Copyright 2001 by Jacob M. Lifshitz No part of this book may be reproduced in any form, or by any means, without written consent of the author

Transcript

1 מכניקת מוצקים ליפשיץ י. פרופ' מהדורה שניה הפקולטה להנדסת מכונות הטכניון מכון טכנולוגי לישראל 4 תשס"ד אוקטובר

2 החומר בחוברת זו מבוסס על הרצאות שנתנו במשך שנים רבות בפקולטה להנדסת מכונות בטכניון בקורסים שנשאו שמות כגון ולאחרונה "מכניקת מוצקים ". "תורת החוזק", "אלסטיות יישומית" שנים רבות לימדתי קורסים אלו יחד עם פרופ' א. אלטוס, אתו היו לי שיחות ארוכות על מבנה הקורס וצורת העברת החומר לסטודנטים. חלק ניכר מהחוברת מבוסס על רעיונותיו ועל כך נתונה לו תודתי והערכתי. במהדורה השניה המופיעה כאן לראשונה הוכנסו מספר שינויים, שעיקרם הוספת דוגמאות והרחבת ההסברים בפרקי היסוד הראשונים. הציורים שורטטו בידי אמיר ראובן הדפסת נוסחאות ברניס הירש הדפסת עברית נירית בודוך כל הזכויות שמורות למחבר opyrght by Jacob. Lfshtz No part of ths book may be reproduced n any form, or by any means, wthout wrtten consent of the author

3 תוכן העניינים - מוצקים. מאמצים מבוא... - וקטור מאמץ... - וקטור מאמץ בהעמסה תלת-מימדית... - הטנזור כבעית ערכים עצמיים בעיות מישוריות... - מאמץ נורמאלי מכסימלי... - מאמץ גזירה מכסימלי טרנספורמציה של מאמצים עיבורים מבוא... - עיבור חד-צירי... - דפורמציה תלת-מימדית תרומת ωj לשינוי בוקטור ε j תרומת לשינוי בוקטור ε ε משמעות משמעות משמעות... ε - טרנספורמציה של עיבורים... - שושנת עיבורים קשרי מאמץ-עיבור מבוא... - חוק מאמץ-עיבור תלת מימדי... - חוק הוק (D)

4 יישום קריטריוני כשל במאמצים מורכבים 4-4- א. ב. ג. מבוא קריטריוני כשל מאמץ נורמאלי מכסימלי מאמץ גזירה מכסימלי אנרגית שינוי צורה אנרגיית עיבורים אלסטית א. ב. השוואה בין הקריטריונים גזירה טהורה כפיפה וגזירה מאמצים נורמאליים בכפיפה מבוא כפיפה משופעת מומנטי אינרציה של החתך העמסה אקסצנטרית כפיפת קורה הטרוגנית מאמצים פלסטיים בכפיפת קורה מאמצי גזירה בכפיפת קורות מבוא מאמצי גזירה בחתכים מלאים מאמצי גזירה בקורות בעלות חתכים דקי דופן מרכז הגזירה דפורמציות אלסטיות בכפיפה מבוא המשואה הדיפרנציאלית לחישוב שקיעות שקיעות בעזרת פונקציות סינגולריות סופרפוזיציה סופרפוזיציה של עומסים סופרפוזיציה על ידי חלוקת המבנה לאלמנטים פשוטים

5 משוואת שלושת המומנטים קורות נמשכות מטריצת מקדמי השפעה שיטות אנרגיה לחישוב דפורמציות מבוא אנרגיה אלסטית כפונקציה של מקדמי השפעה משפט ההדדיות של מקסוול משפט קסטיליאנו השני משפט קסטיליאנו הראשון אנרגיה אלסטית של מוטות וקורות אנרגיה במוט עמוס בכח צירי אנרגיה במוט פיתול (חתך מעגלי) אנרגית כפיפה של קורה אנרגית גזירה של קורה אנרגיה אלסטית במקרה כללי חישוב דפורמציות בשיטות אנרגיה דפורמציות בקורות דפורמציות במסגרות דפורמציה במסבכים כוחות במסבך לא מסויים עומסי הולם קריסת עמודים מבוא קריסת עמודי אוילר תחום השימוש בנוסחת אוילר קריסת קורה-עמוד קריסת מסגרות

6 - פרק : מאמצים (-) מבוא F D B F בקורס "מכניקת מוצקים " הכרתם את המושג "מאמץ" (stress) במקרה פשוט-חד מימדי. תחילה דנתם במאמץ מתיחה/לחיצה F D B F הידוע גם כמאמץ נורמאלי הניצב לשטח החתך () עליו הוא פועל. לאחר מכן נדון מאמץ גזירה (shear stress) ( τ) F המשיק לשטח החתך () עליו הוא פועל. מאמץ הגזירה בקונפיגורציה הבאה: המאמץ הממוצע הוא: F τ F (.. שטח חתך רוחבי של הפין במחבר). בהמשך נדונה בעית פתול וגם שם הופיע מאמץ גזירה, אבל הסתבר שפילוגו לינארי עם המרחק ממרכז החתך. במצבים הפשוטים שתוארו כאן סביר להניח כי ו- τ כוללים את כל האינפורמציה הדרושה לנו על המאמצים בחומר, בכדי שנוכל לתכנן את המוט או מחבר המזלג כך שלא ישברו. במצבים מורכבים יותר, כאשר העמסים אינם חד ציריים, יש צורך באינפורמציה נוספת על המאמצים. נתחיל במקרה הפשוט של מתיחת מוט בכדי להגדיר מושגי יסוד הקשורים במאמצים. e F e D F (-) וקטור מאמץ על חתך רוחבי של המוט פועל כח שקול F כמתואר. כח זה מופעל על החתך ע"י החלק הימני של המוט (שאינו מצוייר כאן). B

7 - העברת הכח מהחלק הימני לשמאלי (בחתך (BD נעשית באופן שווה על כל החתך, כאשר בכל נקודה פועל כח ליחידת שטח (מאמץ) הוא מוגדר כוקטור המאמץ. F מאחר ולמאמץ יש גודל, וכוון בעל מימד t ( ) e F. (-) כח שטח t F e e נהוג לסמן וקטור מאמץ t הפועל על חתך רוחבי הניצב ל- באגף שמאל של (-) במקום t את הסימון החדש e בסימון, T ולכן יכולנו לרשום. T כעת נבדוק מהו וקטור המאמץ הפועל על חתך משופע (דרך אותה נקודה ). מאחר והעומס החיצון על המוט לא השתנה, גם "המאמץ " בנקודה לא ישתנה. השאלה המתעוררת היא האם גם וקטור המאמץ t, הפועל על המישור המשופע בנקודה, לא משתנה? משקולי שווי משקל של קטע המוט המתואר כאן, ברור כי בחתך GE פועל כח שקול כח זה (F) מתחלק בצורה אחידה e F e G θ θ n F. Fe E על פני שטח החתך (שיסומן ע"י S). נגדיר את המישור המשופע GE ע"י וקטור יחידה n הניצב למישור המשופע כך שכוונו מתוך ( n, n קטע המוט המצויר וכלפי חוץ. רכיבי וקטור היחידה בציור הם: (, הזוית θ קובעת את הקשר בין שטח חתך רוחבי לשטח החתך המשופע S. במקרה המתואר בציור, ( n, n, ) ווקטור המאמץ על המישור המשופע הוא: כאמור למעלה, F t e S F e n en S cos θ S n e Sn ; n הוא וקטור המאמץ הפועל על חתך רוחבי הניצב ל -, ובציור חתך כזה e T,(-) t נובע מכך כי הקשר בין. θ מוגדר ע"י : ל- T נתון ע"י ( e ) n T n t (-) מסקנה: וקטור המאמץ t הוא פונקציה לא רק של המאמץ n. על כל מישור הנוטה בזוית θ שונה, פועל וקטור מאמץ שונה, הנתון ע"י אלא גם כוון המישור, המוגדר ע "י. (-) משוואה זו

8 - מראה כי במקרה החד כווני הפשוט, של מוט במתיחה/לחיצה, ידיעת וקטור המאמץ T מאפשרת T חישוב וקטור המאמץ על כל חתך מישורי הנתון ע"י. n במקרים מורכבים יותר (דו-מימדיים - D, ותלת מימדיים - D), מנקודה לנקודה, יש לערוך ברור נוסף כמפורט בהמשך. לסיכום, וקטור מאמץ הפועל על חתך רוחבי הניצב ל- וכאשר המאמצים משתנים t( ; e ) ווקטור מאמץ הפועל על חתך הניצב ל- e מסומן ע"י n מסומן ע"י. t t( ; n) t ( ; e ) S B e E S G (-) וקטור מאמץ בהעמסה תלת מימדית t ( ;n) בציור מתוארת פירמידה חומרית n S t ( ; (e שנחתכה מתוך גוש חומר עמוס. בכדי שגם מקרים בהם e S H t ( ; e ) D e המאמצים משתנים מנקודה לנקודה יכללו באנליזה, נבחר לפירמידה מידות קטנות (שואפות לאפס) ציור (-): פירמידה חומרית עמוסה, ( t( ;n )) כך שוקטור המאמצים על כל פאה יהיה אחיד. כמו במקרה החד מימדי, נחפש קשר בין וקטור המאמץ על המישור המשופע, DE לבין וקטורי המאמץ על הפאות הניצבות לכוונים. e, e, e T היות והפירמידה קטנה מאוד וקטורי המאמץ על מישורים שונים באותה נקודה (B). קשרים גיאומטריים: אפשר להתיחס לוקטורי המאמצים על הפאות השונות כאל E e n DE הניצב למישור, B וקטור מהנקודה... BG מהציור: n cosα BG BE α G n BG BD באופן דומה: B H n ציור (-): חתך מישורי בפירמידה BG B

9 -4 dv S BG S B S BD S BG נפח הפירמידה: BE נכפיל את כל הביטויים ב- n הרשומות למעלה. התוצאה: ונשתמש בהגדרות S S n S n S n S Sn,,, (-) שווי משקל של כחות (ד.ג.ח. של הפירמידה): ( ;n) + S t( ; e ) + S t( ; e ) + S t( ; e ) St (-4) במשוואה (-4) מופיעים וקטורי מאמץ t (על המישורים "השליליים" הניצבים לצירים בגלל נוחיות מעוניינים לבטא וקטורים אלה בעזרת (על המישורים ה"חיוביים"). m B t( ;e ) m B ( ; ) f B e. e לשם כך נערוך חישוב עזר: החלק המתואר בציור הוא חלק מגוף עמוס. נחלק אותו לשני חלקים ) ו- ( f באמצעות משטח כלשהו S. על החלק פועלים כח שקול f S f B. בנקודה m ומומנט שקול פועלים כח שקול על החלק ומומנט שקול m בנקודה B. ציור (-): גוש חומרי עמוס בשווי משקל B כעת נפריד את שני החלקים (במשטח S) ונוסיף על כל חלק את הכח והמומנט השקולים שהחלק השני מפעיל עליו כמתואר: m m B f * m f S f m * B * S f B ציור (-4): שני חלקי הגוש החומרי מציור (-) והעומסים שביניהם

