Trigonometrijske. funkcije realnog broja

Transcript

1 1 Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica.... Kutoviiradijani Definicija trigonometrijskih funkcija Odre - divanje vrijednosti trig. funkcija Parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija Periodičnost trigonometrijskih funkcija Osnovne relacije me - dutrig.funkcijama Adicijske formule Još neki trigonometrijski identiteti Grafički prikaz trigonometrijskih funkcija Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe Primjena trigonometrije na pravokutan trokut Poučak osinusima Poučak okosinusu Primjena trigonometrije

2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE REALNOG BROJA 1.1. Brojevna kružnica Na pravcu p istaknimo dvije različite točke I i E.Točki I pridružimo broj 0, atočki E broj 1. Svakoj točki pravca možemo pridružiti jedan broj i obratno. Pravac p s tim pridruživanjem nazivamo brojevni pravac, točku I nazivamo ishodištem, atočku E jediničnom točkom. Brojevni pravac. Neka je k kružnica polumjera 1 sa središtem u ishodištu O koordinatnog sustava u ravnini. Slovom I označimo točku (1, 0) na x -osi. Njome postavimo brojevni pravac p okomito na x -os tako da pozitivni brojevi na pravcu budu u prvom kvadrantu. Brojevni pravac p dira kružnicu k, d(o, I) =d(i, E) =1. Pravac p namotajmo bez klizanja i rastezanja na kružnicu k tako da polupravac s pozitivnim brojevima namatamo u pozitivnom smjeru, a polupravac s negativnim brojevima u negativnom smjeru. Ovim namatanjem smo svakom realnom broju t pridružili jednu točku E(t) kružnice. Ovo pridruživanje zovemo eksponencijalno preslikavanje pravca na kružnicu i označavamo s E. Namatanje pravca na kružnicu. Kružnicu k zajedno s eksponencijalnim preslikavanjem E : R k nazivamo brojevna ili trigonometrijska kružnica. Broj 0 preslikava se u točku I. Kako je duljina jedinične kružnice jednaka, slijedi da se i brojevi,,,...preslikavaju isto u točku I.

3 1.1. BROJEVNA KRUŽNICA Duljina jedinične polukružnice je,pa se broj preslikava u točku I koja je dijametralno suprotna točki I. Ali isto tako, i brojevi 3 = +, 5 = +,... se tako - der preslikavaju u I. Četvrtina kružnice ima duljinu,paznači da se u točku C preslikava broj, aliibrojevi +, +,... Općenito možemo zaključiti da se svake dvije točke koje su na pravcu udaljene za višekratnik broja namatanjem stope u jednu točku kružnice, tj. vrijedi E(t + k) =E(t) za svaki t R i k Z. Primjer 1. Nacrtajmo E(t),akoje t jednako: a),, 3, 5, 7 ; b) 3, 3, 3, 5 3 ; c),, 3,, 5. a) Četvrtina polukružnice ima duljinu. Točke ( ) ( 3 ) ( 5 ) ( 7 ) E, E, E, E dijele četvrtine kružnice na jednake dijelove. 3

4 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE REALNOG BROJA b) c) Trećina polukružnice ima duljinu ««3. Točke E ie dijele 3 3 gornju polukružnicu na tri jednaka dijela. ««5 Točke E,...,E dijele gornju polukružnicu na šest jednakih dijelova. Primjer. Za realni broj t = 19 E(t 1 )=E(t ). na - dimo brojeve t 1 [0,, t [, 8, takve da vrijedi E(t) = Kako je 19 = + 3 je t 1 = 3. i 3 [0, to 19 Brojevi, 3, 7 preslikavaju se uistutočku trigonometrijske kružnice. Broj t računamo ovako: 19 ( = + 3 ) + ( =( )+ + 3 ) = + 7, pa je t = 7 [, 8.

