεια ταλϊντωςησ διατηρεύται ςταθερό. 35. Διακρότημα δημιουργεύται κατϊ τη ςύνθεςη δύο απλών αρμονικών ταλαντώςεων οι οπούεσ πραγματοποιούνται ςτην ύδια διεύθυνςη και γύρω από την ύδια θϋςη ιςορροπύασ, όταν οι δύο ταλαντώςεισ ϋχουν α. ύςα πλϊτη και ύςεσ ςυχνότητεσ. β. ϊνιςα πλϊτη και ύςεσ ςυχνότητεσ. γ. ύςα πλϊτη και παραπλόςιεσ ςυχνότητεσ. δ. ύςα πλϊτη και ςυχνότητεσ εκ των οπούων η μια εύναι πολλαπλϊςια τησ ϊλλησ. 36. Κατϊ τη ςύνθεςη δύο απλών αρμονικών ταλαντώςεων τησ ύδιασ ςυχνότητασ, που γύνονται γύρω από το ύδιο ςημεύο ςτην ύδια διεύθυνςη και ϋχουν διαφορϊ φϊςησ 80 ο, το πλϊτοσ τησ ςύνθετησ ταλϊντωςησ εύναι : α. Α+Α β. Α γ. δ. Α όπου A και A εύναι τα πλϊτη των αρχικών ταλαντώςεων. 37. Όταν ςε μια απλό αρμονικό ταλϊντωςη διπλαςιϊςουμε το πλϊτοσ τησ, τότε διπλαςιϊζεται και η α. περύοδοσ. β. ςυχνότητα. γ. ολικό ενϋργεια. δ. μϋγιςτη ταχύτητα. 38. ε μια φθύνουςα ταλϊντωςη, όπου η δύναμη που αντιτύθεται ςτη κύνηςη εύναι τησ μορφόσ F αντ = bυ, όπου b θετικό ςταθερϊ και υ η ταχύτητα του ταλαντωτό, α. όταν αυξϊνεται η ςταθερϊ απόςβεςησ η περύοδοσ μειώνεται. β. το πλϊτοσ διατηρεύται ςταθερό. Κ. Β.Φιρφιρής 60

61 6 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ γ. η ςταθερϊ απόςβεςησ εξαρτϊται από το ςχόμα και το μϋγεθοσ του αντικειμϋνου που κινεύται. δ. η ενϋργεια ταλϊντωςησ διατηρεύται ςταθερό. 39. Κατϊ τη διϊρκεια μιασ εξαναγκαςμϋνησ ταλϊντωςησ α. ϋχουμε πϊντα ςυντονιςμό β. η ςυχνότητα ταλϊντωςησ δεν εξαρτϊται από τη ςυχνότητα τησ διεγεύρουςασ δύναμησ γ. για δεδομϋνη ςυχνότητα του διεγϋρτη το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ παραμϋνει ςταθερό δ. η ενϋργεια που προςφϋρεται ςτο ςώμα δεν αντιςταθμύζει τισ απώλειεσ. 40. Η ςύνθετη ταλϊντωςη ενόσ ςώματοσ προκύπτει από δύο απλϋσ αρμονικϋσ ταλαντώςεισ ύδιασ ςυχνότητασ που γύνονται γύρω από την ύδια θϋςη ιςορροπύασ ςτην ύδια διεύθυνςη. Σο ςώμα, ςε ςχϋςη με τισ αρχικϋσ ταλαντώςεισ, εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη με α. ύδια διεύθυνςη και ύδια ςυχνότητα. β. διαφορετικό διεύθυνςη και ύδια ςυχνότητα. γ. ύδια διεύθυνςη και διαφορετικό ςυχνότητα. δ. διαφορετικό διεύθυνςη και διαφορετικό ςυχνότητα. 4. ε μύα φθύνουςα μηχανικό ταλϊντωςη η δύναμη αντύςταςησ ϋχει τη μορφό Fαντ= bυ. Αρχικϊ η ςταθερϊ απόςβεςησ ϋχει τιμό b. τη ςυνϋχεια η τιμό τησ γύνεται b με b>b. Σότε: α. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ μειώνεται πιο γρόγορα με το χρόνο και η περύοδόσ τησ παρουςιϊζει μικρό μεύωςη. β. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ αυξϊνεται πιο γρόγορα με το χρόνο και η περύοδόσ τησ παρουςιϊζει μικρό αύξηςη. γ. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ μειώνεται πιο γρόγορα με το χρόνο και η περύοδόσ τησ παρουςιϊζει μικρό αύξηςη. δ. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ αυξϊνεται πιο γρόγορα με το χρόνο και η περύοδόσ τησ παρουςιϊζει μικρό μεύωςη. 4.ώμα εκτελεύ ταυτόχρονα δύο απλϋσ αρμονικϋσ ταλαντώςεισ με εξιςώςεισ x =A ημωt και x =A ημ(ωt+π) που γύνονται ςτην ύδια διεύθυνςη και γύρω από το ύδιο ςημεύο, με A > A. Η ςύνθετη ταλϊντωςη που προκύπτει ϋχει φϊςη απομϊκρυνςησ α. ωt και πλϊτοσ A A β. ωt+π και πλϊτοσ A A γ. ωt και πλϊτοσ A +A A +A δ. ωt+π και πλϊτοσ 43. ώμα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη πλϊτουσ Α. Αν το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ αυτόσ διπλαςιαςτεύ, τότε διπλαςιϊζεται α. η περύοδοσ. β. η ςυχνότητα. γ. η ολικό ενϋργεια τησ ταλϊντωςησ. δ. η μϋγιςτη ταχύτητα του ςώματοσ. 44. ε μύα εξαναγκαςμϋνη μηχανικό ταλϊντωςη, για οριςμϋνη τιμό τησ ςυχνότητασ του διεγϋρτη, το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ α. παραμϋνει ςταθερό. β. μειώνεται εκθετικϊ με το χρόνο. γ. αυξϊνεται εκθετικϊ με το χρόνο. δ. μειώνεται γραμμικϊ με το χρόνο. 45.Διακρότημα δημιουργεύται από τη ςύνθεςη δύο απλών αρμονικών ταλαντώςεων ύδιασ διεύθυνςησ, με ύδιο πλϊτοσ, γύρω από την ύδια θϋςη ιςορροπύασ, όταν οι ταλαντώςεισ αυτϋσ ϋχουν: α. ύςεσ ςυχνότητεσ και ύδια φϊςη β. ύςεσ ςυχνότητεσ και διαφορϊ φϊςησ π/ γ. παραπλόςιεσ ςυχνότητεσ δ. ύςεσ ςυχνότητεσ και διαφορϊ φϊςησ π. 46. ε μια μηχανικό ταλϊντωςη τησ οπούασ το πλϊτοσ φθύνει χρονικϊ ωσ Α=Αοe -Λt, όπου Α0 εύναι το αρχικό πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ και Λ εύναι μια θετικό ςταθερϊ, ιςχύει ότι: α. οι μειώςεισ του πλϊτουσ ςε κϊθε περύοδο εύναι ςταθερϋσ β.η δύναμη αντύςταςησ εύναι Fαντ = - b υ, όπου b εύναι η ςταθερϊ απόςβεςησ και υ η ταχύτητα του ςώματοσ που ταλαντώνεται γ. η περύοδοσ Σ τησ ταλϊντωςησ μειώνεται με το χρόνο για μικρό τιμό τησ ςταθερϊσ απόςβεςησ b Κ. Β.Φιρφιρής 6

62 6 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ δ. η δύναμη αντύςταςησ εύναι Fαντ = - b υ, όπου b εύναι η ςταθερϊ απόςβεςησ και υ η ταχύτητα του ςώματοσ που ταλαντώνεται. 47. ε μύα απλό αρμονικό ταλϊντωςη η ταχύτητα του ςώματοσ που ταλαντώνεται δύνεται από τη ςχϋςη υ = Aωημωt. Σότε η απομϊκρυνςη x από τη θϋςη ιςορροπύασ δύνεται από τη ςχϋςη: α. x = Aημωt β. x = Aςυνωt γ. x = Aημ(ωt+π) δ. x = Aημ(ωt+3π/) 48. ε μια φθύνουςα ταλϊντωςη η δύναμη που προκαλεύ την απόςβεςη εύναι τησ μορφόσ F = -bυ, όπου b θετικό ςταθερϊ και υ η ταχύτητα του ςώματοσ που ταλαντώνεται. Σο ϋργο τησ δύναμησ αυτόσ εύναι α. θετικό, όταν το ςώμα κινεύται προσ την αρνητικό κατεύθυνςη β. πϊντα αρνητικό γ. πϊντα θετικό δ. μηδϋν για μια πλόρη ταλϊντωςη. 49. Η ςυχνότητα μιασ εξαναγκαςμϋνησ ταλϊντωςησ α) εύναι ύςη με τη ςυχνότητα του διεγϋρτη β) εύναι πϊντα ύςη με την ιδιοςυχνότητα του ταλαντωτό γ) εξαρτϊται από την αρχικό ενϋργεια τησ ταλϊντωςησ δ) εύναι ύςη με το ϊθροιςμα τησ ςυχνότητασ του διεγϋρτη και τησ ιδιοςυχνότητασ του ταλαντωτό. 50. Η δύναμη επαναφορϊσ που αςκεύται ςε ϋνα ςώμα μϊζασ m που εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη εύναι ύςη με F. Σο πηλύκο F/m α) παραμϋνει ςταθερό ςε ςχϋςη με το χρόνο β) μεταβϊλλεται αρμονικϊ ςε ςχϋςη με το χρόνο γ) αυξϊνεται γραμμικϊ ςε ςχϋςη με το χρόνο δ) γύνεται μϋγιςτο, όταν το ςώμα διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ. 5. ε μύα φθύνουςα ταλϊντωςη ςτην οπούα το πλϊτοσ μειώνεται εκθετικϊ με το χρόνο α) η περύοδοσ δεν διατηρεύται για οριςμϋνη τιμό τησ ςταθερϊσ απόςβεςησ b β) όταν η ςταθερϊ απόςβεςησ b μεγαλώνει, το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ μειώνεται πιο γρόγορα γ) η κύνηςη μϋνει περιοδικό για οποιαδόποτε τιμό τησ ςταθερϊσ απόςβεςησ δ) η ςταθερϊ απόςβεςησ b εξαρτϊται μόνο από το ςχόμα και τον όγκο του ςώματοσ που ταλαντώνεται. 5.ε μια εξαναγκαςμϋνη ταλϊντωςη η ςυχνότητα του διεγϋρτη εύναι μεγαλύτερη τησ ιδιοςυχνότητασ του ταλαντωτό. Αν μειώνουμε ςυνεχώσ τη ςυχνότητα του διεγϋρτη, τότε το πλϊτοσ τησ εξαναγκαςμϋνησ ταλϊντωςησ α) θα μϋνει ςταθερό β) θα αυξϊνεται ςυνεχώσ γ) θα μειώνεται ςυνεχώσ δ) αρχικϊ θα αυξϊνεται και μετϊ θα μειώνεται. 53. Ένα ςώμα εκτελεύ ςύνθετη αρμονικό ταλϊντωςη ωσ αποτϋλεςμα δύο απλών αρμονικών ταλαντώςεων που γύνονται ςτην ύδια διεύθυνςη και ϋχουν εξιςώςεισ x Αημωt και x 3Αημ(ωt+ π) Η εξύςωςη τησ ςύνθετησ αρμονικόσ ταλϊντωςησ εύναι α) x Αημωt β) x 4Αημ (ωt+ π ) γ) x 3Αημωt δ) x Αημ (ωt π ) 54. Η ςταθερϊ απόςβεςησ b μιασ φθύνουςασ ταλϊντωςησ, ςτην οπούα η αντιτιθϋμενη δύναμη εύναι ανϊλογη τησ ταχύτητασ, α) εξαρτϊται από την ταχύτητα του ςώματοσ που ταλαντώνεται β) μειώνεται κατϊ τη διϊρκεια τησ φθύνουςασ ταλϊντωςησ γ) ϋχει μονϊδα μϋτρηςησ ςτο S.I. το kg s δ) εξαρτϊται από τισ ιδιότητεσ του μϋςου μϋςα ςτο οπούο γύνεται η φθύνουςα ταλϊντωςη. 55. Κατϊ τη ςύνθεςη δύο απλών αρμονικών ταλαντώςεων, ύδιασ διεύθυνςησ και ύδιου πλϊτουσ, που γύνονται γύρω από το ύδιο ςημεύο και που οι περύοδοι τουσ Σ και Σ διαφϋρουν πολύ λύγο μεταξύ τουσ, προκύπτει ταλϊντωςη μεταβλητού πλϊτουσ με περύοδο Σ που εύναι ύςη με: T T α) T= Κ. Β.Φιρφιρής 6

63 63 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ TT β) T= T +T T -T γ) T= TT δ) T= T -T 56. ώμα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη. Αν η απομϊκρυνςη x από τη θϋςη ιςορροπύασ του δύνεται από την εξύςωςη x= Αημωt, τότε η τιμό τησ δύναμησ επαναφορϊσ δύνεται από τη ςχϋςη: α) F= mω Αςυνωt β) F= mω Αημωt γ) F= mω Αημωt δ) F= mω Αςυνωt. 57. Ένα ςώμα εκτελεύ ςύνθετη αρμονικό ταλϊντωςη, ωσ αποτϋλεςμα δύο αρμονικών ταλαντώςεων που γύνονται ςτην ύδια διεύθυνςη, και ϋχουν εξιςώςεισ x = Α ημω t και x = Α ημω t. Σο πλϊτοσ Α τησ ςύνθετησ αρμονικόσ ταλϊντωςησ εύναι ύςο με: α) Α=Α+Α β) A= A-A γ) δ) A= A +A A= A-A Β. Ερωτήςεισ τύπου ςωςτό-λάθοσ. ε μια εξαναγκαςμϋνη ταλϊντωςη το πλϊτοσ παραμϋνει ςταθερό με το χρόνο.. ε μια φθύνουςα μηχανικό ταλϊντωςη ο ρυθμόσ μεύωςησ του πλϊτουσ μειώνεται, όταν αυξϊνεται η ςταθερϊ απόςβεςησ b. 3. Κατϊ το ςυντονιςμό η ενϋργεια μεταφϋρεται ςτο ςύςτημα κατϊ το βϋλτιςτο τρόπο, γι αυτό και το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ γύνεται μϋγιςτο. 4. Η ςταθερϊ απόςβεςησ b ςε μύα φθύνουςα ταλϊντωςη εξαρτϊται και από τισ ιδιότητεσ του μϋςου. 5. Η περύοδοσ και η ςυχνότητα ενόσ περιοδικού φαινομϋνου εύναι μεγϋθη αντύςτροφα. 6. ε μύα εξαναγκαςμϋνη ταλϊντωςη, η ςυχνότητα τησ ταλϊντωςησ ιςούται με τη ςυχνότητα του διεγϋρτη. 7. ε μια εξαναγκαςμϋνη ταλϊντωςη, κατϊ το ςυντονιςμό, η ενϋργεια τησ ταλϊντωςησ εύναι μϋγιςτη. 8. Δυο αρμονικϋσ ταλαντώςεισ ϋχουν την ύδια διεύθυνςη και γύνονται γύρω από το ύδιο ςημεύο με το ύδιο πλϊτοσ αλλϊ λύγο διαφορετικϋσ ςυχνότητεσ. τη ςύνθεςη των ταλαντώςεων αυτών ο χρόνοσ ανϊμεςα ςε δυο διαδοχικϋσ μεγιςτοποιόςεισ του πλϊτουσ ονομϊζεται περύοδοσ των διακροτημϊτων. 9. Σα κτόρια κατϊ τη διϊρκεια ενόσ ςειςμού εκτελούν εξαναγκαςμϋνη ταλϊντωςη. 0. ε μια εξαναγκαςμϋνη ταλϊντωςη η ςυχνότητα του ταλαντούμενου ςυςτόματοσ εύναι διαφορετικό από αυτό του διεγϋρτη.. Σο πλϊτοσ ςε μύα εξαναγκαςμϋνη ταλϊντωςη εύναι ανεξϊρτητο από τη ςυχνότητα του διεγϋρτη.. Σο πλϊτοσ μιασ εξαναγκαςμϋνησ ταλϊντωςησ δεν εξαρτϊται από τη ςυχνότητα f του διεγϋρτη. 3. Η ςυχνότητα του διακροτόματοσ εύναι μεγαλύτερη από κϊθε μια από τισ ςυχνότητεσ των δύο ταλαντώςεων που δημιουργούν το διακρότημα. 4. Η περύοδοσ φθύνουςασ ταλϊντωςησ, για οριςμϋνη τιμό τησ ςταθερϊσ απόςβεςησ, διατηρεύται ςταθερό. 5.Σο ϋργο τησ δύναμησ που προκαλεύ την απόςβεςη ςε μια φθύνουςα μηχανικό ταλϊντωςη εύναι πϊντα θετικό. 6. Η απλό αρμονικό ταλϊντωςη εύναι ευθύγραμμη ομαλϊ επιταχυνόμενη κύνηςη. 7. ε μύα φθύνουςα ταλϊντωςη το πλϊτοσ τησ παραμϋνει ςταθερό. 8. ε μια απλό αρμονικό ταλϊντωςη, όταν το ςώμα διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ, η ταχύτητϊ του εύναι μηδϋν. 9. ε μια φθύνουςα ταλϊντωςη το πλϊτοσ παραμϋνει ςταθερό. 0. Σο φαινόμενο του ςυντονιςμού παρατηρεύται μόνο ςε εξαναγκαςμϋνεσ ταλαντώςεισ.. ε μια εξαναγκαςμϋνη ταλϊντωςη το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ εξαρτϊται από τη ςυχνότητα του διεγϋρτη.. Σο φαινόμενο του ςυντονιςμού ςυμβαύνει ςτισ εξαναγκαςμϋνεσ ταλαντώςεισ. 3. τισ ηλεκτρικϋσ ταλαντώςεισ το φορτύο του πυκνωτό παραμϋνει ςταθερό. Κ. Β.Φιρφιρής 63

64 64 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 4. την περύπτωςη των ηλεκτρικών ταλαντώςεων ο κύριοσ λόγοσ απόςβεςησ εύναι η ωμικό αντύςταςη. 5.Η ενϋργεια ταλϊντωςησ ςτην απλό αρμονικό ταλϊντωςη μεταβϊλλεται αρμονικϊ με το χρόνο. 6. ε μύα εξαναγκαςμϋνη ταλϊντωςη ο διεγϋρτησ επιβϊλλει ςτην ταλϊντωςη τη ςυχνότητϊ του. 7. Όλεσ οι ταλαντώςεισ ςτο μακρόκοςμο εύναι φθύνουςεσ. 8. ε μύα φθύνουςα μηχανικό ταλϊντωςη, ςτην οπούα η δύναμη που αντιςτϋκεται ςτην κύνηςη εύναι τησ μορφόσ F =-bυ, η ςταθερϊ απόςβεςησ b εύναι ανεξϊρτητη από το ςχόμα και τισ διαςτϊςεισ του αντικειμϋνου που κινεύται. 9.ε μια απλό αρμονικό ταλϊντωςη αυξϊνεται το μϋτρο τησ ταχύτητασ του ςώματοσ που ταλαντώνεται καθώσ αυξϊνεται το μϋτρο τησ δύναμησ επαναφορϊσ. 30. ε μύα φθύνουςα ταλϊντωςη ςτην οπούα η αντιτιθϋμενη δύναμη εύναι ανϊλογη τησ ταχύτητασ (F=-bυ ), για οριςμϋνη τιμό τησ ςταθερϊσ απόςβεςησ b η περύοδοσ μειώνεται. 3. Η ςύνθεςη δύο απλών αρμονικών ταλαντώςεων, τ η σ ύ δ ι α σ διεύθυνςησ που γύνονται γύρω από ύδιο ςημεύο με ςυχνότητεσ που διαφϋρουν λύγο μεταξύ τουσ, εύναι απλό αρμονικό ταλϊντωςη. 3. ε μια εξαναγκαςμϋνη ταλϊντωςη η ενϋργεια που προςφϋρεται ςτο ςύςτημα αντιςταθμύζει τισ απώλειεσ και ϋτςι το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ διατηρεύται ςταθερό. 33. τη φθύνουςα ταλϊντωςη, το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ παραμϋνει ςταθερό. 34. Όταν τα αμορτιςϋρ ενόσ αυτοκινότου παλιώνουν και φθεύρονται, η τιμό τησ ςταθερϊσ απόςβεςησ ελαττώνεται. Γ. Ερωτήςεισ ςυμπλήρωςησ κενών. τη ςύνθεςη δύο αρμονικών ταλαντώςεων τησ ύδιασ διεύθυνςησ, που γύνονται γύρω από το ύδιο ςημεύο με το ύδιο πλϊτοσ και λύγο διαφορετικϋσ ςυχνότητεσ, ο χρόνοσ ανϊμεςα ςε δύο διαδοχικϋσ μεγιςτοποιόςεισ του πλϊτουσ ονομϊζεται... του διακροτόματοσ.. Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα. Δ. Ερωτήςεισ- ο ΘΕΜΑ. ώμα μϊζασ m εκτελεύ γραμμικό απλό αρμονικό ταλϊντωςη. Η απομϊκρυνςη x του ςώματοσ από τη θϋςη ιςορροπύασ δύνεται από τη ςχϋςη x=αημωt, όπου Α το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ και ω η γωνιακό ςυχνότητα. Να αποδεύξετε ότι η ςυνολικό δύναμη, που δϋχεται το ςώμα ςε τυχαύα θϋςη τησ τροχιϊσ του, δύνεται από τη ςχϋςη F= - mω x.. Δύο ςώματα και με ύςεσ μϊζεσ ιςορροπούν κρεμαςμϋνα από κατακόρυφα ιδανικϊ ελατόρια με ςταθερϋσ k και k αντύςτοιχα, που ςυνδϋονται με τη ςχϋςη k=k/. Απομακρύνουμε τα ςώματα και από τη θϋςη ιςορροπύασ τουσ κατακόρυφα προσ τα κϊτω κατϊ x και x αντύςτοιχα και τα αφόνουμε ελεύθερα την ύδια χρονικό ςτιγμό, οπότε εκτελούν απλό αρμονικό ταλϊντωςη. Σα ςώματα διϋρχονται για πρώτη φορϊ από τη θϋςη ιςορροπύασ τουσ: α. ταυτόχρονα. β. ςε διαφορετικϋσ χρονικϋσ ςτιγμϋσ με πρώτο το. γ. ςε διαφορετικϋσ χρονικϋσ ςτιγμϋσ με πρώτο το. Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 3. ώμα μϊζασ Μ ϋχει προςδεθεύ ςτο κϊτω ϊκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ Κ του οπούου το ϊνω ϊκρο εύναι ςτερεωμϋνο ςε ακλόνητο ςημεύο. Απομακρύνουμε το ςώμα κατακόρυφα προσ τα κϊτω κατϊ απόςταςη α από τη θϋςη ιςορροπύασ και το αφόνουμε ελεύθερο να κϊνει ταλϊντωςη. Επαναλαμβϊνουμε το πεύραμα και με ϋνα ϊλλο ελατόριο ςταθερϊσ Κ = 4Κ. Να γύνουν οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ των δυναμικών ενεργειών των δύο ταλαντώςεων ςε ςυνϊρτηςη με την απομϊκρυνςη ςτο ύδιο διϊγραμμα. Κ. Β.Φιρφιρής 64

65 65 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 4. Ένα ςώμα μετϋχει ςε δύο αρμονικϋσ ταλαντώςεισ ύδιασ διεύθυνςησ που γύνονται γύρω από το ύδιο ςημεύο με το ύδιο πλϊτοσ και γωνιακϋσ ςυχνότητεσ, που διαφϋρουν πολύ λύγο. Οι εξιςώςεισ των δύο ταλαντώςεων εύναι: x =0,ημ(998 πt), x =0,ημ(00 πt) (όλα τα μεγϋθη ςτο S.I.). Ο χρόνοσ ανϊμεςα ςε δύο διαδοχικούσ μηδενιςμούσ του πλϊτουσ τησ ιδιόμορφησ ταλϊντωςησ (διακροτόματοσ) του ςώματοσ εύναι: α. s β. s γ. 0,5s Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 5. Τλικό ςημεύο εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη πλϊτουσ Α και κυκλικόσ ςυχνότητασ ω. Η μϋγιςτη τιμό του μϋτρου τησ ταχύτητασ του εύναι uo και του μϋτρου τησ επιτϊχυνςησ του εύναι aο. Αν x,u,a εύναι τα μϋτρα τησ απομϊκρυνςησ, τησ ταχύτητασ και τησ επιτϊχυνςησ του αντύςτοιχα,τότε ςε κϊθε χρονικό ςτιγμό ιςχύει : α. u =ω(α -x ) β. x =ω (ao -a ) γ. a =ω (uo -u) Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 6. Ένα ςώμα μϊζασ m εύναι προςδεμϋνο ςε ελατόριο ςταθερϊσ Κ και εκτελεύ εξαναγκαςμϋνη ταλϊντωςη. Η ςυχνότητα του διεγϋρτη εύναι f = f 0, όπου f 0 η ιδιοςυχνότητα του ςυςτόματοσ. Αν τετραπλαςιϊςουμε τη μϊζα m του ςώματοσ, ενώ η ςυχνότητα του διεγϋρτη παραμϋνει ςταθερό, τότε: Α.Η ιδιοςυχνότητα του ςυςτόματοσ : α. γύνεται fo/ β. γύνεται fo γ. παραμϋνει ςταθερό. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ Β. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςυςτόματοσ α. αυξϊνεται. β. ελαττώνεται. γ. παραμϋνει ςταθερό. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 7. Δύνονται οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ που απεικονύζουν την ταλϊντωςη που εκτελούν τα ςυςτόματα ανϊρτηςησ τριών αυτοκινότων που κινούνται με την ύδια ταχύτητα όταν ςυναντούν το ύδιο εξόγκωμα ςτο δρόμο. Σο αυτοκύνητο του οπούου το ςύςτημα ανϊρτηςησ λειτουργεύ καλύτερα εύναι το α. Ι. β. ΙΙ. γ. ΙΙΙ. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 8.ώμα μϊζασ m εύναι κρεμαςμϋνο από ελατόριο ςταθερϊσ k και εκτελεύ εξαναγκαςμϋνη ταλϊντωςη πλϊτουσ Α και ςυχνότητασ f. Παρατηρούμε ότι, αν η ςυχνότητα του διεγϋρτη αυξηθεύ και γύνει f, το πλϊτοσ τησ εξαναγκαςμϋνησ ταλϊντωςησ εύναι πϊλι Α. Για να γύνει το πλϊτοσ τησ εξαναγκαςμϋνησ ταλϊντωςησ μεγαλύτερο του Α, πρϋπει η ςυχνότητα f του διεγϋρτη να εύναι: α. f > f. β. f < f. γ. f < f < f. Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 9. ώμα εκτελεύ ταυτόχρονα δύο απλϋσ αρμονικϋσ ταλαντώςεισ που γύνονται γύρω από το ύδιο ςημεύο, ςτην ύδια διεύθυνςη, με εξιςώςεισ: x = 5ημ0t και x = 8ημ(0t +π) Η απομϊκρυνςη του ςώματοσ κϊθε χρονικό ςτιγμό θα δύνεται από την εξύςωςη : α. y = 3ημ(0t + π). β. y = 3ημ0t. γ. y = ημ(0t + π). Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 0. Ένασ ταλαντωτόσ τη χρονικό ςτιγμό t = 0 ϋχει ενϋργεια Ε 0 και πλϊτοσ ταλϊντωςησ Α 0. Η ενϋργεια που ϋχει χϊςει ο ταλαντωτόσ μϋχρι τη ςτιγμό t, που το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςόσ του ϋχει μειωθεύ ςτο /4 τησ αρχικόσ τιμόσ εύναι : α. Εο/6 β. Εο/4 γ. 5Εο/6 Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ..την κϊτω ϊκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ Κ, η πϊνω ϊκρη του οπούου εύναι ςτερεωμϋνη ςε ακλόνητο ςημεύο, ςώμα μϊζασ m εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη πλϊτουσ d/, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Κ. Β.Φιρφιρής 65

66 66 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ α. / β. γ. Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. Όταν το ςώμα διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ, η επιμόκυνςη του ελατηρύου εύναι d. την κατώτερη θϋςη τησ ταλϊντωςησ του ςώματοσ, ο λόγοσ τησ δύναμησ του ελατηρύου προσ τη δύναμη επαναφορϊσ εύναι : Fελ Fελ Fελ α. = β. =3 γ. = F 3 F F επαν επαν επαν Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη. Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ.. Δύο απλού αρμονικού ταλαντωτϋσ Α και Β που εκτελούν αμεύωτεσ αρμονικϋσ ταλαντώςεισ του ύδιου πλϊτουσ, ϋχουν ςταθερϋσ επαναφορϊσ D A και D B αντύςτοιχα, με D A >D B. Ποιοσ ϋχει μεγαλύτερη ολικό ενϋργεια; α. ο ταλαντωτόσ Α β. ο ταλαντωτόσ Β. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 3.Ένα ςώμα κϊνει ταυτόχρονα ταλαντώςεισ ύδιασ διεύθυνςησ, με εξιςώςεισ x =Αημωt και x =Aημωt. Σο πλϊτοσ τησ ςύνθετησ ταλϊντωςησ, εύναι : α. Α β. 3Α γ. Α Ποιο από τα παραπϊνω εύναι το ςωςτό; Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 4. τα κϊτω ϊκρα δύο κατακόρυφων ελατηρύων Α και Β των οπούων τα ϊλλα ϊκρα εύναι ακλόνητα ςτερεωμϋνα, ιςορροπούν δύο ςώματα με ύςεσ μϊζεσ. Απομακρύνουμε και τα δύο ςώματα προσ τα κϊτω κατϊ d και τα αφόνουμε ελεύθερα, ώςτε αυτϊ να εκτελούν απλό αρμονικό ταλϊντωςη. Αν η ςταθερϊ του ελατηρύου Α εύναι τετραπλϊςια από τη ςταθερϊ του ελατηρύου Β, ποιοσ εύναι τότε ο ua,max λόγοσ των μϋγιςτων ταχυτότων των u δύο ςωμϊτων; B,max 5.Σο ςώμα του παρακϊτω ςχόματοσ εύναι δεμϋνο ςτο ελεύθερο ϊκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρύου του οπούου το ϊλλο ϊκρο εύναι ακλόνητο. Σο ςώμα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη πλϊτουσ Α ςε λεύο οριζόντιο δϊπεδο. Σο μϋτρο τησ μϋγιςτησ επιτϊχυνςησ του εύναι α max. Σο ςώμα αντικαθύςταται από ϊλλο ςώμα διπλϊςιασ μϊζασ, το οπούο εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη ύδιου πλϊτουσ Α. Για το μϋτρο α τησ μϋγιςτησ max επιτϊχυνςησ του, ιςχύει: α α. α max max β. αmax=αmax γ. αmax=αmax Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό ςχϋςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 6. το ελεύθερο ϊκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ Κ ιςορροπεύ ςώμα μϊζασ m. Εκτρϋπουμε το ςώμα κατακόρυφα προσ τα κϊτω και το αφόνουμε ελεύθερο να εκτελϋςει απλό αρμονικό ταλϊντωςη. Αν η εκτροπό όταν μεγαλύτερη, τότε ο χρόνοσ μιασ πλόρουσ αρμονικόσ ταλϊντωςησ του ςώματοσ θα όταν α. μεγαλύτεροσ, β. μικρότεροσ, γ. ύδιοσ και ςτισ δύο περιπτώςεισ. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 7.Από δύο ελατόρια Α και Β εύναι εξαρτημϋνα δύο ςώματα τησ ύδιασ μϊζασ, τα οπούα εκτελούν κατακόρυφη απλό αρμονικό ταλϊντωςη. Σο ελατόριο Α ϋχει ςταθερϊ επαναφορϊσ μεγαλύτερη από αυτόν του Β. Η περύοδοσ τησ ταλϊντωςησ του ςώματοσ ςτο Α εύναι Κ. Β.Φιρφιρής 66

67 67 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ α. μεγαλύτερη από αυτόν ςτο Β. β. μικρότερη από αυτόν ςτο Β. γ. ύςη με αυτόν ςτο Β. Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 8. το ϊκρο ιδανικού ελατηρύου με φυςικό μόκοσ l 0 και ςταθερϊ ελατηρύου k εύναι ςυνδεδεμϋνο ςώμα μϊζασ m, όπωσ δεύχνει το ςχόμα. Mg β. k (M+m) g γ. k Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 0. το παρακϊτω ςχόμα φαύνεται η γραφικό παρϊςταςη τησ ταχύτητασ υ ενόσ ςώματοσ που εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο t. α. Ποια από τισ καμπύλεσ Ι και ΙΙ του παρακϊτω διαγρϊμματοσ αντιςτοιχεύ ςτη δυναμικό ενϋργεια του ελατηρύου και ποια ςτην κινητικό ενϋργεια του ςώματοσ; Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. β. Να ςχεδιϊςετε τη γραφικό παρϊςταςη τησ ολικόσ ενϋργειασ, αφού μεταφϋρετε το παραπϊνω διϊγραμμα ςτο τετρϊδιό ςασ. 9. Δύςκοσ μϊζασ Μ εύναι ςτερεωμϋνοσ ςτο πϊνω ϊκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ k, και ιςορροπεύ (όπωσ ςτο ςχόμα). Σο ϊλλο ϊκρο του ελατηρύου εύναι ςτερεωμϋνο ςτο ϋδαφοσ. το δύςκο τοποθετούμε χωρύσ αρχικό ταχύτητα ςώμα μϊζασ m. Σο ςύςτημα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη. Η ενϋργεια τησ ταλϊντωςησ εύναι: mg α. k α. Πόςη εύναι η περύοδοσ τησ ταλϊντωςησ; β. ε ποιεσ χρονικϋσ ςτιγμϋσ η απομϊκρυνςη από τη θϋςη ιςορροπύασ εύναι μϋγιςτη; γ. ε ποιεσ χρονικϋσ ςτιγμϋσ η επιτϊχυνςη εύναι μηδϋν;. Σα δύο ςώματα και με μϊζεσ m και m αντύςτοιχα εύναι δεμϋνα ςτα ϊκρα δύο ελατηρύων με ςταθερϋσ Κ και K/, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα, και εκτελούν απλϋσ αρμονικϋσ ταλαντώςεισ με ύςεσ ενϋργειεσ ταλϊντωςησ. Οι τριβϋσ θεωρούνται αμελητϋεσ. Σο πλϊτοσ ταλϊντωςησ Α του ςώματοσ εύναι α. μικρότερo β. ύςo γ. μεγαλύτερo από το πλϊτοσ ταλϊντωςησ Α του ςώματοσ. Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό φρϊςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. Κ. Β.Φιρφιρής 67

68 68 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ. Δύο όμοια ιδανικϊ ελατόρια κρϋμονται από δύο ακλόνητα ςημεύα. τα κϊτω ϊκρα των ελατηρύων δϋνονται ςώματα μϊζασ m και μϊζασ m. Κϊτω από το ςώμα δϋνουμε μϋςω αβαρούσ νόματοσ ϊλλο ςώμα μϊζασ m, ενώ κϊτω από το ςώμα μϊζασ m (m m ), όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. 4. ύςτημα εκτελεύ εξαναγκαςμϋνη ταλϊντωςη ςταθερού πλϊτουσ. Η ιδιοςυχνότητα του ςυςτόματοσ εύναι f o και η περύοδοσ του διεγϋρτη εύναι Σ,όπου Σ> f η περύοδοσ του διεγϋρτη αυξηθεύ, τότε το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ α. μικραύνει. β. παραμϋνει το ύδιο. γ. μεγαλώνει. Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό φρϊςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. o Αν Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. Αρχικϊ τα ςώματα εύναι ακύνητα. Κϊποια ςτιγμό κόβουμε τα νόματα και τα ςώματα και αρχύζουν να ταλαντώνονται. Αν η ενϋργεια τησ ταλϊντωςησ του εύναι Ε και του εύναι Ε, τότε: Ε m Ε m Ε α. β. γ. = Ε m Ε m Ε Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ 3. Τλικό ςημεύο εκτελεύ ταυτόχρονα δύο απλϋσ αρμονικϋσ ταλαντωςεισ, γύρω από την ύδια θϋςη ιςορροπύασ και ςτην ύδια διεύθυνςη. Οι ταλαντώςεισ περιγρϊφονται από τισ ςχϋςεισ: π π y Aημ ωt+, y = 3ημ ωt- 3 6 Αν Ε, Ε, Εολ εύναι οι ενϋργειεσ ταλϊντωςησ για την πρώτη, για τη δεύτερη και για τη ςυνιςταμϋνη ταλϊντωςη, τότε ιςχύει: α. Εο λ = Ε Ε, β. Εολ = Ε+Ε, γ. Ε ολ Ε Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 5. Απλόσ αρμονικόσ ταλαντωτόσ, ελατόριομϊζα, με ςταθερϊ ελατηρύου k = 00 N/m και μϊζα m = kg εκτελεύ εξαναγκαςμϋνη ταλϊντωςη με ςυχνότητα διεγϋρτη f = 8/π Hz. Αν η ςυχνότητα του διεγϋρτη αυξηθεύ, τότε το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ i. μειώνεται ii. αυξϊνεται iii. μϋνει ςταθερό. α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 6. ε κεκλιμϋνο επύπεδο γωνύασ κλύςησ εύναι τοποθετημϋνα δύο ςώματα και με μϊζεσ m κ α ι m αντύςτοιχα, που εφϊπτονται μεταξύ τουσ. Σο ςώμα εύναι δεμϋνο ςτο ϊκρο ελατηρύου ςταθερϊσ k, ενώ το ϊλλο ϊκρο του ελατηρύου εύναι ςτερεωμϋνο ςτη βϊςη του κεκ λιμϋνου επιπϋδου, όπωσ φαύνεται ςτο χόμα. Μετακινώντασ τα δύο ςώματα προσ τα κϊτω, το ςύςτημα τύθεται ςε ταλϊντωςη πλϊτουσ Α. Η ςυνθόκη για να μην αποχωριςτεύ το από το εύναι : α. Ak<(m+m) g ημθ β. Ak>(m+m) g ημθ Κ. Β.Φιρφιρής 68

69 69 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ γ. Ak>(m+m) g ημθ 7. Δύο όμοια ςώματα, ύςων μαζών m το καθϋνα, ςυνδϋονται με όμοια ιδανικϊ ελατόρια ςταθερϊσ k το καθϋνα, των οπούων τα ϊλλα ϊκρα εύναι ςυνδεδεμϋνα ςε ακλόνητα ςημεύα, όπωσ ςτο ςχόμα. Οι ϊξονεσ των δύο ελατηρύων βρύςκονται ςτην ύδια ευθεύα, τα ελατόρια βρύςκονται ςτο φυςικό τουσ μόκοσ l0 και το οριζόντιο επύπεδο ςτο οπούο βρύςκονται εύναι λεύο. Μετακινούμε το ςώμα προσ τα αριςτερϊ κατϊ d και ςτη ςυνϋχεια το αφόνουμε ελεύθερο να κινηθεύ. Σο ςώμα ςυγκρούεται πλαςτικϊ με το ςώμα. Σο ςυςςωμϊτωμα που προκύπτει εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη με ςταθερϊ επαναφορϊσ D = k. Αν Α το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςώματοσ πριν τη κρούςη και Α το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςυςςωματώματοσ μετϊ την κρούςη, τότε ο λόγοσ A/A εύναι: α) β) ½ γ) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη αιτιολογώντασ την επιλογό ςασ. 8. Ένα μικρό ςώμα εκτελεύ ταυτόχρονα δύο απλϋσ αρμονικϋσ ταλαντώςεισ, με εξιςώςεισ απομϊκρυνςησ x=aημωt και x=aημ π ωt+ και με ενϋργειεσ ταλϊντωςησ Ε και Ε, αντύςτοιχα. Οι ταλαντώςεισ γύνονται γύρω από το ύδιο ςημεύο και ςτην ύδια διεύθυνςη. Η ενϋργεια ταλϊντωςησ Ε τησ ςύνθετησ ταλϊντωςησ εύναι ύςη με Ε +Ε i. E=E+E ii. Ε= iii. Ε= Ε +Ε α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. Ε. 3 ο Θέμα. το ϋνα ϊκρο ιδανικού ελατηρύου εύναι ςτερεωμϋνο ςώμα μϊζασ m=,44kg, ενώ το ϊλλο του ϊκρο εύναι ακλόνητο. Πϊνω ςτο ςώμα κϊθεται ϋνα πουλύ μϊζασ m και το ςύςτημα ταλαντώνεται ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο. Η μϋγιςτη ταχύτητα ταλϊντωςησ του ςυςτόματοσ εύναι 0,4π m/s και η δυναμικό του ενϋργεια μηδενύζεται κϊθε 0,5s. Όταν το ςύςτημα διϋρχεται από την ακραύα θϋςη ταλϊντωςησ, το πουλύ πετϊ κατακόρυφα και το νϋο ςύςτημα ταλαντώνεται με κυκλικό ςυχνότητα,5π rad/s. Να βρεύτε: α. Σην περύοδο και το πλϊτοσ τησ αρχικόσ ταλϊντωςησ. β. Ση ςταθερϊ του ελατηρύου. γ. Tη μϋγιςτη ταχύτητα τησ νϋασ ταλϊντωςησ. δ. Ση μϊζα του πουλιού. Δύνεται: π = 3,4.. Σα ςώματα και, αμελητϋων διαςτϊςεων, με μϊζεσ m =kg και m =3kg αντύςτοιχα εύναι τοποθετημϋνα ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο. Σο ςώμα εύναι δεμϋνο ςτη μύα ϊκρη οριζόντιου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ k=00 N/m. Η ϊλλη ϊκρη του ελατηρύου, εύναι ακλόνητα ςτερεωμϋνη. Σο ελατόριο με τη βοόθεια νόματοσ εύναι ςυςπειρωμϋνο κατϊ 0,m, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Σο ιςορροπεύ ςτο οριζόντιο επύπεδο ςτη θϋςη που αντιςτοιχεύ ςτο φυςικό μόκοσ l 0 του ελατηρύου. Κϊποια χρονικό ςτιγμό κόβουμε το νόμα και το ςώμα κινούμενο προσ τα δεξιϊ ςυγκρούεται κεντρικϊ και ελαςτικϊ με το ςώμα. Θεωρώντασ ωσ αρχό μϋτρηςησ των χρόνων τη ςτιγμό τησ κρούςησ και ωσ θετικό φορϊ κύνηςησ την προσ τα δεξιϊ, να υπολογύςετε α. την ταχύτητα του ςώματοσ λύγο πριν την Κ. Β.Φιρφιρής 69

70 70 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ κρούςη του με το ςώμα. β. τισ ταχύτητεσ των ςωμϊτων και, αμϋςωσ μετϊ την κρούςη. γ. την απομϊκρυνςη του ςώματοσ, μετϊ την κρούςη, ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. δ. την απόςταςη μεταξύ των ςωμϊτων και όταν το ςώμα ακινητοποιεύται ςτιγμιαύα για δεύτερη φορϊ. Δεχθεύτε την κύνηςη του ςώματοσ τόςο πριν, όςο και μετϊ την κρούςη ωσ απλό αρμονικό ταλϊντωςη ςταθερϊσ k. Δύνεται π=3,4 3. Τλικό ςημεύο εκτελεύ ταυτόχρονα δύο απλϋσ αρμονικϋσ ταλαντώ-ςεισ, οι οπούεσ γύνονται ςτην ύδια διεύθυνςη και γύρω από την ύδια θϋςη ιςορροπύασ. Οι ταλαντώςεισ περιγρϊφονται από τισ εξιςώςεισ : με Α = 4 cm και ω = 0 rad/s. α. Να υπολογιςθεύ το πλϊτοσ Α ολ τησ ςυνιςταμϋνησ απλόσ αρμονικόσ ταλϊντωςησ που εκτελεύ το. β. Να γραφεύ η εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ τησ ταλϊντωςησ που εκτελεύ το. γ. Να γραφεύ η εξύςωςη τησ ταχύτητασ ταλϊντωςησ του και να υπολογιςθεύ η αλγεβρικό τιμό τησ ταχύτητασ τη χρονικό π ςτιγμό t= s μετϊ από τη ςτιγμό t=0. 6 δ. Να υπολογιςθεύ ο λόγοσ τησ κινητικόσ προσ τη δυναμικό ενϋργεια τησ ταλϊντωςησ του π υλικού ςημεύου τη χρονικό ςτιγμό t= s ώμα μϊζασ m = kg ιςορροπεύ πϊνω ςε λεύο κεκλιμϋνο επύπεδο που ςχηματύζει με τον ορύζοντα γωνύα φ = 30 ο. Σο ςώμα εύναι δεμϋνο ςτην ϊκρη ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ Κ = 00Ν/m το ϊλλο ϊκρο του οπούου ςτερεώνεται ςτη βϊςη του κεκλιμϋνου επιπϋδου, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Εκτρϋπουμε το ςώμα κατϊ d = 0,m από τη θϋςη ιςορροπύασ του κατϊ μόκοσ του κεκλιμϋνου επιπϋδου και το αφόνουμε ελεύθερο. α. Να αποδεύξετε ότι το ςώμα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη. β. Να υπολογύςετε τη μϋγιςτη τιμό του μϋτρου του ρυθμού μεταβολόσ τησ ορμόσ του ςώματοσ. Μετακινούμε το ςώμα προσ τα κϊτω κατϊ μόκοσ του κεκλιμϋνου επιπϋδου μϋχρι το ελατόριο να ςυμπιεςτεύ από το φυςικό του μόκοσ κατϊ Δl = 0,3m. Σοποθετούμε ϋνα δεύτερο ςώμα μϊζασ m = kg ςτο κεκλιμϋνο επύπεδο, ώςτε να εύναι ςε επαφό με το ςώμα, και ύςτερα αφόνουμε τα ςώματα ελεύθερα. γ. Να υπολογύςετε τη ςταθερϊ επαναφορϊσ του ςώματοσ κατϊ τη διϊρκεια τησ ταλϊντωςόσ του. δ. Να υπολογύςετε ςε πόςη απόςταςη από τη θϋςη που αφόςαμε ελεύθερα τα ςώματα χϊνεται η επαφό μεταξύ τουσ. Δύνονται: ημ30 ο = /, g = 0m/s 5. ώμα με μϊζα m κινεύται ςε οριζόντιο επύπεδο ολιςθαύνοντασ προσ ϊλλο ςώμα με μϊζα m = m, το οπούο αρχικϊ εύναι ακύνητο. Έςτω υ0 η ταχύτητα που ϋχει το ςώμα τη ςτιγμό t0 = 0 και ενώ βρύςκεται ςε απόςταςη d = m από το ςώμα. Αρχικϊ, θεωρούμε ότι το ςώμα εύναι ακύνητο πϊνω ςτο επύπεδο δεμϋνο ςτο ϋνα ϊκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρύου με αμελητϋα μϊζα και ςταθερϊ ελατηρύου k, και το οπούο ϋχει το φυςικό του μόκοσ l0. Σο δεύτερο ϊκρο του ελατηρύου εύναι Κ. Β.Φιρφιρής 70

71 7 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ςτερεωμϋνο ςε ακλόνητο τούχο, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα: Αμϋςωσ μετϊ τη κρούςη, που εύναι κεντρικό και ελαςτικό, το ςώμα αποκτϊ ταχύτητα με μϋτρο υ = 0 m/s και φορϊ αντύθετη τησ αρχικόσ ταχύτητασ. Δύνεται ότι ο ςυντελεςτόσ τριβόσ ολύςθηςησ των δύο ςωμϊτων με το οριζόντιο επύπεδο εύναι μ = 0,5 και ότι η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ εύναι g = 0 m/s. α. Να υπολογύςετε την αρχικό ταχύτητα υ0 του ςώματοσ. β. Να υπολογύςετε το ποςοςτό τησ κινητικόσ ενϋργειασ που μεταφϋρθηκε από το ςώμα ςτο ςώμα κατϊ την κρούςη. γ. Να υπολογύςετε το ςυνολικό χρόνο κύνηςησ του ςώματοσ από την αρχικό χρονικό ςτιγμό t0 μϋχρι να ακινητοποιηθεύ τελικϊ. Δύνεται : 0 3, δ. Να υπολογύςετε τη μϋγιςτη ςυςπεύρωςη του ελατηρύου, αν δύνεται ότι m = kg και k = 05 N/m. Θεωρόςτε ότι η χρονικό διϊρκεια τησ κρούςησ εύναι αμελητϋα και ότι τα δύο ςώματα ςυγκρούονται μόνο μύα φορϊ. 6. Σα ςώματα και, του ςχήματοσ 4, με μϊζεσ m = kg και m = 4 kg αντύςτοιχα, βρύςκονται ακύνητα ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο και εφϊπτονται μεταξύ τουσ. Σα ςώματα εύναι δεμϋνα ςτην ϊκρη δύο όμοιων ιδανικών ελατηρύων ςταθερϊσ k = 00 Ν/m, που βρύςκονται ςτο φυςικό τουσ μόκοσ και των οπούων η ϊλλη ϊκρη εύναι ςταθερϊ ςτερεωμϋνη. α. Να γρϊψετε τισ εξιςώςεισ των απομακρυνςεων x και x των ςωμϊτων και ςυναρτόςει του χρόνου. Ωσ θετικό φορϊ ορύζεται η από το προσ και ωσ x = 0 ορύζεται η θϋςη που εφϊπτονται αρχικϊ τα ςώματα ςτο ςχήμα 4. β. Σα ςώματα και κινούμενα με αντύθετη φορϊ ςυγκρούονται ςτη θϋςη x=- d/ Να υπολογύςετε τα μϋτρα των ταχυτότων τουσ ελϊχιςτα πριν από την κρούςη. γ. Η κρούςη που ακολουθεύ εύναι πλαςτικό. Να αποδεύξετε ότι το ςυςςωμϊτωμα μετϊ την κρούςη θα εκτελϋςει απλό αρμονικό ταλϊντωςη. δ. Να βρεύτε το μϋτρο του μϋγιςτου ρυθμού μεταβολόσ τησ ορμόσ του ςυςςωματώματοσ μετϊ την κρούςη. 7. το κϊτω ϊκρο κατακόρυφου ελατηρύου, του οπούου το ϊλλο ϊκρο εύναι ςτερεωμϋνο ςε ακλόνητο ςημεύο τησ οροφόσ, εύναι δεμϋνο ςώμα μϊζασ m= kg. Σο ελατόριο εύναι ιδανικό και ϋχει ςταθερϊ k = 00 N/m. To ςώμα ιςορροπεύ με τη βοόθεια κατακόρυφου νόματοσ το οπούο αςκεύ δύναμη F = 0 N ςτο ςώμα, όπωσ φαύνεται ςτο χόμα. Μετακινούμε τα ςώματα και ϋτςι ώςτε τα ελατόρια να ςυςπειρωθούν κατϊ d = 0, m το καθϋνα (ςχήμα 5) και ςτη ςυνϋχεια τη χρονικό ςτιγμό t = 0 αφόνονται ελεύθερα να ταλαντωθούν. α. Να υπολογύςετε την επιμόκυνςη του ελατηρύου ςε ςχϋςη με το φυςικό του μόκοσ. Κ. Β.Φιρφιρής 7

72 7 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Σην χρονικό ςτιγμό t0 = 0 κόβεται το νόμα ςτο ςημεύο Γ. β. Να υπολογύςετε το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςώματοσ. γ. Να γρϊψετε τη ςχϋςη που δύνει την απομϊκρυνςη του ςώματοσ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. Θετικό φορϊ θεωρεύται η φορϊ του βϊρουσ. δ. Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ ταχύτητασ του ςώματοσ όταν η δυναμικό ενϋργεια τησ ταλϊντωςησ εύναι ύςη με 4/5 τησ ολικόσ ενϋργειασ ταλϊντωςησ. Δύνεται ότι η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ εύναι g = 0 m/s 8. ώμα, μϊζασ m = kg, εύναι δεμϋνο ςτο ϊκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ k = 00 N/m. Σο ϊλλο ϊκρο του ελατηρύου εύναι ακλόνητα ςτερεωμϋνο. Σο ςώμα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη, πλϊτουσ Α = 0,4 m, ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο. Ση χρονικό ςτιγμό που το ςώμα ϋχει A 3 απομϊκρυνςη x= κινούμενο κατϊ τη θετικό φορϊ, ςυγκρούεται πλαςτικϊ με ςώμα, μϊζασ m = 3 kg. Σο ςώμα κινεύται, λύγο πριν την κρούςη, με ταχύτητα υ = 8 m/s ςε διεύθυνςη που ςχηματύζει γωνύα φ( όπου ςυνφ= 3 ) με το οριζόντιο επύπεδο, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Σο ςυςςωμϊτωμα που προκύπτει μετϊ την κρούςη, εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη. ενϋργεια του ςυςςωματώματοσ ςε ςυνϊρτηςη με την απομϊκρυνςη. δ. Να υπολογύςετε το ποςοςτό επύ τοισ εκατό (%) τησ κινητικόσ ενϋργειασ του ςυςτόματοσ των ςωμϊτων και, ακριβώσ πριν την κρούςη που μετατρϊπηκε ςε θερμότητα, κατϊ την κρούςη. Να θεωρόςετε ότι: η διϊρκεια τησ κρούςησ εύναι αμελητϋα. η θετικό φορϊ εύναι αυτό που φαύνεται ςτο ςχόμα Σ. 4 ο Θέμα. Σο ςώμα του ςχόματοσ ϋχει μϊζα Kg, κινεύται με ταχύτητα υ=8m/s ςε λεύο και οριζόντιο επύπεδο και ςυγκρούεται κεντρικϊ και ελαςτικϊ με ακύνητο ςώμα, μϊζασ 3Kg. To εύναι δεμϋνο ςτην ϊκρη οριζόντιου ελατηρύου ςταθερϊσ 300Ν/m, που βρύςκεται ςτο φυςικό μόκοσ του. Να υπολογύςετε: α. τισ ταχύτητεσ των δύο ςωμϊτων μετϊ την κρούςη. β. την περύοδο τησ ταλϊντωςησ του ςώματοσ. γ. την ενϋργεια με την οπούα ταλαντώνεται το ςώμα. δ. την απόςταςη μεταξύ των ςωμϊτων όταν το επιςτρϋφει για πρώτη φορϊ ςτο ςημεύο τησ κρούςησ. α. Να υπολογύςετε την ταχύτητα του ςώματοσ λύγο πριν την κρούςη και την ταχύτητα του ςυςςωματώματοσ, αμϋςωσ μετϊ την κρούςη. β. Να υπολογύςετε το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςυςςωματώματοσ. γ. Να εκφρϊςετε την κινητικό ενϋργεια του ςυςςωματώματοσ ςε ςυνϊρτηςη με την απομϊκρυνςη. Να ςχεδιϊςετε (με ςτυλό) ςε βαθμολογημϋνουσ ϊξονεσ την κινητικό.ακύνητο ςώμα μϊζασ Μ=9 0 - kg βρύςκεται πϊνω ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο και εύναι προςδεμϋνο ςτην ϊκρη οριζόντιου ελατηρύου ςταθερϊσ K=000N/m. Η ϊλλη ϊκρη του ελατηρύου εύναι ακλόνητα ςτερεωμϋνη, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Βλόμα μϊζασ m= 0 - kg που κινεύται κατϊ τη διεύθυνςη του ϊξονα του ελατηρύου με Κ. Β.Φιρφιρής 7

73 73 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ταχύτητα υ, ςυγκρούεται με το ακύνητο ςώμα μϊζασ Μ και ςφηνώνεται ς' αυτό. Μετϊ την κρούςη το ςυςςωμϊτωμα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη πλϊτουσ Α=0,m. Α. Να υπολογύςετε: α. την περύοδο Σ τησ ταλϊντωςησ του ςυςςωματώματοσ. β. την ταχύτητα του ςυςςωματώματοσ, αμϋςωσ μετϊ την κρούςη. γ. την ταχύτητα υ, με την οπούα το βλόμα προςκρούει ςτο ςώμα μϊζασ Μ. Β. Να γρϊψετε την εξύςωςη απομϊκρυνςησ τησ ταλϊντωςησ ςε ςχϋςη με το χρόνο. 3. ιςορροπύασ του με ταχύτητα υ=6 m/s κινούμενο προσ τα δεξιϊ. Να βρεύτε: α. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςώματοσ. β. Ση μϊζα του ςώματοσ. γ. Σην απομϊκρυνςη του ςώματοσ από τη θϋςη ιςορροπύασ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο και να τη ςχεδιϊςετε ςε αριθμημϋνουσ ϊξονεσ για το χρονικό διϊςτημα από 0 ϋωσ (π/5) s. δ. Για ποιεσ απομακρύνςεισ ιςχύει Κ=3U, όπου Κ η κινητικό ενϋργεια και U η δυναμικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ. 5. Σο ςώμα μϊζασ m = kg του επόμενου ςχόματοσ ώμα μϊζασ Μ = 0, kg εύναι δεμϋνο ςτο ϋνα ϊκρο οριζοντύου ελατηρύου και ηρεμεύ. Σο ϊλλο ϊκρο του ελατηρύου εύναι ςταθερϊ ςυνδεδεμϋνο με κατακόρυφο τούχο. Μεταξύ ςώματοσ και οριζοντύου δαπϋδου δεν εμφανύζονται τριβϋσ. Βλόμα μϊζασ m = 0,00 kg κινούμενο κατϊ μόκοσ του ϊξονα του ελατηρύου με ταχύτητα υ = 00 m/s διαπερνϊ ακαριαύα το ςώμα και κατϊ την ϋξοδό του η ταχύτητϊ του γύνεται υ = υ /. Να βρεθούν: α. Η ταχύτητα v με την οπούα θα κινηθεύ το ςώμα αμϋςωσ μετϊ την ϋξοδο του βλόματοσ. β. Η μϋγιςτη επιμόκυνςη του ελατηρύου. γ. Η περύοδοσ με την οπούα ταλαντώνεται το ςώμα. δ. Η ελϊττωςη τησ μηχανικόσ ενϋργειασ κατϊ την παραπϊνω κρούςη. Δύνεται η ςταθερϊ του ελατηρύου k = 000 N/m. 4. To ςώμα του ςχόματοσ εύναι ςυνδεδεμϋνο ςτο ϊκρο ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ k=900 N/m, το ϊλλο ϊκρο του οπούου εύναι ςτερεωμϋνο ςε ακλόνητο ςημεύο. Σο ςύςτημα ταλαντώνεται ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο με περύοδο Σ=(π/5) s. Σο ςώμα τη χρονικό ςτιγμό t=0 διϋρχεται από τη θϋςη αφόνεται να ολιςθόςει από την κορυφό λεύου κατακόρυφου τεταρτοκυκλύου ακτύνασ R =,8 m. τη ςυνϋχεια το ςώμα κινεύται πϊνω ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο και ςυγκρούεται κεντρικϊ και πλαςτικϊ με ακύνητο ςώμα μϊζασ m = kg. Σο ςώμα εύναι ςτερεωμϋνο ςτο ϋνα ϊκρο οριζόντιου ελατηρύου ςταθερϊσ k = 300 Ν/m, το ϊλλο ϊκρο του οπούου εύναι ςτερεωμϋνο ςε ακλόνητο ςημεύο. Ση ςτιγμό τησ κρούςησ η ταχύτητα του εύναι παρϊλληλη με τον ϊξονα του ελατηρύου. Μετϊ την κρούςη το ςυςςωμϊτωμα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη. Να βρεύτε: α. Σην ταχύτητα του ςώματοσ, ςτο οριζόντιο επύπεδο, πριν ςυγκρουςτεύ με το. β. Σην ταχύτητα του ςυςςωματώματοσ, αμϋςωσ μετϊ την κρούςη. γ. Σο διϊςτημα που διανύει το ςυςςωμϊτωμα, μϋχρι η ταχύτητϊ του να μηδενιςτεύ για πρώτη φορϊ. δ. Σο χρονικό διϊςτημα από τη ςτιγμό τησ κρούςησ, μϋχρι τη ςτιγμό που η ταχύτητα του ςυςςωματώματοσ μηδενύζεται για δεύτερη φορϊ. Δύνεται η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ: g = 0 m/s. Κ. Β.Φιρφιρής 73