10 -5 f m + f B + m B + f שווי משקל של כוחות ומומנטים על החלק : + B f B (-5) ). B ו- רדיוסי וקטור מנקודת יחוס רצונית לנקודות..., B ) : שווי משקל כחות ומומנטים על כל חלק : על f m + f + m + f + f (-6) : על f B m B + f * + m * + B f B + * f * (-7) חיבור משוואות הכוחות (-6) (-7) וחיסור (-5) יתנו: f f * (-8) (-5) יתנו [לאחר שימוש ב-( -8 ) ואחרי הבחנה כי חיבור משוואות המומנטים (-6) (-7) וחיסור :[ * m m * (-9) (-8) (-9) מבטאות את חוק הפעולה והתגובה של ניוטון (החוק השלישי). מסקנת הפתוח כאן היא כי וקטור המאמץ הפועל על צד אחד של משטח החתך S שווה למינוס וקטור המאמץ הפועל על הצד השני של משטח החתך: t( ;n) t( ; n) (-) נחזור כעת למשוואה (-4) תוך שימוש ב- (-), ולאחר חלוקה ב- S ושימוש ב-( - ): t ( ;n) n t( ;e ) n t( ;e ) n t( ;e ) (-)

11 -6 T יתן ( ) t( ;e שימוש בסימון ) ( ;n) n T ( ) + n T ( ) + n T ( ) (-) ובהשמטת הפרמטרים שבסוגריים: t t T n + T n + T n T jn j (-), e, T ממשוואה (-) רואים כי ידיעת וקטורי המאמץ הפועלים על מישורי הצירים T מאפשרת חישוב וקטור המאמץ t הפועל על כל מישור העובר בנקודה. לפיכך, הוקטורים מגדירים את "מצב המאמצים בנקודה". הערת ביניים לסוגי גדלים פיזיקליים: עד כה הכרתם שני סוגים של גדלים פיזיקליים: () () סקלרים T - - גודל סקלרי מוגדר ע"י מספר אחד (טמפרטורה, וקטורים. אנרגיה, ) שאינו תלוי במערכת הצירים. גודל וקטורי מוגדר ע"י רכיבי הוקטור (מהירות, דרך, תאוצה.) המשתנים ממערכת צירים אחת לשניה, כאשר קיים קשר בין רכיבי מערכת אחת לשניה באמצעות נוסחאות טרנספורמציה. כאן פגשנו לראשונה גודל חדש "מאמץ" אשר בכדי להגדירו בצורה שלמה יש צורך ב- וקטורים הפועלים על מישורים, הניצבים לצירי מערכת הצירים. שינוי כיוון מערכת הצירים יוביל לשינוי הוקטורים T, אם כי המאמץ בנקודה ישאר ללא שינוי. בהמשך נראה כי קיימת תלות בין "רכיבי המאמץ" במערכות צירים שונות, ע"י משוואות טרנספורמציה. לגודל חדש זה קוראים טנזור tensor).(stress רכיבי טנזור המאמץ e T T e T T e. e e T T e (a) (b) (a) ציור (-5): T על הפאות החיוביות T על מישורי הצירים; (b) רכיבי וקטורי המאמץ

12 -7 T הרכיבים j הם רכיבי וקטורי המאמץ כדלהלן : T T T (e (e (e T )e T )e T )e + + (e + (e (e T )e T )e T )e + (e + (e + (e T )e T )e T )e e e e e e e e e e (-4) T j j e ובקיצור: (-5) : j הצבת (-5) ב- (-) תתן קשר ישר בין t לרכיבי טנזור המאמצים t kj e k n j e t e t kj e k e n j ; e k e δ k for k for k t t kj j δ n k j n j (-6) t t t טנזור המאמצים n n n (-7) j שימו לב כי האינדקס הראשון של () מציין את כוון הפעולה של רכיב המאמץ, והאינדקס השני (j) מתאר את המישור עליו פועל וקטור המאמץ. 9 רכיבי טנזור המאמצים מגדירים את מצב המאמצים בנקודה. הרכיבים (לאורך האלכסון) הם מאמצים נורמאליים ויתר המאמצים הם מאמצי גזירה.

13 -8 סימטריות : j e נוכיח ממשוואת שווי המשקל של מומנטים כי. j j j רכיבי סימטריים, כלומר: d d e נצייר מבט על על קוביה, עם החלק הרלוונטי של המאמצים הפועלים. שווי משקל מומנטים בכוןן e (למשל סביב מרכז הקוביה ): [ ( d ) d ( d)d ] d e : d d d ציור (-6): מבט על קורה עמוסה (-8) ; e e ו- באופן דומה, שווי משקל של מומנטים בכוונים יתן j j ובאופן כללי : לפיכך קיימים רק 6 בנקודה. רכיבים בלתי תלויים לטנזור המאמצים, מעכשיו אפשר לרשום את 'טנזור המאמצים' המגדירים את מצב המאמצים j בכל נקודה בצורה : כאשר ניצלנו את הסימטריה של מאמצי הגזירה. הטנזור כבעית ערכים עצמיים בדרך כלל וקטור המאמץ t, הפועל על מישור הניצב לוקטור יחידה, n אינו מקביל ל- n. הקשר בין רכיבי t לרכיבי n נתון ב- (-6 ). כעת אנו מעוניינים לדעת האם קיים במרחב מישור אשר וקטור המאמץ הפועל עליו ) t ( מקביל לוקטור היחידה (n ( הניצב למישור. אם קיים מישור כזה, e בשני אגפי המשוואה, אפשר לרשום t λn t e λn e מתקיים הקשר הבא : כאשר λ הוא גודל וקטור המאמץ הפועל על המישור. לאחר הצבת רכיבי t ממשוואה (-6 ( והשוואת מקדמי n j j λn שלוש משוואות סקלריות:

14 -9 ( n n λ)n + ( + + n n λ)n + ( + + n n λ)n ובצורה מפורשת: בעיה זו, המתוארת ע"י משוואות הומוגניות, ידועה כבעיית ערכים עצמיים. התנאי שקיים פתרון לבעיה הוא, איפוס דטרמיננט המקדמים (של.( n. ערכים אלו הם ה"ערכים מסתבר כי קיימים פתרונות של, λ ולפיכך נסמנם ב- λ, λ, λ העצמיים", ולכל ערך עצמי קיים "כיוון עצמי" n (הידוע בשם "וקטור עצמי"). בהקשר שלנו, בו אנו דנים בטנזור המאמצים, הערכים העצמיים ידועים בשם "מאמצים ראשיים" (ולכן נחליף את הסימון מ- λ, λ, λ ל- ( והכיוונים העצמיים ידועים בשם,, "כיוונים ראשיים". למישורים הניצבים לכיוונים הראשיים נקרא "מישורים ראשיים". על פי הגדרתם, המאמצים הראשיים ניצבים למישורים הראשיים, ולכן אלו מאמצי מתיחה או לחיצה (להבדיל ממאמצי גזירה). לאחר שנמצא את הכיוונים הראשיים נוכל לבטא את רכיבי טנזור המאמצים במערכת הצירים המקבילה לכיוונים הראשיים. טנזור המאמצים במערכת זו יהיה מלוכסן: המאמץ הגדול מבין השלושה הוא המאמץ הגדול ביותר הקיים בנקודה, והמאמץ הקטן מבין השלושה הוא המאמץ הקטן ביותר הקיים בנקודה. לפעמים שניים או שלושה מהמאמצים הראשיים שווים זה לזה ואז קיימים יותר משלושה כיוונים ראשיים. נחזור לנושא זה כאשר נדון בטרנספורמציות של רכיבי טנזור המאמצים. (DE) רכיב נורמאלי ורכיב גזירה של וקטור המאמץ משוואה (-6) t (על מישור שאינו מישור ראשי ( נותנת את רכיבי וקטור המאמץ, t ( t n ) j j הפועל על מישור j שהניצב אליו הוא וקטור היחידה n (ראה ציור -), באמצעות רכיבי טנזור המאמץ והוקטור שונה מכוון. n כמו בכל וקטור אחר, אפשר להפריד את t לשני רכיבים ניצבים. בד"כ כוון t n j ( t ורכיב שני n זה לזה. נעשה זאת כאשר רכיב אחד יהיה בכוון (ניצב למישור DE עליו פועל יהיה בניצב ל-, n כלומר במישור.DE

15 - הרכיב הראשון (בכוון ( n הוא מאמץ נורמאלי (ניצב למישור (DE וכוונו מוגדר היטב: נסמנו ב- nn (הקו מעל n בא להדגיש שאין כאן הסכם סכימה!). nn n t n t n j n j n n j j (-9) הרכיב השני (בניצב ל- ( n הוא מאמץ גזירה, הפועל במקביל למישור,DE ונמצא במישור הנוצר.s ע"י הוקטורים t ו-. n נסמן את וקטור היחידה שבכוונו פועל רכיב הגזירה ע"י רכיב הגזירה יהיה: של t ns s t s j n j s n j j (-) הנוסחאות (-9) (-) הן כלליות ומתאימות גם למצב בו טנזור המאמצים "מאוכלס" כולו ברכיבים השונים מאפס. מצב כזה הוא מורכב מאוד ובדרך כלל לא נעסוק בו לא בלימודים ואף לא בעבודה סטנדרטית לאחר הלימודים. לפני שנעבור למקרים פרקטיים יותר, בעיות מישוריות, נביא דוגמא לחומר שנלמד בפרק (-) a דוגמא נתון טנזור המאמצים בנקודה חומרית, B דרוש: א. לצייר את רכיבי וקטורי המאמץ. B הפועלים על פאות קוביה בנקודה T ב. לחשב רכיבי וקטור המאמץ t הפועל על חתך מישורי משופע דרך B (ראו ציור (-)), כאשר ; BE. B ; BD ; ג. לחשב גודל המאמץ הנורמאלי הפועל על המישור. DE e ד. פתרון: א. לחשב גודל וכיוון מאמץ הגזירה הפועל על המישור.DE 4 4 e T 5 e T T 4 e e + 4 e + e e e 5 e

