Glava 1. Trigonometrija

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Glava 1. Trigonometrija"

Transcript

1 Glava 1 Trigonometrija 1.1 Teorijski uvod Neka su u ravni Oxy dati krug k = {x, y) R R : x +y = 1} i prava p = {x, y) R R : x = 1}. Predstavimo skup realnih brojeva na pravoj p, kao brojevnoj pravoj, tako da broju t odgovara taqka 1, t) videti sliku 1.1). Slika 1.1: 1

2 1.1. Teorijski uvod Namotajmo bez isteza a ili skup a a) pravu p oko kruga k na sledei naqin videti sliku 1.): Taqka 1, 0) ostaje fiksirana. Polupravu qiji je poqetak taqka 1, 0) i qija je jedna taqka, taqka 1, 1) namotajmo u pozitivnom smeru smeru suprotnom od kreta a kaza ke na satu). Polupravu qiji je poqetak taqka 1, 0) i qija je jedna taqka, taqka 1, 1) namotajmo u negativnom smeru smeru kreta a kaza ke na satu). Prethodnim postupkom namotava em prave p oko kruga k) smo svakom realnom broju t pridruili taqno jednu taqku kruga k, taqku Et). Apscisa taqke Et) je kosinus realnog broja t oznaqava se sa cos t). Ordinata taqke Et) je sinus realnog broja t oznaqava se sa sin t) videti sliku 1.). Slika 1.: Slika 1.: Navedimo neka svojstva funkcija sinus i kosinus. 1) Domen funkcija kosinus i sinus jeste R. ) Za svaki realan broj t vai 1 cos t 1 i 1 sin t 1. ) Funkcije kosinus i sinus su π periodiqne. 4) Za svaki realan broj t vai cos t + sin t = 1. 5) Funkcija kosinus je parna tj. za svako t R vai cos t) = cos t. Funkcija sinus je neparna tj. za svako t R vai sin t) = sin t.

3 1. Trigonometrija 6) Skup nula kosinusa jeste skup { π + kπ : k Z }. Skup nula sinusa jeste skup {kπ : k Z}. 7) Za svako t 1, t R vai: cos t 1 + t ) = cos t 1 cos t sin t 1 sin t sin t 1 + t ) = sin t 1 cos t + cos t 1 sin t. Grafici funkcija kosinus i sinus su prikazani na slikama 1.4 i 1.5. Slika 1.4: Slika 1.5:

4 Teorijski uvod Koliqnik sinusa i kosinusa realnog broja t u sluqaju kada je definisan) se naziva tangens realnog broja t oznaqava se sa tg t). Koliqnik kosinusa i sinusa realnog broja t u sluqaju kada je definisan) se naziva kotangens realnog broja t oznaqava se sa ctg t). Navedimo neka svojstva funkcija tangens i kotangens. 1) Domen funkcije tangens jeste R\ { π + kπ : k Z } a domen funkcije kotangens jeste R\ {kπ : k Z}. ) Funkcije tangens i kotangens su π periodiqne. ) Skup nula tangensa jeste skup {kπ : k Z}. Skup nula kotangensa jeste skup { π + kπ : k Z }. Grafici funkcija tangens i kotangens su prikazani na slikama 1.6 i 1.7. Slika 1.6:

5 1. Trigonometrija 5 Slika 1.7: Funkcije sinus, kosinus, tangens i kotangens nisu bijekcije na svom domenu. Meutim, ako restrikujemo domen i kodomen onda su funkcije: cos : [0, π] [ 1, 1], [ sin : π, π ] [ 1, 1], tg : π, π ) R, ctg : 0, π) R, bijekcije. Otuda date funkcije imaju inverzne funkcije arkus kosinus, arkus sinus, arkus tangens, arkus kotangens): arccos : [ 1, 1] [0, π], [ arcsin : [ 1, 1] π, π ], arctg : R π, π ), za kodomen uzimamo skup R

6 Teorijski uvod arcctg : R 0, π). Grafici funkcija arkus kosinus, arkus sinus, arkus tangens, arkus kotangens su prikazani na slikama 1.8, 1.9, 1.10 i Slika 1.8: Slika 1.9: Slika 1.10:

7 1. Trigonometrija 7 Slika 1.11: 1. Rexeni zadaci Vrednosti trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih funkcija. Trigonometrijski identiteti Izraqunati: a) sin π ; b) cos 7π; v) cos π 4 ; g) sin 7π 6. a) Kako je duina qetvrtine kruga k jednaka π sledi da je π E 0, 1) odnosno sin π = 1; ) = b) Kako je duina kruga k jednaka π sledi da je E7π) = E π + π) = Eπ) = 1, 0) odnosno cos 7π = 1; v) Da bismo odredili cos π potrebno je odrediti koordinate taqke M, 4 π ) M = E videti sliku??). Neka je O = O0, 0) i I = I1, 0). 4 Kako je duina pozitivno orijentisanog luka IM jednaka π 4 sledi da je IOM = 45. Neka su A i B normalne projekcije taqke M na koordinatne ose Ox i Oy. Trougao OAM je pravougli jednakokraki trougao. Duina osnovice OM trougla OAM je jednaka 1. Otuda Pogledati Teorijski uvod.

8 8 1.. Rexeni zadaci je duina krakova OA i OB trougla OAM jednaka π ) ) 1 1 E =,, odnosno cos π 4 4 = 1 ; 1. Konaqno g) Da bismo odredili sin 7π potrebno je odrediti ordinatu taqke M, ) 6 7π M = E videti sliku??). Neka je O = O0, 0) i J = J 1, 0). 6 Kako je duina pozitivno orijentisanog luka JM jednaka π 6 sledi da je JOM = 0. Neka je N taqka simetriqna taqki M u odnosu na Ox osu. Trougao N OM je jednakostraniqni, pri qemu je duina egove stranice jednaka 1. Neka je B normalna projekcija taqke M na koordinatnu osu Oy. Duina dui OB je jednaka polovini duine stranice trougla NOM. tj. jednaka je 1. Otuda je sin 7π 6 = Da li postoji realan broj t takav da je: a) cos t = 4 5 i sin t = 5 ; b) cos t = 1 i sin t =? a) Neka je x = 4 ) 5 i y = 5. Tada je 4 x + y = + = 1. Na 5 5) osnovu definicije preslikava a E za svako x, y) takvo da je x +y = 1 postoji t R takvo da je cos t = x i sin t = y. Otuda postoji realan broj t takav da je cos t = 4 5 i sin t = 5 ; b) Pretpostavimo da postoji t R takvo da je cos t = 1 i sin t =. ) ) 1 Tada je cos t + sin t = + = 5, xto je u suprotnosti sa 9 identitetom cos t + sin t = 1 koji vai za svako t R. Dakle ne postoji realan broj t takav da je cos t = 1 i sin t = Xta je vee: a) cos 1 ili cos ; b) sin ili sin 1;

9 1. Trigonometrija 9 v) sin 1 ili cos 1; g) cos 4 ili sin? a) Kako je cos 1 > 0, a cos < 0 videti sliku??) sledi da je cos 1 > cos ; b) Kako je sin < sin π 4, sin π 4 = sin π 4 i sin π 4 sin < sin 1; < sin 1, sledi da je v) Kako je sin 1 > sin π 4 = 1 i cos 1 < cos π 4 = 1, sledi da je sin 1 > cos 1; g) Kako je cos 4 < 0 i sin > 0, sledi da je sin > cos Ako je cos α = i α π, π ) odrediti sin α, tg α i ctg α. Kako je poznata vrednost cos α, vrednost sin α moemo odrediti iz identiteta sin α + cos α = 1. Naime, sin α = 1 cos α = 1 40 ) ) 9 = Otuda je sin α = 9 9 ili sin α =. Da e, kako α π, π ) zak uqujemo videti sliku??) da je sin α < 0, odnosno sin α = 9 sin α. Na kraju dobijamo da je tg α = 41 cos α = 9 40 i ctg α = cos α sin α = Ako je α π, π ) i tg α = 100 izraqunati 10 sin α 11 cos α 10 cos α 11 sin α. 10 sin α 11 cos α Kako je tg α = 100 sledi da je cos α 0. Otuda je 10 cos α 11 sin α = 10 sin α 11 cos α)/ cos α 10 tg α = = 10 cos α 11 sin α)/ cos α tg α = Primetimo da je podatak da α π, π ) suvixan u ovom zadatku. { π } ) Dokazati da za svako t R\ + kπ : k Z {kπ : k Z} vai: tg t ctg t = 1.