74 74 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 6. ώμα μϊζασ m = 0, kg που εύναι προςδεμϋνο ςτο ϊκρο τεντωμϋνου νόματοσ αφόνεται ελεύθερο από ύψοσ h, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Όταν το νόμα βρύςκεται ςτην κατακόρυφη θϋςη, το ςώμα ϋχει ταχύτητα μϋτρου u = m/sec και ςυγκρούεται μετωπικϊ και ελαςτικϊ με ακύνητο ςώμα μϊζασ m, όπου m = m. Σο ςώμα μϊζασ m, μετϊ την ςύγκρουςη, κινεύται ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο και ςυγκρούεται μετωπικϊ και πλαςτικϊ με ςώμα μϊζασ m 3 = 0,7 kg. Σο ςώμα μϊζασ m 3 εύναι προςδεμϋνο ςτο ϋνα ϊκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ k = 0 N/m, το ϊλλο ϊκρο του οπούου εύναι ακλόνητα ςτερεωμϋνο. Ση ςτιγμό τησ ςύγκρουςησ, το ελατόριο ϋχει το φυςικό του μόκοσ και ο ϊξονϊσ του ςυμπύπτει με τη διεύθυνςη τησ κύνηςησ του ςώματοσ μϊζασ m. Να θεωρόςετε αμελητϋα τη χρονικό διϊρκεια των κρούςεων και τη μϊζα του νόματοσ. Να υπολογύςετε: α. το ύψοσ h από το οπούο αφϋθηκε ελεύθερο το ςώμα μϊζασ m. β. το μϋτρο τησ ταχύτητασ του ςώματοσ μϊζασ m, με την οπούα προςκρούει ςτο ςώμα μϊζασ m 3. γ. το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ που εκτελεύ το ςυςςωμϊτωμα που προϋκυψε από την πλαςτικό κρούςη. δ. το μϋτρο τησ ορμόσ του ςυςςωματώματοσ μετϊ από χρόνο t=π/5 sec από τη χρονικό ςτιγμό που αυτό ϊρχιςε να κινεύται. Δύνονται: g = 0 ms -, ςυν π/3 = 0,5. 7. Ένα ςώμα μϊζασ m εύναι δεμϋνο ςτο ϋνα ϊκρο οριζόντιου ελατηρύου ςταθερϊσ Κ. Σο ϊλλο ϊκρο του ελατηρύου εύναι ακλόνητα ςτερεωμϋνο. Σο ςύςτημα ελατόριο-μϊζα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο και τη χρονικό ςτιγμό t=0 το ςώμα διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ του, κινούμενο κατϊ τη θετικό φορϊ. Η εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ τησ ταλϊντωςησ του ςώματοσ δύνεται από τη ςχϋςη x = 0,ημ0t (SI). Η ολικό ενϋργεια τησ ταλϊντωςησ εύναι Ε = 6 J. Ση χρονικό ςτιγμό t=π/0 sec ςτο ςώμα ςφηνώνεται βλόμα μϊζασ m=m / κινούμενο με ταχύτητα υ κατϊ την αρνητικό φορϊ. Σο ςυςςωμϊτωμα που προκύπτει μετϊ την κρούςη εκτελεύ νϋα απλό αρμονικό ταλϊντωςη πλϊτουσ A =0, 6 m. α. Να υπολογύςετε τη ςταθερϊ Κ του ελατηρύου και τη μϊζα m του ςώματοσ. β. Να υπολογύςετε την ολικό ενϋργεια Ε και τη γωνιακό ςυχνότητα ω τησ ταλϊντωςησ του ςυςςωματώματοσ. γ. Να υπολογύςετε την ταχύτητα υ του βλόματοσ πριν από την κρούςη. 8. Ηλεκτρικό κύκλωμα περιλαμβϊνει ιδανικό πηνύο με ςυντελεςτό αυτεπαγωγόσ L=8mH, πυκνωτό χωρητικότητασ C και διακόπτη Δ. Η ωμικό αντύςταςη του κυκλώματοσ θεωρεύται αμελητϋα. Ο πυκνωτόσ φορτύζεται πλόρωσ και τη χρονικό ςτιγμό t=0 ο διακόπτησ κλεύνει, οπότε το κύκλωμα κϊνει αμεύωτη ηλεκτρικό ταλϊντωςη με περύοδο T=8π 0-4 s. H ολικό ενϋργεια του κυκλώματοσ εύναι E=9 0-5 J. Να υπολογύςετε : α) την τιμό τησ χωρητικότητασ C του πυκνωτό β) τη μϋγιςτη τιμό τησ ϋνταςησ του ρεύματοσ ςτο κύκλωμα γ) Σην τιμό τησ ϋνταςησ του ρεύματοσ ςτο κύκλωμα τη χρονικό ςτιγμό t, κατϊ την οπούα η ενϋργεια του ηλεκτρικού πεδύου του πυκνωτό γύνεται για πρώτη φορϊ τριπλϊςια τησ ενϋργειασ του μαγνητικού πεδύου ςτο πηνύο δ) την παραπϊνω χρονικό ςτιγμό t. (Δύνεται ημ π/6 = / ). Κ. Β.Φιρφιρής 74

75 75 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 9. ώμα μϊζασ m =3Kg εύναι ςτερεωμϋνο ςτην ϊκρη οριζοντύου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ Κ=400N/m, του οπούου το ϊλλο ϊκρο εύναι ακλόνητα ςτερεωμϋνο. Σο ςώμα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο με περύοδο Σ και πλϊτοσ Α=0,4m. Ση χρονικό ςτιγμό t 0 =0 το ςώμα βρύςκεται ςτη θϋςη τησ μϋγιςτησ θετικόσ απομϊκρυνςησ. Ση χρονικό ςτιγμό t=t/6, ϋνα ςώμα μϊζασ m =Kg που κινεύται ςτην ύδια κατεύθυνςη με το ςώμα μϊζασ m και ϋχει ταχύτητα μϋτρου u =8 m/s ςυγκρούεται κεντρικϊ και πλαςτικϊ με αυτό. Να υπολογύςετε : α. την αρχικό φϊςη τησ ταλϊντωςησ του ςώματοσ μϊζασ m β. τη θϋςη ςτην οπούα βρύςκεται το ςώμα μϊζασ m τη ςτιγμό τησ ςύγκρουςησ γ. την περύοδο ταλϊντωςησ του ςυςςωματώματοσ δ. την ενϋργεια τησ ταλϊντωςησ μετϊ την κρούςη. Α. Να αποδεύξετε ότι το ςώμα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη. Β. Να γρϊψετε τη ςχϋςη που δύνει την απομϊκρυνςη του ςώματοσ από τη θϋςη ιςορροπύασ του ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. Να θεωρόςετε θετικό φορϊ τη φορϊ από το Α προσ το Β. Κϊποια χρονικό ςτιγμό που το ςώμα βρύςκεται ςτην αρχικό του θϋςη, τοποθετούμε πϊνω του (χωρύσ αρχικό ταχύτητα) ϋνα ϊλλο ςώμα μικρών διαςτϊςεων μϊζασ m =6 kg. Σο ςώμα δεν ολιςθαύνει πϊνω ςτο ςώμα λόγω τησ τριβόσ που δϋχεται από αυτό. Σο ςύςτημα των δύο ςωμϊτων κϊνει απλό αρμονικό ταλϊντωςη. Γ.Να βρεύτε τη ςταθερϊ επαναφορϊσ τησ ταλϊντωςησ του ςώματοσ. Δ. Να βρεύτε τον ελϊχιςτο ςυντελεςτό οριακόσ ςτατικόσ τριβόσ που πρϋπει να υπϊρχει μεταξύ των ςωμϊτων και, ώςτε το να μην ολιςθαύνει ςε ςχϋςη με το. 3 Δύνονται : ημ30, συν30, g=0m/s ο ο. ε λεύο οριζόντιο επύπεδο ςφαύρα μϊζασ 0. Λεύο κεκλιμϋνο επύπεδο ϋχει γωνύα κλύςησ φ=30 ο. τα ςημεύα Α και Β ςτερεώνουμε τα ϊκρα δύο ιδανικών ελατηρύων με ςταθερϋσ k =60 Ν/m και k =40 Ν/m αντύςτοιχα. τα ελεύθερα ϊκρα των ελατηρύων, δϋνουμε ςώμα, μϊζασ m = kg και το κρατϊμε ςτη θϋςη όπου τα ελατόρια ϋχουν το φυςικό τουσ μόκοσ (όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα). m=m=kg, κινούμενη με ταχύτητα u= 4 3 m/s ςυγκρούεται ελαςτικϊ αλλϊ όχι κεντρικϊ με δεύτερη όμοια ςφαύρα μϊζασ m=m, που εύναι αρχικϊ ακύνητη. Μετϊ την κρούςη οι ςφαύρεσ ϋχουν ταχύτητεσ μϋτρων υ και u u 3 A.Να βρεύτε τη γωνύα φ που ςχηματύζει το διϊνυςμα τησ ταχύτητασ u με το διϊνυςμα τησ ταχύτητασ u B. Να υπολογύςετε τα μϋτρα των ταχυτότων υ και υ ώμα μϊζασ Μ=3m ιςορροπεύ δεμϋνο ςτο ϊκρο ελατηρύου, ςταθερϊσ k, που βρύςκεται ςε οριζόντιο επύπεδο. Σο ελατόριο βρύςκεται ςτη θϋςη του φυςικού του μόκουσ. Ση χρονικό ςτιγμό t 0 =0 αφόνουμε το ςώμα ελεύθερο. Η ςφαύρα μϊζασ m, κινούμενη οριζόντια με ταχύτητα υ, ςφηνωνεται ςτο ςώμα Μ. Κ. Β.Φιρφιρής 75

76 76 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Γ. Να βρεύτε τη μεταβολό τησ κινητικόσ ενϋργειασ του ςυςτόματοσ των ςωμϊτων (Μ,m) κατϊ την κρούςη. Δ. Αν ο ςυντελεςτόσ τριβόσ μεταξύ ςυςςωματώματοσ (Μ,m) και οριζοντύου επιπϋδου εύναι μ= και η μϋγιςτη ςυςπεύρωςη του ελατηρύου μετϊ την κρούςη εύναι xmax=0,0m, να βρεθεύ η ςταθερϊ k του ελατηρύου. Δύνεται επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ g=0m/s. τα δύο ϊκρα λεύου επιπϋδου ςτερεώνουμε τα ϊκρα δύο ιδανικών ελατηρύων με ςταθερϋσ k =60 Ν/m και k =40 Ν/m αντύςτοιχα. τα ελεύθερα ϊκρα των ελατηρύων, δϋνουμε ϋνα ςώμα μϊζασ m=kg ώςτε τα ελατόρια να ϋχουν το φυςικό τουσ μόκοσ (όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα.) Εκτρϋπουμε το ςώμα κατϊ Α=0, m προσ τα δεξιϊ και τη χρονικό ςτιγμό t ο =0 αφόνουμε το ςώμα ελεύθερο. Α. Να αποδεύξετε ότι το ςώμα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη. Β. Να γρϊψετε τη ςχϋςη που δύνει την απομϊκρυνςη του ςώματοσ από τη θϋςη ιςορροπύασ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. Να θεωρόςετε θετικό την φορϊ προσ τα δεξιϊ. Γ. Να εκφρϊςετε το λόγο τησ δυναμικόσ ενϋργειασ τησ ταλϊντωςησ προσ τη μϋγιςτη κινητικό ενϋργεια ςε ςυνϊρτηςη με την απομϊκρυνςη x. Δ.Ση ςτιγμό που το ελατόριο βρύςκεται ςτη A θϋςη x= + αφαιρεύται ακαριαύα το ελατόριο k. Να υπολογύςετε το πλϊτοσ τησ νϋασ ταλϊντωςησ. Σο ςώμα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη πϊνω ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο με πλϊτοσ Α=0, m. Κατϊ την διϊρκεια τησ ταλϊντωςησ το ςώμα ςυγκρούεται πλαςτικϊ και κεντρικϊ με ϊλλο ακύνητο ςώμα μϊζασ m= kg. Η κρούςη ςυμβαύνει ςτη θϋςη x= A, όταν το ςώμα κινεύται προσ τα δεξιϊ. Να υπολογύςετε: Α. Σο μϋτρο τησ ταχύτητασ του ςώματοσ ελϊχιςτα πριν την κρούςη. Β. Σο ποςοςτό ελϊττωςησ (επύ τοισ εκατό) τησ κινητικόσ ενϋργειασ του ςυςτόματοσ των ςωμϊτων λόγω τησ κρούςησ. Γ. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςυςςωματώματοσ μετϊ την κρούςη. Δ. Σην απόλυτη τιμό του ρυθμού μεταβολόσ τησ κινητικόσ ενϋργειασ του ςυςςωματώματοσ αμϋςωσ μετϊ την κρούςη. 4. ε λεύο οριζόντιο επύπεδο ςφαύρα μϊζασ m=m=kg, κινούμενη με ταχύτητα u= 4 3 m/s ςυγκρούεται ελαςτικϊ αλλϊ όχι κεντρικϊ με δεύτερη όμοια ςφαύρα μϊζασ m=m, που εύναι αρχικϊ ακύνητη. Μετϊ την κρούςη οι ςφαύρεσ u ϋχουν ταχύτητεσ μϋτρων υ και u 3 A.Να βρεύτε τη γωνύα φ που ςχηματύζει το διϊνυςμα τησ ταχύτητασ u με το διϊνυςμα τησ ταχύτητασ u B. Να υπολογύςετε τα μϋτρα των ταχυτότων υ και υ. ώμα μϊζασ Μ=3m ιςορροπεύ δεμϋνο ςτο ϊκρο ελατηρύου ςταθερϊσ k=00 Ν/m, που βρύςκεται κατϊ μόκοσ κεκλιμϋνου επιπϋδου γωνύασ θ =30 ο, όπωσ ςτο ςχόμα. 3. ώμα μϊζασ Μ=3 kg, εύναι ςτερεωμϋνο ςτο ϊκρο οριζο- ντιου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ k=00 N m Σο ϊλλο ϊκρο του ελατηρύου ςτηρύζεται ςε ακλόνητο ςημεύο. Κ. Β.Φιρφιρής 76

77 77 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Η ςφαύρα, μϊζασ m, κινούμενη οριζόντια με την ταχύτητα u ςφηνώνεται ςτο ςώμα Μ. Γ. Να βρεύτε τη μεταβολό τησ κινητικόσ ενϋργειασ του ςυςτόματοσ των ςωμϊτων (Μ,m) κατϊ την κρούςη. Δ. Δεδομϋνου ότι το ςυςςωμϊτωμα (Μ,m) μετϊ την κρούςη εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη, να βρεύτε το πλϊτοσ Α τησ ταλϊντωςησ αυτόσ. Δύνονται: η επιτϊχυνςη βαρύτητασ g=0m/s,ημ30 0 =, ςυν300 = 3 5. Σο ςώμα του ςχόματοσ που ϋχει μϊζα m = kg εύναι δεμϋνο ςτο ϋνα ϊκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρύου, ςταθερϊσ k, του οπούου το ϊλλο ϊκρο εύναι ακλόνητο. Σο ςώμα ταλαντώνεται οριζόντια πϊνω ςτο λεύο οριζόντιο επύπεδο ΠΠ με πλϊτοσ Α = 0, m και περύοδο Σ =π/5 s. οριζόντιο επύπεδο ΠΠ. Σο ςυγκρούεται μετωπικϊ (κεντρικϊ) και ελαςτικϊ με το ςώμα τη ςτιγμό που το ϋχει τη μϋγιςτη ταχύτητϊ του και κινεύται αντύθετα από το. γ. Να υπολογύςετε τη μϋγιςτη ςυςπεύρωςη του ελατηρύου μετϊ από αυτό την κρούςη. δ. Να δεύξετε πωσ ςτη ςυνϋχεια το ςώμα θα προλϊβει το ςώμα και θα ςυγκρουςτούν πϊλι πριν το ςώμα φτϊςει ςτη βϊςη του πλϊγιου επιπϋδου. Η απόςταςη από τη βϊςη του πλϊγιου επιπϋδου μϋχρι το κϋντρο τησ ταλϊντωςησ του εύναι αρκετϊ μεγϊλη. Η διϊρκεια τησ κρούςησ θεωρεύται αμελητϋα. Δύνεται g= 0 m/s 6.Κατακόρυφο ελατόριο ςταθερϊσ Κ=00Ν/m ϋχει το κϊτω ϊκρο του ςτερεωμϋνο ςτο δϊπεδο. το επϊνω ϊκρο του ελατηρύου ϋχει προςδεθεύ ςώμα με μϊζα Μ = 4 kg που ιςορροπεύ. Δεύτερο ςώμα με μϊζα m = kg βρύςκεται πϊνω από το πρώτο ςώμα ςε ϊγνωςτο ύψοσ h, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Να υπολογύςετε: α. Σην τιμό τησ ςταθερϊσ k του ελατηρύου. β. Ση μϋγιςτη ταχύτητα ταλϊντωςησ του ςώματοσ. Σο ςώμα του ςχόματοσ με μϊζα m = kg αφόνεται ελεύθερο να ολιςθόςει πϊνω ςτο λεύο πλϊγιο επύπεδο, από τη θϋςη Γ. Η κατακόρυφη απόςταςη τησ θϋςησ Γ από το οριζόντιο επύπεδο εύναι Η =,8 m. Σο ςώμα, αφού φθϊςει ςτη βϊςη του πλϊγιου επιπϋδου, ςυνεχύζει να κινεύται, χωρύσ να αλλϊξει μϋτρο ταχύτητασ, πϊνω ςτο Μετακινούμε το ςώμα προσ τα κϊτω κατϊ d=π/0 m και το αφόνουμε ελεύθερο, ενώ την ύδια ςτιγμό αφόνουμε ελεύθερο και το δεύτερο ςώμα. α. Να υπολογύςετε την τιμό του ύψουσ h ώςτε τα δύο ςώματα να ςυναντηθούν ςτη θϋςη ιςορροπύασ του ςώματοσ. β. Αν η κρούςη των δύο ςωμϊτων εύναι πλαςτικό να δεύξετε ότι το ςυςςωμϊτωμα αμϋςωσ μετϊ την κρούςη ακινητοποιεύται ςτιγμιαύα. γ. Να υπολογύςετε το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςυςςωματώματοσ. δ. Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ μϋγιςτησ δύναμησ που αςκεύ το ελατόριο ςτο ςυςςωμϊτωμα. Κ. Β.Φιρφιρής 77

78 78 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Δύνεται g= 0 m/s. Να θεωρόςετε ότι π =0. 7. ώμα μϊζασ m = 7kg ιςορροπεύ δεμϋνο ςτο πϊνω ϊκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ Κ = 00 N/m, το ϊλλο ϊκρο του οπούου εύναι ςτερεωμϋνο ςτο δϊπεδο. Από ύψοσ h = 3,m πϊνω από το ςτην ύδια κατακόρυφο με τον ϊξονα του ελατηρύου αφόνεται ελεύθερο ςώμα μϊζασ m = kg, το οπούο ςυγκρούεται με το κεντρικϊ και πλαςτικϊ. Να υπολογύςετε α. το μϋτρο τησ ταχύτητασ υ του οριακϊ πριν αυτό ςυγκρουςτεύ με το. β. το μϋτρο τησ ταχύτητασ του ςυςςωματώματοσ αμϋςωσ μετϊ την κρούςη. γ. το πλϊτοσ Α τησ ταλϊντωςησ του ςυςςωματώματοσ. δ. τη μϋγιςτη δυναμικό ενϋργεια του ελατηρύου. Δύνεται η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ: g = 0m/s. Κ. Β.Φιρφιρής 78

79 79 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ KYMATA ΜΕΡΙΚΕ ΦΡΗΙΜΕ ΕΝΝΟΙΕ.Οι δομικϋσ μονϊδεσ (π.χ μόρια) ενόσ υλικού μϋςου αλληλεπιδρούν μεταξύ τουσ. Έτςι τα μόρια «πϊλλονται» γύρω από μύα θϋςη ιςορροπύασ.αν προκαλϋςουμε μύα διαταραχό ςε κϊποιο ςημεύο του υλικού μϋςου,μετατοπύζουμε μύα ςτοιχειώδη μϊζα από την θϋςη ιςορροπύασ τησ. Σότε ςτη ςτοιχειώδη μϊζα από τισ γειτονικϋσ αςκούνται δυνϊμεισ που τεύνουν να την ξαναφϋρουν ςτη θϋςη ιςορροπύασ ενώ η ύδια αςκεύ ςτισ γειτονικϋσ δυνϊμεισ που τισ απομακρύνει από την θϋςη ιςορροπύασ τουσ. Έτςι η διαταραχό που προκαλϋςαμε αρχύζει να διαδύδεται μϋςα ςτο υλικό μϋςο.η διϊδοςη αυτόσ τησ διαταραχόσ ςτο υλικό μϋςο ονομϊζεται μηχανικό κύμα. Γενικά : Κύμα ονομάζουμε την διάδοςη οποιαςδήποτε διαταραχήσ ςτο χώρο..α. Πηγή του κύματοσ ονομϊζουμε την αιτύα που προκαλεύ την διαταραχό. Κϊθε ςημεύο του χώρου που προςβϊλλεται από ϋνα κύμα μπορεύ ςτη ςυνϋχεια να θεωρηθεύ πηγό..β. Κατά τη διάδοςη του κύματοσ δεν μεταφέρεται ύλη.γ. Κατϊ τη διϊδοςη του κύματοσ μεταφϋρεται ενϋργεια και ορμό..δ. Ονομϊζουμε ταχύτητα του κύματοσ το πηλύκο u=x/t όπου x η απόςταςη που διαδύδεται το κύμα ςε χρόνο t. Η ταχύτητα του κύματοσ εξαρτϊται μόνο από τισ ιδιότητεσ του μϋςου που διαδύδεται και όχι από το πόςο ιςχυρό εύναι η διαταραχό..ε. Αν η διαταραχό που διαδύδεται εύναι περιοδικό κύνηςη το αντύςτοιχο κύμα που προκύπτει ονομϊζεται περιοδικό κύμα. Ειδικότερα,αν η διαταραχό που διαδύδεται εύναι Α.Α.Σ το κύμα που προκύπτει ονομϊζεται ημιτονοειδέσ ή περιοδικό κύμα..ςτ. Με κριτόριο τη διεύθυνςη που κινούνται τα ςημεύα του ελαςτικού μϋςου ςε ςχϋςη με τη διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ,τα κύματα διακρύνονται : i.) ε εγκϊρςια : Εγκϊρςια ονομϊζονται τα κύματα ςτα οπούα όλα τα υλικϊ ςημεύα του υλικού μϋςου ταλαντώνονται κϊθετα ςτη διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ. Σα εγκϊρςια κύματα διαδύδονται μόνο ςτα ςτερεϊ. ΦΡΗΙΜΕ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ Σα κύματα που διαδύδονται ςτην επιφϊνεια των υγρών μπορούν να θεωρηθούν εγκϊρςια. Κ. Β.Φιρφιρής 79

80 80 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ii.) ε διαμόκη : Διαμόκη ονομϊζονται τα κύματα ςτα οπούα τα ςημεύα του ελαςτικού μϋςου ταλαντώνονται παρϊλληλα ςτη διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ. τη ςυνϋχεια θα μελετόςουμε κατϊ κανόνα αρμονικϊ κύματα : Περιόδοσ (Σ) του αρμονικού κύματοσ ονομϊζουμε το χρονικό διϊςτημα,ςτο οπούο ϋνα ςωματύδιο του μϋςου εκτελεύ μύα πλόρη απλό αρμονικό ταλϊντωςη. Επύςησ περύοδοσ του κύματοσ εύναι το χρονικό διϊςτημα ςτο οπούο η κυματικό εικόνα του μϋςου επαναλαμβϊνεται. υχνότητα (f) του κύματοσ ονομϊζεται η ςυχνότητα ταλϊντωςησ των υλικών ςημεύων του μϋςου. Μήκοσ κύματοσ (λ) ονομϊζεται η απόςταςη που διανύει το κύμα ςτο χρόνο μύασ περιόδου. Εύναι : x=ut ή λ=ut ή λ=u f ή Διϊμηκεσ κύμα διαδύδεται κατϊ μόκοσ του ελατηρύου. u=λf () Η ςχϋςη () ονομϊζεται θεμελιώδη εξύςωςη τησ κυματικόσ. Δύο διαδοχικϊ ςημεύα που απϋχουν μεταξύ τουσ ϋνα μόκοσ κύματοσ ( d=λ ),ϋχουν ςυνεχώσ ύδιεσ απομακρύνςεισ,ύδιεσ ταχύτητεσ και ύδιεσ επιταχύνςεισ ( λϋμε τότε ότι ταλαντώνονται «εν φϊςη» ό ότι εύναι ςυμφαςικϊ ). Γενικϊ ςημεύα που απϋχουν μεταξύ τουσ ακϋραιο πολλαπλϊςιο του μόκουσ κύματοσ d=κλ ταλαντώνονται, «εν φϊςη» δηλαδό εύναι ςυμφαςικϊ. Όταν το κύμα αλλϊζει μϋςο διϊδοςησ αλλϊζει και ταχύτητα διϊδοςησ. Σο γεγονόσ αυτό ϋχει ςαν αποτϋλεςμα να μεταβϊλλεται το μόκοσ κύματοσ. Προςοχό! Η ςυχνότητα του κύματοσ δεν αλλϊζει κατϊ την διϊδοςη του κύματοσ και παραμϋνει ύδια με τη ςυχνότητα τησ πηγόσ. Κ. Β.Φιρφιρής 80

81 8 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ςτιγμό την ύδια απομϊκρυνςη δ. ωςτϋσ εύναι οι προτϊςεισ α. και γ. 5.) το παρακϊτω διϊγραμμα φαύνονται οι απομακρύνςεισ δύο πηγών που δημιουργούν κύματα ςτο ύδιο μϋςο. ΕΡΩΣΗΕΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΕΠΙΛΟΓΗ.) Ένα μηχανικό κύμα : α. Μεταφϋρει ύλη,ορμό και ενϋργεια β. Μεταφϋρει μόνο ύλη γ. Δεν μεταφϋρει ύλη αλλϊ ορμό και ενϋργεια δ. Δεν ιςχύει τύποτα από τα παραπϊνω.) τα εγκϊρςια μηχανικϊ κύματα : α. Η διεύθυνςη ταλϊντωςησ των υλικών ςημεύων του μϋςου εύναι κϊθετη ςτη διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ β. Η διεύθυνςη ταλϊντωςησ των υλικών ςημεύων του μϋςου εύναι ύδια με την διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ γ. Η διεύθυνςη ταλϊντωςησ των υλικών ςημεύων του μϋςου εύναι κϊθετη ςτη διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ,όταν αυτό διαδύδεται ςε αϋριο. δ. Οι προτϊςεισ α. και γ. εύναι ςωςτϋσ. 3.) Όταν ϋνα κύμα αλλϊζει μϋςο διϊδοςησ. α. Η ςυχνότητα του αλλϊζει γιατύ αλλϊζει η ταχύτητα διϊδοςησ. β. Η ταχύτητα του καθώσ και το μόκοσ κύματοσ αλλϊζει ενώ η ςυχνότητα παραμϋνει ςταθερό. γ. Όλα τα μεγϋθη που εμφανύζονται ςτην κυματικό εξύςωςη u=λf αλλϊζουν δ. ωςτϋσ προτϊςεισ εύναι οι α. και β. 4.) Δύο ςημεύα γραμμικού ελαςτικού μϋςου ςτο οπούο διαδύδεται ϋνα αρμονικό κύμα απϋχουν μεταξύ τουσ d=κλ όπου λ το μόκοσ κύματοσ α. Σα ςημεύα διϋρχονται ταυτόχρονα από θϋςη ιςορροπύασ ϋχοντασ ύδιεσ ταχύτητεσ. β. Σα ςημεύα διϋρχονται ταυτόχρονα από θϋςη ιςορροπύασ ϋχοντασ αντύθετεσ ταχύτητεσ. γ. Σα ςημεύα ϋχουν οποιαδόποτε χρονικό α. Σο κύμα () διαδύδεται με μεγαλύτερο μόκοσ κύματοσ. β. Σα δύο κύματα ϋχουν ύδιεσ ςυχνότητεσ γ. Η ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ () εύναι μικρότερη από την ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ () δ. Οι προτϊςεισ α. και γ. εύναι ςωςτϋσ. 6.) Μύα πηγό όχου δημιουργεύ όχο που διαδύδεται ςτον αϋρα και τον οπούο ακούμε : α. Σο ηχητικό κύμα εύναι εγκϊρςιο β. Σο ηχητικό κύμα εύναι διϊμηκεσ γ. Σο ηχητικό κύμα δεν μπορεύ να διαδοθεύ ςτα ςτερεϊ ςώματα δ. ωςτϋσ εύναι οι προτϊςεισ β, γ Κ. Β.Φιρφιρής 8

82 8 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Η ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΥΗ ΣΟΤ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤ ΚΤΜΑΣΟ Ασ θεωρόςουμε ϋνα γραμμικό ελαςτικό μϋςο ςτο οπούο ϋνα υλικό ςημεύο (Ο) που βρύςκεται ςτη θϋςη x=0 αρχύζει να εκτελεύ Α.Α.Σ. τη χρονικό ςτιγμό to =0 και ότι η εξύςωςη ταλϊντωςησ εύναι y=aημωt (Δηλαδό για to =0 εύναι y=0 και V>0 όπου V η ταχύτητα ταλϊντωςησ του ςημεύου ) ΦΡΗΙΜΕ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ Οποιοδήποτε ςημείο του μζςου που «προςβάλλεται» από ζνα κφμα ςυμπεριφζρεται ςαν πηγή κφματοσ. O x ε ϋνα ςημεύο Μ του ελαςτικού μϋςου το κύμα θα φτϊςει μετϊ από χρόνο t=x/u ( όπου u η ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ ) Αυτό ςημαύνει ότι ενώ η πηγό (x=0) ταλαντώνεται επύ χρόνο t το ςημεύο Μ ταλαντώνεται επύ χρόνο t =t-t ό t =t-x/u Επομϋνωσ η εξύςωςη απομϊκρυνςησ που περιγρϊφει την κύνηςη του Μ εύναι x y=aημω( t- u ) ή y=aημ π Τ t- x ( u ) ή M t x y=aημπ ( - Τ uτ ) ή Παρατηρούμε ότι η φϊςη του Μ εξαρτϊται από μεταβλητϋσ : α. Σο χρόνο ταλϊντωςησ τησ πηγόσ β. Ση θϋςη του Μ δηλαδό την απόςταςη του από τη πηγό (x=0) t x y=aημπ ( - ) Τ λ Όταν το κύμα διαδίδεται προσ την αρνητική κατεύθυνςη + () O M x x=0 Από το Μ προσ το Ο. Σο ςημεύο (πηγό) x=0 ταλαντώνεται με καθυςτϋρηςη ςε ςχϋςη με το Μ. Έτςι αν η «πηγό» ταλαντώνεται για χρόνο t,το Μ ταλαντώνεται «επιπλϋον» για χρονικό διϊρκεια t=x/u.οπότε ο χρόνοσ ταλϊντωςησ του Μ εύναι t = t + x/u και η εξύςωςη κύνηςησ του Μ εύναι : y=aημω( t+ x u ) ή t x y=aημπ ( + ) () Τ λ Κ. Β.Φιρφιρής 8

83 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ τισ ςχϋςεισ : ΦΡΗ ΙΜΕ ΠΑΡΑΣΗΡΗ ΕΙ x t y=aημπ ( ) λ Τ και x t + ) Τ λ Σο Α ονομϊζεται πλϊτοσ του κύματοσ και η t x t x γωνύα ( ) ό ( ) φϊςη T T και μετριϋται ςε rad. Παρατηρόςεισ πϊνω ςτη φϊςη :. Παρατηρούμε ότι η φϊςη εξαρτϊται γραμμικϊ από δύο μεταβλητϋσ. ον Σο χρόνο.εύναι : t x θ=π( ) ι Τ Για ύδιο x (δηλαδό αναφερόμαςτε ςε ςυγκεκριμϋνο ςημεύο του μϋςου) η φϊςη αυξϊνει γραμμικϊ με το χρόνο. Επύςησ η εξύςωςη ταλϊντωςησ δεν ϋχει νόημα για κϊποιο ςημεύο αν αυτό δεν αρχύζει να ταλαντώνεται και αυτό ςυμβαύνει με καθυςτϋρηςη t =x/u από τη ςτιγμό to=0 που αρχύζει την ταλϊντωςη η πηγό.εύναι : x u x θo=π ι ) Τ x x θo=π ι ι ) θo=0 Δηλαδό η φϊςη του ςημεύου την ςτιγμό που αυτό αρχύζει την ταλϊντωςη,εύναι μηδϋν y=aημπ ( ) ) 83 θ(rad) Για t =x/u, φο=0 Αρνητικϋσ φϊςεισ δεν ϋχουν νόημα. π x u x u +T t(sec) Κ. Β.Φιρφιρής 83

84 84 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Διαφορϊ φϊςεων μεταξύ δύο διαφορετικών ςτιγμών t, t ( t>t για ύδιο x δηλαδό για το ύδιο ςημεύο του μϋςου ) θ =π( t T - x ι ) θ =π( t T - x ι ) t Δθ=θ T - x -θ = π( ι ) - Δθ= ή π( π( t T - x ι - t T + x ι ) ή t T - x ι ) Δθ= π( t T - t T ) ή Δθ=π Δt T t x ον Από τη θϋςη (x) εύναι ( ) T.Παρατηρούμε ότι την ύδια χρονικό ςτιγμό δύο ςημεύα ςε θϋςεισ x και x ϋχουν διαφορετικϋσ x φϊςεισ ( )() x t ( )() όπου : T ό Προςϋχοντασ τισ () και () βλϋπουμε ότι όςο μεγαλώνει το x η φϊςη μικραύνει δηλαδό κατϊ την διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ η φϊςη μικραύνει. + Εύναι t x T t x T ( ) ( ) t x t x T T t x t x ( ) T T ( x x) x ( ) ( ) Δθ=π d ι ΓΡΑΥΙΚΗ ΠΑΡΑΣΑΗ ΣΩΝ ΥΑΕΩΝ ΣΩΝ ΗΜΕΙΩΝ ΣΟΤ ΜΕΟΤ ΣΗΝ ΙΔΙΑ ΦΡΟΝΙΚΗ ΣΙΓΜΗ (τιγμιότυπο) t x Σην χρονικό ςτιγμό t εύναι ( ) T t Για x=0 ( πηγό ) και για το ςημεύο o T ςτο οπούο φτϊνει εκεύ την ςτιγμό το κύμα x=ut φ=0 θ π t T t=t x 0 M N x Εύναι φ>φ : Σο κύμα διαδύδεται από ςημεύο με μεγαλύτερη φϊςη προσ ςημεύο με μικρότερη φϊςη. Διαφορϊ φϊςησ μεταξύ δύο ςημεύων του γραμμικού μϋςου που απϋχουν μεταξύ τουσ απόςταςη d=x-x την ύδια χρονικό ςτιγμό. x 0 M N x d Για x >ut η εξύςωςη του κύματοσ δεν ιςχύει. ut ΓΡΑΥΙΚΗ ΠΑΡΑΣΑΗ ΚΤΜΑΣΟ t x Από τη ςχϋςη y A ( ) T καταλαβαύνουμε ότι δεν μπορούμε να παραςτόςουμε γραφικϊ ςε επύπεδο ςχόμα την απομϊκρυνςη των ςημεύων του μϋςου από τη θϋςη ιςορροπύασ διότι αυτό εύναι ςυνϊρτηςη δύο μεταβλητών του χρόνου και τησ θϋςησ του ςημεύου. x Κ. Β.Φιρφιρής 84

85 85 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Αν όμωσ διατηρόςουμε ςταθερό την μύα από τισ δύο μπορούμε να παραςτόςουμε γραφικϊ την απομϊκρυνςη ςε ςχϋςη με την ϊλλη. ΣΙΓΜΙΟΣΤΠΟ ΚΤΜΑΣΟ (t : ςταθερό) Αν δούμε για μύα ςυγκεκριμϋνη χρονικό ςτιγμό ( t: ςταθερό ) την εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ αυτό ϋχει την μορφό x y A ( ) Σο διϊγραμμα αυτόσ τησ ςυνϊρτηςησ μασ δύνει τισ απομακρύνςεισ των υλικών ςημεύων του μϋςου ςε ςχϋςη με τη θϋςη τουσ (x) μύα οριςμϋνη χρονικό ςτιγμό και ονομϊζεται ςτιγμιότυπο του κύματοσ. ΟΔΗΓΙΕ ΓΙΑ ΣΗΝ ΔΗΜΙΟΤΡΓΙΑ ΣΟΤ ΣΙΓΜΙΟΣΤΠΟΤ ον Τπολογύζουμε για το ςυγκεκριμϋνο t την απομϊκρυνςη τησ πηγόσ ( x=0 ) y A ( ) ον Βρύςκουμε ςε ποιο x ϋχει φτϊςει το κύμα x ( x ut ό ( ) 0 ) 3 ον Ξεκινώντασ από τη θϋςη x=x και προσ τη θϋςη x=0 χωρύζουμε τον ϊξονα ςε λ/ μϋχρι η απόςταςη που θα μεύνει από την αρχό των αξόνων να εύναι d 4 ον και κϊθε λ/ αντιςτοιχούμε μιςό μόκοσ κύματοσ όπωσ ςτο ςχόμα. ον Τπολογύζουμε τη χρονικό ςτιγμό που το x ςημεύο αρχύζει να ταλαντώνεται t u t x ό ( ) 0 T ον Από την t χωρύζουμε τον ϊξονα των χρόνων ςε Σ/ όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα ημεύωςη : Για τισ γραφικϋσ παραςτϊςεισ τησ ταχύτητασ και τησ επιτϊχυνςησ εργαζόμαςτε όπωσ ςτισ ταλαντώςεισ. ΓΡΑΥΙΚΗ ΠΑΡΑΣΑΗ ΣΗ ΑΠΟΜΑΚΡΤΝΗ ΕΝΟ ΗΜΕΙΟΤ Ε ΦΕΗ ΜΕ ΣΟΝ ΦΡΟΝΟ. Για ϋνα ςυγκεκριμϋνο ςημεύου του μϋςου ( η μεταβλητό x παύρνει μύα ςυγκεκριμϋνη τιμό x=0cm.) Οπότε η εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ του t ςημεύου γύνεται y A ( ) T «Δεν ξεχνϊμε ότι τα υλικϊ ςημεύα του μϋςου πϊνω ςτο οπούο διαδύδεται ϋνα κύμα εκτελούν Α.Α ταλαντώςεισ» Άρα για την δυναμικό, την κινητικό και την ολικό ενϋργεια ταλϊντωςησ ενόσ υλικού ςημεύου ιςχύει : U + K = Εολ ό /mω y +/mu =/mω Α ό ω y +u =ω Α ό u =ω (Α - y ) Όπου u η ταχύτητα ταλϊντωςησ του ςημεύου. και η γραφικό παρϊταςη γύνεται ωσ εξόσ : Κ. Β.Φιρφιρής 85

86 86 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΕΡΩΣΗΕΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΕΠΙΛΟΓΗ 7. Δύνεται η παρακϊτω εξύςωςη κύματοσ y=0,04ημ(0πt-0,πx) Επομϋνωσ α. Σο κύμα ϋχει ςυχνότητα f=5hz και μόκοσ κύματοσ 5m β. Σο κύμα ϋχει ςυχνότητα f=5hz και μόκοσ κύματοσ λ= 0m, και διαδύδεται προσ την αρνητικό κατεύθυνςη. γ. Σο κύμα ϋχει ςυχνότητα f=5hz και μόκοσ κύματοσ λ= 0m, και διαδύδεται προσ τη θετικό κατεύθυνςη. δ. Σο κύμα ϋχει περύοδο Σ=0,s, μόκοσ κύματοσ λ=0m και διαδύδεται με ταχύτητα u=m/s 8. Αν τη χρονικό ςτιγμό t=0,0s η φϊςη ενόσ ςημεύου υλικού μϋςου πϊνω ςτο οπούο διαδύδεται ϋνα κύμα εύναι φ και τη χρονικό ςτιγμό t=0,06s εύναι φ και φ-φ=0,8π rad,τότε η ςυχνότητα ταλϊντωςησ εύναι : α. Ηz β. 5Ηz γ. 0Ηz δ. 0Ηz 9. Δύο ςημεύα ενόσ γραμμικού ελαςτικού μϋςου πϊνω ςτο οπούο διαδύδεται ϋνα κύμα την ύδια χρονικό ςτιγμό ϋχουν διαφορϊ φϊςησ Δφ=π/3 rad. Αν τα ςημεύα απϋχουν μεταξύ τουσ d=0cm, το μόκοσ κύματοσ εύναι : α. 0cm β. 40cm γ. 60cm δ. 0cm 0. Η ταχύτητα διϊδοςησ ενόσ κύματοσ ςε ϋνα ελαςτικό μϋςο εύναι u=m/s. Δύο ςημεύα του μϋςου που απϋχουν μεταξύ τουσ d=40cm παρουςιϊζουν διαφορϊ φϊςησ την ύδια χρονικό ςτιγμό Δφ=π rad. Η ςυχνότητα του κύματοσ εύναι : α. Ηz β.,5ηz γ. 5Ηz δ. 4Ηz. Δύο ςημεύα ενόσ γραμμικού ελαςτικού μϋςου πϊνω ςτο οπούο διαδύδεται ϋνα κύμα,διϋρχονται ταυτόχρονα από τη θϋςη ιςορροπύασ το ϋνα προσ τη θετικό και το ϊλλο προσ την αρνητικό κατεύθυνςη.αν κ=,,3,4,5,.. τα δύο ςημεύα απϋχουν μεταξύ τουσ. α. d β. d ΕΡΩΣΗΕΙ ΣΤΠΟΤ ΩΣΟ-ΛΑΘΟ. Η ταχύτητα με την οπούα διαδύδεται ϋνα κύμα ςε ϋνα μϋςον, εξαρτϊται μόνο από τισ ιδιότητεσ του μϋςου που διαταρϊςςεται, και όχι από το πόςο ιςχυρό εύναι η διαταραχό. 3. Σα διαμόκη κύματα διαδύδονται μόνο ςτα ςτερεϊ ςώματα. 4. Εγκϊρςια ονομϊζονται τα κύματα ςτα οπούα όλα τα ςημεύα του ελαςτικού μϋςου ταλαντώνονται παρϊλληλα ςτη διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ. 5. Όταν διαδύδονται διαμόκη κύματα ςε ϋνα ελαςτικό μϋςο,ςχηματύζονται «όρη» και «κοιλϊδεσ». 6. Όταν διαδύδονται διαμόκη κύματα ςε ϋνα ελαςτικό μϋςον, τα μόρια του ελαςτικού μϋςου ταλαντώνονται παρϊλληλα ςτη διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ. 7. Η ςυχνότητα ενόσ κύματοσ δεν εξαρτϊται από το μϋςον ςτο οπούο διαδύδεται το κύμα. 8. Αν ϋνα κύμα αλλϊζει μϋςον διϊδοςησ,το μόκοσ κύματοσ δε μεταβϊλλεται. 9. Σο κύμα που δημιουργεύται από το κτύπημα του κουδουνιού εύναι επιφανειακού 0. Κατϊ μόκοσ γραμμικού ομογενούσ ελαςτικού μϋςου διαδύδεται αρμονικό κύμα,μόκουσ κύματοσ λ. Η διαφορϊ φϊςησ μεταξύ δύο ςημεύων του ελαςτικού μϋςου,την ύδια χρονικό ςτιγμό,εύναι φ=πd/λ, όπου d η απόςταςη μεταξύ των ςημεύων.. Η εξύςωςη y A ( ut x) περιγρϊφει αρμονικό κύμα το οπούο διαδύδεται κατϊ τη θετικό κατεύθυνςη του ϊξονα x x. Η εξύςωςη y=aημ(ωt+kx),όπου k=π/λ περιγρϊφει αρμονικό κύμα το οπούο διαδύδεται κατϊ την αρνητικό κατεύθυνςη του ϊξονα x x. 3. Σο ςτιγμιότυπο αρμονικού κύματοσ παριςτϊνει την απομϊκρυνςη ενόσ υλικού ςημεύου του ελαςτικού μϋςου,ςτο οπούο διαδύδεται το κύμα, ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. 4. Σο ςτιγμιότυπο γραμμικού αρμονικού κύματοσ παριςτϊνει την απομϊκρυνςη y από τη θϋςη ιςορροπύασ των διαφόρων ςημεύων του ελαςτικού μϋςου,ωσ ςυνϊρτηςη τησ θϋςησ x, μύα ςυγκεκριμϋνη χρονικό ςτιγμό. γ. d ( ) δ. d ( ) Κ. Β.Φιρφιρής 86

87 87 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΑΚΗΕΙ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ 5. Σο ςημεύο Ο ομογενούσ ελαςτικόσ χορδόσ,τη χρονικό ςτιγμό t=0,αρχύζει να εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη με εξύςωςη y=0,05ημ8πt (SI) κϊθετα ςτη διεύθυνςη τησ χορδόσ.σο κύμα που παρϊγεται διαδύδεται κατϊ τη θετικό φορϊ του ϊξονα x x κατϊ μόκοσ τησ χορδόσ,που διϋρχεται από το ςημεύο Ο με ταχύτητα μϋτρου 0m/s. α. Να βρεθεύ ο χρόνοσ που χρειϊζεται ϋνα υλικό ςημεύο του ελαςτικού μϋςου για να εκτελϋςει μύα πλόρη ταλϊντωςη. β. Να βρεθεύ το μόκοσ κύματοσ του αρμονικού κύματοσ. γ. Να γραφεύ η εξύςωςη του ύδιου κύματοσ. δ. Να βρεθεύ το μϋτρο τησ μϋγιςτησ ταχύτητασ με την οπούα ταλαντώνεται ϋνα ςημεύο τησ χορδόσ. 6. Σο ςχόμα παριςτϊνει ςτιγμιότυπο εγκϊρςιου αρμονικού κύματοσ,ενώ το ςχόμα παριςτϊνει την κατακόρυφη απομϊκρυνςη από τη θϋςη ιςορροπύασ ενόσ δεδομϋνου ςημεύου του ελαςτικού μϋςου,ςτο οπούο διαδύδεται το παραπϊνω κύμα ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. Από τη μελϋτη των δύο κυμϊτων προκύπτει ότι η ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ εύναι : α. 0,m/s β. m/s γ. 0m/s Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ 7. Η πηγό κύματοσ Ο αρχύζει τη χρονικό ςτιγμό to=0s να εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη πλϊτουσ Α=0,05m.Σο αρμονικό κύμα που δημιουργεύται διαδύδεται κατϊ μόκοσ γραμμικού ομογενούσ ελαςτικού μϋςου,κατϊ τον ϊξονα Οx. το παρακϊτω ςχόμα απεικονύζεται το ςτιγμιότυπο του κύματοσ μετϊ από χρόνο t=0,3s, κατϊ το οπούο το κύμα ϋχει διαδοθεύ ςε απόςταςη 3m. α. Να βρεύτε την ταχύτητα u διϊδοςησ του κύματοσ ςτο ελαςτικό μϋςο. β. Να βρεύτε την περύοδο Σ του αρμονικού κύματοσ γ. Να γρϊψετε την εξύςωςη του αρμονικού κύματοσ δ. Να απεικονύςετε το ςτιγμιότυπο του κύματοσ τη χρονικό ςτιγμό t=t+t/4 8. ε ϋνα ςημεύο μύασ λύμνησ μύα μϋρα χωρύσ αϋρα,ϋνα ςκϊφοσ ρύχνει ϊγκυρα.από το ςημεύο τησ επιφϊνειασ τησ λύμνησ που πϋφτει η ϊγκυρα ξεκινϊ εγκϊρςιο κύμα.ένασ ϊνθρωποσ που βρύςκεται ςε βϊρκα παρατηρεύ ότι το κύμα φτϊνει ςε αυτόν 50s μετϊ την πτώςη τησ ϊγκυρασ. Σο κύμα ϋχει ύψοσ 0cm πϊνω από την επιφϊνεια τησ λύμνησ, η απόςταςη ανϊμεςα ςε δύο διαδοχικϋσ κορυφϋσ του κύματοσ εύναι m,ενώ μϋςα ςε χρόνο 5s το κύμα φτϊνει ςτη βϊρκα 0φορϋσ. Να υπολογύςετε : Α. Σην περύοδο του κύματοσ που φτϊνει ςτη βϊρκα Β. Σην ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ. Γ. Σην απόςταςη τησ βϊρκασ από το ςημεύο πτώςησ τησ ϊγκυρασ Δ. Ση μϋγιςτη ταχύτητα ταλϊντωςησ του ανθρώπου ςτη βϊρκα. 9. Πηγό Ο αρχύζει να ταλαντώνεται με εξύςωςη y=aημωt ςε γραμμικό ελαςτικό μϋςο.σο παραγόμενο αρμονικό κύμα διαδύδεται κατϊ τη θετικό φορϊ του ϊξονα Οx. O A B Σα ςημεύα Α, Β που φαύνονται ςτο ςχόμα απϋχουν από τη πηγό Ο αποςτϊςεισ xa, xb και οι φϊςεισ τουσ την ύδια χρονικό ςτιγμό εύναι αντύςτοιχα φα,φβ.ποιο από τα δύο ιςχύει ; α. φα<φβ β. φα>φβ Να δικαιολογόςετε την απϊντηςη ςασ x Κ. Β.Φιρφιρής 87

88 88 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 30. Δύο ςημαδούρεσ Α και Β απϋχουν μεταξύ τουσ απόςταςη ΑΒ=3,5m και η ευθεύα που διϋρχεται από αυτϋσ εύναι κϊθετη ςτην ακτογραμμό. Πλούο που κινεύται παρϊλληλα ςτην ακτογραμμό,μακριϊ από τισ ςημαδούρεσ δημιουργεύ κύμα,με φορϊ διϊδοςησ από την Α προσ τη Β, το οπούο θεωρούμε εγκϊρςιο αρμονικό.σο κύμα διαδύδεται προσ την ακτό. Εξ αιτύασ του κύματοσ η κϊθε ςημαδούρα διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ τησ 30φορϋσ το λεπτό. Ο χρόνοσ που απαιτεύται,για να φτϊςει ϋνα «όροσ» του κύματοσ από τη ςημαδούρα Α ςτη Β εύναι 9s.Η μϋγιςτη ταχύτητα ταλϊντωςησ κϊθε ςημαδούρασ εύναι π/5 m/s. Θεωρούμε ωσ αρχό μϋτρηςησ των αποςτϊςεων τη ςημαδούρα Α και ωσ αρχό μϋτρηςησ των χρόνων τη ςτιγμό που η ςημαδούρα Α βρύςκεται ςτη θϋςη ιςορροπύασ και κινεύται προσ τα θετικϊ. α. Να υπολογιςτεύ το μόκοσ κύματοσ β. Πόςο απϋχει η ςημαδούρα Α από την ακτό,αν αυτό βρύςκεται για η φορϊ ςτην ανώτερη θϋςη τησ ταλϊντωςησ τησ,όταν το κύμα φτϊςει ςτην ακτό. γ. Να γραφεύ η εξύςωςη ταλϊντωςησ τησ ςημαδούρασ Β,καθώσ το κύμα διαδύδεται από τη ςημαδούρα Α προσ τη Β. δ. Να βρεθεύ το μϋτρο τησ ταχύτητασ ταλϊντωςησ τησ ςημαδούρασ Β κϊποια χρονικό ςτιγμό που η ςημαδούρα Α βρύςκεται ςτο ανώτατο ςημεύο τησ ταλϊντωςόσ τησ. 3. Κατϊ μόκοσ γραμμικού ομογενούσ ελαςτικού μϋςου, το οπούο ϋχει τη διεύθυνςη του ϊξονα x x διαδύδεται εγκϊρςιο αρμονικό κύμα,μόκουσ κύματοσ λ=0cm,προσ την αρνητικό κατεύθυνςη του ϊξονα. Η απομϊκρυνςη ενόσ ςημεύου Ο, το οπούο θεωρούμε ωσ αρχό του ϊξονα, δύνεται από την εξύςωςη y=ημ0πt (y ςε cm, x ςε s ). Με ποιο ό με ποια από τα παρακϊτω ςυμφωνεύτε ό διαφωνεύτε και γιατύ ; α. Η εξύςωςη του κύματοσ εύναι x y=εκπ(0t+ ) ( x,y ςε cm, t ςε s) 0 β. Η διαφορϊ φϊςησ φα-φβ μεταξύ των ταλαντώςεων δύο ςημεύων Α(40cm) και Β(-40cm) την ύδια χρονικό ςτιγμό εύναι 8π. γ. Η ταχύτητα ταλϊντωςησ του ςημεύου Β τη χρονικό ςτιγμό t=3s εύναι V=-40π cm/s δ. Η ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ εύναι u=m/s. 3. Κατϊ μόκοσ γραμμικού ομογενούσ ελαςτικού μϋςου διαδύδεται κατϊ τη θετικό κατεύθυνςη, ημιτονοειδϋσ κύμα ςυχνότητασ f=500hz, με ταχύτητα u=000m/s και πλϊτοσ Α=5cm. α. Να υπολογύςετε : i.) το μόκοσ κύματοσ ii.) την περύοδο και την κυκλικό ςυχνότητα τησ ταλϊντωςησ ενόσ μορύου του ελαςτικού μϋςου. β. Να γρϊψετε την εξύςωςη του κύματοσ Η πηγό του κύματοσ βρύςκεται ςτην αρχό Ο του ϊξονα x x και τη χρονικό ςτιγμό t=0 για την πηγό δύνεται ότι y=0, V= Μύα πηγό Ο που βρύςκεται ςτη θϋςη x=0 του ϊξονα x x αρχύζει τη ςτιγμό t=0, να εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη με εξύςωςη y=0,04ημ4πt (SI). Σο παραγόμενο κύμα διαδύδεται κατϊ τη θετικό κατεύθυνςη του ϊξονα με ταχύτητα u=50m/s. α. Να υπολογύςετε το μόκοσ κύματοσ του αρμονικού κύματοσ. β. Να γρϊψετε την εξύςωςη του κύματοσ. γ. Ποια χρονικό ςτιγμό θα αρχύζει να κινεύται ϋνα ςημεύο Μ του ϊξονα x x που βρύςκεται ςτη θϋςη x=500m ; δ. Ση χρονικό ςτιγμό t=0s να βρεύτε για το ςημεύο Μ i.) την απομϊκρυνςη του y από τη θϋςη ιςορροπύασ του. ii.) την ταχύτητϊ του iii.) την επιτϊχυνςό του 34. Η εξύςωςη γραμμικού αρμονικού κύματοσ εύναι y=0,ημπ(t-0,x)(si). Να βρεύτε : α. Σην ταχύτητα του κύματοσ β. Σην απόςταςη δύο ςημεύων τα οπούα κϊποια χρονικό ςτιγμό ϋχουν μεταξύ τουσ διαφορϊ φϊςησ 3π/. γ. Ση διαφορϊ φϊςησ ενόσ ςημεύου μεταξύ των χρονικών ςτιγμών t=0s και t=5s. 35. Μύα πηγό Ο αρχύζει να εκτελεύ τη ςτιγμό t=0 απλό αρμονικό ταλϊντωςη με εξύςωςη y=0,08ημπt(si). Σο παραγόμενο κύμα διαδύδεται κατϊ την θετικό κατεύθυνςη του ϊξονα x x με ταχύτητα u=m/s. Κ. Β.Φιρφιρής 88

89 89 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ α. Να βρεύτε την περύοδο, τη ςυχνότητα και το μόκοσ κύματοσ. β. Να γρϊψετε την εξύςωςη του κύματοσ. γ. Να γρϊψετε τισ εξιςώςεισ που δύνουν την ταχύτητα ταλϊντωςησ και την επιτϊχυνςη ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο για ϋνα ςημεύο Μ που βρύςκεται ςτη θϋςη x=m. δ. Να παραςτόςετε γραφικϊ τη φϊςη φ τησ ταλϊντωςησ για τα διϊφορα ςημεύα του ημιϊξονα Οx ςε ςυνϊρτηςη με τη ςυντεταγμϋνη x,τη χρονικό ςτιγμό t=5s. 36. Ημιτονοειδϋσ κύμα διαδύδεται κατϊ την θετικό κατεύθυνςη του ϊξονα x x ςε γραμμικό ομογενϋσ ελαςτικό μϋςον και ϋχει μόκοσ κύματοσ λ=4m. Η εξύςωςη δονόςεωσ τησ πηγόσ η οπούα βρύςκεται ςτην αρχό Ο του π ϊξονα εύναι y=aεκ t. Κϊποια χρονικό T ςτιγμό t δύο υλικϊ ςημεύα Μ, Ν τα οπούα βρύςκονται πϊνω ςτον ϊξονα ϋχουν αντύςτοιχα φϊςεισ φ=5π/6 και φ=0π/3. α. Να αποδεύξετε ότι το κύμα διαδύδεται με κατεύθυνςη από το ςημεύο Ν προσ το ςημεύο Μ β. Να υπολογύςετε την απόςταςη ΜΝ. 37. Πηγό παραγωγόσ ημιτονοειδών κυμϊτων βρύςκεται ςτη αρχό Ο ομογενούσ χορδόσ μεγϊλου μόκουσ.η εξύςωςη δονόςεωσ του ςημεύου Ο εύναι y=4 0 - ημ0πt (SI) και το παραγόμενο κύμα διαδύδεται κατϊ την θετικό κατεύθυνςη.σο μόκοσ κύματοσ εύναι λ=0,8m. α. Πόςη εύναι η ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ ; β. Να γρϊψετε την εξύςωςη του κύματοσ. γ. Πόςη εύναι η απομϊκρυνςη από τη θϋςη ιςορροπύασ του, τη χρονικό ςτιγμό t=,5s ενόσ ςημεύου τησ χορδόσ το οπούο απϋχει από τη πηγό απόςταςη x=4m 38. Σο ϊκρο Ο γραμμικού ομογενούσ ελαςτικού μϋςου αρχύζει τη ςτιγμό t=0, να εκτελεύ αμεύωτη αρμονικό ταλϊντωςη με εξύςωςη y=0ημ0πt ( t ςε s,y ςε cm ) οπότε διαδύδεται κατϊ μόκοσ του ημιϊξονα Οx, κύμα με ταχύτητα u=m/s. α. Πόςο εύναι το μόκοσ κύματοσ ; β. Πότε αρχύζει να ταλαντώνεται ϋνα ςημεύο Μ του ελαςτικού μϋςου το οπούο απϋχει από την πηγό Ο απόςταςη x=m ; γ. Να γρϊψετε την εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ του ςημεύου Μ και να υπολογύςετε την τιμό τησ την χρονικό ςτιγμό t=5,65 s. Ποια εύναι η τιμό τησ φϊςησ του ςημεύου Μ την παραπϊνω χρονικό ςτιγμό ; δ. Πόςο απϋχει από το ςημεύο Μ, ϋνα ςημεύο Ν το οπούο την ύδια χρονικό (t=5,65s) ϋχει φϊςη φν=7π+π/3 ; Κατϊ ποια φορϊ διαδύδεται το κύμα ; ε. Να παραςτόςετε γραφικϊ τη μεταβολό τησ φϊςησ του ςημεύου Μ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. 39. τα ςχόματα φαύνονται δύο γραφικϋσ παραςτϊςεισ για εγκϊρςιο ημιτονοειδϋσ κύμα το οπούο διαδύδεται κατϊ μόκοσ γραμμικού ομογενούσ ελαςτικού μϋςου,προσ τη θετικό κατεύθυνςη του ϊξονα x x. Θεωρούμε ωσ αρχό x=0 τη μύα ϊκρη του γραμμικού ελαςτικού μϋςου. Με βϊςη τισ πληροφορύεσ που παρϋχουν οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ Ι και ΙΙ να βρεύτε : α. το μόκοσ κύματοσ και την περύοδο του κύματοσ. β. την ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ. γ. την εξύςωςη του κύματοσ. δ. την απομϊκρυνςη από τη θϋςη ιςορροπύασ,την ταχύτητα ταλϊντωςησ και την επιτϊχυνςη ενόσ μορύου του ελαςτικού μϋςου το οπούο βρύςκεται ςτη θϋςη x=0cm τη χρονικό ςτιγμό t=0,8s. ε. Να ςχεδιϊςετε το ςτιγμιότυπο του κύματοσ κατϊ τη χρονικό ςτιγμό t=0,4s. Κ. Β.Φιρφιρής 89

90 90 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 40. Ημιτονοειδϋσ εγκϊρςιο κύμα πλϊτουσ Α=0,m διαδύδεται κατϊ μόκοσ γραμμικού ομογενούσ ελαςτικού μϋςου κατϊ την θετικό κατεύθυνςη του ϊξονα x x,εύναι y=aημωt.το ςχόμα δύνεται η γραφικό παρϊςταςη τησ φϊςησ του κύματοσ ςε ςυνϊρτηςη με την απόςταςη x από τη πηγό τη χρονικό ςτιγμό t=s. α. Να βρεύτε την περύοδο του κύματοσ και το μόκοσ κύματοσ. β. Πόςη εύναι η ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ ; γ. Να γρϊψετε την εξύςωςη του κύματοσ. δ. Να βρεύτε για την χρονικό ςτιγμό t=4s και για το ςημεύο Α του ελαςτικού το οπούο απϋχει από την πηγό Ο απόςταςη x=m : i.) την απομϊκρυνςη του από τη θϋςη ιςορροπύασ του ii.) την ταχύτητϊ του iii.) την επιτϊχυνςό του ε. Να ςχεδιϊςετε το ςτιγμιότυπο του κύματοσ τη χρονικό ςτιγμό t=s. Κ. Β.Φιρφιρής 90