5 1.1. BROJEVNA KRUŽNICA Zadaci Na brojevnoj kružnici odredi točke E(t) ako je t : a) ; b) 3 ; c) 005 ; d) ; e) 5 ; f) 003 ; g) ; h) 8 ; i) 1 ; j) ; k) ; l) 38 ; k) ; l) 9 ; m) 005 ; n) ; o) ; p).. Na brojevnoj kružnici odredi točke E(t) ako je t : a) 3 ; b) 3 ; c) 5 ; d) 1 ; e) 3 ; f) ; g) 1 ; h) ; i) Na brojevnoj kružnici skiciraj položaj točke E(t) ako je t : a) 1; b) 1.5 ; c) ; d) ; e) 1; f) 0.3 ; g) ; h) 30.8 ; i).7 ; pri čemu uzmi da je Odredi t [0, takav da je E(t) =E(x) ako je zadan x : a) 13 ; b) 13 ; c) 11 ; d) ; e) 5. Odredi t [0, takav da je E(t) =E(x) ako je zadan x : a) 11 3 ; b) ; c) 17 ; d) Odredi t [0, takav da je E(t) =E(x) ako je zadan x : 19 ; f) ; e) 37 ; f) a) 1.8 ; b) 3.1 ; c) ; d) 8; e) 101 ; f) 7.51, pri čemu uzmi da je Odredi t [, 0 takav da je E(t) =E(x) ako je zadan x : a) 13 ; b) 1 3 ; c) 5 ; d) 1 35 ; e) 8. Odredi t [10, 1 takav da je E(t) =E(x) ako je zadan x : a) ; b) 3 ; c) ; d) 3 3 ; e) 5 13 ; f) ; f)

6 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE REALNOG BROJA 1.. Kutovi i radijani Neka je t 0 broj izme - du 0 i. Namatanjem pravca na kružnicu taj se broj preslikava u točku E(t 0 ). Točkom E(t 0 ) povucimo polupravac OE(t 0 ) koji zajedno s pozitivnim dijelom x -osi odre - duje kut <)IOE(t 0 ).Duljina luka kružnice koji se nalazi u tom kutu jednaka je t 0. Taj se broj t 0 naziva glavna radijanska mjera kuta. Ako je t 1 neki drugi broj van intervala [0,, ali čija se točka E(t 1 ) podudara s točkom E(t 0 ),tadabroj t 1 zovemo radijanska mjera kuta. Glavna mjera i svaka druga mjera istog kuta razlikuju se za višekratnik broja, tj. t 1 = t 0 + k, k Z, t 0 =[0,. Na primjer, pravi kut (slika lijevo) ima glavnu mjeru radijana, što kraće pišemo rad, a neke druge mjere su mu 5, 9, 3, 7 itd. Ispruženi kut (slika desno) ima glavnu mjeru rad, a neke druge mjere su mu 3,5,7,, 3 itd. Povijesno gledano, stariji način mjerenja kutova jest mjerenje u stupnjevima. U tom slučaju je glavna mjera ispruženog kuta jednaka 180 stupnjeva, što kraće zapisujemo 180, a kut s mjerom od t radijana ima s = 180 t stupnjeva. Pri toj pretvorbi obično koristimo i manje dijelove stupnja: minute (1 = 1 0 stupnja) i sekunde ( 1 = 1 0 minute).

7 1.. KUTOVI I RADIJANI U sljedećoj tablici navedene su mjere nekih kutova u stupnjevima i u radijanima: mjera u stupnjevima mjera u radijanima Dakle, kad kažemo kut od 30, kut od rad ili kut od 390, kut od 11 radi se o istom kutu, ali s različitim mjerama: 30, rad, 390, 11 rad. Ukoliko u mjeri kuta ne piše kratica rad, podrazumijeva se da se radi o radijanskoj mjeri. Uvest ćemo još jednu skraćenicu. Na brojevnoj ćemo kružnici ponekad umjesto oznake E(t) pisati slovo t,uztutočku ili unutar kuta. Primjer 1. Kutovima od a) 38 ; b) 31 3 ; c) ; d) 13 na - dimo glavne mjere u radijanima. a) Kako je 38 = 0 + 1, to je glavna mjera tog kuta jednaka 0 radijana. b) Iz 31 3 = = slijedi da je glavna mjera jednaka 5 3 radijana. c) = , pa je glavna mjera jednaka 1, tj. 180 rad. d) 13 = , te je glavna mjera jednaka 17, tj. Primjer rad. Danu radijansku mjeru kuta napišimo u stupnjevima: a) 1rad; b) 3 rad; c) 8. rad. a) Koristeći formulu imamo s = 180 t = 180 = Takoder, t - mogli smo koristiti i džepno računalo tako da u stanju RAD upišemo dani broj u radijanima, tj. 1, te korištenjem 7