10 Rexeni zadaci tg t ctg t = sin t cos t cos t = 1. Napomenimo da je najxiri skup na sin t kome su istovremeno { definisane i funkcija tangens i funkcija kotangens π } skup R\ + kπ : k Z {kπ : k Z}) Dokazati da za svako t R vai: a) sin t + π ) = cos t; b) cos t + π) = cos t. a) sin t + π ) = sin t cos π + cos t sin π = sin t 0 + cos t 1 = cos t; b) cos t + π) = cos t cos π sin t sin π = cos t 1) sin t 0 = cos t Izraqunati: ) a) arcsin ; b) arccos 1. ) a) Da bismo izraqunali arcsin potrebno je odrediti jedinstven) [ realan broj t π, π ] za koji je sin t =. Kako je sin π ) = ), sledi da je arcsin = π ; b) Da bismo izraqunali arccos 1 potrebno je odrediti jedinstven) realan broj t [ 0, π] za koji je cos t = 1. Kako je cos 0 = 1, sledi da je arccos 1 = Izraqunati: a) arctg 0; b) arcctg 1 ).

11 1. Trigonometrija 11 a) Da bismo izraqunali arctg 0 potrebno je odrediti jedinstven) realan broj t π, π ) za koji je tg t = 0. Kako je tg 0 = 0, sledi da je arctg 0 = 0; b) Da bismo izraqunali arcctg 1 ) potrebno je odrediti jedinstven) realan broj t 0, π) za koji je ctg t = 1 ) π. Kako je ctg = 1, sledi da je arcctg 1 ) = π Izraqunati: a) sin arcsin 1 ) ; b) sinarcsin 1)). Za koje t R vai sinarcsin t) = t? a) sin arcsin 1 ) = sin π 6 = 1 ; b) sinarcsin 1)) = sin π ) = 1. Funkcija arcsin je definisana na intervalu [ 1, 1]. Na osnovu definicije funkcije arcsin vai s = arcsin t ako i samo ako t = sin s. Otuda sinarcsin t) = t za svako t [ 1, 1] Izraqunati: ) a) cos arccos ; )) b) cos arccos. Za koje t R vai cosarccos t) = t? ) a) cos arccos )) b) cos arccos = cos π 4 = ; = cos 5π 6 =.

12 1 1.. Rexeni zadaci Funkcija arccos je definisana na intervalu [ 1, 1]. Na osnovu definicije funkcije arccos vai s = arccos t ako i samo ako t = cos s. Otuda cosarccos t) = t za svako t [ 1, 1] Izraqunati: a) arcsin sin π ) ; 6 b) arcsin sin π); v) Da li za svako t R vai arcsinsin t) = t? Za koje t vai data jednakost? a) arcsin sin π ) = arcsin 1 6 = π 6 ; b) arcsin sin π) = arcsin 0 = 0; v) Ne. Na primer arcsin sin π) = 0. Na osnovu [ definicije funkcije arcsin vai t = arcsin s ako i samo ako t π, π ] i sin t = s. Otuda [ arcsinsin t) = t ako i samo ako t π, π ] Izraqunati: a) arccos cos π )) ; b) arccos cos π ) ; v) Da li za svako t R vai arccoscos t) = t? Za koje t vai data jednakost? a) arccos cos π )) = arccos 0 = π ; b) arccos cos π ) = arccos 1 = π ; v) Ne. Na primer arccos cos π )) = π. Na osnovu definicije funkcije arccos vai t = arccos s ako i samo ako t [0, π] i cos t = s. Otuda arccoscos t) = t ako i samo ako t [0, π] Izraqunati:

13 1. Trigonometrija 1 a) tg arctg 1); b) ctg arcctg π). a) tg arctg 1) = tg π 4 = 1; b) Neka je t = arcctg π. Tada je t 0, π) i ctg t = π. Otuda ctg arcctg π) = π Izraqunati: a) arctg tg π ) ; 4 b) arcctg ctg π ) ; v) arctg tg 5π )) ; g) arcctg ctg 5π ). a) arctg tg π ) = arctg 1 = π 4 4 ; b) arcctg ctg π ) = arcctg 1 ) = π ; v) arctg tg 5π )) = arctg ) = π ; g) arcctg ctg 5π ) = arcctg 0 = π Dokazati da za svako t R vai: a) sin t = sin t cos t; b) cos t = cos t sin t; v) sin t = 1 cos t ; g) cos t = 1 + cos t.

14 Rexeni zadaci a) sin t = sin t + t) = sin t cos t + cos t sin t = sin t cos t; b) cos t = cos t + t) = cos t cos t sin t sin t = cos t sin t; v) 1 cos t 1 cos t ) 1 cos t t ) sin = = = g) 1 + cos t 1 + cos t ) 1 + cos t t ) sin = = = Izraqunati: sin t cos t = sin t ; = cos t. a) sin π 8 ; b) cos 7π 1. a) sin π 8 = 1 cos π 4 =. 4 Kako je sin π 8 > 0 sledi sin π 8 = 7π b) cos 7π 1 + cos 1 = 6 =. 4 Kako je cos 7π 7π < 0 sledi cos 1 1 = Dokazati da za svako t 1, t R vai: ; a) sin t 1 sin t = 1 cos t 1 t ) cos t 1 + t )); b) cos t 1 cos t = 1 cos t 1 t ) + cos t 1 + t )); v) sin t 1 cos t = 1 sin t 1 + t ) + sin t 1 t )). a) cos t 1 t ) cos t 1 + t ) = cos t 1 cos t +sin t 1 sin t cos t 1 cos t sin t 1 sin t ) = sin t 1 sin t ;

15 1. Trigonometrija 15 b) cos t 1 t )+cos t 1 + t ) = cos t 1 cos t +sin t 1 sin t +cos t 1 cos t sin t 1 sin t ) = cos t 1 cos t ; v) sin t 1 + t )+sin t 1 t ) = sin t 1 cos t +cos t 1 sin t +sin t 1 cos t cos t 1 sin t ) = sin t 1 cos t Dokazati da za svako t 1, t R vai: a) cos t 1 + cos t = cos t 1 + t b) sin t 1 sin t = cos t 1 + t a) Neka je a = t 1 + t cos t 1 t ; sin t 1 t. i b = t 1 t. Tada je t 1 = a + b i t = a b. Otuda cos t 1 + cos t = cos a + b) + cos a b) b) Neka je a = t 1 + t = cos a cos b sin a sin b + cos a cos b + sin a sin b = cos a cos b = cos t 1 + t cos t 1 t ; i b = t 1 t. Tada je t 1 = a + b i t = a b. Otuda sin t 1 sin t = sin a + b) sin a b) = sin a cos b + cos a sin b sin a cos b cos a sin b) = cos a sin b = cos t 1 + t sin t 1 t ; Dokazati da za svako t R vai: cos t + sin t = sin t + π ). 4 π ) Kako je sin t = cos t dobijamo π ) t + π π ) cos t + cos t = cos t t cos t = cos π 4 cos t π ) 4 = cos t π ) 4 = sin t + π ). 4

16 Rexeni zadaci Dokazati da za svako t 1, t, t 1 + t R\ { π + kπ : k Z } vai: tg t 1 + t ) = tg t 1 + tg t 1 tg t 1 tg t. tg t 1 + t ) = sin t 1 + t ) cos t 1 + t ) = sin t 1 cos t + cos t 1 sin t cos t 1 cos t sin t 1 sin t. Ako i brojilac i imenilac posled eg razlomka podelimo sa cos t 1 cos t dobijamo tg t 1 + t ) = tg t 1 + tg t 1 tg t 1 tg t. Napomenimo da su svi izrazi u prethodnim formula definisani za svako t 1, t, t 1 + t R\ { π + kπ : k Z } Neka su t, s R. Dokazati da izraz cos t + s) cos t s) + sin s ne zavisi od s. Neka je fs, t) = cos t + s) cos t s) + sin s. Tada je fs, t) = cos t cos s sin t sin s)cos t cos s + sin t sin s) = cos t cos s) sin t sin s) + sin s = 1 sin t)1 sin s) sin t sin s + sin s = 1 sin t sin s + sin t sin s sin t sin s + sin s = 1 sin t = cos t Izraqunati 1 tg π tg π. 1 Izraqunajmo prvo tg π 1. Vai tg π 1 π = tg + π )) 4 tg π = + tg π ) 4 1 tg π ) tg π 4 =

17 1. Trigonometrija 17 Konaqno, 1 tg π tg π 1 = Dokazati da za svako t R\ { π + kπ : k Z } vai tg t + 1 = 1 cos t. Kako je tg t = sin t cos t sledi tg t + 1 = sin t cos t + 1 = sin t + cos t cos = 1 t cos t Ako je α π ), π i tg α + π ) = a izraqunati tg α, sin α i 4 4 cos α. Kako je tg α + π ) = 4 tg α + tg π 4 1 tg α tg π 4 = tg α tg α dobijamo 1 + tg α a 1 = a. Otuda tg α = 1 tg α a Kako je cos α = ± i kako je tg α + 1 α π ), π dobijamo da je 4 cos α > 0 odnosno cos α = Kako je sin α = tg α cos α dobijamo sin α = 1 tg α + 1. Dakle, cos α = a + 1 a + 1) Ako je sin = a izraqunati sin 6). Vai a 1 a + 1). sin 6) = sin 6 = sin = sin cos. Kako je π < < π sledi da je cos < 0. Otuda cos = 1 sin = 1 a. Konaqno, sin 6) = a 1 a.