91 9 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ Ή ΤΠΕΡΘΕΗ ΚΤΜΑΣΩΝ το κεφϊλαιο αυτό θα μελετόςουμε τα αποτελϋςματα από τη ταυτόχρονη διϊδοςη δύο (ό περιςςοτϋρων) κυμϊτων ςτην ύδια περιοχό ενόσ ελαςτικού μϋςου. Σο φαινόμενο ονομϊζεται ςυμβολό κυμϊτων. Κατϊ τη μελϋτη του φαινομϋνου θα θεωρόςουμε ότι : α. Σα κύματα δημιουργούνται από πηγϋσ που βρύςκονται ςε φϊςη (δηλαδό δημιουργούν ταυτόχρονα μϋγιςτα και ελϊχιςτα,τϋτοιεσ πηγϋσ ονομϊζονται ςύγχρονεσ ). β. τα επιφανειακϊ κύματα θα θεωρόςουμε ότι τα ςημεύα τησ επιφϊνειασ ςτα οπούα φτϊνει ϋνα κύμα ταλαντώνονται με το πλϊτοσ ταλϊντωςησ τησ πηγόσ (κϊτι που δεν ςυμβαύνει ςτην πραγματικότητα) ΦΡΗΙΜΕ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ υμβολό κυμϊτων ϋχουμε κϊθε φορϊ που δύο κύματα διαδύδονται ςτο ύδιο μϋςο ανεξϊρτητα αν οι πηγϋσ εύναι ςύγχρονεσ ό όχι. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΜΕΛΕΣΗ ΣΟΤ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟΤ ΣΗ ΤΜΒΟΛΗ Έςτω δύο ςύγχρονεσ πηγϋσ κυμϊτων Α και Β που βρύςκονται ςτην επιφϊνεια ενόσ ελαςτικού μϋςου και απϋχουν μεταξύ τουσ απόςταςη ΑΒ=D. Οι πηγϋσ ταλαντώνονται με εξιςώςεισ : y =Aημωt y =Aημωt Θεωρούμε ϋνα ςημεύο του μϋςου που απϋχει από τισ πηγϋσ αντύςτοιχα r και r και r<r Σ r r D A Για χρόνο B r t< το ςημεύο παραμϋνει u ακύνητο. Ση χρονικό ςτιγμό ταλαντώνεται με χρονικό εξύςωςη t r απομϊκρυνςησ y =Aεκπ( - ) T ι r t= αρχύζει να u Κ. Β.Φιρφιρής 9

92 9 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ϋωσ να φτϊςει ςτο το κύμα που δημιουργεύ η r πηγό Β.Σην χρονικό ςτιγμό t = ςτο u φτϊνει το κύμα από την πηγό Β οπότε το t r εκτελεύ και την ταλϊντωςη y =Aεκπ( - ) T ι Η ςυνολικό κύνηςη ςύμφωνα με την αρχό τησ επαλληλύασ προκύπτει από το ϊθροιςμα των δύο κινόςεων y=y+y ό y t r t r =Aεκπ( - )+Aεκπ( - ) T ι T ι ό y t r t r =A[εκπ( - )+εκπ( - )] T ι T ι () Λόγω τησ τριγονομετρικόσ ταυτότητασ (A-B) (A+B) εκa+εκb=ζπλ εκ η ςχϋςη () γύνεται : (r -r ) t r +r y= Aζπλπ εκπ( - ) ι T ι ςχϋςη Παρατηρούμε ότι το ςημεύο θα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη με πλϊτοσ r-r A'=A ζπλπ( ) ςχϋςη 3 ι Από τη ςχϋςη 3 προκύπτουν τα παρακϊτω ςυμπερϊςματα : α. Σο πλϊτοσ Α γύνεται μϋγιςτο όταν r-r ζπλπ( ) = ϊρα π(r-r ) =θπ ι ι και r-r=κλ ό r-r=κλ/ όπου κ=0,,,3,4,5 ημεύωςη : αν r>r κ=0,-,-,-3, β. Σο πλϊτοσ Α γύνεται μηδενικό (Α =0) αν (r-r ) r-r π ζπλπ =0 ό π =(θ+) ι ι ό ι r- r =(θ+) ΦΡΗΙΜΕ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ εκa+εκβ= (a-β) (a+β) ζπλ εκ Κ. Β.Φιρφιρής 9

93 93 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ υμβολή επιφανειακών κυμάτων που δημιουργούνται από πηγέσ που παρουςιάζουν διαφορά φάςησ θ. y=aημωt και y=aημ(ωt+θ) οι εξιςώςεισ των δύο πηγών Α και Β.Για το ςημεύο οι εξιςώςεισ των δύο κυμϊτων εύναι r Σ D A B t r y A ( ) και T t r y A [( ) ] T Η ςυνολικό ταλϊντωςη που προκύπτει από τη ςυμβολό θα ϋχει εξύςωςη. y y y ό y t r t r A ( ) A [( ) ] T T t r t r t r t r y A ( ) ( ) T T T T t r t r t r t r A ( ) ( ) T T T T r r t r r y A ( ) ( ) T 4 r ΕΡΩΣΗΕΙ ΣΟΤ ΣΤΠΟΤ ΩΣΟ-ΛΑΘΟ 4. Σο αποτϋλεςμα τησ ςυμβολόσ δύο όμοιων κυμϊτων ςτην επιφϊνεια υγρού εύναι ότι όλα τα ςημεύα τησ επιφϊνειασ εύτε παραμϋνουν διαρκώσ ακύνητα εύτε ταλαντώνονται με μϋγιςτο πλϊτοσ. 4. Δύο πηγϋσ εκπϋμπουν κύματα με το ύδιο μόκοσ κύματοσ.για να παρατηρηθεύ το φαινόμενο ςυμβολόσ των κυμϊτων αυτών ςε τυχαύο ςημεύο, θα πρϋπει οι πηγϋσ να εύναι οπωςδόποτε ςύγχρονεσ. 43. ύμφωνα με την αρχό τησ επαλληλύασ,η ςυνειςφορϊ κϊθε κύματοσ ςτην απομϊκρυνςη κϊποιου ςημεύου του μϋςου εξαρτϊται από την ύπαρξη του ϊλλου κύματοσ. ΕΡΩΣΗΕΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΕΠΙΛΟΓΗ 44. Η αρχό τησ επαλληλύασ των κυμϊτων : α. παραβιϊζεται μόνον όταν τα κύματα εύναι τόςο ιςχυρϊ,ώςτε οι δυνϊμεισ που αςκούνται ςτα ςωματύδια του μϋςου,δεν εύναι ανϊλογεσ των απομακρύνςεων. β. δεν παραβιϊζεται ποτϋ γ. ιςχύει μόνον όταν τα κύματα που ςυμβϊλλουν,προϋρχονται από πηγϋσ που βρύςκονται ςε φϊςη. δ. δεν ιςχύει,όταν ςυμβϊλλουν περιςςότερα από δύο κύματα. 45. Δύο όμοιεσ πηγϋσ κυμϊτων Α και Β ςτην επιφϊνεια μύασ όρεμησ λύμνησ βρύςκονται ςε φϊςη και παρϊγουν υδϊτινα αρμονικϊ κύματα.η καθεμύα παρϊγει κύμα (πρακτικϊ) αμεύωτου πλϊτουσ 0cm και μόκουσ κύματοσ m.ένα ςημεύο Γ ςτην επιφϊνεια τησ λύμνησ απϋχει από την πηγό Α απόςταςη 6m και από την πηγό Β απόςταςη m.σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςημεύου Γ εύναι : α. 0cm β. 0cm γ. 0cm δ. 40cm 46. Δύο ςύγχρονεσ πηγϋσ δημιουργούν ςτην επιφϊνεια υγρού εγκϊρςια κύματα πλϊτουσ Α και μόκουσ κύματοσ λ. Ένα ςημεύο βρύςκεται ςτην επιφϊνεια του υγρού ςε αποςτϊςεισ r και r από τησ πηγϋσ αντύςτοιχα. Αν ξϋρουμε ότι ιςχύει r-r =λ, τότε το ταλαντώνεται με πλϊτοσ : α. Α β. Α γ. 0 δ. Α. Κ. Β.Φιρφιρής 93

94 94 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΑΚΗΕΙ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ 47. Δύο ςύγχρονεσ πηγϋσ κυμϊτων Π και Π βρύςκονται ςτα ςημεύα Α και Β αντύςτοιχα τησ ελεύθερησ επιφϊνειασ νερού και προκαλούν όμοια εγκϊρςια κύματα που διαδύδονται με ταχύτητα u=0,5m/s.ένα ςημεύο Κ τησ επιφϊνειασ του νερού βρύςκεται πϊνω ςτο ευθύγραμμο τμόμα ΑΒ και απϋχει από τα Α και Β αποςτϊςεισ ΑΚ=r και ΒΚ=r με r>r. Σο ςημεύο Κ εύναι το πληςιϋςτερο προσ το μϋςο Μ από του ΑΒ που ταλαντώνεται με μϋγιςτο πλϊτοσ. Η απομϊκρυνςη του ςημεύου Κ από τη θϋςη ιςορροπύασ λόγω τησ ςυμβολόσ των κυμϊτων περιγρϊφεται ςε ςυνϊρτηςη με το 5 χρόνο t από την εξύςωςη yk 0, ( t ) 3 (ςε μονϊδεσ SI). Να υπολογύςετε : α. την περύοδο, το μόκοσ κύματοσ και το πλϊτοσ των κυμϊτων που ςυμβϊλλουν. β. την απόςταςη ΑΒ των δύο πηγών. γ. τισ αποςτϊςεισ r και r του ςημεύου Κ από τα ςημεύα Α και Β. δ. τον αριθμό των ςημεύων του ευθύγραμμου τμόματοσ ΑΒ που λόγω τησ ςυμβολόσ ϋχουν πλϊτοσ ύςο με το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςημεύου Κ. 48. Δύο αρμονικϊ εγκϊρςια κύματα,που διαδύδονται ςε επιφϊνεια νερού, ϋχουν την ύδια ςυχνότητα και το ύδιο πλϊτοσ.σα κύματα βρύςκονται ςε φϊςη και ξεκινούν ταυτόχρονα από τισ πηγϋσ Π και Π.Σα κύματα φτϊνουν ςε ςημεύο που απϋχει απόςταςη r από την πηγό Π και απόςταςη r από την πηγό Π,όπωσ φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμα. Σ r r Π Π α. Σι εννοούμε με τον όρο ενύςχυςη του κύματοσ ςτο ςημεύο ; β. Ποια ςχϋςη καθορύζει τη θϋςη των ςημεύων ςτα οπούα ϋχουμε ενιςχυτικό ςυμβολό ; γ. Σι εννοούμε με τον όρο απόςβεςη του κύματοσ ςε ςημεύο ; δ. Ποια ςχϋςη καθορύζει τη θϋςη των ςημεύων ςτα οπούα ϋχουμε απόςβεςη ; 49. Δύο ςύμφωνεσ πηγϋσ () και () δημιουργούν ςτην επιφϊνεια υγρού εγκϊρςια αρμονικϊ κύματα με πλϊτοσ Α και μόκοσ κύματοσ λ=4cm.ημεύο Μ τησ επιφϊνειασ του υγρού απϋχει r=7cm από την πηγό () και r =9cm από την πηγό (). Α. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ ςτο ςημεύο Μ λόγω ςυμβολόσ εύναι ύςο με : α. 0 β. Α γ. A Β. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ 50. Κατϊ μόκοσ ευθεύασ x x βρύςκονται ςτισ θϋςεισ Κ και Λ δύο ςημειακϋσ πηγϋσ Π και Π παραγωγόσ μηχανικών αρμονικών κυμϊτων.η εξύςωςη που περιγρϊφει τισ απομακρύνςεισ τουσ από τη θϋςη ιςορροπύασ τουσ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο εύναι y=aημωt. Η απόςταςη (ΚΛ) εύναι 6cm. Σο μόκοσ κύματοσ των παραγόμενων κυμϊτων εύναι 4cm.ε ςημεύο τησ ευθεύασ x x,το οπούο δεν ανόκει ςτο ευθύγραμμο τμόμα ΚΛ και δεν βρύςκεται κοντϊ ςτισ πηγϋσ,το πλϊτοσ ταλϊντωςησ του Α θα εύναι : α. Α =Α β. Α =0 γ. 0<Α <Α Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 5. Δύο ςύγχρονεσ πηγϋσ εγκϊρςιων κυμϊτων Ο και Ο παρϊγουν ςτην επιφϊνεια ενόσ υγρού αρμονικϊ κύματα που ϋχουν ςυχνότητα f=5hz και πλϊτοσ Α=5mm. Σα κύματα διαδύδονται με ταχύτητα u=40cm/s και υποθϋτουμε ότι δεν υπϊρχουν απώλειεσ ενϋργειασ. Ένα ςημεύο Μ τησ επιφϊνειασ του υγρού απϋχει από τισ δύο πηγϋσ αποςτϊςεισ d=3cm και d=33cm αντύςτοιχα.ζητούνται : α. Να γραφεύ η εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ τησ ςυνιςταμϋνησ ταλϊντωςησ ςτο ςημεύο Μ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. β. Ποια χρονικό ςτιγμό η απομϊκρυνςη τησ ςυνιςταμϋνησ ταλϊντωςησ ςτο ςημεύο Μ θα εύναι για πρώτη φορϊ y=0 ; Ωσ t=0 να θεωρηθεύ η ςτιγμό που αρχύζουν να ταλαντώνονται οι πηγϋσ με y=yoημωt. 5. Δύο ςύγχρονεσ πηγϋσ κυμϊτων Ο και Ο δημιουργούν ςτην επιφϊνεια ελαςτικού μϋςου κύματα που διαδύδονται με ταχύτητα u=40cm/s.η απομϊκρυνςη των δύο πηγών από τη θϋςη ιςορροπύασ τουσ δύνεται από την εξύςωςη y=aημωt. Κ. Β.Φιρφιρής 94

95 95 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ημεύο Μ τησ επιφϊνειασ ςτο οπούο ςυμβϊλλουν τα δύο κύματα ταλαντώνεται με εξύςωςη y=0,6ημπ(8t-5) ( t ςε s,τα μόκη ςε cm) Οι αποςτϊςεισ d και d του φελλού από τισ πηγϋσ Ο και Ο,αντύςτοιχα και το μόκοσ κύματοσ ςυνδϋονται με τη ςχϋςη d-d=λ α. Να υπολογιςτούν οι αποςτϊςεισ d και d. β. Να βρεθεύ η φϊςη ταλϊντωςησ τησ πηγόσ Ο κατϊ τη χρονικό ςτιγμό που αρχύζει η ςυμβολό των δύο κυμϊτων ςτο ςημεύο Μ. 53. το παρακϊτω ςχόμα τα ςημεύα Ο και Ο εύναι δύο ταλαντωτϋσ που αρχύζουν ταυτόχρονα να εκτελούν κατακόρυφεσ ταλαντώςεισ ςτην επιφϊνεια του νερού με εξιςώςεισ : y=0,ημ0πt y=0,ημ0πt ( y,y ςε cm και t ςε sec) O 3cm O 4cm Η ταχύτητα διϊδοςησ των παραγόμενων κυμϊτων ςτην επιφϊνεια του νερού εύναι u=5cm/s. α. Να υπολογύςετε την περύοδο και το μόκοσ κύματοσ των δύο κυμϊτων. β. Να γρϊψετε τισ εξιςώςεισ των δύο κυμϊτων γ. Ποια εύναι η διαφορϊ φϊςησ των κυμϊτων ςτο ςημεύο Γ ; δ. Ποιο εύναι το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςημεύου Γ ; 54. Δύο ςύγχρονεσ πηγϋσ κυμϊτων Ο και Ο παρϊγουν κύματα ςτην επιφϊνεια υγρού.σα κύματα διαδύδονται με ταχύτητα u=0cm/s και ςταθερό πλϊτοσ.ε ϋνα ςημεύο τησ επιφϊνειασ,το οπούο απϋχει αποςτϊςεισ d και d αντύςτοιχα από τισ πηγϋσ Ο και Ο τα κύματα ςυμβϊλλουν ενιςχυτικϊ. Σο ταλαντώνεται ςύμφωνα με την εξύςωςη y=0,04ημ(0πt-8π)(si) Σο κύμα που παρϊγεται από την απομακρυςμϋνη πηγό Ο φτϊνει ςτο ςημεύο μετϊ από 5 πλόρεισ ταλαντώςεισ τησ πηγόσ Ο.Να βρεύτε : Γ α. Σην εξύςωςη ταλϊντωςησ των δύο πηγών. β. Σισ αποςτϊςεισ d και d γ. Σην ταχύτητα ταλϊντωςησ του ςημεύου τη χρονικό ςτιγμό t=,05s. 55. την επιφϊνεια ενόσ ελαςτικού μϋςου δύο ςύγχρονεσ πηγϋσ κυμϊτων Ο και Ο αρχύζουν να ταλαντώνονται με εξιςώςεισ : y=aημ8πt (SI) και y=aημ8πt (SI).Η ταχύτητα διϊδοςησ των κυμϊτων εύναι u=4m/s. Οι πηγϋσ απϋχουν μεταξύ τουσ d=m. α. Να βρεύτε πόςα ςημεύα τησ ευθεύασ ΟΟ ταλαντώνονται με μϋγιςτο πλϊτοσ και πόςα ηρεμούν. β. Πόςο απϋχουν μεταξύ τουσ δύο διαδοχικϊ ςημεύα που ηρεμούν. γ. Δύο ςημεύα και βρύςκονται πϊνω ςτην ευθεύα ΟΟ.Σο δεξιϊ τησ Ο και το αριςτερϊ τησ Ο Σ Π Π Σ d r r Να δεύξετε ότι τα ςημεύα ταλαντώνονται με το ύδιο πλϊτοσ. 56. Δύο ςύγχρονεσ πόγεσ Ο και Ο αρχύζουν να ταλαντώνονται ςτην επιφϊνεια ελαςτικού μϋςου με εξιςώςεισ : y=0,04ημ0πt (SI) y=0,04ημ0πt(si) δημιουργώντασ επιφανειακϊ κύματα. Θεωρούμε ότι κατϊ τη διϊδοςη των κυμϊτων δεν αλλϊζει το πλϊτοσ ταλϊντωςησ. Ένα ςημεύο τησ επιφϊνειασ απϋχει από την πηγό Ο r=45cm και από την Ο r. Αν η ταχύτητα διϊδοςησ εύναι 3m/s και το κύμα από την Ο φτϊνει με καθυςτϋρηςη Δt=t-t=0,5s.Να βρεύτε : α. Σην r β. Σισ εξιςώςεισ των δύο κυμϊτων γ. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του εξαιτύασ τησ ςυμβολόσ. δ. Να γύνει η γραφικό παρϊςταςη ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο : δ. Σησ απομϊκρυνςησ του δ. Σησ ταχύτητασ του Κ. Β.Φιρφιρής 95

96 96 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 57. Δυο ςύγχρονεσ πηγϋσ κυμϊτων παρϊγουν κύματα ςτην επιφϊνεια ενόσ ελαςτικού μϋςου. το διϊγραμμα του ςχόματοσ βλϋπουμε την απομϊκρυνςη από τη θϋςη ιςορροπύασ ενόσ ςημεύου () τησ επιφϊνειασ λόγω ςυμβολόσ των δύο κυμϊτων. Αν η ταχύτητα διϊδοςησ των κυμϊτων ςτην επιφϊνεια εύναι u=m/s. α. Πόςο απϋχει το από κϊθε πηγό ; β. Πόςο εύναι το μόκοσ κύματοσ γ. Να γραφούν οι εξιςώςεισ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο εξαιτύασ τησ ςυμβολόσ. γ. τησ απομϊκρυνςησ από τη θϋςη ιςορροπύασ εξαιτύασ τησ ταλϊντωςησ. γ. τησ ταχύτητασ ταλϊντωςησ του. 58. την επιφϊνεια ενόσ ελαςτικού μϋςου δύο ςύγχρονεσ πηγϋσ κυμϊτων Ο και Ο ταλαντώνονται με εξιςώςεισ : y=0,0ημ,5πt (SI) y=0,0ημ,5πt (SI) Η ταχύτητα διϊδοςησ των κυμϊτων u=,5m/s. Για ϋνα ςημεύο () τησ επιφϊνειασ που απϋχει r=4m από την Ο και r=5,5m από την Ο : α. Να βρεύτε τισ εξιςώςεισ τησ απομϊκρυνςησ και τησ ταχύτητασ εξαιτύασ τησ ςυμβολόσ. β. Να παραςτόςετε γραφικϊ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο την απομϊκρυνςη του εξαιτύασ τησ ταλϊντωςησ. Κ. Β.Φιρφιρής 96

97 97 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΣΑΙΜΑ ΚΤΜΑΣΑ τϊςιμο κύμα προκύπτει όταν ςυμβϊλλουν δύο κύματα που διαδύδονται πϊνω ςτο ύδιο γραμμικό μϋςο ςε αντύθετεσ κατευθύνςεισ και ϋχουν το ύδιο πλϊτοσ και την ύδια ςυχνότητα. Σο ςτϊςιμο κύμα δεν μεταφϋρει ενϋργεια και ορμό,δεν εύναι κύμα.εύναι το ςύνολο των κινόςεων που πραγματοποιούν τα ςημεύα του γραμμικού ελαςτικού μϋςου πϊνω ςτο οπούο δημιουργεύται. Όταν δημιουργηθεύ πλϋον ςτο ελαςτικό μϋςο ςτϊςιμο κύμα παρατηρούμε ςημεύα που ταλαντώνονται με μϋγιςτο πλϊτοσ τα οπούα ονομϊζουμε κοιλύεσ και ςημεύα που παραμϋνουν διαρκώσ ακύνητα και ονομϊζονται δεςμού. Όλα τα ϊλλα ςημεύα ταλαντώνονται με ϋνα ενδιϊμεςο πλϊτοσ αλλϊ με την ύδια ςυχνότητα. Μεταξύ δύο διαδοχικών δεςμών τα ςημεύα ταλαντώνονται με την ύδια φϊςη. Εκατϋρωθεν ενόσ δεςμού τα ςημεύα ταλαντώνονται με αντύθετη φϊςη (Δφ=π) Γενικϊ ςημεύα που μεταξύ τουσ παρεμβϊλλεται ϊρτιοσ αριθμόσ δεςμών ταλαντώνονται εν φϊςη. Ενώ ςημεύα που μεταξύ τουσ παρεμβϊλλεται περιττόσ αριθμόσ δεςμών ταλαντώνονται με αντύθετη φϊςη. ΕΞΙΩΗ ΣΟΤ ΣΑΙΜΟΤ ΚΤΜΑΣΟ Θεωρούμε ϋνα γραμμικό ελαςτικό μϋςο κατϊ μόκοσ του ϊξονα x x πϊνω ςτο οπούο διαδύδονται δύο κύματα τησ ύδιασ ςυχνότητασ και του ύδιου πλϊτουσ αλλϊ ςε αντύθετεσ κατευθύνςεισ.επιλϋγουμε ςαν αρχό του ϊξονα x=0 μύα κοιλύα δηλαδό ϋνα ςημεύο που οι ταλαντώςεισ που προκαλούν τα δύο κύματα να ϋχουν την ύδια φϊςη. y =Aημωt y =Aημωt Η ενϋργεια ςτο ςτϊςιμο εγκλωβύζεται μεταξύ των δεςμών. + x' x=0 M x Κ. Β.Φιρφιρής 97

98 98 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Για ϋνα ςημεύο Μ με ςυντεταγμϋνη x οι εξιςώςεισ των δύο κυμϊτων εύναι : t x y A ( ) για το κύμα που διαδύδεται T τη θετικό κατεύθυνςη t x και y A ( ) για το κύμα που T διαδύδεται προσ την αρνητικό κατεύθυνςη. Η ςυνολικό απομϊκρυνςη προκύπτει από το ϊθροιςμα y=y+y ό t x t x y A ( ) A ( ) T T ό t x t x y A[ ( ) ( )] T T y=aζπλπ x ι εκ π Τ t () Παρατηρώντασ την ςχϋςη () βλϋπουμε ότι : α.) Όλα τα ςημεύα του μϋςου εκτελούν ταλϊντωςη τησ μορφόσ : y=a ημωt δηλαδό τησ ύδιασ ςυχνότητασ. β.) Ο όροσ ' A x εξαρτϊται μόνο από τη θϋςη x του ςημεύου και παραμϋνει ςταθερόσ με το χρόνο. γ.) Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ εύναι A' A x Έτςι για τουσ δεςμούσ x x Α =0 ό 0 ό ( ) Ή x ( ) 4 δηλαδό οι δεςμού (ακύνητα ςημεύα) απϋχουν από την κοιλύα x=0 περιττό πολλαπλϊςιο του λ/4. Για τισ κοιλύεσ : x x A' A ό ό ό x ό x ό x 4 Δηλαδό οι κοιλύεσ απϋχουν από τη θϋςη x=0 ϊρτιο πολλαπλϊςιο του λ/. ΦΡΗΙΜΕ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ Κϊνοντασ χρόςη τησ τριγωνομετρικόσ ταυτότητασ : ( ) ( ) Η εξύςωςη () αλλϊζει μορφό αν ςαν αρχό x=0 θεωρόςουμε κϊποιο δεςμό. Σο x μπορεύ να εύναι θετικό ό αρνητικό.επομϋνωσ τα ςημεύα του μϋςου ταλαντώνονται ό εν φϊςει ό με αντύθετη φϊςη Δύο διαδοχικού δεςμού απϋχουν μεταξύ τουσ d x x d (k 3) (k ) d 4 4 Δύο διαδοχικϋσ κοιλύεσ απϋχουν μεταξύ τουσ d (k ) k 4 4 Κ. Β.Φιρφιρής 98

99 99 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΕΡΩΣΗΕΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΕΠΙΛΟΓΗ 59. Η απόςταςη μεταξύ δύο διαδοχικών δεςμών ςε ϋνα ςτϊςιμο εύναι : α. λ/4 β. λ/ γ. λ δ. λ Όπου λ το μόκοσ των κυμϊτων που δημιουργούν το ςτϊςιμο κύμα. 60. Η απόςταςη μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών ςε ϋνα ςτϊςιμο κύμα : α. λ/ β. λ/4 γ. λ δ. λ/8 Όπου λ το μόκοσ των κυμϊτων που δημιουργούν το ςτϊςιμο κύμα. 6. Όλα τα ςημεύα του ελαςτικού μϋςου που περιλαμβϊνονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεςμών ενόσ ςτϊςιμου κύματοσ ϋχουν : α. διαφορετικό ςυχνότητα ταλϊντωςησ. β. ύδιο πλϊτοσ ταλϊντωςησ. γ. διαφορετικό φϊςη. δ. ύδια φϊςη. 6. Δύο ςημεύα ενόσ γραμμικού ομογενούσ ελαςτικού μϋςου,ςτο οπούο ϋχει δημιουργηθεύ ςτϊςιμο εγκϊρςιο κύμα, βρύςκονται το ϋνα αριςτερϊ και το ϊλλο δεξιϊ ενόσ δεςμού Δ και ϋχουν μεταξύ τουσ λ/3.σα ςημεύα αυτϊ ϋχουν : α. διαφορετικό ςυχνότητα ταλϊντωςησ. β. διαφορϊ φϊςησ π γ. ύδια φϊςη δ. διαφορϊ φϊςησ π/ 63. το ςχόμα φαύνονται δύο ςτιγμιότυπα ςτϊςιμου εγκϊρςιου κύματοσ, το οπούο δημιουργεύται ςε γραμμικό ομογενϋσ ελαςτικό μϋςον. δ. εξαρτϊται από τη χρονικό ςτιγμό 65. ε ϋνα ςτϊςιμο κύμα όλα τα μόρια του ελαςτικού μϋςου ςτο οπούο δημιουργεύται : α. ϋχουν ύδιεσ κατϊ μϋτρο μϋγιςτεσ ταχύτητεσ β. ϋχουν ύςα πλϊτη ταλϊντωςησ γ. διϋρχονται ταυτόχρονα από τη θϋςη ιςορροπύασ. δ. ϋχουν την ύδια φϊςη. 66. Ση χρονικό ςτιγμό t το ςτιγμιότυπο ςτϊςιμου κύματοσ το οπούο ςχηματύζεται ςε χορδό τησ οπούασ τα ϊκρα Γ και Β εύναι ςτερεωμϋνα εύναι το (α). Να αντιςτοιχύςετε τα ςτιγμιότυπα (β), (γ),(δ) με τισ χρονικϋσ ςτιγμϋσ τησ δεξιϊσ ςτόλησ. (Σα βϋλη παριςτϊνουν τισ ταχύτητεσ των ςημεύων τησ χορδόσ ) Αν το ςτιγμιότυπο () αντιςτοιχεύ ςτη χρονικό ςτιγμό t=t/4 ( Σ η περύοδοσ των κυμϊτων που δημιούργηςαν το ςτϊςιμο κύμα ),τότε το ςτιγμιότυπο () αντιςτοιχεύ ςτη χρονικό ςτιγμό : α. 3Σ/4 β. Σ/ γ. Σ δ. Σ/3 64. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ κϊθε ςημεύου ελαςτικού μϋςου ςτο οπούο ςχηματύζεται ςτϊςιμο κύμα : α. εύναι το ύδιο για όλα τα ςημεύα του μϋςου β. εξαρτϊται από τη θϋςη του ςημεύου γ. εξαρτϊται από τη θϋςη και τη χρονικό ςτιγμό Κ. Β.Φιρφιρής 99

100 00 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΕΡΩΣΗΕΙ ΣΤΠΟΤ ΩΣΟ-ΛΑΘΟ 67. ε ϋνα ςτϊςιμο τα ςημεύα του μϋςου που ταλαντώνονται,διϋρχονται ταυτόχρονα από τη θϋςη ιςορροπύασ τουσ. 68. Με τα ςτϊςιμα κύματα μεταφϋρεται ενϋργεια από το ϋνα ςημεύο του μϋςου ςε ϊλλο ςημεύο του ύδιου μϋςου. 69. Η απόςταςη μεταξύ δύο διαδοχικών δεςμών ςτϊςιμου κύματοσ εύναι λ/,όπου λ το μόκοσ των κυμϊτων που δημιουργούν το ςτϊςιμο κύμα. 70. το ςτϊςιμο κύμα,η απόςταςη ενόσ δεςμού από την πληςιϋςτερη του κοιλύα εύναι λ/4, όπου λ το μόκοσ των κυμϊτων που δημιουργούν το ςτϊςιμο κύμα. 7. Όλα τα ςημεύα γραμμικού ομογενούσ ελαςτικού μϋςου,ςτο οπούο δημιουργεύται ςτϊςιμο κύμα, ταλαντώνονται με το ύδιο πλϊτοσ 7. ε ςτϊςιμο κύμα,όλα τα ςημεύα του ελαςτικού μϋςου τα οπούα περιλαμβϊνονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεςμών ϋχουν την ύδια φϊςη. 73. ε ςτϊςιμο κύμα η διαφορϊ φϊςησ μεταξύ δύο ςημεύων του ελαςτικού μϋςου τα οπούα βρύςκονται το ϋνα αριςτερϊ και το ϊλλο δεξιϊ ενόσ δεςμού, ςε απόςταςη λ/3 μεταξύ τουσ, εύναι π (rad) ΑΚΗΕΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ 74. τη χορδό μύασ κιθϊρασ δημιουργεύται ςτϊςιμο κύμα ςυχνότητασ f. Σο ςτϊςιμο κύμα ϋχει τϋςςερισ δεςμούσ,δύο ςτα ϊκρα τησ χορδόσ και δύο μεταξύ αυτών. την ύδια χορδό, με ϊλλη διϋγερςη,δημιουργεύται ϊλλο ςτϊςιμο κύμα ςυχνότητασ f,που ϋχει εννϋα ςυνολικϊ δεςμούσ,δύο ςτα ϊκρα τησ χορδόσ και επτϊ μεταξύ αυτών. Η ςυχνότητα f εύναι ύςη με : α. 4/3 f β. 8/3f γ. 5/3f Να αιτιολογόςετε την απϊντηςη ςασ. 75. Εγκϊρςιο αρμονικό κύμα πλϊτουσ 0,08m και μόκουσ κύματοσ m διαδύδεται κατϊ τη θετικό φορϊ ςε οριζόντια ελαςτικό χορδό που εκτεύνεται κατϊ τη διεύθυνςη του ϊξονα x x. Θεωρούμε ότι το ςημεύο τησ χορδόσ ςτη θϋςη x=0 τη χρονικό ςτιγμό t=0 ϋχει μηδενικό απομϊκρυνςη από τη θϋςη ιςορροπύασ του και θετικό ταχύτητα.η ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ εύναι 00m/s. α. Να υπολογύςετε τη ςυχνότητα με την οπούα ταλαντώνονται τα ςημεύα τησ χορδόσ β. Να γρϊψετε την εξύςωςη του κύματοσ ςτο SI γ. Να υπολογύςετε την ενϋργεια τησ ταλϊντωςησ ςτοιχειώδουσ τμόματοσ τησ χορδόσ μϊζασ 0,00Kg (Να θεωρόςετε το ςτοιχειώδεσ τμόμα τησ χορδόσ ωσ υλικό ςημεύο ) δ. Έςτω ότι ςτην παραπϊνω χορδό διαδύδεται ταυτόχρονα ϊλλο ϋνα κύμα πανομοιότυπο με το προηγούμενο,αλλϊ αντύθετησ φορϊσ, και δημιουργεύται ςτϊςιμο κύμα με κοιλύα ςτη θϋςη x=0. Να υπολογύςετε ςτο θετικό ημιϊξονα τη θϋςη του ο δεςμού του ςτϊςιμου κύματοσ Δύνεται π = Ένα τεντωμϋνο οριζόντιο ςχοινύ ΟΑ μόκουσ L εκτεύνεται κατϊ τη διεύθυνςη του ϊξονα x.σο ϊκρο του Α εύναι ςτερεωμϋνο ακλόνητα ςτη θϋςη x=l, ενώ το ϊκρο Ο βρύςκεται που βρύςκεται ςτη θϋςη x=0 εύναι ελεύθερο,ϋτςι ώςτε με κατϊλληλη διαδικαςύα να δημιουργεύται ςτϊςιμο κύμα με 5 ςυνολικϊ κοιλύεσ.τη θϋςη x=0 εμφανύζεται κοιλύα και το ςημεύο του μϋςου ςτη θϋςη αυτό εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη.ση χρονικό ςτιγμό t=0 το ςημεύο x=0 βρύςκεται ςτη θϋςη μηδενικόσ απομϊκρυνςησ κινούμενο κατϊ τη θετικό φορϊ.η απόςταςη των ακραύων θϋςεων τησ ταλϊντωςησ αυτού του ςημεύου του μϋςου εύναι 0,m.Σο ςυγκεκριμϋνο ςημεύο διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ του 0φορϋσ κϊθε δευτερόλεπτο και απϋχει κατϊ τον ϊξονα x απόςταςη 0,m από τον πληςιϋςτερο δϋςμο. α. Να υπολογύςετε την περύοδο του κύματοσ. β. Να υπολογύςετε το μόκοσ L γ. Να γρϊψετε την εξύςωςη του ςτϊςιμου κύματοσ. δ. Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ ταχύτητασ τησ ταλϊντωςησ του ςημεύου του μϋςου x=0 κατϊ τη χρονικό ςτιγμό που η απομϊκρυνςη του από τη θϋςη ιςορροπύασ ϋχει τιμό y=+0,03m Δύνεται π=3,4 77. Η μύα ϊκρη ενόσ τεντωμϋνου ςχοινιού εύναι ςτερεωμϋνη ςε ακλόνητο ςημεύο και η ελεύθερη ϊκρη εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη,οπότε ςχηματύζεται ςτϊςιμο κύμα με εξύςωςη : y=0,4ςυν0πxημ40πτ (SI) Κ. Β.Φιρφιρής 00

101 0 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Α. Να υπολογύςετε το πλϊτοσ και το μόκοσ κύματοσ για το κύμα,από το οπούο προκύπτει το ςτϊςιμο. Β. Να υπολογύςετε ςε πόςη απόςταςη από την ελεύθερη ϊκρη του ςχοινιού ςχηματύζεται ο τρύτοσ δεςμόσ του ςτϊςιμου κύματοσ 78. Κατϊ μόκοσ γραμμικού ομογενούσ ελαςτικού μϋςου ςχηματύζεται ςτϊςιμο κύμα,του οπούου τρύα διαδοχικϊ ςτιγμιότυπα φαύνονται ςτο ςχόμα. 79. το ςχόμα (Ι) δύνονται δύο ςτιγμιότυπα () και () ςτϊςιμου εγκϊρςιου κύματοσ,το οπούο δημιουργεύται ςε γραμμικό ομογενϋσ ελαςτικό μϋςο και περιγρϊφεται από την εξύςωςη : x t y=aζπλπ εκπ ι T A A Με ποιο ό με ποια από τα παρακϊτω ςυμφωνεύτε ό διαφωνεύτε και γιατύ ; α. Σο ςτιγμιότυπο () αντιςτοιχεύ ςτη χρονικό ςτιγμό t=t/4,ενώ το ςτιγμιότυπο (3) αντιςτοιχεύ ςτη χρονικό ςτιγμό t3=t/. β. Ση χρονικό ςτιγμό t το ςημεύο Α του ελαςτικού μϋςου κινεύται προσ τη θετικό κατεύθυνςη ενώ το ςημεύο Β κινεύται προσ τη αρνητικό κατεύθυνςη. γ. Η διαφορϊ φϊςησ μεταξύ των ταλαντώςεων που εκτελούν τα ςημεύα Γ και Δ εύναι ύςη με μηδϋν. δ. Σο ςημεύο Α του ελαςτικού μϋςου,τη χρονικό ςτιγμό t+δt όπου Δt<T/4 ( Σ η περύοδοσ τησ ταλϊντωςησ που εκτελούν τα ςημεύα του ελαςτικού μϋςου) ϋχει λόγω τησ ταλϊντωςησ του μόνο δυναμικό ενϋργεια. Με ποιο ό με ποια από τα παρακϊτω ςυμφωνεύτε ό διαφωνεύτε και γιατύ; α. το ςτιγμιότυπο () αντιςτοιχεύ το διϊγραμμα Εκ=f(x) του ςχόματοσ (ΙΙ) β. το ςτιγμιότυπο () αντιςτοιχεύ το διϊγραμμα Εκ=f(x) του ςχόματοσ (ΙΙΙ) γ. Σα μόρια Α,Β τη χρονικό ςτιγμό t ϋχουν ταχύτητεσ 4 VA A και 4 VB A αντύςτοιχα. T T δ. Η διαφορϊ φϊςησ μεταξύ των ταλαντώςεων που εκτελούν τα μόρια Γ και Δ του ελαςτικού μϋςου εύναι ύςη με μηδϋν. 80. Δύο αρμονικϊ κύματα ύδιου πλϊτουσ και ύδιασ ςυχνότητασ διαδύδονται ςτο ύδιο ελαςτικό μϋςον,ςτην ύδια διεύθυνςη με αντύθετη φορϊ και ύδιο μϋτρο ταχύτητασ.η κοινό διεύθυνςη διϊδοςησ των κυμϊτων εύναι ο ϊξονασ x x. Θεωρούμε αρχό του ϊξονα το ςημεύο Ο, ςτο οπούο οι απομακρύνςεισ που προκαλούνται από τα κύματα που φθϊνουν ςε αυτό ϋχουν την ύδια εξύςωςη y=aημωt. Δηλαδό για t=0 Κ. Β.Φιρφιρής 0

102 0 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ εύναι y=0 και V>0 για καθϋνα από τα κύματα ςτη θϋςη Ο τησ αρχόσ του ϊξονα. α. Να βρεύτε την εξύςωςη του ςτϊςιμου κύματοσ που προκύπτει από τη ςυμβολό των δύο αυτών κυμϊτων. β. Να προςδιορύςετε τισ θϋςεισ των δεςμών και τισ θϋςεισ των κοιλιών. γ. Να βρεύτε την απόςταςη μεταξύ : i.) δύο διαδοχικών δεςμών ii.) δύο διαδοχικών κοιλιών iii.) ενόσ δεςμού και τησ γειτονικόσ του κοιλύασ δ. Να ςχεδιϊςετε το ςτιγμιότυπο του ςτϊςιμου κύματοσ τισ χρονικϋσ ςτιγμϋσ t=t/4 και t=3t/4. 8. Α. Για κοιλύα και δεςμό ςτϊςιμου κύματοσ να γύνουν οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ. α. πλϊτουσ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο β. απομϊκρυνςησ από τη θϋςη ιςορροπύασ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. Β. το παρακϊτω ςχόμα δύνεται το ςτιγμιότυπο ςτϊςιμου κύματοσ ςε τεντωμϋνο νόμα τη χρονικό ςτιγμό t=0 +A Γ α. Να ςχεδιϊςετε το ςτιγμιότυπο του κύματοσ τισ χρονικϋσ ςτιγμϋσ : Σ/4, Σ/, 3Σ/4, Σα β. Με ποιεσ μορφϋσ εμφανύζεται η ενϋργεια ταλϊντωςησ των μορύων του νόματοσ τισ παραπϊνω χρονικϋσ ςτιγμϋσ ; 8. ε ϋνα ςτϊςιμο κύμα δύο μόρια του ελαςτικού μϋςου απϋχουν από τον ύδιο δεςμό Δ αποςτϊςεισ λ/6 και λ/3 αντύςτοιχα. α. Ποια εύναι η μεταξύ τουσ διαφορϊ φϊςησ ; β. Ποιο εύναι το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ που εκτελούν,αν το πλϊτοσ καθενόσ από τα κύματα που δημιουργούν το ςτϊςιμο κύμα εύναι Α ; -A 83. Γραμμικό ομογενϋσ ελαςτικό μϋςο εκτεύνεται κατϊ τη διεύθυνςη του ϊξονα x x. Δύο ςημεύα του Α,Β απϋχουν μεταξύ τουσ απόςταςη 0cm και αρχύζουν να ταλαντώνονται κατακόρυφα με την ύδια ςυχνότητα f=5hz και πλϊτοσ Α=4cm. Κατϊ μόκοσ του ελαςτικού μϋςου διαδύδονται τα δύο ημιτονοειδό εγκϊρςια κύματα που παρϊγονται λόγω τησ ταλϊντωςησ των ςημεύων Α και Β.Σο μόκοσ κύματοσ εύναι λ=4cm. Θεωρούμε αρχό του ϊξονα x x το μϋςο Ο τησ απόςταςησ ΑΒ με το Α αριςτερϊ και το Β δεξιϊ. Επύςησ θεωρούμε αρχό του χρόνου,τη χρονικό ςτιγμό κατϊ την οπούα τα κύματα ςυναντώνται ςτο Ο και εύναι για το ςημεύο Ο, y=0 και V>0. α. Να γρϊψετε την εξύςωςη του ςτϊςιμου κύματοσ που προκύπτει από τη ςυμβολό των δύο κυμϊτων. β. Να βρεύτε τισ θϋςεισ και τον αριθμό των δεςμών και κοιλιών που ςχηματύζονται. (τϊςιμο κύμα κατϊ μόκοσ του ελαςτικού μϋςου ςχηματύζεται μόνο μεταξύ των ςημεύων Α,Β. Αριςτερϊ του Α και δεξιϊ του Β τα κύματα διαδύδονται κατϊ την ύδια κατεύθυνςη.) γ. Να γρϊψετε την εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ y ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο για τη δεύτερη προσ τα δεξιϊ κοιλύα μετϊ το ςημεύο Ο. 84. Μύα χορδό εκτελεύ ταλϊντωςη με εξύςωςη x y 8 0 t 6 ( x, y ςε cm, t ςε s ) α. Πόςο εύναι το μϋγιςτο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ ; β. Να βρεύτε την περύοδο, το μόκοσ κύματοσ και την ταχύτητα διϊδοςησ του τρϋχοντοσ κύματοσ. γ. Να γρϊψετε τισ εξιςώςεισ των τρεχόντων κυμϊτων από τη ςυμβολό των οπούων προϋκυψε το ςτϊςιμο κύμα. Θεωρούμε αρχό του ϊξονα το ςημεύο Ο για το οπούο τη ςτιγμό t=0 εύναι y=0 και V>0. Κ. Β.Φιρφιρής 0

103 03 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 85. Γραμμικό ομογενϋσ ελαςτικό μϋςον εκτεύνεται κατϊ τη διεύθυνςη του ϊξονα x x. Αρμονικό κύμα διαδύδεται κατϊ μόκοσ του ελαςτικού μϋςου κατϊ τη θετικό κατεύθυνςη και περιγρϊφεται από την εξύςωςη x y 4 t 0 όπου τα x, y μετρώνται ςε cm και το t ςε s. α. Να γρϊψετε την εξύςωςη του ημιτονοειδούσ κύματοσ ύδιου πλϊτουσ,το οπούο όταν ςυμβϊλλει με το προηγούμενο δημιουργεύ κατϊ μόκοσ του ελαςτικού μϋςου ςτϊςιμο κύμα.να θεωρόςετε ότι ςτη θϋςη x=0 τη ςτιγμό t=0 εύναι y=0 και V>0. β. Να γρϊψετε την εξύςωςη του ςτϊςιμου κύματοσ που δημιουργεύ η ςυμβολό των δύο προηγούμενων κυμϊτων. γ. Να γρϊψετε τισ εξιςώςεισ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο,για την ταχύτητα και την επιτϊχυνςη ενόσ ςημεύου του ελαςτικού μϋςου,το οπούο βρύςκεται ςτη θϋςη με ςυντεταγμϋνη x=,5cm. 86. Κατϊ μόκοσ γραμμικού ομογενούσ μϋςου το οπούο εκτεύνεται κατϊ τη διεύθυνςη x x δημιουργεύται ςτϊςιμο εγκϊρςιο κύμα το οπούο περιγρϊφεται από την εξύςωςη : x y 6 0 t ( x, y ςε cm, t ςε s ) 0 α. Να βρεύτε το πλϊτοσ, την περύοδο, το μόκοσ κύματοσ και την ταχύτητα διϊδοςησ του. β. Να γρϊψετε τισ εξιςώςεισ των τρεχόντων κυμϊτων τα οπούα με τη ςυμβολό τουσ δημιουργούν το ςτϊςιμο κύμα. γ. Πόςο εύναι το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ δύο ςημεύων Α, Β του ελαςτικού μϋςου τα οπούα βρύςκονται ςτισ θϋςεισ x=-5cm και x=+5cm αντύςτοιχα ; δ. Να βρεύτε τον αριθμό n των κοιλιών του ςτϊςιμου κύματοσ που ςχηματύζονται μεταξύ των ςημεύων Α και Β ε. Μεταβϊλλουμε κατϊλληλα τη ςυχνότητα των ςυμβαλλόντων κυμϊτων οπότε δημιουργεύται κατϊ μόκοσ του ελαςτικού μϋςου ϋνα νϋο ςτϊςιμο κύμα.διαπιςτώνουμε ότι μεταξύ των ςημεύων Α και Β του ελαςτικού μϋςου ςχηματύζονται n- κοιλύεσ.δεδομϋνου ότι η κινητικό κατϊςταςη των ςημεύων Α και Β δε μεταβλόθηκε. i.) Να βρεύτε ποιο εύναι το νϋο μόκοσ κύματοσ και η νϋα περύοδοσ των κυμϊτων που δημιουργούν το ςτϊςιμο κύμα ii.) Να γρϊψετε την εξύςωςη του νϋου ςτϊςιμου κύματοσ. 87. Δύο πανομοιότυπα αρμονικϊ κύματα πλϊτουσ Α=,5cm και ςυχνότητασ f=40hz διαδύδονται πϊνω ςε ϋνα γραμμικό ελαςτικό μϋςο με ταχύτητα u=7m/s.σο ϋνα κατϊ τη θετικό και το ϊλλο κατϊ την αρνητικό φορϊ. Τποθϋτουμε ότι μύα από τισ κοιλύεσ του ςτϊςιμου κύματοσ που δημιουργεύται εύναι ςτη θϋςη x=0 και για t=0 ςτη θϋςη αυτό εύναι και y=0 και η ταχύτητα V>0. Ζητούνται : α. Να γραφούν οι εξιςώςεισ τησ απομϊκρυνςησ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο για τα ςωματύδια του μϋςου που βρύςκονται ςτισ θϋςεισ τησ πρώτησ κοιλύασ Κ και τησ δεύτερησ κοιλύασ Κ του ςτϊςιμου κύματοσ,προσ τα δεξιϊ τησ θϋςησ x=0. β. Να προςδιοριςτούν οι θϋςεισ των ςωματιδύων του μϋςου που βρύςκονται μεταξύ των Κ και Κ και το καθϋνα ϋχει ενϋργεια ταλϊντωςησ ύςη με το ¼ τησ ενϋργειασ ταλϊντωςησ του ςωματιδύου που βρύςκεται ςτη θϋςη τησ κοιλύασ Κ. Να θεωρηθεύ ότι όλα τα ςωματύδια ϋχουν την ύδια μϊζα. 88. Διαπαςών ςυχνότητασ f=340hz ηχεύ μπροςτϊ ςε λεύο κατακόρυφο επύπεδο. Ανϊμεςα ςτο διαπαςών και το κατακόρυφο επύπεδο υπϊρχει παρατηρητόσ που κρατϊει ϋναν ευαύςθητο δϋκτη.ο παρατηρητόσ κινεύται με ςταθερό ταχύτητα uπ=m/s και διαπιςτώνει ότι ανϊ 0,5s η ϋνδειξη του δϋκτη μηδενύζεται. Αντικαθιςτώντασ το διαπαςών με ϋνα ϊλλο διαφορετικόσ ςυχνότητασ και επαναλαμβϊνοντασ την κύνηςη με την ύδια ταχύτητα διαπιςτώνει ότι οι ενδεύξεισ του δϋκτη μηδενύζονται ανϊ 0,s. Να βρεύτε : α. τη ταχύτητα του όχου ςτον αϋρα ςτο χώρο του πειρϊματοσ. β. τη ςυχνότητα του δεύτερου διαπαςών γ. ςτη δεύτερη περύπτωςη,αν ο παρατηρητόσ μεύνει ακύνητοσ και μετακινηθεύ το κατακόρυφο επύπεδο. Να βρεύτε την ελϊχιςτη μετατόπιςη του επιπϋδου για την οπούα πετυχαύνουμε δύο μηδενιςμούσ του δϋκτη. Κ. Β.Φιρφιρής 03

104 04 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΘΕΜΑΣΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΣΑΕΩΝ Α. Ερωτήςεισ πολλαπλήσ επιλογήσ. Σο μόκοσ κύματοσ δύο κυμϊτων που ςυμβϊλλουν και δημιουργούν ςτϊςιμο κύμα εύναι λ. Η απόςταςη μεταξύ δύο διαδοχικών δεςμών του ςτϊςιμου κύματοσ θα εύναι: α. λ β. λ/ γ. λ δ. λ/4.. Αν η εξύςωςη ενόσ αρμονικού κύματοσ εύναι y = 0ημ(6πt - πx) ςτο S.I., τότε η ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ εύναι ύςη με: α. 0m/s β. 6m/s γ. m/s δ. 3m/s. 3. Δύο όμοιεσ πηγϋσ κυμϊτων Α και Β ςτην επιφϊνεια μιασ όρεμησ λύμνησ βρύςκονται ςε φϊςη και παρϊγουν υδϊτινα αρμονικϊ κύματα. Η καθεμιϊ παρϊγει κύμα (πρακτικϊ) αμεύωτου πλϊτουσ 0cm και μόκουσ κύματοσ m. Ένα ςημεύο Γ ςτην επιφϊνεια τησ λύμνησ απϋχει από την πηγό Α απόςταςη 6m και από την πηγό Β απόςταςη m. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςημεύου Γ εύναι : α. 0cm β. 0cm γ. 0cm δ. 40cm. 4. Η αρχό τησ επαλληλύασ των κυμϊτων: α. παραβιϊζεται μόνον όταν τα κύματα εύναι τόςο ιςχυρϊ, ώςτε οι δυνϊμεισ που αςκούνται ςτα ςωματύδια του μϋςου, δεν εύναι ανϊλογεσ των απομακρύνςεων. β. δεν παραβιϊζεται ποτϋ. γ. ιςχύει μόνον όταν τα κύματα που ςυμβϊλλουν, προϋρχονται από πηγϋσ που βρύςκονται ςε φϊςη. δ. δεν ιςχύει, όταν ςυμβϊλλουν περιςςότερα από δύο κύματα. 5. ϋνα ςτϊςιμο κύμα όλα τα μόρια του ελαςτικού μϋςου ςτο οπούο δημιουργεύται α. ϋχουν ύδιεσ κατϊ μϋτρο μϋγιςτεσ ταχύτητεσ. β. ϋχουν ύςα πλϊτη ταλϊντωςησ. γ. διϋρχονται ταυτόχρονα από τη θϋςη ιςορροπύασ. δ. ϋχουν την ύδια φϊςη. 6. ε ςτϊςιμο κύμα δύο ςημεύα του ελαςτικού μϋςου βρύςκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεςμών.σότε τα ςημεύα αυτϊ ϋχουν : α. διαφορϊ φϊςησ π β. την ύδια φϊςη γ. διαφορϊ φϊςησ που εξαρτϊται από την απόςταςη τουσ δ. διαφορϊ φϊςησ π/ 7. To παρακϊτω ςχόμα παριςτϊνει ςτιγμιότυπο εγκϊρςιου αρμονικού κύματοσ. Σο ςημεύο του ελαςτικού μϋςου που κινεύται με μϋγιςτη ταχύτητα και φορϊ προσ τα επϊνω εύναι το : α. Α. β. Β. γ. Γ. δ. Δ. 8. Δυο ςύγχρονεσ πηγϋσ δημιουργούν ςτην επιφϊνεια υγρού εγκϊρςια κύματα πλϊτουσ Α και μόκουσ κύματοσ λ. Ένα ςημεύο βρύςκεται ςτην επιφϊνεια του υγρού ςε αποςτϊςεισ r και r από τισ πηγϋσ αντύςτοιχα. Αν ξϋρουμε ότι ιςχύει r r λ τότε το ταλαντώνεται με πλϊτοσ : α. Α. β. Α γ. 0. δ. Α. 9. Παρατηρητόσ πληςιϊζει με ςταθερό ταχύτητα U A ακύνητη ηχητικό πηγό και αντιλαμβϊνεται όχο ςυχνότητασ f A. Αν η ταχύτητα του όχου ςτον αϋρα εύναι U, τότε η ςυχνότητα f S του όχου που εκπϋμπει η πηγό εύναι ύςη με: U α. f A U+U A U+U A γ. fa U U β. f A U-U A U-U A δ. fa U 0. Ηχητικό πηγό και παρατηρητόσ βρύςκονται ςε ςχετικό κύνηςη. Ο παρατηρητόσ ακούει όχο μεγαλύτερησ ςυχνότητασ από αυτόν που παρϊγει η πηγό, μόνο όταν α. η πηγό εύναι ακύνητη και ο παρατηρητόσ απομακρύνεται από αυτόν. Κ. Β.Φιρφιρής 04

105 05 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ β. ο παρατηρητόσ εύναι ακύνητοσ και η πηγό απομακρύνεται από αυτόν. γ. ο παρατηρητόσ και η πηγό κινούνται με ομόρροπεσ ταχύτητεσ, με τον παρατηρητό να προπορεύεται και να ϋχει κατϊ μϋτρο μεγαλύτερη ταχύτητα από αυτόν τησ πηγόσ. δ. ο παρατηρητόσ και η πηγό κινούνται με ομόρροπεσ ταχύτητεσ, με την πηγό να προπορεύεται και να ϋχει κατϊ μϋτρο ταχύτητα μικρότερη από αυτόν του παρατηρητό.. Δεν ϋχουμε φαινόμενο Doppler όταν: α. ο παρατηρητόσ εύναι ακύνητοσ και απομακρύνεται η πηγό. β. ο παρατηρητόσ και η πηγό κινούνται προσ την ύδια κατεύθυνςη με την ύδια ταχύτητα. γ. ο παρατηρητόσ εύναι ακύνητοσ και πληςιϊζει η πηγό. δ. η πηγό εύναι ακύνητη και πληςιϊζει ο παρατηρητόσ.. τη χορδό μιασ κιθϊρασ, τησ οπούασ τα ϊκρα εύναι ςταθερϊ ςτερεωμϋνα, δημιουργεύται ςτϊςιμο κύμα. Σο μόκοσ τησ χορδόσ εύναι ύςο με L. Σϋςςερα (4) ςυνολικϊ ςημεύα (μαζύ με τα ϊκρα) παραμϋνουν ςυνεχώσ ακύνητα. Αν λ εύναι το μόκοσ κύματοσ των κυμϊτων από τη ςυμβολό των οπούων προόλθε το ςτϊςιμο κύμα, τότε: α. L=3λ β. L=λ γ. L=3λ/ δ. L=λ/3 3. τϊςιμο κύμα δημιουργεύται ςε γραμμικό ελαςτικό μϋςο. Σότε για τα διϊφορα ςημεύα του ελαςτικού μϋςου ιςχύει ότι : α. ϋχουν το ύδιο πλϊτοσ ταλϊντωςησ β. ϋχουν διαφορετικό ςυχνότητα ταλϊντωςησ γ. το πλϊτοσ ταλϊντωςόσ τουσ εξαρτϊται από τη θϋςη τουσ δ. γύνεται μεταφορϊ ενϋργειασ από το ϋνα ςημεύο ςτο ϊλλο. 4.Δύο όμοιεσ πηγϋσ κυμϊτων Π και Π, που βρύςκονται ςτην επιφϊνεια νερού, ταλαντώνονται ςε φϊςη παρϊγοντασ αρμονικϊ κύματα ύδιου πλϊτουσ Α. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ ενόσ ςημεύου που ιςαπϋχει από τισ πηγϋσ Π και Π, εύναι: α. Α. β. Α. γ. Α/ δ Δύο όμοιεσ πηγϋσ κυμϊτων που βρύςκονται ςτην επιφϊνεια νερού ταλαντώνονται ςε φϊςη παρϊγοντασ αρμονικϊ κύματα ύδιου πλϊτουσ. Ο γεωμετρικόσ τόποσ των ςημεύων τησ επιφϊνειασ του νερού τα οπούα παραμϋνουν διαρκώσ ακύνητα, εύναι α. κύκλοι. β. ελλεύψεισ. γ. παραβολϋσ. δ. υπερβολϋσ. 6.Κατϊ τη διϊδοςη ενόσ μηχανικού κύματοσ ςε ϋνα ελαςτικό μϋςον α. μεταφϋρεται ενϋργεια και ύλη. β. μεταφϋρεται μόνον ύλη. γ. μεταφϋρεται ενϋργεια και ορμό από το ϋνα ςημεύο του μϋςου ςτο ϊλλο. δ. όλα τα ςημεύα του ελαςτικού μϋςου την ύδια χρονικό ςτιγμό ϋχουν την ύδια φϊςη. 7.Σα ςημεύα ενόσ γραμμικού ομογενούσ ελαςτικού μϋςου ςτο οπούο ϋχει δημιουργηθεύ ςτϊςιμο εγκϊρςιο κύμα και τα οπούα βρύςκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεςμών ϋχουν : α. διαφορετικό περύοδο ταλϊντωςησ. β. διαφορετικό ςυχνότητα ταλϊντωςησ. γ. διαφορϊ φϊςησ π (rad). δ. ύδια φϊςη. 8.Ένασ παρατηρητόσ βρύςκεται ακύνητοσ ςτην αποβϊθρα ενόσ ςταθμού την ώρα που πληςιϊζει ϋνα τρϋνο, το οπούο κινεύται με ςταθερό ταχύτητα. Η ςειρόνα του τρϋνου εκπϋμπει όχο ςυχνότητασ fs. Η ςυχνότητα του όχου που αντιλαμβϊνεται ο παρατηρητόσ εύναι α. ύςη με τη ςυχνότητα του όχου που αντιλαμβϊνεται ο μηχανοδηγόσ του τρϋνου. β. μεγαλύτερη από τη ςυχνότητα του όχου που αντιλαμβϊνεται ο μηχανοδηγόσ του τρϋνου. γ. μικρότερη από τη ςυχνότητα του όχου που αντιλαμβϊνεται ο μηχανοδηγόσ του τρϋνου. δ. ύςη με τη ςυχνότητα του όχου που εκπϋμπει η ςειρόνα του τρϋνου. 9. Παρατηρητόσ Α κινεύται με ςταθερό ταχύτητα υa προσ ακύνητη πηγό όχου S, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα, αρχικϊ πληςιϊζοντασ και ςτη ςυνϋχεια απομακρυνόμενοσ απ αυτό. Κ. Β.Φιρφιρής 05