8 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE REALNOG BROJA tipki SHIFT DRG dok se ne dode - do stanja DEG dobivamo broj u stupnjevima. Uobičajeno je ovaj broj zapisati i pomoću minuta i sekunda. Broj minuta dobivamo tako da oduzmemo cjelobrojni dio i razliku pomnožimo sa 0 : = Oduzmemo li od ovog broja cjelobrojni dio i ostatak pomnožimo sa 0, dobit ćemo sekunde: =.80. Dakle, mjera u stupnjevima kuta od 1 radijana iznosi Ovaj postupak pretvaranja stupnjeva u minute i sekunde je na većini džepnih računala takoder - automatiziran (tipka ). b) 3 rad = = c) 8.rad= = Primjer 3. Napišimo 35 1 u radijanima. Prvo je potrebno dani broj pretvoriti u stupnjeve: s = 35 1 = = , a zatim t = s = rad. I ova pretvorba iz oblika stupnjevi-minute-sekunde u stupnjeve, te u radijane može se vršiti pomoću džepnog računala. Naime, računalo postavimo u stanje 180 DEG te unesemo podatak u obliku Pritiskom na tipku dobivamo , a zatim prelaskomustanje RAD ( SHIFT DRG ) taj broj se pretvara u radijane. Tvoje računalo možda ima tipke DRG i drugačije označene. Zato se svatko mora pobliže upoznati s radom svog džepnog računala. Zadaci Pretvori u stupnjeve, minute i sekunde: a) 1.8rad; b) 1.35 rad; c). rad.. Pretvori u radijane: a) ; b) ; c) Napiši još bar mjere kuta u radijanima čija je jedna mjera zadana, te pretvori sve te mjere iz radijana u stupnjeve: a) ; b) 8 3 ; c) ; d) 11 ; e) 1 ; f) Napiši još bar mjere u stupnjevima kuta čija je jedna mjera zadana, te pretvori sve te mjere iz stupnjeva u radijane: a) 330 ; b) 0 ; c) 80 ; d) 1 0 ; e) ; f) Odredi glavnu mjeru u radijanima kutova kojima su dane mjere: 13 a) ; b) 18 5 ; c) 87 ; d) 1 ; e) 87 ; f) Odredi glavnu mjeru u stupnjevima kutova kojima su dane mjere: a) ; b) 5 ; c) 1 35 ; d) 35 ; e) 5 ; f)

9 1.3. DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 1.3. Definicija trigonometrijskih funkcija Funkcije sinus i kosinus Namatanjem brojevnog pravca p na kružnicu k, svaki se realni broj t preslika u jednu točku E(t) kružnice. Ta točka E(t) ima dvije koordinate. Prvu nazivamo kosinus broja t, a drugu sinus broja t. Kosinus realnog broja t je apscisa one točke trigonometrijske kružnice koja je pridružena broju t. Sinus realnog broja t je ordinata one točke trigonometrijske kružnice koja je pridružena broju t. Funkcija koja broju t pridružuje broj cos t naziva se kosinus ioznačava se sa cos, a funkcija koja broju t pridružuje broj sin t naziva se sinus ioznačava se sa sin. Funkcije kosinus i sinus definirane su na skupu R, a kodomena im je [ 1, 1] jer su koordinate točke E(t) brojevi koji po apsolutnoj vrijednosti nisu veći od 1. Funkcije sinus i kosinus cos : R [ 1, 1] t cos t sin : R [ 1, 1] t sin t Primjer 1. Nacrtajmo točku E(t) iizračunajmo sinus i kosinus od t,akoje t : a) ; b) ; c) 77 ; d) 35. sin = 0, cos = 1; sin = 0, cos = 1; sin( 77) =0, cos( 77) = 1; sin = 1, cos = 0. 9