18 Rexeni zadaci Dokazati da vai jednakost: cos π 5 cos π 5 = 1 4. Vai cos π 5 cos π 5 sin π = 5 cos π 5 cos π 5 sin π = 1 sin π 5 cos π 5 sin π 5 5 = 1 sin 4π 5 4 sin π = 1 sin π 4π ) 5 4 sin π 5 5 = 1 sin π 5 4 sin π 5 = 1 4. Ispitiva e toka trigonometrijskih funkcija Odrediti domen funkcije: a) y = fx) = cos x 1 sin x ; b) y = fx) = tg x ctg x ; v) y = fx) = g) y = fx) = 1 sin x + cos x ; 1 cos x cos x. Neka je D f domen funkcije f. Tada: a) x D f ako i samo { ako 1 sin x > 0 tj. ako i samo ako 1 < sin x < 1. Otuda D f = R\ k + 1) π } : k Z ; b) x D f ako i samo ako su definisani tg x i ctg x i ctg x 0. Domen funkcije tangens jeste R\ { π + kπ : k Z }, domen funkcije kotan- { π } gens jeste R\ {kπ : k Z} a ctg x = 0 ako i samo ako x R\ + kπ : k Z. { π } Otuda D f = R\ + kπ : k Z {kπ : k Z}) ;

19 1. Trigonometrija 19 v) x D f ako i samo ako sin x + cos x 0. Primetimo da vai: sin x + cos x = sin x + cos x)sin x sin x cos x + cos x) = sin x + π ) 1 sin x cos x) 4 = sin x + π ) 1 1 ) 4 sin x. Otuda sin x + cos x = 0 ako i samo ako sin x + π ) { 4 π } { π } x 4 + kπ : k Z. Konaqno Df = R\ 4 + kπ : k Z ; = 0 odnosno g) x D f ako i samo ako cos x cos x > 0. Kako je cos x cos x = cos x 1 cos x sledi x D f ako i samo ako cos x cos x 1 > 0. Neka je t = cos x. Tada vai ako i samo ako t [ 1, 1 ] i cos x cos x 1 > 0 t t 1 > 0. Skup rexe a posled e nejednaqine jeste, 1/) 1, + ). Otuda x D f ako i samo ako cos x [ 1, 1/), odnosno D f = {x R : π/ + kπ < x < 4π/ + kπ, k Z} Odrediti minimum i maksimum funkcije: a) y = fx) = sin x + 4 cos x; b) y = fx) = sin sin x); v) y = fx) = 1 cos x ; g) y = fx) = 7 sin x 5 cos x. Kako je a) Domen funkcije f jeste R. Primetimo da vai ) + 5 fx) = sin x + 4 cos x = 5 5 sin x + 4 ) 5 cos x. ) 4 = 1 postoji ϕ R takvo da je cos ϕ = 5 5 i sin ϕ = 4 5. Otuda je fx) = 5cos ϕ sin x + sin ϕ cos x) = 5 cos x + ϕ).

20 0 1.. Rexeni zadaci Kako je za svako x R vai 5 5 cos x + ϕ) 5 i kako je fπ ϕ) = 5 i f ϕ) = 5 sledi min fx) = 5 i max fx) = 5; x R x R b) Domen funkcije f jeste R. Pri tome vai sinr) = {sin x : x R} = [ 1, 1 ]. Kako je [ 1, 1 ] [ π/, π/] i kako je funkcija sinus rastua na [ π/, π/] sledi sin[ 1, 1 ]) = {sin x : x [ 1, 1 ]} = [sin 1), sin 1] = [ sin 1, sin 1]. Konaqno sinsinr)) = {sin sin x) : x R} = [ sin 1, sin 1]. Otuda min fx) = sin 1 i max fx) = sin 1; x R x R v) Domen funkcije f jeste R. Kako je 1 cos x 1 sledi cos x 1. Otuda za svako x R vai Konaqno, kako je cos x f π) = 1/ i f0) = 1 sledi min fx) = 1/ i max fx) = 1; x R x R g) Domen funkcije f jeste R. Primetimo da vai fx) = 7 sin x 5 cos x = 7 sin x 51 sin x) = 1 sin x 5. Kako je 0 sin x 1 sledi 5 fx) 7. Konaqno, kako je f0) = 5 i fπ/) = 7 sledi min fx) = 5 i max fx) = 7. x R x R Skicirati grafik funkcije: a) y = fx) = cos x; b) y = fx) = sin x; v) y = fx) = cos x + π ) ; g) y = fx) = sin x π ) Skicirati grafik funkcije: a) y = fx) = sin x + cos x;

21 1. Trigonometrija 1 b) y = fx) = cos x + cos x ; v) y = fx) = tg x ; g) y = fx) = sin 4 x + cos 4 x. Trigonometrijske jednaqine i nejednaqine 1... Neka je a R. Rexiti jednaqinu sin x = a. Kako je funkcija sinus π periodiqna dovo no je odrediti sva rexe a iz intervala [ π/, π/). Naime, ako je S 0 skup svih rexe a date jednaqine u intervalu [ π/, π/) onda je skup svih realnih rexe a date jednaqine skup S = {s+kπ : s S 0, k Z}. Rexe a jednaqine u intervalu [ π/, π/) su svi x [ π/, π/) takvi da je x apscisa preseqne taqke prave y = a i sinusoide y = sin x. Ako je a > 1 onda takvo x ne postoji jer je sin x 1 za svako x [ π/, π/). Ako je a < 1 onda je x = arcsin a ili x = π arcsin a. Ako je a = 1 onda je x = π. Ako je a = 1 onda je x = π. Za jednaqinu sin x = a vai: 1 Ako je a > 1 onda jednaqina nema rexe a; Ako je a < 1 onda je x = arcsin a + kπ, k Z ili x = π arcsin a + lπ, l Z; Ako je a = 1 onda je x = π + kπ, k Z; 4 Ako je a = 1 onda je x = π + kπ, k Z Neka je a R. Rexiti jednaqinu cos x = a. Kako je funkcija kosinus π periodiqna dovo no je odrediti sva rexe a iz intervala [ 0, π). Naime, ako je S 0 skup svih rexe a date jednaqine u intervalu [ 0, π) onda je skup svih realnih rexe a date jednaqine skup S = {s + kπ : s S 0, k Z}. Rexe a jednaqine u intervalu [ 0, π) su svi x [ 0, π) takvi da je x apscisa preseqne taqke prave y = a i kosinusoide y = cos x. Ako je a > 1 onda takvo x ne postoji jer je cos x 1 za svako x [ 0, π).

22 1.. Rexeni zadaci Ako je a < 1 onda je x = arccos a ili x = π arccos a. Ako je a = 1 onda je x = 0. Ako je a = 1 onda je x = π. Za jednaqinu cos x = a vai: 1 Ako je a > 1 onda jednaqina nema rexe a; Ako je a < 1 onda je x = arccos a + kπ, k Z ili x = π arccos a + lπ, l Z; Ako je a = 1 onda je x = kπ, k Z; 4 Ako je a = 1 onda je x = π + kπ, k Z Neka je a R. Rexiti jednaqinu tg x = a. Kako je funkcija tangens π periodiqna dovo no je odrediti sva rexe a iz intervala π/, π/). Naime, ako je S 0 skup svih rexe a date jednaqine u intervalu π/, π/) onda je skup svih realnih rexe a date jednaqine skup S = {s + kπ : s S 0, k Z}. Rexe a jednaqine u intervalu π/, π/) su svi x π/, π/) takvi da je x apscisa preseqne taqke prave y = a i funkcije y = tg x. Za svako a R postoji taqno jedno x π/, π/) takvo da je tg x = a i vai x = arctg a. Dakle, rexe a jednaqine tg x = a su x = arctg a + kπ, k Z Rexiti jednaqinu: a) sin x π ) = 1; 4 b) cos x + π ) = ; v) cos x = ; g) sin x 1 = 0. a) Na osnovu zadatka 1.. dobijamo x π 4 = π + kπ, k Z. Otuda x = π 8 + kπ, k Z;

23 1. Trigonometrija b) Na osnovu zadatka 1.. dobijamo x+ π ) 1 6 = arccos +kπ, k Z ili 5 x+ π ) 1 6 = π arccos +kπ, k Z. Otuda x = π ) arccos +kπ, 5 k Z ili x = 11π ) 1 6 arccos + kπ, k Z ; 5 v) Kako je cos x 1 za svako x R i kako je > 1 sledi da jednaqina nema rexe a; g) Jednaqina sin x 1 = 0 je ekvivalentna sa jednaqinom sin x = 1. Na osnovu zadatka 1.. i s obzirom da je x 0 dobijamo x = π 6 + kπ, k N 0 ili x = 5π 6 + kπ, k N 0. Konaqno, x = π + kπ ili 6 x = π 6 kπ ili x = 5π 6 + kπ ili x = 5π kπ pri qemu je 6 k N Rexiti jednaqinu cos x = sin x. Data jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom cos x sin x = 0. π ) Kako je sin x = cos + x, sledi da je jednaqina cos x sin x = 0 ekvivalentna sa jednaqinom cos x+cos π ) + x = 0. Na osnovu zadatka dobijamo da je posled a jednaqina ekvivalentna sa jednaqinom cos x + π ) = 4 0. Na osnovu zadatka 1.. dobijamo x+ π 4 = π +kπ ili x+ π 4 = π +kπ, pri qemu je k Z. Konaqno, x = π 4 + kπ ili x = 5π 4 k Z Rexiti jednaqine: a) tg π x = 1; b) ctg x π ) 6 = 1. + kπ, pri qemu je a) Na osnovu zadatka 1..4 dobijamo π x = arctg 1+kπ = π 4 +kπ, k N 0. Otuda x = k, k N 0 ili x = 1 4 k, k N 0; b) Sliqno kao u zadatku 1..4 dobijamo x π 6 = arcctg 1 ) + kπ = π + kπ, k Z. Otuda x = 5π 18 + kπ, k Z.