106 06 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Ο παρατηρητόσ αντιλαμβϊνεται όχο με ςυχνότητα που εύναι: α. ςυνεχώσ μεγαλύτερη από τη ςυχνότητα τησ πηγόσ. β. ςυνεχώσ μικρότερη από τη ςυχνότητα τησ πηγόσ. γ. αρχικϊ μεγαλύτερη και ςτη ςυνϋχεια μικρότερη από τη ςυχνότητα τησ πηγόσ. δ. αρχικϊ μικρότερη και ςτη ςυνϋχεια μεγαλύτερη από τη ςυχνότητα τησ πηγόσ. 0.Κατϊ τη ςυμβολό δύο κυμϊτων που δημιουργούνται ςτην επιφϊνεια υγρού από δύο ςύγχρονεσ πηγϋσ Α και Β, παρατηρεύται ταλϊντωςη με μϋγιςτο πλϊτοσ ςτα ςημεύα Ο τησ επιφϊνειασ, που η διαφορϊ ΟΑ ΟΒ εύναι : για όλεσ τισ ακϋραιεσ τιμϋσ του Ν.. Μεταξύ δύο διαδοχικών δεςμών ςτϊςιμου κύματοσ τα ςημεύα του ελαςτικού μϋςου α. ϋχουν το ύδιο πλϊτοσ ταλϊντωςησ. β. ϋχουν την ύδια φϊςη. γ. ϋχουν την ύδια ταχύτητα ταλϊντωςησ. δ. εύναι ακύνητα.. Η ταχύτητα διϊδοςησ ενόσ μηχανικού κύματοσ εξαρτϊται από α. το μόκοσ κύματοσ. β. τισ ιδιότητεσ του μϋςου διϊδοςησ. γ. τη ςυχνότητα του κύματοσ. δ. το πλϊτοσ του κύματοσ. 3. Μύα ηχητικό πηγό πληςιϊζει με ςταθερό ταχύτητα προσ ϋναν ακύνητο παρατηρητό και εκπϋμπει όχο ςυχνότητασ f s και μόκουσ κύματοσ λ. Σότε ο παρατηρητόσ αντιλαμβϊνεται τον όχο α. με ςυχνότητα μικρότερη τησ f s. β. με ςυχνότητα ύςη με την f s. γ. με μόκοσ κύματοσ μικρότερο του λ. δ. με μόκοσ κύματοσ ύςο με το λ. 4. Η ταχύτητα διϊδοςησ ενόσ αρμονικού κύματοσ εξαρτϊται από α. τη ςυχνότητα του κύματοσ β. τισ ιδιότητεσ του μϋςου διϊδοςησ γ. το πλϊτοσ του κύματοσ δ. την ταχύτητα ταλϊντωςησ των μορύων του μϋςου διϊδοςησ. 5. ε γραμμικό ελαςτικό μϋςο ϋχει δημιουργηθεύ ςτϊςιμο κύμα. Μερικού διαδοχικού δεςμού (Δ, Δ, Δ3) και μερικϋσ διαδοχικϋσ κοιλύεσ (Κ, Κ, Κ3) του ςτϊςιμου κύματοσ φαύνονται ςτο ςχόμα. Αν λ το μόκοσ κύματοσ των κυμϊτων που δημιούργηςαν το ςτϊςιμο κύμα, τότε η απόςταςη (ΔΚ) εύναι : α. λ β. λ 3 4 γ. λ δ. λ 3 6. Tα μηχανικϊ κύματα α. εύναι μόνο εγκϊρςια. β. εύναι μόνο διαμόκη. γ. μεταφϋρουν ενϋργεια και ορμό. δ. διαδύδονται ςτο κενό. 7. Παρατηρητόσ απομακρύνεται με ςταθερό ταχύτητα υ Α από ακύνητη ηχητικό πηγό, η οπούα εκπϋμπει όχο ςυχνότητασ f. Σο s διϊνυςμα τησ ταχύτητασ βρύςκεται ςτην ευθεύα πηγόσ παρατηρητό. Aν η ταχύτητα του όχου ςτον αϋρα εύναι υ, η ςυχνότητα του όχου που αντιλαμβϊνεται ο παρατηρητόσ εύναι : f u f β. f α. A S u-ua γ. f u -u u A A fs δ. Κ. Β.Φιρφιρής 06 f A A u-ua fs u u A+u f u 8. Δύο ςύγχρονεσ ςημειακϋσ πηγϋσ δημιουργούν ςτην επιφϊνεια υγρού εγκϊρςια αρμονικϊ κύματα. ημεύο Μ που απϋχει από τισ πηγϋσ αποςτϊςεισ r και r εκτελεύ, λόγω ςυμβολόσ, ταλϊντωςη πλϊτουσ Α. Αν k εύναι ακϋραιοσ και λ το μόκοσ κύματοσ των δύο κυμϊτων για τα r και r, ιςχύει α. r+r=kλ S

107 07 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ β. r r=kλ γ. r r=(k+) λ δ. r+r=(k+) λ 9.Περιπολικό ακολουθεύ αυτοκύνητο που ϋχει παραβιϊςει το όριο ταχύτητασ. Σα δύο αυτοκύνητα κινούνται με ύςεσ ταχύτητεσ. Αν η ςειρόνα του περιπολικού εκπϋμπει όχο ςυχνότητασ fs, τότε, η ςυχνότητα fa που αντιλαμβϊνεται ο οδηγόσ του ϊλλου αυτοκινότου εύναι: α.fa=fs β. fa=fs/ γ.fa=fs δ. fa=0 30. το ςχήμα απεικονύζεται το ςτιγμιότυπο ενόσ εγκϊρςιου αρμονικού κύματοσ που διαδύδεται κατϊ την αρνητικό φορϊ του ϊξονα x Ox τη χρονικό ςτιγμό t. 33. Εγκϊρςια μηχανικϊ ονομϊζονται τα κύματα α) ςτα οπούα όλα τα ςημεύα του ελαςτικού μϋςου ταλαντώνονται παρϊλληλα ςτη διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ β) ςτα οπούα ςχηματύζονται πυκνώματα και αραιώματα γ) ςτα οπούα όλα τα ςημεύα του ελαςτικού μϋςου ταλαντώνονται κϊθετα ςτη διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ δ) που διαδύδονται ςτα αϋρια. 34. Παρατηρητόσ ενώ απομακρύνεται με ςταθερό ταχύτητα υα από ακύνητη ηχητικό πηγό αντιλαμβϊνεται όχο ςυχνότητασ fα. Αν η ταχύτητα του όχου ςτον αϋρα εύναι ύςη με υ, τότε η ςυχνότητα fs του όχου που εκπϋμπει η πηγό εύναι ύςη με: u u α) f A β) f A u+u u-u A A u+ua γ) fa u u-ua δ) fa u Για τισ ταχύτητεσ ταλϊντωςησ των ςημεύων Α, Β και Γ ιςχύει: α. VA > 0, VB > 0, VΓ > 0 β. VA < 0, VB > 0, VΓ > 0 γ. VA > 0, VB < 0, VΓ > 0 δ. VA < 0, VB > 0, VΓ < 0 3. Η ταχύτητα ενόσ ηχητικού κύματοσ εξαρτϊται από: α) την περύοδο του όχου β) το υλικό ςτο οπούο διαδύδεται το κύμα γ) το μόκοσ κύματοσ δ) το πλϊτοσ του κύματοσ. 3. Όταν ϋνα κύμα αλλϊζει μϋςο διϊδοςησ, αλλϊζουν α) η ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ και η ςυχνότητϊ του β) το μόκοσ κύματοσ και η ςυχνότητϊ του γ) το μόκοσ κύματοσ και η ταχύτητα διϊδοςόσ του δ) η ςυχνότητα και το πλϊτοσ του κύματοσ. Β. Ερωτήςεισ τύπου ςωςτό-λάθοσ. Με τα ςτϊςιμα κύματα μεταφϋρεται ενϋργεια από το ϋνα ςημεύο του μϋςου ςε ϊλλο ςημεύο του ιδύου μϋςου.. Σο αποτϋλεςμα τησ ςυμβολόσ δύο όμοιων κυμϊτων ςτην επιφϊνεια υγρού εύναι ότι όλα τα ςημεύα τησ επιφϊνειασ εύτε παραμϋνουν διαρκώσ ακύνητα εύτε ταλαντώνονται με μϋγιςτο πλϊτοσ. 3. Σο φαινόμενο Doppler χρηςιμοποιεύται από τουσ γιατρούσ, για να παρακολουθούν τη ροό του αύματοσ. 4. ύμφωνα με την αρχό τησ επαλληλύασ, η ςυνειςφορϊ κϊθε κύματοσ ςτην απομϊκρυνςη κϊποιου ςημεύου του μϋςου εξαρτϊται από την ύπαρξη του ϊλλου κύματοσ. 5. Κατϊ τη διϊδοςη ενόσ κύματοσ μεταφϋρεται ενϋργεια από ϋνα ςημεύο ςτο ϊλλο, αλλϊ δεν μεταφϋρεται ούτε ύλη, ούτε ορμό. 6. ε ςτϊςιμο κύμα, μεταξύ δύο διαδοχικών δεςμών, όλα τα ςημεύα ϋχουν την ύδια φϊςη. 7. Σο διϊγραμμα τησ ςυνϊρτηςησ y=aημπ t -σταθ εύναι ςτιγμιότυπο κύματοσ T 8. Ένα εγκϊρςιο μηχανικό κύμα εύναι αδύνατο να διαδύδεται ςτα αϋρια. Κ. Β.Φιρφιρής 07

108 08 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 9. Όταν ϋνασ παρατηρητόσ πληςιϊζει με ςταθερό ταχύτητα μύα ακύνητη ηχητικό πηγό, τότε ακούει όχο μικρότερησ ςυχνότητασ (βαρύτερο) από αυτόν που παρϊγει η πηγό. 0. τα ςτϊςιμα κύματα, τα ςημεύα που παρουςιϊζουν μϋγιςτο πλϊτοσ ταλϊντωςησ ονομϊζονται κοιλύεσ.. Δυο πηγϋσ εκπϋμπουν κύματα με το ύδιο μόκοσ κύματοσ. Για να παρατηρηθεύ το φαινόμενο ςυμβολόσ των κυμϊτων αυτών ςε τυχαύο ςημεύο, θα πρϋπει οι πηγϋσ να εύναι οπωςδόποτε ςύγχρονεσ..σο ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδύο ενόσ ηλεκτρομαγνητικού κύματοσ κοντϊ ςτην κεραύα ϋχουν διαφορϊ φϊςησ μηδϋν. 3. Σα μηχανικϊ κύματα μεταφϋρουν ενϋργεια και ύλη. 4. τα διαμόκη κύματα τα ςημεύα του ελαςτικού μϋςου ταλαντώνονται κϊθετα ςτη διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ. 5. Σα διαμόκη κύματα διαδύδονται μόνο ςτα ςτερεϊ ςώματα. 6. τα εγκϊρςια μηχανικϊ κύματα τα ςημεύα ταλαντώνονται παρϊλληλα ςτη διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ. 7. Σα ραδιοκύματα εκπϋμπονται από ραδιενεργούσ πυρόνεσ. 8. Η ταχύτητα με την οπούα διαδύδεται ϋνα κύμα ςε ϋνα μϋςον, εξαρτϊται μόνο από τισ ιδιότητεσ του μϋςου που διαταρϊςςεται, και όχι από το πόςο ιςχυρό εύναι η διαταραχό. 9. ε ςτϊςιμο κύμα τα ςημεύα του μϋςου που ταλαντώνονται, διϋρχονται ταυτόχρονα από τη θϋςη ιςορροπύασ τουσ. 0. Εγκϊρςια ονομϊζονται τα κύματα ςτα οπούα όλα τα ςημεύα του ελαςτικού μϋςου ταλαντώνονται παρϊλληλα ςτη διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ.. Μόκοσ κύματοσ λ εύναι η απόςταςη ςτην οπούα διαδύδεται το κύμα ςε χρόνο μιασ περιόδου.. Η ςυχνότητα του όχου τησ ςειρόνασ του τρϋνου, την οπούα αντιλαμβϊνεται ο μηχανοδηγόσ, εύναι ςε όλη τη διϊρκεια τησ κύνηςησ ςταθερό. 3. Κατϊ τη διϊδοςη ενόσ κύματοσ μεταφϋρεται ενϋργεια από το ϋνα ςημεύο του μϋςου ςτο ϊλλο, όχι όμωσ ορμό και ύλη. 4. Καθώσ παρατηρητόσ πληςιϊζει ακύνητη ηχητικό πηγό, αντιλαμβϊνεται όχο του οπούου η ςυχνότητα εύναι μεγαλύτερη από αυτόν που παρϊγει η πηγό. 5. Η ςυχνότητα του όχου που αντιλαμβϊνεται ϋνασ ακύνητοσ παρατηρητόσ, καθώσ μια ηχητικό πηγό πληςιϊζει ιςοταχώσ προσ αυτόν, εύναι μεγαλύτερη από τη ςυχνότητα του όχου που εκπϋμπει η πηγό. 6. Κατϊ τη διϊδοςη ενόσ κύματοσ ς ϋνα ελαςτικό μϋςο μεταφϋρεται ενϋργεια και ορμό. 7.τα διαμόκη κύματα όλα τα ςημεύα του ελαςτικού μϋςου ταλαντώνονται κϊθετα ςτη διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ. 8. Η ταυτόχρονη διϊδοςη δύο ό περιςςοτϋρων κυμϊτων ςτην ύδια περιοχό ενόσ ελαςτικού μϋςου ονομϊζεται ςυμβολό. 9. Όταν ευθύγραμμοσ αγωγόσ διαρρϋεται από εναλλαςςόμενο ρεύμα, τότε γύρω του παρϊγεται ηλεκτρομαγνητικό κύμα. 30. ε ϋνα ςτϊςιμο κύμα τα ςημεύα με μηδενικό πλϊτοσ ταλϊντωςησ ονομϊζονται δεςμού του ςτϊςιμου κύματοσ. 3. τη διεύθυνςη διϊδοςησ ενόσ αρμονικού κύματοσ κϊποια ςημεύα του ελαςτικού μϋςου παραμϋνουν ςυνεχώσ ακύνητα. 3. Σα διαμόκη μηχανικϊ κύματα διαδύδονται ςε ςτερεϊ, υγρϊ και αϋρια. 33. Η ταχύτητα διϊδοςησ ενόσ ηχητικού κύματοσ εξαρτϊται από τη ςυχνότητϊ του. 34. Η αρχό τησ επαλληλύασ δεν ιςχύει ςτα κύματα που δημιουργούνται από μια ϋκρηξη. 35. Ένα ακύνητο ηλεκτρικό φορτύο εκπϋμπει ηλεκτρομαγνητικό ακτινοβολύα. 36.τα ϊκρα τησ χορδόσ μιασ κιθϊρασ δημιουργούνται πϊντα κοιλύεσ ςτϊςιμου κύματοσ. 37. Όταν ςε μια ελαςτικό χορδό δημιουργεύται ςτϊςιμο κύμα, τότε όλα τα ςημεύα τησ χορδόσ διϋρχονται ταυτόχρονα από τη θϋςη ιςορροπύασ τουσ. 38. ε ϋνα ςτϊςιμο κύμα, τα ςημεύα που βρύςκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεςμών ϋχουν φϊςεισ που διαφϋρουν κατϊ π. 39. Σα διαμόκη κύματα διαδύδονται τόςο ςτα ςτερεϊ όςο και ςτα υγρϊ και τα αϋρια. 40. τα ςτϊςιμα κύματα μεταφϋρεται ενϋργεια από το ϋνα ςημεύο του μϋςου ςτο ϊλλο. 4. Βαςιζόμενοι ςτο φαινόμενο Doppler μπορούμε να βγϊλουμε ςυμπερϊςματα για την ταχύτητα ενόσ ϊςτρου ςε ςχϋςη με τη Γη. Κ. Β.Φιρφιρής 08

109 09 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 4. Η ταυτόχρονη διϊδοςη δύο ό περιςςοτϋρων κυμϊτων ςτην ύδια περιοχό ενόσ ελαςτικού μϋςου ονομϊζεται ςυμβολό. 43. Σο πλϊτοσ ενόσ αρμονικού κύματοσ εξαρτϊται από το μόκοσ κύματοσ λ του κύματοσ αυτού. 44. Σο φαινόμενο Doppler ιςχύει για κϊθε μορφόσ κύμανςη, ακόμη και για τα ηλεκτρομαγνητικϊ κύματα. 45. Η αρχό τησ επαλληλύασ ιςχύει και ςτην περύπτωςη που τα κύματα δημιουργούνται από ϋκρηξη. 46. Κατϊ τη διϊδοςη μηχανικού κύματοσ μεταφϋρεται ορμό από ϋνα ςημεύο του μϋςου ςτο ϊλλο. 47. Σο φαινόμενο τησ διϊθλαςησ παρατηρεύται μόνο ςτο ορατό φωσ. 48. Όταν ϋνασ παρατηρητόσ πληςιϊζει μια ακύνητη ηχητικό πηγό, η ςυχνότητα την οπούα ακούει εύναι μικρότερη από αυτόν που παρϊγει η πηγό. 49. Εγκϊρςια ονομϊζονται τα κύματα ςτα οπούα τα μόρια του ελαςτικού μϋςου ταλαντώνονται παρϊλληλα ςτη διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ. 50.Κριτόριο για τη διϊκριςη των μηχανικών κυμϊτων ςε εγκϊρςια και διαμόκη εύναι η διεύθυνςη ταλϊντωςησ των μορύων του ελαςτικού μϋςου ςε ςχϋςη με την διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ. 5. Η ςχϋςη που περιγρϊφει το φαινόμενο Doppler για το φωσ εύναι δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ ό από α υ τ ό ν που ιςχύει για τον όχο. 5. Ένα ςύνθετο κύμα μπορούμε να το θεωρόςουμε ωσ αποτϋλεςμα τησ επαλληλύασ ενόσ αριθμού αρμονικών κυμϊτων με επιλεγμϋνα πλϊτη και μόκη κύματοσ. 53. ε κϊθε ςτϊςιμο κύμα μεταφϋρεται ενϋργεια από ϋνα ςημεύο του ελαςτικού μϋςου ςε ϊλλο. 54. Σο φαινόμενο Doppler αξιοποιεύται από τουσ γιατρούσ για την παρακολούθηςη τησ ροόσ του αύματοσ. 55. κϋδαςη ονομϊζεται κϊθε φαινόμενο του μικρόκοςμου ςτο οπούο τα «ςυγκρουόμενα» ςωματύδια αλληλεπιδρούν με ςχετικϊ μικρϋσ δυνϊμεισ για πολύ μικρό χρόνο. 56. Η ταυτόχρονη διϊδοςη δύο ό περιςςοτϋρων κυμϊτων ςτην ύδια περιοχό ενόσ ελαςτικού μϋςου ονομϊζεται ςυμβολό. 57. Η ταυτόχρονη διϊδοςη δύο ό περιςςοτϋρων κυμϊτων ςτην ύδια περιοχό ενόσ ελαςτικού μϋςου ονομϊζεται ςυμβολό. Γ. Ερωτήςεισ ςυμπλήρωςησ κενών. Κατϊ τη διϊδοςη ενόσ κύματοσ μεταφϋρεται ενϋργεια και ορμό από μια περιοχό του υλικού μϋςου ςε ϊλλη, αλλϊ δεν μεταφϋρεται..... Διαμόκη ονομϊζονται τα κύματα ςτα οπούα τα ςημεύα του ελαςτικού μϋςου ταλαντώνονται... ςτη διεύθυνςη διϊδοςησ του κύματοσ. 4. Η ταυτόχρονη διϊδοςη δύο ό περιςςοτϋρων κυμϊτων ςτην ύδια περιοχό ενόσ ελαςτικού μϋςου ονομϊζεται Ένασ παρατηρητόσ ακούει όχο με ςυχνότητα... από τη ςυχνότητα μιασ πηγόσ, όταν η μεταξύ τουσ απόςταςη ελαττώνεται. 6. Σα ςημεύα που πϊλλονται με μϋγιςτο πλϊτοσ ταλϊντωςησ ςε ϋνα ςτϊςιμο κύμα ονομϊζονται Η απόςταςη ςτην οπούα διαδύδεται ϋνα κύμα ςε χρόνο μιασ... ονομϊζεται μόκοσ κύματοσ.. Δ. Έρωτηςεισ- ο Θέμα. Ένασ παρατηρητόσ κινεύται με ςταθερό ταχύτητα υα προσ ακύνητη ςημειακό ηχητικό πηγό. Οι ςυχνότητεσ που αντιλαμβϊνεται ο παρατηρητόσ, πριν και αφού διϋλθει από την ηχητικό πηγό, διαφϋρουν μεταξύ τουσ κατϊ fs/0. Όπου fs η ςυχνότητα του όχου που εκπϋμπει η ηχητικό πηγό. Αν υ η ταχύτητα διϊδοςησ του όχου ςτον αϋρα, ο λόγοσ ua/u εύναι : α. 0 β. /0 γ. /0 Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ.. ε ςημεύο ευθεύασ ε βρύςκεται ακύνητη ηχητικό πηγό S που εκπϋμπει όχο ςταθερόσ ςυχνότητασ. Πϊνω ςτην ύδια ευθεύα ε παρατηρητόσ κινεύται εκτελώντασ απλό αρμονικό ταλϊντωςη πλϊτουσ Α, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Κ. Β.Φιρφιρής 09

110 0 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Η ςυχνότητα του όχου που αντιλαμβϊνεται ο παρατηρητόσ θα εύναι μϋγιςτη, όταν αυτόσ βρύςκεται α. ςτη θϋςη ιςορροπύασ Ο τησ ταλϊντωςόσ του κινούμενοσ προσ την πηγό. β. ςε τυχαύα θϋςη τησ ταλϊντωςόσ του απομακρυνόμενοσ από την πηγό. γ. ςε μύα από τισ ακραύεσ θϋςεισ τησ απλόσ αρμονικόσ ταλϊντωςησ. Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 3. Κατϊ μόκοσ ευθεύασ x x βρύςκονται ςτισ θϋςεισ K και Λ δύο ςημειακϋσ πηγϋσ Π και Π παραγωγόσ μηχανικών αρμονικών κυμϊτων. Η εξύςωςη που περιγρϊφει τισ απομακρύνςεισ τουσ από τη θϋςη ιςορροπύασ τουσ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο εύναι y=aημωt. Η απόςταςη (ΚΛ) εύναι 6cm. Σο μόκοσ κύματοσ των παραγόμενων κυμϊτων εύναι 4cm. ε ςημεύο τησ ευθεύασ x x, το οπούο δεν ανόκει ςτο ευθύγραμμο τμόμα ΚΛ και δεν βρύςκεται κοντϊ ςτισ πηγϋσ, το πλϊτοσ ταλϊντωςόσ του Α θα εύναι : α. Α =Α β. Α =0 γ. 0<Α <Α Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 4. Μεταξύ δύο ακύνητων παρατηρητών Β και Α κινεύται πηγό S με ςταθερό ταχύτητα υ S πληςιϊζοντασ προσ τον Α. Οι παρατηρητϋσ και η πηγό βρύςκονται ςτην ύδια ευθεύα. Η πηγό εκπϋμπει όχο μόκουσ κύματοσ λ, ενώ οι παρατηρητϋσ Α και Β αντιλαμβϊνονται μόκη κύματοσ λ και λ αντύςτοιχα. Σότε για το μόκοσ κύματοσ του όχου που εκπϋμπει η πηγό θα ιςχύει: α. λ +λ λ= β. λ -λ λ= Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. γ. λλ λ= λ +λ 5. Δύο αρμονικϊ εγκϊρςια κύματα, που διαδύδονται ςε επιφϊνεια νερού, ϋχουν την ύδια ςυχνότητα και το ύδιο πλϊτοσ. Σα κύματα βρύςκονται ςε φϊςη και ξεκινούν ταυτόχρονα από τισ πηγϋσ Π και Π. Σα κύματα φτϊνουν ςε ςημεύο που απϋχει απόςταςη r από την πηγό Π και απόςταςη r από την πηγό Π, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. α. Σι εννοούμε με τον όρο ενύςχυςη του κύματοσ ςτο ςημεύο ; β. Ποια ςχϋςη καθορύζει τη θϋςη των ςημεύων ςτα οπούα ϋχουμε ενιςχυτικό ςυμβολό; γ. Σι εννοούμε με τον όρο απόςβεςη του κύματοσ ςε ςημεύο ; δ. Ποια ςχϋςη καθορύζει τη θϋςη των ςημεύων ςτα οπούα ϋχουμε απόςβεςη; 6. Ημιτονοειδϋσ κύμα με μόκοσ κύματοσ λ διαδύδεται ςε ϋνα μϋςο με ταχύτητα υ. Όταν το κύμα ειςϋλθει ςε δεύτερο μϋςο διαδύδεται με ταχύτητα υ (υ υ ). Σο μόκοσ κύματοσ ςτο δεύτερο μϋςο θα εύναι : α. λ = λ (υ /υ ). β. λ = λ (υ /υ ). γ. λ = λ. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 7. Δύο ςύγχρονεσ ςημειακϋσ πηγϋσ Π και Π δημιουργούν εγκϊρςια αρμονικϊ κύματα πλϊτουσ Α και ςυχνότητασ 4Hz, τα οπούα διαδύδονται ςτην επιφϊνεια ενόσ υγρού με ταχύτητα 0cm/s. Ένα ςημεύο που απϋχει από τισ δύο πηγϋσ αποςτϊςεισ r=7cm και r=cm αντύςτοιχα α. ταλαντώνεται με πλϊτοσ Α. β. ταλαντώνεται με πλϊτοσ Α. γ. παραμϋνει ακύνητο. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 8. Σο ςχόμα παριςτϊνει ςτιγμιότυπο εγκϊρςιου αρμονικού κύματοσ, ενώ το ςχόμα παριςτϊνει την κατακόρυφη απομϊκρυνςη από τη θϋςη ιςορροπύασ ενόσ δεδομϋνου ςημεύου του ελαςτικού μϋςου, ςτο οπούο διαδύδεται το παραπϊνω κύμα, ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. Κ. Β.Φιρφιρής 0

111 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Από τη μελϋτη των δύο ςχημϊτων προκύπτει ότι η ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ εύναι α. 0, m/s. β. m/s. γ. 0 m/s. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 9. τη χορδό μιασ κιθϊρασ δημιουργεύται ςτϊςιμο κύμα ςυχνότητασ f. To ςτϊςιμο κύμα ϋχει τϋςςερισ δεςμούσ, δύο ςτα ϊκρα τησ χορδόσ και δύο μεταξύ αυτών. την ύδια χορδό, με ϊλλη διϋγερςη, δημιουργεύται ϊλλο ςτϊςιμο κύμα ςυχνότητασ f, που ϋχει εννϋα ςυνολικϊ δεςμούσ, δύο ςτα ϊκρα τησ χορδόσ και 7 μεταξύ αυτών. Η ςυχνότητα f εύναι ύςη με: 4 α. f 3 8 β. f 3 5 γ. f 3 Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 0. την επιφϊνεια υγρού ςυμβϊλλουν δύο όμοια κύματα που δημιουργούνται από δύο ςύγχρονεσ αρμονικϋσ πηγϋσ. ε ςημεύο Υ που απϋχει από τισ δύο πηγϋσ αποςτϊςεισ r και r ϋχουμε ενύςχυςη όταν: α. r-r =(N+ )λ β. r-r =Nλ λ r -r =(N+) γ. όπου Ν = 0,,,, λ το μόκοσ κύματοσ. Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ..πηγό ηχητικών κυμϊτων κινεύται ευθύγραμμα με ςταθερό ταχύτητα μϋτρου u u=,όπου u το μϋτρο τησ ταχύτητασ του 0 S όχου ςτον αϋρα. Ακύνητοσ παρατηρητόσ βρύςκεται ςτην ευθεύα κύνηςησ τησ πηγόσ. Όταν η πηγό πληςιϊζει τον παρατηρητό, αυτόσ αντιλαμβϊνεται όχο ςυχνότητασ f, και όταν η πηγό απομακρύνεται απ αυτόν, ο παρατηρητόσ αντιλαμβϊνεται όχο ςυχνότητασ f. f Ο λόγοσ ιςούται με : f α. 9 β. γ. 0 9 Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη. Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ.. Ηχητικό πηγό S εκπϋμπει όχο ςταθερόσ ςυχνότητασ f S. Όταν η πηγό πληςιϊζει με ταχύτητα μϋτρου u ακύνητο παρατηρητό Α, κινούμενη ςτην ευθεύα «πηγόσ- παρατηρητό», ο παρατηρητόσ Α αντιλαμβϊνεται όχο ςυχνότητασ f. Όταν ο παρατηρητόσ Α, κινούμενοσ με ταχύτητα μϋτρου u, πληςιϊζει την ακύνητη πηγό S, κινούμενοσ ςτην ευθεύα «πηγόσ-παρατηρητό», αντιλαμβϊνεται όχο ςυχνότητασ f. Σότε εύναι : α. f > f β. f = f γ. f < f Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη. Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 3. Πηγό Ο αρχύζει να ταλαντώνεται με εξύςωςη y=aημωt ςε γραμμικό ελαςτικό μϋςο. Σο παραγόμενο αρμονικό κύμα διαδύδεται κατϊ τη θετικό φορϊ του ϊξονα Οx. Σα ςημεύα Α, Β που φαύνονται ςτο ςχόμα απϋχουν από την πηγό Ο αποςτϊςεισ x Α, x Β και οι φϊςεισ τουσ την ύδια χρονικό ςτιγμό εύναι αντύςτοιχα φ Α, φ Β.. Ποιο από τα δύο ιςχύει; α. φ Α <φ Β β. φ Α >φ Β. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. Κ. Β.Φιρφιρής

112 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 4. Μια ηχητικό πηγό κινεύται με ταχύτητα U s ύςη με το μιςό τησ ταχύτητασ του όχου, πϊνω ςε μια ευθεύα ε πληςιϊζοντασ ακύνητο παρατηρητό Π ενώ απομακρύνεται από ϊλλο ακύνητο παρατηρητό Π. Οι παρατηρητϋσ βρύςκονται ςτην ύδια ευθεύα με την ηχητικό πηγό. Ο λόγοσ τησ ςυχνότητασ του όχου που αντιλαμβϊνεται ο παρατηρητόσ Π προσ την αντύςτοιχη ςυχνότητα που αντιλαμβϊνεται ο παρατηρητόσ Π εύναι : α.. β.. γ. 3. Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτο ςωςτό ςυμπλόρωμα. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 5. Ένα ςτϊςιμο κύμα περιγρϊφεται από την εξύςωςη πx y=0 συν ημ πt 4 όπου τα x, y εύναι ςε cm και το t ςε s. Σο μόκοσ κύματοσ των δύο κυμϊτων που ςυμβϊλλουν για να δημιουργόςουν το ςτϊςιμο κύμα εύναι: α. cm β. 4 cm γ. 8 cm. Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 6. Ένα τρϋνο εκπϋμπει όχο και κατευθύνεται προσ τούνελ που βρύςκεται ςε κατακόρυφο βρϊχο. Ο όχοσ που εκπϋμπεται από το τρϋνο ανακλϊται ςτο βρϊχο αυτό. Ένασ παρατηρητόσ που βρύςκεται κοντϊ ςτισ γραμμϋσ και πύςω από το τρϋνο ακούει τον όχο που προϋρχεται από το τρϋνο με ςυχνότητα f και τον εξ ανακλϊςεωσ όχο από το βρϊχο με ςυχνότητα f. Σότε ιςχύει ότι: α. f < f, β. f = f, γ. f > f. Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό ςχϋςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 7. Δύο ςύμφωνεσ πηγϋσ () και () δημιουργούν ςτην επιφϊνεια υγρού εγκϊρςια αρμονικϊ κύματα με πλϊτοσ Α και μόκοσ κύματοσ λ = 4 cm. ημεύο Μ τησ επιφϊνειασ του υγρού απϋχει r = 7 cm από την πηγό () και r = 9 cm από την πηγό (). Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ ςτο ςημεύο Μ λόγω ςυμβολόσ εύναι ύςο με : α. 0 β. Α γ. Α Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 8. την ελεύθερη επιφϊνεια ενόσ υγρού δύο ςύγχρονεσ πηγϋσ αρμονικών κυμϊτων εκτελούν κατακόρυφεσ ταλαντώςεισ με ςυχνότητα f και δημιουργούν εγκϊρςια κύματα ύδιου πλϊτουσ Α. Ένα ςημεύο τησ επιφϊνειασ του υγρού ταλαντώνεται εξ αιτύασ τησ ςυμβολόσ των δύο κυμϊτων με πλϊτοσ Α. Αν οι δύο πηγϋσ εκτελϋςουν ταλϊντωςη με ςυχνότητα f και με το ύδιο πλϊτοσ Α, τότε το ςημεύο θα α. ταλαντωθεύ με πλϊτοσ Α. β. ταλαντωθεύ με πλϊτοσ 4Α. γ. παραμϋνει ακύνητο. Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ 9. Μια ηχητικό πηγό εκπϋμπει όχο ςταθερόσ ςυχνότητασ και κινεύται με ςταθερό ταχύτητα. την ευθεύα που κινεύται η πηγό βρύςκεται ακύνητοσ παρατηρητόσ. Η ςυχνότητα του όχου που αντιλαμβϊνεται ο παρατηρητόσ όταν τον ϋχει προςπερϊςει εύναι κατϊ 30% μικρότερη από τη ςυχνότητα που αντιλαμβανόταν, όταν τον πληςύαζε η πηγό. Αν η ταχύτητα του όχου ςτον αϋρα εύναι υ, τότε η ταχύτητα τησ πηγόσ εύναι : Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 0. Παρατηρητόσ Α κινεύται προσ την ηχητικό πηγό S με ταχύτητα υ Α, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Η ηχητικό πηγό S κινεύται ομόρροπα με τον παρατηρητό Α με ταχύτητα υ S =υ Α και εκπϋμπει όχο ςυχνότητασ f S Κ. Β.Φιρφιρής

113 3 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Η ςυχνότητα του όχου που αντιλαμβϊνεται ο παρατηρητόσ Α εύναι α. μικρότερη τησ f S β. ύςη με την f S γ. μεγαλύτερη από την f S Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό φρϊςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ.. Ηχητικό πηγό εκπϋμπει όχο ςταθερόσ ςυχνότητασ f. Με μια δεύτερη ηχητικό πηγό δημιουργούμε ταυτόχρονα όχο, τη ςυχνότητα του οπούου μεταβϊλλουμε. ε αυτόν τη διαδικαςύα δημιουργούνται διακροτόματα ύδιασ ςυχνότητασ για δύο διαφορετικϋσ ςυχνότητεσ f, f τησ δεύτερησ πηγόσ. Η τιμό τησ f εύναι: f f α. β. ff f f γ. f-f Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. ε γραμμικό ελαςτικό μϋςο, κατϊ μόκοσ του ημιϊξονα Οx, δημιουργεύται ςτϊςιμο κύμα με κοιλύα ςτη θϋςη x=0. Δύο ςημεύα Κ και Λ του ελαςτικού μϋςου βρύςκονται αριςτερϊ και δεξιϊ του πρώτου δεςμού, μετϊ τη θϋςη x=0, ςε αποςτϊςεισ λ και λ από αυτόν αντύςτοιχα, 6 όπου λ το μόκοσ κύματοσ των κυμϊτων που δημιουργούν το ςτϊςιμο κύμα. Ο λόγοσ των uκ μεγύςτων ταχυτότων των ςημεύων αυτών u Λ εύναι: α. 3 β. 3 γ. 3 Να επιλϋξετε τη ςωςτό πρόταςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 3. την επιφϊνεια ενόσ υγρού που ηρεμεύ βρύςκονται δύο ςύγχρονεσ ςημειακϋσ πηγϋσ Π και Π, που δημιουργούν ςτην επιφϊνεια του υγρού εγκϊρςια αρμονικϊ κύματα πλϊτουσ Α, ςυχνότητασ f και μόκουσ κύματοσ λ. Ένα ςημεύο Κ τησ επιφϊνειασ του υγρού ταλαντώνεται με μϋγιςτο πλϊτοσ Α. Διπλαςιϊζουμε τη ςυχνότητα ταλϊντωςησ των δύο πηγών. Σο ςημεύο Κ ταλαντώνεται τώρα με πλϊτοσ : α. Α β. Α γ. 0 Να επιλϋξετε τη ςωςτό πρόταςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 4. Ένα απλό αρμονικό κύμα διαδύδεται μϋςα ςε ϋνα γραμμικό ελαςτικό μϋςο με μόκοσ κύματοσ λ. Σην χρονικό ςτιγμό t δύο ςημεύα Α και Β που βρύςκονται ςτισ θϋςεισ xa= 3λ 8 xb= 5λ 8 αντύςτοιχα, ϋχουν διαφορϊ φϊςησ : α. Δφ=0 β. Δφ= π γ. Δφ = π Να επιλϋξετε την ςωςτό απϊντηςη. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. και 5. Πηγό εγκϊρςιου κύματοσ ταλαντώνεται με ςυχνότητα f και πλϊτοσ Α και δημιουργεύ ςε γραμμικό ελαςτικό μϋςο κύμα, που περιγρϊφεται από την εξύςωςη : t x y=aημπ - T λ Όταν η πηγό του κύματοσ ταλαντώνεται με διπλϊςια ςυχνότητα και το ύδιο πλϊτοσ, δημιουργεύ ςτο ελαςτικό μϋςο κύμα, που περιγρϊφεται από την εξύςωςη : α. t x y=aημπ - T λ β. t x y=aημ4π - T λ γ. t x y=aημπ - T λ Να επιλϋξετε την ςωςτό απϊντηςη. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 6. Δύο ςύγχρονεσ ςημειακϋσ πηγϋσ Α και Β, που βρύςκονται ςτην επιφϊνεια υγρού, ταλαντώνονται αρμονικϊ παρϊγοντασ κύματα, πλϊτουσ Α, με μόκοσ κύματοσ λ=6 cm. ημεύο Γ, που βρύςκεται ςε αποςτϊςεισ rα=4cm και rβ=0cm από τισ πηγϋσ Α και Β αντύςτοιχα, ϋχει πλϊτοσ ταλϊντωςησ: α. 3 Α β. 0 γ. Α Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. Κ. Β.Φιρφιρής 3

114 4 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 7. Αυτοκύνητο με ταχύτητα ua= u 0 (όπου υ η ταχύτητα του όχου ωσ προσ τον ακύνητο αϋρα) κινεύται ευθύγραμμα προσ ακύνητο περιπολικό. Προκειμϋνου να ελεγχθεύ η ταχύτητα του αυτοκινότου εκπϋμπεται από το περιπολικό ηχητικό κύμα ςυχνότητασ f. Σο κύμα, αφού ανακλαςτεύ ςτο αυτοκύνητο, επιςτρϋφει ςτο περιπολικό f με ςυχνότητα f. Ο λόγοσ των ςυχνοτότων f εύναι : α. 9 β. 0 Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. γ Δύο ςύγχρονεσ πηγϋσ κυμϊτων Π και Π που βρύςκονται αντύςτοιχα ςτα ςημεύα Κ και Λ τησ επιφϊνειασ υγρού παρϊγουν πανομοιότυπα εγκϊρςια αρμονικϊ κύματα με ύδιο πλϊτοσ, ύςεσ ςυχνότητεσ f και ύςα μόκη κύματοσ λ. Αν η απόςταςη των ςημεύων Κ και Λ εύναι d = λ, τότε δημιουργούνται τϋςςερισ υπερβολϋσ απόςβεςησ, μεταξύ των ςημεύων Κ και Λ. Αλλϊζοντασ την ςυχνότητα των δύο πηγών ςε f = 3 f και διατηρώντασ το ύδιο πλϊτοσ, ο αριθμόσ των υπερβολών απόςβεςησ, που δημιουργούνται μεταξύ των δύο ςημεύων Κ και Λ, εύναι: i) 6 ii) 8 iii) α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 9. Κατϊ μόκοσ δύο χορδών και, που εύναι καταςκευαςμϋνεσ από το ύδιο υλικό, διαδύδονται δύο αρμονικϊ εγκϊρςια κύματα πλϊτουσ Α και Α και μόκουσ κύματοσ λ και λ, αντύςτοιχα. Αν ιςχύει ότι Α = Α και λ λ=. Σότε για τισ αντύςτοιχεσ μϋγιςτεσ επιταχύνςεισ των ταλαντώςεων αmax και αmax ιςχύει: a a a a 4 a 8 a max max max i.) ii.) iii.) 4 max max max Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη αιτιολογώντασ την επιλογό ςασ. 30. Σο παρακϊτω ςχόμα δύνει το ςτιγμιότυπο ςτϊςιμου κύματοσ, με περύοδο Σ και μόκοσ κύματοσ λ, τη χρονικό ςτιγμό t = T /8. Σο ςημεύο 0 εύναι κοιλύα που για t = 0s διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ με θετικό ταχύτητα. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ ςημεύου Β με xβ = λ /8 εύναι i. 0,05 m ii. 0, m iii. 0, Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη αιτιολογώντασ την επιλογό ςασ. 3. Πηγό Π ηχητικών κυμϊτων εκπϋμπει όχο με ςυχνότητα fs. Η πηγό, εύναι ςτερεωμϋνη κατϊλληλα ςε κατακόρυφο τούχωμα που διαχωρύζει την δεξαμενό του νερού από τον αϋρα, ϋτςι ώςτε τα ηχητικϊ κύματα που εκπϋμπει να διαδύδονται ςτον αϋρα και ςτο νερό (ςχήμα ). Δύο δϋκτεσ Δ και Δ που βρύςκονται, ο πρώτοσ ςτον αϋρα και ο δεύτεροσ ςτο νερό, ςτην ύδια ευθεύα με την πηγό κινούνται προσ την πηγό με ταχύτητεσ μϋτρων υ και υ, αντύςτοιχα. Αν οι ςυχνότητεσ f και f που ανιχνεύουν οι δύο δϋκτεσ εύναι ύςεσ και η ταχύτητα διϊδοςησ του όχου ςτο νερό υν εύναι τετραπλϊςια τησ ταχύτητασ διϊδοςησ του όχου ςτον αϋρα υα (υν = 4υα), ο λόγοσ των ταχυτότων u/u εύναι: i.) ½ ii.) /3 iii.) ¼ α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 3. Δύο ςύγχρονεσ πηγϋσ κυμϊτων Π και Π δημιουργούν ςτην επιφϊνεια υγρού εγκϊρςια κύματα. Ένα μικρό κομμϊτι φελλού βρύςκεται ςε κϊποιο ςημεύο τησ επιφϊνειασ του υγρού ςε τϋτοιεσ αποςτϊςεισ από τισ πηγϋσ, ώςτε τα κύματα να ςυμβϊλλουν ςε αυτό με χρονικό διαφορϊ Δt= T/4, όπου Σ η Κ. Β.Φιρφιρής 4

115 5 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ περύοδοσ ταλϊντωςησ των πηγών. Δεύτερο κομμϊτι φελλού ύδιασ μϊζασ με το προηγούμενο βρύςκεται ςτο μϋςο Μ τησ απόςταςησ των πηγών Π και Π. Αν Α και ΑΜ εύναι τα πλϊτη ταλϊντωςησ των δύο κομματιών φελλού μετϊ τη ςυμβολό, τότε ο λόγοσ των ενεργειών τουσ E/ΕΜ εύναι : α. β. ½ γ. ¼ α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 33. τη χορδό ενόσ μουςικού οργϊνου ϋχει δημιουργηθεύ ςτϊςιμο κύμα ςυχνότητασ f. Σο ςτϊςιμο κύμα ϋχει ςυνολικϊ πϋντε (5) δεςμούσ, δύο () ςτα ϊκρα τησ χορδόσ και τρεισ (3) μεταξύ αυτών. την ύδια χορδό με ϊλλη διϋγερςη δημιουργεύται ϊλλο ςτϊςιμο κύμα ςυχνότητασ f = f. O ςυνολικόσ αριθμόσ των δεςμών που ϋχει τώρα το ςτϊςιμο κύμα εύναι: i) 7 ii) 9 iii) α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 34. Ένα ςτϊςιμο κύμα που δημιουργεύται ςε ϋνα γραμμικό ελαςτικό μϋςο περιγρϊφεται από την εξύςωςη : x t Y=Aςυν π ημ π λ T Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ Α ενόσ ςημεύου Μ του ελαςτικού μϋςου που βρύςκεται δεξιϊ του 3 ου δεςμού από το ςημεύο x=0 και ςε απόςταςη λ/ από αυτόν εύναι : i.) Α =Α 3 ii.)α =Α/ iii.)α =Α π Δύνεται ςυν =- 3 α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 35. Ένα τρϋνο κινεύται ευθύγραμμα ςε οριζόντιο επύπεδο με ςταθερό ταχύτητα u ηχ μϋτρου, όπου uηχ εύναι η ταχύτητα 0 διϊδοςησ του όχου ςτον αϋρα. Σο τρϋνο κατευθύνεται προσ τούνελ που βρύςκεται ςε κατακόρυφο βρϊχο. Ο όχοσ που εκπϋμπεται από τη ςειρόνα του τρϋνου ανακλϊται ςτον κατακόρυφο βρϊχο. Ένασ ακύνητοσ παρατηρητόσ που βρύςκεται πϊνω ςτισ γραμμϋσ και πύςω από το τρϋνο ακούει δύο όχουσ. Έναν όχο απευθεύασ από τη ςειρόνα του τρϋνου, με ςυχνότητα f, και ϋναν όχο από την ανϊκλαςη ςτον κατακόρυφο f βρϊχο, με ςυχνότητα f. Ο λόγοσ εύναι: f 0 9 i. ii. iii. 9 α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 36. ε χορδό που εκτεύνεται κατϊ μόκοσ του ϊξονα x x, ϋχει δημιουργηθεύ ςτϊςιμο κύμα που προϋρχεται από τη ςυμβολό δύο απλών αρμονικών κυμϊτων πλϊτουσ Α, μόκουσ κύματοσ λ και περιόδου Σ. Σο ςημεύο Ο, που βρύςκεται ςτη θϋςη xo = 0, εύναι κοιλύα και τη χρονικό ςτιγμό t=0 βρύςκεται ςτη θϋςη ιςορροπύασ του, κινούμενο προσ τη θετικό κατεύθυνςη τησ απομϊκρυνςόσ του. Σο μϋτρο τησ μϋγιςτησ ταχύτητασ ταλϊντωςησ ενόσ ςημεύου Μ τησ χορδόσ που βρύςκεται ςτη θϋςη ΦΜ= 9λ, εύναι ύςο με: 8 πα πα 4πΑ i. ii. iii. Σ Σ Σ α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 37. Ένα απλό αρμονικό κύμα που διαδύδεται ςε ελαςτικό μϋςο ϋχει εξύςωςη τησ μορφόσ t x y=aημπ T λ Για να εύναι η ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ διπλϊςια από τη μϋγιςτη ταχύτητα ταλϊντωςησ ενόσ ςημεύου του ελαςτικού μϋςου, θα πρϋπει να ιςχύει i. λ= π Α ii. λ= π Α iii. λ= 4πΑ. α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 38. Εγκϊρςιο αρμονικό κύμα διαδύδεται χωρύσ απώλειεσ ενϋργειασ ςε γραμμικό ελαςτικό μϋςο που ταυτύζεται με τον ϊξονα x Οx προσ τη θετικό κατεύθυνςη. Η πηγό του κύματοσ βρύςκεται ςτην αρχό Ο του ϊξονα x Οx και εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη με εξύςωςη y Αημωt Κ. Β.Φιρφιρής 5

116 6 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ το διϊγραμμα του ςχόματοσ παριςτϊνεται η φϊςη των ςημεύων του ελαςτικού μϋςου ςε ςυνϊρτηςη με την απόςταςό τουσ x από την πηγό, τη χρονικό ςτιγμό t = s. Η ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ εύναι ύςη με: i. υ = 0,8 m/s ii. υ = 5 m/s iii. υ =,5 m/s α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. Ε. 3ο Θέμα.. Η πηγό κύματοσ Ο αρχύζει τη χρονικό ςτιγμό t = 0 s να εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη ότι το κύμα φτϊνει ς αυτόν 50 s μετϊ την πτώςη τησ ϊγκυρασ. Σο κύμα ϋχει ύψοσ 0 cm πϊνω από την επιφϊνεια τησ λύμνησ, η απόςταςη ανϊμεςα ςε δύο διαδοχικϋσ κορυφϋσ του κύματοσ εύναι m, ενώ μϋςα ςε χρόνο 5 s το κύμα φτϊνει ςτη βϊρκα 0 φορϋσ. Να υπολογύςετε: α. Σην περύοδο του κύματοσ που φτϊνει ςτη βϊρκα. β. Σην ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ. γ. Σην απόςταςη τησ βϊρκασ από το ςημεύο πτώςησ τησ ϊγκυρασ. δ. Ση μϋγιςτη ταχύτητα ταλϊντωςησ του ανθρώπου ςτη βϊρκα. 3. Σo ϊκρο Ο γραμμικού ομογενούσ ελαςτικού μϋςου, που εκτεύνεται κατϊ τη διεύθυνςη του ημιϊξονα Οx, αρχύζει να ταλαντώνεται τη ςτιγμό t = 0, ςύμφωνα με την εξύςωςη 0 πλϊτουσ Α = 0,05 m. Σο αρμονικό κύμα που δημιουργεύται διαδύδεται κατϊ μόκοσ γραμμικού ομογενούσ ελαςτικού μϋςου, κατϊ τον ϊξονα Οx. το παρακϊτω ςχόμα απεικονύζεται το ςτιγμιότυπο του κύματοσ μετϊ από χρόνο t = 0,3 s, κατϊ τον οπούο το κύμα ϋχει διαδοθεύ ςε απόςταςη 3m. α. Να βρεύτε την ταχύτητα υ διϊδοςησ του κύματοσ ςτο ελαςτικό μϋςο β. Να βρεύτε την περύοδο T του αρμονικού κύματοσ. γ. Να γρϊψετε την εξύςωςη του αρμονικού κύματοσ. δ. Να απεικονύςετε το ςτιγμιότυπο του κύματοσ τη χρονικό t=t+ T/4. ε ϋνα ςημεύο μιασ λύμνησ, μια μϋρα χωρύσ αϋρα, ϋνα ςκϊφοσ ρύχνει ϊγκυρα. Από το ςημεύο τησ επιφϊνειασ τησ λύμνησ που πϋφτει η ϊγκυρα ξεκινϊ εγκϊρςιο κύμα. Ένασ ϊνθρωποσ που βρύςκεται ςε βϊρκα παρατηρεύ Σο εγκϊρςιο κύμα, που δημιουργεύται, διαδύδεται κατϊ μόκοσ του γραμμικού ελαςτικού μϋςου. Κϊποια χρονικό ςτιγμό το ςτιγμιότυπο του κύματοσ απεικονύζεται ςτο παρακϊτω ςχόμα. α. Να βρεύτε το μόκοσ κύματοσ και την περύοδο του κύματοσ. β. Να υπολογύςετε την ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ. γ. Να γρϊψετε την εξύςωςη του κύματοσ. Να βρεύτε την ενϋργεια ενόσ πολύ μικρού τμόματοσ του ελαςτικού μϋςου μϊζασ 3 Δm = 8 0 kg. Δύνεται π=0. 4. Η εξύςωςη ενόσ γραμμικού αρμονικού κύματοσ εύναι: y=0, ημπ(t-x) (S. Ι.) Να υπολογύςετε: α. την περύοδο και το μόκοσ κύματοσ. β. την ταχύτητα του κύματοσ. γ. τη μεγύςτη επιτϊχυνςη τησ ταλϊντωςησ των ςημεύων του ελαςτικού μϋςου. Κ. Β.Φιρφιρής 6

117 7 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ δ. την απόςταςη μεταξύ δύο ςημεύων του ελαςτικού μϋςου που παρουςιϊζουν διαφορϊ φϊςησ 4π rad. Δύνεται π 0 5. Σο ςημεύο Ο ομογενούσ ελαςτικόσ χορδόσ, τη χρονικό ςτιγμό t = 0, αρχύζει να εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη με εξύςωςη y = 0,05ημ8πt (SI) κϊθετα ςτη διεύθυνςη τησ χορδόσ. Σο κύμα που παρϊγεται διαδύδεται κατϊ τη θετικό φορϊ του ϊξονα x x, κατϊ μόκοσ τησ χορδόσ, που διϋρχεται από το ςημεύο Ο με ταχύτητα μϋτρου 0m/s. α. Να βρεθεύ ο χρόνοσ που χρειϊζεται ϋνα υλικό ςημεύο του ελαςτικού μϋςου για να εκτελϋςει μια πλόρη ταλϊντωςη. β. Να βρεθεύ το μόκοσ κύματοσ του αρμονικού κύματοσ. γ. Να γραφεύ η εξύςωςη του ύδιου κύματοσ. δ. Να βρεθεύ το μϋτρο τησ μϋγιςτησ ταχύτητασ με την οπούα ταλαντώνεται ϋνα ςημεύο τησ χορδόσ. 6. Ένα τεντωμϋνο οριζόντιο ςχοινύ ΟΑ μόκουσ L εκτεύνεται κατϊ τη διεύθυνςη του ϊξονα x. Σο ϊκρο του Α εύναι ςτερεωμϋνο ακλόνητα ςτη θϋςη x=l, ενώ το ϊκρο Ο που βρύςκεται ςτη θϋςη x=0 εύναι ελεύθερο, ϋτςι ώςτε με κατϊλληλη διαδικαςύα να δημιουργεύται ςτϊςιμο κύμα με 5 ςυνολικϊ κοιλύεσ. τη θϋςη x=0 εμφανύζεται κοιλύα και το ςημεύο του μϋςου ςτη θϋςη αυτό εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη. Ση χρονικό ςτιγμό t=0 το ςημεύο x=0 βρύςκεται ςτη θϋςη μηδενικόσ απομϊκρυνςησ κινούμενο κατϊ τη θετικό φορϊ. Η απόςταςη των ακραύων θϋςεων τησ ταλϊντωςησ αυτού του ςημεύου του μϋςου εύναι 0, m. Σο ςυγκεκριμϋνο ςημεύο διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ του 0 φορϋσ κϊθε δευτερόλεπτο και απϋχει κατϊ τον ϊξονα x απόςταςη 0, m από τον πληςιϋςτερο δεςμό. α. Να υπολογύςετε την περύοδο του κύματοσ. β. Να υπολογύςετε το μόκοσ L. γ. Να γρϊψετε την εξύςωςη του ςτϊςιμου κύματοσ. δ. Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ ταχύτητασ τησ ταλϊντωςησ του ςημεύου του μϋςου x=0 κατϊ τη χρονικό ςτιγμό που η απομϊκρυνςό του από τη θϋςη ιςορροπύασ ϋχει τιμό y = +0,03 m. Δύνεται π = 3,4. 7. Κατϊ μόκοσ του ϊξονα Φ Φ εκτεύνεται ελαςτικό χορδό. τη χορδό διαδύδεται εγκϊρςιο αρμονικό κύμα. Η εγκϊρςια απομϊκρυνςη ενόσ ςημεύου Π τησ χορδόσ περιγρϊφεται από την εξύςωςη: ενώ η εγκϊρςια απομϊκρυνςη ενόσ ςημεύου Π, που βρύςκεται 6 cm δεξιϊ του ςημεύου Π, περιγρϊφεται από την εξύςωςη: Η απόςταςη μεταξύ των ςημεύων Π και Π εύναι μικρότερη από ϋνα μόκοσ κύματοσ. α. Ποια εύναι η φορϊ διϊδοςησ του κύματοσ; β. Ποια εύναι η ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ; γ. Αν η ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ εύναι ύςη με την μϋγιςτη ταχύτητα ταλϊντωςησ των ςημεύων τησ χορδόσ, να υπολογύςετε το πλϊτοσ του κύματοσ. δ. το ςχόμα που ακολουθεύ, απεικονύζεται ϋνα ςτιγμιότυπο του κύματοσ. Εκεύνη τη ςτιγμό ςε ποια από τα ςημεύα Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ και Η η ταχύτητα ταλϊντωςησ εύναι μηδενικό και ςε ποια εύναι μϋγιςτη (κατ απόλυτη τιμό); Ποια εύναι η φορϊ τησ ταχύτητασ ταλϊντωςησ των ςημεύων Β, Δ και Ζ; ε. Να γρϊψετε την εξύςωςη του κύματοσ που όταν ςυμβϊλλει με το προηγούμενο, δημιουργεύ ςτϊςιμο κύμα. Δύνεται π = 3,4. 8. ε μια χορδό δημιουργεύται ςτϊςιμο κύμα, η εξύςωςη του οπούου εύναι : όπου x, y δύνονται ςε cm και t ςε s. Να βρεύτε: Κ. Β.Φιρφιρής 7

118 8 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ α. το μϋγιςτο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ, τη ςυχνότητα και το μόκοσ κύματοσ. β. τισ εξιςώςεισ των δύο κυμϊτων που παρϊγουν το ςτϊςιμο κύμα. γ. την ταχύτητα που ϋχει τη χρονικό ςτιγμό t=0, s ϋνα ςημεύο τησ χορδόσ το οπούο απϋχει 3 cm από το ςημεύο x=0. δ. ςε ποιεσ θϋςεισ υπϊρχουν κοιλύεσ μεταξύ των ςημεύων x Α =3 cm και x B =9 cm. Δύνονται : π=3,4 και ςυν 3π = Η εξύςωςη ενόσ γραμμικού αρμονικού κύματοσ που διαδύδεται κατϊ μόκουσ του ϊξονα x x εύναι : y=0,4ημπ(t-0,5x) (S.I.) Να βρεύτε : α. Σο μόκοσ κύματοσ λ και τη ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ u. β. Ση μϋγιςτη ταχύτητα ταλϊντωςησ των ςημεύων του ελαςτικού μϋςου. γ. Ση διαφορϊ φϊςησ που παρουςιϊζουν την ύδια χρονικό ςτιγμό δύο ςημεύα του ελαςτικού μϋςου, τα οπούα απϋχουν μεταξύ τουσ απόςταςη,5 m. δ. Για τη χρονικό ςτιγμό t=/8 s να βρεύτε την εξύςωςη που περιγρϊφει το ςτιγμιότυπο του κύματοσ,και ςτη ςυνϋχεια να το ςχεδιϊςετε. 0. Εγκϊρςιο αρμονικό κύμα πλϊτουσ 0,08m και μόκουσ κύματοσ m διαδύδεται κατϊ τη θετικό φορϊ ςε οριζόντια ελαςτικό χορδό που εκτεύνεται κατϊ τη διεύθυνςη του ϊξονα x x. Θεωρούμε ότι το ςημεύο τησ χορδόσ ςτη θϋςη x = 0 τη χρονικό ςτιγμό t = 0 ϋχει μηδενικό απομϊκρυνςη από τη θϋςη ιςορροπύασ του και θετικό ταχύτητα. Η ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ εύναι 00 m/s. α. Να υπολογύςετε τη ςυχνότητα με την οπούα ταλαντώνονται τα ςημεύα τησ χορδόσ. β. Να γρϊψετε την εξύςωςη του κύματοσ ςτο S.I. γ. Να υπολογύςετε την ενϋργεια τησ ταλϊντωςησ ςτοιχειώδουσ τμόματοσ τησ χορδόσ μϊζασ 0,00 kg. (Να θεωρόςετε το ςτοιχειώδεσ τμόμα τησ χορδόσ ωσ υλικό ςημεύο). δ. Έςτω ότι ςτην παραπϊνω χορδό διαδύδεται ταυτόχρονα ϊλλο ϋνα κύμα πανομοιότυπο με το προηγούμενο, αλλϊ αντύθετησ φορϊσ, και δημιουργεύται ςτϊςιμο κύμα με κοιλύα ςτη θϋςη x = 0. Να υπολογύςετε ςτο θετικό ημιϊξονα τη θϋςη του ου δεςμού του ςτϊςιμου κύματοσ από τη θϋςη x = 0. Δύνεται: π =0.. Δύο ςύγχρονεσ πηγϋσ κυμϊτων Π και Π βρύςκονται ςτα ςημεύα Α και Β αντύςτοιχα τησ ελεύθερησ επιφϊνειασ νερού και προκαλούν όμοια εγκϊρςια κύματα που διαδύδονται με ταχύτητα u = 0,5 m/s. Ένα ςημεύο Κ τησ επιφϊνειασ του νερού βρύςκεται πϊνω ςτο ευθύγραμμο τμόμα ΑΒ και απϋχει από τα Α και Β αποςτϊςεισ (ΑΚ) = r και (ΒΚ) = r με r > r. Tο ςημεύο Κ εύναι το πληςιϋςτερο προσ το μϋςο Μ του ΑΒ που ταλαντώνεται με μϋγιςτο πλϊτοσ. Η απομϊκρυνςη του ςημεύου Κ από τη θϋςη ιςορροπύασ λόγω τησ ςυμβολόσ των κυμϊτων περιγρϊφεται ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο t από την εξύςωςη Να υπολογύςετε: α. την περύοδο, το μόκοσ κύματοσ και το πλϊτοσ των κυμϊτων που ςυμβϊλλουν. β. την απόςταςη ΑΒ των δύο πηγών. γ. τισ αποςτϊςεισ r και r του ςημεύου Κ από τα ςημεύα Α και Β. δ. τον αριθμό των ςημεύων του ευθύγραμμου τμόματοσ ΑΒ που λόγω τησ ςυμβολόσ ϋχουν πλϊτοσ ύςο με το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςημεύου Κ.. Δύο ςημαδούρεσ Α και Β απϋχουν μεταξύ τουσ απόςταςη ΑΒ = 3,5m και η ευθεύα που διϋρχεται από αυτϋσ εύναι κϊθετη ςτην ακτογραμμό. Πλούο που κινεύται παρϊλληλα ςτην ακτογραμμό, μακριϊ από τισ ςημαδούρεσ δημιουργεύ κύμα, με φορϊ διϊδοςησ από την Α προσ την Β, το οπούο θεωρούμε εγκϊρςιο αρμονικό. Σο κύμα διαδύδεται προσ την ακτό. Εξ αιτύασ του κύματοσ η κϊθε ςημαδούρα διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ τησ 30 φορϋσ το λεπτό. Ο χρόνοσ που απαιτεύται, για να φθϊςει ϋνα «όροσ» του κύματοσ από τη ςημαδούρα Α ςτη Β, εύναι 9s. Η μϋγιςτη Κ. Β.Φιρφιρής 8

