Trigonometrijske. funkcije realnog broja

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Trigonometrijske. funkcije realnog broja"

Transcript

1 1 Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica.... Kutoviiradijani Definicija trigonometrijskih funkcija Odre - divanje vrijednosti trig. funkcija Parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija Periodičnost trigonometrijskih funkcija Osnovne relacije me - dutrig.funkcijama Adicijske formule Još neki trigonometrijski identiteti Grafički prikaz trigonometrijskih funkcija Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe Primjena trigonometrije na pravokutan trokut Poučak osinusima Poučak okosinusu Primjena trigonometrije

2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE REALNOG BROJA 1.1. Brojevna kružnica Na pravcu p istaknimo dvije različite točke I i E.Točki I pridružimo broj 0, atočki E broj 1. Svakoj točki pravca možemo pridružiti jedan broj i obratno. Pravac p s tim pridruživanjem nazivamo brojevni pravac, točku I nazivamo ishodištem, atočku E jediničnom točkom. Brojevni pravac. Neka je k kružnica polumjera 1 sa središtem u ishodištu O koordinatnog sustava u ravnini. Slovom I označimo točku (1, 0) na x -osi. Njome postavimo brojevni pravac p okomito na x -os tako da pozitivni brojevi na pravcu budu u prvom kvadrantu. Brojevni pravac p dira kružnicu k, d(o, I) =d(i, E) =1. Pravac p namotajmo bez klizanja i rastezanja na kružnicu k tako da polupravac s pozitivnim brojevima namatamo u pozitivnom smjeru, a polupravac s negativnim brojevima u negativnom smjeru. Ovim namatanjem smo svakom realnom broju t pridružili jednu točku E(t) kružnice. Ovo pridruživanje zovemo eksponencijalno preslikavanje pravca na kružnicu i označavamo s E. Namatanje pravca na kružnicu. Kružnicu k zajedno s eksponencijalnim preslikavanjem E : R k nazivamo brojevna ili trigonometrijska kružnica. Broj 0 preslikava se u točku I. Kako je duljina jedinične kružnice jednaka, slijedi da se i brojevi,,,...preslikavaju isto u točku I.

3 1.1. BROJEVNA KRUŽNICA Duljina jedinične polukružnice je,pa se broj preslikava u točku I koja je dijametralno suprotna točki I. Ali isto tako, i brojevi 3 = +, 5 = +,... se tako - der preslikavaju u I. Četvrtina kružnice ima duljinu,paznači da se u točku C preslikava broj, aliibrojevi +, +,... Općenito možemo zaključiti da se svake dvije točke koje su na pravcu udaljene za višekratnik broja namatanjem stope u jednu točku kružnice, tj. vrijedi E(t + k) =E(t) za svaki t R i k Z. Primjer 1. Nacrtajmo E(t),akoje t jednako: a),, 3, 5, 7 ; b) 3, 3, 3, 5 3 ; c),, 3,, 5. a) Četvrtina polukružnice ima duljinu. Točke ( ) ( 3 ) ( 5 ) ( 7 ) E, E, E, E dijele četvrtine kružnice na jednake dijelove. 3

4 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE REALNOG BROJA b) c) Trećina polukružnice ima duljinu ««3. Točke E ie dijele 3 3 gornju polukružnicu na tri jednaka dijela. ««5 Točke E,...,E dijele gornju polukružnicu na šest jednakih dijelova. Primjer. Za realni broj t = 19 E(t 1 )=E(t ). na - dimo brojeve t 1 [0,, t [, 8, takve da vrijedi E(t) = Kako je 19 = + 3 je t 1 = 3. i 3 [0, to 19 Brojevi, 3, 7 preslikavaju se uistutočku trigonometrijske kružnice. Broj t računamo ovako: 19 ( = + 3 ) + ( =( )+ + 3 ) = + 7, pa je t = 7 [, 8.