24 4 1.. Rexeni zadaci Rexiti jednaqine: a) sin x = 1; b) cos x = 8 ; v) ctg x = ; g) tg 4 x = 1. a) Data jednaqina je ekvivalentna sa sin x = 1 odnosno sa sin x = 1 ili sin x = 1. Iz jednaqine sin x = 1, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = π 4 + kπ, k Z ili x = π 4 + lπ, l Z. Iz jednaqine sin x = 1, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = π 4 + mπ, m Z ili x = 5π 4 + nπ, n Z; b) Data jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom cos x = 8, to jest jednaqinom cos x =. Iz posled e jednaqine, na osnovu zadatka 1.., dobijamo Konaqno, x = 5π 6 + kπ, k Z ili x = 7π 6 + lπ, l Z. x = 5π + kπ, k Z ili x = 7π + lπ, l Z;

25 1. Trigonometrija 5 v) Data jednaqina je ekvivalentna sa ctg x = ili ctg x =. Otuda x = arcctg ) + kπ, k Z ili x = arcctg ) + lπ, l Z, odnosno x = π 6 + kπ, k Z ili x = 5π 6 + lπ, l Z; g) Data jednaqina je ekvivalentna sa tg x = 1 ili tg x = 1. Jednaqina tg x = 1 nema rexe a u skupu R a jednaqina tg x = 1 je ekvivalentna sa tg x = 1 ili tg x = 1. Otuda Konaqno, x = arctg 1 + kπ, k Z ili x = arctg 1) + lπ, l Z. x = π 4 + kπ, k Z ili x = π + lπ, l Z Rexiti jednaqine: a) cos x cos x = 0; b) sin x = 1 cos x ; v) sin x sin x = 0; g) cos x = sin x. a) Datu jednaqinu transformixmeo u sledee ekvivalentne oblike: Odnosno, cos x4 cos x 1) = 0 cos x cos x 1) cos x + 1) = 0. cos x = 0 ili cos x 1 = 0 ili cos x + 1 = 0 cos x = 0 ili cos x = 1 ili cos x = 1.

26 6 1.. Rexeni zadaci Iz jednaqine cos x = 0, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = π + kπ, k Z ili x = π + lπ, l Z. Iz jednaqine cos x = 1, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = π + mπ, m Z ili x = 5π + nπ, n Z. Iz jednaqine cos x = 1, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = π + pπ, p Z ili x = 4π + qπ, q Z; b) Datu jednaqinu transformixmeo u sledee ekvivalentne oblike: sin x sin x x sin sin x 1 sin x ) = sin x = 0 = 0. Odnosno, Iz jednaqine sin x sin x = 0 ili sin x = 1. = 0, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = 4kπ, k Z ili x = π + 4lπ, l Z. Iz jednaqine sin x = 1, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = π + 4mπ, m Z; v) Datu jednaqinu transformixmeo u sledee ekvivalentne oblike: sin x cos x sin x = 0 sin xcos x 1) = 0. Odnosno, sin x = 0 ili cos x = 1. Iz jednaqine sin x = 0, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = kπ, k Z ili x = π + lπ, l Z. Iz jednaqine cos x = 1, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = mπ, m Z; Primetimo da su sva rexe a jednaqine cos x = 1 i rexe a jednaqine sin x = 0.

27 1. Trigonometrija 7 g) Datu jednaqinu transformixmeo u sledee ekvivalentne oblike: cos x sin x = sin x cos x + sin x = 1. Kako za svako x R vai cos x + sin x = 1 dobijamo da je skup rexe a zadate jednaqine skup R Rexiti jednaqine: a) sin x + sin x = ; b) cos x sin x = 0.. a) Smenom t = sin x jednaqina se svodi na kvadratnu jednaqinu t + t = 0. Rexe a te kvadratne jednaqine su t 1 = 1 i t =. Otuda je polazna jednaqina ekvivalentna sa sin x = 1 ili sin x =. Iz jednaqine sin x = 1 dobijamo x = π 6 + kπ, k Z ili x = 5π 6 + lπ, l Z. Jednaqina sin x = nema rexe a; b) Kako je cos x = 1 sin x data jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom sin x + sin x + 1 = 0. Smenom t = sin x posled a jednaqina se svodi na kvadratnu jednaqinu t + t + 1 = 0. Rexe a te kvadratne jednaqine su t 1 = 1 i t = 1. Otuda je polazna jednaqina ekvivalentna sa sin x = 1 ili sin x = 1. Iz jednaqine sin x = 1 dobijamo x = π 6 + kπ, k Z ili x = 7π 6 + lπ, l Z. Iz jednaqine sin x = 1 dobijamo x = π + mπ, m Z. Zadatak iz filma,,xexir profesora Koste Vujia"

28 8 1.. Rexeni zadaci Rexiti jednaqine: a) sin x cos x = 0; b) sin x + sin x + π ) + sin x + 4π ) = 0; v) cos x π ) cos x π ) = sin x + π ) ; 6 6 g) 5 sin x + sin x cos x + cos x = ; a) Data jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom sin x cos x =. Ako i levu i desnu stranu posled e jednaqine podelimo brojem dobijamo jednaqinu 1 sin x cos x = 1. Kako je cos 5π = 1 i sin 5π = posled u jednaqinu transformixemo u sledee ekvivalentne oblike: sin x cos 5π + cos x sin 5π = 1 sin x + 5π ) = 1. Iz jednaqine sin x + 5π ) = 1 dobijamo x = 7π 6 + kπ, k Z. b) Kako je i sin x + π ) sin x + 4π ) = sin x cos π + sin π cos x = sin x 1 ) + cos x = sin x cos 4π + sin 4π cos x = sin x 1 ) ) + cos x dobijamo da je leva strana zadate jednaqine identiqki jednaka 0. Otuda je skup rexe a zadate jednaqine skup R.

29 1. Trigonometrija 9 v) Kako je sin x + π ) π = cos 6 x π ) = cos x π ) sledi da je zadata jednaqina ekvivalentna sa jednaqinom 6 cos x π ) = 0. 6 Iz posled e jednaqine dobijamo x = π + kπ, k Z ili x = 5π + lπ, l Z. g) Kako je = cos x + sin x) zadata jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom sin x + sin x cos x cos x = 0. Ako je x rexe e posled e jednaqine onda je cos x 0. U suprotnom bi bilo i sin x = 0, a to je nemogue). Otuda jednaqinu moemo podeliti sa cos x. Nakon de e a dobijamo jednaqinu tg x + tg x 1 = 0. Smenom t = tg x posled a jednaqina se svodi na kvadratnu jednaqinu t + t 1 = 0. Rexe a te kvadratne jednaqine su t 1 = 1 i t = 1. Otuda je polazna jednaqina ekvivalentna sa tg x = 1 ili tg x = 1. Konaqno, x = arctg ) 1 + kπ, k Z ili x = π + lπ, l Z Rexiti jednaqine: a) cos x cos x = cos 5x; b) sin x + sin x + sin x = 0. a) Kako je cos x cos x = 1 cos 5x + cos x) zadatu jednaqinu transformixemo u sledee ekvivalentne oblike: cos 5x + cos x = cos 5x cos x = cos 5x 0 = cos 5x cos x.