119 9 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ταχύτητα ταλϊντωςησ κϊθε ςημαδούρασ εύναι π/5 (m/s). Θεωρούμε ωσ αρχό μϋτρηςησ των αποςτϊςεων τη ςημαδούρα Α και ωσ αρχό μϋτρηςησ των χρόνων τη ςτιγμό που η ςημαδούρα Α βρύςκεται ςτη θϋςη ιςορροπύασ και κινεύται προσ τα θετικϊ. α. Να υπολογιςτεύ το μόκοσ του κύματοσ. β. Πόςο απϋχει η ςημαδούρα Α από την ακτό, αν αυτό βρύςκεται για η φορϊ ςτην ανώτερη θϋςη τησ ταλϊντωςόσ τησ, όταν το κύμα φθϊςει ςτην ακτό. γ. Να γραφεύ η εξύςωςη ταλϊντωςησ τησ ςημαδούρασ Β, καθώσ το κύμα διαδύδεται από τη ςημαδούρα Α προσ τη Β. δ. Να βρεθεύ το μϋτρο τησ ταχύτητασ ταλϊντωςησ τησ ςημαδούρασ Β κϊποια χρονικό ςτιγμό που η ςημαδούρα Α βρύςκεται ςτο ανώτατο ςημεύο τησ ταλϊντωςόσ τησ. 3. Η μύα ϊκρη ενόσ τεντωμϋνου ςχοινιού εύναι ςτερεωμϋνη ςε ακλόνητο ςημεύο και η ελεύθερη ϊκρη εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη, οπότε ςχηματύζεται ςτϊςιμο κύμα με εξύςωςη α. Να υπολογύςετε το πλϊτοσ και το μόκοσ κύματοσ για το κύμα, από το οπούο προκύπτει το ςτϊςιμο. β. Να υπολογύςετε ςε πόςη απόςταςη από την ελεύθερη ϊκρη του ςχοινιού ςχηματύζεται ο τρύτοσ δεςμόσ του ςτϊςιμου κύματοσ. 4. Η πηγό Ο αρχύζει τη χρονικό ςτιγμό t=0 να εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη, που περιγρϊφεται από την εξύςωςη y=aημωt. Σο κύμα που δημιουργεύ, διαδύδεται κατϊ μόκοσ γραμμικού ομογενούσ ελαςτικού μϋςου και κατϊ τη θετικό φορϊ. Ένα ςημεύο απϋχει από την πηγό Ο απόςταςη 0m. τη γραφικό παρϊςταςη που ακολουθεύ φαύνεται η απομϊκρυνςη του ςημεύου από τη θϋςη ιςορροπύασ του, ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. Να υπολογύςετε: α. Ση ςυχνότητα του κύματοσ. β. Σην ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ. γ. Ση μϋγιςτη ταχύτητα ταλϊντωςησ του ςημεύου. δ. Να γρϊψετε την εξύςωςη αυτού του κύματοσ. 5. Κατϊ μόκοσ ομογενούσ γραμμικού ελαςτικού μϋςου που ϋχει τη διεύθυνςη του ϊξονα x, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα, διαδύδεται εγκϊρςιο αρμονικό κύμα, το οπούο περιγρϊφεται από την εξύςωςη: y = 0,05 ημπ (t 5x) (S.I.) Να υπολογύςετε: α. τη ςυχνότητα και την ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ. β. τη μϋγιςτη επιτϊχυνςη ταλϊντωςησ των ςημεύων του ελαςτικού μϋςου ςτο οπούο διαδύδεται το κύμα. γ. την απόςταςη μεταξύ δύο ςημεύων του ελαςτικού μϋςου τα οπούα βρύςκονται ςτον θετικό ημιϊξονα Οx και παρουςιϊζουν την ύδια χρονικό ςτιγμό διαφορϊ φϊςησ 5π/ (rad). δ. την ταχύτητα ταλϊντωςησ, τη χρονικό ςτιγμό t =,5 s ενόσ ςημεύου του ελαςτικού μϋςου το οπούο βρύςκεται ςτον θετικό ημιϊξονα Οx και απϋχει από την αρχό Ο (x=0) απόςταςη 0,3 m. Δύνονται: π = 3,4 και π ε γραμμικό ελαςτικό μϋςο που εκτεύνεται κατϊ μόκοσ του ϊξονα x x ϋχει δημιουργηθεύ ςτϊςιμο κύμα που περιγρϊφεται από την εξύςωςη: y = 0,ςυνπx ημ0πt (SI). τη θϋςη x = 0 εμφανύζεται κοιλύα, και το ςημεύο του ελαςτικού μϋςου που βρύςκεται ςτη θϋςη αυτό τη χρονικό ςτιγμό t = 0 ϋχει μηδενικό απομϊκρυνςη από τη θϋςη Κ. Β.Φιρφιρής 9

120 0 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ιςορροπύασ του και κινεύται κατϊ τη θετικό φορϊ. α. Να υπολογιςτεύ η ςυχνότητα f και η ταχύτητα υ των κυμϊτων από τα οπούα προϋκυψε το ςτϊςιμο κύμα. β. Να υπολογιςτεύ τη χρονικό ςτιγμό t=/40 (s) η απομϊκρυνςη ενόσ ςημεύου Κ του ελαςτικού μϋςου που βρύςκεται ςτη θϋςη xκ= m 4 γ. Να προςδιοριςτεύ ο αριθμόσ των κοιλιών που υπϊρχουν μεταξύ των ςημεύων Μ και Ν του ελαςτικού μϋςου που βρύςκονται ςτισ θϋςεισ x Μ = 0,5m και x Ν = 4,75m αντύςτοιχα. Δύνονται : π π ημ =συν = την επιφϊνεια ενόσ υγρού που ηρεμεύ, βρύςκονται δύο ςύγχρονεσ ςημειακϋσ πηγϋσ Π και Π, που δημιουργούν ςτην επιφϊνεια του υγρού εγκϊρςια αρμονικϊ κύματα ύςου πλϊτουσ. Οι πηγϋσ αρχύζουν να ταλαντώνονται τη χρονικό ςτιγμό t 0 =0 ξεκινώντασ από τη θϋςη ιςορροπύασ τουσ και κινούμενεσ προσ την ύδια κατεύθυνςη, την οπούα θεωρούμε θετικό. Η χρονικό εξύςωςη τησ ταλϊντωςησ ενόσ ςημεύου Μ, που βρύςκεται ςτη μεςοκϊθετο του ευθύγραμμου τμόματοσ Π Π, μετϊ τη ςυμβολό των κυμϊτων δύνεται ςτο SI από τη ςχϋςη: y M =0,ημπ(5t-0). Η ταχύτητα διϊδοςησ των κυμϊτων ςτην επιφϊνεια του υγρού εύναι υ= m/s. Έςτω Ο το μϋςο του ευθύγραμμου τμόματοσ Π Π και d=m η απόςταςη μεταξύ των πηγών. Να βρεύτε: Α. Σην απόςταςη ΜΠ. Β. Ση διαφορϊ φϊςησ των ταλαντώςεων των ςημεύων Ο και Μ. Γ. Πόςα ςημεύα του ευθύγραμμου τμόματοσ Π Π ταλαντώνονται με μϋγιςτο πλϊτοσ. Δ. Να ςχεδιϊςετε τη γραφικό παρϊςταςη τησ απομϊκρυνςησ του ςημεύου Μ ςε ςυνϊρτηςη με τον χρόνο t για 0 t,5s. 8. Παρατηρητόσ Α κινεύται με ςταθερό ταχύτητα υ Α μεταξύ δύο ακύνητων ηχητικών πηγών S και S, όπωσ φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμα. Η πηγό S αρχικϊ δεν εκπϋμπει όχο, ενώ η πηγό S εκπϋμπει όχο με ςυχνότητα f = 00 Hz. Α. Τπολογύςτε την ταχύτητα υ Α με την οπούα πρϋπει να κινεύται ο παρατηρητόσ, ώςτε να ακούει όχο με ςυχνότητα f Α = 00,5 Hz. Κϊποια ςτιγμό ενεργοποιεύται και η δεύτερη ηχητικό πηγό S,η οπούα εκπϋμπει όχο ςυχνότητασ f = 00 Hz. Β. Να υπολογύςετε το χρονικό διϊςτημα Δt μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενιςμών τησ ϋνταςησ του όχου που ακούει ο κινούμενοσ παρατηρητόσ. Η ςυχνότητα τησ ηχητικόσ πηγόσ S μεταβϊλλεται ςε f = 00,5 Hz, ενώ ο παρατηρητόσ Α ςταματϊει να κινεύται. Γ. Να υπολογύςετε το χρονικό διϊςτημα Δt μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενιςμών τησ ϋνταςησ του όχου που ακούει ο ακύνητοσ παρατηρητόσ. Δ. Να υπολογύςετε το πλόθοσ των ταλαντώςεων τισ οπούεσ εκτελεύ το τύμπανο του αυτιού του παρατηρητό Α μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενιςμών τησ ϋνταςησ του όχου που ακούει. Θεωρούμε ότι οι εντϊςεισ των όχων των δύο πηγών εύναι ύςεσ και δεν μεταβϊλλονται με την απόςταςη. Δύνεται: ταχύτητα διϊδοςησ όχου ςτον αϋρα υ ηχ = 340 m/s. 9. Σο ϊκρο Ο γραμμικού ομογενούσ ελαςτικού μϋςου, που εκτεύνεται κατϊ τη διεύθυνςη του ημιϊξονα Οx, αρχύζει τη χρονικό ςτιγμό t 0 =0 να ταλαντώνεται με θετικό ταχύτητα, δημιουργώντασ αρμονικό κύμα. το ςχόμα απεικονύζεται το ςτιγμιότυπο του κύματοσ τη χρονικό ςτιγμό t= sec. Κ. Β.Φιρφιρής 0

121 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Α. Να βρεύτε την ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ υ και το μόκοσ κύματοσ λ. Β. Να γρϊψετε την εξύςωςη του κύματοσ. Γ. Να βρεύτε τη μϋγιςτη ταχύτητα ταλϊντωςησ των ςημεύων του μϋςου. Δ. Να ςχεδιϊςετε τη γραφικό παρϊςταςη τησ απομϊκρυνςησ ενόσ ςημεύου του ελαςτικού μϋςου που βρύςκεται ςτη θϋςη x = m, ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο.. Δύο ςύγχρονεσ ςημειακϋσ πηγϋσ Π και Π δημιουργούν ςτην επιφϊνεια υγρού εγκϊρςια κύματα που διαδύδονται με ταχύτητα υ = 5 m/s. Μικρό κομμϊτι φελλού βρύςκεται ςε κϊποιο ςημεύο τησ επιφϊνειασ πληςιϋςτερα ςτην πηγό Π. Η απομϊκρυνςη του ςημεύου από τη θϋςη ιςορροπύασ του ςε ςυνϊρτηςη με τον χρόνο περιγρϊφεται από τη γραφικό παρϊςταςη του ςχόματοσ. Οι πηγϋσ αρχύζουν να ταλαντώνονται τη χρονικό ςτιγμό t = 0 και εκτελούν ταλαντώςεισ τησ μορφόσ y = Α ημωt. 0. ε κινούμενο τρϋνο () με ταχύτητα υ υπϊρχει ηχητικό πηγό που εκπϋμπει όχο ςυχνότητασ fs για χρονικό διϊςτημα Δts. Σρϋνο () κινεύται με ταχύτητα υ αντύθετησ φορϊσ και τη ςτιγμό t0 = 0 απϋχει από το τρϋνο () απόςταςη d. το τρϋνο () υπϊρχει ςυςκευό ανύχνευςησ των ανακλώμενων ςτο τρϋνο () ηχητικών κυμϊτων. Δύνεται ότι ο ανακλώμενοσ όχοσ ςτο τρϋνο () ϋχει την ύδια ςυχνότητα με τον προςπύπτοντα ςε αυτόν όχο. A. Αν f εύναι η ςυχνότητα του όχου που ανιχνεύει η ςυςκευό να δεύξετε ότι ιςχύει (u+u ) (u+u ) f = f s (u-u ) (u-u ) Δύνονται: ταχύτητα όχου υ = 340 m/s, fs = 900 Hz, υ = 0 m/s, υ = 0 m/s, Δts = 0,8 s. Β. Αν τη χρονικό ςτιγμό t = 6,8 s η ςυςκευό αρχύζει να ανιχνεύει τον ανακλώμενο όχο, να βρεθεύ η απόςταςη d που εύχαν τα τρϋνα τη χρονικό ςτιγμό t0 = 0. Γ. Ποια χρονικό ςτιγμό t η ςυςκευό ανύχνευςησ των ανακλώμενων κυμϊτων ςταματϊ να καταγρϊφει τον ανακλώμενο όχο; Να βρεύτε τισ αποςτϊςεισ r και r του ςημεύου από τισ πηγϋσ Π και Π, αντύςτοιχα. α. Να γρϊψετε τη ςχϋςη που δύνει την απομϊκρυνςη του φελλού από τη θϋςη ιςορροπύασ του ςε ςυνϊρτηςη με τον χρόνο, για t 0. β. Ποιο εύναι το μϋτρο τησ ταχύτητασ ταλϊντωςησ του φελλού κϊποια χρονικό ςτιγμό t, κατϊ την οπούα η απομϊκρυνςό του από τη θϋςη ιςορροπύασ του εύναι -3 y =5 3 0 m ; γ. Έςτω Κ η μϋγιςτη κινητικό ενϋργεια του φελλού μετϊ τη ςυμβολό. Αλλϊζουμε τη ςυχνότητα των ταλαντώςεων των πηγών Π και Π ϋτςι ώςτε η ςυχνότητϊ τουσ να εύναι ύςη με τα 0/9 τησ αρχικόσ τουσ ςυχνότητασ. Αν μετϊ τη νϋα ςυμβολό η μϋγιςτη κινητικό ενϋργεια του φελλού εύναι Κ, να βρεθεύ ο λόγοσ Κ/Κ Δύνεται : ςυν π = 3. Γραμμικό ομογενϋσ ελαςτικό μϋςο εκτεύνεται κατϊ μόκοσ του θετικού ημιϊξονα Οx ενόσ ςυςτόματοσ ςυντεταγμϋνων. Ση χρονικό ςτιγμό t=0 το ϊκρο Ο (x=0) του ελαςτικού μϋςου αρχύζει να εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη εξύςωςησ απομϊκρυνςησ y= 0,ημωt (S.I.), με αποτϋλεςμα, τη χωρύσ απώλειεσ ενϋργειασ, διϊδοςη ςτο ελαςτικό μϋςο ημιτονοειδούσ εγκϊρςιου κύματοσ. Κ. Β.Φιρφιρής

122 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ το παρακϊτω ςχόμα δύνεται η γραφικό παρϊςταςη τησ φϊςησ των ςημεύων του κύματοσ ςε ςυνϊρτηςη με την απόςταςη x από το ϊκρο Ο, τη χρονικό ςτιγμό t=s α)να υπολογύςετε το μόκοσ κύματοσ λ και την περύοδο Σ του κύματοσ. β) Να υπολογύςετε την ταχύτητα διϊδοςησ του κύματοσ ςτο ελαςτικό μϋςο. γ) Να γρϊψετε την εξύςωςη του κύματοσ ςτο Διεθνϋσ ύςτημα Μονϊδων (S.I.). δ) Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ ταχύτητασ ενόσ ςημεύου Κ του ελαςτικού μϋςου, που βρύςκεται ςτη θϋςη xκ=m, τη χρονικό ςτιγμό t=4 s. ε) Να γρϊψετε την εξύςωςη του ςτϊςιμου κύματοσ, που προκύπτει από τη ςυμβολό του αρχικού κύματοσ με ϋνα δεύτερο κύμα, ύδιασ ςυχνότητασ, ιδύου μόκουσ κύματοσ και ύδιου πλϊτουσ με το αρχικό, το οπούο διαδύδεται ςτο ύδιο ελαςτικό μϋςο και περιγρϊφεται από την t x εξύςωςη y=aημπ T λ Σ. 4ο - Θέμα. την οροφό ερευνητικού εργαςτηρύου εύναι ςτερεωμϋνο ιδανικό ελατόριο ςταθερϊσ Κ=60Ν/m, ςτο ϊλλο ϊκρο του οπούου ςτερεώνεται ςώμα με μϊζα m =7kg. To ςύςτημα β. Η κρούςη που επακολουθεύ εύναι πλαςτικό και γύνεται με τρόπο ακαριαύο. Να βρεθεύ η ςχϋςη που περιγρϊφει την απομϊκρυνςη y τησ ταλϊντωςησ του ςυςςωματώματοσ από τη θϋςη ιςορροπύασ του ςυςςωματώματοσ, ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. Για την περιγραφό αυτό θεωρούμε ωσ αρχό μϋτρηςησ του χρόνου (t=0) τη ςτιγμό τησ κρούςησ και ωσ θετικό φορϊ του ϊξονα των απομακρύνςεων τη φορϊ τησ ταχύτητασ του ςυςςωματώματοσ αμϋςωσ μετϊ την κρούςη. γ. Η ςειρόνα δεν καταςτρϋφεται κατϊ την κρούςη. Να βρεθεύ η ςχϋςη που δύνει τη ςυχνότητα f, την οπούα αντιλαμβϊνεται ο A παρατηρητόσ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο μετϊ την κρούςη. δ. Να βρεθεύ ο λόγοσ τησ μϋγιςτησ ςυχνότητασ f προσ την ελϊχιςτη ςυχνότητα f που Α,max Α,min αντιλαμβϊνεται ο παρατηρητόσ. Δύνονται η ταχύτητα διϊδοςησ του όχου ςτον αϋρα υ =340m/s και g=0m/s. ηχ. Δύο ςύγχρονεσ πηγϋσ Π, Π δημιουργούν ςτην επιφϊνεια υγρού εγκϊρςια αρμονικϊ κύματα. Η εξύςωςη τησ ταλϊντωςησ κϊθε πηγόσ εύναι y = 0,0 ημ(0πt) (SI) και η ταχύτητα διϊδοςησ των εγκαρςύων κυμϊτων ςτην επιφϊνεια του υγρού εύναι ύςη με,5 m/s. Ένα ςημεύο Λ τησ επιφϊνειασ του υγρού απϋχει από την πηγό Π απόςταςη 0,6 m και από την πηγό Π απόςταςη m, όπωσ δεύχνει το ςχόμα. ιςορροπεύ. Ένασ παρατηρητόσ βρύςκεται ςτον κατακόρυφο ϊξονα y y που ορύζει ο ϊξονασ του ελατηρύου. Ο παρατηρητόσ εκτοξεύει κατακόρυφα προσ τα πϊνω ςώμα μϊζασ m =3kg με ταχύτητα μϋτρου υ =m/s. Σο 0 ςημεύο εκτόξευςησ απϋχει απόςταςη h=,m από το ςώμα. Σο ςώμα ϋχει ενςωματωμϋνη ςειρόνα που εκπϋμπει ςυνεχώσ όχο ςυχνότητασ f =700Hz. s α. Nα υπολογύςετε τη ςυχνότητα του όχου που αντιλαμβϊνεται ο παρατηρητόσ λύγο πριν από την κρούςη του ςώματοσ με το ςώμα. Οι πηγϋσ Π, Π αρχύζουν να ταλαντώνονται τη χρονικό ςτιγμό t = 0. α. Να υπολογιςθεύ το μόκοσ κύματοσ των κυμϊτων που δημιουργούν οι πηγϋσ. β. Πόςη εύναι η ςυχνότητα τησ ταλϊντωςησ του ςημεύου Λ μετϊ την ϋναρξη τησ ςυμβολόσ; Κ. Β.Φιρφιρής

123 3 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ γ. Να υπολογιςθεύ το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςημεύου Λ μετϊ την ϋναρξη τησ ςυμβολόσ. δ. Να προςδιοριςθεύ η απομϊκρυνςη του ςημεύου Λ από τη θϋςη ιςορροπύασ του, τη χρονικό ςτιγμό t=4/3 (s). 4π Δύνεται συν =- 3. διϋρχεται από τη θϋςη ιςορροπύασ του, κινούμενο προσ τα αριςτερϊ. Δύνεται ότι η ταχύτητα του όχου ςτον αϋρα εύναι υηχ = 340 m/s και η ηχητικό πηγό δεν καταςτρϋφεται κατϊ την κρούςη. 3. Σα ςώματα, μϊζασ m = kg, και, μϊζασ m = 3 kg, του ςχόματοσ εύναι τοποθετημϋνα ςε λεύο οριζόντιο επύπεδο και εφϊπτονται μεταξύ τουσ. Σο ςώμα εύναι δεμϋνο ςτην ϊκρη οριζόντιου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ k = 00 N/m. Σο ελατόριο με τη βοόθεια νόματοσ εύναι ςυςπειρωμϋνο κατϊ d = 0,4 m από τη θϋςη φυςικού μόκουσ, όπωσ φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμα. Κϊποια χρονικό ςτιγμό το νόμα κόβεται και το ςύςτημα των ςωμϊτων και κινεύται προσ τα δεξιϊ. Μετϊ την αποκόλληςη το ςώμα ςυνεχύζει να κινεύται ςε λεύο δϊπεδο και ςυγκρούεται κεντρικϊ και πλαςτικϊ με το ςώμα 3, μϊζασ m3 = kg. Πϊνω ςτο ςώμα 3 ϋχουμε τοποθετόςει πηγό S ηχητικών κυμϊτων, αμελητϋασ μϊζασ, η οπούα εκπϋμπει ςυνεχώσ όχο ςυχνότητασ fs = 706 Hz. Πϊνω ςτο ςώμα υπϊρχει δϋκτησ Δ ηχητικών κυμϊτων, αμελητϋασ μϊζασ. α. Να προςδιορύςετε τη θϋςη ςτην οπούα θα αποκολληθεύ το ςώμα από το ςώμα, τεκμηριώνοντασ την απϊντηςό ςασ. β. Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ μϋγιςτησ ταχύτητασ του ςώματοσ, καθώσ και το πλϊτοσ τησ απλόσ αρμονικόσ ταλϊντωςησ που θα εκτελ εύ το ςώμα αφού αποκολληθεύ από το ςώμα γ. Να υπολογύςετε την ταχύτητα του ςυςςωματώματοσ των ςωμϊτων και 3 μετϊ την κρούςη και το ποςοςτό τησ κινητικόσ ενϋργειασ που μετατρϊπηκε ςε θερμικό ενϋργεια κατϊ την κρούςη. δ. Να υπολογύςετε τη ςυχνότητα την οπούα καταγρϊφει ο δϋκτησ Δ κϊποια χρονικό ςτιγμό μετϊ την κρούςη κατϊ την οπούα το ςώμα Κ. Β.Φιρφιρής 3

124 4 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΠΕΡΙΣΡΟΥΙΚΕ ΚΙΝΗΕΙ ΜΕΡΙΚΕ ΦΡΗΙΜΕ ΕΝΝΟΙΕ Μηχανικό ςτερεό ςώμα εύναι ϋνα ςώμα με καθοριςμϋνο και αμετϊβλητο ςχόμα και μϋγεθοσ. Δηλ. το μηχανικό ςτερεό δεν παραμορφώνεται όταν του αςκούνται δυνϊμεισ. τη ςυνϋχεια θα το αναφϋρουμε απλϊ ςτερεό ςώμα. ΚΙΝΗΕΙ ΣΩΝ ΣΕΡΕΩΝ ΩΜΑΣΩΝ ΜΕΣΑΥΟΡΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Ένα ςώμα εκτελεύ μεταφορικό κύνηςη όταν όλα τα ςημεύα του ϋχουν ταυτόχρονα την ύδια ταχύτητα. Σο ςτερεό του ςχόματοσ () εκτελεύ μεταφορικό κύνηςη. Παρατηρούμε ότι οποιαδόποτε χρονικό ςτιγμό οι ταχύτητεσ των ςημεύων Γ και Δ εύναι ύδιεσ. Επύςησ κατϊ την μεταφορικό κύνηςη του ςτερεού ϋνα διϊνυςμα με αρχό και τϋλοσ ςε δύο ςημεύα του ςτερεού, ϋςτω Α και Β παθαύνει απλώσ παρϊλληλη μετατόπιςη. Για να απλοποιόςουμε τη μελϋτη μιασ μεταφορικόσ κύνηςησ ενόσ ςτερεού, μελετϊμε την κύνηςη ενόσ ςημεύου του. υνόθωσ μελετϊμε την κύνηςη του κϋντρου μϊζασ του (c m) ςχ. ΠΕΡΙΣΡΟΥΙΚΗ ΚΙΝΗΗ ΣΕΡΕΟΤ Ένα ςώμα εκτελεύ περιςτροφικό κύνηςη, όταν όλα τα ςημεύα του εκτελούν κυκλικϋσ κινόςεισ γύρω από ϋνα ϊξονα, ο οπούοσ εύναι ακλόνητοσ ςε κϊποιο αδρανειακό ςύςτημα αναφορϊσ. Σην ύδια κύνηςη με το κϋντρο μϊζασ Κ εκτελούν όλα τα ςημεύα του ςτερεού. Όπωσ π.χ. το ςημεύο Μ. Κ. Β.Φιρφιρής 4

125 5 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Η περιςτροφικό κύνηςη ενόσ ςώματοσ περιγρϊφεται από τη γωνύα που περιςτρϋφεται (θ), από τη γωνιακό ταχύτητα (ω) που δεύχνει πόςο γρόγορα περιςτρϋφεται το ςώμα και τη γωνιακό επιτϊχυνςη που δεύχνει το ρυθμό μεταβολόσ τησ γωνιακόσ ταχύτητασ (αγ). Σόςο η γωνιακό ταχύτητα, όςο και η γωνιακό επιτϊχυνςη εύναι διανυςματικϊ μεγϋθη. Σα διανύςματα που παριςτϊνουν τα δύο αυτϊ μεγϋθη, βρύςκονται πϊνω ςτον ϊξονα περιςτροφόσ. Αν ω και αγ εύναι ομόρροπα το μϋτρο τησ ω αυξϊνει (ςχ. 3). Αν ω και αγ εύναι αντύρροπα το μϋτρο τησ ω μικραύνει (ςχ. 4). Αν η γωνιακό επιτϊχυνςη εύναι ςταθερό τότε η γωνύα που περιςτρϋφεται το ςώμα δύνεται από τισ ςχϋςεισ: α) θ = ω ο t + Αν αγ ςταθερό: θ = ωο t + α γ t ω = ωο + α γ t α t γ αν η κύνηςη εύναι επιταχυνόμενη (Δηλ. η ω αυξϊνει) β) ζ σν t αγt αν η κύνηςη εύναι επιβραδυνόμενη (Δηλ. η ω μειώνεται) Αντύςτοιχα για το μϋτρο τησ ω ϋχουμε: α) ω = ωο + α γ t β) σ σν α γ t Για κϊθε υλικό ςημεύο του ςώματοσ που περιςτρϋφεται η ταχύτητα του (που λϋγεται γραμμικό ταχύτητα) δύνεται από τη ςχϋςη u = ω r, όπου r η απόςταςη του υλικού ςημεύου από τον ϊξονα περιςτροφόσ. ( χ. 5). Δηλαδό τα υλικϊ ςημεύα α (ςτοιχειώδεσ μϊζεσ) του ςώματοσ που περιςτρϋφεται ϋχουν μεν όλα την ύδια γωνιακό ταχύτητα, την ύδια γωνιακό επιτϊχυνςη αλλϊ η ταχύτητα τουσ εξαρτϊται από την απόςταςη τουσ από τον ϊξονα περιςτροφόσ. Αν αγ ςταθερό: ζ σν t α γ t σ σν α γ t Σημείωση: Παρατηρόςτε την ομοιότητα με τισ ςχϋςεισ: s = u ο t ± αt u = u ο ± αt τησ μεταφορικόσ κύνηςησ. Κ. Β.Φιρφιρής 5

126 6 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Η επιτϊχυνςη α (ό αtan) των υλικών ςημεύων δύνεται από την ςχϋςη: α = αγ r ό α = α r Να τονύςουμε ότι η εφαπτομενικό επιτϊχυνςη εκφρϊζει το ρυθμό μεταβολόσ του μϋτρου τησ ταχύτητασ, εύναι εφαπτόμενη τησ κυκλικόσ τροχιϊσ που διαγρϊφουν τα υλικϊ ςημεύα του ςτερεού, εύναι ομόρροπη τησ γραμμικόσ ταχύτητασ αν η κύνηςη εύναι επιταχυνόμενη (χ. 6) και αντύρροπη τησ γραμμικόσ ταχύτητασ αν η κύνηςη εύναι επιβραδυνόμενη (χ. 7). Προςοχή! Η εφαπτομενικό επιτϊχυνςη δεν εύναι κεντρομόλοσ επιτϊχυνςη. u α κ = ό ακ = ω r r ΚΙΝΗΣΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΡΟΥΗ ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ Γνωρύζουμε ότι οι ςτοιχειώδεσ μϊζεσ ενόσ ςτερεού που περιςτρϋφονται γύρω από ϊξονα εκτελούν κυκλικϋσ κινόςεισ με ταχύτητα u = ω r. Η καθεμύα λοιπόν ϋχει κινητικό ενϋργεια: K = m, K = m, K = m u ν ν ν Η κινητικό ενϋργεια του ςτερεού ςώματοσ θα υπολογιςτεύ αν προςθϋςουμε τισ κινητικϋσ ενϋργειεσ των ςτοιχειωδών μαζών: u u K = m u + m u + ό K = m ( ωr ) + m ( ωr ) + ό K = m r ω + mr ω + ό K = (mr + mr + ) ω () Σην ποςότητα m r + mr + = mr την ονομϊζουμε ροπό αδρϊνειασ του ςώματοσ και τη ςυμβολύζουμε με Ι. I = m r + mr + ό I = mr Εύναι μονόμετρο μϋγεθοσ και ϋχει μονϊδα το Kg m Άρα: K = Iω tan γ Κ. Β.Φιρφιρής 6

127 7 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Η ροπό αδρϊνειασ ενόσ ςώματοσ που περιςτρϋφεται γύρω από ϊξονα, αποτελεύ το μϋτρο αδρϊνειασ του ςώματοσ για την περιςτροφό του. Όπωσ γνωρύζουμε ςτισ μεταφορικϋσ κινόςεισ το μϋτρο αδρϊνειασ εκφρϊζεται από τη μϊζα. ΠΡΟΟΦΗ! Ενώ η μϊζα ενόσ ςώματοσ δεν επηρεϊζεται από ϊλλεσ παραμϋτρουσ, η ροπό αδρϊνειασ εξαρτϊται από τον ϊξονα περιςτροφόσ. Για ςημειακϋσ μϊζεσ η ροπό αδρϊνειασ I = mr δύνεται από τη ςχϋςη Για δακτυλύουσ δηλ. ςώματα που ϋχουν ςυγκεντρωμϋνη τη μϊζα τουσ ςτην περιφϋρεια, η ροπό αδρϊνειασ ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο τουσ και εύναι κϊθετοσ ςτο επύπεδο που ορύζουν εύναι I = MR. Γενικϊ η ροπό αδρϊνειασ ενόσ ςτερεού ςώματοσ ωσ προσ κϊποιο ϊξονα υπολογύζεται δύςκολα. τα προβλόματα οι ροπϋσ αδρϊνειασ των ςωμϊτων δύνονται. ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΟΤ STAINER (τάινερ) Αν Ιcm η ροπό αδρϊνειασ ενόσ ςώματοσ μϊζασ Μ, ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ, η ροπό αδρϊνειασ του ωσ προσ ϊξονα που εύναι παρϊλληλοσ και απϋχει απόςταςη d από τον πρώτο εύναι ύςη με το ϊθροιςμα τησ ροπόσ αδρϊνειασ ωσ προσ τον ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ του ςώματοσ και του γινομϋνου τησ μϊζασ του ςώματοσ επύ το τετρϊγωνο τησ απόςταςησ d. I = I + Md cm Η ροπό αδρϊνειασ ενόσ ςυςτόματοσ μαζών υπολογύζεται από το ϊθροιςμα των ροπών αδρϊνειασ των επιμϋρουσ μαζών. Ιολ = Ι + Ι + (Όπωσ mολ = m + m + ) Κ. Β.Φιρφιρής 7

128 8 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΣΑΤΣΟΦΡΟΝΗ ΜΕΣΑΥΟΡΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΣΡΟΥΗ (ΚΤΛΙΗ ΣΡΟΦΟΤ) Όταν ϋνα ςώμα μεταφϋρεται και ταυτόχρονα περιςτρϋφεται λϋμε ότι κϊνει ςύνθετη κύνηςη. Κατϊ την ςύνθετη κύνηςη υπϊρχει ϋνα ςημεύο του ςώματοσ που εκτελεύ μόνο μεταφορικό κύνηςη. Σο ςημεύο αυτό ονομϊζεται κέντρο μάζασ του ςώματοσ (cm) και ορύζεται ωσ εξόσ: Κέντρο μάζασ (cm) ενόσ ςτερεού ςώματοσ ονομϊζεται το ςημεύο εκεύνο του ςώματοσ που κινεύται όπωσ ϋνα υλικό ςημεύο με μϊζα ύςη με τη μϊζα του ςώματοσ, αν ςε αυτό αςκούνταν όλεσ οι δυνϊμεισ που αςκούνται ςτο ςώμα. Όλεσ οι ϊλλεσ ςτοιχειώδεισ μϊζεσ του ςώματοσ (υλικϊ ςημεύα) εκτελούν δύο κινόςεισ: η Ση μεταφορικό του κϋντρου μϊζασ u = ucm η Περιςτροφικό κύνηςη γύρω από ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ με uγρ = ω r όπου r η απόςταςη του υλικού ςημεύου από το κϋντρο μϊζασ. Σα παραπϊνω θα γύνουν περιςςότερο κατανοητϊ αν μελετόςουμε την κύλιςη ενόσ τροχού ςε οριζόντιο ϋδαφοσ. Κατϊ την κύλιςη του τροχού τα ςημεύα που ϋρχονται ςε επαφό με το ϋδαφοσ ϋχουν ςε ςχϋςη με το ϋδαφοσ ταχύτητα μηδϋν. (Δηλ. δεν ϋχουμε ολύςθηςη) Η ςτατικό τριβό που αναπτύςςεται μεταξύ εδϊφουσ και τροχού παρϊγει ϋργο. π π π 0 π π () Γ γξ cm γξ cm π π π π π () Γ γξ cm Γ cm Από την () ϋχουμε: υcm = ωr Αν η κύνηςη εύναι επιταχυνόμενη: α dπ dt α cm cm ό cm dσr dt α α R ό cm γ Όπου αcm η επιτϊχυνςη του κϋντρου μϊζασ και αγ η γωνιακό επιτϊχυνςη. Κ. Β.Φιρφιρής 8

129 9 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Για το Γ ϋχουμε: α π Γ Γ π dπ dt cm Γ ό α α Γ Γ Γ ό Γ dπ d(π ) dt dσr dt ό dt α Γ α Οι παραπϊνω ςχϋςεισ ιςχύουν για τα ςημεύα τησ περιφϋρειασ του τροχού. ΡΟΠΗ ΔΤΝΑΜΗ Η ροπό μιασ δύναμησ εκφρϊζει τη δυνατότητα μιασ δύναμησ να προκαλϋςεισ περιςτροφό του ςώματοσ ςτο οπούο αςκεύται. ΡΟΠΗ ΔΤΝΑΜΗ Ω ΠΡΟ ΑΞΟΝΑ Θεωρούμε ϋνα ςώμα που μπορεύ να περιςτρϋφεται γύρω από ϊξονα z z. το ςώμα αςκεύται δύναμη F που βρύςκεται ςε επύπεδο που εύναι κϊθετο ςτον ϊξονα z z. Ορύζουμε ςαν ροπή (τ) τησ δύναμησ F, ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ το διανυςματικό μϋγεθοσ που ϋχει μϋτρο ύςο με το γινόμενο του μϋτρου τησ δύναμησ επύ την κϊθετη απόςταςη l τησ δύναμησ από τον ϊξονα περιςτροφόσ (μοχλοβραχύονασ) τ = F l Η ροπό ϋχει διεύθυνςη τον ϊξονα περιςτροφόσ και η φορϊ τησ δύνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Μονϊδα ροπόσ εύναι το Ν m (Προςοχή! Δεν εύναι Joule) ΡΟΠΗ ΔΤΝΑΜΗ Ω ΠΡΟ ΗΜΕΙΟ Αν ςε ϋνα ςτερεό ςώμα αςκηθεύ δύναμη που ο φορϋασ τησ (διεύθυνςη) δεν διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ του ςώματοσ, το ςώμα θα εκτελϋςει ταυτόχρονα και μεταφορικό και περιςτροφικό κύνηςη. την περύπτωςη αυτό δεν υπϊρχει ςταθερόσ ϊξονασ περιςτροφόσ. Σο ςώμα περιςτρϋφεται γύρω από ϋνα νοητό ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ του ςώματοσ και παραμϋνει κϊθετοσ ςτο επύπεδο που ορύζεται από τη δύναμη και το κϋντρο μϊζασ. την περύπτωςη αυτό για να μετρόςουμε τη δυνατότητα τησ δύναμησ να περιςτρϋψει το ςώμα, ορύζουμε τη ροπό δύναμησ ωσ προσ ςημεύο. cm Κ. Β.Φιρφιρής 9

130 30 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Ροπή δύναμησ ωσ προσ ςημεύο ονομϊζουμε το διανυςματικό μϋγεθοσ που ϋχει μϋτρο ύςο με το γινόμενο του μϋτρου τησ δύναμησ επύ την απόςταςη τησ από το ςημεύο 0. τ = F l διεύθυνςη κϊθετη ςτο επύπεδο που ορύζεται από τη δύναμη και το ςημεύο 0 και φορϊ που καθορύζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. ΡΟΠΗ ΖΕΤΓΟΤ ΔΤΝΑΜΕΩΝ Δύο δυνϊμεισ που ϋχουν παρϊλληλεσ διευθύνςεισ, ϋχουν το ύδιο μϋτρο και αντύθετεσ φορϋσ αποτελούν ζεύγοσ δυνϊμεων. Η αλγεβρικό τιμό τησ ροπόσ του ζεύγουσ ωσ προσ οποιοδόποτε ςημεύο του ςώματοσ εύναι πϊντα ύδια και ύςη με: τ = F d ό τ = F d Η απόςταςη d ονομϊζεται μοχλοβραχιόνιο του ζεύγουσ. ΑΠΛΟΠΟΙΩΝΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΙΑ ΤΠΟΛΟΓΙΜΟΤ ΣΗ ΡΟΠΗ ον το πρόβλημα που θα αντιμετωπύςουμε, ο ϊξονασ περιςτροφόσ θα εύναι πϊντα κϊθετοσ ςτο επύπεδο τησ ςελύδασ. ον Θεωρούμε κατϊ ςύμβαςη τη φορϊ προσ τον αναγνώςτη θετικό. Αυτό ςημαύνει ότι αν η δύναμη τεύνει να ςτρϋψει το ςώμα γύρω από τον ϊξονα κατϊ φορϊ αντύθετη με τουσ δεύκτεσ του ρολογιού η ροπό τησ εύναι θετικό. την αντύθετη περύπτωςη η ροπό τησ δύναμησ εύναι αρνητικό. 3 ον Προςοχό ςτο μοχλοβραχύονα! Επειδό ςτα περιςςότερα προβλόματα χρηςιμοποιούνται ρϊβδοι, πρϋπει να προςϋχουμε γιατύ δεν εύναι πϊντα η διεύθυνςη του μοχλοβραχύονα. Κ. Β.Φιρφιρής 30

131 3 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Εφαρμογή: Να υπολογιςτούν οι ροπϋσ των δυνϊμεων F = 0N, F = 6N, F3 = N ωσ προσ ϊξονα που εύναι κϊθετοσ ςτο επύπεδο τησ ςελύδασ και διϋρχεται από το ςημεύο 0 ημ30 = Απϊντηςη: Η ροπό τησ F εύναι: τ = F(OA) = 4 Nm Η ροπό τησ F εύναι: τ = Fd ό τ = F(OΒ)ημ30 ό η 6 0,6 d ό OB d = (ΟΒ)ημ30 Νm ό τ =,8 Nm Για τον υπολογιςμό τησ τ μπορούμε να εργαςτούμε και διαφορετικϊ: Αναλύουμε την F ςε δύο ςυνιςτώςεσ. i) Μια παρϊλληλη με την διεύθυνςη τησ ρϊβδου Fx = Fημ30 που δημιουργεύ ροπό ωσ προσ 0, ii) και μύα κϊθετη ςτην ΟΒ Fy = Fημ30 που δημιουργεύ ροπό τy = τ = Fy(OΒ) ό τ = Fημ30 (OΒ) η 6 0,6 Νm ό τ =,8 Nm Η ροπό τησ F3 εύναι μηδϋν διότι η διεύθυνςη τησ διϋρχεται από τον ϊξονα περιςτροφόσ. Κ. Β.Φιρφιρής 3

132 3 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΙΟΡΡΟΠΙΑ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ ον υνθόκη ιςορροπύασ για μεταφορικό κύνηςη. Για να ιςορροπεύ ϋνα ςώμα που ϋχει τη δυνατότητα να εκτελϋςει μεταφορικό κύνηςη πρϋπει η ςυνιςταμϋνη των δυνϊμεων που αςκούνται ςτο ςώμα να εύναι μηδϋν. F = 0 ό Fx = 0 και Fy = 0 ον υνθόκη ιςορροπύασ για περιςτροφικό κύνηςη. Για ςτερεό ςώμα που ϋχει τη δυνατότητα να περιςτραφεύ γύρω από ςταθερό ϊξονα, για να ιςορροπεύ πρϋπει η ςυνιςταμϋνη των ροπών ωσ προσ τον ϊξονα να εύναι μηδϋν. τ = 0 3 ον Για ϋνα ςτερεό που εύναι ελεύθερο να εκτελϋςει και μεταφορικό και περιςτροφικό κύνηςη για να ιςορροπεύ πρϋπει να ιςχύουν οι παραπϊνω δύο προώποθϋςεισ. Δηλ. και Fx = 0 και Fy = 0 και τ = 0 ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΥΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Γνωρύζουμε ότι για ϋνα υλικό ςημεύο πϊνω ςτο οπούο ενεργούν εξωτερικϋσ δυνϊμεισ που η ςυνιςταμϋνη τουσ εύναι διϊφορη του μηδενόσ ιςχύει: F = mα (Θεμελιώδησ νόμοσ τησ μηχανικόσ) την περύπτωςη ενόσ ςτερεού που μπορεύ να περιςτραφεύ γύρω από ςταθερό ϊξονα η παραπϊνω ςχϋςη παύρνει την μορφό: τ = Ιαγ Όπου: τ: η ςυνιςταμϋνη των ροπών ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ Ι: η ροπό αδρϊνειασ του ςτερεού ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ α: η γωνιακό επιτϊχυνςη Για ςτερεό ςώμα που εκτελεύ μεταφορικό και περιςτροφικό κύνηςη ταυτόχρονα: ον Για το κϋντρο μϊζασ ιςχύει: F = Mαcm ον Για την περιςτροφικό κύνηςη ωσ προσ ϊξονα που περνϊει από το κϋντρο μϊζασ ιςχύει: τ = Mαγ Όπου: αγ η γωνιακό επιτϊχυνςη Κ. Β.Φιρφιρής 3

133 33 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΣΡΟΥΟΡΜΗ. τροφορμή υλικού ςημείο Θεωρούμε ϋνα υλικό ςημεύο μϊζασ m, που περιςτρϋφεται ςε περιφϋρεια κύκλου ακτύνασ r. Σο υλικό ςημεύο ϋχει γραμμικό ταχύτητα υ = ω r. Η ορμό του υλικού ςημεύου εύναι Ρ = m υ Ονομϊζουμε ςτροφορμή (L) του υλικού ςημεύου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ z z που διϋρχεται από το κϋντρο τησ κυκλικόσ τροχιϊσ και εύναι κϊθετοσ ςτο επύπεδο τησ, το διανυςματικό μϋγεθοσ που ϋχει μϋτρο: L = p υ ό L = m υ r διεύθυνςη αυτό του ϊξονα z z και φορϊ που καθορύζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Μονϊδα ςτροφορμόσ εύναι το Kg m /s. τροφορμή ςτερεού ςώματοσ Η ςτροφορμό ςτερεού ςώματοσ που περιςτρϋφεται γύρω από ϊξονα ιςούται με L = I ω (το μϋτρο τησ), ϋχει διεύθυνςη του ϊξονα περιςτροφόσ και η φορϊ τησ ορύζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. 3. τροφορμή ςυςτήματοσ Η ςτροφορμό ενόσ ςυςτόματοσ ςωμϊτων υπολογύζεται από το διανυςματικό ϊθροιςμα των ςτροφορμών των ςωμϊτων που απαρτύζουν το ςύςτημα. ΓΕΝΙΚΟΣΕΡΗ ΔΙΑΣΤΠΩΗ ΣΟΤ ΘΕΜΕΛΙΩΔΟΤ ΝΟΜΟΤ ΣΗ ΣΡΟΥΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Σο αλγεβρικό ϊθροιςμα των ροπών που δρουν ςε ϋνα ςώμα (ςτερεό) που περιςτρϋφεται γύρω από ςταθερό ϊξονα, εύναι ύςο με την αλγεβρικό τιμό του ρυθμού μεταβολόσ τησ ςτροφορμόσ του: dl Ση dt Διατήρηςη τησ ςτροφορμήσ Εϊν η ςυνολικό εξωτερικό ροπό ςε ϋνα ςύςτημα εύναι μηδϋν, η ολικό ςτροφορμό του ςυςτόματοσ παραμϋνει ςταθερό. Ι ω = Ι ω όπου: Ι και Ι η αρχικό ροπό αδρϊνειασ του ςυςτόματοσ και η τελικό ροπό αδρϊνειασ του ςυςτόματοσ αντύςτοιχα. κ ω, ω η αρχικό και η τελικό γωνιακό ταχύτητα του ςυςτόματοσ. I I I Κ. Β.Φιρφιρής 33

134 34 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΕΡΓΟ ΚΑΣΑ ΣΗΝ ΣΡΟΥΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Αν η ροπό τησ δύναμησ που αςκεύται ςε ϋνα ςτερεό εύναι ςταθερό το ϋργο τησ κατϊ τη περιςτροφό δύνεται από τη ςχϋςη: W = τ θ Όπου: τ η ροπό τησ δύναμησ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ και θ η γωνύα που ϋχει περιςτραφεύ το ςώμα και θ η γωνύα που ϋχει περιςτραφεύ το ςώμα. ΙΦΤ ΣΗ ΔΤΝΑΜΗ (Ρ) Ρ = τ ω Θεώρημα Μεταβολήσ Κινητικήσ Ενέργειασ κατά την περιςτροφή ΣW Iσ Ισ όπου ω κ ω η αρχικό και η τελικό γωνιακό ταχύτητα του ςτερεού. Σο αλγεβρικό ϊθροιςμα των ϋργων των ροπών που αςκούνται ςτο ςώμα εύναι ύςο με τη μεταβολό τησ κινητικόσ ενϋργειασ λόγω περιςτροφόσ του ςώματοσ. ΕΡΩΣΗΕΙ ΑΚΗΕΙ. Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη ςτισ ερωτόςεισ που ακολοθούν: i) τη μεταφορικό κύνηςη ενόσ ςώματοσ α) Όλα τα ςημεύα ϋχουν την ύδια γωνιακό ταχύτητα. β) Όλα τα ςημεύα του ςώματοσ ϋχουν την ύδια ταχύτητα. γ) Η τροχιϊ του ςώματοσ εύναι ευθεύα. δ) Ο ϊξονασ περιςτροφόσ εύναι ςταθερόσ. ii) την ςύνθετη κύνηςη ενόσ τροχού ιςχύει η ςχϋςη υcm = ω R όταν: α) Ο τροχόσ κυλιϋται χωρύσ να ολιςθαύνει. β) Η κύνηςη γύνεται με υcm = ςταθερό γ) Ιςχύει πϊντα δ) Δεν ιςχύει ςε καμιϊ περύπτωςη. Ένα ςτερεό περιςτρϋφεται γύρω από ςταθερό ϊξονα περιςτροφόσ. Ποιο από τα παρακϊτω μεγϋθη που ακολουθούν εύναι κοινϊ για όλα τα ςημεύα (ςτοιχειώδεισ μϊζεσ) του ςτερεού, εκτόσ από τα ςημεύα του ϊξονα περιςτροφόσ. α) γραμμικό ταχύτητα β) κεντρομόλοσ επιτϊχυνςη γ) γωνιακό ταχύτητα δ) γωνιακό επιτϊχυνςη ε) ςυχνότητα περιςτροφόσ ςτ) κινητικό ενϋργεια ζ) γωνύα που ςαρώνει και κϊθε περύπτωςη η επιβατικό ακτύνα 3.Η (αλγεβρικό) τιμό τησ γωνιακόσ ταχύτητασ ενόσ ςτερεού που περιςτρϋφεται γύρω από ςταθερό ϊξονα ςε ςχϋςη με το χρόνο δύνεται από το παρακϊτω διϊγραμμα ω = f(t) α) ε ποια χρονικϊ διαςτόματα η γωνιακό ταχύτητα εύναι ςταθερό; β) Η γωνιακό επιτϊχυνςη ϋχει μεγαλύτερο μϋτρο την χρονικό ςτιγμό t =,5 sec ό την χρονικό ςτιγμό t = 5 sec γ) Ποια χρονικό ςτιγμό το ςτερεό αλλϊζει φορϊ περιςτροφόσ; δ) Για πόςη ςυνολικϊ γωνύα περιςτρϋφεται το κινητό μϋχρι να ςταματόςει; ε) Ποιο από τα παρακϊτω διαγρϊμματα αγ = f(t) (όπου αγ η γωνιακό επιτϊχυνςη) ςυμφωνεύ με το διϊγραμμα ω = f(t) του ςχόματοσ. Κ. Β.Φιρφιρής 34

135 35 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 4.Ένασ τροχόσ ακτύνασ R = m κυλύεται χωρύσ να ολιςθαύνει ςε οριζόντιο επύπεδο. Η μεταβολό τησ γωνιακόσ ταχύτητασ του ςώματοσ ςε ςχϋςη με το χρόνο φαύνεται ςτο παρακϊτω διϊγραμμα ω = f(t) β) τ = F (OA) γ) τ = F (OA) ςυνφ δ) τ = F (OA) ημφ 7.Σο μϋτρο τησ ροπόσ του ζεύγουσ των δυνϊμεων του ςχόματοσ εύναι: α) Να χαρακτηρύςετε τα εύδη τησ ςύνθετησ κύνηςησ που εκτελεύ ο τροχόσ β) Να γύνουν τα αντύςτοιχα διαγρϊμματα: υcm = f(t), αγ = f(t) (α = αγων), αcm = f(t) γ) Σι χρονικό ςτιγμό t = 5 sec, να υπολογύςετε το μϋτρο τησ ολικόσ ταχύτητασ για τα ςημεύα Α και Γ του τροχού. α) Μηδϋν β)(f+f) l γ) F l ςυνφ δ) F l ημφ ε) Εξαρτϊται από τον ϊξονα περιςτροφόσ ςτ)μεγαλύτερο όταν ο ϊξονασ περιςτροφόσ διϋρχεται από το μϋςο Κ 8. Η ρϊβδοσ του παρακϊτω ςχόματοσ ϋχει αμελητϋο βϊροσ και μπορεύ να ςτρϋφεται γύρω από ϊξονα που διϋρχεται από το μϋςο τησ 0 και εύναι κϊθετοσ ς αυτό και ςτο επύπεδο τησ ςελύδασ. 5.Ση χρονικό ςτιγμό μηδϋν το κϋντρο μϊζασ ενόσ τροχού ακτύνασ R = 0 cm που κυλιϋται ϋχει ταχύτητα υο(cm) = 8 m/sec. Η ταχύτητα του τροχού μηδενύζεται αφού διανύςει απόςταςη x = 0m. Βρεύτε: α) Ση γωνιακό επιβρϊδυνςη (αγ =;) β) Σον αριθμό των ςτροφών που ϋκανε ο τροχόσ γ)σο μϋτρο τησ γωνιακόσ ταχύτητασ για t = sec. 6.το παρακϊτω ςχόμα η ροπό τη δύναμησ F ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το 0 και εύναι κϊθετοσ ςτο επύπεδο τησ ςελύδασ τη ρϊβδο αςκούνται οι δυνϊμεισ: F = 0N, F = 0N, F3 = 5N, F4 = 5N Να υπολογύςετε το αλγεβρικό ϊθροιςμα των ροπών των δυνϊμεων που αςκούνται ςτη ρϊβδο. (Δύνονται: x = m κ φ = 30 ) 9. Η ρϊβδοσ του παρακϊτω ςχόματοσ μπορεύ να περιςτρϋφεται γύρω από τον ϊξονα που διϋρχεται από το 0 και εύναι κϊθετοσ ςτο επύπεδο τησ ςελύδασ. Εύναι: α) τ = 0 το ςημεύο Α αςκεύται η δύναμη F = 0N. Να ςχεδιϊςετε την δύναμη που πρϋπει να αςκόςουμε ςτο ςημεύο Γ ώςτε το αλγεβρικό ϊθροιςμα των ροπών να εύναι μηδϋν. Σο βϊροσ τησ ρϊβδου θεωρεύται αμελητϋο. Κ. Β.Φιρφιρής 35

136 36 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 0. την μύα ϊκρη ομογενούσ ρϊβδου μϊζασ Μ = 4Kg ςτερεώνουμε ςημειακό μϊζα m = Kg. Σο μόκοσ τησ ρϊβδου εύναι ℓ = m. Να υπολογύςετε τη ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται: α) Από την ϊλλη ϊκρη τησ β) Από το κϋντρο τησ (Δύνεται: Ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ το μϋςο τησ I cm M ). τισ ϊκρεσ Α και Γ ομογενούσ ρϊβδου μϊζασ M = Kg ςτερεώνουμε αντύςτοιχα μϊζεσ m = Kg και m = Kg, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα: γ) Η κινητικό του ενϋργεια εύναι K mπ δ) Η κινητικό του ενϋργεια εύναι K Ισ 4. το ϊκρο Α μιασ ομογενούσ και ιςοπαχούσ ρϊβδου ΑΓ με μόκοσ L = 3m και μϊζασ Μ = 4Κg εύναι ςτερεωμϋνο ςώμα μϊζασ m = Κg. Η ρϊβδοσ περιςτρϋφεται με γωνιακό ταχύτητα ω = 0rad/sec γύρω από ϊξονα που εύναι κϊθετοσ ςτη ρϊβδο και διϋρχεται: i) από το μϋςον τησ ρϊβδου ii) από ςημεύο 0 ϋτςι ώςτε ΟΓ Να υπολογύςετε τη ροπό αδρϊνειασ του ςυςτόματοσ α) Ωσ προσ την ϊκρη Α β) Ωσ προσ την ϊκρη Γ γ) Ωσ προσ το μϋςο τησ ρϊβδου (Δύνεται για τη ρϊβδο: I cm M & ℓ = 3m). Ανομοιογενόσ ρϊβδοσ ΑΓ μόκοσ ℓ = 4m αποτελεύται από δύο ομογενό τμόματα με m = Kg και m = 4Kg που ϋχουν αντύςτοιχα μόκη ΑΚ = m και ΓΚ = m. α) β) γ) δ) ε) Σο ςημεύο Α Σο ςημεύο Κ Σο ςημεύο Κ Σο ςημεύο Κ Σο ςημεύο Γ 3. τερεό εκτελεύ περιςτροφικό κύνηςη. Ποια από τισ παρακϊτω προτϊςεισ εύναι ςωςτό: α) Η κινητικό του ενϋργεια εύναι μηδϋν β) Η κινητικό του ενϋργεια εύναι K mσ L m 3 Να υπολογύςετε ςε κϊθε περύπτωςη: α) Η κινητικό του ενϋργεια του ςώματοσ. β) Η κινητικό του ενϋργεια τησ ρϊβδου. γ) Η κινητικό του ενϋργεια του ςυςτόματοσ. (Δύνεται η ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το μϋςο τησ I ML ) 5. Ομογενόσ ςφαύρα μϊζασ Μ και ακτύνασ R κυλϊει χωρύσ να ολιςθαύνει πϊνω ςε οριζόντιο επύπεδο. Να υπολογιςτεύ η ταχύτητα του κϊντρου μϊζασ τησ ςφαύρασ αν η κινητικό ενϋργεια τησ εύναι Κ = 40J. Η ροπό αδρϊνειασ τησ ςφαύρασ ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο τησ εύναι I MR 5 6. Ένασ τροχόσ ακτύνασ R = 0,5m ϋχει μϊζα Μ = 0,8Κg. Ο τροχόσ κυλϊει χωρύσ ολύςθηςη πϊνω ςε οριζόντιο επύπεδο και εκτελεύ 4 περιςτροφϋσ το δευτερόλεπτο. Να υπολογιςτούν: α) Η γωνιακό ταχύτητα. β) Η ταχύτητα του κϋντρου μϊζασ του τροχού. γ) Η κινητικό του ενϋργεια του τροχού. (Δύνεται: π = 0 και η ροπό αδρϊνειασ του τροχού ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ του I Κ. Β.Φιρφιρής MR ) 36

137 37 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 7. τισ ϊκρεσ Α και Γ ομογενούσ ρϊβδου μόκουσ L = 3m και M = 4Kg κρϋμονται αντύςτοιχα βϊρη W = 0N και W = 30N. α) ε ποιο ςημεύο πρϋπει να ςτηριχθεύ η ρϊβδοσ ώςτε να ιςορροπεύ οριζόντια; β) Να υπολογιςτεύ η αντύδραςη ςτο ςημεύο ςτηρύξεωσ. (Δύνεται: g = 0 m/sec ) 8. Ομογενόσ ρϊβδοσ βϊρουσ W ςτηρύζεται ςτο μϋςο τησ. Δύο δυνϊμεισ F = 30N και F = 50N κατακόρυφεσ με φορϊ προσ τα κϊτω αςκούνται ςτη ρϊβδο ςε ςημεύα που απϋχουν εκατϋρωθεν απ το ςημεύο ςτηρύξεωσ αποςτϊςεισ 0cm και 50cm αντύςτοιχα. ε ποιο ςημεύο πρϋπει να εξαρτόςουμε ςώμα βϊρουσ W = 30N ώςτε η ρϊβδοσ να ιςορροπεύ οριζόντια; 9. Ομογενόσ οριζόντια δοκόσ ΑΓ που ϋχει μόκοσ L = 4m και βϊροσ W = 00N, κρϋμεται από δύο κατακόρυφα ςκοινιϊ που εύναι δεμϋνα ςτα ϊκρα τησ και ιςορροπεύ. Πϊνω ςτη δοκό μπορεύ να μετακινεύται ϊνθρωποσ βϊρουσ W = 600N α) Να παραςτόςετε γραφικϊ τισ τϊςεισ T και Σ των ςχοινιών ςε ςχϋςη με την απόςταςη του ανθρώπου από το ϊκρο Α. β) ε ποια περιοχό τησ δοκού μπορεύ να κινεύται ο ϊνθρωποσ χωρύσ τον κύνδυνο να ςπϊςουν τα ςχοινιϊ αν το όριο θραύςησ των ςχοινιών εύναι Σθρ = 550Ν. 0. το παρακϊτω ςχόμα η ομογενόσ ρϊβδοσ ΑΓ ϋχει μόκοσ L = 40cm και βϊροσ W = 70N, ιςορροπεύ οριζόντια με τη βοόθεια νόματοσ όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. το ςημεύο Β κρεμϊμε ςώμα μϊζασ m = 8Kg. Εύναι ΑΒ = 30cm και ημθ = ½. Να υπολογύςετε τα μϋτρα όλων των δυνϊμεων που αςκούνται ςτη ρϊβδο και να τισ ςχεδιϊςετε. (Δύνεται: g = 0 m/sec ) (Τπόδειξη: Fx = 0 Fy = 0 τ(α) = 0) (Απϊντηςη: (Απ. Σ = 90Ν, F= (95 3 ) +55 ). το παρακϊτω ςχόμα η ομογενόσ ρϊβδοσ ΑΒ ιςορροπεύ οριζόντια. Ένα ςώμα βϊρουσ W = 50N μπορεύ να μετακινεύται πϊνω ςτη ρϊβδο. Σο μόκοσ τησ ρϊβδου εύναι L = 00cm και το βϊροσ τησ W = 40N. Σο όριο θραύςησ του νόματοσ εύναι Σθρ = 00Ν. α) Σην τϊςη του νόματοσ όταν το ςώμα βρύςκεται ςτη θϋςη Γ ώςτε ΑΓ = 75cm. β) ε ποια θϋςη θα βρύςκεται το ςώμα τη ςτιγμό που κόβεται το ςχοινύ; (Δύνεται: ημ30 =½). το παρακϊτω ςχόμα η ομογενόσ ρϊβδοσ μόκουσ L = 50cm και βϊρουσ W = 0N ιςορροπεύ οριζόντια. Αν το ελατόριο ϋχει επιμόκυνςη Δl = 0,3m. Να βρεύτε την απόςταςη ΑΔ ςτην οπούα εύναι ςτερεωμϋνο το 0 βϊροσ W N 3 (Απ: 0,5m) 3. το διπλανό ςχόμα το βϊροσ του τροχού εύναι W = 50N. Ο τροχόσ ιςορροπεύ. α) Να δεύξετε ότι ο φορϋασ τησ δύναμησ που αςκεύ το κεκλιμϋνο επύπεδο ςτον τροχό περνϊει από το Κ. β) Να υπολογύςετε τισ δυνϊμεισ που αςκούνται Κ. Β.Φιρφιρής 37