5 1.1. BROJEVNA KRUŽNICA Zadaci Na brojevnoj kružnici odredi točke E(t) ako je t : a) ; b) 3 ; c) 005 ; d) ; e) 5 ; f) 003 ; g) ; h) 8 ; i) 1 ; j) ; k) ; l) 38 ; k) ; l) 9 ; m) 005 ; n) ; o) ; p).. Na brojevnoj kružnici odredi točke E(t) ako je t : a) 3 ; b) 3 ; c) 5 ; d) 1 ; e) 3 ; f) ; g) 1 ; h) ; i) Na brojevnoj kružnici skiciraj položaj točke E(t) ako je t : a) 1; b) 1.5 ; c) ; d) ; e) 1; f) 0.3 ; g) ; h) 30.8 ; i).7 ; pri čemu uzmi da je Odredi t [0, takav da je E(t) =E(x) ako je zadan x : a) 13 ; b) 13 ; c) 11 ; d) ; e) 5. Odredi t [0, takav da je E(t) =E(x) ako je zadan x : a) 11 3 ; b) ; c) 17 ; d) Odredi t [0, takav da je E(t) =E(x) ako je zadan x : 19 ; f) ; e) 37 ; f) a) 1.8 ; b) 3.1 ; c) ; d) 8; e) 101 ; f) 7.51, pri čemu uzmi da je Odredi t [, 0 takav da je E(t) =E(x) ako je zadan x : a) 13 ; b) 1 3 ; c) 5 ; d) 1 35 ; e) 8. Odredi t [10, 1 takav da je E(t) =E(x) ako je zadan x : a) ; b) 3 ; c) ; d) 3 3 ; e) 5 13 ; f) ; f)

6 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE REALNOG BROJA 1.. Kutovi i radijani Neka je t 0 broj izme - du 0 i. Namatanjem pravca na kružnicu taj se broj preslikava u točku E(t 0 ). Točkom E(t 0 ) povucimo polupravac OE(t 0 ) koji zajedno s pozitivnim dijelom x -osi odre - duje kut <)IOE(t 0 ).Duljina luka kružnice koji se nalazi u tom kutu jednaka je t 0. Taj se broj t 0 naziva glavna radijanska mjera kuta. Ako je t 1 neki drugi broj van intervala [0,, ali čija se točka E(t 1 ) podudara s točkom E(t 0 ),tadabroj t 1 zovemo radijanska mjera kuta. Glavna mjera i svaka druga mjera istog kuta razlikuju se za višekratnik broja, tj. t 1 = t 0 + k, k Z, t 0 =[0,. Na primjer, pravi kut (slika lijevo) ima glavnu mjeru radijana, što kraće pišemo rad, a neke druge mjere su mu 5, 9, 3, 7 itd. Ispruženi kut (slika desno) ima glavnu mjeru rad, a neke druge mjere su mu 3,5,7,, 3 itd. Povijesno gledano, stariji način mjerenja kutova jest mjerenje u stupnjevima. U tom slučaju je glavna mjera ispruženog kuta jednaka 180 stupnjeva, što kraće zapisujemo 180, a kut s mjerom od t radijana ima s = 180 t stupnjeva. Pri toj pretvorbi obično koristimo i manje dijelove stupnja: minute (1 = 1 0 stupnja) i sekunde ( 1 = 1 0 minute).