30 0 1.. Rexeni zadaci Kako je cos 5x cos x = sin x sin x, dobijamo da je zadata jednaqina ekvivalentna sa jednaqinom Iz jednaqine sin x = 0 dobijamo sin x = 0 ili sin x = 0. x = kπ, k Z ili x = π + lπ, l Z. Iz jednaqine sin x = 0 dobijamo x = mπ, m Z ili x = π + nπ, n Z. b) Kako je sin x+sin x = sin x cos x zadatu jednaqinu transformixemo u sledee ekvivalentne oblike: Odnosno, Iz jednaqine sin x = 0 dobijamo sin x cos x + sin x = 0 sin x cos x + 1) = 0. sin x = 0 ili cos x = 1. x = kπ, k Z ili x = π + lπ, l Z. Iz jednaqine cos x = 1 dobijamo x = π + mπ, m Z ili x = π + nπ, n Z Rexiti jednaqinu sin 4 x + cos 4 x = 1. Kako je sin 4 x + cos 4 x = sin x + cos x) sin x cos x = 1 sin x cos x. sledi da je zadata jednaqina ekvivalentna sa sin x cos x = 0 odnosno sa Iz jednaqine sin x = 0 dobijamo sin x = 0 ili cos x = 0. x = kπ, k Z ili x = π + lπ, l Z. Iz jednaqine cos x = 0 dobijamo x = π + mπ, m Z ili x = π + nπ, n Z.

31 1. Trigonometrija Neka je a R. Rexiti nejednaqinu sin x > a. Kako je funkcija sinus π periodiqna dovo no je odrediti sva rexe a iz intervala [ π/, π/). Naime, ako je S 0 skup svih rexe a date nejednaqine u intervalu [ π/, π/) onda je skup svih realnih rexe- a date nejednaqine skup S = {s+kπ : s S 0, k Z}. Rexe a nejednaqine u intervalu [ π/, π/) su svi x [ π/, π/) takvi da je grafik funkcije y = sin x,,iznad" grafika funkcije y = a. Ako je a 1 onda takvo x ne postoji jer je sin x 1 za svako x [ π/, π/). Ako je 1 a < 1 onda je x arcsin a, π arcsin a) videti sliku??). Ako je a < 1 onda je x [ π/, π/). Dakle, skup rexe a nejednaqine sin x > a jeste: 1 prazan skup, ako je a 1; unija svih intervala oblika arcsin a + kπ, π arcsin a + kπ), k Z, ako je 1 a < 1; skup R, ako je a < Neka je a R. Rexiti nejednaqinu cos x a. Kako je funkcija kosinus π periodiqna dovo no je odrediti sva rexe a iz intervala [ 0, π). Naime, ako je S 0 skup svih rexe a date nejednaqine u intervalu [ 0, π) onda je skup svih realnih rexe a date nejednaqine skup S = {s + kπ : s S 0, k Z}. Rexe a nejednaqine u intervalu [ 0, π) su svi x [ 0, π) takvi da je grafik funkcije y = cos x,,ispod" grafika funkcije y = a.. Ako je a 1 onda takvo x [ 0, π). Ako je 1 a < 1 onda je x [ arccos a, π arccos a ] videti sliku??). Ako je a < 1 onda takvo x ne postoji jer je cos x > 1 za svako x [ 0, π) Dakle, skup rexe a nejednaqine cos x a jeste: 1 skup R, ako je a 1; unija svih intervala oblika [ arccos a+kπ, π arccos a+kπ ], k Z, ako je 1 a < 1; prazan skup, ako je a < 1.

32 1.. Rexeni zadaci Neka je a R. Rexiti nejednaqinu tg x a. Kako je funkcija tangens π periodiqna dovo no je odrediti sva rexe a iz intervala π/, π/). Naime ako je S 0 skup svih rexe a date nejednaqine u intervalu π/, π/) onda je skup svih realnih rexe a date nejednaqine skup S = {s + kπ : s S 0, k Z}. Rexe a nejednaqine u intervalu π/, π/) su svi x π/, π/) takvi da je grafik funkcije y = tg x,,iznad" grafika funkcije y = a. Dakle x arctg a, π/). Otuda skup rexe a nejednaqine tg x a jeste unija svih intervala oblika arctg a + kπ, π/ + kπ), k Z Rexiti nejednaqine: ) π a) sin x < ; b) sin x > 1. v) tg π x) 1; g) cos x cos x + 1 > 0. ) π a) Kako je sin x = cos x zadata nejednaqina se svodi na nejednaqinu cos x >. Kako je funkcija kosinus π periodiqna dovo no je odrediti sva rexe a posled e jednaqine koja pripadaju intervalu [ 0, π). Ta rexe a su svi x [ 0, π) takvi da je grafik funkcije y = cos x,,iznad" grafika funkcije y =. Otuda skup rexe a zadate nejednaqine koja pripadaju intervalu [ 0, π) jeste skup [ 0, 5π/6) 7π/6, π). Odnosno skup svih rexe a zadate nejednaqine jeste unija svih skupova oblika [ kπ, 5π/6 + kπ) 7π/6 + kπ, π + kπ), k Z; b) Data nejednaqina se svodi na nejednaqinu sin x > 1. Rexe a date nejednaqine su svi x R takvi da je grafik funkcije y = sin x,,iznad" grafika funkcije y = 1 videti sliku??). Skup svih rexe a zadate nejednaqine jeste unija svih intervala oblika 5π/6 + kπ, 7π/6 + kπ), k Z; v) Kako je tg π x) = tg x zadata nejednaqina se svodi na nejednaqinu tg x 1. Otuda skup svih rexe a zadate nejednaqine jeste unija svih intervala oblika π/ + kπ, π/4 + kπ), k Z;

33 1. Trigonometrija g) Smenom t = cos x zadata nejednaqina se svodi na kvadratnu nejednaqinu t t+1 > 0. Skup rexe a te kvadratne nejednaqine jeste skup, 1/) 1, + ). Otuda je skup svih rexe a polazne nejednaqine skup svih x R takvih da je cos x, 1/) 1, + ). Dakle, skup svih rexe a polazne nejednaqine jeste unija svih intervala oblika π/ + kπ, 5π/ + kπ), k Z Odrediti sva rexe a nejednaqine a) cos x > sin x; b) sin x cos x >. v) cos π 6 cos x + sin π 6 sin x ; g) cos x sin x > 1. koja pripadaju intervalu [ π, π). a) Skicirajmo grafike funkcija y = cos x i y = sin x na intervalu [ π, π] videti sliku??). Skup rexe e zadate nejednaqine koja pripadaju intervalu [ π, π) jeste skup svih x [ π, π) takvih da je grafik funkcije y = cos x,,iznad" grafika funkcije y = sin x tj. interval π/4, π/4); b) Kako je sin x cos x = sin x zadata nejednaqina se svodi na nejednaqinu sin x >. Skup svih rexe a posled e nejednaqine koja pripadaju intervalu [ π, π) jeste skup 7π/8, 5π/8) π/8, π/8) videti sliku); v) Kako je cos π 6 cos x + sin π 6 sin x = cos x π ) zadata nejednaqina se 6 svodi na nejedna cinu cos x π ) 6. Smenom t = x π jednaqina zadata nejednaqina se svodi na nejednaqinu cos t a uslov x [ π, π) se svodi na uslov t [ 7π/6, 5π/6). 6 Otuda t [ π/6, π/6] odnosno skup svih rexe a polazne nejednaqine jeste interval [ 0, π/];

34 4 1.. Rexeni zadaci g) Data nejednaqina se moe transformisati na sledei naqin cos x sin x cos x x sin sin x 1 sin x x sin sin x sin x + sin x > 1 > 1 > 1 < 0. Ako u posled u nejednaqinu uvedemo smenu t = sin x dobijamo kvadratnu nejednaqinu tt + ) < 0. Skup rexe a te nejednaqine jeste ), 0. Otuda je polazna nejednaqina ekvivalentna sa sin x < 0 i sin x >. Skup rexe a nejednaqine sin x < 0 koja pripadaju intervalu [ π, π) jeste π, 0). Skup rexe a nejednaqine sin x > koja pripadaju intervalu [ π, π) jeste π/, π). Otuda skup svih rexe a polazne nejednaqine koja pripadaju intervalu [ π, π) jeste π/, 0) Odrediti sva rexe a nejednaqine: a) sin x 1 ; b) sin x cos x > ; koja pripadaju intervalu [0, π]. a) Realan broj x zadovo ava zadatu nejednaqinu sin x 1 ako i samo ako sin x 1 ili sin x 1. Otuda je skup rexe a zadate nejednaqine unija skupova rexe a nejednaqina sin x 1 i sin x 1. Skup rexe a nejednaqine sin x 1 koja pripadaju intervalu [ 0, π] jeste skup [ π/4, π/4]. Skup rexe a nejednaqine sin x 1 koja pripadaju intervalu [ 0, π] jeste skup [ 5π/4, 7π/4].