138 38 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ςτον τροχό. (Δύνεται: φ = 60, ημ60 = 3, ςυν60 = ) 4. Ένασ κύλινδροσ με μϊζα Μ = Κg και R = 0cm αφόνεται να κυλόςει χωρύσ ολύςθηςη από την κορυφό κεκλιμϋνου επιπϋδου γωνύασ φ = 30. Η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ εύναι g = 0m/sec και h = 4m. Να βρεύτε: α) Σην επιτϊχυνςη (αcm) του κϋντρου μϊζασ του κυλύνδρου. β) Σην ταχύτητα του κϋντρου μϊζασ υcm του κυλύνδρου όταν φτϊςει ςτη βϊςη του κεκλιμϋνου επιπϋδου. γ) Σην κινητικό του ενϋργεια του κυλύνδρου όταν φτϊνει ςτη βϊςη του κεκλιμϋνου επιπϋδου. δ) Σην ςτροφορμό του κυλύνδρου ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από τα κϋντρα των δύο βϊςεων του, όταν διϋρχεται από την βϊςη του κεκλιμϋνου επιπϋδου. ε) Να παραςτόςετε γραφικϊ τη ςτροφορμό του κυλύνδρου ςε ςχϋςη με το χρόνο κατϊ την κϊθοδο του κυλύνδρου από το Α ςτο Γ. (Δύνεται για τον κύλινδρο I προσ τον ϊξονα του.) MR ωσ 5. Από ςημεύα Α και Γ αντύςτοιχα δύο κεκλιμϋνων επιπϋδων αφόνονται ταυτόχρονα μύα ςφαύρα να κυλόςει ελεύθερα χωρύσ να ολιςθαύνει και ϋνασ κύβοσ από πϊγο να ολιςθόςει χωρύσ τριβϋσ. Σα ςημεύα Α και Γ βρύςκονται ςτο ύδιο ύψοσ από τισ βϊςεισ των επιπϋδων. Οι μϊζεσ των δύο ςωμϊτων εύναι ύςεσ και οι διαςτϊςεισ τουσ μικρϋσ ςε ςχϋςη με το ύψοσ h. 6. το παρακϊτω ςχόμα ο κύλινδροσ ϋχει μϊζα M = Kg και κυλϊει χωρύσ να ολιςθαύνει πϊνω ςτουσ οδηγούσ υπό την επύδραςη του ςώματοσ m = Kg, το οπούο κρϋμεται μϋςω αβαρούσ νόματοσ που ξετυλύγεται μϋνοντασ ςυνεχώσ κατακόρυφο. MR ωσ προσ τον ϊξονα του και g = 0m/sec να βρεύτε: α) Σην επιτϊχυνςη του κϋντρο μϊζασ του κυλύνδρου. β) Σην γωνιακό ταχύτητα του κυλύνδρου όταν το ςώμα m ϋχει πϋςει κατϊ h = 5m από την αρχικό του θϋςη. (Δύνεται: R = 0,5m) γ) Σην επιτϊχυνςη του κϋντρου μϊζασ του κυλύνδρου αν αντύ για το ςώμα m, του αςκούςαμε μύα οριζόντια δύναμη παρϊλληλη προσ τουσ δύο οδηγούσ μϋςω του νόματοσ, με μϋτρο F = 0N και ο κύλινδροσ κυλούςε χωρύσ ολύςθηςη. Αν ο κύλινδροσ ϋχει I Κ. Β.Φιρφιρής 38

139 39 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 7.Ομογενόσ και ιςοπαχόσ ρϊβδοσ ϋχει μϊζα M = Kg και μόκοσ L =,m, μπορεύ να ςτρϋφεται ςε κατακόρυφο επύπεδο, χωρύσ τριβϋσ γύρω από οριζόντιο ϊξονα που εύναι κϊθετοσ ςτη ρϊβδο και διϋρχεται από το ϋνα ϊκρο τησ 0. το ϊλλο ϊκρο τησ ρϊβδου εύναι ςτερεωμϋνο ςώμα με αμελητϋεσ διαςτϊςεισ και m = Kg. Αρχικϊ η ρϊβδοσ εύναι κατακόρυφη. Αφόνουμε τη ρϊβδο ελεύθερη. (Δύνεται: g = 0m/sec και η ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ το κϋντρο μϊζασ τησ ML, 4,3 4,9, 3 ημ45 = ςυν45 = 0,7 ημ30 =, ςυν30 = ) I cm Τπόδειξη: α) Ι(ο) = Ικ + Μ(ΟΚ) τ(ο) = Ι(ο)αγ ό Mg(OK) = I(ο)αγ β) Να υπολογιςτούν: α) Η γωνιακό επιτϊχυνςη (α) τησ ρϊβδου όταν ςχηματύζει με την κατακόρυφη γωνύα φ = 45 β) Σην γωνιακό ταχύτητα τησ ρϊβδου εκεύνη την ςτιγμό (για φ = 45 ) γ) Σην ταχύτητα τησ ςημειακόσ μϊζασ m όταν η ρϊβδοσ γύνει οριζόντια (Δύνεται: g = 0m/sec, I e( cm ) ML, ημ45 = ςυν45 = 0,7) 8. Η ρϊβδοσ του παρακϊτω ςχόματοσ εύναι ομογενόσ και ϋχει μόκοσ L = m. Η ρϊβδοσ μπορεύ να περιςτρϋφεται από ϊξονα οριζόντιο, ο οπούοσ εύναι κϊθετοσ ςτη ρϊβδο και διϋρχεται από ςημεύο 0, που απϋχει από το ϊκρο Γ τησ ρϊβδου L = 0cm. Η ρϊβδοσ βρύςκεται αρχικϊ ςε οριζόντια θϋςη και την αφόνουμε ελεύθερη να περιςτραφεύ. Να υπολογιςτούν: α) Η αρχικό γωνιακό επιτϊχυνςη τησ ρϊβδου. β) Σην γωνιακό ταχύτητα τησ ρϊβδου όταν ςχηματύζει γωνύα 45 με την κατακόρυφη. γ) Σισ ταχύτητεσ των ςημεύων Γ, Κ και Δ εκεύνη τη ςτιγμό. (για φ = 45 ) δ) Σην γωνιακό επιτϊχυνςη τησ ρϊβδου όταν αυτό ςχηματύζει γωνύα φ = 30 με την κατακόρυφη. (Απ.: αγ = 7,3 rad/sec) Ι(ο) ω = Μgh όπου: h = (OK)ημ45 (Απ.: 4,9 rad/sec) γ) υγ = ω(ογ) δ) τ(ο) = Ι(ο)αγ Mg(OK)ημ30 = I(ο)αγ (Απ.: 0,984 m/sec) 9. Ομογενόσ δοκόσ ΑΓ μόκουσ L και βϊροσ W =00N ιςορροπεύ όπωσ φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμα: α) Να υπολογύςετε τισ δυνϊμεισ που δϋχεται η δοκόσ από το ςχοινύ και από την ϊρθρωςη Α. (Δύνεται: φ = 60 ) β) Ξαφνικϊ τι ςχοινύ κόβεται. Να βρεύτε: i. Σην αρχικό γωνιακό επιτϊχυνςη τησ δοκού ii. Σην γωνιακό ταχύτητα τησ δοκού όταν η διεύθυνςη τησ γύνει οριζόντια. iii. Σην ταχύτητα του κϋντρου μϊζασ τησ ρϊβδου όταν η ρϊβδοσ γύνει οριζόντια. (Δύνεται: g = 0m/sec, L = m και η ροπό αδρϊ-νειασ τησ δοκού ωσ προσ το κϋντρο μϊζασ τησ I cm Κ. Β.Φιρφιρής ML ) 39

140 40 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Τπόδειξη: α) Εύναι: τ(α) = 0 (Απ.: Σ = 50 3 F = 50 7 ) β ii) τ(α) = Ι(Α)αγ W ημ60 = Ι(Α)αγ (Απ.: β iii) Κτελ Καρχ = W(w) k υcm = ω 5 3 rad/sec) το παρακϊτω ςχόμα η Μ = Kg, κρϋμεται από αβαρϋσ νόμα, το οπούο ςτρϋφεται χωρύσ να ολιςθαύνει ςε τροχαλύα με M = 4Kg. το ϊλλο ϊκρο του νόματοσ υπϊρχει ςτερεωμϋνο ςώμα μϊζασ M = Kg, το οπούο μπορεύ να ολιςθαύνει ςτο οριζόντιο επύπεδο, με το οπούο εμφανύζει ςυντελεςτό τριβόσ ολύςθηςησ μ = 0,5. Αφόνουμε το ςύςτημα ελεύθερο. Αν g = 0m/sec α) Ποια εύναι η επιτϊχυνςη του κϋντρο μϊζασ του Μ; β) Μετϊ από t = sec: i. Ποια εύναι η κινητικό ενϋργεια τησ τροχαλύασ. ii. Ποιο ποςοςτό του ϋργου του βϊρουσ M ϋχει μετατραπεύ ςε θερμότητα εξαιτύασ των τριβών; (Δύνεται: Ροπό αδρϊνειασ τησ τροχαλύασ ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το MR κϋντρο μϊζασ τησ I ) Τπόδειξη: α) Για την Μ: W N = 0 T = μν, Σ Σ = Μαcm Για την Μ: W Σ = Μαcm Για την τροχαλύα: ΣR TR = Iαγ α cm αγ = R β i) K = Iω κ ω = αγt (Απ: 3m/sec) (Απ: 36Joule) β ii) Q = WT = T.s W( W ) = mgh κ h=s= α t cm (Απ: 5%) 3. το παρακϊτω ςχόμα ϋνασ δακτύλιοσ μϊζασ M = Kg και ακτύνασ R = 0,5m και ϋνασ δύςκοσ διπλϊςιασ μϊζασ και τησ ύδιασ ακτύνασ μπορούν να περιςτρϋφονται γύρω από κοινό ϊξονα. Αρχικϊ τα δύο ςώματα εύναι ακύνητα. Αςκούμε και ςτο δακτύλιο και ςτον δύςκο δυνϊμεισ ύδιου μϋτρου αλλϊ αντιθϋτου φορϊσ αντύςτοιχα. Οι δυνϊμεισ εύναι εφαπτόμενεσ ςτισ περιφϋρειεσ του δύςκου και του δακτυλύου και αςκούνται ταυτόχρονα και για τον ύδιο χρόνο t = sec. Εύναι F = 0N. α) Να ςυγκρύνετε τισ ςτροφορμϋσ των δύο ςωμϊτων μετϊ από χρόνο t = s. β) Να ςυγκρύνετε τισ κινητικϋσ ενϋργειεσ των δύο ςωμϊτων μετϊ από χρόνο t = s. γ) Αφού πϊψουν να αςκούνται οι δυνϊμεισ αφόνουμε τον δακτύλιο να πϋςει πϊνω ςτο δύςκο και να δημιουργόςει ςυςςωμϊτωμα. Κ. Β.Φιρφιρής 40

141 4 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Να βρεύτε: i. Σην κοινό γωνιακό ταχύτητα περιςτροφόσ. ii. Σην απώλεια τησ κινητικόσ ενϋργειασ του ςυςτόματοσ. (Δύνεται για τον δύςκο I Τπόδειξη: dl α) F R ό dt L 0 F R ό t 0 L F R t Αντύςτοιχα: L F R t MR ) (Απ.: L = -L) β) γ) I ω K = I ω K = Lαρχ, = Lτελ (Απ.: Κ = Κ) (Απ.: ωκ = 0) 3. Οι δύο ομόκεντροι κύκλοι με ακτύνεσ R = 0,m και r = 0,m μπορούν κυλύονται χωρύσ να ολιςθαύνουν ςτο οριζόντιο επύπεδο. Η μϊζα του ςυςτόματοσ εύναι m = Kg και η ροπό αδρϊνειασ του ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του Ι = 4 0-Kg m. Ένα αβαρϋσ ςχοινύ εύναι τυλιγμϋνο γύρω από τον εςωτερικό κύλινδρο. Να βρεύτε την επιτϊχυνςη του κϋντρου μϊζασ και την ςτατικό τριβό Σ αν αςκόςουμε ςτο ελεύθερο ϊκρο του ςχοινιού οριζόντια δύναμη μϋτρου F = 0N όπωσ: i. ςτο ςχόμα Ι ii. ςτο ςχόμα ΙΙ Τπόδειξη: α) Για την μεταφορϊ: F + T = mαcm Για την περιςτροφό: Fr TR = Iαγ κ αcm = αγr (Απ: Σ = 0 κ αcm = 0m/s) β) Για την μεταφορικό κύνηςη: F T = mα cm Για την περιςτροφικό κύνηςη: Σ R Fr = Iα α cm = α R 0 (Απ: αcm = m/s, 3 40 Σ = N) Ο οριζόντιοσ δύςκοσ του ςχόματοσ ςτρϋφεται γύρω από κατακόρυφο ϊξονα που περνϊ από το κϋντρο του με γωνιακό ταχύτητα ω = 0rad/s. Σοποθετούμε ςτο δύςκο και ςε απόςταςη d = 0,m από το κϋντρο του μια ςημειακό μϊζα m = 0,Kg, η οπούα κολλϊει ςτο δύςκο. Αν η τελικό γωνιακό ταχύτητα του δύςκου ϋχει μϋτρο ω = 0rad/s να βρεύτε τη ροπό αδρϊνειασ του δύςκου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του. 34. Οριζόντιοσ ομογενόσ δύςκοσ ϋχει μϊζα Μ = 0Kg και ακτύνα R = m. Ο δύςκοσ περιςτρϋφεται γύρω από κατακόρυφο ϊξονα που περνϊ από το κϋντρο του. Ένασ ϊνθρωποσ με m = 60Kg βρύςκεται ςτην περιφϋρεια του δύςκου και η γραμμικό του ταχύτητα εύναι υ = 0m/s. Αν ο ϊνθρωποσ μετακινηθεύ από την περιφϋρεια του δύςκου ςτο κϋντρο του να βρεύτε την μεταβολό: Κ. Β.Φιρφιρής 4

142 4 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ α) του μϋτρου τησ γωνιακόσ ταχύτητασ του δύςκου β) τησ κινητικόσ ενϋργειασ του ςυςτόματοσ. (Δύνεται: η ροπό αδρϊνειασ του δύςκου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ I MR Οι διαςτϊςεισ του ανθρώπου να θεωρηθούν αμελητϋεσ). Τποδεύξεισ για την 35: 35. Κλιμακωτό τροχαλύα αποτελεύται από δύο ενωμϋνεσ τροχαλύεσ που ϋχουν ακτύνεσ r = R και r = R. ε κϊθε μύα από τισ τροχαλύεσ εύναι τυλιγμϋνο αβαρϋσ νόμα. το ϊκρο του πρώτου νόματοσ ϋχει ςυνδεθεύ ςώμα m = 0Kg, ενώ ςτο ϊκρο του ϊλλου, ςώμα m = 4Kg. Αφόνουμε την κλιμακωτό τροχαλύα ελεύθερη. Για την m: W T = mα(cm) Για την m: T W = mα(cm) Για την τροχαλύα: ΣR TR = Iαγ κ α(cm) = αγr α(cm) = αγr (Απ: αγ = 5rad/s ) 36. Ομογενόσ ϊκαμπτη ρϊβδοσ ΑΖ ϋχει μόκοσ L = 4m, μϊζα M = 3Kg και ιςορροπεύ ςε οριζόντια θϋςη όπωσ φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμα: Να υπολογιςτούν: α) Η γωνιακό επιτϊχυνςη τησ τροχαλύασ β) Οι επιταχύνςεισ των μαζών m, m (Δύνεται για την τροχαλύα Ι = 0,4Kg m ) το ϊκρο Α υπϊρχει ακλόνητη ϊρθρωςη γύρω από την οπούα η ρϊβδοσ μπορεύ να περιςτρϋφεται, χωρύσ τριβϋσ, ενώ ςτο ϊλλο ϊκρο τησ Ζ υπϊρχει ςτερεωμϋνο ςφαιρύδιο μϊζασ m = 0,6Kg και αμελητϋων διαςτϊςεων. Ένα αβαρϋσ τεντωμϋνο νόμα ΔΓ ςυνδϋει το ςημεύο Γ τησ ρϊβδου με ςφαιρύδιο μϊζασ m = Kg, το οπούο εύναι ςτερεωμϋνο ςτο ελεύθερο ϊκρο ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ Κ = 00Ν/m. Σο ϊλλο ϊκρο του ελατηρύου εύναι ακλόνητο. Η απόςταςη ΑΓ εύναι ύςη με,8m. Όλη η διϊταξη βρύςκεται ςτο ύδιο κατακόρυφο επύπεδο, ςτο οπούο γύνονται όλεσ οι κινόςεισ. Κ. Β.Φιρφιρής 4

143 43 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ α) Να υπολογύςετε: i. τη ροπό αδρϊνειασ του ςυςτόματοσ ρϊβδου ςφαιριδύου m ωσ προσ τον οριζόντιο ϊξονα που διϋρχεται από το ςημεύο Α και εύναι κϊθετο ςτο επύπεδο τησ διϊταξησ. ii. το μϋτρο τησ τϊςησ του νόματοσ ΔΓ. 37. Η ρϊβδοσ του ςχόματοσ εύναι οριζόντια, ϋχει μόκοσ L = m και μϊζα M = 3Kg και ςτρϋφεται γύρω από ςταθερό κατακόρυφο ϊξονα που διϋρχεται από το ϊκρο τησ Ο. το ϊλλο ϊκρο Α τησ ρϊβδου αςκεύται οριζόντια δύναμη μϋτρου F = 0N που εύναι διαρκώσ κϊθετη ςτη διεύθυνςη τησ ρϊβδου. Η ρϊβδοσ αρχικϊ εύναι ακύνητη και με την επύδραςη τησ δύναμησ F αρχύζει να περιςτρϋφεται. Τπόδειξη: Iολ(Α) = Ιp(A) + I(α) ό Iολ(Α) = Ιp(Κ) + Μ(ΑΚ) + ml (Απ: 5,6 Κg m) ii) τ(α) = 0 (Απ: 30Ν) β) Αν κόψουμε το νόμα ΔΓ, το ςφαιρύδιο m εκτελεύ αμεύωτη αρμονικό ταλϊντωςη, ενώ η ρϊβδοσ μαζύ με το ςώμα m, υπό την επύδραςη τησ βαρύτητασ, περιςτρϋφονται χωρύσ τριβϋσ γύρω από το ςημεύο Α. Να υπολογύςετε: i. το χρόνο που χρειϊζεται το ςφαιρύδιο m από τη ςτιγμό που κόβεται το νόμα μϋχρι τη ςτιγμό που θα φθϊςει ςτην ψηλότερη θϋςη του για πρώτη φορϊ. ii. το μϋτρο τησ γραμμικόσ ταχύτητασ του ςημεύου Ζ, τη ςτιγμό που η ρϊβδοσ περνϊει από την κατακόρυφη θϋςη. (Δύνεται: g = 0m/sec, ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ το κϋντρο μϊζασ τησ I cm ML, π = 3,4) Τπόδειξη: i) Σο ςφαιρύδιο κινεύται από την μύα ακραύα θϋςη ςτην ϊλλη. Τ Άρα: t = (Απ: t = 0,34s) Kτελ Καρχ = Wp + W Να υπολογύςετε: α) Σο ϋργο τησ δύναμησ F, ςε δύο περιςτροφϋσ τησ ρϊβδου. β) Ση γωνιακό ταχύτητα που θα ϋχει αποκτόςει η ρϊβδοσ τη ςτιγμό κατϊ την οπούα θα ϋχει ολοκληρώςει δύο περιςτροφϋσ. γ) Σην ιςχύ τησ δύναμησ την ύδια ςτιγμό δ) Σο ρυθμό με τον οπούο η δύναμη μεταφϋρει ενϋργεια ςτη ρϊβδο μετϊ από χρόνο t = 0s, καθώσ και το ϋργο τησ δύναμησ ςτην παραπϊνω χρονικό διϊρκεια. (Δύνεται: η ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ Ο I ML και π = 3,4 και ωαρχ = 0) Τπόδειξη: W = τ θ W = Κτελ - Καρχ W Iσ 0 P = τ ω τ = Ι αγ κ ω = αγ t ζ αγ t (Απ: 80πJ, 40π rad s, 0 40π W) P = 4000W W = 0000J Κ. Β.Φιρφιρής 43

144 44 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 38. Ομογενόσ ρϊβδοσ μόκουσ L=m, μπορεύ να περιςτρϋφεται γύρω από οριζόντιο ϊξονα που διϋρχεται από το ϋνα ϊκρο τησ (Α) ςε κατακόρυφο επύπεδο όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Η ρϊβδοσ ϋχει μϊζα Μ=3Kg και η ροπό αδρϊνειασ ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο τησ κϊθετα ςτη ρϊβδο Ι=/ML. Εκτρϋπουμε τη ρϊβδο από την κατακόρυφη διεύθυνςη κατϊ θ (ημθ=0,96) και την αφόνουμε ελεύθερη. α. Ποια εύναι η αρχικό γωνιακό επιτϊχυνςη περιςτροφόσ τησ ρϊβδου και ποιοσ ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ ςτροφορμόσ εκεύνη τη χρονικό ςτιγμό ; β. Όταν η διεύθυνςη τησ ρϊβδου γύνει κατακόρυφη ςυγκρούεται με μϊζα m=kgr που εύναι ςτερεωμϋνη ςτην ϊκρη οριζοντύου ελατηρύου με Κ=00Ν/m και ϋχει το φυςικό του μόκοσ. Η ϊλλη ϊκρη του ελατηρύου εύναι ςτερεωμϋνη ςε ακλόνητο τούχο. β. Ποιο εύναι το πλϊτοσ τησ Α.Α.Σ που θα εκτελϋςει η m αν αμϋςωσ μετϊ την κρούςη η ρϊβδοσ μϋνει ακύνητη ; β. Πόςη κινητικό ενϋργεια χϊνεται κατϊ την κρούςη ; γ. Μετϊ από πόςο χρόνο μετϊ την κρούςη το μϋτρο τησ ταχύτητασ τησ m γύνεται u=3m/s ; δ. Με ποιο ρυθμό μεταβϊλλεται η ορμό και η κινητικό ενϋργεια τησ m εκεύνη τη ςτιγμό ; Δύνεται g=0m/s 39.Ο ομογενόσ δύςκοσ του ςχόματοσ ϋχει μϊζα Μ=4Kg και ακτύνα R=0,m. Ο δύςκοσ κυλύεται χωρύσ να ολιςθαύνει με την επύδραςη δύναμησ F=30N. Να βρεύτε: α. Σην επιτϊχυνςη τησ μεταφορικόσ κύνηςησ του κϋντρου μϊζασ. β. Σην τιμό τησ ςτατικόσ τριβόσ. γ. Ση γωνιακό ταχύτητα περιςτροφόσ του δύςκου γύρω από το κϋντρο μϊζασ μετϊ από (50/π) περιςτροφϋσ από την αρχό τησ κύνηςησ. Δύνεται Ιcm=½ MR 40.O ομογενόσ δύςκοσ του ςχόματοσ ϋχει μϊζα Μ=4Kg και R=0,m.Ο δύςκοσ κυλύεται χωρύσ να ολιςθαύνει υπό την επύδραςη δύναμησ F=30N. Να βρεύτε: α. Σην acm β. Σην τιμό τησ ςτατικόσ τριβόσ. γ. Σο ϋργο τησ F μετϊ από (5/π) περιςτροφϋσ. Για το δύςκο Ιcm=½MR 4.Ο ομογενόσ τροχόσ του ςχόματοσ ϋχει μϊζα Μ=4Kg και R=0,m. τον τροχό αςκούμε δύναμη F=30N όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Ο τροχόσ αρχύζει να κυλύεται από την ηρεμύα χωρύσ να ολιςθαύνει. Να βρεύτε : α. Σην acm β. την ςτατικό τριβό και να την ςχεδιϊςετε. γ. Πόςεσ περιςτροφϋσ ϋχει πραγματοποιόςει ο τροχόσ, όταν η ταχύτητα τησ μεταφορικόσ κύνηςησ του κϋντρου μϊζασ γύνει u=ucm=0m/s. Για τον τροχό : Ιcm=½MR, r=r/ Κ. Β.Φιρφιρής 44

145 45 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Αν η F αςκούνταν ςτο ςημεύο Γ του τροχού όταν αυτόσ βριςκόταν ςε ηρεμύα γ.μετϊ από πόςο χρόνο από τη ςτιγμό που θα κοπεύ το νόμα το μϋτρο τησ ταχύτητασ γύνεται για η φορϊ umax/. γ3.ποια η αρχικό γωνιακό επιτϊχυνςη Δύνεται:Μ=/ ΚG και ο τροχόσ ϊρχιζε να κυλύεται από την ηρεμύα. Να βρεύτε: δ. την acm ε. την ςτατικό τριβό ςτ. το ϋργο τησ F μετϊ από (80/π) περιςτροφϋσ. 4.Σο ςτερεό ιςορροπεύ με τη βοόθεια αβαρών και μη εκτατών νημϊτων που εύναι τυλιγμϋνα, το μεν ϋνα ςτην περιφϋρεια του μικρού κυλύνδρου(r=0,m) ενώ το ϊκρο του εύναι ςτερεωμϋνο ςτο ςώμα (m=kg), το δε ϊλλο εύναι τυλιγμϋνο ςτην περιφϋρεια του μεγϊλου κυλύνδρου(r=0,m) και το ϊκρο του ςτερεωμϋνο ςε ακλόνητο ςημεύο. 43. τερεό αποτελεύται από δύο ομοαξονικούσ κυλύνδρουσ με ακτύνεσ R=R=0,m και R=R=0,m και ϋχει μϊζα Μ=Κg και ροπό αδρϊνειασ ωσ προσ τον ϊξονα του Ι=ΜR. Γύρω από το μικρό κύλινδρο τυλύγεται αβαρϋσ και μη εκτατό νόμα ςτην ϊκρη του οπούου ςτερεώνεται ςώμα με m=4kg το οπούο παρουςιϊζει με κεκλιμϋνο μ= 3 6 όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Σο ςώμα ιςορροπεύ με τη βοόθεια κατακόρυφου ελατηρύου παραμόρφωςησ Δl0=0,8m. Η ροπό αδρϊνειασ του ςτερεού ωσ προσ τον ϊξονα του εύναι Ι=0,048Kgm. Να βρεύτε: α. Σην ςταθερϊ k του ελατηρύου. β. Σισ τϊςεισ των δύο νημϊτων. γ. Κϊποια ςτιγμό t0=0 το νόμα που ςυνδϋεται με το κόβεται, να βρεύτε: γ.σην χρονικό εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ τησ μϊζασ m θεωρώντασ τη φορϊ προσ τα πϊνω θετικό. Γύρω από τον μεγϊλο κύλινδρο τυλύγεται αβαρϋσ μη εκτατό νόμα του οπούου η ϊλλη ϊκρη ςτερεώνεται ςτο πϊνω ϊκρο του ςώματοσ.η κϊτω ϊκρη του εύναι ςτερεωμϋνη ςε ιδανικό ελατόριο με Κ=00Ν/m. Σο ςύςτημα ιςορροπεύ με το ελατόριο ςτην κατακόρυφο.την κατϊςταςη ιςορροπύασ μεταξύ του και του κεκλιμϋνου επιπϋδου η τιμό τησ ςτατικόσ τριβόσ εύναι μηδενικό. Αν φ=30 0, ςυν30 0 = 3,ημ30= και g=0m/s, να βρεύτε: Α. Σην παραμόρφωςη Δl του ελατηρύου. Β. Για t0=0 το νόμα που ςυγκρατεύ το κόβεται, να βρεύτε: Β. Σην εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ του από τη θϋςη ιςορροπύασ ςε ςχϋςη με το χρόνο. Β.Ση γωνιακό επιτϊχυνςη τησ τροχαλύασ. Β3. Ση ςτροφορμό τησ τροχαλύασ όταν η ταχύτητα του γύνεται για πρώτη φορϊ μϋγιςτη. Δύνεται π=3,4. Κ. Β.Φιρφιρής 45

146 46 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 44. Η ρϊβδοσ του παρακϊτω ςχόματοσ ϋχει μϊζα Μ=Kg,μόκοσ l=4m και κινεύται χωρύσ ολύςθηςη με ςταθερό ταχύτητα u με τη βοόθεια των ομογενών ςφαιρών που κυλύονται χωρύσ να ολιςθαύνουν πϊνω ςτο οριζόντιο ϋδαφοσ. Η κϊθε ςφαύρα ϋχει μϊζα m=kg και ακτύνα R=0,m. Ση ςτιγμό που η ρϊβδοσ εγκαταλεύπει τη ςφαύρα, ϋνα κομμϊτι πλαςτελύνησ μϊζασ m=m=kg που ϋχει αφεθεύ ελεύθερο από ύψοσ h=m ςυγκρούεται πλαςτικϊ και ακαριαύα με τη ρϊβδο και κολλϊει ςτο μϋςο τησ. Κατϊ την κρούςη των δύο ςωμϊτων παρϊγεται θερμότητα A=36J. Δύνεται ότι g=0m/s M u R Σ Να υπολογύςετε: α. Σην ταχύτητα ucm του κϋντρου μϊζασ των ςφαιρών τη ςτιγμό που η ρϊβδοσ εγκαταλεύπει τη ςφαύρα και το πλόθοσ Ν των περιςτροφών τησ ςφαύρασ από τη ςτιγμό που φτϊνει η ρϊβδοσ ςε αυτό μϋχρι τη ςτιγμό που την εγκαταλεύπει. ΔL τησ β. Πόςη πρϋπει να εύναι η μεταβολό ςτροφορμόσ τησ κϊθε ςφαύρασ μετϊ την κρούςη,ώςτε το ςυςςωμϊτωμα ρϊβδοσπλαςτελύνη να ςυνεχύςει και μετϊ την κρούςη να κινεύται χωρύσ ολύςθηςη. ( η ροπό αδρϊνειασ τησ ςφαύρασ ωσ προσ τον ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο τησ εύναι I= mr ) Σο οριζόντιο ελατόριο του ςχόματοσ ϋχει ςταθερϊ k=00n/m. Σο μακρόςτενο ςώμα μϊζασ Μ=3Kg εύναι ςτερεωμϋνο ςτο ελεύθερο ϊκρο του ελατηρύου,ενώ το ςώμα μϊζασ m=kg ακουμπϊει πϊνω ςτο ςώμα μϊζασ M. Ο ςυντελεςτόσ τριβόσ ολύςθηςησ ανϊμεςα ςτα ςώματα Μ και m εύναι μ=0,(και εύναι περύπου ύςοσ με τη μϋγιςτη τιμό του ςυντελεςτό ςτατικόσ τριβόσ.).σο ςύςτημα των ςωμϊτων Μ και m εκτελεύ Α.Α.Σ. ςτο λεύο οριζόντιο επύπεδο με πλϊτοσ Α το μϋγιςτο επιτρεπτό,ώςτε το ςώμα μϊζασ m να μην ολιςθαύνει πϊνω ςτο μακρόςτενο ςώμα μϊζασ Μ. Δύνεται g=0m/s. Α. Να υπολογύςετε το πλϊτοσ Α τησ Α.Α.Σ. του ςυςτόματοσ των ςωμϊτων Μ και m. Β. Κϊποια ςτιγμό (t=0) και ενώ το ταλαντευόμενο ςύςτημα των Μ και m βρύςκεται ςτη θϋςη με απομϊκρυνςη x=-a από ύψοσ h πϊνω από το οριζόντιο επύπεδο αφόνουμε ελεύθερο ϋνα ϊλλο ςώμα μϊζασ m=kg. Σο ςώμα m κατϊ την κϊθοδο του και ενώ βρύςκεται ςτην ύδια κατακόρυφο με το ςύςτημα Μ και m,ςυγκρούεται μετωπικϊ και πλαςτικϊ με το ςύςτημα.κατϊ την κρούςη αυτό παρϊγεται η μϋγιςτη θερμότητα Qmax. Δύνεται ότι η κρούςη του ςυςτόματοσ των Μ και m με τη μϊζα m γύνεται πριν προλϊβει το ταλαντευόμενο ςύςτημα να αλλϊξει φορϊ κύνηςησ μετϊ τη χρονικό ςτιγμό t=0. Να υπολογύςετε: Β. Ση θερμότητα Qmax (π =0) Β. Σο πλϊτοσ Α τησ Α.Α.Σ. του ςυςςωματώματοσ των Μ και m και τησ μϊζασ m. Γ. Μετϊ την κρούςη η μϊζα m θα εξακολουθεύ να μην ολιςθαύνει πϊνω ςτη μϊζα Μ; ( για τισ πρϊξεισ 5=,) 46.Ομογενόσ ρϊβδοσ ΑΒ μόκουσ L=3m και W=00N ιςορροπεύ οριζόντια ςτηριζόμενη ςτο ϊκρο Α και ςτο ςημεύο Γ που απϋχει από το Β απόςταςη d=0,5m όπωσ φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμα. Άνθρωποσ με βϊροσ W αρχικϊ βρύςκεται ςτο υποςτόριγμα Γ. Όταν ο ϊνθρωποσ μετατοπιςτεύ ςε απόςταςη (/6) m από το Γ προσ το Β (ςημεύο Ζ) η αντύδραςη ςτο Α μειώνεται ςτο μιςό. α. Να βρεθεύ το W β. Σισ αντιδρϊςεισ ςτα ςημεύα Α και Γ όταν ο ϊνθρωποσ βρύςκεται ςτο Γ. Κ. Β.Φιρφιρής 46

147 47 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ γ. ε ποια ελϊχιςτη απόςταςη από το Β μπορεύ να φτϊςει ο ϊνθρωποσ χωρύσ τον κύνδυνο να ανατραπεύ η ςανύδα ; δ. ε ποια μϋγιςτη απόςταςη από το Β πρϋπει να τοποθετόςουμε το υποςτόριγμα,διατηρώντασ του Α ςταθερό,ώςτε ο ϊνθρωποσ να μπορεύ να κινηθεύ ςτο τμόμα ΓΒ χωρύσ τον κύνδυνο να ανατραπεύ η ςανύδα; 47.Σο ςτερεό του ςχόματοσ ϋχει μϊζα m=4kg και αποτελεύται από δύο ομοαξονικούσ κυλύνδρουσ με ακτύνεσ R=0,5m και R=0,3m. Σο εμπόδιο ϋχει ύψοσ h=0,m. Με τη βοόθεια νόματοσ που εύναι τυλιγμϋνο ςτην περιφϋρεια του κυλύνδρου με την μικρότερη ακτύνα R αςκούμε οριζόντια δύναμη F. Α. Ποιεσ τιμϋσ πρϋπει να παύρνει η F,ώςτε το ςτερεό να υπερπηδόςει το εμπόδιο; Β. Αφού το ςτερεό υπερπηδόςει το εμπόδιο και ενώ ϋχει μηδενικό ταχύτητα ςταθεροποιούμε την F ςτην τιμό F=0N. Αν Ιcm=0,5Kgm /s, Β. Να υπολογύςετε τισ αcm και αγ του ςτερεού. Β.Μετϊ από t=3s κύνηςησ να βρεύτε τη ςτροφορμό του κυλύνδρου. Β3. Να βρεύτε για t=3s το ρυθμό με τον οπούο παρϋχει ενϋργεια ςτο ςύςτημα η F. Δύνεται g=0m/s. Κ. Β.Φιρφιρής 47

148 48 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΘΕΜΑΣΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ Α. Ερωτήςεισ πολλαπλήσ επιλογήσ. Αν το αλγεβρικό ϊθροιςμα των ροπών που δρουν πϊνω ς' ϋνα ςτερεό ςώμα, το οπούο περιςτρϋφεται γύρω από ςταθερό ϊξονα, εύναι μηδϋν, τότε α. η γωνιακό του ταχύτητα μεταβϊλλεται. β. η γωνιακό του ταχύτητα εύναι ςταθερό. γ. η γωνιακό του επιτϊχυνςη μεταβϊλλεται. δ. η ροπό αδρϊνειασ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του μεταβϊλλεται.. Η μονϊδα μϋτρηςησ τησ ςτροφορμόσ εύναι α. kg m /s. β. kg m/s. γ. kg m. δ. kg m/s. 3. Κατϊ τη ςτροφικό κύνηςη ενόσ ςώματοσ... α. όλα τα ςημεύα του ςώματοσ ϋχουν την ύδια ταχύτητα. β. κϊθε ςημεύο του ςώματοσ κινεύται με γραμμικό ταχύτητα υ = ωr (ω η γωνιακό ταχύτητα, r η απόςταςη του ςημεύου από τον ϊξονα περιςτροφόσ). γ. κϊθε ςημεύο του ςώματοσ ϋχει γωνιακό ταχύτητα ω = υcm / R (υcm η ταχύτητα του κϋντρου μϊζασ, R η απόςταςη του ςημεύου από το κϋντρο μϊζασ). δ. η διεύθυνςη του διανύςματοσ τησ γωνιακόσ ταχύτητασ μεταβϊλλεται. 4. Άνθρωποσ βρύςκεται πϊνω ςτην επιφϊνεια και κοντϊ ςτο κϋντρο οριζόντιου δύςκου που περιςτρϋφεται με γωνιακό ταχύτητα ω γύρω από ϊξονα κϊθετο ςτο κϋντρο του. Αν ο ϊνθρωποσ μετακινηθεύ ςτην περιφϋρεια του δύςκου, τότε η γωνιακό του ταχύτητα ω θα εύναι : α. ω = ω. β. ω > ω. γ. ω < ω. δ. ω = 0. παραμϋνει ςταθερό, τότε η ςυνολικό εξωτερικό ροπό πϊνω ςτο ςώμα α. εύναι ύςη με το μηδϋν. β. εύναι ςταθερό και διϊφορη του μηδενόσ. γ. αυξϊνεται με το χρόνο. δ. μειώνεται με το χρόνο. 6. τερεό ςώμα περιςτρϋφεται γύρω από ςταθερό ϊξονα, με γωνιακό ταχύτητα ω. Αν διπλαςιαςτεύ η γωνιακό ταχύτητα,τότε η κινητικό του ενϋργεια : α. μϋνει η ύδια β. διπλαςιϊζεται γ. τετραπλαςιϊζεται δ. οκταπλαςιϊζεται 7. Tροχόσ ακτύνασ R κυλύεται χωρύσ να ολιςθαύνει ςε οριζόντιο επύπεδο. Αν υ cm η ταχύτητα του τροχού λόγω μεταφορικόσ κύνηςησ, τότε η ταχύτητα των ςημεύων τησ περιφϋρειασ του τροχού που απϋχουν από το ϋδαφοσ απόςταςη ύςη με R, ϋχει μϋτρο: α. υ cm. β. υ cm. γ. 0. u δ. cm 8. Μύα ςφαύρα κυλύεται χωρύσ ολύςθηςη κινούμενη κατϊ μόκοσ κεκλιμϋνου επιπϋδου (αρχικϊ ανϋρχεται και ςτη ςυνϋχεια κατϋρχεται). α. Ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ ςτροφορμόσ τησ ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ τησ μεταβϊλλεται. β. Η φορϊ του διανύςματοσ τησ ςτατικόσ τριβόσ παραμϋνει ςταθερό. γ. Η φορϊ του διανύςματοσ τησ γωνιακόσ επιτϊχυνςησ μεταβϊλλεται. δ. Η φορϊ του διανύςματοσ τησ γωνιακόσ ταχύτητασ παραμϋνει ςταθερό. 9. Η ρϊβδοσ του ςχόματοσ εύναι αβαρόσ και οι μϊζεσ m απϋχουν εξύςου από τον ϊξονα περιςτροφόσ. 5. Εϊν η ςτροφορμό ενόσ ςώματοσ που περιςτρϋφεται γύρω από ςταθερό ϊξονα Κ. Β.Φιρφιρής 48

149 49 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Αν η απόςταςη των μαζών από τον ϊξονα περιςτροφόσ υποδιπλαςιαςτεύ, η ροπό αδρϊνειασ του ςυςτόματοσ: α. τετραπλαςιϊζεται. β. διπλαςιϊζεται. γ. υποδιπλαςιϊζεται. δ. υποτετραπλαςιϊζεται. 0. τη ςτροφικό κύνηςη το αλγεβρικό ϊθροιςμα των ϋργων των ροπών των δυνϊμεων, που αςκούνται ςτο ςώμα εύναι α. ύςο με τη μεταβολό τησ κινητικόσ ενϋργειασ περιςτροφόσ του ςώματοσ. β. ύςο με τη μεταβολό τησ ςτροφορμόσ του ςώματοσ. γ. πϊντα θετικό. δ. αντιςτρόφωσ ανϊλογο τησ ςυνολικόσ δύναμησ που αςκεύται ςτο ςώμα.. Για να ιςορροπεύ ϋνα αρχικϊ ακύνητο ςτερεό ςώμα ςτο οπούο αςκούνται πολλϋσ ομοεπύπεδεσ δυνϊμεισ, θα πρϋπει : α. η ςυνιςταμϋνη των δυνϊμεων που αςκούνται ςτο ςώμα να εύναι μηδϋν. β. το αλγεβρικό ϊθροιςμα των ροπών των δυνϊμεων να εύναι μηδϋν γ. η ςυνιςταμϋνη των δυνϊμεων και το αλγεβρικό ϊθροιςμα των ροπών των δυνϊμεων να εύναι μηδϋν δ. η ςυνιςταμϋνη των δυνϊμεων να εύναι μηδϋν και το αλγεβρικό ϊθροιςμα των ροπών των δυνϊμεων διϊφορο του μηδενόσ.. Ένα ςτερεό ςώμα περιςτρϋφεται γύρω από ςταθερό ϊξονα. Αν η γωνιακό ταχύτητα περιςτροφόσ του ςώματοσ υποδιπλαςιαςτεύ, τότε η κινητικό του ενϋργεια θα α. υποτετραπλαςιαςτεύ. β. υποδιπλαςιαςτεύ. γ. τετραπλαςιαςτεύ. δ. παραμεύνει αμετϊβλητη. 3. Η μονϊδα μϋτρηςησ τησ ςτροφορμόσ ςτο ςύςτημα S.I. εύναι m m α. Kg β. Kg s s 4. Η περύοδοσ περιςτροφόσ τησ Γησ γύρω από τον ϊξονϊ τησ εύναι ςταθερό. Αυτό οφεύλεται ςτο ότι η ελκτικό δύναμη που δϋχεται η Γη από τον Ήλιο α. δημιουργεύ ςταθερό ροπό ωσ προσ τον ϊξονϊ τησ. β. δημιουργεύ μηδενικό ροπό ωσ προσ τον ϊξονϊ τησ. γ. ϋχει τη διεύθυνςη τησ εφαπτομϋνησ ςε ϋνα ςημεύο του Ιςημερινού τησ Γησ. δ. ϋχει τϋτοιο μϋτρο που δεν επηρεϊζει την περιςτροφό τησ Γησ. 5. Η ρϊβδοσ του ςχόματοσ ϋχει μόκοσ L και μπορεύ να ςτρϋφεται γύρω από ϊξονα που διϋρχεται από το μϋςο τησ Ο και εύναι κϊθετοσ ςε αυτό. Η ροπό τησ δύναμησ F ωσ προσ το ςημεύο Ο ϋχει μϋτρο : L L L α. 0 β. F γ. F συνυ δ. F ημυ 6. Για να ιςορροπεύ ϋνα ςτερεό ςώμα, αρκεύ : α. η ςυνιςταμϋνη των δυνϊμεων που ενεργούν πϊνω του να εύναι ύςη με μηδϋν. β. η ςυνιςταμϋνη των ροπών των δυνϊμεων που ενεργούν πϊνω του να εύναι ύςη με μηδϋν. γ. η ςυνιςταμϋνη των δυνϊμεων και η ςυνιςταμϋνη των ροπών των δυνϊμεων που ενεργούν πϊνω του να εύναι ύςη με μηδϋν. δ. το ϋργο του βϊρουσ του να εύναι ύςο με μηδϋν. 7. Σο μϋτρο τησ ςτροφορμόσ L ενόσ ςτερεού ςώματοσ που περιςτρϋφεται γύρω από ϊξονα με γωνιακό ταχύτητα ω και ροπό αδρϊνειασ Ι, ωσ προσ τον ύδιο ϊξονα περιςτροφόσ, εύναι : α. Ι ω β. Ιω γ. Ιω δ. Ιω m γ. Kg δ. J s s Κ. Β.Φιρφιρής 49

150 50 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 8.Τλικό ςημεύο μϊζασ m και ταχύτητασ υ κινεύται ςε περιφϋρεια οριζόντιου κύκλου ακτύνασ r, όπωσ ςτο ςχόμα:. τερεό ςώμα ςτρϋφεται γύρω από ςταθερό ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ του. Η γωνιακό ταχύτητα (ω) μεταβϊλλεται με το χρόνο (t), όπωσ ςτο ςχόμα: Η ςτροφορμό του υλικού ςημεύου ωσ προσ τον ϊξονα zz, ο οπούοσ διϋρχεται από το κϋντρο τησ κυκλικόσ τροχιϊσ και εύναι κϊθετοσ ςτο επύπεδό τησ α. εύναι μονόμετρο μϋγεθοσ. β. ϋχει μϋτρο mυr. γ. εύναι διϊνυςμα και ϋχει διεύθυνςη κϊθετη ςτον ϊξονα zz. δ. ϋχει μονϊδα το Kg m. 9. Η ροπό αδρϊνειασ ενόσ ςτερεού ςώματοσ ωσ προσ ϊξονα περιςτροφόσ α. εύναι διανυςματικό μϋγεθοσ. β. ϋχει μονϊδα μϋτρηςησ το Ν m, ςτο S.I. γ. δεν εξαρτϊται από την θϋςη του ϊξονα περιςτροφόσ. δ. εκφρϊζει την αδρϊνεια του ςώματοσ ςτην περιςτροφικό κύνηςη. 0. Όταν ϋνα ςώμα εκτελεύ ομαλό ςτροφικό κύνηςη, τότε η γωνιακό του α. ταχύτητα αυξϊνεται. β. ταχύτητα μϋνει ςταθερό. γ. επιτϊχυνςη αυξϊνεται. δ. επιτϊχυνςη μειώνεται.. Η λεπτό ομογενόσ ρϊβδοσ του ςχόματοσ ϋχει ροπό αδρϊνειασ Ι, Ι, Ι 3, Ι 4 ωσ προσ τουσ παρϊλληλουσ ϊξονεσ ε, ε, ε 3, ε 4 αντύςτοιχα, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Η μικρότερη ροπό αδρϊνειασ εύναι η α. Ι. β. Ι. γ. Ι 3. δ. Ι 4. Η ςυνιςταμϋνη των ροπών που αςκούνται ςτο ςώμα: α. εύναι μηδϋν τη χρονικό ςτιγμό t β. εύναι ςταθερό και διϊφορη του μηδενόσ γ. εύναι ςταθερό και ύςη με το μηδϋν δ. αυξϊνεται με το χρόνο. 3. Αν ϋλιωναν οι πολικού πϊγοι και ανϋβαινε λύγο η ςτϊθμη τησ θϊλαςςασ, τότε α. η ςτροφορμό τησ Γησ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ τησ θα αυξηθεύ, ενώ η ροπό αδρϊνειϊσ τησ ωσ προσ τον ύδιο ϊξονα θα παραμεύνει ςταθερό. β. η ςτροφορμό τησ Γησ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ τησ θα παραμεύνει ςταθερό, ενώ η ροπό αδρϊνειϊσ τησ ωσ προσ τον ύδιο ϊξονα θα αυξηθεύ. γ. η ςτροφορμό τησ Γησ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ τησ θα παραμεύνει ςταθερό, ενώ η ροπό αδρϊνειϊσ τησ ωσ προσ τον ύδιο ϊξονα θα μειωθεύ. δ. η ςτροφορμό τησ Γησ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ τησ θα μειωθεύ, ενώ η ροπό αδρϊνειϊσ τησ ωσ προσ τον ύδιο ϊξονα θα παραμεύνει ςταθερό. 4. ε ϋνα αρχικϊ ακύνητο ςτερεό ςώμα αςκούνται ομοεπύπεδεσ δυνϊμεισ ϋτςι ώςτε αυτό να εκτελεύ μόνο επιταχυνόμενη μεταφορικό κύνηςη. Για τη ςυνιςταμϋνη των δυνϊμεων F που του αςκούνται και για το αλγεβρικό ϊθροιςμα των ροπών τ ωσ προσ οποιοδόποτε ςημεύο του, ιςχύει: α. F=0, τ=0 β. F 0, τ 0 γ. F=0, τ 0 δ. F 0, τ=0 5. Ένα μηχανικό ςτερεό περιςτρϋφεται γύρω από ακλόνητο ϊξονα περιςτροφόσ. Αν διπλαςιαςτεύ η ςτροφορμό του ςτερεού, χωρύσ να αλλϊξει θϋςη ο ϊξονασ Κ. Β.Φιρφιρής 50

151 5 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ περιςτροφόσ γύρω από τον οπούο ςτρϋφεται, τότε η κινητικό του ενϋργεια α. παραμϋνει ςταθερό β. υποδιπλαςιϊζεται γ. διπλαςιϊζεται δ. τετραπλαςιϊζεται. 6. Κατϊ τη ςτροφικό κύνηςη ενόσ ςτερεού γύρω από ςταθερό ϊξονα α. η διεύθυνςη του διανύςματοσ τησ ςτροφορμόσ του ςτερεού μεταβϊλλεται β. όλα τα ςημεύα του ςτερεού ϋχουν την ύδια γραμμικό ταχύτητα γ. κϊθε ςημεύο του ςτερεού ϋχει γωνιακό ταχύτητα ανϊλογη με την απόςταςό του από τον ϊξονα περιςτροφόσ δ. κϊθε ςημεύο του ςτερεού ϋχει μϋτρο γραμμικόσ ταχύτητασ ανϊλογο με την απόςταςό του από τον ϊξονα περιςτροφόσ. 7. Ένα ςτερεό ςώμα περιςτρϋφεται γύρω από ακλόνητο ϊξονα. Εϊν διπλαςιαςτεύ η ςτροφορμό του, χωρύσ να αλλϊξει ο ϊξονασ περιςτροφόσ γύρω από τον οπούο αυτό περιςτρϋφεται, τότε η κινητικό του ενϋργεια: α) παραμϋνει ςταθερό β) υποδιπλαςιϊζεται γ) διπλαςιϊζεται δ) τετραπλαςιϊζεται. 8. Ένασ δύςκοσ ςτρϋφεται γύρω από ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο του και εύναι κϊθετοσ ςτο επύπεδό του. Η τιμό τησ γωνιακόσ ταχύτητασ του δύςκου ςε ςυνϊρτηςη με τον χρόνο παριςτϊνεται ςτο διϊγραμμα του ςχόματοσ. Ποια από τισ παρακϊτω προτϊςεισ εύναι η ςωςτό; α) Σο μϋτρο τησ γωνιακόσ επιτϊχυνςησ αυξϊνεται ςτο χρονικό διϊςτημα από t ϋωσ t. β) Σο μϋτρο τησ γωνιακόσ επιτϊχυνςησ τη χρονικό ςτιγμό t εύναι μικρότερο από το μϋτρο τησ γωνιακόσ επιτϊχυνςησ τη χρονικό ςτιγμό t4. γ) Ση χρονικό ςτιγμό t3 η γωνιακό επιτϊχυνςη εύναι θετικό. δ) Σο διϊνυςμα τησ γωνιακόσ επιτϊχυνςησ τη ςτιγμό t ϋχει αντύθετη κατεύθυνςη από την κατεύθυνςη που ϋχει η γωνιακό επιτϊχυνςη τη χρονικό ςτιγμό t4 9. Φορεύτρια περιςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ ϋχοντασ τα χϋρια τησ απλωμϋνα. Όταν η χορεύτρια κατϊ τη διϊρκεια τησ περιςτροφόσ ςυμπτύςςει τα χϋρια τησ, τότε α) η ροπό αδρϊνειασ τησ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ αυξϊνεται. β) η ςτροφορμό τησ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ τησ ελαττώνεται. γ) η ςυχνότητα περιςτροφόσ αυξϊνεται δ) η περύοδοσ παραμϋνει ςταθερό. 30. Μια αθλότρια του καλλιτεχνικού πατινϊζ περιςτρϋφεται, χωρύσ τριβϋσ, ϋχοντασ τα χϋρια τησ ςε ςύμπτυξη. Όταν η αθλότρια, κατϊ την περιςτροφό τησ, απλώςει τα χϋρια τησ ςε οριζόντια θϋςη, τότε α) η ςτροφορμό τησ μειώνεται β) η ςτροφορμό τησ αυξϊνεται γ) η ςυχνότητα περιςτροφόσ τησ αυξϊνεται δ) η ςυχνότητα περιςτροφόσ τησ μειώνεται. Β. Ερωτήςεισ τύπου ςωςτό-λάθοσ. Η ροπό αδρϊνειασ εκφρϊζει την αδρϊνεια ςτη μεταφορικό κύνηςη.. Ένασ αθλητόσ καταδύςεων, καθώσ περιςτρϋφεται ςτον αϋρα, ςυμπτύςςει τα ϊκρα του. Με την τεχνικό αυτό αυξϊνεται η γωνιακό ταχύτητα περιςτροφόσ του. 3. Η ροπό αδρϊνειασ ενόσ ςώματοσ ςταθερόσ μϊζασ ϋχει πϊντα την ύδια τιμό. 4. H ροπό αδρϊνειασ ενόσ ςτερεού δεν εξαρτϊται από τη θϋςη του ϊξονα περιςτροφόσ του. 5. Η Γη ϋχει ςτροφορμό λόγω τησ κύνηςόσ τησ γύρω από τον Ήλιο. 6. Η ροπό αδρϊνειασ ενόσ ςώματοσ δεν εξαρτϊται από τον ϊξονα περιςτροφόσ του ςώματοσ. 7. Η γωνιακό επιτϊχυνςη ενόσ ςτερεού ςώματοσ που περιςτρϋφεται γύρω από ςταθερό ϊξονα εύναι ανϊλογη προσ τη Κ. Β.Φιρφιρής 5

152 5 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ςυνολικό εξωτερικό ροπό που αςκεύται ςτο ςώμα. 8. Αν η ςτροφορμό ενόσ ςτερεού ςώματοσ παραμϋνει ςταθερό, τότε η ςυνολικό εξωτερικό ροπό που αςκεύται ςτο ςώμα εύναι μηδϋν. 9. Όταν ο φορϋασ τησ δύναμησ, η οπούα αςκεύται ςε ϋνα ελεύθερο ςτερεό ςώμα δεν διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ του, τότε το ςώμα εκτελεύ μόνο μεταφορικό κύνηςη. 0. Όταν μια χορεύτρια καλλιτεχνικού πατινϊζ, που περιςτρϋφεται, θϋλει να περιςτραφεύ γρηγορότερα ςυμπτύςςει τα χϋρια τησ.. Η μονϊδα μϋτρηςησ τησ ροπόσ αδρϊνειασ εύναι kg m. Η ροπό αδρϊνειασ ενόσ ςτερεού ςώματοσ εύναι διανυςματικό μϋγεθοσ. 3.Η ροπό ζεύγουσ δυνϊμεων εύναι ύδια ωσ προσ οποιοδόποτε ςημεύο του επιπϋδου που ορύζουν. 4. Σα διανύςματα τησ γωνιακόσ ταχύτητασ ω και τησ γωνιακόσ επιτϊχυνςησ α ϋχουν πϊντα την ύδια κατεύθυνςη. 5. H ροπό αδρϊνειασ εκφρϊζει ςτη μεταφορικό κύνηςη ό,τι εκφρϊζει η μϊζα ςτη ςτροφικό κύνηςη. 6. Η ροπό αδρϊνειασ εύναι διανυςματικό μϋγεθοσ. 7. Η μονϊδα μϋτρηςησ του ρυθμού μεταβολόσ τησ ςτροφορμόσ ςτο ςύςτημα SI εύναι το kg m /s. 8. Η μονϊδα τησ ροπόσ δύναμησ ςτο SI εύναι Nm. 9. Η ροπό ζεύγουσ δυνϊμεων εύναι ύδια ωσ προσ οποιοδόποτε ςημεύο. 0. Όταν ϋνασ αςτϋρασ ςυρρικνώνεται λόγω βαρύτητασ, η γωνιακό ταχύτητϊ του λόγω ιδιοπεριςτροφόσ αυξϊνεται.. Η ροπό αδρϊνειασ εύναι διανυςματικό μϋγεθοσ.. Ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ ςτροφορμόσ μετριϋται ςε m Kg s 3. ε ςτερεό ςώμα που εκτελεύ ςτροφικό κύνηςη και το μϋτρο τησ γωνιακόσ του ταχύτητασ αυξϊνεται, τα διανύςματα τησ γωνιακόσ ταχύτητασ και τησ γωνιακόσ επιτϊχυνςησ εύναι αντύρροπα. 4. Σο κϋντρο μϊζασ ενόσ ςώματοσ μπορεύ να βρύςκεται και ϋξω από το ςώμα. 5. Εϊν η ςυνολικό εξωτερικό ροπό ςε ϋνα ςύςτημα ςωμϊτων εύναι μηδϋν, η ολικό ςτροφορμό του ςυςτόματοσ αυξϊνεται ςυνεχώσ. 6. Η ροπό αδρϊνειασ ωσ προσ ϊξονα ενόσ ςτερεού ϋχει τη μικρότερη τιμό τησ, όταν ο ϊξονασ αυτόσ διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ του ςτερεού. 7. Μονϊδα μϋτρηςησ του ρυθμού μεταβολόσ τησ ςτροφορμόσ εύναι και το Ν m. 8. Όλα τα ςημεύα ενόσ ςώματοσ που εκτελούν μεταφορικό κύνηςη ϋχουν την ύδια ταχύτητα. 9. Αν η ςυνολικό εξωτερικό ροπό ς ϋνα ςύςτημα ςωμϊτων εύναι μηδϋν, τότε η ολικό ςτροφορμό του ςυςτόματοσ παραμϋνει ςταθερό. 30. Η ροπό ζεύγουσ δυνϊμεων εύναι ύδια ωσ προσ οποιοδόποτε ςημεύο του επιπϋδου τουσ. 3. ε ςτερεό ςώμα ςφαιρικού ςχόματοσ που ςτρϋφεται με ςταθερό γωνιακό ταχύτητα γύρω από ϊξονα διερχόμενο από το κϋντρο του ιςχύει πϊντα F = Σα υποθετικϊ ςτερεϊ που δεν παραμορφώνονται, όταν τουσ αςκούνται δυνϊμεισ, λϋγονται μηχανικϊ ςτερεϊ. 33. Μονϊδα μϋτρηςησ ςτροφορμόσ ςτο SI εύναι το N m s. 34. Η γη ϋχει ςτροφορμό λόγω περιςτροφόσ γύρω από τον ϊξονϊ τησ και λόγω περιφορϊσ γύρω από τον όλιο. 35. Η ροπό ζεύγουσ δυνϊμεων εύναι ύδια ωσ προσ οποιοδόποτε ςημεύο του επιπϋδου που ορύζουν οι δύο δυνϊμεισ. 36. Όταν οι ακροβϊτεσ θϋλουν να κϊνουν πολλϋσ ςτροφϋσ ςτον αϋρα, ςυμπτύςςουν τα χϋρια και τα πόδια τουσ. 37. Η γη ϋχει ςτροφορμό μόνο λόγω τησ κύνηςόσ τησ γύρω από τον όλιο. 38. Η ροπό ζεύγουσ δυνϊμεων εύναι η ύδια ωσ προσ οποιοδόποτε ςημεύο του επιπϋδου τουσ. 39. Όταν ϋνα ποδόλατο κινεύται προσ το νότο, η ςτροφορμό των τροχών ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ εύναι ϋνα διϊνυςμα με κατεύθυνςη προσ την ανατολό. 40. Η ροπό αδρϊνειασ ενόσ ςτερεού ςώματοσ εύναι διανυςματικό μϋγεθοσ. Κ. Β.Φιρφιρής 5

153 53 ΦΤ ΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟ ΑΝΑΣΟΛΙ ΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙ ΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 4.Η ροπό αδρϊνειασ ενόσ ςτερεού εύναι ανεξϊρτητη από τη θϋςη του ϊξονα περιςτροφόσ. 4. Κατϊ τη ςτροφικό κύνηςη ενόσ ςώματοσ όλα τα ςημεύα του ςώματοσ ϋχουν την ύδια γωνιακό ταχύτητα. Γ. Ερωτήςεισ ςυμπλήρωςησ κενών. Εϊν η ςυνολικό εξωτερικό ροπό ςε ϋνα ςύςτημα ςωμϊτων εύναι μηδϋν, τότε η μεταβολό τησ ολικόσ ςτροφορμόσ του ςυςτόματοσ εύναι.... Σο αλγεβρικό ϊθροιςμα των... που δρουν ς' ϋνα ςτερεό που περιςτρϋφεται γύρω από ςταθερό ϊξονα, εύναι ύςο με την αλγεβρικό τιμό του ρυθμού μεταβολόσ τησ ςτροφορμόσ του. 3. Όταν ϋνα ςώμα μετακινεύται ςτο χώρο και ταυτόχρονα αλλϊζει ο προςανατολιςμόσ του, λϋμε ότι κϊνει... κύνηςη. 4. Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα * Να γρϊψετε μύα από τισ λϋξεισ μονόμετρο ό διανυςματικό. Δ. Ερωτήςεισ αντιςτοίχιςησ. τον παρακϊτω πύνακα, ςτη Στήλη Ι, αναφϋρονται διϊφορα φυςικϊ μεγϋθη, ενώ ςτη Στήλη ΙΙ αναφϋρονται μονϊδεσ μϋτρηςησ των μεγεθών ςτο S.I. Να γρϊψετε ςτο τετρϊδιό ςασ τουσ αριθμούσ τησ Στήλης Ι και ακριβώσ δύπλα ςε κϊθε αριθμό ϋνα γρϊμμα από τη Στήλη ΙΙ, ώςτε να δημιουργεύται ςωςτό αντιςτούχιςη. (ϋνα δεδομϋνο τησ Στήλης ΙΙ περιςςεύει).. Να γρϊψετε ςτο τετρϊδιό ςασ τα φυςικϊ μεγϋθη από τη τήλη Ι και, δύπλα ςε καθϋνα, τη μονϊδα τησ τήλησ ΙΙ που αντιςτοιχεύ ς' αυτό. Ε. Ερωτήςεισ-ο ΘΕΜΑ. Δύςκοσ παιδικόσ χαρϊσ περιςτρϋφεται περύ κατακόρυφο ϊξονα κϊθετο ςτο επύπεδό του διερχόμενο από το κϋντρο του δύςκου Ο. το δύςκο δεν αςκεύται καμύα εξωτερικό δύναμη. Ένα παιδύ μετακινεύται από ςημεύο Α τησ περιφϋρειασ του δύςκου ςτο ςημεύο Β πληςιϋςτερα ςτο κϋντρο του. Σότε ο δύςκοσ θα περιςτρϋφεται: α. πιο αργϊ β. πιο γρόγορα. Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ.. Καλλιτϋχνησ του πατινϊζ περιςτρϋφεται γύρω από τον ϊξονϊ του, χωρύσ τριβϋσ. την αρχό ο καλλιτϋχνησ ϋχει τα χϋρια απλωμϋνα και ςτη ςυνϋχεια τα ςυμπτύςςει. Ο καλλιτϋχνησ περιςτρϋφεται πιο γρόγορα, όταν ϋχει τα χϋρια: α. απλωμϋνα β. ςυνεπτυγμϋνα. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. Κ. Β.Φιρφιρής 53