7 1.. KUTOVI I RADIJANI U sljedećoj tablici navedene su mjere nekih kutova u stupnjevima i u radijanima: mjera u stupnjevima mjera u radijanima Dakle, kad kažemo kut od 30, kut od rad ili kut od 390, kut od 11 radi se o istom kutu, ali s različitim mjerama: 30, rad, 390, 11 rad. Ukoliko u mjeri kuta ne piše kratica rad, podrazumijeva se da se radi o radijanskoj mjeri. Uvest ćemo još jednu skraćenicu. Na brojevnoj ćemo kružnici ponekad umjesto oznake E(t) pisati slovo t,uztutočku ili unutar kuta. Primjer 1. Kutovima od a) 38 ; b) 31 3 ; c) ; d) 13 na - dimo glavne mjere u radijanima. a) Kako je 38 = 0 + 1, to je glavna mjera tog kuta jednaka 0 radijana. b) Iz 31 3 = = slijedi da je glavna mjera jednaka 5 3 radijana. c) = , pa je glavna mjera jednaka 1, tj. 180 rad. d) 13 = , te je glavna mjera jednaka 17, tj. Primjer rad. Danu radijansku mjeru kuta napišimo u stupnjevima: a) 1rad; b) 3 rad; c) 8. rad. a) Koristeći formulu imamo s = 180 t = 180 = Takoder, t - mogli smo koristiti i džepno računalo tako da u stanju RAD upišemo dani broj u radijanima, tj. 1, te korištenjem 7

8 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE REALNOG BROJA tipki SHIFT DRG dok se ne dode - do stanja DEG dobivamo broj u stupnjevima. Uobičajeno je ovaj broj zapisati i pomoću minuta i sekunda. Broj minuta dobivamo tako da oduzmemo cjelobrojni dio i razliku pomnožimo sa 0 : = Oduzmemo li od ovog broja cjelobrojni dio i ostatak pomnožimo sa 0, dobit ćemo sekunde: =.80. Dakle, mjera u stupnjevima kuta od 1 radijana iznosi Ovaj postupak pretvaranja stupnjeva u minute i sekunde je na većini džepnih računala takoder - automatiziran (tipka ). b) 3 rad = = c) 8.rad= = Primjer 3. Napišimo 35 1 u radijanima. Prvo je potrebno dani broj pretvoriti u stupnjeve: s = 35 1 = = , a zatim t = s = rad. I ova pretvorba iz oblika stupnjevi-minute-sekunde u stupnjeve, te u radijane može se vršiti pomoću džepnog računala. Naime, računalo postavimo u stanje 180 DEG te unesemo podatak u obliku Pritiskom na tipku dobivamo , a zatim prelaskomustanje RAD ( SHIFT DRG ) taj broj se pretvara u radijane. Tvoje računalo možda ima tipke DRG i drugačije označene. Zato se svatko mora pobliže upoznati s radom svog džepnog računala. Zadaci Pretvori u stupnjeve, minute i sekunde: a) 1.8rad; b) 1.35 rad; c). rad.. Pretvori u radijane: a) ; b) ; c) Napiši još bar mjere kuta u radijanima čija je jedna mjera zadana, te pretvori sve te mjere iz radijana u stupnjeve: a) ; b) 8 3 ; c) ; d) 11 ; e) 1 ; f) Napiši još bar mjere u stupnjevima kuta čija je jedna mjera zadana, te pretvori sve te mjere iz stupnjeva u radijane: a) 330 ; b) 0 ; c) 80 ; d) 1 0 ; e) ; f) Odredi glavnu mjeru u radijanima kutova kojima su dane mjere: 13 a) ; b) 18 5 ; c) 87 ; d) 1 ; e) 87 ; f) Odredi glavnu mjeru u stupnjevima kutova kojima su dane mjere: a) ; b) 5 ; c) 1 35 ; d) 35 ; e) 5 ; f)

9 1.3. DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 1.3. Definicija trigonometrijskih funkcija Funkcije sinus i kosinus Namatanjem brojevnog pravca p na kružnicu k, svaki se realni broj t preslika u jednu točku E(t) kružnice. Ta točka E(t) ima dvije koordinate. Prvu nazivamo kosinus broja t, a drugu sinus broja t. Kosinus realnog broja t je apscisa one točke trigonometrijske kružnice koja je pridružena broju t. Sinus realnog broja t je ordinata one točke trigonometrijske kružnice koja je pridružena broju t. Funkcija koja broju t pridružuje broj cos t naziva se kosinus ioznačava se sa cos, a funkcija koja broju t pridružuje broj sin t naziva se sinus ioznačava se sa sin. Funkcije kosinus i sinus definirane su na skupu R, a kodomena im je [ 1, 1] jer su koordinate točke E(t) brojevi koji po apsolutnoj vrijednosti nisu veći od 1. Funkcije sinus i kosinus cos : R [ 1, 1] t cos t sin : R [ 1, 1] t sin t Primjer 1. Nacrtajmo točku E(t) iizračunajmo sinus i kosinus od t,akoje t : a) ; b) ; c) 77 ; d) 35. sin = 0, cos = 1; sin = 0, cos = 1; sin( 77) =0, cos( 77) = 1; sin = 1, cos = 0. 9