16 - ב. שלב ראשון הוא לחשב רכיבי וקטור יחידה הניצב למישור המשופע. על פי הקשרים בעמוד - BG BG BG BG n ; n ; n B BD BG BE BG מתקבל, n + n + n + + BG 4 9 מהתנאי כי n הוא וקטור יחידה: 6 6 BG n ; n ; n t t t t j j j n j n j n n j j j n + n + n 7 n + n + n 7 n + n + n 7 ( ) ( 4 + 6) 7 ( ) 7 7 ממשוואה (-6) : ג. ממשוואה (-9) : n t ( ) 56.5 a n n ד. ממשוואה (-) וחוקי חיבור וקטורים: ns ns s s t n n n 7 s 8.6 e 5.6 e 9.8 ( 7 e + e 7 e ) ( e + 6 e + e ) 6.5 e [ 8.6 e 5.6 e 6.5 e ] s.7 e.4 e.67 e ns a

17 - (-4) בעיות מישוריות מאחר ורוב הבעיות שתטפלו בהן משתייכות לקטגוריה הידועה בשם "מאמצים מישוריים" : j (-) או: "מאמצים מישוריים מוכללים" j (-) e נרשום ביטויים מפורשים ל-( -9 ) (-) T θ s ns t θ n n n n n עבור המקרים "המישוריים". e + n e (cosθ)e + (sn θ) e s s e + s e ( snθ)e + (cosθ) e e T ציור (-7): מינסרה חומרית במצב מאמצים מישורי הצבת רכיבי n ו- s ב- (-9) ו-( - ) תתן: nn ns ( cos θ + sn θ + )sn θcosθ + sn θcosθ (cos θ sn θ (-) cosθ cos θ sn θ ; sn θ שימוש בקשרים הגיאומטריים: sn θcosθ sn θ ( cosθ) ; cos θ ( + cosθ)

18 - יתן: τ nn ns + + sn θ + cos θ + cos θ sn θ (-4) מאמץ נורמאלי מכסימלי משוואה (-4) מאפשרת קביעת המישור המישור (θ ( עליו פועל מאמץ גזירה עליו פועל מאמץ נורמאלי ( (θ מכסימלי ואת (τ ( מכסימלי. אינפורמציה זו בעלת חשיבות בתהליך התכן, כאשר יש לקבוע מידות חלקים שונים כך שלא יכשלו. הנגזרת. נעשה זאת ע"י גזירת (-4) לפי θ ואיפוס ( ) d dθ sn θ + cos θ (-5(a)) τ tan( ) θ ma mn (-5(b))

19 ו - 4 tan α π ל-(( -5(b ) שני פתרונות בתחום π π π θ π π ( ) θ ma כאשר ההפרש בין הפתרונות ל- θ הוא α π (כנראה בציור ). ההפרש בין שני הפתרונות של π. θ הוא לכן לפיכך אם מוצאים הזוית המגדירה את המישור שעליו פועל,, ma π יודעים גם כי על מישור הנוטה ב- ל- θ (-6). mn פועל מאמץ נורמאלי ma θ mn θ ma π ± הצבת הזוית θ מ-( -5 ) ב-( -4 ) נותנת (לאחר קצת אלגברה): ma mn + ± + / (-7) mn - ma שימו לב כי ממשוואה (-7) מקבלים את ערכי, אבל לא יודעים על איזה משני. הכוונים שחושבו ב- ((b)-5) פועל ועל איזה פועל בכדי לדעת זאת יש להציב את mn ma n n הערך של אחת הזויות ל-( -4 ) ולחשב את פיתוח משוואות הטרנספורמציה. הפועל שם. דוגמא לחישוב זה מופיעה לאחר חשוב להבחין כי על המישורים המוגדרים ע"י θ ma ו- ).(-5(a)) ו- mn mn ma, θ פועלים רק מאמצים נורמאליים בהתאמה). מאמצי הגזירה על מישורים אלה מתאפסים, כפי שרואים במשוואה מאמץ גזירה מכסימלי הנסיון המצטבר מראה כי יש חמרים הנשברים בעקבות מאמץ נורמאלי שהגיע לערך קריטי (חמרים פריכים - brtte - כמו קרמיקה, ברזל יציקה וכיו"ב). למטרה זו חשבנו מאמץ נורמאלי מכסימלי (במשואה -7) עבור מקרה של מאמצים מישוריים. קיימים גם חומרים אחרים (רוב המתכות!) הנכשלים לא ע"י שבירה לשני חלקים בעקבות מאמץ נורמאלי, אלא הכשל מתרחש כשהחומר מגיע ל"נקודת הכניעה הפלסטית". נקודת כניעה זו

20 - 5 מתרחשת כאשר מאמץ הגזירה בחומר מגיע לערך קריטי ומתרחשת תנועת נקעים ודפורמציה פלסטית. מבחינת המתכנן זה מצב של "כשל" שצריך להילקח בחשבון. לפיכך, חשוב לנו לזהות מהו מאמץ הגזירה המכסימלי הקיים בחומר ועל איזה מישור הוא פועל. תשובה לכך (במקרה הדו-מימדי המתואר ע"י (-)) נקבל ע"י גזירת τ במשוואה (-4) לפי θ ואיפוס הנגזרת. dτ cos sn d θ + θ θ tan( ) θ τ ma mn (-8) θ ל-, כפי שהיה למשוואה ((b)-5), וההפרש בין גם למשוואה זו פתרונות בתחום θ π, π כמו.(-6) θ הוא τ mn τma בנוסף, מכפלת המשוואות ((b)-5) ו-( -8 ) נותנת -: tan(θ) ma mn tan(θ) τma mn (, הם τ ma mn ) פרוש הדבר כי שני הכוונים, המגדירים מישור ראשי ומישור שפועל עליו ( θ) ( ( ומאמץ הגזירה o θ נוטה ב- 45 τ ma mn ניצבים זה לזה, והזוית לכוון המישורים הראשיים. הצבת הזויות מ- (-8) ל-( -4 ) נותנת את המאמץ הנורמאלי τ) הפועלים על מישורי הגזירה המכסימלית: θ τ ma mn + + ma mn המכסימלי/מינימלי ) (-9) τ ma mn ± + / (-) τ ma τ mn

21 - 6. τ mn מסקנות: מאמץ הגזירה המכסימלי τ ma שווה בעצמתו והפוך בסימנו למאמץ הגזירה המינימלי.,s קביעה זו מתאימה להגדרת רכיבי, הסימטריה של והגדרת כווני וקטור היחידה j j ( τ mn ) e s כמתואר בציור הבא: n e s e ( τ ma ) n e n s s n ציור (-8): מאמצי גזירה וכווני וקטורי יחידה על פאות הצירים. המאמץ הנורמאלי ( ( על מישורי הגזירה המכסימליים ma נתון ע"י (-9). לא מתאפס בהכרח. ערכו. ma mn τ mn מישורי הגזירה המכסימלית/מינימלית נוטים ב- למישורים הראשיים π 4 ממשוואה (-7) (-) מתקבל כי ערך הגזירה המכסימלית מתקבל ע"י: τ τ ma mn τ ma ma mn (-).. ma o 45 ma + mn + ma + ± mn mn ציור( -9 ): מאמצים ראשיים ומאמץ גזירה מכסימלי

22 - 7. ma mn מסקנה מורחבת גם למקרה התלת מימדי. ממשוואה (-) נובע כי מאמץ הגזירה מתאפס כאשר.4.5 j p לפיכך, בהעמסת לחץ הידרוסטטי p הנתון ע"י: מאמץ הגזירה מתאפס על כל מישור בחומר (יהיה ברור יותר לאחר הטרנספורמציות). (-5) טרנספורמציה של מאמצים B נתבונן באלמנט חומרי אינפיניטסימלי הנמצא בנקודה B בגוף עמוס הנמצא בשווי משקל. ברור כי מצב המאמצים ב- B (כמו בכל יתר נקודות הגוף) נקבע על ידי העומסים הפועלים על הגוף ועל תכונות החומר ממנו הגוף עשוי, אך אינו תלוי במערכת הצירים שבוחרים כדי לבצע את האנליזה. למה הדבר דומה? למטוס הנע במהירות v מסוימת. אפשר לבטא את רכיבי המהירות במערכות ( e ובכל מערכת יהיו למהירות רכיבים שונים v v + e + v e v e ' צירים שונות ) במערכת e : e או v v' + e' + v' e' v' e' : e' במערכת ברור כי המטוס יגיע ליעדו באותו זמן ובאותו מסלול בין אם האנליזה תעשה במערכת במערכת e ובין אם. e לכן חייב להתקיים קשר בין הרכיבים ביחס לשניה v ו-' ( ) e', v בהתאם לשיפועי המערכת האחת. נובע מההסבר למעלה כי אפשר לבטא את מצב המאמצים ב- B ע"י j ' ( ) e ' j המתיחס למערכת, e או ע"י המתיחס למערכת e ואין יתרון לבחירה האחת על השניה. '. e' e ו- ', התלוי בשיפוע היחסי בין j ל- j כמו כן חייב להתקיים יחס בין בדומה להגדרת וקטורי המאמץ על מישורי e (משוואות ) (-4,,((-5) מתקיים : T j j j T' ' j e e' j ' e j T e' T' j j (-)

23 - 8 e j נוכל לקבל את היחס בין ל- ' j בעזרת ביטויי המאמץ הנורמאלי ומאמץ הגזירה שבמשוואה (-4), e ' s ל- e' ו- n ל- e '. וזאת ע "י הצמדת ' ' ' e θ e התוצאה: ' ' ' + ( θ) + cos θ + sn θ τ( θ) sn θ + cos θ π + θ + cos θ sn θ (-) שימו לב כי משוואות הטרנספורמציה (-) מתאימות למצב מאמצים מישורי (-) או "מישורי מוכלל" (-). דוגמא למאמצים וכיוונים ראשיים 44 5 a 69. a ; 8.8 a מצב המאמצים בנקודה נתון ע"י טנזור המאמצים: דרוש: מאמצים וכיוונים ראשיים. פתרון: ממשוואה (-7) מתקבלים המאמצים הראשיים:, θ 8.5 ; θ 5.5 ממשוואה ((b)-5) מתקבלים הכיוונים הראשיים:, מציבים בנוסחת הטרנספורמציה ' (5.5 ) 69. a ואיזו ל- 5.5) ומקבלים: מאחר ואיננו יודעים איזו זווית שייכת ל- (-) הראשונה את אחת הזוויות (נניח , והכיוון הראשי בו פועל המסקנה : הכיוון הראשי בו פועל הוא הוא