10 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE REALNOG BROJA Primjer. Nacrtajmo točke E(t) za koje vrijedi: a) sin t = 1 ; b) sin t = 1 3 ; c) cos t = 3 ; d) cos t = 1. Za točke E(t 1 ) ie(t ) vrijedi sin t 1 = sin t = 1.Zatočke E(t 3) i E(t ) vrijedi sin t 3 = sin t = 1 3. Za točke E(t 1 ) ie(t ) vrijedi cos t 1 = cos t = 3.Zatočke E(t 3) i E(t ) vrijedi cos t 3 = cos t = 1. Funkcija tangens Funkcija tangens, u oznaci tg, definira se pomoću funkcija sinus i kosinus ovako: tg t = sin t, cos t 0. cos t Za koje brojeve t vrijedi cos t 0? C i D su točke trigonometrijske kružnice s apscisom 0. Jedine točke na brojevnoj kružnici s apscisom 0 su točke C(0, 1) i D(0, 1).Brojevi koji se namatanjem preslikavaju u točku C su brojevi, 5, 9,..., 3, 7 ( ),..., tj. C = E +k, k Z.Za ( 3 ) točku D vrijedi D = E +k, k Z. Dakle, tangens je definiran za sve realne brojeve t različite od + k, k Z. 10 Funkcija tangens { } tg : R \ + k : k Z R tg t = sin t cos t

11 1.3. DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA Na slici se tangens broja očitava ovako. Točkom E(t) povučemo polupravac s početkom u ishodištu. Taj polupravac siječe pravac p utočki F. Tangens broja t je ordinata točke F. Pravac p nazivamo tangensna os. Geometrijska interpretacija broja tg t. Primjer 3. Nacrtajmo E(t) na trigonometrijskoj kružnici i tg t na tangensnoj osi ako je t : a) 9 ; b) 3 ; c) ; d) 3. Funkcija kotangens Funkcija kotangens, u oznaci ctg, definira se ovako ctg t = cos t, sin t 0. sin t Brojevi za koje je sin t = 0 su oblika k, k Z, pa je dakle kotangens definiran za t k, k Z. Na slici se kotangens očitava ovako. Geometrijska interpretacija kotangensa broja t. Utočki C(0, 1) povučemo pravac q paralelan s x -osi. Polupravac OE(t) siječe pravac q utočki G. Kotangens broja t je apscisa točke G.Pravacq nazivamo kotangensna os. 11

12 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE REALNOG BROJA Primjer. Nacrtajmo E(t) na trigonometrijskoj kružnici i ctg t na kotangensnoj osi ako je t : a) 11 ; b) ; c) 191 ; d) 3. Zadaci Nacrtaj E(t) i istakni sinus i kosinus od t,akoje t jednako: a) 3 ; b) 1 : c) 197 : d). Na - di sin t,cost ako je t : 31 ; e) 11 ; f) 1 a) 7 ; b) 18 ; c) 38 ; d) ; e) 3 3. Nacrtaj na trigonometrijskoj kružnici točke E(t) za koje vrijedi: 33. ; f) a) sin t= 3 ; b) sin t=1 ; c) sin t= 1 ; d) cos t=1 3 ; e) cos t= 1 ; f) cos t= 3.. Nacrtaj E(t) i istakni tangens i kotangens od t (ukoliko postoje), ako je t jednako: 19 a) 3 ; b) 3 ; c) ; d) 13 ; e) 5. Istakni na trigonometrijskoj kružnici točke E(t) za koje vrijedi: 15 ; f) 37. a) tg t=1; b) tg t=; c) tg t= 5 ; d) ctg t=1.5; e) ctg t= 1.8; f) ctg t=.. Izračunaj: a) cos cos + sin cos( ) ; b) sin 3 cos + sin ; tg 1 + sin ( 17 ) c) sin 199 cos tg 1998 ; d) sin 7 cos 7 ; sin 19 ( e) + 5 ) cos cos 7 sin 7 ( sin 19 ) ( 5 ) ; f) + cos cos sin 1