10 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE REALNOG BROJA Primjer. Nacrtajmo točke E(t) za koje vrijedi: a) sin t = 1 ; b) sin t = 1 3 ; c) cos t = 3 ; d) cos t = 1. Za točke E(t 1 ) ie(t ) vrijedi sin t 1 = sin t = 1.Zatočke E(t 3) i E(t ) vrijedi sin t 3 = sin t = 1 3. Za točke E(t 1 ) ie(t ) vrijedi cos t 1 = cos t = 3.Zatočke E(t 3) i E(t ) vrijedi cos t 3 = cos t = 1. Funkcija tangens Funkcija tangens, u oznaci tg, definira se pomoću funkcija sinus i kosinus ovako: tg t = sin t, cos t 0. cos t Za koje brojeve t vrijedi cos t 0? C i D su točke trigonometrijske kružnice s apscisom 0. Jedine točke na brojevnoj kružnici s apscisom 0 su točke C(0, 1) i D(0, 1).Brojevi koji se namatanjem preslikavaju u točku C su brojevi, 5, 9,..., 3, 7 ( ),..., tj. C = E +k, k Z.Za ( 3 ) točku D vrijedi D = E +k, k Z. Dakle, tangens je definiran za sve realne brojeve t različite od + k, k Z. 10 Funkcija tangens { } tg : R \ + k : k Z R tg t = sin t cos t

11 1.3. DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA Na slici se tangens broja očitava ovako. Točkom E(t) povučemo polupravac s početkom u ishodištu. Taj polupravac siječe pravac p utočki F. Tangens broja t je ordinata točke F. Pravac p nazivamo tangensna os. Geometrijska interpretacija broja tg t. Primjer 3. Nacrtajmo E(t) na trigonometrijskoj kružnici i tg t na tangensnoj osi ako je t : a) 9 ; b) 3 ; c) ; d) 3. Funkcija kotangens Funkcija kotangens, u oznaci ctg, definira se ovako ctg t = cos t, sin t 0. sin t Brojevi za koje je sin t = 0 su oblika k, k Z, pa je dakle kotangens definiran za t k, k Z. Na slici se kotangens očitava ovako. Geometrijska interpretacija kotangensa broja t. Utočki C(0, 1) povučemo pravac q paralelan s x -osi. Polupravac OE(t) siječe pravac q utočki G. Kotangens broja t je apscisa točke G.Pravacq nazivamo kotangensna os. 11

12 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE REALNOG BROJA Primjer. Nacrtajmo E(t) na trigonometrijskoj kružnici i ctg t na kotangensnoj osi ako je t : a) 11 ; b) ; c) 191 ; d) 3. Zadaci Nacrtaj E(t) i istakni sinus i kosinus od t,akoje t jednako: a) 3 ; b) 1 : c) 197 : d). Na - di sin t,cost ako je t : 31 ; e) 11 ; f) 1 a) 7 ; b) 18 ; c) 38 ; d) ; e) 3 3. Nacrtaj na trigonometrijskoj kružnici točke E(t) za koje vrijedi: 33. ; f) a) sin t= 3 ; b) sin t=1 ; c) sin t= 1 ; d) cos t=1 3 ; e) cos t= 1 ; f) cos t= 3.. Nacrtaj E(t) i istakni tangens i kotangens od t (ukoliko postoje), ako je t jednako: 19 a) 3 ; b) 3 ; c) ; d) 13 ; e) 5. Istakni na trigonometrijskoj kružnici točke E(t) za koje vrijedi: 15 ; f) 37. a) tg t=1; b) tg t=; c) tg t= 5 ; d) ctg t=1.5; e) ctg t= 1.8; f) ctg t=.. Izračunaj: a) cos cos + sin cos( ) ; b) sin 3 cos + sin ; tg 1 + sin ( 17 ) c) sin 199 cos tg 1998 ; d) sin 7 cos 7 ; sin 19 ( e) + 5 ) cos cos 7 sin 7 ( sin 19 ) ( 5 ) ; f) + cos cos sin 1