154 54 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 3.Δύο ύδιοι οριζόντιοι κυκλικού δύςκοι (α) και (β) μπορούν να ολιςθαύνουν πϊνω ςε οριζόντιο ορθογώνιο τραπϋζι ΓΔΕΖ χωρύσ τριβϋσ, όπωσ ςτο ςχόμα. ςτην περιφϋρεια του δύςκου και το ΑΟ εύναι οριζόντιο. Η ταχύτητα του ςημεύου Α ϋχει μϋτρο : α. ua=uo β. ua= uo γ. ua=uo Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. Αρχικϊ οι δύο δύςκοι εύναι ακύνητοι και τα κϋντρα τουσ απϋχουν ύδια απόςταςη από την πλευρϊ ΕΖ. Ίδιεσ ςταθερϋσ δυνϊμεισ F με διεύθυνςη παρϊλληλη προσ τισ πλευρϋσ ΔΕ και ΓΖ αςκούνται ς αυτούσ. το δύςκο (α) η δύναμη αςκεύται πϊντα ςτο ςημεύο Α του δύςκου. το δύςκο (β) η δύναμη αςκεύται πϊντα ςτο ςημεύο Β του δύςκου. Αν ο δύςκοσ (α) χρειϊζεται χρόνο t α για να φτϊςει ςτην απϋναντι πλευρϊ ΕΖ, ενώ ο δύςκοσ (β) χρόνο t β, τότε: α. t α > t β β. t α = t β γ. t α < t β Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 4. ε οριζόντιο επύπεδο ο δύςκοσ του ςχόματοσ με ακτύνα R κυλύεται χωρύσ να ολιςθαύνει και η ταχύτητα του κϋντρου μϊζασ του Κ εύναι υ cm. H ταχύτητα του ςημεύου που βρύςκεται ςτη θϋςη Β τησ κατακόρυφησ διαμϋτρου και απϋχει απόςταςη R/ από το Κ θα εύναι : 3 u α. cm u 3 β. cm Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 5 γ. u cm 5. Ο δύςκοσ του ςχόματοσ κυλύεται χωρύσ να ολιςθαύνει ςε οριζόντιο επύπεδο. Η ταχύτητα του κϋντρου Ο εύναι uo. To ςημεύο Α βρύςκεται 6. Δακτύλιοσ και δύςκοσ με οπό, η μϊζα του οπούου εύναι ομογενώσ κατανεμημϋνη, όπωσ ςτο ςχόμα, ϋχουν την ύδια μϊζα και την ύδια ακτύνα. Αν ΙΔ και ΙΔΚ οι ροπϋσ αδρϊνειασ του δύςκου και του δακτυλύου αντύςτοιχα ωσ προσ ϊξονεσ κϊθετουσ ςτο επύπεδό τουσ που διϋρχονται από τα κϋντρα τουσ, τι ιςχύει; α. ΙΔ > ΙΔΚ. β. ΙΔ < ΙΔΚ. γ. ΙΔ = ΙΔΚ. Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 7.Ομογενόσ ςφαύρα μϊζασ m και ακτύνασ R κυλύεται χωρύσ να ολιςθαύνει ςε οριζόντιο επύπεδο. Η ταχύτητα του κϋντρου μϊζασ τησ ςφαύρασ εύναι υ cm. Η ροπό αδρϊνειασ τησ ςφαύρασ ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ τησ εύναι I cm = (/5)mR Η ολικό κινητικό ενϋργεια τησ ςφαύρασ εύναι : α. mucm 5 β. 7 mucm 0 γ. 9 mucm 0 Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 8. Ένασ κύλινδροσ που εύναι αρχικϊ ακύνητοσ και μπορεύ να περιςτραφεύ γύρω από το ςταθερό ϊξονϊ του δϋχεται την επύδραςη ςταθερόσ ροπόσ. Ση ςτροφορμό του κυλύνδρου ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο απεικονύζει το ςχόμα. Κ. Β.Φιρφιρής 54

155 55 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ β. πιο εύκολα ςτη θϋςη. γ. το ύδιο εύκολα και ςτισ δύο περιπτώςεισ. α. Ι. β. ΙΙ. γ. ΙΙΙ. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 9.. Σρεισ ςφαύρεσ αμελητϋων διαςτϊςεων που η κϊθε μύα ϋχει την ύδια μϊζα m, ςυνδϋονται μεταξύ τουσ με ρϊβδουσ αμελητϋασ μϊζασ και μόκουσ L, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Η ςυνολικό ροπό των δύο αντύρροπων δυνϊμεων F και F του ςχόματοσ, που ϋχουν ύδιο μϋτρο, εύναι : α. μεγαλύτερη ωσ προσ το ςημεύο Κ. β. μεγαλύτερη ωσ προσ το ςημεύο Μ. γ. ανεξϊρτητη του ςημεύου ωσ προσ το οπούο υπολογύζεται. 0. Ένασ κύβοσ και μύα ςφαύρα ύδιασ μϊζασ αφόνονται να κινηθούν από το ύδιο ύψοσ δύο διαφορετικών κεκλιμϋνων επιπϋδων. Ο κύβοσ ολιςθαύνει χωρύσ τριβϋσ ςτο ϋνα και η ςφαύρα κυλύεται χωρύσ ολύςθηςη ςτο ϊλλο. Για τισ ταχύτητεσ του κύβου και του κϋντρου μϊζασ τησ ςφαύρασ ςτη βϊςη των κεκλιμϋνων επιπϋδων ιςχύει ότι α. μεγαλύτερη εύναι η ταχύτητα του κύβου. β. μεγαλύτερη εύναι η ταχύτητα τησ ςφαύρασ. γ. οι ταχύτητεσ εύναι ύςεσ. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ.. Η ομογενόσ ρϊβδοσ AB του ςχόματοσ μπορεύ να περιςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ γύρω από τον ϊξονα ςυμμετρύασ (ξ) του ςχόματοσ. Οι δύο ςφαύρεσ, μϊζασ m καθεμιϊ μπορούν να μετακινούνται κατϊ μόκοσ τησ ρϊβδου. Σο ςύςτημα περιςτρϋφεται ςε οριζόντιο επύπεδο γύρω από κατακόρυφο ϊξονα που διϋρχεται από μύα από τισ ςφαύρεσ. Η ροπό αδρϊνειασ του ςυςτόματοσ ωσ προσ αυτόν τον ϊξονα εύναι: α. ml β. ml γ. 3mL Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 3. ώμα ακύνητο αρχύζει τη χρονικό ςτιγμό t=0 να περιςτρϋφεται γύρω από ςταθερό ϊξονα με ςταθερό γωνιακό επιτϊχυνςη. Αν τη χρονικό ςτιγμό t η κινητικό ενϋργεια λόγω τησ περιςτροφόσ εύναι K και τη χρονικό ςτιγμό t=t εύναι Κ, τότε: α. Κ=Κ β. Κ=4Κ γ. Κ=8Κ Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 4. τη θϋςη Α οριζόντιου δύςκου βρύςκεται ϋνα παιδύ και το ςύςτημα παιδύ-δύςκοσ περιςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ, με γωνιακό ταχύτητα ω, γύρω από κατακόρυφο ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο του δύςκου Ο. B A O Η ρϊβδοσ ξεκινϊ να περιςτρϋφεται : α. πιο εύκολα ςτη θϋςη. Αν το παιδύ μετακινηθεύ από την θϋςη Α ςτη θϋςη Β του δύςκου (ςχόμα),τότε η γωνιακό ταχύτητα : α. θα αυξηθεύ Κ. Β.Φιρφιρής 55

156 56 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ β. θα παραμεύνει η ύδια γ. θα μειωθεύ Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ 5.Να εξηγόςετε γιατύ η χρονικό διϊρκεια τησ περιςτροφόσ τησ γησ γύρω από τον εαυτό τησ παραμϋνει ςταθερό, δηλαδό 4 ώρεσ. 6. τερεό ςώμα περιςτρϋφεται γύρω από ςταθερό ϊξονα με γωνιακό ταχύτητα ω. Αν η ροπό αδρϊνειασ του ςώματοσ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του εύναι Ι, να αποδεύξετε ότι η κινητικό ενϋργεια του ςώματοσ λόγω τησ ςτροφικόσ του κύνηςησ δύνεται από τη ςχϋςη K= Iω 7. Ένα ομογενϋσ ςώμα με κανονικό γεωμετρικό ςχόμα κυλύεται, χωρύσ να ολιςθαύνει. Η κινητικό ενϋργεια του ςώματοσ λόγω τησ μεταφορικόσ κύνηςησ εύναι ύςη με την κινητικό του ενϋργεια λόγω τησ ςτροφικόσ κύνηςησ γύρω από τον ϊξονα που περνϊ από το κϋντρο μϊζασ του. Σο γεωμετρικό ςχόμα του ςώματοσ εύναι: α. ςφαύρα. β. λεπτόσ δακτύλιοσ. γ. κύλινδροσ. Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 8. Yποθϋτουμε ότι κλιματολογικϋσ ςυνθόκεσ επιβϊλλουν την μετανϊςτευςη του πληθυςμού τησ Γησ προσ τισ πολικϋσ ζώνεσ. Η κινητικό ενϋργεια λόγω περιςτροφόσ τησ Γησ γύρω από τον ϊξονϊ τησ: α. θα μεύνει ςταθερό. β. θα ελαττωθεύ. γ. θα αυξηθεύ. Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 9. το ςχόμα φαύνεται ϋνασ ομογενόσ ςυμπαγόσ κυκλικόσ δύςκοσ (Ι) και ϋνασ ομογενόσ ςυμπαγόσ κυκλικόσ δακτύλιοσ (ΙΙ), που ϋχουν την ύδια ακτύνα και την ύδια μϊζα. Κϊποια χρονικό ςτιγμό αςκούνται ςτα ςώματα αυτϊ δυνϊμεισ ύδιου μϋτρου, εφαπτόμενεσ ςτην περιφϋρεια. Οι γωνιακϋσ επιταχύνςεισ που θα αποκτόςουν θα εύναι α. α I = α ΙΙ. β. α I < α ΙΙ. γ. α I > α ΙΙ. Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 0. ε ϋνα ακύνητο ρολόι που βρύςκεται ςε κανονικό λειτουργύα, ο λόγοσ τησ ςτροφορμόσ του λεπτοδεύκτη (L) προσ την ςτροφορμό του ωροδεύκτη (L), ωσ προσ τον κοινό ϊξονα L περιςτροφόσ τουσ, εύναι =λ όπου λ θετικό L ςταθερϊ. Ο λόγοσ των κινητικών ενεργειών Κ τουσ αντύςτοιχα εύναι : Κ α. 6λ. β. λ. γ. 4λ. Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη. Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ.. Φορεύτρια ςτρϋφεται, χωρύσ τριβϋσ, ϋχοντασ ανοιχτϊ τα δυο τησ χϋρια με ςταθερό γωνιακό ταχύτητα μϋτρου ω. Η χορεύτρια ςυμπτύςςοντασ τα χϋρια τησ αυξϊνει το μϋτρο τησ γωνιακόσ ταχύτητασ περιςτροφόσ τησ, ςε 5 ω. Ο λόγοσ τησ αρχικόσ προσ την τελικό ροπό αδρϊνειασ τησ χορεύτριασ, ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ τησ, εύναι: α. β. 5 γ. 5 Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη. Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ.. το ςχόμα φαύνεται ςε τομό το ςύςτημα δύο ομοαξονικών κυλύνδρων με ακτύνεσ R, R με R >R που μπορεύ να περιςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ γύρω από οριζόντιο ϊξονα, ο οπούοσ ςυμπύπτει με τον κατϊ μόκοσ ϊξονα ςυμμετρύασ των κυλύνδρων. Κ. Β.Φιρφιρής 56

157 57 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ γ. ύςη με την αρχικό ςυχνότητα f 0. Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτο ςωςτό ςυμπλόρωμα. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. Εξαιτύασ των ύςων βαρών w που κρϋμονται από τουσ δύο κυλύνδρουσ, πώσ θα περιςτραφεύ το ςύςτημα; α. ςύμφωνα με τη φορϊ περιςτροφόσ των δεικτών του ρολογιού β. αντύθετα προσ τη φορϊ περιςτροφόσ των δεικτών του ρολογιού. Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 3. Δύο ομογενεύσ δακτύλιοι Α, Β των οπούων το πϊχοσ εύναι αμελητϋο ςε ςχϋςη με την ακτύνα τουσ, ϋχουν την ύδια μϊζα και ακτύνεσ R A, R B όπου R A >R B. Οι δακτύλιοι περιςτρϋφονται ο καθϋνασ γύρω από ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο τουσ και εύναι κϊθετοσ ςτο επύπεδό τουσ με την ύδια γωνιακό ταχύτητα. Ποιοσ από τουσ δύο δακτυλύουσ ϋχει μεγαλύτερη κινητικό ενϋργεια λόγω περιςτροφόσ; Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 4. Δύο ομογενεύσ κυκλικού δακτύλιοι Δ και Δ με ακτύνεσ R και R, κυλύονται ςε οριζόντιο επύπεδο με ςταθερϋσ γωνιακϋσ ταχύτητεσ 3ω και ω, αντύςτοιχα. Ο λόγοσ των ταχυτότων των κϋντρων μϊζασ των δακτυλύων Δ και Δ, εύναι : α. 3/ β. / γ. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 5. Ένασ απομονωμϋνοσ ομογενόσ αςτϋρασ ςφαιρικού ςχόματοσ ακτύνασ R ςτρϋφεται γύρω από τον εαυτό του (ιδιοπεριςτροφό) με ςυχνότητα f 0. O αςτϋρασ ςυρρικνώνεται λόγω βαρύτητασ διατηρώντασ το ςφαιρικό του ςχόμα και την αρχικό του μϊζα. ε κϊποιο ςτϊδιο τησ ςυρρύκνωςόσ του η νϋα ςυχνότητα ιδιοπεριςτροφόσ του θα εύναι α. μεγαλύτερη από την αρχικό ςυχνότητα f 0. β. μικρότερη από την αρχικό ςυχνότητα f Μια λεπτό και ομογενόσ ρϊβδοσ ΑΒ μπορεύ να περιςτρϋφεται εύτε γύρω από τον ϊξονα x εύτε γύρω από τον ϊξονα y. Οι ϊξονεσ αυτού εύναι κϊθετοι ςτη ρϊβδο και βρύςκονται εκατϋρωθεν του μϋςου Ο τησ ρϊβδου. Αν α, β εύναι η απόςταςη κϊθε ϊξονα από τα ϊκρα τησ ρϊβδου, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα, και ιςχύει α > β ο λόγοσ των ροπών αδρϊνειασ τησ ρϊβδου Ι x, Ι y ωσ προσ τουσ ϊξονεσ x,y αντύςτοιχα εύναι : α. Ι x = I y β. Ι x > I y γ. Ι x < Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό ςχϋςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 7. Η οριζόντια ρϊβδοσ του ςχόματοσ εύναι αβαρόσ, η ςημειακό μϊζα m εύναι τετραπλϊςια από τη ςημειακό μϊζα m, και το μόκοσ d εύναι διπλϊςιο από το μόκοσ d. Σο ςύςτημα περιςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ γύρω από τον κατακόρυφο ϊξονα z z. Η ροπό αδρϊνειασ τησ μϊζασ m ωσ προσ τον ϊξονα z z εύναι α. μεγαλύτερη από β. μικρότερη από γ. ύςη με τη ροπό αδρϊνειασ τησ μϊζασ m ωσ προσ τον ύδιο ϊξονα. I y Κ. Β.Φιρφιρής 57

158 58 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 8.Σροχόσ αρχικϊ ακύνητοσ, αρχύζει (t=0) και περιςτρϋφεται υπό την επύδραςη ςταθερόσ ροπόσ, γύρω από ςταθερό ϊξονα, που διϋρχεται από το κϋντρο του και εύναι κϊθετοσ ςτο επύπεδό του. Η κινητικό ενϋργεια K του τροχού ωσ ςυνϊρτηςη του χρόνου απεικονύζεται ςτο ςχόμα: 30. Μύα δοκόσ κινεύται πϊνω ςε δύο όμοιουσ κυλύνδρουσ, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα, χωρύσ να ολιςθαύνει. Οι κύλινδροι κυλύονται ςτο οριζόντιο δϊπεδο χωρύσ να ολιςθαύνουν. Αν η δοκόσ μετατοπιςτεύ κατϊ 0 cm ο κϊθε κύλινδροσ θα μετατοπιςτεύ κατϊ α. 0 cm β. 5 cm γ. 0 cm Να επιλϋξετε το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό τιμό. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. Να αιτιολογόςετε την επιλογό ςασ. 9. Σροχαλύα μπορεύ να περιςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ γύρω από ακλόνητο οριζόντιο ϊξονα που περνϊ από το κϋντρο μϊζασ τησ. Γύρω από την τροχαλύα εύναι τυλιγμϋνο αβαρϋσ και μη εκτατό νόμα. 3. Ένασ δύςκοσ Δ με ροπό αδρϊνειασ Ι ςτρϋφεται με γωνιακό ταχύτητα ω και φορϊ περιςτροφόσ όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα, γύρω από ςταθερό κατακόρυφο ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο του και εύναι κϊθετοσ ςτο επύπεδό του. Ένασ δεύτεροσ δύςκοσ Δ με ροπό αδρϊνειασ Ι=Ι/4, που αρχικϊ εύναι ακύνητοσ, τοποθετεύται πϊνω ςτο δύςκο Δ, ενώ αυτόσ περιςτρϋφεται, ϋτςι ώςτε να ϋχουν κοινό ϊξονα περιςτροφόσ, που διϋρχεται από τα κϋντρα των δύο δύςκων, όπωσ δεύχνει το ςχόμα. Μετϊ από λύγο οι δύο δύςκοι αποκτούν κοινό γωνιακό ταχύτητα ω. Όταν ςτο ελεύθερο ϊκρο του νόματοσ αςκούμε κατακόρυφη δύναμη με φορϊ προσ τα κϊτω μϋτρου F, η τροχαλύα αποκτϊ γωνιακό επιτϊχυνςη μϋτρου α γων, ενώ, όταν κρεμϊμε ςτο ελεύθερο ϊκρο του νόματοσ ςώμα βϊρουσ w = F η τροχαλύα αποκτϊ γωνιακό επιτϊχυνςη α γων,. Ιςχύει: α. α γων, = α γων,, β. α γων, > α γων,, γ. α γων, < α γων,. Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. Αν L εύναι το μϋτρο τησ αρχικόσ ςτροφορμόσ του δύςκου Δ, τότε το μϋτρο τησ μεταβολόσ τησ ςτροφορμόσ του δύςκου Δ εύναι: i) 0 ii) /5L iii) /5 L α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. Η κοινό γωνιακό ταχύτητα ω των δύο δύςκων εύναι: i) ω=/5 ω ii.) ω=4/5 ω iii.) ω=/5 ω α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. Κ. Β.Φιρφιρής 58

159 59 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 3. Οριζόντιοσ, αρχικϊ ακύνητοσ, δύςκοσ μπορεύ να ςτρϋφεται γύρω από ςταθερό ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο του και εύναι κϊθετοσ ςτο επύπεδό του. Σο αλγεβρικό ϊθροιςμα των ροπών που αςκούνται ςτο δύςκο μεταβϊλλεται ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο, όπωσ φαύνεται ςτο ςχήμα 3. Σότε, η γωνιακό ταχύτητα του δύςκου ϋχει τη μϋγιςτη τιμό τησ τη χρονικό ςτιγμό i. t ii. t iii. t3 α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 33. Αθλότρια του καλλιτεχνικού πατινϊζ περιςτρϋφεται γύρω από κατακόρυφο ϊξονα που περνϊει από το κϋντρο μϊζασ τησ. Οι εξωτερικϋσ δυνϊμεισ που αςκούνται ςτην αθλότρια δεν δημιουργούν ροπό ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ τησ και οι τριβϋσ με τον πϊγο εύναι αμελητϋεσ. Αν κϊποια ςτιγμό ςυμπτύξει τα χϋρια τησ, ενώ ςυνεχύζει να ςτρϋφεται γύρω από τον ύδιο ϊξονα, η κινητικό ενϋργεια λόγω περιςτροφόσ τησ αθλότριασ: i) παραμϋνει ςταθερό ii) μειώνεται iii) αυξϊνεται α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να αιτιολογόςετε την απϊντηςό ςασ. 34. Λεπτό ομογενόσ ρϊβδοσ μϊζασ Μ και μόκουσ L μπορεύ να περιςτρϋφεται ςε κατακόρυφο επύπεδο, γύρω από οριζόντιο ϊξονα που διϋρχεται από το ϋνα ϊκρο τησ. το ϊλλο ϊκρο τησ ρϊβδου, εύναι ςτερεωμϋνο ςφαιρύδιο μϊζασ m=m/ (χόμα ). Ση χρονικ ό ςτιγμό που το ςύςτημα ρϊβδου -ς φ α ι ρ ι δ ύ ο υ αφ ό νε τ α ι να κ ι νη θ ε ύ από τ η ν ο ρ ι ζ ό ντ ι α θ ϋ ς η, ο ρυθμόσ μ ε τ α β ο λ ό σ τ η σ ς τ ρ ο φ ο ρ μ ό σ τ η σ ρ ϊ β δ ο υ ε ύ να ι : ΔLp ΔLp ΔLp α. MgL β. MgL γ. MgL Δt Δt Δt 5 Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη, αιτιολογώντασ την επιλογό ςασ. Δύνεται ότι η ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ τησ που περνϊ από το ϊκρο τησ εύναι Ιp= ΜL Η αβαρόσ λεπτό ρϊβδοσ του παρακϊτω ςχόματοσ εύναι οριζόντια και μπορεύ να ςτρϋφεται γύρω από κατακόρυφο ϊξονα, που διϋρχεται από το μϋςο τησ Κ. ε απόςταςη d από τον ϊξονα περιςτροφόσ βρύςκονται δύο μικρϋσ μεταλλικϋσ χϊντρεσ ύδιασ μϊζασ m, οι οπούεσ ςυνδϋονται μεταξύ τουσ με νόμα. Σο ςύςτημα ςτρϋφεται με γωνιακό ταχύτητα ω. Κϊποια ςτιγμό το νόμα κόβεται, οπότε οι χϊντρεσ κολλϊνε ςτα ϊκρα τησ ρϊβδου. Η νϋα γωνιακό ταχύτητα με την οπούα ςτρϋφεται το ςύςτημα εύναι: i. μεγαλύτερη από την αρχικό ii. μικρότερη από την αρχικό iii. ύςη με την αρχικό. α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. Κ. Β.Φιρφιρής 59

160 60 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Σ. -3 ο Θέμα. Ομογενόσ δοκόσ ΑΒ μόκουσ L=3m και βϊρουσ w=50ν ιςορροπεύ οριζόντια, ςτηριζόμενη ςτο ϊκρο Α και ςτο ςημεύο Γ, που απϋχει από το ϊλλο ϊκρο Β απόςταςη d=0,5m, όπωσ φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμα. ϋχει προςδεθεύ το ϋνα ϊκρο κατακόρυφου αβαρούσ νόματοσ ςταθερού μόκουσ, με το επϊνω ϊκρο του ςυνδεδεμϋνο ςτην οροφό, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. α. Να υπολογύςετε τισ δυνϊμεισ που αςκούν τα ςτηρύγματα ςτη δοκό ςτα ςημεύα Α και Γ. β. το ϊκρο Β τησ δοκού τοποθετεύται ςώμα βϊρουσ w και παρατηρούμε ότι η δύναμη που αςκεύται ςτη δοκό από το ςτόριγμα ςτο ϊκρο Α ελαττώνεται ςτο μιςό. Να υπολογύςτε το βϊροσ w του ςώματοσ..κυκλικό ςτεφϊνη ακτύνασ R=0,m και μϊζασ m=kg κυλύεται χωρύσ να ολιςθαύνει, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Η ταχύτητα του κϋντρου μϊζασ Κ εύναι υcm=0m/s. Η ροπό αδρϊνειασ τησ ςτεφϊνησ ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ τησ και εύναι κϊθετοσ προσ το επύπεδό τησ εύναι Ιcm= mr. Ο εύναι το κατώτατο και A το ανώτατο ςημεύο τησ ςτεφϊνησ. Η ευθεύα ΚΒ εύναι παρϊλληλη ςτο δϊπεδο. Να υπολογύςετε: α. τα μϋτρα των ταχυτότων ςτα ςημεύα Ο, Α και Β τησ ςτεφϊνησ. β. τη γωνιακό ταχύτητα τησ ςτεφϊνησ. γ. τη ροπό αδρϊνειασ τησ ςτεφϊνησ ωσ προσ το ςημεύο Ο. δ. την κινητικό ενϋργεια τησ ςτεφϊνησ. 3. Ομογενόσ και ιςοπαχόσ ρϊβδοσ μόκουσ L=4m και μϊζασ M=kg ιςορροπεύ οριζόντια. Σο ϊκρο Α τησ ρϊβδου ςυνδϋεται με ϊρθρωςη ςε κατακόρυφο τούχο. ε ςημεύο Κ τησ ρϊβδου το ςημεύο Γ ιςορροπεύ ομογενόσ ςφαύρα μϊζασ m=,5kg και ακτύνασ r=0,m. Δύνονται : ΑΚ=L/4, AΓ=3L/4 α. Να υπολογιςθεύ το μϋτρο τησ δύναμησ που αςκεύ το νόμα ςτη ρϊβδο. Ση χρονικό ςτιγμό t=0 αςκεύται ςτο κϋντρο μϊζασ τησ ςφαύρασ με κατϊλληλο τρόπο, ςταθερό οριζόντια δύναμη μϋτρου F=7N, με φορϊ προσ το ϊκρο Β. Η ςφαύρα κυλύεται χωρύσ να ολιςθαύνει. β. Να υπολογιςθεύ το μϋτρο τησ επιτϊχυνςησ του κϋντρου μϊζασ τησ ςφαύρασ κατϊ την κύνηςό τησ. γ. Να υπολογιςθεύ το μϋτρο τησ ταχύτητασ του κϋντρου μϊζασ τησ ςφαύρασ όταν φθϊςει ςτο ϊκρο Β. δ. Να υπολογιςθεύ το μϋτρο τησ ςτροφορμόσ τησ ςφαύρασ όταν φθϊςει ςτο ϊκρο Β. Δύνονται: η ροπό αδρϊνειασ τησ ςφαύρασ μϊζασ m ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ τησ I= mr και g=0m/s Σο γιο-γιο του ςχόματοσ αποτελεύται από ομογενό ςυμπαγό κύλινδρο που ϋχει μϊζα m=0,kg και ακτύνα R=,5 0 m.. Γύρω από τον κύλινδρο ϋχει τυλιχτεύ νόμα. Ση χρονικό ςτιγμό t=0 αφόνουμε τον κύλινδρο να πϋςει. Σο νόμα ξετυλύγεται και ο κύλινδροσ περιςτρϋφεται γύρω από νοητό οριζόντιο ϊξονα x x, ο οπούοσ ταυτύζεται με τον ϊξονα Κ. Β.Φιρφιρής 60

161 6 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ςυμμετρύασ του. Σο νόμα ςε όλη τη διϊρκεια τησ κύνηςησ του κυλύνδρου παραμϋνει κατακόρυφο και τεντωμϋνο και δεν ολιςθαύνει ςτην περιφϋρεια του κυλύνδρου. Ση ςτιγμό που ϋχει ξετυλιχτεύ νόμα μόκουσ l=0r, η ταχύτητα του κϋντρου μϊζασ του κυλύνδρου εύναι υ cm =m/s. α. Να υπολογύςετε τη ροπό αδρϊνειασ του κυλύνδρου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του. (Ο τύποσ που μασ δύνει τη ροπό αδρϊνειασ του κυλύνδρου ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ του, δεν θεωρεύται γνωςτόσ). β. Να υπολογύςετε το μϋτρο του ρυθμού μεταβολόσ τησ ςτροφορμόσ του κυλύνδρου, καθώσ αυτόσ κατϋρχεται. γ. Ση χρονικό ςτιγμό που η ταχύτητα του κϋντρου μϊζασ του κυλύνδρου εύναι υ cm =m/s, το νόμα κόβεται. Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ ςτροφορμόσ του κυλύνδρου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του μετϊ την πϊροδο χρόνου 0,8s από τη ςτιγμό που κόπηκε το νόμα. δ. Να κϊνετε ςε βαθμολογημϋνουσ ϊξονεσ το διϊγραμμα του μϋτρου τησ ςτροφορμόσ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο από τη χρονικό ςτιγμό t=0, μϋχρι τη χρονικό ςτιγμό που αντιςτοιχεύ ςε χρόνο 0,8s από τη ςτιγμό που κόπηκε το νόμα. Δύνεται g=0m/s 5. Η ρϊβδοσ ΟΑ του ςχόματοσ με μόκοσ L = m και μϊζα Μ = 6 kg εύναι οριζόντια και περιςτρϋφεται υπό την επύδραςη οριζόντιασ δύναμησ F που ϋχει ςταθερό μϋτρο και εύναι διαρκώσ κϊθετη ςτη ρϊβδο, ςτο ϊκρο τησ Α. Η περιςτροφό γύνεται γύρω από ςταθερό κατακόρυφο ϊξονα που διϋρχεται από το Ο. Αρχικϊ η ρϊβδοσ εύναι ακύνητη. Οι τριβϋσ θεωρούνται αμελητϋεσ. Να υπολογιςτούν: α. Η τιμό τησ δύναμησ F, αν γνωρύζουμε ότι το ϋργο που ϋχει προςφϋρει η δύναμη ςτη διϊρκεια τησ πρώτησ περιςτροφόσ εύναι 30πJ. β. Η γωνιακό επιτϊχυνςη τησ ρϊβδου. γ. Ο ρυθμόσ με τον οπούο η δύναμη μεταφϋρει ενϋργεια ςτη ρϊβδο ςτο τϋλοσ τησ πρώτησ περιςτροφόσ. Δύνονται: 30π=9,7 Η ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ τησ και εύναι κϊθετοσ ςτη ρϊβδο I cm= ML 6.Οριζόντιοσ ομογενόσ και ςυμπαγόσ δύςκοσ, μϊζασ Μ=3Kg και ακτύνασ R=0,m, μπορεύ να περιςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ γύρω από κατακόρυφο ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο του. Ση χρονικό ςτιγμό t=0 αςκούμε ςτο δύςκο δύναμη F ςταθερού μϋτρου 3Ν που εφϊπτεται ςτην περιφϋρειϊ του, οπότε ο δύςκοσ αρχύζει να περιςτρϋφεται. Κϊποια χρονικό ςτιγμό ο δύςκοσ ϋχει κινητικό ενϋργεια K=75J. Να υπολογύςετε : α. τη ροπό αδρϊνειασ του δύςκου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του. β. τη γωνιακό επιτϊχυνςη του δύςκου. γ. τη γωνιακό του ταχύτητα τη χρονικό ςτιγμό t δ. τη ροπό αδρϊνειασ του δύςκου, αν η περιςτροφό του γινόταν γύρω από κατακόρυφο ϊξονα που περνϊει από το μϋςον μιασ ακτύνασ του. Η ροπό αδρϊνειασ του παραπϊνω δύςκου, ωσ προσ ϊξονα που εύναι κϊθετοσ ςτο επύπεδό του και διϋρχεται από το κϋντρο του, δύνεται από τη ςχϋςη I cm= ΜR 7. Ομογενόσ δύςκοσ μϊζασ m = 40 kg και ακτύνασ R = 0 cm ςτρϋφεται με γωνιακό ςυχνότητα ω = 5 rad/s γύρω από ςταθερό ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο του και εύναι κϊθετοσ ς αυτόν. Να υπολογύςετε: α. Σην κινητικό ενϋργεια του δύςκου λόγω τησ περιςτροφόσ του. β. Σο μϋτρο τησ αρχικόσ ςτροφορμόσ του δύςκου. γ. Ση μϋςη ιςχύ τησ ροπόσ (ςε απόλυτη τιμό) που θα ακινητοποιόςει το δύςκο ςε χρόνο 5 s. δ. Σο μϋτρο τησ ςταθερόσ ροπόσ που ακινητοποιεύ το δύςκο ςε χρόνο 5 s. Κ. Β.Φιρφιρής 6

162 6 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Δύνεται ότι η ροπό αδρϊνειασ του δύςκου ωσ mr προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του εύναι I= 8. Ομογενόσ και ιςοπαχόσ δοκόσ (ΟΑ), μϊζασ M=6 kg και μόκουσ l=0,3 m, μπορεύ να ςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ ςε κατακόρυφο επύπεδο γύρω από οριζόντιο ϊξονα που περνϊ από το ϋνα ϊκρο τησ Ο. το ϊλλο τησ ϊκρο Α υπϊρχει ςτερεωμϋνη μικρό ςφαύρα μϊζασ m= M 9. υμπαγόσ ομογενόσ δύςκοσ, μϊζασ Μ= kg και ακτύνασ R=0, m, εύναι προςδεδεμϋνοσ ςε ιδανικό ελατόριο, ςταθερϊσ k=00 N/m ςτο ςημεύο Α και ιςορροπεύ πϊνω ςε κεκλιμϋνο επύπεδο, που ςχηματύζει γωνύα φ=45ο με το οριζόντιο επύπεδο, όπωσ ςτο ςχόμα. Σο ελατόριο εύναι παρϊλληλο ςτο κεκλιμϋνο επύπεδο και ο ϊξονασ του ελατηρύου απϋχει απόςταςη d= R από το κϋντρο (Ο) του δύςκου. Σο ϊλλο ϊκρο του ελατηρύου εύναι ςτερεωμϋνο ακλόνητα ςτο ςημεύο Γ. A. Βρεύτε την ροπό αδρϊνειασ του ςυςτόματοσ δοκού-ςφαύρασ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του. Αςκούμε ςτο ϊκρο Α δύναμη, ςταθερού μϋτρου F= 0 Ν που εύναι ςυνεχώσ κϊθετη ςτη δοκό, π όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. B. Βρεύτε το ϋργο τησ δύναμησ F κατϊ την περιςτροφό του ςυςτόματοσ μϋχρι την οριζόντια θϋςη τησ. Γ. Βρεύτε την γωνιακό ταχύτητα του ςυςτόματοσ δοκού- ςφαύρασ ςτην οριζόντια θϋςη. Επαναφϋρουμε το ςύςτημα δοκού-ςφαύρασ ςτην αρχικό κατακόρυφη θϋςη του. Αςκούμε ςτο ϊκρο Α δύναμη, ςταθερού μϋτρου F =30 3 N Δ. Βρεύτε τη γωνύα που ςχηματύζει η δοκόσ με την κατακόρυφο τη ςτιγμό που η κινητικό τησ ενϋργεια γύνεται μϋγιςτη. m Δύνονται: g=0, ροπό αδρϊνειασ s ομογενούσ δοκού μϊζασ Μ και μόκουσ l, ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ τησ και εύναι κϊθετοσ ςε αυτόν I CM= M, ημ60 =συν30 =, ημ30 =συν60 = A. Να υπολογύςετε την επιμόκυνςη του ελατηρύου. B. Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ ςτατικόσ τριβόσ και να προςδιορύςετε την κατεύθυνςό τησ. Κϊποια ςτιγμό το ελατόριο κόβεται ςτο ςημεύο Α και ο δύςκοσ αμϋςωσ κυλύεται, χωρύσ να ολιςθαύνει, κατϊ μόκοσ του κεκλιμϋνου επιπϋδου. Γ. Να υπολογύςετε την επιτϊχυνςη του κϋντρου μϊζασ του δύςκου. Δ. Να υπολογύςετε τη ςτροφορμό του δύςκου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του, όταν το κϋντρο μϊζασ του ϋχει μετακινηθεύ κατϊ διϊςτημα s=0,3 m ςτη διεύθυνςη του κεκλιμϋνου επιπϋδου. Δύνονται: η ροπό αδρϊνειασ ομογενούσ ςυμπαγούσ δύςκου ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται κϊθετα από το κϋντρο του I= MR, η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ g=0m/s, ημ45 0 Κ. Β.Φιρφιρής 6

163 63 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 0. Μια ομογενόσ ρϊβδοσ ΑΒ που ϋχει μόκοσ l=3 m και μϊζα Μ=6 kg ϋχει ςτο ϋνα ϊκρο τησ Β μόνιμα ςτερεωμϋνο ϋνα ςώμα μικρών διαςτϊςεων μϊζασ m= kg. H ρϊβδοσ ςτηρύζεται με το ϊλλο ϊκρο τησ Α ςε κατακόρυφο τούχο μϋςω ϊρθρωςησ. Η ρϊβδοσ ςυγκρατεύται ςε θϋςη ιςορροπύασ, ςχηματύζοντασ γωνύα φ με την κατακόρυφο, με νόμα το οπούο εύναι ςυνδεδεμϋνο ςτον τούχο και ςτο μϋςο (Κ) τησ ρϊβδου και εύναι κϊθετο ςε αυτό, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Να υπολογύςετε: A. Ση ροπό αδρϊνειασ του ςυςτόματοσ ρϊβδου-ςώματοσ ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το ςημεύο Α και εύναι κϊθετοσ ςτη ρϊβδο. B. Σο μϋτρο τησ τϊςησ του νόματοσ. Κϊποια ςτιγμό το νόμα κόβεται και η ρϊβδοσ μαζύ με το ςώμα αρχύζει να περιςτρϋφεται ςτο επύπεδο του ςχόματοσ, χωρύσ τριβϋσ. Να υπολογύςετε: Γ.Σο μϋτρο τησ γωνιακόσ επιτϊχυνςησ τησ ρϊβδου μόλισ κοπεύ το νόμα. Δ. Σο μϋτρο τησ ταχύτητασ του ςημεύου Β τησ ρϊβδου όταν αυτό γύνει οριζόντια για πρώτη φορϊ. Δύνονται: ςυνφ=0,8, ημφ=0,6, η ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ I A M και η επιτϊχυνςη 3 τησ βαρύτητασ g=0 m/s.. Ομογενόσ και ιςοπαχόσ δοκόσ (ΟΑ), μϊζασ M=6 kg και μόκουσ l=0,3 m, μπορεύ να ςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ ςε κατακόρυφο επύπεδο γύρω από οριζόντιο ϊξονα που περνϊ από το ϋνα ϊκρο τησ Ο. το ϊλλο τησ ϊκρο Α υπϊρχει ςτερεωμϋνη μικρό ςφαύρα μϊζασ m= M. A.Βρεύτε την ροπό αδρϊνειασ του ςυςτόματοσ δοκού-ςφαύρασ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του. Αςκούμε ςτο ϊκρο Α δύναμη, ςταθερού μϋτρου F= 0 Ν που εύναι ςυνεχώσ κϊθετη π ςτη ρϊβδο, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. B.Βρεύτε το ϋργο τησ δύναμησ F κατϊ την περιςτροφό του ςυςτόματοσ δοκού-ςφαύρασ μϋχρι την οριζόντια θϋςη ΙΙ. Γ. Βρεύτε την γωνιακό ταχύτητα του ςυςτόματοσ δοκού- ςφαύρασ ςτην οριζόντια θϋςη ΙΙ. Η δοκόσ με τη μικρό ςφαύρα αφόνεται ελεύθερη από την οριζόντια θϋςη τησ ΙΙ, χωρύσ αρχικό γωνιακό ταχύτητα. Υτϊνοντασ ςτην κατακόρυφη θϋςη Ι, ςυγκρούεται με ακύνητο ςφαιρύδιο, μϊζασ m= M που εύναι δεμϋνο ςτο ϊκρο νόματοσ μόκουσ l και το ϊλλο ϊκρο ςτερεωμϋνο ςτο Ο. Σο ςύςτημα δοκούςφαύρασ μετϊ την κρούςη παραμϋνει ακύνητο. Δ. Βρεύτε την ταχύτητα τησ ςφαύρασ μϊζασ αμϋςωσ μετϊ την κρούςη. Δύνονται :g=0 m/s, ροπό αδρϊνειασ ομογενούσ δοκού μϊζασ Μ και μόκουσ l, ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ και εύναι κϊθετοσ ςε αυτό Ι CM= M. Λεπτό, ϊκαμπτη και ομογενόσ ρϊβδοσ ΑΓ μόκουσ l =, m και μϊζασ M = kg μπορεύ να περιςτρϋφεται ςε κατακόρυφο επύπεδο, χωρύσ τριβϋσ, γύρω από ςταθερό οριζόντιο ϊξονα κϊθετο ςτη ρϊβδο, ο οπούοσ διϋρχεται από το ςημεύο Ο ςε απόςταςη l/3 από το ϊκρο Α τησ ρϊβδου. Σο ϊκρο Γ τησ ρϊβδου ςυνδϋεται με αβαρϋσ νόμα που ςχηματύζει γωνύα φ = 30 ο με τη ρϊβδο, το ϊλλο ϊκρο του οπούου εύναι Κ. Β.Φιρφιρής 63

164 64 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ακλόνητα ςυνδεδεμϋνο ςε ςταθερό ςημεύο Δ όπωσ ςτο ςχόμα. Σο ςύςτημα αρχικϊ ιςορροπεύ ςε οριζόντια θϋςη. Κϊποια ςτιγμό το νόμα κόβεται. α. Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ δύναμησ που αςκεύ το νόμα ςτη ρϊβδο και το μϋτρο τησ δύναμησ που δϋχεται η ρϊβδοσ από τον ϊξονα περιςτροφόσ, πριν κοπεύ το νόμα. β.να υπολογύςετε β) τη ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ τησ β) τη γωνιακό επιτϊχυνςη τησ ρϊβδου τη χρονικό ςτιγμό κατϊ την οπούα κόβεται το νόμα. γ. Να υπολογύςετε την ταχύτητα του ϊκρου Γ τησ ρϊβδου τη χρονικό ςτιγμό κατϊ την οπούα η ρϊβδοσ διϋρχεται για πρώτη φορϊ από την κατακόρυφη θϋςη. δ. Να υπολογύςετε το μϋτρο του ρυθμού μεταβολόσ τησ ςτροφορμόσ τησ ρϊβδου τη χρονικό ςτιγμό που ςχηματύζει γωνύα 30 ο με την κατακόρυφο, μετϊ τη διϋλευςό τησ για πρώτη φορϊ από την κατακόρυφη θϋςη. Δύνονται: -Ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ το κϋντρο μϊζασ τησ Ι CM M -Η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ g=0m/s - ημ30 ο =, ςυν30ο = 3 Ζ. - 4 ο Θέμα. Ομογενόσ ςτερεϊ ρϊβδοσ ΟΑ, μόκουσ L = m και μϊζασ Μ = 0,3 kg μπορεύ να περιςτρϋφεται ελεύθερα (χωρύσ τριβϋσ) ςτο οριζόντιο επύπεδο, περύ κατακόρυφο ϊξονα που διϋρχεται από το ςταθερό ςημεύο Ο. το ϊκρο Α τησ ρϊβδου ςτερεώνεται ςφαιρύδιο μϊζασ m = 0, kg, και το ςύςτημα ρϊβδου και ςφαιριδύου περιςτρϋφεται με ςταθερό γωνιακό ταχύτητα ω = rad/s. το ύδιο οριζόντιο επύπεδο βρύςκεται δεύτερο ςφαιρύδιο, ύςησ μϊζασ με το, προςδεμϋνο ςτο ϊκρο αβαρούσ ελατηρύου, ςταθερϊσ Κ = 0 Ν/m. Ο ϊξονασ του ελατηρύου εύναι οριζόντιοσ και εφϊπτεται τησ κυκλικόσ τροχιϊσ του ςφαιριδύου (όπωσ ςτο ςχόμα). Σο ϊλλο ϊκρο του ελατηρύου εύναι ςτερεωμϋνο ακλόνητα. Οι διαςτϊςεισ των ςφαιριδύων εύναι αμελητϋεσ. Όταν η ταχύτητα u του ςφαιριδύου ϋχει τη διεύθυνςη του ϊξονα του ελατηρύου, το ςφαιρύδιο αποκολλϊται από τη ρϊβδο και κινούμενο ευθύγραμμα ςυγκρούεται με το ςφαιρύδιο με το οπούο ενςωματώνεται. Να βρεύτε: α. Ση ςτροφορμό του ςυςτόματοσ ρϊβδου ςφαιριδύου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ που διϋρχεται από το ςημεύο Ο. β. Σο μϋτρο υ τησ ταχύτητασ του ςφαιριδύου τη ςτιγμό που αποκολλϊται από τη ρϊβδο. γ. Σην περύοδο Σ τησ ταλϊντωςησ του ςυςτόματοσ ελατηρύου-ςυςςωματώματοσ και. δ. Σο πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ αυτόσ. Κ. Β.Φιρφιρής 64

165 65 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ (Δύνονται: Η ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ τον κατακόρυφο ϊξονα που διϋρχεται από το ςημεύο Ο, I 0= ML και π = 3,4) Ομογενόσ ρϊβδοσ μόκουσ l= m και μϊζασ Μ=3 kg, εύναι αναρτημϋνη από οριζόντιο ϊξονα Α, γύρω από τον οπούο μπορεύ να περιςτραφεύ ςε κατακόρυφο επύπεδο..μια ομογενόσ ρϊβδοσ ΑΒ που ϋχει μόκοσ l = m και μϊζα Μ = 6 kg, ϋχει ςτο ϊκρο τησ Β μόνιμα ςτερεωμϋνο ϋνα ςώμα μικρών διαςτϊςεων με μϊζα m=kg. Η ρϊβδοσ ςτηρύζεται με το ϊκρο τησ Α μϋςω ϊρθρωςησ και αρχικϊ διατηρεύται οριζόντια με τη βοόθεια νόματοσ, το ϋνα ϊκρο του οπούου εύναι δεμϋνο ςτο μϋςο τησ ρϊβδου και το ϊλλο ςτον κατακόρυφο τούχο, όπωσ ςτο ςχόμα. Η διεύθυνςη του νόματοσ ςχηματύζει γωνύα φ = 30 ο με την διεύθυνςη τησ ρϊβδου ςτην οριζόντια θϋςη ιςορροπύασ. Να υπολογύςετε: α. Σο μϋτρο τησ τϊςησ του νόματοσ. β. Ση ροπό αδρϊνειασ του ςυςτόματοσ ρϊβδου ςώματοσ ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το Α και εύναι κϊθετοσ ςτο επύπεδο του ςχόματοσ. Κϊποια ςτιγμό το νόμα κόβεται και η ρϊβδοσ μαζύ με το ςώμα που εύναι ςτερεωμϋνο ςτο ϊκρο τησ, αρχύζει να περιςτρϋφεται ςτο επύπεδο του ςχόματοσ. Θεωρώντασ τισ τριβϋσ αμελητϋεσ να υπολογύςετε το μϋτρο: γ. Σησ γωνιακόσ επιτϊχυνςησ του ςυςτόματοσ ρϊβδου-ςώματοσ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ, μόλισ κόβεται το νόμα. δ. Σησ ταχύτητασ του ςώματοσ ςτο ϊκρο τησ ρϊβδου, όταν αυτό φτϊνει ςτην κατακόρυφη θϋςη. Δύνονται: Για τη ρϊβδο η ροπό αδρϊνειασ ωσ προσ τον ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ και εύναι παρϊλληλοσ ςτον ϊξονα περιςτροφόσ τησ: I cm = (/) Ml, και η τον ύδιο ϊξονα Α εύναι δεμϋνο αβαρϋσ νόμα με το ύδιο μόκοσ l, ςτο ϊλλο ϊκρο του οπούου εύναι δεμϋνο ςφαιρύδιο μϊζασ m=0,5 kg. Αρχικϊ το νόμα εύναι τεντωμϋνο ςτο ύδιο κατακόρυφο επύπεδο και το ςφαιρύδιο βρύςκεται ςε ύψοσ h=0,8 m πϊνω από το κατώτερο ςημεύο τησ ρϊβδου. τη ςυνϋχεια το ςφαιρύδιο αφόνεται ελεύθερο και προςκρούει ςτο ϊκρο τησ ρϊβδου. Μετϊ την κρούςη το ςφαιρύδιο ακινητοποιεύται. Οι τριβϋσ θεωρούνται αμελητϋεσ. Να βρεύτε : α. Σην ταχύτητα του ςφαιριδύου λύγο πριν την κρούςη. β. Ση γωνιακό ταχύτητα τησ ρϊβδου αμϋςωσ μετϊ την κρούςη. γ. Ση γραμμικό ταχύτητα του κϋντρου μϊζασ Κ τησ ρϊβδου αμϋςωσ μετϊ την κρούςη. δ.σο ποςό τησ μηχανικόσ ενϋργειασ που μετατρϊπηκε ςε θερμικό κατϊ την κρούςη. ε. Ση μϋγιςτη ανύψωςη του κϋντρου μϊζασ τησ ρϊβδου. Δύνονται: Η ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ οριζόντιο ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ τησ: I cm = (/) Ml Η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ g = 0 m/s. επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ g= 0 m/s. Κ. Β.Φιρφιρής 65

166 66 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 4. το γιογιό του ςχόματοσ που ϋχει μϊζα Μ=6kg και ακτύνα R=0,m, ϋχει τυλιχτεύ πολλϋσ φορϋσ γύρω του λεπτό αβαρϋσ νόμα. Με ςταθερό το ϋνα ϊκρο του νόματοσ αφόνουμε το γιογιό να κατεβαύνει. Όταν αυτό ϋχει κατϋβει κατϊ h = (5/3) m αποκτϊ μεταφορικό ταχύτητα υcm=5m/s. Να βρεύτε: α. Ση μεταφορικό επιτϊχυνςη του κϋντρου μϊζασ του ςώματοσ. β. Ση γωνιακό επιτϊχυνςη του ςώματοσ και την τϊςη του νόματοσ. γ. Σο λόγο τησ ςτροφικόσ κινητικόσ ενϋργειασ προσ τη μεταφορικό κινητικό ενϋργεια του ςώματοσ, χωρύσ να θεωρόςετε γνωςτό τον τύπο τησ ροπόσ αδρϊνειασ του γιογιό. δ. Ση ςχϋςη που περιγρϊφει πώσ μεταβϊλλεται η ςτροφικό κινητικό ενϋργεια του ςώματοσ ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο. Δύνονται: g = 0 m/s. 5.Ομογενόσ και ςυμπαγόσ κύλινδροσ μϊζασ m=5kg και ακτύνασ R=0,m αφόνεται από την ηρεμύα (θϋςη Α) να κυλόςει κατϊ μόκοσ πλϊγιου επιπϋδου, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. A u cm Γ Ο κύλινδροσ κυλύεται χωρύσ να ολιςθαύνει. Ση ςτιγμό που το κϋντρο μϊζασ του κυλύνδρου ϋχει κατακόρυφη μετατόπιςη h (θϋςη Γ), η ταχύτητα του κϋντρου μϊζασ εύναι ucm=8m/s. Να υπολογύςετε : α. Ση γωνιακό ταχύτητα ω του κυλύνδρου ςτη θϋςη Γ. h β. Ση ςτροφορμό του κυλύνδρου ςτη θϋςη Γ. γ. Σην κατακόρυφη μετατόπιςη h. δ. Σον λόγο τησ μεταφορικόσ προσ την περιςτροφικό κινητικό ενϋργεια του κυλύνδρου ςε κϊποια χρονικό ςτιγμό, κατϊ τη διϊρκεια τησ κύνηςησ του. Δύνεται : Η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ g=0m/s. Η ροπό αδρϊνειασ του κυλύνδρου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του εύναι I= MR. 6. Ομογενόσ ρϊβδοσ ΑΓ μόκουσ L=m και μϊζασ Μ=3kg ιςορροπεύ οριζόντια, όπωσ ςτο ςχόμα. Σο ϊκρο Α τησ ρϊβδου ςτηρύζεται με ϊρθρωςη ςε κατακόρυφο τούχο. Σο ϊλλο ϊκρο Γ ςυνδϋεται με την οροφό με κατακόρυφο ςχοινύ. Κϊποια ςτιγμό κόβουμε το ςχοινύ και η ρϊβδοσ αφόνεται να περιςτραφεύ γύρω από την ϊρθρωςη χωρύσ τριβϋσ. Η ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου, ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ τησ και εύναι κϊθετοσ ς αυτό, εύναι: m Ι cm= ML, και g=0. s Να υπολογύςετε: α. τη δύναμη που δϋχεται η ρϊβδοσ από το ςχοινύ, όταν αυτό ιςορροπεύ. β. το μϋτρο τησ γωνιακόσ επιτϊχυνςησ τη ςτιγμό που κόβεται το ςχοινύ και η ρϊβδοσ εύναι οριζόντια. γ. το μϋτρο τησ γωνιακόσ ταχύτητασ τησ ρϊβδου ςτην κατακόρυφη θϋςη τησ. δ το ρυθμό μεταβολόσ τησ ςτροφορμόσ ςτην κατακόρυφη θϋςη τησ. 7. Δύο ύδιεσ, λεπτϋσ, ιςοπαχεύσ και ομογενεύσ ρϊβδοι ΟΑ και ΟΒ, που ϋχουν μϊζα Μ = 4 Κg και μόκοσ L =,5 m η καθεμύα, ςυγκολλούνται ςτο ϋνα ϊκρο τουσ Ο, ώςτε να ςχηματύζουν ορθό γωνύα. Σο ςύςτημα των δύο ρϊβδων μπορεύ να Κ. Β.Φιρφιρής 66

167 67 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ περιςτρϋφεται περύ οριζόντιο ϊξονα, κϊθετο ςτο επύπεδο ΑΟΒ, που διϋρχεται από την κορυφό Ο τησ ορθόσ γωνύασ. Σο ςύςτημα αρχικϊ ςυγκρατεύται ςτη θϋςη όπου η ρϊβδοσ ΟΑ εύναι οριζόντια (όπωσ ςτο ςχόμα).,8m. Όλη η διϊταξη βρύςκεται ςτο ύδιο κατακόρυφο επύπεδο, ςτο οπούο γύνονται και όλεσ οι κινόςεισ. Η ροπό αδρϊνειασ τησ κϊθε ρϊβδου ωσ προσ το κϋντρο μϊζασ τησ εύναι I cm= ML. α. Να υπολογύςετε τη ροπό αδρϊνειασ τησ κϊθε ρϊβδου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ που διϋρχεται από το Ο. β. Από την αρχικό του θϋςη το ςύςτημα των δύο ρϊβδων αφόνεται ελεύθερο να περιςτραφεύ περύ τον ϊξονα περιςτροφόσ ςτο ςημεύο Ο, χωρύσ τριβϋσ. Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ γωνιακόσ επιτϊχυνςησ του ςυςτόματοσ των δύο ρϊβδων τη ςτιγμό τησ εκκύνηςησ. γ. Ση χρονικό ςτιγμό κατϊ την οπούα οι ρϊβδοι ςχηματύζουν ύςεσ γωνύεσ με την κατακόρυφο Οx, να υπολογύςετε: γ. Σο μϋτρο τησ γωνιακόσ ταχύτητασ του ςυςτόματοσ των δύο ρϊβδων. γ. Σο μϋτρο τησ ςτροφορμόσ τησ κϊθε ρϊβδου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ που διϋρχεται από το ςημεύο Ο. 8. Ομογενόσ ϊκαμπτη ρϊβδοσ ΑΖ ϋχει μόκοσ L = 4m, μϊζα M = 3kg και ιςορροπεύ ςε οριζόντια θϋςη, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. το ϊκρο τησ Α υπϊρχει ακλόνητη ϊρθρωςη γύρω από την οπούα η ρϊβδοσ μπορεύ να περιςτρϋφεται, χωρύσ τριβϋσ, ενώ ςτο ϊλλο ϊκρο τησ Ζ υπϊρχει ςτερεωμϋνο ςφαιρύδιο μϊζασ m = 0,6kg και αμελητϋων διαςτϊςεων. Ένα αβαρϋσ τεντωμϋνο νόμα ΔΓ ςυνδϋει το ςημεύο Γ τησ ρϊβδου με ςφαιρύδιο μϊζασ m = kg, το οπούο εύναι ςτερεωμϋνο ςτο ελεύθερο ϊκρο ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ k = 00 N/m. Σο ϊλλο ϊκρο του ελατηρύου εύναι ακλόνητο. Η απόςταςη ΑΓ εύναι ύςη με Να υπολογύςετε: α. τη ροπό αδρϊνειασ του ςυςτόματοσ ρϊβδου ςφαιριδύου m ωσ προσ τον οριζόντιο ϊξονα που διϋρχεται από το ςημεύο Α και εύναι κϊθετοσ ςτο επύπεδο τησ διϊταξησ α. το μϋτρο τησ τϊςησ του νόματοσ ΔΓ. Αν κόψουμε το νόμα ΔΓ, το ςφαιρύδιο m εκτελεύ αμεύωτη αρμονικό ταλϊντωςη, ενώ η ρϊβδοσ μαζύ με το ςώμα m, υπό την επύδραςη τησ βαρύτητασ, περιςτρϋφoνται χωρύσ τριβϋσ γύρω από το ςημεύο Α. β. το χρόνο που χρειϊζεται το ςφαιρύδιο m από τη ςτιγμό που κόβεται το νόμα μϋχρι τη ςτιγμό που θα φθϊςει ςτην ψηλότερη θϋςη του για πρώτη φορϊ. β. το μϋτρο τησ γραμμικόσ ταχύτητασ του ςημεύου Ζ, τη ςτιγμό που η ρϊβδοσ περνϊει από την κατακόρυφη θϋςη. Δύνονται:g=0ms -, ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ το κϋντρο μϊζασ τησ: I CM= ML, π=3,4. 9. υμπαγόσ και ομογενόσ ςφαύρα μϊζασ m=0 kg και ακτύνασ R=0, m κυλύεται ευθύγραμμα χωρύσ ολύςθηςη ανερχόμενη κατϊ μόκοσ κεκλιμϋνου επιπϋδου γωνύασ φ με ημφ=0,56. Ση χρονικό ςτιγμό t=0 το κϋντρο μϊζασ τησ ςφαύρασ ϋχει ταχύτητα με μϋτρο υ0=8m/s. Να υπολογύςετε για τη ςφαύρα: α. το μϋτρο τησ γωνιακόσ ταχύτητασ περιςτροφόσ τησ τη χρονικό ςτιγμό t=0. β. το μϋτρο τησ επιτϊχυνςησ του κϋντρου μϊζασ τησ. γ. το μϋτρο του ρυθμού μεταβολόσ τησ ςτροφορμόσ κατϊ τη διϊρκεια τησ κύνηςόσ τησ. Κ. Β.Φιρφιρής 67

168 68 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ δ. το μϋτρο τησ ταχύτητασ του κϋντρου μϊζασ τησ καθώσ ανεβαύνει, τη ςτιγμό που ϋχει διαγρϊψει 30/π περιςτροφϋσ. Δύνονται: η ροπό αδρϊνειασ τησ ςφαύρασ περύ ϊξονα διερχόμενο από το κϋντρο τησ: I= mr 5 και η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ: g=0m/s. 0. Άκαμπτη ομογενόσ ρϊβδοσ ΑΓ με μόκοσ l και μϊζα Μ=3kg ϋχει το ϊκρο τησ Α αρθρωμϋνο και ιςορροπεύ οριζόντια. το ϊλλο ϊκρο Γ αςκεύται ςταθερό κατακόρυφη δύναμη F μϋτρου 9Ν, με φορϊ προσ τα κϊτω. Η ρϊβδοσ ΑΓ εφϊπτεται ςτο ςημεύο Β με ςτερεό που αποτελεύται από δύο ομοαξονικούσ κυλύνδρουσ με ακτύνεσ R =0,m και R =0,m, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. ςώματοσ μϊζασ m, όταν θα ϋχει ξετυλιχθεύ νόμα μόκουσ 0,5m. Να θεωρόςετε ότι το νόμα ξετυλύγεται χωρύσ να ολιςθαύνει ςτον εςωτερικό κύλινδρο. δ. Να υπολογύςετε το ρυθμό παραγωγόσ ϋργου ςτο ςτερεό τη χρονικό ςτιγμό που ϋχει ξετυλιχθεύ νόμα μόκουσ 0,5m. Δύνεται g=0m/s.. Ομογενόσ ρϊβδοσ μόκουσ L=0,3 m και μϊζασ Μ=, kg μπορεύ να περιςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ γύρω από οριζόντιο ϊξονα που διϋρχεται από το ϊκρο τησ Α. Αρχικϊ την κρατούμε ςε οριζόντια θϋςη και ςτη ςυνϋχεια την αφόνουμε ελεύθερη. Θεωρούμε την αντύςταςη του αϋρα αμελητϋα. Η απόςταςη του ςημεύου επαφόσ Β από το ϊκρο Γ τησ ρϊβδου εύναι l/4. To ςτερεό μπορεύ να περιςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ, ςαν ϋνα ςώμα γύρω από ςταθερό οριζόντιο ϊξονα που περνϊει από το κϋντρο του. Ο ϊξονασ περιςτροφόσ ςυμπύπτει με τον ϊξονα ςυμμετρύασ των δύο κυλύνδρων. Η ροπό αδρϊνειασ του ςτερεού ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ εύναι Ι=0,09 kgm. Γύρω από τον κύλινδρο ακτύνασ R εύναι τυλιγμϋνο αβαρϋσ και μη εκτατό νόμα ςτο ϊκρο του οπούου κρϋμεται ςώμα μϊζασ m=kg. α. Να υπολογύςετε την κατακόρυφη δύναμη που δϋχεται η ρϊβδοσ ςτο ςημεύο Β από το ςτερεό. β. Αν το ςώμα μϊζασ m ιςορροπεύ, να βρεύτε το μϋτρο τησ δύναμησ τησ ςτατικόσ τριβόσ μεταξύ τησ ρϊβδου και του ςτερεού. γ. το ςημεύο επαφόσ Β μεταξύ ρϊβδου και ςτερεού ρύχνουμε ελϊχιςτη ποςότητα λιπαντικόσ ουςύασ ϋτςι, ώςτε να μηδενιςτεύ η τριβό χωρύσ να επιφϋρει μεταβολό ςτη ροπό αδρϊνειασ του ςτερεού. Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ ταχύτητασ του α. Να βρεύτε τη γωνιακό επιτϊχυνςη τησ ρϊβδου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ τη ςτιγμό που αφόνεται ελεύθερη. β. Να βρεύτε τη ςτροφορμό τησ ρϊβδου όταν φθϊςει ςε κατακόρυφη θϋςη. Ση ςτιγμό που η ρϊβδοσ φθϊνει ςτην κατακόρυφη θϋςη το κϊτω ϊκρο τησ ρϊβδου ςυγκρούεται ακαριαύα με ακύνητο ςώμα αμελητϋων διαςτϊςεων που ϋχει μϊζα m=0,4 kg. Μετϊ την κρούςη το ςώμα κινεύται κατϊ μόκοσ κυκλικού τόξου ακτύνασ L, ενώ η ρϊβδοσ ςυνεχύζει να κινεύται με την ύδια φορϊ. Δύνεται ότι η γωνιακό ταχύτητα τησ ρϊβδου αμϋςωσ μετϊ την κρούςη εύναι ω όπου ω η γωνιακό 5 ταχύτητϊ τησ αμϋςωσ πριν την κρούςη. γ. Να βρεύτε την ταχύτητα του ςώματοσ αμϋςωσ μετϊ την κρούςη. δ. Να βρεύτε το ποςοςτό τησ κινητικόσ ενϋργειασ που μετατρϊπηκε ςε θερμικό ενϋργεια κατϊ την κρούςη. Κ. Β.Φιρφιρής 68