24 - 9 בכדי לקבל נוסחאות טרנספורמציה למקרה הכלל (D), נגדיר תחילה מקדמי "קוסינוסי כוון" : e' e ו- r בין המערכות r e' e r cos(' ; r ) (-4) e' שימו לב כי על פי הגדרתנו, האינדקס הראשון של והאינדקס השני (r) קשור לקואורדינטה במערכת ללא תג קשור לקואורדינטה במערכת. r ( ) e r נקשור את שתי המערכות: r בעזרת ( e' e r ) e r e r e ' r (-5) נבטא את t בעזרת (-6): t( ;n) e r t r e r rs n s e r rs (n e s ) (-6) 'e בכוון n נקבל מ- (-6) ו-( -5 ) : j ואם נבחר את T' j t( ;e' ) e j r rs (e' e ) e j s r rs js (-7) הצבת (-7) ב-( - ): ' j T ( e' e ) r rs js r rs js r rs sj (-8) ובצורת מטריצות: ' ' ' ' ' ' ' ' ' (-9)

25 - תאור גרפי נוסף של טרנספורמציה דו-מימדית: T B e e T ' T ' e B ' e θ ' T T ' T T ' T e e ' ' e ' ' e ' θ ' ' ' ' ' ' ' שימו לב כי מאמצי הגזירה על פאות סמוכות הניצבות זו לזו פועלים או בכיוון לפינה או בכיוון מהפינה, ("ראש אל ראש" או "זנב אל זנב"). e. נהוג גם להגדיר פאה שהניצב אליה (n ( בכוון חיובי "כפאה חיובית", ואם n בכוון שלילי הפאה מוגדרת כשלילית. מאמצים חיוביים הפועלים על פאה חיובית, מכוונים בכוון הצירים מאמצים חיוביים הפועלים על פאה שלילית, מכוונים בכוון הצירים e.

26 - פרק : עיבורים (strans) (-) מבוא כאשר מפעילים על גוף כלשהוא עמס (כוח, מומנט) כל נקודה בגוף משנה בד"כ את מקומה במרחב. לפעמים ההזזות גדולות, כמו במקרים בהם הגוף אינו קשור למקומו (דינמיקה) ופעמים ההזזות קטנות מאוד עד כדי כך שאינן ניתנות להבחנה בעין (סטטיקה-חוזק). במקרה הראשון (דינמיקה) מתרכזים בד"כ במסלול הגוף במרחב ומתעלמים מהמאמצים הפנימיים המתעוררים בגוף בעקבות התנועה (למשל-מאמצים מהאינרציה). במקרה השני (סטטיקה-חוזק) הבעיה המרכזית היא המאמצים המתעוררים בגוף בעקבות העומס החיצון. מאמצים אלו נבדקים לאור תאוריות חוזק שונות בכדי לקבוע האם הגוף יעמוד בעומס או יכשל. לאור שיקולים אלה קובעים את מימדי הגוף כך שיעמוד במאמצים. במסגרת הקורס הנוכחי אנו לומדים כיצד מחשבים מאמצים בבעיות אופיניות, כהכנה לתכן. בקורס "מכניקת מוצקים " טפלתם בשני מקרים פשוטים של העמסה, שגרמו למצב מאמצים פשוט:. מתיחת מוט בעל חתך רוחבי בכח F. מתעורר מאמץ מתיחה נורמאלי אחיד על פני.T במומנט פתול, I p החתך, שעוצמתו נתונה ע"י. F. פתול מוט בעל חתך רוחבי עגול, בעל מומנט אינרציה פולרי מתעורר מאמץ גזירה המשתנה באופן לינארי על פני החתך, ועוצמתו תלויה במרחק r ממרכז החתך τ T I p r בשני המקרים חישוב המאמץ אלמנטרי ואינו דורש חישובי הזזות וסיבובים. כאשר המוטות הנ"ל מאולצים בקצותיהם (למשל - ריתומים בשני הקצוות) חישוב המאמצים מחייב חישוב מוקדם של הזזות הזזות (בעיות סטטיות לא מסוימות). (וסיבוב). בהמשך נפגוש מקרים נוספים המחייבים חישובי סיבה נוספת לעסוק בהזזות המתרחשות בגוף עמוס היא היכולת למדוד אותן במעבדה, ובעזרת המדידה לקבל אינפורמציה (מדודה) על גודל המאמץ. חשיבות רבה, מאחר ואין אפשרות פשוטה למדוד מאמץ באופן ישיר. בהעמסות מורכבות יכולת זו בעלת (-) עיבור חד-צירי בסעיף זה נחזור תחילה על חומר שנלמד בקורס "מכניקת מוצקים " ונתווה את הדרך להרחבת נושא העיבורים והקשר בינם לבין הזזות.

27 - כאמור, מתיחת מוט בעל חתך רוחבי אחיד () בכח F גורמת להתארכותו. בקצה המוט, מאמץ המתיחה כאשר הכח מופעל X מתארך באותה מידה כמו שכנו. F אחיד לאורך כל המוט, וכל קטע לאורך המוט בציור (-) מתואר המוט לפני הפעלת העמס (a) ואחריו (b). L n X n X u u + (a) F u n n F (b) ציור (-): מוט במתיחה. (a) לפני הפעלת העמס, (b) אחרי הפעלת העמס. X X לפני הפעלת העמס מסמנים על המוט n קטעים בעלי אורך אחיד X. אורך המוט L ושטח חתך רוחבי. לאחר הפעלת העומס F המוט מתארך לאורך חדש, אורך כל קטע מקורי ל-, ושטח החתך הרוחבי קטן קמעה. מאחר ומאמץ המתיחה על פני כל הקטעים סביר להניח כי התארכות כל קטע התארכות המוט כולו שווה לסכום ההתארכות של n הקטעים באורך הופך קבוע, זהה להתארכות יתר הקטעים בעלי אותו אורך.. X u k אם נתבונן בהזזת שונות מחתך לחתך. עולה ככל ש- k גדל. לתאר את הדפורמציה במוט, (dspacement) של כל קו המתאר חתך רוחבי במוט, נווכח כי ההזזות בהנחה שהקצה השמאלי של המוט קבוע, הזזת החתכים u k ( u ) הבחנה זו הובילה להגדרת ההתארכות היחסית של המוט כגודל המתאים L n n X X L n X X ( X + u u ) X X u u X + + u X (-) התארכות יחסית זו הוגדרה בסמסטר הקודם כעיבור. ε ε u X (-)

28 - במקרה הפשוט של מתיחת המוט, כאשר התארכות כל קטע X אחידה ושווה ל- u, הגדרת ε במשוואה (-) מתאימה, מבלי להגביל את אורך האלמנט האורך L). - כאורך המוט כולו X X (למעשה ב'מוצקים ' נלקח במקרים מורכבים יותר, כאשר העומס משתנה מחתך לחתך (למשל - מוט תלוי אנכית בשדה הגרוויטציה ועמוס במשקלו העצמי), החתך לאורך המוט. במקרה כזה יש להגדיר את התארכות הקטעים X תשתנה אף היא על פי מיקום ε בכל חתך לאורך המוט ע"י לקיחת אלמנטים ε u m X X du dx X קצרים מאוד ; (-) למאמץ בעזרת מקדם קשיחות של החומר (מודל יאנג - Eε בהמשך נרשום קשר בין העיבור ε.(e (-4) משוואות (-), (-4) מתיחסות להעמסה פשוטה מאוד: מתיחה/לחיצה של מוט. כאשר גוף עמוס בצורה יותר מורכבת, ובנוסף צורתו אינה פשוטה כצורת מוט, מצב המאמצים בכל נקודה יכול לכלול מאמצים בכוונים שונים, כפי שנלמד בפרק הקודם על מאמצים. סביר להניח כי גם הדפורמציות תהיינה מורכבות יותר מהרשום ב-( - ). את המשך הפרק נקדיש לנושא זה. (-) דפורמציה תלת מימדית בסעיף הקודם ראינו כי הגודל הרלוונטי לחישוב מאמצים הוא לא הזזת הנקודה אלא נגזרת ההזזה עפ"י קואורדינטת המקום. כידוע תהליך גזירה מבוסס על ערכי הפונקציה בנקודות סמוכות זו לזו, לפיכך נרשום הזזת נקודה (Q) בחומר באמצעות הזזת נקודה סמוכה אליה (), ע"י שימוש בטור טיילור. u u + d Q' Q u Q u + du מקרא: - מערכת צירים קבועה במרחב., - שתי נקודות סמוכות בגוף במצב התחלתי Q,' - שתי הנקודות הסמוכות, במצב הסופי Q' u u p u Q - וקטור הזזת הנקודה u + du - וקטור הזזת הנקודה Q ציור (-): דפורמציה של גוף עמוס - וקטור (אינפיניטסימלי) מ- ל- Q, לפני הפעלת העומס. ' - וקטור (אינפיניטסימלי) מ-' ל-' Q, אחרי הפעלת העומס.

29 -4 הדיון מתקיים בשדה הזזות רציף וגזיר, בכדי להימנע מהתעסקות בבעיות לא רלוונטיות לעניננו (כגון היווצרות סדקים או דחיסת מספר נקודות חומריות שונות לנקודה אחת). תזכורת לטור טיילור: - תיאור פונקציה f(+h) התלויה במשתנה אחד, ע"י הפונקציה f() ונגזרותיה (h הוא גודל קטן מאוד). f ( + h) f () + df d h + d f h! d +...hgher order eements תיאור פונקציה וקטורית u(+) התלויה במשתנה וקטורי, ע"י הפונקציה u() ונגזרותיה ( הוא וקטור מרחק קטן מאוד). - u( u ) u() + + j j +...hgher order eements הזזת הנקודה Q מבוטאת ע"י הזזת ופתוח טור טיילור: u Q u u + du u + j j (-5) איברים מסדר גבוה + מכאן והלאה נדון בגרדיאנטים קטנים של שדה ההזזות ולכן נזניח את כל האיברים בטור, פרט לנגזרת הראשונה. מציור (-): u Q u + ' u + d (-6) מהשוואת (-5) :(-6) u du d j du d u j p j j (-7) ובצורת רכיבים: (-8) במילים: כתוצאה מהשינוי בשדה ההזזות משתנה מ- ל- ' (שנוי באורך ובכוון!). ו- Q המיקום היחסי בין הנקודות הסמוכות, u u. j השינוי מוגדר ע"י (-8), והגודל האחראי לשנוי זה הוא גרדיאנט ההזזות נבדוק כעת מה ε j המשמעות הגיאומטרית של רכיבי הגרדיאנט, ותחילה נחלקו לשני רכיבים : רכיב סימטרי : ω j ורכיב אנטי-סימטרי