13 1.. ODRE DIVANJE VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA KUTOVA 1.. Odre divanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija U. razredu odredili smo vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih posebnih šiljastih kutova. To su kutovi od 30, 5, 0. Pri računanju s njima i njihovim višekratnicima uobičajeno je da se vrijednosti trigonometrijskih funkcija zapisuju u obliku razlomka, a ne decimalnog broja. Navedimo ovdje tablicu za te brojeve. t( ) t (rad) sin t cos t tg t ctg t Za računanje s ostalim realnim brojevima koristimo računalo. Prvo, računalo treba biti u odgovarajućem stanju (modu): DEG ako unosimo mjeru u stupnjevima ili RAD ako unosimo mjeru u radijanima. Zatim se unese broj, te pritisne tipka odgovarajuće trigonometrijske funkcije. Na zaslonu se pojavljuje vrijednost trigonometrijske funkcije upisanog broja. Napomenimodanaračunalu ne postoji tipka za funkciju kotangens. U slučaju kad želimo izračunati kotangens broja x,prvoizračunamo njegov tangens, a zatim recipročnu vrijednost upotrebom tipke 1/x ili x 1. Primjer 1. Izračunajmo broj sin Postavimo računalo u stanje DEG i upišimo Pritiskom na tipku broj izražen u stupnjevima, minutama i sekundama automatski se prebacuje u broj izražen samo u stupnjevima. Ako računalo nema tipku,tadasebroj pretvara u broj u stupnjevima ovako: ( = ) =

14 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE REALNOG BROJA Nakon što se na zaslonu pojavio broj 3.3 pritiskom na tipku sin dobivamo sinus zadanog broja koji iznosi Ovdje je opisan rad s jednim modelom računala. Primjer. Odredimo sve realne brojeve t za koje vrijedi sin t = Rezultat iskažimo i u stupnjevima. Računalo postavimo u stanje RAD, upišimo broj 0.35 i pritisnemo tipke SHIFT sin. Time smo aktivirali funkciju sin 1 koja zadanom sinusu kuta odreduje - kut u intervalu od do. Na zaslonu se pojavio broj Dakle, t 1 = 0.3 rad (u ovoj knjizi zaokruživat ćemo četvrtu decimalu). U stupnjeve prelazimo upotrebom tipki SHIFT DRG dok ne do - demo u stanje DEG. Na zaslonu se pojavljuje broj To je broj t 1 izražen u stupnjevima. Ukoliko želimo rezultat izraziti u stupnjevima, minutama i sekundama upotrijebimo SHIFT i dobivamo t 1 = Proučimo sliku. Brojevi t 1 i t = t 1 =.777 rad = imaju isti sinus. I konačno, budući da se brojevi t i t + k preslikavaju u istu točku kružnice, dobivamo da su traženi brojevi k i k, k Z, odnosno zapisani u stupnjevima: k i k, k Z. Primjer 3. Odredimo sve realne brojeve x za koje vrijedi cos x = Pomoću računala dobivamo rezultat iz intervala [0, ] : x 1 =.803 rad = Brojevi x i x imaju isti kosinus, pa i broj x = x 1 ima kosinus I konačno, budući da se brojevi x i x + k preslikavaju u istu točku kružnice, traženi brojevi su: ± k, odnosno, u stupnjevima ± k, k Z. Primjer. Odredimo sve realne brojeve x za koje vrijedi: a) tg x = ; b) ctg x = 1.8. a) Pomoću računala dobivamo rezultat iz intervala, : x = rad = 3.Ali i svi brojevi oblika k = k imaju tangens. 1

15 1.. ODRE DIVANJE VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA KUTOVA b) Prvo izračunajmo tangens: tg x = 1 = 0.555, pa ponovimo postupak iz prvog dijela primjera. Svi brojevi kojima je kotangens jednak 1.8 su k ili, u stupnjevima ctg x k, k Z. Zadaci Popuni tablicu: x sin x cos x tg x ctg x Rezultate zaokruži na četvrtu decimalu.. Izračunaj: a) sin cos ; b) tg 3 50 ctg 30 0 ; c) sin 5 50 cos 5 10 sin 3 30 cos 30 0 ; d) tg 80 ctg Izračunaj: a) cos 13 sin 3 18 ; b) cos sin 0 5 ; c) tg 1 1 ctg ; d) cos 7 sin 81.. Popuni tablicu t sin t cos t tg t ctg t 5. Odredi t [0, 30 ako je zadano: a) sin t = 0.38 ; b) sin t = 0.33 ; c) sin t = ; d) cos t = ; e) cos t = 0.57 ; f) cos t = Odredi t [0, 180 ako je zadano: a) tg t = ; b) tg t =.375 ; c) tg t = ; d) ctg t = 1.18 ; e) ctg t =.3; f) ctg t = Odredi sve realne brojeve t za koje vrijedi: a) sin t = 0.13 ; b) sin t = 0.3 ; c) cos t = ; d) cos t = 0.93 ; e) tg t = 3; f) ctg t =