35 1. Trigonometrija 5 Otuda je skup rexe a polazne nejednaqine koja pripadaju intervalu [ 0, π] skup [ π/4, π/4] [ 5π/4, 7π/4]; b) Kako je sin x cos x = sin x zadata nejednaqina se svodi na nejednaqinu sin x >. Skup svih rexe a posled e nejednaqine koja pripadaju intervalu [ 0, π] jeste skup π/8, π/8) 9π/8, 11π/8) videti sliku); Dokazati da za svako t R vai cos t + sin t 1. Kako za svako t R vai cos t 1 i sin t 1 sledi da za svako t R vai i cos t cos t i sin t sin t. Otuda je 1 cos t + sin t cos t + sin t.

36 6 1.. Zadaci za vebu 1. Zadaci za vebu Izraqunati: a) cos 0; b) sin 9π 4 ; v) tg π ; g) ctg 1π Brojeve sin, sin 4, sin 6, sin 8 i sin 10 poreati od najma eg do najveeg Ako je α Ako je α Izraqunati: a) sin 19π 6 tg 19π cos 1π ctg 9π 4 sin 17π 4 cos 7π 6 π, π ) i sin α = 5 odrediti cos α, tg α i ctg α. ) π, π i tg α = a odrediti sin α, cos α i ctg α. ; b) cos π 7 cos 8π 7 + sin π 7 sin 8π 7 ; Izraqunati cos t sin t cos t + 1, ako je poznato da je 5 + sin t cos t + sin tg t =. t Odrediti sin α i cos α, ako je cos α + sin α = Izraqunati:

37 1. Trigonometrija 7 a) arccos 1 ; b) arcsin 0; v) arcctg 1); g) arctg Izraqunati: a) arcsin sin5π/4)); b) arccos cos π/)); v) arctgtg π); g) arcctg ctg π/)) Dokazati da za svako s R vai arcsin s + arccos s = π Dokazati da za svako t [ 1, 1] vai sin arccos t) = 1 t Izraqunati arctg + arctg Dokazati da za svako x [ 1, 1] vai arcsin x) = arcsin x Dokazati da za svako x R vai cos arctg x) = Izraqunati: a) sin arctg ); b) cos arcsin/7)) Ako je sin α = m i x.

38 8 1.. Zadaci za vebu a) α [9π/, 11π/]; b) α [11π/, 1π/] izraziti α pomou arcsin m Izraqunati cos α, ako je sin α = 5 i α π, π ) Izraqunati sin α + β), ako je sin α = 4, cos β = 1 5 i β π, π ). 1, α 0, π ) Izraqunati sin π 6 + α ), ako je α 0, π ) i tg α =. π ) Izraqunati sin α, ako je sin 4 α Izraqunati sin α i cos α, ako je α = 1 5 i π < α < π/. 0, π ) i cos α = a Dokazati da za svako t 1, t R vai: a) cos t 1 cos t = sin t 1 + t sin t 1 t ; b) sin t 1 + sin t = sin t 1 + t cos t 1 t Dokazati da za svako t R vai a) sin t = sin t 4 sin t; b) cos t = 4 cos t cos t Dokazati da za svako t R\{k + 1)π : k Z} vai a) sin t = tgt/) 1 + tg t/) ;

39 1. Trigonometrija 9 b) cos t = 1 tg t/) 1 + tg t/) Izraqunati cos + cos 1 cos 4 cos Za koje sve α i β vai sin α + sin β = sin α + β)? Neka je α π/8 + kπ/, pri qemu je k Z. Dokazati da vai sin 4 α + sin α cos α cos 4 α tg α 1 = cos α Neka su α, β i γ realni brojevi koji pripadaju domenu funkcije tg takvi da je α + β + γ = π. Dokazati da tada vai tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ Odrediti rexe a jednaqine sin x = cos x u intervalu [0, π] x { π 6, π, 5π 6, } π Neka je a R. Rexiti nejednaqinu sin x a Neka je a R. Rexiti nejednaqinu cos x > a Neka je a R. Rexiti nejednaqinu ctg x < a Odrediti sva rexe a nejednaqine 1 cos x) sin x > [ sin x koja pripadaju intervalu π, π ].

40 Glava 1 Primena trigonometrije 1.1 Teorijski uvod Neka su date poluprave Op i Oq. Unija polupravih Op i Oq naziva se ugaona linija. Ugaona linija deli ravan kojoj pripada na dve oblasti. Unija svake od tih oblasti i ugaone linije naziva se ugao. Dakle, svaka ugaona linija odreuje dva ugla videti sliku??). Poluprave Op i Oq nazivaju se kraci ugla a taqka O naziva se teme ugla. Obiqno je iz konteksta jasno na koji se od tih uglova misli. Ugao qiji su kraci Op i Oq obeleava se sa poq. Radijanska mera poq jeste broj s koji je jednak duini krunog luka qiji je centar taqka O, polupreqnik jednak 1 i qiji krajevi pripadaju ugaonoj liniji videti sliku??). Ugao qija je radijanska mera 1 se naziva radijan i obeleava se sa rad. U tabeli 1.1 su date radijanske mere nekih uglova. Tabela 1.1: Radijanske mere nekih uglova ugao oxtar prav tup opruen pun mera rad) 0, π ) π π, π ) π π Osim radijana za mere e uglova koriste se i stepeni. Jedan stepen u oznaci 1 ) jeste 180-ti deo opruenog ugla. Vai 1 = π 180 rad. Jedan stepen je jednak 60 minuta 1 = 60 ) a jedan minut je jednak 60 sekundi 1 = 60 ). 1

41 1.1. Teorijski uvod Sinus i kosinus ugla definixemo kao sinus i kosinus ihove radijanske mere. Dakle, ako za ugao α vai α = t rad onda je sin α = sin t i cos α = cos t. Analogno se definixu tangens i kotangens ugla. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija brojeva prenose se i na trigonometrijske funkcije uglova trigonometrijski identiteti, adicione formule itd.). Neka je ABC pravougli trougao sa pravim uglom kod temena C videti sliku??). Tada vai sin α = a c cos α = b c tg α = a b ctg α = b a. Neka je ABC proizvo an trougao videti sliku??). Tada vae sinusna teorema a sin α = b sin β = c sin γ, i kosinusna teorema a = b + c bc cos α b = a + c ac cos β c = a + b ab cos γ.

42 1. Primena trigonometrije 1. Rexeni zadaci Izraziti u radijanima uglove: a) α = 0 ; b) α = 5 ; v) α =, 5 ; g) α = a) Kako je 1 = π 180 rad sledi da je α = π 0 = rad = π 6 rad; b) α = 5 π = rad = 5π 4 rad; v) α =, 5 π =, rad = π 8 rad; g) Kako je 0 = 0, 5 i kako je 7, 5 = 0, 15 sledi da je α = = 0, 15 π 161π = 0, 15 rad = rad Izraziti u stepenima uglove: a) α = 1 rad; b) α = π rad; v) α = 8π 9 rad; g) α =, 14 rad. a) Kako je 1 = π 180 rad sledi da je 1 rad = 180 π odnosno α = 180 π ; b) Kako je 1 rad = 180 π sledi α = π 180 π rad = 60 ; v) α = 8π 9 rad = 8π π = 160 ; g) α =, 14 rad =, π = π.

43 4 1.. Rexeni zadaci 1... Izraziti u radijanima jedan minut. Kako je 1 = Izraqunati: a) sin 00 ; b) cos π 180 rad i kako je 1 = 60 sledi da je 1 = π rad. a) Kako je 00 = 5π rad sledi sin 00 = sin 5π = ; b) Kako je 67 0 = π 8 rad sledi cos 67 0 = cos π 8 =. 1 + cos π 4 = Izraqunati vrednost izraza cos 18 +cos 7 +sin 7 +sin 6. Neka je S = cos 18 +cos 7 +sin 7 +sin 6. Kako je cos 90 α) = sin α i sin 90 α) = cos α i kako je cos α + sin α = 1 sledi S = cos 18 + sin 90 7 ) + sin 7 + cos 90 6 ) = cos 18 + sin 18 + sin 7 + cos 7 = = Izraqunati vrednost izraza sin 1 + sin sin 89. Neka je S = sin 1 + sin sin 89. Kako je sin α = cos 90 α) sledi S = sin 1 + sin 89 ) + sin + sin 88 ) sin 44 + sin 46 ) + sin 45 = sin 1 + cos 1 ) + sin + cos ) sin 44 + cos 44 ) + sin 45 = = 44, Izraqunati vrednost izraza 4 cos 40 cos 10 tg 10.

44 1. Primena trigonometrije 5 Neka je S = 4 cos 40 cos 10 tg 10. Tada je S = 4 cos 40 sin 10 cos 10 = 4 cos 40 sin ) cos 10 = 4 cos 40 sin 90 cos 40 cos 90 sin 40 ) cos 10 cos 40 = cos 10 cos 40 = cos ) cos 40 = sin 40 = ctg Izraqunati vrednost izraza sin 4 + sin sin 1 sin cos 4 + cos + cos 1 + cos. Tada je Neka je S = sin 4 + sin sin 1 sin cos 4 + cos + cos 1 + cos. S = sin 4 sin 1 ) + sin sin ) cos 4 + cos 1 ) + cos ) + cos = sin 15 cos 7 + sin 15 cos 17 cos 7 cos 15 + cos 17 cos 15 = sin 15 cos 15 cos 7 + cos 17 cos 7 + cos 17 = sin 15 cos 15 = 1 cos cos 0 = Izraqunati vrednost izraza 4 sin 70 sin 0 cos 0.