30 -5 u j u u j u u j + + j j אנטי סימטרי ω סימטרי ε j j (-9) εj ε j ω j ω j הצבת (-9) ב-( -8 ): d ε j j j j { () ε ( ω ) d + ω d (-) ל- Q בין ε לשנוי בוקטור j - תרומת ( ε) d ל- Q בין - d תרומת ω לשנוי בוקטור j ( ω) (-4) תרומת ω לשינוי בוקטור j מההגדרה ב-( - ) נרשום במפורש משוואות. d d d ( ω) ( ω) ( ω) ω ω ω + ω + ω + ω + ω + ω + ω ω ω ω ω ω ω (-) ובצורה שונה: d ( ω) e ω e ω e ω (-),[ dφ ωdt] משוואה (-) מזכירה בטוי הקשור לתנועת סיבוב של גוף קשיח. כאשר גוף מסתובב כגוף קשיח, במהירות זויתית, ω ע"י וקטור סיבוב, dφ כל וקטור שנצייר בתוך הגוף הקשיח יסתובב אף הוא. השנוי בוקטור כתוצאה מהסיבוב נתון ע"י המכפלה הוקטורית. ( ) φ d

31 -6 d ( φ) dφ e dφ e dφ e dφ (-) השוואת (-) ל-( - ) מראה מבנה זהה, ורכיבי ωj הם רכיבי וקטור הסיבוב המוגדר ע"י dφ ω e + ωe + ωe (-4) e מסקנה: ωj אחראי לסיבוב הגוף כגוף קשיח. d φ e d φ e דוגמא נדגים את האמור במשוואה (-) במקרה פשוט של דיסקה מסתובבת. דיסקה סובבת סביב צירה בשיעור dφ dφ dφ e (a) הקו יסתובב ל- וההבדל בין ל- ' הוא d כמתואר. רכיבי הוקטור : ' cos φe + sn φ e (b) הצבת (a) (b) ל-( - ): d dφ e cosφ e sn φ e dφ dφ d ( sn φ e + cos φ e ) (c) φ d נגדיל את הציור של סיבוב הוקטור : φ רואים כי אכן וקטור השינוי d זהה לבטוי (c) dφ φ d cos φ φ d d sn φ

32 -7 (-5) תרומת εj לשינוי בוקטור ε j נרשו ם את רכיבי במפורש, על פי משוואה (-9): ε ε ε u u u,,, ε ε ε (u (u (u,,, + u + u + u,,, ) ) ) (-5) u, j u j כאשר: ε מבטאים דפורמציות הקשורות לשינויי אורך של סיבי חומר ולשינויי צורה של, ε, j נראה כי רכיבי החומר (הפיכת צורת אלמנט חומרי מרבוע למעוין, או מכדור לאליפסואיד). נתחיל במשמעות ε הרכיבים עם שני אינדקסים שווים ε u Q u + du (,,) ε (-5.) משמעות נתון וקטור (אינפיניטסימלי) המתאר אלמנט חומרי המקביל ל- לפני הדפורמציה. וקטור הזזת הנקודה. תוספת הזזה בנקודה סמוכה Q. ציור (-): דפורמציה של סיב Q וקטור המתאר את לאחר הדפורמציה. du u ( u, u, ) u ( du,du, ) du ( du,du, ) ' + du du בעזרת פיתוח טור טיילור, כאשר מתחשבים רק אפשר לבטא את רכיבי תוספת ההזזה באיבר הראשון בטור (מניחים גרדיאנטים קטנים!). במעבר מהנקודה ל- Q משתנה רק הקואורדינטה (בשעור ( ולכן בפיתוח טיילור. מופיעות רק נגזרות ביחס ל- du du du u u u,,, (-6)

33 -8 שינוי האורך היחסי של האלמנט החומרי נתון ע"י: ' (a) נחשב את אורך האלמנט הסופי ' : ( + du ) + du du ' + ( + u ) + ( u ) ( u ) ' +,,, ( + u + u + u u ) ' +,,,, du ע "י הצבת מ-( -6 ) (b) >>, אפשר להזניח ב-( b ) חזקות u, j מאחר ודנים בדפורמציות עם גרדיאנטים קטנים, u ביחס למעלה ראשונה, ולקבל:, j ממעלה שניה של ' + u, (c) פיתוח (c) לפי הבינום נותן: ' K +! ( ) + u, + u, + u, (d) הצבת (d) ב-( a ), כאשר זוכרים כי נותנת : ' u, ε (-7) ובמילים: (החיובי) הוא ההתארכות היחסית של סיב חומרי אשר הקביל לציר לפני הפעלת העומס. ε ε ערך שלילי של משמעותו התקצרות יחסית של אותו סיב. ε טיפול דומה בסיבים המקבילים לצירים ו- (לפני הדפורמציה) מוביל לקביעה כי ε (חיובי) הוא התארכות יחסית של סיב חומרי המקביל לציר לפני הפעלת העומס, ו- לפני הפעלת העומס. (חיובי) הוא התארכות יחסית של סיב חומרי המקביל לציר

34 -9 ( j שינויי האורך של הסיבים מתרחשים כתוצאה מהעומס המופעל על החומר (מהמאמצים. j ו- ε j ובהמשך נמצא את הקשר בין,, בדומה למאמצים המתארים "מאמצים נורמאליים" בנקודה חומרית והפועלים על חומרית, מישורי הצירים בהתאמה, ומקבילים לצירים המתארים התארכות כך גם (התכווצות) ε, ε, ε בהתאמה. הם "עיבורים נורמאליים" בנקודה יחסית של סיבים חומריים העוברים בנקודה D β D φ B B B α B כעת נעבור לבדיקת משמעות הרכיבים ε j כאשר. j ε (-5.) משמעות דרך נקודה חומרית עוברים שני סיבי חומר B ו-, המקבילים לצירים ו- בהתאמה (לפני הדפורמציה ). בעקבות העומס, הסיבים B ו- זזים ל-' B ו-' כמתואר. ציור (-4): דפורמציה של זוג סיבים ניצבים. B, בדרך כלל הדפורמציה של האזור בגוף סביב יכולה לכלול התארכות/התכווצות סיבים (עיבורים נורמאליים) והקטנת/הגדלת זוויות בין סיבים ניצבים זה לזה (עיבורי גזירה), אך גם סיבוב כגוף קשיח שאינו קשור במאמצים בחומר. בהמשך הדיון כאן נניח שאין סיבוב גוף קשיח ונתרכז רק בדפורמציות הקשורות במאמצים בגוף ובעיבורים שהם גורמים. סימון: ( ) B B,, סיב מקביל ל- (,,) סיב מקביל ל- הסיב B לאחר הדפורמציה הסיב ( B', B', B' ) B' ( B db,db, ) B ' + db ( ',',' ) ' ( d, d, ) ' + לאחר הדפורמציה d,(-) הערכים db ו- d (השינויים בוקטורים ו- j B לאחר שמניחים כי אין סיבוב גוף קשיח, כלומר בהתאמה) נתונים ע"י משוואה. ω

35 וB - db εjb j d εj j db db db ε B d ε ε ε B B d d ε ε ובפרוט מלא: '- ' הצבת db d ברכיבי הוקטורים ו- נותנת: B' ( + ε B' B' ε ε B B )B ' ' ' ε ( + ε ε ) (-8) e כעת נראה כי הקטנת הזווית הישרה בין הסיבים B ו-, שהקבילו לצירים e לפני ו-. ε הדפורמציה, שווה ל- לשם כך נרשום את המכפלה הסקלרית של 'B ו-' בשתי שיטות : B' ' B' ' [( + ε ) ε + ε ( + ε ) + εε ] B (a) / [( + ε ) + ε + ε ] B ε + ( + ε ) [ + ε ] / cos φ B' ' B' ' cos φ (b) ε j מאחר ו- קטנים מאוד ביחס ליחידה, נבצע קרובים אחדים באיברים המופיעים במשוואה (b): [( + ε ) + ε + ε ] / [ + ε + ε + ε + ε ] [ + ε ] / + / ε (c) [ ε ( ) ] / + + ε + ε K K + ε (d) הצבת (c) (d) ב-( b ) והשואה ל-( a ) נותנת:

36 - ε ( + ε ) ε + ε ( + ε ) + ε ε ( + ε )( + ε ) cos φ + ε + ε ε + ε ε + ε ε ( + ε + ε + ε ε ) cosφ (e) ( cos ונשאר עם נזניח ב-( e ) את כל האיברים הקטנים מסדר שני ושלישי (זכור כי גם >> φ π ε + ε ε cos φ cos ( α + β) sn( α + β) ( α + β) הקשר: כלומר : הקטנת הזווית הישרה שווה לפעמיים : ε ε ( α + β) (-9) ε הוא עיבור גזירה השווה למחצית הקטנת הזווית הישרה בין שני סיבי חומר שהיו מקבילים e לפני הדפורמציה. e ו- לכוונים e באופן דומה יכולנו לחשב הקטנת הזווית הישרה בין שני סיבים שהקבילו לכוונים e לפני ו-, e הדפורמציה ולהיווכח שההקטנה שווה ל- ε וכנ"ל לגבי סיבים שהקבילו ל- e ו-. ε והתוצאה סיכום: כאשר האלכסון היא מטריצה סימטרית המתארת את מצב העיבורים בכל נקודה בחומר, ε) הם העיבורים הנורמאליים והאיברים משני צידי האלכסון הם עיבורי הגזירה. המשמעות הפיזיקאלית של כל אחד מרכיבי ε j הוסברה ( ) ε,, ε ) ε j ( ε, ε, ε ) בסעיפים (-5.).(-5.) ε (-5.) משמעות נראה כי סכום רכיבי האלכסון ε שווה לשינוי נפח יחסי. ε + ε + ε נתבונן בקוביה המקבילה לצירים, e המוגדרת ע"י וקטורים ניצבים. a ae ; b be ; c ce V abc הנפח לפני הדפורמציה:

37 - δ לאחר הדפורמציה משתנים הוקטורים המקוריים ל- 'a : 'c 'b c האורך a הופך ל- + ε)a ( b a ( + ε b( הופך ל- b ( + ε c( הופך ל- c האורך האורך ציור (-5): קוביה חומרית לאחר הדפורמציה. π ε a ל- b הופכת ל- הזווית הישרה בין π 'a קטנה אך במעט (δ ( מ-. הזווית בין 'c למישור של 'b נפח הקוביה במצב המעוות ('V): π V' a' b' c' sn ε cos( δ) (a) π sn ε cos( δ) a' b' c' נבצע הקרובים הבאים ב-( a ): ( + ε )( + ε )( + ε ) abc ( + ε + ε + ε )abc V' V ( + ε + ε + ε ) ולאחר הצבה ב-( a ) : (b) שנוי הנפח היחסי מוגדר ע"י: V' V V ( + ε + ε + ε ) V V ε + ε + ε (-) מ.ש.ל.