169 69 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Δύνονται: η ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ τον ϊξονα Α : Ι= ΜL 3 και g=0 m/s..τερεό Π μϊζασ M= 0Kg αποτελεύται από δύο κολλημϋνουσ ομοαξονικούσ κυλύνδρουσ με ακτύνεσ R και R, όπου R=0,m όπωσ ςτο ςχόμα. Η ροπό αδρϊνειασ του ςτερεού Π ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του εύναι Ι=ΜR. Σο ςτερεό Π περιςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ γύρω από ςταθερό οριζόντιο ϊξονα Ο Ο που ςυμπύπτει με τον ϊξονα του. Σο ςώμα μϊζασ m=0kg κρϋμεται από το ελεύθερο ϊκρο αβαρούσ νόματοσ που εύναι τυλιγμϋνο ςτον κύλινδρο ακτύνασ R. Γύρω από το τμόμα του ςτερεού Π με ακτύνα R εύναι τυλιγμϋνο πολλϋσ φορϋσ νόμα, ςτο ελεύθερο ϊκρο Α του οπούου μπορεύ να αςκεύται οριζόντια δύναμη F. Σο ςυνολικό μόκοσ κϊθε νόματοσ παραμϋνει ςταθερό. 3. Η τροχαλύα του ςχόματοσ εύναι ομογενόσ με μϊζα m=4 kg και ακτύνα R=0,5m. Σα ςώματα και ϋχουν μϊζεσ m = kg και m = kg αντύςτοιχα και βρύςκονται αρχικϊ ακύνητα ςτο ύδιο ύψοσ. Κϊποια ςτιγμό (t 0 =0) αφόνονται ελεύθερα. α. Να βρεύτε το μϋτρο τησ αρχικόσ δύναμησ Fo που αςκεύται ςτο ελεύθερο ϊκρο του νόματοσ, ώςτε το ςύςτημα που εικονύζεται ςτο ςχόμα να παραμϋνει ακύνητο. Ση χρονικό ςτιγμό to=0 που το ςύςτημα του ςχόματοσ εύναι ακύνητο,αυξϊνουμε τη δύναμη ακαριαύα ϋτςι ώςτε να γύνει F=5N. β. Να βρεύτε την επιτϊχυνςη του ςώματοσ Για τη χρονικό ςτιγμό που το ςώμα ϋχει ανϋλθει κατϊ h=m, να βρεύτε : γ. Σο μϋτρο τησ ςτροφορμόσ του ςτερεού Π ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του. δ. Ση μετατόπιςη του ςημεύου Α από την αρχικό του θϋςη. ε. Σο ποςοςτό του ϋργου τησ δύναμησ F που μετατρϊπηκε ςε κινητικό ενϋργεια του ςτερεού Π κατϊ τη μετατόπιςη του ςώματοσ κατϊ h. Δύνεται g=0m/s Να βρεύτε: Α. Σο μϋτρο τησ επιτϊχυνςησ που θα αποκτόςουν τα ςώματα και. Β. Σα μϋτρα των τϊςεων των νημϊτων. Γ. Σο μϋτρο τησ γωνιακόσ ταχύτητα τησ τροχαλύασ τη ςτιγμό t= s. Δ. Σην κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ, τη ςτιγμό που το κϊθε ςώμα ϋχει μετατοπιςτεύ κατϊ h=3 m. Δύνεται: g=0m/s. Η ροπό αδρϊνειασ τησ τροχαλύασ ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο τησ εύναι I= MR.Σα νόματα δεν ολιςθαύνουν ςτην τροχαλύα. 4. Αβαρόσ ρϊβδοσ μόκουσ 3d (d=m) μπορεύ να ςτρϋφεται γύρω από οριζόντιο ϊξονα, που εύναι κϊθετοσ ςε αυτόν και διϋρχεται από το Ο. το ϊκρο Α που βρύςκεται ςε απόςταςη d από το Ο υπϊρχει ςημειακό μϊζα m A = kg και ςτο ςημεύο Γ, που βρύςκεται ςε απόςταςη d από το Ο ϋχουμε επύςησ ςημειακό μϊζα m Γ =6 kg. το ϊλλο ϊκρο τησ ρϊβδου, ςτο ςημεύο Β, εύναι αναρτημϋνη τροχαλύα μϊζασ Μ=4 kg από την οπούα κρϋμονται οι μϊζεσ m = kg, m =m 3 =kg. Κ. Β.Φιρφιρής 69

170 70 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Η τροχαλύα μπορεύ να περιςτρϋφεται γύρω από ϊξονα Ο. Α. Αποδεύξτε ότι το ςύςτημα ιςορροπεύ με τη ρϊβδο ςτην οριζόντια θϋςη. Κόβουμε το Ο Β, που ςυνδϋει την τροχαλύα με τη ρϊβδο ςτο ςημεύο Β. ελεύθερη ϊκρη του νόματοσ αςκεύται ςταθερό δύναμη μϋτρου F με διεύθυνςη παρϊλληλη προσ την επιφϊνεια του πλϊγιου επιπϋδου και με φορϊ προσ τα πϊνω, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Β. Βρεύτε τη γωνιακό επιτϊχυνςη τησ ρϊβδου, όταν αυτό ςχηματύζει γωνύα 30 ο με την κατακόρυφο. Όταν η ςημειακό μϊζα m A φτϊνει ςτο κατώτατο ςημεύο, ςυγκρούεται πλαςτικϊ με ακύνητη ςημειακό μϊζα m 4 =5 kg. Γ. Βρεύτε τη γραμμικό ταχύτητα του ςημεύου Α αμϋςωσ μετϊ τη κρούςη. την αρχικό διϊταξη, όταν η τροχαλύα με τα ςώματα εύναι δεμϋνη ςτο Β, κόβουμε το νόμα που ςυνδϋει μεταξύ τουσ τα ςώματα m και m 3 και αντικαθιςτούμε την m A με μϊζα m. Δ. Πόςη πρϋπει να εύναι η μϊζα m, ώςτε η ρϊβδοσ να διατηρόςει την ιςορροπύα τησ κατϊ τη διϊρκεια περιςτροφόσ τησ τροχαλύασ; Σα νόματα εύναι αβαρό, τριβϋσ ςτουσ ϊξονεσ δεν υπϊρχουν και το νόμα δεν ολιςθαύνει ςτη τροχαλύα. Δύνεται: g=0 m/s, ημ30 =/, ροπό αδρϊνειασ τησ τροχαλύασ ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο τησ Ι=MR /. 5. Ομογενόσ δύςκοσ μϊζασ m=4kg και ακτύνασ R=0,m εύναι ακύνητοσ πϊνω ςε πλϊγιο επύπεδο γωνύασ κλύςησ φ=30 0 με τον ϊξονϊ του οριζόντιο. Γύρω από το δύςκο εύναι τυλιγμϋνο λεπτό, αβαρϋσ και μη ελαςτικό νόμα. την Α. Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ ςτατικόσ τριβόσ που δϋχεται ο δύςκοσ από το πλϊγιο επύπεδο. Αντικαθιςτούμε τη δύναμη F με δύναμη F ύδιασ κατεύθυνςησ με την F και μϋτρου F =7N, με αποτϋλεςμα ο δύςκοσ να αρχύςει να κυλύεται χωρύσ να ολιςθαύνει προσ τα κϊτω. Σο νόμα τυλύγεται γύρω από το δύςκο χωρύσ να ολιςθαύνει. Β. Να υπολογύςετε την επιτϊχυνςη του κϋντρου μϊζασ του δύςκου, καθώσ και τη νϋα τιμό τησ ςτατικόσ τριβόσ. Γ. Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ ταχύτητασ του ςημεύου εφαρμογόσ τησ F τη χρονικό ςτιγμό t κατϊ την οπούα ο δύςκοσ ϋχει αποκτόςει γωνιακό ταχύτητα μϋτρου ω =0 rad/s. Δ. Να υπολογύςετε το διϊςτημα που διϊνυςε το κϋντρο μϊζασ του δύςκου από τη ςτιγμό που ϊρχιςε να κινεύται μϋχρι τη χρονικό ςτιγμό t. Δύνονται : η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ g=0m/s, ημ30 0 =, και η ροπό αδρϊνειασ του δύςκου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του I= mr Κ. Β.Φιρφιρής 70

171 7 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 6. Λεύα οριζόντια ςανύδα μόκουσ L = 3m και μϊζασ Μ = 0,4 Kg αρθρώνεται ςτο ϊκρο τησ Α ςε κατακόρυφο τούχο. ε απόςταςη d = m από τον τούχο, η ςανύδα ςτηρύζεται ώςτε να διατηρεύται οριζόντια. Ιδανικό αβαρϋσ ελατόριο ςταθερϊσ Κ = 00 Ν/m ςυνδϋεται με το ϋνα ϊκρο του ςτον τούχο και το ϊλλο ςε ςώμα μϊζασ m = Kg. Σο ελατόριο βρύςκεται ςτο φυςικό του μόκοσ, ο ϊξονϊσ του εύναι οριζόντιοσ και διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ του ςώματοσ. Σο κϋντρο μϊζασ του ςώματοσ βρύςκεται ςε απόςταςη d από τον τούχο. τη ςυνϋχεια, αςκούμε ςτο ςώμα ςταθερό οριζόντια δύναμη μϋτρου F = 40 N με κατεύθυνςη προσ το ϊλλο ϊκρο Γ τησ ςανύδασ. Όταν το ςώμα διανύςει απόςταςη s = 5 cm, η δύναμη παύει να αςκεύται ςτο ςώμα και, ςτη ςυνϋχεια, το ςώμα εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη. Α. Να υπολογύςετε το πλϊτοσ τησ απλόσ αρμονικόσ ταλϊντωςησ που θα εκτελϋςει το ςώμα. Β. Να εκφρϊςετε το μϋτρο τησ δύναμησ F Α που δϋχεται η ςανύδα από τον τούχο ςε ςυνϊρτηςη με την απομϊκρυνςη του ςώματοσ και να ςχεδιϊςετε την αντύςτοιχη γραφικό παρϊςταςη. Κατϊ μόκοσ τησ ςανύδασ από το ϊκρο Γ κινεύται ςώμα μϊζασ m = Kg με ταχύτητα υ = 3 m/s. Σα δύο ςώματα ςυγκρούονται κεντρικϊ και ελαςτικϊ, όταν η απομϊκρυνςη του ςώματοσ εύναι x, όπου x 0 Σο ςώμα μετϊ την κρούςη ταλαντώνεται με το μϋγιςτο δυνατό πλϊτοσ. Γ.Να βρεύτε την απομϊκρυνςη x. Δ.Να βρεύτε μετϊ από πόςο χρονικό διϊςτημα από τη ςτιγμό τησ κρούςησ τα δύο ςώματα θα ςυγκρουςτούν για δεύτερη φορϊ. Θεωρούμε θετικό τη φορϊ τησ απομϊκρυνςησ προσ το Γ. Σριβϋσ ςτην ϊρθρωςη και ςτο υποςτόριγμα δεν υπϊρχουν. Δύνεται: επιτϊχυνςη βαρύτητασ g = 0m/s. 7. Θϋλουμε να μετρόςουμε πειραματικϊ την ϊγνωςτη ροπό αδρϊνειασ δύςκου μϊζασ m= kg και ακτύνασ r= m. Για το ςκοπό αυτό αφόνουμε τον δύςκο να κυλύςει χωρύσ ολύςθηςη ςε κεκλιμϋνο επύπεδο γωνύασ φ=30 ξεκινώντασ από την ηρεμύα. Διαπιςτώνουμε ότι ο δύςκοσ διανύει την απόςταςη x= m ςε χρόνο t= s. α. Να υπολογύςετε τη ροπό αδρϊνειϊσ του ωσ προσ τον ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ του και εύναι κϊθετοσ ςτο επύπεδό του. Από την κορυφό του κεκλιμϋνου επιπϋδου αφόνονται να κυλύςουν ταυτόχρονα δύςκοσ και δακτύλιοσ ύδιασ μϊζασ Μ και ύδιασ ακτύνασ R. Η ροπό αδρϊνειασ του δύςκου εύναι Ι= MR και του δακτυλύου Ι=ΜR ωσ προσ τουσ ϊξονεσ που διϋρχονται από τα κϋντρα μϊζασ τουσ και εύναι κϊθετοι ςτα επύπεδϊ τουσ. Να υπολογύςετε ποιο από τα ςώματα κινεύται με τη μεγαλύτερη επιτϊχυνςη. υνδϋουμε με κατϊλληλο τρόπο τα κϋντρα μϊζασ των δύο ςτερεών, όπωσ φαύνεται και ςτο ςχόμα, με ρϊβδο αμελητϋασ μϊζασ, η οπούα δεν εμποδύζει την περιςτροφό τουσ και δεν αςκεύ τριβϋσ. Σο ςύςτημα κυλύεται ςτο κεκλιμϋνο επύπεδο χωρύσ να ολιςθαύνει. γ. Να υπολογύςετε το λόγο των κινητικών ενεργειών K/K όπου K η κινητικό ενϋργεια του δύςκου και Κ η κινητικό ενϋργεια του δακτυλύου. Αν η μϊζα κϊθε ςτερεού εύναι Μ=,4 kg, να υπολογύςετε τισ δυνϊμεισ που αςκεύ η ρϊβδοσ ςε κϊθε ςώμα. Κ. Β.Φιρφιρής 7

172 7 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Μεταφϋρετε το ςχόμα ςτο τετρϊδιό ςασ και ςχεδιϊςτε τισ πιο πϊνω δυνϊμεισ. 0 Δύνεται : g=0m/s, ημ30 = 8. Η ομογενόσ τροχαλύα του ςχόματοσ ακτύνασ R = 0, m και μϊζασ Μ = 3 kg μπορεύ να περιςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ γύρω από ςταθερό οριζόντιο ϊξονα που περνϊει από το κϋντρο τησ Ο και εύναι κϊθετοσ ςτο επύπεδό τησ. ώμα μϊζασ m = kg εύναι δεμϋνο ςτο ελεύθερο ϊκρο αβαρούσ νόματοσ το οπούο εύναι τυλιγμϋνο ςτην περιφϋρεια τησ τροχαλύασ. Αρχικϊ το ςύςτημα εύναι ακύνητο. Κϊτω από το ςώμα και ςε απόςταςη h βρύςκεται ςώμα μϊζασ m = 3 kg το οπούο ιςορροπεύ ςτερεωμϋνο ςτη μια ϊκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ k = 00 N/m η ϊλλη ϊκρη του οπούου εύναι ςτερεωμϋνη ςτο ϋδαφοσ. Αφόνουμε ελεύθερο το ςύςτημα τροχαλύασ ςώματοσ να κινηθεύ. Μετϊ από χρόνο t = s το ςώμα ςυγκρούεται μετωπικϊ και πλαςτικϊ με το ςώμα, ενώ το νόμα κόβεται. Σο ςυςςωμϊτωμα εκτελεύ αμεύωτη απλό αρμονικό ταλϊντωςη ςτην κατακόρυφη διεύθυνςη. Να υπολογύςετε: α. το μϋτρο τησ επιτϊχυνςησ με την οπούα κινεύται το ςώμα μϋχρι την κρούςη. β. την κινητικό ενϋργεια τησ τροχαλύασ μετϊ την κρούςη. γ. το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ που εκτελεύ το ςυςςωμϊτωμα. δ. το μϋτρο του ρυθμού μεταβολόσ τησ ορμόσ του ςυςςωματώματοσ, τη ςτιγμό που απϋχει από τη θϋςη ιςορροπύασ τησ ταλϊντωςησ απόςταςη x = 0, m. Να θεωρόςετε ότι το νόμα δεν ολιςθαύνει ςτο αυλϊκι τησ τροχαλύασ. Δύνονται: η ροπό αδρϊνειασ τησ τροχαλύασ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ τησ: η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ: g = 0 m/s. Ι= ΜR θεωρώντασ ωσ θετικό φορϊ, τη φορϊ προσ τα επϊνω. Κ. Β.Φιρφιρής 7 και 9. Σροχαλύα μϊζασ Μ = 6kg και ακτύνασ R = 0,5m μπορεύ να περι-ςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ γύρω από οριζόντιο ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο τησ. Γύρω από την τροχαλύα υπϊρχει αβαρϋσ και μη εκτατό νόμα. τα ϊκρα του νόματοσ υπϊρχουν ςε κατακόρυφη θϋςη τα ςώματα και με μϊζεσ m = 4kg και m = kg αντύςτοιχα. Σο ςώμα εύναι κολ-λημϋνο με ςώμα 3 μϊζασ m 3 = kg, το οπούο ςυγκρατεύται από κατακόρυφο ελατόριο ςταθερϊσ Κ =00 Ν/m. Σο ςύςτημα αρχικϊ ιςορροπεύ όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Κϊποια χρονικό ςτιγμό, την οπούα θεωρούμε ωσ χρονικό ςτιγμό μηδϋν (t 0 = 0), τα ςώματα και 3 αποκολλώνται και το 3 εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη κατϊ τη διεύθυνςη τησ κατακορύφου. α. Nα υπολογιςτεύ το πλϊτοσ τησ ταλϊντωςησ του ςώματοσ 3. β. Να γραφεύ η εξύςωςη τησ απομϊκρυνςησ του ςώματοσ 3 ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο,

173 73 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ γ. Να υπολογιςτεύ η γωνιακό επιτϊχυνςη τησ τροχαλύασ μετϊ την αποκόλληςη των ςωμϊτων και 3. δ. Να υπολογιςτεύ ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ κινητικόσ ενϋργειασ τησ τροχαλύασ τη χρονικό ςτιγμό t = 0, s. Δύνονται η ροπό αδρϊνειασ τησ τροχαλύασ ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ τησ Ι= ΜR η τριβό ανϊμεςα ςτην τροχαλύα και ςτο νόμα εύναι αρκετϊ μεγϊλη, ώςτε να μην παρατηρεύται ολύςθηςη και g = 0 m/s. 0. την επιφϊνεια ενόσ ομογενούσ κυλύνδρου μϊζασ Μ = 40 kg και ακτύνασ R = 0, m, ϋχουμε τυλύξει λεπτό ςχοινύ αμελητϋασ μϊζασ, το ελεύθερο ϊκρο του οπούου ϋλκεται με ςταθερό δύναμη F παρϊλληλη προσ την επιφϊνεια κεκλιμϋνου επιπϋδου γωνύασ κλύςεωσ 30 ο, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Σο ςχοινύ ξετυλύγεται χωρύσ ολύςθηςη, περιςτρϋφοντασ ταυτόχρονα τον κύλινδρο. Ο κύλινδροσ κυλύεται πϊνω ςτην επιφϊνεια του κεκλιμϋνου επιπϋδου χωρύσ ολύςθηςη. α. Να υπολογιςθεύ το μϋτρο τησ δύναμησ F, ώςτε ο κύλινδροσ να ανεβαύνει ςτο κεκλιμϋνο επύπεδο με ςταθερό ταχύτητα. Αν αρχικϊ ο κύλινδροσ εύναι ακύνητοσ με το κϋντρο μϊζασ του ςτη θϋςη Α και ςτο ελεύθερο ϊκρο του ςχοινιού αςκηθεύ ςταθερό δύναμη F = 30N, όπωσ ςτο ςχόμα: β. Να υπολογιςθεύ η επιτϊχυνςη του κϋντρου μϊζασ του κυλύνδρου. γ. Να υπολογιςθεύ το μϋτρο τησ ςτροφορμόσ του κυλύνδρου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του όταν το κϋντρο μϊζασ του περνϊει από τη θϋςη Γ του ςχόματοσ, η οπούα βρύςκεται h = m ψηλότερα από τη θϋςη Α. δ. Να υπολογιςθεύ το ϋργο τησ δύναμησ F κατϊ τη μετακύνηςη του κϋντρου μϊζασ του κυλύνδρου από τη θϋςη Α ςτη θϋςη Γ και να δεύξετε ότι αυτό ιςούται με τη μεταβολό τησ μηχανικόσ ενϋργειασ του κυλύνδρου κατϊ τη μετακύνηςη αυτό. Δύνονται: επιτϊχυνςη βαρύτητασ g = 0m/s, ροπό αδρϊνειασ του κυλύνδρου ωσ προσ τον MR ο ϊξονα περιςτροφόσ του I cm=, ημ30 =.. Λεπτό ομογενόσ ρϊβδοσ ΑΓ μόκουσ l και μϊζασ Μ μπορεύ να ςτρϋφεται γύρω από οριζόντιο ϊξονα κϊθετο ςτη ρϊβδο χωρύσ τριβϋσ, ο οπούοσ διϋρχεται από το ςημεύο Ο τησ ρϊβδου. Η απόςταςη του ςημεύου Ο από το Α εύναι l/4. το ϊκρο Α τησ ρϊβδου ςτερεώνεται ςημειακό μϊζα m, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Η ρϊβδοσ ιςορροπεύ ςε οριζόντια θϋςη και δϋχεται από τον ϊξονα δύναμη μϋτρου F = 0N. α. Να υπολογιςτούν οι μϊζεσ m και Μ. τη ςυνϋχεια τοποθετούμε τον ϊξονα περιςτροφόσ τησ ρϊβδου ςτο ϊκρο Γ, ώςτε να παραμϋνει οριζόντιοσ και κϊθετοσ ςτη ρϊβδο, και αφόνουμε το ςύςτημα ελεύθερο να περιςτραφεύ από την οριζόντια θϋςη. Να υπολογύςετε: β. το μόκοσ l τησ ρϊβδου, αν τη ςτιγμό που αφόνεται ελεύθερη ϋχει γωνιακό επιτϊχυνςη μϋτρου α γων = 3,75rad/s. γ. το λόγο τησ κινητικόσ ενϋργειασ τησ μϊζασ m προσ τη ςυνολικό κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ, κατϊ τη διϊρκεια τησ περιςτροφόσ του ςυςτόματοσ των δύο ςωμϊτων. δ. το μϋτρο τησ ςτροφορμόσ του ςυςτόματοσ των δύο ςωμϊτων, όταν η ρϊβδοσ ϋχει ςτραφεύ κατϊ γωνύα φ ωσ προσ την οριζόντια διεύθυνςη τϋτοια, ώςτε ημφ = 0,3. Δύνονται: επιτϊχυνςη βαρύτητασ g = 0m/s, ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ ϊξονα κϊθετο ςτη ρϊβδο που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ τησ I cm= Μl Κ. Β.Φιρφιρής 73

174 74 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ. Ομογενόσ και ιςοπαχόσ ρϊβδοσ ΑΓ με μόκοσ m και βϊροσ 30Ν ιςορροπεύ οριζόντια. Σο ϊκρο Α τησ ρϊβδου ςυνδϋεται με ϊρθρωςη ςε κατακόρυφο τούχο. Σο ϊλλο ϊκρο τησ Γ ςυνδϋεται με τον τούχο με αβαρϋσ νόμα ΔΓ που ςχηματύζει γωνύα 30 με τη ρϊβδο, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. 3. Ένασ ομογενόσ και ςυμπαγόσ κύλινδροσ μϊζασ Μ = kg και ακτύνασ R = 0, m αφόνεται να κυλόςει κατϊ μόκοσ ενόσ πλϊγιου επιπϋδου γωνύασ κλύςησ φ, με ημφ = 0,6, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα: α. Να υπολογύςετε τα μϋτρα των δυνϊμεων που αςκούνται ςτη ρϊβδο από το νόμα και την ϊρθρωςη. β. Κϊποια ςτιγμό κόβουμε το νόμα ςτο ϊκρο Γ και η ρϊβδοσ αρχύζει να περιςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ γύρω από την ϊρθρωςη ςε κατακόρυφο επύπεδο. Να υπολογύςετε: β. Σο μϋτρο τησ γωνιακόσ επιτϊχυνςησ τησ ρϊβδου μόλισ κοπεύ το νόμα. β.σο μϋτρο του ρυθμού μεταβολόσ τησ ςτροφορμόσ τησ ρϊβδου, τη ςτιγμό που αυτό ςχηματύζει γωνύα 60 με την αρχικό τησ θϋςη. β3 Σην κινητικό ενϋργεια τησ ρϊβδου, τη ςτιγμό που διϋρχεται από την κατακόρυφη θϋςη. Δύνονται : η ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ τον οριζόντιο ϊξονα που διϋρχεται από το ϊκρο τησ Α και εύναι κϊθετοσ ςε αυτό εύναι Ι Α =kg m. Ο κύλινδροσ κυλύεται χωρύσ να ολιςθαύνει. Να υπολογύςετε: α. το μϋτρο τησ επιτϊχυνςησ του κϋντρου μϊζασ του κυλύνδρου καθώσ αυτόσ κυλύεται. β. το μϋτρο τησ δύναμησ τησ ςτατικόσ τριβόσ που αςκεύται ςτον κύλινδρο από το πλϊγιο επύπεδο. γ. το μϋτρο τησ ςτροφορμόσ του κυλύνδρου κατϊ τον ϊξονϊ του, όταν η κατακόρυφη μετατόπιςη του κϋντρου μϊζασ του κυλύνδρου από το ςημεύο που αυτόσ αφϋθηκε ελεύθεροσ εύναι h = 4,8 m. δ. τo πλόθοσ των περιςτροφών που εκτελεύ ο κύλινδροσ από τη ςτιγμό που αφόνεται ελεύθεροσ μϋχρι τη ςτιγμό που το κϋντρο μϊζασ του ϋχει μετατοπιςτεύ κατακόρυφα κατϊ h =,4π m. Δύνoνται: Η ροπό αδρϊνειασ του κυλύνδρου ωσ προσ τον ϊξονϊ του Ι= ΜR και η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ g = 0 m/s. 4. Η ομογενόσ τροχαλύα του ςχόματοσ ϋχει μϊζα M = 6 kg και ακτύνα R = 0,3 m. Σα ςώματα και ϋχουν αντύςτοιχα μϊζεσ m = 5 kg και m = kg. Κ. Β.Φιρφιρής 74

175 75 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ H τροχαλύα και τα ςώματα, εύναι αρχικϊ ακύνητα και τα κϋντρα μϊζασ των, βρύςκονται ςτο ύδιο οριζόντιο επύπεδο. Ση χρονικό ςτιγμό t = 0 το ςύςτημα αφόνεται ελεύθερο να κινηθεύ. Να υπολογύςετε: α. το μϋτρο τησ επιτϊχυνςησ με την οπούα θα κινηθούν τα ςώματα και. β. το μϋτρο τησ γωνιακόσ επιτϊχυνςησ τησ τροχαλύασ. γ. το μϋτρο τησ ςτροφορμόσ τησ τροχαλύασ, ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ τησ, τη χρονικό ςτιγμό t = s. δ. τη χρονικό ςτιγμό t κατϊ την οπούα η κατακόρυφη απόςταςη των κϋντρων μϊζασ των, θα εύναι h = 3 m. Δίνoνται: Η ροπό αδρϊνειασ τησ τροχαλύασ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ τησ Ι= ΜR και η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ g = 0 m/s. ημείωςη: Η τριβό ανϊμεςα ςτην τροχαλύα και ςτο νόμα εύναι αρκετϊ μεγϊλη, ώςτε να μην παρατηρεύται ολύςθηςη. Να θεωρόςετε ότι τα ςώματα και δεν φτϊνουν ςτο ϋδαφοσ ούτε ςυγκρούονται με την τροχαλύα. 5. Μια μικρό ςφαύρα μϊζασ m=kg, ακτύνασ r=0,0m και ροπόσ αδρϊνειασ ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ τησ I cm= mr αφόνεται από το ςημεύο Α που 5 βρύςκεται ςε ύψοσ h=9m πϊνω από το οριζόντιο επύπεδο, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. το ςημεύο Β και εύναι παρϊλληλοσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ τησ. β. το μϋτρο τησ ταχύτητασ του κϋντρου μϊζασ τησ ςφαύρασ. γ.το μϋτρο τησ ςτροφορμόσ τησ ςφαύρασ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ τησ. δ. το μϋγιςτο ύψοσ ςτο οπούο θα φθϊςει το κϋντρο μϊζασ τησ ςφαύρασ, από το ςημεύο Β. Η αντύςταςη του αϋρα θεωρεύται αμελητϋα. Δύνεται η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ: g = 0m/s 6. Δύνεται ςυμπαγόσ, ομογενόσ κύλινδροσ μϊζασ Μ και ακτύνασ R. Αφόνουμε τον κύλινδρο να κυλύςει χωρύσ ολύςθηςη, υπό την επύδραςη τησ βαρύτητασ (με επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ g), πϊνω ςε κεκλιμϋνο επύπεδο γωνύασ φ, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα που ακολουθεύ: α.να υπολογύςετε την επιτϊχυνςη του κϋντρου μϊζασ του κυλύνδρου. Ο ϊξονασ του κυλύνδρου διατηρεύται οριζόντιοσ. β. Από το εςωτερικό αυτού του κυλύνδρου, που ϋχει ύψοσ h, αφαιρούμε πλόρωσ ϋνα ομοαξονικό κύλινδρο ακτύνασ r, όπου r < R, όπωσ απεικονύζεται ςτο παρακϊτω ςχόμα: Η ςφαύρα κυλύεται χωρύσ να ολιςθαύνει. Όταν η ςφαύρα διϋρχεται από το ςημεύο Β του οδηγού, το οπούο απϋχει απόςταςη R=m από το οριζόντιο επύπεδο, να υπολογύςετε: α. τη ροπό αδρϊνειασ τησ ςφαύρασ ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από Να αποδεύξετε ότι η ροπό αδρϊνειασ του κούλου κυλύνδρου, ωσ προσ τονϊξονα του, που προκύπτει μετϊ την αφαύρεςη του εςωτερικού Κ. Β.Φιρφιρής 75

176 76 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ κυλινδρικού τμόματοσ, εύναι 4 r I κοιλ = ΜR - 4 R τη ςυνϋχεια λιπαύνουμε το κυλινδρικό τμόμα που αφαιρϋςαμε και το επανατοποθετούμε ςτη θϋςη του, ούτωσ ώςτε να εφαρμόζει απόλυτα με τον κούλο κύλινδρο χωρύσ τριβϋσ. Σο νϋο ςύςτημα που προκύπτει αφόνεται να κυλύςει χωρύσ ολύςθηςη, υπό την επύδραςη τησ βαρύτητασ (με επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ g), ςτο ύδιο κεκλιμϋνο επύπεδο, όπωσ φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμα: 7. Μια ιςοπαχόσ δοκόσ ΑΒ αποτελεύται από δύο ομογενό τμόματα ΑΚ και ΚΒ, μόκουσ L/ το καθϋνα, με μϊζεσ m = 5m και m = 0,5 kg, αντύςτοιχα. Σα κομμϊτια αυτϊ εύναι κολλημϋνα μεταξύ τουσ ςτο ςημεύο Κ, ώςτε να ςχηματύζουν τη δοκό ΑΒ μόκουσ L = m. H δοκόσ ιςορροπεύ ςε οριζόντια θϋςη, με το ϊκρο τησ Α να ςτηρύζεται ςτον τούχο μϋςω ϊρθρωςησ, ενώ το μϋςο τησ Κ ςυνδϋεται με τον τούχο με ςχοινύ που ςχηματύζει γωνύα φ = 30 με τη δοκό. γ. Να υπολογύςετε την επιτϊχυνςη του κϋντρου μϊζασ του ςυςτόματοσ. Ο ϊξονασ του ςυςτόματοσ διατηρεύται πϊντα οριζόντιοσ. δ. Όταν r = R/, να υπολογύςετε, ςε κϊθε χρονικό ςτιγμό τησ κύλιςησ ςτο κεκλιμϋνο επύπεδο, το λόγο τησ μεταφορικόσ προσ την περιςτροφικό κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ. Ο ϊξονασ του κυλύνδρου διατηρεύται πϊντα οριζόντιοσ. ε. Να υπολογύςετε, ςε κϊθε χρονικό ςτιγμό τησ κύλιςησ ςτο κεκλιμϋνο επύπεδο, το λόγο τησ μεταφορικόσ προσ την περιςτροφικό κινητικό ενϋργεια του κούλου κυλύνδρου. Ο ϊξονασ του κυλύνδρου διατηρεύται πϊντα οριζόντιοσ. Δύνονται : Η ροπό αδρϊνειασ Ι ςυμπαγούσ και ομογενούσ κυλύνδρου μϊζασ Μ και ακτύνασ R, ωσ προσ τον ϊξονα γύρω από τον οπούο ςτρϋφεται: I= MR Ο όγκοσ V ενόσ ςυμπαγούσ κυλύνδρου ακτύνασ R και ύψουσ h: V = π R h Α.Να υπολογύςετε τισ δυνϊμεισ που δϋχεται η δοκόσ από το ςχοινύ και την ϊρθρωςη. Κϊποια ςτιγμό το ςχοινύ κόβεται και η ρϊβδοσ αρχύζει να ςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ γύρω από το ϊκρο τησ Α ςε κατακόρυφο επύπεδο. Β. Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ γωνιακόσ επιτϊχυνςησ τησ ρϊβδου ςε ςυνϊρτηςη με τη γωνύα θ, που ςχηματύζει αυτό με την αρχικό τησ θϋςη (0 θ < 90 ). Γ. Να υπολογύςετε τη γωνιακό επιτϊχυνςη τησ ρϊβδου, ακριβώσ μετϊ το κόψιμο του ςχοινιού. Δ. Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ ταχύτητασ του ϊκρου Β τησ ρϊβδου (υβ ) ςε ςυνϊρτηςη με τη γωνύα θ. Ε. Να υπολογύςετε την ταχύτητα του ϊκρου Β τησ ρϊβδου (υβ ), τη ςτιγμό που η ρϊβδοσ ϋχει ςτραφεύ κατϊ γωνύα θ = 30. Ση ςτιγμό που η ρϊβδοσ ϋχει ςτραφεύ κατϊ γωνύα θ = 30, ςυγκρούεται πλαςτικϊ με αρχικϊ ακύνητο ςφαιρύδιο αμελητϋων διαςτϊςεων και μϊζασ m = m, το οπούο ςφηνώνεται ςτο μϋςο Κ τησ ρϊβδου. Κ. Β.Φιρφιρής 76

177 77 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Σ. Να υπολογύςετε το ποςοςτό απώλειασ τησ κινητικόσ ενϋργειασ κατϊ την κρούςη. Δύνονται : -Η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ g=0m/s - ροπό αδρϊνειασ ομογενούσ και ιςοπαχούσ ρϊβδου μϊζασ m και μόκουσ L ωσ προσ ϊξονα κϊθετο ςτο μϋςο τησ I= ml 3 - ημ30 0 =, συν Λεπτό ομογενόσ ρϊβδοσ ΑΓ μόκουσ l =,5 m και μϊζασ Μ μπορεύ να ςτρϋφεται χωρύσ τριβό γύρω από οριζόντιο ϊξονα κϊθετο ςε αυτό, ο οπούοσ διϋρχεται από ςημεύο Κ τησ ρϊβδου και απϋχει από το ϊκρο Γ απόςταςη d = l / 6. το ϊκρο Γ τοποθετούμε ςώμα μϊζασ m = 3, kg αμελητϋων διαςτϊςεων και το ςύςτημα ιςορροπεύ με τη ρϊβδο ςε οριζόντια θϋςη. Να υπολογύςετε : α. τη μϊζα Μ τησ ρϊβδου και το μϋτρο τησ δύναμησ που δϋχεται η ρϊβδοσ από τον ϊξονα. β. τη ροπό αδρϊνειασ του ςυςτόματοσ ρϊβδοσ ςώμα ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ. Απομακρύνουμε το ςώμα μϊζασ m και τη ςτιγμό t = 0 αφόνουμε τη ρϊβδο ελεύθερη να περιςτραφεύ από την οριζόντια θϋςη. Να υπολογύςετε: γ. το μϋτρο τησ γωνιακόσ επιτϊχυνςησ τησ ρϊβδου τη ςτιγμό t = 0. δ. το μϋτρο τησ ςτροφορμόσ τησ ρϊβδου, όταν αυτό ςχηματύζει με την αρχικό τησ οριζόντια θϋςη γωνύα φ ( ημφ = 0,7 ) για πρώτη φορϊ. Δύνονται : η ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ τησ και εύναι κϊθετοσ ςτη ρϊβδο : ΙCM = (/)Μl και η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ: g = 0 m/s 9. Λεπτό, ϊκαμπτη και ομογενόσ ρϊβδοσ ΑΓ μόκουσ l = m και μϊζασ Μ = 5,6 kg ιςορροπεύ με τη βοόθεια οριζόντιου νόματοσ, μη εκτατού, που ςυνδϋεται ςτο μϋςο τησ, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Σο ϊκρο Α τησ ρϊβδου ςυνδϋεται με ϊρθρωςη ςεκατακόρυφο τούχο. Δύνεται: ημφ = 0,6 και ςυνφ = 0,8. α.να προςδιορύςετε τη δύναμη F που δϋχεται η ρϊβδοσ από την ϊρθρωςη. Μικρό ομογενόσ ςφαύρα, μϊζασ m = 0,4 kg και ακτύνασ r= /70 m κυλύεται χωρύσ ολύςθηςη, ϋχοντασ εκτοξευθεύ κατϊ μόκοσ τησ ρϊβδου από το ςημεύο Κ προσ το ϊκρο Γ. β. Να βρεθεύ η γωνιακό επιτϊχυνςη τησ ςφαύρασ κατϊ την κύνηςό τησ από το Κ μϋχρι το Γ. γ. Με δεδομϋνο ότι η ςφαύρα φτϊνει ςτο ϊκρο Γ, να βρεύτε τη ςχϋςη που περιγρϊφει την τϊςη του νόματοσ ςε ςυνϊρτηςη με την απόςταςη του ςημεύου επαφόσ τησ ςφαύρασ με τη ρϊβδο, από το ςημεύο Κ. Αφού η ςφαύρα ϋχει εγκαταλεύψει τη ρϊβδο, κόβουμε το νόμα. Η ρϊβδοσ ςτρϋφεται ςε κατακόρυφο επύπεδο γύρω από οριζόντιο ϊξονα, ο οπούοσ διϋρχεται από το ϊκρο τησ Α, χωρύσ τριβϋσ. δ. Να υπολογύςετε τον ρυθμό μεταβολόσ τησ κινητικόσ ενϋργειασ τησ ρϊβδου ςτη θϋςη ςτην οπούα η ρϊβδοσ ςχηματύζει γωνύα φ με την κατακόρυφο που διϋρχεται από το ϊκρο Α, όπωσ ςτο παρακϊτω ςχόμα. Κ. Β.Φιρφιρής 77

178 78 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Δεύτερη λεπτό, ϊκαμπτη και ομογενόσ ρϊβδοσ ΑΔ, μόκουσ l = l και μϊζασ Μ = 3 Μ εύναι αρθρωμϋνη και αυτό ςτο ςημεύο Α γύρω από τον ύδιο ϊξονα περιςτροφόσ με την ρϊβδο ΑΓ. Η ρϊβδοσ ΑΔ ςυγκρατεύται ακύνητη, με κατϊλληλο μηχανιςμό, ςε θϋςη όπου ςχηματύζει γωνύα φ με τον κατακόρυφο τούχο όπωσ ςτο ςχόμα. Οι δύο ρϊβδοι ςυγκρούονται και ταυτόχρονα ο μηχανιςμόσ ελευθερώνει τη ρϊβδο ΑΔ, χωρύσ απώλεια ενϋργειασ. Οι ρϊβδοι μετϊ την κρούςη κινούνται ςαν ϋνα ςώμα, χωρύσ τριβϋσ. Ο χρόνοσ τησ κρούςησ θεωρεύται αμελητϋοσ. ε. Να υπολογύςετε το ποςοςτό απώλειασ τησ κινητικόσ ενϋργειασ του ςυςτόματοσ κατϊ την κρούςη. Όλεσ οι κινόςεισ πραγματοποιούνται ςτο ύδιο κατακόρυφο επύπεδο. Δύνονται : Η ροπό αδρϊνειασ Ιρ λεπτόσ ομογενούσ ρϊβδου μϊζασ Μ και μόκουσ l, ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το ϋνα τησ ϊκρο και εύναι κϊθετοσ ςε αυτό: Ιρ=(/3)M l Η ροπό αδρϊνειασ Ιςφ ομογενούσ ςφαύρασ μϊζασ m και ακτύνασ r ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ τησ : Ιςφ=(/5)mr g = 0 m/ s 30. Λεπτό, ϊκαμπτη και ιςοπαχόσ ρϊβδοσ ΑΒ μόκουσ l = m και μϊζασ Μ = 3 kg, μπορεύ να ςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ ςε κατακόρυφο επύπεδο γύρω από οριζόντιο ϊξονα που διϋρχεται από ςημεύο Ο αυτόσ, εύναι κϊθετοσ ςτη ρϊβδο και απϋχει από το ϊκρο τησ Β απόςταςη OB =d=l/4.το μϋςο Κ τησ ρϊβδου και ςτο ϊκρο τησ Α ςτερεώνουμε δύο ςφαιρύδια μϊζασ m και m αντύςτοιχα, όπου m = m = kg. Δύνοντασ κατϊλληλη ώθηςη το ςύςτημα περιςτρϋφεται και χτυπϊ ςε κατακόρυφο τούχο με το ϊκρο Α, τη ςτιγμό που η ρϊβδοσ ςχηματύζει με το οριζόντιο επύπεδο γωνύα θ, τϋτοια ώςτε ημθ = 0,83 (ςχήμα 6). α.να υπολογύςετε τη ροπό αδρϊνειασ του ςυςτόματοσ ρϊβδου-ςφαιριδύων ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ. β. Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ γωνιακόσ ταχύτητασ ω του ςυςτόματοσ ρϊβδουςφαιριδύων αμϋςωσ μετϊ την κρούςη, ώςτε αυτό να εκτελϋςει οριακϊ ανακύκλωςη. γ. Κατϊ την κρούςη με τον τούχο, το ποςοςτό απωλειών τησ κινητικόσ ενϋργειασ εύναι το 75% τησ κινητικόσ ενϋργειασ του ςυςτόματοσ ρϊβδου-ςφαιριδύων πριν την κρούςη. Να υπολογύςετε τη μεταβολό τησ ςτροφορμόσ του ςυςτόματοσ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του κατϊ την κρούςη. δ. Όταν το ςύςτημα ρϊβδου-ςφαιριδύων περνϊ από την οριζόντια θϋςη για πρώτη φορϊ, να υπολογύςετε το μϋτρο του ρυθμού μεταβολόσ τησ ςτροφορμόσ του ςφαιριδύου m ωσ προσ τον ϊξονα που διϋρχεται από το ςημεύο Ο Κ. Β.Φιρφιρής 78

179 79 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ Δύνονται: επιτϊχυνςη βαρύτητασ g = 0 m/s, ροπό αδρϊνειασ Icm λεπτόσ ομογενούσ ρϊβδου μϊζασ Μ και μόκουσ l, ωσ προσ ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ τησ και εύναι κϊθετοσ ςε αυτό Ιcm=(/)Ml 3. Δύο ςυγκολλημϋνοι ομοαξονικού κύλινδροι με ακτύνεσ R και R= R αποτελούν το ςτερεό Π του ςχόματοσ. Σο ςτερεό ϋχει μϊζα Μ = 5 kg, ροπό αδρϊνειασ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του Ι = kg. m και R = 0, m. To ςτερεό μπορεύ να ςτρϋφεται γύρω από ςταθερό οριζόντιο ϊξονα που ςυμπύπτει με τον ϊξονϊ του, χωρύσ τριβϋσ. Σο ςώμα μϊζασ m = 50 kg κρϋμεται από το ελεύθερο ϊκρο αβαρούσ και μη εκτατού νόματοσ που εύναι τυλιγμϋνο πολλϋσ φορϋσ ςτον κύλινδρο ακτύνασ R. Με τη βοόθεια οριζόντιου ελατηρύου το ςύςτημα ιςορροπεύ όπωσ ςτο χόμα Από το εςωτερικό ϊ κ ρ ο Α ενόσ ημιςφαιρύου ακτύνασ R=,6m αφόνεται να κυλόςει μύα ςυμπαγόσ μικρό ςφαύρα μϊζασ m=,4kg και ακτύνασ r=r/8. Σο ημιςφαύριο εύναι βυθιςμϋνο ςτο ϋδαφοσ, όπωσ φαύνεται ςτο χόμα 3, και η κύνηςη τησ ςφαύρασ γύνεται χωρύσ ολύςθηςη. α.να εκφρϊςετε τη ςτατικ ό τριβό Ts που αςκεύται ςτη ςφαύρα ςε ςυνϊρτηςη με το ςυνημύτονο τησ γωνύασ φ που ςχηματύζε ι η ακτύνα ΟΓ του ημιςφαιρύου με την ευθεύα ΑΕ τησ επιφϊνειασ του εδϊφουσ. β. Να υπολογύςετε την κϊθετη δύναμη που αςκεύ η ημιςφαιρ ι κ ό επιφϊνεια ςτη ςφαύρα όταν αυτό βρύςκεται ςτο ςημεύο Γ όπου φ = 30 0 Μια ϊλλη ςφαύρα, όμοια με την προηγούμενη, εκτοξεύεται από το κ ατώτατο ςημεύο Δ του ημιςφαιρύου με ταχύτητα u=6m/s και κυλύεται χωρύσ ολύςθηςη ςτο εςωτερικό του με κατεύθυνςη το ϊκρο Ε (χόμα 4). α.να υπολογύςετε το μϋτρο τησ δύναμησ του ελατηρύου. β. Να υπολογύςετε τη δύναμη F (μϋτρο, κατεύθυνςη) που αςκεύ ο ϊξονασ ςτο ςτερεό. Ση χρονικό ςτιγμό t0 = 0 κόβεται το ελατόριο ςτο ςημεύο Α και το ςτερεό αρχύζει να ςτρϋφεται. γ. Να υπολογύςετε τη γωνιακό επιτϊχυνςη του ςτερεού. δ.να υπολογύςετε το ρυθμό μεταβολόσ τησ κινητικόσ ενϋργειασ του ςτερεού την χρονικό ςτιγμό t = 0,9 s. Δύνεται ότι η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ εύναι g = 0 m/s. γ. Να υπολογύςετε το μϋγιςτο ύψοσ από την επιφϊνεια του εδϊφουσ που θα φτϊςει η ςφαύρα κατϊ την κύνηςη τησ. δ. Να υπολογύςετε το ρυθμό μεταβολόσ τησ κινητικό ενϋργειασ και το ρυθμό μεταβολόσ τησ ςτροφορμόσ τησ ςφαύρασ αμϋςωσ μόλισ αυτό χϊςει την επαφό με την επιφϊνεια του ημιςφαιρύου ςτο ςημεύο Ε. Δύνονται: Η ροπό αδρϊνειασ τησ ςφαύρασ από ϊξονα που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ Ιcm=(/5)mr και g=0m/s Κ. Β.Φιρφιρής 79

180 80 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ 33. ώμα, μϊζασ m = kg, εύναι δεμϋνο ςτο κϊτω ϊκρο ιδανικού ελατηρύου ςταθερϊσ k = 00 N/m. Σο πϊνω ϊκρο του ελατηρύου εύναι ςτερεωμϋνο ςε ακλόνητο ςημεύο ςτην κορυφό κεκλιμϋνου επιπϋδου, γωνύασ κλύςησ φ = 30 Ο. Σο τμόμα ΒΓ του κεκλιμϋνου επιπϋδου εύναι λεύο. Ομογενόσ κύλινδροσ μϊζασ Μ = kg και ακτύνασ R = 0, m ςυνδϋεται με το ςώμα με τη βοόθεια αβαρούσ νόματοσ που δεν επιμηκύνεται. Ο ϊξονασ του κυλύνδρου εύναι οριζόντιοσ. Σο νόμα και ο ϊξονασ του ελατηρύου βρύςκονται ςτην ύδια ευθεύα, που εύναι παρϊλληλη ςτο κεκλιμϋνο επύπεδο. Σο ςύςτημα των ςωμϊτων ιςορροπεύ όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα -Ροπό αδρϊνειασ ομογενούσ κυλύνδρου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ Ι CM= MR 34. Ομογενόσ δύςκοσ ϋχει μϊζα Μ = 8 kg και ακτύνα R = 0, m. το ςημεύο Β τησ κατακόρυφησ διαμϋτρου του 3 δύςκου, που απϋχει απόςταςη d= R από το οριζόντιο επύπεδο, εύναι ςτερεωμϋνο οριζόντιο αβαρϋσ μη εκτατό νόμα (). Σο ϊλλο ϊκρο Α του νόματοσ () εύναι ακλόνητα ςτερεωμϋνο, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα 4. Γύρω από την περιφϋρεια του δύςκου εύναι τυλιγμϋνο πολλϋσ φορϋσ ϊλλο δεύτερο αβαρϋσ μη εκτατό νόμα (), το οπούο διϋρχεται από τροχαλύα, μϊζασ Μ = kg και ακτύνασ R = 0, m. το ϊλλο ϊκρο του νόματοσ () εύναι ςυνδεδεμϋνο ςώμα 3, μϊζασ Μ3 = kg. Σο ςύςτημα αρχικϊ ιςορροπεύ. Σο τμόμα ΓΔ του νόματοσ () εύναι οριζόντιο. α.να υπολογύςετε το μϋτρο τησ τϊςησ του νόματοσ και την επιμόκυνςη του ελατηρύου. Ση χρονικό ςτιγμό t = 0 κόβεται το νόμα. Σο ςώμα αρχύζει να εκτελεύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη και ο κύλινδροσ αρχύζει να κυλύεται χωρύσ ολύςθηςη. β. Να γρϊψετε την εξύςωςη τησ δύναμησ επαναφορϊσ για το ςώμα ςε ςυνϊρτηςη με το χρόνο, θεωρώντασ ωσ θετικό φορϊ την προσ τα πϊνω, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα γ. Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ ςτροφορμόσ του κυλύνδρου, όταν θα ϋχει διαγρϊψει Ν= π περιςτροφϋσ κατϊ την κύνηςη του ςτο κεκλιμϋνο επύπεδο. δ. Να υπολογύςετε το ρυθμό μεταβολόσ τησ κινητικόσ ενϋργειασ του κυλύνδρου, κατϊ την κύνηςη του ςτο κεκλιμϋνο επύπεδο, τη χρονικό ςτιγμό t = 3 s. Δύνονται: -Η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ g=0m/s -ημ30 0 =/ α) Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ τϊςησ που αςκεύ το νόμα () ςτο δύςκο Ση χρονικό ςτιγμό t0 = 0 το νόμα () κόβεται. Σο ςώμα 3 κατϋρχεται με επιτϊχυνςη. Η τροχαλύα αρχύζει να περιςτρϋφεται, χωρύσ τριβϋσ, γύρω από τον ϊξονϊ τησ και ο δύςκοσ αρχύζει να κυλύεται, χωρύσ να ολιςθαύνει, πϊνω ςτο οριζόντιο επύπεδο. β) Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ επιτϊχυνςησ του κϋντρου μϊζασ του δύςκου. γ) Να υπολογύςετε το μϋτρο τησ ςτροφορμόσ τησ τροχαλύασ τη χρονικό ςτιγμό t = s. δ) Να υπολογύςετε τη μεταβολό τησ βαρυτικόσ δυναμικόσ ενϋργειασ του ςώματοσ 3 για την κύνηςη του από τη χρονικό ςτιγμό t0 = 0 ϋωσ τη χρονικό ςτιγμό t = s. Δύνονται - η ροπό αδρανεύασ του δύςκου ωσ προσ τον Κ. Β.Φιρφιρής 80

181 8 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ϊξονα περιςτροφόσ που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ του I MR -η ροπό αδρανεύασ τησ τροχαλύασ ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ που διϋρχεται από το κϋντρο μϊζασ του I MR - η επιτϊχυνςη τησ βαρύτητασ g=0m/s Nα θεωρόςετε: η τριβό του νόματοσ () τόςο με το δύςκο, όςο και με την τροχαλύα, εύναι αρκετϊ μεγϊλη ώςτε να μην παρατηρεύται ολύςθηςη. κατϊ τη διϊρκεια όλου του φαινομϋνου, ο δύςκοσ παραμϋνει ςτο οριζόντιο επύπεδο, χωρύσ να ςυγκρούεται με την τροχαλύα. ο ϊξονασ περιςτροφόσ του δύςκου δεν αλλϊζει κατεύθυνςη, κατϊ τη διϊρκεια τησ κύνηςόσ του. το ςώμα 3 ϋχει αμελητϋεσ διαςτϊςεισ. η αντύςταςη του αϋρα εύναι αμελητϋα. 35. Η οριζόντια και ομογενόσ ρϊβδοσ ΑΒ του παρακϊτω ςχόματοσ, ϋχει μόκοσ L= 0,6 m και μϊζα M= 3 Kg. τα ϊκρα τησ ρϊβδου, ϋχουν ςτερεωθεύ δύο ςφαιρύδια αμελητϋων διαςτϊςεων μϊζασ m= 0,5 Kg το καθϋνα. Η ρϊβδοσ μπορεύ να περιςτρϋφεται γύρω από κατακόρυφο λεπτό ςωλόνα, που περνϊ από το κϋντρο τησ και ϋχει αμελητϋα μϊζα και ακτύνα. το ςωλόνα ϋχει προςαρμοςτεύ, ςταθερϊ, ομογενόσ κύλινδροσ μϊζασ ΜΚ= Kg και ακτύνασ RΚ= 0, m. Γύρω από τον κύλινδρο εύναι τυλιγμϋνο πολλϋσ φορϋσ λεπτό, αβαρϋσ νόμα ςταθερού μόκουσ, ςτην ελεύθερη ϊκρη του οπούου αναρτϊται μϋςω αβαρούσ τροχαλύασ, που μπορεύ να περιςτρϋφεται χωρύσ τριβϋσ, ϋνα ςώμα μϊζασ m=,5 Kg. Αρχικϊ το ςώμα και το ςύςτημα (ρϊβδοσ, ςφαιρύδια και κύλινδροσ) εύναι ακύνητα. Ση χρονικό ςτιγμό t=0 το ςώμα αφόνεται να κινηθεύ κατακόρυφα και το ςύςτημα ξεκινϊ να περιςτρϋφεται, ενώ το νόμα δεν ολιςθαύνει. Να υπολογύςετε: α. Ση ςυνολικό ροπό αδρϊνειασ του ςυςτόματοσ που αποτελεύται από τη ρϊβδο, τα ςφαιρύδια και τον κύλινδρο. β. Σο μϋτρο τησ γωνιακόσ επιτϊχυνςησ του κυλύνδρου. γ. Σο μϋτρο τησ τϊςησ του νόματοσ που αςκεύ το νόμα ςτο ςώμα. δ. Σην κινητικό ενϋργεια του ςυςτόματοσ λόγω περιςτροφόσ, τη χρονικό ςτιγμό t κατϊ την οπούα το ςύςτημα ϋχει εκτελϋςει Ν= 5 π περιςτροφϋσ. ε. Σο ύψοσ h κατϊ το οπούο ϋχει κατϋλθει το ςώμα την παραπϊνω χρονικό ςτιγμό t. Δύνονται: Η ροπό αδρϊνειασ τησ ρϊβδου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ τησ ΙCM ML η ροπό αδρϊνειασ του κυλύνδρου ωσ προσ τον ϊξονα περιςτροφόσ του Ιcm,K MKRK g=0m/s Κ. Β.Φιρφιρής 8

182 8 ΦΤΙΚΗ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ-ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ: ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΣΙΚΗ ΡΕΤΣΑ Α.Ερωτήςεισ πολλαπλήσ επιλογήσ. Σο δοχεύο του ςχόματοσ εύναι γεμϊτο με υγρό και κλεύνεται με ϋμβολο Ε ςτο οπούο αςκεύται δύναμη F Όλα τα μανόμετρα,, 3, 4 δεύχνουν πϊντα α) την ύδια πύεςη, όταν το δοχεύο εύναι εντόσ του πεδύου βαρύτητασ β) την ύδια πύεςη, όταν το δοχεύο βρύςκεται εκτόσ πεδύου βαρύτητασ γ) διαφορετικό πύεςη, αν το δοχεύο βρύςκεται εκτόσ πεδύου βαρύτητασ δ) την ύδια πύεςη, ανεξϊρτητα από το αν το δοχεύο εύναι εντόσ ό εκτόσ του πεδύου βαρύτητασ. Β.Ερωτήςεισ τύπου ςωςτό-λάθοσ. Η εξύςωςη τησ ςυνϋχειασ ςτα ρευςτϊ εύναι ϊμεςη ςυνϋπεια τησ αρχόσ διατόρηςησ ενϋργειασ.. Η ταχύτητα ροόσ ενόσ αςυμπύεςτου ιδανικού ρευςτού κατϊ μόκοσ ενόσ ςωλόνα που δεν ϋχει ςταθερό διατομό, εύναι μεγαλύτερη εκεύ που πυκνώνουν οι ρευματικϋσ γραμμϋσ. 3. Η ροό ενόσ ρευςτού εύναι ςτρωτό, όταν παρουςιϊζει ςτροβύλουσ. 4. Σο πουϊζ εύναι μονϊδα μϋτρηςησ του ςυντελεςτό ιξώδουσ ςτο S.I. 5. Όλα τα πραγματικϊ ρευςτϊ ονομϊζονται νευτώνια. 6. Ο νόμοσ του Bernouli εύναι αποτϋλεςμα τησ αρχόσ διατόρηςησ τησ ενϋργειασ. 7. τη ςτρωτό ροό οι ρευματικϋσ γραμμϋσ μπορεύ και να τϋμνονται μεταξύ τουσ. Γ. ο θέμα. Δοχεύο με κατακόρυφα τοιχώματα περιϋχει ϋνα αςυμπύεςτο ιδανικό υγρό. Σο ύψοσ του υγρού ςτο δοχεύο εύναι h, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα το δοχεύο ανούγουμε μικρό οπό ςτο πλευρικό του τούχωμα, ςε ύψοσ y = h / από τη βϊςη του. Η φλϋβα που δημιουργεύται, ςυναντϊ το ϋδαφοσ ςε οριζόντια απόςταςη x από τη βϊςη του δοχεύου. Η απόςταςη x εύναι ύςη με : i. h ii. h / iii. h α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να δικαιολογόςετε την απϊντηςό ςασ.. τον οριζόντιο ςωλόνα, του ςχόματοσ 3, αςυμπύεςτο ιδανικό ρευςτό ϋχει ςτρωτό ροό από το ςημεύο Α προσ το ςημεύο Β. Η διατομό ΑΑ του ςωλόνα ςτη θϋςη Α εύναι διπλϊςια από τη διατομό ΑΒ του ςωλόνα ςτη θϋςη Β. Η κινητικό ενϋργεια ανϊ μονϊδα όγκου ςτο ςημεύο Α ϋχει τιμό ύςη με Λ. Η διαφορϊ τησ πύεςησ ανϊμεςα ςτα ςημεύα Α και Β εύναι ύςη με: 3Λ i. ii. 3Λ iii. Λ 4 α) Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη. β) Να δικαιολογόςετε την επιλογό ςασ. 3. τη διϊταξη του ςχόματοσ το μόκοσ του ςωλόνα () παραμϋνει ςταθερό, ενώ του () μπορεύ να μεταβϊλλεται. τη θϋςη (α) του ςωλόνα () ςτο ςημεύο ϋχουμε μηδενιςμό του όχου. Κ. Β.Φιρφιρής 8