45 6 1.. Rexeni zadaci Neka je S = 4 sin 70 sin 0 cos 0. Tada je ) S = 4 sin 70 sin cos 0 = 4 sin 70 cos 0 sin 0 + sin 0 cos 0 ) = 4 sin 70 sin 50 = 1 cos 140 ) sin 50 = cos 90 cos 50 sin 90 sin 50 ) sin 50 = + sin 50 sin 50 = Izraqunati cos 10 cos 50 cos 70. Neka je S = cos 10 cos 50 cos 70. Tada je S = 1 cos 60 + cos 40 ) cos 70 = 1 ) 1 cos 70 + cos 40 cos 70 = 1 1 cos ) cos cos 0 ) = 1 ) cos 70 + cos = 1 ) cos 70 cos 70 + = Neka su α i β oxtri uglovi i α < β. Dokazati da vai sin α < sin β i cos α > cos β. Kako su α i β oxtri uglovi, ihova radijanska mera pripada intervalu 0, π ). Funkcija sinus je rastua a funkcija kosinus opadajua na intervalu 0, π ) pa vai sin α < sin β i cos α > cos β Poreati brojeve a = sin 5, b = ctg 50 i c = cos 65 od najma- eg do najveeg. Uporedimo brojeve a i c. Vai cos 65 = sin ) = sin 5. Kako je 5 < 5 sledi sin 5 < sin 5 tj. c < a.

46 1. Primena trigonometrije 7 Uporedimo brojeve b i c. Vai ctg 50 cos 50 cos 65 = > sin 50 sin 50 > cos 65. Pri tome prva nejednakost sledi iz nejednakosti 50 < 65 a druga iz nejednakosti sin 50 < 1. Dakle b > c. Uporedimo brojeve a i b. Vai ctg 50 cos 50 sin 40 = = sin 50 sin 50 > sin 40 > sin 5. Pri tome prva nejednakost sledi iz nejednakosti sin 50 < 1 a druga iz nejednakosti 5 < 40. Dakle b > a. Konaqno c < a < b Duine kateta pravouglog trougla su a = 16 i b, duina hipotenuze je c a veliqine odgovarajuih uglova su, redom, α, β i γ. Izraqunati b, c, α, β i γ, ako je poznato da je sin α = 1. Kako je sin α = a c sledi c = a tj. c =. Iz Pitagorine sin α teoreme dobijamo b = c a = 16. Kako je sin α = 1, sin β = a c = i γ prav ugao sledi α = 0, β = 60 i γ = Duine stranica oxtrouglog trougla su a = 9, b = 60 i c, a veliqine odgovarajuih uglova su, redom, α, β i γ. Ako je sin α = 5, izraqunati sin γ. Kako je poznato sin α iz jednakosti cos α + sin α = 1 moemo izraqunati i cos α. Vai cos α = ± 1 sin α. Kako je trougao oxtrougli bie cos α > 0. Odnosno ) cos α = 1 sin α = 1 = Otuda duinu stranice c moemo izraqunati iz jednakosti a = b + c bc cos α, odnosno duina stranice je rexe e kvadratne jednaqine c 96c = 0. Rexe a te kvadratne jednaqine su 6 i. Pretpostavimo da je c =. Tada iz jednakosti b = a + c ac cos β

47 8 1.. Rexeni zadaci dobijamo da je cos β < 0 a to je u suprotnosti sa pretpostavkom da je trougao oxtrougli. Dakle c = 6. Konaqno sin γ dobijamo iz jednakosti a sin α = c sin γ. Vai sin γ = c a sin α = Neka su a, b i duine stranica trougla a γ ugao koji odreuju te stranice. Dokazati da je povrxina trougla P 1 jednaka ab sin γ. Posmatrajmo sliku??. Vai P = 1 bh h b b. Kako je a P = 1 ba sin γ. = sin γ sledi Povrxina oxtrouglog trougla jeste P = 1 a dve stranice su 1 a = 1 i b =. Izraqunati duinu tree stranice c. Kako je P = 1 P ab sin γ sledi sin γ = ab = 1. Kako je trougao 1 oxtrougli cos γ = 1 sin γ = 5 1. Otuda iz jednakosti c = a + b ab cos γ dobijamo c = tj. c = Duine stranica trougla su a =, b = 1 i c, a veliqine odgovarajuih uglova su, redom, α, β i γ. Ako je α = β, izraqunati obim i povrxinu trougla. Neka je O obim a P povrxina trougla. Kako je O = a + b + c P = 1 ab sin γ. Dovo no je da odredimo c i sin γ. Vai γ = 180 α+β), pa ugao γ moemo odrediti ako znamo uglove α i β. Kako je α = β a i sin α = b sin β dobijamo a sin β a sin β cos β a cos β = = = b b sin β b sin β

48 1. Primena trigonometrije 9 odnosno cos β = a b =. Otuda je β = 0, α = 60 i γ = 90. Kako je γ = 90 sledi c = a + b =. Konaqno O = + a P = Neka je a duina jedne stranice, α ugao naspram te stranice i a R polupreqnik opisane krunice trougla. Dokazati da vai sin α = R. Prvi sluqaj α = 90 ). Kako je u ovom sluqaju a hipotenuza trougla sledi a sin 90 = a = R. Drugi sluqaj α < 90 ). Posmatrajmo sliku??. Kako su α i BOC periferijski i centralni ugao nad tetivom BC i kako su taqke O i A sa iste strane prave BC sledi BOC = α. Primenom kosinusne teoreme na trougao BOC dobijamo a = R + R R R cos α = R 1 cos α) = 4R sin α. a Iz posled e jednakosti neposredno sledi sin α = R. Drugi sluqaj α > 90 ). Posmatrajmo sliku??. Kako su trouglovi ACO i ABO jednakokraki sa vrhom O dobijamo ACO = CAO i BAO = ABO. Kako je α = CAO + BAO i kako je zbir uglova u qetvorouglu 60 sledi BOC = 60 α. Primenom kosinusne teoreme na trougao BOC dobijamo a = R + R R R cos 60 α = R 1 cos α) = 4R sin α. Iz posled e jednakosti neposredno sledi a sin α = R Neka su a, b i c duine stranica a R polupreqnik opisane krunice trougla. Dokazati da je povrxina trougla P jednaka abc 4R. Kako je P = 1 c ab sin γ i kako je sin γ = R sledi P = abc 4R Duina stranice pravilnog osmougla je a. Izraqunati povrxinu pravilnog osmougla.

49 Rexeni zadaci Posmatrajmo sliku??. Sa slike se vidi da je povrxina osmougla P = d a sin α. Primenom kosinusne teoreme dobijamo d = a + a a a sin α Zbir unutrax ih uglova osmougla je S 8 = 8 ) 180. Kako je osmougao pravilan sledi α = S 8 8 = 15. Konaqno P = a 1 + sin α cos α) = a 1 + ) Za koje vrednosti x je trougao qije su stranice duine x, 5 i 1 tupougli. Na osnovu nejednakosti trougla od dui duine x, 5 i 1 se moe konstruisati trougao ako i samo ako je x > 1 5 i x < 1 + 5, tj. ako i samo ako x 7, 17). Trougao je tupougli ako i samo ako je ugao naspram najdue stranice tup. Pretpostavimo da je najdua stranica trougla stranica duine 1 i neka je ϕ ugao naspram te stranice. Kako je ϕ tup ugao ako i samo ako je cos ϕ < 0 iz jednakosti 1 = x + 5 x 5 cos ϕ dobijamo da je ugao ϕ tup ako i samo ako je 1 > x +5 i x 7, 1] odnosno ako i samo ako x 7, 119 ). Pretpostavimo da je najdua stranica trougla stranica duine x i neka je ϕ ugao naspram te stranice. Kako je ϕ tup ugao ako i samo ako je cos ϕ < 0, iz jednakosti x = cos ϕ dobijamo da je ugao ϕ tup ako i samo ako je x > i x 1, 17) odnosno ako i samo ako x 1, 17). Konaqno, x 7, 119 ) 1, 17) Dva ugla trougla su 45 i 0 obim trougla je ). Izraqunati povrxinu trougla. Neka je α = 45, β = 0 a γ nepoznati ugao trougla. Neka su a, b i c duine stranica trougla naspram uglova α, β i γ redom. Tada je γ = ) = 105. Iz jednakosti a sin α = b sin β = c sin γ,

50 1. Primena trigonometrije 11 s obzirom da je sin 45 = 1, sin 0 = 1 i sin 75 = sin = + 1) 4 dobijamo a = b = 4c + 1). Otuda je b = a + 1) i c = a. Da e je a + b + c = a + + ) = ) odakle sledi a = 1, b = 6 i c = 6 + 1). Neka je P povrxina trougla. Tada je P = 1 ab sin γ = ) Zbir uglova pod kojim se sa 100, 00 i 00 metara uda enosti vidi tora jeste 90. Odrediti visinu tor a. Posmatrajmo sliku??. Vai α + β + γ = 90, tg α = x 00 i tg γ = x. Otuda je 100 odnosno tg γ = tg 90 α + β)) = tg α + β) = x x = 00 x 00 x 00 + x tg α tg β tg α + tg β, x 00, tg β = Posled a jednaqina se svodi na jednaqinu x = Sledi da je visina tor a 100 metara.