38 (-6) טרנספורמציה של עיבורים במשוואה - (-9) הגדרנו את החלק הסימטרי של גרדיאנט וקטור ההזזה כ- ε j ולאחר מכן הראינו. e k שרכיבי המטריצה ε j מבטאים עיבורים נורמאליים ועיבורי גזירה בכווני הצירים ' ( e, יש להניח כי רכיבי העיבורים המבוטאים במערכת אילו בחרנו לעבוד במערכת צירים אחרת( עם תג ε j היו בעלי ערך שונה מרכיבי העיבורים במערכת ללא תג העיבורים" בנקודה הנדונה לא היה משתנה על ידי החלפת מערכת הייחוס. e מטרת סעיף זה לבדוק את הקשר בין רכיבי העיבורים.( ε j ) e k ε j, ε j באותה נקודה חומרית. "מצב אבל למערכת חדשה לרכיבי העיבורים במערכת שונה מאחר והעיבורים מתקבלים ע"י גזירת וקטור ההזזה ביטויים הקושרים רכיבי וקטור במערכת אחת וקטור u ביחס לוקטור המיקום, נפתח כעת ( ) e לרכיבי וקטור במערכת אחרת. e j u מבוטא בשתי המערכות: u u e u' j e' j (-) e j הקשר בין הרכיבים בשתי המערכות מתקבל ע"י הכפלת שני אגפים ב- וב- e ושימוש בהגדרת קוסינוסי הכוון ממשוואה (-4). בהתאמה, u e u u' e' e j j הכפלה ב- : e u j u' j (-) u e' u' u e j j k k e' j : e j והכפלה ב- u ' j jk u k (-) הביטויים (-) ו-( - ) הם כלליים, קיימים לגבי כל וקטור ולא רק לוקטור ההזזה. אפשר לרשום ביטוי דומה לוקטור המיקום לפיכך. j j ' (-4)

39 -4 ε j ולפתחו בעזרת משוואות (-) (-) כעת אפשר לחזור למטרתנו העיקרית ולרשום ביטוי ל-.(-) ε' j u' ' j u' + ' j ( u ) ( jku k ) k ' j k + ' k u ' k j + jk u ' k נבצע את הגזירה לפי כלל השרשרת ונקבל: ε' j k u k ' j + jk u k ', j ומתקבל: ' j לפי גזירת (ראה (-4)) נותנת את קוסינוסי הכוון ε' j k j u k + jk u k כידוע, אינדקס כפול באותה מכפלה מעיד על סכימה מ- אינדקס כפול בעל שם אחר. ננצל אפשרות זו במכפלה עד הימנית של ועל כן אפשר להחליפו בכל האחרון, ונחליף ε j האינדקס k ב-, והאינדקס ב- k. התוצאה המתקבלת: ε' j k j u k u + k k j ε k (-5) נוסחה (-5) במערכת היא למעשה נוסחת הטרנספורמציה של העיבורים, לרכיבי העיבור במערכת הקושרת בין רכיבי העיבור '. e e (-8) צורת כתיבה שונה במקצת תביא את (-5) בטרנספורמציה של מאמצים: לצורה שפגשנו במשוואה כאשר עסקנו ε' j k ε k j k ε k T j (-6)

40 -5 ובצורת מטריצות: ε' ε' ε' ε' ε' ε' ε' ε' ε' ε ε ε ε ε ε ε ε ε (.7) התקבל כי נוסחת הטרנספורמציה לעיבורים זהה לנוסחת הטרנספורמציה של המאמצים. כל, ε j ומקבלים את j או) שעלינו לעשות הוא להחליף את רכיבי ב-( -8 ) או (-9), ברכיבי העיבור.(-7) -6) מובן כי גם במקרה הדו מימדי, קיימת הקבלה בין טרנספורמצית עיבורים לטרנספורמצית מאמצים והתוצאה מתקבלת ממשוואה (-) כדלהלן: ε' ε' ε' ε + ε ε + ε ε ε ε ε + cos θ + ε ε ε cos θ ε sn θ + ε cos θ sn θ sn θ (-8) ε הערה: בהרבה ספרים הנדסיים נהוג לקרוא למכפלה בשם "עיבור גזירה הנדסי" או בקיצור "עיבור הגזירה",. γ יש להקפיד ולרשום בנוסחאות הטרנספורמציה (-8) ולסמנה ב- γ ב- ε. γ ε את רכיב הגזירה ולא את החלפת ב-( -8 ) מובילה לטעות!.. ε במהלך הקורס המושג "עיבור גזירה" (במישור ( - משמעותו j כפי ש- סיכום: הוא טנזור סימטרי מדרגה שניה המתאר את מצב העיבורים בנקודה, סימטרי מדרגה שניה המתאר את מצב המאמצים בנקודה. שני גדלים אלו ) הוא טנזור ו- ( ε מתנהגים על פי אותם חוקי טרנספורמציה, ולכן גם בעיבורים אפשר לדבר על "עיבורים ראשיים", "כוונים ε j ראשיים", ו"עיבורי גזירה מכסימליים". גם לעיבורים, ע"י החלפת רכיבי בהקשר זה, המשוואות שפותחו למאמצים מתאימים. ε j j ברכיבי

41 -6 (-7) שושנת עיבורים מקובל למדוד עיבורים על פני משטח חיצון של גוף באמצעות "מדי עיבורים" gages) (stran המודבקים על גבי המשטח. מד עיבור בודד מורכב מחוט דקיק מוליך חשמל, המהווה חלק מגשר ויטסטון. כאשר בגוף עמוס נוצרים עיבורים, החוט המודבק עליו משנה את אורכו יחד עם החומר עליו הוא מודבק. שינוי אורך החוט גורם לשינוי בהתנגדותו החשמלית וזה מוביל לשינוי מתח הנמדד על פני הגשר. שינוי המתח קשור לינארית בשינוי האורך היחסי של החוט, כלומר לעיבור האורכי בכיוון בו הודבק מד העיבור. מד עיבור בודד מודד איפוא עיבור אורכי (התארכות או התקצרות) בכיוון בו הוא מודבק. כאשר רוצים לקבל אינפורמציה נוספת על מצב העיבורים בנקודה על משטח חיצון של גוף, מדביקים בה מספר מדי עיבור בכיוונים שונים. נניח כי המשטח החיצון של גוף מקביל למישור (-). העיבורים שנוכל לקבל בנקודה הם ) כל מדיד נותן את העיבור האורכי בכיוון הדבקתו. הדרושים. בשוק קיימים שושנות עיבורים הוא ). ε לשם כך יש להדביק מדי עיבור (קרובים זה לזה) בכוונים שונים, כאשר.(Rosettes) חישובים אלמנטריים מאפשרים קבלת העיבורים שני סוגים של שלישיות מדי עיבור המודבקים על מצע משותף והם נקראים סידור אחד מתואר בציור (-6, a) ε,, ε ובו כיוון המדידים o o o o o סידור שני מתואר בציור b) (-6, ובו כיוון המדידים הוא. 6 o 9 45 o o o 6 o o e ' e e o (a) (b) ציור (-6): שני סידורי שושנת עיבורים בעזרת הנוסחה הראשונה של (-8) אפשר לחשב את העיבורים במישור., o. o o 45 כדוגמא נפתח הנוסחאות המתאימות לסידור 9 ε ' o o o o o 9 9 o o o ε ; ε o ε ; ε o ε (45 ) + cos 9 + ε sn ε + ε ε ε ε ε ε ε 9 והתוצאה: (-9) ε ε 45 ε + ε 9

42 -7 באופן דומה, אפשר להראות כי בשושנת עיבורים מטיפוס, o o o 6 הנמדדים בכל אחד משלושת מדי העיבור לבין רכיבי העיבור הסטנדרטיים בנקודה הוא: הקשר בין העיבורים ε ε ε ε ( ε ε 6 6 ε + ε ) ε (-) הערה: מדי העיבור מודבקים על משטח חיצון של הגוף העמוס (בדרך כלל זהו משטח ישר). אזור ההדבקה הוא משטח חיצון, חופשי מעומסים חיצוניים. אם המשטח החיצון מקביל למישור (-), רכיבי המאמצים המתאפסים במשטח החיצון הם: כלומר, באזור מדידת העיבורים קיים מצב מאמצים מישורי. בפרק הבא ננצל אינפורמציה זו לקביעת מאמצים ועיבורים באזור המדידה.

43 - פרק : קשרי מאמץ-עיבור (-) מבוא כאשר מפעילים על מבנה עומס (הגורם למאמצים), נוצרים בו גם עיבורים, אשר גודלם תלוי בתכונות החומר. למשל, אם נמתח שני מוטות זהים בצורתם, האחד עשוי פלדה והשני אלומיניום, באותו כוח F, ניווכוח כי העיבור האורכי במוט הפלדה נמוך פי (בערך) מהעיבור האורכי במוט האלומיניום. הגדלת כוח המתיחה תגדיל את העיבורים בשני המוטות באופן פרופורציונלי לכוח. מטרת פרק זה לדון בקשר בין המאמצים לעיבורים ולנסח חוק אשר ישמש אותנו בהמשך הלימודים והעבודה. קיימים חוקים שונים הקושרים מאמצים לעיבורים, ואפשר לסווגם או על פי החומר (מתכת, פלסטיק) או על פי רמת המאמצים (מתחת לנקודת הכניעה או מעליה בתחום הפלסטי). אנו נגביל את הדיון לתחום אלסטי לינארי, המתאים בעיקר לתכן מכונות ומבנים מחמרים מתכתיים. בניסוי מעבדתי, תוצאות מתיחת מוט יראו כך: ε ציור (-) : העמסה חד-צירית של מוט בתחום האלסטי לינארי. העלאת העומס על המוט תגרום למצב לא אלסטי, אולם הדיון בכך נדחה לפרק הבא. מתיחת מוט במאמץ גורמת לעיבור, ε אולם בנוסף לכך נוצרים עיבורים בכיוון ניצב לציר המוט, וערכם:. ε ε νε ν E מעידים על הקשר בין רכיב מאמץ (למשל הבחנה זו והקשרים בין ( לרכיבי עיבורים שונים (כגון - לעיבורים השונים אילו.( ε מתחנו לא מוט מתכתי אלא מוט מחומר משוריין בסיבים שכוונם שונה מכיוון ציר המוט, היינו מגלים גם עיבורי גזירה על חתך רוחבי של המוט, למרות שאין שם מאמץ גזירה. מסקנת הנאמר כאן היא כי כאשר מדובר בחומר כללי ביותר מימדי, קיימת תלות הדדית בין רכיבי המאמצים (בתחום האלסטי לינארי), לרכיבי העיבורים ε,, ε במצב העמסה תלת, εj כמפורט בהמשך. j