16 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE REALNOG BROJA 1.5. Parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija Primjer 1. Ispitajmo parnost funkcija Promotrimo sada točke na brojevnoj kružnici kojima su pridruženi brojevi t i t. Točke E(t) i E( t) simetrične su obzirom na x -os, te stoga imaju jednake apscise i suprotne ordinate. Dakle, vrijede sljedeće tvrdnje. Za svaki realni broj t vrijedi cos( t) =cos t, tj. kosinus je parna funkcija. Za svaki realni broj t vrijedi sin( t) = sin t, tj. sinus je neparna funkcija. Općenito, za funkciju f : D f R reći ćemo da je parna funkcija ako za svaki x D f vrijedi f ( x) =f (x). Za funkciju f : D f R reći ćemo da je neparna funkcija ako za svaki x D f vrijedi f ( x) = f (x). a) f 1 (x) =sin x ; b) f (x) =sin 8x cos x. a) f 1 ( x) =sin( x) = sin x = f 1 (x),teje f 1 neparna. b) f ( x) =sin ( 8x) cos( x) = ( sin 8x) cos x = sin 8x cos x = f (x),paje f parna funkcija. Koristeći definiciju tangensa, parnost kosinusa i neparnost sinusa imamo tg( t) = sin( t) cos( t) = sin t = tg t. cos t Dakle, tangens je neparna funkcija. Na isti način dobivamo da je kotangens tako - der neparna funkcija. Funkcije tangens i kotangens su neparne funkcije, tj. vrijedi tg( t) = tg t, ctg( t) = ctgt. 1

17 1.5. PARNOST I NEPARNOST TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA Tangensi brojeva t i t su suprotni brojevi. Zadaci 1.5. Kotangensi brojeva t i t su suprotni brojevi. 1. Primjenjujući parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija izračunaj: a) cos( 35 ) ako je cos 35 = ; b) sin( 53 ) ako je sin 53 = ; c) tg( ) ako je tg = 1.81 ; d) ctg( 87.5 ) ako je ctg 87.5 = 1.91 ; ( e) cos 18 ) ako je cos = Pojednostavni izraze: a) sin x cos( y)+sin( x) cos( y) ; b) sin t cos u sin t cos( u) ; c) tg α ctg( β) ctg α tg( β) ; d) tg x sin y ctg( x) sin( y). 3. Provjeri jesu li sljedeće funkcije parne: a) f (x) =x + 8x ; b) f (x) =11x 3 ; c) f (x) =cos 5x ; d) f (x) =3cosx ; e) f (x) =7 cos 11x ; f) f (x) =sin x.. Dokaži da su sljedeće funkcije parne: a) f (x) = x + x ; b) f (x) =cosx + 13 cos 3 x ; c) f (x) =sin x + ctg x ; d) f (x) =sin x; cos x e) f (x) = x ; f) f (x) = cos x ctg x. 1 + cos x 5. Provjeri jesu li sljedeće funkcije neparne: a) f (x) =x 7 3x 5 + x ; b) f (x) =8x x 3 ; c) f (x) =sin 7x ; d) f (x) =sinx ; e) f (x) =sin 3 x ; f) f (x) =sin x cos x.. Dokaži da su sljedeće funkcije neparne: a) f (x) = 3 x x ; b) f (x) =tg x + sin x ; c) f (x) =3tgx ctgx ; d) f (x) =tgx sin x cos x ; e) f (x) = 1 cos x sin x ; f) f (x) = x + tg x sin x. 17