13 1.. ODRE DIVANJE VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA KUTOVA 1.. Odre divanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija U. razredu odredili smo vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih posebnih šiljastih kutova. To su kutovi od 30, 5, 0. Pri računanju s njima i njihovim višekratnicima uobičajeno je da se vrijednosti trigonometrijskih funkcija zapisuju u obliku razlomka, a ne decimalnog broja. Navedimo ovdje tablicu za te brojeve. t( ) t (rad) sin t cos t tg t ctg t Za računanje s ostalim realnim brojevima koristimo računalo. Prvo, računalo treba biti u odgovarajućem stanju (modu): DEG ako unosimo mjeru u stupnjevima ili RAD ako unosimo mjeru u radijanima. Zatim se unese broj, te pritisne tipka odgovarajuće trigonometrijske funkcije. Na zaslonu se pojavljuje vrijednost trigonometrijske funkcije upisanog broja. Napomenimodanaračunalu ne postoji tipka za funkciju kotangens. U slučaju kad želimo izračunati kotangens broja x,prvoizračunamo njegov tangens, a zatim recipročnu vrijednost upotrebom tipke 1/x ili x 1. Primjer 1. Izračunajmo broj sin Postavimo računalo u stanje DEG i upišimo Pritiskom na tipku broj izražen u stupnjevima, minutama i sekundama automatski se prebacuje u broj izražen samo u stupnjevima. Ako računalo nema tipku,tadasebroj pretvara u broj u stupnjevima ovako: ( = ) =

14 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE REALNOG BROJA Nakon što se na zaslonu pojavio broj 3.3 pritiskom na tipku sin dobivamo sinus zadanog broja koji iznosi Ovdje je opisan rad s jednim modelom računala. Primjer. Odredimo sve realne brojeve t za koje vrijedi sin t = Rezultat iskažimo i u stupnjevima. Računalo postavimo u stanje RAD, upišimo broj 0.35 i pritisnemo tipke SHIFT sin. Time smo aktivirali funkciju sin 1 koja zadanom sinusu kuta odreduje - kut u intervalu od do. Na zaslonu se pojavio broj Dakle, t 1 = 0.3 rad (u ovoj knjizi zaokruživat ćemo četvrtu decimalu). U stupnjeve prelazimo upotrebom tipki SHIFT DRG dok ne do - demo u stanje DEG. Na zaslonu se pojavljuje broj To je broj t 1 izražen u stupnjevima. Ukoliko želimo rezultat izraziti u stupnjevima, minutama i sekundama upotrijebimo SHIFT i dobivamo t 1 = Proučimo sliku. Brojevi t 1 i t = t 1 =.777 rad = imaju isti sinus. I konačno, budući da se brojevi t i t + k preslikavaju u istu točku kružnice, dobivamo da su traženi brojevi k i k, k Z, odnosno zapisani u stupnjevima: k i k, k Z. Primjer 3. Odredimo sve realne brojeve x za koje vrijedi cos x = Pomoću računala dobivamo rezultat iz intervala [0, ] : x 1 =.803 rad = Brojevi x i x imaju isti kosinus, pa i broj x = x 1 ima kosinus I konačno, budući da se brojevi x i x + k preslikavaju u istu točku kružnice, traženi brojevi su: ± k, odnosno, u stupnjevima ± k, k Z. Primjer. Odredimo sve realne brojeve x za koje vrijedi: a) tg x = ; b) ctg x = 1.8. a) Pomoću računala dobivamo rezultat iz intervala, : x = rad = 3.Ali i svi brojevi oblika k = k imaju tangens. 1