44 - (-) חוק מאמץ עיבור תלת מימדי קשר לינארי כללי ביותר בין מאמצים לעיבורים מבוטא בשתי המשוואות הבאות: j ε jk k εj S jk k (-) (-) כאשר (stffness) הם רכיבי "מטריצת הקשיחות" של החומר jk jk ו- (compance) הם רכיבי "מטריצת ההיענות" של החומר S jk רכיבי כל מטריצה מבטאים תכונות של החומר, ואם יודעים (למשל) את רכיבי אפשר לחשב S jk את רכיבי שהיא היפוך המטריצה. משוואה (-) (וגם (-)) מיצגת 9 משוואות היכולות להרשם כדלהלן: ε ε ε ε ε ε ε ε ε מספר הקבועים במקרה הכללי ביותר הוא: עד כה מספר הקבועים הקושרים בין מאמצים לעיבורים שפגשתם בקורסים קודמים היה. מה קורה עם יתר הקבועים? מסתבר כי מספר עצום זה (8) של קבועים מופיע רק ( ν, G,E) במודל הכללי שהצגנו. ו- במציאות קיימים אילוצים המקטינים את מספר הקבועים. אם כי לא, ε וע"כ מספר j נעבור את כל שלבי הקטנת מספר הקבועים הרלוונטיים, נראה חלק מהם. מכתיבה כי מספיק קשר בין 6 רכיבי j ל- 6 רכיבי ε j - סימטריה של j הקבועים הדרוש הוא לא אלא

45 - קיומה של פונקציה סקלרית המבטאת את האנרגיה האלסטית ביחידת נפח בחומר (כפי מוביל למסקנה כי רכיבי מטריצת הקשיחות סימטריים:, U jεj שיפותח בפרק 4), ע"י הכפלת רכיבי המאמץ ברכיבי העיבור המתאימים jk k j jk ונובע מכך כי מספר הקבועים הבלתי תלויים יורד ל- (6 קבועים לאורך האלכסון ועוד 5 מכל צד שלו, כאשר קיימת סימטריה משני צידי האלכסון). הוכוחת סימטרית המקדמים : מאחר והאנרגיה האלסטית היא פונקציה סקלרית של - מצב המאמצים, נרשום אותה באמצעות אינדקסים "שונים",. j ; k לאחר מכן נשתמש במשוואה (-) ולבסוף נחליף את סדר כתיבת העיבורים ε j ε k עם j ε jk j k j k ε k kj. ε ε ε ε ε ε j k kj k j jk kj מישורי סימטריה אם לחומר יש מישורי סימטריה, אפשר להראות שמספר הקבועים יורד. גבישים חמר כזה נקרא אורתוטרופי. ניצבים זה לזה מורידים את מספר הקבועים ל- 9. מסוימים הם דוגמא לחומרים אורתוטרופיים. לחמרים הסטנדרטיים בהם אנו משתמשים בחיי יום יום יש תכונה נוספת והיא "איזוטרופיה". פרוש המושג: תכונות החומר אינן תלויות בכוון. דוגמא לחומר איזוטרופי: נחתוך מפח העשוי חומר איזוטרופי מבדקים בעלי גיאומטריה זהה, אבל כל מבדק נחתך מכוון אחר בפח. כעת נפעיל על שני המבדקים כוחות שווים ונבדוק התארכותם. אם התארכות שני המבדקים שווה החומר הוא איזוטרופי. דוגמא לחומר לא איזוטרופי: לוח מחוזק בסיבים חד כווניים. מתיחת מבדק שנחתך בכוון הסיבים נותנת התארכות קטנה, בעוד שמתיחת מבדק שנחתך בכוון ניצב לסיבים (באותו כוח!) נותנת התארכות גדולה. e (-) חוק הוק (D) e נפעיל על קוביה מאמצים נורמאליים בזה אחר זה ונמדוד את העיבורים בכל שלב. e

46 - 4. הפעלת תגרום לעיבורים : ε () E ; ε () ε () νε () ν E. הפעלת תגרום לתוספת עיבורים: ε () E ; ε () ε () νε () ν E. הפעלת תגרום לתוספת עיבורים: ε () E ; ε () ε () νε () ν E העיבורים הסופיים יהיו שווים לסכום העיבורים החלקיים: ε ε ε ν ν E E E E ν ν E E E E ν ν E E E E [ ν( + )] [ ν( + )] [ ( )] ν + (-) שימו לב כי המאמצים הנורמאליים גורמים (בחומר איזוטרופי!) לעיבורים נורמאליים. עיבורי גזירה יתקבלו כאשר על הקוביה יפעלו מאמצי גזירה, כפי שנלמד בפיתול, והקשר הוא: ε G ; ε G ; ε G (-) בניגוד לחלק הראשון של (-) המראה כי מאמץ נורמאלי בכוון אחד גורם לעיבור נורמאלי גם ( גורם לעיבור גזירה בכוונים ו- ; מאמץ גזירה בכוון מסוים (נניח הכוונים האחרים ) ε ולא משפיע על שני ו-.( ε ε משוואה (-) היא חוק הוק המורחב (D), והקשר Eε הוא מקרה פרטי בעומס חד צירי.

47 - 5. G,ν,E נראה לכאורה דרושים קבועים אלסטיים בכדי להגדיר הקשר בין מאמץ לעיבור - כעת כי מספיקים קבועים בלתי תלויים, והשלישי תלוי בשניים האחרים. דרך ההוכחה מתבססת על כך שחוק הוק (-) בחומר איזוטרופי מתקיים, עם אותם קבועים אלסטיים, בכל מערכת צירים קרטזית. נתיחס לשתי מערכות צירים לשניה כמתואר: ו- המסובבות בזוית θ האחת ביחס ' θ : ' נרשום את אחת מ- 6 משוואות חוק הוק כשהיא מיוחסת למערכת ε ' ' G ' ' ε (a) נבטא כעת את העיבור והמאמץ (במצב מאמצים מישורי) בעזרת העיבורים והמאמצים, ע"י משוואות הטרנספורמציה (-8) ו-( - ). במערכת ' ε ε ε sn θ + ε cos θ ' sn θ + cos θ (b) (c) בעזרת חוק הוק (-) נבטא את העיבורים שבמשוואה (b) ע"י המאמצים כדלהלן: ε ε E [ + ν( + )] ( ) ε G + ν E (d) (e) הצבת (d) (e) ב-( b ) נותנת: + ν ε sn θ + cos θ E G (f) + ν E G ' ' ε ו- מ-( c ) כעת נציב את מ-( f ) ב-( a ) ונקבל לאחר צמצום: ובצורה אחרת: E G + ν ( ) (-4)

48 - 6 kk j (-5) בעזרת הקשר בין הקבועים האלסטיים (-4) אפשר לבטא את כל ששת משוואות חוק הוק בצורה קומפקטית: ε j + ν E j ν E δ j ε j ממשואה זו רואים כי הכוונים הראשיים של ושל זהים. j. הוכחה: נניח כי כווני הצירים הם הכוונים הראשיים של כאשר כי נובע מכך j,(-5) ( אבל במקרה זה j (של גם לפי הגדרתו. לפיכך, ממשוואה גם δ j. j ε כאשר. j משמעות הדבר כי הם הכוונים הראשיים של. ε j j j (-5) נוחה לשימוש כאשר ידועים רכיבי המאמץ ומעונינים בחישוב. ε אפשר להפוך נוסחה זו ע"י פעולות אלגבריות (קצת מסורבלות) ולקבל את המאמצים כפונקציה של העיבורים: j E ε + ν j ν + ε ν kk δj (-6) ובצורה מקובלת אחרת: j Gε j + λε kk δ j (-7) המקדם החדש λ הוא אחד משני מקדמי Lamé (המקדם השני הוא מודול הגזירה G (המסומן בספרי אלסטיות ע"י האות µ) והקשר בין λ למודול יאנג ויחס פואסון נתון ע"י: λ νe ( + ν)( ν) (-8) קשרים נוספים בין הקבועים האלסטיים מצויים בסוף חוברת ההרצאות והתרגילים. בנוסף לקבועים האלסטיים שהכרנו עד כה ν,g,e) (, נגדיר קבוע נוסף, "מודול נפחי ",(buk moduus) K ונראה את הקשר בינו לבין המודולים האחרים. המודול הנפחי קושר בין הלחץ ההידרוסטטי (p) הפועל בנקודה חומרית, להקטנת הנפח היחסית הנגרמת ע"י הלחץ באותה נקודה (בדומה למודול יאנג E הקושר בין מאמץ המתיחה החד-צירי להתארכות היחסית).

49 - 7 p p p מצב המאמצים בנקודה בה שורר לחץ הידרוסטטי שעוצמתו p נתון ע"י: ברור כי "המאמץ ההידרוסטטי הממוצע" נתון ע"י שליש סכום האלכסון: p (g) ( של במקרים בהם המאמץ אינו מאמץ הידרוסטטי, אלא מאמץ כללי, אפשר להתיחס אליו כאל מאמץ המורכב משני חלקים: האחד הוא "מאמץ הידרוסטטי" המוגדר ע"י שליש סכום האלכסון.( s j והשני הוא מאמץ הסוטה מהמאמץ ההידרוסטטי ) "מאמץ דביאטורי". ברור כי סכום שני המאמצים שווה למאמץ הכללי המקורי. למאמץ סוטה זה קוראים j ), ( j ) דוגמא פשוטה להפרדה זו במתיחה חד צירית נתונה להלן: + ובמקרה זה החלק ההידרוסטטי הוא: s j והחלק הדביאטורי הוא: כעת נוכל להגדיר את המודול הנפחי בעזרת המושג החדש של "עומס הידרוסטטי" בנקודה, בה שורר מאמץ כללי.