51 1 1.. Zadaci za vebu 1. Zadaci za vebu Izraziti u radijanima uglove: a) α = 100 ; b) α = 6, 5 ; v) α = ; g) α = Izraziti u stepenima uglove: a) α = π 8 ; b) α = 9π Odrediti konveksan ugao koji odreuju mala i velika kaza ka na satu, ako sat pokazuje sledee vreme: a) 14h; b) 18h0min; v) h45min Neka je ϕ = 5. Izraqunati sin ϕ, cos ϕ, tg ϕ i ctg ϕ Izraqunati: a) sin 47 + sin 61 sin 11 sin 5 cos 7 ; b) cos 0 cos 40 cos 60 cos 80 ; v) sin 160 sin 100 cos 4 40 sin 4 40 ) ; g) tg 9 + tg 81 + tg tg Poznato je da je α tup ugao i sin α = stepenima i radijanima.. Odrediti ugao α u

52 1. Primena trigonometrije 1 α Poznato je da je α oxtar ugao i cos α 45 ) = 1. Odrediti ugao Neka su α i β oxtri uglovi takvi da je tg α = Izraqunati α β i tg β = Hipotenuza pravouglog trougla tri puta je vea od jedne katete. Izraqunati uglove tog trougla Dokazati da je trougao qije su stranice a = 11, b = 14 i c = 18 tupougli Tora koji je visok 0m i nalazi se na levoj obali reke je od iste uda en 0m. Vrh tor a se iz taqke na desnoj obali koja je taqno preko puta taqke sa leve obale koja je najblia tor u vidi pod uglom 0. Kolika je xirina reke na tom mestu? Izraqunati povrxinu xrafirane figure na slici?? Oko kruga polupreqnika + 1 opisan je pravilan osmougao. Izraqunati povrxinu tog osmougla. U zadacima?? se razmatra trougao ABC u kome je a = BC, b = CA, c = AB, α = BAC, β = CBA i γ = ACB Odrediti nepoznate stranice i uglove trougla ABC ako je a = 18, β = 60 i γ = Odrediti uglove trougla ABC ako je a = 6, b = 1 i c = Odrediti nepoznate stranice i uglove trougla ABC ako je:

53 Zadaci za vebu a) a = 4, b = 4 i β = 0 ; b) a = 4, b = 4 4 i β = 0 ; v) a = 4, b = 4 i β = Odrediti nepoznate stranice i uglove trougla ABC ako su poznati uglovi α i β i polupreqnik opisane krunice R Dat je trougao ABC. Ako je ACB = 70, duina visine iz temena A jednaka 4 i duina visine iz temena B jednaka izraqunati du- inu stranice AB, polupreqnik opisane kruinice i povrxinu trougla ABC Ako su α, β i γ uglovi trougla, dokazati da vai: a) sin α + sin β + sin γ = 4 cos α cos β cos γ ; b) tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ. a) Iskoristiti da vai γ = 180 α+β), sin α+sin β = sin α + β cos α β, sin α + β) = sin α + β cos α + β i cos α + β +cos α β = cos α cos β ; b) Dokazati da ako za uglove α, β i γ nekog trougla vai jednakost onda je taj trougao jednakokraki. tg α β) + tg β γ) + tg γ α) = 0, Neka su a, b i c duine stranica, α, β i γ uglovi i R polupreqnik opisane krunice trougla. Dokazati da vai a cos α + b cos β + c cos γ = 4R sin α sin β sin γ Dat je trougao ABC sa stranicama AB = i AC =. Neka je D taqka na stranici BC takva da je BAD = 0 i CAD = 45. Izraqunati duinu dui AD.

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE SA PRIJEMNIH ISPITA NA GRA EVINSKO-ARHITEKTONSKOM FAKULTETU U NIXU

ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE SA PRIJEMNIH ISPITA NA GRA EVINSKO-ARHITEKTONSKOM FAKULTETU U NIXU ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE SA PRIJEMNIH ISPITA NA GRA EVINSKO-ARHITEKTONSKOM FAKULTETU U NIXU Predgovor Ova zbirka je namenjena uqenicima srednjih xkola koji se pripremaju za prijemni ispit iz matematike

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart 2016.

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart 2016. Prvi razred A kategorija 1. Neka je operacija,, na skupu G = {1, 2, 3,..., 2016} zadata donjom tablicom. 1 2 3 4 2016 1 5 5 5 5 5 2 1 2 5 5 5 3 4 3 5 5 5 4 5 5 5 5 5......... 2016 5 5 5 5 5 (Unutar tablice

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije

1. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija. Teorijski uvod

IspitivaƬe funkcija. Teorijski uvod IspitivaƬe funkcija Teorijski uvod IspitivaƬe funkcija je centralni i svakako najbitniji deo svakog kursa matematike. On daje matematiqku osnovu za skiciraƭe grafika na osnovu matematiqke formule određenih

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija 16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t) Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki

Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

Prvi razred A kategorija

Prvi razred A kategorija Prvi razred A kategorija 1. Neka su A, B i C konaqni skupovi za koje vaжi Dokazati da tada vaжi A C + B C = A B. A B C A B. (Za skupove X i Y oznaqili smo X Y = (X \Y ) (Y \X), xto se naziva simetriqna

Διαβάστε περισσότερα

Konstruktivni zadaci. Uvod

Konstruktivni zadaci. Uvod Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.

Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična. Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija

REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija . REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA,.0.009. Prvi razred, A kategorija Kako je A sredite duжi MN, sledi da je XA = XM + XN. Analogno je XB = XR + XS. XP + XQ i XC

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Paskalova teorema, pol i polara verzija 2.0:

Paskalova teorema, pol i polara verzija 2.0: askalova teorema, pol i polara verzija 2.0: 10.2.2015. uxan uki Teoreme kojima se ovde bavimo su u stvari tvrđenja iz projektivne geometrije, tako da imaju i dokaze unutar projektivne geometrije. Ipak,

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 2009.

Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 2009. Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 009. Autori: Mr Nada Damljanović Mr Rale Nikolić Recenzenti: Prof. dr Mališa

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Potencija taqke. Duxan uki

Potencija taqke. Duxan uki Potencija taqke Duxan uki Neka su dati krug k i taqka u ravni. Posmatrajmo proizvoljnu pravu l kroz i njene preseqne taqke B i sa krugom k. Proizvod B ne zavisi od izbora prave l. Zaista, ako sa D oznaqimo

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Druxtva matematiqara Srbije, Beograd, Polinomi u nastavi matematike u osnovnoj i sredƭoj xkoli

Seminar Druxtva matematiqara Srbije, Beograd, Polinomi u nastavi matematike u osnovnoj i sredƭoj xkoli Seminar Druxtva matematiqara Srbije, Beograd, 12.02.2017. Polinomi u nastavi matematike u osnovnoj i sredƭoj xkoli dr Vladimir Balti, Matematiqka gimnazija, baltic@matf.bg.ac.yu Polinomi su izuzetno bitna

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Elementarne funkcije

3.1 Elementarne funkcije 3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2 Mr VENE T BOGOSLAVOV ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 5 ispravljeno izdanje ZAVOD ZA UDŽBENIKE BEOGRAD Redaktor i recenzent DOBRILO TOŠIĆ Urednik MILOLJUB ALBIJANIĆ Odgovorni urednik MILORAD MARJANOVIĆ

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

EUKLIDSKA GEOMETRIJA

EUKLIDSKA GEOMETRIJA EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.

Διαβάστε περισσότερα

4 Elementarne funkcije

4 Elementarne funkcije 4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *)

2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *) .7. DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOMETRIJE *) Riječ je o sljedećem zadatku iz geometrije: Oko jednakostraničnog trougla Δ opisana je kružnica. Dokazati da svaka tačka M luka ima osobinu M+ M = M. Daćemo

Διαβάστε περισσότερα

VEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013.

VEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013. VEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013. 1. Novqi se baca tri puta. (a) Zapisati skup svih mogu ih ishoda. (b) Oznaqimo sa A k događaj da je u k-tom bacanju palo pismo, k {1, 2, 3}. Koriste

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost

Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014

Διαβάστε περισσότερα