15 1.. ODRE DIVANJE VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA KUTOVA b) Prvo izračunajmo tangens: tg x = 1 = 0.555, pa ponovimo postupak iz prvog dijela primjera. Svi brojevi kojima je kotangens jednak 1.8 su k ili, u stupnjevima ctg x k, k Z. Zadaci Popuni tablicu: x sin x cos x tg x ctg x Rezultate zaokruži na četvrtu decimalu.. Izračunaj: a) sin cos ; b) tg 3 50 ctg 30 0 ; c) sin 5 50 cos 5 10 sin 3 30 cos 30 0 ; d) tg 80 ctg Izračunaj: a) cos 13 sin 3 18 ; b) cos sin 0 5 ; c) tg 1 1 ctg ; d) cos 7 sin 81.. Popuni tablicu t sin t cos t tg t ctg t 5. Odredi t [0, 30 ako je zadano: a) sin t = 0.38 ; b) sin t = 0.33 ; c) sin t = ; d) cos t = ; e) cos t = 0.57 ; f) cos t = Odredi t [0, 180 ako je zadano: a) tg t = ; b) tg t =.375 ; c) tg t = ; d) ctg t = 1.18 ; e) ctg t =.3; f) ctg t = Odredi sve realne brojeve t za koje vrijedi: a) sin t = 0.13 ; b) sin t = 0.3 ; c) cos t = ; d) cos t = 0.93 ; e) tg t = 3; f) ctg t =

16 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE REALNOG BROJA 1.5. Parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija Primjer 1. Ispitajmo parnost funkcija Promotrimo sada točke na brojevnoj kružnici kojima su pridruženi brojevi t i t. Točke E(t) i E( t) simetrične su obzirom na x -os, te stoga imaju jednake apscise i suprotne ordinate. Dakle, vrijede sljedeće tvrdnje. Za svaki realni broj t vrijedi cos( t) =cos t, tj. kosinus je parna funkcija. Za svaki realni broj t vrijedi sin( t) = sin t, tj. sinus je neparna funkcija. Općenito, za funkciju f : D f R reći ćemo da je parna funkcija ako za svaki x D f vrijedi f ( x) =f (x). Za funkciju f : D f R reći ćemo da je neparna funkcija ako za svaki x D f vrijedi f ( x) = f (x). a) f 1 (x) =sin x ; b) f (x) =sin 8x cos x. a) f 1 ( x) =sin( x) = sin x = f 1 (x),teje f 1 neparna. b) f ( x) =sin ( 8x) cos( x) = ( sin 8x) cos x = sin 8x cos x = f (x),paje f parna funkcija. Koristeći definiciju tangensa, parnost kosinusa i neparnost sinusa imamo tg( t) = sin( t) cos( t) = sin t = tg t. cos t Dakle, tangens je neparna funkcija. Na isti način dobivamo da je kotangens tako - der neparna funkcija. Funkcije tangens i kotangens su neparne funkcije, tj. vrijedi tg( t) = tg t, ctg( t) = ctgt. 1