50 - 8. ε כידוע שנוי נפח יחסי נתון ע"י שימוש בחוק הוק (-) יתן: V V ε ε + ε + ε E ( ν) [ ( ν) ] E (h) כפי שהוסבר למעלה, הערך הוא החלק ההידרוסטטי של המאמץ. ( ν) E ε הכפלת שני האגפים של (h) ב- מובילה להגדרת המודול הנפחי K: K ε E ν ( ) (-9)

51 4- פרק 4: קריטריוני כשל (4-) מבוא כאשר דנים בכשל של חומרי מבנה, מתכוונים בדרך כלל לאחת משתי אפשרויות: א. לשבר החומר והפרדתו לשני חלקים (או יותר); ב. לדפורמציה פלסטית. האפשרות הראשונה היא דרסטית וברורה ומתקימת בחומרים פריכים כגון ברזל יציקה או זכוכית בטמפרטורת החדר. האפשרות השניה פחות דרסטית ולפרקים קשה לזהותה. היא קיימת בחומרים משיכים כגון פלדות, אלומיניום, נחושת וכיוב'. מאחר ורוב חומרי המבנים בהם אנו עוסקים שייכים לקבוצת החומרים המשיכים, נקדיש להם את רוב הפרק הנוכחי. חלק ניכר מהפלדות המשמשות כחומרי מבנה מאופיינות על ידי קשר ליניארי בין מאמץ לעיבור כל עוד המאמץ אינו עולה על ערך קריטי מסוים ) y ). אם מנסים להעלות את המאמץ המופעל על החומר מתברר שנוצרות דפורמציות גדולות (ובלתי הפיכות) מבלי שהמאמץ עולה כלל, או שהוא עולה רק במקצת. בכדי לאפשר טיפול אנליטי בבעיות מסוג זה בצורה פשוטה, נהוג להגדיר את התנהגות החומר על ידי מודל (אידיאלי) הידוע בשם אלסטי פלסטי-אידיאלי. מתיחה חד צירית של חומר כזה מתוארת בציור (a.4-). לעומתו, מתיחה צירית של חומר פריך מתוארת בציור (b.4-), כאשר החומר נשבר בהגיעו לנקודה העליונה בגרף. y ε y (a) ε (b) ε ציור (4-) : מודלים להתנהגות חומר בהעמסה חד צירית. (a) אלסטי פלסטי-אידיאלי, (b) אלסטי פריך. אילו עסקנו רק בהעמסות חד ציריות בלבד, לא היינו זקוקים לתיאוריות כשל. כל שהיה עלינו לעשות הוא להשוות את המאמץ הצירי השורר בחומר, למאמץ y הנמדד במעבדה (והמצוי בטבלאות של תכונות פיזיקליות). כל עוד המאמץ בחומר נמוך מ- y החומר לא יכשל. אבל במציאות המצב שונה ובדרך כלל החומר עמוס לא רק בכיוון חד צירי. דוגמא אופיינית ראינו במתיחת קורה העמוסה גם במומנט פיתול, כאשר על אלמנט בתוך הקורה פועל מאמץ נורמאלי ) ) ומאמץ גזירה ) ). השאלה העומדת בפנינו היא מה ההשפעה ההדדית בין רכיבי טנזור המאמץ בנקודה על כשל החומר. בכדי לענות על שאלה זו פותחו תיאוריות כשל, המתבססות על הנחות פיזיקליות שונות. ככל שההתאמה בין התיאוריה להתנהגות החומר בתנאי העמסה מורכבים טובה יותר, התיאוריה מוצלחת יותר. בפרק הנוכחי נסקור בקצרה שלוש תיאוריות כשל: מאמץ נורמאלי מכסימאלי (ראנקין); מאמץ גזירה מכסימאלי (טרסקה); ואנרגית שינוי צורה מכסימאלית (וון מיזס). מבין השלוש, רק האחרונה מניחה כי הכשל נקבע על ידי אינטראקציה בין רכיבי טנזור המאמצים בנקודה.

52 4- (4-) קריטריוני כשל א. מאמץ נורמאלי מכסימאלי (Rankne) קריטריון זה שימושי בעיקר לחומרים פריכים כגון ברזל יציקה. על פי תיאוריה זו, חומר נכשל כאשר מאמץ נורמאלי, על חתך כלשהו בנקודה הנדונה, מגיע לערך הקריטי. y תפקידנו, אם כן, הוא למצוא את המאמץ הנורמאלי המכסימאלי בנקודה. כידוע, מאמץ בנקודה מוגדר על ידי רכיבי טנזור המאמצים. בכדי לקבוע מהו המאמץ הנורמאלי המכסימאלי יש לחשב תחילה את המאמצים הראשיים בנקודה. המאמץ החיובי הגדול מבין המאמצים הראשיים הוא מאמץ המתיחה הגדול ביותר הקיים בנקודה והמאמץ השלילי הגדול ביותר (בערכו המוחלט) מבין המאמצים הראשיים הוא מאמץ הלחיצה הגדול ביותר בנקודה. שימו לב כי ערכם של המאמצים הראשיים אינו תלוי במערכת הצירים, שאנו בוחרים באופן שרירותי, למרות שכל אחד מרכיבי טנזור המאמצים כן תלוי בבחירת מערכת הצירים. למעשה אנו מצפים כי קריטריון כשל לא יהיה תלוי במערכת הצירים שאנו בוחרים אלא רק במצב העומס. במלים אחרות: הקריטריון צריך להיות תלוי באינוריאנט של המאמצים. בדרך כלל נעסוק בבעיות מישוריות, בהן אחד המאמצים הראשיים (נניח ) מתאפס. במקרה כזה התיאור הגרפי של הקריטריון במישור המאמצים הראשיים, יהיה ריבוע כמתואר בציור (4-). לכל מצב מאמצים מתאימה נקודה במישור הגרף. כל עוד הנקודה נמצאת בתוך הריבוע, אין כשל. כאשר הנקודה מגיעה לגבול הריבוע מתרחש כשל. המודל שלנו אינו מאפשר מאמצים מחוץ לריבוע. y y y y ציור (4-) : תיאור גרפי של קריטריון מאמץ נורמאלי מכסימאלי ( ) להשלמת סעיף זה נרשום את הנוסחה לחישוב המאמצים הראשיים ) ), במקרה המישורי בו. ( + ) + ( ) ( + ) ( ) + + (4-)

53 4- ב. מאמץ גזירה מכסימאלי (Tresca) קריטריון זה שימושי בעיקר לחומרים משיכים כגון פלדות ואלומיניום. הוא מתבסס על ההבחנה כי דפורמציה פלסטית מתרחשת בהשפעת מאמץ גזירה. לפיכך יש לחשב מהו מאמץ הגזירה הגדול ביותר הקיים בנקודה בחומר ולהשוותו למאמץ גזירה קריטי (τ y ) הגורם כניעה פלסטית בניסויי מעבדה. בפרק על אנליזה של מאמצים נלמד, כי מאמץ הגזירה הגדול ביותר בנקודה חומרית שוה למחצית ההפרש בין המאמץ הראשי הגדול ביותר לבין המאמץ הראשי הקטן ביותר. באופן כללי, הקריטריון ירשם כשלוש (שש) משואות אותן יש לבדוק בכדי לקבוע האם מתרחש כשל פלסטי. ( ) ± τ y ± τ ( ) y ( ) ma ± τ y ± ( ) τ y (4-) ± τ ( ( ) ) y ± τ y τ y הוא מאמץ הגזירה הגורם לכניעה פלסטית. דרך ישירה למדידתו היא על ידי ביצוע ניסוי פיתול של צינור דק דופן. הגרף הקושר את מאמץ הגזירה לעיבור הגזירה יראה כמו ציור (a.4-), אלא שבמקום המאמץ יופיע τ ובמקום העיבור הצירי ε יופיע עיבור הגזירה ε (או בסימון הנדסי γ). על סמך הגרף ניתן לקבוע את τ. y דרך עקיפה, אך מקובלת ונוחה יותר, היא לבצע ניסוי מתיחה חד צירית ולקבוע את. y אנליזת מאמצים אלמנטרית מראה כי מאמץ הגזירה המכסימאלי (τ) המתעורר בחומר במתיחה חד צירית (), שווה למחצית מאמץ המתיחה:.τ היות והכשל הוא כשל פלסטי (ב- 45 º לכיוון המתיחה), מאמץ הגזירה הפועל על מישור הגזירה ברגע הכשל הוא τ y והוא שווה למחצית מאמץ המתיחה הגורם לכשל. y נוכל להחליף איפוא את τ y שבמשואות (4-) בגודל הנפוץ יותר. y קריטריון הכניעה ירשם כך: ± ( ± ( ± ( ) ) ) y y y (4-) כאשר החומר לא מגיע לכניעה, ההפרש בין כל זוגות המאמצים הראשיים במשוואה (4- ( יהיה נמוך מ-. y בכדי לדעת פי כמה אפשר להגדיל את העומס על הגוף עד שיגיע להתחלת כניעה פלסטית, נהוג להחליף בקריטריון הכניעה את y ב- eq (מאמץ "אקויולנטי") ומשווים אותו למאמץ הכניעה. y אם, eq אפשר להגדיל את העומס על הגוף. < y, הגוף נמצא במצב של התחלת כניעה. eq y אם, > העומס על הגוף גדול מהמותר ויש להקטינו. eq y אם

54 4-4 ע"י הגדרת "מקדם בטחון", n אפשר לקבוע פי כמה אפשר (או צריך) להגדיל (או להקטין) את העומס על הגוף בכדי להגיע למצב של התחלת כניעה. n y eq ; n פירושו אין כניעה ואפשר להכפיל את העומס (להגדילו) פי <n פירושו התחלת כניעה; n אם >n, יש להכפיל את העומס (להקטינו!) ב- n. התאור הגרפי של הקריטריון במישור המאמצים הראשיים, (כאשר ( נתון בציור.(4-) y y y y y y ציור (4-) : קריטריון טרסקה כל עוד מצב המאמצים בחומר מתואר על ידי נקודה בתוך המצולע, אין כשל. כאשר מגיעים להיקף המצולע, מתרחש כשל פלסטי. שימו לב כי ברביע הראשון והשלישי, כאשר סימני שני המאמצים הראשיים שווים זה לזה, קריטריון טרסקה נותן תחזית כשל כמו קריטריון המאמץ הנורמאלי המכסימאלי. לעומת זאת, ברביעים השני והרביעי, היכן שסימני המאמצים הראשיים הפוכים זה לזה, קריטריון טרסקה חוזה כשל במאמצים נמוכים בהרבה ממאמצי הכשל החזויים לפי קריטריון המאמץ הנורמאלי המכסימאלי. נוח לראות את השוני בין הרביעים השונים על ידי רישום המאמצים הראשיים לאורך ציר (ציורים (4-4) ו- (4-5)), כמוסבר להלן. y (a) > > y (b) > > ציור (4-4) : מאמצים ראשיים ברביע ראשון במצב כניעה לפי טרסקה.