17 1.5. PARNOST I NEPARNOST TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA Tangensi brojeva t i t su suprotni brojevi. Zadaci 1.5. Kotangensi brojeva t i t su suprotni brojevi. 1. Primjenjujući parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija izračunaj: a) cos( 35 ) ako je cos 35 = ; b) sin( 53 ) ako je sin 53 = ; c) tg( ) ako je tg = 1.81 ; d) ctg( 87.5 ) ako je ctg 87.5 = 1.91 ; ( e) cos 18 ) ako je cos = Pojednostavni izraze: a) sin x cos( y)+sin( x) cos( y) ; b) sin t cos u sin t cos( u) ; c) tg α ctg( β) ctg α tg( β) ; d) tg x sin y ctg( x) sin( y). 3. Provjeri jesu li sljedeće funkcije parne: a) f (x) =x + 8x ; b) f (x) =11x 3 ; c) f (x) =cos 5x ; d) f (x) =3cosx ; e) f (x) =7 cos 11x ; f) f (x) =sin x.. Dokaži da su sljedeće funkcije parne: a) f (x) = x + x ; b) f (x) =cosx + 13 cos 3 x ; c) f (x) =sin x + ctg x ; d) f (x) =sin x; cos x e) f (x) = x ; f) f (x) = cos x ctg x. 1 + cos x 5. Provjeri jesu li sljedeće funkcije neparne: a) f (x) =x 7 3x 5 + x ; b) f (x) =8x x 3 ; c) f (x) =sin 7x ; d) f (x) =sinx ; e) f (x) =sin 3 x ; f) f (x) =sin x cos x.. Dokaži da su sljedeće funkcije neparne: a) f (x) = 3 x x ; b) f (x) =tg x + sin x ; c) f (x) =3tgx ctgx ; d) f (x) =tgx sin x cos x ; e) f (x) = 1 cos x sin x ; f) f (x) = x + tg x sin x. 17

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije September 5, 008 Brojevna kružnica. Mjerenje kuteva pretpostavimo da se po kružnici jediničnog radijusa pomaknemo za kut t u smjeru suprotnom od kazaljke na satu II T(t) O t I

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku. . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija

Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija Koordinatni sustav u ravnini Koordinatni sustav u ravnini Funkcija 4. 1. Koordinatni sustav u ravnini..................... Uvod U drugom smo poglavlju opisali koordinatni sustav na pravcu. Pridruživanjem

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= *

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= * POPIS ZADATAKA:.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=+i i i.riješi zadatak:izi= * i i.izračunaj:(8+6i)(8-6i)=.odredi realne brojeve i y za koje vrijedi:(-i)+(+i)y=i.riješi kvadratnu jednadžbu :9²-=0

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

1. Skup kompleksnih brojeva

1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu

Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Ratko Višak 1. Uvod Na osnovu poučka o obodnom i središnjem kutu izvedene su relacije kada točka nije na kružnici, nego je izvan ili unutar nje. Relacije

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

3. KRIVULJE DRUGOG REDA

3. KRIVULJE DRUGOG REDA 3. KRIVULJE DRUGOG REDA U realnoj projektivnoj ravnini konike ili krivulje drugog reda definiraju se ovako: Definicija 3.1. Skup svih točaka projektivne ravnine čije koordinate zadovoljavaju algebarsku

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja. r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

ALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.

ALFA List - 1. Festival matematike Split 2013. Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013. ALFA List - 1 Točan odgovor: 10 bodova Pogrešan odgovor: 5 bodova Bez odgovora: 0 bodova 1. Ako je (x+ 3): 4=( x ):3, onda je x jednako: A) 1 B) 1 C) 17 D) 17 E) 6. Kut od 1º30' gleda se kroz povećalo

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA 5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu

Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Ratko Višak 1. Uvod Na osnovu poučka o obodnom i središnjem kutu izvedene su relacije kada točka nije na kružnici, nego je izvan ili unutar nje. Relacije

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b.

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b. 1 DJELJIVOST 1.1. Djeljivost. Prosti brojevi Količnik dvaju prirodnih brojeva nije uvijek prirodni broj. Tako na primjer, broj 54 8 nije prirodan, jer 54 nije djeljiv s 8. Broj 221 jest prirodan, jer 221

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010. ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I

Διαβάστε περισσότερα

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 2010.

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 2010. ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. TRIGONOMETRIJA 5. Definicija trigonometrijskih funkcija Naj jednostavnija definicija trigonometrijskih funkcija dobije se promatranjem pravokutnog ( ) ( r) ( ) trokuta. Svaki takav trokut, za promatrani

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα